Geometrie Diferentiala Subiecte Propuse Sem II an 1 Geometrie Fara Raspuns

Setul 1

1. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n

la curba 1y x

în punctul de abscis

2. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

i normalei n

la curba:

cos

sin

t

t

x e t

y e t

în punctul

1,0A

3. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

i normalei n la curba: 3 2 23 9 0x x y y în punctul

0,3A .

4. Sa se calculeze segmentul de tangenta MT , segmentul de normala MN , subtangenta PT

i

subnormala PN

pentru curba 3 2

2 3 0C x xy x y

în punctul M

în care curba

C

taie axa Oy . S-au notat T - punctul de interesectie al curbei b

cu axa Ox , N -

punctul de interesectie al curbei C cu axa Ox , P - proiectia punctului M pe axa Ox .

O

y

x

,M x yC

,0TT x ,0NN X,0P x

5. Fie curbele 2

1 2: , : 1 .2

x xC y e C y x

Sa se calculeze curburile 1K

i 2K

corespunz toare lui 1C

i respectiv 2C în punctul comun .A

6. Sa se determine ecuatia cercului osculator la elips în punctul de interesectie cu semiaxa pozitiv a absciselor.

7. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei: 3 3: 3 0C x y axy

8. Fie curba:

3

22

43:

1

tx t

C t

y t

Calculati R - raza de curbura în punctul curent pe curba.

9. Fie curba:

3

22

43

1

tx t

C

y t

Se tie c raza de curbura este dat de rela ia 5

44R y . Calculati R in functie de nS

este

segmentul de normala al curbei, atunci:

10. Sa se calculeze raza de curbura a curbei C

dat prin coordonatele sale polare:

sin , m

C mn

11. Sa se calculeze elementul de arc pe curba definita în coordonate

polare:

sin , m

C mm

12. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

1 cosC a

(cardioid )


2

x xe eC y chx (l n i orul)

14. Fie curba C

definita în coordonate polare de ecua ie: C . Not m V - unghiul

dintre tangenta MT

i raza vectoare OM . Calculati tg V

15. Fie curba C

definita în coordonate polare de ecua ie: C . Sa se scrie ecuatiile

tangentei t

i normalei n la curba C în punctul curent

16. Sa se calculeze unghiul V dintre tangenta MT

i raza vectoare OM , unde M este un punct

oarecare al curbei kC ae

(spirala logaritmic ).calculati tg V.

17. Sa se afle subtangenta PT

i subnormala PN

intr-un punct arbitrar M

situat pe parabola 2

y 2C px .

18. Sa se afle segmentul de tangenta MT intr-un punct oarecare al curbei

th: 1

ch

x t tC

yt

19. Sa se afle tangenta polara MT , normala polara MN , subtangenta polara PT

i subnormala

polara PN intr-un punct oarecare al spiralei logaritmice:

, 0kC ae k

20. Fie un cerc de raz a . Fie A

un punct pe cerc i O

punctul diametrar opus lui A . O secant oarecare dus prinO

taie cercul în punctul C

i tangenta în A

la cerc în punctul B . Sa se afle locul geometric al punctului P astfel încât BP OC .

21. Eliminând parametrul

între ecuatiile parametrice ale curbei: 2

3

2 sin

sin2

cos

x a

C cisoida lui Dioclesy a

se ob ine ecuatia curbei sub form implicita:

22. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale strofoidei: 2 2 2 2 0x x y a x y

23. Sa se g seasc punctele de interesectie ale curbei C

definita parametric de ecua ile:

3

2

3

3

x t tC t

y t

i dreapta :

2 6 0d x y

24. Sa se scrie ecuatiie tangentelor duse prin originea 0,0O la curba :

24 13 4 \ ,

4 3 3 22 1

tx

tC tt

yt

25. Sa se scrie ecuatia explicit a curbei C

definita parametric de ecuatiile:

24 13 4 \ ,

4 3 3 22 1

tx

tC tt

yt

26. Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curba 3 3 2

3 0C x y x

paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate:

27. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n în punctul 1,1M la curba:

4

2 1

1

2

xx

xC

x

28. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n în punctul1

,32

M la curba:

24 13 4: \ ,

4 3 3 22 1

tx

tC tt

yt

29. Sa se scrie ecuatia tangentei i normalei în punctul 2, 1M

la curba: 3 2 2: 3 2 9 0C x x y y x

30. Sa se g seasc lungimile segmentelor de tangenta MT , de normala MN , subtangenta PT

i subnormala PN intr-un punct M situat pe curba:

