Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1

7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1

1/37

68

Capitolul 6

Metode de Gestiune a Riscului Financiar

6.1. Riscul investiiilor n active reale (tangibile)

Obiectivul managerului care adopt decizia de investiie ntr-un activ real, este acela de a

determina activele a cror valoare pentru firm este mai mare dect costul acestora. Aceasta

presupune ca activele s fie evaluate, deci s li se asocieze o valoare. n practic, exist destul de

puine situaii n care estimarea valorii activelor nu prezint dificulti. De exemplu, n domeniul

proprietilor imobiliare firma poate angaja o societate specializat care s fac evaluarea. Dac

exist i o pia activ n domeniu, lucrurile devin i mai simple, preul unei cldiri putnd fi

determinat prin compararea cu preurile de pia ale cldirilor similare.

6.1.1 Valoarea Actual Net criteriu n decizia de investiie

Ideea de baz de la care se pornete n adoptarea deciziei de investiie este aceea c firmele

caut ntotdeauna s achiziioneze active care s produc mai mult dect cost. Pentru aceasta este

nevoie ca firma (investitorul) s cunoasc modul n care sunt determinate preurile acestor active. n

acest scop se va utiliza drept criteriu valoarea actual (PV), respectiv valoarea actual net (NPV)

a unui activ dat (sau a proiectului de investiie n acel activ).

De regul, realizarea proiectelor de investiii n active se ntinde pe mai multe perioade

(ani), aceste investiii fiindafectate de risc. ncorporarea acestor consideraii n decizia de investiiine va conduce n cele ce urmeaz la concluzia c, indiferent de tipul investiiei considerate, pentru

o firm care urmrete maximizarea profitului, regula de decizie este simpl: s urmreasc

maximizarea valorii actuale a firmei.

Valoarea actual a unei firme este dat de preul care s-ar obine n momentul de fa, dac

firma ar fi vndut. Deoarece firma nu este, de fapt, altceva dect un portofoliu de proiecte

(active), valoarea firmei se obine prin nsumarea valorii actuale a tuturor proiectelor dezvoltate de

ctre firm. S presupunem c firma dorete s investeasc ntr-un nou proiect. n acest caz,

valoarea firmei va crete dac profitul marginal (dat de valoarea actual a noului proiect) depete

costul marginal al acestuia. Aceasta este echivalent cu a spune c firma trebuie s investeasc doar

n active care au o valoare actual net pozitiv, valoarea actual net a unui activ (proiect de

investiieI) fiind dat de diferena ntre valoarea ateptat a proiectuluiIi costul acestui proiect

de investiie:

NPV PV CNR

rCI I I

I t

I tt

t

T

I= =+

=

,

,( )11, (6.1)


2/37

69

unde: NPVI= valoarea actual net ateptat din realizarea proiectuluiI;

PVI= valoarea actual a proiectuluiI;

CI= costul investiiei n proiectulI;

NRI,t = valoarea ateptat a fluxurilor monetare nete aduse de realizarea proiectului In

perioada t;rI,t= rata de discount utilizat n calculul valorii actuale n perioada t;

[1,T] = orizontul de timp pe care se realizeaz proiectuluiI.

De regul, decizia financiar a firmei este, n majoritatea cazurilor, afectat de risc i

incertitudine. n adoptarea acestei decizii, managerul ntlnete incertitudinea n diferite moduri:

- n cazul unui proiect de investiie ntr-un activ real firma nu cunoate preul la care va

putea valorifica rezultatele utilizrii acestuia i nici venitul marginal viitor, dect n baza

informaiilor de care dispune n perioada curent;

- venitul care va fi obinut n fiecare perioad a realizrii proiectului,RI,tnu este cunoscut cucertitudine, decidentul putnd doar s estimeze o distribuie de probabilitate a veniturilor viitoare.

ncorporarea incertitudinii n deciziile de investiii ale firmei se poate face utiliznd mai

multe metode [MAURICE, Ch., THOMAS, Ch., SMITHSON,Ch., "Managerial Economics.

Applied Microeconomics for Decision Making", IRWIN, Homewood, Boston, 1992], cum

sunt:

a)Metoda echivalenilor ceri.

n cadrul acestei abordri, percepia decidentului privind riscul este ilustrat de

ctre fluxurile monetare nete pe care se ateapt s le returneze proiectul, NRI,t n

modelul (6.1).

n acest, caz numrtorul din relaia (6.1) va fi modificat astfel nct s ncorporeze

riscul. n locul unei singure valori cunoscute RI,t , se va utiliza valoarea ateptat a

veniturilor (ERI,t), estimate a fi obinute n perioada t, astfel:

I,t

j=1

n

j I,tjER = p R , (6.2)

unde: I,tjR = veniturile estimate a fi obinute prin investirea n proiectulIn perioada t,

cu j = ,n1 ;

pj= probabilitatea de apariie a venitului I tjR , n perioada t, t [1,T] .

b)Rata de discount ajustat la risc.


3/37

70

n acest caz, incertitudinea relativ la veniturile care vor fi obinute din realizarea

proiectului de investiii, este ilustrat de ctre rata de discount rI,t din relaia (6.1).

Modalitile prin care rI,tpoate fi ajustat la risc, vor fi prezentate n continuare.

Rata de discount corespunztoare unui proiect de investiii riscant In anul t

poate fi exprimat ca:

rI,t= rt+ (prima de risc)I . (6.3)

n care este rt rata venitului adus de o investiie neriscant (n obligaiuni).

Problema este aceea de a gsi o cale de determinare a primei de risc (RP). Cele

mai utilizate reguli sunt:

1. Abordarea prin costul mediu ponderat al capitalului (WACC) care indic

utilizarea n calculul NPVI pentru noile investiii, a unei rate de discount dat de

relaia:rWACC = rD [D / (D+E)] + rE [E/(D+E)] , (6.4)

unde: rWACC= costul mediu ponderat al capitalului, adic rata profitului pe care firma o

promite acionarilor si din realizarea proiectului de investiii (rD), ajustat

cu raportul dintre capitalul datorat i avuia net a firmei (D/(D+E)), plus

rata profitului pe care firma i propune s o obin (rE), ponderat cu

raportul dintre valoarea aciunilor pe care le deine (E) i avuia sa net

(E/(D+E));

D = valoarea curent pe pia a datoriilor ctre investitori;

rD = rata curent a profitului la care poate obine bani din aciunile n care a

investit;

rE= rata profitului pe aciune care determin firma s pstreze aciunile n care a

investit;

D+E= avuia net a firmei (valoarea sa net).

Utilizarea rWACCdrept rat de discont este posibil n urmtoarele condiii:

(1) proiectulIn care firma dorete s investeasc este identic din punct de vedere al

riscului cu celelalte proiecte existente n portofoliul firmei;(2) proiectul I va fi finanat cu acelai mix de debite i aciuni care predomin la

nivelul firmei.

Aceast abordare poate s eueze n cazul n care proiectul considerat este mai

riscant sau mai puin riscant n raport cu riscul mediu al portofoliului actual al firmei.

2. O metod alternativ de calcul a ratei de discount ne-o oferModelul evalurii

activelor corporale ale firmei (CAPM).


4/37

71

Acest model i are originea n teoria portofoliilor. Esena teoriei este simpl: cu

ct mai multe aciuni sau bonuri de valoare sunt adugate la portofoliul investitorului,

riscul portofoliului (abaterea standard a veniturilor portofoliului) scade. Principiul este

ilustrat n Figura 6.1.

Cu ct se extinde portofoliul, cu att riscul "unic" asociat cu o aciune particular

achiziionat de ctre firm se mprtie, lsnd investitorul confruntat doar cu risculpieei. De aceea, din perspectiva investitorului, tot ce conteaz este riscul pieei. Cnd

evalueaz o aciune individual, singurul lucru care conteaz este contribuia sa la

riscul pieei, doar acest element fiind luat n considerare la evaluarea unui proiect de

investiii. Riscul unic va fi ignorat deoarece (se presupune) a fost nlturat printr-o bun

diversificare a portofoliului.

La baza construirii i diversificrii portofoliului su de investiii, firma trebuie s

aeze urmtoarele principii:

P1: Teoria portofoliului demonstreaz c pe msur ce un investitor combin mai

multe proiecte (sau bunuri - utilaje sau aciuni) ntr-un portofoliu, riscul acestuia

scade;

P2: Riscul total al unui proiect (abaterea standard a veniturilor) poate fi

descompus n risc unici risc al pieei. Deoarece teoria portofoliului indic faptul c

riscul unic poate fi eliminat meninnd proiectul ntr-un portofoliu bine diversificat,

singurul risc ce conteaz este riscul pieei asociat proiectului: mai precis, contribuiaproiectului la riscul pieei.

