Cuprins

Metode numerice pentru ecuatii si sisteme de ecuatii diferentiale (cuprinde seminariile 11, 12, 13)

METODA LUI EULER

1.Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie diferentiala de ordinul I

2.Problema lui Euler pentru un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I

3.Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior

METODA LUI EULER IMBUNATATITA este o metoda de tip predictor corrector

4.Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie diferentiala de ordinul I

5.Problema lui Euler pentru un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I

6.Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior

METODA LUI RUNGE SI KUTTA

1.Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie diferentiala de ordinul I

2.Sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I

Metode numerice pentru ecuatii si sisteme de ecuatii diferentiale

METODA LUI EULER

1. Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie diferentiala de ordinul I

Consideram P.C. = (, )(0) = 0 cu 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), valorile numerice ale solutiei( () ) 0, 1, 2 valorile numerice ale solutiei

Se va determina 1, 2 folosind urmatoarea formula de recurenta:1 = + (, )Exemplu:

Se da P.C. = + 3 + () = 3 cu solutia () = 3x 5Determinam valorile aproximative 1, 2 ale solutiei cu pasul = ,.

Solutie:(, )= + 3 + 0 = , 0 = 3 doar daca avem solutia exacta y(x)A B C D E

1 h 0.12 i xi yi y(xi) yi - y(xi)3 0 0 -3 +2*@EXP(B3)-3*B3-5 @ABS(C3-D3)4 +A3+1 +B3+$B$1 +C3+$B$1*(C3+3*B3+2) Copiem blocul D3..E35 Copiem blocul A4..E4

Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (in cazul nostru, coloanele D si E).

Problema propusa:

Se da P.C. = + 3() = cu solutia () = 5 3Determinam valorile aproximative 1, 2 ale solutiei cu pasul = ,.

Solutie:(, )= + 30 = , 0 = doar daca avem solutia exacta y(x)

2. Problema lui Euler pentru un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I

Consideram sistemul = (, , ) = (, , ) cu (0) = 0(0) = 0 cu 0, 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), (0), (1), valorile numerice ale solutiei

0, 1, 0, 1, valorile numerice ale solutieiSe va determina 1, 2 ; 1, 2, folosind urmatoarele formule de recurenta:1 = + (, , )1 = + (, , )Exemplu:

Se da sistemul = + 4 = + cu solutia () = () = Determinam valorile aproximative y1, y2 si z1, z2 cu pasul = ,.

Solutie:

Identificam f, g, 0, 0, 0 doar daca avem solutii exacte. Solutia exacta este () = +

() = 12 + 12 (, , ) = + 4(, , ) = + , 0 = , 0 = , 0 =

A B C D E F G H1 h 0.012 i xi yi zi y(xi) z (xi) yi - y(xi) zi - z(xi)3 0 0 0 1 -@EXP(-B3)+@EXP(3*B3) +1/2*@EXP(-B3)+

1/2*@EXP(3*B3)@ABS(C3-E3) @ABS(D3-F3)

4 +A3+1 +B3+$B$1 +C3+$B$1*(C3+4*D3)

+D3+$B$1*(C3+D3)

Copiem blocul E3..H3

5 Copiem blocul A4..H4Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (adica coloanele E, F, G si H).

3. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior- orice ecuatie diferentiala de ordin superior se reduce la un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I

Consideram ecuatia diferentiala de ordinul II: = (, , ) (0) = 0, (0) = 0unde 0, 0, 0 sunt constante date.Se rezolva ecuatiile prin reducerea la un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I.

Notam = = (, , ) cu conditiile (0) = 0(0) = 0 .cu 0, 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat. () ()Consideram = (, , ) = (, , ) cu (0) = 0, (0) = 0.Se va determina 1, 2 ; 1, 2, folosind urmatoarele formule de recurenta:1 = + (, , )1 = + (, , )Exemplu:

Se da ecuatia diferentiala = + 3 () = , () = cu solutia exacta () = 1 + Determinam valorile aproximative y1, y2 cu pasul = ,.

Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 = = + 3adica (, , ) = (, , ) = + 3 , 0 = , 0 = , 0 =

() =1 + () = 1 9

A B C D E F G H1 h 0.012 i xi yi zi y(xi) z (xi) yi - y(xi) zi - z(xi)3 0 0 1 -2 +1/4*@EXP(B3)+

3/4*@EXP(-3*B3)+1/4*@EXP(B3)-9/4*@EXP(-3*B3)

@ABS(C3-E3) @ABS(D3-F3)

4 +A3+1 +B3+$B$1 +C3+$B$1*D3 +D3+$B$1*(-2*D3+3*C3)

Copiem blocul E3..H3

5 Copiem blocul A4..H4Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (adica coloanele E, F, G si H).

Problema propusa:

Se da ecuatia diferentiala = 5 4 () = , () = 3 cu solutia exacta () = 1 + Determinam valorile aproximative y1, y2 cu pasul = ,.

Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 = = 5 4 adica (, , ) = (, , ) = 5 4 , 0 = , 0 = , 0 = 3

Neavand solutie exacta tabelul va fi de forma:A B C D

1 h 0.012 i xi yi zi3 0 0 0 34 +A3+1 +B3+$B$1 +C3+$B$1*D3 +D3+$B$1*(5*D3-4*C3)5 Copiem blocul A4..D4

METODA LUI EULER IMBUNATATITA este o metoda de tip predictor corrector

4. Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie diferentiala de ordinul I

Consideram P.C. = (, )(0) = 0 cu 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), valorile numerice ale solutiei( () ) 0, 1, 2 valorile numerice ale solutiei

Se va determina 1, 2 folosind urmatoarele formule de recurenta:1 = + (, ) 1 = + [(, ) + (1, 1)]

Notam predictia lui (adica pe ) cu .Exemplu:

Se da P.C. = + 3 + () = 3 cu solutia () = 3x 5Determinam valorile aproximative y1, y2 ale solutiei cu pasul = ,.

Solutie:(, )= + 3 + 0 = , 0 = 3 doar daca avem solutia exacta y(x)A B C D E F G H

1 h 0.012 i xi Pyi f(xi,Pyi) f(xi,yi) y (xi) yi - y(xi) yi3 0 0 ^- ^- +H3+3*B3+2 +2*@EXP(B3)-3*B3-5 @ABS(H3-F3) -34 +A3+1 +B3+$B$1 +H3+$B$1*E3 +C4+3*B4+2 Copiem blocul E3..G3 +H3+$B$1/2*(E3+D4)5 Copiem blocul A4..H4

Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (adica coloanele F si G).

5. Problema lui Euler pentru un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I

Consideram sistemul = (, , ) = (, , ) cu (0) = 0(0) = 0 cu 0, 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), (0), (1), valorile numerice ale solutiei

0, 1, 0, 1, valorile numerice ale solutieiSe va determina 1, 2 ; 1, 2, folosind urmatoarele formule de recurenta:

1 = + (, , )1 = + (, , )

1 = + [(, , ) + (1, 1, 1)]

1 = + [(, , ) + (1, 1, 1)]

Notam predictia lui , respectiv predictia lui (adica pe , respectiv ) cu , respectiv cu .

Exemplu:

Se da sistemul = + 4 = + cu solutia () = () = Determinam valorile aproximative ale lui y si z cu pasul = ,.

Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 doar daca avem solutii exacte.Solutia exacta este () = + () = 12 + 12 (, , ) = + 4(, , ) = + , 0 = , 0 = , 0 =

A B C D E F G H I J K L M N1 h 0.012 i xi Pyi Pzi f(xi,Pyi,Pzi) g(xi,Pyi,Pzi) f(xi,yi,zi) g(xi,yi,zi) y(xi) z(xi) yi - y(xi) zi - z(xi) yi zi

3 0 0 ^- ^- ^- ^- +M3+4*N3 +M3+N3 -@EXP(-B3)+@EXP(3*B3)

+1/2*@EXP(-B3)+1/2*@EXP(3*B3)

@ABS(M3-I3) @ABS(N3-J3) 0 1

4 +A3+1

+B3+$B$1

+M3+$B$1*G3

+N3+$B$1*H3

+C4+4*D4 +C4+D4

Copiem blocul G3..L3 +M3+$B$1/2*(G3+E4)

+N3+$B$1/2*(H3+F4)

5 Copiem blocul A4..N4

Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (in cazul nostru este vorba de coloanele I, J, K si L).

6. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior

- orice ecuatie diferentiala de ordin superior se reduce la un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I

Consideram ecuatia diferentiala de ordinul II: = (, , ) (0) = 0, (0) = 0unde 0, 0, 0 sunt constante date.Se rezolva ecuatiile prin reducerea la un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I.

Notam = = (, , ) cu conditiile (0) = 0(0) = 0 .cu 0, 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat. () ()Consideram = (, , ) = (, , ) cu (0) = 0, (0) = 0.Se va determina 1, 2 ; 1, 2, folosind urmatoarele formule de recurenta:

1 = + (, , )1 = + (, , )

1 = + [(, , ) + (1, 1, 1)]

1 = + [(, , ) + (1, 1, 1)]

Notam predictia lui , respectiv predictia lui (adica pe , respectiv ) cu , respectiv cu .Exemplu:

Se da ecuatia diferentiala = + 3 () = , () = cu solutia exacta () = 1 + Determinam valorile aproximative y1, y2 cu pasul = ,.

Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 = = + 3adica (, , ) = (, , ) = + 3 , 0 = , 0 = , 0 =

() =1 + () = 1 9

A B C D E F G H I J1 h 0.012 i xi Pyi Pzi yi zi y(xi) z(xi) yi - y(xi) zi - z(xi)

3 0 0 ^- ^- 1 -2 +1/4*@EXP(B3)+3/4*@EXP(-3*B3)

+1/4*@EXP(B3)-9/4*@EXP(-3*B3)

@ABS(E3-G3) @ABS(F3-H3)

4 +A3+1 +B3+$B$1

+E3+$B$1*F3 +F3+$B$1*(-2*F3+3*E3)

+E3+$B$1/2*(F3+D4)

+F3+$B$1/2*(-2*F3+3*E3-2*D4+3*C4)

Copiem blocul G3..J3

5 Copiem blocul A4..J4

Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (adica coloanele G, H, I si J).

