curs geodezie

83
- 1 - NOŢIUNI INTRODUCTIVE DEFINIŢIA ŞI SCOPUL GEODEZIEI Geodezia reprezintă cea mai complexă ramură a ştiinţelor măsurătorilor terestre. Geodezia are două scopuri esenţiale: scopul teoretic este acela de a determina forma şi dimensiunile planetei pe care o locuim, care, de-a lungul mileniilor a reprezentat, în sine, chiar un scop filozofic; scopul practic este acela de a determina, prin intermediul diverselor sisteme de coordonate spaţiale 1 , poziţia reciprocă dintre mai multe puncte ce se numesc puncte ale reţelei geodezice de sprijin prin intermediul cărora, sunt ulterior stabilite raporturile dintre toate entităţile naturale sau construite (antropice) situate suprafaţă terestră şi chiar ale fenomenelor terestre necesare întocmirii planurilor şi hărţilor topografice care, la rândul lor, stau la baza întocmirii hărţilor tematice. Pentru realizarea scopului său teoretic geodezia utilizează măsurători şi determinări de înaltă precizie: de direcţii azimutale, unghiuri zenitale, distanţe, valori ale acceleraţiei gravitaţionale pe anumite direcţii principale, unghiuri de deviaţie a verticalei locului, coordonate şi azimut astronomo–geodezice, etc. şi pentru aceasta colaborează sau chiar interferă cu alte ştiinţe fundamentale sau aplicative (tehnologice) dintre cele mai importante putându-se enumera: astronomia, geofizica, fizica, geografia, tehnologiile satelitare, tehnologiile de procesare automată a datelor. Ramura care realizează acest scop se mai numeşte şi geodezie teoretică sau geodezie superioară. Aceasta determină valorile parametrilor diverşilor elipsoizi de referinţă, utilizând rezultatele măsurătorilor geodezice, geofizice sau din determinări satelitare sau studiază influenţele exercitate de corpii cereşti (Soarele, Luna, etc.) asupra mişcării de rotaţie a Pământului în jurul axei sale, a mişcărilor scoarţei terestre sau a suprafeţei oceanelor şi mărilor. Pentru realizarea scopului său practic geodezia stabileşte normele necesare pentru executarea de măsurători şi determinări de înaltă precizie ce urmează a fi prelucrate, din punct de vedere matematic, în mod riguros, astfel încât să rezulte poziţionarea corectă a punctelor, atât din punct de vedere planimetric cât şi din punct de vedere altimetric. În acest mod a fost realizată reţeaua geodezică de sprijin a ţării noastre care include: reţeaua planimetrică, pentru poziţionarea punctelor de sprijin în plan bidimensional; reţeaua altimetrică (de nivelment), pentru poziţionarea punctelor de sprijin în plan unidimensional; reţeaua gravimetrică. Deşi obţinerea parametrilor acestor puncte s-a realizat prin metode şi cu aparatură diferită, proiectarea lor a avut în vedere puncte comune (puncte fundamentale Laplace, puncte de ordin superior I, II şi III). 1 tridimensionale (spaţiul 3D), bidimensionale (spaţiul 2D) sau unidimensionale (spaţiul 1D) dar şi în spaţiul cu 4 dimensiuni, ce-a de a patra dimensiune reprezentând-o timpul (în cazul măsurătorilor repetate la anumite intervale)

description

elipsoid, sfera,

Transcript of curs geodezie

Page 1: curs geodezie

- 1 -

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

DEFINIŢIA ŞI SCOPUL GEODEZIEI

Geodezia reprezintă cea mai complexă ramură a ştiinţelor măsurătorilor terestre. Geodezia are două scopuri esenţiale: scopul teoretic este acela de a determina forma şi dimensiunile planetei pe care o locuim, care, de-a lungul mileniilor a reprezentat, în sine, chiar un scop filozofic; scopul practic este acela de a determina, prin intermediul diverselor sisteme de coordonate spaţiale1, poziţia reciprocă dintre mai multe puncte ce se numesc puncte ale reţelei geodezice de sprijin prin intermediul cărora, sunt ulterior stabilite raporturile dintre toate entităţile naturale sau construite (antropice) situate suprafaţă terestră şi chiar ale fenomenelor terestre necesare întocmirii planurilor şi hărţilor topografice care, la rândul lor, stau la baza întocmirii hărţilor tematice.

Pentru realizarea scopului său teoretic geodezia utilizează măsurători şi determinări de înaltă precizie: de direcţii azimutale, unghiuri zenitale, distanţe, valori ale acceleraţiei gravitaţionale pe anumite direcţii principale, unghiuri de deviaţie a verticalei locului, coordonate şi azimut astronomo–geodezice, etc. şi pentru aceasta colaborează sau chiar interferă cu alte ştiinţe fundamentale sau aplicative (tehnologice) dintre cele mai importante putându-se enumera: astronomia, geofizica, fizica, geografia, tehnologiile satelitare, tehnologiile de procesare automată a datelor. Ramura care realizează acest scop se mai numeşte şi geodezie teoretică sau geodezie superioară. Aceasta determină valorile parametrilor diverşilor elipsoizi de referinţă, utilizând rezultatele măsurătorilor geodezice, geofizice sau din determinări satelitare sau studiază influenţele exercitate de corpii cereşti (Soarele, Luna, etc.) asupra mişcării de rotaţie a Pământului în jurul axei sale, a mişcărilor scoarţei terestre sau a suprafeţei oceanelor şi mărilor.

Pentru realizarea scopului său practic geodezia stabileşte normele necesare pentru executarea de măsurători şi determinări de înaltă precizie ce urmează a fi prelucrate, din punct de vedere matematic, în mod riguros, astfel încât să rezulte poziţionarea corectă a punctelor, atât din punct de vedere planimetric cât şi din punct de vedere altimetric. În acest mod a fost realizată reţeaua geodezică de sprijin a ţării noastre care include:

reţeaua planimetrică, pentru poziţionarea punctelor de sprijin în plan bidimensional;

reţeaua altimetrică (de nivelment), pentru poziţionarea punctelor de sprijin în plan unidimensional;

reţeaua gravimetrică. Deşi obţinerea parametrilor acestor puncte s-a realizat prin metode şi cu

aparatură diferită, proiectarea lor a avut în vedere puncte comune (puncte fundamentale Laplace, puncte de ordin superior I, II şi III). 1 tridimensionale (spaţiul 3D), bidimensionale (spaţiul 2D) sau unidimensionale (spaţiul 1D) dar şi în spaţiul cu 4 dimensiuni, ce-a de a patra dimensiune reprezentând-o timpul (în cazul măsurătorilor repetate la anumite intervale)

Page 2: curs geodezie

- 2 -

În momentul actual, se are în vedere omogenizarea coordonatelor spaţiale tridimensionale, atât din punct de vedere al sistemului de coordonate (tridimensional X, Y, Z) cât şi al suprafeţei de referinţă unică (elipsoidul de referinţă).

Punctele acestor reţele sunt utilizate, în continuare, de către celelalte ramuri ale ştiinţelor măsurătorilor terestre (topografia, fotogrametria, teledetecţia satelitară) pentru obţinerea reprezentării în detaliu a suprafeţei terestre în planul de proiecţie cartografică, reprezentare cunoscută generic sub denumirea de hartă topografică.

Ramura geodeziei care se ocupă cu proiectarea reţelelor geodezice, cu reducerea măsurătorilor efectuate pe suprafaţa fizică a Pământului la alte suprafeţe reale sau teoretice şi compensarea riguroasă a acestora se numeşte geodezie matematică.

În ordine cronologică şi funcţie, atât de dezvoltarea ştiinţelor matematice cât şi de evoluţia diverselor tehnologii (de prelevare a datelor din teren sau de prelucrare automată a acestora) geodezia matematică a utilizat şi utilizează următoarele metode de executare şi prelucrare riguroasă a măsurătorilor geodezice: 1. metoda triangulaţiei (a mai fost denumită uneori geodezie geometrică). Constă în acoperirea teritoriului de reprezentat majoritar, printr-o reţea de triunghiuri, bine conformate din punct de vedere geometric, dar şi cu alte figuri geometrice (poligoane cu punct central, patrulatere cu ambele diagonale vizate) în cadrul căreia, prin intermediul unei aparaturi optico–mecanice de înaltă precizie se efectuează măsurători de direcţii azimutale din care rezultă valorile celor trei unghiuri iar, din loc în loc, acolo unde este necesar, se efectuează măsurători precise de distanţe orizontale. Această metodă a cunoscut cea mai largă perioadă de utilizare (aproximativ între anii 1650 – 1970) şi a fost aplicată pentru realizarea ambelor scopuri, mai sus amintite, ale geodeziei. În prezent este utilizată la proiectarea microreţelelor de triangulaţie destinate construcţiilor de mare întindere sau de greutate şi urmăririi deplasărilor acestora în plan orizontal şi vertical. 2. metoda trilateraţiei. Constă, de asemenea, în acoperirea teritoriului de reprezentat majoritar, printr-o reţea de triunghiuri, bine conformate din punct de vedere geometric, dar şi cu alte figuri geometrice (poligoane cu punct central, patrulatere cu ambele diagonale vizate) în cadrul căreia, prin intermediul unei aparaturi electro–optice de înaltă precizie se efectuează majoritar măsurători de distanţe iar, din loc în loc, acolo unde este necesar, se efectuează măsurători precise de direcţii azimutale din care rezultă valorile unor unghiuri. Metoda a cunoscut o perioadă de utilizare foarte scurtă, de circa un deceniu (1970 – 1980). 3. metoda poligonaţiei. Constă în acoperirea teritoriului de reprezentat printr-o reţea de figuri geometrice mai complexe, proiectată mai avantajos din punct de vedere al conformaţiei sau a poziţiei în teren (triunghiuri, patrulatere cu ambele diagonale vizate, poligoane cu punct central) de asemenea, bine conformate din punct de vedere geometric, în cadrul căreia, prin intermediul unei aparaturi electro–optice de înaltă precizie se efectuează atât măsurători de direcţii, de unghiuri cât şi de distanţe; această metodă a fost aplicată în ultimele decenii, atunci când a devenit posibilă compensarea în bloc a reţelelor geodezice de sprijin prin utilizarea unor tehnologii avansate de prelucrare a datelor, ceea ce a condus la obţinerea unor coordonate

Page 3: curs geodezie

- 3 -

planimetrice mai precise ale punctelor şi mai important la obţinerea unei omogenităţi crescute a reţelelor. 4. metoda satelitară. Este de dată mai recentă şi este utilizată în geodezia geometrică spaţială numită şi geodezie tridimensională. Constă în determinarea coordonatelor punctelor reţelei geodezice de sprijin prin intermediul tehnologiilor satelitare şi a receptorilor tereştri aşa numitele Sisteme de Navigaţie Globală cu Sateliţi pe plan naţional sau Global Navigation Satellite Systems (cu acronimul GNSS) mai cunoscută sub denumirea Global Positionong System (cu acronimul GPS) Indiferent de metoda utilizată pentru obţinerea coordonatelor reţelei geodezice de puncte de sprijin, se creează baza de date necesare desfăşurării activităţii celorlalte ramuri aparţinând ştiinţelor măsurătorilor terestre: topografia, topografia aplicată (inginerească), teledetecţia (de mică şi medie altitudine denumită fotogrametrie, respectiv de mare altitudine, denumită teledetecţie satelitară) cartografia şi cadastrul. Acestea au ca scop realizarea hărţilor şi planurilor de specialitate care, la rândul lor, reprezintă baza teoretică pentru toate ştiinţele fundamentale (geografia, istoria, etc.) sau aplicative ce utilizează acest produs la proiectarea, exploatarea şi urmărirea sau monitorizarea: construcţiilor de orice fel (industriale, agricole, civile, hidrotehnice, de căi de comunicaţie, de îmbunătăţiri funciare, de reţele edilitare, de telecomunicaţii, de transport aerian şi naval, etc.), de delimitare teritorială (pornind de la cele interstatale, administrativ–teritoriale judeţene, comunale, intravilane săteşti sau orăşeneşti, până la proprietatea privată), de desfăşurare a altor activităţi (didactice, social-culturale, informative sau strategice militare).

Baza de date teoretice geodezice este utilizată de asemenea, la scară mondială sau regională, pentru implementarea programelor satelitare care furnizează date cantitative şi calitative privind: resursele naturale, poluarea mediului înconjurător, hidrometeorologice, culturile agricole, fondul forestier, etc., utilizate împreună cu harta digitală şi informaţia geografică la implementarea unor Sisteme Informatice Geografice (cu acronimul SIG), denumite pe plan mondial Geographical Informational System (cu acronimul GIS).

În funcţie de scopul urmărit, pe lângă geodezia matematică (ce are ca scop determinarea unui număr suficient de puncte geodezice, definite într-un sistem de coordonate omogen, prin utilizarea uneia dintre metodele de lucru mai sus enumerate), se pot deosebi următoarele ramuri ale geodeziei, înglobate în aşa numita geodezie superioară: astronomia geodezică ce se ocupă cu determinarea suprafeţei geoidului, a coordonatelor astronomo–geodezice ale punctelor fundamentale (denumite şi puncte Laplace) proiectate în cadrul reţelelor geodezice de sprijin sau ale staţiilor terestre ce recepţionează imaginile transmise de la bordul sateliţilor tereştri artificiali; geodezia fizică sau gravimetria2 având ca obiecte de cercetare, respectiv sub-domenii:

originea, structura şi forma Pământului; elemente de teoria potenţialului;

2 „Geodezia fizică studiază câmpul gravităţii şi figura Pământului – H. Mortz (1980)”

Page 4: curs geodezie

- 4 -

suprafeţe de referinţă, sisteme de coordonate; potenţialul perturbator; determinarea geoidului prin metode gravimetrice (determinarea parametrilor

acceleraţiei gravitaţionale pe direcţiile normale principale conjugate, notaţi cu ξ, respectiv η ce determină poziţia reciprocă dintre suprafeţele de referinţă utilizate în acest domeniu dintre care: suprafaţa elipsoidului, geoidului şi cea a cvasigeoidului, sferoidul de nivel Bruns, Bessel, etc.);

determinarea geoidului prin metode astronomo-gravimetrice; determinarea suprafeţei fizice a Pământului.

geodezia elipsoidală studiază metodele de rezolvare a problemelor geodezice pe suprafaţa elipsoidului; geodezia dinamică calculează orbitele satelitare determinând în acest scop perturbaţiile lor în funcţie de anumiţi factori iar împreună cu geodezia fizică, oferă posibilitatea determinării formei globale a geoidului; geodezia tridimensională sau geometrică spaţială este cea mai nouă ramură a geodeziei care îşi propune un scop foarte important şi anume, de a determina coordonatele punctelor reţelelor geodezice de sprijin într-un sistem unitar, atât din punct de vedere al unităţii de măsură cât şi din punct de vedere al suprafeţei de referinţă, aşa după cum se va studia ulterior.

Un alt domeniu de cercetare geodezică îl reprezintă determinarea cu precizie ridicată a deplasărilor recente ale scoarţei terestre în plan orizontal şi vertical anume acele deplasări care s-au produs în intervalul de timp dintre două sau mai multe sesiuni de măsurători. Acest obiectiv este urmărit şi în cadrul altor ramuri ale ştiinţei şi tehnicii: geologie, geomorfologie, geofizică, oceanografie, etc., care pot estima aproximativ, pe baza unor ipoteze şi metode specifice de investigare, deplasările scoarţei terestre produse în intervale mult mai mari de timp (de ordinul mileniilor sau a milioanelor de ani) dar nu cu precizia oferită de măsurătorile şi determinările geodezice. Existenţa acestor preocupări comune a generat în ultimele şase decenii ample programe de observaţii, studii, prelucrări şi interpretări interdisciplinare, realizate prin intermediul unor importante metode de investigare: geodezice, seismice, electrometrice, tensometrice, magnetice, etc.

Page 5: curs geodezie

- 5 -

PARTEA I NOŢIUNI DE GEODEZIE FIZICĂ

CAPITOLUL I

ELEMENTE DE TEORIA POTENŢIALULUI

1. Noţiuni de teoria câmpurilor

1.1. Câmpul gravităţii

Un punct material situat pe suprafaţa Pământului este supus acţiunii mai

multor forţe: forţa de atracţie sau gravitaţia, notată cu F , îndreptată spre centrul de

masă al Pământului, forţa centrifugă, notată cu q , forţele de atracţie exercitate de alte

corpuri cereşti3. Componenta acestor forţe este gravitatea4 notată cu g .

Spaţiul în care aceste forţe îşi exercită acţiunea se numeşte câmpul gravităţii sau câmpul gravific terestru.

1.1.1. Forţa de atracţie (gravitaţia)

Potrivit legii atracţiei universale a lui Newton, forţa de atracţie reciprocă F , dintre două mase punctiforme, m1 şi m2, situate la distanţa d este:

02

21 d d

m m

GF

(1.1)

unde d0 este versorul direcţiei care uneşte masele m1 şi m2, iar este un coeficient de proporţionalitate denumit constanta atracţiei universale. Exprimat în Sistemul Internaţional de unităţi de măsură (SI), G (6.672 4,1) ∙ 10-14 m3 s-2 kg-1, valoare recomandată la nivelul anului 1980 Asociaţia Internaţională de geodezie (AIG). Constanta atracţiei universale este numeric egală cu forţa cu care se atrag între ele două corpuri cu masa egală cu unitatea5, situate reciproc la o distanţă egală cu unitatea. Forţa de atracţie exercitată de Pământ asupra unui astfel de punct poate fi evaluată, aproximativ, cu relaţia:

R M GF 2

(1.2)

unde: M este masa Pământului: M 5,97 ∙ 1024 kg; R este raza Pământului; GM este constanta gravitaţională geocentrică: GM (39.860.047 ± 5) ∙ 107 m3 s-2

În ipoteza formei sferice a Pământului, cu raza R 6.378 ∙ 103 m, corespunzător latitudinii medii φ de 450, densitatea medie6, acceptată în unele calcule, este:

3 dintre care a Soarelui datorită masei sale şi a Lunii, datorită proximităţii 4 mai intuitiv denumită greutate 5 noţiunile de masă egală cu unitatea şi punct material sunt convenţionale dar utile în raţionamente, deoarece indică diferenţele de ordin de mărime dintre masa unui punct geodezic şi masa Pământului

Page 6: curs geodezie

- 6 -

ρ 5,50 ∙ 103 kg ∙ m-3 5,52 g/cm3; În ipoteza formei elipsoidice a Pământului, densitatea medie, acceptată în unele calcule, referită la figura nr. 1.1, este:

ρ 5,52 ∙ 103 kg ∙ m-3 5,52 g/cm3 Caracterul aproximativ al formulei (1.2) decurge din imprecizia cu care se cunosc sau se pot determina elementele componente, remarcă valabilă şi pentru densitatea medie, care este funcţie de mai mulţi parametri dintre care şi de adâncimea faţă de suprafaţa terestră (în prezentul suport de curs nu se dezvoltă probleme legate de fizica Pământului: Formare şi mişcarea Pământului ca planetă a Sistemului Solar, structura internă a Pământului, etc.). Pentru a putea exprima mai exact forţa de atracţie, se consideră un punct atras P(x, y, z) situat pe suprafaţa Pământului, de masă egală cu unitatea şi un punct curent atractiv A(a, b, c), denumit şi punct sursă, de masă m, situat la depărtarea l de primul. Într-un sistem de coordonate cartezian ortogonal tridimensional X, Y, Z (figura nr. 1.2) expresia forţei de atracţie este:

02 l l m G - f

(1.3)

unde 0l este versorul vectorului de poziţie l .

figura nr. 1.1 figura nr. 1.2

Componentele forţei de atracţie f (fx, fy, fz) vor fi:

32zz

32yy

32xx

la-zm G

la-z

l mG -Z) ,fcos( ff

la-ym G

la-y

l m G -Y) ,fcos( ff

la-xm G

la-x

l m G - X),fcos(ff

(1.4)

unde: 222 )c-z()b-y(a)-(xl (1.5)

Pentru stabilirea influenţei de atracţie a întregului glob terestru asupra punctului P, va trebui pusă în evidenţă variaţia densităţii pentru fiecare element de volum, notat cu dv: 6 în literatura de specialitate se mai notează şi cu δ

Page 7: curs geodezie

- 7 -

dvdm

)c b, ,a(ρρ == (1.6)

Expresia căutată se obţine prin integrare din relaţia (1.3):

vl

G -l dmG - 0

v

0

v2 dlρ

lF

(1.7)

Ţinând cont de: dv = da ∙ db ∙ dc (1.8)

componentele pe axele de coordonate vor fi:

dvl a)-(zG -F

dvl

a)-(yG -F

dvl

a)-(xG -F

v3z

v3y

v3x

ρ

ρ

ρ

(1.9)

1.1.2. Forţa centrifugă

Datorită mişcării Pământului în jurul axei sale, punctul P este supus unei forţe centrifuge (figura nr. 1.3.a), care acţionează în planul paralelului de rază r al acestuia (figura nr. 1.3.b). Particularizând formula cunoscută din mecanică, în funcţie de viteza liniară pe traiectorie, v, de masa egală cu unitatea a punctului, se obţine:

0

2

r rvq

(1.10)

figura nr. 1.3.a figura nr. 1.3.b

Utilizând relaţia de legătură dintre viteza liniară şi viteza unghiulară, ω: v = r ∙ ω, rezultă:

r rq 02 ω (1.11)

Valoarea recomandată de AIG pentru ω este de: 7.292.115 ∙ 10-11 rad s-1 la nivelul anului 1980.

Din relaţia (1.11) se observă că forţa centrifugă este variabilă pe suprafaţa Pământului având o valoare maximă pentru punctele dispuse pe cercul ecuatorial şi

Page 8: curs geodezie

- 8 -

minimă (nulă) la pol, unde r 0. Pentru a exemplifica ordinul de mărime, la nivelul

ecuatorului, raportul dintre cele două forţe studiate este: 3001

Fq .