: tg , , , ,1

2 2 4C y x x M

31. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , de normala MN i

subnormala PN în punctul 1,12

M la cicloida sin

t 0,2

1 cos

x t tC

y t

32. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , normala MN ,

subnormala PN în punctul 1,1M la folium-ul lui Descartes:

3 3

2 0C x y xy

33. Sa se calculeze lungimea subtangentei PT

la curba exponen ial :

, ,bxC y ae x a b - constante nenule

34. Sa se g seasc familia de curbe care au subtangenta constant i egal cu1

b

35. Sa se afle raza de curbura a l n i orului: x

y acha

, x

36. Sa se afle raza de curbura a cicloidei: sin

0,21 cos

x a t tC t

y a t

37. Sa se afle raportul dintre raza de curbura R i lungimea segmentului

normala MN corepunz tore curbei sin

0,21 cos

x a t tC t

y a t

38. Sa se afle curbura K

i raza de curbura R

în punctul 1, 1M

la curba: 3 3

2 0C x y xy , 2,x y

39. Sa se g seasc expresiile curburii K i razei de curbura R

în coordonate polare: cos

: sin

xC

y

40. Sa se g seasc curbura K

i raza de curbura R

în punctul4

M

la curbura:

5sin 2 , 0, 2C

41. Sa se calculeze curbura i raza de curbura a cardioidei: 2 1 cosa

în

punctul2

M

42. Sa se calculeze subtangenta PT i subnormala PN la cicloida:

sin:

1 cos

x a t tC

y a t

în punctul M arbitrar situat pe curba:

43. Sa se scrie ecuatia tangentei la curba politrop : 0 , 1m nx y m n

44. Fie curba 2: 1 xC y e

i M un punct arbitrar situat pe curba. Not m R , raza de curbura,

tS

i nS

lungimile segmentelor subtangenta, respectiv subnormala corespunz toare

punctului M . Calculati R.

45. Fie curba : cos , .n nC a n n

Not m nS - lungimea segmentului subnormala polara

i R

- raza de curbura. Atunci:

46. Fie curbura 2 3: , C y x px p . Sa se determine punctele singulare ale curbei

47. Fie curba 2 3 , C y x px p

i fie ,03

pA

un punct singular al curbei.

Specificati natura punctului A

48. Sa se determine punctele singulare ale curbei 22: 1C y x x

i Sa se scrie ecuatiile

tangentelor în aceste puncte.

49. Fie curba C

definita implicit de ecuatia: : , 0C F x y

i 0 0,M x y

un punct

singular. Care este conditia ca un punct sa fie nod.

50. Sa se afle punctele singulare ale curbei:

C : 3 3, 3 0, 0F x y x y axy a

51. Fie curba:

C :22, 0, , 0F x y y x a x b a b

Sa se studieze punctele singulare ale curbei. 52. Sa se g seasc punctele singulare ale curbei:

C : 4 2 32 0x ax y ay

53. Sa se discute natura punctelor multiple ale curbei:

2 3 , y x px p (parametru)

54. Fie curba plana C : 3 2 2 3 2 2, 2 2 0 F x y x xy yx y x y

Sa se stabileasc punctele singulare ale curbei.

55. Sa se determine punctele singulare ale curbei C : 22 1y x x i Sa se scrie ecuatiile

tangentelor în aceste puncte.

56. Sa se determine punctele singulare ale conicei dat pe ecuatia general :

211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a

57. Sa se precizeze concavitatea i convexitatea arcului de elips :

cos

y=bsint

x a tAB 0,t

58. Sa se studieze convexitatea i concavitatea curbei C : a (spirala lui Arhimede).

59. Sa se determine evolventa cercului de ecua ie:

cos

: sin

x a t

y a t, 0, 2t

60. Sa se determine evolven a lan i orului de ecua ie:

: x

y acha

0a

61. Sa se calculeze curbura intr-un punct oarecare al curbei:

C : sin

1 cos

x a t t

y a t

62. Fie curba de ecua ie:

C : x

y acha

, 0a (l n i orul)

Not m: 1

R- curbura curbei i nS - segmentul normala corespunz toare unui punct arbitrar pe

curba. Calculati 1

R

63. Fie curba de ecua ie:

C : kae , (spirala logaritmic )

Not m: 1

R- curbura curbei i nS - segmentul normala corespunz tor unui punct arbitrar pe

curba. Calculati 1

R

64. Sa se determine curbele plane ale c ror curbura este constant .

65. Sa se determine curbele plane ale c ror ecua ie intrinsec este:

2 2

1 a

R a b, a const

66. Sa se stabileasc ordinl de contact r în vârful 0,1V între parabola:

1C : 2

2

xy a

a

i l n i orul

2C : x

y acha

67. Sa se stabileasc ordinl de contact r în punctul 2,0A între elipsa:

1 :C

sin

x acost

y b t

i cercul:

22 42

20

c bx y

a a, 2 2 2c a b

68. Sa se determine cercul osculator intr-un punct M

al curbei plane C

dat pe ecuatiile sale

parametrice.

