16381830 Teste de Matematic Pentru Clasa a 8a

Otilia Nemeş, Paul Nemeş www.testemate.ro

:: Test 1 Partea I

1. Numărul care este cu 12 mai mic decât 79 este______. 2. Primele două zecimale exacte ale numărului 5 3 sunt ______ . 3. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 24 şi 36 este ______ . 4. Rezultatul calculului : 29 ⋅35 – 1800 : 2 + 102 este______ . 5. Diagonala unui pătrat face cu latura sa un unghi de ______ . 6. Suprafaţa unui teren dreptunghiular cu dimensiunile de 200 m şi 100 m este de ___ha; 7. Aria unui triunghi dreptunghic şi isoscel este de 16 cm2. Lungimea catetei triunghiului este

de ______ cm; 8. Lungimea liniei mijlocii într-un triunghi echilateral este de 4 cm. Perimetrul triunghiului

echilateral este egal cu ______ cm; 9. Măsura unui unghi al unui hexagon regulat este de ______o;

Partea II

10. Care este cel mai mic număr natural care împărţit la 4 dă restul 3, împărţit la 6 dă restul 5 şi împărţit la 8 dă restul 7?

11. Un obiect costă 900000 lei. Preţul lui se majorează cu 10%, apoi, după un timp, se reduce cu 10%. Aflaţi noul preţ al obiectului.

12. Arătaţi că : (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc, oricare ar fi numerele reale a; b; c 0; ≥13. O piramidă patrulateră regulată are apotema bazei egală cu 3 2 cm şi înălţimea egală

cu 3 2 . Se cere: a. Aria totală şi volumul piramidei b. Măsura unghiului format de două feţe laterale opuse c. La ce distanţă de planul bazei trebuie dus un plan paralel cu baza astfel încât ariile

laterale ale celor corpuri formate să fie egale. Aflaţi cât la suta reprezintă volumul piramidei mici din volumul trunchiului de piramidă obţinute astfel.

1


:: Soluţii Test 1 Partea I

1. 67; 2. 66; 3. 72; 4. 215; 5. 45o; 6. 2 ha; 7. 4 2 cm; 8. 24 cm; 9. 120o;

Partea II

10. 23; 11. 891000 lei; 12. Se foloseşte inegalitatea mediilor: (a + b) 2≥ ,a b⋅ ∀ a; b≥ 0; 13. a) At = 72 (1 cm2)+ 2; V = 72 2 cm3;

b) 90 o; c) OO’ = 3( 2 - 1) cm; x% 54%; ≈

2


:: Test 2 Partea I

1. Rezultatul calculului: 756 - 23 ⋅29 este ______ . 2. Soluţia reală a ecuaţiei: 2x - 7 = 9 este______ . 3. Media geometrică a numerelor x = 3 - 1 şi y = 3 + 1 este ______ . 4. Dintre numerele 2 3 şi 3 mai mare este ______ . 25. Dacă E(x) = - 2x2 +3x - 5, atunci E(-1) este egal cu ______ . 6. Lungimea laturii unui pătrat este de 3 cm. Lungimea diagonalei pătratului este egală

cu ______ cm. 7. Un teren în formă de pătrat are lungimea laturii de 100 m. Aria suprafeţei terenului este

de ______ ha. 8. 25% din 1750000 este ______ lei. 9. Dacă 5 m de stofă costă 850000 lei, atunci cât vor costa 9 m de stofă de acelaşi fel?

Partea II

10. Se dau funcţiile: 32)(,: −=→ xxfRRf şi 23)(,: +−=→ xxgRRg . a. Să se reprezinte în acelaşi sistem de axe ortogonale cele două funcţii şi să se afle

coordonatele punctului de intersecţie al graficelor celor două funcţii. b. Să se verifice dacă punctul M(-1,3) aparţine reprezentării grafice a funcţiei . fc. Să se determine punctul de pe graficul funcţiei g astfel încât ordonata punctului să fie

egală cu dublul abscisei punctului. 11. Să se demonstreze că oricare ar fi numerele reale a şi b, a, b>0, avem îndeplinită relaţia:

a. a + b 2 a b≥ ⋅

b. 2a bb a+ ≥

12. Într-o piramidă triunghiulară regulată VABC avem latura bazei AB = 6 3 cm şi înălţimea VO = 4 cm. Se cere:

a. Aria totală şi volumul piramidei. b. Tangenta unghiului format de muchia laterală cu planul bazei. c. Distanţa de la punctul A la planul (VBC).

1



1. 89; 2. 8; 3. 2 ; 4. 3 2 ; 5. –10; 6. 3 2 cm; 7. 1 ha; 8. 437500; 9. 1530000 lei;

Partea II

10. a. I = MGf Gg 1(1;-1); b. M(-1,3) ∉ ; Gf

c. N( 2 4;5 5

);

11. a) 0;,20)2 >∀⋅≥+⇔≥− babababa( .

b) 0;,220) 222 >∀≥+⇔≥+⇔≥− baab

baabbaba( ;

12. a. Apotema piramidei VE = 5 cm; At = 72 3 ; V = 36 3 ;

b. tg m(VC ) = ˆO 23

;

c. d(A;(VBC)) = 7,2 cm;

2


:: Test 3 Partea I

1. Dacă x25 M3, atunci x ∈{______} 2. Primele două zecimale exacte ale numărului 2 5 sunt ______ . 3. Cel mai mare divizor al numerelor 24 şi 36 este______ . 4. Rezultatul calculului : 32:61410)221)(223 −+−−( este______ . 5. Doi muncitori termină o lucrare în 7 zile. 7 muncitori vor termina lucrarea în______zile. 6. Dacă x – y = 4 şi y + z = 5, atunci 3x + y + 4z = ______ . 7. Dacă măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporţionale cu numerele 2;3 şi 4, atunci

măsurile unghiurilor triunghiului sunt egale cu______ . 8. Suplementul unghiului de 60o 30’ este______ . 9. Soluţia inecuaţiei –2x + 3 > +5, x ∈R este______ .

Partea II

10. Fie funcţia RaxaxfRRf ∈+−=→ ,1)2()(,: .

a. Aflaţi a R, astfel încât punctul A(1;∈2

1+a ) să aparţină graficului funcţiei . f

b. Pentru a = 3 reprezentaţi grafic funcţia. c. Pentru = 3, aflaţi punctele de pe graficul funcţiei astfel încât

|x + 2| = |2y - 1|. a f

11. Fie raportul: F( x )= 23

61162

23

+−−+−

xxxxx

a. Aflaţi valorile reale ale lui x pentru care raportul F( x ) nu are definită valoarea. b. Simplificaţi raportul F( x )

12. Se dă o prismă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ cu latura bazei de 6cm şi înălţimea de 6cm. Se cere:

a. Aria totală şi volumul prismei. b. Distanţa de la punctul B’ la latura [AC]. c. Cosinusul unghiului format de dreptele A’C şi BC’. d. Tangenta unghiului format de dreapta C’B cu planul (ACC’).

1



1. x∈{2;5;8}; 2. 47; 3. 12; 4. – 4; 5. 2 zile; 6. 32; 7. 40o; 60o; 80o; 8. 119o30’ 9. x ∈(-∞ , -1).

Partea II

10. a) = 3; ab) ; 1)(,: +=→ xxfRRfc) M(1, 2) şi M(-1, 0);

11. a) x ∈{1, 2};

b) F( x ) = 3)2)(1(

)3)(2)(1(−=

−−−−− x

xxxxx ;

12. a) At = 18 (6 + 3 ) cm2; V = 54 3 cm3; b) d(B’;AC) = 3 7 ; c) Prin mijlocul M al segmentului [CC’] se duc paralele la A’C şi BC’;

cos m∠ ( ' ) = ;' BCCA41

− ;

d) tg m (C’B;(ACC’)) =∠515 ;

2


:: Test 4 Partea I

1. Rezultatul calculului 170-120:10 este ______ . 2. 3 kg de bomboane cu 30000 lei/kg se amestecă cu 5 kg de bomboane cu 70000 lei/kg. Un kg

de bomboane amestec costă ______ lei/kg. 3. Nică şi Zita au impreună 35 ani. Nică are de două ori vârsta Zitei şi încă 2 ani. Câţi ani

are Zita?

4. Numărul natural cuprins între 2, 11 şi 27 este ______ .

5. Scrieţi ca interval mulţimea A={x∈R|-8 < x ≤ 1}=______ . 6. Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este de 10 cm şi lungimea unei catete este

de 8 cm. Lungimea celeilalte catete este de______cm. 7. Un rezervor are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile interioare de 40cm,

30cm, şi 20 cm. Capacitatea rezervorului este de ______l. 8. Punctele A şi B se găsesc la distanţa de 5cm faţă de un punct 0 şi sunt simetrice faţă de

punctul 0. Distanţa dintre punctele A şi B este de ______cm. 9. Lungimea unui cerc este de 18π cm. Lungimea razei lui este de______cm.

Partea II

10. Un tată are 61 de ani, iar fiul său 29 de ani. Cu câţi ani în urmă a fost tatăl de 5 ori mai în vârstă decât fiul?

11. Se dă funcţia: axxfRRf 2)(,: +=→ . a. Determinaţi a ∈R, astfel încât punctul A( +2; -1) să aparţină reprezentării grafice a

funcţiei . a

fb. Reprezentaţi grafic funcţia pentru = -1. f ac. Pentru a = -1, determinaţi aria triunghiului format de graficul funcţiei şi axele de

coordonate. d. Rezolvaţi ecuaţia . Rxxx ∈=−+ ,062

12. Un obiect în formă de trunchi de piramidă patrulateră regulată se împachetează într-o cutie paralelipipedica de volum cât mai mic. Laturile bazelor şi înălţimea trunchilui sunt de: L = 10 cm, l = 6 cm, h = 4 cm. Cât la sută din volumul cutiei ocupă obiectul?

1



1. 158; 2. 55000 lei/kg; 3. 11 ani; 4. 3; 5. A = ( ; ]1;8−6. 6 cm; 7. 24 l; 8. 10 cm; 9. 9 cm;

Partea II

10. cu 21 ani; 11. a) = -1; a

b) ; 2)( −= xxfc) 2 u2; d) S = {+2, - 3};

12. 65,(3)%.

2


::Test 5 Partea I

1. Dana are cu 79068 lei mai puţin decât Ioana. Dacă Ioana are 136572 lei, atunci Dana are ______lei.

2. Paul are 241500 lei, iar Dinu are de 23 ori mai puţin. Câţi lei are Dinu? 3. Cel mai mare divizor comun al numerelor 36 şi 45 este______ . 4. 3500 g + 0,125 t = ______kg. 5. Un trapez ABCD, AB||CD are lungimea liniei mijlocii de 12 cm. AB + CD =______cm 6. Un dreptunghi are lungimea de 8 dm, iar lăţimea cu 30 cm mai mică decât lungimea. Aria

dreptunghiului este ______dm2. 7. Lungimea laturii unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza de 6 cm este egală

cu______. 8. Măsura unui unghi este triplul măsurii altui unghi. Ştiind că suma măsurilor celor doua

unghiuri este de 150o, atunci unghiul mai mic are măsura de______ grade. 9. Raza unui cerc este de 4 cm. Aria cercului este ______cm2.

Partea II 10. Două obiecte costă împreună 900000 lei. După ce preţul primului obiect se măreşte cu 20%,

iar preţul celui de-al doilea obiect se micşorează cu 20% ele costă împreună 1000000 lei. Aflaţi preţul iniţial al fiecărui obiect.

11. Soluţiile ecuaţiei x2 – 6x + 5 = 0, exprimate în centimetri reprezintă raza şi generatoarea unui cilindru circular drept.

a. Aflaţi aria laterală, totală şi volumul cilindrului. b. Presupunând că cilindrul este confecţionat dintr-un metal cu densitatea de 7 g/cm3, să

se afle masa cilindrului. 12. Înălţimea şi apotema bazei unei piramide patrulatere regulate (măsurate in centimetri) sunt x

respectiv y, soluţii ale sistemului:

=−=+

428

yxyx

a. Să se afle aria totală şi volumul piramidei. b. Măsura unghiului diedru format de o faţă laterală cu planul bazei. c. Arătaţi că feţele laterale opuse sunt incluse în plane perpendiculare. d. Aflaţi distanţa de la un vârf al bazei la o faţă laterală opusă.

1



1. 57504 lei; 2. 10500 lei; 3. 9; 4. 128,5 kg; 5. 24 cm; 6. 40 dm2; 7. 6 cm; 8. 37o30´; 9. 16π cm2;

Partea II

10. 700000 lei; 200000 lei; 11. a) R = 5 cm, G = 1 cm sau R = 1 cm, G = 5 cm; ππ 25,60 == VAt sau

πππ 10;5;12 === lt AVA b) m = π175 g sau m = π35 g;

12. h = 4cm = x, y = ap bazei = 4cm

a) At = 64( 2 + 1) cm2, V = 3

256 cm3;

b) 45o; d) d = 4 2 cm;

2


:: Test 6 Partea I

1. Rezultatul calculului: (2 - 3)2 – 3(-2) este______ . 2. Dacă 1 este soluţie a ecuaţiei 2ax – 3 = 5, atunci a = ______ . 3. ½ din 3 ore + ¾ dintr-o oră este egal cu______ . 4. Triunghiul ABC este triunghi echilateral, iar E, F, P sunt mijloacele laturilor triunghiului.

Dacă aria triunghiului EFP este egală cu 4 cm2, atunci aria triunghiului ABC este = ______ . 5. Soluţiile reale ale ecuaţiei x2 – 3x + 2 = 0 sunt ______ . 6. Punctele A, B, C aparţin unui cerc cu raza de 3 cm, astfel încât ACCBBA

)))≡≡

a. Măsura unghiului ABC este egală cu ______ grade. b. Lungimea coardei AB este egală cu ______ cm.

7. Lungimea diagonalei unui cub este de 33 cm. Suma lungimilor muchiilor cubului este egală cu ______ cm.

8. Lungimea unui cerc este 12π cm. Aria lui este ______ cm2 9. Media geometrica a numerelor | 8 – 3| şi | 8 + 3| este______ .

Partea II

10. Se dă funcţia 121)(,: −=→ xxfRRf .

a. Reprezentaţi grafic funcţia. b. Aflaţi m∈R, astfel încât punctul M(2m, 3) să aparţină graficului funcţiei . f

c. Calculaţi valoarea expresiei:

−

⋅−−−2

14)()( afafaf .

11. O lucrare poate fi terminată de 6 muncitori în 12 zile. După trei zile de lucru numărul muncitorilor se mareşte cu 50%. În câte zile se va efectua toată lucrarea?

12. Într-o piramidă patrulateră regulată înălţimea este de 8 cm, iar lungimea laturii bazei este de 12cm.

a. Aflaţi aria totală şi volumul piramidei. b. Sinusul unghiuluiformat de doua muchii laterale opuse. c. La ce distanţă de planul bazei trebuie facută o secţiune paralelă cu baza piramidei

astfel încât volumul piramidei mici să fie egal cu 71 din volumul trunchiului de

piramidă?

1



1. 7; 2. a = 4;

3. 49 h = 2h 15min;

4. 16 cm2; 5. S ={1; 2}; 6. M (ABC) = 60∠ o; AB = 3 3 cm; 7. 36 cm; 8. 36 π cm 2; 9. 1;

Partea II

10. b) m = 4; c) 5;

11. 9 zile; 12. a) At = 384 cm2, V = 384 cm3;

b) sinx = 17

212 ;

c) La 4 cm faţă de bază;

2


:: Test 7 Partea I

1. Dacă 1 este soluţie a ecuaţiei 2x + a = 10, atunci a = ______ . 2. Dacă 2 este soluţie a ecuaţiei x2 – 2ax + 7a – 10 = 0, atunci a = ______ . 3. Dacă A = {x|x∈Z*, |x| 3}, atunci A={______} ≤4. Dacă atunci (-1) = ______ . 32)( 23 +−−= xxxxf f5. Dan are de parcurs 100 km, dar el parcurge numai 10% din distanţă. Caţi km parcurge Dan?

6. Maria are 10 portocale. Dacă îi dă Soniei 52 din ele, atunci îi mai rămân Mariei ______

portocale. 7. O gradină în formă de pătrat se împrejmuieşte cu un gard de sârmă. Câţi metri de sârmă sunt

necesari pentru gard, dacă se pun patru rânduri de sârmă şi se lasă 2 m pentru poarta, iar lungimea terenului este de 15 m?

8. Volumul unui rezervor în formă cubică a cărui muchie interioara este de 2 m este ______ dm3 egal cu ______l.

9. Pentru a vopsi o suprafaţă de 1m2 sunt necesare 250g vopsea. Ce suprafaţă poate fi vopsită cu 1 kg de vopsea?

Partea II

10. Fie funcţia 12)(,: +=→ xxfRRf . a. Reprezentaţi grafic funcţia.

b. Determinaţi R, astfel încăt punctul A( ;a ∈ a3

2−a ) să aparţină reprezentării grafice a

funcţiei . fc. Să se rezolve ecuaţia 3)1()1( =−− xfx .

11. Fie expresia :

E( x ) = xxx

xx

xx

393:13

3

2 +−

−

−+

−

a. Aflaţi x ∈R pentru care expresia E( x ) nu are definită valoarea.

b. Arătaţi că E( x ) = 3

3−x

.

c. Să se reprezinte grafic funcţia (f x ) = )(

1xE

.

12. În prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’, raza cercului circumscris bazei ABCD este egală cu 6 2 cm, iar AA’ = 8 cm.

a. Să se calculeze aria totală şi volumul prismei ABCDA’B’C’D’. b. Sinusul unghiului format de dreapta AD’ cu planul (CC’A’). c. Fie M, N, P, Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] şi respectiv [AD], şi O’ centrul

pătratului A’B’C’D’. Aflaţi volumul piramidei O’MNPQ şi tangenta unghiului format de o muchie laterală a acestei piramide cu planul bazei.

1



1. a = 8; 2. a = 2; 3. A = {±3; ±2; ±1}; 4. (-1) = 1; f5. 10 km; 6. 6 portocale; 7. 232 m; 8. 8000 dm 3 =9. 4 m2;

Partea II

10. b) a = -1;

c) ( − ()1 fx

11. a) x ∈{3; 0

b) Rf −{:

12. a) AB = 12

b) Sin m∠ (

c) VO’MNPQ

8000 l;

−−⇔=− 323)1 2 xxx

}; x 2 - 3 x + 9 > 0 ,∀ x

13

C(4

B(0;-1) -1A(3;0

y

(R→}3,0 , f x ) = 3−x

cm; Al = 672 cm2 ; At =

AD’;(CC´A´)) = 26

263

= 192 cm3; tg m (O’N∠

S = {2; -⇒221 };

∈R.

; 13

)

) 4 x

3 = 31 x – 1;

672 cm2; V = 1 152 cm3;

;

; (ABC)) =34 ;

2


:: Test 8 Partea I

1. Rezultatul calculului (-2)(-3) – (-2 + 3)2 este ______ . 2. 30% dintr-un milion de lei este egal cu ______ lei. 3. Probabilitatea de a apărea faţa cu cifra 3 la aruncarea unui zar este de _____ . 4. Un cerc are raza de 3 cm. Coarda care subîntinde un arc de 60o are lungimea egală

cu ______cm. 5. Dintre numerele 5 3 şi 3 5 mai mare este ______. 6. Cel mai mare număr natural mai mic decât 2 3 este ______. 7. Un teren are forma unui dreptunghi cu lungimea de 130 m si

lăţimea de 110 m. Aria suprafeţei terenului este de ______ hectare.

d2

d1

xo

3xo – 20o

8. Un rezervor în formă de cub are muchia interioară egala cu 50 cm. Capacitatea rezervorului este de ______ litri.

9. Aflaţi xo din figura alăturată ştiind că d1 şi d2 sunt paralele. Partea II

10. Să se arate că raportul : 321123

4321

23432322222

++++

++++

⋅−⋅+⋅++++

nnnnnn

nnnnn

se poate simplifica prin 31 oricare ar

fi N. n ∈11. Un vas în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 10cm, 20cm şi 30cm este

plin cu apă. Îl deşertăm într-un vas cilindric cu raza de 8cm. Până la ce înălţime se ridică apa? 12. Preţul unui obiect s-a majorat cu 10%. După un timp oarecare obiectul s-a majorat din nou cu

10%, ajungând astfel să coste 1331000 lei. a. Aflaţi preţul iniţial al obiectului. b. Cu ce procent din preţul iniţial s-a mărit preţul obiectului după cele două majorări?

1



1. 5; 2. 300000 lei;

3. 61 ;

4. 3 cm; 5. 5 3 ; 6. 3; 7. 1,43 ha; 8. 125 dm3 = 125 l; 9. 50o;

Partea II

10. 3112312

)81227(12)22221(2 32

⋅⋅

=−+++++

n

n

n

nn

, deci se poate simplifica prin 31 (∀ ) n∈N.

11. Vparalelipipedului drept.= 6000 cm3 = volumul cilindrului ocupat de apă; aproximativ 30 cm.

12. a) Fie x lei preţul iniţial;100110 x lei preţul după prima majorare;

100110

xlei

100110 preţul după a doua majorare. Preţul iniţial este x = 1100000 lei.

b) 21%

2


:: Test 9 Partea I

1. Rezultatul calculului 2 este _____. 10:2500105, 2 −⋅

2. Dacă a53 se divide la 2 atunci a ∈{ }_____

3. Dacă 43 din distanţa dintre două oraşe este de 60 km, atunci distanţa dintre cele două oraşe

este de ______ km. 4. Într-un isoscel măsura unghiului de la bază este dublul măsurii unghiului opus bazei. Măsura

unghiului opus bazei este de ______ grade. 5. Raza unui disc circular este de 5 cm. Aria lui este de ______cm2. 6. Dacă 1 este soluţia ecuaţiei 2(1-a) x = - a + 1, atunci a = ______ . 7. Dacă – 1 este soluţie a ecuaţiei 2ax2 – 3x – a + 2 = 0, atunci a = ______ . 8. Factorizarea numărului 3x2 – x – 2 este ______ . 9. Secţiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu latura egală cu 6 cm. Volumul

cilindrului este______cm3.

Partea II

10. Se dau rapoartele (1f x ) = 12

12

2

++−xx

x şi (2f x ) = 3496

2

2

++++xxxx .

a. Aflaţi valorile lui x ∈R, pentru care rapoartele date nu au definită valoarea. b. Simplificaţi fiecare raport.

c. Arătaţi că 31

)()(

2

1

+−

=xx

xfxf

d. Aflaţi valorile întregi ale lui x pentru care 31

+−xx este număr întreg.

11. Se dau punctele A(0, 1) şi B(21 , 0).

a. Determinaţi funcţia liniară a cărei grafic conţine punctele A şi B; reprezentaţi grafic funcţia .

ff

b. În acelaşi sistem de axe de coordonate în care aţi reprezentat funcţia , reprezentaţi

funcţia

f

g : R R, → g ( x ) = 121

−x , apoi aflaţi coordonatele punctului M( x , ) de

intersecţie a graficelor celor două funcţii.

y

c. Arătaţi că reprezentările grafice a celor două funcţii şi f g sunt două drepte perpendiculare.

12. Un corp se compune dintr-un cilindru şi două conuri aşezate unul pe o bază a cilindrului şi celălalt con pe cealaltă bază a cilindrului. Ştiind că înălţimea cilindrului este egală cu înălţimea fiecărui con şi este egală cu 3 cm, iar razele cilindrului şi a conurilor sunt egale şi sunt de 4 cm, se cere:

a. Volumul corpului; b. Aria totală a corpului; c. Masa corpului, presupunând că el este confecţionat din metal a cărui densitate este

de 7 g/cm3.

1



1. 0; 2. a∈ ; { }8;6;4;2;03. 80 km; 4. 36o; 5. 25π cm2; 6. a = 1; 7. a = -5; 8. (x – 1)(3x + 2); 9. 54π cm3;

Partea II 10. a) (1f x ) nu este definit pentru x { }1−∈ şi (2f x ) nu este definit pentru x { }3;1 −−∈ ;

b) (1f x ) = 11

+−xx şi (2f x ) =

13

++xx ;

c) 31

)()(

2

1

+−

=xx

xfxf ;

d) x { }7;5;4;2;1;1 −−−−−∈ ; 11. a) ; 12)(;1;2 +−==−= xxfba

b) M(53;

54− );

c) Se ştie că dacă baxxfRRf +=→ )(;: şi nmxxgRRg +=→ )(,: , atunci graficele

celor două funcţii sunt perpendiculare dacă ma ⋅ = - 1. Avem a = - 2, = m21 ; deci ma ⋅ = -

1, deducem că dreptele sunt perpendiculare. 12. a) Vcorpului = 80π cm3;

b) At corp = 64π cm3;

c)m = V ρ⋅ ; mcorpului = 80π cm337

cmg

⋅ = 560 g⋅π .

2


:: Test 10 Partea I

1. Dacă 2 este soluţia ecuaţiei 2mx – 5 = 1, atunci m =______ . 2. Fie funcţia 12)(,: +−=→ xxfRRf . Valoarea expresiei: (0) + (1) + (-1) + (2) + (-2) este egală cu ______ . f f f f f3. Soluţiile ecuaţiei : x2 + x - 6 = 0 sunt x1 =______ şi x2 =______ .

4. Raportul 95

2 −−3

xx nu are definită valoarea pentru x { }______∈ .

5. Perimetrul unui pătrat este 20 cm .Aria lui este egală cu ______ cm2 6. Fie funcţia baxxfRRf +=→ )(,:

a. Dacă graficul funcţiei trece prin punctele

A(-1;-1) şi B(1;3) atunci =______ şi =______ . b7. Volumul unui cub cu diagonala de 4 cm este egal cu ______cm3. 38. Aria totală a unui cilindru circular drept cu R = 3 cm şi h = 4 cm este egală cu ______cm2. 9. Aria laterală a unui con circular drept cu R = 4 cm şi G = 5 cm este egală cu ______cm2.

Partea II

10. Se consideră funcţia : R R, (f → f x ) = x +2. a. Reprezentaţi graficul funcţiei. b. Rezolvaţi ecuaţia (f x ) = x 2.

c. Determinaţi x ∈Z-{ astfel încât fracţia }11)(

−xxf să fie număr întreg.

d. Determinaţi m∈R, astfel încât punctul M(2m;m-1) să aparţină reprezentării grafice a funcţiei . f

11. Dintr-un bloc de cupru în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 25 cm , 16 cm şi 40 cm se face sârmă cu diametrul de 0,8 mm .Ce lungime are sârma ?

