NOŢIUNI GENERALEGeodezia este ştiinţa care se ocupă cu determinarea riguroasă a formei

şi dimensiunilor Pământului sau a unor porţiuni din suprafaţa sa, precum şi cu reprezentarea grafică a acestora.

În acest scop, geodezia determină cu precizie, prin măsurători şi calcule, un schelet de puncte convenabil distanţate pe suprafaţa Pamântului, numite puncte geodezice, care servesc ca sprijin pentru operaţile topografice sau fotogrametrice ulterioare.

Cuvântul „geodezie” provine de la cuvintele greceşti „geo” = pământ şi „daien”= împart, ceea ce arată că la origine, geodezia s-a ocupat şi cu rezolvarea unor probleme privind împărţirea suprafeţelor terestre.

Geodezia cuprinde mai multe părţi şi anume:- geodezia elipsoidală, care studiază bazele matematice pentru luarea în considerare a suprafeţei elipsoidale a pământului în procese de determinare a punctelor geodezice;- triangulaţii geodezice, se ocupă cu determinarea planimetrică a tuturor punctelor geodezice pe baza măsurătorilor de unghiuri;- trilateraţii geodezice, se ocupă cu determinarea planimetrică a punctelor geodezice pe baza măsurătorilor de distanţe;- poligonametria, se ocupă cu determinarea punctelor geodezice utilizând măsurători de unghiuri şi distanţe;- nivelmentul superior de precizie-studiază metodele de determinare riguroasă a altitudinii unui schelet de puncte, prin nivelment geometric şi de legare altimetrică a acetora, cu punctele geodezice determinate planimetric;- geodezia dinamică (gravimetria), se ocupă cu determinarea intensităţii forţei gravitaţionale in diferite puncte ale globului , pentru deducerea formei şi dimensiunilor Pămâmtului, precum şi a constituţiei interne a scoarţei terestre;- astronomia geodezică, are ca scop determinarea directă a coordonatelor geografice ale punctelor geodezice, folosind metode şi observaţii astronomice.

Geodezia este strâns legată de o serie de discipline cum ar fi:- teoria erorilor şi metoda celor mai mici pătrate, utilizată la rezolvarea problemelor de masurători de precizie;- cartografia matematică, care ajută la reprezentarea în plan a reţelei de puncte geodezice.

Trebuie accentuată importanţa deosebită pe care o are geodezia pentru topografie şi fotogrammetrie, deoarece este de neconceput construcţia riguroasă de planuri şi hărţi topografice pentru suprafeţe mai mari, fără a avea un schelet de puncte geodezice, precis determinate, de care să fie legate toate lucrările topografice şi fotogrammetrice ulterioare.

Partea I. GEODEZIE ELIPSOIDALĂ

pag 1

1.1. GENERALITĂŢIGeodezia elipsoidală este acea parte din geodezie care se ocupă cu

studiul suprafeţei elipsoidale de rotaţie, de referinţă, a suprafeţei fizice a Pământului, precum şi cu determinarea riguroasă a formei şi dimensiunilor suprafeţei matematice curbe a Pământului.

Pentru îndeplinirea obiectivelor sale, Geodezia elipsoidală are strânse legături cu Astronomia geodezică şi cu Gravimetria geodezică. Pe baza prelucrării ştiinţifice a unor rezultate din măsurătorile geodezice combinate cu măsurători astronomo-geodezice şi gravimetrice, se poate studia în mod riguros şi detaliat forma matematică a suprafeţei curbe a Pământului.

Pentru suprafaţa curbă a globului terestru, Listing introduce în 1873 noţiunea de GEOID.

Din punct de vedere practic Geoidul este reprezentat de suprafaţa de echilibru a nivelului mediu al oceanelor şi mărilor, prelungită pe sub uscat (continente, insule).

Toate măsurătorile geodezice efectuate pe suprafaţa fizică topografică a Pământului (care este considerată ca fiind suprafaţa de contact între uscat şi atmosferă sau între uscat şi apă), trebuia să se reducă la suprafaţa geoidului.

În cazul măsurătorilor geodezice curente (trilateraţii, triangulaţii, poligonometrie), geoidul se poate aproxima cu un elipsoid de rotaţie, turtit la poli, având semiaxa mare (ecuatorială) de circa 6380 km. De asemenea pentru lucrări geodezice de precizie mai mică, suprafaţa geoidului se va putea aproxima şi cu suprafaţa unei sfere de rază medie egală cu 6370 km.

Prin intermediul metodelor geodeziei elipsoidale se determină în mod precis, coordonatele unei reţele de puncte de pe suprafaţa Pământului, puncte de bază de ordinul I, cu ajutorul cărora se determină ulterior punctele de ordinul II-IV, necesare obţinerii reprezentărilor grafice pe suprafeţe foarte mari.

1.2. GEOIDUL ŞI ELIPSOIDUL DE REFERINŢĂ.Din punct de vedere geometric Geoidul reprezintă o suprafaţă de nivel,

care este în fiecare punct al său normală la direcţia verticalei locului, dată de vectorul forţei de greutate, indicată de firul cu plumb.

Deoarece direcţiile verticalelor depind de atracţia maselor dispuse neregulat în interiorul globului terestru, forma suprafeţei geometrice a Geoidului este foarte complicată. De aceea ea nu poate fi considerată ca o suprafaţă matematică, pe care să se execute diferite calcule pentru rezolvarea problemelor geodezice.

pag 2

Fig. 1.1. Suprafeţe de referinţă.

1 – Suprafaţa topografică;2 – Suprafaţa Geoidului;3 – Suprafaţa elipsoidului de referinţă.

Din această cauză a trebuit adoptată o altă suprafaţă matematică, mai simplă pe care să se rezolve problemele geodezice şi anume suprafaţa elipsoidului de rotaţie, cu o turtire mică, rezultat prin rotirea unei elipse în jurul axe mici.

Fig. 1.2. Secţiune prin elipsoidul de referinţă.

Pentru verificarea concepţiei privind turtirea elipsoidului la poli au fost efectuate măsurători ale arcului de meridian de 1o la ecuator şi la poli (fig. 1.2), măsurători care au verificat această concepţie. Pentru a putea fi folosită în pag 3

prelucrarea măsurătorilor geodezice, suprafaţa elipsoidului de rotaţie adoptat trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

- să se determine dimensiunile elipsoidului de rotaţie care este cel mai apropiat de Geoid;

- să se aşeze corect elipsoidul de rotaţie faţă de Geoid, adică să se orienteze corect elipsoidul de rotaţie.

Elipsoidul de rotaţie care îndeplineşte condiţiile arătate, a fost denumit elipsoid de referinţă, iar toate măsurătorile geodezice se prelucrează şi se reprezintă în raport cu acest elipsoid.

De-a lungul timpului au fost determinate diferite serii de valori ale dimensiunilor elipsoidului de referinţă, date în tabelul de mai jos (tabelul 1.1).

Parametrii geometrici ai unor elipsoizi de rotaţie Tabelul nr. 1.1.

