Fizica starii solide II -...

Fizica starii solide II

In acest curs ne vom concentra asupra transportului electronilor in materiale cristaline.

Fenomenele de transport (sau cinetice) reprezinta deplasarea ordonata a purtatorilor de sarcina

ca raspuns la aplicarea unui camp electric E (conductie electrica), la aplicarea unui camp

magnetic B (efectul Hall) sau a unui gradient de temperatura T∇ (efectul Seebeck).

Toate informatiile legate de transportul unui sistem de sarcini electrice se regasesc in

functia de distributie , care reprezinta probabilitatea ca o particula cu vectorul de

unda k sa ocupe pozitia r la momentul t. Din functia de distributie se pot obtine marimi

mediate cum ar fi curentul electric, mobilitatea, etc.

),,( tf rk

Pana acum la cursul de Fizica starii condensate s-a folosit functia Fermi-Dirac

]/)exp[(11)(0 TkEE

EfBF−+

=k

k (1)

care reprezinta functia de distributie a purtatorilor de sarcina cu energia in

echilibru cu mediul inconjurator. Aceasta functie de distributie nu este potrivita pentru

studiul unui sistem de purtatori de sarcina in prezenta campurilor externe sau a gradientului de

temperatura deoarece acest sistem nu mai este in echilibru. In general, in starea de neechilibru

functia de distributie depinde nu doar de k ci si de coordonatele spatiale si timp,

modificarile putand fi datorate

kk EE =)(

),,( tf rk

1) unui gradient spatial al temperaturii/distributiei de electroni care duce la variatia

numarului de particule din elementul de volum dr in jurul pozitiei r. In acest caz

variatia in timp a functiei de distributie a electronilor cu viteza v in cristal este data de

Transport electric. Ecuatia cinetica Boltzmann 2

),,()(1),,()(),,(),,( tfEtfvtfdtd

ttf krkkrrkrrkr

rkrr ∇⋅∇=∇⋅=∇⋅=∂

∂h

(2)

2) acceleratiei in prezenta campurilor externe, care duce la cresterea impulsului

particulelor cu kd pornind de la valoarea k. In prezenta unei forte aplicate F,

Fdt/ si variatia in timp a functiei de distributie este data de kp == ddtd / h

),,(),,(),,( tftfdtd

ttf krFkrkkr

kk ∇⋅=∇⋅=∂

∂h

(3)

Daca aplicam simultan un camp electric E si unul magnetic B, . )( BvEF ×+−= e

3) absorbtiei optica, ionizarii de impact, etc. care duc la variatia in timp a numarului de

purtatori datorita proceselor de generare si recombinare. In acest caz

),,(),,( tRtGdtdf krkr −= (4)

4) imprastierilor/ciocnirilor cu fononii, impuritatile sau defectelor in reteaua cristalina

care duc la variatia numarului de particule care au un anumit k. Tinand cont de

principiul Pauli pe care il satisfac starile electronice cuantice, variatia numarului de

electroni in starea/cu vector de unda k in urma imprastierilor in starea 'k duce la o

variatie a functiei de distributie

ctf

dtdf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= . (5)

In absenta proceselor de imprastiere si a generarii/recombinarii de purtatori

0=∇⋅+∇⋅+∂∂

=∇⋅+∇⋅+∂∂

= fftff

dtdf

dtd

tf

dtdf

krkrFvkrh

(6)

deoarece numarul particulelor care urmeaza o anumita traiectorie in spatiul fazelor (r,k) este

conservat.


Observatie: traiectoria unei particule

in spatiul fazelor, in prezenta unui

camp electric Ex si in tratarea

semiclasica (Teorema Ehrenfest:

evolutia centrului unui pachet de unde

cuantic poate fi determinata de

traiectoria unei particule clasice

corespunzatoare) este data de

formulele din figura din dreapta.

In prezenta ciocnirilor, functia de distributie de neechilibru se gaseste din ecuatia

cinetica sau ecuatia de transport Boltzmann

ctfff

tf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∇⋅+∇⋅+∂∂

krFvh

. (7)

In particular, in stare stationara, cand functia de distributie este independenta de timp,

, si in prezenta doar a fortei Lorentz 0/ =∂∂ tf )( BvEF ×+−= e , ecuatia cinetica

Boltzmann devine

ctffef ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∇⋅×+−∇⋅ kr BvEv )(h

. (8)

Pentru a gasi functia de distributie din ecuatia Boltzmann este necesar sa

cunoastem explicit termenul de ciocniri din partea dreapta. Aceasta este o problema dificila,

care poate fi simplificata prin introducerea timpului de relaxare

),,( tf rk

)(kτ , care descrie revenirea

la echilibru a functiei de distributie cand actiunea campurilor externe este intrerupta:


)(0

kτff

tf

c

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (9)

sau

)](/exp[)( 000 kτtffff t −−=− = . (10)

Timpul de relaxare este deci intervalul in care abaterea functiei de distributie de la valoarea ei

la echilibru scade de e ori dupa ce campurile externe sunt indepartate. Introducerea timpului

de relaxare este posibila daca

• procesele de ciocnire sunt elastice (energia purtatorilor de sarcina nu se modifica la

imprastiere)

• ciocnirile sunt independente (nu exista interferenta a starilor electronice)

• ciocnirile sunt instantanee (timpul de ciocnire se poate neglija)

• campurile externe nu modifica spectrul energetic al electronilor din cristal; aceasta

conditie interzice, de exemplu, campuri magnetice intense, care ar duce la cuantizarea

nivelelor energetice ale electronului.

Natura cuantica a electronilor este aparenta doar in termenul de ciocnire, via principiul

Pauli pe care il satisfac starile electronice cuantice. Presupunand ca spinul electronului nu se

modifica in urma imprastierii, o luare in considerare detaliata a numarului de electroni in

starea/cu vector de unda k si a celor in starea ne conduce la termenul de ciocnire 'k

∑ −−∑ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

k'k'kkkkkkkk )]'(1)[()',()](1)['(),'( ffPffP

tf

c (11)


unde este probabilitatea de tranzitie electronica pe unitatea de timp din starea k in

starea . S-a considerat ca imprastierile de pe starea k ocupata cu probabilitatea pe

starea libera [cu probabilitatea

)',( kkP

'k )(kf

'k )'(1 kf− ] duc la descresterea functiei de distributie, pe

cand imprastierile de pe starea ocupata cu probabilitatea pe starea k libera [cu

probabilitatea ] duc la cresterea functiei de distributie.