12. Determinaţi m∈R astfel încât ecuaţia (m + 3)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 are: a. Soluţii reale şi diferite. b. Soluţii reale şi egale. c. Nu are soluţii reale.

1



1) m =23 ;

2) 5; 3) x1 = 2 şi x = -3; 2

4) x∈ ; { }3±5) 25 cm2; 6) = 2 şi =1; a b7) 64 cm3; 8) 42π cm2; 9) 20π cm2;

Partea II 10) b) S = { }; 1,2 −

c) x { }2,4,0,2 −∈ ; d) m = -3;

11) ≈31 847m . 12) ∆ = 4(-3m + 7), m∈R-{ } 3−

Pentru –3m + 7 0 ecuaţia are soluţii reale şi distincte , adică pentru m⟩37⟨ şi m∈R-

m∈(-{ }3− ⇒37;∞ ) - { }. 3−

Pentru m =37 ecuaţia are soluţii reale şi egale.

Pentru m

∞,

37

∈ ecuaţia nu are soluţii reale.

2


:: Test 11 Partea I

1. Rezultatul calculului: 125 + 26 este ______ . 35⋅2. Dintre numerele 2012 şi 2112 divizibil cu 3 este______ . 3. Dacă f(x)=-3x + 4, atunci f(0)=______ . 4. Dacă | x – 3 |=2, atunci x=______ .

)5. În triunghiul ABC dreptunghic în A , m(B

))=30o. Dacă CB=10cm, atunci AC=______ .

6. Lungimea cercului cu raza de 3cm este egală cu ______ . 7. Un dreptunghi are lungimea egală cu dublul lăţimii. Dacă lăţimea este de 10m, atunci

perimetrul dreptunghiului este egal cu ______ . 8. Soluţiile ecuaţiei x2 – 5x + 6=0 sunt ______ . 9. Într-un cilindru circular drept R=4cm şi h=5cm. Volumul cilindrului este egal cu______cm3.

Partea II

a) Să se determine funcţiile: , f g : R R, unde → axxf 2)( += şi ştiind că graficele acestora conţin punctul M(1, a + 2b).

bxxg +−=)( ,10.

b) Pentru a=-1 şi b=0 reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate funcţiile f( x ) şi g( x ) şi apoi aflaţi măsura unghiului format de graficele celor două funcţii.

11. Avem un vas cilindric circular drept cu R=3cm şi h=12cm. O furnică porneşte de la un punct A al cercului de bază al cilindrului, face o dată ocolul vasului şi ajunge pe cercul bazei superioare într-un punct A’ situat pe aceeaşi generatoare cu punctul A de plecare. Furnica merge pe drumul cel mai scurt. Se cere lungimea drumului parcurs de furnică.

1


:: Soluţii Test 11 Partea I 1) 1035 2) 2112 3) 4 4) x=5 sau x=1 5) 5cm 6) 6π cm 7) 60cm 8) S={2, 3} 9) 80π cm3

Partea II 10)

a) , dar

+=⇒∈++=⇒∈+

2b. a )1( G 2b) a M(1,2b. a )1( G 2b) a M(1,

g

f

gf

+−=+=bgaf

1)1(21)1(

rezolvând sistemul a=-1 şi b=0. ⇒

+=+−+=+babbaa

21221

b) : R R, f → 2)( −= xxfg : R R, → xxg −=)( . Deoarece 1 ( )1−⋅ =-1(produsul coeficienţilor lui x este egal cu –1) deducem că măsura unghiului format de graficul celor două funcţii este de 90o.

11) Se desfăşoară suprafaţa laterală a cilindrului. Drumul cel mai scurt parcurs de furnică este pe diagonala dreptunghiului obţinut prin desfăşurare. Se obţine ~ 22,33cm.

2


:: Test 12 Partea I

1. Rezultatul calculului –5 + 7 ⋅ este ______ . ( 2− )2. Dacă

32

15=

x , atunci x = ______ .

3. 32 dl + 3,2 dal = ______l.

4. Dacă x5 ∈ Z şi x ∈ Z*, atunci x ∈ { }______ .

5. Valorile reale ale lui x pentru care are sens sunt ______ . 2−x6. Într-un triunghi dreptunghic catetele au lungimile egale cu 3cm şi 4cm. Lungimea ipotenuzei

este ________cm. 7. O bancă acordă dobândă anuală de 26%. La o depunere de 1000000lei, dobânda după 1 an

este de _______ lei. 8. Într-un cerc cu R=3cm, o coardă subîntinde un arc de 120o. Lungimea acestei coarde este

de _________cm. 9. Într-un triunghi isoscel măsura unui unghi de la bază este de 75o. Măsura unghiului opus

bazei este_______ . Partea II

10. Se dă funcţia : R →R, f 42)( −= xxf . a. Reprezentaţi grafic funcţia. b. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficului funcţiei cu axele de

coordonate şi aflaţi distanţa de la originea axelor la dreapta grafic a funcţiei. c. Aflaţi coordonatele punctelor M(x;y) situate pe graficul funcţiei cu proprietatea 1−x =2.

11. Într-o prismă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’, avem AB=8cm şi m(∠D’B,(ADA’))=30o. Să se afle:

a. Aria totală şi volumul prismei b. Distanţa de la punctul C’ la dreapta AD’ şi la dreapta DB. c. m(D’B;(ABC)) d. Sinusul unghiului format de dreptele AD’ şi B’C.

12. Dacă elevii unei clase se aşează câte doi într-o bancă, atunci rămân trei elevi în picioare, iar dacă se aşează câte 3 într-o bancă, rămân 5 bănci neocupate. Câte bănci şi câţi elevi sunt în clasă?

1


: Soluţii Test 12 Partea I

1. –19; 2. 10; 3. 35,2 litri; 4. x∈ ; { }5;1 ±±5. x ∈[2;+∞ ); 6. 5cm; 7. 260.000 lei; 8. 3 3 cm; 9. 30o;

Partea II

10. b) N( x ; )=Gy f∩Oy⇔

−==

420xy

x⇒N(0;-4) ON=4; ⇒

P( x ; )=Gy f∩Ox⇔

−==

420xy

y⇒P(2;0) OP=2; ⇒

d(O;NP) este înălţime corespunzătoare laturii [NP] în ∆NOP dreptunghic în O; d(O;NP)=5

54 ;

c) M(3;2) şi N(-1;-6); 11. a) AA’=8 2 ; At=128(2 2 + 1)cm2; V= 2512 cm3;

b) d(C’;AD’)=C’D’=8cm; d(C’;DB)=C’O=4 10 cm; c) 45o;

d) sin m( AD’;B’C)=∠3

22 ;

12. 18 bănci şi 39 elevi.

2


:: Test 13 Partea I

1. Rezultatul calculului 12:31

3−−

2 este _________ .

2. Dacă a57 este divizibil cu 5, atunci a { }._______∈ 3. Probabilitatea ca aruncând două zaruri deodată să apară ambele feţe cu cifra 5 este

de ________ . 4. Bisectoarea unui unghi de 79o formează cu laturile unghiului două unghiuri cu măsurile

de ________ grade fiecare. 5. Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza de 8cm, lungimea medianei corespunzătoare

ipotenuzei este de_________cm. 6. Într-un trapez lungimea liniei mijlocii este de 24cm şi înălţimea este de 3cm. Aria trapezului

este de ______cm2. 7. a) Media geometrică a numerelor 12 şi 27 este egală cu _______ .

b) Media geometrică a numerelor 2 - 2 şi 2 + 2 este_______ .

8. Dacă atunci

=−=+

17

yxyx

==

____________

yx

9. Dacă (x - 2)(x + 3)=0, atunci x { }____________;∈ . Partea II

10. Se consideră ecuaţia : 143

11

11

2 −+

=+−

+−+

xx

xx

xx

a. Verificaţi dacă 0 este soluţie a ecuaţiei. b. Stabiliţi domeniul de definiţie al ecuaţiei. c. Aflaţi soluţiile ecuaţiei.

11. Se dau în plan punctele A(a; 0); B(1; 2) şi C(7; 4) cu a [ ]7;1∈ . Calculaţi: a. Lungimea segmentului [BC]. b. Lungimea segmentului [AB] în funcţie de “a” c. Valorile lui “a” pentru care ∆ABC este dreptunghic în A.

12. Desenaţi cubul ABCDA’B’C’D’ şi fie M∈ [AB], N∈[BC] astfel încât [AM]≡ [BN] şi ANIDM={P}. Dacă AA’= 4cm şi AM=3cm, se cere:

a. Arătaţi că AN⊥DM. b. Calculaţi distanţa de la punctul A’ la dreapta DM. c. Aflaţi raportul dintre volumul piramidei triunghiulare ACB’D’ şi volumul cubului.

1


:: Soluţii Test 13 Partea I 1) 0; 2) a∈ ; { }5;0

3) 361 ;

4) 39o30’; 5) 4cm; 6) 72 cm2; 7) a) 18 ; b) 2 ;

8) ;

==

34

yx

9) x∈ ; { }3;2 − Partea II 10) a) 0∉S;

b) x∈R-{ }; 1±

c) S=

−

21;2 ;

11) a) BC=2 10 u;

b) AB= 522 +− aa cu a∈ ; [ ]7;1c) a∈ ; { }5;3

12) a) DAM ABN (CC); deducem că ∆ ∆≡ ∠ PAM şi ∠ PMA sunt complementare, deci m( MPA ˆ )=90o, adică AN DM; ⊥

b) Se foloseşte teorema celor trei perpendiculare; d(A’;DM)=534 4 cm.;

c) 31 ;

2


:: Test 14 Partea I

1. Rezultatul calculului 27 : 32 – 3 este ________ . 2. Soluţia reală a ecuaţiei 2x – 3=-1 este_______ . 3. Dacă x∈N* şi 3x – 7 ≤ 8, atunci x { }______∈ 4. Dintre numerele –20 şi –36 mai mare este________ . 5. Divizorii întregi ai numărului 6 sunt _________ . 6. Dacă A={ } şi B= , atuci A B=_______ . 3;1;0;2− { 3;1;2 − } I

7. Secţiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu latura de 6cm. Volumul cilindrului este egal cu ________cm3.

8. În paralelogramul ABCD, AD=6cm, AE⊥BC, E∈BC şi AE=8cm. Lungimea segmentului [DE] este egală cu ________cm.

9. Într-un con circular drept R=3cm şi G=5cm. Aria laterală a conului este egală cu ________cm2.

Partea II

10. Numerele 247, 297 şi 347 împărţite la acelaşi număr natural n dau resturile 7; 9 şi respectiv 11.

a. Determinaţi cel mai mare număr n care îndeplineşte condiţiile problemei. b. Determinaţi cel mai mic număr n care îndeplineşte condiţiile problemei.

11. Graficele funcţiilor : f , g :R R, → f ( x )=2 x +a, g ( x )=23 x – b au în comun punctul M(1;

25 ).

a. Determinaţi valorile reale ale lui a şi b.

b. Pentru a=21 , calculaţi : f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + . . . . + f (20)

c. Pentru a=21 şi b=-1, rezolvaţi în R inecuaţia:

f ( x ) 2≤ g ( x )+21

d. Pentru a=1 şi b=-2 reprezentaţi funcţiile f şi g în acelaşi sistem de axe de coordonate şi aflaţi aria triunghiului determinat de graficele funcţiilor cu axa ordonatelor.

12. Fie ABCDA’B’C’D’ un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu AB=12cm, A’B’=4cm şi

apotema trunchiului de 5cm. Se cere: a. Volumul trunchiului de piramidă. b. Înălţimea piramidei din care provine trunchiul. c. Fie O centrul bazei ABCD şi O’ centrul bazei A’B’C’D’, iar H un punct situat pe

[OO’] la egală distanţă de planul bazei mari şi planul unei feţe laterale. Calculaţi distanţa OH.

1


:: Soluţii Test 14 Partea I 1) 0; 2) 1; 3) x∈ ; { }5;4;3;2;14) –20; 5) { 1; 2; 3; 6}; ± ± ± ±6) ; { }17) 54π cm3; 8) 10cm ; 9) 15π cm2; Partea II 10) a) n=48;

b) n=12;

11) a) a=21 ; b=-1;

b) 430; c) x [ )+∞−∈ ;2 ; d) 1 u2;

12) a) h=OO’=3cm; V=208cm3;

b) VO=29 cm.

c) OH=HF, HF VE, F∈(VE), VE=apotema piramidei din care provine trunchiul;

VFH~ VOE⇒

⊥

∆ ∆VEVH

=OEHF . Deducem HO=2cm=HF.

2


:: Test 15 Partea I

1. Rezultatul calculului 2

32

+0,(3) este ________ .

2. Cubul cu muchia de 2cm are lungimea diagonalei egală _________cm. 3. Soluţiile reale ale ecuaţiei x2 + 5x + 6=0 sunt ________ . 4. Aria unui triunghi echilateral cu latura de 3cm este __________cm. 5. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 9 şi 12 este_________ . 6. Un trapez are lungimile bazelor de 5cm şi 7cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului este

egală cu ________cm. 7. Media geometrică a numerelor 3 - 2 şi 3 + 2 este ________ . 8. În triunghiul ABC, AD şi BE sunt înălţimi, unde D∈BC şi E∈AC. Fie BC=8cm şi AC=6cm.

Valoarea raportului BEAD este egală cu _________ .

9. Fie propoziţia y

x 43= . Valoarea expresiei ._______5 =−⋅ yx

Partea II

10. Un cetăţean a cheltuit o sumă de bani în trei zile astfel: în prima zi a cheltuit 35% din toată suma pe care o avea, în a doua zi a cheltuit 20% din suma rămasă, iar în a treia zi restul de 624000 lei.

a. Care a fost suma întreagă pe care a cheltuit-o cetăţeanul? b. Ce sumă de lei a cheltuit a doua zi?

11. În triunghiul dreptunghic ABC, m( )=90A o, AD⊥BC, D∈(BC) se cunoaşte BD=12cm,

51

=DCBD . Calculaţi :

a. AD b. Perimetrul ∆ABC.

12. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic care are dimensiunile proporţionale cu numerele 2; 3; 5 şi volumul de 240cm3. Aflaţi

a. Diagonala paralelipipedului. b. Aria totală. c. Tangenta unghiului format de diagonala paralelipipedului cu planul bazei.

1


:: Soluţii Test 15

Partea I

1. 97 ;

2. 2 3 cm; 3. S∈ ; { }3;2 −−

4. A=4

39 cm2;

5. 36; 6. 6cm; 7. 7 ;

8. 43 ;

9. 7; Partea II 10. a) 1200000 lei;

b) 156000 lei; 11. a) AD=12 5 cm;

b) P∆ ABC = 12 (6 + 6 + 30 )cm; 12. L=6cm, l=4cm, h=10cm;

a. d=2 38 cm; b. At =248cm2;

c. tg x =13

135 ;

2


:: Test 16 Partea I

1. De pe un hectar de pământ cultivat cu grâu se obţin 30 chintale de grâu. Câte kg de grâu se obţin pe 10 ha?

2. O bancă acordă 30% dobândă anual. Care este dobânda după un an la o depunere de 1000000 lei?

3. Un ceas rămâne în urmă cu 3 secunde la fiecare 30 minute. El a fost potrivit exact la amiază (ora 12 din zi). Ce oră va arăta la miezul nopţii (ora 24)?

4. Un ţăran a vândut în piaţă 18kg 400g zmeură cu 60000lei/kg. El a încasat ________lei 5. Mama are 40 de ani şi fiica ei are 16 ani. Cu câţi ani în urmă vârsta mamei era de 3 ori vârsta

fiicei? 6. 3 robinete umplu un bazin în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 9 robinete cu acelaşi

debit? 7. Suma dimensiunilor unui dreptunghi este 12cm, iar diferenţa lor este 8cm. Aria

dreptunghiului este egală cu ________cm2. 8. Raza unui cerc este de 9cm. Lungimea arcului a cărui măsură este de 60o este

de ________cm, iar coarda care subîntinde acest arc are lungimea egală cu _______cm. 9. Cât cântăreşte un cub de gheaţă cu muchia de 20cm, dacă 1 dm3 de gheaţă cântăreşte 0,9 kg?

Partea II

10. Într-o cutie sunt portocale. Dacă se împart copiilor câte 4 portocale rămân 3 copii fără portocale; dacă se împart copiilor câte 3 portocale atunci mai rămân 15 portocale. Câte portocale sunt în cutie?

11. Se dau funcţiile 2)(,: −=→ xxfRRf şi 1)(,: +=→ xxgRRg a. Reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate cele două funcţii. b. Arătaţi că reprezentările grafice ale celor două funcţii sunt două drepte paralele şi aflaţi

distanţa dintre ele. c. Dacă A şi B sunt punctele de intersecţie a graficului funcţiei f cu axa absciselor,

respectiv, axa ordonatelor, iar C şi D sunt punctele de intersecţie a graficului funcţiei g cu axa absciselor, respectiv, axa ordonatelor, atunci precizaţi natura patrulaterului ABCD şi aflaţi aria lui.

12. Un bidon în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 10cm, 15cm şi 20cm este plin cu apă. El se goleşte într-un vas cubic cu muchia de 50cm. Până la ce înălţime se ridică apa?

1


:: Soluţii Test 16 Partea I 1) 30000 kg; 2) 300000 lei; 3) ora 11 şi 58 minute şi 48 secunde; 4) 1104000 lei; 5) 4 ani; 6) 4 h; 7) 20cm2; 8) 3π cm; 9cm; 9) 7,2 kg; Partea II 10) 96;

11) b) GfIGg=∅; d(Gf; Gg)= 223 ;

c) ABCD – trapez isoscel; AABCD=29 ;

12) 1,2cm;

2


:: Test 17 Partea I

1. Dacă x=1 şi ax – 3(a - 2)=5a – 1, atunci a=_______ . 2. Dacă x=2 şi 2x2 – 2(a + 3)x – (a + 1)=0, atunci a =_______ . 3. Dacă x=0 şi y=- 2x + 7, atunci y=_______ . 4. Dacă f(-2)=3 şi f(x)=(a + 2)x – 3, atunci a=_______ . 5. Dacă x ∈ N* şi x ≤ 3, atunci x∈{______} 6. Triunghiul ABC este isoscel, AB=AC, şi m(A)=90o. Dacă AD⊥BC, D∈(BC) şi AD=3cm,

atunci perimetrul triunghiului este _______cm; iar aria lui este egală cu_______cm2. 7. Triunghiul ABC este isoscel, AB=AC, şi m( )=45A o. Dacă AB=4cm, atunci:

a. Aria triunghiului ABC este egală cu _______cm2 . b. Distanţa de la punctul B la dreapta AC este egală cu _______cm.

8. Triunghiul ABC este triunghi dreptunghic in A, iar AD este mediană (D∈(BC)). Dacă AD=4cm, atunci:

a. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu _______cm. b. Aria cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu _______cm2.

9. Linia mijlocie într-un trapez are lungimea egală cu 8cm. Dacă înălţimea trapezului este de 3cm, atunci aria trapezului este _______cm2.

Partea II

10. Într-o bibliotecă sunt 11.040 de cărţi în limba română şi limbi străine. Numărul cărţilor în limbi străine reprezintă 20% din cărţile în limba română. Câte cărţi de fiecare fel se găsesc în bibliotecă?

11. În trunchiul de piramidă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ avem AB=10 3 cm, A’B’=4 3 cm, OO’=4cm, unde O şi O’ sunt centre ale cercurilor circumscrise bazelor ABC, respectiv A’B’C’.

a. Lungimea muchiei laterale şi tangenta unghiului format de aceasta cu planul bazei. b. Aria totală şi volumul trunchiului de piramidă. c. Volumul piramidei din care provine trunchiul.

12. Un con circular drept are R=6cm şi G=9cm. Se secţioneaza cu un plan paralel cu baza la

32 faţă de vârf. Se cere:

a. Aria laterală, totală şi volumul conului. b. Volumul trunchiului de con obţinut prin secţionare. c. Măsura unghiului sectorului circular obţinut prin desfăşurarea laterală a conului. d. Sinusul unghiului de la vârful conului a secţiunii axiale în con.

1


:: Soluţii Test 17 Partea I 1) 1; 2) –1; 3) 7; 4) –5; 5) {1; 2; 3}; 6) 6(1 + 2 ); 9; 7) a) 4 2 ;

b )2 2 ; 8) a) 4;

b) 16π; 9) 24; Partea II 10) 9200; 1840

11) a) CC’=2 13 ; tg m(C ) =OC'32 ;

b) At=192 3 cm 2; V=156 3 cm3;

c) 3

3500 cm3; VO=320 cm;

12) a) h=3 5 cm; Al=54πcm2; At=90πcm2; V=36π 5 cm3;

b) V=3

576π cm3;

c) 240o;

d) sin m( )=BVA ˆ9

54 ;

2


:: Test 18 Partea I

1. Rezultatul calculului a) 5 + 0,(3) este _______ . 0,0023 ⋅b) 123 + 1256 ⋅ este_______ .

2. Care număr este mai mare: a) 3 sau 3 : 0,3? b) 0,22 sau 0,2?

3. Numărul natural situat între a) 2,51 şi 27 este_______ .

b) 3 şi 5 este _______ . 4. a) Dintre numerele 3,14 şi 3, 14…, raţional este numărul _______ .

b) Dintre numerele 12 şi 36 iraţional este _______ . 5. a) Dacă aria unei grădini este de 1,5 ha atunci ea are _______m2.

b) Perimetrul unei grădini în formă de pătrat este de 40m. Lăţimea grădinii este de _______dam. 6. a) Măsura unui unghi este de 50o30’. Măsura complementului lui este de _______o.

b) Măsura unui unghi este de 76o30’. Măsura suplementului lui este de _______o. 7. a) Aria unui cerc cu raza de 5cm este egală cu _______cm2.

b) Aria unei sfere cu raza de 5cm este egală cu _______cm2. 8. a) Volumul unui cilindru circular drept cu R=3cm şi h=4cm este egal cu _______cm3.

b) Volumul unui con circular drept cu R=30mm şi h=0,4 dm este egal cu ______cm3. 9. a) Dacă 30% din lapte este smântână iar 10% din smântână este unt atunci ce cantitate de unt

se obţine din 1000kg lapte ? b) Un obiect costă 400000 lei. Preţul lui se reduce cu 10%, apoi se majorează cu 10%. Care este noul preţ al obiectului?

Partea II

10. Un drum este parcurs în 4 etape astfel: în prima etapă 30% din întregul drum; în a doua etapă 25% din restul drumului; în a treia etapă 50% din noul rest; iar în a patra etapă restul drumului, care era de 168 km. Aflaţi:

a. Câţi km avea drumul? b. Câţi km au fost parcurşi în fiecare etapă?

11. a) În trapezul ABCD, AB||CD, AD⊥AB, AB=18cm, DC=12cm, AD=8cm. Să se calculeze aria şi perimetrul trapezului ABCD, precum şi aria şi perimetrul triunghiului MAB, unde {M}=ADI BC. b) În trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ avem AB=36cm, A’B’=24cm şi OO’=8cm unde O şi O’ sunt centrele bazelor ABCD respectiv A’B’C’D’. Să se calculeze aria totală şi volumul trunchiului de piramidă precum şi aria totală şi volumul piramidei din care provine trunchiul.

12. Un semicerc cu raza de 8cm se înfăşoară obţinându-se un con circular drept. Să se afle aria totală, laterală şi volumul conului.

1



1) a)127 ; b) 795

2) a) 3:0,3; b) 0,2; 3) a) 3; b) 2; 4) a) 3,14; b) 12 ; 5) a) 15000m2; b) 1 dam; 6) a) 39o30’; b)103o 30’ 7) a) 25πcm2; b) 100πcm2; 8) a) 36πcm3; b) 12πcm3; 9) a) 30 kg; b) 396000 lei Partea II 10) a) 640 km

b) 192 km în prima etapă; 112 km în a doua etapă; 168 km în a treia etapă; 168 km în a patra etapă.

11) a) BC=10cm; A=120cm2; P=48cm. MA=24cm, MB=30cm, A∆MAB=216cm2; P∆MAB=72cm; b) apotema trunchiului =10cm, At=3 072cm2; V=7 296cm3; inaltimea piramidei din care provine

trunchiul=24cm; apotema piramidei =30cm, Atpiramida=3456cm2; V=10 368cm3

12) Gcon= 8cm; Rcon= 4cm; hcon= 4 3 cm; Al= 32πcm2; At= 48πcm2; V= 3

364 π cm3;

2


:: Test 19 Partea I

1. Rezultatul calculului: 3 – 3 : 10 + 2 : 0,2 este_______ . 2. Ioana are la un obiect două note de 9, o notă de 7 şi două note de 8. Media rotunjită

este_______ . 3. Fie mulţimile A={x|x∈N, x este divizor al lui 12} şi B={x|x∈Z, x este divizor al lui 9}.

Elementele multimilor: a) A B sunt{______}. I

b) AU B sunt{______}. 4. Dacă 957a M3, atunci a∈{______}. 5. Dacă în rombul ABCD, m( DAB ˆ )=60o atunci: a) m( )=______grade. CBA ˆ

b) m(C )=______grade. DA6. În triunghiul ABC, m( )=90A o, AB=12cm şi BC=13cm. AC=_______cm. 7. a) Un cerc cu raza de 2cm are aria egală cu______cm2.

b) O sferă cu raza de 2cm are aria egală cu ______cm2. 8. Triunghiul echilateral cu latura de 3 m are:

a) Perimetrul egal cu _______cm. b) Aria egală cu _______cm2.

9. Volumul unui cilindru circular drept cu R=3cm şi h=5cm este _______cm3. Partea II

10. Fie raportul F( x )=6

3)3(2

2

−−−−+

xxmxmx .

a) Factorizaţi: . 62 −− xxb) Aflaţi valorile x ∈R pentru care F( x ) nu este definit. c) Determinaţi R astfel încât F(m ∈ x ) să fie ireductibil. d) Pentru m =3 simplificaţi F( x ).

11. Fie expresia: E( x )=1 -

+−

−+

− xxxxx 31

92

31

222 :9

12 −x

.

a) Determinaţi x ∈ .R pentru care E( x ) are definită valoarea.

b) Arătaţi că forma cea mai simplă a lui E( x ) este: E( x )=xx 6−− .

c) Determinaţi x ∈Z astfel încât E( x )∈Z. d) Rezolvaţi inecuaţia E( x ) 2. ≥

12. O cutie în formă de paralelipipped dreptunghic notat ABCDA’B’C’D’ are AB=8cm, BC=4cm şi AA’=12 3 cm. O furnica porneşte din punctul A şi merge pe suprafaţa laterală a cutiei până în punctul C’ pe drumul cel mai scurt. Se cere:

a) Aria laterala, totala si volumul paralelipipedului b) Să se afle lungimea drumului. c) Să se afle măsura unghiului x pe care trebuie să-l formeze drumul la pornire cu

muchia AB pentru a fi cel mai scurt.

