APLICAŢII ALE TRIGONOMETRIEI ÎN GEOMETRIE

Fie un triunghi oarecare în care:

1. sunt lungimile laturilor triunghiului ( );

2. sunt măsurile (exprimate în radiani) ale unghiurilor triunghiului ;

3. este semiperimetrul triunghiului;

4. sunt lungimile medianelor corespunzătoare laturilor ;

5. sunt lungimile înălţimilor coborâte din vârfurile ;

6. sunt lungimile bisectoarelor interioare ale unghiurilor ;

7. este aria triunghiului ;

8. este lungimea razei cercului circumscris triunghiului ;

9. este lungimea razei cercului înscris în triunghiul .

Atunci aria triunghiului poate fi calculată astfel :

(Heron)

, unde ,

fiind vârfurile triunghiului.

, unde

, , ,

, , fiind vârfurile triunghiului.

TEOREMA SINUSURILOR :

TEOREMA COSINUSULUI :

PETRESCU LUCIAN 1

Lungimile medianelor: ; Lungimile bisectoarelor:

Formulele lui Neper: ;

FORMULE TRIGONOMETRICE.

I. FUNCŢII TRIGONOMETRICE DIRECTE

1) REDUCEREA LA PRIMUL CADRAN

Cadranul

Unghiul / funcţia trigonometrică

2) PARITATE / IMPARITATE, MONOTONIE, SEMN

Cadranul / funcţia

trigonometrică

Paritate / imparitate

IMPARĂ

PARĂ

IMPARĂ

IMPARĂ

PETRESCU LUCIAN 2

3) FORMULE TRIGONOMETRICE IMEDIATE

FORMULA FUNDAMENTALĂ:

FORMULE PENTRU COMPLEMENTUL UNUI UNGHI

4) FORMULE DE LEGĂTURĂ ÎNTRE FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE ALE ACELUIAŞI UNGHI

5) FORMULE PENTRU FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE ALE SUMEI / DIFERENŢEI DE UNGHIURI

6) CONSECINŢE: FORMULE PENTRU FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE ALE UNGHIULUI DUBLU / TRIPLU

7) FORMULE DE TRECERE DE LA UN UNGHI LA UNGHIUL DUBLU

8) FORMULE DE TRECERE DE LA SINUSUL / COSINUSUL UNUI UNGHI LA

PETRESCU LUCIAN 3

TANGENTA UNGHIULUI PE JUMĂTATE

9) FORMULE DE TRANSFORMARE ÎN PRODUS A SUMEI / DIFERENŢEI DE FUNCŢII TRIGONOMETRICE DIRECTE

10) FORMULE DE TRANSFORMARE A PRODUSULUI ÎN SUMĂ / DIFERENŢĂDE FUNCŢII TRIGONOMETRICE DIRECTE

11) VALORILE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE DIRECTE PENTRU PRINCIPALELE UNGHIURI DIN INTERVALUL

nu există

nu există

nu există

nu există

II. FUNCŢII TRIGONOMETRICE INVERSE

1) FORMULE FUNDAMENTALE:

PETRESCU LUCIAN 4

2) VALORILE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE INVERSE

3) FORMULE DE LEGĂTURĂ ÎNTRE

FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE INVERSE

,

dacă

,

dacă

,

dacă

,

dacă

,

dacă

,

dacă

,

dacă

dacă

dacă

dacă

PETRESCU LUCIAN 5

dacă

dacă

4) PARITATE / IMPARITATE, MONOTONIE, SEMN

Paritate / imparitateIMPARĂ

NICI PARĂ, NICI IMPARĂ

Paritate / imparitateIMPARĂ

NICI PARĂ, NICI IMPARĂ

5) FORMULE DE TRANSFORMARE A SUMEI / DIFERENŢEI DE FUNCŢII TRIGONOMETRICE INVERSE

VECTORI ÎN PLAN

vector legat ( este origine sau punct de aplicaţie, iar este extremitate sau vârf );

PETRESCU LUCIAN 6

caracterizat prin

( vectori legaţi echipolenţi): cei doi vectori au aceeaşi direcţie, modul şi sens

(vector liber).

REGULA TRIUNGHIULUI:

REGULA PARALELOGRAMULUI:

RELAŢII VECTORIALE IMPORTANTE

TEOREMA MEDIANEI:

PROPRIETĂŢI:

1. Dacă , atunci

2. Dacă şi , atunci

PROPRIETATE: Vectorii pot forma un triunghi

1. Cele trei mediane ale unui triunghi pot forma la rândul lor un triunghi : dacă sunt mijloacele laturilor , atunci .

2. .

3. .

4. (Relaţia lui Sylvester).

