MathCad

Conf. Sorin CananauUCSI Catedra Organe de masini si Tribologie

1

2. TIPURI DE DATE I CALCULE NUMERICE

In aceast prim aplicaie se vor nva principalele noiuni cu care se opereaz nMathCAD. In MathCAD, aa cum s-a artat, se poate lucra cu una sau mai multe regiuni pefoaia de lucru. O regiune se creaz automat, n momentul n care se acionaez clic cubuton stnga- mouse. In acest moment, n dreptul cursorului (simbol cruce roie), se poateintroduce o expresie de calcul.

Exemplul 1Oriunde dorii pe foaia de lucru (pe ecran), acionai buton stnga mouse. In acel loc

apare cursorul i se poate ncepe de la tastatur introducerea expresiei de calcul. Astfelintroducem calculul unei sume simple:

Se observ c toat expresia scris la tastatur pn ntr-un anumitmoment este grafic vizualizat ntr-un chenar, acesta fiind de fapt regiuneaintrodus. De asemenea, se observ c, la scriere, caracterul curent introdus este

marcat printr-un colar de culoare albastr.Atenie! Dac acionai spacebar-ul vei observa c adunai n colarul de marcare

unul , dou sau intrega expresie sris anterior; acum asupra acesteia putem lucraca asupra unui singur caracter. O alt observaie important este c programul, dup introducerea unui

operator (n cazul nostru de adunare), n expresie apare un simbol numitplaceholder artnd c n acel loc trebuie untrodus un caracter pentrucontinuarea scrierii corecte a expresiei.

Introducei , de exemplu, cifra 9 i apoi tastai direct tasta ce coninesemnul =. Toate aceste introduceri in expresia de calcul se pot realiza dac activm paletaCalculator din meniul View.

Exemplul 2S exersm introducerea i rezolvarea unei ecuaii de grad superior pentru condiii date. Indreptul cursorului (oriunde pe foaia de lucru) se va tasta:

f(x):x+x^3-(x^2+ \ 3) Pe foaia de lucru apare : f(x):=x+x3 (x2+3)

Apoi vom introduce pentru variabil o valoare pentru care vom calcula rezultatul funciei.

x: 3 x=3f(x) = f(x)=19.268

Obs. 1.Tiprirea expresiei se poate face utiliznd tastatura sau activnd paleta Calculator 2. Fiecare din cele trei expresii tiprite reprezint o regiune ce se poate muta

oriunde pe foaia de lucru. Incercai s mutai regiunea ce conine expresia x=3. Facei clicmouse n dreptul acestei expresii ; imediat aceasta va apare ntr-unchenar iar ultimul caracter introdus va avea marcat placeholder-ul.Micnd uor mous-ul peste aceast regiune vei vedea aprndsimbolul unei palme ntinse. Facei clic mouse n acest moment ifr a elibera mouse tragei regiunea oriunde dorii pe foaia delucru. Incercai s mutai regiunea ce conine f(x)= deasupraprimei expresii de calcul. Se va obine:

Fig.5Aceasta arat c programul v avertizeaz prin marcaj cu rou asupra variabilei sau

funciei ce nu este corect introdus n acel loc sau are o lips de definiie, i de asemenea v id un mesaj de eroare (pe fond galben.)


2

Concluzie: Expresiile de calcul pot fi introduse oriunde pe foaia de lucru (pe limeaacesteia) dac respect principiul citirii logice al expresiilor i instruciunilor , adic de lastnga la dreapta i de sus n jos.

Exemplul 3S exersm definirea i atribuirea de variabile. S introducem variabila An.Definire:

An: 1925 An:=1925In acest mod, am atribuit variabilei An valoarea 1925. Variabila poate fi utilizat oriunde inexpresiile pe care le vom introduce ulterior. S vedem ce stie programul legat de acestvariabil. Tastm:

An= An =1925Dac dorim s atribuim alt valoare acestei variabile este suficient s nlocuim n expresia dedefiniie a variabilei valoarea 1925 cu valoarea dorit. (ex:2003). Atenie! Odat nlocuitatribuirea, noua valoare va fi actualizat n tot ceea ce nseamn calcul ulterior! Astfel, estesuficient s facei clic mouse n dreptul expresiei de evaluare (An=). Vedei c evaluarea esteactualizat.

