CAP.1. DEFINI IE; SCOP; LEG TURILE CU ALTE DISCIPLINE, ISTORIC.Defini ii. Geodezia este tiin a care se ocup (Helmert-1880). De men ionat c defini ia lui Helmert este discutat n multe cercuri de specialitate, dar acceptat , pn la urm , aproape f r excep ii. Tendin ele de modificare existente n trecut, ca i n prezent, a acestei defini ii, au ntrunit la fel de multe contraargumente, astfel nct propunerile respective au fost retrase. Rezolvarea problemei fundamentale a geodeziei, i anume determinarea formei i dimensiunilor P mntului, se poate realiza, n principiu prin urm toarele metode: metode geometrice, care au constat la nceput din m sur tori de arce de meridian i de paralel, apoi din m sur tori complexe n re ele de triangula ie n scopul deducerii parametrilor de baz care definesc suprafa a de referin ; metode dinamice (fizice); metode astronomo-geodezice i cu sateli ii artificiali ai P mntului; Astfel de lucr ri complexe presupun n elegeri i cooper ri interna ionale care sunt coordonate de Uniunea Interna ional de Geodezie i Geofizic (UIGG). Primele afirma ii scrise n leg tur cu forma P mntului (imaginat ca un disc) sunt legate de istoria Mesopotamiei (sec XXX .C.), forma de disc fiind ntlnit Milet (anul 600 .C.), iar dup al ii, de Pitagora (anul 550 . C.). Prima determinare a razei unei sfere care aproximeaz figura P mntului se face mult mai trziu, de c tre Eratostene (276 195 .C.), care a determinat raza sferei terestre dup principiul M sur torilor graduale. Acesta a observat c n perioada solti iului de var (3 iulie), la amiaz , Soarele se proiecta n centrul unei fntni din localitatea Assuan (denumit n vechime Sienne). ntr-o alt localitate, Alexandria, la aceea i or , razele Soarelui f ceau un unghi ([) n raport de axa oric rei fntni. Eratostene i-a propus s m soare lungimea (s) cuprins ntre cele dou localit i i unghiul dntre ele ([). Cu ajutorul rela iei simple cunoscut din trigonometrie urma s se deduc raza P mntului. i n poemele homerice (sec X .C.). Ipoteza formei sferice a P mntului a fost emis dup uni istoriografi, de c tre Thales din cu m surarea i reprezentarea suprafe elor

GEODEZIE GENERAL

190

Alexandria R [ R

[ s Sienne (Assuan)s!Rrad

Soare

pR !

srad

Pe baza acestui principiu s-a calculat, pentru prima dat , raza P mntului ca fiind de 7350 km fa de cca 6370 km ct se accept ast zi ca valoare medie. Deci prima determinare mentionat n scrieri a avut o eroare de aproximativ 16%. Desigur, rezultatul ob inut de Eratostene nu era exprimat n sistemul metric, care a fost fondat mult mai trziu. Ulterior, W. Snellius (1617) fondeaz P mntului. n anul 1666 ia fiin Academia de tiin e din Paris, care i propune, printre alte obiective primordiale, determinarea m rimii razei P mntului, lucr ri pe care le ncredin eaz astronomului Jean Picard. Acesta determin , pe baza observa iilor ntr-o re ea de triangula ie desf urat n meridianul Parisului, ntre Malvoisine i Amiens, lungimea sfertului de meridian ca fiind 10009 km. Acest rezultat este considerat ca prima determinare din istoria geodeziei, care poate fi comparat cu rezultatele actuale, datorit preciziei de m surare i metodelor folosite. Disputa Newton Cassini n anul 1687, Newton fundamenteaz teoria sa asupra atrac iei universale pe baza c reia deduce c forma P mntului este reprezentat de un elipsoid, cu turtire la poli (turtirea f estimat n lucr rile sale ar fi egal cu 1:231). b O metoda triangula iei care va ndeplini, n continuare, un rol deosebit n cadrul metodelor pentru determinarea formei i dimensiunilor

a

GEODEZIE GENERAL

191

f !

a b a

n schimb, m sur torile efectuate de J. D. Cassini (1683-1718) conduc la un rezultat surpriz pentru lumea tiin ific de atunci: P mntul avea forma unui elipsoid, ns cu turtirea la ecuator, adic cu turtirea negativa f = 1:95.

O b

a

Aceste rezultate se datorau erorilor sistematice de m surare i imperfec iunii metodelor de prelucrare a observa iilor efectuate Disputa a fost clarificat mult mai trziu, prin efectuarea unor noi m sur tori, ntreprinse la ns rcinarea Academiei de tiin e din Paris n cadrul urm toarelor dou astronomo-geodezice: Peru (1735-1744) emisfera sudic ; Laponia (1736-1737) emisfera nordic . mari expedi ii

Urmarea acestor expedi ii a fost confirmarea afirma iilor lui Newton, turtirea la poli determinat atunci avnd valoarea 1:210. M sur torile graduale au continuat i n secolele XVIII-XX prin determinarea, direct sau din re ele de triangula ie, a unor arce de meridian, de paralel sau oarecari, de mari dimensiuni. Dintre aceste determin ri, datorit importan ei, se men ioneaz m sur torile graduale conduse de geodezul rus V. I. Sturve, ntinse pe o foarte mare lungime (peste 2000 km) care porne te de la Hammerfest (Norvegia) i se termin n Sulina (Romnia). Aceast lucrare s-a efectuat ntre anii 1816-1852 i n urma ei s-a dedus turtirea de 1:298,6. Valoarea merit o aten ie

GEODEZIE GENERAL

192

deosebit fiind extrem de apropiat de valoarea recomandat n anul 1980 de AIG (1:298,26), dovedind o tehnic de m surare i de prelucrare cu totul remarcabile pentru acea vreme. ncepnd cu anul 1957, n geodezie se folosesc rezultatele ob inute cu ajutorul sateli ilor artificiali geodezici ai P mntului pentru determinarea formei i dimensiunilor planetei noastre. n ara noastr , nceputul utiliz rii triangula iei este legat de desf urarea lucr rilor de ntocmire a h r ilor diverselor regiuni ale rii. Este de remarcat faptul c nv mntul geodezic referitor la aceast metod a premers acestei lucr ri, putndu-se men iona n acest sens lec iile de gheodezie de la coala lui Gh. Asachi (1813) i cea a lui Gh. Lazar (1818). n Transilvania i n ara Romneasc , primele lucr ri de triangula ie s-au desf urat la mijlocul secolului al XIX-lea. Deosebit de interesant apare triangula ia executat n ara Romneasc n perioada 1856-1867, format din cinci lan uri de triangula ie primordial , n interiorul c rora s-au efectuat lucr ri de triangula ie de ndesire, de ordinele II i III, potrivit tehnologiei clasice franceze. Acest triangula ie a servit ca re ea de sprijin pentru executarea unei h r i fundamentale topografice a Munteniei la scara 1:57600, care poate fi considerat ca prima hart modern pentru aceast parte a rii noastre. Despre o activitate geodezic organizat la noi n ar se poate vorbi ns dup anul 1861 si, n special, dup anul 1868 cnd se nfiin eaz Depositul sciintific de resbel, care, sub diferite denumiri ulterioare, a fost coordonatorul marilor lucr ri geodezice din ara noastr (Institutul geografic al armatei n 1895, apoi Institutul geografic militar n 1930 i din 1951 pn n prezent Direc ia topografic militar ). Au fost abordate lucr ri importante, dintre care planul topografic fundamental la scara 1:20000 i pentru celelalte regiuni ale Este de men ionat c rii a fost obiectivul principal (Moldova ntre anii 1873-1893, Dobrogea 1880-1884, Muntenia de Est 1893-1899). ara noastr f cea parte din anul 1861 din Asocia ia European pentru m sur tori graduale, precursoare a actualei Asocia ii Interna ionale de Geodezie, sub impulsul c reia s-au desf urat primele lucr ri de triangula ie la mijlocul secolului al XIX-lea (1856-1867) n Transilvania i ara Romneasc , terminate cu rezultate remarcabile pentru acea vreme. Planul unei triangula ii moderne pentru ntreaga ar este conceput n 1930, prev znduse printre altele: trecerea la elipsoidul interna ional Hayford (1909), proiec ia stereografic , desf urarea re elei de triangula ie n lungul meridianelor i paralelelor. n acela i sens trebuie

GEODEZIE GENERAL

193

men ionat re eaua de nivelment realizat dup primul r zboi mondial i compensat riguros n anul 1933. Dup anul 1951 se poate vorbi de o nou perioad n dezvoltarea geodeziei romnesti. n acest an s-a adoptat elipsoidul Krasovski (1942) i sistemul de proiec ie Gauss-Krger, crendu-se o nou re ea de triangula ie de stat de ordinul I-IV i o re ea de ridicare de ordinul V. Re eaua de trriangula ie astronomo-geodezic , primordial , a rii a fost continuu mbun t it prin efectuarea unor m sur tori geodezice, astronomice, gravimetrice de mare precizie, potrivit principiilor moderne de m surare i compensare a vastelor re ele de triangula ie. n aceea i perioad de timp (1955-1968) s-a creat re eaua modern de nivelment geodezic din ara noastr . Coordonatorul i realizatorul principal al acestor ample lucrari a fost Direc ia Topografic Militar . Un rol important n dezvoltarea geodeziei contemporane romne ti revine, de asemenea, Institutului de Geodezie, Fotogrammetrie, Cartografie i Organizarea Teritoriului, nfiin at n anul 1958. De i nu are legatur direct cu disciplina geodezie, apreciem c este necesar s se puncteze rolul acesteia n activitatea de cadastru care constituie specialitatea de baz a sec iei. Cadastrul reprezint sistemul unitar i obligatoriu de eviden juridic a terenurilor, cu sau f r construc ii, pe ntregul teritoriu al lor i de proprietar. Baza legal de organizare i func ionare n prezent a Cadastrului i C r ii Funciare, ca institu ii ale statului, este reglementat de Hot rrea Guvernulului Romniei privind organizarea si func ionarea Agen iei Na ionale de Cadastru i Publicitate Imobiliar publicat n Monitorul Oficial al Romniei la 9 august 2004. n baza legii men ionate, cadastrul constituie n exclusivitate atributul Agen iei Na ionale de Cadastru i Publicitate Imobiliar (ANCPI). Prin Oficiile de Cadastru i Publicitate Imobiliar (OCPI), organizate la nivelul jude elor i al Municipiului Bucure ti, precum i prin Centrul Na ianal de Geodezie, Cartografie, Fotogrametrie i Telede ectie (CNGCFT), organizat la nivel central, ca unit i de specialitate din subordinea ANCPI, se asigur ntocmirea documentelor cadastrale scrise, desenate i/sau stocate pe suporturi informatice. Geodezia particip la dezvoltarea i modernizarea cadastrului prin realizarea, necesar pentru pozi ionarea oric rui obiect modernizarea i ntre inerea unui sistem de referin tehnic , economic i rii, indiferent de destina ia

GEODEZIE GENERAL

194

sau fenomen n spa iul terestru. Sistemul rspectiv este materializat n fiecare ar inclusiv Romnia prin Re eaua National Geodezic de Referin , format dintr-un ansamblu de puncte geodezice repartizate ct mai uniform posibil pe ntreaga suprafa a teritoriului na ional, determinate n sisteme de coordonate corespunz toare. Aceast re ea reprezint infrastructura care permite pozitionarea exact n spa iul terestru a fiec rei parcele, a activit ilor desf urate n teritoriu, precum i a studiilor necesare proiect rii i execut rii obiectivelor de investi ii din toate ramurile economiei na ionale. Datele Geodezice de Referin urm toarele Date Geodezice de Referin cadastrului. Re eaua de Triangula ie de Stat elipsoidul de referin Krasovski (1940), orientat pe pilastrul mare al Observatorului astronomic din Pulkovo (Federa ia Rus ); planul de proiec ie stereografic 1970 (cu plan unic secant Bra ov); sistemul de nivelment Marea Neagr 1975, cu punct zero fundamental n reperul sistemul de altitudini normale (Molodenski). Re eaua de Nivelment de Stat de adncime protejat situat n Capela militar din Municipiul Constan a; Re eaua de Triangula ie de Stat de ordinele I, II, III i IV a fost constituit , la momentul ini ial, din cca 17150 puncte i completat cu o re ea de ndesire de ordinul V, constituit din cca 4700 puncte. Pe aceast re ea se pot sprijini opera iunile cadastrale, ncepnd de la nivelul parcelelor, pn la nivelul diviziunilor administrativ-teritoriale i la nivel na ional. Precizia n pozi ie planimetric (x, y) pentru re eaua de triangula ie de stat, n ansamblul s u, este estimat la s 10-15 cm, asigurndu-se o densitate ini ial de aproximativ 1 punct la 20 km2. Este de men ionat c n multe municipii exist re ele geodezice de sprijin, determinate cu precizii mai mari dect cea specificat pentru re eaua geodezic de stat. Aceste re ele au fost create, n decursul anilor, de ministere economice sau de administra iile locale, pentru scopuri proprii. Rezultatele finale au fost predate, de regul , oficiilor jude ene care r spundeau la acea vreme de activit ile geodezice, pentru a fi utilizate pe plan local. sunt acele m rimi care conduc la ncadrarea re elei oficiale, care urmeaz a se folosi n lucr rile de geodezice considerate n sistemul de coordonate corespondent. n prezent se folosesc n Romnia specialitate care se desfa oar n prezent n ara noastr , inclusiv cele executate n domeniul

