Recapitulare Numere Naturale

download Recapitulare Numere Naturale

of 15

  • date post

    03-Mar-2016
  • Category

    Documents

  • view

    57
  • download

    2

Embed Size (px)

description

Exercitii recapitulative pentru clasa a 5-a

Transcript of Recapitulare Numere Naturale

An colar: 2015-2016Profesor: Podar Augustin-Daniel

Clasa a 5-aV1. Pagina 1 din 11

Conform cu programa colar aprobat prin Ordinul Ministrului Educaiei, Cercetrii i Tineterului nr. 5097/09.09.2009

Numerele naturalePagina 7 din 12

Recapitulare numerele naturaleBreviar teoretic Numerele naturale sunt numerele 0,1,2,3, Proprieti ale adunrii: 1. Asociativitatea: 2. Comutativitatea: Proprieti ale nmulirii:1. Distributivitatea fa de adunare: 2. Comutativitatea: Teorema mpririi cu rest: Dac Ridicarea la puterePutere= de cte ori nmulim numarul cu el nsui.

Compararea puterilor:Vom putea compara doua numere cu putere in urmatoarele cazuri: 1. Dac avem aceeai baz 2. Dac avem aceeai putere:

Proprieti ale puterilor

Ordinea efecturii operaiilorOperaiile din parantez Ridicarea la putere nmuliri i mpriri Adunri i scderi Divizor, multiplu, divizibilitateDefiniie: b este divizorul lui a dac a se mparte exact la b. Exemple: 27 : 9 = 3 , rezult c 9 este divizorul lui 27, dar i 3 este divizorul lui 27 35 : 5 = 7 , rezult c 5 i 7 sunt divizorii lui 35

Definiie: b este divizorul lui a este sinonim cu a spune c a este divizibil cu b. Notaia matematic pentru divizibil este . Exemplu:

Exemplu:

Definiie: Dac a este divizibil cu b , atunci a se numete multiplul lui bDefiniie: Da= mulimea format din divizorii numrului a. Exemplu: D6={1,2,3,6}, deoarece divizorii numrului natural 6 sunt 1,2,3 i 6.

Definiie: Ma= mulimea multiplilor numrului natural aExemplu: M3={3,6,9,12,}

Definiie: Numr prim este acel numr care i are ca divizori doar pe 1 si pe el nsuiExemplu: Numrul 3 este num prim deoarece este divizibil doar cu 1 i 3Numerele 2,5,7, 11 sunt i ele numere prime.

Criterii de divizibilitate:Criteriul cu 2 : Un numr natural este divizibil cu 2 dac i numai dac are ultima cifr : 0, 2, 4, 6, 8 Exemple de numere divizibile cu 2 : 16 , 258 , 7890 , 6574 Exemple de numere care nu sunt divizibile cu 2 : 17 , 255 , 7891 , 6579

Criteriul cu 3 (9): Un numr natural este divizibil cu 3 (ori 9) dac suma cifrelor sale se divide la 3 (ori 9).Exemple de numere divizibile cu 3: 3,6,9,12,24,36, 168Exemple de numere divizibile cu 9: 18,45,279,12645Exemple de numere care nu sunt divizibile cu 3: 8,22,142

Criteriul cu 5 : Un numr natural este divizibil cu 5 dac i numai dac are ultima cifr : 0 sau 5 Exemple de numere divizibile cu 5 : 165 , 2585 , 7890 , 6575 Exemple de numere care nu sunt divizibile cu 5 : 17 , 251 , 6559

Criteriul cu 10 : Un numr natural este divizibil cu 10 dac i numai dac are ultima cifr : 0 Exemple de numere divizibile cu 10 : 160 , 2580 , 7890 , 6570 Exemple de numere care nu sunt divizibile cu 10 : 173 , 2512 , 6555 .