C : x x t

y y t

69. Fie C : 2 2 2x y r

ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :

C : y f x . Sa se scrie formulele pentru coordonatele cercului si pentru raza cercului

osculator.

70. Sa se scrie ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :

x

y acha

(l n i orul)

71. Sa se afle înf ur toarea familiei de parabole:

:C

2

212

xy x

c

72. Sa se afle înf ur toarea familiei de curbe:

:C

3 2

; ; 0F x y x y

73. Fie AB

un segment de lungime AB k

(const), care se deplaseaz sprijinindu-se cu cap tul

A pe axa OX

i cu cap tul B pe axa OY . Sa se afle înf ur toarea familiei de drepte AB .

74. Sa se afle înf ur toarea cercurilor de raz r

dat , care au centrele pe cercul 2 2 2x y R . ANS: D

75. Sa se afle înf ur toarea familiei de drepte 2

py mx

m în care m este parametrul variabil.

76. Sa se calculeze ecuatia desf uratei curbei plane dat de ecuatiile sale parametrice:

: x x t

Cy y t

77. Sa se afle desf urata elipsei:

cos

: , sin

x x tC t

y b t

78. Sa se afle desf urata parabolei:

:C

2 2y px

79. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale evolventei curbei plane de ecua ie:

: x x s

Cy y s

unde s este arcul pe curba.

80. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale evolventei curbei de ecua ie:

: x x t

Cy y t

Notãm:

81. Se consider curba plana:

sh ch:

2ch

x t t tC

y t

Sa se scrie ecuatiile parametrice ale ecua iei.

82. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale elocventei curbei plane de ecuatii parametrice:

sh ch:

2ch

x t t t

y t

Setul 2

1.Determinati ecuatiile parametrice ale curbei :

:C

2 2 2 2

2 2

0

0

x y z r

x y rx

2. Determinati ecuatiile implicite ale curbei:

:C

2cos

sin cos

sin

x r t

y r t

z r t

3.Ce reprezinta curba C definita prin ecuatiile parametrice:

cos

sin

x r

y r

z k

4. Determinati ecuatiile implicite ale curbei::

:C

cos

sin

x r t

y r t

z kt, 0, 2t

5. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei definita implicit prin:

:C

2 2 2

2 20

arctg

x y z

a by

z bx

6. Ce reprezinta curba definita parametric de ecuatiile:

:C

cos

sin , 0,2

x at t

y at t t

z bt

7. Stabiliti pozitia curbei de ecuatii parametrice:

:C

2

1 1, , , \ 1

1 1 1

t tx y z t

t t t

fata de planul P de ecua ie:

P : 2 4 2 3 0x y z

8. Sa se afle elementul de arc al elicei circulare:

:C

cos

sin , 0, 2

x a t

y a t t

z kt

9. Sa se afle lungimea arcului de curba:

:AB

cos

sin ,

x a t

y a t

z kt 0,

2k

10. Fie elicea circulara:

:C

2cos 2sin 5r t i t j t k

Sa se calculeze lungimea arcului AB

situat pe curba C

unde A

i B corespund bijectiv

valorilor 0t

i respectiv 1t .


:C

2sin

sin cos

cos

x a t

y a t t

z a t

12. Sa se afle punctele de interesectie dintre curba

:C

2 2 3,x t t

22 3 1,y t t 23 2,z t t t

i planul P

de ecua ie:

P : 6 0x y z

13. Sa se determine parametrul astfel încât curba:

:C

1,x t

t

1,

2y t

t

13 ,

3z t

t 0t

s fie tangenta la planul:

P : 2 3 2 2 0x y z

14. Sa se afle pozi ia planului P

de ecua ie:

P : 7 4 6 22 0x y z

fa de curba:

:C

1,x t

t

1 17 ,

2y t

t

13

3z t

t

15. Fie elicea circulara:

:C

cos , sin , x a t y a t z bt

Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba C în punctul curent.

