3 Motto: O carte nu are rost dect dac te nva ceva Voltaire Stimate cititor, naceastcrticicvreaus-iexpununele evenimente(elemente)biograicereeritoarele!" #instein,$inperioa$agimna%ial,careau$eterminat &nt'lnirea sa cu teorema lui (it)agora *i care a pus ba%ele metodei de lucru ce au $us la elborarea teoriei relativitii" n acestsens,vomsusine$emersulnostruprinmrturii $ate $e &nsu*i #instein, la v'rsta $e +, $e ani, &ntr-o scurt autobiograieasa,pecarei-acerut-o#-.-ul(/coala (olite)nic $in 01ric))" ncontinuare,vomaceoanali%aimplicaieiteoremei lui (it)agora &n *tiin *i &n civili%aia societii omene*ti"nultimaparteabro*uriivompre%entac'teva $emonstraii ale teoremei lui (it)agora, printre care *i cea $at$e#insteinlav'rsta$e23ani*ivom&nc)eiacuo serie $e generali%ri *i aplicaii ale acestei celebre teoreme" Sperm ca cititorul s aib rb$are *i interes &n a &nelege caceastteoremaavutocontribuieesenial&n sc)imbarealumii*i&nconstruireacivili%aieiactuale" 4ecturareaacesteibro*uricerecititoruluicuno*tine elementare$inmatematicagimna%ial,asortate,uneori, cu)'rtie*icreion"i$oresc,$ragcititor,suceesla lecturare *i s-i ie $e olos" !utorul 4 Casa n care s-a nscut A. Einstein, n oraul Ulm, Balnohstrasse 2. Casa a !ost distrus n "#$$, ntr-un %om%ardament al aliailor I.INSTRUCIAIEDUCAIALUIEINSTEIN N FAMILIE I N COAL 1.Ctecevadinbi!"a#ia$%iEin&tein'(e"iada c(i$)"iei* Al%ert Einstein s-a nscut pe 25 martie 26,7 &n ora*ul 8lm, &n amilia lui &ermann Einstein *i a 'aulinei Einstein (nscut 9oc)) n2733,&nplingloriealui!lbert#istein,ostra$$in vestulorauluiaostnumit#instein,aptcareaost regretat&n27::,c'n$$enumireastr%iis-asc)imbat&n (ichte (ilo%o), $eoarece acesta nu usese evreu" 5 .ermann i Pauli ne Einstein (aulinei.ermanns-aucstorit&n%iua$e6august 26,+,&nsinagoga$in ;annsta$t"Mireasaavea2, ani,iar mirele 36 $e ani" n ciu$a celor 22 ani $ieren, au avut o relaie oarte apropiat i o csnicie extrem $e ericit" in povetilesuroriilui,Ma@a(nscut la 2662), alm c !lbert motenise temperamentulbuniculuisu matern(Aulius9oc))">in amintirilesuroriisale,asupra copilriei lui !lbert, care, $e apt,i-auostpublicatemultmait'r%iu (&n276,),almoserie$e amnunte pe care #instei nicio$at nule-a$escris,ccielnu-iaminteatrecutulirareori vorbea $espre tinereea lui"7 Setiecveniturileamiliei#insteinproveneau$intr-o aacere cu v'n%ri $e aparate (materiale) electrice, pe care .ermannainiiat-o&mpreuncuratelesuAaBob (inginer cu caliti te)nice i tiiniice $eosebite), &nt'i &n oraul8lm,apoi&nM1nc)en(2662-2665),casa@ung, &n inal, &n upcumsetie,$ela(it)agoranus-apstratnimic scris"(eba%aunortra$iiisepresupunecs-anscutpe insulaSamos,&ntr-olocalitate$inapropiereaMiletului, cetateaun$e-)ales&niinaseocoalcupreocupri matematice i ilosoice" ! &nvat cu -)ales, apoi, ugin$ $e tirania lui (olJcrates (con$uctorul insulei), s-a stabilit la;rotona,&nsu$ular viaa sa real nu poate i $esprins $e legen$a, extrem $e stuoas, esut&n@urullui"Se%icec(it)agoraaluat&nvturile sale $ela egipteni, c)al$ei i enicieni &n cltoriile sale" +. ca$a $%i /it2a!"a de$a C"tna #leviilui(it)agora,&ncoala$ela;rotona,aveauca semn $e unire, *enta)onul stelat (*enta)rama) care, pentru ei, aveaoseminiicaiemistic"4iterelescrise&nv'rurile pentagonuluiormaucuv'ntulsalut,&nlimbagreac , aa cum se ve$e &n igura $e mai @os: 15 !$evrul i cunoaterea nu se $ob'n$esc$eo$at,printr-o iluminareinstantanee" >ob'n$irealornecesitun lungir$eeorturi,$e observaiiiunstu$iu aproun$at" >e aici, (it)agora &ireparti%ea%&nvm'ntul &nmaimultetrepte$estu$iiprogresive,merg'n$$ela simplu la complex" n acest el, se poate spune c el pune ba%eleuneiveritabile8niversiti"!stel,(it)agora&i &mprea iniiaii (elevii) si $up urmtorul tablou: - LE!>84 (E#(!E!-GE: gra$ul %ero (exotericii)? - LE!>84 ># =GV# MMntr-un triun)hi dre*tun)hic ABC cu

C ? un)hidre*t,suma*tratelorconstruite*ecateteleBCiCAeste e)alcu*tratulconstruit*e i*otenu+a AB. >eci,putemscrie 2 2 2BC CA AB + = (evi$ent cestevorba$eariile acestorptrate),aacumse ve$e &n igura alturat: >eci, 2 2 2a b c + = sau BC AC AB + = sau 2 2 2BC AC AB + = " >eremarcatcnumelelui (it)agora nu este menionat &n #lementele lui #ucli$"22 (entruapre%entaiaspectularitmeticalteoremeilui (it)agora, vom $eini tri*letul *itha)oreic. Fie a, b, c numere naturale" Vom numi tri*let *itha)oreic un triplet(a,b,c)astel&nc't 2 2 2a b c + = ">atorit omogenitiirelaiei$emai&nainte,atuncii(b,a,c)i (ma, mb, mc), cu0 m , sunt triplete pit)agoreice" n ca%ul &n care a, b, c sunt prime &ntre ele, tripletul (a, b, c) se numete *rimitiv. >e aici re%ult aspectul aritmetic al teoremeilui(it)agoraire%olvarea&nnumere&ntregia ecuaiei 2 2 2x y z + = " -ripletelepit)agoreicenaturaleaparcucelpuinun mileniulababilonieni,)in$uiic)ine%i,&naintealui (it)agora, $eoarece ele nu au &n mo$ necesar legtur cu teorema lui (it)agora care apare &n aspectul geometric &n #lemente"!spectularitmeticalteoremeilui(it)agoraa $us la un $omeniu vast i interesant &n matematic: teoria ecuaiilordio!antice(re%olvareaecuaiiloralgebricecu coeicieni&n&nnumere&ntregi)"(utemspunec teoremalui(it)agorasereerlalegtura$intre celetrei laturialeunuitriung)i$reptung)ic"#arepre%int,&n on$,oprimlegtur(reali%atistoric)&ntre)eometriei al)e%r,permi'n$scalculm$istane&ncoor$onate,a inspirattrigonometriaiacon$uslacreareato*o)ra!ieii, &nultiminsatn,lacreareateorieirelativitii.9eplera numit teorema lui (it)agora comoara )eometriei. >e-a lungul istoriei a ost numit &n cele mai $iverse mo$uri: - teorema cstoriei (vec)ii eleni)? 