Media aritmetic a dou numere naturale Media aritmetic a numerelor a i b este : Exemplu: Media aritmetic a numerelor 20 i 50 este:

Fia de lucru nr. 1

I.irul numerelor naturale; reprezentarea numerelor naturalepe axa numerelor. Compararea numerelor naturale1. Se dau numerele: 337, 1703, 832 656, 223 979, 27 958 033.a) Scriei n litere fiecare dintre numere de mai sus;b) Scriei predecesorul i succesorul fiecruia dintre numerele date;c) Numii numrul de mii, sute i zeci din fiecare dintre numere;d) Precizai valoarea cifrei 3 din fiecare numr.2. Ordonai cresctor i apoi descresctor numerele: 129; 1628; 43; 354; 1237; 293; 2578; 1751; 69; 53987; 182; 72802.3. Scriei cu cifre romane numerele naturale 67 i 1497.4. Se consider irul de numere naturale 2,5,8,11,14,a) Calculai diferena dintre al 2015-lea termen al irului si al 215-lea termen al iruluib)Calculai suma primilor 2015 termeni ai sirului 5. Cte numere naturale de trei cifre ncep cu cifra 8 ?6. Fie irul de numere natural 1,8,15, 22, 29,..a)Verificai dac 2014 este termen al irului.Dar 2013?b)Care este al 2014-lea termen al sirului?c)Calculai suma 1+8+15+......+2010

II.nmulirea numerelor naturale. Factor comun6. Aflai numrul:a) de 36 de ori mai mare dect 127;b) de 87 de ori mai mare dect 876;c) de 9 ori mai mare dect dublul lui 17;d) de apte ori mai mare dect triplul lui 70;e) de 111 ori mai mare dect suma numerelor 609 i 702;f) de 8 ori mai mare dect diferena numerelor 73 i 49.7. Efectuai utiliznd factorul comun:a) 43 57 + 57 88;b) 3 991 + 97 991;c) 11 111 11;d) 308 17 + 8 13 300 17;e) 2400 + 645 240 240 250;f) 12 + 5 12 + 12 17 + 12 12 25 12;g) 100 99 99 98 + 98 97 97 96 +...+ 4 3 3 2 + 2 1.

III.mprirea, cu rest zero, a numerelor naturale cnd mpritorul are mai mult de o cifr8. Efectuai mpririle de mai jos: a)1230 : 3; b) 123 : 3; c) 124 : 4; d) 126 : 9; e) 1225 : 35; f) 19600 : 5; g) 928 : 32; h) 12975 : 15; i) 14192 : 16; j) 9940 : 28; k) 93060 : 66; l) 7524 : 22; m) 22790 : 86; 9. Aflai numrul:a) de opt ori mai mic dect treimea lui 168;b) de 27 de ori mai mic dect suma numerelor 149 i 67;c) de trei ori mai mic dect sfertul sumei numerelor 28 i 116.10. De cte ori este mai mare produsul numerelor 144 i 16 dect ctul lor ?11. Suma a dou numere naturale este de 6 ori mai mic dect 960. Unul dintre numere este de 3 ori mai mic dect cellalt. Care sunt cele dou numere ?12. Pentru un gard din lemn, lung de 48 m, se pun stlpi din 4 n 4 metri. De ci stlpi are tmplarul nevoie ?13. Aflai sfertul jumtii unei treimi din 72.

IV.mprirea cu rest a numerelor naturale.Teorema mpririi cu rest n N. 14. Precizai ctul i restul urmtoarelor mpriri:a)1234 : 3; b) 112 : 13; c) 129 : 4; d) 125 : 9; e) 1225 : 15; f) 8375 : 18; g) 6123 : 85; h) 91103 : 49; i) 1500 : 11; j) 7980 : 37.15. Se d n : 7 = 7 rest 5. S se afle n. Calculai-l pe n n cazurile:a) n : 68 = 32 rest 7;b) n : 123 = 9 rest 5.16. La o mprire cu restul 19, mpritorul este 126, iar ctul este jumtate din mpritor. Ct este dempritul ?17. Aflai dempritul, tiind c mpritorul este 22, ctul este 23 iar restul este 21.18. Aflai toate numerele naturale care mprite la 5 dau ctul egal cu restul.19. tefan trebuie s vopseasc stlpii unui gard situai la o distan de 2 metri unul fa de altul, n alb i albastru. Gardul mprejmuiete un teren n form de dreptunghi avnd media aritmetic a dimensiunilor sale 105. tiind c tefan vopsete un stlp albastru-doi albi-unul albastru-doi albi .a.m.d. , aflai:a)n ce culoare va fi vopsit stlpul al 100-lea.Dar al 360-lea? b) Ci stlpi vor fi albi i ci albatri?20. La mprirea a dou numere naturale se obine ctul 7 i restul 3. Care sunt numerele dac suma lor este 155 ?21. Diferena a dou numere naturale este 222. Prin mprirea primului numr la al doilea se obine ctul 3 i restul 2. Aflai cele dou numere.22. Aflai cel mai mic numr natural de patru cifre care mprit la un numr natural format din dou cifre d restul 76.23. Suma a trei numere naturale este 183. Aflai numerele tiind c dac mprim pe primul la al doilea obinem ctul 4 i restul 3, iar dac l mprim pe al doilea la al treilea obinem ctul 3 i restul 4.Fia de lucru nr.2V. Ridicarea la putere cu exponent natural a unui numr natural24. Precizai care este baza i care este exponentul pentru puterile urmtoare:

a) 25baz, exponent; b) 0100baz, exponent; c) 717baz, exponent;25. Scriei ca o putere cu baza 2:a) 8 = ; b) 16 = ; c) 32 = ; d) 45 = ; e) 1 = ; f) 128 = g) 1024 = ; h) 16n = .26. Calculai:a) 52; b) 74; c) 28; d) 83; e) 210; f) 210; g) 101; h) 129; i) 02014; j) 43; k) 33; l) 3450; m) 6781; n) 12015. 26. Ordonai cresctor urmtorul ir de numere naturale: 20150; 522; 5202; 0202; 52; 52020; 52002; 51.27. Calculai: a) 12 + 24; b) 33 + 25; c) 43 + 24 42; d) 42 + 32 + 1109; e) (2220 + 0222 + 2221 2 102) 2 32 51; f) 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20.28.Ioana primete n dar de la o prieten un pomior de mr. La fiecare doi ani toi pomii dau ali doi pomiori. tiind ca Ioana planteaz toi pomiorii pe care i obine n livada sa, aflai ci pomi va avea n livad peste 9 ani.VI.Reguli de calcul cu puteri29. Calculai:a) 22 24; b) 22 25; c) 32 35; d) 52 530; e) 74 716; f) 45 48 30. Efectuai:a) 33 : 31; b) 56 : 52; c) 660 : 620; d) 98 : 93; e) (53)2; f) (1950)5; g) (799)0; h) 54 : 53 170;

i) (81 : 3)2; j) ; k) .31. Scriei sub form de putere:a) 2 22 23 24 25 26 =; b) 315 (34)5 : (33)11 =; c) d)330 + 330 =; e)315 + 315 + 315 =.32. Efectuai folosind regulile de calcul cu puteri: a) 412 : 410 =; b) 923 97 : 928 =; c) (133)10 : 1329 =; d) 103 105 : 107 =; 33. Efectuai: a) {92 + [62 (322 : 83 + 222 23) : 11] : 10} : 22 =;b) [(26)4 : 23 (26 + 26) 46 : 29] : (228 23) + 1 =;c) (2 + 2 3) {2 22 243 246 + [3148 : 343 (35)21] + 16} =.34. tiind c n este un numr natural, artai c: a) 7 3n + 2 3n = 3n + 2;b) 7 5n 2 5n = 5n + 1. 35. Dac 4n = k, s se calculeze: a) 22n; b) 22n+1; c) 24n.VII.Compararea puterilor care au acelai exponent sau aceeai baz. Ptratul i cubul unui numr natural36.Comparai puterile:a)36773766b)8243c)56414561

4102141012134503452241

4552544212212212312255335544

442030442303522564346534

88238832067006807300373300

12345123449920029920201199911990

689078901124405441455

37. Calculai ptratele numerelor de mai jos i reinei rezultatele:a) 02; b) 12; c) 22; d) 32; e) 42; f) 52; g) 62; h) 72; i) 82; j) 92; k) 102; l) 112; m) 122; n) 132; o) 142; p) 152; q) 162; r) 172; s) 182; t) 192; u) 202.38. Calculai cuburile numerelor de mai jos i reinei rezultatele:a) 03; b) 13; c) 23; d) 33; e) 43; f) 53; g) 63; h) 73; i) 83; j) 93; k) 103. 39. Scriei toate ptratele perfecte cuprinse ntre 27 i 197.40. Scriei toate cuburile perfecte cuprinse ntre 7 i 217.41. Artai c numrul natural A = 2011 + (2 + 4 + 6 + 8 + + 4020) este ptrat perfect.42. Precizai dac se obine ptratul sau cubul unui numr natural n urma efecturii calculului: 11 9 +11 21 +11 25 +11 66.42. Fie numrul natural a = (1610)100 : (420)50 2. Determinai dac a este cub perfect. Justificai.VIII.Noiunea de divizor. Noiunea de multiplu. Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 1043. tiind c Dn = mulimea divizorilor lui n, s se determine: D2, D4, D6, D8, D24, D25, D30, D36. 44. tiind c Mn = mulimea multiplilor lui n, s se determine (scriei primele cinci elemente): M2, M3, M4, M5, , M24, M25, M30, M100..

