Prof. dr. Mirela PRAISLER,

Conf. dr. Alexandrina NAT

VOLUMUL II

- 2005 -

CUPRINS

ELECTROMAGNETISM CAP.1 ELECTROSTATICA 3 1.1 Marimi principale n electrostatica 3 1.2 Lucrul mecanic al fortelor unui cmp electric 5 1.3 Legea lui Gauss 6 1.4 Legi de material 7

Legea dependentei polarizatiei electrice 1.4.1 de cmpul electric 7 Legea dependentei inductiei electrice 7.4.2 de cmpul electric 7

CAP.2 ELECTROCINETICA 9 2.1 Marimi principale n electrocinetica 9 2.2 Legea de continuitate 10 2.3 Legi de material 12 2.3.1 Legea lui Ohm 12 CAP.3 MAGNETOSTATICA 15 3.1 Marimi principale n magnetostatica 15 3.2 Formula lui Biot-Savart-Laplace 17 3.3 Legi de material 18 3.3.1 Legea fluxului magnetic 18 3.3.2 Legea circuitului magnetic 18 3.3.3 Legea magnetizatiei temporare 19 CAP.4 REGIMUL VARIABIL 20

4.1 Legile regimului variabil 20 4.1.1 Legile de stare ale cmpului electromagnetic 20 4.1.2 Legile de evolutie ale cmpului electromagnetic 21

Ecuatiile de trecere pentru cmpul electromagnetic la 4.2 suprafata de separatie dintre doua medii diferite 24

4.3 Conservarea energiei cmpului electromagnetic 26 4.4 Unde electromagnetice 28 4.5 Transversalitatea undelor electromagnetice 30 4.5 Potentiale electrodinamice 31

I

TEORIA ELECTROMAGNETICA A LUMINII

CAP.5 TEORIA ELECTROMAGNETICA A LUMINII 35 5.1 Polarizarea luminii 36 5.2 Reflexia si refractia luminii 37

5.2.1 Legea reflexiei si refractiei luminii 37 5.2.2 Formulele lui Fresnel 39 CAP.6 INTERFERENTA LUMINII 44

6.1 Principii ale interactiei undelor 44 6.2 Modele de analiza a interferentei optice 45

6.2.1 Interferenta a doua unde generate de o sursa punctuala 45 6.2.2 Interferenta a doua unde monocromatice 46 6.2.3 Interferenta multipla 48 6.2.4 Dispozitive interferentiale 50

FIZICA NUCLEARA CAP.7 FIZICA NUCLEARA 58

7.1 Particule fundamentale 58 7.2 Principalele caracteristici ale nucleului atomic 58 7.3 Modele nucleare 59

7.3.1 Modelul gazului Fermi 59 7.3.2 Modelul nuclear n paturi 60 7.3.3 Modelul hidrodinamic al nucleului 60 7.3.4 Modelul generalizat al nucleului 61

7.4 Legile transformarilor radioactive 61 7.4.1 Legea deplasarii a lui Fajans-Soddy 61 7.4.2 Legea dezintegrarii radioactive 61 7.4.3 Dezintegrarea a 62 7.4.4 Dezintegrarea b 63 7.4.5 Radiatia g 64 7.4.6 Radioactivitatea artificiala 65

7.5 Reactii nucleare 66 7.5.1 Energia de dezintegrare nucleara 66 7.5.2 Mecanismul reactiilor nucleare 67 7.5.3 Reactii nucleare cu particule ncarcate 68 7.5.4 Reactii nucleare cu particule neutre 69 7.5.5 Fisiunea nucleara 70 7.5.6 Fuziunea nucleara 72

BIBLIOGRAFIE 75 II

3

ELECTROMAGNETISM

CAPITOLUL 1. Electrostatica

1.1 Marimi principale n electrostatica Electrostatica este acea parte a electromagnetismului care se ocupa cu fenomenele electrice produse de sarcinile electrice aflate n repaus n raport cu un sistem de referinta inertial. Aceste fenomene pot fi evidentiate prin aparitia unor forte si momente determinate de anumite interactiuni specifice. Din acest punct de vedere, se deosebesc doua stari distincte ale corpurilor: electrizarea - apare n urma ncarcarii corpurilor cu sarcini electrice; se manifesta prin aparitia unor forte de interactiune care nu depind de orientarea relativa a corpurilor electrizate. polarizarea - consta n aparitia unor asimetrii n distributia sarcinilor; se evidentiaza prin aparitia unor cupluri de forte ce se acumuleaza pentru o anumita orientare a corpurilor electrizate.

a) Cmpul electric este purtatorul material al interactiunilor electrice. Este un cmp vectorial si este parte componenta a cmpului electromagnetic.

b) Sarcina electrica este o marime scalara ce masoara starea de ncarcare si

caracterizeaza proprietatea corpurilor de a crea un cmp electric sau de a fi actionate atunci cnd sunt introduse n cmpul electric al altor corpuri.

Sarcina elementara este a electronului e = -1,610-19 C; este o constanta universala. Dupa elementul din spatiu n care este repartizata sarcina electrica, se poate defini: - densitate volumica de sarcina - n cazul n care sarcina este repartizata ntr-un

volum t:

r =t

=tD

DtD d

dqqlim

0 (1.1)

- densitate superficiala de sarcina - n cazul n care sarcina este repartizata pe o suprafata S:

s =dSdq

Sq

lim0

=DD

tD (1.2)

- densitate liniara de sarcina - n cazul n care sarcina este repartizata pe o curba G:

l=G

=DGD

tD ddqq

lim0

(1.3)

Figura1.1

4

c) Legea lui Coulomb Forta de interactiune dintre doua sarcini punctiforme este proportionala

produsul sarcinilor si invers proportionala cu patratul distantei ce le separa, depinznd si de mediul n care se afla sarcinile. Directia acestor forte este pe dreapta ce uneste sarcinile, iar sensul ei depinde de semnul sarcinilor. n Figura 1.1 a fost reprezentat cazul n care cele doua sarcini sunt pozitive. Expresia vectoriala este:

12312

2112 r

r

qq41

Frr

pe

= (1.4)

unde e este permitivitatea absoluta a mediului n care se afla sarcinile si este data de: e = e0 er , cu e0=8,8410

-12 F/m, permitivitatea vidului si er permitivitatea relativa a mediului respectiv, n raport cu cea a vidului (adimensionala). Se vede ca 2112 FF

rr-=

sau n modul: F12 = F21 .

d) Intensitatea cmpului electric este o marime vectoriala, functie de punct, ce caracterizeaza local cmpul electric, prin interactiunile ce le produce. Aceste interactiuni sunt evidentiate prin intermediul unui corp de proba (corp bun conducator, slab ncarcat electric, de dimensiuni reduse si avnd sarcina constanta n timp). Intensitatea cmpului electric este egala cu raportul dintre forta F

r care se

exercita asupra corpului de proba si sarcina lui q, cnd aceasta din urma tinde catre zero:

qF

limE0q

rr

= (1.5)

e) Liniile de cmp electric sunt curbe tangente n fiecare punct la directia

locala a vectorului Er

. Sensul lor se alege astfel nct pleaca de la sarcinile pozitive spre cele negative, deci liniile cmpului electric sunt curbe deschise.

f) Momentul electric este o marime vectoriala care masoara starea de

polarizare a corpurilor. Pentru o sarcina punctiforma q ntr-un punct avnd vectorul de pozitie r

r fata de o origine 0 aleasa arbitrar, momentul electric al sarcinii n raport

cu 0 este: p

r = q r

r (1.6)

sau pentru un ansamblu de n sarcini punctiforme:

pr

==

n

1iip

r =

=

n

1iii rq

r (1.7)

Se defineste dipolul electric ca fiind un ansamblu de doua sarcini punctiforme, egale de semne opuse, situate la distanta l fixa (Figura 1.2).

Figura 1.2

5

Atunci momentul electric dipolar va fi conform (1.7)

=

=-=+-==2

1i1221iid lq)rr(qrqrqrqp

rrrrrrr (1.8)

unde

12 rrlrrr

-= (1.9) n cazul dielectricilor, starea de polarizare este caracterizata de momentul electric p

r, definit prin intermediul cuplului de forte c

r care actioneaza asupra

dielectricului plasat ntr-un cmp electric Er

, astfel nct: c

r= p

r E

r (1.10)

sau, n modul: c = pEsin a (1.11)

unde a este unghiul dintre pr

si Er

. Asa cum polarizarea poate fi permanenta sau temporala, tot asa exista un

moment electric permanent (pr

p) si unul temporar (pr

t), deci momentul electric total al corpului este:

pr

p = pr

p +pr

t (1.12) g) Polarizatia electrica este o marime vectoriala egala cu limita raportului

dintre momentul electric Dpr

al unui element de volum Dt si acest volum:

t

=tD

D=

tD dpdp

limP0

rrr (1.13)

adica este momentul electric al unitatii de volum.

h) Inductia electrica este o marime vectoriala, depinznd de pozitie, care caracterizeaza local cmpul electric functie de sarcina electrica generatoare de cmp. Expresia inductiei electrice este:

Dr

= eEr

(1.14) i) Fluxul inductiei electrice printr-o suprafata elementara orientata dS

r este:

SdDd err

=F (1.15) iar fluxul total printr-o suprafata nchisa va fi:

S S S

=a==F dSDcosdSDSdD nerr

(1.16)

n care a este unghiul dintre Dr

si versorul nr

al directiei normale la suprafata orientata dS

r, iar Dn =Dcosa este componenta inductiei electrice dupa directia n

r.

1.2. Lucrul mecanic al fortelor unui cmp electric Lucrul mecanic elementar al fortelor electrice F

r care, actionnd asupra unei

sarcini elementare q determina o deplasare elementara d lr

este: dW = F

rd l

r= qE

rd l

r (1.17)

Prin integrare, se obtine lucrul mecanic total pe o curba G: W = q

G

ldErr

(1.18)

n regim electrostatic nu au loc schimburi de caldura nici ntre sistem si exterior si nici n interiorul sistemului. Din termodinamica se stie ca n acest caz lucrul mecanic nu depinde de drumul parcurs, deci n cazul unei curbe nchise G, rezulta:

6

G

ldErr

= 0 (1.19)

Integrala de contur se poate transforma ntr-o integrala pe suprafata pe o suprafata G, folosind teorema lui Stokes: ( )

SG

= SdEldErrrr

(1.20)

Cum elementul de suprafata d Sr

este ales arbitrar, rezulta: E

r = 0 (1.21)

deci n acest caz cmpul electric este irotational. Dar (f) = 0 unde f este o functie scalara oarecare, nseamna ca exista o functie scalara V, astfel nct: E

r= - V (1.22)

Marimea V(x, y, z) definita de (1.22) se numeste potential electric, fiind definit pna la o constanta arbitrara. Atunci lucrul mecanic total, la o deplasare pe curba G, ntre punctele 1 si 2 este:

W =-=-= G

2

1

dVqldVqr

q (V1 - V2) = qU (1.23)

Marimea U se numeste tensiune electrica. Din (1.23) se vede ca tensiunea electrica este egala cu lucrul mecanic necesar deplasarii unei sarcini egale cu unitatea, ntre punctele considerate.