23 - scaunul soilor (i-au %is )in$ui)? - invenie demn de hecatom% sau st*na matematicii. - *untea m)arului (au poreclit-o liceenii $e o$inioar)" Marelematematicianiilosorom'n,aca$"O.Onicescu, aceremarca:msurtorilecarese!ac*otrivitteoremeilui 'itha)oraauconstituitunuldintre!undamentelecivili+aiei euro*ene. -eorema lui (it)agora a @ucat un rol central &n geometria eucli$ian,on$at$egeometrulalexan$rin#ucli$iea estecaracteristicgeometrieieucli$iene,&nsensulceste ec)ivalentcuaimosulpostulateucli$ianalparalelelor, $eun$ere%ultc,&nspaiileneeucli$iene,teoremanu mai are loc"Suntpuineteoreme&nmatematiccaressebucure$e celebritateateoremeilui(it)agora"n27,2,c'n$ Eepublica=icaragua aales%ece ecuaiimatematicecare ausc)imbataalumii,catemauneiserii$etimbre, teorema lui (it)agora a aprut pe cel $e-al $oilea timbru, aa cum se ve$e &n igura $e mai @os: >easemenea,celebrul matematicianengle%ntr-o+i,nusemaitiecums-antm*lat,ntr-o!amilieaunui triun)hi isoscel, s-a iscat o ceart ntre i*otenu+ i catete. Catetele aue/*licatcnumaivorsselaseddcitedei*otenu+,cele sunt mai lun)i dect i*otenu+a. Chiar ntrea)a sta%ilitate a !amiliei s-ar %a+a *e ele, deoarece ele nchid un)hiul dre*t. 8*otenu+a, *e de 26 alt *arte,*retindeaceiirevinemeritul*rinci*aln meninerea triun)hiului,cci,dacn-arsu%ntindecatetele,triniciaun)hiului dre*t s-ar risi*i dendat. >nvremeaaceea,trianCrotonaunomtarenele*t,*enume 'ita)ora.Eraunmare*rietenaltriun)hiurilordre*tun)hicei, adeseori, se *lim%a *n n 4ri)onia, unde se ntreinea ndelun) cu *rietenelesale.>ntr-osear,trecnd*eln)casaaceluitriun)hi dre*tun)hicisoscel,au+i)l)ie.Au*cea!lmotivuldiscuiei, interveniupsimpliicare obinem: 2 2 2a b c + = " SsubliniemaptulcLariel$era am%ide/tru(a$icscriacuambele m'ini)?$eexemplu,scria&nacelai 34 timp cu m'na $reapt &n limba latin i cu m'na st'ng, &n limba greac" 3)nColle)e3athematicsJournal$in276+, matematicianul 3ichael &ard6 a $at o $emonstraie simpl iexpe$itivateoremeilui(it)agora";unotaiileigurii $emai@os,triung)iurile!;>i!;#suntasemenea (

090 DAE = )" >eci: 2 2 2c a ba b cb c a+= + = K2 O demonstraie %a+at *e teoria *ro*oriilor 2x cABC ABD c axc a = = 35 2 2a x bACD ABC b a axb a = = (rin a$unare, re%ult 2 2 2b c a + = " $2 Aemostraia dat de -eonardo da :inci 1"$L2-"L"#2 ;onstruim ptratul R;># pe ipotenu%a R; a triung)iului !R; (

090 A = ), aa cum se ve$e &n igura $e mai @os">ucem' ; ' ' DB ACEC DB i' ' AA EC "(tratul R;>#construitpeipotenu%aR;se$escompune&n patrutriung)iuri congruentecutriung)iul $at $e !R; $e catete b, c i &nptratul' ' ' AB CA $e latur ' ' AB AC B C b c = = aria 2 2( ' ' ') ' ( ) AB CA AB b c = = aria ( ) ABC =aria( ') CDB Karia ( ' ) DCE Karia ( ' ) EA B K 2bc" aria ( ) BCDE = aria ( ' ' ') 4 ABCA + aria ( ) ABC sau 2 2 2 2 2 2( ) 4 2 22bca b c b bc c bc b c = = = + + = +36 C" eci 2 2 2 2 2 2sc sa sb c a b = + = +M. 5eci*roca teoremei lui 'itha)ora Aac nABC avem relaia 2 2 2BC AB AC = + , atunci ABC este dre*tun)hic

