Numere naturale I.1. Scrierea şi citirea numerelor naturale

în sistemul de numeraţie zecimal. Şirul numerelor naturale. Aproximări. Rotunjiri

Să ne amintim!

Numerele naturale se scriu cu ajutorul cifrelor arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Numerele naturale pot fi exprimate și cu cifre romane: I, V, X, L, C, D și M care reprezintă numerele 1, 5, 10, 50, 100, 500 și, respectiv, 1000.

Șirul numerelor naturale este: 1, 2, 3, 4, ..., 11, 12, 13, ... . Numerele naturale n și n + 1 se numesc numere consecutive.

Un număr natural de două cifre se reprezintă sub forma ab ,

unde a și b sunt cifre (nu neapărat diferite!) și a ≠ 0.

Un număr natural de trei cifre se reprezintă sub forma abc , unde

a, b și c sunt cifre cu a ≠ 0. Numerele naturale de patru cifre, de cinci cifre, de șase cifre se reprezintă sub forma

abcd , abcde , abcdef , etc.

Aproximarea prin lipsă până la zeci (sute, mii, ș.a.m.d.) este cel mai mare număr, mai mic sau egal cu numărul respectiv format numai din zeci (sute, mii, ș.a.m.d.).

Aproximarea prin adaos până la zeci (sute, mii, ș.a.m.d.) este cel mai mic număr, mai mare sau egal cu numărul respectiv format numai din zeci (sute, mii, ș.a.m.d.).

Rotunjirea până la zeci (sute, mii, ș.a.m.d.) este aproximarea prin lipsă sau adaos la cea mai apropiată de valoarea numărului dat.

Exemple: a) aproximarea prin lipsă până la zeci a numărului 439592 este 439590;b) aproximarea prin lipsă până la sute a numărului 425134 este 425100;c) aproximarea prin adaos până la mii a numărului 49375 este 50000;d) rotunjirea până la sute a numărului 47583 este 47600;e) rotunjirea până la mii a numărului 451342 este 451000.

Numărul natural ba se numește răsturnatul numărului natural ab . Numărul natural

cba se numește răsturnatul numărului abc , ș.a.m.d.

De exemplu: răsturnatul numărului 231 este 132; răsturnatul numărului 12342 este 24321.

5

c) 5 · [16 · 5 + 4 · (6 · 9 – 5 · 6)] : 20 = .......................................................................

...................................................................................................................................................

d) 8 + 5 · [3 + 2 · (6 · 7 – 40 : 10) + 9] = .....................................................................

...................................................................................................................................................

e) 8 + 3 · {10 + 5 · [12 + 4 · (8 · 7 – 40) – 50] – 30} = ...............................................

...................................................................................................................................................

f) 11 + 4 · {24 + 6 · [30 + 8 · (80 : 10 – 6) : 4]} : 57 = ................................................

...................................................................................................................................................

g) 1 + 2 · {3 + 4 : [5 – 6 : (7 – 8 : 8)]} = ......................................................................

................................................................................................................................................... 28. Se dau următoarele egalități. Fără a schimba ordinea cifrelor, puneți în casete semnul„+“, „–“, „·“ sau „:“ și paranteze pentru a obține propoziții adevărate:

29. Calculați cât mai rapid: a) 10 + 20 + 30 + 40 + ... + 90 = ..................................................................................

...................................................................................................................................................

b) 100 + 200 + 300 + ... + 1000 = ................................................................................

...................................................................................................................................................

c) 2222 + 4444 + 6666 + 8888 = ..................................................................................

...................................................................................................................................................

d) 11111 + 22222 + 33333 + ...+ 99999 = ...................................................................

...................................................................................................................................................

30. Ultimele două cifre ale produsului 1 · 2 · 3 · 4 · ... · 10 · 11 sunt: ....................................

...................................................................................................................................................

31. Cel mai mare număr natural de două cifre care împărțit la un număr de o singură cifrădă restul 8 este:

A. 98; B. 97; C. 99.

a) 1 2 3 = 1;

b) 1 2 3 4 = 1;

c) 1 2 3 4 5 = 1;

d) 1 2 3 4 5 6 = 1;

e) 1 2 3 4 5 6 7 = 1;

f) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1;

g) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1.

+ :

14

40. Pătratul magic Completați casetele pătratului magic alăturat știind că suma numerelor de pe fiecare coloană și de pe fiecare linie este aceeași.

7

8

9

Curiozități aritmetice:

Să ne amuzăm cu Gigel!

Gigel este adâncit în gânduri. Tatăl său îl întreabă ce-l preocupă.

– Tată, eu cred că profesorul meu de matematică nu-i binepregătit.

– Ei, ce te face să crezi asta?– Mai multe fapte, dar în primul rând, de câte ori scrie ceva

pe tablă, ne întreabă pe noi ce a scris.

Gigel se prezintă la biroul de recepție al unui hotel și spune:

– Aș vrea pensiune completă pentru 3 zile. Care sunt orelede masă?

– Servim micul dejun de la ora 7:00 la 11:00 dimineața,dejunul de la 12:00 la 15:00 și cina de la ora 18:00 la 21:00 seara.

– Ce vorbești? Și eu când mai am timp să vizitez orașul?

Numărul 142857 se numește numărul lui Zevros și are proprietatea că înmulțit cu orice număr de la 2 la 6 obținem un produs care conține aceleași 6 cifre:

142857 · 2 = 285714 142857 · 3 = 428571 142857 · 4 = 571428 142857 · 5 = 714285 142857 · 6 = 857142

16

17. Enumerați elementele mulțimilor: A =10

/ xx

∈

� și B =

42 /2 1

xx

∈

+ � și apoi

determinați mulțimile: A ∪ B, A ∩ B, A \ B și B \ A.