5. .

GEOMETRIE ANALITICĂ ÎN PLAN / ÎN SPAŢIU

PLAN SPAŢIU

PETRESCU LUCIAN 7

Distanţa dintre două puncte (lungimea, modulul, norma unui vector)

Coordonatele mijlocului unui segment

Dacă este mijlocul segmentului ,

unde şi , atunci

Dacă este mijlocul segmentului

, unde şi , atunci

Coordonatele punctului care împarte un segment într-un raport dat

Dacă , unde ,

şi , atunci .

Dacă , unde ,

şi , atunci .

Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi

Dacă este centrul de greutate al

de vârfuri , , , atunci

Dacă este centrul de greutate

al de vârfuri , ,

, atunci

PANTA UNEI DREPTE. PROPRIETĂŢI.

Dacă este o dreaptă neverticală , atunci panta dreptei este definită prin , unde

este unghiul format de dreapta cu axa şi măsurat în sens trigonometric.

PETRESCU LUCIAN 8

Panta dreptei determinată de 2 puncte , astfel ca

Condiţia de paralelism a două drepte

Condiţia de perpendicularitate a două drepte

Condiţia ca o dreaptă să fie paralelă cu axa

ECUAŢIA DREPTEI ÎN PLAN

ECUAŢIA DREPTEI PRINTR-UN PUNCT DAT ŞI PANTĂ CUNOSCUTĂ

se cunosc şi

ECUAŢIA DREPTEI PRIN DOUĂ PUNCTE

se cunosc

,

unde şi

CONDIŢIA DE COLINIARITATE A

TREI PUNCTE

se cunosc ,

,

coliniare

ECUAŢIA DREPTEI PRIN TĂIETURI

se cunosc tăieturile

şi

ECUAŢIA DREPTEI DETERMINATĂ DE UN PUNCT ŞI O DIRECŢIE

DATĂ (ECUAŢII PARAMETRICE)

se cunosc şi

astfel încât

ECUAŢIA CARTEZIANĂ IMPLICITĂ A DREPTEI

se cunosc: panta şi - ordonata la origine

ECUAŢIA GENERALĂ A DREPTEI

-

ECUAŢIA DREPTEI ÎN SPAŢIU

ECUAŢIA DREPTEI PRIN DOUĂ

PUNCTE

se cunosc ,

PETRESCU LUCIAN 9

, unde , şi

ECUAŢIA DREPTEI DETERMINATĂ DE

UN PUNCT ŞI O DIRECŢIE DATĂ

(ECUAŢII PARAMETRICE)

se cunosc şi

astfel încât

ECUAŢIA PLANULUI ÎN SPAŢIU

ECUAŢIA PLANULUI DETERMINAT DE UN

PUNCT ŞI O NORMALĂ LA PLAN

se cunosc

şi astfel încât

(normală la plan)

, unde

ECUAŢIA PLANULUI PRIN TĂIETURI

se cunosc tăieturile

, şi

ECUAŢIA PLANULUI DETERMINAT DE

TREI PUNCTE NECOLINIARE

se cunosc ,

, , necoliniare

VOLUMUL TETRAEDRULUI

se cunosc ,

, şi

, unde

CONDIŢIA DE COPLANARITATE A PATRU PUNCTE ÎN

SPAŢIU

se cunosc ,

, şi

sunt coplanare

VECTORI ÎN PLAN / SPAŢIU

ÎN REPERUL /

PETRESCU LUCIAN 10

FORMA GENERALĂ A VECTORILOR ÎN

REPERUL /

MODULUL, NORMA SAU LUNGIMEA

VECTORILOR

EGALITATEA VECTORILOR

VECTORI PARALELI (COLINIARI)

, pentru

sau astfel încât

, pentru

sau astfel încât

VECTORI NECOLINIARI nu are loc

PRODUS SCALAR

VECTORI ORTOGONALI (PERPENDICULARI)

COSINUSUL UNGHIULUI DINTRE DOI VECTORI

VECTORI DETERMINAŢI DE

DOUĂ PUNCTE DATE

POZIŢII RELATIVE A DOUĂ DREPTE ÎN PLAN, RESPECTIV A DOUĂ PLANE ÎN SPAŢIU

PETRESCU LUCIAN 11

ECUAŢIA GENERALĂ A DREPTELOR /

PLANELOR

DREPTE / PLANE EGALE

(COINCIDENTE)

DREPTE / PLANE PARALELE

DREPTE / PLANE SECANTE

DREPTE / PLANE ORTOGONALE

(PERPENDICULARE)COSINUSUL

UNGHIULUI DINTRE DOUĂ DREPTE /

PLANE

PETRESCU LUCIAN 12