0( 90 ) BAC = . Vom$a&naceastseciune$ou$emonstraiiale reciprocei, r a olosi teorema lui (it)agora generali%at" "2 Aemonstraie din Elemente, cartea 8, teorema $D Fietriung)iuloarecare!R;">ucemAE AC pecare lum!>K!Riunim;cu>";um!>K!R,avem 37 2 2AD AB = i 2 2 2 2AD AC AB AC + = + ">ar 2 2 2AB AC BC + = (prin ipote%), 2 2 2AD AC CD + = (princonstrucie,

090 DAC = )"Ee%ult 2 2CD BC CD BC = = i,$eci, ADC ABC = , av'n$ laturile egale (!>K!R? !;K!;? ;>KR;)" -riung)iurile !>; i !R; iin$ egale i ung)iurile opuse laturilor egale vor i egale, a$ic:

090 BAC DAC = = " 22 A doua demonstraienmatematic,reciprocateoremeilui(it)agoraestecel puinlael$eimportantcateorema&nsi">ac&n ABC lungimile laturilorveriic relaia 2 2 2a b c + = , atunci triung)iul este $reptung)ic (

090 C = )" Vom ace $emonstraiaprin reducerelaa%surd, 38 art'n$c$actriung)iulnue$reptung)ic,$arveriic relaia $in enun, atunci vom a@unge la o contra$icie"S urmrim pe igur: >uc'n$&nlimea)$inR,vomputeaconsi$eraaria ( ABC )casumasau$iernaariilora$outriung)iuri $reptung)ice!.RiR;."niecare$inaceste triung)iurisepoateaplicateoremalui(it)agora($e@a $emonstrat)">eciputemscrie: 2 2 2( ) c b d h = + i 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 a d h c a b d d b bd = + = = "ns$inipote% 2 2 2c a b = ?$eci 2 0 0 bd d ABC = = este $reptung)ic &n ;" 39 ;a exerciiu, propunem cititorului c'teva demonstraii !r cuvintealeteoremeilui(it)agoraextrase$inremercabila lucrare N,O $in bibliograia noastr" 2)autornecunoscut, circa 3DD 3)." #" >u$eneJ (272,) 40 :) A" #" RUltc)er 5) FranB RurB 41 C) Leorges Rouligan$ 42 M2 Ar%orele lui 'itha)ora >acseiacatrunchide%a+, ormaalturat(untriung)i $reptung)ic i ptratul construit pe ipotenu%)iseparcurg urmtoarele etape: #tapa 2 #tapa 3 43 #tapa : se obine aa %isul ar%ore al lui 'itha)ora" n iecare etap, sumaariilortuturorptratelor$eacelainivelesteegal cuariaptratului$eba%"=ivelul2conine3ptrate? nivelul3conine5ptrate?nivelul:conine 32 8 =ptrate">eci,nivelulnconine2nptrate"Seve$e ime$iatcsumaariilorptratelor$epeacelainiveleste egal cu aria ptratului $in trunc)iul $e ba%" N2 4eorema lui 'itha)ora *rin *trate ma)ice Se tie c un *trat ma)ic este compus $in numere naturale ae%atesubormaunuiptrat,astelca,iecarelinie, iecarecoloaniiecare$iagonalspro$ucaceiai sum"nlucrarealuiElisha-oomis,$in275D,segsesc ptrate magice care reali%ea% teorema lui (it)agora" 44 atoritcelor$ouaspecte (aritmetici)eometric)aleteoremeilui(it)agora,vom $eosebiposibiliti$egenerali%arealeaspectului geometriciposibiliti$egenerali%arealeaspectului aritmetic" A. ,enerali+ri ale as*ectului )eometric 2) 4eorema lui 'itha)ora ntr-un triun)hi oarecare Ggenerali%arenaturalateoremeilui(it)agoraaost $atprinteoremaluialOashi(le)eacosinusului&nrile anglo-saxone),cunoscut&nmanualul$ecls"aac&ntr-untriung)ioarecareung)iurile, , sunt opuselaturilor$elungimia,b,caletriung)iului!R;, atunci avem: 2 2 2( ) ( ) sign sign a b c + = + (exerciiu X) (entru 2 =se obine 2 2 2( ) 0 sign a b c + = + =46 3)n2,56,marelematematician4"#uler&nlucrareasa :ariae demonstrationes )eometricae a $emonstrat propo%iia: >ntr-un*atrulaterconve/ABCA,dac'iGsuntmi;loacele dia)onalelorACi,res*ectiv,BA,atunciavem< 2 2 2 2 2 2 24 AB BC CD DA AC BD PQ + + + = + + (lsm $emonstraia&nsarcinacititorului,spre$electare)">ac 0 PQ = , atunci se regsete teorema lui (it)agora" :),enerali+ri*rivind !i)urileconstruite*elaturile unuitriun)hi dre*tun)hic Aac*elaturileunuitriun)hidre*tun)hicsedescriu!i)uri asemenea,atunciaria!i)uriide*ei*otenu+estee)alcusuma ariilor !i)urilor descrise *e catete. ngeneral,igurile$escrisepelaturileunuitriung)i $reptung)icpotipoligoanecunlaturi(nK:,5,""""""") regulatesauneregulate ($arasemenea), semicercuri(cu $iametrulc'tlatura), $reptung)iuri, paralelograme etc">eexemplu:*elaturile ABC dre*tun)hicse construiesc se)mente de cerc ce su%ntindacelaiun)hi . Setiecariaunui segment$ecerceste $at$erelaia: 47 ( )2 2 001sin ; 3602 180a a aS R kR | |= = = |\ (urmrim pe igura $e mai sus): ( ) ( )2 2 2 201sin2 180b c b c b cS S R R k R R| |+ = + = + |\ ;um 3 1 2ABO BCO CAO avem c: a b cR R Rma b c= = = , $in care re%ult ; ;a b cR amR bmR cm = = = >eci 2 2 2 2 2 2( )b c aS S km b c km a kRa S + = + = = = " >ac 0180 = atunciseobinsemicercurii,$eci,aria semicercului$escrispeipotenu%esteegalcusuma ariilor semicercurilor construite pe catete" $2 ,enerali+area n s*aiu nspaiu,triung)iul$reptung)ic!R;(090 A = )areca omologtetrae$rul>!R;(tri$reptung)ic&n>),aacum se ve$e &n igura alturat">eciAD BD CD ($eci ; ; ADB BDC CAD sunt $reptung)ice)" >ucem( ) DH ABC i AH BC E = ?$inaptulc ( ) BC ADE re%ultc DF AB ">eci.K ortocentrulABC i,$e 48 aceea,tetrae$rul$reptung)ic>!R;semainumetei tetredruortocentric.nADE (cu

090 ADE = )avem teorema catetei (teorema lui #ucli$): 2DE AEHE = 2 2DE BC AEBCHEBC = 2( ) ( ) ( )4 2 2S DBC S ABC S BHC = 2( ) ( ) ( ) S DBC S ABC S BHC = (S) n mo$ analog, avem: 2( ) ( ) ( ) S ADB S ABC S AHB = (SS) 2( ) ( ) ( ) S ADC S ABC S AHC = (SSS) Fc'n$ (S) T (SS) T (SSS), obinem: 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) S ADB S BDC S CDA S ABC + + = care repre%intteoremalui'itha)ora*entrutetraedrultridre*tun)hic AABC. !ceastrelaieaoststabilit&n2+27$ectre matematicianul i ilo%oul rance% E" >escartes" L E/tinederea teoremei lui 'itha)ora la un s*aiu euclidian real n-dimensional n acest sens avem: 'tratuldia)onaleiunuihi*er*araleli*i*eddre*tdins*aiul nestee)alcusuma*tratelormuchiilor,a$ic 2 2 2 21 2...na a a a = + + + " Aemacconsi$ermmuc)iileunuiparalipipe$ca vectori 1 2, ,...,na a a i$iagonalasaa (astel&nc'ts 49 orme%e un contur &nc)is), avem relaia 1nia a =, pe care ri$ic'n$-olaptratiin'n$seamac

