Geodezie Pe Scurt

7/28/2019 Geodezie Pe Scurt

1/55

Subiectul nr. 1

NOIUNI ELEMENTARE DE ASTRONOMIE GEODEZIC

Micarea de revoluie a Pmntului

Astronomia geodezic se sprijin pe dou pri mari ale astronomiei generale i anume:

astronomia sferic i astronomia practic. Astronomia sferic studiaz micarea aparent a atrilor i

definirea diferitelor sisteme de coordonate pentru fixarea acestora pe sfera cereasc. De asemenea, sunt

cercetate fenomenele astronomice care modific coordonatele atrilor, precum i problema timpului.

Astronomia practic trateaz diferite metode de observaii astronomice i calcule aferente

pentru deducerea coordonatelor atrilor i coordonatele diferitelor puncte astronomo-geodezice de pe

suprafaa Pmntului. Tot n aceast parte sunt cuprinse aparatele i instrumentele astronomice cu care

se fac observaiile menionate.

Datele furnizate de astronomia geodezic sunt folosite de geodezie n urmtoarele mprejurri:

determinarea elipsoidului terestru, dup metoda arcelor, unde metodele astronomice se folosesc la

calcularea amplitudinii arcelor de pe suprafaa Pmntului sau dup metoda suprafeelor, cnd se

utilizeaz deviaiile relative ale verticalei, rezultate din compararea coodonatelor geodezice cu

coordonatele astronomice;

dac este adoptat o suprafa de referin pentru forma i dimensiunile Pmntului, prin

compararea coordonatelor geodezice i astronomice prin punctele comune, se cerceteaz abaterilegeoidului fa de suprafaa de referin;

latitudinea i longitudinea astronomice, determinate ntr-un anumit punct al triangulaiei geodezice,

au constituit elementele de plecare iniiale pentru valorile coordonatelor geodezice;

determinarea longitudinii i a azimutului n unele puncte ale triangulaiei geodezice constituie un

mijloc important de control;

determinrile de azimute astronomice n lungul traseelor de poligonometrie de precizie pot constitui

mijloace independente de control al acestor lucrri;

n regiunile foarte greu accesibile i de importan economic, punctele astronomice pot constitui

baza geometric pentru ridicrile topografice; deoarece determinrile astronomice sunt afectate de

deviaia verticalei, aceste ridicri sunt potrivite numai la scri mici 1:100000 i mai mici;

n sfrit, n anumite situaii, folosirea azimutelor astronomice poate fi foarte eficace i economic

la determinarile de puncte geodezice de ordin inferior.

1


2/55

1.1. Micarea de revoluie a Pmntului

Din oricare punct al Globului ar fi privit cerul nstelat, acesta ne apare ca o calot sferic

infinit n al crui centru se afl observatorul. Pe aceast sfer se vd proiectate stelele. Sfera

corespondent a primit numele de Sfer Cereasc.

Locul stelelor pe sfera cereasc va fi dat de direcia n care ele se vd, deprtarea lor rmnndnedeterminat.

Ipoteze pentru un model simplificat al problemelor astronomiei practice:

Pmntul este un corp rigid i cu potenial constant;

Axa de Rotaie a Pmntului ocup o poziie constant n spaiu (i n interiorul Pmntului).

Aceast rotaie n jurul propriei axe se desfoar pe parcursul a 24 de ore, determinnd alternana

dintre noapte i zi;

viteza de rotaie este constant; micarea Pmntului n jurul Soarelui (365-366 zile), denumit micare de revoluie, are la baz

legile lui Kepler;

stelele sunt foarte ndeprtate de Pmnt i de aceea pot fi considerate ca puncte fixe;

propagarea razelor de lumin se face n linie dreapt cu vitez constant.

Toate ipotezele menionate mai sus au caracter simplificator, nefiind strict adevrate.

Legile lui Kepler

Pmntul, la fel ca toate planetele, se deplaseaz n Univers dup legi care au fost formulate deKepler (1609-1619) dup perioade extrem de ndelungate de observaii. Planetes = rtcitor (limba

greac).

Legea 1

Planetele descriu elipse n micarea lor. Soarele se afl ntr-unul dintre focare. Soarele fiind o

stea, are o poziie fix.

Soarele se afl ntr-unul dintre focare. Fiecare planet are orbit proprie, cea a Pmntului

numindu-se ecliptic. Ecliptica poate fi aproximat printr-un cerc cu raza de aproximativ

150 000 000 km.

2

F FO

ecliptica

a

Pmntul


3/55

Fig. 1.1. Ecliptica

Pe ecliptic se pot defini:

punctul vernal poziia Pmntului la echinociul de primvar, cnd ziua este egal cunoaptea pe ntregul Glob (~ 23 martie);

afeliu poziia Pmntului la solstiiul de var, cnd este ziua cea mai lung (~ 3 iulie);

poziia Pmntului la echinociul de toamn, cnd ziua redevine egal cu noaptea pe

ntregul Glob(~ 23 septembrie);

periheliu poziia Pmntului la solstiiul de iarn, cnd este noaptea cea mai lung

(~ 3 ianuarie);

este numit linia echinociilor; este numit linia solstiiilor.

Micarea de revoluie se face de la vest la est. Privind de pe Pmnt, ni se pare c Soarele se

deplaseaz de la est la vest (micarea aparent a Soarelui).

Legea 2

Raza vectoare a planetei descrie arii egale n intervale de timp egale. Sau dup S. Heitz::

vectorul de poziie heliocentric al Pmntului are o vitez areolar constant. Renumitul astronom

romn, I. Stamatin enun legea 2 a lui Kepler i sub forma: viteza areolar este constant, adicsuprafaa descris de Pmnt Soare, n unitatea de timp, este constant.

Legea 3

Raportul dintre ptratul perioadei de rotaie (T) i cubul semiaxei mari (a) ale planetelor este o

mrime constant:

GMa

T

a

T==

3

2

2

2

3

1

2

1 . (1.1)

Constanta GM este denumit constant gravitaional geocentric i a fost determinat abia n

epoca geodeziei cu satelii. AIG recomand n anul 1980 urmtoarele valori:

.kgsm10672,6G

;sm10860047,39GM

12311

2313

=

=(1.2)

Proprietile stelelor

Stelele, inclusiv Soarele, au micri proprii foarte lente, care se pot pune n eviden prin

observaii preluate din marile observatoare ale lumii, cu instrumente deosebit de precise, la intervale

3


4/55

relativ mari de timp. Din acest motiv, n astronomia de poziie se consider c stelele au o poziie fix

la un moment dat, pe bolta cereasc, pentru oricare punct de pe Pmnt. Afirmaia se poate explica

printr-un exemplu simplu. Se cunosc cca 90 de constelaii pe sfera cereasc, cea mai apropiat aflndu-

se la aproximativ 4,3 ani-lumin de Pmnt (viteza luminii c 3105 km/s).

Dac s-ar considera dou puncte diametral opuse pe Pmnt (M i M ) ar rezulta un unghi la

centru (), observat n centrul constelaiei de numai 0001,0 , ceea ce nu este practic posibil de

msurat.

R 6,37103 km (raza Pmntului);

e 41013 km (distana de la Pmnt la prima stea);

Planul perpendicular pe Axa Lumii care trece prin centrul Sferei Cereti intersecteaz Sfera

Cereasc dupEcuatorul Ceresc.

n raport de ecliptic se pot defini de asemenea: polul nord() i respectiv polulsud( ) ai

eclipticii. Axa se numeteAxa Precesiei, din considerente care se vor expune puin mai jos.

Planul eclipticii este nclinat fa de Ecuatorul Ceresc cu un unghi , numit nclinarea

(oblicitatea) eclipticii i care are valoarea aproximativ de: 23,5.

Punctul vernal determinat de intersecia ecuatorului ceresc cu ecliptica, atunci cnd

Soarele trece din emisfera sudic n emisfera nordic (la echinociul de primvar ~ 23 martie) .

Planul paralel cu Ecuatorul Ceresc, care trece prin centrul Pmntului intersecteaz suprafaa

acestuia dup Ecuatorul Terestru. Planul Ecuatorului Ceresc poate fi considerat congruent cu planul

Ecuatorului Terestru.

4

R

R

Oe

M

M

Fig. 1.2. Poziia Pmntului fa de constelaia cea mai apropiat.


5/55

Subiectul nr. 2

Precesia i nutaia

1.2. Precesia i nutaia

Micrile de rotaie, precum i cea de revoluie a Pmntului, au loc n Univers fiind influenate

de micrile celorlalte planete. Din aceste motive, anumite mrimi (distana de la Pmnt la

constelatiile stelare, viteza de rotaie a Pmntului, poziiaAxei Lumii, .a.) se modific n timp.

MS

Planul orbitei micrii de revoluie a Pmntului nu rmne fix; el se nclin cu cca 74 pe

secol ( 74,0 pe an) datorit influenei exercitate, n primul rnd de planetele Venus i Jupiter. Acest

fenomen este denumit precesie planetar (care reprezint, de fapt, influena de atracie a tuturor

planetelor).

Efectele precesiei sunt extrem de complexe. Dintre acestea se menioneaz:

datorit precesiei, punctul vernal se deplaseaz pe ecliptic, n sensul de cretere a

ascensiei drepte;

5

18,42 ani

Sensulprecesiei(~26000 ani)

= 23,5

Ps

Pn (~

Steaua Polara )

EE

Axa precesiei generale

Fig. 1.4. Precesia i nutaia.

Precesia + nutaia

Axa de rotaie instantaneea Pmntului( Axa Lumii )

Ecliptica

Ecuatorul ceresc


6/55

axa de rotaie a Pmntului nu rmne fix, ci descrie o micare conic, care se nchide

dup cca. 26000 ani.

Peste precesie se suprapune o oscilaie permanent a axei de rotaie a Pmntului, numit

nutaie. Prin urmare, conul precesiei nu este neted ci este un con ondulat.

Nutaia se datoreaz, n special, nclinrii orbitei Lunii n raport cu ecliptica ( 05 ).

Perioada nutaiei este mult mai mic, 42,81 comparativ cu 47 pentru precesie, rezultnd un

ciclu alnutaiei de 18,6 ani, care difer mult de cel alprecesiei planetare (~ 26000 ani).

Concluzie:

Poziiile punctelor Pn i Ps nu sunt fixe i de aceea n astronomia practic intervin noiunile

poziia medie, respectivpoziia instantanee (momentan) a polului.

6

Fig. 1.5. Detalii privind nutaia.

precesie planetara

47(23,5x2)

18,6ani

nutatia1

8''

,42

ani

2600

0 de


7/55

1.3.Puncte, direcii i plane fundamentale definite n raport cu punctul de staie

Sg - direcia firului cu plumb (verticala locului) n punctul S;

Aceasta figura nu trebuie facuta , ci doar inteleasa, in sensul de a explica ceva din frazele

urmatoare

n oricare punct S de pe suprafata Pmntului acioneaz o infinitate de fore (cap 2).