Den.Anul

Determi-nării

SemiaxaTurtirea

Perioada de

utilizare în România

Mare (m) Mică (m)

Bessel 1811 6377397,115 6356079 1:299,1 1873-1916Clarke 1880 6378243 6356515 1:293,5 1916-1930

Helmert 1906 6378140 6356758 1:298,3 1959-prezent

Hayford 1909 6378388 6356912 1:297 1930-1952Krasovski 1940 6378245 6356863 1:298,3 1952-

prezentSGR-1967(sist. geod.

de referinţă)

1967 6378160 6356774,504 1:298,2 -

WGS-72(sist. geod. mondial)

1972 6378135 6356750,520 1:298,26 -

SGR-1980 1980 6378137 6356752,298 1:298,3 -WGS-1984 1984 6378137 6356752,314 1:298,3 1992-

prezent

Elipsoidul de rotaţie poate fi bine definit prin minim doi parametri caracteristici, dintre care unul trebuie să fie liniar.

pag 4

Fig. 1.3. Elipsoidul de referinţă

- semiaxa mare; - diametrul ecuatorului; - axa de rotaţie;

- semiaxa mică; - raza unui cerc mic; - Raza meridianului (raza mică de curbură); - raza primului vertical (raza mare de curbură);

= turtirea;

= excentricitatea liniară;

- prima excentricitate;

- a doua excentricitate;

- raza de curbură polară.

Diferitele poziţii ale elipsei în rotaţie se numesc elipse meridian, sau simplu meridiane.

Raza de curbură a elipsei meridian într-un punct oarecare A se notează cu M. Un plan perpendicular pe elipsa meridian, într-un punct A, poartă numele de prim vertical (conţine verticala locului) şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă de rază N – raza de curbură a primului vertical. Cercul mare (ecuatorial) este de rază a şi cercurile mici (paralele) sunt de rază r.

pag 5

1.3. SISTEME DE COORDONATE PENTRU ELIPSOIDUL PĂMÂNTESC UTILIZAT ÎN GEODEZIE.

In Geodezie sunt folosite ca sisteme de referinţă, sistemele globale de coordonate şi sisteme locale de coordonate.

Din prima categorie fac parte sistemele de coordonate spaţial carteziene (rectangular rectiliniu) şi sisteme de coordonate geografice elipsoidice.

1.3.1. SISTEME DE COORDONATE RECTANGULARE RECTILINII (OXYZ).Reprezintă un sistem general de coordonate, cunoscut din matematică.

Originea sistemului se consideră în centrul geometric al elipsoidului, axa oz fiind dispusă după axa polilor .

Fig. 1.4. Sistemul de coordonate.

Axa ox este pe direcţia liniei de intersecţie dintre planul ecuatorului şi planul meridianului origine (Greenwich), iar axa oy se află în planul ecuatorului şi este perpendiculară pe planul xoz. În acest mod poziţia unui punct P0, de pe suprafaţa elipsoidului de referinţă, este determinată prin cele trei coordonate:

; ;

Dacă originea sistemului se află în centrul de masă al Pământului, iar este verticala locului, coordonatele punctelor vor fi în sistem global cartezian ecuatorial denumit GEOCENTRIC (OXYZ), (fig. 1.4).

1.3.2. SISTEME DE COORDONATE GEOGRAFICE ELIPSOIDICE (BLH).

pag 6

Este un sistem global de referinţă, cu ajutorul căruia poziţia unui punct oarecare P0 este determinată în raport cu planul meridianului origine şi

planul ecuatorial , (fig. 1.4).B = latitudinea punctului P0 , adică unghiul dintre normala P0O la suprafaţa elipsoidului de referinţă şi proiecţia ei în planul ecuatorului: ia valori de la 0o la 90o şi poate fi nordică şi sudică.L = longitudinea punctului P0, adică unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich şi planul meridianului punctului P0, ia valori de la 0o la 180 şi poate fi estică sau vestică.H = înălţimea punctului P0 deasupra suprafeţei de referinţă dată de planul ecuatorului.

Pentru elipsoidul pământesc, sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezintă o serie de avantaje foarte importante:

- este un sistem unitar de coordonate pentru întreg elipsoidul şi permite o serie de simplificări în rezolvarea problemelor geodezice;

- liniile de coordonate B = const. şi L = const. pe suprafaţa elipsoidului, sunt chiar liniile cele mai simple şi importante, adică meridiane şi paralele;

- se defineşte cu ajutorul normalelor la suprafaţa elipsoidului de referinţă adoptat, ceea ce este important pentru determinarea deviaţiilor verticalelor geoidului faţă de normalele corespunzătoare elipsoidice.

Coordonatele geografice elipsoidale (B,L) se deosebesc de coordonatele utilizate în astronomie , deoarece acestea din urmă se referă la suprafaţa geoidului.

1.3.3. SISTEME DE COORDONATE GEODEZICE POLARE

Fig. 1.5. Sisteme de coordonate geodezice polare.

pag 7

Este un sistem de coordonate local, în care poziţia unui punct oarecare P0, situat pe suprafaţa elipsoidului de referinţă, este bine determinată, dacă se cunosc valorile unghiului şi a distanţei s şi originea O.

- linia geodezică de la punctul P0, la un punct origine O, considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator);

- unghiul pe care îl face linia geodezică OP0 cu meridianul origine.

1.3.4. SISTEMUL COORDONATELOR GEODEZICE RTOGONALE

Fig. 1.6. Sistemul de coordonate geodezice ortogonale.

Este un sistem de coordonate local, în care poziţia unui punct oarecare P0, aparţinând suprafeţei elipsoidului de referinţă este bine determinată, dacă sunt cunoscute distanţele geodezice u şi v.

- distanţa geodezică ce se măsoară pe meridianul arbitrar ales,

de la punctul de origine O până la punctul . Punctul de pe meridian este

chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian.

- linia geodezică determinată de normala la meridianul ales.

Punctul O poate fi situat şi în planul ecuatorului .

1.4. PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂSuprafaţa elipsoidului pământesc poate fi aproximată cu suprafaţa unui

elipsoid de rotaţie, rezultat din rotirea unei elipse în jurul unei axe mici.Considerând această elipsă ca fiind elipsa meridiană terestră se va

reprezenta raportată la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz, în care axa oz, coincide cu axa polilor şi axa ox este în planul ecuatorial.

pag 8

Fig. 1.7. Elipsa meridian.

Ecuaţia elipsei meridian în sistemul de coordonate carteziene xoz este:

(1.1)

a – semiaxa mare, ecuatorială a elipsoidului;b – semiaxa mică, polară, a elipsoidului.Elipsoidul de referinţă este caracterizat de cele două excentricităţi:

- prima excentricitate; (1.2)

- a doua excentricitate; (1.3)

Introducând excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) în ecuaţia elipsei se va obţine:

(1.4)

(1.5)

În această formă a ecuaţiei parametrii care o determină sunt a şi e, faţă de a şi b în prima formă.

Analog se poate introduce şi expresia excentricităţii a doua în ecuaţia elipsei.

Un alt parametru important al elipsoidului de referinţă este turtirea:

(1.6)

Între parametrii de bază ai elipsoidului de referinţă se pot stabili o serie de relaţii de legătură.

pag 9

a) Relaţii de legătură între cele două excentricităţi:

sau (1.7)

sau (1.8)

adică (1.9)

Din expresia , se poate determina excentricitatea a doua

funcţie de prima excentricitate:

sau (1.10)

b) între prima excentricitate şi turtirea se poate scrie:

sau sau (1.11)

dar: sau

(1.12)Deoarece este mic, ridicat la pătrat va fi şi mai mic, adică tinde spre zero:

sau (1.13)

Pentru elipsoidul Krasovski, utilizat la noi în ţară ca elipsoid de referinţă, plecând de la valorile parametrilor trecuţi în tabelul nr. 1, pot fi determinate valorile aproximative pentru cele două excentricităţi şi pentru raza de curbură

polară .

