Integrale duble

Fie f o functie marginita si denita pe domeniul marginit D R2. Se consi-dera o partitie a planului n intervale bidimensionale, din care retinem pe aceleace contin puncte din D. Notam prin !k; k = 1; n, intervalele bidimensionaleretinute, numerotate ntr-o ordine oarecare. Fie diviziunea multimea acestorintervale. Norma divizunii notata (), este cea mai mare dintre dimensiunileintervalelor !k, k = 1; n. Suma Riemann atasata functiei f corespunzatoaredivizunii a domeniului D este

(f) =nXk=1

f(k; k)aria(!k); (k; k) 2 !k:

Integrala dubla a functiei f extinsa la domeniul D esteZZD

f(x; y)dx dy = lim()!0

(f)

limita ind aceeasi pentru orice alegere a punctelor intermediare (k; k).

Pentru calculul integralei duble se disting urmatoarele doua tipuri funda-mentale de domenii de integrare:1) Domeniul Dy este simplu n raport cu axa Oy daca este denit de inega-

litatile a x b; (x) y (x), unde si sunt functii continue pe [a; b].Daca f este continua pe Dy, atunciZZ

Dy

f(x; y)dx dy =

Z ba

Z (x)(x)

f(x; y)dy

!dx :

b) Domeniul Dx este simplu n raport cu axa Ox daca este denit de inega-litatile c y d, (y) x (y), unde si sunt functii continue pe [c; d].Daca f este continua pe Dx, atunci:ZZ

Dx

f(x; y)dx dy =

Z dc

Z (y)

(y)

f(x; y)dx

!dy:

1

Schimbarea de variabila la integrala dubla.Fie D0 un domeniu compact n planul Ouv si D un domeniu compact n

planul Oxy: Fie T o transformare denita pe D0 cu valorile pe D, data defunctiile reale ' si ; de doua variabile reale,

T :

(x = '(u; v); (u; v) 2 D0y = (u; v); (u; v) 2 D0 :

Presupunem ca:I1. T este continua pe D0 si biunivoca pe Int(D0).I2. Functiile ' si au derivate partiale continue si marginite pe Int(D0).I3. Pe Int(D0), jacobianul transformarii T este diferit de zero:

J =D('; )

D(u; v)=

@'

@u

@

@u@'

@

@

@u

6= 0:

Teorema de schimbare de variabile la integrala dubla:Daca I1-I3 au loc si f este o functie continua pe D, atunci

ZZD

f(x; y)dx dy =

ZZD0f((u; v); (u; v))

@'

@u

@

@u@'

@

@

@u

du dv:

Exemplu:1) Transformarea de la coordonate polare (noate cu si ) la coordonatele

carteziene:

T :

(x = cos ; (; ) 2 D0y = sin ; (; ) 2 D0

unde D0 = f(; ) 2 R2j 0; 0 2g sau D0 = f(; ) 2 R2j 0; g:Jacobianul transformarii, n modul, este

D(x; y)D(; ) = :

2) Transformarea de la coordonate polare generalizate (notate cu si ) lacoordonatele carteziene:

T :

(x = a cos ; 0; 0 < < 2 ;y = b sin ; 0; 0 < < 2

unde a; b; > 0:

Jacobianul transformarii, n modul, este

D(x; y)D(; ) = ab cos1 sin1 .

2

Aplicatii ale integralelor duble:1) Aria unei suprafete plane D este

aria(D) =

ZZD

dx dy:

2) Masa unei placi plane D, de densitate (x; y) > 0 este

M =

ZZD

(x; y)dx dy:

2) Coordonatele centrului de greutate G al unei placi plane D, cu densitateade masa (x; y) > 0 sunt:

xG =1

M

ZZx(x; y)dx dy; yG =

1

M

ZZD

y(x; y)dx dy:

3) Momentele de inertie ale placii n raport cu axele de coordonate Ox siOy:

Ix =

ZZD

y2(x; y)dx dy; Iy =

ZZD

x2(x; y)dx dy:

Momentul de inertie al placii n raport cu originea este IO = Ix + Iy.