16. Sa se scrie ecuatia planului normal la elicea circulara:

:C


în punctul curent pe curba.

17. Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba:

:C

2

2

2 0

2 0

x az

y bz

18. Sa se determine cosinu ii directori ai tangentei t la curba C

de ecua ie:

:C

cos , sin , x a t y a t z bt , t

19. Sa se g seasc o reprezentare ra ional a curbei definita implicit de ecuatiile:

2 2 2 2 0

0

x y z

x y z

20. Sa se determine ecuatia planului in care este situata curba în spa iu:

:C

3 3 33 2 4 , 4 3 2 , 2 4 3x t t y t t z t t , t

21. Sa se determine ecuatia planului in care este situata curba în spa iu::

:C

3 2 3 2 21 , , 5 2 3,x t y t t z t t t este:

22. Sa se g seasc parametrul real astfel încât curba:

:C

3 2 3 2 3, , 3 2 ,x t t y t t z t t t t t

s fie plana i Sa se scrie ecuatia planului care o con ine:

23. Sa se scrie ecuatiile tangentei i a planului normal la curba:

:C

cos , sin , ,t t tx e t y e t z e t

în punctul 0 1,0,1M

24. Sa se scrie ecuatiile tangentei i a planului normal în punctul 0 1,1, 1M la curba:

:C

2 2 22 3 6

2 3 0

x y z

x y z

25. Sa se determine punctele de pe curba: :C

2ln , 2 , , 0x t y t z t t , în care

planele normale sunt paralele cu dreapta: D : 4 0, x y y z .

26. Sa se scrie ecuatiile tangentei i planului normal la curba:

:C

2ln , 2 , , 0x t y t z t t

în punctul 0 0, 2,1M .

27. Sa se determine curba descris de intersec iile tangentelor la curba:

:C

2 3, , , x t y t z t t

cu planul xOy .

29. Fie curba de ecuatii:

:C

2 2

2 2

4 0

4 0

x z

x y

Calculati ecuatia tangentei t

i ecuatia planului normal nP în punctul 0 3,1,1M

31. Sa se scrie ecuatia planului osculator la curba :C

2 21, 2, 2x t y t t z t

în

planul curent , ,M x y z .

32. Sa se parametreze ecuatia implicita a curbei:

:C

22 1 2 0

3 0

z x

x y z

33. Sa se scrie ecuatia planului osculator oP

la curba de ecua ie:

:C

cos , sin , x a t y a t z bt (elicea circulara)

în punctul curent.

34. Sa se determine ecuatia planului osculator în punctul 0,0,0O la elicea conica:

:C

cos , sin , x t t y t t z at

35. Sa se determine ecuatiile normalei principale pN la curba:

:C


(elicea circulara)

în punctul M C

corespunz tor valorii 2

t .

36. Fie curba:

:C

cos ln , sin ln , x t a t y t a t z bt , atunci binormala nB

intr-un punct

, ,x y z C are ecuatiile:

nB : cos ln sin lnX t a t Y t a t Z bt

A B C,

Calculati A,B,C. 37. Sa se afle versorii triedrului lui Frenet intr-un punct M oarecare al curbei:

:C

cos , sin , x a y a z b (elicea circulara)

38. Sa se calculeze versorii triedrului lui Frenet corespunz tori curbei:

:C

cos , sin , x a y a z b (elicea circulara)

în punctul 0A .

39. Sa se scrie formulele triedrului Frenet.

40. Sa se calculeze curbura elicei circulare:

C : cos , sin , , x a t y a t z bt t


41. Sa se calculeze torsiunea elicei circulare:


42. Sa se afle raportul dintre curbura i torsiunea curbei:


43. Sa se afle curbura curbei:

C : cos ln , sin ln , x t a t y t a t z bt


44. Sa se afle torsiunea curbei:



45. Ce reprezinta curba pentru care raportul dintre razele de curbura i de torsiune este constant

46. Calculati unghiul V pe care îl face binormala la curba:


cu axa Oz într-un punctul curent

47. Calculati normala principala la curba C : cos ln , sin ln , x t a t y t a t z bt ,

t

într-un punctul curent

48. calculati parametrii directori ai normalei la planul osculator oP în punctul 1A t la curba


49. Sa se calculeze torsiunea curbei:

C : 2

1 1, ,

1 1 1

t tx y z

t t t

50. Fie curba în spa iu:

C : 22 ln , 0r t t i t j t k t

Sa se calculeze versorul tangentei , în punctul 2,1,0P i ecuatia tangentei la curba în

acest punct.

