GEOMETRIECLASA a VIII-a

Semestrul II

Realizat de prof. FLORESCU NICOLAE

.

PROIECTII ORTOGONALE

PE UN PLAN.

PROIECTII DE PUNCTE SI DREPTE PE UN PLAN

Se numeste proiectia ortogonala a unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din acel punct pe un plan.

A

A`

A

Prin proiectia unei drepte pe un plan se intelege multimea proiectiilor punctelor acelei drepte pe plan.

A

B

A` B`

.

PROIECTII DE FIGURI GEOMETRICE PE UN PLAN

A

B

C

A`B`

C`

Prin proiectia unei figuri geometrice pe un plan intelegem multimea proiectiilor punctelor acelei figuri pe plan.

.

UNGHIUL UNEI DREPTE CU UN PLAN

Ad

B

B`

d`u

Unghiul unei drepte d cu planul este unghiul dintre dreapta data si proiectia acestei drepte pe plan; conform figurii de mai sus este vorba de unghiul ABB` de masura u.

BB` = ABcosu.

TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULRE

d

a

P

M

A

Daca o dreapta d este perpendiculra pe planul , dreapta a este inclusa in planul , drepta PA este perpendiculara pe dreapta a in punctul A, atunci si dreapta MA este perpendiculara pe dreapta a.

Cu ajutorul teoremei celor trei perpendiculare se poate afla distanta de la un punct la o dreapta sau la un plan si masura unghiului plan al unui diedru.

.

UNGHI DIEDRU

P

a

b

u

Fie planele si .

Dreapta a inclusa in , este perpendiculara pe muchia diedrului in P.

Dreapta b inclusa in , este perpendiculara pe muchia diedrului in P.

Unghiul plan al diedrului format de cele doua plane este unghiul plan determinat de dreptele a si b de masura u.

.

PLANE PERPENDICULARE

d

a

m

Daca planul contine dreapta d perpendiculara pe planul , atunci cele doua plane sunt perpendiculare.

Daca doua plane sunt perpendiculare, atunci ele formeaza un unghi diedru drept.

.

ARII SI VOLUME

.

ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME TRIUNGHIULARE

A B

C

A` B`

C`

l

h

hPA bl

blt AAA 2

hAV b

Pb = 3l (perimetrul bazei)

4

32lAb

(aria bazei).

ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME PATRULATERE

A B

CD

A`B`

C`D` hPA bl

blt AAA 2

hAV b

Pb = 4l (perimetrul bazei)

Ab = l2 (aria bazei)

l

h

.

ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME HEXAGONALE

A` B`

C`

D`E`

F`

A B

C

DE

F

l

h

hPA bl

blt AAA 2

hAV b

Pb = 4l (perimetrul bazei)

2

33 2lAb

(aria bazei).

ARIA SI VOLUMUL UNUI CUB

A B

CD

A`B`

C`D`

l

d

Al = 4l2

At = 6l2

V = l3

3ld Triunghi echilateral

.

ARIA SI VOLUMUL UNUI PARALELIPIPED DREPTRUNGHIC

ab

cd

Al = 2(a+b)c perimetrul bazei

At = 2(ab+bc+ac)V = abc

d2 = a2 + b2 + c2

(a +b +c)2 = d2 + At

.

ARIA SI VOLUMUL UNEI PIRAMIDE TRIUNGHIULARE

A B

C

V

O

D

mb

ml h

ab

ap

R

mb = muchia bazei; ml = muchia laterala; h = inaltimea; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; R = raza cercului circumscris bazei

2pb

l

aPA

blt AAA

3

hAV b

4

32lAb

.

PIRAMIDA TRIUNGHIULARA - TRIUNGHIURI DE LUCRU

A B

C

V

O

D

mb=l3

ml h

ab

ap

R OD

V

ap

ab

h

ap2 = ab

2 + h2

6

33lab

O

V

A R

ml h

ml2 = h2 + R2

3

33lR

D B

V

ml ap

l/2

ml2 = ap

2 + (l/2)2

.