GEODEZIE GENERAL

195

Din informa iile ob inute n teritoriu, cca 50% din punctele geodezice men ionate mai nainte au fost distruse, astfel nct, de i re eaua de triangula ie a fost bine configurat ini ial, se situeaz n prezent sub nivelul standardelor interna ionale. Din aceeste motive, sunt necesare fonduri anuale pentru refacerea i completarea retelei geodezice, n zonele considerate ca prioritare de c tre fiecare jude , prin utilizarea tehnologiilor moderne, care sunt mai pu in costisitoare, comparativ cu tehnologiile clasice. Re eaua de Nivelment de Stat de ordinele I, II, III i IV a fost constituit , la momentul ini ial, din cca 14000 repere i m rci de nivelment, completat cu o Re ea de ndesire de ordinul V, constituit , la momentul ini ial, din cca 250 repere i m rci de nivelment. Re eaua altimetric de ordinul I a Romniei acoper uniform teritoriul rii, fiind una dintre cele mai apreciate din Europa. Chiar dac multe m rci i/sau repere de nivelment au fost distruse, re eaua existent este suficient de dens pentru a fi folosit ca re ea de sprijin n efectuarea lucr rilor topografice na ionale. n anii de dup Revolu ia din 1989, s-a introdus, sporadic, tehnologia de determinare a punctelor geodezice n sistemul pozi ion rii globale GPS (Global Positioning System). Exist , pe teritoriul Romniei, o serie de puncte determinate cu tehnologia GPS, att n scopuri civile ct i militare, apar innd unor re ele europene, dar care nu sunt constituite nc ntr-o re ea GPS omogen pe teritoriul rii. De aceea este necesar realizarea Re elei Na ionale GPS a Romniei, compatibil cu re elele similare existente de mai mul i ani n celalte ri din Europa, inclusiv n unele ri vecine. n anul 2003, ICGFC a nceput crearea acestei re ele, cu determinarea unui num r de cca 300 puncte geodezice. Se preconiza c la finele anului 2005 re eaua s cuprind un num r de cca 3500 puncte geodezice, uniform r spndite n teritoriu i cu multiple leg turi la actuala re ea geodezic de sprijin precum i la sta ii GPS permanente, situate n mai multe ari europene, ceea ce, din p cate, nu s-a realizat. Triangula ia, denumit uneori i geodezia geometric este o metod de determinare a coordonatelor geodezice-geografice B;L -N,P, (pe elipsoidul de referin ) sau a coordonatelor x, y (n planul de proiec ie) a unei re ele de puncte situate pe suprafa a P mntului. i cadastrale realizate n diverse sectoare ale economiei

GEODEZIE GENERAL

196

Pentru determinarea celei de-a treia coordonat , a a numit determinare a cotelor prin nivelment geometric.

cot

a punctelor de i posibilitatea de

triangula ie (H), se utilizeaz nivelmentul trigonometric, nefiind ns exclus

n acest fel, pozi ia n spa iu a unui punct din re eaua de triangula ie este definit , n mod curent, n raport cu doua suprafe e de referin : pe de o parte elipsoidul pentru coordonatele (B; L -N,P), sau planul de proiec ie pentru coordonatele (x,y) i pe de alt parte, geoidul pentru altitudinea (H), n func ie de sistemul de cote acceptat oficial. De aceea, una din problemele tiin ifice pus raport cu elipsoidul de referin . n metoda trilatera iei, pozi iile punctelor de pe suprafa a fizic a P mntului, sunt determinate n anumite sisteme de referin numai pe baza m sur torilor de distan e. Denumirea de trilatera ie se justific prin acea c la baza metodei respective st configura ia elementar , triunghiul cu toate cele trei laturi m surate. din nou n actualitate de o serie de speciali ti,este determinarea celor trei coordonate n raport cu o singur suprafa , eventual n

GEODEZIE GENERAL

197

CAP.2 SUPRAFE E DE REFERINReprezentarea suprafe ei P mntului, cu neregularit ile deosebit de variate pe care le prezint , nu se poate realiza fidel, ci doar prin intermediul unor generaliz ri, bazate pe anumite legi sau conven ii, astfel nct suprafa a considerat s fie ct mai apropiat de realitate. Suprafa a matematic care aproximeaz cel mai bine, suprafa a real a P mntului, s-a considerat a fi cea a unui elipsoid de rota ie ( n jurul semiaxei mici). 2.1Suprafa a de nivel .Geoidul. Elipsoidul. Planul de proiec ie. Un punct situat pe suprafa a fizic a P mntului este supus la ac iunea a dou for e principale: for a centrifug , datorit rota iei P mntului n jurul axei sale, i for ei de atrac ie terestr . Rezultanta acestor for e principale , la care trebuie s ad ug m i for ele de atrac ie ale altor planete, este o for Aceast denumit gravitate sau greutate, a c rei direc ie este dat de pozi ia firului cu plumb, dup care se realizeaz ntotdeauna calarea instrumentelor geodezice. prim direc ie fundamental din natur , la care se refer orice m sur toare geodezic , trebuie luat n considerare la adoptarea i folosirea diferitelor sisteme de referin . Suprafa a construit astfel nct s fie perpendicular , n oricare din punctele sale, pe direc ia gravita ii, se nume te, suprafa de nivel.( Clairaut i Laplace). Din infinitatea acestor suprafe e de nivel cea mai important o constituie geoidul. Geoidul este suprafa a de nivel zero i avnd ca imagine fizic , ntr-o aproxima ie destul de mare, suprafa a medie i lini tit a m rilor i oceanelor, prelungit pe sub continente Elipsoidul este figura geometric , conven ional , fa de a c rei suprafa se define te

geoidul cu toate elementele sale proiectate pe suprafa a elipsoidului. De aceea elipsoidul se nume te de referin . Pe elipsoidul de referin se definesc pozi iile tuturor punctelor n sistemul interna ional al coordonatelor geografice geodezice. Exist posibilitatea nlocuirii elipsoidului de referin ( pentru suprafe e mici) prin sfera

de raz medie ( sfera Gauss) de raz R= M * N . ( M = raza de curbur a elipsei meridiane i N = raza de curbur a primului vertical, calculate pentru un punct situat n centrul teritoriului considerat.)

GEODEZIE GENERAL

198

Suprafa a fizic a P mntului P V P1 P2 P' Suprafa a geoidului u N Suprafa a elipsoidal

N1

N2

Fig.1-Reprezentarea punctelor pe elipsoidul de referin n caz general, verticala V la suprafa a geoidului, care trece printr-un punct oarecare P situat pe suprafa a P mntului, nu coincide cu normala N la suprafa a elipsoidului care trece prin acela i punct,ci formeaz cu aceasta un unghi oarecare u, denumit unghi de devia ie a verticalei. n metoda proiect rii se procedeaz la aducerea elementelor m surat (direc ii, lungimi) pe suprafa a elipsoidului, prin aplicarea unor corec ii. Exist dou posibilit i n acest sens, care pot fi sintetizate astfel: Metoda Pizzetti. Punctul P de pe suprafa a fizic a P mntului (fig.1) este proiectat mai nti, cu ajutorul verticalei V, pe suprafa a geoidului n P1, urmnd ca apoi, cu ajutorul normalei N1 la elipsoid, s fie proiectat n P2, pe suprafa a elipsoidului de referin . Metoda presupune cunoa terea curburilor verticalelor, necesare corec iilor i de aceea nu a cunoscut a aplicabilitate practic deosebit . Metoda Bruns-Helmert. Punctul P de pe suprafa a fizic a P mntului este proiectat n P pe suprafa a elipsoidului, cu ajutorul normalei N2 la aceast suprafa . Aceast metod este mult mai practic . Coordonatele tuturor punctelor triangula iei de stat din ara noastr se determin prin metoda proiect rii Bruns-Helmert. Calculele se bazeaz pe coordonatele re elei astronomo geodezice, compensat n 1958 n urm torul sistem:

GEODEZIE GENERAL

199

1 2

Elipsoidul de referin

este elipsoidul Krasovski 1942 cu urm torii parametri: a =

6378245 (m) i f = 1:298,3; Punctul fundamental este punctul Pulkovo cu urm toarele coordonate: latitudinea = 59o4615,359, longitudinea = 30o1928,318. Azimutul geodezic din Pulkovo (piramida A) spre punctul Bugr este 121o0642,305. Planul de proiec ie. n re elele de triangula ie de ndesire, datorit num rului extrem de mare al punctelor, nu se mai pot folosi comod calculele pe elipsoid sau pe sfera medie, fiind necesar adoptarea unei suprafe e plane, prin adoptarea unui anumit sistem de proiec ie

cartografic . Din anul 1951, n ara noastr a fost folosit sistemul de proiec ie conform Gauss Kruger, suprafa a rii fiind cuprins n fusele 34 i 35 cu meridianele axiale de 21o i 27o, iar din anul 1970 s-a trecut la proiec ia stereografic 1970 .

Dimensiunile unor elipsoizi de referin Elipsoid Anul Semiaxa mare a(m) 6.375.653 6.377.397 6.378.243 6.378.388 6.378.245 6.378.137 6.378.137.

Delambre 1800 Bessel 1841 Clarke 1880 Hayford 1909 Krasovski 1940 Sistemul geodezic 1980 de referin 1980 WGS84 (World Geodetic 1986 System)

Tabelul .1 Semiaxa Turtirea mic numeric b(m) f 6.356.564 1:334.0 6.356.079 1:299.2 6.356.515 1:293.5 6.356.912 1:297.0 6.356.863 1:298.3 1:298.257 1:298.257

GEODEZIE GENERAL

200

CAP.3 SISTEME DE COORDONATEn vederea determin rii locului pe care-l ocup un anumit punct pe suprafa a terestr , trebuie definit pozi ia acestuia fa de un anumit sistem de referin . Aceasta se face prin coordonate geografice sau coordonate plane (rectangulare, polare). 3.1.Coordonate geografice. Cu ajutorul lor se indic pozi ia unui punct n orice moment (t), cu precizie foarte mare. Consider m P mntul ca fiind o sfer . Planul de referin coordonatelor geografice l constituie planul ecuatorial. Acesta are o pozi ie normal fa al de axa

de rota ie a p mntului (N-S) i-l mparte n dou p r i egale. Intersec ia dintre planul ecuatorial i sfera P mntului este un cerc mare numit cerc ecuatorial. Dac intersect m sfera terestr cu planul care con ine axa de rota ie a P mntului ob inem tot cercuri mari numite cercuri longitudinale sau meridiane. Dac intersect m sfera terestr cu planuri paralele cu planul ecuatorial ob inem cercuri mici, numite cercuri de latitudine sau paralele. Cercurile meridiane i paralele sunt perpendiculare ntre ele. Cercul ecuatorial are 360o, avnd originea la intersec ia acestuia cu cercul meridian ce trece prin Greenwich. Gradarea ncepe co 0o spre E i V. Arcul de cerc meridian ce porne te de la ecuator c tre polul N i S se mparte n 90o determinnd latitudini nordice i sudice.