Rezultanta acestora se numetegreutate saugravitate, notat Sg n Fig. 1.6. Direcia i sensul acestei

fore coincid cu direcia firului cu plumb sau direcia perpendicular pe suprafaa unui lichid aflat n

stare linistit, n punctul S. Datorit structurii interne a Pmntului, a altor cauze care se vor examina

ulterior, verticala locului este o curb oarecare, denumita linie de for. Tangenta la linia de for

intersecteaz sfera cereasc n zenit (Z) i nadir (Z ). Dup aceast direcie se msoar acceleraia

gravitii )g( i se caleaz n staie orice instrument geodezic.

Planul determinat de Axa Lumii i verticala locului n punctul M intersecteaz Sfera Cereasc

dup un cerc mare denumit meridianul punctului M(sau meridianul locului).

7

Fig. 1.6. Puncte, direcii i plane fundamentale definite n raport cu punctul de staie.


8/55

Analog, n localitatea Greenwich din apropiere de Londra, unde funcioneaza un observator

astronomic fundamental cu peste 200 de ani vechime, Axa Lumii i verticala locului formeaz, n

pilastrul principal al Observatorului astronomic Grenwich, meridianul origine (pentru determinrile de

longitudini astronomice i de timp universal).

Planul perpendicular pe meridianul locului i care trece prin punctul M intersecteaz Sfera

Cereasc dup un plan numitplanul orizontului(orizontul locului).Meridianul intersecteaz orizontul n dou puncte: punctul cardinal nordi respectiv punctul

cardinal sud(notate cu N i respectiv S).

Ecuatorul Ceresc intersecteaz orizontul n dou puncte cardinale: esti respectiv vest(notate

E i W).

Plan vertical: orice plan care conine verticala locului i se intersecteaz cu sfera cereasc este

denumitplan vertical.Planul verticaldeterminat de verticala locului i de direcia est vestse numete

primul vertical.

Cercul de nlime h sau almucantaratul stelei este rezultatul interseciei Sferei Cereti cu

planul perpendicular pe verticala locului i care trece prin steaua considerat. Complementul inaltimii

stelei se numeste distanta zenitala : z = 90 - h

1.4. Sisteme de coordonate utilizate frecvent n astronomia

de poziie (sisteme astronomo-geodezice)

Astronomia de poziie este o parte aplicativ a astronomiei. n cadrul astronomiei de poziie se

studiaz aparatele i metodele necesare pentru determinarea coordonatelor astronomice ale punctelor de

pe suprafaa Pmntului, precum i azimutele astronomice ale unor direcii de interes.

Deoarece precizia de poziionare a punctelor, realizat de astronomie, este doar de ordinul

metrilor, astfel de determinri au un anumit rost, atunci cnd punctele sunt situate la distane foarte

mari ntre ele. Metodele astronomiei geodezice se folosesc numai n cazul reelelor geodezice

internaionale sau reelelor geodezice de ordin superior naionale, numite i retele astronomo-

geodezice.

n principiu, un sistem inerial este un sistem de referin care poate fi definit prin mriminaturale i care se afl ntr-o stare de repaus sau, mai realist, n stare de micare uniform, neaccelerat,

cunoscut.

1.4.1. Sistemul Inerial Convenional. Acest sistem este cunoscut n literatura de specialitate

internaional sub denumirea de Conventional Inertial System (CIS), fiind un sistem care poate fi

consideratfix sau cu deplasri cunoscute n Univers.

8


9/55

Sistemul Inerial Convenionaleste utilizat pentru descrierea traiectoriilor sateliilor artificiali.

Sistemul este preluat din astronomia de poziie i poate fi descris astfel:

planul de baz al sistemului esteEcuatorul Ceresc

originea sistemului O se afl n centrul de mas al Pmntului;

axa zT trece prin polul nord ceresc mediu, la momentul 1 ianuarie 2000, ora 12 (timp universal

TU). Aa cum s-a mentionat anterior, polul nord ceresc are o deplasare pe sfera cereasc

datorat influenelor de atracie ale planetelor din Univers precesia i nutaia sub forma unei

micri conice (de form neregulat, spiral). Ecliptica este nclinat n raport cu ecuatorul

ceresc cu un unghi , variabil, n valoare medie de cca 23,5;

axa xT trece prin punctul vernal (echinociul de primvar). Planul (xT,yT) coincide cu

Ecuatorul Ceresc;

axa yT completeaz sistemul cartezian.

Poziia stelei (sau a satelitului S) poate fi definit n CIS n dou moduri: prin coordonate

carteziene (xT, yT, zT) i prin coordonate sferice ecuatoriale (r, , ):

r raza vectoare (n astronomia de poziie se alege r = 1)

ascensia dreapt;

declinaia;

9


10/55

1.4.2. Coordonate astronomice de poziie ale punctului S sunt:

latitudinea astronomic ( S ) pentru care se pot formula urmtoarele definiii (Fig. 1.6):

nlimea polului deasupra orizontului;

unghiul format deAxa Lumii cu planul orizontal;

unghiul format de verticala locului cuEcuatorul Ceresc;

longitudinea astronomic ( S ):

unghiul diedru format de meridianul astronomic al locului cu meridianul

astronomic origine (al punctului Greenwich),

cele doua coordonate definesc poziia verticalei in punctul de staie S.

1.4.3. Coordonate orizontale. Asa cum s-a mai mentionat, planul care trece prin verticala

locului (Z Z ) se numeteplanvertical. Poziia stelei pe Sfera Cereasc se poate realiza n funcie

de interseciileplanului verticalcu orizontul locului, respectiv cu almucantaratul stelei . Coordonatele

corespendente se numesc coordonate orizontale i pot fi definite dup cum urmeaz:

azimutul astronomic al direciei M , (notat a), se msoar n planul orizontului locului, n

raport cu direcia sud. Se atrage atenia c azimutul geodezic (notat A) se determin n raport cu

direcia nord.

A 180 a. (1.6)

nlimea stelei (deasupra orizontului) h (arcul 0S ) sau distana zenital a stelei z (arcul z

) n (Fig. 1.6): h + z = 90. (1.7)

10


11/55

Subiectul nr. 3

INTRODUCERE N GEODEZIA FIZIC

Sisteme de coordonate naturale utilizate frecvent n geodezia fizic (teoretic)

Sisteme de coordonate geodezice convenionale

2.1. Sisteme de coordonate naturale utilizate frecvent n geodezia fizic (teoretic)

Aa cum s-a menionat i n capitolul anterior, exist o legatur de principiu (chiar o

interptrundere) ntre principalele sisteme de coordonate utilizate n astronomia de poziie igeodezia

fizic (teoretic).

2.1.1. Sistemul Inerial Convenional (se va detalia in maxim doua trei randuri ce s-a scris in

capitolul anterior)

2.1.2. Sistemul Terestru Convenional (denumit Conventional Terrestrial System CTS)

sau Origine Internaional Convenional (Conventional International Origin CIO).

Acest sistem este folosit, de asemenea, att n astronomia de poziie ct i ngeodezia fizic.

M

11

Fig. 2.1.Sistemul Terestru Convenional(CTS).

Sg

or

SH

XT

O YCTS

XCTS (GAM)

S0

G

sfera cereasc

S

ZT ZCTSCIO

Meridianul astronomic origine

(al punctului Greenwich)

Geoidul

G

Ecuatorul Ceresc

Pn

Cercul orar al

punctului vernal


12/55

Sistemul Terestru Convenional (CTS) este sistemul de referin fundamental al geodeziei

fizice, avnd legturi simple la Sistemul Inerial Convenional(o rotaie a planului (XCTS YCTS) n raport

cu planul (XT YT) cu unghiul G denumit unghi sideral la Greenwich in planulEcuatorului Ceresc).

Prin unghiulsideral la Greenwich se orienteaz Pmntul n spaiul inerial n raport cu stelele.

Sistemul CTS poate fi descris astfel:

originea O a sistemului se afl n centrul de mas al Pmntului (de aceea sistemul este denumit

geocentric), la fel ca i n sistemul CIS;

axa ZCTS coincide cu axa ZT, fiind orientat din geocentru spre Polul Nord Ceresc mediu

(Originea Convenional Internaional);

axa XCTS se afl situat la intersecia dintre planul meridian astronomic al punctului Greenwichcu planulEcuatorului Ceresc. n raport de aceast ax se msoar longitudinileastronomice;

axa YCTS completeaz sistemul cartezian (XCTS, YCTS, ZCTS).

Prin punctul S situat pe suprafaa fizic a Pmntului trece verticala locului, denumit i linie

de for, materializat n Fig. 1.6 prin sg . Aceasta este, n principiu, o curb oarecare (perpendicular

pesuprafeele de nivelpe care le ntlnete) aa cum se va trata mai n detaliu n cap. 2.

n cadrul sistemului CTS se opereaz, de regul, cu coordonatele astronomice S i S ,

care se definesc n felul urmtor:

S (latitudinea astronomic geodezic) este unghiul format de verticala locului cu ecuatorul

ceresc;

S (longitudinea astronomic geodezic) este unghiul diedru format de meridianul astronomic

instantaneu (n timpul msurrii) al punctului S i meridianul origine (al punctului Greenwich).

Geodezia a introdus o suprafa auxiliar convenional Geoidul (Listing 1873), care este

suprafaa de nivel zero folosit n geodezie nsistemele de altitudini .

Rezult cea de a treia coordonator

SH altitudinea ortometric a punctului S, care mpreun

cu S i Spot defini poziia punctului S pe suprafaa fizic a Pmntului.

2.2. Sisteme de coordonate geodezice convenionale

Aceste sisteme sunt definite prin elemente care nu au echivalente naturale.

2.2.1. Sistemul de coordonate elipsoidale. Deoarece Geoidul este o suprafa complex,

extrem de ondulat, descrierea sa geometric (sau analitic) este imposibil. Geoidul poate fi

12


13/55

reprezentat doar printr-o ecuaie de natur fizic, devenind astfel o suprafa de referin n multe

sisteme de altitudini.

Pentru a se putea efectua calcule complete n sisteme spaiale, Geoidul a fost nlocuit n

Geodezie printr-un elipsoid de rotaie (cu turtire mic la poli). n acest fel calculele din geodezia

superioar devin nu numai mai simple dar conduc, n acelasi timp, la poziionarea punctelor geodezice

cu o precizie relativ mult mai mare n comparaie cu poziionrile astronomice, care au caracterabsolut.

n decursul anilor s-au folosit mai muli elipsoizi de referin, pentru a cror determinare s-au

folosit diverse soluii:

originea sistemului elipsoidal Oe s fie situat ct mai aproape de centrul de mas O alsistemului CTS;

axa de coordonate OeXe s fie ct mai apropiat de OXCTS, i n mod analog se intenioneaz cu

celelalte dou axe OeYe i respectiv OeZe;

elipsoidul (suprafa de ordinul II) s fie ncadrat optimal n interiorul suprafaei geoidului

(abateri pozitive i negative ct mai mici i egale numeric ntre cele dou suprafee, astfel nct

suma ptratelor abaterilor dintre cele dou suprafee s fie un minim).13

Ze

( )21S

( )2tS

tS

( )31S

( )3tS

( )1tS

=

0HLB

ZYXS

eSSS

eee

0

e

SSS

e

t

e

t

e

tt

HLB

ZYXS

Oe

ZCTS

(CIO)

Ye

YCTS

Xe

XCTS (GAM)

LS S1

BS

Fig. 2.2. Poziia relativ aElipsoidului de Referin n raport de Geoid.