Pentru a introduce aceast abordare a riscului n deciziile de portofoliu ale firmei,

va trebui s utilizm o msur a riscului. Pentru aceasta vom porni de la modelul

pieei

rj = +rm , (6.5)

unde: rj = rata venitului pentru proiectulj;

Risculportofoliului

Risc total

Risc unic

Riscul pieei

Numrul de proiecte din portofoliu

Figura 6.1


5/37

72

rm= rata venitului pentru portofoliul pieei;

=

r

r

j

m

msura riscului proiectuluij.

Analiznd relaia (6.5) care descrie modelul pieei, putem formula un nou

principiu:

P3:Riscul pieei pentru un proiect j este msurat de n modelul pieei. Utiliznd

estimarea lui, proiectul j este

mai riscant dect portofoliul pieei dac> 1;

la fel de riscant ca portofoliul pieei dac= 1;

mai puin riscant dect portofoliul pieei dac< 1.

Aceasta se ntmpl deoarece msoar gradul de variabilitate al venitului

obinut din proiect n raport cu variabilitatea venitului portofoliului pieei. Dac> 1,

adugnd proiectul la portofoliul pieei riscul acestui portofoliu crete.

Revenim acum la ntrebarea: dac rata de discount corespunztoare proiectului jn perioada teste

rj,t= rt+ (prima de risc)j ,

cum obinem o msur pentru prima de risc?

Pentru a rspunde la aceast ntrebare, Teynor, Sharpe i Lintner au formulat

Modelul evalurii capitalului firmei (CAPM). Ei remarc faptul c dou puncte n

msurarea primei de risc sunt deja cunoscute:

(1) Aciunile neriscante: rj,t = rt i = 0. Prin definiie, rata de discont a

aciunilor neriscante este rata liber de risc (rt) i, deoarece profitul pe o aciune liberde risc precum bonurile guvernamentale de valoare, este fix indiferent de ce se

ntmpl pe pia, avem

r

rbonuri de trezorerie

m

= = 0 . (6.6)

(2) Portofoliul pieei: rj,t= rm,t i= 1.

Aceste dou puncte sunt ilustrate n Figura 6.2.

rj,t = rt + (rm,t - rt)

0 1 2

Venitateptat

rm,t

rt

Figura 6.2


6/37

73

Soluia oferit de ctre modelul CAPMeste simpli elegant. Autorii au propus

ca venitul ateptat i, de aici, prima de risc, s fie o funcie liniar de . Aceast

relaie liniar este dat n Figura 6.2 de ctre dreapta de ecuaie

rj,t= rt+(rm,t- rt). (6.7)

Prima de risc pentru o aciune neriscant este 0:

rt= rt+ 0 , (6.8)

i prima de risc pentru portofoliul pieei este rm,t- rt,

rm, t= rt+ (rm,t- rt) , (6.9)

de aici rezultnd faptul c prima de risc pentru proiectulj este proporional cu:

rj,t= rt+(rm,t- rt) .

Un proiect cu un coeficient = 0,5 va avea o prim de risc pe jumtate ct prima

de risc a pieei, iar unul cu = 2 o prim de risc de 2 ori mai mare dect cea a pieei.

Din analiza acestui model, putem deduce un al patrulea principiu al deciziilor de

portofoliu:

P4:Discontul corespunztor proiectului j n anul t este rata liber de risc plus o

prim de risc:

rj, t= rt+ (prima de risc)j .

Utiliznd CAPM, prima de risc este proporional cu pentru modelul pieei.

Aceasta nseamn c

rj,t= rt+(rm,t- rt) ,

undeeste obinut din modelul pieei rj,t= +rm,t.

Determinarea elementelor numerice necesare utilizrii acestui model se poate

face astfel: rt- poate fi determinat prin observri i analize ale pieei;

- poate fi estimat utiliznd analiza regresiei;

rm, t- rt- poate fi estimat utiliznd serii de date istorice.


7/37

74

Utilizarea unuia sau altuia dintre modelele prezentate pentru estimarea riscului

unui proiect de investiii prin introducerea riscului n calculul ratei de discont, poate

oferi firmei un rspuns la ntrebarea "care sunt proiectele rentabile care ar trebui

adugate la portofoliul de proiecte al firmei?". Pentru a-i asigura profitul dorit din

activitate i a putea plti acionarilor un venit care s i determine s nu i retrag

investiiile, firma va trebui s i construiasc un portofoliu investiional diversificat,care s coninproiecte a cror valoare actual net este pozitiv.

n cele ce urmeaz vom presupune c firma utilizeaz valoarea actual net ajustat la

risc.Regula valorii actuale nete indic firmei realizarea proiectelor de investiii cu ENPVI> 0

i respingerea proiectelor cu ENPVI < 0. Pentru a putea aplica aceast regul, decidentul

financiar are de parcurs urmtorii pai:

1) Previzionarea cererii pentru produsul/serviciul firmei, pentru a putea obine estimri

ale venitului ateptat din proiect,ERI,t;

2) Estimarea costurilor pe care le va presupune n timp realizarea proiectuluiI, ECI,t;3) Combinarea acestor dou elemente pentru a estima fluxurile monetare nete furnizate

de ctre proiect

ENRI,t= ERI,t - ECI,t; (6.10)

4) Determinarea ratei de discont corespunztoare, rI,t;

5) Ajustarea la risc a fluxurilor monetare nete pentru a obine valoarea actual ateptat a

proiectului,

EPVI=ENR

r

I t

I tt

t

T ,

,( )11 +=

(6.11)

6) Determinarea valorii actuale nete ateptate din realizarea proiectului,

ENPVI = =+

=

EPV CENR

rCI I

I t

I tt

t

T

I,

,( )11. (6.12)

Alturi de modelul valorii actuale nete, n analiza unui proiect de investi ii, decidenii

mai pot utiliza i urmtoarele criterii decizionale:

1. Perioada de rambursare - reprezint timpul necesar firmei pentru a-i acoperi

investiia iniial.

2.Profitul mediu pe investiie (ROI) - se obine raportnd profitul obinut prin realizarea

unui proiect de investiii la costul mediu al investiiei.


8/37

75

3.Rata intern a profitului (IRR) reprezint acea rat de discont rIcare face caENPV=0.

6.1.2 Finanarea investiiilor n active reale

De cele mai multe ori, realizarea unor proiecte de investiii este condiionat de volumul

fondurilor de investiie de care dispune firma. De fapt, managerul firmei este cel care impuneaceast restricie. ntr-o perspectiv mai cuprinztoare, n care se ia n considerare legtura pe

care firma o poate stabili cu piaa financiar, limitarea capitalului de investit al firmei de ctre

managerul acesteia nu trebuie s apar. Practic, posibilitatea firmei de a contracta credite pe

piaa monetar face s nu existe nici o restricie extern asupra numrului de proiecte care pot fi

realizate de ctre firm.

Dac firma are la dispoziie un proiect care ar putea conduce la creterea valorii sale, ea

trebuie s l realizeze, restricia de capital putnd fi oricnd eliminat de ctre piaa creditelor.

Dac apeleaz la credite, firma i poate realiza toate proiectele de investiii cu condiia ca plata

dobnzii s nu conduc la scderea sub 0 a valorii actuale nete a proiectului.

1)Raionalizarea capitalului

Dintr-o perspectiv mai pragmatic, multe firme raionalizeaz capitalul; ele sunt supuse

unei restricii asupra numrului de proiecte de investiii pe care le pot materializa. Este, ns,

necesar s recunoatem faptul c aceasta este o restricie autoimpus. Din anumite motive,

managerii cred c nu vor putea s realizeze toate proiectele, caz n care ei trebuie s aleag unul

dintre aceste proiecte.

S presupunem c firma dispune de trei proiecte ordonate dupNPVastfel:

Proiect NPV[u.m.] Locul

A N 1

B 2N/3 2

C N/2 3

Proiectul A are cea mai mare valoare actual net dar, dac combinarea proiectelor B i

C cost mai puin dect A singur, este de preferat ca firma s investeasc n B i C deoareceNPVB+NPVC>NPVA. A lua deci o decizie numai n raport cuNPVnu este suficient; un manager

trebuie s ia n considerereNPVobinutpe unitatea monetar cheltuit pentru proiect.

Problema expus, este una de optimizare cu restricii: managerul dorete s maximizeze

valoarea firmei n condiiile existenei unui capital limitat. Regula de optimizare cu restricii

recomand alocarea pentru proiectele concurente a unor sume pentru care profitul marginal

(NPV) pe unitatea monetar cheltuit s fie egal pentru aceste proiecte. Cea mai direct


9/37

76

abordare a acestei probleme o constituie determinarea ratei de profitabilitate (PI), ca raport ntre

NPVIi CI(costul realizrii proiectuluiI).

