TEOREMA BISECTOAREIMNCIL DORU BOGDAN I PETRE DANIEL COSTINELCOLEGIUL NAIONAL MIHAI EMINESCU BUCURETIPROFESOR NDRUMTOR : SVULESCU DUMITRU

Cuprins:

Prezentare

Definiie

XII variante de demonstraie

Probleme rezolvate

Prezentarea Proiectului

Prin acest referat ne propunem s prezentm mai multe demonstraii la una dintre teoremele de geometrie plan.

ntr-un triunghi fiecare bisectoare determina pe latura opus dou segmente proporionale cu laturile care formeaz unghiul.

Definiie

Se numete bisectoare interioar a unghiului A al triunghiului ABC, bisectoarea unghiului BAC. Dac AB < AC, se numete bisectoarea exterioar a unghiului A al triunghiului ABC, bisectoarea unghiului BAC unde (AC este semidreapta opus semidreptei (AC. n figura alturat [AD este bisectoarea interioar a unghiului A, iar [AD este bisectoarea exterioar a unghiului A.

Demonstraie: Soluia I

Fie CE AD unde E [BA T.Th

=

(1)

Din AD CE i AC secant m() = m() = =x(alterne interne) (2), iar AD CE i BE secanta m() = m() = x (corespondente) (3). Dar m() = m() = x (ip.) (4). Din (2), (3) i (4) m() = m(AEC) = x ACE isoscel

[AE] [AC] (5). Din (1) i (5)

=

.

Soluia II

Fie E intersecia bisectoarei [AD cu cercul circumscris triunghiuluiABC . Rezult ABEC patrulater inscriptibil deci m() = = m() = x =

1

2 m( ) (1). Analog m() = m() =

= x = 1

2 m( ) (2) EBC isoscel [BE] [CE] (3)

Din (1) i D1 3 ( opuse la vrf ) ABD

CED

=

CE =

(4). Analog ACD

BED

=

BE =

(5). Din (3), (4) i

(5)

=

=

=

Soluia III

Construim trapezul isoscel ABCF cu AF BC, [CF] [AB] (1). Fie E [AC] astfel nct [AE] [AB](2). n ABD respectiv AED avem [AB] [AE] (3). BAD DAE (ipotez) [AD] latur comun ABD AED [BD] [DE] (4) i ABD AED (5). Cum ABCF trapez ACB FAC (alterene interne) (6) i DEC AFC (au acelai suplement) (7) DEC CFA

=

=

=

1 (4)

=

.

Soluia IVDac DE AC, E [AB] i DF AB, F [AC] i din BAD DAC patrulaterul AEDF este romb [DE] [DF] (1). Din DF AB i AC secant m(DFC) = m(BAC) = 2x (corespondente) (2), iar DF AB i BC secant ABC FDC (corespondente) (3) i DE AC, AB secant BED BAC (corespondente) (4). Din (2) i (4) BED DFC (5). Din (3) si

(5) BED DFC

=

=

(6). DF AB

...DFC

BAC

=

=

(7)

Din (1), (6) i (7)

=

.

Soluia V

Dac BE AD i CF AD BE CF (sunt perpendi-

culare pe aceeai dreapt) ...

BED CFD

=

(1)

ABE ACF (dreptunghice si au cte un unghi

ascuit congruent)

=

(2)

Din (1) i (2)

=

Soluia VI

Fie DE AB, E [AC..

=

(1)

Din DE AB i AD secant BAD ADE ( alterne interne) (2) i BAD DAC (din ipotez) (3) deci DAE ADE ADE isoscel [DE] [AE] (4). Din

DE AB EDC ABC

=

=

=

.

Soluia VII

Fie BF AD (1) E [AD, BF AC = {F} i MF BC, M [AD. Din (1) i [AD bisectoare ABF isoscel(o bisectoare este i inalime) [AF] [AB] (2) i [BE] [EF] (3). Din MF BC i BF secant DBE MFE (alterne interne) (4). Din (3) i (4) BED

FEM [BD] [MF] (5). Deoarece MF BC...

...AMF ADC

=

cu (2) i (5)

=

.

Soluia VIII

Fie DE AB , E [AC] i AF BC, F [DE]ABDF

paralelogram [BD] [AF] (1). Din DE AB ..

=

=

(2). Din AF BC

...AEF CED

=

=

(3).

Din DE AB ...

DEC BAC

=

=

=

(4). Din (1), (2), (3) i (4)

=

Soluia IX

Fie BE AD i DE AC; AB DE = {F}. Din DF AC ..

..

=

(1). Tot din DF AC

...BDF BCA

=

=

(2). Dar din BAD DAC si

EDA DAC (alterne interne) FAD FDA FAD isoscel [FA] [FD] (3). Din (1), (2) i (3)

=

Soluia X

Folosind faptul c orice punct de pe bisectoarea unui unghi este la egal distana de laturile unghiului construim DE AB DF AC [DE] [DF] (1) ( E [AB], F [AC] ).

Avem AABD = 1

2AB DE (2) i AADC =

1

2AC DF (3).