0G

N

Elipsoidul de Referin

Geoidul


14/55

n etapa actual receptoarele care primesc semnale de la constelaiile de satelii determin

coordonatele carteziene ete

t

e

t ZYX la nivelul terenului:)1(

te

e

t SOX = ,)2(

te

e

t SOY = i)3(

teet SOZ = .

Simultan se determin un alt grup de trei coordonate care definesc, de asemenea, poziia

spaial (tridimensional) a punctului de staie S: B S L S He

S .

Pentru elucidarea definiiilor care vor urma este necesar introducerea noiunii de normal la

elipsoid N . Aceasta este o dreapt ce trece prin punctul de staie S t oarecare de pe suprafaa

Pmntului i este perpendicular pe elipsoid.

Normala la elipsoid mpreun cu axa Ze formeaz meridianul geodezic al punctului S.

Acum se pot defini primele dou coordonate geodezice folosite ngeodezia elipsoidal:

BS = latitudinea geodezic (unghiul format de normala la elipsoid cu planul ecuatorului su);

LS = longitudinea geodezic (unghiul diedru format de meridianul geodezic al punctului

considerat cu planul meridianului geodezic al observatorului Greenwich);

Analog ca n sistemul anterior, coordonatele BS, LS definesc doar poziia n spatiu a normalei

N la elipsoid. Pentru definirea poziiei punctului S t de pe suprafaa terenului mai este necesar o a

treia coordonat elipsoidal i anume:e

SH = altitudinea elipsoidal a punctului S, raportat, de aceast dat, la suprafaa elipsoidului

folosit.

Precizia de determinare actual a coordonatelor ete

t

e

t Z,Y,X este situat n domeniul

centimetrului, fiind cu cel puin un ordin de mrime superioar preciziei obinut de geodezie n epoca

anterioar apariiei sateliilor artificiali ai Pmntului.

Geodezia elipsoidal clasic (pn la apariia sateliilor artificiali) lucreaz cu punctele

proiectate pe elipsoidul de referinta 0S . Acestea au urmtoarele coordonate:

coordonate carteziene: Xe =)1(

1SOe , Ye =)2(

1SOe , Ze =)3(

1SOe ;

coordonate geodezice BS, LS, 0He

S'0= .

Elipsoidul folosit actualmente n ara noastr n mod oficial este elipsoidul Krasovski. n

perioada 1930-1950 s-a folosit elipsoidul Hayford. n ultimul deceniu se utilizeaz pe scar relativlargsistemul geodezic de referin WGS-84. Asupra acestor aspecte se va reveni n capitolul urmtor.

2.2.2. Sistemul de coordonate plane. Deoarece calculele pe elipsoidul de referin sunt

dificil de efectuat, acestea sunt necesare numai pentru distane foarte mari (20 60 km) n lucrrile de

geodezie superioar. Pentru lucrri desfurate pe suprafee mici (topografie, cadastru) punctele

geodezice se proiecteaz ntr-un plan de proiecie, problematic ce se va aborda la o alt disciplin

universitar: cartografia matematic.14


15/55

Subiectul nr. 4

Datele geodezice de referin

Cmpul gravific

(la acest subiect recunosc ca sunt 11 pagini, dar nu am putu sa le despart. Daca se scriu

doua trei pagini fata/verso punctand lucrurile esentiale e destul de bine)

2.3. Datele geodezice de referin

2.3.1. Datele geodezice fundamentale de referin servesc la ncadrarea optim a

elipsoidului de referin n interiorul geoidului, pentru suprafaa avut n vedere (o ar, un grup de ri,un continent .a.).

15

Fig. 2.3. Datele geodezice fundamentale de referin.

Elipsoidulde referin

uF

or

FH

''

eO

F

F

BF

F

''

0F '

0F

ZOe

XOe

YOe

Oe

O

LF

ZCTS

ZT

Ze

(CIO)

Xe

XCTS

Geoidul


16/55


17/55

amplasate n apropierea litoralului numite maregrafe care nregistreaz continuu variaia nivelului

zero al mrii respective.

Maregraful este un instrument care are ca piesa principal un plutitor amplasat pe un canal

foarte ngust, prin care vine ap de la mare n stare linitit. Creterea, respectiv descreterea

nivelului apei este transmis acestui plutitor i instrumentul nregistreaz (continuu) variaiilerespective.

Pot interveni dou mari cauze care genereaz aceste variaii:

variaii ale nivelul mrii;

tasri sau ridicri ale uscatului.

Pentru rezolvarea acestor probleme complexe s-au realizat reele naionale (i chiar

internaionale) de maregrafe, legate ntre ele prin nivelment de precizie (denumit inivelment de

coast). O concluzie dedus recent deAIG este aceea c nivelulOceanului mondial crete cu

aproximativ + 0,1 mm/an.

n anul 1930 s-a introdus, pentru Romnia, punctul zero fundamental la Marea Neagr.

n anul 1950, datorit influenelor sovietice din acea vreme, s-a introdus punctul zero

fundamental la Marea Baltic iar n anul 1975 s-a revenit la punctul zero fundamental Marea

Neagr, reprezentat de reperul de nivelment de adncime din Capela Cimitirului Militar din

Constana.

2.4. Cmpul gravific

Un punct material S situat pe suprafaa Pmntului este supus aciunii unor fore multiple:

gravitaia sau fora de atracie )(F care este ndreptat spre centrul de mas al Pmntului;

fora centrifug )(q provocat de micarea de rotaie a Pmntului i care este ndreptat ctre

exteriorul Pmntului;

forele de atracie exercitate de alte corpuri cereti (dintre care forele de atracie ale Soarelui,

datorit masei sale i, respectiv ale Lunii, datorit apropierii sale de Pmnt, sunt cele mai

impotante). Se poate arta c:

300q

F . (2.7)

17


18/55

Datorit acestei relaii, punctele, obiectele i persoanele i menin poziia pe Pmnt. Asupra

punctului P acioneaz, n principiu, toate planetele din Univers, dar pe msur ce distana crete, se

micoreaz fora de atracie a acestora. De aceea, de regul se iau n consideraie doar:

este fora de atracie a Soarelui;

este fora de atracie a Lunii.

Suma tuturor forelor care acioneaz asupra punctului P se numetegravitateg

saugreutate:++= qFg + + qF+ . (2.8)

Pmntul este un corp elastic, care i modific forma n timp, diametrul su (13000 km)are variaii, n zonele cele mai elastice, de maxim 30 cm. Abordarea acestei probleme fiind foarte

dificil, n cadrul cursului, Pmntul se consider un corp rigid.

Sensul gravitii este sensul direciei firului cu plumb. Toate instrumentele (topografice,

geodezice etc.) sunt orientate n timpul msurrii dup directia gravitii, prin calaj. Deoarece

Pmntul are structur diferit, forele F ig nu sunt paralele pe suprafaa Pmntului. Dup

un calaj parfect, axa principal a instrumentului notat, de obicei, cu V V este orientat dup g

(verticala locului sau a punctului de staie).

Regiunea din spaiu n care se extinde influena complex a atraciei gravitaionale i a

rotaiei Pmntului constituie cmpul gravitii sau cmpul gravific.

Deoarece activitatea geodezic (cu toate ramurile sale topografia, cadastrul .a.) se

desfoar n cmpul gravific, fiind influenat efectiv de acesta, este necesar studierea (teoretic)

a componentelor sale. Din aceste studii vor rezulta ns concluzii deosebit de importante pentru

geodezia aplicativ.

2.4.1. Fora de atracie (gravitaia). Potrivit cu legea atraciei universale a lui Newton fora

de atracie reciproc F dintre 2 mase punctiforme m1 i m2, situate la distana d este dat de relaia:

02

21 dfd

mmG= , (2.9)

unde : - d0 este versorul forei de atracie f ;

- G este constanta atraciei universale.

18

f

f

f f


19/55

Fr a intra n detaliile care intereseaz n mod deosebit geofizica se prezint unele

informaii privind variaia n mrimea densitii ce se pot urmri n figura urmtoare (Socolescu

.a., 1975).

ntr-o prim zonare, de ordinul I, structura intern a Pmntului este reprezentat de 3

geosfere: crusta terestr, mantaua terest i nucleul. Limitele dintre aceste sfere se numesc

discontinuiti de ordinul I: discontinuitateaMohorovii(denumit curentdiscontinuitateaMoho)

i respectiv discontinuitatea Oldham oriGutenberg.

19

DISCONTINUITI

= 5,66 g/cm3Gutenberg/Oldham

Fig. 2.6. Variaia densitii ctre interiorul Pmntului.

Crusta terestra

Mantaua

Nucleul

A. Moh

= 11,76 g/cm3

= 14 g/cm3

= 16 g/cm3

= 4,64 g/cm3

= 2,9 g/cm3

6378 km

5150 km

4700 km

2900 km

984 km

30 km

0

= 2,7 g/cm3


20/55

Se apreciaz c discontinuitateaMoho se afl la o distan medie de 33 km, punctndu-se,

ns, i variaii concave de 40-50 km, sub blocurile continentale, i ondulaii convexe de pn la 5

km, sub zonele oceanice.

Crusta terestr este constituit din dou strate: stratul bazaltic continuu i stratul granitic

discontinuu, ambele de grosimi variabile. Deasupra acestor strate urmeaz depozitele stratului

sedimentar, care are, de asemenea, grosimi variabile.

Pentru stratul granitic se accept densitatea g = 2,7 g/cm3, iar pentru calcule mai precise2,67 g/cm3.

n continuare pot fi mentionate i submpriri, respectiv discontinuiti de ordinul II, a

cror poziionare pe vertical n raport cu scoara terestr nu este unanim acceptat n lucrrile de

specialitate.

2.4.2. Fora centrifug.Datorit micrii de rotaie a Pmntului n jurul axei sale, punctul

P este supus unei fore centrifuge q care este situat ntr-un plan paralel cu planul ecuatorului

terestru al punctului P.

Fig. 2.7. Fora centrifug.

20

S(x,y,z)

O

X

Y

Z

x

y

qO

qx

qy

||X

||Y

q

rp

S(x,y,z)

S0

y

x

rp


21/55

2.4.5. Gravitatea (greutatea) msurat (g). Aa cum s-a artat anterior, gravitatea este

componenta tuturor forelor care acioneaz asupra punctului P. n acest manual, se vor lua n

consideraie doar componentele principale menionate anterior.

qFg + (2.55)

Lucrndu-se cu puncte de mas egal cu unitatea, gravitatea este numeric egal cu acceleraia

sa. Unitatea de msur n sistemul CGS este galul (1 gal = 1 cm s-2), denumire adoptat n memoria

marelui nvat italian Galileo Galilei. Deoarece la pol mrimea gravitaiei este aprximativ egal cu

983 gal, iar la ecuator 978 gal ar rezulta o variaie mult prea puin semnificativ n aceast unitate de

masur. De aceea n geodezia fizic se lucreaz n miligali (1 mgal = 10-3 gal), instrumentele de msur

actuale avnd o precizie de ordinul a 0,01 mgal sau chiar i mai bun.