1


:: Soluţii Test 19 Partea I 1. 12,7; 2. 8; 3. a) {1; 3}; b) { }; 12;9;6;4;3;2;1 ±±+±4. {0; 3; 6; 9}; ∈a5. a) 120o; b) 30o; 6. 5cm; 7. a) 4π ; b) 16π ;

8. a) 900; b) 4

39 m2=22500 3 cm2;

9. 45π ; Partea II 10. a) (x - 3)(x + 2);

b) x∈{3; -2}; c) m∉{3; -2};

d) F(x)=23

++xx ;

11. a) x∈R\{0; ±3}; c) x { 6;2;1 ±±± }∈ ; d) S=[ -2; 0); 12. a) Al=288 3 cm2; At= )239( +32 cm2; V=384 3 cm3;

b) Se aduce faţa BCC’B’ a paralelipipedului în acelaşi plan cu faţa ABB’A’; drumul cel mai scurt este lungimea diagonalei [AC’] în dreptunghiul ACC’A’. AC’=24cm. c) xo=60o;

2


:: Test 20 Partea I

1. Rezultatul calculului: 3,3 ⋅ – 233,5 : 10 este_______ . 102. 56m=______km. 3. Soluţia reală a ecuaţiei 2x + 5=x – 1 este________ . 4. 25% din 280000 lei este_______ . 5. Dacă a751 M9, atunci a=_______ .

6. După simlificare raportul 96

92

2

++−xx

x devine_______ .

7. Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral cu latura de 38 cm este egală cu _______cm.

8. Aria traezului ABCD (AB||CD) având AB=BC=13cm, AD=12cm şi CD=18cm este de _______cm2.

9. Un pătrat cu latura 1 dm se roteşte în jurul unei laturi. Volumul cilindrului astfel obţinut este egal cu _______dm3.

Partea II

10. a) Să se determine numerele raţionale a şi b ştiind că: 2)12()22( =+++ ba

b) Se consideră funcţia: ( )bxaxfRRf 122)(,: ++=→ , cu , Q. Să se determine şi b astfel încât punctul A(

a b ∈ a122;12 −− ) să aparţină reprezentării grafice a funcţiei . f

11. Doi elevi au împreună 1700000 lei. După ce primul elev cheltuieşte 1/3 din suma pe care o avea şi al doilea elev cheltuieşte 25% din suma pe care o avea, ei constată că au rămas cu sume egale. Să se afle ce sumă avea fiecare elev şi cât a cheltuit fiecare elev.

12. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ avem AB=8cm, BC=6cm şi AA’=10cm. a) Să se calculeze aria totală, volumul şi diagonala paralelipipedului. b) Dacă E, F, P sunt proiecţiile unctului D pe D’A, D’B respectiv D’C, să se arate că

puncteleD, E, F, P sunt coplanare. c) Tangenta unghiului format de planele (D’BC) şi (ABC).

1


:: Soluţii Test 20 Partea I 1. 9,65; 2. 0,056 km; 3. – 6; 4. 70000 lei; 5. =5; a

6. ;33

+−xx

7. 8; 8. 186cm2;(Se duce paralela din B la AD şi se foloseşte teorema reciprocă a lui Pitagora) 9. π . Partea II 10. a) =- 1; b =2; a

b) =- 1; b =1; a11. 900000 lei şi 800000 lei avea fiecare elev;

300000 lei şi 200000 lei cheltuieşte fiecare elev. 12. a) cmdcmVcmAt 210;480;376 32 ===

b) E, F, P, D sunt coplanare;

⊥⇒⊥⊥⇒⊥

BDDPCBDDPBDDEABDDE

')'(')'(

⇒∈⇒

⊥⊥

⇒ )('

)('DEPF

BDDFDEPBD

c) tg m( )=BCD ˆ'45 .

2


:: Test 21

Partea I 1. a) ¾ dintr-oră este ______ minute

b) 4h 35min + 85min=______h 2. Care număr este mai mare: a) 0,32 sau 0,3 ?

b) 4:0,1 sau ⋅4 0,1 ?

3. Produsul dintre cel mai mare divizor comun al numerelor 4 şi 6 şi cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu______ .

4. a) Dacă 4x =

x9 şi x∈N, atunci x=______ .

b) Dacă 2x2=18 si x∈Z, atunci x=______ . 5. Dacă x=-2 si y=+8 atunci: a) yx ⋅ =______ .

b) |||| yx ⋅ =______ . 6. Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este de 8cm, iar măsura unui unghi ascuţit

este de 40 o a) Măsura celuilalt unghi ascuţit este de ______o. b) Raza cercului circumscris triunghiului este de ______cm.

7. Soluţia ecuaţiei 2x + 3=15 exprimată în centimetri reprezintă muchia unui cub. Volumul cubului este egal cu ______cm3.

8. Într-un triunghi echilateral linia mijlocie are lungimea egală cu 5cm. a) Perimetrul triunghiului echilateral este egal cu ______cm; b) Aria triunghiului determinat de liniile mijlocii ale triunghiului este egală cu ______. din aria triunghiului echilateral.

9. În figura alăturată ABCD este trapez, AB||DC, E este mijlocul laturii AD şi F este mijlocul laturii BC. Dacă EF=12cm şi RS=6cm ({R}= EF∩AC, {S}=EF∩DB), atunci AB=______cm şi DC=______cm .

D C E F R S A B Partea II

10. a) Calculaţi: (x + 2)(x + 5); (x + 3)(x + 4). b) Arătaţi că: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1 este pătrat perfect oricare ar fi x∈N.

11. Un gospodar are găini şi iepuri. Ştiind că în total are 54 de capete şi 156 de picioare, aflaţi câte găini şi câţi iepuri are gospodarul.

12. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ avem AB=10cm şi diagonala unei feţe laterale de 10 2 cm. Se cere: a) Aria totală a prismei şi volumul ei; b) Distanţa de la punctul A’ la dreapta BC c) Tangenta unghiului format de planele (A’BC) şi (ABC) d) Distanţa de la punctul A la planul (A’BC)

1


:: Soluţii Test 21 Partea I 1) a) 45 minute; b) 6 h; 2) a) 0,3; b) 4:0,1=40; 3) 24; 4) a) 6; b) x = 3; ±5) a) 16; b) 4; 6) a) 50o; b) R=4cm; 7) V=216cm3; 8) a) P=30cm; b) 1/4; 9) AB=18cm; DC=6cm; Partea II 10) a) x2 + 7x + 10; x2 + 7x + 12;

b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1=(x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) + 1= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 10 + 2) + 1 Notăm a=x2 + 7x + 10 şi avem: a(a + 2) + 1=a2 + 2a + 1=(a + 1)2 deci obţinem: (x2 + 7x + 10 + 1)2=(x2 + 7x + 11)2

11) 30 găini şi 24 iepuri 12) a) At=50( 3 + 6)cm2; V=250 3 cm3;

b) d(A’,BC)=A’E, E este mijlocul laturii BC; A’E= 5 7 cm;

c) tg m(<A’EA)=3

32 ;

d) d(A,(A’BC))=7

2110 cm.

2


:: Test 22 Partea I

1. Împărţind numărul 2536 la 21 se obţine câtul ______ şi restul______ .

2. Se dau numerele: -2,(3); 324 ; -4; 3,25; -2; 3; 0.

a. Dintre numerele de mai sus, întregi sunt ______ . b. Ordinea descrescătoare a numerelor date este______ .

3. Cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu –2,12 este ______ . 4. Zecimala care ocupă locul 2003 în scrierea zecimală a numărului 5,(723) este______ .

5. Dacă A, B, C sunt puncte colineare, B∉(AC), astfel încât AC=6cm şi 32

=ACAB , atunci:

a. AB=______cm b. BC=______cm.

6. În paralelogramul ABCD, m( ) =D ⋅31 m( ). A

a. Aflaţi măsurile unghiurilor paralelogramului. b. Dacă AD=DC=6cm, atunci perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu______cm,

iar aria lui este egală cu ______cm2. 7. Punctele A, B, C se găsesc pe cercul de centru O şi rază 6cm. Dacă m( )=30CBA ˆ o, atunci:

a) m( )=______grade. COA ˆb) AC=______cm. c) lungimea arcului mic CA

) este ______cm.

8. Volumul unei sfere cu raza de 3cm este egal cu______cm3.

9. Raportul a două unghiuri suplementare este37 . Măsurile lor sunt egale cu______grade

şi ______grade. Partea II

10. Fie ecuaţia: x2 – 2mx + m2 – m + 1=0, x∈R, m parametru real. a. Să se determine parametrul real m astfel încât ecuaţia dată să aibă soluţii reale. b. Pentru m=2 să se rezolve ecuaţia dată.

11. Fie funcţiile RRhgf →:;; , 2)( += xxf ; 3)( +−= xxg ; 2)( −=xh . a. Reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate graficele celor trei funcţii. b. Aflaţi aria triunghiului determinat de reprezentările grafice ale celor trei funcţii.

c. Determinaţi Zx∈ *, astfel încât .0)()(≥

xgxf

12. Pe planul triunghiului isoscel ABC de bază [BC] se ridică perpendiculara BM, BM= 24 cm. Se ştie că AB=8cm, m( )=67CBA ˆ o30’. Se cere:

a. m( ); CAB ˆb. Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii (AC) a triunghiului ABC; c. sin 22o30’. d. Distanţa de la punctul M la dreapta AC. e. Măsura unghiului format de planele (MAC) şi (ABC).

1



1. 120; 16;

2. a) –4; -2; 3; 0; b) 324 ; 3,25; 3; 0; -2; -2,(3); -4

3. – 3; 4. 2; 5. a) 4cm; b) 10cm; 6. a) m( )=m ( )=135A C o, m( B )=m( )=45D o; b) 24cm; 218 cm 7. a) 60o; b) 6cm; c) 2π cm. 8. 36π cm3; 9. 126o şi 54o.

Partea II

10. a) m∈ ; b) S={3; 1} [ )+∞;1

11. b) A= 2

4120 u ; c) { }2;1 ±±∈x .

12. a) 45o; b) 24 ;

c) 2

22 − ;

d) d(M; AC)=MB’=8cm; e) 45o;

2


:: Test 23

Partea I 1. Maria are de trei ori mai mulţi ani decât jumătate din câţi are Ioana. Dacă diferenţa vârstelor

lor este de 5 ani, atunci Maria are ______ani, iar Ioana are ______ani. 2. În două coşuri sunt 50 de portocale. În primul coş sunt cu 10 portocale mai multe decât în al

doilea coş. Câte portocale sunt în fiecare coş? 3. Soluţia reală a ecuaţiei 2 – x=1 este x=______.. 4. Factorizarea numărului x2 – 9 este______

şi a numărului x2 + 4x + 3 este______ 5. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x2 – x – 2=0 este S={______}.

6. Dacă 9

1)( 2 −−

=xxxf atunci:

a. = ______. )1(fb. nu are definită valoarea pentru )(xf { }......∈x .

7. Un teren agricol are forma unui trapez dreptunghic a cărui linie mijlocie are lungimea de 10 dam, iar distanţa dintre baze este de 100m. Aria suprafeţei terenului este ______ha.

8. Într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este dublul lungimii celeilalte catete, iar lungimea ipotenuzei este de 54 cm.

a. Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este______cm. b. Perimetrul triunghiului este ______cm.

9. Într-un cilindru circular drept diametrul bazei este de 10cm, iar înălţimea lui este 50% din diametrul bazei. Volumul lui este ______cm3.

Partea II

10. Se dă expresia: E ( )34

2:9

12

12

2

2 ++−−

−−

−−

=xxxx

xx

xx .

a. Aflaţi valorile reale ale lui x pentru care E ( )x are definită valoarea.

b. Arătaţi că forma cea mai simplă a expresiei este: E ( )3

2−−

=x

x .

c. Rezolvaţi ecuaţia: E . ( ) xx =d. Rezolvaţi inecuaţia: E ( ) . 2≥x

11. Se dau punctele A(2;1); B(4;2) şi C(2; -2). a. Reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate punctele A, B şi C şi calculaţi aria

triunghiului ABC. b. Determinaţi funcţiile , a căror reprezentare grafică este dreapta AB,

respectiv dreapta BC. RRgf →:;

c. Precizaţi natura triunghiului OBC, O fiind originea axelor de coordonate şi arătaţi că punctele O, A şi B sunt colineare.

12. Într-un trunchi de con circular drept, secţiunea axială este un trapez isoscel ortodiagonal cu diagonala de 212 cm şi latura neparalelă de 56 . Se cere:

a. Raza mare, raza mică şi înălţimea trunchiului de con; b. Aria totală şi volumul trunchiului de con; c. Volumul conului din care provine trunchiul.

1



1. 15 ani şi 10 ani; 2. 30; 20; 3. 1; 4. (x - 3)(x + 3); (x + 1)(x + 3); 5. S={2; -1}; 6. a) 0; b) ; { }3±∈x7. 1 ha; 8. a) 52 cm; b) lungimile catetelor: 4cm şi 8cm; P= )53( +4 cm; 9. 125π cm3.

Partea II

10. a) ; c) S={1}; d) S=(2; 3) { 2;1;3\ −±∈ Rx }11. a) A ∆ =3 uABC

2;

b) xxfRRf21)(,: =→ ; 62)(,: −=→ xxgRRg

c) isoscel de bază [OC]; se arată că O(0, 0)∆=∆OBC ∈G . f

12. a) R=9cm, r=3cm; h=12cm; b)At= π)545( +18 cm2; V=468 π cm3; c) hcon=18cm; Vcon=486 π cm3;

2


:: Test 24

Partea I 1. Transformaţi în fracţie ordinară ireductibilă fiecare din numerele: 2,5; -1,(6); 2,2(3). 2. Aflaţi zecimala care ocupă locul 103 în scrierea numărului 1,4(395). 3. Care este probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural dintre primele 120

numere naturale sa avem n

Qn ∈ ? 4. Calculaţi partea întreagă şi partea fracţionară pentru numerele: a) 5,26

b) –2,123

5. Rezultatul calculului: a) 2

43

83

21 −

⋅

−+ .

b) 2,25 : 0,3 – 0,(3) : 0,1(6). 6. Pe un teren agricol în formă de pătrat se plantează roşii. Ştiind că lungimea terenului este de

10 m şi că pe 1 m2 se plantează 4 fire de roşii, atunci pe întreaga suprafaţă se plantează _____ fire de roşii.

7. Un cub şi un paralelipiped dreptunghic sunt echivalente. Dacă dimensiunile paralelipipedului sunt: 4 m; 10 m; 25 m, atunci muchia cubului este ______m.

8. O bară metalică are forma unei prisme triunghiulare regulate cu lungimea laturii bazei de 10cm, şi înălţimea de 1 m. Ştiind că densitatea metalului este de 7600 kg/m3, atunci masa bazei este de ______kg.

9. Volumul unui tetraedru regulat cu muchia de 3cm este de ______cm3. Partea II

10. a) Să se rezolve sistemul:

=−

++

=−

−+

012

1

532

2

yxyx

yxyx .

b) Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că este adevărată egalitatea: a 2 - 3b + 2=2 2 b – a + 5.

11. Fie ABCD un tetraedru regulat şi G1, G2, G3 centrele de greutate ale triunghiurilor DBC, DAC şi respectiv DAB.

a. Pentru AB=4cm calculaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat. b. Demonstraţi că (G1G2G3)||(ABC). c. Calculaţi raportul dintre aria triunghiului G1G2G3 şi aria triunghiului ABC.

12. Lungimile laturilor triunghiului ABC sunt: AB=3(x - 1), AC=2x şi BC=2x+1, unde x *N∈ . a. Determinaţi x astfel încât triunghiul ABC să fie isoscel de bază [AC] şi apoi calculaţi

aria triunghiului. b. Determinaţi x astfel încât triunghiul să fie dreptunghic în A şi apoi îi calculaţi aria.

1



1. 3067;

35;

25− ;

2. 5;

3. 12011 ;

4. a) [5,26]=5; {5,26}= 0,26; b) [-2,123]=-3; {-2,123}= 0,877;

5. a) 61

− ; b) 5,5;

6. 400; 7. 10 m; 8. m ≈ 32,87 kg ( 319 );

9. 4

29 cm3.

Partea II

10. a) ( )

−=

32;

31; yx ; c) (a; b)=(-6; -3).

11. a) At= 316 cm2; V=3

216 cm3

b) Fie F, E, P mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC;

)//(ABC) GG(G //PFGG si //EPGG32

3213221321 ⇒⇒===

DFDG

DPDG

DEDG .

c) 91 .

12. a) ABC= isoscel de bază [AC] ⇒AB=BC x=4; A∆ ∆ ⇒ 654=∆ b) ∆ABC= dreptunghic în A; deducem conform teoremei lui Pitagora x=2; A . ∆ 6=∆

2


:: Test 25

Partea I 1. Dacă un elev are la un obiect notele 9; 10; 7; 8, atunci media rotunjită este ______. 2. Se amestecă 5 kg de bomboane cu 28 000 lei/kg cu 3 kg de bomboane cu 35000 lei/kg. Un kg

de bomboane amestec costă______kg. 3. Rezultatul calculului |-7| + |7| - |2 - 3| este______ . 4. Media geometrică a numerelor 2 şi 8 este______ . 5. Aria unei suprafeţe agricole este de 2,25 hectare. Suprafaţa are ______m2. 6. Măsura unui unghi este de 135o. Bisectoarea unghiului formează cu laturile lui unghiuri a

căror măsură este de ______ fiecare. 7. Complementul unui unghi are măsura egală cu 55o. Măsura unghiului este de ______grade. 8. Măsura unui unghi este de trei ori mai mare decât măsura altui unghi. Ştiind că acele două

unghiuri sunt suplementare, atunci măsura fiecărui unghi este de ______grade şi______grade.

9. Lungimea unui cerc cu R=4cm este de ______cm. Partea II

10. Fie funcţia ,: RRf → 12)( −= xxf . a. Reprezentaţi grafic funcţia. b. Aflaţi coordonatele punctelor M situate pe graficul funcţiei astfel încât f

41 −=+ yx . 11. Un trunchi de con circular drept are secţiunea axială trapezul isoscel ABCD, AB||CD, AB=8,

DC=20, BC=10. Se cere: a. Aria totală a trunchiului. b. Volumul trunchiului.

12. Raza unei sfere este de 5cm. Sfera se secţionează cu un plan astfel încât aria cercului de secţiune să fie egală cu π9 cm2. Se cere:

a. Aria şi volumul sferei. b. Aria celor două calote astfel formate. c. Aria şi volumul conului a cărui bază este cercul de secţiune şi vârful este centrul

sferei.

1



1. 9; 2. 30625 lei; 3. 13; 4. 4; 5. 22500 m2; 6. 67o30’; 7. 35o; 8. 45o şi 135o; 9. π8 cm.

Partea II

10. b) Din 41 −=+ yx deducem şi

==

116

yx

=

+=

3534

y

x, deci M (6; 11) şi M

++

35;

34

;

11. a. 256π ; b. 416π ;

12. a) A=100π cm2; V=3

500π cm3;

b) Înălţimea calotei mici este 1cm; Acalotei mici= 10π cm2 Înălţimea calotei mari este 9cm; Acalotei mari=90π cm2; c) At=24π cm2; V=12π cm3.

2


:: Test 26

Partea I 1. Rezultatul calculului: a)150 + 200 : 4 este______ .

b) 2

83:

41

21

− este______ .

2. Triunghiul ABC este dreptunghic în A şi AB=6cm, AC=8cm. a. Lungimea ipotenuzei BC este egală cu______cm. b. Aria triunghiului ABC este egală cu ______cm2.

3. Se dă ecuaţia: 3x + 4=10. Soluţia ecuaţiei este x=______ . 4. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei: x2 – 4x + 3=0 este: S={______}. 5. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei: 2x – 7 < - 1, x∈R, este S=______ .

6. Mulţimea soluţiilor sistemului de inecuaţii: R este S=______ . ∈

−≥−>+

xxx

x,

321743

7. Dacă într-un cilindru circular drept R=2cm şi aria laterală este 12π , atunci: a. Generatoarea cilindrului este egală cu ______cm3. b. Volumul cilindrului este egal cu ______cm3.

8. Raza unui cerc este de 2cm. a. Lungimea şi aria cercului sunt ______ . b. Dacă el este un cerc mare al unei sfere, atunci aria sferei este egală cu______cm2 şi

volumul sferei este ______cm3.

9. Dacă F ( )4

2522

2

−+−

=x

xxx , atunci:

a. F este definită pentru ( )x { }______−∈Rx . b. După simplificare F ( = ______ . )xc. F(1)=______ .

Partea II 10. Se dă funcţia ,: RRf → Rbabxaxf ∈−+−= ;,32)1()( .

a. Pentru a şi b reprezentaţi grafic funcţia. 0= 2=b. Determinaţi şi b astfel graficul funcţiei să conţină punctele A(1;0) şi B(-1;2). a f

c. Aflaţi cardinalul mulţimii M= [ )

−∈

+−∈ 3;1

31|* xZx .

11. Un sondaj a arăta că 10% din persoanele intervievate citesc romane, iar dintre acestea, 5%, adică 30000 persoane citesc numai romane S.F.. Câte persoane au fost intervievate?

12. a) Se dă un trunchi de con circular drept în care R=12cm, r=8cm şi h=3cm. Să se calculeze i. Aria laterală, totală şi volumul trunchiului;

ii. Volumul conului din care provine trunchiul; iii. Măsura unghiului sectorului de cerc obţinut prin desfăşurarea laterală a conului din

care provine trunchiul. b) O sferă cu volumul de 288π cm3 se secţionează cu un plan ce se află la distanţa de 2cm de

centrul sferei. Se cere: i. Aria secţiunii;

ii. Aria laterală a conului cu vârful în centrul sferei şi cu baza cercul de secţiune

1



1. a) 200; b) 361 ;

2. a) BC=10cm; b) 24cm2; 3. x=2; 4. S={3; 1}; 5. S= ; ( )3;∞−6. S=(1; 2]; 7. a) G=3cm; b) V=12π cm3;

8. a) L=4π cm; A=4π cm2; b) A=16π cm2; V=3

32π cm3;

9. a) x ; { }2\ ±∈ R

b) F ( )212

+−

=xxx ;

c) F(1)=31 .

Partea II

10. b) ;

==

⇒

=−=

⇔

∈−∈

20

2)1(0)1(

)2;1()0;1(

ba

ff

GBGA

f

f

c) [ ) { }4;3;2;1;1;2;3;4;5;6;733

113;13

1−−−−−−−∈⇔<

+−≤−⇔−∈

+− xxx , deci

card M=11 11. x persoane au fost intervievate.

60000003000010010

1005

=⇒=⋅⋅ xx persoane.

12. a) I. Al=100π cm2; At=308 π cm2; V=304 π cm3; II.hcon=9cm; Vcon=432 π cm3; III. uo=288o; b) I. Rsf=6cm; Aseţiunii=32π cm2; II. Alcon=24π 2 cm2;

2


:: Test 27

Partea I 1. Rezultatul calculului: a) ( )[ ]{ }5654232 −⋅−⋅+⋅ este______.

b) ( )22:12182332 −−⋅− este______ . 2. Efectuând calculele următoare se obţine:

a) 2x ⋅ 3x−( 2) + 12x5 : (-6x2)=______ . b) 2(x – 1)2 – (x + 2)(x - 2)=______ .

3. a) Un patrulater are ______diagonale. b) Un hexagon are______diagonale.

4. În figura alăturată ABCD este trapez, AB||CD. Dacă m( )=35ACD ˆ o şi m( ABD ˆ )=75o, atunci xo=______grade.

D

A

35o

75oxo

C B

5. Se consideră următorul şir de numere reale: .0;53;7;22;

94;21;;25,3;

34;3;5 −−−−− π

Dintre acestea: a) Iraţionale sunt______ . b) Raţionale sunt______ .

6. Aria unui triunghi dreptunghic şi isoscel este egală cu 18cm2. a) Lungimea catetei triunghiului este egală cu ______cm. b) Lungimea ipotenuzei triunghiului este egală cu______cm.

7. a) Soluţia ecuaţiei: 8 x - |2⋅15 45 – 330| + (310)3=0 este x=______ . b) Soluţia ecuaţiei: 82x=16x+1 este x=______ .

8. a) Aria unei sfere este de 36π cm2. Volumul sferei este ______cm3. b) Aria unui cerc este de 36π cm2. Lungimea cercului este.______cm.

9. a) Volumul unui con circular drept cu R=6cm şi G=10cm este ______cm3. b) Aria laterală a unui con circular drept cu h=12cm şi G=13cm este ______cm2.

Partea II 10. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi sistemul:

( )( )

≤+−≤−

0232312

xxx

11. Într-un con circular drept raza, înălţimea şi generatoarea sunt direct proporţionale cu numerele 5; 12 şi respectiv 13. Ştiind că suma lor este egală cu 30, calculaţi:

a) Aria totală şi volumul conului. b) Sinusul unghiului opus bazei secţiunii axiale a conului.

12. Se dă ecuaţia: xx

xxx

xx

312

422

21

2

+=

−−

−−− .

a) Stabiliţi domeniul de definiţie al ecuaţiei. b) Rezolvaţi ecuaţia.

1



1. a) 2; b) 63 ; 2. a) –8x3; b) x2 – 4x + 6; 3. a) 2; b) 9; 4. 110o;

5. a) 53;22;21;;3 −−π− .

b) .0;7;94;25,3;

34;5 −−

6. a) 6cm; b) 6 2 cm; 7. a) -1; b) 2; 8. a) 36π ; b) 12π ; 9. a) 96π ; b) 65π ;

Partea II

10. S={-1; 0; 1}. 11. a) At=90π cm2; V=100π cm3;

b) ∆AVB este secţiunea axială a conului; sin m( )=BVA ˆ169120 .

12. a) ; { }2;0−∈ Rx

b) S=

−2;

21 .

2


:: Test 28

Partea I 1. Rezultatul calculului: a) )3(6223 −⋅−− este______.

b) 75271898

+− este______.

2. a) Cele mai apropiate numere naturale între care se găseşte numărul 2,4(6) sunt______.

b) Numerele întregi nenule situate între numerele – 2,3(6) şi 412 sunt______.