Componentele forţei centrifuge )q ,q,q(q zyx vor fi:

22

22

22

rz rZ) ,qcos(

ry rY) ,qcos(

rx r X),qcos(

ωzωqq

ωyωqq

ωxωqq

z

y

x

(1.12)

1.1.3. Gravitatea (greutatea)

După cum s-a arătat anterior, gravitatea este componenta tuturor forţelor care acţionează asupra punctului P (figura nr. 1.4) dar vom lua în considerare numai pe cele principale:

q Fg (1.13)

figura nr. 1.4

Considerând că punctele au masa egală cu unitatea, gravitatea este numeric

egală cu acceleraţia sa. Unitatea de măsură în sistemul CGS este galul (cm ∙ s-2)7. Deoarece la pol mărimea gravităţii este aproximativ egală cu 983 gal, iar la ecuator cu 978 gal, rezultând o variaţie mult prea nesemnificativă, în geodezia fizică se operează cu miligali (1 mgal = 10-3 gal), instrumentele de măsură având o precizie de ordinul a ± 0.01 mgal şi mai bună. Deoarece relaţiile (1.12) se conservă şi la trecerea pe cele trei axe, se obţin

componentele gravităţii )g,g ,g(g zyx :

2

v3xxx x dv

l a)-(xG -qF g ωρ

2

v3yyy y dv l

a)-(yG -qFg ωρ

7 denumire adoptată spre cinstirea memoriei marelui învăţat Galileo Galilei

Page 9: curs geodezie

- 9 -

23zz zdv

a)-(zG -qF ωρ

lg

vz

(1.14)

1.2. Potenţialul gravităţii

Pentru descrierea unui câmp de forţe se utilizează o funcţie introdusă de Laplace denumită potenţial, care poate fi definită atât matematic, cât şi prin semnificaţiile sale fizice. Matematic se defineşte potenţialul unui câmp de forţe ca funcţia ale cărei derivate parţiale sunt componentele câmpului pe direcţiile axelor de coordonate.

1.2.1. Potenţialul de atracţie (newtonian)

Potenţialul câmpului gravităţii, numit şi potenţialul de atracţie sau potenţial newtonian are expresia matematică completă în cazul unui corp solid, de volum notat cu v:

v

222 )c-z()b-y(a)-V(xdc db da )c,b,a(G)z,y,x(V ρ

(1.15)

Dacă ţinem cont de expresiile (1.5) şi (1.8) rezultă:

ldmG

ldv GV

v

ρ

(1.16)

Potenţialul V este o funcţie continuă în întreg spaţiu şi tinde către 0 la infinit la fel ca

şi funcţia l1

când l → .

Prin particularizare, în cazul punctului atras de masă egală cu unitatea, potenţialul de atracţie al unui punct sursă de masă m, situat la distanţa l, va fi:

lmG

V (1.17)

Din definiţia (1.15) se observă că apartenenţa funcţiei V la un anumit punct P(x, y, z), precum şi rolul punctului sursă A(a, b, c).

Derivata parţială în raport cu x a funcţiei V este:

dv l1G

xV

v

Deoarece

la-x

l1-

xl

l1-

l1

x 22

(1.18)

(1.19)

se obţine:

X),F( cos FFdv la-x G -

xv

xv

ρ (1.20)

În mod analog rezultă:

Z) ,F( cos FFzv

Y) ,F( cos FFyv

z

y

(1.21)

Page 10: curs geodezie

- 10 -

Când sunt îndeplinite relaţiile (1.20) şi (1.21) se consideră că F este gradient de V:

VF sauV gradF (1.22)

unde este operatorul lui Hamilton:

kz

j y

i x

(1.23)

1.2.2. Potenţialul forţei centrifuge

Potenţialul din care derivă forţa centrifugă este reprezentat de următoarea funcţie:

222

yx2

Q ω

(1.24)

Se observă că:

zyx qzQ

;qyQ

;qxQ

(1.25)

adică:

QQ gradq (1.26)

Pornind de la relaţiile (1.10), (1.22), împreună cu (1.26) se obţine expresia matematică a potenţialului câmpului gravităţii:

gradQgradVW gradWg (1.27)

sau:

222

V

yx2l

dvGQVW

ωρ

(1.28)

Page 11: curs geodezie

- 11 -

CAPITOLUL II

SUPRAFEŢE DE REFERINŢĂ ECHIPOTENŢIALE

Măsurătorile geodezice se realizează pe suprafaţa Pământului care, atât din punct de vedere geometric cât şi fizic, este o suprafaţă complexă şi deloc netedă. La rândul său, acest corp ceresc are o densitate interioară variabilă deoarece dispunerea maselor este neomogenă, aşa cum s-a văzut anterior.

Pentru obţinerea unor coordonate unitare ale punctelor reţelei geodezice de sprijin, aceste măsurători trebuie referite la o suprafaţă unică, care, pe de-o parte, să aproximeze (prin uniformizare) cât mai bine suprafaţa terestră şi căreia, pe de altă parte, să i se cunoască dimensiunile.

2.1. Suprafeţe de nivel. Suprafeţe echipotenţiale

La începuturile ei, geodezia a utilizat suprafeţele de nivel doar pentru definirea altitudinii punctelor, definindu-le ca fiind locul geometric al punctelor cu altitudine egală. O astfel de definiţie este incompletă atât timp cât nu defineşte şi suprafaţa de referinţă a sistemului de altitudini. Acest neajuns este, oarecum rezolvat dacă, studierea suprafeţelor de nivel se face în raport de caracteristicile lor dinamice, dintre care, se ia în considerare potenţialul.

2.1.1. Potenţialul suprafeţelor de nivel

Fiecărui punct, notat de exemplu, cu P, aflat în domeniul de acţiune al gravităţii, îi corespunde o valoare a potenţialului gravităţii, notată cu W(P). Locul geometric al punctelor care au aceeaşi valoare a potenţialului gravităţii se numeşte suprafaţă de nivel8. Ecuaţia suprafeţei de nivel este:

W = constant (2.1) motiv pentru care se denumeşte suprafaţă echipotenţială.

Derivata potenţialului W după o direcţie oarecare, notată cu s, exprimată prin intermediul gradientului este:

g ,scosgsgsgradWsdsdW

→→→

(2.2)

Dacă direcţia vectorului →

s este considerată de-a lungul suprafeţei echipotenţiale, conform figurii nr. 1.4.a atunci:

0 dW = sau ( ) Cttanconsz y, ,xW == , expresia reprezentând ecuaţia suprafeţei

echipotenţiale şi 0g,scos şi relaţia (1.15) devine:

0g,scosgs (2.3)

Din (1.16) rezultă că, întotdeauna, vectorul gravităţii într-un punct este perpendicular pe suprafaţa de nivel pe care este poziţionat.

8 denumirea de suprafaţă de nivel îi aparţine lui Laplace

Page 12: curs geodezie

- 12 -

Pentru orice direcţie s, potenţialul gravităţii va avea expresia:

g,scosggdsdW

s (2.4)

figura nr. 2.1. Secţiune prin suprafeţe

de nivel figura nr. 2.2. Suprafaţa de nivel. Linii de forţă

Deoarece suprafeţele de nivel sunt echipotenţiale, diferenţa de potenţial dintre

două suprafeţe este o mărime constantă şi deci creşterea de potenţial (de lucru mecanic) nu depinde de drumul parcurs, notat cu 1, respectiv cu 2 în figura nr. 2.1. pentru trecerea unui punct de pe o suprafaţă de nivel pe alta. Prin urmare, suma creşterilor de potenţial pe un contur închis, indiferent de sensul de parcurgere este nulă:

0dW (2.5)

O altă direcţie importantă pentru geodezie este direcţia h, paralelă cu direcţia gravităţii (deci de asemenea perpendiculară pe suprafaţa de nivel):

1h,gcos (2.6)

Pentru depărtarea dintre suprafeţele de nivel se alege sensul crescător spre

exteriorul suprafeţei Pământului (sensul invers forţei gravitaţionale g ), drept urmare

din relaţia (1.34) se va lua varianta cu semnul negativ, iar din relaţia (2.2) rezultă:

gdW-dh sau

dhdW-g sau g-

dhdW

(2.7)

(2.8)

unde dh este distanţa dintre suprafeţele de nivel caracterizate prin potenţialul W respectiv dWW . Relaţia (2.7) defineşte gravitatea ca fiind gradientul vertical negativ al potenţialului gravităţii. Ambele ilustrează legătura inseparabilă dintre concepţia geometrică, mărimea h şi concepţia dinamică, potenţialul W, în domeniul geodeziei şi mai mult, că măsurătorile geodezice sunt referite, majoritar la mărimi cu caracter dinamic: suprafeţe de nivel, direcţia normalei la suprafaţa de nivel. Se înţelege de ce H. Bruns a stabilit că scopul geodeziei constă în „determinarea suprafeţelor de nivel ale câmpului gravităţii”.

Deoarece între două suprafeţe de nivel, valoarea lui g nu poate fi infinită, din relaţia (2.8) rezultă că nici distanţa între acestea nu poate fi niciodată egală cu zero şi de asemenea că suprafeţele de nivel nu se ating şi nu se întretaie niciodată. Deoarece

Page 13: curs geodezie

- 13 -

ecuatorg polg , rezultă că distanţa dintre două suprafeţe de nivel se micşorează de la

ecuator spre pol deci suprafeţele de nivel nu sunt paralele între ele. Se poate demonstra că suprafeţele de nivel sunt suprafeţe continue, închise, fără muchii sau vârfuri. Rezultă că liniile care intersectează suprafeţele de nivel sub unghiuri drepte vor avea o anumită curbură numindu-se linii de forţă. Tangenta la linia

de forţă într-un punct P indică direcţia gravităţii g , care poate fi materializată fizic prin

direcţia firului cu plumb. Segmentul de linie de forţă cuprins între poziţia punctului pe suprafaţa fizică a

Pământului, P şi şi proiecţia sa pe suprafaţa de nivel a geoidului, P0 se numeşte

altitudine ortometrică, ORTPH (în figura nr. 2.2).

Suprafeţele de nivel sunt exprimate în funcţie de potenţialul gravităţii care, la rândul său se calculează în funcţie de densitatea interioară a Pământului. Pentru punctele situate în interiorul Pământului, dispuse în afara maselor care atrag, potenţialul este analitic dar exprimarea lui este foarte complicată, caracteristicile fiind similare şi pentru punctele situate complet în afara Pământului. Astfel, suprafeţele de nivel care trec parţial sau total prin interiorul acestui corp nu mai au caracter analitic, deoarece, nici potenţialul nu are caracter analitic în interiorul maselor care atrag. S-a demonstrat faptul că, suprafeţele de nivel sunt continue, atât în interiorul cât şi în exteriorul Pământului, dar razele lor de curbură variază discontinuu, funcţie de densitate. Concluzii 1. Schimbându-se valoarea lui C, se obţin diverse suprafeţe de nivel şi cunoscând expresia potenţialului unui corp se pot face estimări privitoare la forma suprafeţei sale. 2. Fiind în permanenţă perpendicular pe direcţia gravităţii, geoidul are o configuraţie foarte complexă. Modificările de densitate din interiorul Pământului conduc la schimbarea geometriei suprafeţelor de nivel, inclusiv a geoidului, deoarece, curbura lor depinde de densitatea interioară, notată cu ρ. Din acest motiv este aproape imposibilă o formulare analitic-matematică a acestei suprafeţe complexe, dependentă în permanenţă de distribuţia şi densitatea maselor în interiorul Pământului.

2.1.2. Curbura suprafeţelor de nivel

2.1.2.1. Deducerea formulei de calcul a curburii medii

2.1.2.1.1. Varianta 1 de calcul:

Se consideră suprafaţa de nivel ce trece prin punctul P0 (figura nr. 2.3.a) definită cu relaţia: ( ) constz,y,xW = . Pe domenii limitate, în care se poate considera că

nu se înregistrează salturi în densitatea maselor sursă, geopotenţialul este o funcţie continuă, căreia I se poate aplica o dezvoltare în serie Taylor de forma:

Page 14: curs geodezie

- 14 -

...z-zx-xW2y-y x-xW2)z-z(W)y-y(W21

)x-x(W21)z-z(W)y-y(W)x-x(W)z,y,x(W)z,y,x(W

00xz00xy2

0zz2

0yy

20xx0z0y0x000

(2.9)

Pentru studiul suprafeţelor de nivel se utilizează sistemele de coordonate naturale locale, astfel încât se poate scrie:

figura nr. 2.3..a figura nr. 2.3.b

zz

yy

xx

W0g

W0gW0g

(2.10)

Domeniul de referinţă fiind limitat în jurul punctului P0, se consideră x şi y ca termeni de ordinul I iar z termen de ordinul II, astfel încât:

0zyzxz 2 (2.11)

În plus, deoarece punctul P0 este şi originea sistemului de coordonate ales, intervin egalităţile: 0zyx 000 , iar punctele P0 şi R0 se află pe aceeaşi suprafaţă

de nivel: [W(x, y, z) W(x0, y0, z0)]. Aplicând aceste particularităţi, din relaţia (2.9) se obţine:

2yyxy

2xx yWxyW2xW

g21

z (2.11)

Presupunând că se cunosc distanţa D şi azimutul astronomic α rezultă: sin Dy ; cos Dx αα (2.12)

Astfel încât se obţine:

sinWcos sin2Wcos W2gD-z 2

yyxy2

xx

2

αααα (2.13)

În ipoteza unor variaţii uniforme a curburii suprafeţei de nivel în domeniul limitat considerat, εα RD , unde R este o valoare medie a razei de curbură pe

direcţia de azimut α (figura nr. 2.3.b). Deoarece unghiul ε are valori foarte mici, se poate aproxima:

zR2D Dz

2

2tg 2 α

εε (2.14)

De unde expresia curburii suprafeţelor de nivel pe o direcţie oarecare de azimut α:

ααααα

2yyxy

2xx sinWcos sinW2cosW

g1

R1

(2.15

Page 15: curs geodezie

- 15 -

Particularizând pentru α 00 şi pentru α 900 rezultă expresiile curburilor principale: de rază maximă respectiv de rază minimă:

gW

R1 ;

gW

R1 yy

90

xx

0 00

(2.16)

Din acestea se poate calcula expresia curburii medii:

g2WW

)R

1 R1(

21k yyxx

900 00

(2.17)

Derivatele de ordinul II ale potenţialului: Wxx, Wyy, Wzz sunt determinabile în teren cu instrumentul denumit balanţa de torsiune, astfel încât elementele geometrice examinate pot fi determinate pe cale fizică.

Curbura medie se poate exprima în funcţie de elemente cunoscute: G (constanta atracţiei universale), ρ (densitatea medie interioară a Pământului), 2ω2 reprezintă operatorul Laplace pentru potenţialul forţei centrifuge sau laplacianul, notat cu , care, este egal cu laplacianul gravităţii pentru punctele maselor atrase exterioare: 2Q We 22 iar pentru cele din interiorul maselor sursă interioare are expresia We 22 - 4Gρ relaţii din care rezultă că, în ambele situaţii, câmpul gravităţii nu este laplacian şi deci potenţialul gravităţii nu este o funcţie armonică

ρπω G 4-2WWW 2zzyyxx (2.18

cu ω se notează viteza unghiulară, considerată constantă, cu care se roteşte în jurul axei sale z un punct material cu masa unitară, situat pe suprafaţa Pământului şi având coordonatele x, y, z. În consecinţă se adaptează formula (2.11), expresia curburii medie fiind:

ρπω G 4-2Wk g 2- 2zz (2.19)

Deoarece:

2

zzz

2 -k 2g - G 4hg

hg-

zg-W -g

zWW

ωρπ

∂ ∂

(2.20)

Relaţia (1.47) exprimă mărimea gradientului vertical al gravităţii în funcţie de curbura medie a suprafeţei de nivel, notată cu k, aparţine lui H. Bruns (1878) şi ilustrează, încă o dată legătura dintre aspectele mecanice şi geometrice existentă în domeniul geodeziei fizice.

Bruns a exprimat relaţia (2.20) sub altă formă (2.21), care evidenţiază mai bine dependenţa curburii medii a suprafeţelor de densitatea ρ a maselor sursă: salturile de densitate a maselor au consecinţe similare asupra curburii suprafeţelor de nivel exprimată prin distanţa dh dintre straturi.

hg

g21

- - G 2 g1

k 2

ωρπ (2.21)

Prin urmare, expresiile curburii sunt funcţii continue numai pentru porţiunile cu densitate constantă sau variaţii continue. Numai în afara globului terestru, suprafeţele de nivel sunt funcţii continue în totalitatea lor.

Page 16: curs geodezie

- 16 -

2.1.2.1.2. Varianta 2 de calcul:

Fie suprafaţa de nivel definită cu relaţia: .constz,y,xW şi P0 un punct situat

pe această suprafaţă, care este originea sistemului de coordonate X, Y, Z unde axa Z se identifică cu tangenta la direcţia verticalei, conform figurii nr. 1.1. Intersectând suprafaţa de nivel cu planul XP0Z se obţine curba plană S1, cu axa P0X tangentă în P0 a cărei curburi, notată cu k, are expresia de calcul (2.22).

2

32

2

2

xz1

xz

R1k

şi ecuaţia: 0Wz,y,xW

(2.22)

Deoarece curba S1 este conţinută în planul ZP0X, în orice punct al ei 0y .

Considerând că z este funcţie de x, derivatele parţiale de ordinul I respectiv II ale funcţiei vor fi:

0

dxdz

zW

xW

0dx

zdzW

dxdz

zW

dxdz

z xW2

xW

2

22

2

22

2

2

(2.23)

(2.24)

Deoarece axa P0X este tangentă la curba S1 rezultă valoarea nulă a raportului: 0dxdz

= ,

expresia (1.52) devine:

zWxW

-dx

zd 2

2

2

2

(2.25)

Conform cu (1.35) rezultă:

gxW

dxzd 2

2

2

2

(2.26)

Particularizând (1.50), expresia curburii în planul XP0Z devine:

gxW

xzk

2

2

2

2

1

(2.27)

Din exprimarea derivatei (1.43) funcţie de x se obţine curbura proiecţiei suprafeţei de

nivel prin Wxx: gW

k xx1 = . Analog, putem obţine şi pentru planul YP0Z: Wyy: g

Wk yy

2 = ,

de unde, curbura medie a suprafeţei de nivel va fi:

g2WW

-)R1

R1(

21-k yyxx

21

(2.28)

în care, semnul negativ este acceptat convenţional.

Page 17: curs geodezie

- 17 -

Curbura medie se poate exprima în funcţie de elemente cunoscute: G (constanta atracţiei universale), ρ (densitatea medie interioară a Pământului), 2ω2 (operatorul Laplace pentru potenţialul forţei centrifuge9):

2zzyyxx 2 G -4WWW ωρπ (2.29)

de unde se obţin:

2g

2- 4hg-

2- G 4k-2g

2

2

ωρGπk

ωρπHg

(2.30)

(2.31)

În cazul în care suprafaţa de nivel este chiar suprafaţa elipsoidului, înafara căruia nu mai există mase (ρ = 0), relaţia (2.32) va exprima gradientul vertical al gravităţii normale, notată cu γ:

)k ( -2h

20 ωγγ

(2.32)

unde prin k0 s-a notat curbura elipsoidului. Din relaţia (2.32) se observă că mărimea curburii medii depinde de gradientul vertical al gravităţii, de densitatea medie ρ şi de gravitate, ceea ce evidenţiază din nou faptul că suprafeţele de nivel nu sunt paralele deoarece au raze de curbură diferite.

2.1.2.2. Consecinţele neparalelismului suprafeţelor de nivel

Consecinţele neparalelismului suprafeţelor de nivel se pot evidenţia prin lucrările geodezice dintre care se va exemplifica nivelmentul geometric geodezic, din cadrul reţelei de sprijin de nivelment (pe linii şi poligoane de mari dimensiuni). În cadrul acestora, suprafaţa de referinţă este geoidul, altitudinea este cea ortometrică, HORT, (din cadrul căreia valoarea majoritară este cea măsurată, HMĂS). Altitudinea ortometrică este lungimea arcului de linie de forţă măsurat între poziţia punctului pe suprafaţa terestră, P şi proiecţia sa pe suprafaţa geoidului, P0.

Din figura nr. 2.4.a, se observă că suma diferenţelor de nivel elementare, măsurată între punctele A şi B pe traseul ales, nu este egală cu diferenţa altitudinilor ortometrice ale celor două puncte:

)H -H(hh ORTA

ORTBB-A

B

A ΔΔ

(2.33)

Se pune astfel în evidenţă faptul că, rezultatul obţinut din măsurătorile de nivelment geometric între două puncte (efectuat în condiţii riguroase, după compensare) nu este de fiecare dată acelaşi, ci depinde de traseul ales (de suprafeţele de nivel ale staţiilor intermediare). Neînchiderea rezultată pe poligon, în cazul a două trasee diferite, de exemplu între punctele A şi B (figura nr. 2.4.b), se numeşte eroare de principiu a nivelmentului geometric geodezic.

9 cu ω se notează viteza unghiulară, considerată constantă, cu care se roteşte în jurul axei sale z un punct material cu masa unitară, situat pe suprafaţa Pământului şi având coordonatele x, y, z

Page 18: curs geodezie

- 18 -

figura nr. 2.4.a. Consecinţele suprafeţelor de nivel asupra nivelmentului geometric geodezic

figura nr. 2.4.b.