Mrimile care formeaz obiectul determinrilor gravimetrice sunt:

- acceleraia gravitii g;

- variaii ale acceleraiei gravitii g;

- derivate de ordinul 2 ale geopotenialului Wyy Wxx, Wxy Wyz, Wzz.

Aa cum s-a menionat, acceleraia gravitii prezint variaii locale i temporale, care

depind de o mutitudine de factori, dintre care cei mai importani sunt urmtorii: Forma Pmntului. Considerndu-se valorile normale ale acceleraiei gravitii (care va fi

definit ulterior, n acest capitol):

ge 978032.7 mgal; gp 983218.66 mgal, (2.56)

se nregistreaz o variaie ntre ecuator i pol de aproximativ + 5185,96 mgal.

21

Sr

F g

q

Fig. 2.8. Greutateag (n ipoteza formei sferice a Pmntului).


22/55

Distribuia i densitatea maselor n interiorul Pmntului. Variaiile de gravitate generate de

aceti factori se pot constata prin msurtori gravimetrice efectuate pe ap i apoi, n apropiere, pe

uscat, respectiv pe o vale i pe dealul apropiat etc. Diferenele dintre valorile msurate i reduse la

suprafaa geoidului, notate gr i valorile normale ale acceleraiei gravitii (considerate pe elipsoid) nu

sunt constante, diferenele maxime gr putnd atinge valori de ordinul 200 mgal.

Influenele diverse exercitate de corpurile cereti. Variaiile temporale, nregistrate n puncte

staionare, datorate n mod deosebitLunii i Soarelui, sunt mai mici de 0.3 mgal.

Gradientul vertical al gravitii. Variaia gravitii n funcie de cota H este de aproximativ

0,0848 mgal/m.

Modificri n potenialul gravitii. Acestea sunt datorate circuitului apei n atmosfer,

micrilor maselor n interiorul Pmntului, deplasrilor polului mecanic .a., influena lor ajungnd

pentru un punct dat, la mrimi de ordinul a 0.01 mgal pentru un deceniu.

Dup cum se vede, variaiile gravitii sunt caracterizate prin ordine de mrime cu totul

diferite i, ca atare, aparatele i metodele de msurare trebuie s asigure o precizie corespunztoare

acestei variaii, n funcie de scopul urmrit.

Msurtorile de gravitate se bazeaz n prezent, pe utilizarea fenomenelor de oscilaie, de

cdere liber a corpurilor i de modificare a echilibrului unui sistem deformabil, existnd urmtoarea

clasificare uzual:Metoda dinamic, n care msurarea gravitii se realizeaz prin urmrirea n timp a unor

corpuri n micare. Aparatul clasic pentru acest grup de metode este pendulul. Dup msurarea

perioadei de oscilaie i a altor parametri necesari, se calculeaz valoarea gravitii n punctul de

observaie.

Rezultate mai precise s-au obinut prin procedee care determin valori absolute ale acceleraiei

gravitii, bazate pe legea miscrii rectilinii uniform accelerate n cderea liber a corpurilor.

Metoda static, folosit la evaluarea variaiei gravitii din punct n punct sau n timp, pentru un

acelai loc, const n examinarea strii de echilibru a unui sistem deformabil, asupra cruia acioneaz

simultan gravitatea (ca for independent sau ntr-un cuplu de fore) i un factor antagonist de natur

elastic (for sau cuplu de fore). Instrumentul tipic pentru aceast metod estegravimetrul static.

Determinarea unor derivate de ordinul 2 ale potenialului se bazeaz, n principiu, pe utilizarea

unei metode statice, care const n urmrirea strii de echilibru a unei prghii suspendat de un fir de

torsiune. Aciunea este reprezentat de un cuplu gravitaional (n care intervin derivatele de ordinul 2

22


23/55

ale potenialului), iar reaciunea de cuplul de torsiune al firului de suspensie. Presupunnd constant

coeficientul de torsiune al firului sau cunoscnd legea sa de variaie, modificarea strii de echilibru

dintr-un punct n altul este datorat, n primul rnd, variaiilor derivatelor de ordinul 2 ale potenialului.

Acestea au dimensiunile unui gradient, de exemplu:

=

=

=

x

g

x

WW zxx gradient orizontal, n direcia x al gravitii.

Gradientul vertical al gravitii Wzz nu este msurabil, putnd fi determinat doar indirect.

Unitatea de msur pentru aceste derivate de ordinul 2 ale potenialului este reprezentat de variaia de

0,1 mgal pe distana de 1 km:

Escm

cms

km

mgal1101

10

101.0

1

1.0 295

23

===

,

(2.57)

fiind numit Etvs, n onoarea savantului maghiar care a realizat aparatul pentru msurarea acestei

mrimi, numit balan de torsiune.

2.4.5.2. Msurtori relative de gravitate (g). Variaiile acceleraiei gravitii sunt

determinate cu ajutorul aparatelor pendulare i respectiv al gravimetrelor.

Determinri relative cu aparate pendulare. n punctele P1 (iniial), unde acceleraia gravitii g1

este cunoscut i n punctul P2, unde urmeaz s se determine g2 se msoar perioadele T1 i respectiv

T2 cu un anumit pendul. Relaia (2.61) pentru aceste dou situaii fiind:

;g

L2T

1

r1 =

2

r2

g

L2T = , (2.67)

se obine mrimea cutat: 22

2

112

T

Tgg = (2.68)

n relaia (2.68) nu intervine lungimea redus Lr, ceea ce determin simplificri remarcabile n

msurtorile absolute.

Principiile de construcie a gravimetrelor. Gravimetrele moderne sunt gravimetre mecanice, alcror sistem de funcionare se bazeaz pe posibilitatea de constatare a unor modificri n starea de

echilibru a unui sistem deformabil (resorturi, sisteme de resorturi sau sisteme de torsiune), n funcie de

variaiile acceleraiei gravitii.

Variaia deformrii sistemului elastic (deci implicit variaia acceleraiei gravitii) este pus n

eviden de un sistem indicator. Exigenele de determinare cu un gravimetru sunt reflectate de erori de

msurare de ordinul a 0,01 mgal sau i mai mici (erori relative mai mici de 1 10-8). Aceast precizie23


24/55

de msurare deosebit este nsoit i de alte caliti remarcabile: construcie robust, greutate mic,

uurin de manipulare chiar n puncte greu accesibile i n condiii dificile de exploatare.

Una dintre clasificrile uzuale ale gravimetrelor este urmtoarea:

gravimetre neastatizate, care conin sisteme deformabile a cror variaie de la poziia de

echilibru este direct proporional cu variaia gravitii;

gravimetre astatizate, care sunt astfel realizate nct s conin un element suplimentar

(denumit labilizator) care intervine la modificarea strii de echilibru, adugnd aciunea sa

la aciunea gravitii.

2.4.5.3. Retele gravimetrice

Punctul fundamental n reeaua gravimetric. Reeaua gravimetric a rii noastre are ca reper

fundamental staia de pendul Surlari, din cadrul Observatorului geomagnetic al Academiei Romne.

Determinrile au fost efectuate n anii 1947 i 1948 cu un aparat tetrapendularAskania, de catre

M. Socolescu obinndu-se valoarea 980542.90 mgl n sistemul vechi Potsdam (Khnen-Furtwngler)bazat pe msurtori cu aparate pendulare, efectuate ntre anii 1898-1906 ( 3.981275=vechiPotsdamg mgal).

n gravimetrie este de remarcat, mult mai pregnant dect n cazul triangulaiei sau

nivelmentului, definirea unuisistem internaional de referin, la care urmeaz s se racordeze reelele

naionale.

De menionat c la nivel internaional au intervenit modificri importante n intervalul de timp

scurs, astfel c la a XIV aAdunare general a UIGG desfurat laLucerna n anul 1967a fost

recomandat o nou valoare a gravitii laPotsdam:

1967

Potsdamg = 981260 mgal. (2.72)

O origine internaional modern a fost definit la a XV-aAdunare general a UIGG din anul

1971, desfurat laMoscova, cnd s-a hotrt adoptarea Sistemului internaional de referin a crui

denumire n limba englez esteInternational Gravity Standardization Net 1971 (IGSN71). Acesta

nlocuiete sistemulPotsdam, fiind reprezentat de 1854 staii gravimetrice. Sistemul este caracterizat

printr-o precizie de ordinul 0.1 mgal, chiar de 0.01 mgal.

Reelele gravimetrice pot fi clasificate n:

reele gravimetrice de sprijin;

reele gravimetrice de prospeciuni.

Dintre reelele gravimetrice de sprijin trebuie menionat n primul rnd reeaua gravimetric

internaional la care se racordeaz reelele naionale gravimetrice, sistemul internaional astfel creat

avnd o importan deosebit n studierea formei i dimensiunilor Pmntului.24


25/55

Liniile i bazele gravimetrice etalon au fost create de ctre Uniunea Internaional de Geodezie

i Geofizic pentru asigurarea unei bune racordri a lucrrilor gravimetrice internaionale. Acestea au

fost determinate cu cea mai mare precizie posibil i la ele se racordeaz lucrrile gravimetrice

naionale.

Pentru scopuri naionale, fiecare ar are un numar oarecare de baze gravimetrice etalon, pe care

se verific i se calibreaz periodic aparatura existent n exploatare. La noi n ar se folosete bazagravimetric din Poiana Braov, constituit din trei puncte (A1, A2, A3) pentru care s-au determinat

diferenele de gravitate avute la dispoziie (GAK, Nrgaard, Worden .a.) rezultnd:

06.094.4921

= AA gg mgal; 10.051.7831 = AA gg mgal.

(2.73)

2.4.6. Gravitatea normal (). Pentru numeroase scopuri, geodezia folosete, de foarte multtimp i noiunea de gravitate normal care se obine prin calcul, cu un efort infinit mai mic dect

gravitatea msurat. Formulele de calcul sunt recomandate de AIG la diferite intervale de timp. Astfel,n 1980 se recomand:

1980 = 978032.7(1+0.0053024 sin2B 0.00000058 sin22B), (2.74)

unde B este latitudinea punctului.

Variaia gravitii normale deasupra elipsoidului depinde de densitatea maselor existente ntre

elipsoid i suprafaa fizic.

Fig. 2.13. Variaia gravitii normale deasupra elipsoidului.

n geofizic i n geodezie se consider de multe ori c ntre suprafaa elipsoidului i suprafaa

fizic este aer liber iar oamenii de tiin au determinat o formul de calcul a gravitii normale la

nivelul terenului.

25

P(H)

H

elipsoidul dereferin

P0()


26/55

Subiectul nr. 5

Suprafee echipoteniale

2.5. Suprafee echipoteniale

2.5.1. Suprafee de nivel, geoidul, linii de for. Relaia cunoscut:

),cos( sgggds

dWs

== ,

dW = 0

sau, prin integrare:

W (x, y, z) = constant = c. (2.83)

Aceast expresie reprezint ecuaia unor suprafee echipoteniale, denumite de ctreLaplace,

suparafee de nivel. Rezult c suprafeele de nivel sunt perpendiculare, n oricare din punctele lor,

pe direcia gravitii. Datorit structurii interne a Pmntului aceste suprafee sunt foarte complexe,

cu multe ondulaii, fr muchii sau vrfuri.