Pentru proiectele considerate anterior, s presupunem c avem:

Proiect NPV[u.m.] Cost

[u.m.]

Valoare actual

(PV) [u.m.]

PI

0 1 2 3=1+2 4=3/2

A N N/2 3N/2 3

B 2N/3 N/3.3 N 3.3

C N/2 N/3 5N/6 2.5

Firma va investi n aceste proiecte n ordinea B, A i, dac fondul disponibil de investiii

i va mai permite, n proiectul C.

i indicatorul PIare propriile limite. Utilizarea sa nu mai este relevant dac restriciei

de buget i se adaug altele, de exemplu dac aceast restricie este impus pe mai mult de o

perioad de timp sau dac proiectele sunt mutual exclusive sau se condiioneaz reciproc n

realizare.

2) Contractarea de credite pe piaa monetar

Eliminnd restricia autoimpus asupra nivelului capitalului pe care l poate investi n

proiectele de investiii, firma poate recurge la credite pentru finanarea tuturor proiectelor care

auNPV>0. Problema care confrunt firma n aceast situaie este urmtoarea: valoarea actualnet a unui proiect I are acelai nivel i n cazul n care realizarea lui are loc n baza

contractrii unui credit pe piaa de capital? Evident c nu.

n acest caz, firma trebuie s recalculeze valoarea NPV lund n considerare i rata

dobnzii la creditul obinut pe ntregul orizont de timp. Includerea dobnzii la credit n calculul

valorii actuale nete poate fi fcut n urmtoarele moduri:

a. Prin diminuarea valorii fluxului monetar net din fiecare perioadt(ENRt) cu dobnda

aferent acelei perioade:

ENPVENR D

rCI

D t t

I tt I

t

T

=

+

= ( ),10, (6.13)

unde: Dt= volumul absolut al dobnzii la credite n perioada t.

b. Prin ajustarea ratei de discont rI,t cu rata dobnzii la creditul contractat, perceput n

perioada ta orizontului de timp:


10/37

77

rDI,t= rI,t+ rD , (6.14)

unde: rDI,t= rata de discont ajustat la risc i incluznd rata dobnzii la credite;

rI,t= rata de discont normal;

rD = rata dobnzii n perioada t.

n cazul n care rata de discount rI,tfolosit de ctre firm pentru calcululNPVIeste rata

medie a dobnzii pe piaa de capital, rD va fi egal cu diferena dintre rata dobnzii la care firma

poate obine creditul i rata medie a dobnzii practicat pe pia.

Valoarea actual net recalculat va fi:

ENPVENR

rCI

D t

DI t

t It

T

=+

= ( ),10

. (6.15)

Cum poate managerul s analizeze n acest caz proiectele de investiii? Regula valorii

actuale nete va rmne nemodificat, urmnd a fi acceptate proiectele Icu NPVI>0i respinse

cele cuNPVI


11/37

78

maxim. n anul 1952, Harry Markowitz a publicat articolul Portofolio Selection n care a

explicat urmtorul paradox: dei investitorii caut s-i maximizeze profitul, n general ei au

aversiune fa de risc. S-a observat c aversiunea la risc i caracterizeaz pe mai toi investitorii,

mai ales pe cei de dimensiuni mari.

Prin urmare, se remarc dou criterii importante care trebuie analizate n cazul alegerii

optime a portofoliilor:

- venitul (profitul) adus de portofoliu: poate fi determinat simplu pe baza profitului

mediu al fiecrui activ financiar ce intr n componena portofoliului;

- riscul portofoliului respectiv (probabilitatea ca acesta s nu returneze profitul

ateptat). n analiza acestui al doilea element trebuie avut n vedere faptul riscul unui

portofoliu nu depinde doar de riscul individual al fiecrei componente, ci i de

corelaia care exist ntre evoluia activelor ce formeaz portofoliul.

Modalitatea prin care investitorii gestioneaz riscul asociat deinerii unui anumit portofoliu

const n diversificarea portofoliului. A diversifica un portofoliu nseamn a achiziiona cantiti

mici dintr-un numr mare de active diferite.

6.2.1 Venitul ateptat al unui portofoliu

Pentru a determina venitul ateptat al unui ntreg portofoliu procedm astfel:

1. Determinm cu relaia (6.16) venitul ateptat al fiecruia dintre cele Nactive n parte,

venituri pe care le notm cu N1,=j,rej . Dac investitorul se ateapt ca un activ al

portofoliului s i aduc un venit ricu probabilitateapi, cu i = 1,n , unde n reprezint numrul total

al nivelurilor de venit estimate de ctre investitorc ar putea fi obinute ca urmare a deinerii acelui

activ, venitul ateptat al activelor j este:

ej 1 1 2 2 n n

i=1

n

i ir = p r + p r +...+ p r = p r , (6.16)

unde i=1

n

ip = 1 .

S presupunem c investitorul deineNactive diferite n portofoliul su, i c el are o avuie

W0 pe care o investete n cele N active. Partea din ntregul portofoliu deinut de activul j,

j = 1, N o vom nota cu aj.


12/37

79

n termeni absolui, ajW0reprezint suma investit n activul j, i, deoarece prile ajsunt

ponderi, avem cj=1

N

ja = 1 .

2. Calculm venitul ateptat al portofoliului rPca o medie ponderat a veniturilor ateptate

ale celorNactive, ponderile constituindu-le prile din suma total destinat portofoliului, investite

n fiecare activ n parte (aj):

ra=ra+...+ra+ra=rejj

N

1=j

eNN

e22

e11

P (6.17)

De regul, veniturile rsunt date de rate (exprimate procentual) ateptate ale venitului.

Managerii firmelor i construiesc i diversific portofoliile n scopul obinerii unui anumit

ctig. Ei i bazeaz deciziile pe venitul ateptat al portofoliului, dei dimensiunea avuiei lor finale

depinde de valoarea actual a venitului ateptat. Dac firma investete ntr-un portofoliu o sum

totalW0i dac valoarea actual a venitului portofoliului este rP

a, atunci nivelul final al avuiei

firmei va fi:

)r+(1W=WP

a01 (6.18)

Astfel spus, dacW0este dat, atunci W1 depinde doar de aPr pe care firma nu l cunoate.

Ea trebuie deci s i fundamenteze deciziile pe informaiile de care dispune: venitul ateptat al

portofoliului rPi riscul acestuia.

6.2.2 Riscul unui portofoliu

Riscul portofoliului depinde de riscul coninut de fiecare activ inclus n portofoliu n parte.Pentru a msura riscul unui activ vom utiliza abaterea medie ptratic

2 , definit ca suma

ptratelor abaterilor fa de venitul ateptat al activului, ponderate cu posibilitile de apariie a

fiecrui venit particular. Presupunnd deci c activulj are veniturile r1, r2,...,rn cu probabilitilep1,

p2,...,pn, abaterea medie ptratic este dat de:


13/37

80

)r-r(p+...+)r-r(p+)r-r(p=e

n

2

ne

2

2

2e

1

2

12

(6. 19)

Aa cum se cunoate, un activ este cu att mai lipsit de risc cu ct 2 are valori mai

apropiate de 0.

n baza caracteristicilor de risc ale activelor incluse, vom determina, n continuare, riscul

portofoliului, calculnd abaterea medie ptratic a acestuia, p2 . Este important de reinut faptul c

abaterea medie ptratic a portofoliului nu este puri simplu media ponderat a abaterilor medii

ptratice ale activelor incluse. Pentru a susine aceast afirmaie vom utiliza urmtorul exemplu.

Presupunem c o firm deine aciuni la dou companii, avuia acesteia fiind investit n

acest mod n pri egale. Una dintre firme, "Umbrela SRL", este distribuitor de umbrele. Cnd un

an este foarte ploios, ceea ce presupunem c se ntmpl din doi n doi ani, aciunile la aceast

companie aduc un venit de 25%; cnd anii sunt secetoi, venitul este de 5%. Cealalt companie,

"Ochelari de soare SRL", obine un venit de 25% n anii secetoi i doar 5% n anii ploioi.

Venitul ateptat pentru ambele companii este de 15% pe an, iar abaterile standard sunt de

0,01 pentru amndou companiile. Aceasta nseamn c abaterea standard a portofoliului este de

1%, aa cum este media ponderat a celor dou abateri ale aciunilor la cele dou companii?