Pentru obţinerea rezultatului corect, sunt necesare şi determinări gravimetrice

în punctele de capăt ale reţelei de nivelment de ordin inferior care dau posibilitatea calculării diferenţei de potenţial:

W -WdW-dh g BA

B

A

B

A

(2.34)

sau, într-o aproximaţie impusă de posibilităţile practice:

B

ABA h g W -W Δ

(2.35)

Pe un contur închis, trebuie satisfăcută condiţia:

0W-Wdh g AA (2.36)

dar prin realizarea nivelmentului geodezic de ordin superior, controlul efectuat prin calculul neînchiderilor relevă remanenţa erorilor de principiu mai sus menţionate astfel că, pe un contur închis:

0 dhg (2.37)

Concluzie: Pentru liniile şi poligoanele de nivelment de mari dimensiuni, specifice

lucrărilor de nivelment de stat, pentru transmiterea altitudinilor nu este suficientă însumarea simplă a diferenţelor de nivel, ci este necesar să se lucreze cu mărimi derivate, corespunzătoare cu sistemul de altitudini ales.

2.1.3. Linii de forţă. Verticala locului

Verticala locului este curba în spaţiu care intersectează normal familia suprafeţelor de nivel ale potenţialului gravităţii. Verticala reprezintă direcţia de gradient maxim a potenţialului gravităţii. Din (2.4):

dacă 1 n ,gcos s ⇒n ≡ (2.38)

Considerând altitudinea măsurată de la suprafaţa echipotenţială în sus, vectorul hd

se va suprapune peste direcţia normalei n la suprafaţă şi utilizând din nou relaţia 2.2) se deduc, din nou, cele două formule importante pentru geodezia fizică: (2.7) şi (2.8), aceasta din urmă definind diversele sisteme de altitudini.

Page 19: curs geodezie

- 19 -

figura nr. 2.5. Orientarea liniilor de forţă

gravitaţională figura nr. 2.6. Curbura suprafeţelor de

nivel Totodată rezultă şi ecuaţia fundamentală prin care se stabileşte dependenţa dintre depărtarea dh şi diferenţa de potenţial dW existentă între două suprafeţe de nivel infinit apropiate:

dh-g dW (2.39)

2.1.3.1. Curbura verticalei

Curbura, k, se poate exprima şi în funcţie de cosinuşii directori (α, β, γ) ai tangentei la curbă.

Considerând axa P0Z din figura 2.6, tangentă la verticala S2 în P0, curbura va avea expresia:

2222

zzzk

γβα

(2.40)

Tangenta la linia de forţă şi vectorul gravităţii vor avea aceiaşi cosinuşi directori:

zyx Wg1

;Wg1

;Wg1

γβα (2.41)

Cu Wx, Wy, Wz s-au notat derivatele potenţialului în raport de coordonatele x, y, z şi obţinem:

;g

zWW-

zWg

z

;g

zW

W-z

Wg

z

;g

zWW-

zWg

z

2

zx

z

2

yx

y

2

xx

x

γ

∂∂β

α

(2.42)

Deoarece în sistemul de coordonate ales, direcţia axei Z coincide cu direcţia vectorului gravităţii, componentele acestuia pe axele PX şi PY sunt nule, în consecinţă:

gW ;0WW zyx (2.43)

iar formulele derivatelor parţiale ale cosinuşilor directori devin:

Page 20: curs geodezie

- 20 -

x

2x

gg1

z sau

)g(xg

1zx

Wg1

xW

zg1

zW

g1

z

α

α

(2.44)

Deoarece curba S2 este proiecţia verticalei în planul P0XZ, derivata parţială a gravităţii funcţie de coordonata y este nulă şi atunci:

ygg1

z

β iar din egalitatea 0

zygWz

deci raza de curbură a proiecţiei

verticalei în planul XP0Z are expresia:

x1 gg1k

(2.45)

Analog se obţine raza de curbură a proiecţiei verticalei în planul YP0Z:

y2 gg1k

(2.46)

şi conform relaţiei (2.40), curbura medie se poate calcula cu relaţia:

2 2y

2x gg

g1k

(2.47)

2.1.3.2. Deviaţiile verticalei

2.1.3.2.1. Componentele astronomo-geodezice ale deviaţiei verticalei

Observaţiile geodezice efectuate pe suprafaţa fizică sunt raportate la verticala locului (în funcţie de care se orientează axa principală a instrumentului) care este perpendiculară pe tangenta la suprafaţa de nivel a punctul staţionat, notat cu P (motiv pentru care se numeşte normala la suprafaţa de nivel) şi reprezintă direcţia de referinţă. În calcule se folosesc însă şi alte suprafeţe de referinţă (geoid, elipsoid, cvasigeoid – a căror legătură se face prin intermediul telluroidului) pe care punctul staţionat este proiectat prin normalele corespunzătoare. În consecinţă, între acestea direcţii şi direcţia verticalei se formează nişte unghiuri mici (de ordinul secundelor de arc), denumite unghi de deviaţie a verticalei. Astfel: deviaţia verticalei raportată la normala la suprafaţa elipsoidului, notată cu u, este, conform lui Helmert, unghiul format în punctul P (la nivelul terenului); deviaţia verticalei raportată tot la normala la suprafaţa elipsoidului, notat cu u0, este, conform lui Molodenski, unghiul format în punctul P0 (pe suprafaţa geoidului); deviaţia verticalei raportată la normala la suprafaţa cvasigeoidului, notată cu uN, este, conform lui Pizetti, unghiul format în punctul P (la nivelul terenului). Dacă se notează:

φ, λ coordonatele geodezice în ipoteza Helmert φN, λN coordonatele geodezice în ipoteza Molodenski φP, λP coordonatele geodezice în ipoteza Pizetti

se obţin (Torge, 1975, Heiskanen şi Moritz, 1967, etc.):

Page 21: curs geodezie

- 21 -

φηλλξφφ

λλφφφ

sec RH - ;

RH-

0 - ;H sin2 ,000170- -N

NN

P

NN)metri(

N

(2.48)

(2.49)

unde: R este mărimea razei medii Gauss în punctul considerat (la latitudinea geodezică φ) HN este altitudinea normală a punctului considerat ξ şi η sunt componentele deviaţiei verticalei Formulele de calcul ale componentele deviaţiei verticalei pot fi determinate pe baza observaţiilor astronomice în punctul P, situaţie în care se numesc componente astronomo-geodezice ale deviaţiei verticalei. Se vor deduce în cadrul capitolului „Reducerea observaţiilor geodezice” şi sunt:

φφξ

φλλη-

cos -

aa

aa

(2.50) (2.51)

Aceste mărimi au un caracter relativ deoarece sunt referite la un anumit elipsoid şi sunt determinate într-o anume reţea de triangulaţie (practic mărimile lor depind de coordonatele geodezice φ, λ). Datorită unor condiţii obiective, aceste determinări au fost efectuate numai în punctele fundamentale (punctele Laplace), restul valorilor fiind aproximate prin procedeul interpolării.

2.1.3.2.2. Componentele gravimetrice ale deviaţiei verticalei

Deviaţia gravimetrică a verticalei poate fi determinată prin mai multe metode, dintre care, la noi în ţară a fost utilizată metoda F. A. Vening – Meinesz. Pentru deducerea lor se consideră în figura nr. 1.3.a o intersecţie a elipsoidului şi geoidului cu un plan de azimut oarecare, notat cu A. De aici se observă că expresia componentei deviaţiei în acest plan, notată cu ε, este:

dsdN-ε

(2.52)

La rândul ei se exprimă în funcţie de componentele pe cele două direcţii: ξ (în meridian) şi η (în direcţia est vest), ilustrate în figura nr. 1.3.b, proiectate pe

segmentul ZZ :

sinA cosA

A-180cos -90-Acos 00

ηξεξηε

(2.53)

Sub condiţia aproximării elipsoidului cu sfera de rază medie Gauss, R, componenta în meridian va avea expresia (2.54) iar cea în direcţia est – vest va avea expresia (2.55):

φηε

λφξε

d Rdssd ;

d cos Rdssd ;

m

p

(2.54) (2.55)

iar din (2.52) rezultă:

λφη

φξ

N cos R1

dsdN

N R1

dsdN

p

m

(2.56)

(2.57)

Page 22: curs geodezie

- 22 -

Se obţine astfel legătura analitică dintre deviaţia verticalei şi ondulaţia geoidului. Formulele se prelucrează în continuare prin calculul expresiilor derivatelor şi se pot exprima în funcţie de anomaliile gravităţilor, notate cu Δg, obţinându-se formulele Vening - Meinesz care nu se mai pretind.

2.2. Geoidul

Ulterior10 s-a convenit că, suprafaţa, având ca imagine fizică, într-o aproximare destul bună, suprafaţa medie şi liniştită a mărilor şi oceanelor (când se află în echilibru), prelungită pe sub continente, satisface cerinţele mai sus amintite. Deoarece este o suprafaţă de nivel închisă, fără nici o muchie dar ondulată, generează un corp geometric foarte complicat (care nu poate fi reprezentat analitic) denumit geoid care nu suportă prelucrări matematice11.

Geoidul terestru rămâne însă suprafaţa de referinţă fundamentală a geodeziei deoarece este o suprafaţă ce poate fi intuită şi, de asemenea este reală, determinabilă prin măsurători locale de astronomie geodezică, geodezie satelitară, geodezie fizică (gravimetrie) şi topografie (nivelment de stat de ordin superior).

Suprafaţă de nivel a geoidului poate fi definită ca fiind locul geometric al punctelor în care verticala locului (care se mai numeşte şi normala la geoid) este perpendiculară pe tangenta la suprafaţă, dar în acelaşi timp poate fi definită ca fiind locul geometric al punctelor în care aceeaşi direcţie principală este tangentă la liniile de forţă ale câmpului gravific terestru. Tangenta se mai numeşte şi direcţia firului cu plumb sau direcţia vectorului gravităţii. După cum se observă din figura nr. 2.5, liniile de forţă sunt îndreptate cu concavitatea spre poli, au curbura crescătoare de la poli spre ecuator şi nu trec prin centrul de masă al Pământului.

Ecuatorul geoidului este locul geometric al punctelor care au latitudinea astronomică φa 00. Paralelul geoidului este definit de ecuaţia φa constant, respectiv meridianul geoidului este definit de ecuaţia λa constant. Datorită structurii interne a Pământului aceste curbe sunt extrem de complexe (foarte ondulate dar fără muchii sau vârfuri).

Suprafaţa geoidului este suprafaţa de referinţă altimetrică absolută (denumită şi de nivel absolut sau de nivel 0) a reţele geodezice de sprijin naţională.

Determinările coordonatelor altimetrice ale punctelor au sunt referite la un reper de cotă „0” absolut, situat la nivelul mediu al mării adică, pe suprafaţa echipotenţială a geoidului, având potenţialul real notat cu W (O).

0Wz y, ,xW (2.1)

Actualmente, la noi în ţară, sistemul oficial de referinţă altimetric se numeşte Sistem de coordonate 1985, reperul fundamental fiind materializat în portul Tomis din Constanţa.

10 Listing, în anul 1873 11 deşi denumirea propusă de F. K. Gauss a fost „figura matematică a Pământului”

Page 23: curs geodezie

- 23 -

2.3. Sferoidul de nivel

Suprafaţa de nivel este o suprafaţă curbă foarte ondulată care însă, din punct de vedere matematic (analitic), nu satisface cerinţele preciziei măsurătorilor geodezice, astfel încât, într-o aproximaţie mai bună, forma Pământului se identifică un sferoid de nivel care este tot o suprafaţă echipotenţială, determinabilă din punct de vedere analitic. Marele dezavantaj este că formulele matematice cel definesc sunt extrem de complexe. O soluţie de compromis este alegerea unei suprafeţe care, pe de o parte, să aproximeze în bune condiţii forma Pământului, iar pe de o parte să poată fi prelucrată din punct de vedere matematic şi căreia să i se poată determina valoarea potenţialului şi al gravităţii. Aceasta este considerată ca fiind forma normală a pământului corespunzător căreia avem potenţialul normal U şi gravitatea normală notată cu . Diferenţa dintre potenţialul normal şi cel real al Pământului, notat cu W, se numeşte potenţial perturbator. Această descompunere a potenţialului facilitează determinarea din geodezia fizică, deoarece considerând cunoscută masa Pământului potenţialul normal se poate considera ca având o valoare unică astfel încât prin măsurători urmează să se determine cu nişte valori mici corespunzătoare potenţialului perturbator.

2.4. Elipsoidul de nivel

Din considerentele expuse mai sus, într-o aproximaţie de ordinul doi, elipsoidul de rotaţie poate fi adoptat ca figură a Pământului. De aceea se acceptă că figura normală a Pământului este un elipsoid de nivel12 adică, acel elipsoid reprezentând o suprafaţă normală a unui câmp gravific normal. Acceptând această definiţie, funcţia potenţială U(x, y, z) are expresia:

222 yx

21VU ω

(2.59)

complet determinată în cazul în care se cunosc: forma elipsoidului de rotaţie (semiaxele a şi b); masa totală a Pământului, M; viteza unghiulară, .

12 Level Ellipsoid (lb. engleză)

Page 24: curs geodezie

- 24 -

CAPITOLUL III

SUPRAFEŢE DE REFERINŢĂ ŞI SISTEME DE COORDONATE ALTIMETRICE

3.1. Suprafeţe de referinţă altimetrice

Reamintim că, un punct situat pe suprafaţa fizică a Pământului este în permanenţă supus la acţiunile unor forţe: forţa de atracţie terestră sau a altor corpuri cereşti precum şi forţa centrifugă, datorată rotaţiei Pământului în jurul axei sale. Forţa rezultantă se numeşte gravitate sau greutate, se notează cu g, direcţia sa fiind de-a lungul liniei de forţă la care normala la suprafaţa geoidului este tangentă13 în P0, conform figurilor nr. Această direcţie existentă, din punct de vedere fizic în natură se numeşte verticalei locului, notată cu V deoarece se poate pune în evidenţă cu firul cu plumb. După calarea perfectă a instrumentului de lucru direcţia verticalei locului coincide cu axa principală a acestuia, notată cu VV.

Această primă direcţie fundamentală din natură, la care se referă măsurătorile geodezice, trebuie luată în considerare la adoptarea şi utilizarea diferitelor sisteme de referinţă. Aşa după cum se va vedea, în cadrul sistemului de coordonate geografice–geodezice (φ, λ, HE) altitudinea elipsoidală, notată cu HE a unui punct P are două componente: altitudinea de pe suprafaţa terestră, notată cu HORT determinată prin măsurători de nivelment (corectate cu corecţia ortometrică), faţă de o suprafaţă de referinţă materială (geoidul) la care se însumează algebric ondulaţia geoidului, notată cu N, determinată prin calcul faţă de o suprafaţă de referinţă imaginară (elipsoidul).

NHH ORTE (3.1)

Conform figurii nr.1.5, altitudinea elipsoidală se măsoară de-a lungul normalei, N, la suprafaţa elipsoidului pe când cele două componente ale sale se măsoară de-a lungul verticalei locului, V, între aceste două direcţii formându-se în realitate unghiul de deviaţie a verticale, u dar, în această situaţie se consideră că lungimea acestor segmente este aproximativ egală.

În continuare, se vor prezenta numai acele sisteme de altitudini a căror componentă principală se poate determina prin măsurători. Toate sistemele de altitudini vor avea ca punct de plecare punctul de cotă „0” absolut, situat la nivelul mediu al mării adică, pe suprafaţa echipotenţială a geoidului având potenţialul real notat W (0) constant, deoarece aici se presupune că, suprafeţele de nivel coincid sau diferă cu cantităţi mici, determinabile (anomalii), aşa după cum se va vedea ulterior.

Din aceste considerente, în cadrul reţelei de nivelment de stat (componentă a reţelei geodezice naţională de sprijin) se efectuează măsurători nivelment geometric geodezic corelate la capetele marilor lanţuri cu determinări gravimetrice după cum s-a văzut în 2.1.2.2. După cum se ştie, ecuaţia suprafeţei de nivel este: W (x, y ,z) constant, iar a geoidului W(O) 0

13 normala proiectează punctul P de pe suprafaţa fizică pe suprafaţa geoidului în punctul P0, acolo este perpendiculară pe tangenta la suprafaţă

Page 25: curs geodezie

- 25 -

Considerând un punct, A, situat pe suprafaţa fizică a Pământului prin care trece suprafaţa echipotenţială având W(A) constant se poate scrie (conform 4.5) expresia diferenţei de potenţial dintre cele două puncte:

dW W(O) – W(A) - g dh (3.2) În cadrul acestei relaţii cu dh se notează diferenţa de nivel, potenţialul gravităţii

se notează cu W (se mai numeşte şi potenţial real) şi reprezintă rezultanta mai multor forţe dintre care, sunt luate în considerare, după cum ştim, de la 1.1, gravitaţia şi forţa centrifugă.

O suprafaţă de nivel poate fi definită ca fiind suprafaţă în a căror puncte verticala locului sau normala la geoid este perpendiculară, dar în acelaşi timp poate fi definită ca locul geometric al punctelor în care aceeaşi direcţie principală este tangentă la liniile de forţă a câmpului gravific terestru

3.2. Sisteme de coordonate altimetrice

Se pot defini o mulţime de sisteme de coordonate altimetrice dintre care vom studia numai pe acelea a căror parte principală se poate determina prin măsurători de nivel. După cum ştim toate acestea au ca origine un punct de cotă 0 situat la nivelul

mărilor şi oceanelor adică pe geoidul de potenţial (W 0 ) constant

Considerăm pe suprafaţa fizică un punct A, W(A) constant Diferenţa de potenţial dintre cele două puncte se scrie (conform 1.88) astfel:

A

0

dhg 0WAWdW ⇒ 0A HHdh (3.3)

în cazul acestei relaţii cu g se notează gravitatea reprezentând de fapt gradientul vertical negativ al potenţialului gravităţi (măsurat în sensul creşterii altitudinii).

A

O0A g

dWHH⇒ (3.4)

În geodezie diferenţa de potenţial dintre două puncte se numeşte număr geopotenţial şi se notează cu C având deci expresia dW:

A

0

dhg)A(W)0(WC (3.5)

Este de interes să exprimăm cota unui punct A sub forma unei relaţii ce poate fi privită ca o definiţie fizică a altitudinii, preferabilă unei definiţii geometrice:

gC

)]0(W)A(W[g1

HA (3.6)

în cadrul căreia g reprezintă gravitatea medie, măsurată de-a lungul verticalei locului

ce trece prin A. Geometric, putem defini altitudinea prin următoarea formulă:

FCH

(3.7)

unde F reprezintă o mărime fizică dinamică în funcţie de care, putem defini o mulţime de sisteme de altitudini, conform celor ştiute din 2.1.1.

Page 26: curs geodezie

- 26 -

3.2.1. Altitudinea dinamică

Dacă înlocuim în formula generală pe F cu 0 ce reprezintă gravitatea normală, măsurată la o altitudine oarecare, obţinem formula fizică ce exprimă altitudinea dinamică:

0F γ ; 0

DA

)A(CH

γ

(3.8)

Acest tip de altitudine are marele avantaj că nu depinde de drumul parcurs de nivelment.

Mărimea sa principală o reprezintă altitudinea determinată prin nivelment

geometric de precizie la care se adaugă aşa-numita corecţie dinamică notată cu Dε astfel încât expresia diferenţelor de nivel dinamică dintre două puncte:

B

A00

DA

DB

DBA dhg1)]A(C)B(C[1HHH

γγΔ -

dh g1HB

A0

DBA

γΔ - 0γ

B

A 0

0B

A

gdhγ

γ

(3.9)

Primul termen reprezintă diferenţa de nivel obţinută prin nivelment geometric, iar a doua parte este chiar expresia corecţiei dinamice.

dh-gB

A 0

0DBA γ

γε - (3.10)

Diferenţa de altitudine dinamică este: Dmas

BAD

BA HH Β-Α-- εΔΔ (3.11)

Relaţia poate fi utilizată pentru calculul diferenţei numerelor geopotenţiale: D

BA0mas

BA0A HC --B εγΔγ-C (3.12)

deoarece toate mărimile din partea dreaptă a egalităţii sunt determinabile.

3.2.2. Altitudinea ortometrică

Dacă înlocuim în formula generală pe F cu g se obţine altitudinea ortometrică:

g)A(C

HORTA

(3.13)

Suprafaţa de nivel „0” Suprafaţa de referinţă absolută

Suprafaţa echipotenţială W0

figura nr. 3.1

Page 27: curs geodezie

- 27 -

unde aşa cum am mai spus g reprezintă gravitatea medie măsurată de-a dreptul

verticalei locului V din punctul A şi se poate defini printr-o relaţie de genul:

dzzgH

0

H1g

(3.14)

unde prin g(z) s-a dat gravitatea în punctul curent M şi este pe verticala punctului A, la altitudinea ortometrică z (figura nr. 3.1).

Reiese că altitudinea ortometrică are o interpretare parametrică clară, reprezentând diferenţa dintre geoid şi punctul A de pe suprafaţă fizică a Pământului, masurată de-a lungul verticalei din A.