Schimbndu-se valoarea constantei c din relaia (2.83) se obin diverse suprafee de nivel.

Dintre suprafeele de nivel posibile, pentru geodezie o importan deosebit o are suprafaa de nivel

zero, denumit geoid, noiune introdus de ctreListingn anul 1873. Aceast suprafa

echipotenial a fost propus de ctre Gauss ca figur matematic a Pmntului:

W (x, y, z) = W0 = constant. (2.84)

AIG recomand n anul 1980:

W0 = (6263686 3) 10 m2s-2 (2.85)Fiind n permanen perpendicular pe direcia gravitii, geoidul are o configuraie foarte

complex. Modificrile de densitate din interiorul Pmntului conduc la schimbarea geometriei

suprafeelor de nivel (inclusiv a geoidului) deoarece curbura acestora depinde de densitatea . Din

26


27/55

acest motiv este imposibil o formulare analitic-matematic a acestei suprafee complexe,

dependent n permanen de distribuia i densitatea maselor n interiorul Pmntului.

Geoidul este definit uzual ca suprafaa medie a mrilorlinitite prelungit pe sub continente.

H. Bruns a formulat scopul principal al geodeziei fizice ca fiind determinarea suprafeelor de

nivel ale cmpului gravitii, ceea ce echivaleaz cu determinarea funciei potential W(x, y, z). n

adevr, cunoscnd expresia potenialului unui corp, se pot face estimri privind forma suprafeei

sale.

Deoarece suprafeele de nivel sunt suprafee echipoteniale, diferena de potenial dintre

dou suprafee de nivel este o mrime constant. Rezult c creterea de potential (deci de lucru

mecanic) nu depinde de drumul parcurs, pentru trecerea unui punct de pe o suprafa de nivel pe

alta (traseul 1 sau traseul 2 n Fig. 2.14).

Prin urmare, suma creterilor de potenial pe un contur nchis, indiferent de sensul de

parcurgere, este zero:

0dW =

. (2.86)

O alta direcie important pentru geodezie este directia h, paralel cu direcia gravitii, adic

perpendicular la suprafaa de nivel:

1)cos( =h,g . (2.87)

Pentru deprtarea dintre suprafeele de nivel se alege sensul cresctor spre exteriorul suprafeei

Pmntului (sensul invers forei g ) i ca urmare din relaia (2.87) se va lua semnul minus. Cu aceasta,

se obine din relaia de baz (2.55):

27

12

W + dW

W

Fig. 2.14. Seciune prin suprafaa de nivel.


28/55

gdh

dW= , (2.88)

unde dh reprezint distana dintre suprafeele de nivel caracterizate prin potenialele W i respectiv

W + dW.

Relaia (2.88) reprezint un exemplu de legtur dintre aspectul geometric h i cel dinamic W n

cadrul problematicii abordate n geodezia fizic.Deoarece gec < gpol, rezult c distana dintre dou suprafee de nivel se micoreaz de la ecuator

spre pol, decisuprafeele de nivel nu sunt paralele ntre ele.

Din relaia (2.88) se mai poate deduce o proprietate remarcabil a suprafeelor de nivel.Deoarece ntre dou suprafee de nivel g nu poate lua niciodat valoarea infinit, rezult c distanadh, dintre aceste suprafee nu poate fi niciodat zero. Aceasta nseamn c suprafeele de nivel nu seating i nu se ntretaie niciodat.

Datorit structurii neomogene a Pmntului, suprafeele de nivel sunt suprafee continue,nchise, fr muchii sau vrfuri. Rezult c liniile care intersecteaz suprafeele de nivel subunghiuri drepte, vor avea o anumit curbur. Ele se numesc linii de for. Tangenta la linia de for

ntr-un punct P d direcia gravitii g, care poate fi materializat prin directia firului cu plumb. Oimagine aproximativ, intuitiv, a suprafeelor de nivel i liniilor de for este reprezentat n Fig.2.15.

Segmentul de linie de for cuprins ntre poziia punctului pe suprafa fizic a PmntuluiP i proiecia sa pe geoid P0 se numete altitudinea ortometric ORPH .

2.5.2. Consecinele neparalelismului suprafeelor de nivel. Pentru a urmri unele dintre

consecinele neparalelismului suprafeelor de nivel pentru lucrrile geodezice, ne vom referi la sistemul

de altitudini ortometrice, n care geoidul este suprafaa de referin iar altitudinea ortometric este

segmentul de linie de for cuprins ntre poziia punctului, pe suprafaa terestr, i respectiv pe geoid.

28

g

P

or

PH

linie de for

suprafaa de nivelW = W

P

geoid W = W0

Fig. 2.15. Suprafaa de nivel, linii de for.

P0


29/55

Din figura 2.16-a se observ c suma diferenelor de nivel elementare, msurate pe traseul cuprins ntre

punctele A i B, notat ABB

A

hh = nu este egal cu diferenaaltitudinilor ortometrice ale punctelor

A i B, notate orAH ior

BH .

Cu aceast remarc se pune n eviden faptul c rezultatul obinut direct prin lucrrile de

nivelment geometric B

A

h este dependent de traseul parcurs.

Generaliznd (Fig. 2.16-b), rezult c sumele diferenelor de nivel elementare, msurate pe

traseele 1 i 2, nu vor fi egale ntre ele, nici chiar n cazul ideal al observaiilor geodezice perfecte, fr

erori de masurare. n consecin, n poligonul format, va rezulta o nenchidere, care se mai numete i

eroare de principiua nivelmentului geometric geodezic.

29

B

B0

or

BH

A

A0

or

AH

geoid

A

aFig. 2.16. Consecinele neparalelismului suprafeelor de nivel asupra determinrilor

nivelitice pe linii i poligoane de mari dimensiuni.


30/55

Subiectul nr. 6

Sisteme de altitudini

2.6. Sisteme de altitudini

Exist un numr relativ mare de sisteme de altitudini, dintre care se vor meniona n continuare

cele mai cunoscute.

La un sistem de altitudini, trebuiesc definite:

suprafaa de referin;

definiia cotei (altitudinii) n sistemul respectiv;

transformarea diferenei de nivel msurate prin nivelment geometric (care este unic) n

sistemul de altitudini considerat.

2.6.1. Numere geopoteniale. Notm cu 0punctul iniial (fundamental) n reeaua de nivelment

de la care pornete o linie de nivelment spre punctul P n lungul creia s-au msurat att diferene de

nivel ct i acceleraiile gravitii. Din formula fundamental se obine:

===P

0pp

P

0

P

0

0 hgCWWdWgdh . (2.96)

Diferena CP ntre potenialul geoidului W0 i potenialul suprafeei de nivel WP a punctului P

este denumit numrul geopotenial al punctului P, noiune introdus n anul 1955 n cadrul AIG.

Concluzii:

Numrul geopotenial caracterizeaz, n mod natural, o suprafa de nivel, fiind acelai

pentru toate punctele situate pe aceeai suprafa.

( )1nn1nn

2121

1010

P h

2

gg...h

2

ggh

2

ggC +

+

+++

++

+= .

(2.97)

Numrul geopotentialse poate determina prin efectuarea celor dou tipuri de lucrri:

lucrri gravimetrice (g);

lucrri de nivelment geometric (h).

30


31/55

2.6.2. Altitudinea dinamic. Noiunea de altitudine dinamica a fost introdus de Helmert n

anul 1873. Dac ne referim ns la numrul geopotential C P, altitudinea dinamic notat Hd se obine

prin mprirea numrului geopotenial cu o valoare constant i anume cu valoarea gravitii normale,

la altitudinea de 45, raportat la alipsoidul de referin:

45

Pd

P

CH

=

. (2.98)

Din punct de vedere dimensional altitudinile dinamice sunt exprimate n metri, ns ele nu au o

semnificaie geometric. Astfel, altitudinea dinamic a unui punct nu poate fi reprezentat ca o distan

de la o anumit suprafa la punctul considerat. Aceste altitudini pstreaz, n continuare, semnificaia

fizic generat de mprirea numerelor geopoteniale cu o constant aleas n mod convenional.

Sistemul de altitudini dinamice este caracterizat printr-o proprietate deosebit i anume:

punctele situate pe o anumit suprafa de nivel au aceeasi altitudine dinamic.

Referitor la nota de la nceputul paragrafului se menioneaz:

suprafaa de referin este geoidul cu potenialul (cunoscut) W0;

altitudinea dinamic a punctului P ( dPH ) este definit cu relaia (2.98), unde: 45 este

gravitatea normal la nivelul elipsoidului la latitudinea B = 45; 45 = 980617.6 mgali.

Corecia dinamic:

Pentru dou puncte A i B diferena de altitudini dinamice poate fi scris sub forma:

( )

=== B

0

A

045

AB

45

dA

dB

dBA gdhgdh1CC1HHH

; (2.99)

= B

A

B

A

d

BA hggdhH 4545

11

. (2.100)

2.6.3. Altitudinea ortometric. Definiia altitudinii ortometrice este:

P

or

PC

g

1H = (2.105)

unde g reprezint media valorilor gravitii n lungul liniei de for P 0P atunci cnd se are n vedere

un numr infinit de segmente.

Deoarece mrimea g este imposibil de determinat practic, sistemul de altitudini

ortometrice este un sistem de altitudini ideal, de referin.

Diferena de nivel n sistemul de altitudini ortometrice se calculeaz cu relaia:

or

ABAB

or

AB hH += , (2.106)

31


32/55

unde orAB reprezint corecia ortometric pe traseul AB:

B

45

45B

A

45

45AB

A 45

45or

AB Hg

Hg

hg

+

= . (2.107)

2.6.4. Altitudinea Helmert. Valoarea medie g , din relaia (2.105), prin care se definete

altitudinea ortometric n funcie de numrul geopotenial, nu poate fi determinat practic, n mod

riguros. De aceea, n locul acestei mrimi s-au introdus alte valori, n funcie de anumite ipoteze,

rezultnd diverse sisteme de altitudini.

Gradientul gravitaii n interiorul Pmntului este o mrime de extrem de variabil, practic din

punct n punct. Ca o mrime medie se poate considera HH

g0848.0

. Rezult c graviatatea medie,

notat g , ntre valoarea n punctual de msurare P(g) i n punctul redus pe geoid P(g0) se poate

determina cu formula:

Hgg 0424.0+ , (2.78)Altitudinea Helmert poate fi scris sub forma:

Hg

CH PHP

0424.0+ . (2.108)

Aceast relaie a fost dedus de Helmert n anul 1890 i de aceea altitudinile corespondente

poart numele su.