Pozi ia unui punct poate fi definit prin : GEODEZIE GENERAL 201

a) coordonate geografice unghiulare: N iP; b) coordonate curbilinii: E i F;. N = latitudine geografic ecuatorial. P = longitudine geografic i reprezint unghiul diedru dintre planul meridianului origine i planul meridianului ce trece prin punctul P. E = longitudinea = lungimea arcului ecuatorial cuprins ntre intersec ia meridianului origine i ecuatorul i intersec ia meridianului punctului P cu ecuatorul. F = latitudinea = arcul din cercul meridian ce trece prin punctul considerat (P), cuprins ntre ecuator i punctul P. OBSERVA IE: Coordonatele geografice nu se folosesc n topografie, ns stau la baza calcului coordonatelor punctelor de triangula ie de ordinul I din re eaua 3.2.Coordonate plane - (X,Y) Pentru determinarea coordonatelor absolute X i Y se folosesc i coordonatele relative: XA ; YA coordonate absolute cunoscute pentru punctul A; XB ; YB coordonate absolute ce trebuie determinate pentru punctul B; (XAB ; (YAB - coordonatele relative ale punctelor A;B. XB = XA + ( XAB; ( XAB = dAB*cosUAB. YB = YA + ( YAB ; ( YAB = dAB*sinUAB. Sisteme rectangulare folosite la noi n ar au fost: sistemul matematic, sistemul geodezic, sistemul astronomic i sistemul cadastral. Harta veche a astronomic. rii a folosit i sistemul cadastral. n Banat i Ardeal s-a folosit i sistemul rii. i reprezint unghiul f cut de verticala punctului P cu planul

GEODEZIE GENERAL

202

Pozi ia n spa iu a oric rui punct poate fi definit prin coordonate rectangulare sau prin coordonate polare.

Fig. 4 Sisteme de coordonate n spa iu Coordonate rectangulare: XP - abscisa punctului; YP- ordonata punctului; GEODEZIE GENERAL 203

HP cota punctului (m surat pe vertical n punctul P, deasupra planului de cotare) Coordonate polare: D distan a polar , (distan a m surat n teren dup panta acestuia); d distan a n plan; U = azimutul (orientarea geografic ) E - unghiul de pant al terenului; z unghiul zenital. z E ! 100 g Rela ii ntre coordonate: Din triunghiul OPP d = D*cosE = D*sin z; Din triunghiul OPXP XP = d*cosU = D*cos E*cosU = D*sin z *cosU; Din triunghiul OPYP YP = d*sinU = D*cos E*sinU = D*sin z *sinU; Din triunghiul OPP HP = D*sin E = D*cos z ; HP = d*tg E = d*ctg z ; Se observ deci c pentru stabilirea pozi iei unui punct n cadrul unei re ele este nevoie s facem m sur tori unghiulare i liniare. 3.3 Sisteme de coordonate naturale Denumirea de coordonate naturale, cu care se lucreaz n geodezie, urm re te ndeplinirea unui dublu deziderat: pe de o parte se exprim modalitatea de definire a sistemului sau coordonatelor respective (n raport de m rimi naturale), iar pe de alt parte se indic leg turile directe dintre acestea i procedeele de m surare( determinare). 3.3.1 Sistemul cartezian geocentric Sistemul natural global cartezian geocentric este considerat drept sistemul fundamental al geodeziei. Coordonatele carteziene X, Y, Z sau diferen e de aceste coordonate, ob inute n geodezia satelitar , definesc pozi ia punctului P (fig.5) situat pe suprafa a fizic a P mntului.

GEODEZIE GENERAL

204

it as

tr on o

mic

)

Z ( ze a n

Z (CIO) S' R'1

R Do 0

Xa ( D ^ E nor E da s tro nom ic )H OR

st (e a Y

t as

ro

m no

ic )

Pp

g

linie de forta

O

Po Y

0geo idX (GAM)

*

Fig. 5 Sisteme de coordonate naturale Pozi ia punctului P poate fi definit , de asemenea, prin alte coordonate globale i anume coordonatele astronomice *, 0 (latitudine i longitudine astronomic ) completate cu altitudinea ortometric H OR . Aceste coordonate vor fi denumite coordonate astronomice globale (de i

H OR nu este dedus prin metode astronomice). Latitudinea astronomic este unghiul format de verticala punctului P cu planul geoidului. Longitudinea astronomic L este unghiul diedru format de planul meridianului astronomic al punctului Greenwich, cu planul meridianului astronomic al punctului P. Coordonatele astronomice i L determin pozi ia verticalei n punctul considerat. Odat cu aducerea axei principale a oric rui instrument geodezic n pozi ie vertical , se ncadreaz observa iile geodezice n sistemul natural de referin men ionat. 3.3.2 Sistemul astronomic local Sistemul n care punctul de sta ie P ndepline te rolul de origine a sistemului (topocentru) se nume;te sistem local. Sensul pozitiv al axelor de coordonate este considerat cnd: - axa Za este ndreptat dup tangenta la linia de for , c tre zenitul astonomic; GEODEZIE GENERAL 205

- planul XaYa este perpendicular pe direc ia gravit ii (este numit i plan orizontal); - axa Xa este situat n meridianul astronomic al punctului considerat (direc ia nord), iar axa Ya este ndreptat spre direc ia estului astronomic. Evident, fiec rui punct de sta ie i corespunde un alt sistem astronomic. n raport cu topocentrul, pozi ia oric rui punct nvecinat poate fi exprimat prin coordonatele carteziene astronomice locale XaYaZa. n sistemul astronomic local pozi ia unui punct R, aflat n leg tur direct cu punctul de sta ie care ndepline te rolul de topocentru, poate fi exprimat observa ii geodezice (fig.5): - Do - distan a nclinat dintre cele dou puncte - E - azimutul astronomic, care este unghiul dintre direc ia PR i meridianul astronomic al punctului de sta ie0 - ^ - unghiul zenital, care este unghiul dintre verticala locului i direc ia PR 0 M sur torile Do,E, ^ ( completate, dup caz, cu

i n func ie de urm toarele

) sunt denumite i coordonate astronomice

polare locale. Leg tura dintre cele dou categorii de coordonate naturale locale este:

a

cos E sin ^

0

a

! Ya Za

3.4 Sisteme de coordonate conven ionale Sistemele de coordonate denumite conven ionale sunt definite n raport cu elipsoidul de referin (fig. 6) pe care se proiecteaz re elele geodezice de sprijin de ordin superior. n compara ie cu sistemele naturale de coordonate, care se raportau direct la procesele de m surare, se consider c sistemele conven ionale de coordonate se raporteaz , de regul , la procesele de calcul.

0 ! D 0 sin E sin ^ cos ^ 0

GEODEZIE GENERAL

206

R'' A' b ' D Ao

z

Z

_

P

E

P' 0

A

O L

_

B

B

_

D

_ x

Fig. 6 Sisteme de coordonate conven ionale 3.4.1 Sistemul global elipsoidal Sistemul cartezian global elipsoidal X , Y , Z , (fig. 6) este omolog cu sistemul cartezian global geocentric. Avnd n vedere modalitatea de determinare a oric rui elipsoid de referin , rezult o apropiere mare, pn aproape de coinciden , a originilor O i O ale celor dou sisteme de coordonate i de asemenea a axelor de coordonate

, Y , Z i , Y, Z (fig. 5 i 6).

Pozi ia punctului P, situat pe suprafa a fizic coordonatele carteziene

a p mntului, poate fi definit

, Y , Z , n raport cu originea O .

Prin analogie cu coordonatele naturale F, L, HOR se definesc coordonatele elipsoidale B, L, HE, prin care se poate descrie, de asemenea, pozi ia punctului P n sistemul global elipsoidal: - latitudinea geodezic B este unghiul format de normala la elipsoid n punctul P cu planul ecuatorului elipsoidului de referin - longitudinea geodezic L este unghiul diedru format de meridianul geodezic al punctului P cu meridianul geodezic al punctului Greenwich

GEODEZIE GENERAL

normala la eli soi

Zg (z

E

e i t ge o e zic )zic) o e t ge es Yg (

''

R

Xg

r ( o

geo

c) ezi

Y

_

prin

207

- altitudinea elipsoidal

HE este segmentul de normal

cuprins ntre pozi ia punctului pe

suprafa a fizic (P) i proiec ia sa pe suprafa a elipsoidului (Po). 3.4.2 Sistemul elipsoidal local Prin analogie cu sistemul astronomic local descris se poate defini sistemul elipsoidal local (fig. 6), n care punctul de sta ie P ndepline te rolul de origine, iar axele de coordonate au sensul pozitiv dup cum urmeaz : - axa Zg este orientat dup normala la elipsoid n punctul P considerat, c tre zenitul geodezic - axa Xg este situat n meridianul geodezic al punctului P (direc ia nordului geodezic) - axa Yg este orientat spre estul geodezic0 Din compararea fig. 5 i 6, rezult c m sur torilor E i ^ le corespund, n sistemul elipsoidal

local: - azimutul geodezic A - unghiul zenital elipsoidal ^E Distan a nclinat (m surat ) Do este preluat f r modific ri i n sistemul elipsoidal local. Prin urmare, pozi ia punctului R poate fi descris n acest sistem prin utilizarea m rimilor A, ^E i Do. Acestea sunt denumite i coordonate elipsoidale polare locale.

GEODEZIE GENERAL

208

CAP.4 DATE GEODE ICE FUNDAMENTALE DE REFERINDatele geodezice fundamentale de referin determin pozi ionarea sistemului de coordonate utilizat n interiorul sistemului cartezian geocentric. De i n principiu opera iunea men ionat poate fi realizat pentru oricare dintre sistemele de coordonate posibile, n geodezie intervine n mod deosebit, i aproape exclusiv, ncadrarea sistemului de coordonate global elipsoidal

X , Y , Z (fig.6) n sistemul cartezian geocentric X, Y, Z (fig.5).

La noi n ar punctul geodezic care a ndeplinit rolul principal n opera iunea men ionat a fost numit punct geodezic fundamental. n plus, sistemul X,Y,Z de referin , este denumit i sistem fundamental geodezic, ca urmare a rolului pe care l ndepline te. Determinarea datelor geodezice fundamentale de referin , precum i a punctului geodezic fundamental constituie una din problemele importante i n acela i timp dificile, ale geodeziei, pentru care se cunosc diferite rezolv ri (Helmert 1880 i 1962, Krasovski 1955, Heiskanen Moritz 1967, Torge 1975, Groten 1979 etc.). Dificult ile de rezolvare a problemei men ionate sunt func ie direct de complexitatea acceptat la formularea problemei ns i. Astfel, sub forma sa cea mai general , determinarea datelor geodezice fundamentale de referin 7): 1 coordonateleX 0 , Y0 , Z 0

ar include determinarea urm torilor parametri (fig.

ale originii sistemului global elipsoidal n interiorul sistemului

cartezian geocentric; 2 3 unghiurile de rota ie geocentric; deoarece se anticipeaz utilizarea elipsoidului ca suprafa de referin la rezolvarea problemelor geodezice, la cei 6 parametri men iona i se adaug parametri a (semiaxa mare) i f (turtirea) care definesc elipsoidul (optim) corespondent. 4.1.Datele geodezice fundamentale de referin de ri, un continent .a.). servesc la ncadrarea optim a elipsoidului de referin n interiorul geoidului, pentru suprafa a avut n vedere (o ar , un grupI X ,IY ,I Z

ale axelor sistemului elipsoidal n raport cu sistemul

GEODEZIE GENERAL

209

uF (CIO) ZCTS | ZT Ze F

or F

F0''

F0'

Elipsoidul de referin ZO XOe

Oe YOeO

BF

Ye YCTS *F

O 'e'

LF 0F Xe XCTSGeoidul

Fig. 7. Datele geodezice fundamentale de referin . Se consider F un punct fundamental pentru care se cunosc att coordonatele astronomice de pozi ie (*F, 0F) ct i coordonatele geodezice elipsoidale (BF, LF). Punctul F este un punct de la care se ncep calculele n re eaua geodezic considerat i de aceea el este denumit punct fundamental. De regul , punctul fundamental este reprezentat de un observator astronomic cu mare tradi ie (cu peste 100 ani vechime sau chiar mult mai mult) n care exist un pilastru principal al c rui centru reprezint a a numitul punct fundamental. Exemple: 1. n anul 1930 s-a adoptat ca punct fundamental pentru Romnia observatorul astronomic militar din Dealul Piscului cu o vechime de 120 ani. Acest observator ca punct fundamental al re elei de triangula ie a Romniei a fost folosit n perioada 1930-1950. GEODEZIE GENERAL 210

2. Observatorul de la Pulkovo, situat n Federa ia Rus , la cca 2000 km de Bucure ti, are o vechime de cca 200 ani. A fost folosit ca punct fundamental pentru re eaua Europei de est, iar pentru Romnia ntre 1950 i pn n prezent. Asa cum se observa din fig. 7:B F { L F {F F

(4.1)

F0" = punctul n care verticala locului intersecteaz geoidul; F0' = punctul n care normala la elipsoid intersecteaz elipsoidul.