'k )'(kf

)(1 kf−

La echilibru

)]'(1)[()',()](1)['(),'( 0000 kkkkkkkk ffPffP −=− . (12)

Consideram doar functii de distributie care pot fi aproximate ca perturbatii ale , deci

care pot fi exprimate ca

0f

)()()( 10 kk k fEff += , cu

)()()( 00

1 kkk

kχk EfEdEdff <<⋅−= , (13)

unde este o functie vectoriala, necunoscuta in acest moment (are forme specifice

pentru diferite procese de imprastiere). In aceste conditii termenul de ciocnire devine

)( kχ E

]')()([)](1)[()',(1)]'(1)[(

)]'(1)[()](1)['(

)](1)['()]'(1)[()',(

''00

000000

kχkχkk

kkkk

kkkkkkkk

kkk'

kk

k'

⋅−⋅∑ −−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−

∑ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

EEEfEfPTk

ffff

ffffffP

tf

B

c (14)

daca se retin doar termenii liniari in si daca se foloseste identitatea 1f

[ ] )](1)[(1

002/)(

/)(0 EfEf

e

edEdfTk

TkEE

TkEEB

BF

BF

−=+

=−−

−. (15)

In acest caz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

−∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=kkkk

kk k

k

k' k

k

)(')(1

)(1)(1)',(

)(1

)(1 '

0

'0

1 EE

EfEfP

tf

f c χχ

τ, (16)


sau ∑ −=k'

kkk )/'1)(',()(/1 χχτ kkP pentru ciocniri elastice, in care . Aici ,

sunt proiectiile lui k, pe vectorul χ. Calculul timpului de relaxare se poate efectua pentru

diferite mecanisme de imprastiere, dependenta de temperatura si energie a acestui parametru

putand fi in general exprimata ca

'kk EE = χ'k χk

'k

rETAE )()( =τ , (17)

unde este un coeficient independent de energie, si r este specific fiecarui tip de

ciocnire:

)(TA

2/3=r pentru ciocniri cu fononi acustici in metale,

2/1−=r pentru acelasi mecanism dar in semiconductori,

2/1=r pentru ciocniri cu fononi optici in semiconductori polari la temperaturi ridicate,

0=r pentru ciocniri cu impuritati neutre in metale,

2/3=r pentru ciocniri cu impuritati ionizate in semiconductori.

Daca mai multe mecanisme de imprastiere coexista,

∑=i i EE )(

1)(

1ττ

. (18)

Conductivitatea electrica De la cursul de electricitate stim ca proprietatile de transport ale unui material macroscopic

omogen cu lungime L si arie transversala A sunt caracterizate de rezistivitate ρ (sau

conductivitate σ), determinate din masuratori de rezistenta R (sau conductivitate G), astfel

incat, cel putin pentru tensiuni aplicate V mici, curentul I este proportional cu V (legea Ohm):

RIV = (sau ) cu GVI = ALR /ρ= (sau LAG /σ= ).


La aplicarea unui camp electric pe directia x

LV

dxdVEx −=−= (19)

electronii au o miscare aleatoare, cu o tendinta de deplasare neta pe directia campului electric

aplicat, forta asupra unui electron fiind xx eEF −= , si viteza medie avand expresia

xnd Ev μ−= , cu nμ mobilitatea electronilor. Acest tip de miscare este numit drift, viteza

medie fiind numita viteza de drift. Semnul „minus” in definitia mobilitatii indica faptul ca

deplasarea electronilor este opusa directiei campului electric aplicat.

In miscarea de drift a electronilor cu densitate n, densitatea curentului pe directia x,

, este data de AIjx /=

nnxnxndx neEEnenevj μσσμ =→==−= (20)

In prezenta unui gradient de densitate a electronilor datorat doparii neuniforme, care

duce la un gradient a cvasi-nivelului Fermi Fn, apare o contributie a difuziei la densitatea de

curent care, in apropiere de echilibru si la temperatura constanta, este

dxedFj n

nx/σ= (21)

astfel incat densitatea totala de curent devine

dxdneDEnej nxnx += μ (22)

cu eTkD B

nn μ= coeficientul de difuzie.

Similar, in prezenta unui gradient de temperatura pe directia x avem o contributie

aditionala la curent datorata coeficientului Seebeck :

dxdTSj nx σ−=

(23) unde S este coeficientul Seebeck.


In acest curs vom incerca sa gasim dependenta conductivitatii (sau a rezistivitatii) de

temperatura pentru diverse tipuri de materiale (metale, semiconductori, materiale pure,

impurificate, etc.). In acest fel, putem extrage informatii despre diverse materiale din

masuratori electrice facute la diferite temperaturi.

In general, conductivitatea electrica a unui cristal este caracterizata de un tensor σ̂ :

Ej σ̂= , (24)

sau, pe componente μ, ν = x, y, z

∑=ν

νμνμ σ Ej . (25)

Intr-un solid izotrop conductivitatea electrica este un parametru scalar si Ej σ= . Pe de alta

parte, pentru , densitatea curentului electric, definita ca , cu n

concentratia electronilor care participa la conductie, se gaseste estimand starile electronice

ocupate pe unitate de volum:

)()()( 10 kk k fEff += vj ne−=

kkvkkvkvkvjkkk

dfedfVVef

Vefe

V∫∑∑∑ −=−=−=−= )(

4)(

)2(2)(2)(1

13131, ππσ

(26)

In ecuatia (26) suma dupa numarul cunatic de spin σ, care ia doua valori (spin sus si jos),

aduce un factor 2, iar suma dupa vectorii k din prima zona Brillouin se poate transforma intr-o

integrala avand in vedere ca intr-un cristal finit cu volum V, in volumul din

spatiul k exista o singura stare permisa (vezi cursul de solid). Rezultatul final in (26) se

gaseste observand ca functia de distributie la echilibru nu aduce nici o contributie la

suma pe valorile pozitive si negative ale lui k din expresia lui j deoarece , ca si ,

este o functie para de k, in timp ce este o functie impara de k.

Vd /)2( 3π=k

)(0 kEf

)(0 kEf kE

Ekv ∇= −1h

Termenul de perturbatie a functiei de distributie de echilibru, , care intervine in

expresia densitatii de curent (26) se determina din ecuatia cinetica Boltzmann. In particular, in

conditii stationare pentru care

)(1 kf

0/ =∂∂ tf , daca nu exista gradient de temperatura sau densitate

de purtatori de sarcina, deci daca 0=∇ fr , si se aplica doar un camp electric E, ecuatia

cinetica Boltzmann (7) se poate scrie ca


0)()(1

10 =+∇⋅−∇⋅−kkEE kk τ

ffefehh

. (27)

Al doilea termen poate fi neglijat pentru campuri electrice mici, unde doar efectele liniare in

E sunt luate in considerare, caz in care conductivitatea electrica este independenta de campul

electric. Deoarece f0 depinde doar de E, deci EdEdff kk ∇⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∇ 0

0 , din ecuatia de mai sus

rezulta

dEdfe

dEdfEef

0

011

)(

)()(

vEk

Ekk k

⋅=

∇⋅= −

τ

τ h

(28)

astfel incat tensorul conductivitatii electrice se poate exprima ca

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= kk dvv

dEdfe

νμμν τπ

σ )(4

03

2

. (29)

In cristale izotrope, pentru un camp electric aplicat pe directia x, conductivitatea este scalara:

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−== kk dv

dEdfe

xxx20

3

2

)(4

τπ

σσ . (30)

Pentru suprafete izo-energetice sferice, unde , mkE 2/22h=k mkv /μμ h= , cu m masa

efectiva a electronului, si in coordonate sferice cu θ unghiul polar si ϕ cel azimutal avem

ϕθ cossinkk x = , ϕθ sinsinkk y = , θcoskk z = , , si ϕθθ dddkkd sin2=k

∫∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==

max

min

4022

222

0

2

0

34023

22)(

3cossin)(

4

k

kxx dkk

dEdf

medddkk

dEdf

me kk τ

πϕϕθθτ

πσσ

ππ hh .

