Metoda tangentelor sau Newton

Torodii Daria, clasa XII „B”

Condiţiile necesare

• f(x) – continuă pe segmentul [a,b] şi f(a) × f(b) < 0;

Pe segmentul [a,b] există f'(x)≠ 0; f''(x)≠ 0, continui şi semnul lor pe [a,b] este constant.

Esenţa metodei

Ideea generală a metodei este următoarea: prin punctul (b,f(b)) se duce o dreaptă tangentă la graficul functiei . Se determină punctul c în care ea intersectează axa 0X. Acest punct se considera noua extremitate, prin care se duce tangenta. Procesul se repetă, până nu obţinem o apropiere suficientă de soluţia exactă;

Pentru calcularea extremităţilor se foloseşte ecuaţia: y – f(xi)= f'(xi)(x – xi).

Esenţa metodeiConvergenţa şirului de valori xi către soluţia exactă ξ

Algoritmizarea metodei

0. Calculăm semnul derivatei 2 pe segmentul [a,b].

1. Fixăm punctul iniţial x0 conform formulei: f(x0)*f’’(x0)>0

2. Calculăm următoarea aproximaţie conform formulei:

3. Repetăm pasul 2 până nu obţinem soluţia cu exactitatea cerută.

Estimarea erorii

Procesul iterativ de calcul poate fi oprit fie după repetarea unui număr prestabilit de ori, fie după atingerea unei exactităţi cerute.

Eroarea se va estima conform formulei:

unde xi, xi+1 – două aproximări succesive ale soluţiei calculate, M2 – supremul f''(x) pe [a,b], m1 – infimul f'(x) pe [a,b]

Exerciţii propuse

Separaţi soluţiile, apoi calculaţi soluţiile ecuaţiei, folosind metoda Newton, pentru ε=0,00001:

Fie dată funcţia

Calculaţi soluţia aproximativă a ecuaţiei f(x)= 0 pe segmentul [0,5;0,7] cu exactitatea ε=0,00001, utilizînd metoda tangentelor