45. Scriei numerele naturale divizibile cu 2, cele divizibile cu 5 i apoi pe cele divizibile cu 10 din irul de numere naturale urmtor: 1; 2; 3; 5; 10; 12; 15; 20; 39; 130; 39; 45; 50; 123; 2010.46. Aflai suma divizorilor numrului 24.

47. Determinai numerele de forma divizibile cu 2.

48. Determinai numerele de forma divizibile cu 5.

49. Cte numere de forma sunt divizibile cu 10.50. Folosind cifrele 4, 0 i 5, o singur dat, s se scrie:a) numerele divizibile cu 2;b) numerele divizibile cu 5;c) numerele divizibile cu 10.51. Care dintre urmtoarele numere sunt divizibile cu 2, unde n este un numr natural nenul ?a) 2n; b) 2n + 1; c) 3n + 2; d) (n + 1)(n + 2); e) n(n + 2).

Fia de lucru nr.3IX.Numere prime. C.m.m.d.c. i c.m.m.m.c.52. Descompunei n factori primi urmtoarele numere: 8, 12, 25, 36, 40, 50, 72, 63, 144, 256, 48053. Calculai c.m.m.d.c i c.m.m.m.c pentru numerele:a)15 i 35; b)48 i 72; c)120 i 360 d)420, 490 i 350.54. Numerele 348, 790, 1180 mpriite la acelai numr natural dau resturile 12, 6 i 4. Aflai acel numr.55. Dac a*b=192 i (a,b)=4 atunci calculai [a,b].56. Enumerai cinci numere naturale prime i cinci numere naturale care nu sunt prime.57. Comparai suma numerelor prime cuprinse ntre 14 i 42 cu ([14,42], 36).58. Stabilii valoarea de adevr a propoziiilor:a)Numerele 15 i 29 sunt numere primeAF

b)Numerele 16 i 27 sunt numere prime ntre eleAF

c)[10,26]>ptratul numrului (24, 36)AF

d)Unul dintre numerele 8 i 18 mpreun cu numrul 27 formeaz o pereche de numere prime ntre eleAF

e)(48, 72) este divizibil cu [2,3]AF

f)Suma divizorilor numrului 18 este divizibil cu 3AF

59. Ci divizori are fiecare din numerele:91, 92, 360,400? Ci dintre aceti divizori sunt numere prime?60. Artai c numrul a+b+c este divizibil cu 63 unde a=1+3+5++41, b=10+30++410 i c=100+300++4100.X.Numere pare i numere impare61. ncercuii numerele impare n fiecare din exerciiile de mai jos: a) 56, 30, 45, 98, 62;b) 87, 58, 32, 26, 70;62. ncercuii numerele pare n fiecare din exerciiile de mai jos: a) 31, 27, 49, 1, 28;b) 90, 43, 85, 69, 3;63. Scriei toate numerele pare de forma:a)

b)

64. Scriei toate numerele impare de forma:a)

65. Care este cel mai mare numr natural impar scris cu trei cifre ? Dar cel mai mic ?

66. Aflai ce paritate are numrul (n + 1) + 17, unde nN*.

XI.Media aritmetic a dou numere naturale,cu rezultat numr natural. Aplicaii67. Calculai media aritmetic a numerelor: a) 24, 16, 8, 12;b) 25, 45, 23;68. Media aritmetic a dou numere este 75. Determinai numerele tiind c unul din ele este de patru ori mai mare decat cellalt.69. Calculai media aritmetic a trei numere tiind c luate cte dou au media aritmetic egal cu 9, cu 17 i respectiv cu 13.70. Iat notele lui Andrei de la matematic i limba romn. Completai coloana cu media.Note la oralNota la tez (t)Media notelor la oral (ma)Media semestrialm= (ma3+t):4