1.3 Legea lui Gauss

Fluxul inductiei electrice Dr

printr-o suprafata nchisa este egal cu suma algebrica a sarcinilor electrice libere q1, ..., qn, din interiorul acestei suprafete.

S

SdDrr

= q (1.24)

unde q = =

n

1iiq . Demonstratie: Fie doua sarcini q si q', ntre care exista forta:

rrqq'

4pp1

F 3rr

= (1.25)

iar cmpul electric creat de sarcina q este:

rr

q41

'qF

E3

rr

r

ep== (1.26)

Fluxul inductiei electrice Dr

printr-o suprafata sferica, cu centrul n q:

Sdr

r4q

SdESdD3

rrrrrr S SS p

=e= (1.27)

Dar rr

si d Sr

au aceeasi directie, deci: rr

d Sr

= r dS; n acest caz, pentru un r dat relatia (1.27) devine:

qr4r4

qSdD 2

2=p

p=

S

rr (1.28)

Legea lui Gauss (relatia 1.24) poate fi scrisa si sub forma diferentiala, folosind relatia lui Gauss-Ostrogradski:

S

SdDrr

= tt

dDr

(1.29)

unde t este volumul marginit de suprafata . Daca r este densitatea volumica de sarcina, tinnd cont de relatia (1.1), din relatia (1.29) se obtine: D

r = r (1.30)

Avnd n vedere relatiile (1.14) si (1.22), din (1.30) rezulta:

7

(V) = er

- sau DV =er

- (1.31)

Ecuatia (1.31) este ecuatia lui Poisson. Daca r = 0, rezulta ecuatia lui Laplace: DV = 0 (1.32)

1.4. Legi de material

1.4.1. Legea dependentei polarizatiei electrice de cmpul

electric S-a constatat experimental ca exista o dependenta ntre polarizatia totala P

r a

unui dielectric si intensitatea cmpului electric Er

. Deoarece polarizatia permanenta ( pPr

) nu depinde de cmpul exterior, rezulta ca doar polarizatia temporara depinde de

Er

: tP

r = tP

r(Er

) (1.33) - n medii liniare, omogene si anizotrope, relatia generala (1.33) este: tP

r = e0 e~c E

r (1.34)

unde e0 este permitivitatea electrica a vidului, iar e~c tensorul susceptivitatii electrice. - n medii liniare, omogene si izotrope, tensorul e~c devine scalarul ce : tP

r = e0 ce E

r (1.35)

Astfel, n acest caz, vectorii tPr

si Er

sunt paraleli.

1.4.2. Legea dependentei inductiei electrice de cmpul electric Aceasta lege este:

( )EPPEPED tp00rrrrrrr

++e=+e= (1.36)

Daca mediul nu este polarizat permanent, pPr

= 0. n plus, pentru medii liniare, omogene si anizotrope: ( )E~1E~ED e0e00

rrrrc+e=ce+e= (1.37)

Daca se noteaza ( )e0 ~1~ c+e=e , unde e~ este tensorul permitivitatii absolute a mediului, relatia (1.37) devine:

Dr

= e~ Er

(1.38)

n medii liniare, omogene si izotrope, tensorul e~ devine scalarul e si atunci relatia (1.39) va fi: D

r = eE

r (1.39)

de unde se vede ca, n acest caz, vectorii Dr

si Er

sunt paraleli. Din relatia (1.38) scrisa sub forma scalara si din relatia (1.5), rezulta ca permitivitatea electrica relativa este er = 1 + ce.

8

PROBLEME 1. Trei sarcini punctiforme de 2 x 10-9C sunt asezate n trei din colturile unui patrat cu latura de 0,2 m. Care sunt marimea si directia fortei rezultante care actioneaza asupra unei sarcini punctiforme de -10-9C cnd aceasta este plasata: a) n centrul patratului; b) n coltul liber al patratului? 2.Cnd bornele unei baterii de acumulatori de 100V sunt conectate la doua placi paralele de dimensiuni mari, aflate la distanta de 1 cm una de alta, n spatiul dintre placi cmpul electric este aproape uniform, de intensitate E=104N/C. Sa presupunem ca avem un cmp de aceasta intensitate, cu directia verticala, n sus.

a) Sa se calculeze forta care actioneaza asupra unui electron n acest cmp si sa se compare aceasta forta cu greutatea electronului. Se stie ca sarcina electronului este e = 1,6x10-19C si masa electronului este m = 9,1x10-31Kg.

b) Ce viteza va avea electronul dupa parcurgerea distantei de 1 cm, daca a pornit din repaos? Ce energie cinetica va avea? Cat timp i-a trebuit pentru a avea aceasta energie?

c) Daca electronul este proiectat n cmp cu viteza orizontala, aflati ecuatia traiectoriei lui.

Raspuns:

a) Fel = eE=1,6 x 10-15N

G = mg = 8,9 x 10-30N Fel / G = 1,8 x 10

14 deci greutatea electronului este neglijabila n raport cu forta electrica ce actioneaza asupra electronului.

b) ==mF

a el 1,8 x 1015 m/s2 2axv = =6 x 106 m/s

2

mvE

2

c = = 1,6 x 10-17J

av

t = = 3,3 x 10-9 s.

c) Pe directia orizontala miscarea este uniforma cu viteza v, iar pe directie verticala miscarea este uniform accelerata cu acceleratia a. Sensul miscarii este n jos, deci n sensul negativ al axei Oy. Deci:

x = v0t 2m

tFy

2el-= => 22

0

el x2mv

Fy -=

3. Potentialul electric n afara unui cilindru conductor ncarcat, de raza R, avnd pe

unitatea de lungime o sarcina ?, este ( )lnrlnR2k?rR

ln2k?V -== . Sa se determine

intensitatea cmpului electric radial ce corespunde acestui potential electric. Raspuns:

rk

drdV

El2

=-=

9

CAPITOLUL 2. Electrocinetica

2.1 Marimi principale n electrocinetica Electrostatica este acea parte a electrocineticii care se ocupa cu studiul regimului dinamic al sarcinilor electrice si, n mod deosebit, cu miscarea lor ordonata n spatiu, miscare care determina curentul electric.

Curentul de conductie reprezinta deplasarea ordonata a sarcinilor electrce libere ntr-un conductor; n afara de acesta, mai exista si curentul de conventie care este dat de deplasarea corpurilor electrizate (conductori sau dielectrici) n spatiu. Deplasarea este nsotita si de un flux de masa, deci curentul electric de conductie este caracterizat de marimi care reflecta att transportul de sarcina, ct si de masa.

a) Densitatea curentului de conductie j

r este un vector a carui marime este

egala n fiecare punct cu sarcina care trece n unitatea de timp prin unitatea de suprafata normala la directia de deplasare si al carui versor coincide cu versorul vitezei medii de deplasare a particulelor:

vv

dtdq

dSd

jn

rr

= (2.1)

Volumul elementar transferat de sarcina dq n timpul dt este: dt = dSn v dt (2.2) Atunci (2.1) se poate scrie:

vvddq

jrrr

r=t

= (2.3)

unde r este densitatea volumica de sarcina.

b) Intensitatea curentului de conductie I care trece prin suprafata este fluxul densitatii de curent prin aceasta suprafata: I =

SS

= ndSjSdjrrr

(2.4)

si este egal cu sarcina care trece n unitatea de timp prin suprafata :

I = dtdq (2.5)

c) Densitatea fluxului de masa mj

r este vectorul a carui marime este egala n

fiecare punct cu masa care trece n unitatea de timp prin suprafata normala la directia de deplasare si al carui versor coincide cu versorul vitezei medii de deplasare a particulelor:

vvddm

vv

dtdm

dSd

j mn

mrr

rrr=

t=

= (2.6)

unde rm este densitatea masica.

10

0

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

J

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

=

d) Liniile de curent sunt curbe tangente n fiecare punct la directia locala a vectorului j

rsi ecuatia lor este data de:

zyx jdz

jdy

jdx

== (2.7)

unde jx, jy, jz sunt componentele vectorului j

r.

2.2 Legi de continuitate 2.2.1. Ecuatia de continuitate a masei

Ecuatia de continuitate este expresia matematica a legii conservarii masei n mecanica mediilor continue. Miscarea unui punct material este descrisa prin dependenta de timp a coordonatelor sale xi (i =1,2,3) fata de un sistem de coordonate considerat fix si depinde si de pozitia sa initiala, data de valorile Xi (i=1,2,3), la momentul initial: xi = xi (Xi, t0) (2.8) Se considera ca functiile care intervin n legea de miscare (2.8) sunt continue si derivabile, iar ntre marimile xi si Xi exista o corespondenta biunivoca:

Xi = Xi (xi, t) (2.9) Aceasta nseamna ca jacobianul transformarii (2.8) este diferit de zero:

(2.10)

Deci, evolutia sistemului n cadrul descrierii spatiale este data de cunoasterea unui ansamblu de functii de forma:

f = f (xi , t) (2.11)

cu i= 1,2,3, corespunzatoare punctului material, care la momentul t ocupa pozitia xi. De exemplu, viteza punctului material la momentul t, care initial ocupa pozitia

data de xi, este:

vi = ix& = dtd xi (xi, t) (2.12)

iar acceleratia este:

ai = 22

idt

dx =&& xi (xi, t) (2.13)

Atunci, n cazul general al functiei f, derivata (partiala sau totala) a cmpului marimii f (xi, t) va fi data de:

fgradvtf

xf

vtf

dtdx

xf

tf

dtdf

f3

1i ii

3

1i

i

i

r& +

=

+

=

+

== ==

(2.14) Ecuatia (2.14) e valabila doar daca functia f este scalara. Daca f

r este o marime

vectoriala, atunci (2.14) se va scrie:

11

( ) fvtf

dtfd rr

rr

+

= (2.15)

n care:

( )z

vy

vx

vv zyx

+

+

=r

(2.16)

De exemplu, pentru vfrr

= , rezulta:

( )vvtv

dtvd

arr

rrr

+

== (2.17)

Considernd ca un volum t, marginit de suprafata 0 cuprinde masa m, atunci variatia acestuia n timp va fi:

tr= t

ddtd

dtdm

m (2.18)

unde rm este o functie scalara - densitate masica - si care depinde de punct si timp: rm = rm ( r

r, t) (2.19)

Cum volumul t variaza el nsusi n timp odata cu deplasarea particulelor, operatorul de derivare din (2.18) nu poate intra sub integrala. De aceea, trecnd la coordonatele materiale, volumul t trece n volumul t0 fix, ntre care exista legatura: dt = J dt0 (2.20)

unde J este determinantul dat de (2.10). n acest caz, relatia (2.18) devine:

( ) ( )[ ] ==0t

0mt

m dtJt,tX,x?dtd

dttx,?dtd

dtdm

( ) +=0t

0mm dtJ?J?dtdm && (2.21)

Conform teoremei lui Euler, rezulta ca:

vdivJxv

xv

xv

JJ3

3

2

2

1

1 r& =

+

+

= (2.22)

Atunci, folosind (2.20) si (2.22), relatia (2.21) devine:

( ) tr+r= t

dvdivdtdm

mmr

& (2.23)

Deoarece masa m este constanta n timpul miscarii (dm/dt = 0), iar volumul t este ales arbitrar, rezulta:

vdivdt

dm

m rr+r

= 0 (2.24)

ceea ce reprezinta ecuatia de continuitate. Conform (2.14), se mai poate scrie:

0vvt mmm =r+r+

r rr

(2.25)

sau ntruct (rm vr

) = rm vr

+ vr

rm, rezulta:

( ) 0vt mm =r+

r r

(2.26)

Relatiile (2.24), (2.25) si (2.26) sunt expresii echivalente ale ecuatiei de continuitate.