(31)

In ecuatia de mai sus am folosit faptul ca πϕϕϕϕππ

=+= ∫∫2

0

2

0

2 )2cos1(21cos dd ,

34)1()(cos)cos1()(cossinsin

1

1

2

0

2

0

2

0

3 =−=−−=−= ∫∫∫∫−

dxxdddπππ

θθθθθθ .


Deoarece si pentru ca timpul de

relaxare depinde de energie, astfel incat media sa statistica se defineste ca

52/32/3234 /)2()()2/1( hdEmEmkdkdkk ==

∫

∫∞

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⟩⟨

0

2/30

0

2/30 )()(

dEEdEdf

dEEEdEdf

Eτ

τ , (32)

conductivitatea electrica devine

⟩⟨= )(2

Em

ne τσ . (33)

In (33) am folosit faptul ca pentru metale, la echilibru, concentratia de electroni se scrie

∫∫

∫∫∑∑

∞∞∞

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+−=

+−====

0

2/3032

2/3

0

2/30

0

2/3

32

2/3

0

2/1

32

2/3003,

0

3)2(

32

1]/)exp[(32

2)2(

1]/)exp[(2)2()()(2)(

)2(2)(1

dEEdEdfmdEE

dEdf

TkEEEm

TkEEdEEmdEEDEfdEfV

VEf

Vn

BF

BF

hh

h

ππ

ππσk

kk

(34)

unde si pentru suprafete izo-energetice sferice

densitatea de stari este

dEEDEfdEf ∫∑ =− )()())(()2( 003 kk

kπ

32

2/12/3

3 4)2(

||)2(1)(

hππEm

EdSED

constE∫

==

∇=

k

(vezi cursul de solid). Relatii similare se obtin pentru toate axele principale ale unui cristal cu

suprafete izo-energetice eliptice.

Relatia intre conductivitatea electrica si mobilitate in aproximatia timpului de relaxare

este deci

μσ ne= , adica m

Ee ⟩⟨=

)(τμ . (35)

In cristale anizotrope mobilitatea si conductivitatea electrica sunt tensori.

Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati

Imprastierea purtatorilor de sarcina (electroni sau goluri) pe impuritati este elastica, adica

pentru ca )'()( kk EE ≅

1) masa efectiva a electronilor sau golurilor, pnm , , este mult mai mica decat masa

impuritatilor, iM

2) ionii/atomii de impuritate sunt mult mai putin mobili decat purtatorii de sarcina liberi

astfel incat pot fi considerati statici

k

k’

Mi

Datorita 2) aproximatia timpului de relaxare este pe deplin justificata. Vom considera

timpul de relaxare, in conditiile in care se poate trece de la suma pe k in prima zona Brillouin,

adica (vezi formula (16) din capitolul precedent si discutiile care

urmeaza):

∫∑ → kk dV ])2(/[ 3π

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= '

'1)',(

)2()(1

3 kkkk χ

χ dkk

PVπτ

(1)

In continuare, presupun ca potentialul perturbator al ionului de impuritate poate fi

aproximat ca sferic-simetric, astfel incat pot exprima probabilitatea de imprastiere in cristal,

pe unitatea de timp printr-un produs de probabilitati:

)()',()',( 21 θPkkPP =kk (2)

unde este probabilitatea radiala de imprastiere a electronilor sau golurilor si )',(1 kkP )(2 θP

este probabilitatea unghiulara, care depinde de unghiul θ intre k si . 'k

Pentru imprastierile elastice consideram , astfel incat )'()2()',( 31 kkkkP −= δπ

Imprastierea purtatorilor de sarcina pe impuritati 2

1')'(')',()2(

100

13 =∫ −=∫∞∞

dkkkdkkkP δπ

(3)

adica, imprastierea in toate starile k’ este un eveniment cert.

Pentru a calcula timpul de relaxare, alegem vectorul k ca axa polara in spatiul iar

ca vector variabil. Atunci

'k

'k k

χ k’

θ

α β

ϕ

k'k Ω== dkddkd 22 'sin'' ϕθθ , (4)

cu ϕθθ ddd sin=Ωk' unghiul solid pe directia lui . 'k

Considerand geometria din figura din dreapta, avem egalitatea

ϕβθβθα cossinsincoscoscos += (5)

astfel incat

)cossintan(cos'coscos''

ϕθβθβα

+==kk

kk

kk

χ

χ (6)

si, deoarece , timpul de relaxare se poate exprima ca 0cos2

0=∫

πϕϕd

k

k

Ω−=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

∫

∫∫ ∫

dPkV

dPkVkkkkk

kkPddkV

)cos1)((

sin)cos1()(2cos'1)'(''sin)('2)(

1

22

02

22

02

θθ

θθθθπθδθθθπτ

ππ

(7)

Imprastierea unor particule care, in urma ciocnirii, se abat sub diferite unghiuri de la

directia de miscare initiala se poate caracteriza prin sectiunea diferentiala de imprastiere

)(θσ

timpacelasiinariedeunitateapenormalincidenteparticulenr.solidunghiulinunghiulcudeviateparticulenr.)( Ω

=Ωdd θ

θσ (8)


Presupunem ca in cristalul cu volum V exista un centru de imprastiere si un numar

de electroni (n este densitatea electronilor) care se misca in toate directiile cu viteza .

Fluxul de electroni care loveste acest centru de imprastiere in unitatea de timp (1 s) este

, astfel incat numarul total de electroni imprastiati in unitatea de timp sub unghiul θ, in

elementul de unghi solid Ωd ste

nV )(kv

)(knVv

k e kk ΩdnVv )()( σ θ . Daca exista N centri de imprastiere

independenti in unitatea de volum a cristalului, numarul total de electroni imprastiati in

unitatea de timp sub unghiul θ, in elementul de unghi solid

i

kΩd este

kk ΩdvnVNi )()(2 θσ . (9)

Deoarece acest numar poate fi exprimat si ca , obtinem kΩdkPnV 22

2 )(θ

θθθθσπθθστ

πdvNdvN ii sin)cos1()()(2)cos1)(()(

)(1

0−∫=Ω∫ −= kk

k k (10)

Introducand sectiunea eficace de transport prin

θθθθσπσ dc sin)cos1()(2 −∫= , (11)

timpul de relaxare are forma

cii vN σ

τ)(

1)(k

k = (12)

In cazul interactiei de tip Coulomb intre electroni si impuritatile ionizate, integrala dupa θ din

expresia sectiunii eficace de transport este divergenta din punct de vedere matematic pentru θ

= 0 pentru ca potentialul Coulomb descreste slab cu distanta si ∞→cσ . Din punct de vedere

experimental insa sectiunea eficace de transport este intotdeauna finita! Din acest motiv, in

general, integrala se face de la minθ la π, unde minθ este determinat de particularitatile

problemei studiate.


Imprastierea pe impuritati ionizate – tratare clasica

Ionii de impuritate, in numar , creaza in jurul lor un camp electric, sub actiunea caruia

purtatorii de sarcina in miscare spre centrul de imprastiere se abat de la directia initiala.