Rspunsul este nu.

n anii ploioi, investitorul primete 25% venit de la "Umbrela SRL" i 5% venit de la

"Ochelari de soare SRL". Deoarece el are jumtate din portofoliu compus cu fiecare tip de aciune,

venitul portofoliului este de 15% = 0,5(25%) + 0,5(5%)

n anii secetoi, el obine doar 5% de la "Umbrela SRL" i 25% de la "Ochelari de soare

SRL"; venitul su este tot de 15% = 0,5(5%) + 0,5(25%). Venitul portofoliului este, din nou, 15%

iar abaterea standard a portofoliului este zero.

De notat acest rezultat remarcabil: combinnd active ale cror venituri rspund n moduri

opuse unor circumstane posibile diferite (n acest caz ani ploioi i ani secetoi), un investitor

poate obine un portofoliu cu abaterea standardzero, deci unportofoliu lipsit de risc.

n cazul analizat spunem c veniturile sunt negativ corelate deoarece o aciune tinde s

produc venit peste medie iar cealalt aciune tinde s produc venit sub medie sau c ele au o

covarian negativ.

S presupunem acum c investitorul combin n portofoliul su aciuni de la "Umbrela

SRL" i "Pelerina de ploaie SRL" n pri egale. Ultima companie obine un venit de 25% n anii

ploioi i 5% n anii secetoi deci are o structur identic a venitului ca i prima companie. Venitul


14/37

81

ateptat al portofoliului rmne tot 15%, dar acum riscul este mare, deoarece riscurile celor dou

active nu se mai anuleaz unul pe cellalt. Abaterea standard a portofoliului egal mprit ntre cele

dou aciuni este de 0,01, care este exact abaterea standard a activelor individuale. n acest caz,

spunem c veniturile celor dou active suntpozitiv corelate sau c ele au o covarian pozitiv.

Putem acum introduce covariana a dou active. Considerm dou active, 1 i 2, fiecare cu

veniturile afectate de risc i presupunem c aceste active produc veniturile r11 i r21 cu

probabilitatea p1, veniturile r12 i r22 cu probabilitatea p2, .a.m.d. Presupunem c exist n

posibiliti diferite de a obine venituri, cu n probabiliti asociate. Veniturile ateptate ale celor

dou active sunt calculate n mod obinuit i notate cu re1i re2, respectiv:

rij /pj

Activ

ri1

p1

ri2

p2

rin

pn rei

A1 r11 r12 r1n re1

A2 r21 r22 r2n re2

Covariana veniturilor celor dou active, notatcov(r1, r2) se determin utiliznd relaia:

Cov(r,r ) = p ( r - r )( r - r ) + p ( r - r )(r - r ) +...+

+ p ( r - r )( r - r )

1 2 1 11 1e

21 2e

2 12 1e

2e

n 1n 1

e

2n 2

e

22(6.20)

Cnd activele tind s produc venituri peste medie n acelai timp, covariana este pozitiv;

cnd activele au venituri care sunt independente reciproc, covariana este zero, iar cnd un activ

produce venit peste medie iar cellalt sub medie, covariana este negativ.

Putem acum arta cum depinde abaterea standard a ntregului portofoliu (riscul

portofoliului) de caracteristicile de risc coninute n activele care alctuiesc portofoliul.

Presupunnd c portofoliul are doar dou active, putem scrie:

)r,rcov(aa2+a+a= 212122

22

21

21

2P (6.21)

Deci abaterea standard a portofoliului este o sum ponderat a abaterilor standard ale

activelor coninute, plus un termen care depinde de abaterea standard a celor dou active. n cazul

n care covariana este negativ, acest termen reduce abaterea standard a ntregului portofoliu.


15/37

82

Riscul celor dou active tinde s se anuleze reciproc deoarece un venit tinde s fie mare n timp ce

cellalt venit tinde s fie mic. Dac, ns, covariana este pozitiv acest termen crete valoarea

abaterii standard totale a portofoliului.

Generaliznd, relaia de calcul pentru determinarea abaterii standard a unui portofoliu cu n

active este:

).r,rcov(aa2+...+

+)r,rcov(aa2+...+)r,rcov(aa2+

+)r,rcov(aa2+)r,rcov(aa2+...+

+)r,rcov(aa2+)r,rcov(aa2+a+...+a+a=

n1-nn1-n

n2n24242

3232n1n1

313121212n

2n

22

22

21

21

2P

(6.22)

Covariana are dou dezavantaje majore. Primul const n faptul c poate lua orice

valoare. Al doilea dezavantaj l reprezint utilizarea unitilor de msur diferite pentru

variabilele aleatoare, n acest fel compararea mai multor covariane devenind dificil. Din acest

motiv se poate folosi raportul dintre covariana a dou variabile i produsul abaterilor medii

ptratice ale acestora. Rezultatul numeric obinut prin aceast metod este cuprins ntotdeauna

ntre -1 i 1. Acest raport poart denumirea de coeficient de corelaie ntre dou variabile

aleatoare. Pentru variabilele aleatoarexiy coeficientul de corelaie se calculeaz cu relaia:

yx

yxyx

),cov(),( = (6.23)

Este interesant de analizat situaiile care pot s apar n evaluarea portofoliului n

funcie de coeficientul de corelaie dintre dou active:

a) active corelate perfect pozitiv: o modificare a preului unui activ atrage dup sine o

modificare n acelai sens i cu aceeai intensitate a preului celuilalt activ;

b) active corelate perfect negativ: modificarea preului unui activ este n continuare

corelat cu modificarea preului celuilalt, dar, spre deosebire de cazul precedent, la scderea

preului pentru primul activ se nregistreaz o cretere a preului celui de-al doilea activ i

invers;


16/37

83

c) cele dou active sunt corelate pozitiv (coeficientul de corelaie pozitiv, dar mai mic

dect 1): este cazul cel mai realist n care activele i modific preul cam n acelai sens, dar

fr a exista o corelaie perfect.

Un caz aparte l constituie activele care au o micare n opoziie cu trendul pieei. Un

portofoliu care ar conine i o asemenea aciune ar fi extrem de atractiv deoarece corelaia

negativ cu celelalte aciuni va duce la scderea riscului asociat portofoliului. La o scdere a

cursului pieei (deci la o pierdere n cazul activelor corelate pozitiv cu cursul pie ei), cursul

activului considerat va crete, ceea ce va limita pierderile cauzate de celelalte active.

Pentru a nelege modul n care se poate folosi aceast teorie pentru alegerea portofiului

optim vom exemplifica pentru cazul n care portofoliul este format din 2 aciuni.

Putem exprima riscul unui portofoliu folosind coeficientul de corelaie, , n locul

covarianei astfel:

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

2 2 aaaap

++=(6.24)

Situaii posibile:

1) = 1

n acest caz ultimul termen din expresia (6.24) devine 2a1a212, deci expresia dispersiei

pentru portofoliu devine:

22211

221122

22

21

21

2

)(

2

aa

aaaap

+=

++=

Extrgnd rdcina ptrat se obine:

P = a11+a22 (6.25)

re

reP

1 P 2

1

P

2re2

re1

Figura 6.3


17/37

84

Deci, atunci cnd coeficientul de corelaie este 1, riscul portofoliului depinde doar de

riscul propriu fiecrei aciuni i de proporia fiecrei aciuni n portofoliu. Reprezentnd grafic

locul geometric al tuturor portofoliilor posibile formate din activele 1 i 2 n spaiul risc/venit

obinem un segment [1, 2] (figura 6.3).

2) = - 1

Al doilea caz special apare atunci cnd coeficientul de corelaie dintre cele dou aciuni

are valoarea 1. Ultimul termen din expresia coeficientului de corelaie devine 2 a1a212, iar

relaia de calcul a riscului devine din nou un ptrat perfect:

22211

221122

22

21

21

2

)(

2

aa

aaaap

=

+=

n timp ce abaterea standard este:

p = a11 a22 (6.26)

Se observ c, atunci cnd cele dou componente ale portofoliului sunt corelate perfect

negativ, putem construi un portofoliu lipsit de risc. Alegnd n mod adecvat proporia dintre cele

dou aciuni, cei doi termeni din expresia abaterii portofoliului se vor anula. Ponderea fiecrei

aciuni n cadrul portofoliului se gsete uor, rezolvnd sistemul de ecuaii:

+=

+=

=+

=

21

12

21

21

21

2211

1

a

a

aa

aap

3) - 1 < < 1

Deoarece coeficientul de corelaie are valori ntre 1 i +1, cele dou valori extreme

definesc ntreaga plaj de valori pe care o poate lua raportul risc/venit n cazul portofoliilor

formate cu cele dou aciuni.

6.2.3 Utilitatea ateptat a portofoliului ca o funcie de risc i venit

n cadrul activitii de construire a unui portofoliu, problema investitorului este aceea de a

determina modul n care i aloc avuia ntre cele n active astfel nct s i maximizeze utilitatea

ateptat, altfel spus, modul n care alege ponderile a1, a2, a3,...,an.