Exemplul 4

S exersm calculul funciilor pentru mai multe variabile. S reluam Exemplul 2. Dupintroducerea expresiei funciei f(x), s introducem ca valori pentru variabil un ir de valori:

x:0;6 x=0..6

Apoi, vom introduce expresia de evaluare: f(x)=

Dac dorim s obinem evaluarea funciei pentru alte valori ale variabilei x estesuficient s schimbm numai expresia de definire a irului de valori ale lui x.Astfel, dac dorim s definim irul de valori x=0,0.5,1,1.5,2 (pas 0.5) vomtasta:

x:0,0.5;6 x=0,0.5..6

Revenii la expresia de evaluare a funciei f(x). Se obine un ir de cinci valori.

Uniti de msurProgramul MathCAD ofer posibilitatea asocierii unitilor de msur datelor

numerice introduse. La accesarea meniului Insert unit se deschide o fereastr de dialog careare dou opiuni: Dimension i respectiv System. Prima opiune deschide lista tuturorunitilor de msur ce se pot ataa (Unit) corespunztor dimensiunii alese (Dimension) ncorelaie cu cea de a doua opiune, sistemul de uniti de msur adoptat.

In lista paginii Dimensionless sunt date toate unitile de msur din sistemulinternaional, SI


3

Fig.6

Alegerea sistemului de uniti se realizeaz din meniul Math>Option>Unit System.Pentru a introduce unitatea de masur asociat unei variabile numerice seprocedeaz

n modul urmtor:1. Clic mouse stnga pe cmpul variabilei (sau constantei) numerice

2. Se tasteaz asterisc (*) care insereaz simbolul de nmulire (multiplicare) i unplaceholder, un loc de completat.

3. Se tasteaz numele unitii de msur sau se aplic din meniul Insert > Unit

Fig.7

Pentru a modifica local unitatea de msur utilizat se utilizeaz acelai procedeu,introducnd n locul unitii existente unitatea dorit prin Replace sau direct de la tastatur.


4

3. APLICAII

3.1.Rezolvri de ecuaii i sisteme de ecuaii3.1.1. Rezolvarea ecuaiei de gradul al doilea.

S rezolvm patru ecuaii de gradul al doilea. Ca date iniiale se cunosc valorilecoeficienilor ecuaiilor ct i formulele de calcul vectorizate.

Coeficienii ecuaiilor sunt:a: Insert > Insert Matrix> Se obine:

Fig.8

De asemenea se introduc coeficienii b, c i relaiile de calcul pentru soluiile x1 i x2

Deoarece coeficienii sunt introdui ca vectori, realiile de calcul suntvectorizate. Pentru rezultat se vor introduce expresiile de evaluare x1= , x2=

3.1.2. Rezolvarea unui sistem de n ecuaii lineare cu n necunoscute

S rezolvm sistemul: Aceasta nseamn c n Mathcad vom introducematricea coeficienilor (notat M) i vectorul termenilorliberi, v

=+

=

=++

1zy6x25.13.0y2x

1.05.0yx2

Vecorul soluiilor s l not cu variabila soln. Deci vom introduce:

Pentru rezolvare vom utiliza una dintre funciile aflate nbiblioteca programului Mathcad.Aceste funcii sunt grupate pecategorii. Din Meniul principal accesm Insert>Insert function.

Dintre funciile Solving alegem funcia lsolve (linear solve).


5

Cele dou locuri liberevor fi completate cu notaiileM i respectiv v.

Introducei apoiexpresia de evaluare,

soln=

Fig.9

Obs. La aceast categorie de funcii exist funcii de gsirea ale rdcinilor unuipolinom (polyroots), de gsire a rdcinii ntr-un interval (root), de gsire ale soluiilor unuisistem de ecuaii nelineare, cnd acestea sunt estimate (find), de gsire a argumentelorpentru care funciile ating valoarea maxim sau minim (maximize, minimize).

3.1.3. Rezolvarea unui sistem de n ecuaii nelineare cu n necunoscute

S rezolvm sistemul:

=+

=+

2yx6yx 22

In Mathcad rezolvarea acestui sistem implic un algoritm preformat care cuprindeaanumitul solve block i se refer la un set de civa pai ce trebuie realizai. Acestalgoritm este aplicat la rezolvarea unui sistem nelinear de ecuaii, la optimizarea uneiprobleme, la aplicarea programrii n Mathcad. Practic se va proceda:

1. Se introduc valori de estimare pentru variabilele x iy.

2. Se tasteaz cuvntul Given ca o variabil (nu ca text)3. Dedesubtul cuvntului Given se introduc expresiile

ecuaiilor iar n loc de semnul egal se va utilizaoperatorul boolean =.