Această relaţie este utilizată mai mult pentru determinarea altitudinilor ortometrice decât ca relaţie de calcul deoarece, în general, numerele geopotenţiale, notate cu C, nu sunt cunoscute precis. Pentru calculul practic se preferă metoda corectării rezultatelor nivelmentului geometric cu aşa numita corecţie ortometrică:

)HH()HH(H

)HH(HHHHHHHDA

ORTA

DB

ORTB

DBA

DA

DB

DA

DB

ORTA

ORTB

ORTA

ORTB

ORTBA

--Δ

----Δ

-

-

(3.15)

în cadrul căreia, altitudinile dinamice ale celor două puncte sunt: D

AAORTA

DA 0

HH ε ; DBB

ORTB

DB 0

HH ε

figura nr. 3.2

unde H A şi H B sunt altitudinile determinate prin nivelment geometric:

DBB

DAA

DBA

masBA

ORTBA 00

HH ----- ε-εεΔΔ

expresia corecţiei ortometrice este: D

ABD

AD

BORT

B 00 --Α-Α-Α ε-εεε

(3.16)

(3.17)

iar pentru calculul acesteia se înlocuiesc termenii:

B0

0BB

AA

0

0A

0

0ORTBA HgHgdhg

γγ--

γγ-

γγ-ε ∑

(3.18)

g valoarea medie a gravităţii de-a lungul porteei i

BA g,g valorile medii ale gravităţii de-a lungul liniilor de forţă AA0 şi BB0 0γ valoarea gravităţii normale la o anumită latitudine

3.2.3. Altitudinea normală

Dacă înlocuim în formula generală pe F cu Aγ :

Page 28: curs geodezie

- 28 -

B0

0BB

AA

0

0A

0

0ORTBA HgHgdhg

γγ- -

γγ-

γγ-ε ∑

(3.19)

Potenţialul normal al suprafeţei elipsoidului în proiecţia punctului A este:

A

NA

)A(CU

γ

(3.20)

unde A gravitatea normală medie de-a lungul normalei la elipsoid în punctul A

figura nr. 3.3

El este proiectat pe suprafaţa elipsoidului prin normala în A 0 ea este normala

la elipsoid de potenţial normal .ctU0 se alege punctul A 1 al cărui potenţial normal

U(A1) să fie egal cu potenţialul real W(A). Distanţa AA 01 măsurată de-a lungul

normalei defineşte altitudinea normală a punctului A, notată: NAU (figura nr. 3.3).

figura nr. 3.4

Dacă pentru fiecare punct Mi de pe suprafaţa fizică a Pământului se defineşte

punctul corespunzător, 'iM totalitatea acestora se vor afla pe o suprafaţă de nivel,

denumită suprafaţă hipsometrică sau telluroid (datorită proprietăţii AWAU 1 se

mai numeşte suprafaţă sumă şi se notează cu ). Distanţa AA1 dintre suprafaţa fizică

şi suprafaţa trigonometrică se numeşte anomalie a înălţimi şi se notează cu Aζ .

Page 29: curs geodezie

- 29 -

Determinarea practică a altitudinii normale nu este posibilă deoarece suprafaţa de referinţă, elipsoidul, nu este o suprafaţă materială. Pentru rezolvarea problemei M.S. Molodenski (1945) a introdus o suprafaţă ajutătoare numită cvasigeoid.

Fiecărui punct Mi a suprafeţei pământului îi corespunde o altitudine normală NMi

H şi o anomalie a înălţimi iHζ (figura nr. 3.4). Dacă pe normalele 0

iiHH se i-au

segmentele iH

'i

oi HH ζ se obţine suprafaţa cvasigeoidului:

Din definiţia cvasigeoiului rezultă două proprietăţi foarte importante ale acestuia:

cvasigeoidul nu este o suprafaţă echipotenţială deoarece nici suprafaţa hipsometrică, prin intermediul căreia este determinat, nu este o suprafaţă echipotenţială; pe suprafaţa mărilor şi a oceanelor cvasigeoidul coincide cu geoidul iar între acestea şi suprafaţa elipsoidului, diferenţa o reprezintă anomala înălţimii, oζ ,

conform figurii nr. . În acest caz, numerele cvasipotenţiale ale punctelor Mi vor fi 0 şi ca o

consecinţă şi altitudinile normale vor fi 0. De aici rezultă că altitudinile punctelor situate pe suprafaţa mărilor măsurate de

la elipsoid vor fi egale cu anomalia înălţimi deci că pentru un punct de staţie şi un punct vizat, ζ poate fi definită ca distanţa dintre suprafaţa de vizare a potenţialului

real W(M) şi cea a potenţialului normal U(M). )()( MU-MWζM

M

0

dh g0WMW ; M

0

dh g0UMU

(3.22)

(3.23)

unde 0 este punctul iniţial al nivelmentului (punctul fundamental de cotă o absolut), situat la nivelul mării. Introducerea cvasigeoidului dă posibilitatea obţinerii altitudinii normale ca sumă a două componente:

NmasN HH ε (3.24)

Hmăs altitudinea măsurată prin nivelment geometric Nε corecţia normală

Relaţia de definire a altitudinii normale este următoarea:

A

AA

NA

0

dh g1Hγ

(3.25)

A puncte pe suprafaţa fizică A0 puncte pe elipsoid

Aγ valoarea medie a gravitaţiei de-a lungul normalei între A şi A0 care se

calculează cu relaţia:

NAH

0

NNA

A dH H1 γγ

(3.26)

Page 30: curs geodezie

- 30 -

CAPITOLUL IV

SUPRAFEŢE MATEMATICE DE REFERINŢĂ

4.1. Elipsoidul de rotaţie

Corpul care aproximează cel mai bine geoidul şi în acelaşi timp se supune unor legi matematice cunoscute este elipsoidul de rotaţie cu turtire mică la poli ce se mai numeşte şi elipsoid terestru de rotaţie. Această noţiune a fost introdusă în anul 1600 de către fizicianul britanic Isaac Newton sub denumirea de elipsoid de revoluţie terestru.

figura nr. 4.1. Secţiune meridiană a

elipsoidului de rotaţie Spre deosebire de geoid, elipsoidul de rotaţie este un corp matematic imaginar,

obţinut prin calcule matematice (generat prin rotirea unei elipse în jurul axei sale mici ce se suprapune peste axa polilor geografici). În cadrul figurii nr. 4.1 este prezentată o secţiune meridiană a elipsoidului iar din studiul acesteia se observă următoarele:

perpendicular pe axa polilor geografici, notată cu PNPS, împărţind-o în două

segmente egale ca lungime: bOPOP SN (ce se numesc semiaxele mici ale

elipsoidului) se află direcţia cardinală WE cuprinsă în planul ecuatorial elipsoidal care, la rândul ei este împărţită în două segmente egale ca

lungime: bOEWO (ce se numesc semiaxele mari ale elipsoidului); aceste două direcţii se intersectează în centrul matematic al elipsoidului,

notat cu O. Semiaxa mare, notată cu a şi semiaxa mică, notată cu b reprezintă parametri

elipsoidali. Descrierea completă a unui elipsoid de rotaţie se poate face, prin intermediul a doi parametrii, dintre care, în mod obligatoriu, unul trebuie să fie liniar. Aceşti parametri se numesc parametrii principali.

De regulă sunt utilizate semiaxa mare notată cu a, cunoscută şi sub denumirea de rază ecuatorială, semiaxa mică, notată cu b şi turtirea geometrică, notată cu α pentru care, în litera tura de specialitate se mai întâlneşte notaţia f14:

aba -α 003,0

3001

(4.1)

14 deoarece cu α se notează valori oarecare pentru unghiuri şi azimute astronomice

Page 31: curs geodezie

- 31 -

După cum se observă, turtirea elipsoidului terestru are o valoare destul de mică. Acest fapt este explicabil prin faptul că Pământul face parte dintre aşa-numitele planetele terestre (Mercur, Venus, Marte, Pluto şi Quaoar) deoarece au proprietăţi asemănătoare cu ale acestuia, şi anume: dimensiuni şi mase mici, densităţi mari, rotaţii axiale lente, formă rotundă sau elipsoidală cu turtire mică la poli, atmosferă mai puţin extinsă şi un număr redus de sateliţi artificiali.

Parametrii secundari ai elipsoidului de referinţă sunt: α 1ab reprezintă semiaxa mică sau raza polară (4.2)

2

22

abae -

ce se numeşte prima excentricitate numerică (4.3)

2

22

bbae -

ce se numeşte a doua excentricitate numerică (4.4)

2b-2aE ce se numeşte excentricitatea liniară (4.5)

bac

2

ce se numeşte raza de curbură polară (4.6)

În unele calcule se utilizează următoarele constante geometrice:

baba n' ;

baba'm 2

2

--2

2

(4.7)

Între parametrii principali şi secundari ai elipsoidului de referinţă se pot stabili, prin calcule simple, diverse relaţii matematice. Astfel, din prelucrarea relaţiei (4.1) rezultă:

'n1'n1a1ab baa

α-⇒-α

ab11

ab αα-⇒

(4.8) Din prelucrarea relaţiei (4.2) rezultă:

21

22 22222222 e1ae1abe1abbaea -⇒- (4.9)

αα-α--α--- 22111-1ab1

abae 22

2

2

2

222

(4.10)

Această aproximaţie se numeşte aproximaţie de ordinul I şi este permisă, ţinându-se cont de valoarea mică a turtirii.

22

2

2

22 e1

ab

ab1e -⇒- 4.11)

Din prelucrarea relaţiei (4.3) rezultă:

1eba1

ba

bbae 2

2

2

2

2

2

222 -⇒-- 22

2

e11

ab

(4.12)

Prin egalarea relaţiilor (4.11 ) şi (4.12) rezultă:

22

e11e1

- 2

2

2

22

e1e

e11e11e

--⇒ (4.13)

În mod analog, se obţin relaţiile:

Page 32: curs geodezie

- 32 -

2

2

2

2

22

22

e1e

e11e1

e111e

e11e1

----

--⇒

--

(4.14)

Din expresiile de mai sus:

222 2

22

222

222

2 2

'e1be1

b

e1

a1

ac

'm1'm2

'n1'n4

'e1'e2e

'm1'm11

'n1'n2

'e111e11

α

αα

α

(4.15)

(4.16)

(4.17)

Prin dezvoltări în serie a relaţiilor anterioare se obţine:

128'e35

16'e5

8'e3

2'e...

128e5

16e

8e

2e 86428642

α (4.18)

Din punct de vedere practic însă, se lucrează cu elipsoidul de referinţă care este determinat din punct de vedere a mărimii parametrilor şi definit ca fiind acel elipsoid utilizat, la un moment dat, de către un stat sau un grup de state pentru rezolvarea problemelor geodezice, în speţă pentru întocmirea hărţilor topografice de bază.

De-a lungul timpului, funcţie de stadiul dezvoltării ştiinţelor măsurătorilor terestre (în ceea ce priveşte posibilităţile de determinare a coordonatelor punctelor geodezice) sau a dezvoltării tehnologice au existat mai multe metode de determinare a parametrilor elipsoidului de referinţă: metode geometrice (bazate pe măsurători de distanţe efectuate în cadrul unor lanţuri de triangulaţie statale sau internaţionale dispuse de-a lungul meridianelor şi paralelelor), metode fizice ce se bazează pe măsurători gravimetrice şi, în ultimele decenii, metode satelitare.

Elipsoizii de referinţă utilizaţi în anumite perioade şi pe anumite regiuni istorice în ţara noastră, în scopul realizării reţelei geodezice de sprijin şi întocmirii hărţii topografice de bază sunt cei cuprinşi în tabelul nr. 4.1.

Alegerea elipsoidului de referinţă are o mare importanţă deoarece, la suprafaţa acestuia, se raportează toate măsurătorile geodezice şi topografice. Parametrii şi orientarea elipsoidului trebuie alese astfel încât, pentru zona de reprezentat, suprafaţa acestuia să se apropie cât mai mult de cea a geoidului. Posibilităţile de determinare cât mai justă a parametrilor elipsoidului cresc pe măsura perfecţionării tehnologiilor de măsurare şi procesare a datelor.

Orientarea elipsoidului se referă la stabilirea coordonatelor geografice ale punctului fundamental (punctului Laplace), a azimutului acestuia faţă de un alt punct precum şi la determinarea poziţiei reciproce dintre suprafaţa elipsoidului şi cea a geoidului în acel punct. Punctul fundamental este un punct faţă de care se stabilesc coordonatele punctelor reţelei de sprijin geodezice.

Dacă pe viitor, se va adopta elipsoidul WGS ′84 pentru alinierea la cerinţele UE, sau se va stabili un alt elipsoid, prin devenirea funcţionabilă a „constelaţiei satelitare GALILEO”, este foarte important să se rezolve pe plan naţional cunoaşterea ondulaţiei geoidului în mult mai multe puncte decât în prezent pentru obţinerea de valori cât mai juste a coordonatelor determinate prin tehnologii GNSS.

Page 33: curs geodezie

- 33 -

tabelul nr. 4.1. Elipsoizii de referinţă utilizaţi/propuşi spre utilizare în ţara noastră

parametri principali nr. crt.

denumire elipsoid

anul calculării semiaxa mare/

semiaxa mică (m)

turtirea geometrică

perioada utilizării, regiunea

1 Bessel 11841

6.377.397,155 1:299,2 1873 – 1916 în Ardeal, Bucovina, Transilvania

2 Clarke 11880

6.378.249,145 6.356.514,86955

─ 1916 – 1930 în provinciile româneşti

3 Hayford 11909

6.378.388,000 1:297,0 1930 – 1951 pentru întreg teritoriu românesc

4 Krasovsky 1940 6.378.245,000 1:298,3 din 1951 şi până azi pentru întregul teritoriu românesc în domeniul civil

5 WGS ΄84 1984 6.378.137,000 1:298,2572235636

de la aderarea la NATO în domeniul militar

6 GRS ΄80

1980 6.378.137,000 6.356.752,3144

─ este propus la nivelul UE pentru implementarea ETRS′80

4.2. Sfera de rotaţie

Spre deosebire de elipsoid, sfera este un corp de rotaţie mai abordabil din punct de vedere matematic deoarece are raza constantă. Sfera este corpul matematic de rotaţie generat prin rotirea unui cerc de rază medie în jurul diametrului său ce se presupune a fi suprapus peste axa polilor geografici PNPS. În cadrul sferei de rotaţie se neglijează turtirea la poli deoarece, cu precădere, această suprafaţă se utilizează în cartografie în cazul reprezentărilor la scări medii şi mici (pentru întocmirea hărţilor geografice). Această suprafaţă matematică de referinţă se poate adopta şi în calculele geodezice în două situaţii:

atunci când utilizarea sferei nu influenţează precizia de determinare a elementelor necesare;

atunci când calculele geodezice ar fi extrem de laborioase utilizând ca suprafaţă de referinţă matematică elipsoidul.

În acest caz trebuie calculată valoarea razei medie a sferei ce va înlocui elipsoidul. În funcţie de scara, tematica, scopul pentru care se întocmeşte harta, etc. există mai multe posibilităţi de calcul a acesteia: 1. ca medie aritmetică simplă:

2baRm

(4.19)

2. ca medie aritmetică ponderată:

3b+a2Rm

(4.20)

3. în cazul proiecţiilor cartografice echivalente se pune condiţia ca ariile de pe suprafaţa terestră să se reprezinte nedeformate din punct de vedere valoric în planul de proiecţia cartografică şi pentru aceasta se pune condiţia de echivalenţă între suprafaţa elipsoidului şi cea a sferei astfel încât, formula de calcul a razei medii este:

2

m e611aR

(4.21)

Page 34: curs geodezie

- 34 -

În geodezie însă, în situaţiile mai sus amintite, se obişnuieşte să se calculeze raza medie cu expresia (4.24) obţinută din expresiile curburii unei secţiuni normale Rn (4.23) exprimată apoi funcţie de azimutul geodezic RA (4.22):

raza sferei medii Gauss

NRM;N

AsinM

AcosR1

R1

m

22

An

= φφ 22An sinMcosN

NMRR

2

2

m Wb

VcNMR

(4.22)

(4.23)

(4.24)

determinată de către matematicianul, fizicianul, astronomul Karl Friederich Gauss (1777 – 1855) în cadrul căreia notaţiile au următoarea semnificaţie:

M reprezintă raza de curbură a secţiunii normale principale meridiane; N reprezintă raza de curbură a secţiunii normale principale a primului

vertical; c reprezintă raza de curbură polară; W reprezintă un parametru auxiliar cu notaţia:

)sin e - (1W 22 (4.25)

V reprezintă un parametru auxiliar cu notaţia: φ22 cos'e1V (4.26)

Pentru un elipsoid dat, aceştia sunt funcţie de latitudine, exemplificată prin dezvoltarea în serie:

φ

φ

φ

φ

8cos'e49152

15-

6cos'e49152120'e

15363

4cos'e49152420'e

153618'e

641-

2cos'e49152840'e

153645'e

644'e

41

'e49152525'e

153630'e

643'e

411V

8

86

864

8642

8642

(4.27)

Prin intermediul acestei formule valoarea razei medii este calculabilă în funcţie

de latitudinea geografică – geodezică, notată cu φ care poate fi cea corespunzătoare

centrului teritoriului de reprezentat, centrului de greutate al unui triunghi geodezic sau mijlocului unei direcţii de azimut oarecare. Din acest considerent, o astfel de sferă de rază medie nu poate înlocui în totalitate suprafaţa elipsoidului de referinţă ci numai porţiunea din suprafaţa acestuia situată la latitudinea pentru care s-a calculat.

4.3. Sisteme de coordonate

Poziţia unui punct se defineşte în funcţie de: modul de materializare a acestuia, de metodele de măsurare şi prelucrare, etc.

Page 35: curs geodezie

- 35 -

Dacă ne interesează poziţia punctului pe o direcţie şi numai una (spaţiul 1D), putem alege o origine arbitrară pe acea direcţie (figura nr. 4.2).

O P 1D

figura nr. 4.2

Se determină astfel, un sistem format din: direcţia dreptei, un punct origine, ales în mod convenabil şi direcţia, reprezentată de sensului pozitiv al axei care se numeşte sistem de referinţă.

Putem defini poziţia unui punct P1 în mod absolut sau în mod relativ: în mod absolut definim poziţia punctului faţă de originea sistemului de referinţă, iar în mod relativ, poziţia punctului P1 se defineşte faţă de poziţia unui punct anterior Pi-1.

În spaţiul bidimensional (spaţiul 2D) poziţia unui punct se mai poate determina prin intersecţia a două drepte cu o singură dimensiune. Intersecţia celor două sisteme este sub formă de unghi drept (sistem cartezian ortogonal). Cele două sisteme se numesc convenţional axe de coordonate: axa primară (axa X) şi axa secundară (axa Y).

În matematică, axa secundară este la 90 în sens invers acelor de ceasornic, în geodezie, axa secundară este situată la 90 în sensul acelor de ceasornic faţă de axa primară.

Sistemul de referinţă este definit de: origine (intersecţia celor două axe), axele de coordonate şi sensul pozitiv al axelor. Sensurile pozitive se aleg arbitrar în funcţie de necesităţi dar, de cele mai multe ori, spre punctele cardinale nord şi est.

În România sistemul de referinţă oficial în spaţiul 2D este sistemul de coordonate plane ale proiecţiei „Stereografice 1970”. În acest spaţiu se desfăşoară prelucrarea măsurătorilor terestre al căror scop final este reprezentarea în plan a suprafeţei terestre iar metodele de calcul aferente sunt rezolvate tot în acest spaţiu.

Un alt sistem de coordonate utilizat este cel tridimensional (spaţiul 3D). Acesta rezultă din intersectarea a trei spaţii unidimensionale sau din reuniunea unui spaţiu bidimensional cu unul unidimensional. El are 3 sisteme de referinţă cu o singură dimensiune, necoliniare şi necoplanare, punctul de intersecţie al acestora este originea sistemului iar liniile de referinţă ale sistemului sunt axele de coordonate.

D1D2z,y,xD2D1D2D1

→∪→

(4.28)

Pentru definirea poziţiei unui punct în spaţiu, aferentă unui anumit domeniu se alocă un sistem de referinţă: liniar, curbiliniu, etc. Acest sistem se numeşte sistem de coordonate şi trebuie să asigure calitatea de a defini poziţia anumitor elemente constituite din puncte la nivel teritorial local, regional sau global. Un punct în spaţiu poate fi localizat cu ajutorul sistemelor de coordonate.

În cadrul geodeziei există mai multe criterii de clasificare a sistemelor de coordonate dintre care, se pot enumera următoarele: 1. în funcţie de poziţia originii sistemului de coordonate:

Page 36: curs geodezie

- 36 -

sistem de coordonate geocentric cu originea în centrul matematic al corpului de rotaţie;

sistem de coordonate cvasigeocentric cu originea în centrul de masă al Pământului;

topocentric, cu originea în punctul de staţie sau polul central al proiecţiei cartografice, ce corespunde originii sistemului de coordonate ale planului de proiecţie cartografică (carteziene ori polare).

2. după formă: sisteme de coordonate carteziene; sisteme de coordonate elipsoidale; sisteme de coordonate naturale, în cadrul cărora se înscriu: sistemele de coordonate geografice–geodezice, sistemele de coordonate astronomice şi sistemele de coordonate astronomo–geodezice.

3. dacă ne referim la poziţia unui corp în mişcare, de exemplu cea a unui satelit artificial putem avea:

sistem de coordonate satelitcentric; sistem de coordonate geocentric sideral; sistem de coordonate orbital.

Dintre acestea vor fi prezentate cele mai utilizate atât în domeniul geodeziei cât şi al cartografiei matematice.

4.3.1. Sisteme de coordonate ale elipsoidului de rotaţie

4.3.1.1. Sistemul de coordonate carteziene ortogonale tridimensionale (X, Y, Z)

Este un sistem de coordonate ortogonale (axele de coordonate se intersectează în origine sub unghiuri drepte), unitar, atât din punct de vedere al unităţii de măsură (metrică), cât şi din punct de vedere al suprafeţei de referinţă unică, pentru cele trei coordonate. Din punct de vedere al originii sistemul de coordonate este geocentric.

S3

S2

S1

ZOS

YOS

XOS

(4.29)

figura nr. 4.3. Sistemul de coordonate

carteziene tridimensionale elipsoidale Axa Z se suprapune peste axa polilor cu sensul pozitiv spre polul nord, fiind

perpendiculară pe planul ecuatorial în centrul matematic al elipsoidului. Axele X şi Y sunt conţinute în planul ecuatorial elipsiodal, perpendiculare una pe cealaltă, axa X

Page 37: curs geodezie

- 37 -

reprezentând intersecţia dintre planul ecuatorial şi planul meridianului Greenwich (meridianul origine pentru măsurarea longitudinilor) cu sensul pozitiv îndreptat spre acesta iar axa Y, având sensul pozitiv spre direcţia cardinală est, conform figurii nr. 4.3.

