Metoda Newton

Balan Veronica, a XII-a ”B”

Introducere

Ideea generală a metodei este următoarea: prin punctul (b,f(b)) se duce o dreaptă tangentă la graficul funcției . Se determină punctul c în care ea intersectează axa Ox. Acest punct se considera noua extremitate, prin care se duce tangenta. Procesul se repetă, până nu obţinem o apropiere suficientă de soluţia exactă. Pentru această metodă vom cere suplimentar, existenţa şi semnul constant al derivatei de ordin 2 pentru funcţia f(x) pe tot segmentul [a,b]. (pe segmentul dat funcţia să fie sau concavă sau convexă)

Introducere

Având o funcție reală ƒ, iar derivata ei, ƒ ', vom începe cu stabilirea unei valori inițiale pentru x0 pentru o rădăcină a funcției f. O aproximare mai bună pentru rădăcina funcției este

Geometric, (x1, 0) este la intersecția cu axa x a tangentei funcției f în punctul (x0). Procesul se repetă

până se atinge o valoare suficient de precisă. Se începe procesul cu o valoare inițială arbitrară x0.

Cazuri posibile

Pentru a determina extremitatea din care pornim, trebuie să ţinem cont de următoarele cazuri posibile: 1) f’(x) > 0 f’’(x) > 0

2) f’(x) > 0 f’’(x) < 0 3) f’(x) < 0 f’’(x) > 0

4) f’(x) < 0 f’’(x) < 0

f’(x) > 0 , f’’(x) > 0

f’(x) > 0 f’’(x) < 0

f’(x) < 0 , f’’(x) > 0

f’(x) < 0 f’’(x) < 0

Concluzie

Program

program cn10;{Rezolvarea ecuatiei prin metoda

Newton prin n divizari }uses crt;var a, b, x, c : real;i, n: integer;

function f(z:real):real;beginf:=z*z*z-2*z*z+z-3;end;

function fd1(z:real):real;beginfd1:=3*z*z*z-4*z+sqrt(z+1);end;

beginclrscr;a:=2.1; b:=15; n:=10; i:=0;c:=a-(f(a))/(f(b)-f(a))*(b-a);if f(c)*f(a)<0 then x:=a else x:=b;while i<n do begini:=i+1;x:=x-f(x)/fd1(x);writeln('i=',i:2, ' x=', x:15:12, '

f(x)=', f(x):15:12);end;readln;end.

Soluțiile