Abaterea este cu atat mai mare cu cat viteza purtatorilor de sarcina este mai mica si directia de

miscare este mai apropiata de impuritatea ionizata.

iN

+

electron hole

b b

θ -

k

k’ k

k’

Daca modelam purtatorii de sarcina ca particule clasice in campul Coulombian al

ionilor de impuritate de sarcina plasati intr-un mediu cu permitivitate relativa Ze rε , energia

potentiala de interactiune este

rZeV

r

14

)(0

2

επε±=r (13)

unde semnul negativ (pozitiv) corespunde electronilor (golurilor).

Notand cu b distanta minima intre ion si purtatorul de sarcina si cu θ unghiul de

imprastiere intre directia initiala si cea finala a purtatorului de sarcina, din calculul

imprastierii in camp Coulombian (vezi box) stim ca traiectoria purtatorilor de sarcina cu masa

efectiva m si viteza initiala v este hiperbolica, cu

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2cot

4 20

2 θεπε mv

Zebr

(14)

Demonstratia relatiei (14)

Daca centrul de imprastiere ramane imobil, impulsul si energia cinetica a electronului incident

raman neschimbate: , cu v modulul vitezei particulei incidente. mvfi == |||| pp


Din geometria de imprastiere reprezentata in figura de mai sus, notand if ppp −=Δ ,

obtinem

)2/sin(2 θmvp =Δ (15)

Notand cu φ unghiul intre si forta pΔ 30

2

4)(

rZe

r

rrFεπε

= intre electron si centrul de

imprastiere la un anumit moment, parametru ce variaza intre 2/)( θπ −− pentru particula

incidenta la distanta mare si 2/)( θπ − pentru particula imprastiata la distanta mare, avem

∫=Δ dtFp (16)

adica, deoarece componenta F pe directia pΔ este φcosF ,

φφ

φφθθπ

θπd

ddtFdtFmv ∫=∫=

−

−−

2/)(

2/)(coscos)2/sin(2 (17)

Tinand cont de conservarea impulsului unghiular vrL m×= la imprastiere, care ia valoarea

mvb la ±∞=r si ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dtdrrm φ la r finit, adica mvbr

dtdm =2φ , obtinem

)2/cos(2

sin4

1cos4

)2/sin(20

22/)(

2/)(0

22/)(

2/)(0

2θ

επεφ

επεφφ

επεθ θπ

θπ

θπ

θπ vbZe

vbZed

vbZemv

rrr==∫= −

−−

−

−− (18)

Din aceasta expresie rezulta ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2cot

4 20

2 θεπε mv

Zebr


In calculul timpului de relaxare τ se considera valoarea mediata dupa unghiul θ a sectiunii

diferentiale de imprastiere σ. Datorita simetriei axiale fata de centrul de imprastiere,

reprezentata in figura de mai jos, purtatorii de sarcina pentru care unghiul de imprastiere

variaza de la θ la θθ d+ se afla in unghul solid θθπ dd sin2=Ω si sunt incidenti la o

distanta intre b si . dbb +

Intr-un cristal cu volum V si concentratie n de purtatori de sarcina, numarul total de particule

deviate in unitate de timp in unghiul solid Ωd este egal cu fluxul de particule incidente pe

inelul de arie ||2 dbbdS π= , astfel incat (se ia pentru ca || db θd > 0 corespunde la < 0 si

vice-versa)

db

||2timpacelasiinariedeunitateapenormalincidenteparticulenr.

solidunghiulinunghiulcudeviateparticulenr.)( dbbnVv

nVvdSdd πθθσ ==Ω

=Ω

(19) Deoarece

θθεπε

dmv

Zedbr )2/(sin

18

|| 220

2= , (20)

avem

)2/(sin1

8sin||||2)( 4

2

20

2

θεπεθθπθσ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

Ω=

mvZe

ddbb

ddbb

r (21)


expresie cunoscuta si ca factorul lui Rutherford, obtinuta initial la imprastierea particulelor α

pe nucleele elementelor atomice.

In formula sectiunii eficace de transport, θθθθσπσ dc sin)cos1()(2 −∫= , integrala

devine divergenta daca limita inferioara de integrare este aleasa 0=θ , motiv pentru care

aceasta limita se alege ca fiind minθ , unghi de imprastiere ce corespunde la un care se

determina folosind faptul ca, pentru ioni de impuritate cu concentratia distribuiti uniform

in cristal, distanta medie intre ioni este . Considerand ca sfera de actiune a fiecarui

centru de imprastiere poate fi limitata la jumatate din distanta dintre ei, definesc

, astfel incat

maxb

iN

3/1−iN

3/1max )2/1( −= iNb

3/12

20

max2

20min 24

2cot

i

rr

NZemvb

Zemv επεεπεθ

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (22)

Deoarece

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=∫−

2sinln4

22

sin

2cos

8)2/(sin

2sin

2cos

2sin4

)2/(sinsin)cos1( min2

4

2

4minminmin

θθθ

θ

θθ

θθθ

θθ

θθ π

θ

π

θ

π

θddd

(23) (exprim rezultatul in functie de sin2 pentru ca sin poate fi si negativ!) obtinem

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−∫=

2

3/12

20

2

20

2

min2

2

20

2

21ln81

)2/(sin1ln

88sin)cos1()(2

min

i

r

r

rc

NZemv

mvZe

mvZed

επεεεπ

θεπεπθθθθσπσ

π

θ (24)

si deci

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==2

3/12

2042

3220

2

21ln

)(8)(

1)(

i

ri

r

cii

NZemvNeZ

vmvN

επε

εεπσ

τk

kk (25)


Aceasta expresie a timpului de relaxare este cunoscuta si ca formula Conwell-Weisskopf.

Pentru suprafete izoenergetice sferice, pentru care mEv /2= , avem

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

3/12042

2/3220

2/12/9

41ln

2)(

i

ri

ri

NZeENeZ

EmE

επε

εεπτ (26)

Pentru ca logaritmul din expresia de mai sus variaza lent cu energia, obtinem

2/32/3)()( EAETAE iii ≅≅τ (27)

ultima egalitate fiind satisfacuta deoarece factorul independent de energie, , depinde

foarte slab de temperatura, prin dependenta de T a masei efective a purtatorilor de sarcina.

)(TAi

Expresia timpului de relaxare indica faptul ca imprastierea pe impuritatile ionizate este

un proces ce dureaza cu atat mai mult cu cat energia purtatorilor de sarcina este mai mare.