În cadrul acestui sistem, valoarea coordonatelor unui punct de pe suprafaţa elipsoidului, de exemplu ale punctului S (XS, YS, ZS) se determină prin proiectarea acestuia pe cele trei axe de coordonate carteziene. Pentru determinarea coordonatei ZS se proiectează punctul pe axa polilor, OZ printr-o linie paralelă cu planul ecuatorial sau conţinută în planul cercului de paralel corespunzător. Pentru determinarea coordonatelor plane XS şi YS se proiectează, într-o primă etapă punctul în S' în planul ecuatorial. Prin acesta se duc apoi paralele la axele de coordonate OX ŞI OY. În final, coordonatele vor fi valoric egale cu lungimile segmentelor rezultate: X OS1, Y OS2, şi Z OS3 conform (4.29).

Acest sistem de coordonate este utilizat în geodezia tridimensională (geodezia geometrică spaţială) care reprezintă o ramură relativ recent constituită a geodeziei şi care are ca principal scop definirea, într-un sistem unitar în spaţiul tridimensional, a coordonatelor punctelor reţelelor geodezice de sprijin. Se utilizează în special în determinarea coordonatelor geodezice transcalculate pentru sistemele utilizate pe plan naţional (Stereografic 1970, Gauss – Krüger) din coordonatele oferite, prin intermediul tehnologiilor geodezice spaţiale, de către „constelaţia” de sateliţi USA – NAVSTAR, referite la proiecţia Universal Transversal Mercator (UTM).

4.3.1.2. Sistemul de coordonate geografice – geodezice (φ, λ, ΗE)

Coordonatele geografice – geodezice sunt latitudinea şi longitudinea (mărimi unghiulare ce se măsoară în grade sexagesimale). Pentru simplificare, deoarece se tratează probleme legate de elipsoid, în continuare le vom spune coordonate geodezice.

figura nr. 4.4. Sistemul de coordonate geodezice –

geografice elipsoidale

Latitudinea geodezică φ a unui punct S situat pe suprafaţa fizică este unghiul pe

care îl face normala N la suprafaţa elipsoidului în punctul respectiv (figura nr. 4.4) cu planul ecuatorial. Normala este perpendiculară pe tangenta dusă la suprafaţa elipsoidului în punctul respectiv. Toate punctele având aceeaşi latitudine se situează pe un cerc de paralel de rază constantă cu atât mai mică cu cât ne apropiem de poli. Cercul

Page 38: curs geodezie

- 38 -

de paralel de rază maximă este cercul ecuatorial cu latitudinea de O0. Latitudinile pot fi nordice şi sudice, preluând valori între 00 (la ecuator) şi 900 (la poli).

Longitudinea geodezică este unghiul diedru format de planul meridianului Greenwich cu planul meridianului locului, ce trece prin punctul respectiv şi care are drept muchie axa polilor. Totalitatea punctelor cu aceeaşi longitudine definesc un meridian ce reprezintă un arc cu rază de curbă variabilă în funcţie de valoarea latitudinii. Longitudinile pot fi estice (pozitive) sau vestice (negative) conform cu poziţia meridianului locului faţă de meridianul origine Greenwich şi preiau valori între 00 şi 1800.

Altitudinea sau cota elipsoidală HE are două componente: altitudinea ortometrică, notată cu HORT, ce reprezintă înălţimea punctului măsurată prin nivelment faţă de suprafaţa geoidului şi ondulaţia geoidului, notată cu N, care este diferenţa dintre suprafaţa geoidului şi cea a elipsoidului (conform figurii nr. 4.5). Acestea se însumează algebric pentru determinarea altitudinii elipsoidale:

NHH ORTE (2.1)

Normala N la suprafaţa elipsoidului proiectează punctul respectiv pe axa polilor, în general altundeva decât în centrul de masă al elipsoidului (deşi tinde să ajungă în centrul matematic al elipsoidului atunci când direcţia sa se suprapune peste axa polilor sau este conţinută în planul ecuatorial). După cum se va putea constata ulterior, singura situaţie în care, din punct de vedere valoric, se identifică cu una dintre semiaxele elipsoidului este atunci când punctul se suprapune unuia dintre polii geografici.

figura nr. 4.5. Modul de determinare a altitudinii

elipsoidale în funcţie de cea ortometrică 4.3.2. Sisteme de coordonate ale sferei de rotaţie

4.3.2.1. Sistemul de coordonate geografice (φ, λ)

Se aseamănă cu cel anterior dar are ca suprafaţă matematică de referinţă sfera. Este utilizat pentru realizarea hărţilor în general în domeniul geografiei dar şi în domeniul ştiinţelor măsurătorilor terestre, în două situaţii:

atunci când calculele geodezice sau cartografice sunt prea dificile utilizând elipsoidul;

Page 39: curs geodezie

- 39 -

atunci când precizia de determinare a unor valori nu este afectată de utilizarea sferei.

Latitudinea este unghiul format de verticala locului, numită şi normala la suprafaţa geoidului, în acel punct, cu planul ecuatorial sferic, iar verticala locului trece întotdeauna prin centrul sferei. Longitudinea se defineşte la fel ca şi în cazul sistemului de coordonate geodezice –- geografice, anterior prezentat (figura nr. 4.6).

figura nr. 4.6. Coordonatele geografice sferice

4.3.2.2. Sistemul de coordonate sferice polare (A, Z)

După cum s-a prezentat anterior, poziţia unui punct de pe suprafaţa sferei aleasă ca model matematic pentru suprafaţa terestră, poate fi definită prin intermediul unui sistem de coordonate unghiulare (φ, λ) referite în raport cu axa de rotaţie a acesteia, ce coincide cu axa polilor geografici. Liniile de coordonate curbilinii ale acestui sistem, transpuse în planul hărţii o caroiază în aşa-numita reţea cartografică principală, în cazul proiecţiilor drepte sau polare15, în cadrul cărora, se alege ca pol al reprezentării unul dintre polii geografici.

În scopul micşorării sau eliminării unor deformaţii ale elementelor liniare, areolare sau unghiulare, este de multe ori mai avantajos să se aleagă un pol al proiecţiei cartografice, diferit de polul geografic, situat, de regulă, în centrul teritoriului de reprezentat. Acesta se notează cu Q0 (φ0, λ0) şi are latitudinea: 00 φ0 900. În cadrul acestor tipuri de proiecţii cartografice, din punct de vedere al calculelor matematice, ca suprafaţă de referinţă se alege sfera. Pe suprafaţa acesteia, diametral opus polului Q0 se află polul Q0' şi se consideră, într-un mod forţat că această ax, Q0Q0' reprezintă axa de rotaţie a sferei, conform figurii nr. 4.7.

Arcele de cerc ce unesc cei doi poli şi care ar corespunde meridianelor, se numesc verticaluri, de exemplu arcul Q0A1A2A3Q0' sau arcul Q0B1B2B3Q0' iar arcele de cerc generate pe suprafaţa sferei de intersecţia axei Q0 Q0' cu plane perpendiculare pe aceasta şi care ar corespunde paralelelor, de exemplu A1B1, A2B2 şi A3B3 se numesc almucantarate. Verticalurile şi almucantaratele sunt liniile de coordonate curbilinii ale sistemului de coordonate sferice polare iar poziţia punctelor de pe suprafaţa de rotaţie este definită prin coordonatele sferice polare (A, Z).

15 sunt utilizate pentru întocmirea hărţilor la scări mici sau pentru reprezentarea regiunilor circumpolare

Page 40: curs geodezie

- 40 -

Cu A se notează azimutul, care este unghiul măsurat în sens direct (sensul acelor de ceasornic) de la meridianul polului Q0, de longitudine sferică λ0, până la verticalul punctului B.

Cu Z se notează distanţa zenitală ce reprezintă lungimea arcului de vertical dintre polul proiecţiei şi punctul considerat, în acest caz, lungimea arcului Q0B. Această coordonată mai poate fi exprimată şi unghiular (reprezentând ughiul la centrul sferei corespunzător arcului subîntins).

Verticalurile reprezintă locul geometric al punctelor cu A constant iar almu-cantaratele reprezintă locul geometric al punctelor cu Z constant.

Familiile de verticaluri şi almucantarate caroiază suprafaţa sferei de rotaţie formând aşa-numita reţea normală16 care se proiectează în planul hărţii, preluând diferite forme, funcţie de particularităţile respectivei reprezentări.

figura nr. 4.7. Aspectul reţelei normale a

coordonatelor sferice polare figura nr. 4.8. Legătura dintre coordonatele sferice polare (A, Z) şi cele geografice (φ, λ)

În cazul proiecţiilor oblice şi transversale, poziţia unui punct B de pe suprafaţa

sferei se defineşte conform figurii nr. 4.8, prin două rânduri de coordonate: coordonatele geografice (φ, λ); coordonatele sferice polare (A, Z).

Polul Q0 al unei astfel de proiecţii cartografice se alege, de regulă, în centrul teritoriului de reprezentat iar imaginea sa, transpusă în planul de proiecţie cartogra-fică reprezintă originea sistemelor de coordonate plane, polare şi carteziene.

Este important de reţinut faptul că, fără aceste sisteme de coordonate, cartografia nu ar fi putut rezolva problema întocmirii hărţilor iar imaginile liniilor de coordona-te ale acestora, transpuse în planul proiecţiei cartografice (planul hărţii), caroiază suprafaţa acestuia, fie sub forma reţelei cartografice sau principale de meridiane şi paralele fie sub forma reţelei normale de verticaluri şi almucantarate.

Am considerat importantă prezentarea acestui sistem de coordonate deoarece, materialele cartografice avute la dispoziţie aferente regiunii studiate sunt realizate fie în proiecţii transversale (proiecţia cilindrică Gauss – Krüger) fie în proiecţii oblice (proiecţiile azimutale: plan tangent Budapesta şi plan unic secant Stereografică 1970).

16 în cazul particular al proiecţiilor drepte, reţeaua normală se suprapune peste reţeaua principală, cartografică

Page 41: curs geodezie

- 41 -

4.3.2.3. Sistemul de coordonate geocentrice sferice (φ', λa, R)

În cazul în care utilizăm observaţiile efectuate de către sateliţii artificiali în diferite probleme de astronomie, geodezie, gravimetrie sau în telecomunicaţii, meteorologie, navigaţie, etc. este necesar să cunoaştem atât poziţia staţiilor de observare cât şi cea a satelitului. Acestea pot fi definite în mai multe sisteme de coordonate, unul din ele fiind sistemul geocentric sferic.

Pentru definirea poziţiei satelitului există mai multe sisteme de coordonate: ― sisteme legate de Pământ care au denumiri diferite, funcţie de poziţia

originii sistemului de coordonate: geocentrice, atunci când originea este în centrul de masă al Pământului sau topocentrice atunci când originea reprezintă punctul de observare sau staţie;

― sisteme legate de sfera cerească care, de asemenea pot fi geocentrice sau topocentrice.

În cadrul figurii nr. 4.9, R reprezintă raza vectoare adică distanţa de la centrul de masă al Pământului la staţia de recepţie a semnalelor satelitului, notată cu M, φ' este latitudinea geocentrică, λa este longitudinea astronomică. Iniţial se determină coordonatele astronomice, φa, λa iar apoi latitudinea geocentrică se determină cu următoarele formule:

a

6a

6

cosH1568.010CcosR

sinH1568,010SsinR

φφ

φφ

(4.30)

în cadrul cărora S şi C sunt mărimi ce se datorează fenomenului de paralaxă calculabile in funcţie de latitudinea astonomo-geodezică, notată cu φa.

figura nr. 4.9. Sistemul de coordonate sferice (φ', λa, R)

Legătura dintre aceste coordonate sferice şi coordonatele geocentrice tridimen-sionale elipsoidale este dată de următorul grup de formule:

φφ

λφλφλφλφ

sinHe1N'sinRZ

sincosHNsin'cosRYcoscosHNcos'cosRX

2a

a

(4.31)

în cadrul cărora N este raza de curbură a secţiunii normale principale a primului vertical.

Page 42: curs geodezie

- 42 -

Din studiul acestor relaţii se poate scrie că:

h,e,a,,FZYX

λφ

; cunoscând că λ

λλ tg

cossin

XY

; XYarctg λ

E1 H,e,a,Z,Y,XF

λφ ;

λ-φ

sinHe1NHNtg

XZ

E2

E

unde XZarctgsau

YZarctgφ

în funcţie de orientarea sistemului de axe de coordonate.

(4.32)

(4.33)

Dacă, în schimb, se cunosc coordonatele carteziene tridimensionale ale staţiei, notate tot cu X, Y, Z, se pot determina coordonatele geodezice ale acesteia (φ, λ, HE) cu următorul grup de formule:

N

coscosXH

tge11

sineaY

sinZtg

ZY tg

E

22

2

λφ

φ

λλφ

λ

(4.34)

notaţiile din cadrul formulelor având următoarea semnificaţie: a — semiaxa mare a elipsoidului;

e2 — pătratul primei excentricităţi numerice; N — raza secţiunii normale a primului vertical; HE — altitudinea elipsoidală a punctului; Există de asemenea şi relaţii de transformare între parametrii celor două

sisteme de coordonate elipsoidale: sistemul de coordonate geografice – geodezice (de parametri φ, λ, HE) şi sistemul geocentric cartezian tridimensional (de parametri X, Y, Z), numite ecuaţii parametrice ale elipsoidului de rotaţie, ilustrate de figura nr. 4.10:

figura nr. 4.10. Legătura geometrică dintre cele două sisteme de coordonate ale elipsoidului: geografice – geodezice (φ, λ) şi carteziene ortogonale tridimensionale (X, Y, Z)

W

sine1aZ;W

sincosaY;W

coscosaX2 φ-λφλφ

(4.35)

Page 43: curs geodezie

- 43 -

4.4. Ecuaţii parametrice ale elipsoidului de referinţă

Ecuaţia generală a unui elipsoid de referinţă, exprimată sub formă implicită este:

01bZ

aYX

2

2

2

22

-

(4.36)

În afară de aceasta ne interesează să determinăm şi alte relaţii care să facă legătura dintre coordonatele carteziene tridimensionale X, Y, Z şi coordonatele geodezice (, ) ale unui punct S, exprimabile faţă de parametrii elipsoidului (motiv pentru care se mai numesc ecuaţii parametrice). Conform figurii nr. 4.10, legătura dintre acestea este următoarea:

zZ ,yY ,xX

λφλφ

(4.37)

Pentru obţinerea acestora trebuie însă să determinăm ecuaţiile parametrice ale

elipsei meridiene. În figura nr. 4.11 secţiunea meridiană a punctului S conţine un sistem cartezian bidimensional de coordonate x, z ambele exprimabile în funcţie de latitudinea geodezică: φφ zz ,xx .

figura nr. 4.11

Din studiul celor două figuri se observă imediat legătura dintre cele două

sisteme de coordonate:

zZsinyYcosxX

λλ

(4.38)

În acest sistem de coordonate ecuaţia elipsei meridiene, scrisă sub formă

implicită, va fi:

01bz

axz ,xf 2

2

2

2

(4.39)

Page 44: curs geodezie

- 44 -

În cadrul acesteia înlocuim pe 222 e1ab şi înmulţind termenii relaţiei cu a2

obţinem:

0ae1

zz ,xf 22

2

-

(4.40)

Diferenţiind total această funcţie obţinem:

zfxf

xdz0dzzfdxx'fdf sau 0dz

zfdx

xfdf

-d

(4.41)

dar x2xf

şi 2e1

z2zf

-

(4.42)

şi prin urmare: z

e1x

e1z2x2

dxdz 2

2

-

-

-

(4.43)

Din studiul figurii, acest raport reprezintă din punct de vedere geometric panta tangentei la curbă:

φφφφ

sincos

ctg90tgdxdz 0

(4.44)

φ

φφφ-

cossine1xz

sincos

ze1x 22

(4.45)

Înlocuind în funcţia noastră iniţială vom obţine:

φ-

φ⇒

φφ-φφ⇒φ-

φ-

22

2222222222

22222

sine1

cosax

cosasinesincosxacose1

sine1xx

(4.46)

Procedând în mod analog, obţinem:

2e1sincosz

x-φφ

(4.47)

Înlocuind în funcţia noastră iniţială vom obţine:

2

2

2

222

22

ae1

z

sine1

cosz

φ-

φ

2

222

22222

asine1

e1sinzcosz

φ-

-φφ

2222

2222222

asine1

esinzcoszsinz

φ-

-φ-φφ

2222

22222

asine1

sinecossinz

φ-

φ-φφ

φ

φφφ2222

2222222222

sine1ea

sine1zsine1easine1z

φ-

φ-

sine1

sine1az2

2

(4.48)

Ţinând cont de aceste rezultate vom obţine ecuaţiile parametrice ale elipsoidului de rotaţie:

Page 45: curs geodezie

- 45 -

2 -

λφ22 sine1

coscosaX

φ-

λφ2 22 sine1

sincosaY

2 φ-

λ-22

2

sine1

sine1aZ

(4.49)

În geodezie şi proiecţii cartografice datorită complexităţii calculelor o serie de coeficienţi variabili cu latitudinea şi exprimabili în funcţie de parametrii elipsoidului de referinţă denumiţi şi coeficienţi auxiliari, au primit nişte notaţii şi sunt calculaţi în funcţie de latitudine şi întabelaţi în aşa numitele tabele ale elipsoidului.

Coeficienţii sunt: 2 22 sine1W φ- ; 2

222 1cos'e1 ηφV 2

unde: φφφφηφη

cossin

tgt ;cos'ecos'e 222

(4.50)

Dacă ne propunem să stabilim nişte relaţii între coeficienţii auxiliari W, V procedăm astfel:

φ- 222 sine1W

dar

2

2222

2

2

2

22

'e1sin'e'e1sin

'e1'e1

'e1'ee φφ

2

2

2

22

2

22

'e1V

'e1cos'e1

'e1sin1'e1

φ-

dar 222

222

2 e1V'e1

VWe1'e1

1 --

(4.51) Ne propunem să exprimăm ecuaţiile parametrice şi în funcţie de parametrul

auxiliar V. Pentru aceasta preluăm raportul Wa

şi-l exprimăm la pătrat:

c

ba

dar ba

e11

e1Va

Wa

2

2

2

2

22

2

2

2

-

- Vc

Wa

Vc

V1

ba

Wa

2

2

22

4

2

2

(4.52)

În concluzie, ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de rotaţie, exprimate în funcţie de cei doi parametri auxiliari sunt următoarele:

Vcoscosc

WcoscosaX λφλφ

Vsincosc

WsincosaY λφλφ

V

sine1cW

sine1aZ22 φ-φ-

(4.53)

Page 46: curs geodezie

- 46 -

CAPITOLUL V CURBE PE SUPRAFEŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

5.1. Secţiuni normale principale

Planul normal este planul ce conţine normala la suprafaţa elipsoidului într-un punct (S în figura nr. 5.1). Secţiunea normală este intersecţia dintre planul normal şi suprafaţa elipsoidului. Pentru un punct dat putem avea o infinitate de secţiuni normale. Dintre acestea, interes în geodezie îl prezintă numai două şi anume: secţiunile cu raza maximă de curbură, respectiv cu raza minima de curbură care se mai numesc şi secţiuni normale principale. Secţiunea cu rază minimă de curbură, notată cu M, se numeşte secţiunea normală principală a elipsei meridiene sau meridiană. Ea reprezintă intersecţia suprafeţei elipsoidului de rotaţie cu planul format de arcul de meridian al punctului şi axa polilor geografici. Secţiunea cu rază maximă de curbură, notată cu N, este secţiunea normală principală a primului vertical, se mai numeşte marea normală şi este perpendicular pe prima, motiv pentru care se spune că sunt secţiuni conjugate.

figura nr. 5.1

În afară de cele două secţiuni normale, în cadrul figuri de mai sus, pentru

punctul nostru S mai este figurată şi o secţiune înclinată oarecare şi anume secţiunea cercului de paralel cu raza, xr . Între aceasta şi secţiunile normale principale (normala la suprafaţa elipsoidului) unghiul de înclinare este egal cu latitudinea şi

normala la suprafaţa elipsoidului este perpendiculară în punctul S pe planul tangent aici la suprafaţă. Conform teoremei lui Meusnier, raza unei secţiuni înclinate oarecare care, într-un punct dat, are aceeaşi tangentă cu o secţiune normală este egală cu mărimea proiecţiei secţiuni normale (în cazul nostru secţiunea normală este secţiunea primului vertical).

Secţiunea elipsei meridiene

Page 47: curs geodezie

- 47 -

5.1.1. Raza de curbură M a secţiunii meridiene

Considerăm punctele S şi S′ infinit apropiate, situate la aceeaşi longitudine pe elipsa meridiană de rază M dar cu latitudini diferite (figura nr. 5.3). Lungimea arcului de meridian dintre acestea este arcul de meridian sΔ . Pentru calculul acesteia putem scrie că:

φααΔΔ

→αΔ dds

ddss

limM0

(5.1)

dar, pentru suprafeţe infinit mici, elementul de arc, notat cu ds, se poate calcula, conform figurii nr. 5.2 astfel:

222 dzdxds (5.2)

figura nr. 5.2 figura nr. 5.3

222

ddz

ddx

M

φφ

(5.3)

unde ştim că:

2

122

2122

sine1cosasine1

cosaW

cosax

φφ

φ

φφ ;

unde W = 2 φW 22 sine1

φφφφ

φcossine2sine1

21cossine1sina

ddx 22

3222122

φφφφ 22222322 cosesine1sine1sina

22322 e1sine1sina

φφ

21222

2

sine1sine1aW

sine1az

φφφ

φφφφ

φφφ

cossine2sine121sin

sine1cose1addz

22322

21222

(5.4)

(5.5)

(5.6)

Page 48: curs geodezie

- 48 -

φφφφ 222223222 sinesine1sine1cose1a

2/3222 sine1cose1a φφ

Înlocuind rezultatele în formula (5.3), rezultă:

223222222322222 e1sine1cosae1sine1sinaM φφφφ

3

2

We1aM

(5.7)

(5.8)

(5.9)

Mărimea razei de curbură depinde de latitudine şi anume ea creşte de la ecuator spre poli deoarece:

la ecuator avem 20 e-1aM 0sin0 φφ

la poli avem 22

0 cbaM 1sin90 φφ conform (5.10)

abe1

abe1

e1

a

e1

e1aM

212

2

22

2122

32

2

cbaM

2

unde c este raza de curbură polară

(5.10)

Ne propunem în continuare să exprimăm pe M şi în funcţie de parametrul auxiliar V:

M = Vc

Wa

We1

Vc

We1

Wa

We1a

2

2

2

2

33

2

; dar 222 e1VW

3VcM

(5.11)

În concluzie, formulele pentru calculul razei de curbură a elipsei meridiene sunt:

33

2

Vc

We1aM

(5.12)

5.1.2. Raza de curbură N a secţiunii normale a primului vertical

figura nr. 5.4

Page 49: curs geodezie

- 49 -

În figura nr. 5.4 se poziţionează punctul S pe conturul elipsei meridiene (secţiunea normală principală), se figurează cercul de paralel al acestuia (secţiunea înclinată) şi raza secţiunii normale principale a primului vertical, notată cu N ce reprezintă lungimea arcului SS0. Conform teoremei lui Meusnier se poate calcula mărimea razei secţiunii înclinate (care în cazul nostru este raza cercului de paralel al punctului S) în funcţie de proiecţia razei secţiunii normale (secţiunea normală a primului vertical N):

φcosNr (5.13)

Vc

Wa

Wcosaxr φ

0SSN

Vc

Wa

WaN

Wa

cosx dar

cosxNcosNxr

φ

φφφcosSS 0

(5.14)

(5.15)

(5.16)

Din studiul formulei W

cosar φ se observă că r0 la ecuator (pentru 00φ )

este egal cu a (raza cercului ecuatorial sau semiaxa mare a elipsoidului), iar 090r la poli

(pentru 090φ ) este nul.