Exercitii si problemeSa se calculeze urmatoarele integrale:

1. I =RRD

x2px2 + y2

dx dy, daca D este domeniul marginit de dreptele

x = 0, y = 1, y = 3p2, y = x:

Solutie. Domeniul D este simplu in raport cu ambele axe. Vom consideradomeniul D simplu in raport cu axa Ox si vom integra in ordinea x; y deoarece,in acest caz, reprezentarile paramerice ale curbelor care marginesc domenul Dau o expresie simpla.Proiectia domeniului D pe axa Oy este intervalul [1; 3

p2]. Reprezentarea

parametrica a curbei care il margineste la stnga este x = 0, 1 y 3p2, iarreprezentarea parametrica a curbei care il margineste la dreapta este x = y;1 y 3p2. Avem

I =

Z 3p21

(

Z y0

x2px2 + y2

dx)dy =

=

Z 3p21

[x

2

px2 + y2 y

2

2ln(x+

px2 + y2)]

y0

dy =

=

Z 3p21

y2

2(p2 ln(1 +

p2))dy =

1

6[p2 ln(1 +

p2)]:

2. I =RRD(1 y)dx dy, unde D = fx2 + (y 1)2 1; y x2; x 0g .

3

Solutie. Domeniul D este portiunea cuprinsa intre cercul cu centrul in pun-ctul B(0; 1) si raza 1, si parabola y = x2, din primul cadran; el este simplu inraport cu ambele axe. Vom integra in ordinea y; x, deci vom considera domeniulD simplu in raport cu axa Oy: Aam coordonatele punctului A de intersectie acercului cu parabola, rezolvnd sistemul(

x2 + (y 1)2 = 1y = x2

si obtinem A(1; 1). Rezulta ca proiectia domeniului D pe axa Ox este intervalul[0; 1]. Curba care margineste inferior domeniulD este arcul de cercOA; situat pesemicercul inferior, reprezentarea sa parametrica se obtine rexolvnd in raportcu y ecuatia cercului si este y = (x) = 1p1 x2, x 2 [0; 1].Curba care margineste superior domeniul D este portiunea din parabola

y = x2, cuprinsa intre punctele O si A, deci are reprezentarea parametricay = (x) = x2; x 2 [0; 1].Reducem acum integrala dubla la o integrala iterata, in ordinea y; x:

I =

Z 10

(

Z x21p1x2

(1 y)dy)dx = Z 10

1

2(1 y)

x21p1x2

dx =

= 12

Z 10

[(1 x2)2 + x2 1]dx = 12

Z 10

(x4 x2)dx = 115:

3. I =RRDxy dx dy, unde D este domeniul limitat de curbele xy = 1;

x+ y =5

2.

4. I =RD

pjy x2jdx dy, unde D este domeniul x 2 [1; 1], y 2 [0; 1].5. I =

RRD(jxj+ jyj)dx dy, unde D : jxj+ jyj 1:

Solutie. Domeniul D este un patrat de vrfuri (1; 0); (0; 1); (1; 0); (0;1) sise scrie ca reuniunea a patru domenii D1; D2; D3; D4, dupa cum x si y se aain primul, al doilea, al treilea, respectiv al patrulea cadran.Atunci

I =

ZZD1

(x+ y)dx dy +

ZZD2

(x+ y)dx dy +ZZ

D3

(x y)dx dy+

+

ZZD4

(x y)dx dy =Z 10

(

Z 1x0

(x+ y)dy)dx+

Z 01(

Z 1+x0

(x+ y)dy)dx+

+

Z 01(

Z 01x

(x y)dy) +Z 10

(

Z 0x1

(x y)dy)dx etc:

6. I =RRD

1pxdx dy; unde D : y2 8x; y 2x; y + 4x 24:

7. I =RDydx dy, unde D este domneiul marginit de parabola y2 = 2x;

cercul x2 + y2 2x = 0 si dreapta x = 2:8. I =

RRD

y2

x2dx dy, unde D = f(x; y)j1 x2 + y2 2xg.

4

Solutie. Domeniul D este portiunea din exteriorul cercului x2 + y2 = 1 carese aa in interiorul cercului (x 1)2 + y2 = 1:Trecem la coordonate polare x = cos ; y = sin , si obtinem 1 2

2 cos ; deci 2 [1; 2 cos ]. Cum cos 12avem 2

h3;

3

i. Atunci

I =

Z 3

3(

Z 2 cos 1

tg2 d)d = 12

Z 3

3(4 cos2 1)tg2 d =

=1

2

Z 3

3(4 sin2 tg2)d = 1

2

Z 3

3[2(1 cos ) tg2]d =

=

33

sin 22

Z 33 12Z p3p3

t2

1 + t2dt =

2

3 12 12(2p3 arctgt

p3

p3) =

=2

3 12 12(2p3 2

3) = 1

2p3:

9. I =RRD

ypx2 + y2

dx dy, D : 4x2 + y2 4; x2 + y2 1; y 0:

10. I =RRDex

2+y2dx dy; D = f(x; y) 2 R2;x2 + y2 1g.11. I =

RRD(1 +

px2 + y2)dx dy, D = f(x; y) 2 R2;x2 + y2 y 0; x 0g.