Trebuie remarcat ca expresia timpului de relaxare obtinuta mai sus nu este valabila pentru

energii mici deoarece, daca , 0→E xx ≅+ )1ln( si

2/1

3/12 −= E

Nm

ii

πτ (28)

Timpul de relaxare la imprastierea pe atomii impuritatilor neutre

Imprastierea pe atomii impuritatilor neutre este un proces important la temperaturi joase, cand

impuritatile sunt doar partial ionizate. Acest mecanism de imprastiere se poate realiza fie prin

ciocnire elastica directa, fie prin schimbul dintre electronul incident cu un electron al atomului

de impuritate. Calculul timpului de relaxare, si in special calculul sectiunii eficace de

transport este dificil de obtinut in acest caz, dar putem estima timpul de relaxare din

imprastierea electronilor lenti pe atomul de hidrogen. Se obtine astfel formula Erginsoy

const.8020

)( 30

22≅==

nrBni

Nem

aNmE

hh επετ (29)

unde este concentratia atomilor de impuritati neutre si este raza

Bohr efectiva.

nN 220 /4 mea rB hεπε=


Imprastiere pe impuritati ionizate – tratare cuantica

Presupunem ca interactia elastica/Hamiltonianul de interactie intre electronii cu

masa efectiva m si impuritatile ionizate se poate exprima printr-un potential Coulomb ecranat:

ieH −

rrZerV

r

)exp(4

)(0

2 αεπε

−= (30)

unde α/1 este lungimea de ecranare, adica distanta pana la care potentialul scade de e ori.

Pentru a afla timpul de relaxare trebuie sa gasim intai probabilitatea de tranzitie

datorita imprastierii pe o impuritate ionizata

)(||)(|'|2)(|||'|2)',( '2

'2

kkkk kkkkkk EErVEEHP ie −⟩⟨=−⟩⟨= − δπδπhh

(31)

care exprima conservarea energiei la imprastierea elastica prin functia δ. In (31) s-a presupus

ca spinul electronilor nu se modifica in urma imprastierii, caz in care si reprezinta

starea cuantica a unui electron cu vector de unda k si, respectiv, .

⟩k| ⟩'| k

'k

Pentru fermioni, in cuantificarea a doua intre doua stari uniparticula cu acelasi spin,

elementul de matrice al oricarui operator in reprezentarea configuratiilor este ),(ˆ rr ∇− hiO

qrkrk rrrqrrrrkk OdiOiV

diOO =∇−⋅=∇−=⟩⟨ ∫∫ ),(ˆ)exp(1)(),(ˆ)(|ˆ|' *' hh ψψ (32)

unde s-au considerat functii de tip unda plana )exp()( 2/1 rkrk ⋅= − iVψ , cu , si s-a

notat cu transformata Fourier a operatorului .

'kkq −=

rrrq rq diOiVO ),(ˆ)exp(1 ∇−∫ ⋅= − h ),(ˆ rr ∇− hiO

In cazul potentialului Coulombian ecranat, , iar daca θ este

unghiul polar intre q si r, obtinem

qkkkk VVrV ==⟩⟨ − '|)(ˆ|'

220

21

10

2

2cos

0

2

0

2

1)exp(24

sin44

)(1

αεεαπ

επε

ϕθθεπεεπε

αθα

+=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

===

∫

∫∫∫

−

−−⋅⋅

qVZerdrre

iqrVZe

drddrr

eV

Zedr

eV

ZedrVeV

V

r

iqrx

r

riqr

r

ri

r

i rrrq

rqq

(33)


Observatie

Expresia (32) a elementului de matrice al unui operator oarecare O poate fi obtinuta si in ˆ

reprezentarea numerelor de ocupare a acestui operator:

kqkqk

qkkkk

kk ccOccOO +−

+ ∑∑ =⟩⟨=,

','

|ˆ|'ˆ (34)

unde si sunt operatorii de anihilare si, respectiv, creare a unui fermion cu vectorul de kc +kc

una k. Aceasta reprezentare, aplicata potentialului Coulombian ecranat, are ca rezultat

qkkkstskts

tststs

t kkkk VVccVccVV ==⟩⟨=⟩⟨=⟩⟨ −+−

+− ∑∑ ''

,,1||1||'|ˆ|' , (35)

daca starile si sunt identificate cu starile uniparticula si, respectiv, , in ⟩k| ⟩'| k ⟩k1| ⟩'1| k

care numarul electronilor este explicit indicat.

In cazul in care concentratia centrilor de imprastiere ionizati este si acestia produc

evenimente de imprastiere independente, probabilitatea totala de imprastiere se inmulteste cu

numarul centrilor de imprastiere din cristal, egal cu , si avem

iN

VNi

)('

1||2'1)',(

)(1

''

2'

'kk

χ

χ

kkk

χ

χ

kkk

kEE

kk

VVNkk

PVN ii −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑= − δπ

τ h (36)

Trecand de la suma la integrala, alegand vectorii k, k’ si χ ca in cursul precedent, cu θ unghiul

intre k si k’, si tinand cont de faptul ca obtinem πϕπ

22

0=∫ d

'')(sincos'1])'[(

1)2(

4)(

1 2'222

2'

' 0 0

2

3

2 max

min

dkkEEdkk

VZeVVN k

k r

i

ikk

kkk−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−∫ ∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= θδθθ

αεεππ

τ

π

h

(37)

Pentru o relatie de dispersie parabolica: , cu ,

si folosind egalitatea , adica ,

mkE 2/22h=k222 'cos'2)'( kkkk +−=− θkk

)(||)( 1 xaax δδ −= )'()/2()]')(2/[( 222222 kkmkkm −=− δδ hh


( ) θθθαθεεπτ

πd

kkZemN

r

i

isincos1

])cos1(2[42

)(1

0222

2

0

2

3−∫

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hk (38)

Schimband variabila x=− θcos1 , avem

∫+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

0 222

2

0

2

3 ])/2(2[2

42

)(1

αεεπτ xmExdxmEZemN

E r

i

i hhh)(

2 2/3220

2/9

42η

εεπF

EmNeZ

r

i= , (39)

unde

∫+

=2

0 2)/2()( dx

xxF

ηη (40)

este functia Brooks-Herring cu . 22/8 hαη mE=

Deoarece, in urma integrarii prin parti obtinem

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0 22ln

/2/2/2)/2()( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+−=

++

+−=

+= ∫∫

ηηηηηη x

xx

xdx

xx

xxdxF

ηηη+

−+=1

)1ln( ,

(41)

rezulta ca, in general, pentru 1>>η (conditie satisfacuta in majoritatea cazurilor de interes),

1ln)( −≅ ηηF este o functie cu variatie lenta cu energia.

Timpul de relaxare, dat de formula Brooks-Herring

)(

2)(

42

2/3220

2/9

η

εεπτ

FNeZ

EmE

i

ri = (42)

are astfel o dependenta a timpului de relaxare de energie similara cu cea din cazul clasic:

2/3EAii ≅τ (43)


Pe de alta parte, la energii mici, daca 1<<η ,

2)/2()(

22

0 2η

ηη ∫ =≅

xdxF (44)

si

2/1−≅ EAiiτ (45)

expresie care este de asemenea in concordanta cu rezultatul clasic.

Faptul ca s-a obtinut aceeasi dependenta de energie in cazul clasic si cuantic se

datoreaza faptului ca interactiunea de tip Coulomb are raza lunga de actiune, astfel incat

aproximatia clasica poate fi justificata. Acesta nu este insa cazul in alte tipuri de imprastieri,

asa cum vom vedea in capitolele care urmeaza.

Imprastierea electronilor pe fononi acustici in cristale nepolare

Interactiunea electron-fonon in cristale nepolare

Prin fononi intelegem cvasiparticulele/cuantele oscilatiilor retelei cristaline compuse din ioni

(nuclee inconjurate doar de electronii de valenta de pe nivelele energetice inferioare).