12

2.2.2. Ecuatia de continuitate a sarcinii electrice

Ecuatia de continuitate este expresia matematica a legii de conservare a sarcinii electrice n regim dinamic. Sarcina totala dintr-un volum t fiind q =

t

r dt, unde

r este densitatea volumica de sarcina, rezulta:

t

trddtd = 0 (2.27)

Legea de continuitate (2.26) ramnnd valabila, se poate scrie:

( )vt

rr+

r = 0 (2.28)

sau, tinnd cont de (2.3):

jt

r+

r = 0 (2.29)

care reprezinta ecuatia de continuitate. Avnd n vedere legea lui Gauss, relatia (2.29) se mai poate scrie:

+

jtD rr

= 0 (2.30)

ceea ce arata ca exista un cmp de vectori:

tD

jj t

+=

rrr

(2.31)

numit densitatea curentului total, cu proprietatea: tj

r = 0 (2.32)

Densitatea curentului total este formata din densitatea curentului de conductie jr

(cu proprietatea j

r 0 doar n conductoare) si densitatea curentului de deplasare dj

r :

tD

jd

=

rr

(2.33)

(cu proprietatea djr

0 doar n dielectrici). Fluxul vectorului tjr

printr-o suprafata reprezinta intensitatea curentului total:

It = SdtD

jr

rr

S

+ = I + Id (2.34)

unde I este intensitatea curentului de conductie si I d intensitatea curentului de deplasare (datorat variatiei inductiei electrice D

r n timp).

2.3 Legi de material 2.3.1. Legea lui Ohm Legea lui Ohm face legatura dintre densitatea curentului de conductie si

intensitatea cmpului electric din conductori. Curentul electric de conductie poate sa circule numai n cazul n care cmpul electric din conductor este nenul si constant n timp. Circuitele de curent sunt, n general, nchise iar sarcinile libere sunt actionate de forte coulombiene (electrostatice) si de forte exterioare (neelectrostatice). Acestea din urma sunt rezultatele efectelor electrochimice, termoelectrice, mecanoelectrice, etc., iar densitatea lor de volum if

r poate fi scrisa:

ifr

= r iEr

(2.35)

13

unde iEr

este intensitatea cmpului electric imprimat (care exprima efectele actiunii fortelor exterioare). Cmpul electric imprimat este creat de surse de tensiune electromotoare (pile, acumulatori, dinamuri, etc.). Cmpul electric total tE

r dintr-un conductor parcurs de

curent continuu este: it EEE

rrr+= (2.36)

unde Er

este intensitatea cmpului electric coulombian. - n medii liniare, omogene si anizotrope, exista dependenta ntre j

r si tE

r:

( )it EE~E~jrrrr

+s=s= (2.37) unde s~ este tensorul conductivitatii electrice a mediului. - n medii liniare, omogene si izotrope, tensorul s~ devine scalarul s si atunci relatia (2.37) va fi: j

r= s tE

r = s (E

r+ iE

r) (2.38)

ceea ce reprezinta legea lui Ohm pentru astfel de medii. Se defineste rezistivitatea mediului:

r = s1 (2.39)

Se nlocuieste (2.39) n (2.38) si se integreaza pe o portiune de circuit cuprinsa ntre punctele 1 si 2:

+=r2

1i

2

1

2

1

~dE~dE~dj lr

lr

lr

(2.40)

unde d l~ este vectorul avnd modulul egal cu elementul de lungime dl al circuitului, orientat dupa tangenta la conductor, n acelasi sens cu j

r. Relatia (2.40) este legea

lui Ohm n forma globala, ntre punctele considerate. ntruct E

r este un cmp potential (E

r= - grad V), rezulta:

2

1

~dE lr

= V1 - V2 (2.41)

Cea de-a doua integrala din (2.40) este:

E12 = 2

1i

~dE lr

(2.42)

si defineste tensiunea electromotoare (ntre punctele 1 si 2 ale circuitului) care este egala cu lucrul mecanic al fortelor exterioare necesar deplasarii unitatii de sarcina pozitiva pe portiunea considerata. Tensiunea electrica U12 (ntre punctele 1 si 2) este marimea numeric egala cu lucrul mecanic total al fortelor coulombiene si exterioare pentru a deplasa unitatea de sarcina pozitiva ntre aceste puncte:

U12 = +2

1i

2

1

~dE~dE lr

lr

= V1 - V2 + E12 (2.43)

Rezulta ca legea lui Ohm se mai poate scrie:

r2

1

~dj lr

= V1 - V2 + E12 (2.44)

- Pentru un conductor cilindric, de sectiune S, avnd o distributie uniforma de sarcina

jr

si ldr

au aceeasi directie: jr

d l~ = j dl , iar: jSI

= , unde I este intensitatea

constanta a curentului de conductie. n acest caz, (2.44) devine:

14

I r2

1 S

~dl = V1 - V2 + E12 (2.45)

Se defineste rezistenta electrica a portiunii de circuit cuprinsa ntre punctele 1 si 2:

R21 = r2

1 S

~dl (2.46)

Atunci relatia (2.45) se va scrie: I R21 = V1 - V2 + E12 (2.47) Daca circuitul este nchis: V1 = V2 , R21 = Rt , unde Rt este rezistenta totala a circuitului. n acest caz, relatia (2.47) se scrie:

I Rt = E (2.48) unde E este suma algebrica a tuturor tensiunilor electromotoare care actioneaza n circuit. PROBLEME 1.Fie un conductor din cupru cu sectiunea de forma unui patrat cu latura de 1mm, prin care trece un curent de 20A.

a) Stiind ca n cupru exista aproximativ 1029 electroni liberi / m3 si sarcina electronului este e = 1,6 x 10-19C, sa se determine viteza de transport a electronilor prin fir. Sa se compare viteza de transport cu viteza de propagare a unui puls de curent n lungul unui fir, care este de aproximativ 3x108m/s.

c) Ct timp i-ar trebui unui electron pentru a strabate un fir cu lungimea de 1m?

Raspuns: a) Densitatea curentului din fir este J = I/S=2x106A/m2. Atunci avem

s

mm1

sm

10neJ

v 3 == -

Viteza de transport este foarte mica n comparatie cu viteza de propagare a unui puls electric.

b) 15min1000svx

t ==

2. In spatiul dintre doi cilindri metalici coaxiali, de raze ra si rb, se afla un material de rezistivitate ?. Care este rezistenta dintre cei doi cilindri?

Raspuns: Consideram un strat de forma cilindrica cu raza interna r si grosime dr.

Suprafata lui este atunci S=2prl, iar lungimea drumului strabatut de curent prin strat este dr. Astfel, rezistenta dR a stratului este

rl2dr?

dRp

=

si rezistenta totala ntre cilindri este:

==b

a

r

r a

b

rr

lrdr

lR ln

22 pr

pr

3. In spatiul dintre doua sfere conductoare concentrice, de raze ra si rb se afla un material conductor de rezistivitate ?. Aratati ca rezistenta dintre cele doua sfere este

-=

ba r1

r1

4p?

R

15

CAPITOLUL 3. Magnetostatica

3.1 Marimi principale n magnetostatica

Magnetostatica este acea parte a electromagnetismului care studiaza cmpul magnetic, una din formele particulare de manifestare a cmpului electromagnetic. n natura exista unele corpuri, neutre din punct de vedere electric, de exemplu cristalele naturale de magnetita (Fe3O4), care exercita att ntre ele, ct si asupra corpurilor din Fe, Co, Ni sau aliaje ale acestora, actiuni ponderomotoare (forte si cupluri) specifice. Aceste actiuni se datoreaza unor forte magnetice, iar regiunea din spatiu n care actioneaza astfel de forte se numeste cmp magnetic. Cmpul magnetic poate fi creat de substantele aflate n stare de magnetizare (magneti), conductoare parcurse de curent de conductie, sarcinile electrice n miscare sau un flux electric variabil. Cmpul electric actioneaza asupra corpurilor si particulelor electrizate aflate n miscare si asupra corpurilor magnetizate (indiferent de starea lor de miscare).

a) Forta electrodinamica Fie doua conductoare rectilinii, paralele, parcurse de curentii I1, respectiv I2.

ntre ele apare o forta de interactie, numita forta electrodinamica. Valoarea acestei forte, raportata la unitatea de lungime, este:

d2

IIF 21p

m=l

(3.1)

unde m este permeabilitatea magnetica absoluta a mediului. m = m0mr (3.2) cu m0 = 4p10

-7 H/m permeabilitatea magnetica a vidului. n cazul n care conductoarele sunt paralele, forta are valoare maxima (relatia 3.1), iar daca sunt perpendiculare, forta este nula.

b) Forta electromagnetica este forta cu care un cmp magnetic actioneaza

asupra unui curent. Forta electromagnetica si forta electrodinamica au aceeasi natura; deci relatia (3.1) se poate scrie:

F = lI1B2 = lI2B1 si n general: F = lIB (3.3) unde B este inductia magnetica, data de legea experimentala Biot-Savart:

B = mr2

Ip

(3.4)

si masoara cmpul magnetic produs de un curent rectiliniu I, ntr-un punct aflat la distanta r de conductor, ntr-un plan perpendicular pe acesta. Avnd n vedere observatia anterioara, relatia (3.3) trebuie completata: F = l I B sin a (3.5) sau vectorial: ( )BIF rlrr = (3.6) unde l

rare directia si sensul curentului, modulul l este lungimea portiunii de curent

care se afla n cmp magnetic, iar a este unghiul dintre lr

si Br

.

16

- n cazul n care curentul filiform este curbiliniu, portiunea de curent aflata n cmp magnetic este G, iar B

r nu este neaparat acelasi de-a lungul curentului.