(1.14)

(1.15)

(1.16)Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski, care se

întrebuinţează în calcule de precizie sunt următoarele:

pag 10

(1.17)

1.5. ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSEI MERIDIANE ŞI ALE ELIPSOIDULUI PĂMÂNTESC.

Prin determinarea ecuaţiilor parametrice se urmăreşte stabilirea unor legături între coordonatele unui punct de pe elipsoid în unul din sistemele de referinţă prezentate şi coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig. 1.8).

Fig. 1.8. Elipsoidul de referinţă (schemă pentru determinarea ecuaţiilor parametrice).

Se va reprezenta elipsoidul de rotaţie în raport cu sistemul de referinţă rectangular rectiliniu oxyz, pe reprezentare identificându-se următoarele elemente:

- diametrul cercului ecuatorial;- meridianul origine;

- normala la elipsoid în punctul M0;Tp – tangenta în M0 la paralela punctului M0;Tm – tangenta în M0 la curba meridiană.

pag 11

Vectorii V şi Tm determină un plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după o curbă care are centrul de curbură în punctul şi este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0. Raza acestei curbe se notează cu M.

Vectorii Tp şi V determină un alt plan care intersectează suprafaţa elipsoidului după curba , normală la curba meridianului punctului M0, cu centrul de curbură în punctul O1, raza acestei curbe este N. Poziţia punctului M0 poate fi definită atât prin coordonate rectangulare rectilinii

, cât şi prin coordonate geografice elipsoidale . Pentru uşurinţă se vor utiliza şi .

Expresiile ecuaţiilor parametrice ale elipsoidului de referinţă pământesc, în funcţie de coordonatele geografice şi for fi de forma:

(1.18)Se va considera elipsa meridiană ce trece prin punctul M0 şi deoarece M0

este un punct curent pe elipsa meridiană va avea coordonatele curente r şi z, care verifică ecuaţia:

(1.19)

Considerând pe elipsa meridiană un alt punct , situat la distanţa

elementară faţă de punctul M0 (fig. 1.9).

Fig. 1.9. Schemă grafică – determinarea ecuaţiilor parametrice.

Acestui punct îi corespunde faţă de punctul M0, creşterile în coordonate dr şi dz. Creşterea coordonatei r, a punctului este negativă deoarece la o

creştere a latitudinii , odată cu deplasarea din M0 în , distanţa O2M0 se micşorează.

pag 12

În triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar, deoarece este foarte mic şi în consecinţă se poate scrie:

; (1.20)

Dacă se diferenţiază ecuaţia elipsei meridiane în raport cu r şi z, rezultă:

/:ds (1.21)

Împărţind relaţia cu ds şi ţinând seama de expresiile pentru şi , se va obţine:

/ (1.22)

(1.23)

dar: şi atunci relaţia devine:

/ (1.24)

(1.25)Ecuaţia elipsei meridiane poate fi scrisă şi sub forma:

, dar (1.26)

(1.27)

Înlocuind expresia determinată pentru y, se obţine:

(1.28)

sau (1.29)

(1.30)

(1.31)

Înlocuind expresia în relaţia lui z se obţine:

(1.32)

notând: , se vor obţine ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0:

pag 13

(1.33)

Din reprezentarea grafică a elipsoidului de rotaţie în sistem de coordonate xyz se observă că se pot scrie relaţiile:

şi (1.34)Înlocuind în aceste relaţii expresia lui r determinată mai sus pot fi

scrise relaţiile parametrice ale elipsoidului:

(1.35)

Ecuaţiile parametrice se pot exprima şi sub o altă formă

Stim că: (1.36)

(1.37)

S-a notat: (1.38)

Dar: , deci: sau

(1.39)

Scriind: sau ; - raza de curbură polară.

(1.40)Înlocuind în ecuaţiile parametrice se obţine:

(1.41)

1.6. RAZELE DE CURBURĂ ALE ELIPSEI MERIDIAN ŞI ALE PRIMULUI VERTICAL.1.6.1.RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE.

Se consideră elipsa meridiană, având raza de curbură notată cu M, într-un punct al său de latitudine (fig. 1.10).

pag 14

Fig. 1.10. Determinarea razei M.

Prin definiţie, dacă se noteaza pe figura prin ds, un element infinitezimal de arc al elipsei, atunci se poate scrie:

(1.42)

unghiul în fnfinitezimal dintre tangenta în B şi tangenta în infinit apropiată, corespunzătoare latitudinii .

Unghiul celor două tangente în punctele şi , este egal cu unghiul perpendicularelor corespunzătoare, ceea ce înseamnă că:

(1.43)

Dar: (1.44)Relaţia se poate scrie şi sub forma:

(1.45)

Derivatele de sub radical se efectuează ţinând cont de expresiile determinate pentru x şi y în ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian:

şi (1.46)

După efectuarea calculelor se obţin valorile derivatelor:

(1.47)

Înlocuind în relaţia razei mici de curbură, se va obţine:

pag 15

, dar (1.48)

şi deoarece: şi (1.49)

(1.50)

1.6.2. RAZA DE CURBURĂ A PRIMULUI VERTICAL.Considerând pe suprafaţa elipsoidului normala BD, într-un punct B de

latitudine , prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri, perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului în punctul B. Aceste planuri se numesc planuri normale. Una dintre aceste secţiuni normale din punctul B este chiar elipsa meridiană, atunci când planul normal conţine şi axa polilor (fig. 1.11).

Fig. 1.11. Determinarea razei de curbură a prismului vertical.

Secţiunea ce trece prin punctul B şi este perpendiculară pe secţiunea meridiană poartă numele de secţiunea primului vertical ce are tot formă de elipsă (SBW).

Raza de curbură a primului vertical în punctul B de latitudine se notează cu . Dacă secţionăm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B şi este perpendicular pe axa polilor se obţine cercul paralel corespunzator.

Unghiul diedru dintre secţiunea prismului vertical şi cea a paralelului din punctul B, este definit de unghiul plan CBD şi este egal cu latitudinea .

Pentru determinarea razei de curbură , a primului vertical este folosită teorema lui Meusnier, care se enunţă astfel: „Dacă printr-un punct dat al unei

pag 16

suprafeţe sunt duse două secţiuni plane – respectiv normală şi înclinată – ambele secţiuni având în punctul dat o aceeaşi tangentă, atunci raza de curbură a secţiunii înclinate este egală cu raza de curbură a secţiunii normale, înmulţită cu cosinusul unghiului dintre cele două secţiuni.

(1.51)

Aşadar: , dar (1.52)

Înlocuind se obţine:

(1.53)

Lungimea razei de curbură a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normală BD până la axa polilor, care se mai numeşte marea normală şi se notează cu N.

1.6.3. EXPRESIA RAZEI DE CURBURĂ DUPĂ O DIRECŢIE OARECARE .

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă se trasează o curbă oarecare, de orientare geografică . Raza de curbură a acesteia va fi notată cu (fig. 1.12.a).

Pentru a stabili expresia care defineşte raza de curbură după o direcţie oarecare se secţionează suprafaţa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0, la distanţa de acest punct (fig. 1.12.b).

a)

pag 17

b)

Fig. 1.12. Determinarea razei de curbură după o direcţie oarecare.

Fig. 1.13. Elipsa de secţiune.