Cristalele nepolare sunt cele cu legaturi covalente sau de tip van der Waals, in care nu exista

dipoli permanenti asociati atomilor diferiti din baza. In acest caz, intalnit in metale sau in unii

semiconductori, reteaua cristalina este formata din ioni cu sarcina pozitiva, electronii de

conductie cu sarcina negativa de pe nivelele energetice superioare miscandu-se (cvasi)liber in

material, deoarece sunt mai slab legati de nuclee decat electronii de valenta.

Intr-un cristal constand dintr-un numar N de ioni cu sarcina pozitiva, cu mase si

situati in pozitii , α = 1,..,N, inconjurati de si in interactiune cu electroni de conductie

cu mase m si plasati in pozitiile , i = 1,.., , Hamiltonianul total este

αM

αR elN

ir elN

∑∑∑∑∑ −+−+−+∇−+∇−=

++++=

≠≠

−

αα

βαβα

βαα

αα ,,,

22

22

)()(21)(

21

22 iiion

jiji

jieli

i

ionelionelionel

VUUMm

VVVTTH

RrRRrrhh (1)

unde primii doi termeni reprezinta energiile cinetice ale sistemului de electroni si ioni,

urmatorii doi interactiile electron-electron si ion-ion, interactiunea (imprastierea) electron-

fonon fiind descrisa de termenul

∑ −=−α

α,

)(i

ife VH Rr (2)

Deoarece deplasarile ionilor din pozitiile de echilibru sunt mici, astfel incat

, cu , putem dezvolta in serie Taylor potentialul de interactie:

0αR

ααα uRR += 0 0|| αα Ru <<

αα α

α

αα u

RRrRr ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

−∂+−≅ ∑∑−

0,,

0 )()(i

i

iife

VVH (3)

Primul termen din partea dreapta se include sub forma de energie potentiala in Hamiltonianul

sistemului de electroni, in aproximatia adiabatica, si da nastere benzilor de energie datorita

Imprastierea electronilor pe fononi 2

periodicitatii. In procesul de imprastiere a electronilor pe fononi intervine doar termenul al

doilea din partea dreapta.

In aproximatia ionului rigid (modelul Nordheim), se presupune ca interactia

electron-fonon nu depinde de pozitia ionului: , astfel incat

Hamiltonianul interactiei devine

)()( 0αα RrRr −≅− ii VV

αα α

α uRrRr

⋅∑−∂

−∂−=−

, 0

0

)()(

i i

ife

VH (4)

Deoarece este o functie periodica, se poate descompune in serie Fourier: )( 0αRr −iV

)](exp[)( 00

αα RrtRrt

t −⋅∑=− ii iVV (5)

unde este transformata Fourier a potentialului de interactie. tV

Pentru un cristal din N ioni cu aceeasi masa M si cu s atomi in baza, deplasarile

normale corespunzand oscilatiilor cu frecvente λλ ωω ,)( qq = sunt

)exp( 0

,,

, αλλ

λα Rqeu qq

q ⋅∑= iA (6)

unde λ este indicele de polarizare, q este vectorul de unda al fononilor si si sunt

amplitudinea si directia de oscilatie (una longitudinala si doua transversale) a modului fononic

indexat de q,λ. In acest caz

λ,qA λ,qe

)exp()](exp[ 0

,,,,,,

0αλλ

λαα RqeRrtt qq

qtt ⋅∑ −⋅−=− iAiViH

iife (7)

Tinand seama de faptul ca in prima zona Brillouin avem

tqRtq ,0 ])(exp[1 δ

αα =∑ ⋅−i

N (8)

obtinem urmatoarea expresie pentru Hamiltonianul de interactiune electron-fonon:

∑ ⋅⋅∑−=⋅∑−=−i

iii

fe iiAVNiAViNH )exp()()exp( ,,,

,,,,

rqqerqeq qqq

qqqq

q λλλ

λλλ

(9)


Demonstratia relatiei (8)

Pentru stq =− , care este un vector din prima zona Brillouin, cu componente

)/(2 iiii aNps π= pe directia i = x,y,z pe care avem celule si numere intregi, si pentru iN ip

vectori din reteaua directa , cu intregi, 3322110 aaaR mmm ++=α im

0,0,11 1)/2exp(

1)2exp()/2exp(2exp1)exp(1ii

i

i

i

isp

ii

i

i

iiN

m i

ii

i

N

miii

i Npipi

NNpi

Nmpi

Namis

Nδδ

ππππ

==−

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑==

(10)

In continuare, consideram, ca si pana acum, imprastierea pe oscilatiile retelei a unui

singur electron in pozitia r, cu vector de unda initial k si vector de unda in urma

imprastierii, astfel incat spinul electronului sa nu se modifice ca rezultat al imprastierii. In

acest caz suma dupa i din (9) se inlocuieste cu operatorul

'k

)exp(ˆ rq ⋅= iO kkkk

krqk cci +⟩⋅⟨= ∑ '',

|)exp(|' (11)

in cuantificarea a doua, unde si c sunt operatori de creare si, respectiv, de anihilare a

electronilor. In plus, se inlocuieste amplitudinea oscilatiilor normale cu operatorul

+c

)ˆˆ(2

1ˆ,

,,

,,

+−+∑= λ

λλ

λλ ω q

qq

qaa

NMAq

h (12)

exprimat in functie de operatorii de creare si anihilare a fononilor. Deoarece numarul

fononilor in starea initiala si finala a sistemului electron+fonon se modifica, dupa cum vom

vedea in continuare, este necesara exprimarea operatorilor in functie de operatori de creare si

anihilare.

Justificarea relatiei (12)

Amplitudinile oscilatiilor normale de tipul nu descriu deplasari )exp( 0,

,, αλ

λλα Rqeu q

qq ⋅∑= iA

reale in cristale finite; doar suprapuneri de unde plane reflectate de marginile cristalului duc la

deplasari reale. De exemplu, o solutie poate fi


)]exp()exp([ 0*,

*,

0,

,, αλλαλ

λλα RqeRqeu qqq

qq ⋅−+⋅∑= iAiA (13)

Daca se inlocuiesc si cu operatori de anihilare si creare a oscilatiilor retelei cu λ,qA *

,λqA

vector de unda k si polarizare λ, si presupunem ca , obtinem *,, λλ qq ee =

)ˆˆ)(exp(2

1

)]exp(ˆ)exp(ˆ[2

1ˆ

,,

,0

,,

0,

,

0,,

,

+−

+

+∑ ⋅=

⋅−+∑ ⋅=

λλ

λαλλ

αλλ

αλλλ

α

ω

ω

qq

qqq

qq

qqq

Rq

RqRq

aaieNM

iaiaeNM

u

h

h

(14)

Cu aceste substitutii, expresia Hamiltonianul de interactie electron-fonon devine

kkkk

qqq

qq krqkqe cciaaiVMNH

qfe

++−− ∑ ⟩⋅⟨+∑ ⋅−= '

',,,

,,

,|)exp(|'))((

2 λλλ

λλω

h (15)

Aceasta formula se poate simplifica pentru functii Bloch )(rkψ , care satisfac relatia