51. Sa se scrie ecuatia planului osculator în punctul 2,1,0P la curba:


52. Sa se scrie ecuatia binormalei la curba:


în punctul 2,1,0P .

53. Sa se scrie reprezentarea parametrica pentru Curba lui Viviani, definita implicit de ecuatiile:

0

022

2222

rxyx

rzyxC

54. Ce reprezinta curba definita parametric prin ecuatiile:

kz

ry

rx

C sin

cos

55. Ce reprezinta proiectia curbei:

0

022

2222

rxyx

rzyxC

pe planul x0y

56. Ce reprezinta proiectia curbei: cos

sin

x r

C y r

z k

pe planul xOy

57. Sa se calculeze elementul de arc pe elicea conica:

btz

taty

tatx

C sin

cos

58. Sa se dea reprezentarea elicei conice:

btz

taty

tatx

C sin

cos

sub forma unei ecuatii implicite

59. Sa se calculeze elementul de arc pe curba: cos

: sin , 0, 2

x a

C y a t

z k

60. Sa se determine lungimea arcului de curba AB pentru cos

: sin

x a

C y a

z k

unde punctele A si B corespund valorilor ,0 respectiv .

61. Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba:

2

2

1

2

2

tz

tty

tx

C obtinem ecuatiile implicite ..

62. Fie curba de ecuatii parametrica:

2

2

2

2

1

tz

tty

tx

C

Determinati ecuatia planului osculator intr-un punct arbitrar situat pe curba (C

63. Calculati ecuatia [lanul normal la curba de ecuatii parametrice:

2

2

2

2

1

tz

tty

tx

C

dus prin punctul M de parametru arbitrar t si situat pe curba (C) .

64. Fie curba de ecuatii parametrice:

btz

taty

tatx

C )lnsin(

lncos

Calculati ecuatia binormala in punctul curent

65. Fie curba (C) de ecuatii parametrice:

cos

: sin

x a

C y a

z b

Calculati versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru =0

67. Fie: 2: 2 , ln , , 0C x t y t z t t

ecuatia unei elice cilindrice. Sa se calculeze raportul dintre torsiune si raza de curbura.Ce observati ?

68. Sa se scrie ecuatia planului rectificatoror in punctul 2

(1, 1, )3

M situat pe curba.

3

2

3

2

:

tz

ty

tx

C

69. Fie ,4sin2cos2: ktjtitrC

o curba definita prin ecuatia sa vectoriala i

0 4M t un punct pe aceasta curba. Calculati ecuatiile tangentei si planului normal

70. Sa se gaseasca vectorii de pozi ie de pe curba:

ktjtit

rC 121

: 2

în care tangenta la curba este perpendiculara pe dreapta:

08

023

zx

yxd

Setul 3

1. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita implicit de ecuatia: 3: x y z

2. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:

2

u,v

x u

y v

z uv

:

3. Sa se scrie a doua forma fundamentala pentru suprafata definita parametric de ecuatiile:

2

cos

( ) : sin ,

x u v

y u v u v

z u v

4. Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

2

cos

( ) : sin ,

x u v

y u v u v

z u v

Sa se scrie ecuatiile planului tangent i a normalei în punctul 0 1,M u v

ANS: C

7. Fie suprafata: : cos , sin , S x u v y u v z a v

Sã se afle elementul de arie pe suprafatã.

8. Sa se determine punctul suprafetei 3 3 0x xy z a cãrui normala este perpendiculara pe

planul : 5 6 2 7 0x y z .

9. Fie suprafata: 2 2 3 3: 2 ; ; x u v y u v z u v

si punctul 3,5,7M . Sa se scrie ecuatia planului tangent la suprafata in punctul M

10. Fie suprafata: 2 2 3 3: 2 ; ; x u v y u v z u v

si punctul 3,5,7M . Sa se scrie ecuatia normalei la suprafata in punctul M

11. Fie suprafata : : 2 2 2 2, , x u v y u v z uv

Sa se calculeze elementul de arc pe curba

2 : 1v

situata suprafata

Setul 4

Geometrie Diferentiala Subiecte Propuse Sem II an 1 Geometrie Fara Raspuns

Documents

Transcript of Geometrie Diferentiala Subiecte Propuse Sem II an 1 Geometrie Fara Raspuns