Ne propunem să comparăm valorile celor două raze de curbură ale secţiunilor

principale şi pentru aceasta studiem raportul MN

:

23

Vc

VVc

MN

dar 2 22 cos'e1V

φ22 cos'e1MN

(5.17)

Acest rezultat reprezintă motivul pentru care secţiunea normală a primului vertical se mai numeşte şi marea normală.

Dacă ne propunem să studiem valorile minime ţi maxime ale valorilor acestei raze, obţinem:

la ecuator pentru raN0 000 φ

la poli pentru

Mcba

e1

aN902

21290

00

Se deduce că raza de curbură a primului vertical descreşte de la ecuator la poli, unde este egal cu raza de curbură a elipsei meridiene. Valorile acestor raze depind de parametrii elipsoidului şi de valoarea latitudini .

Pentru facilitarea calculelor în geodezie şi proiecţii cartografice s-au întocmit tabele ale elipsoizilor în care atât razele de curbură ale celor două secţiuni normale

MN

Page 50: curs geodezie

- 50 -

principale, M şi N, cât şi alte elemente se găseau calculate funcţie de valoarea latitudinii. Pentru elipsoidul Krasowski s-au întocmit tabelele Tarczy – Hornoch – Hristov. Actualmente ele sunt calculate direct, prin intermediul unor programe dedicate măsurătorilor terestre, care utilizează formulele deduse anterior, particularizându-le pentru oricare elipsoid ce se doreşte a fi utilizat.

O reprezentare grafică a celor stabilite anterior, referit la valorile razelor secţiunilor normale principale este figura nr. 5.5.

Pentru a reprezenta grafic mărimile razelor de curbură ce trec prin punctul S se construieşte desfăşurata sau evoluta elipsei. Oricare dintre punctele elipsei meridiene au razele de curbură M tangente în interior la evoluta elipsei pe care se determină astfel centrele de curbură. Curba este tangentă în interior la cercul de rază baR . Ecuaţia evolutei este următoarea:

32223

23

2babxax - (5.18)

La elipsele cu turtire mică evoluta este foarte subţire, iar la limită (în cazul cercului) evoluta devine centrul acestuia.

figura nr. 5.5

5.2. Calculul lungimii arcului de meridian (sm)

figura nr. 5.6

Page 51: curs geodezie

- 51 -

Pentru deducerea formulei de calcul a lungimii acestei curbe, alegem pe conturul elipsei meridiane două puncte infinit apropiate având aceeaşi longitudine, λ, dar cu latitudini diferite: S1(1,), S2(2,) unde 2 > 1. Distanţa finită dintre acestea o notăm cu S1-2. În situaţia în care, considerăm că punctele sunt infinit apropiate, putem calcula (conform figurii nr. 5.6) lungimea unui astfel de arc de meridian pornind de la expresia razei de curbură a secţiunii normale principale a elipsei meridiane:

φφφΔ

ΔΔ

dMdsd

dsddss

limM mm

0

(5.19)

23222

222

13

2S

Sm21

sine1e1aM

sine1WşiW

e1aMunde,MdsSS2

1

φ

φφΔ

(5.20)

unde 221 e1as

Aceasta este o integrală eliptică de speţa I şi nu admite soluţii imediate, fapt pentru care se va dezvolta în serie expresia din a doua paranteză, după formula cunoscută:

2m x

21mmmx1x1 -

Deoarece |e2sin2| < 1, seria este convergentă şi se calculează până la puterea a opta, pentru a obţine precizia necesară de calcul a lungimii arcului de meridian, ţinând cont de formulele puterilor sinuşilor, dintre care reamintim:

22cos1sin2 φ-φ , φφ-φ 4cos

812cos

21

83sin4

Efectuând calculele, şi grupând în mod favorabil, sub forma unor coeficienţi, valorile numerice exprimate şi în funcţie de prima excentricitate numerică, notată cu e, obţinem:

...8cos'E6cos'D4cos'C2cos'B 'Asine12/322 φφ-φφ -φ- (5.21)

În cadrul acestei formule, coeficienţii au fost notaţi cu A', B', C', D' şi E' având expresiile:

8

86

864

8642

8642

e16384

315 'E

e2048315e

256105 'D

e40962205e

256105e

6415 'C

e20482205e

512525e

1615e

43 'B

e1638411025e

256175e

6445e

431'A

(5.22)

Pentru elipsoidul Krasovski, coeficienţii numerici preiau următoarele valori:

Page 52: curs geodezie

- 52 -

04000000000.081020000000.064377062005.051624010000.090773051005.1

'E'D'B'C'A

=====

În limita aproximaţiilor acceptate, în urma integrării vom obţine expresia:

88sin8sinE

66sin6sin'D

44sin4sin'C

22sin2sin'B'Ae1aSS

1212

121212221

φφφφ

φφφφρ

φφ

(5.23)

În cadrul acestei expresii, se selectează coeficienţii constanţi în funcţie de latitudine şi exprimabili în metri, pentru care se adoptă următoarele notaţii:

'E8

e1aT;'D6

e1aS

'C4

e1aR;'B2

e1aQ;'Ae1aP

22

222

ρ

(5.24)

pe care îi înlocuim, obţinând forma prescurtată a expresiei de calcul a lungimii finite a arcului de meridian:

1212

1212121221

8sin8sinT6sin6sinS4sin4sinR2sin2sinQPsSS

φφφφφφφφφφ

(5.25)

Se observă că, expresia primului termen se măsura în radiani şi din acest motiv a fost convertită în grade sexagesimale prin intermediul coeficientului ρ◦.

Pentru exemplificarea ordinului de mărimi ale acestor constante pentru latitudinea exprimată în grade sexagesimale în cazul elipsoidului Krasovski vom avea următoarele valori medii:

P = 111 134,861 083 803 m Q = 16 036,480 269 m R = 16,828 060 67 m S = 0,021975 m T = 0,000031 m

Observaţii: 1. Lungimea arcului de meridian este funcţie de parametrii elipsoidului de referinţă şi de latitudinile 1 şi 2 ale punctelor ce-l mărginesc (situate la capetele arcului de meridian dsm). Presupunând cunoscute latitudinile precum şi lungimea arcului de meridian rezultă o posibilitate de determinare, prin intermediul formulei de mai sus, a parametrilor elipsoidului de referinţă (a şi e2). Dacă dispunem de mai mult de 2 de astfel de măsurători, determinarea parametrilor se poate face în mod riguros, rezolvând sistemul prin metoda celor mai mici pătrate, utilizată, cu precădere, în cadrul calculelor de geodezie elipsoidală. 2. Pentru unele calcule aproximative cu ajutorul relaţiilor de mai sus s-au dedus valorile arcelor de meridian astfel: pentru valori sexagesimale:

Page 53: curs geodezie

- 53 -

m 3231sarc "1.A.U.S 240,1853

Anglia 167,1853marinamilam 1852sarc '1

km 111sarc 1

1212

1212

1212

φφ

φφ

φφ

pentru valori centezimale:

m 10sarc1

m 000.1sarc 1

km 100sarc 1

12cc

12

12c

12

12g

12

φφ

φφ

φφ

şi, în consecinţă, pentru 0,0001 s1-2 3 mm. 3. În realitate, lungimea arcului de meridian de 1 sexagesimal este în funcţie de latitudinea a acestuia, înregistrându-se o creştere de la ecuator la pol, la fel ca şi pentru raza de curbură M a elipsei meridiane:

arc 1 , 0 (Ecuator.) s1-2 110.576,3 m arc 1 , 90 (Poli) s1-2 111.695,8 m

4. Pentru lungimi de arce de meridian S1S2 45 km se utilizează o formulă de calcul simplificată, în funcţie de latitudinea medie notată cu m (1 2)/2 şi diferenţei de latitudini 2 - 1 ambele exprimate în grade sexagesimale:

m

22

m21 2cose""

811

""MSS φ

ρφΔ

ρφΔ

(5.26)

5. Foarte importantă de reţinut este formula de calcul a unui element de arc de meridian:

φdMdsm

6. Se observă că lungimea unui arc de meridian este funcţie de cele două latitudini şi

de parametrii elipsoidului de referinţă: 212

m ,,e ,afs φφ

5.3. Lungimea arcului de paralel sp. Metoda de determinare a elipsoidului de referinţă

Fie două puncte S1(, 1) şi S2(, 2) situate pe paralelul de rază r, la distanţa finită, notată cu sp, conform figurii nr. 5.7:

figura nr. 5.7

Page 54: curs geodezie

- 54 -

În domeniul infinit mic, lungimea arcului de paralel se poate calcula cu relaţia: λ drdsp Din cadrul desenului de mai sus se observă că, din punct de vedere

geometric, mai este exprimabil în funcţie de raza de curbură a secţiunii normale principale a primului vertical. Prin egalarea acestor două rezultate obţinem:

⇒φ

λ

cosNr

drdsp λφ λ dcosNdrdsp (5.27)

Deoarece raza cercului de paralel, r este constantă pentru o latitudine dată, relaţia este integrabilă imediat iar lungimea finită a unui arc de paralel are următoarea formulă:

"

1r'1 arc'rs 1212p ρ

λλλλ (5.28)

iar dacă pentru elementele constante din formulă adoptăm notaţia putem scrie:

"sp .const''

1r 12 λ-λν⇒

ρν

(5.29)

şi se observă că: φν ,e ,af 2

iar în cadrul formulei cunoaştem:

2122 sine1cosaW

cosaxr φ- φ φ

Observăm că lungimea unui arc de paralel este funcţie atât de latitudine şi

longitudini cât şi de parametrii elipsoidului de referinţă: 212

p , , ,e ,afs λλφ , iar

222

m , ,e ,afs φφ .

Formulele de calcul pentru lungimile unui arc de meridian şi de paralel ne dau posibilitatea principală de determinare a parametrilor elipsoidului de referinţă prin metode geometrice, adică măsurând lungimile de arce de meridian şi de paralele dintre două puncte geodezice măsurate prin metode astronomo-geodezice, şi determinate prin măsurători gravimetrice.

figura nr. 5.8

În cadrul figurii nr. 5.8, cu , s-au notat valorile acceleraţiei gravitaţionale

corespunzătoare celor două direcţii normale principale iar cu a, e2 s-au notat parametrii elipsoidului de referinţă.

Page 55: curs geodezie

- 55 -

5.4. Calculul unghiului dintre liniile de coordonate curbilinii (). Calculul elementului de arie (ds)

5.4.1. Calculul unghiului

I. Pe o suprafaţă curbă oarecare, notată cu S adoptăm un sistem de coordonate curbilinii const., const. iar la acestea ducem tangentele în origine, notate cu t respectiv, t între care se formează unghiul , în cazul cel mai general diferit de 900

(figura nr. 5.9). Ne propunem să calculăm unghiul în funcţie de parametrii E, F, G. Pentru aceasta definim tangentele t, t în funcţie de cosinuşii directori , , adică cosinuşii unghiurilor pe care tangentele îl fac cu axele unui sisteme de coordonate ortogonal tridimensional X, Y, Z având aceeaşi origine (figura nr. 5.10).

figura nr. 5.9 figura nr. 5.10

Particularizând pentru planul de proiecţie cartografică (sistem de coordonate

bidimensional) şi pentru suprafeţe infinit mici, conform figurii nr. 5.11, cosinuşii directori vor avea următoarele expresii:

figura nr. 5.11

dsdydsdx

β

α

Corespunzător suprafeţei S vom avea: dsdZ,

dsdY,

dsdX

γβα

(5.30)

(5.31)

Cunoscând expresiile derivatelor dX, dY, dZ, putem calcula cosinuşii directori:

Page 56: curs geodezie

- 56 -

λλ

φφ

λλ

φφ

λλ

φφ

dZdZdZ

dYdYdY

dXdXdX

dsdZ

dsdZ

dsdY

dsdY

dsdX

dsdX

λλ

φφ

γ

λλ

φφ

β

λλ

φφ

α

(5.32)

Particularizând pentru tangenta t (, , ):

dsdZ ;

dsdY ;

dsdX

dEdsds 0d .const 2m

φφ

γφφ

βφφ

α

φ⇒λ⇒λ

(5.33

(5.34)

E1Z

;E1Y

;E1X

φ

γφ

βφ

α λλλ (5.35)

Particularizând pentru tangenta t (, , ):

λ ⇒φ⇒φ dGdsds 0d .const 2p

dsdZ ;

dsdY ;

dsdX λ

λγλ

λβλ

λα

G1Z ;

G1Y ;

G1X

λ

γλ

βλ

α φφφ

(5.36)

(5.37)

În continuare putem determina o formulă de calcul a unghiului ω:

GEFcos cos

ω⇒γγββααω λλλ (5.38)

Putem determina şi alte formule ale funcţiilor trigonometrice:

FFGE

EH

EGE

GEH

cossintg

FGEHGE

HGEFGEsin

GEFEG

GEF1cos1sin

2

22

2222

-ωωω

--ω

⇒--ωω

(5.39)

(5.40)

II. Pe suprafaţa elipsoidului ⇒⇒ ==

°=0ωcos1ωsin

90ω.pt 0F = (5.41)

5.4.2. Calculul elementului de arie dS

I. Pe o suprafaţă curbă oarecare, conform figurii nr. 5.12, trebuie calculată aria unui paralelogram:

Hddsindsdsds îb mp λφω⇒ds

dar φdEdsm ; λdGdsp , rezultă: GEFGE

GEHsin

2

(5.42)

(5.43)

Page 57: curs geodezie

- 57 -

figura nr. 5.12

II. Pentru suprafaţa elipsoidului La calculul elementului de arie, dS de pe această suprafaţă particulară, se ţine seama de faptul demonstrat anterior şi anume că, termenul din mijloc al primei forme pătratice fundamentale a lui Gauss pentru geometria diferenţială este nul, deoarece parametrul F este nul. Înlocuind expresiile, de asemenea cunoscute ale parametrilor E şi G, obţinem:

rG

ME

0F

φ λφ ⇒λ φ ddcosNMds ddrMds

unde φ cosNr

(5.44)

III. Pentru suprafaţa unei sfere cu raza R = constant, expresia elementului de arie este:

λ φφ⇒RNM ddcosRds 2 (5.45)

5.5. Azimutul geodezic al unei curbe situată pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

I. Pentru o suprafaţă curbă oarecare, notată cu S, conform figurii nr. 5.13, adoptăm un sistem de coordonate curbilinii, constant, constant iar la acesta ducem tangentele în origine, notate cu t(, , ) respectiv, t(, , ).

Azimutul geodezic, notat cu A, este unghiul măsurat, în sens direct sau al acelor de ceasornic, de la tangenta la meridian (la linia de coordonată constant) până la tangenta la curba (c), notată cu t(, , ), asimilabilă direcţiei de viză considerate.

figura nr. 5.13

Page 58: curs geodezie

- 58 -

Pentru obţinerea formulelor de calcul a valorilor funcţiilor trigonometrice ale azimutului pornim de la relaţia stabilită la subiectul anterior:

λλλ γγββααω cos

pe care o particularizăm: λλλ γγββαα Acos

în cadrul căreia deja cunoaştem expresiile cosinuşilor directori:

dsdZ,

dsdY,

dsdX

γβα

(5.46)

Suprafaţa S este definită de relaţiile X = X(, ), Y = Y(, ), Z = Z(, )

λλ

φ φ

λλ

φφ

λ λ

φφ

dZdZdZ

dYdYdY

dXdXdX

(5.47)

Particularizând pentru tangenta t (, , γ):

φ ⇒λ⇒λ dEdsds 0d .const m (5.48)

deoarece elementul de arc ds este un element de arc de meridian şi în plus cunoaştem

expresia derivatei E1

dsd

φ

Ne rezultă astfel expresiile particularizate ale cosinuşilor directori ai tangentei:

E1Z

dsdZ

E1Y

dsdY

E1X

dsdX

φφ

φ∂∂δ

φφ

φβ

φφ

φα

λ

λ

λ

(5.49)

Înlocuind în formula lui cos A, efectuând calculele şi grupând favorabil vom obţine:

dsEdFdEAcos

dsd

EF

dsd

EEAcos

λ φ

⇒λφ

(5.50)

O altă formulă de interes, sin A, se obţine astfel:

2

222

dsEdFdE1Acos1Asin

λ φ --

unde cunoaştem expresia la pătrat a elementului liniar: 222 dGddF2dEds λλ φφ

şi vom obţine:

22

22

2

222

dsEdFGEAsin

dsEdFGEAsin

λλ

cu ajutorul ultimelor două rezultate se poate obţine şi expresia de calcul:

λλ φ

-⇒ d

dEdEFEGtgA

AcosAsintgA

2

(5.51)

(5.52)

(5.53)

Page 59: curs geodezie

- 59 -

II. Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă s-a demonstrat că: 0F deoarece, pentru distanţe infinit mici se consideră că liniile sistemului de

coordonate curbiliniu sunt perpendiculare între ele (ω 90º, conform figurii nr. 5.14). Cunoaştem, de asemenea că:

2ME 2rG unde: φ cosNr

figura nr. 5.14

m

p

p

m

dsds

dd

Mr

dd

EGAtg

dsds

dsdr

dsdGAsin

dsds

dsdM

dsdEAcos

φλ

⇒λ

λ⇒

λ

φ⇒

φ

(5.54)

5.6. Curbura curbelor ce trec printr-un punct situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

I. Curbura unei secţiuni normale oarecare (curbura unei curbe strâmbe C) Presupunem (figura nr. 5.15) o suprafaţă curbă oarecare F pe care alegem

punctul S1 de coordonate X, Y, Z prin care trec o infinitate de curbe dintre care alegem curba (C) care este o curbă strâmbă neconţinută în nici un plan şi cu rază de curbură variabilă. Tot aici alegem originea unui sistem de coordonate numit triedru fundamental sau mobil Euler ale cărui direcţii principale sunt:

t ce reprezintă tangenta principală la curbă din punctul S1; n ce reprezintă normala principală la curbă ce este amplasată în planul

osculator (planul osculator este planul ce conţine două tangente infinit apropiate);

b reprezintă binormala la curbă care este perpendiculară pe planul osculator (b n).

În plus tot prin acest punct trece normala la suprafaţa F de cosinuşi directori N (X’, Y’, Z’). Ea este unică şi este perpendiculară pe planul tangent la suprafaţă (N t). După cum ştim, planul normal este un plan ce conţine normala N la suprafaţa elipsoidului într-un punct dat

Triedrul mobil generează 3 plane: planul osculator format de vectorii (n,t); planul normal format de vectorii (b,n);

Page 60: curs geodezie

- 60 -

planul rectifiant format de vectorii (b,t). S-a demonstrat faptul că, printr-o infinitate de curbe putem duce câte o

tangentă la fiecare dintre acestea astfel încât, toate tangentele să fie conţinute într-un singur plan, numit planul tangent. În cazul nostru, în planul tangent s-au inclus t, tλ şi tφ ultimele două fiind tangente la liniile de coordonate curbilinii const., respectiv const.

Pe curba strâmbă, la o distanţă infinit mică de originea triedrului, notată cu ds, se alege un punct S2 (X dX, Y dY, Z dZ).

figura nr. 5.15

Ne propunem să determinăm expresia de calcul a curburii pe care o notăm cu

1/ a acestei curbe strâmbe a cărei rază de curbură variabilă o notăm cu . Pentru aceasta exprimăm cosinusul unghiului dintre vectorii n şi t:

0'Z 'Y 'Xt,ncos tn deoarece0t,ncos γ β α⇒⊥ (5.55)

Cosinuşii directori ai acestor direcţii admit derivate parţiale până la ordinul doi inclusiv, cunoscute sub denumirea de formulele lui Frênet pe care le vom prelua în continuare (5.56), cu definirea următoare:

Ord. I Ord. II

αdsdX

ρξα

dsd

dsXd2

2

βdsdY

ρηβ

dsd

dsYd2

2

γdsdZ

ρζγ

dsd

dsZd2

2

(5.56)

(ordinul I) care definesc cosinuşi directori ai tangentei t la curbă; (ordinul II) care definesc cosinuşii directori ai normalei n la curbă: Pentru calculul curburii diferenţiem total relaţia (5.55) pe care o putem scrie

generic ca fiind:

Page 61: curs geodezie

- 61 -

0'X ∑α

∑ ∑∑∑ ξρ

⇒ α 0 'dXdXds1'X1 0

ds'dX'X

dsXd

22

2

(5.57)

(5.58)

în cadrul căreia relaţia: ∑ ψξ cos'X exprimă unghiul ψ dintre normala t în punctul

S1 şi normala principală la curbă n, în cazul unei suprafeţe oarecare.