2.6.5. Altitudinea ortometric sferoidic. Sistemul de altitudini sferoidice a fost unul dintre

cele mai folosite sisteme n etapa de dezvoltare a geodeziei n oricare ar, cnd nu se dispunea de

msurtori gravimetrice. Dac n relaia (2.107) se introduce g , se obine expresia coreciei

ortometrice sferoidice:

B

45

45B

A

45

45AB

A 45

45ors

AB HHh

+

= . (2.109)

Formula de calcul practic a coreciei ortometrice sferoidice, folosit i n tara noastra n trecut,

precum i n multe alte ri din Europa s-a dedus prin considerarea neparalelismului normal al

suprafeelor de nivel(i n care caz este valabil aproximaia menionat g ). Astfel, pentru trasee de

nivelment care merg dinspre sud spre nord, rezult din (2.105):

dH

dH . (2.110)

Pentru calculul practic n ara noastr s-au considerat tronsoane n lungime de 1 km (ceea

ce corespunde, aproximativ, pentru B = '1 ) obinndu-se:

32


33/55

2.9.6. Altitudini normale. n ara noastr este folosit, n prezent, ca sistem oficial de

altitudini, sistemul de altitudini normale, fondat teoretic de M.S. Molodenski n anul 1945.

Plecnd de la dificultile reale pe care le prezint utilizarea altitudinilor ortometrice, dintre care

cunoaterea gravitii medii g n lungul liniei de for reprezint impedimentul principal, Molodenski

propune ca n locul cmpului gravitii s se utilizeze campul gravitii normale.

Acceptnd aceast ipotez, formulele de calcul se pot determina prin utilizarea formulelorcorespondente de la sistemul de altitudini ortometrice. Astfel, definiia altitudinii normale a punctului

P, notat nPH , este:

P

n

P C1

H

= , (2.113)

.

Introducerea noiunii de sistem normal a condus i la necesitatea schimbrii suprafeei de

referin, n spe a geoidului, folosit n sistemul ortometric.

Pentru a nelege mai usor caracterul suprafeei de referin n cazul sistemului normal, nebazm pe altitudinile elipsoidice He, definite n raport de elipsod, n cele dou sisteme de altitudini

avute n vedere (Fig. 2.17):

P

or

P

e

P NHH += ; Pn

P

e

P HH += . (2.118)

Cu N se noteaz ondulaiile geoidului, care sunt specifice utilizrii sistemului de altitudini

ortometrice, iar cu perturbaiile sau anomaliile altitudinilor.33

P

NP

cvasigeoid

geoid

elipsoid

or

PH nPH

P

0P

0P

0P

P0geoidcvasigeoid

Fig. 2.17. Sistemele de altitudini ortometrice i normale.


34/55

Se presupune o suprafa astfel construit (Fig. 2.17), nct segmentul de normal la elipsoid

sa fie egal cu n orice punct n care se cunoate aceast cantitate. M.S. Molodenski a denumitaceast suprafa cvasigeoid. Pe suprafee acvatice ntinse (mari, oceane) cvasigeoidul coincide cu

geoidul, sub continente existnd diferene care depind de structura intern a Pmntului.

Pentru reperi de nivelment apropiai, situai la 1 3 km, pe un traseu de la sud spre nord, se

poate aplica i urmtoarea formul:

cmedABm

m

ABnA

nB BkHh)g(

1hHH

+= , (2.119)

unde: hAB este diferena de nivel msurat;

m valoarea acceleraiei gravitii normale, calculat pentru media latitudinilor Bmed i la cota

medie Hmed a celor doi reperi;

(g )m valoarea medie a anomaliilor acceleraiei greutii, corespunzatoare celor doi reperi.

34


35/55

Subiectul nr. 7

Noiuni de Geodezia elipsoidala

Figura Pmntului este aproximat n mod curent n geodezie printr-un elipsiod de rotaie cu

turtire mic la poli.

n cadrul geodeziei elipsoidale este cuprins i studierea suprafeei elipsoidului n general, ca

suprafa matematic, pentru a obine fundamentarea metodelor de rezolvare a problemelor geodezice.

De menionat, de asemenea, c n mod obinuit, rezolvrile pe elipsoid au n vedere numai

coordonatele geodezice, urmnd ca determinarea altitudinilor s fie realizat n mod separat. Aceast

separare, dintre determinarile de B i L pe de o parte i de He pe de alt parte, a fost condiionat n

special de dificultile care caracterizeaz utilizarea n bloc a unghiurilor zenitale i respectiv a

unghiurilor (direciilor) orizontale, distanelor .a. Cele dou categorii de msurtori geodezice sunt

influenate n mod diferit de fenomenul de refracie atmosferic i, ca urmare, au precizii i domenii deutilizare diferite.

Numeroase lucrri elaborate n ultimele decenii i probabil i nc multe altele din deceniile

care vin, repun i vor repune n discuie posibilitile concrete de elaborare a unor reele geodezice

tridimensionale, a cror prelucrare s permit elaborarea simultan, n mod unitar, a celor trei

coordonate B, L, He, care descriu poziia punctelor pe suprafaa Pmntului.

Din considerente de ordin didactic expunerea din manual se va opri la cazul curent ntlnit n

practica geodezic, de separare a aa-numitei probleme planimetrice deproblema altitudinii, prin care

se determin poziia punctelor geodezice. Se nelege c noiunea de problem planimetric este

improprie, deoarece se opereaz cu coordonatele geodezice B i L, care se refer la suprafaa

elipsoidului de referin i nu la un plan oarecare.

Inconsecvena poate fi acceptat deoarece transcalcularea coordonatelor B i L n coordonate

plane nu reprezint dificulti deosebite.

n mod obinuit, n cadrul geodeziei elipsoidale sunt studiate i reducerile observaiilor

geodezice efectuate pe suprafaa Pmntului la suprafaa elipsoidului de referin. Din considerente

generate de extinderea limitat a cursului, aceste corecii nu vor fi abordate n manual. n acelai sens

se poate meniona c obiectul geodeziei elipsoidale cuprinde i alte probleme complexe, cum ar fi de

exemplu calculele de trecere de la un elipsoid de referin la altul (aa-numitele formule difereniale) a

cror expunere depeste, de asemenea, cadrul acestui manual.

Pentru a oferi legtura cu alte publicaii, din alte ri, se menioneaz c pentru noiunea de

geodezie elipsoidal se mai ntalnesc: geodezie sferoidal (Zakatov 1976, Bagratuni 1962 etc.),

35


36/55

geodezie matematic (Jordan 1958 etc.), geodezie geometric (Heiskanen 1969), obiectul de studiu

rmnnd, n principiu, acelai. n unele dintre publicaiile menionate sunt studiate i teoriile

matematice ale proieciilor cartografice. n manualul de fa aceste aspecte nu vor fi abordate deoarece

ele constituie obiectul de studiu al unei alte discipline din planul de nvmnt i anume cartografia

matematic. Rezultatele obinute la aceast disciplin vor fi utilizate ns n exemplificrile numerice

care nsoesc prezentarea metodelor de prelucrare a observaiilor din reelele geodezice.

3.1. Parametrii elipsoidului de rotaie. Legturi ntre parametri

Pentru prezentarea formulelor i dezvoltrilor ulterioare este necesar prezentarea

parametrilor geometrici prin care se poate defini, un elipsoid de rotaie (Fig. 3.1.):

Fig. 3.1. Sisteme de coordonate convenionale.

BOAOa == semiaxa mare (raza ecuatorial); (3.1)

semiaxa mic; (3.2)

turtirea geometric; (3.3)

22 baE = excentricitatea liniar; (3.4)

36

L

B

P

E

X

S0

G

)2(S

)1(

S

)3(S

P

E

x

Z

S

He

normala laelipsoid

tS

ODOCb ==

a

baf

=

S


37/55

2

22

a

bae

= prima excentricitate (numeric); (3.5)

2

22

b

bae

= a doua excentricitate (numeric); (3.6)

b

ac

2

= raza de curbur polar. (3.7)

Elipsoidul de rotaie poate fi definit prin doi parametri geometrici, dintre care unul trebuie s fie

liniar (lungime). Primii trei parametri se mai numesc i parametri principali. n lucrri mai dezvoltate

se utilizeaz i ali parametri geometrici.

ntre parametrii geometrici ai elipsoidului de rotaie se pot stabili cu uurin urmtoarele relaii

principale de legtur:

( )fab = 1 ; (3.8)

( )222 e1ab = ;

(3.9)

2

2

'1

1111

eef

++== ; (3.10)

2

2

22

e1

eff2e

+

== ; (3.11)

( ) 22

2

22

e1

e

f1

ff2e

=

= ; (3.12)

( )22

2

e1be1

b

e1

a

f1

ac +=

=

=

= ; (3.13)

a

Ee = ;

(3.14)

b

Ee = ; (3.15)

Elipsoidul de referin, este elipsoidul folosit la un moment dat, ntr-o ar sau n mai multe ri,

pentru rezolvarea problemelor geodezice. Acesta este un elipsoid de rotaie cu turtire mic la poli.

37


38/55

Reamintind c parametrii geometrici ai elipsoidului de rotaie au fost definii anterior, n Tabelul 3.1. se

prezint valorile numerice ale parametrilor a i f pentru elipsoizii de referin care au fost utilizai n

decursul anilor n ara noastr, precum i pentru elipsoidul caracteristic Sistemului Mondial de

Referin WGS-84 folosit actualmente n geodezia cu satelii.

Tabelul 3.1. Elipsoizi de referin utilizai n Romnia

Denumireaelipsoidului de

referin

Anuldeterminarii

Semiaxa marea

[m]

Turtireanumeric f

Perioada deutilizare nRomania

Bessel 1841 6337397.115 1:299.1528 1873 1916Clarke 1880 6378243.000 1:293.5 1916 1930

Hayford 1909 6378388.000 1:297.0 1930 1951Krasovski 1942 6378245.000 1:298.3 1951 prezent

WGS-84 1984 6378137.000 1:298.2572235631990 prezent

(neoficial)

3.2. Sisteme de coordonate utilizate frecvent n geodezia elipsoidal

Pentru reprezentarea punctului St (situat pe suprafaa fizic a Pmntului) n geodezie se

folosesc. n principal. dou sisteme de coordonate reprezentate n Fig. 3.2 i descrise n continuare

detaliat.

r

Fig. 3.1. Sisteme de coordonate utilizate frecvent n geodezia elipsoidal.

3.2.1. Sistemul cartezian geodezic (X Y Z)

38

( )1S

,,

,,

LB

tZ

tY

tX

tS

L

B

P

E

X

Z z

Y

S0

E

P

G

O

( )1tS

( )3

S

MBE

D

Equati

on.3

Error

!

Book

mark

not

define

d.

( )2tS

)2(S

StS

x

N

e

StH

= 0,,

,,

eHLB

ZYXS

cercul paraleluluipunctului S

meridianul origine(al punctului Greenwich)

meridianul punctelor Sti S

e

StH


39/55

Pentru simplificarea notaiilor renunm la indicele inferior e la sistemul cartezian.

originea O a sistemului se afl n centrul elipsoidului de referin;

axa X i axa Y sunt situate n planul ecuatorului elipsoidului;

axa X este situat n meridianul geodezic al celebrului observator astronomic Greenwich

situat n apropiereaLondrei (meridianul zero sau meridianul origine);

Prin punctul St se poate duce o singur normal la elipsoid N . care nu trece prin centrul

elipsoidului dect n urmtoarele cazuri particulare:

punctul St se afl n P sau P ;

punctul St se afl pe ecuator (deci exist o infinitate de puncte).

normala N intersecteaz elipsoidul n punctul S.