4. Din meniul Insert>Insert function> Solving>Find.Se insereaz Find.

5. Se cmpleteaz n funcia Find variabilele x i y i setasteaz semnul egal, de evaluare.

Fig.103.2. Calculul rdcinilor unui polinom

S calculm rdcinile polinomului P(x)= x3 6x + 2.Se introduce i se tasteaz vectorul v al tuturor coeficienilor, inclusiv termenul

constant.Apoi se definete o variabil (de ex. soluie) creia i se va atribui din meniul

Insert>Insert function> Solving>Polyroot inserarea polyroot(v).Obs. La tastarea expresiei de evaluare, adic vectorul solutie vom dori sa-l scriem ca

vector transpus. Deci se utilizeaz paleta de calcul vectorial i nu calcul aritmetic.


6

Fig.11

3.3. Interpolarea i extrapolarea funciilor

O problem frecvent ntlnit n activitatea de calcul i proiectare de ctre un ingineeste interpolarea. Astfel sunt uzuale situaiile de gsire a unei funcii cunoscnd numai un setde date sau de msurtori ce caracterizeaz aceast funcie. Programul MathCAD pune ladispoziia utilizatorului o funcie de interpolare linear (unete punctele din vectorul de date)numit linterp i o funcie de interpolare splin i anume funcia interp.

S gsim funcia de interpolare linear pentru un set de date exprimat sub forma uneimatrici de dou coloane. Matricea de date o denumim date.

Cu aceast ocazie nvm o altposibilitate oferit de MathCAD i anumerearanjarea unui set de date. Se utilizeazfuncia csort (A, coloan) prin care serearanjeaz datele din liniile matricei A dupordonarea cresctoare sau descresctoare adatelor din coloana coloanaApoi se introduce vectorul X ceconinedatele din coloana unu a matricei i vectorulY ce conine datele din coana a doua.

Fig. 12 Apoi se introduce funcia linterp (X,Y,x) ce interpoleaz valori n orice punct x cndpunctele din vectorul X Y sunt unite prin linii drepte. Ca exemplu se calculeaz valorile nalte dou puncte (3, 16.5)

Pentru interpolarea splin se aplic acelai algoritm, aplicndu-se funcia interp(vs,X,Y,x) unde vs este vectorul de specificaie al categoriei de interpolare splin:

dac vs se introduce ca lspline(X,Y) se va crea o funcie de interpolare cubiccu condiii de terminare linear;

dac vs se introduce ca pspline(X,Y) se va crea o funcie de interpolare cubiccu condiii de terminare parabolic;

dac vs se introduce ca lspline(X,Y) se va crea o funcie de interpolare cubiccu condiii de terminare cubic.


7

Fig. 13

In ceea ce privete extrapolarea unei funcii cunoscute pachetul MathCAD pachetulMathCAD dispune de funcia predict (set,m,n). Astfel, pentru un set de date se doretepredicionarea a n valori care s aproximeze funcia construit pe baza a m valori din setuldat.

Obs. In exemplul urmtor setul are 5 valori (deci m ia valoarea 4) i dorimcunosterea a urmtoarelor 3 valori (n ordine descresctoare, deci n ia valoarea 3). Lanumrul valorilor de set numrtoarea ncepe, implicit, de la zero!

Fig. 14

3.4. Derivare numeric

Programul MathCAD ofer posibilitatea de determinare numeric a valorii derivateintr-un punct, pn la derivata de ordinul 5 inclusiv, a unei funcii derivative.

Algoritmul este prezentat prinnurmtorul exemplu:1. Se scrie expresia funciei derivative Se obine: f (x) : x^2+Insert function>trigonometric>sin (2x) f(x)=x2 +sin(2x)2. Se introduce valoarea variabilei pentru punctul de calculx : -6 x=-63. Din paleta Calculus se apeleaz butonul de rezolvare a derivatei de primul ordin

Rezultatul se obine completnd locurile libere in preforma (simbolul)derivatei cu funcia f(x) respectiv variabila x.

