n ab > cd ab < cd ab cd n ab n k u x n k - ViitoriOlimpici.ro · 2017-04-18 · Concursul Gazeta...
1
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro n 2 ab +2 cd =4 n n 5 | 2 n +1 ab > cd 2 ab +2 cd =2 cd (2 ab- cd - 1) 4 n ab < cd ab = cd 2 ab+1 =2 2n ab =2n - 1 10 ≤ ab ≤ 99 10 ≤ 2n - 1 ≤ 99 6 ≤ n ≤ 50 n 50 - 6 + 1 = 45 u(2 4k )=6 u(2 4k+1 )=2 u(2 4k+2 )=4 u(2 4k+3 )=8 k u(x) x 5 | 2 n +1 u(2 n + 1) ∈{0, 5} u(2 n + 1) = 5 n =4k +2 k 6 ≤ n ≤ 50 6 ≤ 4k +2 ≤ 50 1 ≤ k ≤ 12 n 5 | 2 n +1
Transcript of n ab > cd ab < cd ab cd n ab n k u x n k - ViitoriOlimpici.ro · 2017-04-18 · Concursul Gazeta...
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Problema 4. a) Determinaµi num rul valorilor lui n, num r nat-ural, pentru care 2ab + 2cd = 4n.
b) Câte dintre valorile lui n determinate anterior satisfac relaµia5 | 2n + 1?
Dana Paponiu, Drobeta Turnu-Severin
Soluµie a) Dac ab > cd, atunci 2ab + 2cd = 2cd(2ab−cd − 1) careeste num r impar. Dar 4n este num r par, prin urmare, în acest caz,nu avem soluµie.
Analog, dac ab < cd.R mâne de analizat cazul ab = cd.În acest caz relaµia din enunµ devine 2ab+1 = 22n, de unde deducem
ab = 2n− 1.Cum 10 ≤ ab ≤ 99 rezult 10 ≤ 2n− 1 ≤ 99, adic 6 ≤ n ≤ 50.Num rul valorilor lui n este
50− 6 + 1 = 45
b) Se ³tie c u(24k) = 6, u(24k+1) = 2, u(24k+2) = 4 ³i u(24k+3) = 8,unde k este num r natural, iar u(x) înseamn cifra unit µilor lui x.
Pentru ca 5 | 2n +1 trebuie ca u(2n +1) ∈ {0, 5}. Din cele de maisus deducem c u(2n + 1) = 5, dac n = 4k + 2, unde k este num rnatural.
Cum 6 ≤ n ≤ 50 rezult 6 ≤ 4k + 2 ≤ 50, de unde 1 ≤ k ≤ 12,ceea ce înseamn c avem 12 valori pentru n, astfel încât 5 | 2n + 1.
1
aungureanu
Text Box
Soluția problemei 4, Clasa a V-a Etapa 2, Ediția a VIII-a