Observaii:

n geodezia cu satelii se determin coordonatele carteziene Xt Yt Zt ale punctului St de pe

suprafaa fizic:( )1tet SOX = ;

( )2tet SOY = ;

( )3tet SOZ = . (3.17)

n geodezia elipsoidal se opereaz cu puncte raportate pe elipsoidul de referin. de genul

punctului S. ale crui coordonate carteziene sunt:

( )1eSOX = ;

( )2eSOY = ;

( )3eSOZ = .

(3.18)

3.2.2. Sistemul de coordonate geodezice B. L. Sistemul de coordonate utilizat este acelai

(X Y Z). Punctele St i S au ns coordonate diferite:

a) Latitudinea geodezic B este unghiul format de normala la elipsoid N cu planul ecuatorului

(sensul pozitiv de msurare a latitudinii B este de la ecuator spre normal). Rezult c exist

latitudini nordice i respectiv latitudini sudice.

b) Longitudinea geodezic L este unghiul diedru format de meridianul punctului S t considerat i

meridianul origine.

Meridianul unui punct reprezint seciunea determinat prin elipsoid de ctre un plan care trece

prin punctul considerat i prin axa polilor PP .Ca meridian origine este acceptat unanim meridianul geodezic al observatorului astronomic

Greenwich. Acest observator este utilizat i n astronomie (ndeplinete rolul de origine pentru

longitudinile astronomice i respectiv pentru timp aa numitul timp universalnotat TU).

Atenie. Coordonatele geodezice B. L nu definesc poziia n spaiu a punctului S t ci doar a

normalei N la elipsoid. Pentru definirea n spaiu a punctului St mai este necesar o mrime:

39


40/55

c) Altitudinea geodezice

StH :

t

e

S SSH t = . (3.19)

Se pot meniona urmtoarele localiti situate la limite extreme pentru teritoriul rii noastre:

limita nordic: comuna Horoditea 5148B = ;

limita sudic: Zimnicea 7343B =

; limita de est: Sulina 1429 = L ;

limita de vest: Beba Veche: 5120 = L .

Ca latitudine medie pentru ntrega ar se consider Bm = 46.

Punctul S. ca proiecie pe elipsoid a punctului St. n lungul normalei N are aceleai coordonate

geodezice B. L cu cele ale punctului St. ns He = 0.

40


41/55

Subiectul nr. 8

Ecuaiile parametrice ale elipsei meridiane.

Ecuaiile parametrice ale elipsoidului de rotaie.

Raze de curbur principale

3.3. Ecuaiile parametrice ale elipsei meridiane

Ecuaia general a unui elipsoid de rotaie. exprimat sub form implicit:

01b

Z

a

YX2

2

2

22

=++

(3.20)

este puin folosit n geodezia eliopsoidal. n mod frecvent se opereaz cu ecuaiile parametrice. n

funcie de coordonatele geodezice B i L. adic:

( )

( )

( ).

;,

;,

BZZ

LBYY

LBXX

=

=

=

(3.21)

Pentru deducerea acestora este util s se determine. n prealabil. ecuaiile parametrice ale

elipsei meridiane: x = x (B). z = z (B). deoarece legtura dintre coordonatele X. Y. Z i respectiv x. z

(Fig. 3.2) este imediat:

.zZ

;LsinyY

;LcosxX

=

=

=

(3.22)

Fig 3.2. Ecuaiile parametrice ale elipsei meridiane.

41

S(B)

Z z

S(3)

S

x

90+B

B

r x

S0

Oz


42/55

Aa cum este cunoscut. ecuaia elipsei meridiane sub form implicit este:

01b

z

a

x)z,x(f

2

2

2

2

=+= . (3.24)

Dac se folosete un alt parametru geometric n locul semiaxei mici:)e1(ab 222 = . (3.9)

rezult:

0ae1

zx 2

2

22 =

+ . (3.25)

Se prefer formulele parametrice ale elipsei n care intervine singurul parametru al punctului S

(latitudinea geodezic B).

Coeficientul unghiular al tangentei la elips n punctul S este:

tg (90 + B) = ctg B. (3.26)Acest coeficient unghiular poate fi exprimat i analitic ca fiind egal cu prima derivat a funciei

(3.24) de dou variabile. Difereniala total a acestei funcii este:

.0dzz

fdx

x

fdf =

+

= (3.27)

Din expresia de mai sus rezult prima derivat a funciei. a crei semnificaie este panta

tangentei la curb:

ctgBzf

xf

dx

dz=

= . (3.28)

Sau sub forma:

z

fx

f

dx

dz

= . (3.29)

3.4. Ecuaiile parametrice ale elipsoidului de rotaieRevenind la observaiile de la nceputul paragrafului anterior i nlocuind n ecuaiile (3.22)

rezultatele obinute cu relaiile (3.45) i (3.46) se obin ecuaiile parametrice ale elipsoidului de

rotaie:

42


43/55

.V

Bsin)e1(c

W

Bsin)e1(aZ

;V

LsinBcosc

W

LsinBcosaY

;V

LcosBcosc

W

LcosBcosaX

22 =

=

==

==

(3.47)

3.5. Raze de curbur principale

Prin normala N ntr-un punct oarecare de pe suprafaa elipsoidului pot trece o infinitate de

plane. denumite plane normale (deoarece conin N ). Aceste plane intersecteaz elipsoidul dup o

infinitate de seciuni. denumiteseciuni normale.

Seciunile care nu trec prin normal (care nu conin normala) se numescseciuni nclinate (ex.:

seciunea perpendicular pe axa polilor. care intersecteaz elipsoidul dup cercul paralel al punctului

respectiv).

Dintre seciunile normale posibile una are raza de curbur maxim i una are raza de curbur

minim; acestea se numesc seciuni normale principale i au proprietatea de a fi perpendiculare ntre

ele.

3.5.1. Seciunea meridian. Seciunea meridian (care. aa cum se va arta n continuare are

raza de curbur minim) este reprezentat de meridianul punctului S.

Seciunea meridian are forma unei elipse. fiind obinut din intersecia planului meridian cu

elipsoidul de rotaie. Raza de curbur a acestei elipse se noteaz cu M:

dB

ds

B

slimM

0B=

=

. (3.48)

n care ds este elementul de arc de elips:

ds2 = dx2 + dz2. (3.49)

Rezult astfel:

22

dB

dz

dB

dxM

+

= . (3.50)

Calculul derivatelor necesare n relaia (3.50) se realizeaz prin considerarea formulelor

(3.39) i respectiv (3.46). Astfel. de exemplu. prima derivat din (3.50) este:

+=

BcosBsine2)Bsine1(Bcos

2

1)Bsine1(Bsina

dB

dx 223

222

122 . (3.51)

care. dup transformri simple. devine:

43


44/55

3

2

W

)e1(Bsina

dB

dx = . (3.52)

Analog. se poate calcula i cealalt derivat necesar. rezultnd:

3

2

W

Bcos)e1(a

dB

dz = .

(3.53)

n acest fel se poate determina expresia razei de curbur a elipsei meridiane:

3

2

W

)e1(aM

= . (3.54)

Prin transformri simple se poate deduce expresia:222 V)e1(W = . (3.55)

astfel nct. prin considerarea i a relaiei (3.40) rezult o alt posibilitate de exprimare a razei de

curbur a elipsei meridiane:

3V

cM = . (3.56)

Se observ c raza de curbur a elipsei meridiane crete odat cu creterea latitudinii geodezice

B. de la ecuator spre pol.

La ecuator. unde B = 0. rezult:

.a)e1(aM

;1W

2

0

0

=

=

(3.58)

3.5.2. Seciunea primului vertical este reprezentat de seciunea normal perpendicular pe

seciunea meridian. Seciunea primului vertical i seciunea nclinat. a paralelului n punctul

considerat. au aceeai tangent. Se obine astfel legtura dintre raza de curbur a primului vertical

notat cu N i raza de curbur a paralelului. notat r. legtur care satisface o celebr teorem. a lui

Meusnier. din geometria suprafeelor:BcosNr= . (3.59)

Deoarece r x (conform cu (3.23)). se obine n continuare. prin utilizarea relaiilor (3.45):

V

c

W

a

Bcos

rN === . (3.60)

Din cele de mai sus rezult semnificaia geometric a razei de curbur a primului vertical

N = SS0 n Fig. 3.2.

44


45/55

Se observ c i raza de curbur a primului vertical are o variaie de la ecuator la pol.

crescnd n mrime odat cu creterea argumentului B:

La ecuator. unde B = 0. rezult:

;

;1

0

0

aN

W

=

=

;)1( 20

aeaM =

=

;90

cM = .9090 NM =(3.62)

Numai la pol cele dou raze de curbur principale M i N sunt egale. n celelalte situaii raportul

dintre razele de curbur ale seciunilor normale principale va fi:

1Bcose1VM

N 222+== . (3.63)

Rezult N M. motiv pentru care raza de curbur N a primului vertical se mai numete i

marea normal.

Raza de curbur a seciunii meridiane (M) precum i raza de curbur a seciunii primului

vertical (N) se pot calcula n funcie de parametrii elipsoidului a. e2 i de latitudinea B a punctului S

(sunt funcii de poziia punctului pe un anumit elipsoid dat).

45


46/55

Subiectul nr. 9

Raza de curbur a unei seciuni normale oarecari n funcie de razele de curbur

principale i azimutul geodezic A.

Raza de curbur medie Gauss

3.6. Raza de curbur a unei seciuni normale oarecari n funcie de razele de curbur

principale i azimutul geodezic A

rrrr

Se consider un punct S pe elipsoid (situat pe un anumit meridian i pe un anumit paralel). Prin

acest punct se poate duce normala N la suprafa (o unic posibilitate). Prin normal trec o infinitate

de plane normale. care intersecteaz elipsoidul dup seciuni normale. fiecare avnd o alt raz de

curbur.

Azimutul A este unghiul format de curba c (directia SS ) cu direcia nord a meridianului. Se

poate demonstraformula Euler de calcul a razei de curbur a unei seciuni normale. de azimut A:

AMAN

MNRA 22

sincos +

= . (3.64)

Din relaia de mai sus se observ c raza de curbur a unei seciuni normale oarecare este

exprimat n funcie de azimutul su A i. n cazul elipsoidului de rotaie. de curburile seciunii

meridianului (M) i. respectiv. a primului vertical (N).

46

r

primulvertical

meridianul punctului S

paralelul punctului S

O

B

P

P

S0

A

E E

N

S

(c)

Fig. 3.3. Razele de curbur a seciunilor normale.


47/55

3.7. Raza de curbur medie Gauss

Media aritmetic a razelor de curbur ale seciunilor normale care trec printr-un punct situat pe

elipsoid. atunci cnd numrul acestor seciuni tinde ctre infinit. se numete raz medie de curbur sau

raz medie Gauss. notat R:

=

=

+=

A2A

0A

22

0A

A

2 AsinMAcosN

MN

limR . (3.67)

Pentru a realiza media aritmetic din relaia (3.67) utilizm urmtoarea schi ajuttoare:

Fig. 3.5. Raza medie Gauss.