METODA LUI RUNGE SI KUTTA

1. Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie diferentiala de ordinul I

Consideram P.C. = (, )(0) = 0 cu 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), valorile numerice ale solutiei( () ) 0, 1, 2 valorile numerice ale solutiei

Se va determina 1, 2 folosind urmatoarele formule de recurenta: = + + + + )

() = (, )

() = + , + () () = + , + () () = + , + ()

Exemplu:

Se da P.C. = + 3 + () = 3 cu solutia () = 3x 5Determinam valorile aproximative 1, 2 ale solutiei cu pasul = ,.

Solutie:(, )= + 3 + cu 0 = , 0 = 3

A B C D E F G H I1 h 0.12 i xi yi K1

i K2i K3

i K4i y(xi) yi -y(xi)

3 0 0 -3 +$B$1*(C3+3*B3+2)

+$B$1*(C3+1/2*D3+3*(B3+$B$1/2)+2)

+$B$1*(C3+1/2*E3+3*(B3+$B$1/2)+2)

+$B$1*(C3+F3+3*(B3+$B$1)+2)

+2*@EXP(B3)-3*B3-5

@ABS(C3-H3)

4 +A3+1 +B3+$B$1

+C3+1/6*(D3+2*E3+2*F3+G3)

Copiem blocul D3..I3

5 Copiem blocul A4..I4Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (in cazul nostru, coloanele D si E).

Problema propusa:

Se da P.C. = () = cu solutia () = Determinam valorile aproximative 1, 2 ale solutiei cu pasul = ,.

Solutie:(, )= 0 = , 0 = A B C D E F G H I

1 h 0.12 i xi yi K1

i K2i K3

i K4i y(xi) yi -y(xi)

3 0 0 0 +$B$1*(@EXP(B3)-C3)

+$B$1*(@EXP(B3+$B$1/2)-(C3+1/2*D3))

+$B$1*(@EXP(B3+$B$1/2)-(C3+1/2*E3))

+$B$1*(@EXP(B3+$B$1)-(C3+F3))

+B3*@EXP(B3)

@ABS(C3-H3)

4 +A3+1 +B3+$B$1

+C3+1/6*(D3+2*E3+2*F3+G3)

Copiem blocul D3..I3

5 Copiem blocul A4..I4

2. Sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I

Consideram sistemul = (, , ) = (, , ) cu (0) = 0(0) = 0 cu 0, 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), (0), (1), valorile numerice ale solutiei

0, 1, 0, 1, valorile numerice ale solutieiSe va determina 1, 2 ; 1, 2, folosind urmatoarele formule de recurenta:

1 = + 6 1 + 2 + + 1 = + 6 1 + 2 + +

1 = (, , ) 1 = (, , ) 2 = + , + 1, + 1 2 = + , + 1, + 1 = + , + 2, + 2 = + , + 2, + 2 = + , + , + = + , + , +

Exemplu:

Se da sistemul = + 4 = + cu solutia () = () = Determinam valorile aproximative ale lui y si z cu pasul = ,.Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 doar daca avem solutii exacte.Solutia exacta este () = + () = 12 + 12

(, , ) = + 4(, , ) = + , 0 = , 0 = , 0 = A B C D E F G H I J K L M N O P

1 h 0.012 i xi yi zi K1

i K2i K3

i K4i L1

i L2i L3

i L4i y(xi) z(xi) yi -

y(xi) zi -z(xi)

3 0 0 0 1 +$B$1*(C3+4*D3)

+$B$1*(C3+1/2*E3+4*(D3+1/2*I3))

+$B$1*(C3+1/2*F3+4*(D3+1/2*J3))

+$B$1*(C3+G3+4*(D3+K3))

+$B$1*(C3+D3)

+$B$1*(C3+1/2*E3+D3+1/2*I3)

+$B$1*(C3+1/2*F3+D3+1/2*J3)

+$B$1*(C3+G3+D3+K3)

-@EXP(-B3)+@EXP(3*B3)

+1/2*@EXP(-B3)+1/2*@EXP(3*B3)

@ABS(C3-M3)

@ABS(D3-N3)

4 +A3+1

+B3+$B$1

+C3+1/6*(E3+2*F3+2*G3+H3)

+C3+1/6*(I3+2*J3+2*K3+L3)

Copiem blocul E3..P3

5 Copiem blocul A4..P4

Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta(in cazul nostru, coloanele M, N, O si P).

Problema propusa:

Se da sistemul = + 4 = + cu solutia () = () = 3Determinam valorile aproximative ale lui y si z cu pasul = ,.Solutia exacta este () = () = +