=G

BdIFr

lrr

(3.7)

- n cazul n care curentul nu este filiform, ci este distribuit cu o densitate de curent i ntr-un volum t, relatia (3.6) devine: ( )

t

t= dBiFrrr

(3.8)

deoarece Id lr

= iSd lr

= ir

S dl = ir

dt. Relatia (3.8) constituie formula generala a fortei electromagnetice.

c) Forta Lorentz reprezinta forta care actioneaza asupra unei particule

ncarcate aflate n cmp electric si magnetic. Forta electromagnetica, adica forta cu care un cmp magnetic actioneaza asupra unui curent, reprezinta forta cu care cmpul magnetic actioneaza asupra sarcinilor aflate n miscare. Avnd n vedere ca: i

r= r v

r, r dt = dq, din relatia (3.8) rezulta:

( )t

= dqBvFrrr

(3.9)

De aici se vede ca forta magnetica cu care cmpul magnetic actioneaza asupra unei particule punctiforme ncarcate electric este: ( )BvqF rrr = (3.10) Daca n afara de cmpul magnetic exista si un cmp electric, atunci forta totala este: ( )BvEqF rrrr += (3.11) care reprezinta forta Lorentz. Sensul fortei Lorentz depinde de sensul sarcinii electrice asupra careia actioneaza. Componenta magnetica a acestei forte

( )Bvq rr este perpendiculara pe vr ; deci aceasta componenta nu modifica viteza sau energia cinetica a particulei, ci numai directia ei, actionnd ca o forta centripeta.

d) Liniile de inductie magnetica sunt curbe tangente n fiecare punct la directia

locala a vectorului Br

si ecuatia lor este data de:

zyx B

dzBdy

Bdx

== (3.12)

unde Bx; By; Bz sunt componentele vectorului Br

. Caracteristica fundamentala a liniilor de cmp magnetic este faptul ca sunt curbe nchise (spre deosebire de liniile de cmp electric), ceea ce explica absenta sarcinilor magnetice n natura.

e) Momentul magnetic Daca ntr-un cmp magnetic de inductie B

rse plaseaza mici corpuri

magnetizate, se observa ca asupra lor actioneaza un cuplu de forte Cr

care tinde sa roteasca aceste corpuri, astfel nct, pentru o anumita orientare a lor, cuplul sa se anuleze. Dreapta trasata pe corpul aflat n echilibru stabil (C

r=0) si orientata n

sensul vectorului Br

se numeste axa de magnetizare. Modulul valorii maxime a cuplului este proportional cu B

r:

Cmax = m B (3.13) unde m depinde numai de starea de magnetizare a corpului si reprezinta marimea momentului magnetic al corpului. Daca n

r este versorul axei de magnetizare, se

defineste vectorul moment magnetic: m

r = mn

r (3.14)

Experimental s-a demonstrat ca: C

r= m

r B

r (3.15)

17

f) Forta magnetica care actioneaza asupra unui mic corp magnetizat, de moment magnetic m

r, aflat ntr-un cmp de inductie B

reste:

magF

r= grad (m

rBr

) (3.16)

g) Magnetizatia este marimea vectoriala locala de stare, definita prin limita raportului dintre momentul magnetic al substantei Dm

r dintr-un volum mic Dt, si acest

volum:

t

=tD

D=

tD dmdm

limM0

rrr (3.17)

- Corpurile care prezinta un moment magnetic propriu n absenta unui cmp magnetic exterior au magnetizatie permanenta. Aceasta stare este caracterizata de un moment magnetic permanent (m

rp) si o magnetizatie permanenta ( pM

r).

- Corpurile care au un moment magnetic doar n prezenta unui cmp magnetic exterior si care dispare daca se nlatura acest cmp sunt corpuri cu magnetizatie temporara. Aceasta stare este caracterizata de un moment magnetic temporar (m

rt)

si o magnetizatie temporara ( tMr

). Atunci, momentul magnetic total este: m

r = m

rp + m

rt (3.18)

si magnetizatia totala este: M

r= pM

r + tM

r (3.19)

h) Intensitatea cmpului magnetic este marimea vectoriala derivata, definita

prin raportul dintre inductia magnetica si permeabilitatea mediului:

m

=B

H

rr

(3.20)

i) Polarizatia magnetica este marimea vectoriala derivata, definita prin

produsul dintre magnetizatie si permeabilitatea vidului: P

r = m0M

r (3.21)

3.2. Formula lui Biot-Savart-Laplace Laplace a generalizat formula lui Biot-Savart pentru cazul unui curent

oarecare constant:

( ) ( )t

t

p= 'd

R

R'ri41

rH3

rrrrr

(3.22)

Figura 3. 1

18

unde 'rrRrrr

-= este vectorul cu originea n punctul P. Acest punct are vectorul de pozitie r

r si se afla n domeniul t. n punctul P, de vector de pozitie r

r, se calculeaza

intensitatea cmpului magnetic Hr

(Figura 3.1). Integrantul din relatia (3.22) se mai poate scrie sub forma:

( ) ( ) ( )

=

=

R

'ri'ri

R1

R

R'ri3

rrrr

rrr

unde la ultima egalitate s-a folosit identitatea: ( ) vsvsvs rrr +=

s fiind o functie scalara oarecare, iar vr

o functie vectoriala. S-a avut n vedere ca ir

( rr

) nu depinde de coordonatele rr

la care se refera . In aceste conditii, relatia (3.22) se mai poate scrie:

( )'d

R'ri

41

H tp

= t

rrr (3.23)

Vectorul Hr

a fost scris sub forma unui vector: Hr

= Ar

, unde Ar

este o functie numita potential electrodinamic vector. Legea Biot-Savart-Laplace este variabila doar n cazul stationar si numai cu unele aproximatii, n cazul nestationar.

3.3. Legi de material

3.3.1 Legea fluxului magnetic Fluxul inductiei magnetice B

r printr-o suprafata nchisa (trasata n corpuri

sau n vid) este nul:

tS

t==F dBSdBmrrr

(3.24)

Trecerea de la integrala de suprafata la integrala de volum se face conform formulei Gauss-Ostrogradski. Avnd n vedere relatiile (3.20) si (3.23) si stiind ca div(rot)=0, rezulta: ( ) 0dAdHm =tm=tm=F

tt

rr (3.25)

De aici rezulta: B

r= 0 (3.26)

ceea ce reprezinta forma diferentiala a legii fluxului magnetic, care ne arata ca n fiecare punct din cmp, divergenta inductiei magnetice este nula.

3.3.2. Legea circuitului magnetic Tensiunea electromotoare n lungul unei curbe G, trasata n corpuri sau n vid,

este egala cu intensitatea curentului electric de conductie I prin suprafata marginita de curba G (Ampre). E =

G

lrr

dH = I (3.27)

Trecerea de la integrala de linie ntr-o integrala pe suprafata , marginita de curba G se face conform teoremei lui Stokes:

G

lrr

dH = S

Sd)Hx(rr

Avnd n vedere relatia (8.4), rezulta: jH

rr= (3.28)

adica ntr-un punct din conductorul parcurs de curent electric, rotorul intensitatii cmpului magnetic este egal cu densitatea curentului de conductie.

19

3.3.3. Legea magnetizatiei temporare n fiecare punct dintr-un corp, magnetizatia temporara este functie de H

r:

Mr

t = Mr

t (Hr

) (3.29) n medii liniare, omogene si anizotrope, dependenta este de forma:

Mr

t= c~ m Hr

(3.30) unde c~ m este tensorul susceptivitatii magnetice. Magnetizatia totala va fi:

Mr

=Mr

P +Mr

t=Mr

P + c~m Hr

(3.31) Cunoscnd dependenta dintre B

r, H

r si M

r:

( ) PHMHB 00rrrrr

+m=+m= (3.32)

rezulta ca, n absenta magnetizatiei permanente ( pMr

), inductia magnetica va fi:

( ) ( ) H~H~1H~HB m0m0rrrrr

m=c+m=c+m= (3.33) unde: ( )m0 ~1~ c+m=m (3.34) este tensorul permeabilitatii magnetice.

n medii liniare, omogene si izotrope, tensorii m~c si m~ devin scalarii cm si m , iar relatiile (3.30) si (3.33) vor fi: tM

r = cm H

r (3.35)

( ) HH1B m0rrr

m=c+m= (3.36)

unde: m = 1 + cm. n functie de valoarea lui cm, substantele pot fi diamagnetice daca cm < 0 si paramagnetice daca cm > 0. PROBLEME 1. O vergea dielectrica subtire sub forma unui cerc de raza R este ncarcata cu densitatea de sarcina liniara constanta ? si se roteste n jurul axei sale cu viteza unghiulara constanta ? . Sa se calculeze:

a) valoarea inductiei magnetice ntr-un punct situat pe axa cercului, la distanta r0 de centru (caz particular r0=0) b) valoarea momentului magnetic al spirei.

Raspuns: a) Pentru un curent I prin spira de raza R, la r0 de planul spirei, pe axa acesteia, rezulta

32

0

2rIR

Bm

= unde 2202 Rrr +=

Dar RT

Rdt

dldtdQ

I lwpll

==

==2

deci ( )2

322

0

30

2 Rr

RB

+=

lwm

20

0lwm

=B pentru r0=0

b) 3RISm lwp== 2.Sa se determine cmpul electric ntr-o regiune din spatiu n care cmpul magnetic variaza n timp dupa relatia: a) ateBB 0= ; b) tBB wsin0=

Raspuns: a) Se considera un contur L = 2p r pentru care putem scrie

F

-=L dt

dldErr

2rBBA p==F deci ateaBr

dtdB

rE 0221

-=-=

b) tBrE ww cos21

0-=

20

CAPITOLUL 4. Regimul variabil

4.1. Legile regimului variabil Pna acum au fost studiate legile fundamentale ale regimului static (electrostatic si magnetostatic) si stationar (electroelectric) pentru cmpul electromag-netic. Daca n aceste situatii, legile date erau dependente numai de pozitie si independente de timp, n cazul regimului variabil, ele depind si de pozitie si de timp. Legile regimului variabil sunt legi de stare si legi de evolutie. Ele se pot exprima sub forma integrala (globala) si diferentiala (locala).

4.1.1 Legi de stare ale cmpului electromagnetic Aceste legi reprezinta generalizari ale legilor de stare ale regiunilor static si stationar (ntr-o forma practic identica).

a) Legea lui Gauss (legea fluxului electric) n forma integrala are expresia: qSdD =

S

rr (4.1)

iar n forma diferentiala: Dr

= r (4.2)

b) Legea dependentei dintre nductia electrica, intensitatea cmpului electric si polarizatia totala

PED 0rrr

+e= (4.3) c) Legea polarizatiei electrice temporare

( )EPP ttrrr

= (4.4) n medii liniare, omogene si anizotrope avem:

E~P e0trr

ce= , E~Drr

e= , ( )e0 ~1~ c+e=e n medii liniare, omogene si izotrope, tensorii e~c si e~ sunt marimi scalare.

d) Legea lui Ohm (legea conductiei electrice) are expresia n forma integrala: U = R I (4.5)

iar n forma locala: ( )iEE~j

rrr+s= (4.6)

e) Legea fluxului magnetic n corpuri are expresia n forma integrala:

=S

SdBrr

0 (4.7)

iar n forma locala: Br

= 0 (4.8)

f) Legea dependentei dintre inductia magnetica, intensitatea cmpului magnetic si magnetizatia totala:

( )MHB 0rrr

+m= (4.9)

21

g) Legea magnetizatiei temporare: ( )HMM ttrrr

= (4.10) n medii liniare, omogene si anizotrope:

H~M mtrr

c= , H~Brr

m= , ( )m0 ~1~ c+m=m n medii liniare, omogene si izotrope, tensorii m~c si m~ sunt marimi scalare.

