Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici · 2017. 12. 12. · Concursul Gazeta Matematic i...
1
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro P4. Fie (G, ·) un grup. Pentru orice elemente x, y ∈ G notˇ am [x, y]= x -1 y -1 xy. a)Arˇatat ¸i cˇ a[xy, z ]= y -1 [x, z ]y[y,z ]¸ si [x, yz ]=[x, z ]z -1 [x, y]z ,(∀)x, y, z ∈ G. b) Dacˇa pentru douˇa elemente x, y ∈ G, elementul [x, y] comutˇ a cu x ¸ si y,arˇatat ¸i cˇ a [x, y n ]=[x, y] n =[x n ,y] , (∀)n ∈ N; [x n ,y n ]=[x, y] n 2 , (∀)n ∈ N; (yx) n = y n x n [x, y] n(n-1) 2 , (∀)n ∈ N.
Transcript of Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici · 2017. 12. 12. · Concursul Gazeta Matematic i...
-
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
P4. Fie (G, ·) un grup. Pentru orice elemente x, y ∈ G notǎm [x, y] = x−1y−1xy.a) Arǎtaţi cǎ [xy, z] = y−1[x, z]y[y, z] şi [x, yz] = [x, z]z−1[x, y]z, (∀)x, y, z ∈ G.b) Dacǎ pentru douǎ elemente x, y ∈ G, elementul [x, y] comutǎ cu x şi y, arǎtaţi cǎ
[x, yn] = [x, y]n = [xn, y] , (∀)n ∈ N;
[xn, yn] = [x, y]n2
, (∀)n ∈ N;
(yx)n = ynxn[x, y]n(n−1)
2 , (∀)n ∈ N.
1
aungureanuText BoxProblema 4, Clasa a XII-aEtapa 3, Ediția a IX-a
