Teorema Cel or 3 Perpendicular e
27
TEOREMA TEOREMA CELOR CELOR TREI TREI PERPENDICULARE PERPENDICULARE
-
Upload
vlad-alexandru-toader -
Category
Documents
-
view
85 -
download
5
Transcript of Teorema Cel or 3 Perpendicular e
TEOREMATEOREMA
CELORCELOR
TREITREIPERPENDICULAREPERPENDICULARE
ConstruieşteConstruieşte perpendicular perpendicularaa de la un de la un punctpunct din din afara unui plan la afara unui plan la dredreaaptptaa situată în plan situată în plan
Lungimea Lungimea acestei perpendiculare esteacestei perpendiculare este distanţa distanţa de la punct la dreaptăde la punct la dreaptă
Poate folosiPoate folosi la la înălţimi de triunghiuri înălţimi de triunghiuri şi deci laşi deci la calcul de ariicalcul de arii
Ne ocupăm Ne ocupăm numai de numai de construcţieconstrucţie
Pentru calculPentru calcul, în general, se consideră , în general, se consideră triunghiul triunghiul dreptunghic rezultat din construcţiedreptunghic rezultat din construcţie
CalcululCalculul se face pe probleme în care se face pe probleme în care
se dause dau date concrete date concrete
M
O Pb
d c
a
““Din piciorul perpendicularei pe plan duc perpendiculară pe dreaptă şi unesc”Din piciorul perpendicularei pe plan duc perpendiculară pe dreaptă şi unesc”
d b a,b a
c a
d a d a a d
a b( )a MOP( )c MOP a c
Constructiv procedez astfel:Constructiv procedez astfel:
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ D’, AB ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … ABAdică … DA
Şi deci … D’A' ( )D D ABCDA AB
, ( )DA AB ABC
3T 'D A AB ' ( ', )D A d D AB
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ D’, CB ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … CBAdică … DC
Şi deci … D’C' ( )D D ABCDC BC
, ( )DC BC ABC
3T 'D C BC ' ( ', )D C d D BC
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ D’, AC ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … CAAdică … DO
Şi deci … D’O
O
O
' ( )D D ABCDO AC
, ( )DO AC ABC
3T 'D O AC ' ( ', )D O d D AC
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ D’, CB’ ]
Din picior… B C
C’B’
C’ Perpendicular pe … CB’Adică … C’O
Şi deci … D’O
O
O
' ' ( ')D C BCC' 'C O CB' , ' ( ')C O CB BCC
3T ' 'C O CB ' ( ', ')D O d D CB
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ A’, CB ]
Din picior…
A B
CD
A Perpendicular pe … CBAdică … AB
Şi deci …A’B' ( )A A ABCAB BC, ( )AB BC ABC
3T 'A B BC ' ( ', )A B d A BC
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ A’, DC ]
Din picior…
A B
CD
A Perpendicular pe … DCAdică … AD
Şi deci … A’D' ( )A A ABCAD DC
, ( )AD DC ABC
3T 'A D DC ' ( ', )A D d A DC
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ A’, DB ]
Din picior…
A B
CD
A Perpendicular pe … DBAdică … AOŞi deci … A’O
O
O
' ( )A A ABCAO DB
, ( )AO DB ABC
3T 'A O DB ' ( ', )A O d A DB
A B
CD
M
d [ M, CB ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … CBAdică … DC
Şi deci … MC( )MD ABCDC BC
, ( )DC BC ABC
3T MC BC ( , )MC d M BC
A B
CD
M
d [ M, AB ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … ABAdică … DA
Şi deci … MA( )MD ABCDA AB, ( )DA AB ABC
3T MA AB ( , )MA d M AB
A B
CD
M
d [ M, AC ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … ACAdică … DO
Şi deci … MO
O
O
( )MD ABCDO AC
, ( )DO AC ABC
3T MO AC ( , )MO d M AC
A B
CD
Md [ M, BC ]
Din picior…
A B
CD
O Perpendicular pe … BCAdică … 0P
Şi deci … MP
O
OP
P
( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC
3T MP BC ( , )MP d M BC
A B
CD
Md [ M, AB ]
Din picior…
A B
CD
O Perpendicular pe … ABAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
( )MO ABCOP AB
, ( )OP AB ABC
3T MP AB ( , )MP d M AB
A B
CD
Md [ M, AD ]
Din picior…
A B
CD
O Perpendicular pe … ADAdică … 0P
Şi deci … MP
O
OP
P
( )MO ABCOP AD
, ( )OP AD ABC
3T MP AD ( , )MP d M AD
A B
C
Md [ M, BC ]
Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A B
C
( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC
3T MP BC ( , )MP d M BC
A B
C
Md [ M, AB ]
Din picior… O Perpendicular pe … ABAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A B
C
( )MO ABCOP AB, ( )OP AB ABC
3T MP AB ( , )MP d M AB
A B
C
M
d [ M, BC ]
Din picior… A Perpendicular pe … BCAdică … AP
Şi deci … MP
P
P
A B
C
( )MA ABCAP BC, ( )AP BC ABC
3T MP BC ( , )MP d M BC
A
B
M d [ M, BC ]
Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
C
C
B
( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC
3T MP BC ( , )MP d M BC
A
B
M d [ M, AC ]
Din picior… O Perpendicular pe … ACAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
C
C
A
B
( )MO ABCOP AC, ( )OP AC ABC
3T MP AC ( , )MP d M AC
A
B
C
D
M
d [ M, AB ]
Din picior…
AB
CD
D Perpendicular pe … ABAdică … DP
Şi deci … MP
P
P
A
B
C
D
M
d [ M, BC ]
Din picior…
AB
CD
DPerpendicular pe … BCAdică … DP
Şi deci … MP
P
P
A B
CD
M d [ M, BC ]
Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A
B
C
D
A B
CD
Md [ M, BD ]
Din picior… C Perpendicular pe … BDAdică … CO
Şi deci … MO
O
O
A
B
C
D
A B
CD
Md [ M, AD ]
Din picior… C Perpendicular pe … ADAdică … CP
Şi deci … MP
O
O
A
B
C
D
PP