18/37

85

Teoria portofoliului presupune c investitorul dorete s-i maximizeze utilitatea ateptat

Ue care, la rndul su, depinde de venitul ateptat al unui portofoliu de active Per i de risc pe care

l msurm cu ajutorul abaterii standard P .

Atunci putem scrie:

-+

),r(U=U PeP

ee

(6.27)

Relaia dintre venit i abaterea standard o putem analiza reprezentnd un set de curbe de

indiferen ca cele din figura 6.4.

O curb de indiferen este locul geometric al tuturor punctelor care produc acelai nivel de

utilitate ateptat. Curbele de indiferen au o pant pozitiv deoarece riscul, reprezentat de

abaterea standard, produce disutilitate, n timp ce un venit ateptat mai mare produce utilitate

pozitiv.

n micarea de la punctulA la punctulB, un investitor rmne egal cu el nsui din punct de

vedere al utilitii obinute, echilibrnd un venit ateptat mai mare cu un risc mai mare. Nivelul de

utilitate crete pentru un venit ateptat mai mare asociat aceluiai risc, sau pentru un risc mai sczut

asociat aceluiai venit ateptat. Altfel spus, curbele de indiferen mai nalte sunt asociate cu nivele

de utilitate ateptat mai mari.

B

A

P

PreP0

reP

Figura 6.4

PreP1


19/37

86

6.2.4 Mulimea portofoliilor

Preferinele firmei aflat n postura de investitor reprezint doar una dintre laturile

problemei portofoliului. Cealalt latur este reprezentat de opiunile pe care aceasta le are. n

principiu, ea poate alege ntre toate activele existente i poate pune mpreun orice portofolii

posibile alctuite dintr-un numr de pri ale acestor active. Deci, fiecare activ sau fiecare

combinaie de active dintr-un portofoliu specific poate fi reprezentat de un punct n graficul risc-

venit, altfel spus, putem caracteriza fiecare portofoliu printr-o combinaie dat de venitul ateptat i

abaterea standard.

S presupunem c un portofoliu poate fi alctuit din dou active, reprezentate n figura 6.5.a

prin dou puncte 1 i 2. Fiecare punct este caracterizat de un anumit risc i o anumit abatere

standard. Cum se observ din desen, activul 1 are un profit ateptat mai mare dect activul 2, dar

amndou activele au aceeai abatere standard. Din combinarea celor dou active ntr-un singur

portofoliu, pot fi create mai multe posibiliti de asociere a riscului i venitului.

Lund toate nivelurile lui a1 i a2 (prile din avuie investite n activul 1 i respectiv nactivul 2) i utiliznd formulele pentru calculul venitului portofoliului i riscului de portofoliu,

putem reprezenta toate combinaiile posibile de risc i venit care sunt accesibile, combinnd cele

dou active n proporii diferite.

Cnd veniturile activelor sunt independente unul de altul (deci ele au covariana egal cu

zero) atunci portofoliile compuse din cele dou active produc o curb a posibilitilor precum cea

din figura 6.5. b. Cnd activele sunt perfect corelate negativ, posibilitile sunt reprezentate de dou

1=2

A

re2

re1

reP

1

2

a) b) c)

Figura 6.5

re2

re1

reP

1

2

1=2

3

P

1

2

1=2

C

Bre2

re1

reP

PP


20/37

87

drepte care se intersecteaz ca n figura 6.5.c. De observat c, n acest caz, punctul 3 corespunde

unui portofoliu compus jumtate din activul 1 i jumtate din activul 2 care, dup cum tim, elimin

complet riscul de portofoliu.

Mulimea tuturor portofoliilor posibile care poate fi construit din combinaii diferite de

active 1 i 2 se numete mulimea portofoliilor admisibile. Ea arat combinaiile risc-venit care pot

fi atinse prin alegerea diferitelor portofolii. n viaa real, desigur c investitorii i limiteaz atenia

la o submulime important a mulimii admisibile, mulimea portofoliilor eficiente. n fiecare

dintre cele dou cazuri din figura 6.5.b i c, aceast mulime este reprezentat cu o linie mai groas.

Aceasta indic portofoliile posibile care sunt eficiente n sensul c produc venit maxim pentru un

risc dat sau conin un risc minim pentru un venit dat.

ntotdeauna firmele utilizeaz mulimea portofoliilor eficiente pentru a-i maximiza

utilitatea ateptat. De exemplu, n Figura 6.5.c, investitorul nu va lua niciodat n considerare

portofoliulB (cu 25% activ 1 i 75% activ 2) deoarece portofoliul Ceste, de asemenea, accesibil

(cu 75% activ 1 i 25% activ 2). C are acelai nivel al riscului ca i B, dar un venit ateptat mai

mare dect acesta. Portofoliul Ceste unportofoliu eficient(nu exist posibilitatea de a obine un

venit ateptat mai mare dect cel dat de Cfr s acceptm mai mult risc), n timp ce portofoliulB

nu este eficient.

6.2.5 Alegerea portofoliului optimal

Un investitor raional va alege ntotdeauna un portofoliu din mulimea de eficien, dar

ntrebarea estepe care? Pentru a determina punctul optimal dintre toate punctele de eficien, este

necesar s reintroducem curbele de indiferen.

E

re2

re1

P

reP

1

2A

Figura 6.6

Ue1U

e2


21/37

88

S considerm cazul n care dou active sunt independente. n figura 6.6 este reprezentat

mulimea admisibil, mulimea eficienti curbele de indiferen.

De obicei, investitorul va dori s selecteze portofoliul care se afl pe curba de indiferen

cea mai nalt. Este clar c el va alege un portofoliu din mulimea de eficien. Echilibrul este atins

n punctul de tangen dintre mulimea portofoliilor eficiente i cea mai nalt curb de indiferen

care atinge mulimea de eficien.

Acesta este puntul Edin figura 6.6. Se observ c punctul Ecorespunde unui portofoliu

care conine amndou tipurile de active 1 i 2 i acesta va fi, n general, situaia. Desigur c

investitorul ar dori s ating nivelul de utilitate Ue2 care este mai nalt, dar aceasta nu este posibil

deoarece nu exist o astfel de combinaie avantajoas de risc i venit.

Analiza poate fi extins i n cazul mai multor active. n figura 6.7 se reprezint un

portofoliu care conine 5 active. Combinnd aceste puncte, gsim mulimea admisibil a

portofoliilor dat de aria haurat din figur.Mulimea de eficien este dat doar de limita superioar a suprafeei, care unete punctulA

cu punctul C. Din nou, punctul E n care curba funciei de utilitate este tangent la mulimea de

eficien a portofoliilor, constituie portofoliul optimal, el putnd include cele mai multe sau toate

activele considerate.

Decizia de portofoliu, decizie concretizat n construirea portofoliului optimal, depinde de

mai muli factori. Astfel, modul n care firmele aleg activele n care investesc ine de dimensiunea

firmei, de volumul W0 al fondurilor disponibile pentru investiii, de relaiile n care firma se afl cu

piaa de capital i, nu n ultimul rnd, de atitudinea fa de risc a investitorului.

1

C

E

reP

P

A

5

Figura 6.7

4

32


22/37

89

Cele mai cunoscute modele de construire a portofoliilor sunt: Modelul lui Markowitz,

Modelul de evaluare CAPM, Modelul diagonal de selecie al lui Sharpe, Modelul de arbitraj

APT. Toate aceste modele includ tehnici de gestiune static a portofoliilor. n utimul timp,

utilizarea lor a fost completat de tehnici care ofer managerului de portofoliu manifestarea unei

atitudini active n managementul portofoliului deinut (pentru mai multe informaii pe acest

subiect putei consulta V. Mrcine, E. Scarlat, L. Calancia -Pia

a financiar

i gestiunea

portofoliilor, Editura MATRIX ROM, Bucureti, 2002, i V. Mrcine - Gestiunea portofoliilor

de active financiare. Studii de caz, Editura MATRIX ROM, Bucureti, 2002). ntruct

prezentarea tuturor acestor modele decizionale depete cu mult cadrul cursului nostru, vom

descrie n seciunea 6.3.3 doar Modelul Markowitz.

6.3 Gestiunea riscului portofoliilor de active financiare

Alegerea unui portofoliu depinde, n general, de gusturile i de preferinele fiecrui

investitor n parte, de cunotinele i experiena sa, precum i de informaiile pe care le deine laun moment dat. Performanele unui activ financiar pot s fie determinate fr a ine seama de

preferinele participanilor la jocul bursier, dar nu este posibil realizarea unui portofoliu optim

pentru o persoan anume, fr a lua n calcul preferinele sale. Consultarea analitilor financiari

este esenial pentru construirea unui portofoliu; cei care iau decizii n realizarea portofoliilor

trebuie s in seama de prerile analitilor financiari, ns aceste sfaturi trebuie s fie corelate

cu preferinele i situaia financiar a fiecrui investitor n parte.