Limba Romn8, 9,10, 99

Matematic 10, 6, 8, 9, 7, 88

71. Calculai media aritmetic a numerelor n fiecare caz de mai jos:a) x = (121 117) : 4 + 45 i y = (27 + 21) 120 : (205 125);b) x = 117 523; y = 112 + 144 : 12 1; z = (2325 1345) 12 : 10.72. Suma numerelor a, b i c este 102, b este mai mare cu 2 dect a, iar c este mai mic cu 4 dect media aritmetic a numerelor a i b. Aflai numerele a, b i c. XII.Ordinea efecturii operaiilor 73. Calculai respectnd ordinea operaiilor: a) (30 3 313 : 35 + 1) : [(32)3 27 +30] = f)(22 3 53)100 : (2200 3100 5300) =

b) 211 39 + 39 210 610 = g)(88 412 : 224) : (224 412 : 88) : (166 640)=

c) (1010 109 ) : (109 108) = h)2101 599 + 1099 299 5100=

d)20153 20152 2014 2015 2014 2015 = i)[223 2u (15 )]2 : [2u (1996 ) (26)3]=

e)512 (3 + 2) : 511 = j)32016 32015 32014 5 91007=

74. Calculai respectnd ordinea operaiilor:a)[358 32 + 1530 : 1515 + 19950 (24 )15] : (315 515 + 225 : 232 + 364 : 34 - 224 236)=

b)33 + 320 : 318 3 + 3 38 : 36 + 310 : (8 35 + 35) 4 3 3 =

c)210 29 - 28 27 26 25 24 23 22 21 1=

d)3 {2 32 + 52 : 50 + 69 [24 3 (616)2 : 230 : (36)5 + 4725 : 63]} =

75. Stabilii cte zerouri i cte cifre are numrul: A=22n + 1 52n + 3 , n N 76. Se dau numerele : a = (25n : 5n + 34 43 - 17 5n) [(25 52 7) : 1993] + 1992; nN b = 32 19925 39845 + 23 3 83, c = 103 + 9 102 + 9 10 + 1. Calculai : (2a b c)1907 77. Calculai produsul tuturor numerelor de forma xy yx, unde x, y {1, 2, 3, , 100} cu x y. 78. Fie: a = 64 116 226 + 1; b = [(22)3 - 19950] : 321 (123 +412). Calculai: (b a)1995. 79. Fie: a = (1 + 2 + 3 +. + 1995) 2 : 1996; b = (217 : 48)1996 : 8665. Calculai: 2(a + b) 100. Fia de lucru nr.4XIII. Ecuaii n mulimea numerelor naturale. Ecuaii reductibile la cele studiate. Aplicaii80. Rezolvai urmtoarele ecuaii, unde x este numr natural:a) x + 7 = 16; b) x 12 = 3; c) x + (8 6) = 12; d) (6 4 + x) 2 = 8; e) 3x 7 = 8; f) 14 3x = 8; g) 84 : x 9 = 5; h) 20 121 : x = 9; i) 2(3x + 5) + 5 = 51; j) 5x + 7 = 272; 81. Rezolvai ecuaiile de mai jos n mulimea numerelor naturale:a) 4(x + 3) + 2(2x 2) = 5x + 14; b) 4x 23 = 43 + 3x + 3 21 2;c) (x + 192 : 2) 3 + 59 4 = 1988; d) 5 [8 (7x 16) 17] 16 = 99;e) 5 {6 [7 (4x 19) 29] 29} 6 = 29; f) 5 [ 2 (3x + 2) 11] + 2 = 27;g) 5 [2 (3x + 2) 11] + 108 = 128 + 5; h) {2 [20 (5 + x ) : 6] 5} : 9 + 17 = 20;82. S se rezolve ecuaiile:a) ; b) ;c) ;d) ;XIV.Inecuaii n mulimea numerelor naturale83. Determinai numerele naturale care verific inegalitile:

a) 3(x 2) 3; b) 4x + 7 < 23; c) 3x + 7 2x < 10; d) 2x + 10 < 20; e) 182 153 x + 19;

f) 5x + 7 < 4x + 9; g) x + 3 < 4; h) x : 4 < 5; i) 7x + 12 > 19; j) 13x 2 > 132001; k) x + 5 17; 84. S se rezolve n mulimea numerelor naturale, inecuaiile: a) 2 (x 3) + 4 0;b) 5x + 3 (x 4) < 4;c) 7x + 6 (x + 1) 19;d) 2 (x + 3) + 5 < x +15;e) (x 3) + (7x 1) x + 3;f)