Se va obţine o elipsă de secţiune (fig. 1.13), ale cărei semiaxe pe direcţiile curbelor principale se notează cu m, respectiv n. Ţinând cont de elementele geometrice din figură, în triunghiul se poate scrie:

, dar (1.55)

sau (1.56)

În mod similar, considerând elementele geometrice din planul curbei normale la meridian şi din planul curbei de direcţie se obţine:

pag 18

şi , adică: (1.57)

(1.58)

Dacă se raportează elipsa de secţiune la un sistem particular de axe , atunci coordonatele punctului M0, trebuie să verifice ecuaţia elipsei:

(1.59)

dar şi (1.60)

, înlocuind (1.61)

(1.62)

(1.63)

(1.64)

(1.65)Deci raza de curbură a unei curbe de orientare geografică , este în

funcţie de latitudinea punctului ce se determină şi de orientarea geografică.

1.6.4. EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBURĂ.Se consideră pe suprafaţa elipsoidului de referinţă un punct P,

caracterizat de direcţiile principale Pm şi Pn, corespunzătoare rayei mici (m), respectiv razei mari (n), de curbură.

pag 19

Fig. 1.14. Determinarea razei medii de curbură.

Presupunem că prin punctul P trece o direcţie Δ1, care face cu direcţia Pm, unghiul , sau o direcţie Δ 2 care face cu Δ 1 unghiul ş.a.m.d. (fig. 1.14). Se poate afirma că: Raza medie de curbură într-un punct este dată de suma tuturor razelor împărţită la numărul direcţiilor corespunzătoare acestora.

(1.66)

dacă ∞Aşadar Raza medie de curbură într-un punct oarecare pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă, se poate determina ca medie aritmetică a razelor de curbură R , corespunzătoare curbelor ce trec prin acel punct.

, pentru ∞ (1.67)

Presupunând că între două curbe vecine există un unghi elementar , se poate scrie:

, iar dacă vom considera (1.68)

În condiţiile în care numărul direcţiilor ∞, şi se poate integra expresia razei medii (se trece de la sumă la integrală).

(1.69)

Ţinând cont de simetria ce există fată de direcţiile principale, se pot considera numai razele de curbură aferente curbelor ale căror unghiuri de orientare sunt cuprinse între 0 şi 90o.

(1.70)

Integrala se mai poate scrie şi sub forma:

(1.71)

Se notează:

, pentru ∞ şi (1.72)

Rezultă:pag 20

: , sau (1.73)

(1.74)

ţinând cont că: şi , se va obţine

(1.75)

Rezultă că Rm este funcţie de latitudinea punctului în care se determină.

1.6.5. CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE MERIDIAN.Se consideră pe o elipsă meridian a elipsoidului de referinţă, două

puncte A şi B, având latitudinile şi cu distanţa ds între ele (fig. 1.15).

Fig. 1.15. Calculul lungimii arcului de meridian.

Se poate scrie:

, dar şi (1.76)

(1.77)

Integrala obţinută se poate rezolva prin utilizarea dezvoltărilor în serie, conform relaţiei:

pag 21

(1.78)Dezvoltând în serie după formula binomului se obţine:

(1.79)Se înlocuiesc puterile liniei trigonometrice şi , neglijându-

se ceilalţi termeni, prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple:

; (1.80)

(1.81)

Înlocuind şi efectuând calculele obţinem:

(1.82)

Se notează:

B = (1.83)

C =

Relaţia devine:

(1.84)

Introducând relaţia în expresia lungimii arcului de meridian se obţine:

(1.85)

Integrarea termen cu termen se face ţinând seama de relaţiile cunoscute:

şi (1.86)

Integrând în limitele aproximaţilor acceptate de scopul pentru care se fac calcule, se obţine:

pag 22

(1.87)Formula obţinută exprimă forma generală, dar în practică sunt întâlnite şi unele cazuri particulare, ca de exemplu atunci când unul din puncte este situat pe ecuator.

A- este situat pe ecuator;Ţinând cont de aceste precizări se determină lungimea arcului de

meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian.

(1.88)

1.6.6. CALCULUL LUNGIMII ARCULUI DE PARALEL.Deoarece pe elipsoidul de rotaţie terestru paralelul este un cerc,

calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc, cunoscând unghiul la centru egal cu diferenţa de longitudine , a extremitaţilor ce delimitează arcul. Se ştie că raza paralelului variază în funcţie de latitudine şi este dată de relaţia:

(1.89)

Dar lungimea arcului de paralel dl este:(1.90)

pag 23

Fig. 1.16. Calculul lungimii arcului de paralel.

Trecând la integrală pentru limitele , corespunzătoare extremitaţilor arcului de paralel, se obţine:

Din relaţie reiese că o lungime finită de arc de paralel se poate determina în funcţie de raza mare de curbură, latitudinea paralelului şi diferenţa de longitudini.

Lungimea arcului de paralel şi de meridian intervin în calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecţie Gauss Kruger.

1.7. CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE ROTAŢIE.1.7.1. ELEMENTUL LINIAR AL UNEI CURBE.

Considerăm un punct S1, pe suprafaţa elipsoidului şi un element de curbură ds, având azimutul (unghiul de orientare) oarecare.

Fig. 1.17. Calculul elementului liniar al unei curbe.

Pentru o suprafaţă oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcţie de coordonatele geografice elipsoidice:

, , (1.92)În cazul elipsoidului de rotaţie coordonata z este funcţie numai de

latitudinea punctului .Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafaţă poate fi

determinat printr-o relaţie de forma:(1.93)

pag 24

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei în funcţie de coordonatele geografice elipsoidice şi de cele carteziene se va diferenţia dx, dy şi dz, obţinând:

(1.94)

Înlocuind şi efectuând calculele se va obţine:(1.95)

S-a făcut notaţiile:

(1.96)

Relaţia poartă numele de prima formă fundamentală pătratică a suprafeţei S, iar E, G şi F sunt coeficienţii ei.Dacă elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obţin următoarele relaţii:

- pentru - puncte pe aceeaşi paralelă sau (1.97)

- pentru - puncte pe acelaşi meridian sau (1.98)

În cazul particular, când suprafaţa S este chiar elipsoidul de rotaţie terestru, meridianul cu M, raza de curbură, rezultă pentru elementul de arc corespunzător:

(1.99)Analog pentru un cerc paralel de rază r, rezultă:

(1.100)Paralelele şi meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaţa

elipsoidului de rotaţie obţinem: . (1.101)

Comparând expresiile elementului liniar pentru o suprafaţă oarecare şi pentru elipsoid rezultă valorile coeficienţilor E, F şi G

, şi (1.102)Aşadar pentru orice suprafaţă de revoluţie, atunci când sistemul de

coordonate este ortogonal, este satisfăcută relaţia F=0 (1.103)

1.7.2. UNGHIUL FORMAT DE LINIILE DE COORDONATE.pag 25

Fig. 1.18. Calculul unghiului dintre liniile de coordonate.