Leg tura dintre coordonatele astronomice i coordonatele elipsoidale se poate urm ri efectund o sec iune vertical prin punctul fundamental F. uF FgFor F

He F

d F0d NF d d d F0d F0

Elipsoidul EElipsoid Geoidul

Fig.8. Sec iune vertical prin punctul fundamental F. Pe figur s-au notat:u F devia ia verticalei n punctul F, cu componentele astronomo-geodezice: N F ondula ia geoidului in punctul fundumental F;

Se demonstreaz n geodezia superioar urm toarele ecua ii:ag * F ! BF \ F ; ag 0 F ! LF L F sec * S ;

(4.2)

\ ag componenta astronomo-geodezic n meridian; F

GEODEZIE GENERAL

211

Lag componenta astronomo-geodezic n primul vertical. F

Pe altitudini:H e ! H or N F ! H n ^ F , F F F

(4.3)

NF ondulatia geoidului n punctul fundamental F; ^ F perturban a (anomalia) altitudinii n sistemul normal al lui Molodensk folosit actualmente oficial n Romnia . A a cum este reprezentat i n figurile 7 i 8, n realitate uF { 0, NF { 0. 4.1 Principiile metodei Helmert Aceast metod a fost folosit de c tre Hayford n anul 1909 la determinarea parametrilor primului elipsoid interna ional, care i poart numele. n metoda Helmert se neglijeaz unghiurile de rota ie dintre axele de coordonate ale celor dou sisteme men ionate.I X ! I Z ! IY ! 0

; determinarea coordonatelorX 0 , Y0 , Z 0

n continuare, este nlocuit

cu determinarea

componentelor devia iei verticalei \ 0 ,L 0 fundamental P0 . Prin intermediul celor trei m rimi

i a ondula iei geoidului N 0 n punctul geodezic

\ 0 ,L 0 , N 0

se realizeaz , de asemenea, pozi ionarea i

orientarea elipsoidului de referin n interiorul geoidului. Deci, parametri care definesc datele geodezice fundamentale de referin sunt: \ 0 ,L 0 , N 0 , a , f . Pentru a putea efectua prelucrarea datelor pe suprafa a elipsoidului de referin , este necesar , n principiu, cunoa terea unui azimut geodezic ini ial A01 , precum i lungimea unei linii geodezice ini iales 01

n metoda Helmert

din punctul fundamental

re elei considerate se poate determina i ulterior n etapa de prelucrare a datelor, prin utilizarea unui num r oarecare de distan e m surate, de obicei se face abstrac ie de lungimea s 01 n acest stadiu al calculelor. Metoda Helmert presupune o re ea geodezic determin ri astronomice , i de suprafa , n care s-au efectuat , m sur tori de baze geodezice, observa ii unghiulare sau de

direc ii. Punctele n care s-au efectuat determin ri astronomice complete sunt denumite puncte GEODEZIE GENERAL 212

0

spre un alt punct P1 din re ea. Deoarece scara

Laplace i num rul lor este mai mic n compara ie cu num rul total al punctelor geodezice din re eaua considerat . Calculele se vor efectua pe un elipsoid oarecare, ai c rui parametri a i f sunt considera i ca valori provizorii. Metoda caut s determine al i parametri (a i f), pentru un elipsoid care s corespund n mod optim re elei considerate: a ! a 0 da0 i f ! f df

M rimile da i df urmeaz a fi determinate pe baza algoritmului de calcul elaborat de Helmert i sunt exprimate: da - n metri, df - m rime adimensional Triangula ia veche a Romniei (pn la al II-lea r zboi mondial) s-a bazat pe existen a punctului fundamental n Bucure ti, pe Dealul Piscului la observatorul astronomic militar(OAM). S-a acceptat tangen a elipsoidului la geoid n punctul fundamental, iar orientarea elipsoidului Hayford folosit s-a bazat doar pe determin rile astronomice. Actuala triangula ie a Romniei ( i a altor geodezice fundamentale: 1 2 elipsoidul de referin este elipsoidul KRASOVSKI punctul fundamental al re elei este punctul PULKOVO (Rusia) avnd ri europene) se bazeaz pe urm toarele date

orientarea spre punctul BUGR i are urm toarele coordonate : B = 5946'15", 359 L = 3019'28", 318 A = 12106'42", 305 n func ie de m rimea suprafe ei acoperite de observa iile geodezice i astronomice avute la dispozi ie, determin rile datelor geodezice de referin au un caracter local (cnd re eaua mic sau astronomo - geodezic acoper o anumit zon dintr-o ar sau o ar de suprafa

medie) sau un caracter regional continental (cnd re eaua astronomo - geodezic acoper astfel de teritorii). Rezultatul final este diferit de la caz la caz, constnd n determinarea unui anumit elipsoid specific care prin dimensiuni, pozi ie i orientare, aproximeaz geoidul n mod optim, dar numai pentru suprafa a considerat (sau cel mult pentru zone nvecinate). n determinarea datelor geodezice fundamentale se mai ine cont i de diferen ele existente ntre m rimile astronomice i m rimile geodezice.

GEODEZIE GENERAL

213

Pentru re elele locale ca date de referin

pot fi folosite urm toarele: coordonatele unui

punct preluate din re eaua de stat precum i orientarea unei laturi din re ea. 4.2 Punctul fundamental n re eaua de nivelment (punctul zero) Re elele de nivelment de stat sunt racordate la un punct fundamental numit i punct zero fundamental sau punct origine. Stabilirea i utilizarea punct fundamental implic n principiu urm toarele probleme: 1.Problema amplasamentului punctului zero fundamental Solu ionarea acestei probleme se poate face prin : a) Amplasarea punctului zero fundamental n imediata apropiere a coastelor m rilor i oceanelor care ofer avantajul unor leg turi directe cu volum minim de lucr ri ntre acest punct i i se nregistreaz varia ia n timp a nivelului m rii instrumentele prin care se controleaz

respective. Stabilitatea reperului ns este mic din cauz c n zonele de coast se produc mi c ri pe vertical destul de nsemnate n decursul anilor. b) Amplasarea punctului zero fundamental n zone stabile (zone stncoase) din punct de vedere geologic la o dep rtare oarecare de nivelul m rii. 2.Problema verific rii stabilit ii punctului zero fundamental n acest sens se prezint urm toarele solu ii practice: a) Stabilitatea reperului este urm rit n raport cu nivelul m rii cu care reperul se afl n leg tur . Rezultatele nu sunt ns exacte deoarece nivelul m rilor este n continu modificare n timp. nregistrarea varia iilor temporale ale nivelului m rii se realizeaz prin dispozitive speciale numite maregrafe sau mire maritime. Fiecare maregraf este racordat la 3 - 5 repere de nivelment (unul dintre acestea fiind denumit reper principal) amplasat n apropierea maregrafului, iar prin intermediul nivelmentului de coast datele sunt transmise la re eaua de nivelment de stat. n plus sunt necesare informa ii cu privire la condi iile climaterice, temperatur m rii pentru a putea efectua prelucr rile matematice ulterioare. La noi n ar i densitatea apei sunt instalate

maregrafe n portul Constan a, Tomis i Mangalia. Pe baza datelor nregistrate la maregraful din Constan a, pe o perioad de aproximativ 40 de ani, s-a determinat viteza de cre tere a nivelului M rii Negre ca fiind de + 4 mm / an. b) Maregrafe instalate n lungul coastei la intervale de 100 - 300 km racordate ntre ele printr-o re ea de nivelment geodezic repetat la anumite intervale de timp.

GEODEZIE GENERAL

214

c) Pentru punctele zero - fundamentale amplasate n zone continentale cu mi c ri crustale verticale mici, problema stabilit ii nu se mai pune. Sistemul de nivelment folosit n prezent n ara noastr este denumit sistem Marea Neagr 0 1975

GEODEZIE GENERAL

215

CAP.5 TIPURI DE M SUR TORI EFECTUATE N RE ELELE GEODE ICELucr rile efectuate n re elele geodezice de sprijin au ca obiectiv final determinarea coordonatelor punctelor re elei ntr-un anumit sistem de referin . Pentru a realiza acest obiectiv n re elele geodezice se efectueaz diferite m sur tori, a c ror natur depinde de tipul i destina ia re elei. Prin urmare, ntr-o re ea dat nu pot fi ntlnite toate tipurile de m sur tori geodezice posibile. 5.1 Unghiuri i direc ii azimutale Unghiurile i direc iile azimutale pot determina o re ea de triangula ie din punct de vedere geometric. Pentru un triunghi ABC, n care latura AB este cunoscut , ar fi necesar i suficient s se cunoasc unghiurile din punctele A i B. n lucr rile de triangula ie aceast determinare reprezint un caz izolat, m surndu-se aproape ntotdeauna i unghiul din punctul C (fig. 8 b). n acest fel, m sur torile unghiulare din punctele A, B, C sunt caracterizate printr-un grad de libertate care poate fi anulat de necesitatea ca unghiurile compensate s satisfac o anumit condi ie geometric .E C C D C G F D A A B A B B A B C D

a

b

c

d

Fig. 8 Figuri elementare, componente ale re elelor de triangula ie a triunghi geodezic; b patrulater geodezic; c,d poligoane cu punct central. Introducerea unor m sur tori unghiulare suplimentare (fig. 8 b, c, d) conduce la crearea de noi grade de libertate n re ea, reclamnd respectarea de c tre valorile compensate a unui num r corespunz tor de condi ii geometrice.

GEODEZIE GENERAL

216

5.2 Lungimi Lungimile m surate determin scara re elei de triangula ie. n acest scop este strict

necesar cunoa terea unei singure lungimi, orice m sur toare suplimentar conducnd, ca i n cazul precedent, la necesitatea respect rii unei noi condi ii geometrice. Lungimile din re elele de triangula ie pentru care se accept ponderea p = se numesc baze geodezice. Asemenea valori provin din m sur tori precise, efectuate cu firul de invar sau cu ajutorul instrumentelor electronice. Se pot introduce i valori finite pentru ponderi, urmnd ca valoarea cea mai probabil a acestor lungimi s fie determinat prin compensarea re elei de triangula ie. Este de men ionat c m sur torile de lungimi mic oreaz propagarea erorilor longitudinale din re elele de triangula ie. n re elele de triangula ie de ordin inferior lungimile pot fi calculate din coordonatele punctelor de ordin superior existente eventual n re ea i care sunt considerate puncte vechi. 5.3 Azimute astronomice n cazul re elelor geodezice, azimutele astronomice se vor transforma n azimute geodezice A, pe baza ecua iei Laplace, determinnd orientarea re elei de triangula ie. Utilizarea azimutelor Laplace este specific re elelor mari de triangula ie, denumite i re ele astronomo - geodezice. Deoarece aceste re ele se realizeaz cu o precizie superioar re elelor de stat, mic orarea posibilelor erori de rota ie ale ntregii re ele se poate realiza prin m surarea unor azimute Laplace, la capetele re elei. Prin rela ii matematice, azimutele Laplace pot fi reduse la planul de proiec ie transformndu-se n orient ri . n re elele de ordin inferior, orient rile pot fi calculate din coordonatele punctelor de ordin superior existente eventual n re ea, i care sunt considerate puncte vechi. 5.4 Coordonate astronomice Coordonatele astronomice intermediul rela iilor: B ! J \ L ! 0 L sec J n care: B latitudine geodezic ecuatorului terestru unghiul format de normala n punctul P cu planul , se transform n coordonate geodezice B i L prin