)()exp()( rRkRr kk ψψ αα ⋅=+ i , deoarece, in urma definirii variabilei pe celula

elementara, astfel incat , si in urma sumarii dupa toate celulele elementare de

volum Ω folosind relatia (8), obtinem

cr

αRrr += c

∫∑ ∫

∫

Ω+

Ω⋅=⋅⋅⋅−=

⋅=⟩⋅⟨

cccccccc diNdiii

dii

rrrqrrRkrrqRkr

rrrqrkrqk

kkqkkkk

kk

)()exp()()exp()()exp()'exp()(

)()exp()(|)exp(|'*

','*

'

*'

ψψδψψ

ψψ

ααα

(16) Din aceasta expresie rezulta ca 0|)exp(|' ≠⟩⋅⟨ krqk i doar daca qkk +=' . Rezultate similare

pentru arata ca interactiunea electron-fonon are loc cu conservarea cvasi-

impulsului total:

)exp( rq ⋅−i

qkk hhh ±=' (17)

semnul pozitiv (negativ) corespunzand procesului de anihilare/absorbtie (creare/emisie) a unui

fonon cu vector de unda q in urma imprastierii.

In urma imprastierii pe fononi si energia se conserva:


λω ,' qh±= EE (18) Daca nu ne limitam la prima zona Brillouin, conservarea cvasi-impulsului se scrie

Kqkk hhhh +±=' (19)

cu K un vector al retelei reciproce, expresie ce descrie anihilarea sau crearea unui fonon

simultan cu reflexia Bragg pe marginile primei zone Brillouin, ultimul proces implicand

transmisia unei parti a cvasi-impulsului intregii retele cristaline. Acest tip de procese se

numesc „U” (Umklapp, sau de rasturnare) pe cand cele in care legea de conservare este (17)

sunt procese „N” (normale).

In final, interactiunea electron-fonon cu anihilare de fononi (similar, si pentru procesul

cu creare de fononi) se poate exprima prin Hamiltonianul

kqkqqqk

q k ccaaFH fe+

++−− +∑= ))(( ,,

,,, λλ

λλ (20)

unde elementul de matrice este

⟩⋅+⟨⋅−= krqqkqek qqq |)exp(|)(2

)( ,,

, iiVMNF

qλ

λλ ω

h (21)

Factorul , care se anuleaza pentru oscilatii transversale, arata ca interactiunea

electron-fonon are loc doar pentru oscilatii/fononi longitudinali.

)( , qeq i⋅λ

In deducerea Hamiltonianului nu s-a tinut cont de interactiunea dintre electroni,

care ecraneaza interactia electron-fonon. Pentru a tine cont de acest efect, care apare in special

in metale, unde numarul elecronilor de conductie este mare, aproximam ecranarea cu un

potential exterior static si exprimam efectul acesteia prin introducerea unui element de

matrice al interactiunii efective

feH −

)()(

)( ,, q

kk q

q ελ

λF

F ef = (22)

unde )(qε este functia dielectrica statica. Hamiltonianul interactiunii ecranate devine

kqkqqq

q k ccaaFHk

efeffe

++

+−− +∑= ))(( ,,

,,, λλ

λλ (23)


astfel incat Hamiltonianul total al sistemului de electroni si fononi in interactiune poate fi

scris sub forma unui Hamiltonian Fröhlich

kqkqqq

qqqq

qk

kkk k ccaaFaaccEHk

ef ++

+−

++ +∑+∑+∑= ))(( ,,,,

,,,,

, λλλ

λλλλ

λωh (24)

in care primul si al doilea termen din partea dreapta descriu un sistem de electroni si,

respectiv, fononi liberi in cuantificarea a doua.

Calculul permitivitatii electrice ε(q)

Daca intr-un punct al unui sistem de electroni liberi exista o neomogenitate in distributia

sarcinii (surplus de sarcina pozitiva), electronii tind sa se aglomereze in aceasta regiune si

ecraneaza astfel influenta sarcinii suplimentare, restabilind neutralitatea electrica in jurul

neomogenitatii. Ecranarea este statica (ca in cazul nostru) daca sarcina pozitiva este fixa sau

dinamica daca este mobila. Daca sarcina pozitiva punctuala Q se considera in originea

sistemului de coordonate, un electron la distanta mare simte atat sarcina Q cat si sarcina de

polarizare indusa )(rneδ− , cu )(rnδ variatia concentratiei electronilor datorata sarcinii Q.

In cazul metalelor, relatia dintre concentratia electronilor si energia Fermi, dedusa la

cursul de solid: , este valabila local, energia Fermi putand varia 322/32/3 3/)2( hπFEmn = FE

spatial datorita introducerii sarcinii pozitive; mai precis, se modifica cu , ultimul FE )(reV

parametru fiind obtinut din ecuatia Poisson

)]()([)( 10

2 rrr neQV δδε −−=∇ − . (25)

Daca )()( 0 rr nnn δ+= este concentratia electronilor in urma redistribuirii acestora, fiind 0n

concentratia lor in absenta sarcinii Q, si daca notam cu energia Fermi in )()( 0 rr eVEE FF +=

prezenta Q ( fiind valoarea acestui parametru in absenta Q) astfel incat , 0FE 0)( FEeV <<r

00

2/3

000

0)(

231)(1)()]([)()(

FFFF

EeVn

EeVnEnEnnnn rrrrr ≅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−=−=δ . (26)

Cu aceasta valoare a )(rnδ ecuatia Poisson


00

2

0

02 )()(23

εδ

εrr QV

Een

F

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇ (27)

se rezolva usor trecand la transformata Fourier, cu ajutorul relatiilor

)exp()( rqr

qq ⋅∑= iVV , ∑ ⋅=

qrqr )exp()( iδ (28)

Solutia este

)(23 22

00

2

0

020

αεε

ε+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=q

Q

Eenq

QV

F

q (29)

unde 0

2

0

0

23

FEen

εα = este raza de ecranare Thomas-Fermi, ceea ce corespunde unui potential

Coulomb ecranat (vezi capitolul precedent)

rrQV )exp(

4)(

0

απε

−=r (30)

Alternativ, putem caracteriza ecranarea cu functia dielectrica )(qε care este o masura a

slabirii potentialului sarcinii externe. Daca in absenta ecranarii si in prezenta ei 20

0 / qQV ε=q

)(/0 qqq εVV = , avem

20

2

0

020

2

0

02

2 1231

2311)(

qEen

qEen

q FF εεαε ≅+=+=q (31)

ultima egalitate avand loc pentru un sistem de electroni puternic degenerat (cu mare, ca in 0n

metale)

Pentru a calcula elementul de matrice al interactiunii ecranate dintre electroni si fononi

longitudinali, putem renunta la indicele λ deoarece consideram doar fononi longitudinali, si

scriem si iqi =⋅ qeq λ, qωω λ =,q . Daca interactiunea dintre electroni cu sarcina si fononi

intr-un cristal cu ioni de sarcina asezati in punctele retelei Bravais este pur Coulombiana,

transformata Fourier a potentialului de interactiune este

e−

Ze


02

2

εVqZeV −=q . (32)