Se ştie că un vector este un segment de dreaptă orientat, caracterizat prin:

- modul, notat a, caracterizat prin direcţie şi sens, punct de aplicaţie.Proiecţiile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi:

,

, (1.104)

, - cosinuşii directori ai unghiurilor dintre vectori şi axele de

coordonate.Deci un vectur poate fi scris fie în funcţie de proiecţiile pe axe

, fie în funcţie de cosinuşii directori .Cosinuşii directori ai tangentei , la o curbă oarecareS1, S2 sunt:

; ; (1.105)

ds = elementul de arcŢinând cont de expresiile lui dx, dy şi dz se poate scrie:

; ;

(1.106)Pentru cazurile particulare şi , se scrie:

; ; (1.107)

pag 26

; ; (1.108)

Notând cu unghiul dintre liniile de coordonate generale şi , se poate scrie:

(1.109)Înlocuind expresiile cosinuşilor directori se obţine:

;

(1.110)Condiţia necesară şi suficientă ca liniile de coordonate să fie

ortogonale, adică să se intersecteze sub unghi drept, este dată de F=0, adică: sau

(1.111)

1.7.3. CALCULUL ELEMENTULUI DE ARIE.

Fig. 1.19. Calculul elementului de arie.

Pentru domenii mici, când elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coardă, elementul de arie pe o suprafaţă oarecare (fig. 1.19) se determină în mod asemănător cu cel din plan, utilizând o relaţie de forma:

(1.112)După cum s-a arătat anterior există:

(1.113)

pag 27

Înlocuind în expresia lui ds, se obţine:

(1.114)

În cazul unui sistem ortogonal de coordonate este îndeplinită condiţia F=0, adică , iar pentru elipsoidul de rotaţie terestru: şi

(1.115)Dacă suprafaţa terestră se aproximează cu o sferă de rază medie Gauss, elementul de arie devine:

(1.116)Pentru suprafeţe mici se aplică relaţia:

(1.117)

Aria unui element de , diferenţă de longitudine şi latitudine este funcţie de latitudinea la care se află acea suprafaţă pe elipsoid.

; ;

1.7.4. AZIMUTUL UNEI CURBE.Azimutul unei curbe pe suprafaţa terestră generală S, se notează cu A

şi este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcţia pozitivă a liniei de coordonate , sau unghiul format de curbă cu direcţia nord a meridianului (fig. 1.17).

Valoarea azimutului poate fi calculată cu ajutorul relaţiei care dă cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate, în care se consideră o curbă oarecare şi un =constant.

(1.118)şi - sunt coşinişii directori ai tangentei la curba

oarecare, respectiv ai tangentei la curba 1=ct

; ;

(1.119)

; ; ;

Înlocuind în relaţia cosA şi ţinând cont de expresiile coeficienţilor E, F şi G se va obţine:

(1.120)

Ştiind că , se poate deduce:

pag 28

(1.121)

Pentru un elipsoid de rotaţie relaţia se poate scrie sub forma:

şi (1.122)

Atunci când se consideră un domeniu infinit mic, lungimea unui arc de meridian şi de paralel se determină cu relaţiile:

şi rezultă că:

şi (1.123)

Se poate determina şi valoarea tangentei la curba dată:

(1.124)

Din relaţia tangentei rezultă o relaţie foarte importantă pentru teorema

lui Clairaut.

Într-un punct dat de pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie, raza paralelului r şi raza de curbură a elipsei meridiane M, sunt constante, deci şi raportul lor din relaţia de mai sus este constant. Valoarea raportului este proporţională cu panta tangentei la curbură.

1.8.1. SECŢIUNI NORMALE, DIRECTĂ ŞI INVERSĂ.Se consideră pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie două puncte A şi B, pe

două meridiane diferite şi având latitudinile şi , cu < . Ducând normalele la suprafaţa elipsoidului în cele două puncte A şi B, acestea întâlnesc axa polilor în punctele O1 şi O2, deoarece fiecare punct are coordonate diferite fig. (1.20).

pag 29

Fig. 1.20. Secţiuni normale pe elipsoid.

Normala AO1 la elipsoid şi punctul B, determină un plan normal în punctul A. Intersecţia acestui plan normal în A, cu suprafaţa elipsoidului determină curba AaB, care poartă numele de secţiunea normală directă de la punctul A la punctul B. Considerănd în mod analog planul determinat de normala BO2 la elipsoid în punctul B şi punctul A, acest plan este normal la elipsoid în punctul B şi va intersecta suprafaţa elipsoidului după o curbă BbA, care nu se confundă cu curba AaB. Dacă < , atunci curba BbA se va găsi deasupra curbei AaB, când privim din A către B.

Secţiunea normală BbA pe elipsoid, poartă numele de secţiune inversă faţă de secţiunea AaB, pentru un observator aflat în A.

În concluzie putem spune că între două puncte A şi B, pe elipsoidul de rotaţie, trec două secţiuni normale:

- secţiunea AaB, care este secţiune normală directă pentru observatorul din A şi secţiune normală inversă pentru cele din B.

- Secţiunea BbA, care va fi secţiune normală directă pentru observatorul din B şi inversă pentru observatorul din A.Cele două secţiuni normale, directă şi inversă, între două puncte pe

elipsoid, formează grupul celor două secţiuni normale reciproce.Dacă în punctul A este pus în staţie un teodolit, axa lui principală

(VV), coincide cu normala AO1. Vizând către punctul B, planul vertical de vizare este determinat de normala A O1 şi punctul B, deci se confundă cu planul secţiuni normale directe din A spre B şi intersecţia lui cu suprafaţa elipsoidului ne va da chiar secţiunea normală directă AaB.

Atunci când observaţia cu teodolitul se face în punctul B, în mod analog planul vertical de viză va intersecta suprafaţa elipsoidului după curba BbA.

1.8.2. SECŢIUNI NORMALE, DIRECTE ŞI INVERSE LA UN TRIUNGHI GEODEZIC.

Considerând că pe suprafaţa elipsoidului de referinţă există trei puncte de latitudini şi longitudini diferite şi din aceste puncte se fac observaţii de unghiuri orizontale cu teodolitul, în triunghiul elipsoidic care se formează (fig. 1.21). Marcând în fiecare punct A, B, C, prin săgeţi, secţiunile normale directe, obţinem că unghiurile orizontale măsurate în vârfurile triunghiului sunt BaAaC, AbBbC şi AcCcB, definite de secţiunile normale directe. Se observă în figură că din cauza existenţei secţiunilor normale reciproce, unghiurile orizontale măsurate în cele trei puncte A, B, C, de pe elipsoidul de rotaţie nu se referă la un triunghi cutbiliniu bine definit. De aceea este nevoie să se treacă de la secţiunile normale pe elipsoid la linii geodezice, pe

pag 30

considerentul că între două puncte pe o suprafaţă există o singură linie geodezică şi numai astfel pentru cele trei puncte triunghiul va fi bine definit.

Fig. 1.21. Triunghi geodezic pe elipsoid.

Pentru lungimile obişnuite ale triunghiurilor geodezice ( km puncte de ordinul I), secţiunile normale şi liniile geodezice pe elipsoidul de rotaţie terestru diferă foarte puţin în sens unghiular azimutal şi se poate trece de la unele la altele prin aplicarea unor mici corecţii, care se vor determina ulterior.

1.9. LINIA GEODEZICĂ PE ELIPSOIDUL TERESTRU.1.9.1. DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI. POZIŢIA LINIEI GEODEZICE FAŢĂ DE SECŢIUNILE NORMALE.

Considerând două puncte A şi B , pe o suprafaţă generală S, prin cele două puncte pot trece o multitudine de curbe. Linia geodezică care trece prin cele două puncte este o curbă unică, de lungime minimă.

Pentru ca lungimea să fie minimă trebuie ca raza de curbură a liniei geodezice să fie maximă, adică normala principală la linia geodezică într-un punct P trebuia să coincidă cu normala la suprafaţă.