GEODEZIE GENERAL

217

L

longitudine geodezic

unghiul diedru format de planul meridianului geodezic al unghiul format de verticala punctului P cu planul unghiul diedru format de planul meridianului

punctului P cu planul meridianului geodezic al punctului Greenwich latitudine astronomic ecuatorului longitudine astronomic origine). 5.5 Unghiuri zenitale Determinarea altitudinilor n re elele de triangula ie se realizeaz de cele mai multe ori prin metoda nivelmentului trigonometric care presupune m sur tori de unghiuri zenitale. Prelucrarea observa iilor zenitale se efectueaz , n mod obi nuit, independent de prelucrarea unghiurilor azimutale i a lungimilor. n cadrul geodeziei tridimensionale, prelucrarea tuturor acestor m sur tori se execut ns n bloc. 5.6 Diferen e de nivel Re eaua nivelmentului de stat, precum i alte re ele de nivelment sunt determinate prin m sur tori de diferen e de nivel. Metoda nivelmentului geometric este mai precis n compara ie cu metoda nivelmentului trigonometric, ns mult mai laborioas de aceea, metoda este pu in utilizat n cadrul re elelor geodezice planimetrice (triangula ie, trilatera ie), numai unde accesul la punctele geodezice prin nivelment geometric nu este prea dificil. 5.7 M sur tori gravimetrice n cadrul re elelor gravimetrice se fac determin ri absolute i relative ale accelera iei gravit ii. Determin ri relative intervin i n re elele de nivelment geometric, fiind necesare la calculul corec iilor specifice sistemului de altitudini folosit. De i nu n mod direct, determin rile gravimetrice intervin i n re elele de triangula ie de ordin superior, la calculul componentelor astonomo-geodezice ale devia iei verticalei i al ondula iilor cvasigeoidului elipsoidului de referin .\ ag ,L ag

astronomic al punctului P cu planul meridianului astronomic Greenwich (meridian

, precum

necesare la reducerea observa iilor geodezice la suprafa a

]

GEODEZIE GENERAL

218

CAP.6. ELEMENTE DE TEORIA POTEN IALULUIGeodezia fizic studiaz cmpul gravit ii i figura P mntului(H. Moritz-1980). 6.1 Cmpul gravit ii Orice punct material situat pe suprafa a P mntului este supus ac iunii unor for e cum ar fi: T - gravita ia sau for Tde atrac ie ndreptat spre centrul de mas al P mntului, F ; a - for a centrifug , q ; - for ele de atrac ie exercitate de alte corpuri cere ti (cele mai importante fiind for ele de atrac ie ale Soarelui, datorit masei sale i for ele de atrac ie ale Lunii, datorit apropierii sale de P mnt). Rezultanta acestor for e o reprezint gravitatea g. Por iunea din spa iu n care se extinde influen a complex a atrac iei gravita ionale i rota iei P mntului constituie cmpul gravit ii sau cmpul gravific. T Conform legii atrac iei universale a lui Newton, for a de atrac ie reciproc F dintre dou mase punctiforme m1 i m2, situate la distan a d, este dat de rela ia: T m m F ! G 1 2 2 d0 , d Unde: d0 = este versorul direc iei care une te masele m1 i m2 G= este coeficientul de propor ionalitate denumit constanta atrac iei universale. Dup recomand rile Asocia iei Interna ionale de Geodezie (AIG) din anul 1980, valoarea acestei constante este: G ! 6672 s 4,1v 10 14 m 3 s 2 kg 1 n sistemul interna ional SI Constanta atrac iei universale este numeric egal cu for a cu care se atrag ntre ele dou corpuri cu masele egale cu unitatea, situate unul fa de cel lalt la o distan egal cu unitatea. No iunea de mas egal cu unitatea sau, no iunea de punct material, sunt pur conven ionale, utile doar n ra ionamente. Aceste no iuni indic faptul c dimensiunile, respectiv masa corpului considerat, sunt neglijabile fa de dimensiunile, respectiv masa sistemelor cu care acel corp este n interac iune (ex: dimensiunile sau masa unui punct geodezic situat pe suprafa a P mntului, n raport cu dimensiunile sau masa P mntului). For a de atrac ie exercitat de P mnt asupra unui punct de mas egal cu unitatea poate fi exprimat , aproximativ cu rela ia: u r M F !G 2 R , unde: M = este masa P mntului; R= este raza medie a P mntului; 6.1.1 For a de atrac ie (gravita ia)

GEODEZIE GENERAL

219

GM =este constanta gravita ional geocentric , pentru care AIG prevede (1980): GM ! 39860047 s 5 v 10 7 m 3 s 2 24 Masa P mntului este considerat ca avnd valoarea: M ! 5,97 10 kg iar n ipoteza formei 3 sferice a P mntului, raza acestuia se consider a fi R } 6378 v 10 m pentru latitudinea B=45o i densitatea medie a P mntului: s V m } 5,50 v 10 3 kgm 3 n cazul ipotezei formei elipsoidale a P mntului, densitatea acestuia se va considera: e V m } 5,52 v 10 3 kgm 3 T M F !G 2 R este generat de Caracterul aproximativ al rela iei ce define te for a de atrac ie imprecizia cu care se cunosc sau se pot determina elementele componente. n cazul densit ii medii V m , se poate face aceea i remarc ntruct, aceast m rime este func ie de mai mul i parametri dintre care cel mai important este adncimea fa de suprafa a terestr . Dac se urm re te varia ia m rimii densit ii func ie de adncime, se pot distinge mai multe zone, dup cum urmeaz :

984 km Mantaua 2900 km Nucleul 4700 km 5150 km

=4,64

=5,66 GUTENBERG/ OLD AM

=11,76 =14 =16

6378 km

Fig.9 Varia ia densit ii ntr-o prim zonare, de ordinul I, structura intern a P mntului este reprezentat de trei geosfere: scoar a, mantaua i nucleul. Limitele dintre aceste sfere se numesc discontinuit i de ordinul I: discontinuitatea Mohorovi i (Moho) i respectiv discontinuitatea Oldham sau Gutenberg.

GEODEZIE GENERAL

220

MO OROVI I

33 km

0

coar a

=2,7 g/cm3

=2,9 DI

ONTINUIT

I

Scoar a terestr este constituit din dou straturi: stratul bazaltic continuu i stratul granitic discontinuu, ambele de grosimi variabile. n continuare urmeaz i alte submp r iri numite discontinuit i de ordinul II. Pentru a putea exprima mai exact for a de atrac ie, se consider un punct P(x,y,z) pe suprafa a P mntului i un punct curent A(a,b,c) situat la dep rtarea l de punctul P (fig.10). Pentru simplificare, se accept c punctul atras P are masa egal cu unitatea, iar masa punctului atractiv A, denumit i punct surs este m. ntr-un sistem de coordonate rectangular XYZ expresia for ei de atrac ie este: T m T f ! G 2 l 0 , l T l0 unde reprezint versorul vectorului de pozi ie l .

CC

Z

Z

A (a,b,c)CC

ga

p

l D

p f

( x,y,z) = CC

X O X

Fig.10 For a de atrac ie T f f x , f y , f z pe axele de coordonate se pot defini astfel: Componentele for ei de atrac ie T m xa xa ! G m 3 f x ! f cos f , X ! G 2 l l l ; T y b f y ! f cos f , Y ! G m 3 l ; T z c f z ! f cos f , Z ! G m 3 l ;

2

l ! x a y b z c unde: Pentru stabilirea influen ei de atrac ie a ntregului glob terestru asupra punctului P, trebuie inut cont de varia ia densit ii pentru fiecare element de volum dv: dm V ! V a , b, c, ! dv2 2

GEODEZIE GENERAL

Y Y

221

T m T f ! G 2 l 0 l Integrnd expresia for ei de atrac ie vom ob ine influen a de atrac ie a globului Fx , F y , Fz asupra punctului P dup cele 3 componente: : T T T V dv dm F ! G 2 l 0 ! G 2 l 0 l l v v Componentele pe axele de coordonate vor fi: xa Fx ! G 3 V dv l v

Fy ! G v

y b V dv l3 Fz ! G z c V dv l3 v dv ! da db dc

unde:

6.1.2 For a centrifug Datorit mi c rii de rota ie a P mntului n jurul axei sale, punctul P este supus unei for e T centrifuge q , ce ac ioneaz n planul paralelului de raz r al punctului P. Expresia de defini ie a for ei centrifuge n cazul punctului P, cu masa egal cu unitatea i func ie de viteza liniar pe traiectorie v, este dat de: T v2 T q! ro r v ! r [ ( [ = viteza unghiular ) Se tie c : Deci: T T q ! r[ 2 r0 Fig. 11 For a centrifug Viteza unghiular medie n cazul P mntului, recomandat de AIG (1980) este: [ ! 7292115 v 1011 rad s 1 For a centrifug este variabil pe suprafa a P mntului, avnd o valoare maxim pentru punctele situate pe ecuator i fiind nul pentru poli, unde r = 0. T q x , q y , qz q vor fi: Componentele for ei centrifuge pe axele de coordonate T x q x ! q cosq , X ! r [ 2 ! x[ 2 ; r T 2 q y ! q cosq , Y ! y[ ; T q z ! q cosq , Z ! 0 6.1.3 Gravitatea (Greutatea) Gravitatea este rezultanta for elor care ac ioneaz asupra punctului P. Componentele principale ale acestei m rimi sunt: T T T g ! F q Lucrndu-se frecvent cu puncte de mas egal cu unitatea, gravitatea este numeric egal cu GEODEZIE GENERAL 222

accelera ia sa.

P r F Op

q

p

g

p

Fig. 12 Greutatea Unitatea de m sur pentru gravitate(greutate) n amintirea nv atului italian Galileo Galilei este cm | 2 GALUL s (n sistemul CGS). La pol valoarea gravita iei este } 983 gal, iar la ecuator este de } 978 gal. Datorit diferen ei nesemnificative n aceast unitate de m sur , se lucreaz de obicei n mgali (1mgal=10-3 gal). Considerndu-se proiec iile pe cele trei axe de coordonate, se ob in componentele gravit ii: g x ! Fx q x ! G v

xa V dv x[ 2 3 l

g y ! Fy q y ! G v

yb V dv y[ 2 3 l g z ! Fz q z ! G v

zc V dv l3

6.2 Suprafe e echipoten iale n cazul poten ialului gravit ii, avem urm toarele expresii: TT dW ! g s ! g cos g , s , ds valabile pentru orice direc ie s. TT Dac se consider : cos g , s ! 0 adic , dac se are n vedere o direc ie s perpendicular pe direc ia gravit ii g, rezult :dW ! 0 sau:

GEODEZIE GENERAL

223

W(x, y, z,) = constant = C Expresia reprezint ecua ia unei suprafe e echipoten iale, denumit , de c tre Laplace, suprafa de nivel. Rezult c suprafa a de nivel este perpendicular , n oricare din punctele sale, pe direc ia gravit ii. Schimbndu-se valoarea constantei C se ob in diverse suprafe e de nivel. Dintre suprafe ele de nivel posibile, pentru geodezie prezint o importan deosedit suprafa a de nivel zero, denumit i geoid, no iune introdus de c tre Listing n anul 1873. Aceast suprafa echipoten ial a fost propus de Gauss ca ,,figur matematic a p mntului : W ( x , y , z ) ! W0 Fiind n permanen perpendicular la direc ia gravit ii, geoidul are o configura ie foarte complex . Modific rile de densitate din interiorul P mntului conduc la schimbarea geometriei suprafe elor de nivel (inclusiv a geoidului), curbura acestora depinznd de densitatea V . Din acest motiv este imposibil o formulare analitic - matematic a acestei suprafe e complexe, dependent n permanen de distribu ia i densitatea maselor n interiorul P mntului. Ecuatorul geoidului este curba definit ca fiind locul geometric al punctelor pentru care latitudinea astronomic este zero. Paralelul, respectiv meridianul geoidului sunt definite de ecua iile: = constant, respectiv, = constant, fiind longitudinea astronomic . Datorit structurii interne a P mntului aceste curbe sunt foarte complexe, cu multe ondula ii, f r muchii sau vrfuri. Geoidul este definit uzual ca suprafa a medie a m rilor lini tite (n echilibru) prelungit pe sub continente. H. Bruns a formulat scopul principal al geodeziei fizice ca fiind determinarea suprafe elor de . nivel ale cmpului gravit ii, ceea ce echivaleaz cu determinarea func iei poten ial W x, y , z ntr-adev r, cunoscnd expresia poten ialului unui corp, se pot face estim ri privind forma suprafe ei sale. Deoarece suprafe ele de nivel sunt suprafe e echipoten iale, diferen a de poten ial dintre dou suprafe e de nivel este o m rime constant . Rezult c , cre terea de poten ial (deci de lucru mecanic) nu depinde de drumul parcurs, pentru trecerea unui punct de pe o suprafa de nivel pe alta (traseul 1 sau traseul 2 n figura 13).W+dW W 1 2

