„Matematica e ceea ce începe, ca şi Nilul, în modestie şi se termină în magnific”.

Calvin Colton

Marea teorema a lui Fermat

Pierre de Fermat s-a nascut la 20 august 1601 în orasul Beaumont-de-Lomagne,in sud-vestul Frantei. Tatal lui Fermat, Dominique Fermat, era un bogat negustor de piei, si astfel Pierre a beneficiat de o educatie completa la manastirea franciscana din Grandselve, urmata de o scurta perioada de studiu la Universitatea din Touluse. Nu exista nici o dovada scrisa care sa ateste geniul matematic al tanarului Fermat.

Sub presiunea familiei, Fermat s-a indreptat spre o cariera in administratia civila, iar in 1631 a fost numit „conseiller au Parlament de Toulouse”, consilier la Departamentul de Solicitari. In afara de aceste indatoriri, mai era responsabil si de probleme judiciare si avea calificarea necesara pentru a solutiona cele nau complicate cazuri. Ascensiunea rapida in administratia civila l-a propulsat in randurile elitei societatii, permitandu-i sa foloseasca particula „de” ca parte a numelui sau.

Frumusetea Marii Teoreme a lui Fermat („In multimea numerelor intregi ecuatia xn +yn =zn nu are solutii pentru n<3” ) consta in aceea ca problema insasi este de o simplitate uimitoare. Pierre de Fermat a pus o intrebare pe care nimeni nu se gandise sa o puna si astfel a zamislit ceea ce va deveni cea mai dificila problema cunoscuta. El a oferit omenirii o iluzie, lasand generatiilor viitoare un mesaj prin care sugera ca poseda un raspuns, dar fara a spune in ce consta el. Acesta a fost inceputul unei curse care a durat aproape 358 de ani.

Cel mai complet calcul pe care Fermat l-a facut in legatura cu teorema sa a fost pentru n=4. El a folosit metoda coborarii infinite. Pentru a demonstra ca nu exista solutie pentru aceasta ecuatie el a presupus ca exista o solutie ipotetica (x1 ,y1 ,z1) cu proprietatea ca e minima. Atunci se demonstreaza ca exista o solutie si mai mica decat aceasta, de unde contradictia.

Primul mare matematician cu contributii importante in demonstrarea teoremei lui Fermat este Leonard Euler. Pentru a extinde demonstrarea teoremei de la n=4 la n=3 Euler introduce "bizara notiune" de numar imaginar. Desi matematicienii progresau umilitor de incet, situatia nu era asa de disperata deoarece orice demonstratie care functioneaza pentru n=4 functioneaza si pentru n=8,12,16,20 (si alti multiplii de 4). De asemenea o demonstratie pentru n=3 functioneaza si pentru cazurile n=6,9,12,15… .

O data cu aparitia calculatoarelor teorema s-a rezolvat pana la n=10 000 , apoi pana la n=25 000 si chiar pentru n<4 000 000 .

Marea enigma a lui Fermat si-a gasit in cele din urma rezolvarea abia in 1996. Cel ce reusea acest lucru era matematicianul englez Andrew Willes. Pentru Andrew Willes enigma avea o importanta

exceptionala devenind nici mai mult nici mai putin decat ambitia vietii sale.

Prima dezvaluire a unei demonstratii in vara anului 1993 a venit la capatul a 7 ani de munca sustinuta. Cand a inceput lucrul multe din tehnicile folosite nici nu fusesera create. Ceea ce a facut Willes a fost sa puna in legatura domenii ale matematicii aparent foarte indepartate intre ele. Esenta

demonstratiei lui Willes consta in confirmarea unei idei cunoscute sub numele de conjectura Shimura-Taniyama, care a constituit o punte intre lumi matematice fundamental diferite.

In 1984, matematicianul Gerhard Frey face observatia ca cine demonstreaza conjectura Shimura-Taniyama va demonstra imediat si Marea Teorema a lui Fermat.

Asadar, scopul lui Andrew Willes a devenit acela de a demonstra conjectura Shimura -Taniyama.

Prima metoda pe care a incercat sa o foloseasca a fost inductia. Primul pas al inductiei l-a gasit in opera lui Evariste Galois. Folosind teoria grupurilor lui Galois, Willes, dupa luni de analiza, arata ca cele cateva solutii ale fiecarei ecuatii eliptice puteau fi folosite la formarea unui grup si ca grupul conducea la o concluzie indubitabila : primul element al fiecarei E-serii coincidea cu primul element al unei M-serii.

Urmatorul pas al inductiei ii cerea sa arate ca daca un element oarecare al unei E-serii coincidea cu elementul corespunzator al unei M-serii, atunci urmatoarele elemente trebuie sa coincida si ele.Dupa incercari disperate, de-a lungul a mai multor ani, cu multe nereusite, Willes se opreste la o tehnica initiata de Iwasawa. Teoria lui Iwasawa este de fapt o metoda de analiza a ecuatiilor eliptice, pe care Willes o imbunatateste. Pentru a-si atinge scopul el va imbunatati si o alta metoda, de altfel noua, metoda Kolivaghin-Flach.

Combinate cele doua metode au dus, in sfarsit, la demonstrarea completa a conjecturii Shimura-Taniyama si implicit a Marii Teoreme a lui Fermat, de catre Andrew Willes, in anul 1996.

Realizat de Afuza GabrielClasa a IX-a A

Andrew Willes