Considerând în punctul P al liniei geodezice, planul osculator al curbei, determinat de tangenta la curbă, şi normala principală, acesta este normal la suprafaţă pentru linia geodezică, în orice punct al curbei. Înseamnă că linia geodezică între două puncte, pe o suprafaţă, se poate defini ca fiind linia curbă dusă pe o suprafaţă S între cele două puncte, astfel încât în fiecare punct al său planul osculator la curbă să fie normal la suprafaţă.

Pe suprafaţa elipsoidului de referinţă numai ecuatorul şi meridianele îndeplinesc condiţiile definitorii ale liniei geodezice.

pag 31

Atunci când suprafaţa de referinţă se consideră că este o sferă, linile geodezice sunt reprezentate de arcele de cerc mari, iar dacă pe anumite porţiuni, suprafaţa de referinţă se consideră plană, linia geodezică este chiar linia dreaptă.

Poziţia liniei geodezice în raport cu secţiunile normale reciproce este bine definită. Linia geodezică este mai apropiată de secţiunea normală directă şi mai depărtată de secţiunea normală inversă.

Fig. 1.22. Linia geodezică.

În cadrul operaţiunilor geodezice de teren liniile geodezice nu au nici o semnificaţie, ele intervin numai în procesul de calcul.

În triunghiurile geodezice ale reţelelor de ordinul I, cu lungimea laturilor de până la 60 km, liniile geodezice prezintă diferenţe faţă de secţiunile normale reciproce, atât ca lungime cât şi azimutal. Diferenţa de lungime este foarte mică şi nu se ia în considerare, pe când diferenţa de azimut chiar dacă este mică, trebuie luată în considerare printr-o corecţie corespunzătoare.

A fost stabilit că linia geodezică împarte unghiul dintre cele două secţiuni reciproce într-un raport de 1 şi 2, fiind mai apropiată de secţiunea normală directă. Asta înseamnă că dacă în punctul A, unghiul format de secţiunile normale reciproce este (fig. 1.22) atunci, unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală directă va fi

, iar unghiul format de linia geodezică faţă de secţiunea normală inversă

va fi . În cazul în care observaţiile se fac din punctul B către A,

raţionamentul este similar.

1.10. REDUCEREA OBSERVAŢIILOR AZIMUTALE LA SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ.

pag 32

Toate măsurătorile şi observaţiile necesare în rezolvarea problemelor geodezice sunt efectuate pe suprafaţa topografică terestră, dar calculele se execută în raport cu suprafaţa de referinţă, care este suprafaţa elipsoidului.

De aceea înainte de a fi utilizate în calcule, marimile măsurate, trebuie aduse (reduse) la nivelul suprafeţei elipsoidului de referinţă.

Se vor trata în continuare doar observaţiile unghiulare, asupra cărora se vor aplica următoarele corecţii:

- corecţia de reducere la linia geodezică;- corecţia datorată înălţimii punctului vizat;- corecţia datorată abaterii de la verticala locului.

1.10.1. CORECŢIA DE REDUCERE LA LINIA GEODEZICĂ.Se aplică pentru a face trecerea de la secţiunea normală directă, prin

care se reprezintă linia de observaţie pe suprafaţa elipsoidului, la linia geodezică. Considerând linia de observaţie AB pe suprafaţa terestră (fig. 1.23), aceasta se reprezintă pe eipsoid prin secţiunea normală AB, ce are azimutul Am, obţinut din măsurători. Azimutul liniei geodezice fiind Ac, se impune a fi corectat azimutul secţiunii normale directe cu o corecţie C1, numită corecţie de reducere la linia geodezică:

(1.126)Expresia valorii unghiulare a corecţiei C1 are următoarea formă:

, (1.127)

în care:

Fig. 1.23. Condiţia de reducere la linia geodezică.

e2= excentricitatea întâia;s= distanţa între punctele A şi B în kilometri;

pag 33

Rm= raza medie pentru latitudinea medie .Corecţia de reducere la linia geodezică trebuie luată în considerare la

calcule efectuate pentru triangulaţii de ordinul I, când lungimile laturilor sunt între km.

1.10.2. CORECŢIA DATORATĂ ÎNĂLŢIMII PUNCTULUI VIZAT.Deoarece punctele situate pe suprafaţa topografică terestră au înălţimi

diferite, liniile de observaţie nu sunt conţinute de aceleaşi suprafeţe de nivel, considerănd că punctul A este situat chiar pe suprafaţa elipsoidului (suprafaţa de nivel zero), punctul B, către care se face observaţia, va fi pe o suprafaţă de nivel oarecare şi va avea o înălţime H, faţă de punctul A (fig. 1.24). Reprezentarea punctului B pe suprafaţa elipsoidului se face după normala ce trece prin acest punct, în B1.

Fig. 1.14. Corecţia datorată înălţimii punctului vizat.

Măsurând azimutul direcţiei AB, se va obţine unghiul pe care-l face secţiunea normală directă AB2, cu meridianul punctului A.

Deci având măsurat unghiul Am, trebuie determinat Ac, prin aplicarea unei corecţii C2, numită corecţie datorată înălţimii punctului vizat.

(1.128)

(1.129)

în care:H=înălţimea punctului vizat;M2=raza mică de curbură în punctul B de latitudine .

Corecţia datorată înălţimi punctului vizat se ia în considerare numai dacă .

pag 34

1.10.3. CORECŢIA DATORATĂ ABATERII DE LA VERTICALĂ.Se datorează deviaţiei verticalei faţă de normala la elipsoidul de

referinţă şi intervine rareori în calcule.

1.11. REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE ELIPSOIDICE MICI.1.11.1. GENERALITĂŢI.

Triangulaţiile geodezice sunt constituite din triunghiuri elipsoidice, deoarece acestea sunt definite pe suprafaţa elipsoidului de referinţă.

Pentru reţelele geodezice de ordinul I, lungimea laturilor triunghiurilor variază între limitele km şi rareori până la 60 km.

Deoarece pe suprafeţe relativ mici elipsoidul de referinţă se poate aproxima cu o sferă de rază medie, rezolvarea triunghiurilor geodezice elipsoidice se poate reduce la rezolvarea unor triunghiuri sferice.

Această rezolvare constă în calculul lungimii laturilor triunghiurilor din reţeaua de triangulaţie, plecând de la o bază (latură) cunoscută şi având determinate toate unghiurile în vârfurile triunghiului.

La rezolvarea triunghiurilor geodezice sferice nu este recomandat să se utilizeze formulele cunoscute ale trigonometriei sferice, deoarece excesele sferice (plusurile peste 200g) sunt mici.

Se vor utiliza în acest scop metode speciale adecvate şi anume:- metoda Soldner (metoda aditamentelor);- metoda Legendre (metoda dezvoltăriilor în serie).Înainte de a prezenta metodele de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice

mici, trebuie determinat excesul sferic.1.11.2. EXCESUL SFERIC AL UNUI TRIUNGHI ELIPSOIDIC MIC

Fig. 1.25. Determinarea excesului sferic.

pag 35

Prin excesul sferic elipsoidic al unui triunghi geodezic mic ABC, pe sfera medie Gauss, se înţelege plusul peste 200g al sumei unghiurilor triunghiului.

(1.130)Se consideră triunghiul elipsoidic mic ABC (fig. 1.25), adică un

triunghi a cărui laturi nu depăşesc 60 km, cu unghiurile neafectate de erori. Se pot calcula din figură suprafeţele fusurilor sferice , şi , ţinând cont de suprafaţa S a triunghiului sferic considerat.