12. I =RRDln(1 + x2 + y2)dx dy, D ind marginit de curbele de ecuatii

x2 + y2 = e2; y = xp3; x = y

p3; x 0:

13. Sa se ae coordonatele centrului de greutate al unei placi omogene,marginita de curbele y2 = 2ax; x2 = 2ay:Sa se calculeze urmatoarele integrale:14. I =

RRDxydx dy, daca D este domeniul limitat de parabola y = x2 si de

dreapta y = 2x+ 3.15. I =

RRDarcsin

px+ ydx dy, unde D este domeniul marginit de dreptele

x+ y = 0; x+ y = 1, y = 1; y = 1.16. Sa se determine aria multimii planeD limitata de lemniscata lui Bernoulli

(x2 + y2)2 = 2a2(x2 y2).17. Cu ajutorul unor schimbari de variabile adecvate, sa se calculeze inte-

grala I =RRD(x + y)4(x y)2dx dy, unde D : patratul marginit de dreptele

x+ y = 1; x+ y = 1; x y = 1; x y = 3:18. Sa se calculeze volumul corpului limitat de suprafetele z = x; z = x;

x2 + y2 = 2ax; 0 < < ; a > 0:19. Sa se determine aria multimii plane D marginita de curba (x2 + y2)2 =

a(x3 + y3); a 2 R.20. Sa se calculeze ariile multimilor plane D marginite de curbele de ecuatii:

a.x2

a2+y2

b2= 1; a si b ind doua constante.

b. (x2 + y2)2 = a2(x2 y2), x > 0, a ind o constanta pozitiva.c. (x2 + y2)2 = 2a2xy, a ind o constanta pozitiva.

5

21. Cu ajutorul unor schimbari de variabile adecvate, sa se calculeze inte-grala I =

RRDx dx dy, unde D : 1 y

x 2; x 2:

22. Fie D R2 si e f : D ! [0;1) o functie continua. Sa se calculezevolumul multimii:

= f(x; y; z) 2 R3; (x; y) 2 D; 0 z f(x; y)g;

in urmatoarele cazuri:a. D = f(x; y) 2 R2;x2 + y2 2yg; f(x; y) = x2 + y2;b. D = f(x; y) 2 R2;x2 + y2 y > 0g; f(x; y) = xy;c. D = f(x; y) 2 R2;x2 + y2 2x+ 2y 1g; f(x; y) = y.23. Gasiti volumul corpului solid ce se intinde deasupra planului xOy, sub

planul z = x si sub cilindrul x2 + y2 = 4:24. Calculati volumul marginit de suprafetele x2 + z2 = 2z; x2 + z2 = 3y;

y = 0.25. Sa se calculeze volumul marginit de planul z = 0; de paraboloidul eliptic

z =x2

a2+y2

b2si de cilindrul drept ale carui generatoare trec prin curba de

intersectie a sferei x2 + y2 + (z R)2 = R2 cu paraboloidul dat.26. Sa se calculeze integralele duble

a.RRD

3px2 + ln ydxdy unde D este dreptunghiul [1; 2] [1; e].

b.RRDxydxdy unde D este domeniul aat la intersectia dintre parabola y =

14 (x

2 + 2x 3) cu prima bisectoare y = x.c.RRD(x+y)dxdy unde D este domeniul aat la intersectia dintre parabolele

x = y2 si x = y3.

d.RRDxydxdy unde D este domeniul aat la intersectia dintre parabola y =

x2 si dreapta y = 2x+ 3.

e.RRD

x2px2+y2

dxdy unde D este domeniul marginit de drpetele x = 0; y =

1; y = 3p2; y = x parcurs in sens pozitiv.

27. Sa se calculeze urmatoarele integrale duble folosind schimbari de vari-abila convenabile

a.RRDy2

x2 dxdy, unde D =1 x2 + y2 4.

b.RRDex

2+y2dxdy, unde D =x2 + y2 1; y 0.

c.RRDy2

x2 dxdy, unde D =1 x2 + y2 2x.

d.RRD

ypx2+y2

dxdy, unde D =4x2 + y2 4; x2 + y2 1; y 0.

e.RRD(1 +

px2 + y2)dxdy, unde D =

x2 + y2 y 0; x 0.

6

f.RRDln(1 + x2 + y2)dxdy, unde D este intersectia dintre x2 + y2 = e2; y =

xp3 si x = y

p3.

g. Calculati aria cercului si a elipsei.

h.RRDxdxdy, unde D =

1 xy 2; 1 yx 2; x 0

.

a.RRD(x2 + y2)dxdy, unde D =

x2 + y2 2y.

7