Privind n lungul normalei N care trece prin punctul S. meridianul (A = 0g) i primul vertical

(A = 100g) se reprezint ntr-un plan tangent la elipsoid. n acest punct. prin linii drepte. Celelalte

seciuni normale (de azimut oarecare A i) se reprezint prin curbe. Intervalul dintre acestea este

considerat finit (mic) A n Fig 3.5.

Raza medie Gauss variaz. de asemenea. n funcie de latitudinea geodezic B. nregistrnd la

fel cu M i N. o cretere de la ecuator (B = 0) la pol (B = 90):

;0

abR =

=

2

1

290

)1(

. (3.73)

Raza medie Gauss are o aplicabilitate deosebit ngeodezie i n cartografia matematic.

47

A = 0g

S

Ai

A

A = 100g


48/55

3.9. Arce elementare

Fie punctele S1 i S2 (situate pe acelasi meridian) i respectiv S1 i S3 (situate pe acelai paralel).

aa cum este reprezentat n Fig. 3.6.

Se va presupune c punctele S1. S2 i S3 sunt finit apropiate. astfel nct arcul de meridian s1-2

(dintre S1 i S2) i respectiv arcul de meridian sp (dintre S1 i S3) sunt considerate finit mici i denumite

arce elementare.

3.9.1. Elementul de arc de meridian. Deoarece raza de curbur M a elipsei pe care se afl

punctele S1 i S2 a fost definit cu relaia:

dB

ds

B

slimM

0B=

=

. (3.48)

lungimea arcului elementar de meridian dintre aceste puncte se determin prin integrarea:

==2

1

2

1

B

B

s

s

21 MdBdss .

(3.76)

Lungimea arcului de meridian de la ecuator pn la punctul considerat S(B) poate fi determinat

cu formula de mai sus. prin particularizrile: B1 = 0 i respectiv B2 B.

Se pot reine i urmtoarele valori:

48

L1

P

E' E

P

G

Oe

2L

)L;BBB(S 1122 +=

)LLL;B(S 1213 +=)L;B(S 111

pss1-2

r1

r1

1B2B

1B

O

0

1S

Fig. 3.6. Arce elemetare (de meridian i de paralel).


49/55

111s1

km; (3.88)

1832s1 m (mil marin); (3.89)

311 s m. (3.90)

3.9.2. Elementul de arc de paralel. Dac se au n vedere punctele S1 i S2 (Fig. 3.6). situate

pe paralelul de raza r1 (latitudinea B1) la longitudinile L1 i respectiv L2 = L1 +L. lungimea arcului de

paralel sp. dintre cele dou puncte va fi:

sp = r1(L2-L1)arc1. (3.91)

Expresia de mai nainte poate fi determinat. deoarece r1 = constant (pentru un paralel dat)

rezultnd:

sp= N1cos B1 ( ) 12 LL /. (3.92)

De reamintit c 3437.7468 .

49


50/55

Subiectul nr. 10

Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic

Rezolvarea triunghiurilor geodezice mici

Rezolvarea preblemelor geodezice (de baz) pe elipsoidul de rotaie

3.10. Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic micPentru situaiile curent ntlnite n practica geodezic. unde distanele dintre puncte s < 60 km.

triunghiurile geodezice (denumite triunghiuri elipsoidice mici) sunt rezolvate ca triunghuri sferice.

considerndu-se c acestea sunt amplasate.fiecare. pesfere medii Gaussproprii. de razeiB

R . unde Bi

sunt latitudinile geodezice ale centrelor de greutate ale triunghiurilor respective.

Chiar i dup introducerea acestor simplificri. n geodezie nu s-au aplicat direct formulele

trigonometriei sferice. ci. aa cum se va vedea. s-au aplicat metode specifice. care vor fi examinate n

continuare. i care au dus la importante economii de calcule.Suma unghiurilor A. B. C dintr-un triunghi geodezic amplasat pe o sfer medie Gauss de raz

R (presupuse ca neafectate de erori de msurare) este ntotdeauna mai mare dect 200 g. diferena

rezultat fiind denumit exces sferic:

= A + B + C 200g. (3.95)

Fig. 3.9. Excesul sferic.

Iniial se calculeaz o latitudine medie provizorie:

3

BBBB

*

3

*

2

*

1* ++= . (3.96)

cu care se poate calcula raza medie Gauss provizorie (relaia (3.71)).

Suprafeele fusurilor sferice pot fi exprimate sub o prim form:

,)'(

;)'(

;)'(

BACSCABSCC

CBASBB

BCASAA

+=+=

+=

+=

(3.97)

50

A B

A B

C

C

O


51/55

unde. cu S s-a notat suprafaa (pe sfer) a triunghiului geodezic considerat. Din nsumarea celor trei

relaii rezult:

SRSRSCCBBAA 2223)'()'()'( 22 +=+=++ . (3.98)

De asemenea. suprafeele fusurilor sferice se pot exprima i sub forma:

,4400

)'(

;4400

)'(

;4400)'(

2

2

2

RC

CC

RB

BB

R

A

AA

g

g

g

g

g

g

=

=

=

(3.99)

din a cror nsumare se obine:

)(200

2)'()'()'(

2ggg

gCBA

RCCBBAA ++=++

. (3.100)

Din egalarea relaiilor (3.98) i (3.100) rezult:( ) SCBAR ggggg =++ 4002002 2

. (3.101)

de unde:

2

cc

2

gcc

R

S

R

S

2

400 == . (3.102)

Cu cc s-a notat numrul de secunde dintr-un radian. care este cc =2000000cc/= 636619.7723.

Strict riguros. n relaia (3.101) de determinare a excesului sferic ar trebui folosit suprafaa S

pe sfer a triunghiului geodezic. Deoarece mrimea acesteia nu se poate determina n aceast etap a

calculelor. precum i datorit faptului c se au n vedere triunghiuri geodezice mici (cu laturi

s < 60 km) se poate folosi suprafaa S n plan a triunghiului considerat. Este recomandat ca n

triunghiul plan s se efectueze o prelucrare preliminar. aproximativ. astfel nct suma unghiurilor s

fie 200g.

'S

Fig. 3.10. Triunghiul plan ajuttor la calculul excesului sferic.

n aceste condiii. rezult:

51

A

B C

c b

a


52/55

2

'sin''

2

'sin''

2

'sin'' AcbBbaCbaS === . (3.103)

iar excesul sferic se va calcula cu relaia:

2

cccc

R

S

= . (3.104)

Relaia de mai sus se poate aplica i pentru situaii mai rar ntlnite (60 km < s


53/55

.3

CC

;3

BB

;3

AA

=

=

=

(3.108)

Suma acestor unghiuri va fi:

200CBACBA g +=++=++ . (3.109)

Fig. 3.11. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre.

calculul unghiurilor (prelucrate provizoriu) n triunghiul plan intermediar (ajuttor). n

conformitate cu teorema Legendre:

.3

CC

;3

BB

;3

AA

cc

cc

cc

=

=

=

(3.110)

Suma unghiurilor n triunghiul plan intermediar va fi:gcc 200CBACBA =++=++ . (3.111)

rezolvarea triunghiului plan intermediar. n care suma unghiurilor ndeplinete condiia

(3.111) se poate realiza prin cunoscuta teorem din trigonometria plan:

Csin

c

Bsin

b

Asin

a

== .

(3.112)

Dac se noteaz mrimea calculabil:

Asin

aulmod

= . (3.113)

rezult laturile b i c. identice n triunghiul plan i n triunghiul elipsoidic mic:

53


54/55

Csinulmodc;Bsinulmodb == .(3.114)

Rezolvarea preblemelor geodezice (de baz) pe elipsoidul de rotaie

Scopul final al calculelor efectuate pe elipsoidul de referin const n determinarea

coordonatelor geodezice (latitudinea B i longitudinea L) ale punctelor din reelele geodezice de sprijin.

Operaiile de prelucrare riguroas a determinrilor astronomo-geodezice reclam calculul

coordonatelor geodezice n mai multe etape: calculul coordonatelor provizorii, necesare n etapa

preliminar prelucrrii riguroase i calculul coordonatelor finale dup terminarea compensrii propriu-

zise. Se poate aprecia, prin urmare, c acest gen de calcule ocup un volum deosebit de important,

motiv pentru care sunt cunoscute n literatura de specialitate sub denumirea de rezolvri ale

problemelor geodezice de baz.

Prima problem geodezic de baz, denumit de asemenea i problem geodezic direct,

const din determinarea coordonatelor geodezice B2, L2 ale punctului S2 i a azimutului A2 (denumit i

azimut geodezic invers) n funcie de coordonatele B1, L1 ale punctului S1, azimutul geodezic A1

(denumit i azimut geodezic direct) i lungimea liniei geodezice dintre punctele S1 i S2, notat s1-2.

Utilizarea succesiv a problemei geodezice directe este cunoscut i sub denumirea de

transport de coordonate.

Fig. 3.13. Problemele geodezice de baz.

Cea de a doua problem geodezic de baz, denumita i problema geodezic invers, const n

determinarea lungimii liniei geodezice s1-2 i a azimutelor geodezice direct (A1) i invers (A2) atunci

cnd se cunosc coordonatele geodezice ale punctelor S1 i S2.

Se cunosc mai multe procedee de rezolvare a problemelor geodezice de baz. Aceast

diversitate a fost condiionat de necesiti continue de micorare a volumului de calcul, de sporire a

54

s1-2( )111 L,BS

( )222 L,BS

E

P

P

E

12A

21A


55/55

exactitii rezultatelor finale, chiar n condiiile unor distane geodezice mari, precum i de mijloacele

de calcul avute la dispoziie.

Exist mai multe criterii de clasificare a metodelor i procedeelor de calcul al coordonatelor

geodezice pe elipsoidul de referin, n funcie de elementul considerat ca principal n cadrul acestor

calcule. Unul dintre criteriile de clasificare curent folosite consider drept element principal lungimea

liniei geodezice s. Din acest punct de vedere se pot distinge: metode de rezolvare pentru distane

geodezice mici (s < 60 km), pentru lungimi medii (60 s < 600 km) i respectiv pentru lungimi mari

(s 600 km).

Un alt aspect care trebuie avut n vedere la rezolvrile efective se refer la precizia de calcul a

coordonatelor geodezice, distingndu-se metode exacte i metode aproximative. Pe msur ce

distanele geodezice cresc, exactitatea n calcule are semnificaii deosebite. Ca i n alte calcule

geodezice, i n cadrul rezolvrii problemelor geodezice de baz se urmrete ca erorile de calcul s fiede circa zece ori mai mici dect erorile medii care caracterizeaz erorile de teren. Astfel, se poate arta

c n triangulaia geodezic de ordinul I este necesar ca aproximaia de calcul pentru coordonatele

geodezice B i L s fie de 0001,0 , pentru azimutele geodezice A de 0cc,001, iar pentru distanele

geodezice s de 0,001 m.

Expunerea n detaliu a metodelor de rezolvare a problemelor geodezice de baz depete

destinaia manualului.

Geodezie Pe Scurt

Documents

Transcript of Geodezie Pe Scurt