(1.131)

Prin adunarea suprafeţelor celor trei fusuri, din punct de vedere geometric se va obţine suprafaţa emisferei din faţa desenului, plus de două ori suprafaţa S a triunghiului sferic ABC.

(1.132)Suprafeţele fusurilor sferice , şi , se obţin cu ajutorul

relaţiilor în care intră mărimea unghiurilor A, B, C:

; ; (1.133)

Egalând cele două expresii rezultă:

(1.134)

Excesul sferic va fi notat cu şi este dat de relaţia:

, în care; (1.135)

În cazurile triunghiurilor geodezice sferice mici, excesele sferice sunt în general de ordinul zecilor de secunde, pentru că suprafaţa S a triunghiului este mică în raport cu R2 (raza medie Gauss). Considerând un triunghi sferic aproximativ echilateral, de latură l=60 km, se poate determina excesul sferic:

(1.136)

În cele mai multe situaţii întâlnite în practica geodezică, suprafaţa S a triunghiului elipsoidic (sferic) mic se poate înlocui cu suprafaţa S | a triunghiului plan.

Notând cu , elementele triunghiului plan corespondent se por obţine următoarele relaţii pentru determinarea excesului sferic:

pag 36

(1.137)

Termenul , se poate nota cu f, care este dependent numai de latitudine

, şi nu depinde de triunghiul geodezic considerat.(1.138)

1.11.3. METODA SOLDNER (ADITAMENTELOR).Se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss, în care sunt

cunoscute valorile unghiurilor A,B,C şi lungimea liniei geodezice a (latura a). Trebuie determinate valorile celorlalte două laturi ale triunghiului b şi c (fig. 1.26).

Metoda folosită pentru rezolvarea triunghiului sferic constă în înlocuirea triunghiului sferic cu un triunghi plan la care se păstrează unghiurile aceleaşi ca şi la triunghiul sferic, dar în care se modifică lungimile laturilor.

Rezolvarea implică determinarea relaţiei de calcul care trebuie aplicată laturii cunoscute, pentru a obţine valoarea ei în triunghiul plan, după care se rezolvă triunghiul plan, calculând şi valorile celorlalte două laturi.

Fig. 1.26. Metoda SOLDNER de rezolvare a triunghiurilor geodezice.

Pe sfera medie, în triunghiul sferic ABC, se poate scrie teorema sinusurilor sub forma:

, ; ; (1.139)

Din prima egalitate a relaţiei de mai sus rezultă:

pag 37

(1.140)

(1.141)

Dezvoltând în serie şi , se obţine:

(1.142)

Aplicând teorema sinusurilor şi în triunghiul plan obţinem:

sau (1.143)

Comparând cele două relaţii, este evident că vom avea egalităţile:

; (1.144)

sau în general:

(1.145)

Mărimea As se numeşte aditamentul liniar al laturii S, de unde derivă şi denumirea metodei de rezolvare.

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Soldner (aditamentelor), constau în efectuarea, în ordine, a următoarelor calcule:

- calculul excesului sferic;- compensarea unghiurilor în triunghiul elipsoidic mic prin calcularea

neânchiderii şi repartizarea ei în mod egal, celorlalte unghiuri:

(1.146)

; ; (1.147)

- unghiuri reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă.- calculul aditamentului liniar Aa, al laturii a şi apoi a valorii laturii în

triunghiul plan;

pag 38

- calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan;- cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale

celorlalte două laturi şi apoi mărimea lor în triunghiul elipsoidic mic.

1.11.4. METODA LEGENDRE (DEZVOLTĂRII ÎN SERIE)Această metodă de rezolvare presupune că un triunghi elipsoidic mic se

poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri, iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu câte o treime din valoarea excesului sferic.

Fig. 1.27. Rezolvarea triunghiurilor geodezice prin Metoda Legendre.

Elementele care se cunosc sunt aceleaşi ca şi la metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici. Pentru rezolvare se vor utiliza relaţii specifice trigonometriei sferice.

Astfel pentru un triunghi sferic ABC (fig. 1.27), cu unghiurile A, B, C şi laturile a, b, c, opuse unghiurilor şi exprimate în valori unghiulare, cele mai importante formule care pot fi scrise în triunghi cu aceste elemente sunt:

- formula sinusurilor:

(1.148)

- formula cosinusurilor pentru laturi:

(1.149)

- forma cosinusurilor pentru unghiuri:

(1.150)

pag 39

Pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda Legendre, se scrie teorema cosinusului în triunghiul sferic considerat, ţinând cont de notaţiile din figură:

(1.151)

(1.152)

Se vor utiliza relaţiile de dezvoltare în serie a funcţilor trigonometrice cos şi sin date mai jos:

(1.153)

(1.154)

Dezvoltând în serie numărătorul relaţiei cosA şi neglijând termenii de gradul 5 şi mai mari, vom obţine:

(1.155)Prin efectuarea calculelor în condiţiile propuse, rezultă:

(1.156)

Dezvoltând în serie şi numitorul, relaţia devine:

(1.157)

Dar putem scrie că:

(1.158)

Introducând relaţia în cosA şi efectuând calculele se va obţine:

(1.159)

Dacă se au în vedere laturile triunghiului sferic exprimate prin valorile unghiulare, relaţia devine:

(1.160)

Aplicând teorema cosinusului în triunghiul plan corespondent rezultă:

(1.161)

pag 40

(1.162)

Ţinând cont de expresiile lui şi , relaţia lui se modifică după cum urmează:

(1.163)

(1.164)

Considerând: prin dezvoltări în serie rezultă:

(1.165)sau:

(1.166)

; (1.167)

În mod analog se obţine:

(1.168)

(1.169)

Adunând cele trei relaţii şi ţinând cont că

(1.170)

În acest fel afirmaţia prealabilă (excesul sferic este distribuit în mod egal celor trei unghiuri) a fost demonstrată.

Etapele care trebuie să fie parcurse pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda dezvoltărilor în serie, constau în efectuarea succesivă a următoarelor calcule:

- calculul excesului sferic cu una din relaţiile determinate la excesul sferic, calculând nişte valori provizorii pentru laturile triunghiului plan;

- compensarea unghiurilor în triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neînchiderii şi repartizarea ei în mod egal, celor trei unghiuri;

- calculul unghiurilor în triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic;

- calculul celorlalte laturi în triunghiul plan, care conform teoremei sunt egale cu cele din triunghiul sferic.

1.12. PROBLEME GEODEZICE FUNDAMENTALE.

pag 41

În reţelele geodezice de ordin I, cu lungimea laturilor cuprinsă între km, pentru diversele calcule care se fac este nevoie de coordonatele

punctelor pe suprafaţa elipsoidului de referinţă. Pentru a determina aceste coordonate, în raport cu situaţia specifică, se pun două probleme fundamentale şi anume:

- problema geodezică directă, apare atunci cănd se cunosc coordonatele geodezice ale unui punct, lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii şi se cere determinarea coordonatelor geodezice ale celui de-al doilea punct, precum şi valoarea azimutului invers;

- problema geodezică inversă, apare atunci când se cunosc coordonatele geodezice a două puncte şi se cere determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers).Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice

ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I, iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică în acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă.

Datorită scopului pe care-l urmăreşte şi anume determinarea coordonatelor, problema geodezică directă se întâlneşte în literatura de specialitate sub numele de problema transportului de coordonate.