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

II.2. Amplificarea şi simplificarea fracţiilor. Fracţii echivalente. Reprezentarea fracţiilor pe axa numerelor.

Aflarea unei fracţii dintr-un număr natural. Procente

Să ne amintim!

A amplifica fracţia a

b cu numărul natural nenul n, înseamnă

a înmulţi numărătorul şi numitorul ei cu n. Notăm ) ·

·

na n a

b n b= .

A simplifica fracţia a

b cu numărul natural n (n ≠ 0 și n / a, n / b),

înseamnă a împărți atât numărătorul cât și numitorul ei la n.

Notăm: ( :

:

na a n

b b n= .

Pentru a afla o fracție dintr-un număr natural, înmulțim numărul cu numărătorul

fracției și păstrăm numitorul: a

b din n =

· a n

b.

Procentul se exprimă ca o fracție cu numitorul 100 100

p

. Se scrie: p%.

EXERCIȚII ȘI PROBLEME PROPUSE

1. Alina a scris pe caiet o fracție și apoi a amplificat-o, obținând18

42.

Ce fracție a scris Alina? Află toate posibilitățile.

................................................................................................................................................... 2. Cu ce numere naturale trebuie să amplifice Elena fiecare din următoarele fracții pentru aobține de fiecare dată numărătorul 48?

a) 4

7; b)

12

45; c)

16

101; d)

1

48; e)

3

41; f)

6

31; g)

2

81; h)

24

13; i)

12

31.

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

40

7. Dacă distanța dintre triunghi și piramidă este de 25 cm, dintre cerc și sferă de 31 cm,dintre piramidă și con de 24 cm, iar dintre triunghi și sferă de 41 cm, aflați distanța dintre oricare două figuri alăturate.

................................................................................................................................................... 8. Translatați cercul CCCC pe axă astfel încât să obțineți simetricul ei față de origine. Câteunități de măsură trebuie să parcurgeți în fiecare caz?

a)

b)

................................................................................................................................................... 9. Într-un pătrat cu latura de 1 m se construiesc pătrate cu latura de 1 dm. În fiecare pătratcu latura de 1 dm se construiesc pătrate cu latura de 1 cm. În fiecare pătrat cu latura de 1 cm se construiesc pătrate cu latura de 1 mm. Aflați numărul pătratelor cu latura de: a) 1 dm; b) 1 cm; c) 1mm....................................................................................................................................................

Să ne amuzăm cu Gigel!

– Gigel, dragă, am visat azi-noapte că am plecatcu toții la băi. – Iar eu am visat că ne-am și întors.

– Alo, alo, aici e târziu.– Ei, și ce crezi că pe la noi este mai devreme?

0

0

A B C D E

59

IV.2. Unităţi de măsură pentru lungime, arie, volum, capacitate, masă, timp, unităţi monetare. Perimetre, arii, volume

Exerciții rezolvate:

1. Aflați lungimea spiralei din figura alăturată,dacă un pătrățel are latura de 1 cm.

Rezolvare:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 11 + 12 = (12 · 13) : 2 = 78 cm

2. Cubul alăturat are muchia de lungime 4 cm. Ofurnică pleacă din colțul A și trebuie să ajungă în colțul B pe drumul cel mai scurt mergând numai pe muchiile cubului. Este puțin dificil de numărat. De fapt v-am dat o indicație pe figură. Urmăriți săgețile din fiecare colț (vârf) al cubului.

Rezolvare:

Sunt 3 × 2 = 6 drumuri cu lungimea cât 3 muchii de ale cubului, adică 12 cm.

3. Există multe dreptunghiuri al căror perimetru este egal cu 24 cm?a) Desenați-le pe o foaie cu pătrățele.b) Care este dreptunghiul cu cea mai mare arie?

Rezolvare:

a) a + b = 12 cm a = 1, b = 11 sau a = 2, b = 10 saua = 3, b = 9 sau a = 4, b = 8 sau a = 5, b = 7. Dacă a = b = 6 cm, atunci dreptunghiul devine pătrat.

A = 11 · 1 = 11 cm2

Desenați celelalte dreptunghiuri.

b)35 cm2. Dacă dreptunghiul devine pătrat, atunci A = 36 cm2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A

B

a a < b

b

11 cm

60

9. Spațiul verde din fața blocului lui Vasilică în formă de pătrat cu lungimea laturii de 6,4 ma fost împrejmuit cu 3 rânduri de sârmă. Câți metri de sârmă trebuie folosită dacă ușa de acces în părculeț are lățimea de 1,6 m?

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

................................................................................................................................................... 10. Un acvariu sub formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 31 cm, 25 cm și50,5 cm (înălțimea) are grosimea sticlei de 5 mm. Câți litri de apă încap în acvariu?

...................................................................................................................................................

................................................................................................................................................... 11. Câte transporturi trebuie să facă o betonieră pentru a transporta 250 tone de beton, dacăaceasta poate încărca 15 tone de beton? ...................................................................................................................................................

................................................................................................................................................... 12.Arătați că din 37 de elevi, cel puțin patru s-au născut în aceeași lună a anului.

...................................................................................................................................................

................................................................................................................................................... 13. Un ceasornic bate o singură dată la ore fixe, de două ori la sferturi de oră, de trei ori lajumătăți de oră și de patru ori la trei sferturi de oră. La ce oră se aude a 105-a bătaie dacă prima a fost la miezul nopții?

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

14. Într-un vas cubic cu muchia de 3 dm se pun 9 ℓ de apă. Calculați la câți centimetri seridică apa din vas?

...................................................................................................................................................

................................................................................................................................................... 15. Care dintre cele două camere are aria totală mai mare? Dar volumul?

………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………...

10 m6 m

4 m

C1

5 m6 m

8 m

C2

64