GEOMETRIE

CAPITOLUL I – RELAŢII ÎNTRE PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE

COMPETENŢE SPECIFICE

Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

Exprimarea prin reprezentări geometrice a noţiunilor legate de drepte şi unghiuri în plan şi în spaţiu Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării descrierii configuraţiilor spaţiale şi

în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente şi de măsuri de unghiuri

CONŢINUTURI

Puncte, drepte, plane : convenţii de desen şi notaţie Determinarea dreptei; determinarea planului Piramida: descriere şi reprezentare; tetraedrul Prisma: descriere şi reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul.

NOŢIUNI DE TEORIE

Ramura geometriei care studiază figurile geometrice formate din puncte nesituate în acelaşi plan, se numeşte geometrie în spaţiu.

Spaţiul este cadrul ( universul ) în care ne situăm în acest caz. Din punct de vedere geometric, spaţiul este considerat o mulţime de puncte, iar dreptele şi planele sunt considerate submulţimi ale spaţiului.

Între puncte, drepte, plane există relaţii de apartenenţă, incluziune, egalitate.Punctele care aparţin aceleiaşi drepte se numesc coliniare iar punctele care aparţin aceluiaşi plan se

numesc coplanare.În matematică există adevăruri pe care le acceptăm fără demonstraţie; ele se numesc axiome.

AXIOMELE GEOMETRIEI ÎN SPAŢIU

A1 : Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă: orice dreaptă conţine cel puţin două puncte distincte.A2

A3

A4

A5

A6

DETERMINAREA PLANULUI

Un plan este determinat de: - trei puncte necoliniare- o dreaptă şi un punct exterior ei- două drepte concurente- două drepte paralele

CAPITOLUL II - POZIŢII RELATIVE ALE DREPTELOR ŞI PLANELOR ÎN SPAŢIU

COMPETENŢE SPECIFICE

Recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale unor figuri geometrice plane în configuraţii date în spaţiu sau pe desfăşurări ale acestora

Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice

Utilizarea proprietăţilor referitoare la drepte şi unghiuri în spaţiu pentru analizarea poziţiilor relative ale acestora

Exprimarea prin reprezentări geometrice a noţiunilor legate de drepte şi unghiuri în plan şi în spaţiu Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării descrierii configuraţiilor spaţiale

şi în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente şi de măsuri de unghiuri

CONŢINUTURI Poziţiile relative a două drepte în spaţiu; relaţia de paralelism în spaţiu. Unghiuri cu laturile respectiv paralele (fără demonstraţie); unghiul a două drepte în spaţiu;

drepte perpendiculare. Poziţii relative ale unei drepte faţă de un plan; dreapta perpendiculară pe un plan; distanţa

de la un punct la un plan(descriere şi reprezentare); înălţimea piramidei (descriere şi reprezentare).

Poziţii relative a două plane; plane paralele; distanţa dintre două plane paralele (descriere şi reprezentare); înălţimea prismei (descriere şi reprezentare); secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate.

Trunchiul de piramidă: descriere şi reprezentare. Proiecţii de puncte, de segmente de dreaptă şi de drepte pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan; lungimea proiecţiei unui segment.

NOŢIUNI DE TEORIE

POZIŢII RELATIVE A DOUĂ DREPTE ÎN SPAŢIU

Două drepte coplanare care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele.Două drepte coplanare care au un punct comun se numesc drepte concurente.Două drepte care nu au nici un punct comun şi nu sunt situate în acelaşi plan se numesc drepte

necoplanare.

POZIŢII RELATIVE ALE UNEI DREPTE FAŢĂ DE UN PLAN

O dreaptă poate avea :-niciun punct comun cu planul ( dreapta este exterioară planului şi paralel cu el)-un punct comun cu planul ( dreapta este concurentă cu planul )-două puncte comune cu planul ( dreapta este inclusă în plan)

TEOREMĂDacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă inclusă intr-un plan, atunci ea este paralelă cu planul sau inclusă

în el.OBSERVAŢIE

Pentru a demonstra că o dreaptă a este paralelă cu un plan α demonstrăm că dreapta a este paralelă cu o dreaptă b inclusă în planul α.

POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ PLANE

Două plane pot fi:paralele sau se pot intersecta (în acest caz intersecţia este o dreaptă conform axiomei A4).

PROPOZIŢIA 1Fie a şi b două drepte paralele şi planele α şi β astfel încât a inclus în α şi b inclus în β. Dacă planele α şi β

se intersectează după dreapta c, atunci c este paralelă cu dreptele a şi b.

TEOREMĂDouă plane sunt paralele dacă unul din ele conţine două drepte concurente, amândouă paralele cu al doilea

plan.OBSERVAŢIE

Pentru a demonstra că două plane sunt paralele, demonstrăm că unul dintre plane conţine două drepte concurente, paralele fiecare cu celălalt plan.

PARALELISM ÎN SPAŢIU

TEOREMĂFie a o dreaptă paralelă cu planul α, iar β un plan care conţine dreapta a. Atunci:

- α II β sau - β intersectează α după o dreaptă paralelă cu a.

TEOREMĂFie a o dreaptă inclusă sau paralelă cu un plan α şi fie b o dreaptă paralelă cu a, dusă printr-un punct A al

planului α. Atunci dreapta b este inclusă în planul α.

TEOREMĂ ( tranzitivitatea)Dacă a, b, c sunt trei drepte astfel încât a II b şi b II c, atunci a II c.

TEOREMĂDouă unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt fie congruente fie suplementare.

TEOREMĂFiind date un plan α şi un punct A, A nu aparţine planului α, există un unic plan care conţine punctul A şi este

paralel cu α.

TEOREMĂDacă un plan intersectează două plane paralele, atunci intersecţiile sunt drepte paralele.

TEOREMĂ( tranzitivitatea)Fie α, β, γ trei plane distincte. Dacă α II β şi β II γ, atunci α II γ.

TEOREMĂ (Teorema lui Thales în spaţiu)Trei sau mai multe plane determină pe două drepte oarecare segmente respectiv proporţionale.

MĂSURA UNGHIULUI A DOUĂ DREPTE. DREPTE PERPENDICULARE

DEFINIŢIECea mai mică dintre măsurile m şi (1800-m) se numeşte măsura unghiului dreptelor concurente a şi b.

DEFINIŢIEDouă drepte din spaţiu sunt perpendiculare dacă măsura unghiului lor este de 900.

OBSERVAŢIEÎn spaţiu, unghiul a două drepte necoplanare a şi b este unghiul dintre dreapta a şi paralela la dreapta

b dusă printr-un punct al dreptei a.

DREAPTA PERPENDICULARĂ PE UN PLAN

DEFINIŢIEO dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă a planului.

TEOREMĂDacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci dreapta este

perpendiculară pe plan.

TEOREMĂDintr-un punct M se poate duce, pe un plan α, o unică perpendiculară.

TEOREMĂDouă plane perpendiculare pe aceeaşi dreaptă sunt paralele.

TEOREMĂExistă un unic plan perpendicular într-un punct dat, pe o dreaptă dată.

TEOREMĂDouă drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele.

OBSERVAŢIEPentru a demonstra că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, demonstrăm că ea este

perpendiculară pe două drepte concurente incluse în acel plan.