Fig.13 Sec iune prin suprafa a de nivel Prin urmare, suma cre terilor de poten ial pe un contur nchis, indiferent de sensul de parcurgere, este zero: dW ! 0 O alt direc ie important pentru geodezie este direc ia h, paralel cu direc ia gravit ii, adic perpendicular la suprafe ele de nivel:

GEODEZIE GENERAL

224

TT cos g , h ! s1 Pentru dep rtarea dintre suprafe T de nivel se alege sensul cresc tor spre exteriorul suprafe ei ele g ) i ca urmare din rela ia anterioar se va lua semnul minus. Cu P mntului (sensul invers for ei

aceasta, se ob ine: dW ! g, dh sau: dW , dh ! g unde: dh reprezint distan a dintre suprafe ele de nivel caracterizate prin poten ialele W i respectiv W+dW. Rela iile prezentate reprezint un exemplu de leg tur dintre aspectul geometric (h) i cel dinamic g pol g (W) n cadrul problematicii abordate n geodezia fizic . Deoarece ec , rezult c distan a dintre dou suprafe e de nivel se mic oreaz de la ecuator spre pol, deci suprafe ele de nivel nu sunt paralele nte ele. Din rela ia anterioar se mai poate deduce o proprietate important a suprafe elor de nivel: deoarece ntre dou suprafe e de nivel, g nu poate lua niciodat valoarea infinit, rezult c distan a dh, dintre aceste suprafe e nu poate fi niciodat zero. Aceasta nseamn c suprafe ele de nivel nu se ating i nu se ntretaie niciodat . Se poate demonstra c suprafe ele de nivel sunt suprafe e continue, nchise, f r muchii sau vrfuri. Rezult c liniile care intersecteaz suprafe ele de nivel sub unghiuri drepte, vor avea o anumit curbur T se numesc . Ele linii de for . Tangenta la linia de for ntr-un punct P d direc ia gravit ii g , care poate fi materializat prin direc ia firului cu plumb. O imagine aproximativ , a suprafe elor de nivel i a liniilor de for este reprezentat n figura (2.6). Segmentul de linie de for cuprins ntre pozi ia punctului P pe suprafa a fizic a P mntului i proiec ia sa pe geoid P0 se nume te altitudine ortometric .

HP Po

p

g

Fig.14 Suprafe e de nivel, linii de for

GEODEZIE GENERAL

geoi

W =W o

e

OR

P

li i

f r t

s

r a fa t iv e l W = W

225

CAP.7. SISTEME DE ALTITUDINI7.1 Consecin ele neparalelismului suprafe elor de nivel Definirea unui sistem de altitudini const , n principiu, n: - alegerea unei suprafe e de referin ; - adoptarea unei defini ii, cu semnifica ie fizic sau geometric , prin care s se descrie pozi ia punctelor de pe suprafa a P mntului n raport cu suprafa a de referin . Dup cum s-a stabilit n cap.2, suprafe ele de nivel nu sunt suprafe e paralele. n fiecare punct din spa iu se poate scrie ecua ia fundamental : dW ! gdh , prin care se stabile te dependen a dintre dep rtarea dh i diferen a de poten ial dW existente ntre dou suprafe e de nivel infinit apropiate. Pentru a urm ri unele dintre consecin ele neparalelismului suprafe elor de nivel pentru lucr rile geodezice, ne vom referi la sistemul de altitudini ortometrice, n care geoidul este suprafa a de referin iar altitudinea ortometric este segmentul de linie de for cuprins ntre pozi ia punctului pe suprafa a terestr i respectiv pe geoid. Din (fig.3.1,a), se observ c suma diferen elor de nivel elementare, m surate pe traseul cuprins ntre punctele A i B, notat :B

OR OR nu este egal cu diferen a altitudinilor ortometrice ale punctelor A i B, notate H A i H B . Cu aceast remarc se pune n eviden faptul c rezultatul ob inut direct prin lucr rile de B

nivelment geometric A este dependent de traseul parcurs. Generaliznd (fig.3.1,b), rezult c sumele diferen elor de nivel elementare m surate pe traseele 1 i 2 nu vor fi egale ntre ele, nici chiar n cazul ideal, al observa iilor geodezice perfecte, f r erori de m surare. n consecin , n poligonul format, va rezulta o nenchidere care se mai nume te i eroare de principiu a nivelmentului geometric geodezic.

geoi

Bo HOR A

Ao

a b Fig. 15 Consecin ele neparalelismului suprafe elor de nivel asupra determin rilor nivelitice pe linii i poligoane de mari dimensiuni

GEODEZIE GENERAL

"

!

(h ! (h!

B

(h

B1

B H AOR B

A2

226

Pentru a ob ine un control corect n lucr rile de nivelment geometric de ordin superior este necesar ca n paralel s se efectueze i determin ri gravimetrice, pentru calculul diferen elor de poten ial:B B

gdh ! dW ! W A WBA A B

sau, ntr-o aproxima ie impus de posibilit ile practice: W A WB ! g(hA

Pe un contur nchis: gdh ! W A W A ! 0 Nivelmentul geometric superior f r determin ri gravimetrice este lipsit de rigoarea necesar unor astfel de lucr ri, controlul efectuat prin calcularea nenchiderilor n poligoane fiind afectat de erorile de principiu men ionate anterior: dh { 0 Pentru liniile i poligoanele de nivelment de mari dimensiuni, specifice re elelor de nivelment geodezic de stat, simpla nsumare a diferen elor de nivel m surate nu este suficient pentru transmiterea altitudinilor. Este necesar s se lucreze cu m rimi derivate corectate, n func ie de sistemul de altitudini adoptat. 7.2 Sistemul de altitudini dinamice 7.2.1 Num rul geopoten ial Not m cu O punctul ini ial (fundamental) n re eaua de nivelment, de la care porne te o linie de nivelment spre punctul P, n lungul c reia s-au m surat att diferen e de nivel ct i accelera iile greut ii. Din formula fundamental se ob ine:P P 0

gdh ! dW ! WO O

WP ! C P

Diferen a C P dintre poten ialul geoidului W0 i poten ialul suprafe ei de nivel WP a punctului P este num rul geopoten ial al punctului P, no iune introdus n anul 1955 n cadrul Asocia iei Interna ionale de Geodezie. De i nu are dimensiuni metrice, num rul geopoten ial caracterizeaz , n mod natural, o suprafa de nivel, fiind acela i pentru toate punctele situate pe aceast suprafa . n cadrul Sistemului Geodezic de Referin 1980 se recomand urm toarea valoare pentru W ! 6 263 686 s 3v 10 m 2 s 2 poten ialul geoidului: 0 7.2.2 Altitudinea dinamic No iunea de altitudine dinamic a fost introdus de Helmert n anul 1873. Dac ne referim D se ob ine prin mp r irea ns la num rul geopoten ial C P , altitudinea dinamic notat num rului geopoten ial cu o valoare constant i anume cu valoarea gravit ii normale, la altitudinea de 45o, raportat la elipsoidul de referin : C D HP ! P K 450

GEODEZIE GENERAL

#

227

Din punct de vedere dimensional altitudinile dinamice sunt exprimate n metri, ns ele nu au o semnifica ie geometric . Astfel, altitudinea dinamic a unui punct nu poate fi reprezentat ca o distan de la o anumit suprafa la punctul considerat. Aceste altitudini p streaz , n continuare, semnifica ia fizic generat de mp r irea numerelor geopoten iale cu o constant aleas n mod conven ional. Sistemul de altitudini dinamice este caracterizat printr-o proprietate important i anume: punctele situate pe o anumit suprafa de nivel au aceea i altitudine dinamic . 7.2.3 Corec ia dinamic Pentru dou puncte A i B diferen a de altitudini dinamice poate fi scris sub forma: 1 D D D (H AB ! H B H A ! C B C A K 450

sau,0

Aceast rela ie se poate transforma n continuare: B B B g K 45 1 D (H AB ! g K 45 K 45 dh ! dh dh K 45 A K 45 A A

0

0

astfel nct: D D (H AB ! (h AB H AB , unde: (h AB - diferen a de nivel m surat :B

(h AB ! dh } (hA A

B

;

- corec ia dinamic pe traseul AB: B B g K g K 45 D 45 (h H AB ! dh $ K 45 K 45 A A0 0 0 0

H

D AB

Sistemul de cote dinamice a stat la baza cre rii re elei de nivelment din Europa de vest (Rseau Europen Unifi de Nivelment, prescurtat REUN). 7.3 Sistemul de altitudini ortometrice 7.3.1 Altitudinea ortometric Deoarece defini ia num rului geopoten ial nu depinde de traseul utilizat, se presupune c integrarea se efectueaz n lungul liniei de for (fig.15, a):OR HP

CP !

g dHO OR P

,OR HP

CP ! H

0 sau: Aceast rela ie poate fi scris

1 OR HP

g dH

$0

D (H AB !

1 K 45

B

g dh

0

0

,

. i sub forma:

GEODEZIE GENERAL

228

OR C P ! g H P , (*)

unde g reprezint media valorilor gravit ii n lungul liniei de for ponderate generalizate):OR HP

P0 P

(n sensul unei medii

1 g ! OR g dH HP 0 Rela ia (*) reprezint n acela i timp i leg tura dintre altitudinile ortometrice i numerele geopoten iale: 1 OR H P ! CP g 7.3.2 Corec ia ortometric Asem n tor cu situa ia din cadrul sistemului de altitudini dinamice, este necesar s se stabileasc o corec ie care s se adauge la diferen ele de nivel m surate direct, n scopul deducerii diferen elor de altitudini ortometrice. innd seama de (fig.15), se poate scrie:OR OR OR D D D OR OR (H AB ! H B H A ! (H AB H B H A H B H A sau, sub o alt form : OR D OR D OR D (H AB ! (H AB H B H B H A H A D Diferen a de altitudini dinamice (H AB a fost determinat , n func ie de diferen a de nivel m surat (h AB , cu rela ia (3.12). Pentru a calcula diferen a existent ntre altitudinile ortometric

i dinamic ale punctului A, se imagineaz un traseu de nivelment geometric care pleac din A0 , exact n lungul liniei de for , ajungnd n A. Evident c , n acest caz, suma diferen elor de nivel m surate va fi egal cu cota ortometric a punctului A:

(h ! HA0

A

OR A

D OR D H A ! H A H A0 A

,

adic : OR D D H A H A ! H A A0

; i analog pentru punctul B:

OR D D H B H B ! H B0 B

Corec iile dinamice din ultimele dou expresii se calculeaz cu ajutorul rela iei: A B g K 45 g K 45 D D HAA ! HB B ! dH dH K 45 K 45 A B ; sau, prin introducerea unor valori medii, constante, g A i g B , calculate n lungul liniilor de for0 0 0 0 0 0 0 0

AA0

i

BB0

, cu rela iile:

GEODEZIE GENERAL

229

D H A0 A !

g A K 450 K 450

HA

D H B0 B !

g B K 450 K 450

HB

; H A i H B pot fi folosite valori aproximative ale cotelor punctelor A i B . Pentru n final rezult : OR OR (H AB ! (h AB H AB ,OR unde: H AB reprezint corec ia ortometric pe traseul AB:

OR H AB ! A

B

g K 450 K 450

(h

g A K 450 K 450

HA

g B K 450 K 450

HB

7.3.3 Altitudinea Helmert Valoarea medie g prin care se define te altitudinea ortometric n func ie de num rul geopoten ial, nu poate fi determinat practic n mod riguros. De aceea, n locul acestei m rimi sau introdus alte valori, n func ie de anumite ipoteze, rezultnd diverse sisteme de altitudini. inndu-se cont c : g ! g 0,0424 H , rezult c altitudinea ortometric definit anterior poate fi scris i sub forma: CP OR HP ! g 0,0424 H Aceast rela ie a fost dedus de Helmert n anul 1890 i de aceea altitudinile corespondente poart numele s u. 7.3.4 Altitudinea ortometric sferoidic Sistemul de altitudini sferoidice este un sistem destul de frecvent folosit. Dac se introduce g | K , se ob ine expresia corec iei ortometrice sferoidice: B K K K A K 45 K B K 45 ORS 45 HA HB H AB ! (h K 45 K 45 K 45 A0 0 0 0 0 0