3. a) Rotunjind la cel mai apropiat întreg numărul x=5,8(3) obţinem______.

b) Rotunjind la prima zecimală numărul x=3-1 + ( ) 13

− obţinem______.

4. Fie mulţimea A=

−− 5,3;

824;0;16);3(,1;2 .

a. Ordinea crescătoare a elementelor mulţimii A este______. b. A Z={______}; I

c. A (R-Q)={______}. I5. a) Perimetrul suprafeţei din figura alăturată este______.

b) Aria suprafeţei din figura alăturată este______.

6. a) Aria totală a corpului din figura alăturată este______. b) Volumul corpului din figura alăturată este______.

4 3 3 4

3

3 4

7. a) Aria laterală a unui tetraedru regulat cu muchia de 2 cm este ______cm2. b) Volumul unui tetraedru regulat cu muchia de 2 cm este ______cm3.

8. Dacă 2 este soluţia ecuaţiei x2 – 3ax + 4a=0, atunci a=______cm. 9. Se dă funcţia axxfRRf +=→ 2)(,:

=. Dacă A(3; 5) aparţine reprezentării grafice a

funcţiei , atunci a ______ . f Partea II

10. Fie expresia E ( )43961

3122

312

2

22

−++−

⋅

+

−+

⋅−

−+

=xxxx

xx

xxx .

a. Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care expresia E( x ) are definită valoarea.

b. Arătaţi că forma cea mai simplă a expresiei este E ( )14

−+

=xxx .

c. Aproximaţi o eroare mai mica decât 0,1 numărul E( 2 ) prin lipsă şi prin adaos. d. Aflaţi pentru care E(Zx∈ x ) 0≤ .

1


:: Test 28

11. Fie funcţia RbabaxxfRRf ∈+=→ ,,)(,: al cărui grafic trece prin punctele A(0; -3) si B(3; 0).

a. Reprezentaţi grafic funcţia . fb. Aflaţi aria şi perimetrul triunghiului OAB, unde O este originea sistemului de axe. c. Pentru a si b , să se determine 1= 3−= Rc∈ astfel încât [ ] )(3)(2 2 cfcf −=⋅

12. În figura alăturată ABCD este un trapez isoscel circumscris unui cerc. Se ştie că AB=18cm, CD=8cm, iar M, N, P, Q sunt punctele de tangenţa ale laturilor trapezului cu cercul. Se cere:

a. Aria şi perimetrul trapezului ABCD şi lungimea segmentului NQ. b. Aria şi lungimea cercului înscris în trapezul ABCD. c. Rotind figura în jurul dreptei PM se obţine o sferă înscrisă într-un trunchi de con. Să

se afle aria şi volumul sferei precum şi volumul trunchiului de con. d. Aflaţi aria laterală şi volumul conului din care provine trunchiul de con de la

punctul c).

P

Q N

O

M

D C

BA

2



1. a) 23 ; b) 66 ;

2. a) 2 si 3; b) –2; -1; 1; 2; 3. a) 6; b) 0,9;

4. a) ;824;2);3(,1;0;5,3;16 −− b)

−

824;0;16 ; c) { }2

5. a) 2

)8( +3 π ; b)4

)83(3 +π ;

6. a) π76 ; b) 3

320π ;

7. a) Al= 233 cm2; b) V =0,(3)cm3;

8. a=2; 9. a=-1;

Partea II

10. a) ; { }4;1;3\ −∈ Rxc) 13,0 prin lipsă şi 13,1 prin adaos; d) { }0;1;2;3 −−−∈x

11. b) A ∆ OAB = 29 u2; P ∆ OAB = ( )236 + u;

c)

∈

23;4c ;

12. a) MB=9cm; PC=4cm; BC=MB + PC=13cm; MP=12cm; AABCD=156cm2; PABCD=52cm;

QN=13

144 cm;

b) Acerc= π36 cm2; Pcerc= π12 cm. c) Asferei=144π cm2; Vsferei=288π cm3; Vtrunchiului=532π cm3; d) Vcon=583,2π cm3; Alcon=210,6π cm2.

3


:: Test 29

Partea I

1. Rezultatul calculului: a)1

67

154:

52

31 −

⋅

−

este______.

b) 0,3 : 0,03 – 0,(3) este______. 2. ABCD este un pătrat, iar ABE un triunghi echilateral, E fiind situat în exteriorul pătratului

ABCD. a. Dacă AB=4cm, atunci aria suprafeţei poligonale AEBCD este egală cu ______cm2. b. Măsura unghiului EDC=______grade.

3. Un tetraedru regulat are muchia egală cu 4cm. a. Aria totală a tetraedrului regulat este egală cu ______cm2. b. Volumul tetraedrului regulat este egal cu ______cm3.

4. a) Volumul unui cub cu diagonala de 3 3 cm este ______cm3. b) Aria totală a unui cilindru circular drept cu R=3cm şi G=4cm este ______cm2.

5. Dacă E ( ) { 1,11

12

±−∈+−

−−

= Rxxx

xx }, atunci: a) E(0)=______ .

b) E( 2 )=______ . 6. Fie f .a) 32)(,: −=→ xxfRR ( ) =2f ______ .

b) Ştiind că ( ) 1−=nf , atunci =n ______ .

7. a) După simplificare raportul { }2,44

62

2

−∈+−−+ Rxxxxx este______.

b) Minimul expresiei a2 – 6a + 10, a R∈ , este _______ şi este realizat pentru a=_______. 8. Suma a trei numere este egală cu 45 şi ele sunt direct proporţionale cu 2;3 şi 4.

a. Cele trei numere sunt______ . b. ______% din numărul mai mare este numărul mai mic?

9. Fie numerele naturale de forma yx35 divizibile cu 10 şi yx ≠ . a. Suma dintre cel mai mare număr şi cel mai mic număr de această formă este______ b. Diferenţa dintre cel mai mare număr şi cel mai mic număr de aceasta formă

este______ . Partea II

10. O bancă acordă o dobândă de 28% annual. La sfârşitul anului un depunător primeşte dobânda de 280000 lei. Ce sumă a avut depunătorul? Ce sumă are la bancă depunătorul după un an? Dar după doi ani?

11. Se dă expresia: E ( ) 1)32)(12( 22 +−−−−= xxxxx a. Arătaţi că E(a) este pătrat perfect, oricare ar fi a R∈ . b. Rezolvaţi în R ecuaţia E =0. ( )x

12. Un con circular drept se desfăşoară pe un plan după un sector de disc cu unghiul de 180o. Se ştie că aria laterală a conului este de 54π cm2. Se cere:

a. Volumul conului. b. Măsura unghiului format de generatoare cu planul bazei. c. Conul se secţionează cu un plan paralel cu baza la 1/3 faţă de vârf. Să se afle aria

secţiunii şi aria totală a trunchiului de con astfel format.

1



1. a) -1; b) 329 ;

2. a) )34( +4 cm2; b) 75o;

3. a) 316 cm2; b)3

216 cm3;

4. a) 27cm3; b) 42π cm2; 5. a)-1; b) 241+− ; 6. a) 1; b) n=1;

7. a)23

−+xx ; b) minimul expresiei este 1 şi este realizat pentru a=3;

8. a) 10; 15; 20; b) 50%; 9. a) 11060; b) 800;

Partea II 10. 1000000 lei; 1280000 lei; 1638400 lei. 11. a) E(a)=(a2 - 2a - 2)2; b) S={ }31± . 12. a) 81π ; b) 60o; c) 3π cm2; 78π cm2.

2


:: Test 30

Partea I 1. a) Dacă x = 3 şi a + b – c = 13, atunci ⋅x a + ⋅x b - ⋅x c=______ .

b) Rezultatul calculului: 525769952576 ⋅+⋅ este egal cu______ . 2. Dacă 5 kg de banane şi 7 kg de portocale costă 369000 lei, iar 2 kg de banane şi 5 kg de

portocale costă 218000 lei, atunci 1 kg de banane costă______lei, iar 1 kg de portocale costă ______lei.

3. a) Media aritmetică a 5 numere este 372,25. Suma lor este______ . b) Media geometrică a numerelor 2,(3) şi 1,1(6) este ______ . 4. a) 0,3cm=______dm=______mm. b) 0,120 m3=______dm3=______l=______hl. 5. Un vas în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu: 50cm, 0,4dm

şi 300mm. Capacitatea vasului este de ______l.

6. Dacă şi [ ]4;2−∈x [ bax ;3

12∈

+ ] , atunci a=______şi b=______ .

7. Triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul MNP. Dacă MN=5cm, NP=7cm, MP=8cm, iar latura cea mai scurtă a triunghiului ABC este de 3cm atunci:

a. Perimetrul triunghiului ABC este egal cu ______cm. b. Raportul ariilor celor două triunghiuri este______.

8. a) Mijloacele laturilor unui patrulater convex sunt vârfurile unui______. b) Minimul expresiei a2 – 8a + 20, a R∈ , este ______ şi este realizat pentru a=______. 9. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Dacă M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor [AB],

[AD], [DC] şi respectiv [BC] atunci: a. MNPQ este______. b. Perimetrul patrulaterului MNPQ este egal cu ______cm, dacă BD=8cm, iar AC=6cm.

Partea II

10. Vârsta fiului este de 3 ori mai mică decât vârsta tatălui. Dacă fiul ar avea cu 7 ani mai mulţi decât are, atunci vârsta lui ar fi egală cu jumătate din vârsta tatălui. Câţi ani are tatăl şi câţi ani are fiul?

11. Se consideră expresiile: şi . Se cere: 1222)( 234 +−+−= xxxxxf 32)( 2 −+= xxxga. Să se calculeze ;’ )1(fb. Să se descompună în factori şi ; )(xf )(xg

c. Să se simplifice raportul { }3;1,)()(

−−∈ Raagaf .

12. Fie ABCD un pătrat cu AB=6cm. Pe planul pătratului în punctul O ({O}=AC∩BD) se ridică perpendiculara OV astfel încât OV=3 6 cm. Se cere:

a. Distanţa de la punctul V la dreapta BC. b. Măsura unghiului format de dreapta VA cu planul (ABC). c. Volumul piramidei cu vârful în V şi bază pătratul ABCD. d. Fie M un punct pe [VA] astfel încât perimetrul triunghiului BMD să fie minim. Aflaţi

acest perimetru.

1



1. a) 39; b) 2576000; 2. a) 29000 lei; 32000 lei;

3. a) 1861,25; b)6

27 ;

4. a) 0,3cm=0,03 dm=3 mm; b) 0,120 m3=120 dm3=120 l=1,2 hl; 5. V=6 dm3=6 l;

6. ;3;133

12142]4;2[ =−=⇒≤+

≤−⇔≤≤−⇔−∈ baxxx ;

7. a) 12; b)259

=∆

∆

MNP

ABC

AA

;

8. a) paralelogram; b) 4 pentru a=4; 9. a) MNPQ este paralelogram; b)PMNPQ=14cm;

Partea II

10. x ani are fiul, ani are tatăl. y

==

⇔

⋅=+

⋅=

). tatãlare ani(42)fiul are ani(14

217

31

yx

yx

yx

11. a) ; 0)1( =fb) ; )1()1()( 22 +−= xxxf )3)(1()( +−= xxxg ;

c)3

)1)(1()()( 2

++−

=aaa

agaf ;

12. a)

;),((ABC)BCOE;

)[BC] lui mijlocul E()(

VEBCVdBCVEBCOEABCVO

=⇒⊥⇒

⊂=⊥⊥

∆=∆VOE dreptunghic în O 73=VE⇒ cm. b) m∠ (VA, (ABC))=m∠ (VA, AO)=m∠ (VAO)=60o;

c) VVABCD= VOAABCD ⋅⋅31 ; VVABCD= 636 cm3;

d) MB=minim ⇒

∆ minim = P MD = MB

cm 6 =constant = DBDB + MD + MB = P

BMD

⇒⊥⇒ VABM BM este înălţime corespunzătoare

laturii VA în VAB; MB=MD =∆2143 ; P =BMD∆ )27(232614 +=+3 (cm).

2


:: Test 31 Partea I

1. Rezultatul calculului: a) 150 + 120,4 : 4 este ______ .

b) ( ) ( )200020002323 +⋅− este______ .

2. Dacă în triunghiul ABC avem AB=6cm şi înălţimea corespunzătoare laturii AB egală cu 5cm, atunci aria triunghiului este egală cu ______cm2.

3. Dacă 42

132 <−

≤−x şi , atunci Zx∈ { }......∈x , iar dacă Rx∈ , atunci ∈x ______ .

4. Dacă F ( )1

5322

2

−+−

=x

xxx , atunci: a) F(2)=______ .

b) F(- 2 )=______ . 5. Se dă ABC în care m( ) =90∆ A o, AD⊥BC, D∈(BC), BD=2cm şi DC=8cm. Lungimea

înălţimii AD este egală ______ . 6. Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu 6; 10; 14. Aria triunghiului este egală

cu ______ cm2. 7. Într-un cerc cu raza de 4cm se înscriu un triunghi echilateral şi un pătrat.

a. Valoarea raportului dintre perimetrele triunghiului şi a pătratului înscrise în cerc este______.

b. Valoarea raportului dintre ariile triunghiului şi a pătratului înscrise în cerc este______ 8. Măsura unghiului unui sector de disc circular este de 120o, iar raza discului este de 3cm.

a. Aria sectorului de disc este egală cu ______ b. Lungimea coardei care subântinde arcul de 120o este egală cu______

9. ABCD este trapez dreptunghic, m( )=m( )=90A D o, AB||CD, AB=8cm, CD=2cm, AD=8cm, AD∩BC={E}.

a. Aria trapezului este egală cu ______cm2. b. Aria triunghiului EAB este egală cu ______cm2.

Partea II

10. Un elev cumpără 5 caiete de acelaşi fel şi 7 cărţi de acelaşi fel plătind astfel, în total, 611000lei. Dacă preţul unui caiet s-ar mări cu 20%, iar preţul unei cărţi s-ar reduce cu 20%, atunci preţul unui caiet ar fi un sfert din preţul unei cărţi. Aflaţi cât costă un caiet şi cât costă o carte ?

11. Fie funcţia . 1)(,: −=→ xxfRRfa. Reprezentaţi grafic funcţia; b. Determinaţi distanţa de la originea axelor de coordonate la dreapta grafic a funcţiei; c. Determinaţi coordonatele punctlui M ce aparţine graficului funcţiei astfel încât

dublul abscisei punctului să fie egal cu triplul ordonatei punctului. f

d. Rezolvaţi în R [ ] . 3)( 2 +−= xxf12. Într-un con circular drept R=4cm şi G=5cm. Se cere:

a. Aria laterală, totală şi volumul conului; b. Tangenta unghiului format de generatoare cu planul bazei; c. Măsura unghiului sectorului de disc obţinut prin desfăşurarea laterală a conului. d. Volumul trunchiului de con obţinut prin secţionarea conului dat cu un plan paralel cu

baza la 2/3 faţă de vârf. e. Raza cilindrului echivalent cu conul dat şi a cărui secţiune axială este un pătrat

1



1. a) 180,1; b) 1; 2. 15; 3. a) x ; b) ; { }2;1;0;1−∈ )3;1[−∈x

4. a)37 ; b) 3(3 + 2 );

5. AD=4; 6. A= 315 ;

7. a)8

63 ; b)8

33 ;

8. a) 3π cm2; b) 33 cm;

9. a) 40cm2; b)3

128 cm2;

Partea II

10. x lei costă un caiet, lei costă o carte. y

==

⇔

⋅=⋅

=+

).carti unei pretul lei(78000)caiet unui pretul lei(13000

10080

41

100120

61100075

yx

yx

yx

11. b) 22 ;

c) M (3; 2); d) S={-1; 2};

12. a) h=3; Al=20π cm2; At=36π cm2; V=16π cm3;

b) tg∠ (VBO)=43 ;

c) 288o;

d) 27

304π cm3;

e) R=2cm.

2


:: Test 32 Partea I

1. Dacă P(x)=x2 – 3x + 4, atunci: a) P(0)=______ . b) P(0,3)=______ .

2. a) Efectuând: 2x – (3x + 4) – 2 se obţine______ . b) (x - 3)(x + 2) – 2x(x - 1)=______ .

3. Factorizaţi: a) x3 – 2x2 + x b) x2 + 2x – 8.

4. a) Raportul 1

3−x

nu are definită valoarea pentru =x ______ .

b) Raportul 132

+−

xx nu are definită valoarea pentru =x ______ .

c) Raportul 2

32 −+

+xx

x nu are definită valoarea pentru { }_______∈x .

5. a) Dacă Zx∈

7 şi Zx∈ , atunci { }_______∈x .

b) Dacă Zxx

∈+−

12 şi , atunci Zx∈ { }_______∈x .

6. a) Efectuând 21,

123

12−≠

+−

−++ x

xx

xx1 , se obţine______ .

b) Efectuând 1,12

1±≠

−−

−+

xxx

xx , se obţine______ .

7. a) Simplificând raportul: }2{,44

42

2

−∈+−

− Rxxx

x , se obţine______ .

b) Simplificând raportul: 9665

2

2

+−+−xxxx , se obţine______ .

8. Se dă E . Aflaţi ( ) nxnxxx nn 312 ++−= ++ *Nn∈ astfel încât E(1)=6. 2 2

9. Dacă F ( )11

2 +−

=xxx şi G ( )

3312

2 ++−

=xxxx atunci F ( )x : G ( )x =______ .

Partea II

10. Se dau expresiile: E1 ( )1

11

1+

−−

=xx

x şi E2 ( ) 212

11

11

xxxx

−−

++

−= .

( )a. Aflaţi valorile reale ale lui x pentru care este definită expresia E1 x , respectiv, E2 ( )x .

b. Arătaţi că forma cea mai simplă a expresiei E1 ( )x este E1 ( )x1

22 −

=x

, iar a expresiei E2 ( )x

este E2 ( )x1

2−

=x

.

c. Calculaţi E1 ( )12 + şi E2 ( )12 +( )x

. d. Calculaţi E =E( )x 1 ( )x : E2 .

11. Se dau punctele: A(-2; 0), B(2; 3) şi C(1; -4). a. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale cele trei puncte; b. Aflaţi lungimile segmentelor AB, BC, AC. Unde A, B, C sunt punctele date iniţial; c. Determinaţi funcţia liniară a cărei reprezentare grafică conţine punctele A(-2; 0) şi

B(2; 3), precum şi funcţia liniară f

g a cărei reprezentare grafică trece prin punctul C(1; -4) şi este paralelă cu axa absciselor;

1


:: Test 32

d. Aflaţi aria cercului circumscris triunghiului ABC, unde A, B şi C sunt punctele date iniţial.

12. Se dă expresia: E ( )xx

xxxx

xxx

xx2222

22

2

232 ++

−−++

−−

= .

a. Aflaţi valorile reale ale lui x pentru care E( x ) are definită valoarea;

b. Arătaţi că E( x ) poate fi adusă la forma )1(2 −x

x ;

c. Aflaţi a Z∈ astfel încât E(a) Z∈ ; d. Rezolvaţi în R E , unde E(( ) 1−= xx x ) este expresia dată; e. Aflaţi x real pentru care E ( ) 0≤x , unde E( x ) este expresia dată.

2



1. a) 4; b) 3,19; 2. a) –x – 6; b) –x2 + x – 6; 3. a) x(x2 – 2x + 1)=x(x – 1)2; b) x2 + 2x – 8=(x - 2)(x + 4); 4. a) x=1; b) x=-1; c) x ∈ ; { }2;1 −5. a) x ; b) ; { }7;1 ±±∈ { }4;2;2;0 −−∈x

6. a) 122

+−xx2 ; b)

12

2 −x;

7. a)22

−+xx ; b)

32

−−xx ;

8. n=2;

9. 1

)1(3−+

xx ;

Partea II

10. a) ; { } { 1;1 ±−∈±−∈ RxRx }c) E1 ( )12 + = 12 − ; E2 ( )12 + = 2

d) E ( )1

1+

=x

x

11. b) AB=5; AC=5; BC=5 2 ;

c) 4)(,:;23

43)(,: −=→+=→ xgRRgxxfRRf ;

d) ABC este triunghi dreptunghic în A, deci raza cercului circumscris triunghiului

este R =

∆

21 BC=

225 ; Acerc= 2

25π .

12. a) ; { }1;1;2;0 −−−∈ Rx b) Se fac calcule;

c) E ( ) }1;1;2;0{,)1(2

−−−∈−

= Raaaa ; Din E ( ) Za ∈ şi Za∈ , deducem . { }2∈a

d) ( )

=⇒

−=

−−−∈−

=21;2

1)(

}1;1;2;0{,)1(2 S

xxE

RxxxxE ;

e) )1;0(0)1(20)(

}1;1;2;0{,)1(2

)(∈⇔≤

−⇒

≤

−−−∈−

= xxx

xE

RxxxxE .

3


:: Test 33 Partea I

1. În figura alăturată sunt reprezentate pe axa numerelor punctele A(3) şi B(5). a. 3AO – 2 AB=______ .

b. =+2OBOA ______ .

A(3) 0 B(5)

2. Unghiurile AOB şi COB sunt adiacente. Dacă m( ) - m( )=40BOA ˆ BOC ˆ o, şi

m( ) + m(C )=110BOA ˆ

BOA ˆBO o , atunci:

m( )=______ şi m(C ) =______ . BO30o

A

D B

? ?

C

3. În figura alăturată triunghiul ABC este isoscel,

AB=AC, iar unghiul ABD este unghi exterior triunghiului ABC. Dacă m( )=30CAB ˆ o, atunci:

a. m( )=______grade. BCA ˆ

b. m( DBA ˆ )=______grade.

D C

BA

120 4. În figura alăturată AB||CD şi AD||BC.

a. m( )=______grade. BCD ˆ

b. m(C )=______grade. AB

5. În figura alăturată triunghiul ABC este oarecare, E∈(AB), F∈(AC) astfel încât AE=6cm, BC=28cm, FC=12cm, AC=21cm şi EF||BC.

a. AF=______cm; ABAE =______;

b. Perimetrul triunghiului ABC este egal cu ______.cm, iar perimetrul patrulaterului EBCF este egal cu ______cm.

F E

CB

A

6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB=6cm, AC=8cm, AD BC, D∈(BC). ⊥

a. BC=______cm; AD=______cm; b. Aria triunghiului ABC=______cm2, iar perimetrul triunghiului ABC este egal

cu ______cm. 7. Triunghiul ABC este triunghi isoscel de bază [BC]. Ştiind că m( )=45CAB ˆ o şi AB=4cm,

atunci : a. Aria triunghiului ABC este egală cu ______cm2. b. Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii AC este egală cu ______cm.

8. Măsurile unghiurilor unui patrulater convex sunt direct proporţionale cu numerele 3; 4; 5; 6. Măsurile unghiurilor patrulaterului sunt egale cu ______ .

9. Paralelogramele ABCD, de centru O, şi ABMN, de centru O’, sunt situate în acelaşi plan. a. Patrulaterul DCMN este______ . b. OO’=______ .

1


:: Test 33 Partea II

10. Paralelogramele ABCD şi ABMN sunt situate în plane diferite astfel încât m(C )=60MB o. Se cere:

a. Arătaţi că DCMN este paralelogram b. Aflaţi m∠ (AD; BM). c. Determinaţi poziţia dreptei OO’ faţă de planul (DCM), unde O şi O’ sunt centrele de

simetrie a paralelogramului ABCD, respectiv ABMN.

11. Se dau funcţiile: RRf →: , 62)( += xxf şi RRg →: , 121)( +−= xxg . Ştiind că graficul

funcţiei intersectează axa Ox în A şi Oy în B, iar graficul funcţiei f g intersectează axa Ox în C şi Oy în D, se cere:

a. Reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate cele două funcţii; b. Arătaţi că AB CD şi ⊥ BCAD ⊥ ; c. Aflaţi măsura unghiului format de AB şi BC;

12. Se dă o piramidă patrulateră regulată VABCD cu latura bazei AB=6cm şi înălţimea VO=4cm. Se cere: a. Aria totală şi volumul piramidei;

b.Arătaţi că VA BD; ⊥

2



1. a) OA=3; OB=5; AB=2; 3AO – 2AB=5; b) 4; 2. m( )=75BOA ˆ o şi m(C )=35BO o; 3. a) m( )=75BCA ˆ o; b) m( DBA ˆ )=105o; 4. a) 60o; b) 120o;

5. a) AF=9cm; ABAE =

73

146= ; b) P =63cm; PABC∆ EBCF=60cm.

6. a) BC=10cm; AD=4,8cm; b) =24cmABCA∆2, P ABC∆ =24cm.

7. a) A =4ABC∆ 2 cm2; b) hAC= 2 cm. 28. 60o; 80o; 100o; 120o;

9. a) DCMN este paralelogram; b) OO’=21 CM.

Partea II

10. a) DCMN=paralelogram; ⇒

=⇒==⇒

NMDC NM AB si AB DCDC//NM AB//NM si DC//AB

b) m∠ (AD; BM)=m∠ (BC; BM)=m( )=60MBC ˆ o; c) [OO’] este linie mijlocie în CAM, deci OO’||CM şi cum CM (DCM),

deducem că OO’||(DCM); ∆ ⊂

11. b) Se ştie că dacă RRgf →:; , nmxxf +=)( şi qpxxg +=)( , şi pm ⋅ = -1, atunci . gf GG ⊥

Deci 1212 −=

−⋅ , deducem că CD⊥AB, unde CD este reprezentarea grafică a funcţiei g ,

iar AB este reprezentarea grafică a funcţiei . fÎn triunghiul ABC avem CD⊥AB şi BO⊥AC, deci D este ortocentrul triunghiului ABC (O este originea axelor de coordonate). Deducem că AD este înălţime deci AD⊥BC.

c) )ˆ(sin21

21 CBAmBCABBOACA ABC ⋅⋅⋅=⋅⋅=∆ ; AC=5; BO=6; AB= 53 ; BC= 102 .

Deducem, prin înlocuire, sin oCBAmCBAm 45)ˆ(22)ˆ( =⇒= .

12. a) V=48cm3; At=96cm2; b) În triunghiul VAC ducem OP||VA, P∈(CV); Din DPCBPC ∆≡∆ (LUL) deducem

, deci [ ] [DPBP ≡ ] PDB∆ este isoscel de bază [DB], deducem PO⊥BD,dar PO||VA, deducem VA BD. ⊥

3


:: Test 34 Partea I

1. Un elev cheltuieşte jumătate din alocaţia sa şi încă 16000 lei. Ştiind că alocaţia sa este de 120000 lei, atunci lui îi rămân ______lei.