Teoria portofoliilor a fost fundamentat de ctre Markowitz (1952). n definirea teoriei

sale, el pleac de la noiunea de portofoliu optim: portofoliu care ofer un maximum de profit

pentru un anumit nivel al riscului sau un minim de risc pentru un anumit nivel al profitului.

Conform acestei teorii un investitor raional va alege un portofoliu optim de active, innd ns

cont i de preferinele acestuia (funcia lui de utilitate). Aceasta se poate rezuma astfel:

cele dou caracteristici importante ale unui portofoliu sunt venitul mediu ateptat

i riscul;

investitorii raionali vor plasa fonduri n portofolii eficiente, acestea fiind cele

care fie maximizeaz profitul pentru un nivel dat al riscului, fie minimizeaz nivelul de risc

pentru o anumit cot dorit a profitului;

teoretic este posibil identificarea portofoliilor eficiente prin analiza informaiilor

referitoare la venitul fiecrui activ, variaia acestui venit i la relaia dintre venitul unui activ i

venitul celorlalte active de pe piaa financiar;

un calculator, care, avnd drept date de intrare cele trei tipuri de informaii despre

fiecare activ n parte, poate genera drept date de ieire o mulime de portofolii eficiente. Datele


23/37

90

de intrare vor indica modul n care trebuie alocate resursele astfel nct, fie s maximizm

venitul, fie s minimizm nivelul de risc.

n spatele acestor afirmaii se ascunde ns o ntreag teorie privind modul de generare i

de selecie a portofoliilor admisibile/eficiente/optimale. n cele ce urmeaz, vom prezenta

succint cele mai cunoscute metode de selecie a portofoliilor optimale de titluri financiare.

6.3.1 Portofolii compuse din active riscante

S revenim acum la problema modului n care investitorul calculeaz valorile ai care ne

conduc la obinerea frontierei eficiente. Investitorul pornete de la o mulime cunoscut de n

venituri ateptate ri i variane asociate acestora 2i , precum i de la 2/)1( nn covariane

cov(r1, r2) (sau coeficieni de corelaieij ) iar relaiile pentru determinarea venitului ateptat r

P

i a riscului 2P sunt :

ra=ra+...+ra+ra=reii

n

1=j

enn

e22

e11

P (6.28)

=

+=

jii

jij

jiji

ji

iip )r,rcov(aaa222 (6.29)

sau

=

+=

jii

jij

jiijji

ji

iip aaa 222 (6.30)

Pentru simplitate, venitul ateptat al activelor i al portofoliului vor fi notate n cele ce

urmeaz cu rii, respectiv, rP.

Presupunem c investitorul dorete s determine ponderile ai pe care le acord fiecrui

activ n cadrul portofoliului, dar este preocupat att de venitul ateptat ct i de risc.

Restricia de buget a investitorului este =

=n

iia

1

1, deci ntreaga sa avuie este investit

n mulimea activelor riscante (pentru moment vom presupune c nu se pot da i lua cu

mprumut bani printr-un activ liber de risc); vnzrile scurte (short sale) sunt permise, adic

putem avea 0


24/37

91

Algoritmul prin care se determin frontiera eficient este urmtorul:

1. Se alege o rat int arbitrar a venitului ateptat al portofoliului Pr (de exemplu

%rP 10= );

2. Se aleg arbitrar ponderile din avuie care se investesc n fiecare activ ((ai)1), unde

1)( 1 =i

ia i n,i 1= - astfel nct Pr s fie atins utiliznd formula (6.28):

3. Se calculeaz abaterea medie ptratic a acestui portofoliu ( )12P cu aceste valori ale

lui1)( ia utiliznd relaia (6.29).

4. Se repet paii 2 i 3 cu o nou mulime2)( ia ; n cazul n care ( ) ( )1

22

2PP < ,

atunci setul iniial de ponderi 1)( ia este abandonat n favoarea lui 2)( ia ;

5. Se repet paii 2 - 4 pn cnd se obine mulimea ponderilor ia care atinge rata

int a venitului Pr , aferent unui portofoliu cu riscul cel mai mic dintre toate portofoliile care

ofer acelai venit. Portofoliul de active avnd ponderile ia constituie un portofoliu eficient

cruia i corespunde n spaiul venit ateptat-risc punctulA din figura 6.1;

6. Se alege o nou rat int arbitrar a venitului Pr (9% s spunem) i se repet

procedeul descris anterior pn cnd se obine un nou portofoliu eficient n care activele au

ponderile ia i riscul minim

P punctulB din figura 6.8.

Algoritmul de mai sus se poate relua pentru o mare varietate de rate int ale venitului

ateptat al portofoliului,Pr , obinndu-se curba ABCD din figura 6.8. Totui, doar poriunea

superioar a curbei ABCD reprezint mulimea portofoliilor eficiente i aceasta este numit

frontiera eficient (Markowitz). Aa cum artam n subcapitolul 6.2, pe aceast frontier se afl

portofoliile ce aduc deintorului cel mai mare venit ateptat corespunztor unui anumit nivel

acceptat al riscului. Din figura 6.8 se observ c pentru acelai nivel acceptat al riscului *,

portofoliulA va fi ntotdeauna preferat luiD, n timp ce pentru nivelul de risc **, portofoliulB

va fi ntotdeauna preferat lui C.


25/37

92

Nu am spus nimic pn acum despre faptul c soluia general a problemei de mai sus

poate include att ponderi pozitive ct i negative. Opondere pozitiv indic acele aciuni care

au fost cumprate i incluse n portofoliu (deci aciuni deinute un timp ndelungat). Valorile

negative ale ponderilor reprezint aciuni deinute timp scurt, adic aciuni deinute de oricine

altcineva (de exemplu un broker) de la care investitorul le mprumuti apoi le vinde pe pia.

Investitorul are o pondere negativ corespunztoare acestor active deoarece, de exemplu, el

trebuie s returneze partea broker-ului la un anumit moment de timp n viitor; investitorul

utilizeaz aceste vnzri scurte ca mijloc de speculare cu scopul de a spori partea deinut din

alte active.

Rezumnd cele de mai sus:

n condiiile n care cunoate veniturile ateptateir, dispersiile i i covarianele

tuturor activelor ),cov( ji rr (sau ij ), investitorul construiete frontiera eficient Markowitz.

Exist doar o singur frontier eficient pentru un set dat {ir, i , ),cov( ji rr sau ( ij )};

prin urmare, el determin ponderile optimale ia care satisfac restricia de buget i

minimizeaz riscul portofoliului pentru un nivel dorit al venitul ateptat al portofoliului;

el repet aceast proceduri calculeazvaloarea minim a riscului portofoliului,

P , pentru fiecare nivel dorit al venitului ateptat Pr obinnd punctele ( Pr , P ) care

constituie frontiera eficient;

rP

10%

9%

A

D

C

B

0 **p

*p p

Figura 6.8


26/37

93

fiecrui punct de pe frontiera eficient i corespunde o mulime diferit de ponderi

optimale 1a ,

2a ,

na ale activelor deinute n portofoliu.

Elementele prezentate anterior reprezint doar una dintre problemele pe care investitorul

le rezolv n cursul activitii sale pe piaa financiar; cea de a doua vizeaz stabilirea moduluin care avuia iniial este distribuit ntre un portofoliu compus din active riscante i un activ

lipsit de risc (de exemplu obligaiuni guvernamentale).

6.3.2 Portofolii compuse din active riscante i active lipsite de risc

Problema investitorului n acest caz este s decid dac d sau ia cu mprumut un activ

cu termen de maturitate egal cu perioada de deinere a portofoliului i care aduce un venit liber

de risc, rd(acesta poate fi considerat egal cu rata dobnzii activului neriscant). Deoarece rd estefixat pe ntreaga perioad de deinere a portofoliului, abaterea standard a activului lipsit de risc

este zero ca i covariana sa cu mulimea celor n active riscante; prin urmare, opiunile

decidentului sunt:

s investeasc toat avuia sa n active riscante i deci s nu tranzacioneze active

neriscante;

s investeasc mai puin dect avuia sa total n active riscante i s utilizeze partea

rmas pentru a o da cu mprumut la o rat a dobnzii liber de risc;

s investeasc n active riscante mai mult dect avuia sa total i s completeze

deficitul lund cu mprumut fonduri adiionale la rata dobnzii liber de risc, caz n care va

deine unportofoliu de levier (adic el ia cu mprumut fonduri la rata dobnzii liber de risc i,

n plus, utilizeaz toat avuia sa personal pentru a o plasa n active riscante).