4.1.2. Legi de evolutie ale cmpului electromagnetic Aceste legi reprezinta generalizari ale unor experimente.

a)Legea conservarii sarcinii electrice (legea de continuitate) Fie o suprafata nchisa care intersecteaza conductoare parcurse de curent

electric si contine n interior corpuri ncarcate cu sarcini electrice. Legea se exprima n forma integrala:

dtdq

I -= (4.11)

Intensitatea curentului de conductie I care iese din suprafata este egala cu viteza de scadere a sarcinii electrice q din interiorul acestei suprafete.

In forma locala (pentru corpuri mobile) avem expresia:

S

= SdjIrr

si t

tr= djr

,

unde jr

este densitatea curentului de conductie si r densitatea volumica a sarcinii cuprinse n volumul t marginit de suprafata . Atunci relatia (4.11) se scrie:

tS

tr-= ddtd

Sdjrr

.

Folosind teorema Gauss-Ostrogradski, rezulta:

tr

-=t tt

dt

djr

,

de unde:

t

jr

-=r

(4.12)

care reprezinta legea conservarii sarcinii electrice n forma locala.

b) Legea inductiei electromagnetice Un flux magnetic variabil (inductor) genereaza o tensiune electromotoare indusa. Acest fenomen se numeste inductie electromagnetica.

Pentru a deduce aceasta lege n forma integrala, sa consideram un circuit nchis format dintr-o bobina si un galvanometru. La introducerea sau scoaterea unui magnet din bobina, are loc o variatie a fluxului magnetic inductor. Spirele bobinei sunt intersectate de un numar variabil de linii de inductie ale magnetului, ceea ce face sa apara un cmp electric indus. Sub actiunea acestui cmp, electronii din circuit vor avea o miscare ordonata, dnd nastere unui curent electric de inductie. La rndul sau, acest curent genereaza un cmp magnetic de inductie si se datoreaza fortei electromotoare de inductie care apare datorita variatiei fluxului inductor. Fie o portiune dintr-o spira a bobinei, de lungime ab = l. Aceasta se deplaseaza pe distanta aa' = dx ntr-un timp dt cu viteza v

r ntr-un cmp magnetic

omogen, de inductie Br

(Figura 4.1). Asupra electronilor liberi din acest conductor, actioneaza forta Lorentz (F

r). Sub actiunea acestei forte, electronii se vor deplasa

catre capatul b, ncarcndu-l negativ, n timp ce capatul a se ncarca pozitiv.

22

Figura 4.1 Cmpul electric imprimat, corespunzator fortei Lorentz, are intensitatea:

BvqF

E irr

rr

== (4.13)

Tensiunea electromotoare indusa n portiunea ldra conductorului va fi:

dE = ( ) lrrrlrr dBvdE i = (4.14) Atunci, n ntreg conductorul, de lungime orientala l, tensiunea indusa este: E = ( )lrrr Bv (4.15) Prin nmultirea relatiei (4.15) cu dt, se obtine:

E dt ( ) ( ) === lrrrlrrr BdtvdtBv ( ) ( ) SdBxdBBxd rrlrrrlrrr -=-== (4.16)

unde Sdr

este aria suprafetei orientate aa'b'b, care a fost strabatuta de portiunea ab a spirei n timpul dt. Cum acest element de arie a fost strabatut de fluxul: SdBd m

rr=F ,

din relatia (4.16) se obtine:

E dt

d mF-= (4.17)

care reprezinta legea inductiei electromagnetice n forma integrala. Deci, daca printr-o sectiune S a unei spire fluxul magnetic variaza, atunci n spira se induce o tensiune electromotoare E .

Variatia fluxului magnetic, deci inducerea unei tensiuni electromotoare se poate produce prin: -variatia inductiei magnetice B

r (modificarea modulului sau sensului);

-variatia sectiunii Sr

(modificarea modulului sau a pozitiei n raport cu cmpul) -variatia ambilor factori ai fluxului magnetic SBm

rr=F

Faraday a evidentiat doua laturi distincte ale fenomenului inductiei electromagnetice: variatia cmpului reduce tensiune; miscarea n cmp induce tensiune.

Sensul este dat de legea lui Lenz: sensul tensiunii induse este astfel nct fluxul magnetic al curentului indus sa compenseze variatia cmpului inductor. Astfel, daca fluxul inductor creste, se induce o tensiune al carui curent produce un flux

magnetic n sens contrar fluxului inductor; daca fluxul inductor scade, se reduce o tensiune al carui curent produce un flux

magnetic de acelasi sens cu fluxul inductor.

Forma locala a legii inductiei electromagnetice se deduce inlocuind relatiile (3.42) si (4.24)

E G

= lrr

dE S

=F SdBmrr

23

n legea inductiei electromagnetice (4.17). Se obtine:

G S

-= SdBdtd

dErr

lrr

(4.18)

Sau, folosind teorema lui Stokes, avem:

( ) SS

-= Sd

tB

SdEr

rrr

de unde:

tB

E

-=

rr

(4.19)

care reprezinta legea inductiei electromagnetice n forma locala.

c) Legea circuitului magnetic a lui Ampre (9.27) nu mai este valabila n regim variabil, pentru ca nu mai este compatibila cu legea de continuitate a sarcinii electrice.

Pentru a deduce legea in forma integrala, tinem cont ca in prezenta fluxului inductiei variabil n timp, curentului de inductie I i se adauga si curentul de deplasare Id (vezi relatia 8.34). n acest mod legea lui Ampre ramne valabila, cu conditia ca n membrul drept sa figureze curentul total It = I + Id: Em

G

= ldHrr

= I + Id (4.20)

care reprezinta legea circuitului magnetic n forma integrala: tensiunea magnetomotoare Em n lungul unei curbe nchise G este egala cu suma dintre curentul electric de conductie si curentul electric de deplasare prin suprafata marginita de curba G. Pentru a deduce expresia legii n forma locala nlocuim (2.4) si (2.34) I =

S

Sdjrr

si Id = S

Sd

tD rr

n (4.20) si se obtine:

SG S

+= Sd

tD

Sdj~dHr

rrr

lr

(4.21)

sau, folosind teorema lui Stokes:

( ) SS

+= SdtD

jSdHr

rrrr

,

de unde:

tD

jH

+=

rrr

(4.22)

care reprezinta legea circuitului magnetic n forma locala.

d) Ecuatiile lui Maxwell Aceste ecuatii descriu legile inductiei electro-magnetice si circuitului magnetic pentru medii imobile, precum si legile fluxului electric si magnetic.

In forma integrala avem:

SG

-= Sd

tB

dEr

r

lrr

(4.23)

SSG

+= Sd

tD

SdjdHr

rrr

lrr

(4.24)

S

SdDrr

= q (4.25)

24

S

SdBrr

= 0 (4.26)

In forma locala avem:

tB

E

-=

rr

(4.27)

tD

jH

+=

rrr

(4.28)

Dr

= r (4.29) Br

= 0 (4.30) Problema fundamentala a electromagnetismului consta n integrarea sistemului de ecuatii Maxwell pentru diverse situatii concrete.

4.2. Ecuatiile de trecere pentru cmpul electromagnetic la suprafata de separatie dintre doua medii diferite

La suprafata de separatie dintre doua medii diferite au loc discontinuitati ale constantelor e, m si s. Din acest motiv apar modificari ale vectorilor H,D,E

rrr si B

r.

Conditiile limita ce apar pe suprafata de separatie impun anumite ecuatii de trecere pentru cele doua componente (electrica si magnetica) a cmpului electromagnetic.

Fie suprafata de separatie dintre doua medii 1 si 2, nr

versorul unui element de arie DS al suprafetei , orientat dinspre mediul 2 catre mediul 1 si t

r versorul

tangent la suprafata de separatie (fig. 4.2)

Figura 4.2 Figura4.3 4.2.1. Ecuatia de trecere pentru vectorul D

r

Se considera o suprafata cilindrica S de naltime h 0 si de arie a bazei DS (fig. 4.3). Daca s este densitatea superficiala de sarcina pe suprafata , atunci n interiorul suprafetei cilindrice se gaseste sarcina q = s DS. Fluxul inductiei electrice Fe (vezi relatia 1.16) prin suprafata S se compune din fluxul pe suprafata superioara F1, pe cea inferioara F2 si prin cea laterala F3. Cnd h 0 , suprafata laterala devine nula, deci Fe 3 = 0. Rezulta:

F e1 = Dn1DS, F e2 = - Dn2 DS , unde:

nDD 1n 1rr

= si nDD 2n2rr

-=

sunt componentele normale ale inductiei electrice Dr

1 si Dr

2 n cele doua medii si: Fe = (Dn1 - Dn2) DS (4.31)

25

nlocuind n legea fluxului electric relatia 4.25:

S

=F SdDerr

= q , rezulta:

Dn1 - Dn2 = s (4.32) ceea ce reprezinta ecuatia de trecere pentru componentele normale ale inductiei electrice.

4.2.2. Ecuatia de trecere pentru vectorul Br

Fluxul inductiei magnetice Fm (3.24) prin suprafata S (fig.4.3) are aceleasi

componente ca n cazul fluxului inductiei electrice: Fm3 = 0 , F m1 = Bn1 DS, F m2 = - Bn2 DS ,

unde: nBB 1n1rr

= si nBB 2n2rr

-=

sunt componentele normale ale inductiei magnetice 1Br

si 2Br

n cele doua medii. Atunci:

Fm = ( ) SBB 21 nn D- (4.33) nlocuind n legea fluxului magnetic relatia 4.26:

Fm = 0SdB =S

rr

rezulta:

21 nn BB = (4.34)

ceea ce reprezinta ecuatia de trecere pentru componentele normale ale inductiei magnetice.

4.2.3.Ecuatia de trecere pentru vectorul Hr

Fie un contur dreptunghiular G de naltime h 0 si lungime Dl (fig. 4.4). Se

considera ca pe suprafata de separatie exista o distributie superficiala de curenti

Sjr

.

Figura 4. 4

Din legea circuitului magnetic (relatia 4.24) se obtine: njSdjr

lrrr

D= SS (4.35)

phtD

limSdtD

limS0hS0h

rl

rr

r

D

=

(4.36)

unde ntprrr

= este versorul normalei la suprafata S = hDl a dreptunghiului.