2. Se dă ecuaţia: 3x + 4y=30. Aflaţi toate perechile de numere naturale (x; y) care sunt soluţii ale ecuaţiei date______.

3. Perimetrul unui dreptunghi este egal cu 168cm. Dacă lungimea dreptunghiului este dublul lăţimii atunci:

a. Lungimea dreptunghiului este ______cm, iar lăţimea este ______cm;

B(1;0)

A(0;2)

0

b. Aria dreptunghiului este egală cu ______cm2. 4. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei:

a. 4x2 – 100=0 este S={______} b. 5x2 + 15x – 50=0 este S={______}

5. În figura alăturată este reprezentat graficul funcţiei liniare , . RRf →: _____)( =xf

6. Ecuaţiile 2x – 1=5 şi ax + a – 1=3, a≠ 0, sunt echivalente. Valoarea lui a este egală cu _____ . 7. Cercul mare al unei sfere are aria egală cu π9 cm2. Volumul sferei este egal cu ______cm3. 8. Într-o prismă triunghiulară regulată diagonala unei feţe este egală cu 5cm, iar înălţimea

prismei este egală cu 4cm. a. Volumul prismei este egal cu ______cm3; b. Aria laterală a prismei este egală cu ______cm2;

9. 53 dintr-o lucrare costă 24000000 lei. Întreaga lucrare costă______lei.

Partea II

10. Într-un romb suma diagonalelor este egală cu 9cm, iar aria rombului este egală cu 9cm2. Să se calculeze perimetrul rombului.

11. Secţiunea axială a unui trunchi de con este un trapez isoscel în care baza mică este 2/3 din baza mare, înăţimea este cu 6cm mai mică decăt baza mare, iar aria trapezului este egală cu 60cm2. Se cere:

a. Notând cu R raza bazei mari a trunchiului de con, arătaţi că: R2–3R–18=0; b. Calculaţi razele bazelor trunghiului de con şi înălţimea sa; c. Pentru R=6cm, r=4cm şi h=6cm aflaţi volumul trunchiului de con; d. Aflaţi tangenta unghiului format de generatoarea trunchiului şi înălţimea acestuia.

12. Se dau funcţiile ,:; RRgf → 3)( += axxf şi nmxxg +=)( , Rnma ∈,, .a. Determinaţi ştiind că graficele celor două funcţii sunt concurente în punctul

M(3; 6), iar graficul funcţiei nma ,,

g conţine originea axelor. b. Pentru a şi , reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate cele

două funcţii şi apoi aflaţi aria triunghiului determinat de graficul celor două funcţii şi axa absciselor.

2,1 == m 0=n

1



1. 44000 lei; 2. (x; y) ∈ {(2; 6); (6; 3); (10; 0)}; 3. a) L=56cm; l=28cm; b) A=1568cm2; 4. a) S={ }; b) S={- 5; 2}; 5±5. ; 22)( +−= xxf6. a=1; 7. 36π cm3; 8. a) 39 cm3; b) 36cm2; 9. 40000000 lei;

Partea II

10.

==

==

⇔

=⋅=+

⇔

=⋅

=+

cmdcmd

saucmdcmd

dddd

dddd

63

36

189

92

9

2

1

2

1

21

2121

21; Prombului= 56 cm.

11. a) r =32 R, h=2R – 6; 60

2)(2

=+ hrR ; deducem prin înlocuire relaţia cerută;

b) Din R2 – 3R – 18=0 obţinem R=6cm, apoi r=4cm şi h=6cm; c) V=152π cm3.

d) tg m (G; h)=∠31 .

12. a) , M(3; 6)RRf →: , 3)( += axxf 6)3( =⇒∈ fG f . Deducem 3a +3=6, adica a=1, deci 3)( += xxf . nmxxgRRg +=→ )(,: , M(3; 6) 6)3( =⇒ gGg∈ . Deducem 3m + n=6; O(0; 0) 0)0( =⇔ fGg∈ , deci n=0, iar m=2, adică funcţia xxg 2)( =

b) Triunghiul determinat de graficele celor două funcţii şi axa absciselor este MOA, unde . A

∆{ } OxGA f I= ∆MOA=9 u2.

2


:: Test 35 Partea I

1. Rezultatul calculului: a) 1502332 −⋅ este______ .

b) ( ) ( )( ) este______ . 1313132

+−−−

2. Dacă 9b

ax= şi 363+=a si 3242 ⋅=b , atunci =x ______ .

3. În triunghiul dreptunghic ABC, m( )=90A o, m( B )=60o.

tg m( B ) + tg m(C ) - ˆ =⋅ )ˆ(sin)ˆ(sin1

CmBm______ .

4. Dacă pentru funcţia RRf →: , baxxf +=)( avem 2)1( =f şi , 1)0( =fatunci a=______ şi b=______ . 5. Descompunerea în factori a numărului: a) x3 – 8 este______ .

b) x2 – 4 este______ . 6. a) Dintre numerele a=322 şi b=233, mai mare este______ . b) Dintre numerele a=2384 şi b=3256, mai mare este______ . 7. a) Scrierea în baza 2 a numărului 15(10) este______ .

b) Numărul 10101(2) scris în baza 10 este egal cu ______ . 8. În triunghiul ABC, m( )=70CAB ˆ o, iar AD este bisectoarea unghiului A, D∈(BC) şi m( BDA ˆ )=100o.

a. m( )=______grade. DCA ˆ

b. m( DBA ˆ )=______grade. 9. În triunghiul ABC, m( )=90A o, m( )=30C o, iar D este mijlocul ipotenuzei [BC]. Perimetrul triunghiului ADC este egal cu ______cm, ştiind că BC=6cm.

Partea II

10. În prezent tatăl are 42 ani, iar fiul 15 ani. Peste căţi ani vârsta tatălui este dublul vârstei fiului?

11. Se dă ecuaţia: x2 + 8(m+1)x + 16m2 + 5m – 3=0, x∈R, m este parametru real. a. Pentru m=0, rezolvaţi ecuaţia şi aproximaţi cu o eroare de cel mult 0.01 soluţiile

ecuaţiei b. Pentru ce valori ale lui m ecuaţia dată are o singură soluţie? c. Pentru ce valori ale lui m ecuaţia nu are soluţii?

12. Într-un cilindru circular drept R=4cm şi G=6cm. Se cere: a. Aria laterală, totală şi volumul cilindrului b. Distanţa de la punctul O’ (centrul bazei superioare a cilindrului) la coarda care

subîntinde un arc de 120o. Fie [CD] această coardă, C şi D aparţin cercului bazei inferioare a cilindrului

c. Volumul conului care are aceeaşi bază cu cilindrul dat şi varful O’ (centrul bazei superioare a cilindrului).

1



1. a) 6 ; b) )31(2 − . 2. x=2; 3. 0; 4. a=1; b=1; 5. a) (x - 2)(x2 + 2x + 4); b) (x -2)(x +2); 6. a) a=322; b) b=3256; 7. a) 1111(2); b) 21(10); 8. a) 65o; b) 45o; 9. 3(2 + 3 )cm.

Partea II

10. 12 ani; 11. a) x1 = - 4 - 19 ; x1 -8,36 prin lipsă; x≈ 1 ≈ -8,35 prin adaos;

x2 = - 4 + 19 ; x2≈ 0,35 prin lipsă; x2≈ 0,36 prin adaos;

b) m=2719

− ;

c) m )2719;( −−∞∈ ;

12) a) Al= π48 cm2; At=80π cm2; V=96π cm3; b) Coarda care subîntinde un arc de 120o este latură a triunghiului echilateral înscris în cerc.

Lungimea ei este egală cu 34 cm; d(O’; CD)= 102 cm; c) Vcon=32π cm3.

2


:: Test 36 Partea I

1. Se dau numerele: a= si b= - 5- (-4)(-3) ⋅ (-3)2 -8 ⋅ a. a – b=______ . b. ba ⋅ =______ .

2. Se dă expresia: 112 2 +−−+−+ xxxx a. Valoarea expresiei pentru x =2 este egală cu ______ . b. Valoarea expresiei pentru x =-1 este egală cu ______ .

3. Calculând: a) ( ) ( )9411174337 9:232 +−

se obţine______ .

b) '309015032120

31 ooo −⋅+⋅ se obţine______ .

4. În triunghiul ABC avem [AD bisectoarea unghiului , DCAB ˆ ∈(BC), [DE bisectoarea unghiului , iar m( )= . Dacă m( )=60CDA ˆ CAB ˆ )ˆ(2 CBAm⋅ BCA ˆ o, atunci:

a. m( )=______grade. CAB ˆ

b. m( EDA ˆ )=______grade.

5. Dacă 2

232 −=a şi ( ) 242274483 2 +−+−=b , atunci =⋅ba ______.

6. În trapezul dreptunghic ABCD, AB||CD, m( )=90A o, m( B )=60o, [BD este bisectoarea unghiului , iar AD=6cm. CBA ˆ

a. m( )=______grade. DCB ˆb. Perimetrul trapezului este egal cu ______cm.

7. În paralelogramul ABCD avem AB=6cm, AD=4cm, m( BAD ˆ )=45o. a. Perimetrul paraleogramului este ______cm. b. Aria paralelogramului este ______cm2.

8. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei: a. 31 =−x este S=______.

b. 351 =−+x este S=______.

9. Mulţimea soluţiilor sistemului: este S=______.

=+=+

22132

yxyx

Partea II

10. În două biblioteci sunt 153500 cărţi. Dacă s-ar transfera din prima bibliotecă 50000 cărţi, atunci în ea ar ramâne de două ori mai multe cărţi decât în a doua. Câte cărţi au fost la început în fiecare bibliotecă?

11. Secţiunea diagonală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este un trapez isoscel în care baza mare are 24cm, baza mică de 18cm, iar măsura unghiului alăturat bazei mari este de 60o. Fie acest trunchi ABCDA’B’C’D’. Se cere:

b. Aria şi perimetrul secţiunii diagonale. c. Distanţa de la punctul C’ la dreapta AA’. d. Aria totală şi volumul trunchiului de piramidă. e. Volumul piramidei din care provine trunchiul.

12. Sferă cu raza R=6cm se secţioneaza cu un plan. La ce distanţă de centrul sferei se face secţiunea pentru ca aria cercului de secţiune să fie ¾ din aria unui cerc mare al sferei?

1



1. a) a – b=9; b) 14;. 2. a) 2; b) 3; 3. a) 9; b) 49o30’; 4. a) 80o; b) 40o; 5. 10; 6. a) 120o; b) 63 +14 ; 7. a) 20cm; b) 212 cm 2; 8. a) S={4; -2}; b) S={-9; -3; 1; 7}; 9. S={(-4; 3)}

Partea II

10. 119000 cărţi şi 34500 cărţi; 11. a) Asectiunii diagonale= 363 cm2; P=54cm;

b) d(C’; AA’)= 39 cm, (d(C’;AA’)=C’M, C’M este înălţime în triunghiul VA’C’ ) c) AB= 212 cm; A’B’= 29 cm; Al= 7126 cm2; At= )7725( +18 cm2; V= 3666 cm3; d) VO= 312 cm; Vpiramidei= 31152 cm3;

12. Raza cercului de secţiune este de 3 3 cm. Secţiunea se face la 3cm de centrul sferei.

2


:: Test 37 Partea I 1) a) Dacă a53 este divizibil cu 2, atunci { }______∈a .

b) Dacă 329b este divizibil cu 3, atunci { }_______∈b . 2) a) Dacă 3x + 4y=26 şi x=2, atunci y=______ .

b) Dacă 5y=x + 1 şi x=0, atunci y=______ . 3) a) Într-o clasă sunt 24 elevi, băieţi şi fete. Dacă numărul fetelor e dublul numărului băieţilor,

atunci în clasă sunt ______băieţi. b) Într-o curte sunt găini şi raţe, în total 26. Dacă numărul raţelor întrece cu 8 numărul găinilor, atunci în curte sunt ______.raţe.

4) a) Ştiind că 5 kg de mere costă cât 2 kg de portocale şi că un kg de portocale costă 32000 lei, atunci 1 kg de mere costă ______lei. b) Dacă 5 kg de cartofi costă 65000 lei, atunci 8 kg de cartofi costă ______lei.

5) a) Un pătrat şi un triunghi echilateral au perimetrele egale. Dacă lungimea laturii pătratului este de 3cm, atunci lungimea laturii triunghiului echilateral este de ______cm. b) Un pătrat şi un dreptunghi sunt echivalente (au ariile egale). Dacă lungimea laturii pătratului este de 4 dm, iar lăţimea dreptunghiului este de 2 dm, atunci lungimea dreptunghiului este de ______dm.

6) a) 10 m3=______ l. b) O butelie de aragaz are forma unui cilindru circular drept cu diametrul bazei 30cm şi înălţimea de 0,75 m. În butelie intră ______m3 gaz.

7) Aria suprafeţei din figura alăturată este egală cu ______cm2.

35

10 8) Într-un trapez dreptunghic, lungimea bazei mari este de 10cm, lungimea bazei mici de 6cm şi

înălţimea de 3cm. a) Aria trapezului este egală cu ______cm2. b) Perimetrul trapezului este egal cu ______cm.

9) Patrulaterul determinat de mijloacele laturilor unui dreptunghi este un______ Partea II 10) a) Să se arate că ultima cifră a numărului S=1 + 3 + 32 + 33 + …… + 32003 este 0.

b) Să se arate ca S se divide la 13. 11) Se dă funcţia . ,: RRf → 1)( −= xxf

a) Reprezentaţi grafic funcţia; b) Cercetaţi dacă M(3; 2) aparţine reprezentării grafice a funcţiei . f

c) Determinaţi a∈R, astfel încât punctul N(3

18;3 ++

aa ), să aparţină reprezentării grafice a

funcţiei . f12) Se dă un cilindru circular drept cu R=4cm şi h=10cm. Se cere:

a) Aria totală şi volumul cilindrului. b) O furnică porneşte dintr-un punct A oarecare al bazei, face o dată ocolul cilindrului şi ajunge

în punctul A’ al cercului bazei superioare a cilindrului situat pe aceeaşi generatoare cu punctul A de plecare. Să se afle lungimea drumului parcus de furnică, ştiind că ea merge pe drumul cel mai scurt.

1


:: Soluţii Test 37 Partea I 1. a) a∈ b) b{ };8;6;4;2;0 { };7;4;1∈

2. a) y=5; b) y=51 ;

3. a) 8 băieţi; b) 17 raţe; 4. a) 12800 lei costă 1 kg de mere; b) 104000 lei; 5. a) 4cm; b) 8 dm; 6. a) 10000 l; b) ≈0,053 m3; 7. 325cm2; 8. a) 24cm2; b) 24cm; 9. romb. Partea II

10. a) S= 0...2

11...2

132

13 50142004

=−

=−

=− ⋅

b) Se grupează termenii câte trei. 11. a) y

B(0;-1) A(1;0)

x

b) M∈ c) N(;fG 318;3 +

+aa ) 1

318)3( =⇒

+=+⇔ aaafG f∈

12. a) π112=tA cm2; π160=V cm3; b) Drumul cel mai scurt parcurs de furnică este pe diagonala dreptunghiului obţinut prin desfăşurarea laterală a cilindrului. Se obţine: ≈27cm.

2


:: Test 38 Partea I 1. Ordinea descrescătoare a numerelor:

a) –2,(3); ;9;2;3,2;416;

32

−−1 este______ .

b) este______ . )543(,2);3(54,2;543,2);43(5,22. Transformând în fracţie ordinară ireductibilă următoarele numere:

a) 2,5; -1,(6); 0,(15); 2,2(3); -0,1(23) obţineţi ______ . b) –2,12; -2,(12); 1,1(2); 0,01(2); -1,00(12) obţineţi ______ .

3. Într-o urnă sunt 10 lozuri din care 3 sunt câştigătoare. Care este probabilitatea ca: a) Extrăgând un loz acesta să fie câştigător? b) Extrăgând 2 lozuri, cel puţin unul din ele să fie câştigător? c) Extrăgând 2 lozuri să fie amândouă câştigătoare?

4. Aflaţi zecimala care ocupă locul 2002 în scrierea zecimală a numărului: a) 0,(758); b) 1,4(3957);

c) 75 ;

5. Calculaţi partea întreagă şi partea fracţionară a numerelor:

a) 5,53; b)-3,429; c) 127 ; d) 1,(3); e) –2,(12); f) –0,01(2);

6. Calculând, obţineţi: a) _______))2(:22(22 =−−−⋅−− .

b) ______25,1:321

43)2(,0 =−⋅ .

c) ______651

541

431

321

=⋅

+⋅

+⋅

+⋅

.

d) . _______)20100(......)3100()2100()1100( 2222 =−⋅⋅−⋅−⋅−

7. Raza, înălţimea şi generatoarea unui con circular drept sunt invers proporţionale cu numerele 5; 3,75 şi 3, iar produsul lor este egal cu 480. Volumul conului este egal cu ______, iar aria totală a conului este egală cu______ .

8. Lungimea, lăţimea şi înălţimea unui paralelipiped dreptunghic sunt proporţionale cu numerele 20; 16 respectiv18, iar suma lor este egală cu 27. Aria totală este______ şi volumul paralelipipedului este ______ .

9. a) Raportul dintre aria unui triunghi echilateral înscris într-un cerc cu raza de 4cm şi aria unui hexagon regulat înscris în acelaşi cerc este egal cu ______ . b) Raportul dintre perimetrul unui pătrat înscris într-un cerc cu raza de 3cm şi perimetrul pătratului circumscris aceluiaş cerc este egal cu______ .

Partea II

10. Demonstraţi că: 47111

1041......

491

481

471

5229

<++++< .

11. Fie numărul S=1 + 2 + 22 + 23 + 24 + …… + 22002 + 22003. a) Arătaţi că ultima cifră a numărului S este 5. b) Arătaţi că numărul S este divizibil cu 7.

1


:: Test 38 12. Se consideră cubul ABCDA’B’C’D’ cu AB=12cm. Se cere:

a) Aria totală şi volumul cubului. b) Distanţa de la punctul A’ la dreapta BC’ c) Precizaţi natura piramidei cu varful în B’ şi baza triunghiul A’BC’, apoi calculaţi volumul

acestei piramide. d) furnică pleacă din punctul B al bazei cubului dat, parcurge feţele laterale ale cubului şi

ajunge în punctul B’ al bazei superioare a cubului (situat pe aceeaşi muchie ca şi punctul B). Aflaţi drumul cel mai scurt pe care îl parcurge furnica.

2



1. a) ;416);3(,2;2;

321;3,2;9 −

−−

b) 2,(543); 2,5(43); 2,54(3); 2,543;

2. a) ;49561;

3067;

335;

35;

2−−

5

b) ;825826;

90011;

90101;

3370;

2553

−−−

3. a) 3/10; b) 8/15; c) 1/15; 4. a) 7; b) 3; c) 7/5=0,(714285); zecimala care ocupă locul 2002 este 2; 5. a) 5; 0,53; b) -4; 0,571; c) 0; 0,58(3); d) 1; 0,(3); e) –3; 0,(87); f) –1; 0,98(7);

6. a) 0; b)67

− ; c) 31 ; d) 0;

7. V= π96 ; At= π96 ; 8. At=484; V=720;

9. a) ½; b) 22 .

Partea II

10. 471

471

= 471

1041

<

471

481<

481

1041

<

471

491<

491

1041

<

……….. ………...

471

1041

< 104

1104

1=

se aduna membru cu membru si se obtine:

S <47111

4758

= (1) 5229

10458 2(

>⇒< SS (2),

Din (1) şi (2) rezultă: 47111

5229

<< S .

11. a) S=22004 – 1= 5... ; b) Se grupează câte trei termeni.

S= )2...21(7)221(2...)221(2)221( 2001322001232

66821

+++⋅=+++++++++44 344 21443442143421

Ttt

12. a) cm864=tA 2; V cm1728= 3;

b) d(A’; BC’)= 66 cm; c) Piramida B’A’BC’ este piramidă triunghiulară regulată. V=288cm3. d) Drumul cel mai scurt parcurs de furnică este pe diagonala dreptunghiului obţinut prin

desfăşurarea laterală a cubului. Se obţine: 1712 cm.

3


:: Test 39 Partea I

1. Verificaţi dacă 1 este soluţie a ecuaţiei: a. x2 – 4x=0 b. x2 – 1=0 c. 2x2 + x – 3=0

2. Dacă –2 este soluţie a ecuaţiei: a. x2 + 3ax +2=0, atunci a=______. b. ax2 – (a + 1)x – 3a + 1=0, atunci a=______.

3. Soluţiile ecuaţiei: a. x2 – 3x=0 sunt :{______; ______}. b. –8x2 + 6x=0 sunt: {______; ______}.

4. Soluţiile ecuaţiei: a. x2 – 1=0 sunt :{______; ______}. b. 3x2 – 9=0 sunt: {______; ______}.

5. Soluţiile ecuaţiei: a. (x – 1)(x + 3)=0 sunt :{______; ______}. b. x (x + 3) (x – 2)=0 sunt :{______; ______; ______}.

6. Soluţiile ecuaţiei: a. x2 + x - 6=0 sunt :{______; ______}. b. 6x2 – 7x + 2=0 sunt: {______; ______}.

7. Soluţiile ecuaţiei: a. x2 + 2x + 1=0 sunt :{ }. b. 4x2 - 4x + 1=0 sunt: { }.

8. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei: a. x2 + x + 1=0 este S=______. b. 4x2 - 6x + 9=0 este S =______.

9. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei: a. 02)21(2 =+++ xx este S=______.

b. 0862 =+⋅− xx este S=______. Partea II

10. Să se resolve în R: a. (x - 2)2 – x(x - 1)=(x - 1)(x + 1) + 1 b. (x - 1)3 – (x - 1)(x + 2)=(x - 1)(x2 + x + 1)

11. Se dau ecuaţiile: 26

22

11

2

2

−−+−

=−+

−+−

xxxx

xx

xx si ,

parametru real.

05)12(2 =−++− mxmmx

mm ,0≠a. Să se determine m , astfel încât ecuaţiile să fie echivalente. R∈b. Determinaţi parametrul real , astfel încât ecuaţia dată mai sus să aibă soluţii reale. m

12. Să se rezolve ecuaţiile:

a. 21

1 mxm

=−− , unde este parametru real. m

b. ( ) 3322 +=−+ mxmm , unde este parametru real. m

1


:: Soluţii Test 39 Partea I 1. a) nu; b) da; c) da. 2. a) a=1; b) a=-1.

3. a) {0; 3}; b){0; 43 }.

4. a) {-1; 1}; b) { 3;3− }. 5. a) {1; -3}; b) {0; -3; 2}.

6. a) {2; -3}; b){32;

21 }.

7. a) –1; b) 21 .

8. a) S=Ø; b) S=Ø. 9. a) S={-1; - 2 }; b) S={ }. 4;2 ±± Partea II

10. a) S={1; -4}; b) S={1; -21 }

11. Pentru prima ecuaţie }2;1{\ −∈ Rx ; S={-2; -3}.

a) Pentru x =-2, obţinem 31

=m , iar pentru x =-3 obţinem 81

=m .

b) }.0{;241

}0{\241

01240

124−

+∞−∈⇒

∈

−≥⇒≥+⇒

≥∆+=∆

mRm

mmm

12. a) . Pentru m si , ecuaţia are soluţie unică: }1{\Rx∈ 0≠ 1≠mmmx 23 −

= ; pentru 0=m , S=Ø;

pentru , S=Ø. 1=m

b) Pentru şi 1≠m 3−≠m , ecuaţia are soluţie unică 1

1−

=m

x ;

= Pentru , ecuaţia nu are soluţii. 1m Pentru , ecuaţia are o infinitate de soluţii S=R. 3−=m

2

www.testemate.ro

:: Test 40 Partea I

1. Valoarea expresiei: 6332752712 ⋅+−+ este ______ . 2. Soluţia ecuaţiei 2x – 3=-1 este ______ . 3. Ştiind că x∈ si 2x – 4 ≤ x + 2, atunci x*N ∈{______}. 4. Lungimile laturilor unui triunghi sunt: 6cm; 12cm şi 8cm. Perimetrul triunghiului

este ______cm. 5. Ştiind că 3 , atunci 57)( 2 +−= xxxf =)1(f ______ . 6. Aria unui pătrat este 49cm2. Perimetrul pătratului este______cm. 7. În figura alăturată triunghiul ABC este dreptunghic în A, m( )=30C o şi AB=8cm, iar E este

mijlocul segmentului [BC]. Atunci x=______ .

x 30o

EB

A

8

C 8. Lungimea unui dreptunghi este 4cm, iar diagonala lui este de 5cm. Perimetrul dreptunghiului

este______cm. 9. Volumul unui con circular drept cu R=4cm şi h=4cm este de ______cm3.

Partea II 10. Se dă funcţia 2)(,: −=→ xxfRRf .

a. Să se reprezinte grafic funcţia. b. Să se găsească coordonatele punctului M de pe graficul funcţiei care are abscisa egala cu

dublul ordonatei.

c. Să se determine “ ” real astfel încât Na

+

+ aa 21;2

3 să aparţină reprezentării grafice a

funcţiei. d. Să se determine funcţia , ştiind că RRg →: ( ) 32)( −= xxfg , unde este funcţia

dată. )(xf

11. Un trunchi de con are R=18cm, r=8cm şi h=10cm. Se cere: a. Aria totală şi volumul trunchiului de con; b. La ce distanţă de baza mică trebuie făcută o secţiune în trunchi, printr-un plan paralel cu

bazele astfel încât secţiunea să aibă aria egală cu media geometrică a ariilor bazelor? c. Volumul conului din care provine trunchiul dat.

53

TESTE DE MATEMATICA


1. 18 2 ; 2. 1; 3. x∈ ; { }6;5;4;3;2;14. 26cm; 5. 5; 6. 28cm; 7. 8cm; 8. 14cm;

9. 3

64π cm3;

Partea II

10. b) M(4; 2); c) = -1; d) a RRg →: , 12)( += xxg ;

11. a) G= 210 cm; At= )97265(4 +π cm2; V=3

5320π ;

b) 4cm; c) V= π1944 cm3;

54


:: Test 41 Partea I

1. Un caiet costă 10000 lei şi o carte 45000 lei. 5 caiete şi 3 cărţi de acelaşi fel costă împreună ______ lei. 2. Suma tuturor muchiilor unui cub este de 48cm. Diagonala cubului este egală cu ______cm. 3. Care este probabilitatea ca aruncând un zar să apară o faţă cu cifra impară? 4. 5 saci cu faină costă 600000 lei. Atunci un sac de faină costă ______lei. 5. Un dreptunghi are lungimea de 8cm şi diagonala de 10cm. Perimetrul dreptunghiului este

de ______cm.

