CLASA a V-aProfesor V Corcalciuc Scoala nr. 146 I G Duca Bucuresti

(Lectii facute conform programei pentru clasa a V-a )

NUMERE NATURALELECTIA 6

DIVIZIBILITATE(partea I)Prin inmultirea unui numar a, diferit de 0 cu un numar natural n spunem ca am obtinut un multiplu a lui a. multiplu a lui aIn acest caz vom spune ca N este divizibil cu a si notam sau .Un numar natural a este divizibil cu un numar natural b daca exista un numar natural c astfel incat a=bc.Notam multimea divizorilor unui numar n cu , iar multimea multiplilor cu .Exemple: 1. 2. 3. 4. 5. Observatii.

1. Multimea divizorilor unui numar natural diferit de 0 este o multime finita, iar multimea multiplilor sai, este infinita.

2. Daca numarul natural a nu divide numarul natural N scriem semnul de divizibilitate taiat cu o linie.

3. Pentru a afla daca un numar natural N este divizibil cu un numar natural nenul a, procedam astfel:

- impartim numarul N la a;- daca restul impartirii este 0, atunci numarul N este

divizibil cu a, iar daca restul impartirii este diferit de 0, atunci numarul N nu este divizibil cu a.

Proprietati ale relatiei de divizibilitate.1.Orice numar natural se divide cu 1; deoarece

2. Orice numar natural se divide cu el insusi; deoarece

3. Numarul 0 se divide cu orice numar natural n; deoarece . Zero este multiplul oricarui numar natural.

4. Proprietatea de tranzitivitate. Daca a se divide cu b, atunci a se divide cu orice divizor a lui b.

si

5. Daca un numar divide fiecare termen al unei sume, atunci el divide si suma:

6. Daca unul din factorii unui produs se divide cu un numar atunci produsul se divide cu acel numar. a,b,c,d fiind numere nenule.

7. Daca numarul natural a se divide cu numarul natural b si b se divide cu a, atunci a=b;

Exercitii1. Scrieti multimea divizorilor si multimea primilor 4 multiplii

pentru numerele; 18; 36; 42; 100.2. Sa se arate ca: a) b) c) se divide cu 39 si 40. d) e) f) 3. Sa se arate ca 4. Sa se arate ca : a)

b)

Criterii de divizibilitate.Fara a folosi impartirea exista metode pentru a arata daca un numar este divizibil sau nu cu altul.Aceste metode se numesc criterii de divizibilitate. Aceste criterii se refera la divizibilitatea cu 2,3,4,5,9,10,25, 10 si puteri ale lui 10. Mai exista criterii de divizibilitate pentru 7 si 11.

Criteriul de divizibilitate cu 10.Daca ultima cifra a unui numar este 0 atunci numarul se divide cu 10. Exemplu: 20; 120; 34620. Numerele care nu au ultima cifra 0 nu se divid cu 10.Observatie: daca numarul se divide cu 10 atunci el se divide cu deci se divide si cu 2 si cu 5.

Criteriul de divizibilitate cu 100 sau 1000( sau alte puteri ale lui 10).Orice numarnatural se divide cu daca ultimele sale n cifre sunt 0.Exemple:

Exercitii.1. Aflati numerele naturale < 145 care se divid cu 10.2. Aflati numarul natural n astfel incat numarul

3. Sa se arate ca numarul

Criteriul de divizibilitate cu 5Orice numar natural se divide cu 5 daca ultima cifra este 0 sau 5.

Exemple: 25; 15; 20; 320; 325

Exercitii.1. Care din urmatoarele numere sunt divizibile cu 5 si de ce: 120; 24; 35; 30; 38; 2345; 2344; 1285; 245; 280; 423; 425; 222; 555;2. Care sunt numerele de forma 3. Determinati cel mai mic sic el mai mare numar de forma 4. Care sunt numerele de forma daca suma cifrelor este 175. Care sunt numerele de forma 6. Sa se afle cel mai mic numar natural n astfel incat numarul de forma

Criteriul de divizibilitate cu 2.Daca ultima cifra a unui numar este para, atunci numarul se divide cu 2.

Exemplu:

Exercitii.1. Care sunt numerele de forma ?2. Care este cea mai mare valoare a sumei ?3. Care sunt numerele divizibile cu 2 cuprinse intre 23 si 67 ?4. Sa se afle numerele de forma .5. Sa se afle numerele de forma stiind ca sunt cuprinse

intre numerele 327 si 339.6. Care sunt numerele de forma stiind ca suma cifrelor

este 12 ?

Criteriul de divizibilitate cu 3 respectiv 9.Un numar natural este divizibil cu 3, respectiv 9, daca suma cifrelor sale este un multiplu de 3, respectiv 9.

Exemplu: Observam ca

Exercitii.1. Care dintre urmatoarele numere sunt divizibile cu 3 sau cu 9:

1234; 25481; 456; 347; 288; 897; 12345; 45676.2. Scrieti toate numerele de forma ; ; 3. Care sunt numerele de forma S= ?4. Care sunt numerele de forma ?5. Sa se scrie numerele de forma .6. Sa se arate ca .7. Sa se arate ca .8. Sa se arate ca

Criteriul de divizibilitate cu 4.Un numar natural este divizibil cu 4 daca ultimele sale doua cifre formeaza un numar multiplu de 4.

Exemple: 124; 3588; 300; 5364; 234744;1088;204

Exercitii.1. Care este cel mai mic si cel mai mare numar de forma 2. Care sunt numerele divizibile cu 4 cuprinse intre 123 si 146?

Criteriul de divizibilitate cu 25.Un numar natural este divizibil cu 25 daca ultimele doua cifre formeaza un numar multiplu de 25.

Exemple: 3400; 250; 1275; 350; 875; 425.

Exercitii.1.Care este cel mai mic numar si cel mai mare numar de forma

2. Care sunt numerele divizibile cu 25 cuprinse intre 1123 si 1423?