3.5. Integrarea unei funcii ntr-un interval definit

Evaluarea numeric a integralei unei funcii date peste un interval se face untilizndde asemenea paleta Calculus


8

Algoritmul este prezentat prinnurmtorul exemplu:1. Se scrie expresia funciei de integrat Se obine: f (x) : x^2+Insert function>trigonometric>sin (2x) f(x)=x2 +sin(2x)2. Se introduc capetele intervalului peste vare realizm integrareaa : -6 b : 3 a=-6 b=33. Din paleta Calculus se apeleaz butonul de rezolvare a integralei definiteRezultatul se obine completnd locurile libere in preforma (simbolul) inegralei

3.6. Calcul matriceal i vectorial

Programul MathCAD dispune de o complex baz de lucru pentru calcul matriceal ivectorial. Pentru a crea un vector sau o matrice n cel mai simplu mod, vom proceda astfel:

1.Vom introduce numele matricei ca variabil alocat, ;2. Vom apela meniul Insert >Matrix care va deschide urmtoarea fereastr de dialog:

In aceast fereastr se completeaz numrul delinii (rows) i respectiv de coloane (columns). Lacomanda Insert va apare o preformat a matriceidorite.

Fig.15

3. Se completeaz locurile lobere cu valorile numerice4. Pentru modificarea structurii unei matrici se aplic acelai procedeu de inserare. O

nou linie este introdus sub linia n care este activ markerul

Fig.16

O nou coloan este introdus n dreapta coloanei n care este activ markerul


9

Fig.17

Pentru a terge se procedeaz n acelai mod, folosind comanda Delete din aceastfereastr. De asemenea, se terge linia (dac se selectez rows:1) sau coloana (columns:1) nacelai mod fa de poziia markerului

3.7. Calcul statistic i distribuii de probabilitate

Programul MathCAD ofer un bogat capitol de lucru dedicat calculului statistic iresoectiv funcii de distribuie de probabilitate.

Este suficient s apelm paleta Insert >Function sau simbolul pentru a puteaintroduce una dintre multiplele funcii de calcul statistic. Dm cteva exemple:

Calcul statisticgmean media geometric hist - crearea unei histogramehmean - media armonicmean - media aritmetic (a eantionului)median - mediana eantionuluimoda - moda (modul) al eantionuluivar - dispersia (variana)Stdev - abaterea standard (abaterea medie ptratic)Distribuia de probabilitate (simbolizarea repartiiei)Programul ofer din bibliotec funcii att pentru densitatea de probabilitate (ncep cu

litera d) ct i funcii pentru distribuia cumulativ (ncep cu litera p) i respectiv funciiinverse (ncep cu litera q). Exemplu:

dnorm distribuie normal standard, pnorm distribuie cumulativ normalstandard, qnorm inversa de probabilitate cumulativ;

cnorm distribuie normalpbeta distribuie cumulativ Beta de parametrii s1, s2pbinom distribuie cumulativ binomial pentru k reuite din n ncercripexp distribuie exponenial de rat rpgamma distribuie cumulativ Gama cu parametru de form spweibull distribuie cumulativ Weibull cu parametru de form spt distribuie cumulativ Studentpunif distribuie cumulativ uniform pe interval definitExemplu:S generm un ir de numere reale cresctor de la numrul 2 la +5 cu raia pasul de

0.1 uniti. Acest set de valori l vom prelucra statistic. Aplicm o reea probabilist pentru orepartiie normal; aceasta nseamn c variabila x a irului de valori ascult de o legenormal de parametrii (centrul de densitate la x= ), respectiv dispersia, 2.


10

S considerm pentru exemplu =1.8 i 2=1 Se introduce Insert >Function>Probability Density>Dnorm

Se completeaz parametrii:

Se aplic semnul de evaluare. Se obine un tabel de valori pentru aceast distribuie. Inacelai mod se aplic i funcia pnorm. Grafic, se observ c dnorm genereaz formaclopot, de funcie cunoscut de densitate, n timp ce pnorm este o funcie cumulativ pebaza repartiiei obinute.

In ce privete funcia qnorm putem verifica obinerea valorii de centru (x=) pentru caaria de sub graficul de repartiie pnorm s ating valoarea 0.5 (probabiliatea de 50%).

Exemplul 1Fig.6Fig.9

Fig.11

MathCad

Documents

Transcript of MathCad