6. a) Forma cea mai simplă a expresiei: E( x )=12

121

2

2

−⋅

−

xx

x este______ .

b) Valoarea expresiei E( x ) dată la punctul a) pentru x= 2 este______ . 7. O sferă are rază R=3cm. Lungimea unui cerc mare al sferei este de ______cm. 8. Dacă media aritmetică a cinci numere naturale consecutive este 7, atunci numărul cel mai mic

este? 9. Media geometrica a numerelor ( 35 − )2000 şi ( 35 + )2000 este ______ .

Partea II 10. a) Aflaţi toate numerele naturale care împărţite la 5 dau câtul 6.

b) Suma a două numere naturale este 191. Împărţind numărul mare la cel mic se obţine câtul 3 şi restul 3. Aflaţi numerele.

11. Se dă un trunchi de con circular drept în care R=13cm, r=5cm şi G=10cm. a. Calculaţi aria totală şi volumul trunchiului de con; b. Trunchiul de con se secţionează cu un plan paralel cu bazele la 1/3 faţă de baza mică.

Aflaţi aria secţiunii. c. Aflaţi volumul conului din care provine trunchiul de con.

71



1. 185000 lei; 2. 34 cm; 3. ½; 4. 120000 lei; 5. 28cm;

6. a) E)1(2

)(+

=xxx ; b) E

222)2 −

=( ;

7. π6 cm; 8. 5; 9. 21000;

Partea II

10. a) Se foloseşte teorema împărţirii cu rest: IRRCID <≤+⋅= 0, . Se obţin numerele: 30; 31; 32; 33; 34; b) 144 şi 47;

11. a); At= π374 cm2; V = π518 cm3;

b) Raza secţiunii=323 cm. Aria secţiunii=

9529π ;

c) Vcon=4

2197π cm3;

72


:: Test 42 Partea I

1. Rezultatul calculului

a. 2

21

601

401

451

412

−

⋅

+−⋅ este______ .

b. ( ) ( )222323 ++− este______ .

2. Dintre numerele:

a. 95 şi

93 mai mare este______ .

b. 73 şi

103 mai mare este ______ .

c. 32 şi

97 mai mare este ______ .

3. Un romb are latura de 3cm şi un unghi de 120o. a. Perimetrul rombului este egal cu ______cm. b. Măsura unghiului ascuţit al rombului este egală cu ______grade. c. Aria rombului este egală cu ______cm2.

4. Numerele x; y; z sunt direct proporţionale cu 5; 3 şi respectiv 8. a. Dacă y=12, atunci x =______ şi z =______; b. Dacă 2x – 3y + z=18, atunci x =______; y =_____; z =______;

5. Un tetraedru regulat are muchia egală cu 3cm. a. Suma lungimilor tuturor muchiilor este egală cu ______cm. b. Aria totală a tetraedrului regulat este egală cu ______cm2.

6. Numerele x şi sunt invers proporţionale cu y31 şi respectiv

41 .

a. Dacă yx + =14, atunci ______=yx şi =⋅ yx ______ .

b. Dacă =⋅ yx 108, atunci . _______22 =− yx7. a) Sanda a depus la bancă 1200000 lei, iar după un an ea are 1512000 lei la bancă. Atunci

banca a acordat o dobândă de ______ pe an. b) Andreea a depus la o bancă o sumă de bani, cu dobânda anuală de 32%. După un an Andreea a încasat pentru suma depusă o dobândă de 256000 lei. Suma iniţială depusă a fost de ______lei.

8. Se dau numerele 18 şi 50. a. Diferenţa dintre media aritmetică şi media geometrică a lor este ______ . b. Produsul dintre media aritmetică şi media armonică a lor este egal cu ______ .

9. Într-un romb diagonalele au lungimile egale cu 8cm şi 6cm. a. Aria rombului este egală cu ______ cm2. b. Perimetrul rombului este egal cu ______ cm.

1


:: Test 42 Partea II

10. Fie expresia: E ( )232

663

121

2

23

2 −+−

⋅

−

−=xxxx

xx

xx ,

−−∈

21;2;0Rx .

a. Arătaţi că E ( )12

1−−

=xxx ;

b. Calculaţi E

2

1 , raţionalizând numitorul.

c. Aflaţi a astfel încât *Z∈ Zaa

∈−+

121 .

11. Triunghiul echilateral ABC are latura [BC] situată într-un planα , iar proiecţia triunghiului ABC pe planul α este triunghiul BA’C, astfel încât m( )=120CAB 'ˆ o. Ştiind că AB=6cm, se cere:

a. Perimetrul şi aria triunghiului A’BC. b. Cosinusul unghiului diedru format de planele (ABC) şi α . c. Distanţa de la punctul A’ la planul (ABC). d. Tangenta unghiului format de dreapta AC cu planul α .

12. Arătaţi că: a. x= 75 +u este număr iraţional pentru orice u N∈ .

b. 10099

1.......43

132

121

1+

+++

++

++

=y este număr natural.

2



1. a) 81 ; b) 4;.

2. a) 95 ; b)

73 ; c)

97 ;

3. a) 12cm; b) 60o; c) 2

39 cm2;

4. a) x=20; z=32; b) x=10; y=6; z=16; 5. a) 18cm; b) At= 39 cm2;

6. a) 48;43

=⋅= yxyx ; b) ; 6322 −=− yx

7. a) 26%; b) 800000 lei; 8. a) 4; b) 900; 9. a) 24cm2; b) 20cm.

Partea II

10. b) E22

21

−=

; c) a ; { }2;1;1−∈

11. a) PA’BC= )323(2 + cm; AA’BC= 33 cm2;

b) cos m ( )( )31; =αABC∠

c) d(A’;(ABC))=3

62 cm;

d) tg m ( ) 2; =∠ αAC ; 12. a) Se află ultima cifră a numărului 5 + 7 cu u Nu∈ .

b) Raţionalizând numitorii şi efectuând calculele se obţine =9, 9y N∈ .

3


:: Test 43 Partea I

1. Rezultatul calculului: a. 3 – 3 : (0,5 – 1,25) este______ .

b. ( ) ( 331212 +−− ) este______ .

2. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 60o şi lungimea ipotenuzei de 8cm. a. Perimetrul triunghiului este egal cu ______.cm. b. Aria triunghiului este egală cu ______cm2.

3. Un bazin are forma unui cub cu muchia de 6 m. În bazin curge printr-un robinet 6 l de apă într-o secundă. Bazinul se umple în ______ore.

4. Desfăşurarea laterală a unui con circular drept este un sfert de disc circular cu raza de 8cm. a. Aria laterală a conului este egală cu ______cm2. b. Volumul conului este egal cu ______cm3.

5. Descompunerea în factori primi a numărului: a. 180 este______ . b. 16200 este______ .

6. a) Nelu şi Dan au impreună 37 de mere. După ce fiecare mănâncă acelaşi număr de mere, ei constată că Nelu mai are 12 mere şi Dan mai are 13 mere. Atunci Nelu a avut ______ mere, iar Dan ______ mere. b) Suma a trei numere este 72. Dacă din fiecare număr se scade acelaşi număr se obţin numerele 10; 15 şi respectiv 29. Cele trei numere sunt ______ .

7. Lăţimea unui dreptunghi este 2/3 din lungimea dreptunghiului. Dacă aria dreptunghiului este 24cm2, atunci perimetrul lui este egal cu ______cm.

8. Se dă triunghiul ABC şi D simetricul lui A faţă de mijlocul laturii BC. Atunci ABDC este______ .

9. În triunghiul ABC dreptunghic în A, avem AD⊥BC, D∈(BC), BD=3cm, DC=27cm. a. AD=______cm. b. Distanţa dintre centrul cercului circumscris triunghiului ABC şi centrul de

greutate al triunghiului este egal cu______cm. Partea II

10. Reprezentaţi într-un sistem ortogonal de axe toate perechile ( ) ZxZyx ∈; care îndeplinesc simultan condiţiile 22 =−x si 1≤− yx , apoi determinaţi funcţia lineara a cărei grafic conţine punctele (dintre cele determinate mai sus) care au abscisa egală cu ordonata şi o reprezentaţi grafic.

11. Secţiunea axială într-un trunchi de con circular drept este trapezul isoscel ABCD în care AB=32cm, CD=16cm, AB||CD şi {O”}= AC BD. Ştiind că înălţimea trunchiului este de 6cm, se cere:

I

a. Aria şi perimetrul trapezului ABCD; b. Aria triunghiului CO”B; c. Aria laterală şi volumul trunchiului de con; d. Volumele conurilor care au ca baze, bazele trunchiului şi varful comun O”.

12. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu diagonala de 210 cm, iar AB, BC,

AA’ invers proporţionale cu 0,(3); 0,25 şi respectiv cu 51 . Se cere:

a. Aria totală şi volumul paralelipipedului. b. Fie M mijlocul segmentului [AA’]. Să se determine poziţia punctului P pe

segmentul [BB’] astfel încât perimetrul triunghiului MPC sa fie minim.

1



1. a) 7; b) –14; 2. a) P= ( )334 + cm; b) A= 38 cm2; 3. 10 h;

4. a) Al= π16 cm2; b) V=3

158π cm3;

5. a) 180= 2 ; b) 16 200= ; 5322 ⋅⋅ 243 532 ⋅⋅6. a) 18; 19; b) 16; 21; 35; 7. P=20cm; 8. Paralelogram; 9. a) 9cm; d=5cm.

Partea II

10. Se reprezintă grafic mulţimea: {(4;3); (4;4); (4;5); (0;-1); (0;0); (0;1)}; xxfRRf =→ )(;: . 11. a) AABCD=144cm2; PABCD=68cm;

b) O’O’’=2cm; O’’O=4cm; A∆ CO’’B=32cm2; c) Al=240π cm2; V=896π cm3;

d) V1= 3128π cm2; V2= 3

1024π cm3.

12. a) AB=6cm; BC=8cm; AA’=10cm; At=376cm2; V=480cm3; b) Se aduce faţa BCC’B’ în acelaşi plan cu faţa ABB’A’; perimetrul e minim când MP + PC

e minim. BP=720 cm.

2


:: Test 44 Partea I

1. Rezultatul calculului: a. 2-2 + 32 : 33 este______ .

b. ( ) ( ) 8175216 22 +−+−− este______ . 2. a) Diferenţa dintre produsul şi câtul coordonatelor punctului A(8; 4) este______ .

b) Suma pătratelor numerelor –2 şi 3 este______ . 3. Fie f . Dacă 13)(,: −=→ axxfRR ( ) 51 =f , atunci =______ . a4. Dacă 6 , atunci coordonatele punctului de intersecţie a graficului

funcţiei cu axa Ox sunt______, iar coordonatele punctului de intersecţie a graficului funcţiei cu axa Oy sunt______ .

2)(,: −=→ xxfRRfff

5. Aproximarea cu o eroare de cel mult o sutime prin lipsă a lui 15,238 este ______, iar prin adaos este______ .

6. a) Raza cercului înscris într-un triunghi echilateral cu latura de 6cm este egală cu ______. b) Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral cu latura de 6cm este egală cu ______ .

7. Dacă într-un triunghi ABC avem AB=5cm, BC=12cm si AC=13cm, atunci m( B )=______ . 8. Volumul unei sfere este 36π cm3. Aria sferei este egală cu______cm. 9. Aria laterală a unei piramide triunghiulare regulate având apotema de 4cm şi muchia bazei de

5cm este egală cu ______cm. Partea II

10. Fie funcţia baxxfRRf +=→ )(,: cu proprietatea că )1(232)1( −⋅++=− fxxf . Arătaţi că şi 3− 12)( −= xxf)1( =−f

11. Într-o piramidă patrulateră regulată VABCD, unghiul diedru format de o faţă laterală cu planul bazei este de 60o, iar lungimea muchiei bazei AB=a. Se cere:

a. Aria laterală şi volumul piramidei; b. Sinusul unghiului format de două feţe laterale alăturate;

12. Volumul unui con circular drept este 216π cm3, iar generatoarea face cu planul bazei un unghi de 30o. Se cere:

a. Aria totală a conului; b. Măsura unghiului de la vârful conului (unghiul format de două generatoare diametral

opuse); c. Distanţa de la vârful conului la coarda [EF] care subîntinde un arc de 120o, unde E şi

F sunt puncte situate pe cercul de bază al conului.

1



1. a) 127 ; b) 13;

2. a) 30 sau 31,5; b) 13; 3. a=2; 4. A(3; 0); B(0; -6); 5. 15,238 15,23 prin lipsă; 15,238≈ ≈15,24 prin adaos; 6. a) r= 3 cm; b) R= 32 cm; 7. 90o; 8. 36π cm2; 9. 30cm2.

Partea II

10. Pentru obţinem ; deci 0=x 3)1( −=−f ;12)(32)1( −=⇒−=− xxfxxf

11. a) Al= ; V=22a6

33a ;

b) sin m∠ ((VAB); (VAD))=415 ;

12. a) At= ( )32336 +π cm2; b) 120o; c) d(V; EF)= 73 cm.

2


:: Test 45 Partea I

1. a) Media aritmetică a patru numere naturale consecutive este 10,5. Numerele sunt______ . b) Media aritmetică ponderată a numerelor 2; 3; 6 având ponderile 0,3; 0,4; 0,5 este______ . 2. Rezultatul calculului:

a. 0,6 + 1,(4) – 0,2(3) este______ .

b. ( )

+⋅

−

−1818

2225

3. Dacă în triunghiul dreptunghic ABC, m( )=90A o, AB=6cm şi BC=10cm, atunci: a. sin m(C )=______; cos m ( )=______; tg m(C )=______; ctg m( )=______; ˆ C ˆ Cb. sin2B + cos2B=______ .

4. Într-o prisma patrulateră regulată aria totală este egală cu 96cm2, iar aria laterală este egală cu 80cm2. Muchia bazei este egală cu ______cm.

5. Dacă doua piramide asemenea au volumele de 120cm3 şi 3240cm3, atunci raportul de asemanare al celor două piramide este______ .

6. Dacă două conuri sunt asemenea, raportul de asemănare al lor fiind ½ , atunci raportul ariilor laterale ale celor două conuri este_______ .

7. Volumul unui con circular drept cu R=4cm şi G=5cm este egal cu ______cm3. 8. Dacă o hartă are scara 1: 300000, atunci 8 mm de pe hartă reprezintă ______km pe teren. 9. 250g + 250 dag + 250 dg=______kg.

Partea II

10. Se dau expresiile: F1 ( ) ( ) ( ) 2131 222 +−++−+= xxxxx si F2 ( ) 13 −= xx . a. Arătaţi ca F1 ( )x poate fi scris sub forma F1 ( ) )1)(1( 2 +++= xxxxx ;

b. Simplificaţi raportul ( )( )xx

2

1

FF , { }1−∈ Rx .

11. Se consideră funcţia RbabaxxfRRf ∈+=→ ;,)(,: . a. Să se determine a şi b astfel încât 1)2()1()21( +−=− fff si ; .1)1( −=fb. Pentru a=-2 şi b=1 reprezentaţi grafic funcţia ; f

12. Fie un con circular drept de rază R şi înălţime h, şi piramida triunghiulară regulată cu latura bazei R 3 şi înălţime h.

a. Să se arate că raportul volumelor celor două corpuri este constant; b. Pentru R=6cm şi h=8cm, calculaţi ariile laterale ale celor două corpuri

1



1. a) 9; 10; 11; 12; b) 4; 2. a) 1,8(1); b) 26;

3. a) 0,6; 0,8; ;34;

43 b) 1;

4. 22 cm; 5. 3

1 ;

6. 41 ;

7. 16π cm3; 8. 2,4 km; 9. 2,775 kg.

Partea II

10. b) ( )( ) 1

)1()1)(1()1)(1(

FF

2

2

2

1

−+

=++−+++

=xxx

xxxxxxx

xx ;

11. a) a=-2; b=1;

12. a) Vcon= 3

2hRπ ; Vpir= 432hR ;

934π

=pir

con

VV

= const.

b) Al con=60π cm2; Al pir= 2199 cm2.

2


:: Test 46 Partea I

1. Dacă a=212

32

31

⋅+ si b=81272272

−− , atunci:

a. a=______ si b=______ . b. (a – b)2002=______ . c. ab=______ . d. (–b)-a=______ .

2. Dacă 43

32

2zyx

== si , atunci 13=−+ zyx ____________,______ === zyx .

3. Să se afle numerele naturale din intervalul[50; 70] care împărţite pe rând la 3; 4; 5 şi 6 dau acelaşi rest.

4. a) Dacă a214 se divide la 15, atunci a=______ . b) Dacă b172 se divide la 18, atunci b=______ .

5. Ştiind că A={ } şi B={ 7;5;3;132| ∈+∈ aNa } { }312|* ≤−∈ aZa atunci a. A=______ . b. B=______ . c. A B=______ . U

d. A B=______ . Ie. A – B=______ .

6. Fie f RmmxmxfRR ∈+−−=→ ,2)1()(,: . a. . ______)1( =fb. Dacă 5 , atunci )1( =−f =m ______ .

7. Un salariu lunar reprezintă 25% din preţul unui calculator. Cât la sută reprezintă preţul calculatorului din 8 salarii?.

8. Dacă 52yx

= şi 823 −= yx , atunci ______=x si ______=y .

9. Un obiect costă 120000 lei. Preţul lui se măreşte de 5 ori. Cu cât la sută s-a mărit preţul obiectului?.

Partea II

10. Într-un trunchi de piramidă triungiulară regulată avem înălţimea de 6cm, muchia laterală de 6 2 cm, iar media aritmetică a razelor cercurilor circumscrise bazelor de 5cm. Se cere:

a. Aria laterală şi volumul trunchiului de piramidă. b. Volumul piramidei din care provine trunchiul.

11. Raportul dintre aria laterală şi aria totală a unui cilindru circular drept este 2/3, iar perimetrul secţiunii axiale este de 32cm. Se cere:

a. Aria totală şi volumul cilindrului. b. Ştiind că cilindrul dat este echivalent cu un con circular drept cu înălţimea de 6cm,

aflaţi aria laterală a conului. 12. Se dau numerele reale x şi y. Ştiind că suma lor este 11, iar produsul lor este 24, aflaţi:

a. -1-1 y -x ; b. (x - y)-2.

1



1. a) a=2; b=3; b) (2 – 3)2002=1; c) 8; d) 91 ;

2. x=12; y=9; z=8; 3. restul poate fi 0; 1 sau 2. Numerele sunt 60; 61 şi 62. 4. a) a=5; b) b=8; 5. a) A={0; 1; 2}; b) B={-1; 1; 2}; c) A B={0; -1; 1; 2}; U

d) A B={1; 2}; e) A – B={0} I

6. a) f ; b) m=-1; 1)1( =7. 50%; 8. x=4; y=10; 9. 400%.

Partea II

10. a) L= 38 cm; l= 32 cm; Al= 1545 cm2; V= 3126 cm3; b) VO=8cm; V= 3128 cm3;

11. a) R=4cm; G=8cm; At=96π cm2; V=128π cm3; b) R=8cm; G=10cm; Al=80π cm2;

12. x = 8; y = 3;

a) -1-1 y -x =245 ;

b) (x - y)-2=251 .

2


:: Test 47 Partea I

1. a) Rezultatul calculului: (-1)k + (-1)k + 1 + (-1)k + 2 + (-1)k + 3, k N∈ , este______ . b) Rezultatul calculului: 2(-1)k + 5(-1)k + 1 + 4(-1)k + 2 + (-1)k + 3, k N∈ , este______ .

2. Dintre numerele: a. x=3141 si y=494 mai mare este______ . b. x=5n : 5n-1 si y=43n : 82n-1, n N∈ , mai mare este______ .

3. Dacă Za∈

6203 , atunci a = ______ .

4. Se dau numerele x=(0,3 +0,0(3)) : 9-1; y= şi z =12:)6(0,0)3(,04,0 −−⋅ ( )( )3535 +− . Media lor aritmetică este ______ .

5. În trapezul ABCD, AB||CD, AB=8cm, CD=5cm şi înălţimea trapezului este de 6cm, iar {E}=AD BC. I

a. Aria trapezului este egală cu______cm2. b. Aria triunghiului EAB este egală cu______cm2.

6. Într-un triunghi dreptunghic proiecţiile catetelor pe ipotenuza sunt de 21− cm

şi 21+ cm.

a. Lungimea ipotenuzei este de ______cm. b. Înălţimea corespunzatoare ipotenuzei este de ______cm. c. Aria triunghiului este de______cm2.

7. În dreptunghiul ABCD, AB=8cm, AD=6cm. a. Aria dreptunghiului este de______cm2. b. Distanţa de la un vârf al dreptunghiului la o diagonală a sa este ______cm.

8. Pe planul triunghiului echilateral ABC se ridică perpendiculara AM=3 3 cm. Dacă AB=6cm, atunci:

a. Aria triunghiului este de______cm2. b. Distanţa de la punctul M la dreapta BC este ______cm.

9. Pe planul pătratului ABCD se ridică perpendiculara DM=3cm. Dacă AB=4cm, atunci: a. Perimetrul pătratului este______cm. b. Distanţa de la M la B este ______cm. c. Distanţa de la M la AB este ______cm.

Partea II

10. Se dă ecuaţia: 1158

932 −=

+−−xxx .

a. Stabiliţi domeniul de definiţie al ecuaţiei. b. Rezolvaţi ecuaţia. c. Arătaţi ca dacă şi numai dacă 01582 <+− xx )5;3(∈x .

11. Demonstraţi inegalităţile:

a. 0,222>∀≥+ x

xx .

b. 0,,2422 22

>∀≥+

++ yx

yy

xx .

12. Într-un trunchi de con circular drept cu volumul de 312π cm3, raza mare, raza mică şi înălţimea sunt direct proporţionale cu numerele 5; 2 şi respectiv 3. Aflaţi:

a. Aria laterală a trunchiului. b. Volumul conului din care provine trunchiul. c. Distanţa de la centrul bazei mari a trunchiului la o generatoare a lui.

1



1. a) 0, ∀ k∈ ; b) 0, k∈ ; N ∀ N2. a) x >y; b) y>x; 3. a=4; 4. x=3; y=0; z=2; ma=1,(6); 5. a) 39cm2; b) A∆ EAB =64cm2; 6. a) ipotenuza=2 2 ; b) 1cm; c) A∆ = 2 cm2; 7. a) 48cm2; b) 4,8cm; 8. a) 39 cm2; b) 63 cm; 9. a) 16cm; b) 41 cm; c) 5cm.

Partea II

10. a) ; b) S={2}; }5;3{−∈ Rx

11. a) 0,0)2(0222222222 222 >∀≥−⇔≥−+⇔≥+⇔≥+ xxxxxxx

x ;

b) Se foloseşte a); 12. a) R=10cm, r=4cm; h=6cm; G= 26 cm; Al= 2π84 cm2;

b) hcon=10cm; V=3

1000π cm3;

c) d(0; VA)=5 2 cm.

2


:: Test 48 Partea I

1. Rezultatul calculului:

a.

211

11

1

−+

−1 este______ .

b. 3

232

32 −−

− xx este______ .

2. Dacă A= 348348 ++− , atunci A2=______ . 3. Se dau punctele A(1; 3) şi B(-1; 1). Funcţia liniară al cărei grafic este dreapta determinată de

cele două puncte este: =→ )(,: xfRRf ______ .

4. Dacă 52

9432

=++baba , atunci:

a. =ba ______ .

b. =−+baba 3 ______ .

5. Cardinalul mulţimii A=

<

+≤−∈

53

5121| xZx este______ .

6. Să se determine mulţimea B={ }RxRx ∈−∈ 3| . 7. Fie mulţimea A={ } si B=34| <≤−∈ xRx { }52| ≤<−∈ xRx .

a. =______; BAUb. =______; BAIc. BA − =______; d. AB − =______;

8. ABCD trapez isoscel, AB||CD, m( BAD ˆ )=45o, CD=4cm şi AD= 22 cm. a. Perimetrul trapezului este______cm. b. Aria trapezului este ______cm2.

9. Dintr-un bazin cu apă se scoate ¼ din cantitate. În bazin mai rămân 150 l de apă. La început au fost ______l de apă.

Partea II

10. Fie E1 = ( )x9

652

2

−+−

xxx ; E2 ( = )x

2396

2

2

+−++xxxx .

a. Aflaţi valorile reale ale lui x pentru care are definită valoarea E1 (x) , respectiv E2 ( )x .

b. Arătaţi că după simplificare E1 ( )x =32

+−xx .

c. Calculaţi: E1 ( 22 − ). d. Calculaţi: E1 ( )⋅x E2 ( )x .

1


:: Test 48 11. Volumul unui trunchi de con circular drept este π312 cm3, iar aria secţiunii axiale a

trunchiului este de 96cm2. Ştiind că raza mică a trunchiului este 1/3 din raza mare, se cere: a. Aria laterală a trunchiului. b. Volumul conului din care provine trunchiul. c. Măsura unghiului sectorului circular obţinut prin desfăşurarea laterală a conului

din care provine trunchiul. 12. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu volumul de 200cm3,

şi 2AB = 5BC = 4AA’. Se cere:

a. Aria totală a paralelipipedului. b. Calculaţi aria triunghiului AED’, unde {E}=AC’ BD’ I

2



1. a) 32 ; b)

65

− ;

2. A2=24; 3. ; 2)( += xxf

4. a) 23

=ba ; b) 3;

5. card A=4; 6. B=( ]; 3;∞−7. A=[-4; 3); B=(-2; 5];

a) = [-4; 5]; b) = (-2; 3); c) BAU BAI BA − =[-4; -2]; d) AB − =[3; 5]; 8. a) AB=4cm; înălţimea trapezului este 2cm; Ptrapez=4 ( )23+ cm; b) A=12cm2; 9. 200 l.

Partea II

10. a) ; b) . }3{±−∈ Rx }2;1{−∈ Rxb) Se simplifică prin ; 3−xc) E1 ( 22 − )= 256 − ;

d) E1 ( )⋅x E2 ( )2 = 13

−+xx

11. a) r=3cm; R=9cm; h=8cm; G=10cm; Al= π120 cm2; b) Vcon= π324 cm3; c) 216o;

12. a) At=220cm2;

b) A∆ AED’= 2415 cm2;

3


:: Test 49 Partea I

1. Rezultatul calculului: a. (-2)3 - (-1)2 + este______ . (-5)(-2) ⋅b. 9,5 – 0,2 : 0,0(2) este______ . c. (x + 3)(3 - x) – (x - 2)2 este______ .