Precizia de calcul urmăreşte ca valoarea erorilor de calcul să fie de circa 10 ori mai mică faţă de erorile medii ale mărimilor măsurate.

La reţelele geodezice de ordinul I, este nevoie ca aproximaţia de calcul să meargă până la următoarele valori:

- pentru coordonatele şi (zecimi de miimi de secundă) se ştie că un arc de meridian de .

- pentru azimute: (miime de secundă);- pentru distanţe: .Deoarece distanţele în reţelele de triangulaţie de ordinul I sunt relativ mici

( km), la rezolvarea problemelor geodezice se aplică metode în care se acceptă unele aproximaţii, cum ar fi: dezvoltările în serie, înlocuirea suprafeţei elipsoidului cu sfera de rază medie.

1.12.1. PROBLEMA GEODEZICĂ DIRECTĂ.Se consideră două puncte S1 şi S2 pe elipsoidul de rotaţie. Se cunosc

coordonatele şi , ale punctului S1, lungimea s a liniei geodezice dintre cele două puncte şi azimutul A1 al liniei geodezice (fig. 1.28).

pag 42

a)

b)Fig. 1.28. Metoda transportului de coordonate.

1.12.1.1. METODA DEVOLTĂRILOR ÎN SERIE.La această problemă diferenţele de latitudine , longitudine

şi azimut ale punctelor S1 şi S2, depind de lungimea liniei geodezice, se acceptă următoarele dezvoltări în serie Mac Laurin:

(1.171)

(1.172)

(1.173)

Termenii până la S3 inclusiv, din aceste dezvoltări au fost determinaţi de Legendre, de aceea metoda se mai numeşte M. Legendre.

pag 43

Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaţiile de mai sus, se va considera triunghiul elipsoidic elementar (fig. 1.28.b) în care:

(1.174)

; ; (1.175)

(1.176)

(1.177)

Plecând de la relaţia lui Clairaut:(1.178)

(1.179)

Dacă se notează , se poate scrie:

(1.180)

În continuare se vor determina derivatele de ordinul II, derivând în raport cu S expresiile de mai sus se va obţine:

(1.181)Dacă se notează , prin derivarea funcţiei V şi prin înlocuirea lui

se va obţine:

(1.182)

Cu notaţiile şi , în limitele aproximaţiilor făcute, se obţin expresiile restrânse ale coordonatelor geodezice ale punctului S2 şi a azimutului invers:

în care:

, ,

(1.186)

pag 44

(1.187)

(1.188)

Precizia rezultatelor depinde de numărul termenilor luaţi în considerare la dezvoltarea în serie, cu cât intră mai mulţi termeni în calcul cu atât precizia este mai bună.

1.12.1.2. METODA ÎNLOCUIRII SUPRAFEŢEI ELIPSOIDULUI CU SFERA GAUSS

Se consideră triunghiul sferic în care sunt cunoscute

coordonatele punctului , lungimea şi azimutul A1.

Fig. 1.29. Determinarea coordonatelor pe sfera de rază medie

Triunghiul sferic poate fi identificat cu triunghiul sferic ABC, în care:

; (1.189)

Pentru a uşura rezolvarea se consideră longitudinea punctului , adică .

În triunghiul sferic ABC se scriu relaţiile pentru trei elemente alăturate sub forma:

pag 45

dar:

(1.190)

Introducând egalităţile în relaţii, se obţin:

Prin împărţirea relaţiilor (1.191) cu (1.193), şi (1.192), cu (1.194) se obţine:

Rezolvând sistemul de ecuaţii constituit, rezultă necunoscutele şi , celelalte elemente fiind cunoscute.

Prin împărţirea relaţiilor (1.191) cu (1.193), şi (1.192), cu (1.194) se obţine:

pag 46

Cele două relaţii determină aceeaşi mărime şi anume latitudinea a punctului .

Prin această metodă se obţin aceleaşi rezultate ca şi la metoda dezvoltărilor în serie, diferenţa constă în valorile parametrilor: a = b (semiaxe egale) , , şi (raza medie).

1.12.2. PROBLEMA GEODEZICĂ INVERSĂ.Metoda înlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera Gauss.Se consideră cunoscute două puncte S1 şi S2, de coordonate

. Rezolvarea problemei geodezice inverse constă în determinarea lungimii S dintre cele două puncte şi a azimutelor A1 şi A2, ale liniei geodezice.

Fig. 1.30. Rezolvarea problemei geodezice inverse pe sfera de rază medie.

Prin identificarea triunghiurilor cu CAB, rezultă următoarele egalităţi de unghiuri şi de laturi:

pag 47

; (1.199)

În triunghiul sferic se pot scrie relaţiile pentru 3 elemente alăturate:

sau:

Împărţind egalităţile (1.200) la (1.201) şi (1.202) la (1.203), se va obţine:

(1.205),

Vor rezulta valorile lui A1 şi A2.Împărţind egalităţile (1.200) la (1.202) şi (1.201) la (1.203), se vor

putea determina cu două relaţii valorile pentru lungimea liniei geodezice S.

(1.206)

Din aceste egalităţi rezultă distanţa S în unităţi de arc.

1.13. ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI REŢELE GEODEZICE PE ELIPSOID.

pag 48

Considerăm reţeaua geodezică de ordinul I, formată din punctele A,B,C,D,E, în care elementele cunoscute sunt coordonatele punctului

şi azimutul primei laturi şi lungimea laturii AB.

Fig. 1.31. Reţea geodezică.

Elemente măsurate:- unghiurile ;- latura AB, prima latură.Coordonatele punctului A şi azimutul primei laturi s-au determinat prin

observaţii astronomice.Pentru determinarea coordonatelor geografice a punctelor B,C,D,E se

parcurg următoarele etape:a) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodezice;b) calculul suprafeţei triunghiurilor sferice;c) calculul excesului sferic;d) compensarea unghiurilor în reţea;e) calculul laturilor definitive;f) calculul coordonatelor.

a) Calculul provizoriu al coordonatelor.Constă în a determina coordonate provizorii de tip x,y similar ca la

topografie, folosind elementele măsurate pe suprafaţa elipsoidului. În acest sens se consideră un sistem arbitrar cu originea în punctul A, şi faţă de care se determină coordonatele celorlalte puncte:

pag 49

(1.207)

Distanţa sAC se determină utilizând Teorema sinusurilor:

şi (1.208)

În mod similar se vor determina şi elementele care intră în calcul pentru celelalte puncte.b) Calculul suprafeţei triunghiurilor sferice.Valoarea suprafeţei triunghiului sferic intră în relaţia de calcul a excesului sferic.Suprafaţa se calculează în funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic:

(1.209)

c) Calculul excesului sfericSe determină în secunde împărţind suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii:

; ; ; (1.210)

d) Compensarea unghiurilor în reţea.Trebuie făcută deoarece aceste unghiuri au fost măsurate cu aparate care

au introdus erori:

(1.211)

, dacă (1.212)

(1.213)

e) Determinarea laturilor definitiveSe utilizează teoreme sinusurilor, în egalităţi intrând de această dată

valorile compensate ale unghiurilor:

pag 50

sBC şi sAC (1.214)

f) Pe baza elementelor măsurate şi compensate şi a celorlalte elemente determinate mai sus, se vor calcula coordonatele geografice din aproape în aproape aplicând Problema geodezică directă, iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă.

pag 51