ARIA SI VOLUMUL UNEI PIRAMIDE PATRULATERE

A B

E

D

V

O

C

mb

ml h

ab

ap

R

mb = muchia bazei; ml = muchia laterala; h = inaltimea; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; R = raza cercului circumscris bazei

2pb

l

aPA

blt AAA

3

hAV b

Ab = l 2..

PIRAMIDA PATRULATERA – TRIUNGHIURI DE LUCRU

A B

E

D

V

O

C

mb

ml h

ab

ap

R

V

OE

ap h

ab

ap2 = ab

2 + h2

ab = l / 2

A

V

O

h ml

R

ml2 = h2 + R2

2

24lR

E C

V

ml ap

l/2

ml2 = ap

2 + (l/2)2

.

A B

C

DE

F

l

h

PIRAMIDA HEXAGONALĂ

V

O

2pb

l

aPA

blt AAA

3

hAV b

2

33 2lAb

.

ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE PIRAMIDA TRIUNGHIULARA

A B

C

A` B`

C`

O

O`

D

D`

Baza mare

Baza mica

L = latura bazei mari

l = latura bazei miciApotema bazei mici

Apotema bazei mari

Muchia laterala

Inaltimea

2

aPPA bBl

bBlt AAAA

bBbB AAAAh

V 3

4

32lAb

.

Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru

O D

O` D`

aB

ab

h a

aB = apotema bazei mari;

ab = apotema bazei mici;

a = apotema trunchiului;

h = inaltimea trunchiului;

222 haaa bB .

h

aB-ab

Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru

O

O`

A

A`

h ml

R

rh = inaltimea;

ml = muchia laterala;

R = raza cercului circumscris bazei mari;

r = raza cercului circumscris bazei mici;

222 hrRml .

h

R-r

Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru

DC

D` C`

aml

L/2

l/2

a

L/2-l/2

ml = muchia laterala;

a = apotema trunchiului;

L/2 = jumatate din latura bazei mari

l/2 = jumatate din latura bazei mici

222 2/2/ alLml .

ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE PIRAMIDA PATRULATERA

L

aB

h a

lab

R

r

L = latura bazei maril = latura bazei micih = inaltimea

a = apotema trunchiuluiaB = apotema bazei mariab = apotema bazei miciR = raza cercului circumscris bazei mari

r = raza cercului circumscris bazei mici ml

ml = muchia laterala

2

aPPA bBl

bBlt AAAA

bBbB AAAAh

V 3 .

CUM CONSTRUIM CORECT UN TRUNCHI DE PIRAMIDA?

Urmariti desenul alaturat.

Ce este deasupra bazei mici se poate sterge daca nu este nevoie in rezolvarea unei probleme.

.A B

C

D

A` B`

C`D`

V

ARIA SI VOLUMUL UNUI CILINDRU CIRCULR DREPT

A

A`

B

B`

O

O`

h

G

R

R = raza cilindrului;

h = inaltimea cilindrului;

G = generatoarea cilindrului;

Al = 2RGAt = 2R(R+G)

V = R2h.

ARIA SI VOLUMUL UNUI CON CIRCULAR DREPT

ABO

V

R

h

G

R = raza conului;h = inaltimea conului;G = generatoarea conului;

G2 = R2 + h2

Al = RG

At = R(R+G)

3

2hRV

.

ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE CON CIRCULAR DREPT

AB

A` B`

O

O`

R

G

r

h

R = raza mare a trunchiului de con;

r = raza mica a trunchiului de con;

G = generatoarea trunchiului de con;

h = inaltimea trunchiului de con;

G2 = h2 + (R-r)2

Al = G(R+r)

At = Al + (R2+r2)

RrrRh

V 22

3

.

RAPORTUL ARIILOR SI

VOLUMELOR CORPURILOR

ASEMENEA

Pir

amid

a m

ica

Pir

amid

a m

are

2kA

A

maripiramidei

micipiramidei

3kV

V

maripiramidei

micipiramidei

Unde k este raportul de asemanare, de exemplu: k =

h`

h`

h

h

.

ARIA SI VOLUMUL UNEI SFERE

OA

R

R = raza sferei

Asferei = 4R2

3

4 3rV

.

VREAU SA MA MAI UIT O DATA !

sfârşit