2. Factorizaţi: a. 4 – x2=______ . b. x2 – 6x + 9=______ . c. x2 – 4x + 3=______ . d. x2 – 3=______ .

3. Dacă 2x – 3 reprezintă, în cm, lungimea laturii unui pătrat cu: a. Perimetrul de 60cm, atunci x=______cm b. Aria de 25cm2, atunci x=______cm.

4. Fie triunghiul ABC înscris într-un cerc de centru O. Daca m( )=30CAB ˆ o şi BC=6cm, atunci: a. Raza cercului circumscris triunghiului este ______cm b. Aria cercului circumscris triunghiului este______cm2.

5. Dacă în triunghiul oarecare ABC, mediana [AD], D∈(BC), se prelungeşte cu segmentul [DE], [DE] [DC], atunci m( )=______ grade. ≡ CEB ˆ

6. a) Dacă34

123

112

1+

++

++

=x , atunci x =______ .

b) Dacă 53)52( 2 −+−=y , atunci =______ . y

7. Suma a două numere naturale x şi y fiind 10, atunci (3x + 15 + 2y) + (2x + 3y - 28)=______. 8. Dacă mulţimea A={-2; -1; 0; 1; 2} şi mulţimea B={ }, atunci

B={______}. AaaxNx ∈+=∈ ,2| 2

9. Ordinea crescătoare a numerelor: 251; 368; 434 este______ . Partea II

10. a) Arătaţi că dacă într-un triunghi cu lungimile laturilor a; b; c există relaţia :

+⋅

++−

=

−⋅−

ac

cacabba

acba 1

21)( 22

42222 , atunci triunghiul este isoscel sau dreptunghic.

b) Să se arate că numerele de forma , sunt divizibile cu 3. Nnnnnn ∈−+− ++++ ,3492 121212

11. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu AB=4cm. Ştiind că unghiurile diedre a două feţe laterale opuse sunt congruente cu unghiurile diedre pe care acestea le formează cu planul bazei, să se afle:

a. Suma muchiilor laterale ale piramidei; b. Aria totală şi volumul piramidei; c. Distanţa de la punctul C la dreapta VA;

12. Un trunchi de con circular drept cu h=12cm şi volumul de π2800 cm3, se secţionează cu un plan paralel cu bazele ce trece prin mijlocul înălţimii trunchiului. Ştiind că aria secţiunii este π225 cm2, se cere:

a. Aria totală a trunchiului. b. Raportul volumelor celor două trunchiuri obţinute prin secţionare. c. Volumul conului din care privine trunchiul.

1



1. a)1; b) 21 ; c) –2x2 + 4x + 5;

2. a) (2 - x)(2 + x); b) (x - 3)2; c) (x - 3)(x - 1); d) (x - 3 )(x + 3 ); 3. a) x=9cm; b) x=4cm; 4. a) R=6cm; b) A=36π cm2; 5. 90o; 6. a) 1; b) 1; 7. 37; 8. B={2; 3; 6}; 9. 251< 434< 368;

Partea II

10. a) Efectuând calculele se obţine: , de unde 0,,,0))(( 22222 >=−−− cbacbaba ba = sau ; 222 cba +=

b) Propoziţia se scrie sub forma: Nnnn ∈⋅−⋅⋅ ),92842(3 ;11. a) VEF= echilateral (E este mijlocul segmentului [BC] şi F mijlocul segmentului [AD]);

deducem că AB=VE=4cm; Suma muchiilor laterale este 8∆ ∆

5 cm;

b) VO=h=2 3 cm; At=48cm2; V=3

332 cm3;

c) d(C; VA)=564 cm=

5304 cm;

12. R=20cm; r=10cm; a) At=20 ( )25613 +π cm2;

b)3719

2

1 =VV ;

c) Vcon=3200π cm3.

2


:: Test 50 Partea I

1. Rezultatul calculului: (-1)1 + (-1)2 + (-1)3 + (-1)4 + ……+ (-1)2002 este______ .

2. Ştiind că inversul unui număr pozitiv este cu 21 mai mic decât triplul său, atunci numărul

este______ . 3. Dacă 2x + 1 şi x - 3 reprezintă, încm, lungimile laturilor unui dreptunghi cu:

a. Perimetrul de 44cm, atunci x=______cm b. Aria de 9cm2, atunci x=______cm.

4. Suma cifrelor numărului:a=10 , este______ . Nnnn ∈+⋅++ ,61031

5. Numerele naturale mai mici decât 50 care împărţite la 7 dau câtul egal cu dublul restului sunt______ .

6. Dacă x + y=6 si y + 3z=10, atunci x + 3y + 6z =______ .

7. Dacă x= 14434414 ⋅++ şi y= 1962224109 +⋅+ , atunci x – y = ______ .

8. Dacă , 1404140144 22 ⋅−−=x =x ______ . 9. În trapezul dreptunghic ABCD, AB||CD, m( )=90A o, AB=12cm, BC=6 3 cm şi AC=6cm.

a. ABC este_______ . ∆b. AD=______cm. c. DC=______cm.

Partea II

10. Aflaţi vârstele fiului şi a tatălui ştiind că vârsta tatălui este cu 2 ani mai mare decât de 6 ori vârsta fiului, iar peste 6 ani vârstele lor sunt direct proporţionale cu numerele respectiv 3 şi 11.

11. Fie expresia E = . ( )x Rbabxaxx ∈−++ ;,223

a. Să se determine a şi b astfel încât E (1)=0 şi E(2)=12; b. Pentru a şi b , descompuneţi în factori de gradul întâi E . 2= 1−= ( )x

12. Se dă triunghiul dreptunghic ABC, m( )=90A o şi AB=AC=6cm. Pe planul triunghiului în punctul B se ridică perpendiculara BE= 36 cm. Se cere:

a. Lungimea segmentului [BC]. b. Distanţa de la punctul E la dreapta AC. c. Arătaţi că triunghiul BMA este isoscel, unde M este mijlocul segmentului [EC]. d. Aflaţi măsura unghiului diedru determinat de planele (EAC) şi (ABC).

1



1. 0;

2. 32 ;

3. a) 8cm; b) 4cm; 4. 10; 5. restul poate fi 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Numerele sunt: 0; 15; 30; 45; 6. 26; 7. x=11; y=11; x – y=0; 8. 24; 9. a) ∆ABC este dreptunghic în C; b) AD= 33 cm; c) DC=3cm;

Partea II

10. 6 ani şi 38 ani; 11. a) Din E(1)=0 deducem + b =1 şi din E(2)=12 deducem 2 +b =3. Rezolvând sistemul

obţinem .

a

−==

a

=+=+

321

baba

12

ba

b) E ( = ( ))x ( )( 112 − )++ xxx ; 12. a) BC= 26 cm;

b) d(E; AC)=12cm;

c) [BM] este mediana în EBC, m( )=90∆ CBE ˆ o, deci BM=21 EC; [AM] este mediană în

EAC, m( )=90∆ CAE ˆ o, deci AM=21 EC;

c) m = 60))();(( ABCEAC∠ o.

2


:: Test 51 Partea I

1. Rezultatul calculului: a) ( 75,0:169

43

−− ) este______ .

b) 210:04,03003

30 −+− este ______ .

2. Fie numerele: a= 144588 − şi b= ( ) 86423322+− .

a. Media aritmetică este ______ . b. Media geometrică a lor este ______ .

3. Dacă A={ } şi B= 2| ≤∈ xRx { }13| <≤−∈ xRx atunci: a. A B=______ . U

b. A B=______ . Ic. A\B=______ . d. B\A=______ .

4. Dacă –1 este soluţie a ecuaţiei 2ax – 3=x + 2 – a, atunci a=______ . 5. Dacă 3 este soluţie a ecuaţiei 2ax2 – 6x + a=1, atunci a=______ .

6. Efectând 13

213

1+

−− xx

se obţine______ .

7. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este S=______ . 022 =−+ xx8. Dacă lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic sunt egale cu 3cm şi respectiv 4cm,

atunci: a. Lungimea ipotenuzei este ______cm b. Lungimea înălţimii corespunyătoare ipotenuzei este egală cu ______cm.

9. Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral este de 3cm. a. Latura triunghiului este egală cu ______cm. b. Perimetrul triunghiului este egal cu ______cm. c. Aria triunghiului este egală cu ______cm2

Partea II

10. Se dă expresia E( x ) =

−

++

++

−+ 2

2

2

2

164:

1684 xx

xx

xxx

xx .

a. Aflaţi valorile lui x , , pentru care expresia are definită valoarea Rx∈

b. Arătaţi că forma cea mai simplă a expresiei este E( x ) 4

4+−

=xx

c. Calculaţi E( 42 − ) d. Rezolvaţi E( x )= 1+x

11. În cubul ABCDA’B’C’D’ punctul P este mijlocul lui [C’D’] şi AP=18cm. Să se afle: a. Aria totală şi volumul cubului b. Măsura unghiului format de dreptele BD şi B’C c. Aria triunghiului BPD d. O furnică pleacă din punctul A, străbate două feţe laterale consecutive ajungând în

punctul C’. Care este drumul cel mai scurt pe care îl parcurge furnica şi cât este lungimea lui?

1



1. a) 23 ; b) 4;

2. a) ma= 272

3024=

+ ; mg= 5123024 =⋅ ;

3. A=[-2;2]; B=[-3;1); a) A B=[-3;2]; b) A B=[-2;1); c) A\B=[1;2]; d) B\A=[-3;-2) U I4. a=-4; 5. a=1;

6. 1933

2 −+−

xx ;

7. S={1; -2};

8. a) ip=5cm; b) hip= 512 =2,4cm;

9. a) l3= 33 cm; b) P= 39 ; c) A=4

327 cm2;

Partea II

10. a) ; }0;4{±−∈ Rx c) E ( ) 12442 −=− ; d) Din E şi şi ( ) 1+= xx { } 060;4 2 =+⇒±−∈ xxRx { }⇒±−∈ 0;4Rx S={-6}

11. a) P’ este mijlocul lui [DC] şi fie AB=a, a > 0;

Din ADP’ - dreptunghic în D ⇒AP’=∆ ∆2

5a

Din PP’A - dreptunghic în P’ ⇒∆ ∆ cm 12a = 2

t

2t cm 864 A

12cma6a A

=⇒

==

;

33

cm 1728 V 12cma

a V=⇒

==

b) m∠ (BD; B’C)=m∠ (D’B’; B’C)=m∠ (D’ B’C), unde D’B’||DB. ABCDA’B’C’D’ – cub, [D’B’], [B’C], [D’C] sunt diagonale în feţele cubului ⇒ D’B’=B’C=D’C D’B’C= echilateral ⇒ m⇒ ∆ ∆ ∠ (D’ B’C)=60o

c) PB=PA=18cm; PD=AP’= 562

5=

a cm, DB= 212 cm ⇒ ∆DPB= oarecare.

A

∆

∆ DPB= 26592

2125618,))()(( +=++

=−−− pcpbpapp 3+ , a=PB=18cm;

b=PD= 56 cm; c=DB= 212 ; A∆ DPB= 108cm2. d) Se aduce fata BCC’B’ in acelasi plan cu fata ABB’A’. Drumul cel mai scurt este diagonala in dreptunghiul ACC’A’ AC’= 512 cm.

2


:: Test 52 Partea I

1. Fie ecuaţia: (x - 1)2 + 3(x + 2)=9; dintre elementele mulţimii A={-2; 0; 1; 3 } soluţii ale ecuaţiei date sunt______.

2. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei: a. 3x2 – 9x=0 este S= ______. b. (x - 1)(x + 2)=0 este S= ______. c. x2 – 4=0 este S=______. d. x2 – 7x + 12=este S=______. e. x2 + 6x + 9=0 este S= ______. f. x2 – 3x + 9=0 este S= ______. g. (x - 1)2 – 2(x2 - 4)=(x - 2)(x + 2)+1.

3. Dacă –4 este soluţie a ecuaţiei 2x2 – mx – 4=0, atunci m=______.

Partea II

1. Se dă ecuaţia: 34

21

13

12

2

+−−

=−

+− xx

xxx

.

a. Stabiliţi domeniul de definiţie al ecuaţiei b. Rezolvaţi ecuaţia

2. Se dau ecuaţiile: şi . Determinaţi astfel încât ecuaţiile date să fie echivalente.

0232 2 =−− xx 01022 =−+− mmxx Rm∈

3. Fie ecuaţia: . Să se determine ( ) 1,0)1(21 2 ≠=++−− mmxmxm Rm∈ pentru care: a. Ecuaţia dată are soluţii reale şi distincte; b. Ecuaţia dată are soluţii reale şi egale; c. Ecuaţia dată nu are soluţii reale.

4. Simplificaţi fracţiile:

a. 62344

2

2

−−−+

xxxx ;

b. ( )3)5)(1(2)4(1

22

22

++++++++++

xxxxxxxx ;

Barem de corectare I 1. 5p; 2. 7x5p=35p; 3. 5p; II 1. a) 3p; b) 5p; 2. 8p; 3. 15 p; 4. a) 6p; b) 8p. Timp de lucru: 2 ore

1



1. -2 şi 1; 2. a) S={0; 3}; b) S={1; -2}; c) S ={ }2± ; d) S={4; 3}; e) S={-3}; f) S=∅;

g) S={2; -3}; 3. m=-7;

Partea II

1. a) x ; }1;3{−∈ Rb) }.2{−=S

2. Ecuaţiile sunt echivalente dacă mulţimile soluţiilor lor sunt egale: S1=S2.

Ecuaţia 2 are 0232 =−− xx

=⇒

=

=

21- 2; S

S S 21- 2; S

2

21

1

22

01022

−=⇒

==−+−

mxmmxx

839

21

01022

=⇒

−=

=−+−mx

mmxx

3. , , 1,0)1(2)1( 2 ≠=++−− mmxmxm mmm )1(4))1(2( 2 −−+−=∆ 412 +=∆ m .

a. { }1;31

,1412

0−

∞−∈⇒

∈≠+=∆

>∆m

Rmmm ;

b. { } 3

1

1412

0−=⇒

−∈+=∆

=∆m

Rmm ;

c. { }

−∞−∈⇒

−∈+=∆

<∆

31;

1412

0m

Rmm .

4. a) ( ) 2

12

2322

23

214

−−

=

+−

+

−

xx

xx

xx;

b) Facem substituţia: şi obţinem: axx =++ 12

32

)3)2

43

3)4(2)3(

2

2

++

=++

++

=++++

aa

aa

aa

aaaa

)(1()(1(

32

++

=++

aa

aa ;

Revenim la substituţie şi obţinem: 43

2

2

++++xxxx .

2


:: Test 53 Partea I 1. Media aritmetică a numerelor 14, 21 şi 49 este _____. 2. Dacă media aritmetică a numerelor a şi b este 48, iar unul din ele este triplul celuilalt, atunci a=_____ si b=_____. 3. Un elev are la un obiect notele: 10, 9, 9, 8, 8, 8. Media notelor rotunjită la acel obiect este _____.

4. Câtul a două numere este 32 , iar media aritmetică a celor două numere este 25. Numerele

sunt _____.

5. Media geometrică a numerelor 5 şi 45 este _____, iar a numerelor 72912 ⋅ şi

576120 + este _____ . 6. Media aritmetică a două numere este 24, iar media lor geometrică este 12. Media armonică a celor două numere este______ . 7. Media aritmetică a numerelor a, b, c, d, e este 8, a numerelor a, b, c este 10, iar a numerelor c, d, e este 6. Numărul c este egal cu_____ 8. Dacă 4875432 −−=x şi )8(62243 −⋅+=y , atunci =⋅ yx ______

9. Dacă x

x 94= şi , atunci x=_____ . Zx∈

Partea II

1. Se dau numerele:

⋅+=

731

121

145:

724a şi

16914,2

413 ⋅+=b . Să se calculeze media aritmetică,

media geometrică şi media armonică a numerelor date; ordonaţi crescător mediile obţinute. 2. Să se afle perimetrul unui dreptunghi care are dimensiunile egale cu ma şi mg a numerelor:

21175,0

433)6(,5 ⋅

+−=a şi 7,2:64,116

121 1

+

=

−

b .

3. Să se demonstreze că oricare ar fi numerele pozitive a şi b există inegalitatea:

a. baba⋅≥

+2

b. 2≥+ab

ba

c. ( ) 411≥

++

baba

( )( )(

d. ) 0,8 >≥+++ cabccacbba222e. Rcbaacbcabcba ∈∀++≥++ ,,,

1



1. 28; 2. a=72; b=24; 3. 9; 4. a=20; b=30; 5. 15; 6 6 ; 6. 6; 7. c=8; 8. 3; 9. ; { }6±∈x

Partea II

1. a=9; b=7; ma=8; mg=3 7 ; mh= 863 ; mh < mg < ma;

2. Pdreptunghi=2(L + l); L=ma=10; l=mg=8; P=36; a=4; b=16;

3. a) ( ) 00222

;0;2≥−⇔≥+⋅−⇔⋅≥+⇔⋅≥

+> babbaabababababa ;

b) ( ) 002222;0; 2222222

≥−⇔≥+−⇔≥+⇔≥+

⇔≥+> bababaabbaabba

ab

baba

0; >∀ ba

,

c) ( ) ( ) ⇔>∀≥+

⋅+⇔>∀≥

++ 0;,40;,411 ba

abbababa

baba

22

( ) ( ) 0;,00;,4 >∀≥−⇔>∀≥+ bababaabba ; d)

( )( )( ) 0;;,8

222

0;;

>∀≥+++⇒

⋅≥+⋅≥+⋅≥+

>

cbaabccacbba

cacacbcbbaba

cba

;

e)

( )

Rcbacabcabcba

cabcabcbaaccabccbabba

∈∀++≥++⇔

⇔++≥++⇒

≥+≥+≥+

,,,

2222222

222

222

22

22

22

2


:: Test 54 Partea I 1. Pe axa reală a numerelor se reprezintă punctele A(3) şi B(-2).

a) Distanţa de la punctul O (originea axei) la punctul B este egală cu _____. b) Distanţa de la punctul O la punctul A este egală cu _____. c) Distantă dintre punctele A şi B este egală cu _____.

2. Se dă triunghiul ABC cu m( )=90A o., AB=3cm, AC=4cm. Distanţa de la punctul A la dreapta BC este egală cu ____cm. 3. ABCD este dreptunghi cu AB=12cm, BC=5cm. Distanţa de la punctul A la dreapta BD este egală cu ____cm. 4. ABCD este un pătrat cu AB=4cm. Distanţa dintre două vârfuri opuse ale pătratului este egală cu _____cm. 5. Se dă trapezul dreptunghic ABCD, m( )=90A o, AB||CD, AB=18cm, CD=CB=10cm. Distanţa dintre bazele trapezului este egală cu _____cm. 6. În triunghiul ABC avem AB=13cm, AC=14cm, BC=15cm. Distanţa de la punctul B la dreapta AC este egală cu _____cm. 7. Într-un sistem ortogonal de axe reprezentaţi punctele A(3;0) şi B(0;4).

a) Distanţa dintre punctele A şi B este egală cu _____ . b) Distanţa de la O (originea axelor) la dreapta AB este de _____ .

8. Pe planul pătratului ABCD se ridică perpendiculara AM=4cm. Dacă AB=4cm, atunci: a) Distanţa de la punctul M la planul (ABCD) este egală cu _____ . b) Distanţa de la M la B este egală cu _____ . c) Distanţa de la M la BD este egală cu _____ . d) Distanţa de la A la (MDB) este egală cu _____ .

Partea II

9. Într-un sistem ortogonal de axe xOy reprezentaţi punctele: A(+1; -1), B(6; 4) şi C(-2; 2). Aflaţi: a) Distanţa dintre punctele B şi C b) Distanţa de la A la dreapta BC.

10. Se dă cubul ABCDA’B’C’D’ cu AB=4cm. Aflaţi: a) Distanţa de la D’ la B. b) Distanţa de la D’ la AB. c) Distanţa de la A’ la D’B. d) Distanţa de la A la planul A’BD.

11. VABC este o piramidă triunghiulară regulată cu AB=6cm şi VO=3cm. Se cere: a) Distanţa de la V la BC. b) Distanţa de la O la planul VBC (O este centrul cercului circumscris bazei). c) Distanţa de la A la (VBC).

1



1. a) d(O; B)=OB=2 u; b) d(O; A)=OA=3 u; c) d(A; B)=AB=5 u.

2. d(A; BC)=5

12 cm = cm 2,4 cm 52

=2 ;

3. d(A; BD) = cm 1384 cm

1360

= ;

4. d(A; C)=d(B; D)= 24 cm; 5. d(AB; CD)=6cm;

6. A∆ ABC=84cm 2; 84AC)d(B;AC21

⇒=⋅⋅ d(B; AC)=12cm:

7. a) d(A; B)=AB=5; b) d(0; AB)=2,4cm; 8. a) d(M; (ABCD))=MA=4cm; b) d(M; B)=MB=4 2 cm; c) d(M; BD)= 62 cm;

d) d(A;(MDB))= 3

34 cm.

Partea II

9. a) d(B; C)=BC= 172 u; b) d(A; BC)=17

1715 u;

10. a) d(D’; B)=D’B=4 3 cm; b) d(D’;AB)=D’A=4 2 cm;

c) d(A’; D’B)=3

64 cm;

d) d(A; (A’BD))=3

34 cm;

11. a) d(V; BC)=ap= 32 cm;

b) d(0; (VBC))=23 cm;

c) d(A; (VBC))=29 cm.

2


:: Test 55 Partea I

1. Valoarea expresiei 6 + 0,5 ⋅ - 210 3 este ______ . 5p 2. Soluţia ecuaţiei 412 +=− xx este______ . 5p 3. Banca Română acordă o dobândă de 60% anual. Dan depune la bancă 1000000 lei. După un

an, fără alte depuneri sau restituiri, Dan va avea la bancă suma de ______lei. 5p 4. Suma a două numere este 12, iar diferenţa lor este 8. Cele două numere sunt______ . 5p 5. Într-un triunghi dreptunghic lungimile catetelor sunt de 6 cm şi 8 cm. Lungimea ipotenuzei

este______cm. 5p 6. Fie mulţimile A = { }2,| ≤∈ xNxx şi B = { }13,| ≤<−∈ xZxx . Elementele mulţimii A B

sunt______ 5p I

7. Suprafaţa curţii şcolii este un pătrat cu perimetrul de 360 m. Aria suprafeţei curţii şcolii este de ______m2. 5p

8. O canistră are forma unui cub cu muchia de 30 cm. Capacitatea canistrei de ______litri. 5p 9. Volumul unei sfere cu raza de R = 3 cm este______ . 5p

Partea II

10. Se consideră funcţia ( )+∞−∈+−=→ ;3,3)1()(,: mmxmxfRRf . a. Studiaţi monotonia funcţiei date. b. Să se determine m astfel încât punctul A( , 3) să aparţină reprezentării grafice a

funcţiei date. m

c. Pentru m = 1 să se reprezinte grafic funcţia dată. 15p 11. a. Polinomul P( x ) se împarte la polinomul obţinându-se câtul .

Determinaţi polinomul P(22 −+ xx 13 +− xx

x ) ştiind că P(1) = 6 şi P(-2) = 0. Scrieţi polinomul P( x ) în formă canonică. 5p

b. Se dă E( x ) = ( ) ( )( ) ( ) 1

13:1

111

11

123

2

22 −−++

−+

−++

+ xxxx

xxxx .

Să se determine valorile reale ale lui x pentru care E( x ) are definită valoarea, apoi să se aducă la forma cea mai simplă. 10p

12. Un trunchi de con circular drept are G = 15 cm, R = 12 cm, r = 3 cm. Să se afle: a. Aria laterală şi volumul trunchiului de con. b. Aria totală şi volumul conului din care provine trunchiul. c. Măsura unghiului sectorului de cerc obţinut prin desfăşurarea conului. 15p

1



1. 3; 2. 5; 3. 1600000 lei; 4. 10; 2; 5. 10 cm; 6. {0;1}; 7. 8100 m2; 8. 27 l; 9. 36 π ;

Partea II

10. a) pentru m , funcţia este strict crescătoare; );1( +∞∈ pentru , funcţia este constantă; 1=m

pentru , funcţia este strict descrescătoare; )1;3(−∈m b) 1=m ;

11. a) P( x ) = ; 253 345 ++−+ xxxx

b) ; E}1{±−∈ Rx ( )1

1−

=x

x ;

12. a) Al = 225π cm2; V = 756π cm3; b) hcon = 16 cm; Gcon = 20 cm; Atcon = 384π cm2, Vcon = 768π cm3; c) no = 216o.

2


:: Test 56 Partea I

1. Soluţia ecuaţiei 432 +=+ xx este______ . 5p

2. Valoarea expresiei 21

63:

53

5−+

3 este ______ . 5p

3. Fiind dat polinomul P ( ) , atunci P(1) este ______ . 5p 357 3 +−= xxx4. Lungimea unui cerc cu raza de 4 cm este ______ . 5p 5. Aria triunghiului cu lungimile laturilor de 3 cm, 4 cm, 5 cm este ______ . 5p 6. După ce a ajuns la jumătatea drumului Alin a mai mers 10 km, parcurgând astfel, în total,

0,75 din lungimea drumului. Drumul întreg are lungimea de ______km. 5p 7. Banca acordă o dobândă de 48 % annual. Pentru o depunere iniţială de 1.500.000 lei, suma de

lei după trei luni va fi ______lei, după un an va fi ______lei, iar după doi ani va fi ______lei. 5p

8. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, m( ) = 30C o, AB = 2 cm, iar E este mijlocul lui [BC]. Atunci x = ______cm. 5p

9. Volumul cubului cu muchia de 3 cm este ______cm3. 5p

30o

x 2

EB

A

C

Partea II

10. Se consideră funcţia ( )+∞−∈+=→ ;3,2)(,: mmmxxfRRf . a. Să se determine astfel încât punctul A( , 3) să aparţină reprezentării grafice a

funcţiei . m m

fb. Să se reprezinte grafic funcţia pentru m = 1, apoi să se determine punctul

graficului care are abscisa egală cu dublul ordonatei. 15p f

11. Fie polinomul P( x ) = ax . Rbaxbx ∈+−+ ,,4523

a. Precizaţi gradul polinomului P( x ). b. Determinaţi şi astfel încât P(a b x ) împărţit la 1+x să dea restul 6 şi împărţit la

să dea restul 2. 10p 1−x12. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu AB = 3 cm, BC = 4 cm, iar unghiul

făcut de diagonala paralelipipedului cu planul bazei este de 60o. Se cere: a. Aria laterală şi volumul paralelipipedului. b. Distanţa de la punctul A’ la dreapta D’B. c. Tangenta unghiului format de planele (D’AC) şi (ABC). 20p

Timp de lucru: 2 ore. Se acordă 10p din oficiu.