( , ) 0i ia a = i 0( , ) 90i ja a = ,avemrelaia 2 21nia a =(teoremalui (it)agora)" O%servaie -eoremalui(it)agorasepoateextin$eilaosupraa oarecare,raportatlacoor$onatelesalecurbilinii(u,v), astelc&mbracoorm$ierenial(aacumaartat Lauss): 2 2 2ds Edu Fdudv Gdv = + +un$e2 2 22 2 2x y zEu u ux y zGv v vx x y y z zFu v u v u v | | | | | |= + + |||\ \ \ | | | | | |= + + |||\ \ \ = + + cu ( , )( , )( , )x x u vy y u vz z u v=== 2( , ) ( ) u v #vi$entcexpresia$emaisuspoateiextinsila )ipersupraee $in n " 50 B. ,enerali+ri *rivind as*ectul aritmetic al th. lui 'itha)ora !spectul artimetic(algebric) al t)" lui (it)agora se exprim prinre%olvareaecuaiei: 2 2 2x y z + = &ntr-omulime numeric($eobiceipentruaoputeaasociacu aspectul geometric)" n acest mo$ au ost gsite o serie $e triplete, cum sunt: -tripletul egiptean primitiv: (:, 5, C)? -tripletul in$ian primitiv: (C, 23, 2:)" Ee%olvareaunorecuaiialgebrice(cucoeicieni&n)a ostpuspentruprima$at$ectreAio!ant(sec"ac 1 2, ,...,na a asunt numere naturale consecutive, se obinnumereiraionale$eorma 2 2 2 2 211 2 ; 1 2 3 ;...; ( 1)(2 1)6 n n n + + + + + cun" (entru2;3;...;8 n = seobinnumereleiraionale 5; 14; 30; 55; 91; 140; 204 ,olosin$igura$e mai @os: 56 $) Folosin$ teorema lui #ucli$ &n semicercuri concentrice cucentrulDira%ele2,3,:,5,C,+seobinnumerele iraionale3; 5; 7; 11; 8; 12;...; 35 repre%entate &n igura $e mai @os: 57 e);onstruin$semicercuri$e$iametre3?:?"""?23, intersecia perpen$icularelor pe $iametrul !R &n punctele $e $ivi%iune 3? :? """ ?22 cu semicercurile $e $iametre :? 5? """?23seobiniraionalele:7; 3;...; 11; 6; 20;... , repre%entate &n igura $e mai @os: 22 -unulele lui &i**ocrat din Chios 1sec : . &r.2 =umimlunularialimitat$e$ouarce$ecerccareau aceleaiextremiti(ca&nigura alturat): #xisturmtoareaproprietate ($e$us$inteoremalui(it)agora): 7umalunulelormr)initedesemicercurile construite*ecateteleunuitriun)hidre*tun)hicidesemicercul construit *e i*otenu+, este e)al cu suma triun)hiului. 58 Aemonstraie< !vem,evi$ent,$inteoremalui(it)agora(reeritoarela semicercurile construite pe laturile unui triung)i !R;) c: 1L T aria( )1S T2L T aria( )2S Karia( )1S Taria( ABC )T T aria( )2S , a$ic 1 2L L + = aria( ABC ) .ippocrataconstruitprima$atiguriplanecurbilinii (mrginite$earce$ecerc)numitelunule,alecrorarii suntec)ivalentecuigurimrginite$e$repte(construite curiglaicompasul)"!stel$elunulesenumesccara%ile (cua$rabile)" nN:Ose$auoserie$eproprietire%ultate$inlunule