( )=+D-D=

G CHHdH tthh lll

rr2100

limlim

26

( ) lD-=21 tt

HH (4.37)

unde tHH 1t1rr

= si tHH 2t 2rr

-= sunt componentele tangentiale ale vectorului Hr

n cele

doua medii, iar C 0 este circulatia de-a lungul laturilor laterale care tind catre zero. Rezulta: S=- jHH 21 tt (4.38)

ceea ce reprezinta ecuatia de trecere pentru componentele tangentiale ale intensitatii cmpului magnetic.

4.2.4.Ecuatia de trecere pentru vectorul Er

Din legea inductiei electromagnetice (relatia 4.23) se obtine:

( )=+D-D=

G 'limlim 2100 CEEdE tthh lll

rr

( ) lD-=21 tt

EE (4.39)

unde tEE 1t 1rr

= si tEE 1t 1rr

= sunt componentele tangentiale ale vectorului Er

n cele

doua medii, iar C'0 este circulatia de-a lungul laturilor laterale care tind catre zero.

D

=

S0hS0hplh

tB

limSdtB

limr

rr

r

(4.40)

unde pr

si S au aceleasi semnificatii ca n cazul anterior, rezulta:

21 ttEE = (4.41)

ceea ce reprezinta ecuatia de trecere pentru componentele tangentiale ale intensitatii cuplului electric. In concluzie: - componenta normala a inductiei magnetice si cea tangentiala a intensitatii cmpului electric nu sufera discontinuitati la trecerea dintr-un mediu n altul; - componenta normala a inductiei magnetice si cea tangentiala a intensitatii cmpului electric sufera discontinuitati la trecerea dintr-un mediu n altul; - daca pe suprafata de separatie dintre cele doua medii nu exista densitate superficiala de sarcini (s = 0), atunci componenta normala a inductiei electrice este continua la trecerea dintr-un mediu n altul; - daca pe suprafata de separatie dintre cele doua medii nu exista distributie superficiala de curenti (jS = 0), atunci componenta tangentiala a intensitatii cmpului magnetic este continua la trecerea dintr-un mediu n altul.

4.3. Conservarea energiei cmpului magnetic Se considera ca ntr-un volum t fluxul de energie electromagnetica se propaga

cu viteza finita. De asemenea, se presupune ca proprietatile electrice ale cmpului, exprimate prin e si s si cele magnetice, exprimate prin m, nu depind de E

rsi B

r. Pentru

un mediu liniar, omogen si izotrop, se rescriu ecuatiile lui Maxwell numai n functie de

vectorii Er

si Br

.

tB

E

-=

rr

(4.42)

tE

jB

em+m=

rrr

(4.43)

er

=E (4.44)

27

0B =r

(4.45) Se nmulteste scalar ecuatia (4.42) cu B

rsi ecuatia (4.43) cu E

r, apoi se scad:

( ) ( ) EjtE

EtB

BBEEBrr

rr

rrrrrr

m-

em-

-=-D .

Deoarece: ( ) ( ) ( )BEEBBE rrrrrr -= ,

tB

21

tB

B2

=

rrr

tE

21

tE

E2

=

rrr

,

rezulta:

( ) ( ) EjEBt2

1BE 22

rrrrrrm-em+

-= .

Se mparte aceasta relatie prin m si se obtine:

( ) EjEB121

tBE

1 22 rrrrrr -

e+

m

-=m

(4.46)

Se integreaza relatia (4.46) pe domeniul de volum t si se obtine:

( )ttt

tm

+t=t

e+

m

- dBE1

dEjdEB1

21

t22

rrrrrr

(4.47) Se fac notatiile:

wem =

e+

m22 EB

121 rr (4.48)

Wem = t

tdw em (4.49)

Y = ( )BE1 rr m

(4.50)

unde wem si Wem sunt densitatea de energie electromagnetica, respectiv energia electromagnetica, iar Y este vectorul Poynting. Atunci (4.47) devine:

t+t=t

- ttt

dYdEjdwt em

rrr (4.51)

Prima integrala din membrul drept se scrie:

GSt

=t lrrrrr ~dESdjdEj = E I =

t

Wy

(4.52)

unde I este intensitatea curentului de conductie (relatia 2.4), E este tensiunea electromotoare (2.42), iar dW=IEdt este caldura degajata n dt prin efect Joule. A doua integrala din membrul drept se rescrie cu teorema Gauss -Ostrogradski: YSdYdY F==t

St

rrr (4.53)

unde F este fluxul total al vectorului Poynting. Atunci relatia (4.51) devine:

Yyem

t

W

tW

F+

=

- (4.54)

care reprezinta legea conservarii energiei electromagnetice. Enuntul acestei legi este: scaderea energiei electromagnetice este egala cu suma dintre caldura

28

( )

( )Dt

jH

Ht

D

rrr

rr

+=

em-=

dezvoltata prin efect Joule si fluxul de energie electromagnetica care strabate suprafata S ce nconjoara elementul de volum considerat.

4.4. Unde electromagnetice Transportul energiei electromagnetice n cmp electromagnetic este descris

de vectorul Poynting, care are directia si sensul de propagare a undei electromagnetice. Se considera un mediu omogen si dielectric (s = 0) si se retranscriu ecuatiile lui Maxwell n functie de vectorii D

rsi H

r.

tH

D

em-=

rr

(4.55)

tD

jH

+=

rrr

(4.56)

0D =r

(4.57) 0H =

r (4.58)

Se aplica rotorul ecuatiilor (4.55) si (4.56). Se stie ca:

ar

= ( ar

) - D ar

Avem:

rezulta:

( )

( )

em-

+=D-

+

em-=D-

tH

tjHH

tD

jt

DD

rrrr

rrrr

nlocuind ecuatiile (4.57) si (4.58) se obtine:

2

2

2

2

t

HjH0

t

Dtj

D

em-=D-

em-

em-=D-r

rrr

rrr

Adica:

tj

t

DD

2

2

em+r=

em-

rrr

(4.59)

jt

HH

2

2 rr

r-=

em- (4.60)

Se defineste operatorul dAlembertian:

= D 22

2 tv1

- (4.61)

Atunci ecuatiile (4.59) si (4.60) se vor scrie:

tj

D

em+r=

rr

(4.62)

29

jHrr

-= (4.63) Aceste ecuatii sunt de tip dAlembert neomogene: F

r= - f

r (4.64)

Ecuatia de tip (4.64) este ecuatia de propagare cu viteza v a cmpului Fr

produs de sursa (factorul perturbator) fr

. Prin urmare, ecuatiile (4.62) si (4.63)

exprima propagarea cu viteza em

=1

v a cmpului Dr

, respectiv Hr

, avnd sursele

(termenii perturbatori): tj

em-r-

r

si jr

.

n particular, pentru medii fara distributii de sarcini (r = 0) si curenti ( jr

= 0), rezulta: D

r= 0 (4.65)

Hr

= 0 (4.66) Aceste doua ecuatii reprezinta de fapt ecuatia generala a undelor vectoriale, care se propaga cu viteza v. Deci, din ecuatiile lui Maxwell rezulta ca un cmp electromagnetic se propaga n spatiu sub forma de unde electromagnetice cu viteza finita v, care depinde de constantele electrice si magnetice ale mediului.

n cazul vidului, e = e0 = 8,85610-12 F/m si m = m0 = 4p10-7 N/A2 , iar viteza este:

@=em

= c1

v00

3108 m/s (4.67)

Deci n vid, cmpul electromagnetic se propaga cu o viteza egala cu viteza luminii n vid.

ntr-un cmp mediu oarecare, deoarece e > e0 si m > m0, rezulta ca v < c, n concordanta cu principiile teoriei relativitatii. Raportul:

rr

1

00

11vc

n me=

em

em==

-

(4.68)

se numeste indice de refractie absolut al mediului, iar er = e/e0 si mr = m/m0 sunt permitivitatea electrica relativa,respectiv permeabilitatea magnetica relativa a mediului considerat (fata de vid). Ecuatiile (4.65) si (4.66) pot fi usor integrate n doua situatii: a) pentru unde sferice generate de surse punctiforme n medii izotrope, pentru care

solutia generala a ecuatiei undelor progresive este de tipul:

Fr

(r, t) =

-

vr

tfr1r (4.69)

unde: v = (e m)-1/2 este viteza de faza, r distanta de la sursa la punctul de observatie. n cazul undelor electromagnetice sferice se obtine:

( )

-=

vr

tfr1

t,rD 1rr

(4.70)

( )

-=

vr

tfr1

t,rH 2rr

(4.71)

b) pentru unde plane, solutia generala a ecuatiei undelor progresive este de tipul:

Fr

(r, t) =

-

vr

tfr

(4.72)

Dintre functiile particulare

-

vr

tfr

, se alege functia periodica sinusoidala:

30

F

r(r, t) = ( )j+-w rKtcosA rrr (4.73)

definind unda armonica plana. Utiliznd forma exponentiala, se poate scrie: F

r(r, t) = ( ) ( )rKtirKti eaeA

rrrr rr -wj+-w = (4.74)

unde: j= i0 eAarr

este amplitudinea complexa a undei. Notnd:

rKi0 ea)r(Frrrrr -= (4.75)

se obtine: F

r(r, t) = rKi0 e)r(F

rrrr - (4.76) n cazul undelor electromagnetice plane se obtine:

ti0 e)r(D)t,r(Dw=

rrr (4.77)

ti0 e)r(H)t,r(Hw=

rrr (4.78)

4.5. Transversalitatea undelor electromagnetice Pentru o unda electromagnetica oarecare, vectorii E

rsi H

r sunt perpendiculari

att ntre ei, ct si pe directia comuna de propagare, descrisa de versorul kk

u

rr

= . Din

relatia (4.55) avem tH

D

em-=

rr

si din analiza cmpurilor vectoriale, pentru care se

stie ca exista relatia:

( )Dutv

1D

rrr

-= (4.79)

Rezulta:

( )Dutt

H rrr

em-=

em- (4.80)

de unde se obtine: HDurrr

em= . De aici rezulta:

( ) ( )EuDu1H rrrrr me

=em

= (4.81)

Figura 4.5

ceea ce arata ca H

r este

perpendicular pe planul format de vectorii u

rsi E

r. In mod

analog, considernd jr

= 0, din relatia (4.56) rezulta:

tD

H

=

rr

(4.82) Tnnd seama de relatia (4.79),

avem si n acest caz:

( ) ( )uHt

Hutv

1H

rrrrr

em=

-= (4.83)

Prin identificare se obtine: ( )uHD rrr em= , de unde: ( )uHE rrr

em

= (4.84)

31

ceea ce arata ca Er

este perpendicular pe planul format de vectorii ur

si Hr

. n consecinta, vectorii E

r, u

r si H

r formeaza un triedru drept, adica undele

electromagnetice sunt unde vectoriale transversale (fig. 4.5). Lundu-se n consideratie modulele vectorilor E

rsi H

r date de relatiile (4.81) si

(4.84), rezulta:

Eem

= H sau: E = Z H (4.85)

unde:

Zem

= (4.86)

se numeste impedanta intrinseca a mediului (pentru vid Z = 120p W). De asemenea, tinnd seama de (4.84), vectorul Poynting devine:

( ) ( )==== Eue

EHEBE1

Yrrrrrrrr

v2Hv2Eeuev2Ee

u2Ee rrrrrr

==== (4.87)

n care vr

= vur

este vectorul vitezei de propagare. Se vede ca vectorul Poynting are aceeasi directie si sens cu v

r.