Formula de calcul practic al corec iei ortometrice sferoidice, folosit i n ara noastr n trecut, precum i n alte ri din Europa s-a dedus prin considerarea neparalelismului suprafe elor de nivel i a aproxima iei men ionate g | K . Astfel, pentru trasee de nivelment care merg dinspre sud spre nord, rezult : H dH } dK K Expresia corec iei ortometrice sferoidice este:ORS H AB ! f * H med (B rad sin 2 Bmed Pentru calculul practic n ara noastr s-au considerat tronsoane n lungime de 1 km (ceea ce 0 corespunde, aproximativ, pentru (B ! 1 ) ob inndu-se:

H

ORS AB mm

km ! K H med (B c

,

unde:

GEODEZIE GENERAL

230

f* sin 2 Bmed qc Acest coeficient poate fi extras i din tabelele publicate de prof. M. Botez (1969) func ie de * latitudinea medie Bm ( f = 0,0053). K ! 10 6

7.4 Sistemul de altitudini normale n ara noastr este folosit, n prezent, ca sistem oficial de altitudini, sistemul de altitudini normale, fondat teoretic de M.S. Molodenski n anul 1945. Plecnd de la dificult ile reale pe care le prezint utilizarea altitudinilor ortometrice, dintre care cunoa terea gravit ii medii g n lungul liniei de for reprezint impedimentul principal, Molodenski propune ca n locul cmpului gravit ii s se utilizeze cmpul gravit ii normale. 7.4.1 Altitudinea normal Acceptnd aceast ipotez , formulele de calcul se pot determina prin utilizarea formulelor corespondente de la sistemul de altitudini ortometrice. Astfel, defini ia altitudinii normale a punctului P, notat H P , este: HP ! 1 CP K ,

P P se unde valoarea medie K a accelera iei normale a gravit ii n lungul normalei la elipsoid 0 calculeaz riguros cu rela ia:Diferen a de altitudini normale ntre reperele A i B va fi:N N N N (H AB ! H B H A ! (h AB H AB

N unde (h AB reprezint diferen a de nivel m surat n teren prin nivelment geometric, iar H AB este corec ia normal pe traseul AB. Aceast corec ie poate fi dedus introducnd g | K : B g K K A K 45 K B K 45 N 45 HA HB H AB ! (h K 45 K 45 K 45 A0 0 0 0 0 0

Printr-un artificiu simplu se transform primul termen al rela iei astfel nct se ob ine: B B K K K A K 45 K B K 45 g K N 45 H AB ! (h (h HA HB K 45 K 45 K 45 A K 45 A0 0 0 0 0 0 0

Comparnd rela iile rezult : B g K N ORS H AB ! (h H AB K 45 A0

Aceast rela ie exprim leg tura care exist ntre corec iile normale i corec iile ortometrice sferoidice, punnd n eviden posibilitatea de trecere de la un sistem la altul, n cazul n care se cunosc anomaliile gravit ii pe traseul considerat. Corec ia normal apare astfel ca format din doi termeni principali: B g K K (h - corec ia A 45 datorat anomaliilor gravit ii;0

%

%

,

GEODEZIE GENERAL

231

ORS - corec ia H AB datorat sferoidic ).

neparalelismului suprafe elor de nivel (n concep ia ortometric

P HOR HN P p P 00 NP P''

- asige id - c geo

oid

c asigeoid geoid

^P elipsoid

P' P''' 0 0

Fig. 16 Sistemele de altitudini ortometrice i normale Introducerea no iunii de sistem normal a condus i la necesitatea schimb rii suprafe ei de referin , n spe a geoidului, folosit n sistemul ortometric. Pentru a n elege mai u or caracterul suprafe ei de referin n cazul sistemului normal, ne baz m E pe altitudinile elipsoidice H , definite n raport de elipsoid, n cele dou sisteme de altitudini avute n vedere (fig.16). E N E OR H P ! H P \P HP ! HP NP; Cu N se noteaz ondula iile geoidului, care sunt specifice utiliz rii sistemului de altitudini ortometrice iar cu \ perturba iile sau anomaliile altitudinilor. Se presupune o suprafa astfel construit (fig.16), nct segmentul de normal la elipsoid s fie egal cu \ n orice punct n care se cunoa te aceast cantitate. M.S.Molodenski a denumit aceast suprafa cvasigeoid. Pe suprafe e acvatice ntinse (m ri, oceane) cvasigeoidul coincide cu geoidul, sub continente existnd diferen e care depind de structura intern a P mntului.

GEODEZIE GENERAL

232

CAP.8. ELEMENTE DE GEODE IE ELIPSOIDALGeodezia elipsoidal studiaz metodele de rezolvare a problemelor geodezice pe

suprafa a elipsoidului de referin Geodezia elipsoidal (sferoidal ; geometric ; matematic ) se ocup cu studiul metodelor de rezolvare a problemelor care apar n geodezie pe suprafa a elipsoidului considerat. Stabilirea acestor metode presupune i studierea suprafe ei matematice cu care este echivalat suprafa a P mntului (elipsoidul), precum elipsoidul de referin . Elipsoidul de referin problemelor geodezice. Axa de rota ie a unui astfel de elipsoid este paralel Schimbarea elipsoidului de referin i apropiat de axa de rota ie a P mntului, iar centrul s u geometric este n apropierea centrului de mas al P mntului. a fost posibil , pe m sura trecerii timpului, datorit dezvolt rii mijloacelor de m surare i de calcul care au permis utilizarea i a altor metode i rela ii de determinare a parametrilor elipsoidului. La aceasta s-au ad ugat parametrul densitate i modul de repartizare a punctelor pe suprafa a terestr . Toate determin rile au drept scop g sirea unui elipsoid de referin la ora actual a c rui ax de rota ie s coincid cu axa de rota ie a P mntului, iar doar ca no iune teoretic , fiind denumit elipsoid terestru general. centru s u geometric s se identifice cu centrul de mas al P mntului. Un asemenea elipsoid exist Dimensiunile i orientarea acestui elipsoid n raport cu geoidul sunt astfel determinate nct abaterile dintre cele dou suprafe e s fie minime. Deoarece au fost utiliza i de-a lungul timpului mai mul i elipsoizi de rota ie ca referin , o problem important pentru geodezie o reprezint transcalculul de coordonate de pe un elipsoid pe altul. 8.1 Parametri geometrici ai elipsoidului de rota ie Parametri geometrici ai elipsoidului de rota ie sunt: a ! OA ! OB p semiaxa mare (raza ecuatorial ) b ! OE ! OD p semiaxa micf ! ab p a turtirea (geometric )

i a metodelor de reducere a observa iilor geodezice pe

este elipsoidul utilizat la un moment dat pentru rezolvarea

8.1 233

GEODEZIE GENERAL

E ! a 2 b 2 p excentricitatea liniar

e!

a2 b p a2 prima excentricitate (numeric ) a2 b p b2 a doua excentricitate (numeric ) a p b raza de curbur2 2

2

e!

c!

ZE G HE

Pnormala la elipsoid

b O

P' 0 B

A

a

L

B

Y

D

X

Fig. 17 Elipsoidul de rota ie Un elipsoid de rota ie poate fi definit prin doi parametri dintre care unul trebuie s fie neap rat liniar. Parametri a, b, f sunt denumi i parametri geometrici principali, iar semiaxa mare i turtirea (a, f) sunt cei doi parametri care definesc de regul un elipsoid de rota ie. 8.2 Rela ii ntre parametri geometrici Pornind de la expresia turtirii geometrice:f ! ab a

8.2

sau :

a f ! ab

GEODEZIE GENERAL

234

Rezult

:

b ! a f 1e! a2 b2 a2

8.3

Prima excentricitate numeric : e2 ! sau: Din rela ia: Din rela ia: pentru primul termen: Cazul general: n cazul nostru:

8.4

a2 b2 a 2 e2 ! a 2 b2 b2 ! a 2 1 e2 2 a

8.5 8.6 8.7

e2 !f !

a2 b2 b2 b2 e2 ! 1 2 2 ! 1 e2 a2 a a

1 ab b f ! 1 f ! 1 e2 2 1 a a

Avnd n vedere c m rimea e are o valoare mic , se poate face o dezvoltare n serie numaim m 1 2 x .......... .......... 2!

1 x m1 e 2 1

$ 1 mx 2

} 1

1 2 e 2

8.8

Deci, n 8.7:f $ 1 2 e p e2 $ 2 f 2

1 1 f ! 1 1 e 2 ! 1 1 e 2 2 2

8.9

8.10

Din rela ia celei de a II-a excentricit i: e! a2 b a2 b2 e2! b2 b2 a2 e' ! 2 1 b2 2

8.11 8.12 8.13 8.14 8.15

Deci: Din rela ia (8.6) Deci: e2 ! 1

b2 1 ! 1 e2 ! 2 a 1 e' 2 e' 2 1 1 e' 2 1 ! e2 ! 1 e' 2 1 e' 2 1 e' 21 e2 ! 1 1 p 1 e' 2 ! 2 1 e2 1 e'

Din rela ia (8.13):

GEODEZIE GENERAL

235

1 e2 11 e 1 ! e ! ! 1 e2 1 e2 1 e22

2

8.16 e2 1 e2 8.17

Deci:

e' 2 !

8.3 Ecua iile parametrice ale elipsoidului de rota ie Elipsoidul de referin , adic elipsoidul folosit la un moment dat ntr-o ar sau n mai multe ri pentru rezolvarea problemelor geodezice, este un elipsoid de rota ie cu turtire mic la care au fost utiliza i n decursul anilor n ara noastr , pentru elipsoidul recomandat de poli. n tabelul 8.1 se prezint valorile numerice ale parametrilor a i f pentru elipsoizii de referin AIG n anul 1980 ct i pentru elipsoidul mondial WGS84 (World Geodetic System). Tabelul 8.1 Denumirea elipsoidului referin Bessel Clarke Hayford Krasovski Sistemul geodezic 1980 1984 6378137,000 6378137,000 1:298,257 1:298,257 n prezent Anul de determin r ii 1841 1880 1909 1940 Semia a mare a[m] 6377397,155 6378243,000 6378388,000 6378245,000 Turtirea numeric f 1:299,128 1:293,465 1:297,0 1:298,3 Perioada utilizare Romnia 1873-1916 1916-1930 1930-1951 1951-prezent de n

de referin 1980 WGS 84

Ecua ia general a unui elipsoid de rota ie, exprimat sub form implicit se poate scrie: X 2 Y 2 Z2 2 1 ! 0 a2 b Ea este pu in folosit 8.18 n geodezia elipsoidal . n mod frecvent se opereaz Y ! Y B, L Z ! Z B cu ecua iile

parametrice, n func ie de coordonatele B i L, adic : X ! X B, L

GEODEZIE GENERAL

236

Z

P

nE S

z =Z S S''' r=x Z 90+B x s

S'''r

E S'

O L

S'' B

W Y

O

B

X

P' a

Fig. 18. Elipsoidul de rota ie de referin Pentru deducerea acestora este util s se determine, n prealabil, ecua iile parametrice ale elipsei meridiane: x ! xB z ! z B

deoarece leg tura dintre coordonatele X,Y,Z i respectiv x,z ( fig.8.2 ) este imediat :

! x cos L

Y ! x sin L

Z!z

Ecua ia elipsei meridiane sub form implicit este: f x, z ! x2 z2 1 ! 0 a2 b2 8.20

2 2 2 sau, n func ie de rela ia 8.5 ( b ! a 1 e :

f x, z ! x 2

z2 a2 ! 0 2 1 e

8.21

Coeficientul unghiular al tangentei la elips n punctul S (fig.18, b) poate fi exprimat sub forma:dz ! tg 0 B ! ctgB 90 dx

8.22

sau sub forma:1 e2 x f xd dz ! ! dx z f zd

GEODEZIE GENERAL

&8.19 8.23 237

'

Din egalarea ultimelor dou rela ii rezult :z ! 1 e 2 x tgB

8.24 a cos B 1 e 2 sin 2 B 8.25

introducnd expresia (8.24) n (8.21) se ob ine: x!

iar n continuare, din rela ia (8.24):z! a e 2 sin B 1 1 e 2 sin 2 B

8.26 ecua iile parametrice ale elipsei meridiane n func ie de

Ultimele dou

rela ii reprezint

latitudinea geodezic B. Pentru scrierea mai concentrat a acestor ecua ii, precum i pentru u urarea calculelor, se folosesc frecvent urm toarele func ii auxiliare:W ! 1 e 2 sin 2 B

8.27 8.28L !e ' cos B

V ! 1 e ' 2 cos 2 B ! 1 L 2 unde:

8.29

Func iile auxiliare W i V au fost dezvoltate n serie i tabelate. La noi n ar se pot folosi tabelele Tarczi - Hornoch - Hristov (1959) din care se extrag att valorile naturale, ct i valorile logaritmice pentru W i V, n func ie de latitudinea geodezic B.. Folosind rela iile de leg tur dintre parametri elipsoidului de referin , se ob ine: e2 V2 1 e 2 cos 2 B ! sin 2 B ! 1 e 2 1 e 2 1 e 2W 2 ! 1 e2 V 2

precum i:a c ! W V

8.32a cos B c cos B ! W V

n acest mod, ecua iile parametrice ale elipsei meridiane (8.25) i (8.26) se pot exprima i subx!

forma: z!

a 1 e 2 sin B c 1 e 2 sin B ! W V

GEODEZIE GENERAL

(

(

(

W 2 ! 1 e 2 sin 2 B ! 1

(

(

8.30 8.31

8.33

238

Utiliznd aceste ecua ii, precum i rela iile (8.19) rezult ecua iile parametrice ale elipsoidului de rota ie:X ! Y ! a cos B cos L c cos B cos L ! W V

a cos B sin L c cos B sin L ! W V

8.34

Z!

a 1 e 2 sin B c 1 e 2 sin B ! W V

8.4 Liniile de coordonate Liniile de coordonate curbilinii pe suprafa a elipsoidului de referin definesc anumite m rimi cu care se opereaz coordonate, azimutul geodezic, etc.). Unghiul de intersec ie a liniilor de coordonate este un unghi drept i, ca urmare, n anumite calcule vor interveni simplific ri n compara ie cu situa ia general ntlnit la studiul suprafe elor unde acest unghi poate avea o valoare oarecare. 8.4.1 Raza de curbur a elipsei meridiane Fie dou puncte S1 i S 2 situate pe aceea i elips meridian , la o diferen(B (fig. 19). Raza de curbur

sunt reprezentate de

familiile de meridiane ( L = const.) i parale ( B = const.). n raport de liniile de coordonate se frecvent n geodezie (anumite sisteme de

de latitudine

M a elipsei meridiane poate fi definit 8.35 ds 2 ! dx 2 dz 2

de rela ia 8.35:

M ! lim

(s (B

(B p 0

!

ds dB

n care ds este elementul de arc de elips : Rezult astfel: dx dz ! dB dB 2 2

8.36

)

8.37

GEODEZIE GENERAL

239

z

BS2

s

S1

B S' 1 S' 2

B+ B

B

Fig. 19 Raza de curbur a elipsei meridiane

Calculul derivatelor necesare n expresia (8.37) se realizeaz prin considerarea rela iilor (8.33). Astfel, de exemplu, prima derivat va fi:dx !a dB 2 2 sin B 1 e sin B

1 2

1 cos B 1 e 2 sin 2 B 2

3 2

2e 2 sin B cos B 8.38

care, dup transform ri simple devine: dx a sin B 1 e 2 ! dB W3

8.39 dz a 1 e 2 cos B ! dB W3

Analog, se poate calcula i cealalt derivat necesar n expresia (8.37):

8.40

n acest fel se poate determina expresia razei de curbur a elipsei meridiane: a 1 e2 c M ! ! 3 3 W V

8.41

Se observ c raza de curbur a elipsei meridiane cre te odat cu varia ia latitudinii geodezice B, de la ecuator spre pol:M 00 ! a e 12

M 90 !0

a

e 1

1 2 2

!c 8.42

GEODEZIE GENERAL

240

M rimea razei de curbur a elipsei meridiane se poate extrage din tabele n func ie de latitudinea geodezic a punctului considerat 8.4.2 Lungimea arcului de meridian Lungimea arcului de meridian ntre punctele S1 i S 2 , de latitudini B1 i respectiv B2 , se poate determina prin integrarea unei rela ii de forma (8.35): s1 2 ! ds ! M dBs1 B1 s2 B2

8.43B2

sau, considernd formulele (8.41): s1 2 ! a 1 e 22

sin 2 B

B1

dB ! c 1 e 2 cos 2 BB1

8.4.3 Raza de curbur a paralelului Raza de curbur a paralelului este egal cu coordonata x din figura 19:r!x! a cos B c cos B ! W V

avnd o varia ie, n func ie de latitudinea geodezic , de la ecuator spre pol:r0 0 ! a; r900 ! 0

8.4.4 Lungimea arcului de paralel Fie dou puncte S1 i S 2 , situate pe paralelul de raz r (latitudinea B) la longitudinile L1 ids respectiv L2 ! L1 dL . Lungimea arcului de paralel p , dintre cele dou puncte va fi : ds p ! r dL

Expresia de mai sus poate fi integrat imediat deoarece r = const. pentru un paralel dat: s p ! r L2 L1 arc1

A a dup cum s-a mai men ionat, din tabele se poate extrage prin interpolare m rimear arc1dastfel nct lungimea arcului de paralel se poate determina cu suficient u urin . ,

8.4.5 Azimutul geodezic al unei curbe situate pe elipsoidul de referin

GEODEZIE GENERAL

0

e 1

B2

3 2

3 2

dB 8.44

8.45

8.46

8.47

1

1

8.48

241

Una din m rimile frecvent folosite, azimutul geodezic A al unei curbe c este unghiul format de elementul de arc ds al acesteia cu direc ia pozitiv a liniei de coordonate L = const. (fig.20). Pentru deducerea unei expresii de calcul al azimutului se poate porni de la rela ia general : cos A ! E E L F F L K K L 8.49

n care E , F , K sunt cosinu ii directori ai tangentei la curba c:E! F ! dy xy dB xy dL ! ds xB ds xL ds K ! dx xx dB xx dL ! ds xB ds xL ds

8.50dz xz dB xz dL ! ds xB ds xL ds

iar E L , F L , K L sunt cosinu ii directori ai tangentei la linia de coordonate L = const.

t L ( EFKL ) L L

(C )

ds

A

m

A ds

[

t B ( EFKB ) B B

Fig.20 Azimutul geodezic al unei curbe situate pe elipsoidul de referin Elementul de arc ds al unei curbe pe o suprafa oarecare poate fi exprimat sub forma: ds 2 ! d

2

dY 2 dZ 2 ,

GEODEZIE GENERAL

2

B

const.

8.51 242

2

t(EFK )

2

L

const.

L

const.

dsp

3

unde:dY ! xY xY dB dL xB xL

dX !

xX xX dB dL xB xL

8.52dZ ! xZ xZ dB dL xB xL

n acest fel rezult :

ds 2 ! E dB 2 2 F dBdL G dL2 ,

8.53

expresie cunoscut sub denumirea de prima form fundamental p tratic , unde: xX xY xZ E ! xB xB xB 2 2 2

xX xX xY xY xZ xZ F ! xB xL xB xL xB xL x xY xZ G! xL xL xL 2 2

8.542

Expresiile de calcul ale coeficien ilor E, F, G pot fi prezentate i mai concentrat prin utilizarea nota iilor Gauss: xX E ! xB 2

xX xX F ! xB xL xX G ! xL 2

n cazul elipsoidului de rota ie, derivatele par iale care intervin n ecua iile de defini ie (8.55) se ob in din rela iile (8.34): a cos L sin B 1 e 2 xX ! xB W 3/ 2 a sin L sin B 1 e 2 xY ! xB W 3/ 2

GEODEZIE GENERAL

4

8.55

xX a cos B sin L ! xL W xY a cos B cos L ! xL W

8.56

243

xZ a 1 e 2 cos B ! xB W 3/ 2

xZ !0 xL

rezultnd urm toarele posibilit i de exprimare a coeficien ilor E, F, G : ! a 2 1 e2 W3

2

!M2

;

F ! 0;

G!

a 2 cos 2 B ! r2 W2

Observa ie: Ecua ia F ! 0 este valabil n caz general, pe orice suprafa , atunci cnd sistemul de coordonate este ortogonal. Cosinu ii directori ai tangentei la linia de coordonate L = const. pot fi dedu i din rela ia (8.53) prin introducerea condi iilor:dL ! 0 ds | ds m2 ds m !

rezultnd: EL ! 1 xX E xB FL ! 1 xY E xB KL ! 1 xZ E xB 8.60

Se dispune astfel de toate elementele necesare calcul rii azimutului curbei c, cu rela ia (8.49), pe elipsoidul de rota ie: cos A ! E dB ds G dL ds

sin A ! 1 cos 2 A ! tgA ! G dL E dB

innd seama de rela iile (8.57) care exprim m rimea coeficien ilor E i G pe elipsoidul de rota ie se ob ine:cos A ! M dB ds sin A ! r dL ds

i mpreun cu (8.43), (8.47):cos A ! ds m ds

sin A !

ds p ds 8.65 GEODEZIE GENERAL 244

6

5i

8.57

8.58dB 2

8.59

8.61

8.62

8.63

8.64

Ultimele rela ii sugereaz

posibilitatea aplic rii rela iilor trigonometriei plane n triunghiul

infinitesimal situat pe suprafa a elipsoidului de rota ie (fig.20,b). Pentru calcule ulterioare se deduc:tgA ! r dL M dB p dL M ! tgA dB r

8.66 de

8.5 Elementul de arie pe suprafa a elipsoidului de referin Elementul de arie dS al suprafe ei cuprinse ntre dou meridiane situate la o diferen longitudine dL, i respectiv ntre dou paralele, situate la o diferen exprimat astfel: dS ! ds m ds p ! EG dB dL ! M r dB dL 8.67 de latitudine dB, poate fi

' Pentru calcule practice se particularizeaz formula (8.67) considerndu-se dL ! 1 . Se determin

astfel aria suprafe ei cuprinse ntre ecuator i paralelul punctului considerat, de latitudine B, pe' intervalul de longitudine de 1 :

(S (L !1' ! arc1' a 2 e 2 1

B

cos B dB W 5/ 2 0

8.68

Analog, ca i n cazurile precedente, aceast expresie poate fi dezvoltat n serie, rezultnd:(S (L !1' ! A* sin B B * sin 3 B C * sin 5 B D * sin 7 B ......

8.69

Dac se consider parametri elipsoidului de referin calcul a ariei elementare, n km2:

Krasovski rezult urm toarea formul de

(S (L !1' ! 11 794, 24561 sin B 13, 21261 sin 3 B 0, 01997 sin 5 B 0, 00003 sin 7 B

8.70

m rime ce poate fi extras din tabele n func ie de latitudinea geodezic B (tabelul 8.3). Aria S a suprafe ei cuprins ntre paralelele de latitudiniLm , Ln Bi , B j

i meridianele de longitudini

poate fi determinat cu ajutorul m rimilor extrase din tabele prin utilizarea urm toarei S ! (S j (S B I Lm Ln B'

formule de calcul:

?

A

8.71

8.6 Sec iuni normale

GEODEZIE GENERAL

245

Intersec ia dintre un plan normal (un plan care con ine normala la elipsoid ntr-un punct S(X,Z,Y)) i suprafa a elipsoidului se nume te sec iune normal o suprafa (fig.8.5). Pentru studierea sec iunilor normale este necesar utilizarea unor no iuni din geometria diferen ial . Se consider F oarecare, presupunnd, de asemenea, curba C ca fiind o curb strmb (curb care nu se afl n nici un plan). Sec iunea normal nu este o curb strmb . n punctul S amplasat pe suprafa a normal se pot construi (fig.21): - normala la suprafans ' , Y ' , Z ' ;

- normala principal la curb n c \ ,L , ^ ; E - tangenta la curb t , , K ; - binormala la curb b P , Q ,Y . Dintre toate planele care trec prin punctul considerat, trei sunt de o importan geodezie: 847planul osculator, care con ine tangenta n punctul considerat este format de (t, nc) 848planul normal la curb , care este format de (nc , b) 849planul rectifiant, care con ine tangenta i binormala (t, b) Cele trei plane men ionate determin triedrul mobil sau triedrul fundamental. Vectorul b este denumit binormal principal nc. i este perpendicular pe planul osculator, deci i pe normala deosebit pentru

t(

(

b ( P Q R )

(X ,Y ,Z )

]

n c ( \ L ^ ) n s ( X ', Y ', Z ')

Fig. 21 Sec iuni normale pe elipsoidul de referin GEODEZIE GENERAL 246

9

B A

@

7

8

F

K ))

n calculele care urmeaz este necesar utilizarea formulelor Fr net, cunoscute de la cursul de analiz matematic :E! dX ds