Linia de transformare reprezint o relaie dintre venitul ateptat i risc pentru un

portofoliu specific constnd dintr-un activ liber de risc i un portofoliu de active riscante. Linia

de transformare construit pentru aceste dou active arat c relaia dintre venitul ateptat i risc

(msurat prin abaterea standard a acestui nou portofoliu) este una liniar.

Acest lucru poate fi demonstrat prin construirea unui portofoliu P constnd dintr-un activ

riscant (cu venitul ateptat rPi riscul 2 ) i activul liber de risc. Atunci putem arta c relaia

dintre venitul portofoliului Pi abaterea sa standard este liniar, deci:

PP bar += (6.31)


27/37

94

unde ai b sunt constante,Pr reprezint venitul ateptat al portofoliu P iar P este abaterea

standard a portofoliului P.

Similar putem construi un alt portofoliu Q constnd dintr-o mulime de q active riscante

ce intr n portofoliu cu ponderileia (care constituie portofoliul riscant) i activul liber de risc.

Din nou avem:

QQr += 10 (6.32)

Pentru a obine ecuaia liniei de transformare s presupunem c investitorul a ales deja o

combinaie particular de ponderi ai pentru cele q active riscante (de exemplu aciuni) cu venitul

curent R, venitul ateptatRr i riscul

2R . De notat cai nu trebuie s fie ponderi optimale i

pot lua orice valori care satisfac restricia de buget =

=q

i

ia

1

1).

Acum s considerm c investitorul se ntreab cum s-i investeasc averea n acest

portofoliu compus din q active i ct de mult s ia sau s dea cu mprumut la rata liber de risc.

Prin urmare, el trebuie s ia n considerare un nou portofoliu constnd dintr-una din combinaiile

dintre activul liber de risc i coul de active riscante. Dac investete o ponderey din propria sa

avuie n activul liber de risc atunci el trebuie s investeasc (1 - y) n coul de active riscante.

Notnd venitul curent al acestui portofoliu cuQR i venitul ateptat cu Qr , obinem:

+=

+=

RdQ

dQ

ryryr

RyryR

)1(

)1((6.33)

unde (R ,Rr ) reprezint venitul curent i, respectiv, venitul ateptat al coului de active riscante

din portofoliul su. Cnd y = 1, toat avuia este investit n activul neriscant idQ rr = , iar

cndy = -1, toat avuia este investit n active riscante (aciuni) iRQ rr = .

Pentru y < -1 agentul ia cu mprumut bani la rata liber de risc rd pentru a investi nportofoliul riscant. Deoarece rd este cunoscut i constant pe perioada deinerii portofoliului,

abaterea standard a acestui nou portofoliu depinde doar de abaterea standard a portofoliului

riscantR . Dar:

2222 )()1()( RQQQ rREyrRE == (6.34)


28/37

95

adic

RQ y = )1( (6.35)

Ecuaiile (6.33) i (6.35) se pot rearanja ntr-o singur ecuaie dependent de mediaQr i

abaterea standard Q . Prin urmare din (6.35) rezult c :

R

Qy

= )1( (6.36)

respectiv:

R

Qy

= 1 (6.37)

nlocuindyi (1 -y) rezultnd din relaiile de mai sus n ecuaia (6.33) se obine:

QQ

R

dRdQ

rrrr

+=

+= 10 (6.38)

unde am notat cudr=0 i

R

dR rr

=1 .

Aadar, pentru orice portofoliu constnd din dou active, unul compus din active riscante

i altul care include activul neriscant, relaia dintre venitul ateptat al acestui nou portofoliu Qr i abaterea sa standard

Q este liniar cu panta 1 i argumentul rd.

Ecuaia (6.38) este evident o identitate, ea nu indic un comportament specific; venitul

ateptat n exces al activului riscant (dR rr ) este ntotdeauna pozitiv, altfel mulimea de

active riscante nu va fi pstrat de ctre investitor.

n situaia n care un portofoliu const doar din n active riscante, atunci dup cum am

vzut, mulimea de eficien este o curb n spaiul venit risc (conform figurii 6.8). Mulimea

de eficien pentru un portofoliu constnd dintr-un activ liber de risc i orice portofoliu compusdin active riscante este o dreapt de pant pozitiv. Aceste dou situaii nu se confund

deoarece portofoliile considerate n cele dou cazuri sunt diferite i, n cazul mulimii de

eficien, curba este obinut printr-un proces de optimizare, ea nefiind o simpl rearanjare a

dou entiti.


29/37

96

Relaia (6.38) arat cQr crete atunci cnd raportul

R

Q

crete. Aceasta se ntmpl

deoarece din ecuaia (6.36) o cretere nR

Q

implic o cretere a ponderii activul riscant (adic

1 - y) n totalul avuiei investite i, deoarece drRE >)( , aceasta determin creterea venitului

ateptat al noului portofoliuQr .

n mod similar, pentru un raport )1( yR

Q=

dat, din ecuaia (6.36) rezult c o

cretere n venitul ateptat n exces al activului riscant (dR rr ) determin creterea venitului

total al portofoliului. Aceasta se datoreaz faptului c acum investitorul deine o pondere fix (1

-y) din activul riscant dar venitul n exces al acestuia este mai mare.

De asemenea, din relaia (6.38) putem observa c atunci cnd toat avuia investitorului

este plasat n mulimea de active riscante (y = 0) i deciRQ = , aceasta este reprezentat

n figura 6.9 prin portofoliulX.

X

Investitorul ia cumprumut i

investete n activeriscante

Investitorul d cumprumut i

investete nactivul liber de risc

Toat avuiaeste investit

n activeriscante

Toat avuiaeste investit nactivul liber de

risc

rd

Z

rQ

0R Q

Figura 6.9

T


30/37

97

Cnd toat avuia este investit n activul liber de riscy = 1, avemdQ rr = , i din (6.36)

rezult c 0=R

Q

. n punctele dintre rdi X investitorul a plasat o parte din avuia sa iniial

n activul liber de risc i cealalt n portofoliul compus din active riscante. n punctele Z

investitorul deine unportofoliu de levier.

6.3.3 Modelul lui Markowitz

Obiectivul gestiunii eficiente a oricrui portofoliu de active l constituie gsirea celei mai

performante combinaii de titluri financiare la un nivel de risc pe care investitorul este dispus s

i-l asume. Concret, trebuie determinat locul geometric al tuturor combinaiilor performante

posibile plecnd de la cea cu risc minim. n urma efecturii acestei cercetri putem identifica

att frontiera eficient Markowitz ct i portofoliul de risc minim absolut (PRMA).

Politicile de plasament ale diferiilor investitori impun restricii specifice pentru capitalul

lor financiar, restricii precum:

obinerea unui venit minim sub form de dobnzi i dividende;

plasarea ntr-un titlu corespunztor unui anumit sector economic numai a unui

anumit procent din fondurile ce sunt disponibile pentru investiii pe piaa de capital;

meninerea unei pri din fondurile totale disponibile sub form lichid.

n cadrul lucrrii devenit istoric,Eficient Diversification of Investments, H. Markowitz

a pus problema structurrii portofoliului optim sub dou aspecte:

a) maximizarea rentabilitii portofoliuluii stabilirea unui prag de risc acceptabil A:

=

=

=

1

;(max)

1

1

n

ii

P

n

iii

a

Ara

(6.39)

SAU

b)minimizarea riscului portofoliului pentru un anumit nivel dorit B al venitului adus

de portofoliu:


31/37

98

=

=

=

1

(min)

1

1

2

n

i

i

n

i

ii

P

a

Bra

(6.40)

n urmtoarele ipoteze :

criteriul de selecie a combinaiilor eficiente de n titluri este criteriul medie-dispersie

(venit mediu - risc);

activele sunt riscante, caracterizate de perechea (ir,

2i ) precum i de covarianele

cov(ri, rj) cu restul activelor din structura portofoliului;

investitorii sunt adveri fa de risc, ei dorind s-i asume un risc ct mai mic posibil

pentru un nivel dat al venitului ateptat;

investitorii consider fiecare alternativ de investiie ca putnd fi obinut prin

distribuia veniturilor ateptate ale acesteia pe o anumit perioad de timp.

Pentru simplificarea analizei se va considera un caz particular al sistemului (6.40) de

forma:

1

),cov((min)

1

1

2

1 1

2

=

==

=

=

=

= =

n

ii

n

iPiiP

n

i

n

jjijiP

a

rrar

rraa

(6.41)

unde 2Pr este venitul dorit al portofoliului.