In concluzie, pentru un mediu liniar, omogen izotrop si conservativ: a) undele electromagnetice sunt unde vectoriale transversale, produse prin interactiunea dintre un cmp electric si un cmp magnetic, ambele variabile n timp, care se conditioneaza reciproc. b) cmpul electromagnetic se propaga n spatiul liber sub forma de unde electromagnetice, avnd o viteza de faza constanta v = (em)-1/2 independenta de caracteristicele undei si egala cu faza de grup. c) vectorii E

r si H

r oscileaza n faza perpendicular att ntre ei, ct si pe directia de

propagare definita prin versorul ur

, astfel nct Er

,Hr

si ur

alcatuiesc un triedru drept. 4.6 Potentiale electrodinamice

Sistemul de ecuatii Maxwell poate fi rezolvat mult mai simplu daca se exprima vectorii B

rsi E

r prin intermediul a doua functii: A

r- potential vector si j -potential

scalar, denumite potentiale electrodinamice. a) Se stie ca divergenta unui rotor este nula. Atunci exista un vector A

r astfel

nct relatia (4.30) sa poata fi scrisa n modul urmator: B

r= ( A

r) = 0

de unde: B

r= A

r (4.88)

Relatia (4.88) defineste potentialul vector Ar

. b) nlocuind relatia (4.88) n (4.27) rezulta:

( )At

Err

-=

de unde:

+tA

E

r

= 0.

Cum rot (grad)=0, rezulta ca exista un scalar j astfel nct:

32

j-=

+tA

E

rr

(4.89)

relatie care defineste potentialul scalar j. De aici rezulta:

j-

-=tA

E

rr

(4.90)

nlocuind relatiile (4.88) si (4.90) n relatiile (4.28) si (4.29) si tinnd cont ca EDrr

e= si HBrr

m= , se obtine:

( )tE

jB

e

+=m

rr

r

si ( ) r=e Er , de unde:

j-

-

em+m=tA

tjA

rrr

er

=

j-

-tAr

ntruct ( ) AAA rrr D-= , ultimele relatii se pot scrie:

( )

( )er

=jD-

-

j

em-

em-m=D-

At

tt

AjAA

2

2

r

rrrr

Rearanjnd termenii n prima ecuatie si scaznd (2

2

t

jem ) din fiecare membru al

celei de-a doua ecuatie, rezulta:

jt

At

AA

2

2 rrr

rj-

j

em+=

em-D (4.91)

er

-

j

em+

-=

jem-jD

tA

tt2

2 r (4.92)

n acest mod, ecuatiile lui Maxwell s-au redus la doua ecuatii, una vectoriala si una scalara, pentru potentialele A

rsi j . Definirea acestor potentiale cu relatiile

(4.88) si (4.89) nu este univoca. Astfel, fie doua valori particulare 0Ar

si j0 ale solutiilor acestor ecuatii. Atunci exista o functie arbitrara Y, astfel nct: Y-= AA0

rr (4.93)

t0

Y+j=j (4.94)

Atunci se poate exprima cmpul cu ajutorul acelor noi potentiale:

( )=Y-== AAB rrr 00 BAA

rrr==Y-= (4.95)

( )

( ) EtA

tttA

tA

ttA

E 00

0

rrr

rr

r

=j-

-=

Y

-j-Y

+

-=

=

Y

+j-Y-

-=j-

-=

(4.96)

33

Transformarile (4.93) si (4.94) ale potentialelor electrodinamice se numesc transformari de etalon. Invarianta vectorilor E

r si B

r la transformarile de etalon ale

potentialelor electrodinamice impun o conditie suplimentara pentru acestea:

0t

A =j

em+r

(4.97)

numita conditie de etalonare Lorentz. nlocuind relatiile (4.93) si (4.94) n conditia de etalonare Lorentz, se obtin:

( )

Yem-DY-

j

em+=

Yem+

j

em+DY-

=

Y

+j

em+Y-=

jem+

2

2

2

2

00

ttA

ttA

ttA

tA

rr

rr

Cum nsa functia Y este arbitrara, o putem lua astfel nct:

2

2

t

Yem-DY = 0 (4.98)

ceea ce este echivalent cu conditia de etalonare Lorentz. Relatia (4.98) mai poate fi scrisa folosind operatorul dAlembertian aplicat unei functii scalare Y: Y = 0 (4.99) ceea ce este echivalent cu ecuatia omogena a undelor pentru functia Y. Aplicnd conditia de etalonare Lorentz n relatiile (4.91) si (4.92), se obtine: jA

rrm-= (4.100)

er

-=j (4.101)

care reprezinta ecuatii neomogene a undelor pentru potentialul vectorial Ar

, respectiv pentru potentialul scalar j. n domeniul cmpului care ocupa ntreg spatiul (t), solutiile acestor ecuatii pot fi puse sub forma:

( ) t

t

-

pm= d

rvr

t,rj

41

t,rA

rr

rr (4.102)

( ) t

t

-r

pe=j d

rvr

t,r

411

t,r

rr

(4.103)

unde r este distanta de la elementul dt pna la punctul de observatie, iar em

=1

v

este un termen avnd dimensiunile unei viteze. Potentialele A

rsi j pot fi astfel considerate ca fiind potentiale ntrziate si pun

n evidenta faptul ca n spatiul liber, cmpul electromagnetic se propaga din aproape

n aproape cu viteza em

=1

v .

34

PROBLEME 1. O unda electromagnetica plana cu lungimea de unda ?=3m se propaga n aer n directia Ox avnd amplitudinea cmpului electric (dupa axa Oy) de 300 V/m. Sa se determine: a) frecventa undei; b) amplitudinea si directia vectorului H

r; c) puterea

medie n timp pe unitatea de suprafata. Raspuns:

a) Hzc 810==l

n

b) mAzE

H /8,0== , em

=z fiind impedanta undei plane, care n cazul aerului

este z=377O

c) = SdYPrr

=> SP

Y = 2max 120

2 mWEH

Yx ==

unde S este componenta constanta n timp a vectorului Poyting. Unda se propaga dupa axa Ox, cmpul electric oscileaza dupa axa Oy, iar cmpul magnetic dupa axa Oz. 2. Lumina Soarelui ajunge cu intensitatea de 1,4 x 103 W/m2 la limita exterioara a atmosferei Pamntului. Sa se determine valorile maxime ale vectorilor E

r si H

r pentru

lumina solara, presupunnd ca este o unda electromagnetica plana. Raspuns: Valoarea 1,4 x 103 W/m2 reprezinta valoarea vectorului Poyting deoarece

= SdYPrr

. Rezulta ca 2max 120

2 mWEH

Yx == , cu valori maxime pentru cei trei vectori.

Tinnd cont ca zHE = , avem

mV

zYE 10272 ==

mA

zY

H 7,22

==

35

CAPITOLUL 5. TEORIA ELECTROMAGNETICA A LUMINII

Natura electromagnetica a luminii a fost intuita de catre Maxwell, fiind confirmata

ulterior de multe date experimentale, care arata ca undele luminoase sunt unde electromagnetice. Diversele domenii spectrale (vezi fig. 5.1.) apar pentru urmatoarele domenii ale lungimilor de unda:

n radiatiile ultraviolete l (100-4000) 0A

n lumina vizibila l (4000-7800) 0A

n radiatiile infrarosii l (7800-107) 0A , unde 1

0A =10-10 m

RADIATII TERMICE

RADIATII DE FRNARE

RADIATII HERTIENE

MICROUNDE

10-1

4

10-1

3

10-1

2

10-1

1

10-1

0

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

unde

mili

met

rice

unde

cen

timet

rice

unde

dec

imet

rice

unde

ultr

ascu

rte

unde

scu

rte

unde

med

ii un

de lu

ngi

mic

ro-

unde

unde

ra

dio

Lung

ime

de u

nda

l (m

)

radi

atii

g

ra

diat

ii X

ra

diat

ii u

ltrav

iole

te

radi

atii

vizi

bile

radi

atii

infr

aros

ii

regi

une

hert

iana

1023

1022

1021

1020

1019

1018

1017

1016

1015

1014

1013

1012

1011

1010

109

108

107

106

105

104

Fre

cven

ta n

(H

z)

RADIATII DE SINCROTON

Figura 5.1

36

5.1. POLARIZAREA LUMINII

Conform teoriei undelor electromagnetice a lui Maxwell, pentru medii fara distributii de sarcini si curente, ecuatiile undelor vectoriale sunt date de relatiile (4.65) si (4.66), iar conform relatiei (1.14) rezulta:

E= 0 (5.1)

Aceasta ecuatie admite solutii de forma undelor plane: Ex = Ex0 e i (wt - 2pz/l) Ey = Ey0 e i (wt - 2pz/l -j) (5.2) Ez = Ez0 e i (wt - 2pz/l - y)

unde Ex0, Ey0, Ez0 sunt amplitudini constante ale cmpului electric, iar j si y sunt factori de faza constanti.

Observatii:

1. Ecuatia 0E =

conduce la conditia 0z

Ez =

. Rezulta Ez = 0, ceea ce este n

concordanta cu caracterul transversal al undelor plane.

2. Rezultate similare se obtin si n cazul ecuatiei: 0H =

.

Figura 5.2

Modul de oscilatie al vectorilor E si

H pentru o astfel de unda este

determinat de o caracteristica a acesteia, numita stare de polarizare a undei. Undele luminoase, fiind unde electromagnetice, sunt unde vectoriale, plane, transversale, si deci n mod necesar polarizate.

a) Daca vectorii E si

H ai undei oscileaza fiecare permanent ntr-un plan bine definit,

unda este polarizata liniar. Planul n care oscileaza vectorul cmp electric se numeste plan de vibratie. Planul perpendicular pe planul de vibratie, n care oscileaza vectorul cmp magnetic, se numeste plan de polarizare.

b) Daca proiectia locului geometric al extremitatilor vectorilor E si

H pe un plan

perpendicular pe directia de propagare este o elipsa, unda este polarizata eliptic. Din compunerea componentelor cmpului electric (relatiile 5.2 cu conditia Ez = 0) rezulta ecuatia:

j=j-

+

20y

y

0x

x2

0y

y2

0x

x sincosE

E

EE

2E

E

EE

(5.3)

Aceasta ecuatie este a unei elipse, al carei sens de parcurgere poate fi spre dreapta sau spre stnga, astfel polarizarea se numeste dupa caz, polarizare eliptica dreapta sau polarizare eliptica stnga.