Calculnd raportul ariilor AA

= =

(4). i daca ducem

AM BC ( M BC ) AA

= =

1

2

1

2

=

(5).

Din (4) i (5)

= =

.

Soluia XI

Daca E [AD astfel nct [BE] [BD] (1) BDEisoscel m(BED) = m(BDE) = y m(AEB) = m(ADC) = = 180 - y i cum m(BAD) = m(DAC) = x AEB

ADC

=

=

.

Soluia XII

Fie E [AD astfel nct [AB] [BE] (1) BAEisoscel, deci m(BAE) = m(BEA) = x. Dar m(BEA) = = m(EAC) = x (i avnd poziia de alterne interne)

BE AC ...

BDE CDA

=

i (1)

=

=

.

Probleme rezolvate

1. n triunghiul isoscel DEF, M este mijlocul bazei [EF]. Demonstrai c [DM este bisectoarea unghiului EDF.

Soluia I : Din [DE] [DF]

m(DEF) = m(DFE) = x ...

DME DMF

[EM] = [MF]

EDM FDM [DM bisectoarea unghiului EDF.

Soluia II : Din [DM] latur comun

[DE] [DF] ...

DME DMF

[EM] [MF]

EDM FDM [DM bisectoarea unghiului EDF.

2. Se d unghiul XOY i punctele A,C [OX; B,D [OY astfel nct [OA] [OB] i [OC] [OD]. Dac [AD] [BC] = = {M} demonstari c [OM este bisectoarea unghiului XOY.

Soluie : Din [OA] [OB]

[OD] [OC] ...

AOD BOC

AOB = unghi comun

ADO BCO

dar AMC BMD (opuse la varf) AMC BMD

[AC] [BD] (dif. de seg. congruente)

[AM] [BM]

OAM OBM OAM OBM AOM BOM

[OA] [OB] (ip.)

[OM este bisectoare.

3. n triunghiul ABC, ADBC i [AD] [BC]. nlimile din B i C intersecteaz perpendicularele n C i B pe BC n F i E. Demonstrai c triunghiul DEF este dreptunghic i [DA este bisectoarea unghiului EDF.

Soluie : Fie {M}=CEAB i {N}= BFAC. Din [AD] [BC]; ADBC;

CMAB BAD BCM(au acelai complement unghiul ABC) ..

..ADB CBE [EB] [BD] BDE dreptunghic isoscel

m(BDE) = 45 (1)

Analog DAC CBF(au acelai complement unghiul ACB) ..

..ADC BCF [CF] [DC] m(CDF) = 45 (2)

Din (1) i (2) m(EDF) = 180-(45+45 )= 90 (3)

Din ADBC i (1) m(ADE) = 90-45=45(3)

m(ADF) = 45 deci, [DA este bisectoarea unghiului EDF.

4. Dndu-se unghiul ascuit AOB, se duce [OA[OA, de aceeai parte cu [OB fa de [OA i [OB[OB de aceeai parte cu [OB fa de [OB. Demonstrai c unghiurile AOB i AOB au aceeai bisectoare.

Fie 2x=m(AOB). Din [OA[OA i [OB[OB m(AOB) = =90-2x= m(BOA) (1) i [OM bisectoarea unghiului AOB m(AOM) = m(AOA)- m(AOM) = =90-x (2)

m(BOM) = m(BOB)- m(BOM) = 90-x (3)

Din (2) i (3) AOM BOM [OM este si bisectoarea unghiului AOB.

5. Fie ABC un triunghi oarecare, (AA bisectoare unghiuluiBAC ( A BC ) i punctele coliniare A, C, E ( C (AE) ); B, C, F ( B (CF) ) astfel nct CE = AB i BF = AC. Demonstrai c AA trece prin mijlocul segmentului [EF].

Din BD = AC i CE = AB rezult AD = AE, adic ADE isoscel. Cum AA este bisectoare rezult {M} = AA DE este mijlocul lui

DE. Pe de alt parte, din teorema bisectoarei, in ABC avem

=

=

i pentru c AC = BF i AC = BD vom avea

=

.

De aici i din FBD ABC (opuse la vrf) deducem ca BDF BAA, de unde FDB BAA, ceea ce implic AM DF. Dac {O} = AA EF, din M mijlocul lui DE si MO DF rezult MO linie mijlocie n DEF, adic O este mijlocul lui EF.

Bibliografie

1. Dumitru Svulescu, t. Alexe, M. Chirciu, T. Deaconu, A.R. Petrescu, MATEMATIC. Manual pentru clasa a IX-a, Trunchi comun icurriculum difereniat. Editura CORINT, Bucureti, 2008

2. C.Nstsescu, C.Ni, Alexe, I.Chiescu, D. Mihalca, MATEMATIC. Manual pentru clasa a IX-a, Trunchi comun icurriculum difereniat. Editura DIDACTIC I PEDAGOGIC, Bucureti, 2004

3. tefan Sabu, Dumitru Svulescu, Cum s demonstram c ? Probleme de geometrie plan clasele VI IX. Editura Paralela 45, 1996.

4. Gazeta Matematica