Lagrangeanul asociat sistemului (6.41) mbrac forma:

)1()(),cov(),,,...,(1

2

1

1

1 1

211 ++= === =

n

i

i

n

i

Pii

n

i

n

j

jijin arrarraaaaL (6.42)

n urma aplicrii condiiilor de optimalitate de ordinul nti se obine c:


32/37

99

==

==

==++=

=

=

=

n

ii

P

n

iii

i

n

jjij

i

aL

rraL

n,irrraa

L

12

11

211

10

0

1,0),cov(0

(6.43)

Rescriind matriceal sistemul (6.43) obinem:

TXY

r

a

a

a

rrr

rrrrr

rrrrr

rrrrr

P

n

n

nnnn

n

n

=

1

0

.

.

.

0

0

.

.

.

001...11

00...

1...),cov(),cov(

.

.

.

1),cov(...),cov(

1),cov(...),cov(

2

1

2

1

21

221

222

212

112121

(6.44)

respectiv TXY = de unde obinem soluia:

TYX = 1 (6.45)

Pentru a identifica PRMA, se va pleca de la aceeai expresie ce desemneaz riscul

portofoliului i, impunnd o restricie privind alocarea bugetului investitorului cu aversiune fa

de risc, se obine urmtorul program:

=

=

=

= =

n

ii

n

i

n

jjijiP

a

rraa

1

1 1

2

1

),cov((min)

(6.46)

Pentru rezolvarea problemei considerm funcia lui Lagrange de forma:

)1(),cov(),,...,(11 1

1 += == =

n

ii

n

i

n

jjijin arraaaaL (6.47)


33/37

100

cu condiiile necesare de optim:

=

==+

=

=

=

=

n

i

i

n

jjij

i

a

n,irra

L

a

L

1

1

1

1,0),cov(

0

0

(6.48)

Matricial, sistemul de condiii necesare cuprinznd (n + 1) ecuaii poate fi scris astfel:

ZXH

a

a

a

rrrr

rrrr

rrrr

nnnn

n

n

10

.

.

.

0

0

.

.

.

01...111...),cov(),cov(

.

.

.

1),cov(...),cov(

1),cov(...),cov(

2

1

221

22

212

12121

=

(6.49)

respectiv

ZHXZXH == 1 (6.50)

Portofoliul de risc minim absolut va rezulta din rezolvarea sistemului matricial (6.50);

innd cont de semnul ponderilor titlurilor ai, acest portofoliu poate fi att legitim (deci 0ia ,

ni ,1= ) ct i nelegitim (adic el conine i ponderi 0


34/37

101

6.3.4 Studii de caz, probleme Seminar 6

6-1. S presupunem c riscul afacerii i cel financiar normal al unei firme solicit

acesteia o rat medie a venitului de 20%. Firma are n vedere o strategie investi ional al crei

cost iniial este de 100.000$ i din a crei realizare se ateapt s ctige 50.000$ pe an n

urmtorii trei ani. Stabilii dac firma ar trebui s fac aceast investiie n condiiile n care:a) Dispune de ntreaga sum de 100.000$ necesar din fonduri proprii de investiii;

b) Pentru a realiza investiia ar trebui s apeleze la un credit bancar care ar conduce la

creterea ratei necesare a venitului din cei trei ani la 25%.

Soluie

a) La o rat impus a venitului de 20%, valoarea actual net a investiiei este

5.324$100.000$-

0,20)(1

50.000$

0,20)(1

50.000$

0,20)(1

50.000$NPV

32I=

+

+

+

+

+

=

Deoarece valoarea actual net este pozitiv proiectul este acceptabil, el promind s

aduc firmei un profit de 5.324$.

b) n condiiile unei rate necesare a venitului de 25%, valoarea actual net a investiiei

este

2.400$-100.000$-0,25)(1

50.000$

0,25)(1

50.000$

0,25)(1

50.000$NPV

32I=

++

++

+=

Valoarea actual net este negativ indicnd faptul c proiectul de investiie, o dat

realizat, nu poate asigura obinerea unei rate a venitului de 25% care ar permite firmei s

ramburseze creditul bancar i s obin profit. Dac firma dorete s realizeze proiectul ea

trebuie s se atepte la o pierdere de 2.400$.

6-2. Considerm cazul unei firme care, datorit riscului afacerii i a celui financiar, i-a

impus o rat a venitului de 20%, n timp ce rata dobnzii pentru bonurile de tezaur este de 8%.

Firma analizeaz posibilitatea investirii a 500.000$ ntr-o afacere care promite s i aduc un

ctig de 150.000$ pe an n urmtorii cinci ani.

a) Calculai valoarea actual net a acestei afaceri folosind metoda ratei de discountajustat la risc;

b) Calculai valorile echivalente pentru t care ar permite ca prin abordarea folosind

echivalentul cert s se obin acelai rezultat;

c) Demonstrai c t calculat la b) permite abordrii prin echivalentul cert obinerea

aceluiai rezultat ca i n cazul metodei ratei de discount ajustate la risc.


35/37

102

Soluie

a) n conformitate cu metoda ratei de discount ajustate la risc avem

51.408,18$-500.000$-0,20

1,20)-(1150.000$NPV

-5

I =

=

b) Folosind abordarea prin echivalentul cert, valorile echivalente pentru sunt

0,59049(1,20)

(1,08):5Anul

0,6561(1,20)

(1,08):4Anul

0,729(1,20)

(1,08):3Anul

0,810(1,20)

(1,08):2Anul

0,9001,20

1,08:1Anul

5

5

4

4

3

3

2

2

==

==

==

==

==

c) Folosind aceste valori calculate pentru obinem

51.408,18$-500.000$-08),(1

0.000$)0,59049(15

08),(1

.000$)0,6561(150

08),(1

000$)0,729(150.

(1,08)

00$)0,81(150.0

1,08

00$)0,90(150.0NPV

54

32I

=+

+++=

6-31). Reprezentai grafic, n planul risc-rentabilitate, mulimea portofoliilor formate din

aciunile A i B n proporiile xAi xB, tiind c rentabilitile medii i riscul celor dou active

sunt:

R R pentru

a

b

A A B B

AB

AB

= = = =

= +

=

20%, 30 98%, 15%, 7 75%

1

1

, ,

)

)

Soluie

a) Dac ratele de rentabilitate ale celor dou aciuni sunt corelate perfect pozitiv, riscul

portofoliului va fi egal cu media ponderat a riscurilor titlurilor ce formeaz portofoliul. Astfel,

vom avea relaiile:

1) Dobre, I., Bdescu, A., Irimia, C., Teoria deciziei studii de caz, Editura Scripta, Bucureti, 2000


36/37

103

=+

++=

+=

(3)1xx

(2)xx2xx

(1)RxRxR

BA

ABBABA

2

BB

2

A

2

AP

BBAAP

Din (2) i (3) vom exprimaxAixB n funcie de riscurile celor dou aciuni i de riscul

portofoliului. nlocuind n (1), vom gsi

RR R R R

P

A B B A

A B

A B

A BP=

+

.

Fcnd nlocuirile numerice RP P= +13 33 0 215, ,

Dac presupunem cxAixB [0,1], vom avea urmtoarea reprezentare grafic:

b) Dac ratele de rentabilitate ale celor dou aciuni sunt corelate perfect negativ, riscul

portofoliului va avea urmtoarea expresie:

P A A B B A A B B

P

A A A B A

B

A B

A

B

A B

A A A B A

B

A B

x x x x

x x daca x

daca x

x x daca x

= =

=

+ +

=+

+

( )

( ) , ,

,

( ) , ,

2

1 0

0

1 1

Procednd n mod analog punctului a), vom gsi:

[ )

( ]

R

dacax

dacax

dacax

P

P A

A

P A

=

=

+

16 0 13 0 0 2

16 0 2

16 0 13 0 2 1

, , ; ,

, ,

, , , ;

A

B

7 75 30 98

15

20

Risc

Ratarentabilitii

A

B

7 75 30,9

15

20

Risc

Ratarentabilitii

16


37/37

6-4.S se reprezinte n planul risc-rentabilitate urmtoarele portofolii i s se determine

portofoliile eficiente:

Portofoliul Rata de rentabilitate a

portofoliului (%)

Risc

(%)A 18 14,7

B 20 14,15

C 18 17,32

D 22 14,7

E 26 18,5

F 28 18,5

G 30 24,5

H 26 24,5

I 25 17,32

Soluie

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25

A C

B

F

EI

D

G

H

Portofoliile eficiente sunt acele portofolii care, pentru o rentabilitate global scontat,

prezint riscul cel mai mic sau care, pentru un anumit risc asumat, au cea mai mare rentabilitate.

Pentru problema noastr, portofoliile eficiente sunt B, D, I, F, G.

Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1

Documents

Transcript of Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1