construitepelaturilepoligoanelorregulate">easemenea, &n Guadrature, nr" ,2 $in 3DD:, ilustrul proesor (ranQois 5ideauexpune&ntr-unarticolcua$raturalunuleilui .ippocrate cu ample comentarii" 59 Eenunm la pre%entarea lor &n crticica noastr spre a nu o transorma &n carte de )eometrie" Mai semnalm cititorului interesat $e mai a$'nc geometrie i celebra lucrare a lui A" .a$amara$:Cursde)eometrie*lan(tra$us&nlimba rom'n), un$e, &n exerciiul :2,, se anali%ea% lunulele lui .ippocrate" 6. A($icaii ("actice 2)(utemconsi$era,caaplicaiipracticealeteoremeilui (it)agora,oserie$erelaiimetrice&niguriplaneca: relaialui7te@art,*utereaunui*unct!adeuncerc,teorema medianeintr-untriun)hi,calculullaturiiia*otemeiunui poligonregulat&nscris&ntr-uncerc,distana$intre$ou puncte$ate&ncoor$onaterectangulare,oserie$e probleme $e maxime i minime geometrice etc" etc" (ve%i N:O)" 3)n&nc)eiere,vompre%enta,pentrucititorulmai avansat,lun)imeaunuiarcdecur%trasatpeosupraa" >ac pe supraaa (_) $e ecuaii ( , )( , )( , )x x u vy y u vz z u v= == cu( , ) uv ,avemocurb( ) $eecuaie ( )( )u u tv v t= =cu[ ]1 2, t t t , atunci,$upprima!ormdi!ernialalui1R2,$e$ucemc 60 2 22du du dv dvds E F G dtdt dt dt dt| | | | | |= + + |||\ \ \ ,iar$ac lum punctele( )1Ati( )2Btpe( ) , atunci:

( )212 2lung 2ttdu du dv dvAB E F G dtdt dt dt dt| | | |= + + ||\ \ " >ac( ) esteuna$incurbelegaussiene$ecoor$onate, $eexemplu,ceapentrucare0 dv = ,atunci

( )21lunguuAB Edu ="ns'rit,&n&nc)eiereaacesteiexcursii&nlumea matematicii, cutrenulcareaavutcalocomotivteorema lui(it)agora,&imulumesc,stimatecititor,caaicut eortul $e a ne &nsoi p'n la ultimul obiectiv al ei: cltoria *e su*ra!ee cur%e, nu numai *lane. Sperm s nu te i speriat simbolurile olosite $e noi, $ar aste este matematica: un lim%a; sim%olicB 61 6ib$i!"a#ie N2O !$rian ;" !lbu, O istorie a matematicii, #$" =emira, 3DDD? N3O S S S, 'a)ini de istoria matematicii, #$" #urostampa, -imioara, 3D2:? N:O Mi)u ;erc)e%, 'ita)ora, #$" 4itera, Rucureti, 2765? N5Oncil,3atematicadistractiv,clasele:88i:888, #$itura !E-, Rucureti, 3D23? NCOLeorgLlaeseri9onra$(olt)ier,7ur*renantsima)esdes mathPmatiSuP, #$" .eral$, Rucureti, 3DD+ ? N+OAeanMallinger,'ita)orai3isteriileAntichitii,#$".eral$, Rucureti, 3DD+? N,OEogerS"=elsen,'reuvessansmots,#$".ermann,(aris, 3D2: ? N6O#$mon$=icolau,Cutndrealul,#$"!lbatros,Rucureti, 276: ? N7O Qnt)ia ()illips i S)ana (riPer, " lucruri des*re Einstein, #$" Meteor (ress, Rucureti, 3DD6 ? N2DO#"Eusu,Aela4haleslaEinstein,#$"!lbatros,Rucureti, 27,2 ? N22O V" Smilga, >n )oan du* !rumos, #$" -ineretului, Rucureti, 27+6 ? N23Oogaru, 'alim*sest, 3DDC? 27" Stelian Stan, (renolo)ia a%surdului, 3DD+? 3D" Silviu;ostac)e,Conducereaiadministrareasocietilor comerciale, 3DD+? 32" >umitru