7 x < 27 i (x + 7) 2;g) 4 (2x + 1) + 2 (x + 2) 7 3 i x 10;h) x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x < 84.85. Rezolvai n N inecuaiile cu numere scrise n baza 10:a)

;b) ;c) ;86. Stabilii dac numrul 7 este soluie pentru inecuaiile: a) 5x 5 2x 2 < 4x + 4 3x + 3, xN;b)

5x 5 2x 2 4x + 4 3x + 3, xN.87. Aflai cel mai mare i cel mai mic numr natural care este soluie pentru inecuaia: x 17 < 13.

XV.Probleme care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor i inecuaiilor88. mprind un numr natural la 13, obinem ctul 15 i restul 11. Aflai acel numr.89. Suma a dou numere este 96. Determinai numerele tiind c primul este de trei ori mai mare dect al doilea.90. M gndesc la un numr. l dublez, apoi rezultatul l adun cu 5 i noul rezultat l nmulesc cu 5 i obin 95. La ce numr m-am gndit ?91. S se afle: a) Trei numere naturale consecutive care au suma 2013; b) Patru numere naturale consecutive care au suma 2014.92. Suma a dou numere naturale pare, consecutive, este cuprins ntre 16 i 32. Determinai cele dou numere.93. Suma a doua numere este 25 iar diferena lor este 5. Aflai produsul lor.

XVI.Probleme care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor i inecuaiilor94. Suma a patru numere naturale consecutive este 58. Aflati numerele.95. Aflati un numar stiind ca daca la dublul sau adunam 7, iar rezultatul astfel obtinut il inmultim cu 4 obtinem 52.96. Ana, Ionut si Corina au impreuna 22 de baloane. Aflati cate are fiecare stiind ca Ionut are cu 2 mai multe ca Ana, iar Corina are de doua ori mai multe ca Ana..97.Un numar natural se inmulteste cu 9, din rezultat se scade 9, noul rezultat se imparte exact la 6 si se aduna cu 24, obtinand 39 .Aflati numarul initial.98.Anamaria , Bogdan i Oana au mpreun 22 baloane .Aflai cte are fiecare tiind c Bogdan are cu 2 mai multe ca Anamaria iar Oana are de dou ori mai multe ca Anamaria.99.Gabriela , Rzvan , Alexandra i Florica au mpreun 34 creioane colorate.Aflai cte are fiecare tiind c Rzvan are de dou ori mai multe ca Gabriela , Alexandra are de trei ori mai multe ca Gabriela , iar Florica are cu 6 mai multe ca Gabriela.100.Aflai toate numerele naturale care:a) nmulite cu 6 dau un rezultat mai mic ca 24;b) mprite la 4 dau un rezultat mai mic sau egal cu 2;c) Adunate cu 122 dau un rezultat mai mic ca 130;

Bibliografie [1] Dan Brnzei (coord.), A.Crstoveanu , C.Chite , I.Galan,R.Diaconescu , Gh. Maiorescu , N.Miron, A.Pavel , C.Pop , G.Popa , C.Potaru , t.Smrndoiu ,I.erdean , C.Timofte,I.Trifon, D.Vlducu Matematic ,olimpiade i concursuri colare , Editura Paralela 45, 2009[2] Gazeta Matematic serie B, anii 2010-2012[3]Leon Piu ,Gabriela Zanoschi , Matematic-aritmetic, algebr, geometrie ,clasa a V-a, standard, Editura Paralela 45 , 2012[4] S.Peligrad , D.Zaharia ,M.Zaharia , Matematic-aritmetic, algebr, geometrie ,clasa a V-a, consolidare, partea I , Editura Paralela 45 , 2012[5] Site-ul www.didactic.ro

Podar Augustin DanielMeditaii Matematica

Podar Augustin DanielMeditaii Matematica