1



1. 1;

2. 1013 ;

3. 5; 4. 8π ; 5. 6 cm2; 6. 40 km; 7. 1680000 lei după 3 luni; 2220000 lei după un an; 3285000 lei după 2 ani; 8. 2 cm; 9. 27 cm3;

Partea II

10. a) ; 1=m b) M(-4, -2);

11. a) gr P( x ) = 3 pt ; 0≠a gr P( x ) = 2 pt şi ; 0=a 0≠b gr P( x ) = 1 pt şi ; 0=a 0=bb) a şi b ; 3= 0=

12. a) Al = 370 cm2; V = 360 cm3;

b) d(A’; D’B) = 5214 cm;

c) tg m( (D’AC); (ABC)) = ∠12

325 .

2


:: Test 57 Partea I

1. Rezultatul calculului 195:

321

2

+

−

este______ . 5p

2. 0,2m3 + 3000cm3 = ______dm3 = ______l = ______dl. 5p 3. Perimetrul unui triunghi echilateral este de 18 dm. Aria lui este ______ dm2. 5p 4. 35 kg reprezintă 5% din ______kg. 5p

)))5. Punctele A, B, C aparţin unui cerc cu raza de 3 cm. Dacă )()()( ACmCBmBAm == , atunci:

a) = ______grade. )ˆ( CBAmb) AB = ______cm. 5p

6. Lungimea diagonalei unui cub este de 4 3 cm. Suma lungimilor muchiilor cubului este egală cu ______cm. 5p

7. Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt 4; 5 şi 12. Lungimea diagonalei paralelipipedului este______ . 5p

8. Media geometrică a numerelor a = 53− şi b = 53+ este ______ . 5p 9. Din 15 kg de lămâi se obţin 9 l de suc. Din câte kilograme de lămâi se obţin 15 l de suc? 5p

Partea II

10. Fie funcţia .121)(,: −=→ xxfRRf

a. Reprezentaţi grafic funcţia b. Aflaţi m R∈ , astfel încât punctul M(2 ; 3) să aparţină graficului funcţiei . m fc. Calculaţi valoarea expresiei: Raafafaf ∈−⋅−−+ ),13(2)()( 10p

11. O lucrare poate fi terminată de 6 muncitori în 12 zile. După trei zile de lucru numărul muncitorilor se măreşte cu 50%. În câte zile se va efectua toată lucrarea? 15p

12. Într-o piramidă patrulateră regulată înălţimea este de 8 cm, iar lungimea laturii bazei este egală cu soluţia ecuaţiei x2 –7x –60 = 0 (exprimată în cm). Se cere:

a. Aria totala şi volumul piramidei. b. La ce distanţă de planul bazei trebuie făcută o secţiune paralelă cu baza piramidei

astfel încât volumul piramidei mici să fie egal cu 1/7 din volumul trunchiului de piramidă. 20p

Timp de lucru: 2 ore. Se acordă 10p din oficiu.

1



1. 151 ;

2. 203 dm3 = 203 l = 2030 dl; 3. 9 3 dm2; 4. 700 kg; 5. a) ( ) oCBA 60ˆ =m ; b) AB = 3 3 cm; 6. 48 cm; 7. 185 ; 8. 2; 9. 25 kg;

Partea II

10. b) m ; 4= c) ; 13 +− a

11. 9 zile; 12. a) x > 0, x = 12 cm = latura bazei At = 384 cm2; V = 384 cm3;

b) 4 cm.

2


:: Test 58 Partea I

1. Rezultatul calculului 2 este: 10:2500105, 2 −⋅(A) 1; (B) 0; (C) 10; (D) 25;

2. Dacă a53 se divide la 2 atunci: (A) ; (B) a ; (C) { 4;2;1∈a } { }6;4;2;0∈ { }8;6;4;2;0∈a ; (D) { }8;6;4;2∈a

3. Dacă ¾ din distanţa dintre două oraşe este de 60 km, atunci distanţa dintre cele două oraşe este de: (A) 70 km; (B) 60 km; (C) 80 km; (D) 110 km;

4. Dacă 1 este soluţie a ecuaţiei 1)1(2 +−=− axa , atunci este: a(A) 1; (B) 2; (C) 0; (D) -1;

5. Factorizarea numărului: x2 23 +− x este: (A) ; B) ( ) ; C)( )( 21 −− xx ) )( 12 −+ xx ( )( )12 +− xx ; (D) ( )( )31 +− xx ;

6. Aria unei feţe a unui cub este de 16 cm2. Diagonala cubului este egală cu: (A) 16 cm; (B) 22 cm; (C) 34 cm; (D) 4 cm;

7. Dimensiunile unui dreptunghi sunt: 8 cm şi 6 cm. Perimetrul dreptunghiului este egal cu: (A) 20 cm; (B) 48 cm; (C) 14 cm; (D) 28 cm;

8. Un cilindru circular drept are R = 4 cm şi h = 5 cm. Volumul cilindrului este egal cu: (A) 160π cm3; (B) 80π cm3; (C) 20π cm3; (D) 100π cm3;

9. Într-un triunghi isoscel măsura unui unghi de la baza triunghiului este de 30o. Măsura unghiului opus bazei este de: (A) 100o; (B) 150o; (C) 60o; (D) 120o;

Partea II

10. Se dau rapoartele 12

1)( 2

2

1 ++−

=xx

xxf şi 3496)( 2

2

2 ++++

=xxxxxf .

a. Aflaţi valorile lui x reale pentru care rapoartele date nu au definită valoarea

b. Arătaţi că 31

)()(

2

1

+−

=xx

xfxf

c. Aflaţi valorile întregi ale lui x pentru care Zxx

∈+−

31

11. Preţul unui obiect s-a majorat cu 10%, apoi s-a majorat din nou cu 10%, noul preţ fiind astfel de 1.331.000 lei. Aflaţi preţul iniţial al obiectului.

12. Un trunchi de con circular drept are secţiunea axială un trapez isoscel cu: baza mare de 30 cm; baza mică 18 cm şi h = 8 cm. Se cere:

a. Aria laterală, aria totală şi volumul trunchiului b. Aria laterală, aria totală şi volumul conului din care provine trunchiul.

1



1. B; 2. C; 3. C; 4. A; 5. A; 6. C; 7. D; 8. B; 9. D;

Partea II

10. a) ; { } { 1;3;1 −−∈−∈ xx } c) ; { }7;1;5;1;4;2 −−−−−∈x

11. 1100000 lei; 12. a) Al = 240π cm2; At = 546π cm2; V = 1176π cm3;

b) Al = 375π cm2; At = 600π cm2; V = 1500π cm3.

2

::TEST 59 I. Completează spaţiile punctate:

1. Scrieţi în ordine crescătoare numerele: -7,25; + 4,9; + 4,8; - 5,10: 2. Cel mai mic multiplu comun a numerelor: 12; 20 şi 25 este .................. 3. Se dau numerele 4,5 şi 12,5.

a) Media lor aritmetică este .............. b) Media lor geometrică este .............

4. Soluţiile naturale ale inecuaţiei 352 ≤−x sunt ................................ 5. Dintre numerele 25 şi 172 mai mic este….

II. Alege răspunsul corect:

6. Perimetrul unui triunghi echilateral cu lungimea laturii de 311 cm este: a) 2142 cm; b) 333 cm; c) 674 cm 7. Numărul cu mai mare decât 7 este: 4/)142( +⋅

a) 9,25; b) 36/4; c) 10,02 8. Descompunerea în factori a expresiei ( ) 112 2 ++− xx este:

a) ; b) ( 33 −x ) )( )( 321 +− xx ; c) ( )( )121 −+ xx 9. O prismă patrulateră regulată are latura bazei de 7 cm şi diagonala unei feţe de

9 cm. Înălţimea prismei este: a) 24 cm; b) 10 cm; c) 211 cm

III. Rezolvă: 10. Într-o curte sunt păsări şi oi, în total 65 capete şi 180 de picioare.

a) Câte păsări şi câte oi sunt în curtea respectivă? b) În curte sunt găini şi raţe. Ştiind că numărul găinilor este de trei ori mai mare

decât numărul raţelor, aflaţi câte găini şi câte raţe sunt în curte? 11. Distanţa dintre două oraşe A şi D este de 280 kilometri. Între cele două oraşe

se află două localităţi B şi C (A, B, C, D coliniare, în această ordine). Distanţa dintre oraşul A şi localitatea B este jumătate din distanţa dintre cele două oraşe, iar distanţa dintre cele două localităţi este o pătrime din distanţa dintre localitatea B şi oraşul D.

a) Aflaţi distanţa dintre cele două localităţi. b) Aflaţi distanţa dintre localitatea C şi oraşul D.

12. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' are lungimea laturii mari AB = 8 cm, lungimea înălţimii OO' egală cu 3/4 din lungimea bazei mari şi volumul de 258 cm³.

a) Realizaţi un desen corespunzător textului, apoi scrieţi ipoteza şi concluzia problemei.

b) Aflaţi lungimea laturii bazei mici a trunchiului. c) Determinaţi aria laterală a trunchiului. d) Aflaţi lungimea înălţimii piramidei din care provine trunchiul.

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE I 1. –7,25; -5,10; +4,8; + 4,9 2. 300 3. a) 8,5; b) 7,5 4. 0; 1; 2; 3; 4

5. 25 Total 25 puncte II 6. b) 333 cm 7. a) 9,25 8. c) (x+1)(2x-1)

9. a) 24 Total 20 puncte III 10. a) x numărul păsărilor, y numărul oilor 1p x + y = 65 2p 2x + 4y = 180 2p y = 25 2p x = 40 2p

b) g numărul găinilor, r numărul raţelor 1p g + r = 40 1p g = 3r 1p 3r + r = 40 2p r = 10, g = 30 2p

Total 16 puncte 11. Desen 2p a) AD = 280 km, AB = 140 km 1p BD = AB = 140 km 2p BC = 35 km 2p b) CD = BD – BC 1p CD = 105 km 1p Total 9 puncte 12. a) Desen + ipoteză + concluzie 2p + 1p + 1p b) OO' = 6 cm, OO' înălţimea trunchiului 1p Formula volumului 1p

A'B'² + 8A'B' – 65 = 0 2p ∆ = 324 1p A'B' = 5 cm 2p c) Formula 1p

Apotema trunchiului = 2/173 cm 2p

Al = 1739 cm² 1p d) Completarea desenului 1p

VO'/VO = A'B'/AB 1p VO' = VO – OO' 1p VO = 16 cm 2p Total 20 puncte 10 puncte din oficiu


1. Rezultatul calculului 4 · 17 – 4 · 5 este ............ 2. Dintre numerele 4,0503 şi 4,0513 mai mic este .................. 3. Cel mai mare divizor comun al numerelor 28 şi 100 este ................ 4. Un cub are muchia de 8 cm. Diagonala cubului are lungimea egală cu ..... cm. 5. Volumul unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei de 6 dm şi înălţimea

de 9 dm este .............

6. Media geometrică a numerelor a = 6 + 2 şi b = 6 - 2 este… 7. Se consideră funcţia f: R R, f(x) = 4x – 2a. Punctul A(1;4) aparţine graficului

funcţiei f pentru a = .....… 8. Un dreptunghi are aria de 225 cm² şi lungimea de 25 cm.

a) lăţimea dreptunghiului este de ......... cm; b) perimetrul dreptunghiului este de ......… cm.

9. Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporţionale cu numerele 2; 3 şi 5. a) Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu ...........°. b) Măsurile unghiurilor triunghiului sunt ..........°; ........ °; ........ °

II. Rezolvă:

10. Dacă o gospodină ar cumpăra 5 kilograme de vişine cu 30000 lei kilogramul, 8 kilograme de vişine cu 25000 lei kilogramul şi 12 kilograme de vişine cu 40000 lei kilogramul, atunci cât ar costa în medie un kilogram de vişine?

11. a) Să se afle x din proporţia:

.93

74=

+x

b) Determină numărul real m astfel ca (m - 2; m + 3) să fie soluţie a ecuaţiei: . Ryxyx ∈=−+ ,,0632

12. Fie funcţia ]( ,)(,2;: baxxfRf +=→∞− punctul A(-1;-2) aparţine graficului funcţiei f, iar a este de trei ori mai mare decât b.

a) Calculaţi valorile lui a şi b. b) Reprezentaţi grafic funcţia f, pentru a = 3 şi b = 1. c) Pentru aceleaşi valori ale lui a şi b, calculaţi: f(-3) + f(-2) + … + f(1) + f(2)

13. O prismă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ are AB = 4 cm, AA’ = 6 cm şi M mijlocul laturii BB’.

a) Realizaţi un desen corespunzător textului, apoi scrieţi ipoteza şi concluzia problemei.

b) Aflaţi aria laterală, aria totală şi volumul prismei. c) Arătaţi că triunghiul AMC este isoscel. d) Aflaţi tangenta unghiului MNB, unde N este mijlocul laturii AC.

BAREME CORECTARE ŞI NOTARE I 1. 48 5p 2. 4,0503 5p 3. 4 5p 4. 38 5p 5. 108 5p 6. 2 5p

7. 0 5p 8. a) 9 3p b) 68 2p 9. a) 180° 2p b) 36° ; 54°; 90° 1p+1p+1p

Total 45 puncte II

10. 12854000012250008300005

++⋅+⋅+⋅

4p

Calculul înmulţirilor 2p Preţul mediu: 33200lei 1p Total 7 puncte

11. a) 4x + 7 = 27 2p 4x = 27 – 7 1p x = 5 1p b) x = m – 2; y = m + 3 1p 2(m – 2) + 3( m + 3 ) – 6 = 0 2p 2m – 4 + 3m + 9 – 6 = 0 2p 5m = 1 1p Finalizare 1p Total 11 puncte 12. a) f(-1) = -2 1p

-a + b = -2 1p a = 3b 1p -3b + b = -2 1p b = 1 şi a = 3 1p b) f:(- ∞;2] → R, f(x) = 3x + 1 1p Reprezentare grafică 3p

c) f(-3) + f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) = (-8) + (-5) + (-2) + 1 + 4 + 7 2p Finalizare 1p

Total 12 puncte 13. Desen + ipoteză + concluzie 2p+1p+1p

a) Al = 72 cm² 1p

At = 72 + 38 cm² sau At = 8(9 + 3 ) cm² 2p

V = 24 3 cm³ 1p

b) ∆MBA ≡ ∆MBC (sau altă soluţie) 3p Finalizare 1p c) Identificarea ∆MBN ca dreptunghic 1p

tg(<MNB) = MB/NB 1p Finalizare 1p Total 15 puncte 10 puncte din oficiu

::TEST 61 I. Alege răspunsul corect:

1. Rezultatul calculului (2,5 + 7,5 – 2,4) : 2 este: a) 2,5 ; b) 3,8 ; c) 4,8.

2. Valorile lui y pentru care numărul y25 este divizibil cu 5 sunt: a) 1; 3 b) 0; 2; 5 c) 0; 5.

3. Aria unui triunghi echilateral este 312 cm². Lungimea laturii triunghiului este:

a) 25 cm; b) 34 cm; c) 64 cm. 4. O piramidă patrulateră regulată are volumul de 1024 cm² şi lungimea laturii bazei

este de 16 cm. Lungimea înălţimii este: a) 12 cm; b) 15 cm; c) 14,5 cm; d) 12,8 dm. II. Completează spaţiile punctate:

5. Fie funcţia f : R → R, f(x) = (m+1)x – 5. Dacă punctul M (2;3) aparţine graficului funcţiei f, atunci valoarea lui m este ....................

6. Rezultatul calculului (x + 3)(x – 3) este ........................................ 7. Media geometrică a numerelor 4 şi 81 este ...................... 8. Un triunghi dreptunghic are lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză de 7 cm,

respectiv 9 cm. Lungimile catetelor sunt ....... cm, ….... cm. 9. Soluţiile reale ale ecuaţiei x² – 8x + 7 = 0 sunt ...............

III. Rezolvă:

10. Un călător are de parcurs 300 de kilometri în trei zile. În prima zi parcurge 60% din drum, a doua zi parcurge 30% din cât a parcurs în prima zi, iar în a treia zi restul.

a) Câţi kilometri a parcurs în fiecare zi ? b) Care este raportul dintre distanţa parcursă în a doua zi şi distanţa parcursă în

a treia zi? c) Cât la sută din distanţa parcursă în ultimele două zile, reprezintă distanţa

parcursă în prima zi?

11. a) Efectuaţi: 2(x² – 3x +7) – 5x(x+7) + 3(5 –3x + x²). b) Rezolvaţi ecuaţia:

32246310287 −−−++=x

12. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are aria bazei mari de 300 3

cm², aria bazei mici de 27 3 cm² şi înălţimea de 8 cm. a) Aflaţi volumul trunchiului de piramidă. b) Determinaţi lungimile laturilor celor două baze. c) Calculaţi volumul piramidei din care face parte trunchiul de piramidă. d) Aflaţi valoarea tangentei unghiului diedru pe care îl face o faţă laterală a

trunchiului de piramidă şi planul bazei mari.

BAREME DE CORECTARE ŞI DE NOTARE I

1. b) 3,8; 2. c) 0; 5; 3. b) 4 3 ; 4. a) 12 cm Total 20 puncte II 5. m = 3; 6. x² – 9; 7. 18; 8. 4 7 ; 12; 9. 7; 1. Total 25 puncte III

10. a) 180 km; 54 km; 66 km 6p b) 9/11 2p c) p% · 120 = 180 2p

p% = 150% 2p Total 12 puncte

11. a) Desfacerea parantezelor 2p -50x +29 2p

b) 28 + 10 3 = (5 + 3 )² 2p

6 – 4 2 = ( 2 – 2 )² 2p

7x = │5 + 3 + | 2 – 2| – | 2 – 3 | 2p

7x = 5 + 3 + 2 – 2 – 3 + 2 2p x = 1 2p Total 14 puncte

12. a) Desen + ipoteză + concluzie 2p + 1p + 1p Formula volumului 1p

V = 1112 3 cm³ 2p

b) L = 20 3 cm 1p

L = 6 3 cm 1p c) Formula volumului 1p 3/10 = (H – 8)/H, unde H este înălţimea piramidei 4p H = 80/7 cm 1p

V = 8000 3 /7 cm³ 1p c) tg(<u) = 8/7 3p

10 puncte din oficiu Total 19 puncte


1. Rezultatul calculului 4³:2³ – 8 este …….. 2. Soluţia naturală a ecuaţiei x² – 16 este ……. 3. Media aritmetică ponderată a numerelor 6 şi 9 cu ponderile 5, respectiv 10 este

………. 4. Un triunghi dreptunghic are înălţimea de 12 cm şi proiecţia unei catete de 10 cm.

a) Lungimea proiecţiei celeilalte catete este ……cm b) Lungimea ipotenuzei este de ……cm.

II. Alege răspunsul corect: 5. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 100 şi 625 este:

a) 2501; b) 2500; c) 7250. 6. Descompunerea în factori a expresiei 4x² – 25 este:

a) (2x – 3)(2x – 5); b) ( x - 1)( 2x + 5); c)(2x – 5 )(2x + 5). 7. 5 ouă costă 12500 lei, 12 ouă costă:

a) 35000lei; b) 40000 lei; c) 30000 lei; d) 25000 lei. 8. Dacă ecuaţia de gradul I cu două necunoscute 5x + 7y = 74 are x = 5, atunci y va

fi: a) 4; b) 12; c) 8,5; d) 7.

9. Un romb are o diagonală de 12 cm şi aria de 96 cm². Lungimea celeilalte diagonale este:

a) 16 cm; b) 21 cm; c) 16,8 dm; d) 14 cm. III. Rezolvă:

10. a) Efectuaţi: (x + 5)² - (x - 4 )² + (3x – 5)(3x + 5) b) Se dă ecuaţia: x² - (m + 5)x + 12 = 0. Ştiind că ecuaţia admite soluţia 6,

aflaţi: 1. Valoarea necunoscutei m. 2. Cealaltă soluţie a ecuaţiei.

11. Găsiţi funcţia de gradul I al cărui grafic este segmentul [AB], unde A(3;-6) şi B(4;1).

12. O piramidă patrulateră regulată SABCD are diagonala bazei BD = 12 3 cm, înălţimea SO = 8 cm şi punctul M mijlocul laturii AB.

a) Calculaţi aria triunghiului SBD. b) Aflaţi aria laterală, aria totală şi volumul piramidei. c) Fie P mijlocul apotemei SM. Calculaţi distanţa de la O la P, apoi arătaţi că

triunghiurile SOP şi POM sunt echivalente.

BAREME DE CORECTARE ŞI NOTARE I 1. 0; 2. 4; 3. 8; 4. a) 14,4 cm; b) 24,4 cm Total 20 puncte II 5. b) 2500; 6. c) (2x – 5 )(2x + 5); 7. c) 30000 lei; 8. d) 7; 9. a) 16 cm Total 25 puncte III 10. a) (x²+ 10x + 25) – (x² – 8x + 16) + (9x²– 25) 3p

x²+ 10x + 25 – x² + 8x – 16 + 9x² – 25 2p 9x²+ 18x – 16 1p

b) 1. 6² – (m + 5)6 + 12 = 0 1p 6(m+5) = 36 + 16 2p m = 3 2p

2. x² – 8x + 12 = 0 1p x = 2 2p

Total 14 puncte 11. f: [3;4] → R, f(x) = ax + b, a =?, b =? 2p f(3) = -6 => 3a + b = - 6 2p f(4) = 1 => 4a + b = 1 2p a = 7 2p b = -27 1p f: [3;4] → R, f(x) = 7x – 27 2p Total 11 puncte 12. Desen + ipoteză + concluzie 2p + 1p + 1p

a) Aria = 48 2 cm² 2p b) AB = 12 cm 1p

Perimetrul = 48 cm 1p SM = 10 cm 3p Al = 240 cm² 2p Ab = 144 cm² 1p At = 384 cm² 1p V = 384 cm³ 1p

c) P mijlocul laturii SM => OP mediană => OP = SM/2 => OP= 5 cm 2p [SP] ≡ [PM], aria triunghiului POM egală cu aria triunghiului SOP 2p

10 puncte din oficiu Total 20 puncte


1. Rezultatul calculului: (5³ · 5³ · 5²) · (5⎯³· 5⎯²) – 100 este ........… 2. Mulţimea divizorilor întregi a numărului 1o este…. 3. Descompunerea în produs de doi factori ai expresiei x² – 8x + 7 este

............................…. 4. Se dau numerele naturale a şi b. Cel mai mare divizor comun al lor este 23, iar cel

mai mic multiplu comun al lor este 276. Produsul celor două numere a şi b este ................….

5. O urnă conţine 7 bile roşii şi 13 negre. a) Probabilitatea extragerii unei bile roşii este ......…. b) Probabilitatea extragerii unei bile negre este …......

6. Un dreptunghi are diagonala de 12 cm şi una dintre laturi de 6 3 cm. a) Lungimea celeilalte laturi este….cm. b) Aria dreptunghiului este ….cm² .

7. Rezultatul calculului: 28 ─ 635 + 1122 este …. 8. Un pătrat are diagonala de 8 2 dm.

a) Latura pătratului este …. dm. b) Aria pătratului este …. dm².

9. a) Un triunghi MNP are m(<M) = 35° şi m(<N) = 45°30'. Măsura unghiului P este …. b) Un patrulater convex ABCD are m(<A) = 50°, m(<B) = 75° şi m(<D) = 100°.

Măsura unghiului C este …. II. Rezolvă:

10. Să se determine elementele mulţimilor A şi B, ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile:

1. A U B = {– 5; 3; – 4; 6; –2; 0; –3} 2. A – B = {– 4; 3} 3. A ∩ B = {–5; – 3; 0}.

11. a) Efectuaţi: (–2xz) · (–5xy) – (4x³y²z³):(–2xyz²).

b) Simplificaţi fracţia: 93155−−

xx

.

12. Suma a trei numere naturale a, b şi c este 168. Suma primelor două numere este 98, iar suma ultimelor două este 108.

a) Aflaţi cele trei numere. b) Care este raportul dintre primul număr şi al doilea număr. c) Cât la sută reprezintă primul număr din suma ultimelor două numere.

13. O prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' are înălţimea OO' = 6 cm, AC ∩

BD = {O}, A'C' ∩ B'D' = {O'}, BC = 3 5 cm. Să se calculeze: a) Lungimea diagonalei feţei BCC'B'. b) Aria laterală, aria totală şi volumul prismei. c) Sinusul unghiului O'AC.

BAREME DE CORECTARE ŞI DE NOTARE I 1. 25; 2. {±1; ±2; ±5; ±10}; 3. (x – 1)(x – 7); 4. 6348; 5. a) 7/20; b) 13/20

6. a) 6 cm; b) 36 3 cm²; 7. –5 7 ; 8. a) 8 dm; b) 64 dm² 9. a) 99º 30'; b) 135º Total 45 puncte II 10. A – B = …. => – 4 Є A şi 3 Є A 3P A ∩ B = ....…. => –5; -3; 0 elemente comune celor două mulţimi 3p A = {–4; 3; –5 ;–3; 0 }; B = {–5; –3; 0; 6; –2} 2p Total 8 puncte 11. a) 10x²yz + 8x²yz = 18x²yz 1p +1p

b) 5x – 15 = 5(x – 3) 2p 3x – 9 = 3(x – 3) 1p Finalizare 1p

Total 6 puncte 12. a) a + b + c = 168 1p a + b = 98 1p b + c = 108 1p (a + b + c) + b = 108 + 98 2p 168 + b = 206 => b = 38 1p a + 38 = 98 => a = 60 1p

b) a/b = 30/19 2p c) p% = 55,(5)% 2p Total 11 puncte

13. Desen + ipoteză + concluzie 4p a) Identificarea triunghiului C'CB ca dreptunghic 1p C'B = 9 cm 2p

b) P = 12 5 cm 2p

Al = 72 5 cm² 2p

At = 72 5 + 90 cm² sau At = 18 (4 5 + 5) cm² 2p c) ∆O'OA: m(<O) = 900; sin(<O'AC) = sin(<O'AO) 1p sin(<O'AO) = O'O/O'A 1p

AO = 3 10 /2 2p

O'A = 3 26 /2 2p

sin(<O'AO) = 2 26 /13 1p 10 puncte oficiu Total 20 puncte

16381830 Teste de Matematic Pentru Clasa a 8a

Documents

Transcript of 16381830 Teste de Matematic Pentru Clasa a 8a