∑ ψρ

'dXdXds1

cos1

2 (5.59)

în cadrul căreia se cunosc expresiile:

φλ

λφ

φλ

λφ

φλ

λ

λλ

φφ

λλ

φφ

λλ

φφ

d'Zd'Z'dZ;d'Yd'Y'dY;d'Xd'X'dX

dZdZdZ ;dYdYdY ;dXdXdX

(5.60)

precum şi λ λ φφ dGddF2dE 2

Efectuând calculele şi grupând favorabil termenii ce conţin derivatele parţiale în cazul sumei dX dX′ vom obţine expresia:

2d"Ddd'D2dD'dXdX λ λφ φ ∑ (5.61)

expresie ce reprezintă cea de-a doua formă pătratică fundamentală a lui Gauss în geometria diferenţială, iar coeficienţii sunt nişte parametrii ce depind, pe de-o parte de natura suprafeţei iar pe de altă parte de poziţia punctului S2.

λλ

φλλφ

φφφφφφφφ

'XX"D

'XX'XX'D

'XX'ZZ'YY'XXD

(5.62)

22

22

dGddF2dEd"Ddd'D2dDcos1

λλφφλλφφψ

ρ

(5.63)

Între coeficienţii celor două forme pătratice fundamentale există relaţii de interdeterminare numite relaţiile Gauss – Codazzi (5.63)

Aceste două forme fundamentale definesc în mod complet, din punct de vedere matematic, suprafaţa S. II. În cazul elipsoidului de referinţă

Deoarece liniile de coordonate curbilinii sunt ortogonale avem:

2

2

rG

ME

0'DF

relaţiile Gauss – Codazzi

φ222 cosNr

(5.64)

În continuare ne propunem să determinăm formulele de calcul pentru coeficienţii D", D. Pornind de la ecuaţiile parametrice ale elipsoidului de rotaţie:

Page 62: curs geodezie

- 62 -

W

cose1aZ ;W

sincosaY ;W

coscosaX2 λ-λφλφ

în cadrul cărora: 2 22 sine1W φ-

figura nr. 5.16

Cosinuşii directori ai parametrilor X', Y', Z' se calculează prin proiectarea

versorului de normală n şi lungimea egală cu unitatea pe cele trei axe de coordonate ale sistemului X, Y, Z. Conform figurii nr. 5.16, putem scrie că:

φλ φ-λ φ-

sin'Zsincos'Ycoscos'X

(5.65)

iar derivatele parţiale ale funcţiilor în raport cu longitudinea sunt:

0XW

coscosaYW

sincosaX

λ

λφλ

λφ-λ

0X

cossincosY

sincosX

λ

λφ-λ

λφλ

(5.66)

NWa dar

cossinW

cosa'XX"D 222

λλφλλ⇒

∑φ

φφ cosr"D

rcosNcosN"D 2

(5.67)

În cazul elipsoidului de referinţă, fără demonstraţie, rezultă că: M D ≡ astfel încât, expresiile parametrilor celei de-a doua formă pătratică fundamentală vor fi:

φ φ

cosrcosND

0DM D

2

(5.68)

Prin intermediul relaţiei curburii unei curbe strâmbe am stabilit modul de calcul a curburii oricărei curbe strâmbe, situată pe suprafaţa oarecare F.

În cazul elipsoidului de referinţă ne-am propus să calculăm, de fapt, curbura unei secţiuni normale. În acest caz particular, normala principală la curbă, notată cu

Page 63: curs geodezie

- 63 -

n (de cosinuşi directori ξ, η, ζ) se identifică cu normala N la suprafaţa elipsoidului (n N) situaţie în care, unghiul 00 şi cos 0, unde 900 - .

Dacă notăm cu Rn rază de curbură a secţiunii normale, curbura secţiunii normale va fi:

λ λφφ λλφ φ

ψ ρ⇒ψρ

dGddF2dEd"DddD2dD

R1

cosR cos1R1

2

22

n

nn

(5.69)

Relaţia (5.69) se numeşte formula lui Meusnier.

O altă curbură de interes este curbura unei secţiuni geodezice, notată gR

1 cu

ce semnifică totodată tangenta la curbă, în cadrul căreia Rg reprezintă raza curburii geodezice.

ψρ

sin1R1

g

(5.69)

Am stabilit că este, în cazul general, raza de curbură a unei curbe strâmbe oarecare pe care am particularizat-o pentru elipsoid. Ea reprezintă însă o curbă provenită dintr-o secţiune înclinată oarecare care, conform teoremei lui Meusnier are aceeaşi tangentă la suprafaţa elipsoidului în punctul dat cu secţiunea normală principală a primului vertical, cu raza de curbură N. Prin similitudine, în formulă putem considera că unghiul dintre cele două secţiuni este chiar latitudinea a punctului dat.

5.7. Expresia razei de curbură a unei secţiuni normale în funcţie de azimutul geodezic

Raza de curbură a unei secţiuni normale se notează cu Rn iar dacă o exprimăm în funcţie de azimutul geodezic, se notează cu RA. Curbura acestora are expresia cunoscută:

λλφφλλ φ φ

dGddF2dEd"Ddd'D2dD

R1

2

22

n

Se mai cunosc, relaţiile de compatibilitate Gauss – Codazzi între parametrii celor două forme pătratice fundamentale, în cazul elipsoidului de rotaţie:

E M2 D M F 0 D 0 G r2 D r cosφ

astfel încât putem scrie:

λφλφ φ

drdMdcosrdM

R1

222

22

n

(5.70)

în cadrul căreia numitorul reprezintă expresia elementului liniar la pătrat (ds2):

Page 64: curs geodezie

- 64 -

22

n dsdcosr

dsdM

R1

λφ φ ⇒ (5.71)

Unde, conform figurii nr. 5.17, dsm reprezintă un element de arc de meridian: dsm M dφ iar dsp reprezintă un element de arc de paralel: dsp r dλ, astfel încât obţinem:

2p

2m

n dsds

rcos

dsds

M1

R1

φ⇒

(5.72)

figura nr. 5.17

Ţinând cont şi de alte expresii cunoscute:

NAsin

MAcos

R1

R1

Ncos

r;dsds

Asin;ds

dsAcos

22

An

pm

φ

(5.73)

Expresia (5.73) se numeşte formula lui Euler şi exprimă valoarea curburii unei secţiuni normale exprimată în funcţie de azimutul geodezic.

Poziţiile secţiunilor normale principale care trec printr-un punct P de pe suprafaţa elipsoidului se pot deduce din relaţia de mai sus, prin utilizarea condiţiilor de minim şi de maxim:

N1

M1A2sinAcosAsin2

N1AsinAcos2

M1

R1

A A

(5.74)

Cu această relaţie determinăm valorile minime şi maxime ale azimutului geodezic şi ale razelor de curbură ale secţiunilor normale principale. Astfel: pentru A 0o avem secţiunea de rază minimă, M, a elipsei meridiene; pentru A 90o avem secţiunea de rază maximă, N, a primului vertical.

Se constată, din nou că: NR M A ≤≤

5.8. Raza medie de curbură, Rm sau raza sferei medii Gauss

S-a demonstrat faptul că, expresia curburii unei secţiuni normale, exprimată în funcţie de azimutul geodezic este:

N RMunde,N

AsinM

AcosR1

R1

A

22

An≤≤

În cadrul acestui subiect ne propunem să urmărim modul de deducere a unei formule de calcul pentru valoarea unei raze medii de curbură, notată cu Rm, a tuturor secţiunilor normale (considerând că numărul lor ) ce trec printr-un punct P de latitudine φ, situat pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie, determinată de matema-

Page 65: curs geodezie

- 65 -

ticianul F. K. Gauss. După cum ştim, aceasta poate fi minimă, pentru secţiunea normală principală a elipsei meridiene, M, sau maximă, pentru secţiunea normală principală a primului vertical, N (practic căutăm expresia mai complexă a mediei dintre aceste valori). Reamintim faptul că această rază este utilă pentru simplificarea calculelor geodezice şi cartografice dar se utilizează la nivel teritorial limitat, niciodată o astfel de sferă nu va reprezenta întreaga suprafaţă terestră.

Dacă privim spre punctul P, de-a lungul normalei lui la suprafaţa elipsoidului de rotaţie vom observa că prin el trec, pe lângă cele două secţiuni normale principale a căror imagine este de drepte perpendiculare, o infinitate de curbe ce reprezintă secţiuni normale diferite între ele prin curbură, funcţie de valoarea azimutului geodezic, A, conform figurii nr. 5.18:

figura nr. 5.18

Particularizând formula lui Euler pentru raza unei secţiuni normale exprimată

în funcţie de azimutul geodezic, vom obţine:

AsinMAcosNNMRR 22An

(5.75)

Pornind de la această relaţie putem defini raza medie Gauss ca fiind:

∑Δ-π

αΔ

Δπ

A2A

0A

22

0m

A2

AsinMAcosNNM

limR

(5.77)

sau, mai convenabil pentru calcule:

π

0

dAAsinMAcosN

NM24

R 22m (5.78)

relaţie care se împarte, forţat, atât la numărător cât şi la numitor cu la N cos2A:

dA

tgANM1

Acos1

NM

NM2dAAtg

NM1

AcosM

2R2

02

22

0 2m

π

π⇒

ππ

(5.79)

Pentru obţinerea ultimei expresii s-a scos de asemenea forţat, din integrală constanta

NM . Dacă adoptăm următoarea notaţie:

Page 66: curs geodezie

- 66 -

dtdAAcos

1NMttgA

NM

2 ⇒ (5.80)

unde, pentru ∞→⇒π

⇒ t 2

A;0t 0A

NMR02

NM2t arctgNM2dAt1

dtNM2R m2m

-ππ

π

π

0

(5.81)

Aceasta reprezintă expresia de calcul a razei medii de curbură Gauss atunci când numărul secţiunilor normale tinde către infinit. Din studiul formulei se observă că aceasta depinde de razele de curbură ale secţiunilor normale principale conjugate (minimă a secţiunii meridiene, notată cu M) şi maximă (a secţiunii primului vertical, notată cu N).

Expresiile razelor de curbură se cunosc şi prin intermediul lor ne propunem să obţinem şi altă formulă de calcul pentru raza medie Gauss:

2/122222

222

2/12222

33

2

e1ab e1ab a

bae

e1Ve1VW

Vc

WaN;

Vc

We1aM

- ⇒- ⇒-

- W ⇒-

-

Vc

VcNMR 3m

22

2/12

2 Wb

We1a

Vc

-

(5.82)

care poate fi utilizată pentru studiul valorilor minime şi maxime ale razei medii, în funcţie de latitudinea punctului P:

Astfel, la ecuator, pentru bR 0 mo ⇒φ

iar la pol, pentru bacNMR90

2

mo ⇒φ

În plus faţă de formula de calcul a razei medii, în geodezia elipsoidală se mai

utilizează formula de calcul a curburii totală, notată K: NM

1R1

K 2m

şi curbura

medie, notată cu H: 2mR2NM

N1

M1

21H

ce depind, de asemenea de latitudinea φ a

punctului P şi care se preiau fără demonstraţie.

5.9. Secţiunea normală directă şi secţiunea normală inversă. Poziţia lor reciprocă

Fie punctele S1 (φ1‚ λ1) şi S2 (φ2‚ λ2) cu 121221 , , λλφφφ≠φ situate pe

suprafaţa elipsoidului de rotaţie, proiectate pe axa polilor în punctele 02

01 S,S prin

intermediul normalelor N1, şi N2 conform figurii nr. 5.19. Considerăm punctele S1 şi S2 ca aparţinând unei reţele geodezice şi care au fost

staţionate în vederea efectuării de observaţii azimutale reciproce. Planele formate de normalelor N1 şi N2 şi punctele S1 şi S2 vor reprezenta planul vizelor şi vor intersecta suprafaţa elipsoidului după două curbe, notate cu a şi b ce se numesc secţiuni

Page 67: curs geodezie

- 67 -

normale reciproce. Astfel, planul ce conţine normala N1 şi punctul S2 va intersecta suprafaţa după curba a ce se numeşte secţiunea normală directă a punctului S1 în raport cu punctul S2 iar planul ce conţine normala N2 şi punctul S1 va intersecta suprafaţa după curba b ce se numeşte secţiunea normală directă a punctului S2 în raport cu punctul S1. În continuare, ne propunem să evaluăm, raportul valoric dintre

două segmente: 02OS > 0

1OS şi să stabilim formula de calcul a segmentului 02

01SS ce

ne vor folosi în cadrul unor rezolvări ulterioare.

figura nr. 5.19

Din studiul figurii se observă că:

2

12/11

22

12/11

22

2

12/11

22111'1

01

'1

01

e11sinsine1

a

sinsine1

e1asinsine1

aZsinNOSSSOS

- φφ-

φ φ-

- -φ φ-

-φ-

(5.83)

Datorită valorii mici se aproximează:

120

1

12

120

1122/1

122

sineaOS

sine211sineaOS ...sine

211sine1

φ⇒

⇒φ-φ⇒φ φ-

(5.84)

În mod analog rezultă că: 01

022

202 OSOSsineaOS φ (5.85)

În continuare:

2

cos2

sine2sinsineaOSOSSS 1212212

201

02

02

01

φφφ-φφ-φ-

(5.86)

Deoarece cele două puncte sunt foarte apropiate, se aproximează: rad

1212

22sin

φ-φφ-φ

şi se notează:

mrad

1220

201m

2 coseaSS 2

φφ-φ⇒φφφ1

(5.87)

Page 68: curs geodezie

- 68 -

Observaţii: 1. În cazul în care cele două puncte se află pe acelaşi meridian (1 2) sau paralel (φ1 φ2) cele două secţiuni reciproce coincid (conform figurii nr. 5.15). Justificarea se va face în cadrul definirii liniei geodezice şi anume a evaluării valorilor parametrilor q şi Δ în funcţie de valoarea azimutului, A. 2. Referitor la noţiunile de secţiuni normale se constată că acestea reprezintă nişte curbe rezultate din intersecţia planului normal (planul de viză), format de normala punctului staţionat (care după calarea aparatului o considerăm suprapusă peste axa principală VV a acestuia) şi punctul vizat.

În consecinţă se poate spune că la transpunerea pe suprafaţa elipsoidului a observaţiilor de direcţii azimutale reciproce efectuate într-un triunghi geodezic S1S2S3

vor rezulta 6 curbe (3 secţiuni directe şi 3 secţiuni inverse) care nu vor realiza o figură geometrică continuă şi închisă, conform figurii nr. 5.20. De aici rezultă necesitatea prelucrării prealabile a observaţiilor înainte de a fi efectuate calculele. Prin aceste prelucrări se trece de la dualitatea secţiunilor directă şi inversă dintre două puncte la o linie imaginară (curbă) numită linie geodezică.

figura nr. 5.20

5.10. Linia geodezică: definiţie, ecuaţia în termeni finiţi pentru linia geodezică a lui Clairaut

Linia geodezică este o curbă pe o suprafaţă astfel construită încât, în toate punctele sale, planul osculator, format din vectorii n şi t să conţină normala N la suprafaţa elipsoidului deci nN. În consecinţă, în oricare din punctele sale, curbura geodezică va fi nulă deoarece unghiul dintre cele două normale este şi el nul:

0;0R1

g

ψ

Pe suprafaţa elipsoidului numai meridianele şi cercul ecuatorial sunt linii geodezice iar pe suprafaţa sferei toate cercurile mari, deoarece în planul lor este conţinută normala N (şi deci paralelele nu sunt linii geodezice).

Trecerea de la secţiunile normale la linia geodezică se face prin aplicarea unor corecţii.

Figura nr. 5.21 reprezintă secţiunile şi linia geodezică a celor două puncte geodezice staţionate. Pentru ecartul dintre secţiuni, notat cu q precum şi pentru mărimile unghiulare Δ şi Δ/3 se dau formulele de calcul:

Page 69: curs geodezie

- 69 -

A2sinN4

s"" 2m

2m

21

ηρΔ (5.88)

A2sinN16

sq 2m

2m

31 η

(5.89)

Din formula (5.88) rezultă şi justificare faptului că în situaţia în care cele două puncte de la capetele liniei geodezice au aceeaşi longitudine (sunt situate pe acelaşi meridian) sau latitudine (sunt situate pe acelaşi paralel) linia geodezică se confundă cu cele două secţiuni normale reciproce (devenind o linie reală) deoarece pentru A 0º, respectiv A 90º, q Δ 0. Pentru distanţe geodezice mici adică 60s1 ≤ km

005,0003,0 -Δ

figura nr. 5.21

După cum ştim expresia curburii unei curbe oarecare este:

λ λ φφ λλ φ φ

dGddF2dEd"Ddd'D2dD

R1

2

22

n

iar pe suprafaţa elipsoidului de referinţă Ψ 0 deci cos Ψ 0 situaţie în care valoarea curburii va fi minimă, tinzând către o linie dreaptă. La limită, în domeniul infinit mic, elementul de linie geodezică este conţinut în planul tangent fapt pentru care, linia geodezică mai este definită ca: cel mai scurt drum dintre două puncte pe o suprafaţă17.

Fie punctele S1 şi S situate pe acelaşi cerc de paralel. Tangentele duse în aceste puncte la planele lor meridiane se vor intersecta pe prelungirea axei polilor în punctul T formând între ele unghiul dA ce se mai numeşte şi unghi de convergenţă meridiană.

Presupunem că S1 este punctul de staţie, iar punctul S2 este punctul vizat. Direcţia de la S1 la S2 este linia geodezică şi după cum ştim, în domeniul infinit mic, la limită, segmentul de linie geodezică S1S2 tinde să vină în planul tangent.

Din studiul figurii nr. 5.22.a rezultă: din triunghiul S1S1′O′: S1S1′ r ·d λ din triunghiul S1S1′ dATO1

din triunghiul TS1S1′: S1S1′ = TS1′ dA

din triunghiul TS1O1: sin dAr

17 este curba unică de lungime minimă prin care se pot uni două puncte situate pe suprafaţa elipsoidului

Page 70: curs geodezie

- 70 -

figura nr. 5.22.a

figura nr. 5.22.b figura nr. 5.22.c Substituind şi egalând expresiile lui S1S1′ obţinem:

φλ⇒φ

λ⇒

λ

φφ

sinddA dAsin

rdr dATOdrSS

sinrTO

TOrsin

1'11

11

(5.90)

Aceasta se numeşte formula lui Clairaut pentru calculul convergenţei meridianelor. În continuare, considerăm cunoscute următoarele formule:

tgArM

dd

dMdr

dsds

tgAm

p

φλ

φλ

φφφφφ

dsinMdrsinMddr

ddxxr

tgAdsin

1r

drdA

sin1

ddrM

sindtgArMsind

dddA

drdsinM

φφ

φφ

φφφφφλ

φφ

(5.91)

Page 71: curs geodezie

- 71 -

0rdrdA

AsinAcos0

rdrctgAdA

(5.92)

Integrăm relaţia (5.92) şi obţinem:

ttanconsAsinrClnrlnAsinln0r

drAsinAsind

(5.93)

Aceasta se numeşte ecuaţia în temeni finiţi a lui Clairaut pentru linia geodezică.

5.11. Ecuaţiile parametrice ale liniei geodezice (ecuaţiile Puiseaux – Weingarten – Gauss)

Fie punctele S1 (X0, Y0, Z0) şi S2 (X, Y, Z) situate pe curba (c) pe o suprafaţă curbă F, la o distanţă infinit mică (figura nr. 5.23). Curba o identificăm cu linia geodezică. Suprafaţa noastră F este definită implicit de relaţia F(X, Y, Z) 0, iar linia geodezică este definită de ecuaţiile parametrice: X X(s), Y Y(s), Z Z(s), deoarece prin deplasarea pe curbă punctul S2 îşi schimbă parametrii în funcţie de lungimea, s, a liniei geodezice.

figura nr. 5.23

Funcţiei F i se aplică o dezvoltare în serie McLaurin:

.....!3"'fx

!2x"fx

!1x'fx0fxf 32

(5.94)

...ds

Xd6s

dsXd

2s

dsdXsXsxX 3

33

2

22

0

...ds

Yd6s

dsYd

2s

dsdYsYsyY 3

33

2

22

0

...ds

Zd6s

dsZd

2s

dsdZsZszZ 3

33

2

22

0

(5.95)

Page 72: curs geodezie

- 72 -

Vom determina ecuaţiile parametrice ale liniei geodezice punând nişte condiţii suplimentare adică presupunând că s 60 Km este o distanţă geodezică mică şi că X0

Y0 Z0 0. Apelăm la formulele lui Frénet de ordinul I, II, III: Ordinul I Ordinul II Ordinul III

αdsdX

ρξα

dsd

dsXd2

2

τλ

ραξ

dsd

dsXd3

3

βdsdY

ρηβ

dsd

dsYd2

2

τμ

ρβη

dsd

dsYd3

3

γdsdZ

ρζγ

dsd

dsZd2

2

τν

ργζ

dsd

dsZd3

3

(5.95)

formulele de ordinul I definesc cosinuşii directori (α, β, γ) ai tangentei t la curbă;

formulele de ordinul II definesc cosinuşii directori ai normalei n (ζ, η, ξ) la curbă;

formulele de ordinul III definesc cosinuşii directori ai binormalei b (λ, μ, ν) la curbă.