37

Daca j = 2pp, unde p = 0,1, 2, , ecuatia (5.3) devine:

0y

yp

0x

x

E

E)1(

EE

-= (5.4)

ceea ce reprezinta ecuatia unei drepte care trece prin origine, deci unda este polarizata liniar.

Daca 2

)1p2(p

+=j , unde p = 0, 1, 2, , si daca Ex0 = Ey0 = E0, ecuatia (5.3)

devine: Ex2+Ey2=E02 (5.5)

ceea ce reprezinta ecuatia unui cerc, deci unda este polarizata circular.

5.2. Reflexia si refractia luminii Daca o unda electromagnetica cade pe o suprafata de separatie dintre doua

medii cu proprietati optice diferite apar doua unde: o unda reflectata si o unda transmisa sau refractata.

5.2.1. Legea reflexiei si refractiei luminii Legile reflexiei si refractiei stabilesc corelatii cantitative pentru directiile de

propagare ale celor doua unde n raport cu unda incidenta. Fie o suprafata de separatie S ntre doua medii dielectrice, omogene, izotrope,

de permitivitati electrice relative e1 si e2 , permeabilitati magnetice relative m1 = m2 @ 1, n acest caz: 11n e= si 22n e= . Vitezele de propagare ale undelor luminoase n

cele doua medii sunt: 1

1 nc

v = si 2

2 nc

v =

Figura 5.3.

Se considera o unda luminoasa plana, liniar polarizata, incidenta pe suparafata

S (fig 5.3); N este normala la suprafata. Cele trei unde (incidenta I, reflectata R si transmisa T) sunt definite prin:

- vectorii cmp electric: E i =

E i0 exp[i(k

ri rr

- wit)] E r =

E r0 exp[i(k

rr rr

- wrt)] (5.6) E t =

E t0 exp[i(k

rt rr

- wtt)] -vectorii cmp magnetic:

H i = v1 i

ri x

E i

H r = v1 i

rr x

E r (5.7)

H t = v2 i

rt x

E t

38

unde: ir

i, ir

r si ir

t reprezinta versorii directiilor undelor incidenta, reflectata si respectiv transmisa.

Se defineste planul de incidenta ca fiind format de unda incidenta si normala (planul yOx din figura 5.3).

Orice unda plana, liniar polarizata dupa o directie oarecare, se poate descompune n doua componente, dupa directii perpendiculare: o unda n care

vectorul E oscileaza n planul de incidenta, numita unda paralela (

E p) si o unda n

care vectorul E oscileaza n planul perpendicular pe planul de incidenta numita unda

normala (E n).

Observatii: 1. Fenomenele de reflexie si refractie au loc independent pentru cele doua

tipuri de unde. 2. Pentru stabilirea legilor acestor fenomene trebuie aplicate conditiile de

continuitate pe suprafata de separatie pentru cele doua tipuri de unde.

Pentru componentele (incidenta, reflectata si transmisa) undei normale avem:

S=

S+ )E()EE(

tri nnn (5.8)

sau: E ni0 exp[i(k

ri rr

S - wit)] +E nr0 exp[i(k

rr rr

S - wrt)] =

=E nt0 exp[i(k

rt rr

S - wtt)] (5.9) unde r

rS este vectorul de pozitie al unui punct oarecare de pe suprafata S. Pentru ca

relatia (5.9) sa fie adevarata oricare ar fi rr

S si t, trebuie ca: kr

i rr

S - wit = kr

r rr

S - wrt = kr

t rr

S - wtt (5.10)

Cum vectorul de unda este:

w

=l

p

=lp

= iv

iT

t2

i2

k , rezulta din (5.10):

-w=

-w=

-w

S

S

S

tri

v1

triv1

triv1

t2

r1

i1

i tr(5.11)

de unde: wi = wr = wt = w (5.12)

Aceasta relatie reprezinta invarianta frecventei undelor n fenomenele de reflexie si refractie. Tot din relatia (5.11) rezulta:

S

S

S

== ri

vv

riri t2

1ri (5.13)

a) Daca se presupune ca punctul oarecare de pe suprafata S se gaseste pe axa Oy, rezulta:

0)r(i yi =S

(5.14)

Cum ir

i se gaseste n planul de incidenta, se obtine:

0)r(i)r(i ytyr ==S

S

(5.15)

Ecuatiile (5.14) si (5.15) exprima prima lege a reflexiei-refractiei: undele incidenta, reflectata si transmisa sunt coplanare.

39

b) Daca se presupune ca punctul oarecare de pe suprafata S se gaseste pe axa Ox, rezulta:

ir

i (Sr ) x = r S sin i

ir

r (Sr ) x = r S sin i' (5.16)

ir

t (Sr ) x = r S sin r

unde i, i', respectiv t reprezinta unghiurile dintre raza incidenta si normala, respectiv dintre reflectata si normala si dintre transmisa si normala (fig. 5.3). Din relatiile (5.6) rezulta: i = i'

nnn

vv

sinrsini

2

1

2

1 === (5.17)

Ecuatiile exprima a doua lege a reflexiei-refractiei: unghiul de incidenta este egal cu unghiul de reflexie, iar raportul sinusurilor unghiurilor de incidenta si de refractie este egal cu raportul dintre vitezele cu care se propaga undele incidenta si transmisa n mediile respective. 5.2.2 Formulele lui Fresnel

Formulele lui Fresnel stabilesc corelatii cantitative pentru amplitudinile celor doua unde (reflectata si transmisa) n raport cu unda incidenta. Pentru simplificarea calculului, se considera undele ca fiind de tip sinusoidal.

Componentele undei incidente sunt: Epi sin w( t -

1vr )

- paralele: Hpi sin w( t -

1vr )

(5.18)

Eni sin w( t -

1vr )

- normale: Hni sin w( t -

1vr )

(5.19)

Componentele undei reflectate sunt: Epr sin w( t -

1v'r )

- paralele: Hpr sin w( t -

1v'r )

(5.20)

Enr sin w( t -

1v'r )

- normale: Hnr sin w( t -

1v'r )

(5.21)

Componentele undei transmise sunt: Ept sin w( t -

1v"r )

- paralele: Hpt sin w( t -

1v"r )

(5.22)

Ent sin w( t -

1v"r )

- normale: Hnt sin w( t -

1v"r )

(5.23)

40

a) Cazul I Se studiaza reflexia si refractia unei unde electromagnetice care are numai

componenta paralela a cmpului electric (Er

p) n planul de incidenta. n aceasta situatie, vectorul cmp magnetic este perpendicular pe planul de incidenta (H

rn).

Figura 5.4

Considernd semnul plus n sensul de crestere a unei coordonate, razele

vectoare pentru vectorii cmp electric, respectiv magnetic sunt: r = y sin i - z cos i r' = y sin i + z cos i r " = y sin r - z cos r

Conform relatiilor (5.7) vom avea:

Hni = v1 Epi Hnr= v1 Epr (5.25) Hnt = v2 Ept

n aceste conditii rezulta: - componentele vectorului cmp electric pentru unda incidenta:

Ei x = 0

Ei y = Epi cos i sin w ( t - 1v

icoszisiny - ) (5.26)

Ei z = Epi sin i sin w ( t - 1v

icoszisiny - )

- componentele vectorului cmp magnetic pentru unda incidenta:

Hi x = Hni sin w ( t - 1v

icoszisiny - )

Hi y = 0 (5.27) Hi z = 0

- componentele vectorului cmp electric pentru unda reflectata: Er x = 0

Er y = - Ep r cos i sin w ( t - 1v

icoszisiny + ) (5.28)

Er z = Ep r sin i sin w ( t - 1v

icoszisiny + )

41

- componentele vectorului cmp magnetic pentru unda reflectata:

Hr x = Hnr sin w ( t - 1v

icoszisiny + )

Hr y = 0 (5.29) Hr z = 0

- componentele vectorului cmp electric pentru unda transmisa: Et x = 0

Et y = Ep t cos r sin w ( t - 2v

rcoszrsiny - ) (5.30)

Et z = Ep t sin r sin w ( t - 2v

rcoszrsiny - )

- componentele vectorului cmp magnetic pentru unda transmisa:

Ht x = Hn t sin w ( t - 2v

rcoszrsiny - )

Ht y = 0 (5.31) Ht z = 0

La trecerea dintr-un mediu n celalalt, componenta cmpului electric paralela cu suprafata de separatie ramne neschimbata. Atunci pentru z = 0:

Ei y + Er y = Et y (5.32) Hi x + Hr x = Ht x (5.33)

Se considera ca n1 = c/v1 si n2 = c/v2 ; de asemenea: Hin = me Eip = n1

0

0

m

e Eip. Cum

n1 sin i = n2 sin r, la z = 0 toate argumentele din paranteze sunt egale pentru toate componentele. Atunci:

Epi cos i sin w ( t - 1v

isiny )

- Ep r cos i sin w ( t - 1v

isiny ) =

= Ep t cos r sin w ( t - 2v

rsiny ) (5.34)

Hni sin w ( t -1v

isiny ) + Hnr sin w ( t -1v

isiny ) =

= Hn t sin w ( t -2v

rsiny ) (5.35)

Dar: 1v

isiny = 2v

rsiny (vezi relatia 5.17), deci argumentele functiilor sinus sunt egale.

Atunci relatiile (5.34) si (5.35) devin: (Ep i - Ep r) cos i = Ep t cos r (5.36) n1 (Ep i - Ep r) = n2 Ep t (5.37)

Din ultima relatie se obtine (conform 5.7 si 5.25): (Ep i + Ep r) sin i = Ep t sin r (5.38)

n acest caz, amplitudinile cmpului electric din raza reflectata si din cea transmisa, n raport cu cea din raza incidenta sunt:

Er p = Ei p )ri(tg)ri(tg

+- (5.39)

Et p = Ei p )ri(cos)ri(sin

rsinicos2-+

(5.40)

Ultimele doua relatii constituie formulele lui Fresnel pentru componenta paralela a cmpului electric ( E

rp ) n planul de incidenta.

42

b) Cazul II Se studiaza reflexia si refractia unei unde electromagnetice care are numai

componenta paralela a cmpului magnetic (Hr

p) n planul de incidenta. n aceasta situatie, vectorul cmp electric este perpendicular pe planul de incidenta (E

rn).

Figura 5.5

Relatiile (5.24) si (5.25) ramn valabile si n acest caz. n aceste conditii rezulta: - componentele vectorului cmp electric pentru unda incidenta:

Ei x = En i sin w ( t - 1v

icoszisiny - )

Ei y = 0 (5.41) Ei z = 0

- componentele vectorului cmp magnetic pentru unda incidenta: Hi x = 0

Hi y = -Hp i cos i sin w ( t - 1v

icoszisiny - ) (5.42)

Hi z = -Hp i sin i sin w ( t - 1v

icoszisiny - )

- componentele vectorului cmp electric pentru unda reflectata:

Er x = En r sin w ( t - 1v

icoszisiny + )

Er y = 0 (5.43) Er z = 0

- componentele vectorului cmp magnetic pentru unda reflectata: Hr x = 0