După cum ştim, ρ1

reprezintă curbura liniei geodezice, a cărei expresie în funcţie de

azimut o cunoaştem, iar ρ reprezintă raza de curbură a curbei şi se poate defini cu relaţia:

εΔΔρ

→εΔ

slim0

(5.96)

unde ε este unghiul dintre două tangente infinit apropiate.

iar τ1

reprezintă torsiunea curbei şi se defineşte cu relaţia:

AcosAsinN1

M11

τ

(5.97)

astfel încât, raza de torsiune a curbei este:

εΔΔτ

→εΔ

slim0

(5.98)

unde ' este unghiul dintre 2 plane osculatoare infinit apropiate. Binormala la curbă care este perpendiculară pe planul osculator (b n), iar în

apropierea originii, parametrii au expresiile:

Acos

AsinA90cos

0

00

μ-λ

(5.99)

Ţinând cont de faptul că t Z şi că în apropierea originii, între tangenta t şi axa OX se formează azimutul geodezic A, se calculează expresiile derivatelor de ordinul I, II, III şi în apropierea originii sistemului:

AcosdsdX

00

α 0

dsXd

0

0

02

2

ρξ

(5.94)

Page 73: curs geodezie

- 73 -

AsindsdY

00

β

0dsdZ

00

γ deoarece Zt ⊥

0ds

Yd

0

0

02

2

ρη

A00

0

02

2 11ds

Zdρρρ

ζ

Curbura liniei geodezice funcţie de azimut este:

MNAsinMAcosN1 22

0

ρ

AA2A00

00

0

002

2

03

3 AsinAcos11dsd

dsXd

dsd

dsXd

ζρρρξ

ρξ

ρξ

(5.94)

AA2A0

0000

3

3

03

3 AcosAsin1s

1dsd

dsXd

dsd

dsYd

ζρρρη

ρη

(5.94)

0ds

Zd

03

3

Derivata parţială de ordinul III a funcţiei în raport de variabila Z o acceptăm ca fiind nulă deoarece, în cazul elipsoidului, coordonata Z reprezintă practic altitudinea punctelor, iar în geodezia clasică aceasta se determina, separat faţă de planimetrie, numai prin nivelment trigonometric geodezic, metodă care nu se poate aplica cu precizie la distanţe mai mari de 2 Km. În continuare, aceste expresii se prelucrează ţinând cont de:

RfN,M

R,N,Mf, AA

ζρ

(5.95)

astfel încât se obţin:

...AsinAcos6sAcossX

AA2A

3

ζρρ

6sAsinsY

3

AA

2A

AcosAsinζρρ

...2sZ

A

2

ρ

(5.96)

de unde:

...AcoscosR6se

R6s1AsinsX 22

2

22

2

2

φ

...AsincosR6se

R6s1AsinsY 22

2

22

2

2

φ

...Acoscose

211

R2sZ 222

2

2

φ

(5.97) Acestea se numesc ecuaţiile parametrice ale liniei geodezice sau ecuaţiile

Puiseaux – Weingarten - Gauss.

Page 74: curs geodezie

- 74 -

Consecinţe: În geodezie nu se lucra, până acum câteva decenii, într-un sistem tridi-

mensional X, Z, Z, uniform ci se rezolva separat problema planimetrică (X, Y) faţă de cea altimetrică, prin utilizare de tehnologii de lucru complet diferite, suprafeţe de referinţă diferite. Planimetria se rezolvă prin una dintre metodele: triangulaţie, trilateraţie, poligonaţie pentru s 60 Km. Altimetria se rezolva prin nivelment trigonometric geodezic, cu rezultate bune numai pentru s 2 Km.

Din cadrul ecuaţiilor parametrice ale liniei geodezice, de interes sunt cele referite la coordonatele planimetrice X, Y.

...AcoscosR6se

R6s1AsinsX 22

2

22

2

2

φ

...AsincosR6se

R6s1AsinsY 22

2

22

2

2

φ

În funcţie de lungimile s ale liniei geodezice, influenţa termenilor din paranteză în cadrul relaţiilor (5.99) este diferenţiată astfel: pentru lungimea liniei geodezice s 6 km considerăm că lucrăm în domeniul planimetric (termenii din paranteză au valori neglijabile). Când avem km 40skm 6 al doilea termen începe să aibă semnificaţie matematică şi considerăm că lucrăm în domeniul sferic local, adică suprafaţa elipsoidului de referinţă se poate înlocui cu suprafaţa sferei de rază medie Gauss. Când s 60 km şi ai mare considerăm că lucrăm în domeniul elipsoidic, situaţie în care se observă influenţa tuturor termenilor din paranteze de mai jos.

Pentru domeniul geodezic când s 60 km se consideră că distanţele geodezice sunt mici, când km 600skm 60 se consideră că distanţele geodezice sunt medii iar când km 000.6s se consideră că distanţele geodezice sunt mari.

Page 75: curs geodezie

- 75 -

CAPITOLUL VI

REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PRIN INTERMEDIUL TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

În triangulaţia de ordin superior, figurile geometrice ale triangulaţiei geodezice

în cadrul cărora s-au făcut determinări de unghiuri şi distanţe pe suprafaţa fizică a Pământului, sunt transpuse şi prelucrate pe elipsoidul de referinţă sub forma triunghiurile elipsoidice. Acestea au lungimile laturilor mici, de până la 60 km astfel încât, în cadrul unora dintre rezolvări, suprafaţa elipsoidului poate să fie aproximată cu cea a sferei de rază medie, situaţie în care tratăm problemele pentru triunghiuri sferice, determinarea formulelor de calcul pentru prelucrarea datelor din măsurători se va face aplicând formulele de trigonometrie sferică.

6.1. Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic, ε

Suma unghiurilor γ,β,α într-un triunghi elipsoidic mic, asimilat unui triunghi

sferic, chiar şi atunci când o presupunem neafectată de erori (compensate) este mai mare decât 200G. Diferenţa până la 200G se numeşte exces sferic, notat cu ε:

G200 γβαε (6.1)

Între unghiurile măsurate şi reduse la suprafaţa elipsoidului de referinţă, 000 γ,β,α şi unghiurile compensate există relaţiile cunoscute:

ααα v0 ; βββ v0 ; γγγ v0 (6.2)

şi după cum ştim, suma acestor corecţii este egală şi cu semn contrar cu neînchiderea: 0wvvv γβα . În consecinţă, se poate observa că suma unghiurilor

necompensate dintr-un triunghi este:

w200G000 εγβα w200G000 ε-γβα (6.3)

În cazul în care am lucra pe triunghiuri izolate, s-ar putea considera corecţiile ca fiind egale între ele şi s-ar compensa în următorul mod:

3wvvv γβα

(6.4)

În cazul compensării în reţelele de triangulaţie, prin metoda celor mai mici pătrate, nu se adoptă însă o astfel de rezolvare. În ambele situaţii, pentru a putea intra în compensare, trebuie să determinăm o formulă de calcul pentru excesul sferic. Considerăm figura nr. 6.1.a în cadrul căreia reprezentăm pe suprafaţa sferei medii, triunghiul ABC, ale cărui unghiuri au valorile ‚ ‚ şi a cărui suprafaţă o notăm cu F (figura nr. 6.1.b).

Conform figurii, putem exprima, în funcţie de suprafaţa F a triunghiului sferic ABC, suprafeţele fusurilor ce îl conţin şi pe care le vom nota αα , ββ , γγ :

'ACBF

'BCAF

ββαα

(6.5)

Page 76: curs geodezie

- 76 -

R2CB'A'ACB'BCA'F :dar

C'B'AF'ABCF2

π

γγ

unde R2 2π este suprafaţa unei hemisfere

(6.5)

Însumând aceste egalităţi obţinem:

2RF2 πγγββαα (6.6)

figura nr. 6.1.a figura nr. 6.1.b

Pe de altă parte, suprafaţa acestor fuse se mai poate exprima şi astfel:

2G R4

400 π ααα

2G R4

400 πβββ

2G R4

400 πγγγ

(6.7)

Însumând aceste egalităţi obţinem:

2G R2

200

πγβαγγββαα

(6.8)

Egalând relaţiile (6.6) şi (6.8), obţinem:

F200200RRF2R2200

GG222G

ε

-γβαπππγβα

dar excesul sferic este o cantitate mică, de ordinul secundelor18, şi deci:

2CCCC

2

CCCC

RF F

R200

ρε⇒π

ε deoarece ρπ

GG200

(6.9)

Suprafaţa triunghiului sferic F, este calculabilă cu una dintre relaţiile cunoscute:

2Asincb

2Bsinca

2CsinbaF

18 demonstraţia s-a făcut pentru înţelegerea mai facilă în unităţi unghiulare centezimale dar în realitate, datorită coordonatelor astronomo-geodezice ale punctelor fundamentale, în triangulaţia de ordin superior care este compensată cu aceste valori se lucrează în unităţi sexagesimale.

Page 77: curs geodezie

- 77 -

cu suprafaţa unui triunghi plan notat cu F', calculabilă cu una dintre relaţiile de mai jos, în cadrul cărora cu ‚ ‚ am notat valorile unghiurilor triunghiului plan corespunzător:

2sincb

2sinca

2sinbaF αβγ

(6.10)

Am văzut că excesul sferic al triunghiului are valori foarte mici, de ordinul secundelor şi atunci, formula de calcul este:

γρε sinbaR2 2

Gcc

(6.11)

Expresia fR2 2

G

ρ se numeşte factorul excesului sferic şi este constantă pentru

latitudinea dată a triunghiului sferic, calculabilă în funcţie de aceasta şi grupată în tabelele elipsoidului astfel încât, formula de calcul (6.11) a excesului sferic devine:

βαγε sincafsincbfsinbafcc (6.12)

Considerând însă aproximaţia (6.10) excesul sferic se calculează cu una dintre expresiile:

'sincaf'sincbf'sinbafcc βαγε (6.13)

În cazul în care laturile triunghiului depăşesc 60 km (distanţe geodezice medii) formula de calcul a excesului sferic se simplifică:

2

2

2cccc

R8m1

R'Fρε

(6.14)

unde cu m2 am notat:

3cbam

2222

iar cu F' aria triunghiului plan.

6.2. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metda Legendre

Pentru distanţe geodezice mici, sub 60 km, problema se rezolvă prin înlocuirea suprafeţei elipsoidului cu suprafaţa sferei de rază medie Gauss, obţinându-se triunghiuri sferice în cadrul cărora se vor aplica formule de trigonometrie sferică.

În anul 1787 Legendre a imaginat următoarea situaţie: considerăm un triunghi sferic ABC, cu suprafaţa F, căreia îi cunoaştem unghiurile din vârfuri (‚ şi ) şi o latură, de exemplu a (baza geodezică) şi de asemenea ne propunem să-i calculăm lungimile laturilor b şi c. Adoptăm un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafaţa F ale cărui unghiuri din vârfuri diferă ca mărime de cele anterioare dar ale cărui laturi sunt valoric egale cu primele. Prin rezolvarea celor două triunghiuri vom determina expresia diferenţei dintre unghiurile celor două triunghiuri.

Aplicând teorema cosinusului în cadrul figurii nr. 6.2. a, obţinem: Acossinsincoscoscos γβγβα (6.15)

Page 78: curs geodezie

- 78 -

figura nr. 6.2. a figura nr. 6.2. b

Din (6.15) extragem:

γβγβ-α

sinsincoscoscos

Acos

(6.16)

În continuare se dezvoltă în serie funcţiile trigonometrice până la ordinul IV inclusiv:

....242

1cos42 ααα ; ....

2421cos

42 βββ ; ....242

1cos42 γγγ

61

6sin

23 βββββ ;

61

6sin

23 γγγγγ

(6.17)

(6.18)

Se calculează numărătorul şi numitorul expresiei:

611

61

661sinsin

246

2

24422421

2421coscoscos

22222

22444222

42.224242

γβγβ

γβγβγβγβγβ

γβγβαγβα

γγβγββααγβα

(6.19)

(6.20)

se înlocuiesc în formula lui cos A, se efectuează calculele şi rezultă:

βγγγβγαγβββα

γβγβββα

γβγβγβα

γβγβα

122222

12246

2Acos

4222222422

2242222444222

(6.21)

În cadrul acestei formule se înlocuiesc expresiile unghiurilor:

Ra

α ; Rb

β ; Rcγ

(6.22)

obţinându-se:

cbR24cb2ca2ba2cba

cb2cbaAcos 2

222222444222

(6.23)

Lucrând în triunghiul plan, figura nr. 6.2.b, aplicând teorema Pitagora generalizată:

cb2cbaAcos Acoscb2cba

222222

-

⇒ (6.24)

cb2

cb1Acos1Asin

cb2cba

Acos 2

222222

22a-

⇒-

Page 79: curs geodezie

- 79 -

22

222222444

22

22222244422

cb4cb2ca2ba2cba

cb4cb2ca2ba2cbacb4

-

(6.25)

Comparând cele două relaţii rezultă:

2

2

2

2

2

2

R6AsincbAcosAcos

R6AsincbAcosAcos

R6AsincbAcosAcos

⇒⇒

(6.26)

Considerăm această expresie ca fiind de forma: A A (A - A) unde diferenţa din paranteză este, cantitativ, foarte mică, suportând o dezvoltare în serie:

Asin

AcosAcosAA AsinAAAcosAAAcosAcos

⇒ (6.27)

Diferenţa rad)AA( este o cantitate mică ce se transformă în secunde

sexagesimale (în geodezia elipsoidală se lucrează în grade sexagesimale deoarece coordonatele iniţiale se determină din cele astronomo – geodezice): Revenind la formula (6.26):

3

AA31

RF

R6AsincbAA CCCC

2CC

2CC ε-⇒ρρ-

(6.28)

Procedându-se în mod similar pentru celelalte două unghiuri, se obţine:

3CC;

3BB;

3AA ε ε ε (6.29)

Relaţiile (6.30) enunţă teorema lui Legendre conform căreia „unghiurile unui triunghi plan sunt mai mici decât cele ale triunghiului sferic corespunzător cu o treime din valoarea excesului sferic”.

6.3. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda aditamentelor

Pentru distanţe geodezice mici, sub 60 km, problema se rezolvă prin înlocuirea suprafeţei elipsoidului cu suprafaţa sferei de rază medie Gauss, obţinându-se triunghiuri sferice în cadrul cărora se vor aplica formule de triangulaţie sferică. În anul 1810 Soldner a imaginat situaţia din figurile nr. 6.3: avem un triunghi sferic ABC, cu suprafaţa F, căreia îi cunoaştem unghiurile din vârfuri (‚ şi ) şi o latură, a, şi de asemenea ne propunem să-i calculăm lungimile laturilor b şi c. Adoptăm un triunghi plan auxiliar ABC cu suprafaţa F ale cărui unghiuri din vârfuri sunt valoric egale cu primele dar ale cărui laturi (a, b, c) diferă ca mărime de cele anterioare. Prin rezolvarea celor două triunghiuri vom determina expresia diferenţei dintre unghiurile celor două triunghiuri.

Page 80: curs geodezie

- 80 -

figura nr. 6.3. a figura nr. 6.3. b

Aplicând teorema sinusului în cadrul figurii nr. 6.3. a, obţinem:

βα

⇒γβα sin

sinBsinAsin

sinCsin

sinBsin

sinAsin

(6.30)

În continuare se dezvoltă în serie funcţiile trigonometrice, până la ordinul IV inclusiv:

6-1

6-sin

23 ααααα ;

6-1

6-sin

23 βββββ (6.31)

şi se înlocuiesc în formulă, ţinând apoi seama de expresiile: Ra

α ; Rb

β ; Rc

γ

2

3

2

3

3

3

R6bb

R6aa

6

6sinsin

BsinAsin

-

-

β-β

α-α

βα

(6.32)

Se aplică şi în triunghiul plan teorema sinusurilor:

ba

BsinAsin

cCsin

bBsin

aAsin

⇒ (6.33)

Egalând cele două rezultate se obţine:

2

3

R6aaa - ; 2

3

R6bbb - şi în consecinţă: 2

3

R6ccc -

(6.34)

Dacă notăm, în general, cu s latura unui triunghi sferic şi cu s latura unui triunghi plan, constatăm că mărimea As cu care diferă valoric acestea pe care o denumim aditament liniar are expresia:

s2 AsR6sss --

(6.35)

Page 81: curs geodezie

- 81 -

BIBLIOGRAFIE 1. Apreutesei C., Barbălată I., Tudor C. (1962) – Geodezia – Editura Agro- Silvică,

Bucureşti 2. Chiş Gh., Săndulache Al., Albotă M. (1981) – Introducere în geodezia geometrică

spaţială – Editura Ştiinşifică şi Encclopedică, Bucureşti 3. Dinescu Al. (1982) – Introducere în geodezia geometrică spaţială – Editura Tehnică,

Bucureşti 4. Dragomir V., Rotaru M. (1986) – Mărturii Geodezice – Editura Militară, Bucureşti 5. Dragomir V., Ghiţău D., Mihăilescu M., Rotaru M. (1977) – Teoria Figurii

Pământului – Editura Tehnică, Bucureşti 6. Ghiţău D. (1972) – Geodezie. Triangulaţie – Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti 7. Ghiţău D. (1983 ) – Geodezie şi Gravimetrie Geodezică – Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti 8. Horomnea M. (1969) – Manual pentru liceele agricole – specialitatea Cadastru şi

Organizarea Teritoriului – Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 9. Moldoveanu Ctin. (2002) – Geodezie .Noţiuni de geodezie fizică şi elipsoidală.

Poziţionare – Editura Militară, Bucureşti 10. Rotaru M., Anculete Gh., Paraschiva I. (1989) – Evoluţia concepţiei militare în

România – Editura Matrix Rom, Bucureşti 11. ***Manualul inginerului geodez, vol. I, II, III (1973) – Editura Tehnică, Bucureşti

Page 82: curs geodezie

- 82 -

CUPRINS

Noţiuni introductive. Definiţia şi scopul geodeziei 1 Partea I

Noţiuni de geodezie fizică Capitolul I Elemente de teoria potenţialului.

5

1. Noţiuni de teoria câmpurilor 5 1.1. Câmpul gravităţii 5 1.1.1. forţa de atracţie (gravitaţia) 5 1.1.2. forţa centrifugă 7 1.1.3. gravitatea (greutatea) 8 1.2. Potenţialul gravităţii 9 1.2.1. Potenţialul de atracţie (newtonian) 9 1.2.2. Potenţialul forţei centrifuge 10 Capitolul II Suprafeţe de referinţă echipotenţiale

11

2.1. Suprafeţe de nivel. Suprafeţe echipotenţiale 11 2.1.1. Potenţialul suprafeţelor de nivel 11 2.1.2. Curbura suprafeţelor de nivel 13 2.1.2.1. Deducerea formulei de calcul a curburii medii 13 2.1.2.1.1. Varianta 1 de calcul 13 2.1.2.1.2. Varianta 2 de calcul 16 2.1.2.2. Consecinţele neparalelismului suprafeţelor de nivel 17 2.1.3. Linii de forţă. Verticala locului 18 2.1.3.1. Curbura verticalei 19 2.1.3.2. Deviaţiile verticalei 20 2.1.3.2.1. Componentele astronomo-geodezice ale deviaţiei verticalei 20 2.1.3.2.2. Componentele gravimetrice ale deviaţiei verticalei 21 2.2. Geoidul 22 2.3. Sferoidul de nivel 23 2.4. Elipsoidul de nivel 23 Capitolul III Suprafeţe de referinţă şi sisteme de coordonate altimetrice

24

3.1. Suprafeţe de referinţă altimetrice 24 3.2. Sisteme de coordonate altimetrice 25 3.2.1. Altitudinea dinamică 26 3.2.2. Altitudinea ortometrică 26 3.2.3. Altitudinea normală 27 Capitolul IV Suprafeţe matematice de referinţă

31

4.1. Elipsoidul de rotaţie 31 4.2. Sfera de rotaţie 34 4.3. Sisteme de coordonate 36 4.3.1. Sisteme de coordonate ale elipsoidului de rotaţie 37 4.3.1.1. Sistemul de coordonate carteziene ortogonale tridimensionale (X, Y, Z) 37 4.3.1.2. Sistemul de coordonate geografice – geodezice (φ, λ, ΗE) 38 4.3.2.Sisteme de coordonate ale sferei de rotaţie 39 4.3.2.1. Sistemul de coordonate geografice (φ, λ) 39 4.3.2.2. Sistemul de coordonate sferice polare (A, Z) 40 4.3.2.3. Sistemul de coordonate geocentrice sferice (φ', λa, R) 42 4.4. Ecuaţii parametrice ale elipsoidului de referinţă 44 Capitolul V Curbe pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

48

5.1. Secţiuni normale principale 48 5.1.1. Raza de curbură M a secţiunii meridiene 49

Page 83: curs geodezie

- 83 -

5.1.1. Raza de curbură N a secţiunii primului vertical 50 5.2. Calculul lungimii arcului de meridian (sm) 52 5.3. Lungimea arcului de paralel sp. Metoda de determinare a elipsoidului de referinţă

55

5.4. Calculul unghiului dintre liniile de coordonate curbilinii (). Calculul elementului de arie (ds)

57

5.4.1. Calculul unghiului 57 5.4.2. Calculul elementului de arie dS 58 5.5. Azimutul geodezic al unei curbe situată pe suprafaţa elipsoidului de referinţă 59 5.6. Curbura curbelor ce trec printr-un punct situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă

61

5.7. Expresia razei de curbură a unei secţiuni normale în funcţie de azimutul geodezic

65

5.8. Raza medie de curbură, Rm sau raza sferei medii Gauss 66 5.9. Secţiunea normală directă şi secţiunea normală inversă. Poziţia lor reciprocă 68 5.10. Linia geodezică: definiţie, ecuaţia în termeni finiţi pentru linia geodezică a lui Clairaut

70

5.11. Ecuaţiile parametrice ale liniei geodezice (ecuaţiile Puiseaux – Weingarten – Gauss)

73

Capitolul VI Rezolvarea problemelor geodezice prin intermediul triunghiurilor elipsoidice mici

77

6.1. Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic, ε 77 6.2. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre 79 6.3. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda aditamentelor 81 Bibliografie 83 Cuprins 84