In acest caz, notand elementul de matrice in (16) cu

γ=⟩⋅+⟨ krqqk |)exp(| i (33)

obtinem

qMN

VqZeiqF

ωγ

ε 202

2 h=q , =efFq

q

F

q MNiqD

neqE

MN

VqZeiq

ωε

ωγ

ε 232

2 20

20

02

2 hh= (34)

cu , . NnV = 0)3/2( FEZD γ=

Observatie

Daca in loc de functii Bloch in (16), se folosesc unde plane )exp()( 2/1 rkrk ⋅≅ − iVψ , ceea ce

implica inlocuirea aranjamentului periodic de ioni in cristal cu un fond omogen de sarcina

pozitiva, obtinem pentru elementul de matrice ∫ ⋅=⟩⋅⟨ rrrqrkrqk kk dii )()exp()(|)exp(|' *' ψψ

qkkrrkrqrk +− =⋅⋅⋅−= ∫ ,'

1 )exp()exp()'exp( δdiiiV , adica 1|)exp(| =⟩⋅+⟨ krqqk i

Deoarece , Hamiltonianul interactiunii electron-fonon ecranate devine efef FF qq −=*)(

])([ *

,kqkqqkqkq

qkq ccaFccaFH efefef

fe+

−++

+− += ∑ (35)

relatie care se poate interpreta ca imprastiere in timpul careia electronul cu vector de unda k

trece intr-o stare cu vector de unda qkk ±=' , procesul fiind insotit de absorbtia (primul

termen) sau emisia (al doilea termen) fononilor cu vector de unda q.

Probabilitatea de tranzitie a electronului din starea initiala in care exista un singur

electron si un numar de fononi: qn ⟩⟩=⟩ kq 1||| ni , in starea finala ⟩⟩=⟩ '1|'|| kqnf este deci

)(||||2),( 2if

effe EEiHffiP −⟩⟨= − δπ

h, (36)


cu qqk nEEi ωh+= , qqk '' nEE f ωh+= .

Elementul de matrice al Hamiltonianului se poate scrie

]1||1||')(1||1||'[|| '*

',

⟩⟩⟨⟨+⟩⟩⟨⟨∑=⟩⟨ +−

+++− kstskqtqtkstskqtq

stt ccnanFccnanFiHf efefef

fe

(37) si, deoarece

1,',||' −=⟩⟨ qqqtqqtq nnnnan δδ , 1,',1||' ++ +=⟩⟨ qqqtqqtq nnnnan δδ (38a)

kstskkstsk ,,'' 1||1 δδ +++ =⟩⟨ cc , (38b) kstskkstsk ,,'' 1||1 δδ −

+− =⟩⟨ cc

obtinem

qkkqtqkkqq qqqq −++−− ++=⟩⟨ ,'1,'

*,'1,' 1)(|| δδδδ nn

efnn

efeffe nFnFiHf (39)

In ecuatiile de mai sus s-au folosit relatiile specifice operatorilor de creare si anihilare:

⟩++=⟩+ 1|1| nnna , ⟩−=⟩ 1|| nnna , unde , . ijji aa δ=+ ],[ 0],[],[ == ++jiji aaaa

Rezultatul obtinut tinand cont si de conservarea energiei, scrisa sub forma

)]''([ ' qqqkk nnEE −+− ωδ h , este ca probabilitatea de tranzitie din starea initiala in cea finala

contine doi termeni, care corespund proceselor insotite de absorbtie si emisie de fononi:

),(),(),( qkkqkk −++= emabs PPfiP (40a)

)(||2),( 2qkqkqqqkk ωδπ

hh

−−=+ + EEnFP efabs (40b)

)()1(||2),( 2qkqkqqqkk ωδπ

hh

+−+=− − EEnFP efem (40c)

Timpul de relaxare la imprastierea pe fononi acustici

In cristale nepolare imprastierea are loc in special pe

fononi acustici, proces care este insotit de o modificare

mult mai mica a energiei electronilor fata de imprastierea

de fononi optici (vezi relatiile de dispersie caracteristice

acestor fononi in figura din dreapta).


Ca si probabilitatile de tranzitie, si timpul de relaxare la imprastierea pe fononi acustici

contine doi termeni, corespunzand absorbtiei si emisiei de fononi:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

−⋅−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−∑ −+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

+⋅+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−∑ +=

kχqkχ

qkk

kχqkχ

qkkk

qq

q

qq

q

)()()(

1)(1

)(1),(

)()()(

1)(1

)(1),(

)(1

0

0

0

0

EE

EfEf

P

EE

EfEf

P

em

abs

ac

ωω

ωωτ

hh

hh

(41)

In cazul fononilor acustici qvac=qω , si pentru o lege de dispersie parabolica pentru

electroni, legea de conservare a energiei devine k

χ q

θ

α β

ϕ

qvmm ach

hh±=

±22

)( 2222 kqk (42)

sau, notand θ unghiul dintre k si q,

hm /2cos2 acmvkq ±= θ . (43)

Din , pentru valori tipice = 2⋅103 m/s, obtinem o temperatura

caracteristica a fononilor acustici = 1 K, ceea ce inseamna ca pentru temperaturi mult mai

mari decat aceasta valoare energia fononului acustic poate fi neglijata fata de energia

electronului, astfel incat

2/2acacB mvTk = acv

acT

)()( EqvE ac χχ ≅± h si putem considera imprastierea ca fiind

practic elastica: )()( 00 EfqvEf ac ≅± h

χ

χ

qχ

χ

qqkkqkk

k kq

Pkq

P emabs

ac∑ −+∑ +−= ),(),(

)(1

τ (44)

Neglijand energia fononului acustic si in functiile delta din expresiile probabilitatilor

de tranzitie:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±≅−± θδδ cos

2)( 2 k

qkqh

mqvEE achmkqk (45)

si folosind faptul ca =efqF

qMNiqD

ω2h , obtinem


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=± θδπ cos

221

21),( 2

2,

kqn

kMNvmDP

ac

emabs mh

qqkk (46)

Trecand de la suma la integrala dupa q in expresia timpului de relaxare

( ) si folosind faptul ca in geometria de mai sus, similar cu cazul

imprastierii pe impuritati ionizate, ,

∑ ∫→q qdV ])2/([ 3π

ϕθθ ddqd sin2=q ϕβθβθα cossinsincoscoscos += ,

)cossintan(coscoscos ϕθβθ

βα

+==kq

kq

kq

χ

χ (47)

si, deoarece , 0cos2

0=∫

πϕϕd

⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∫∫= θδθδθθθ

πτ

πcos

2)1(cos

2cossin

4)(1

0

322

2 max

min kqn

kqnddqq

kMNvmVD

k qqq

qacac h

(48)

Folosind in integrala dupa θ functia delta, obtinem

)]1([8)(

1 max

min

432

2++∫

Ω= qq

q

qacacnndqq

kMvmD

k hπτ (49)

cu Ω volumul celulei elementare. Limita inferioara de integrare este, de obicei, , iar

cea superioara este (din (43)), daca acesta valoare este mai mica decat limita

impusa de frecventa Debye

0min =q

kq 2max =

3 2 /6/ VNvq acDD πω == , si Dqq =max in caz contrar.

Pentru un gaz de fononi in echilibru termodinamic,

1)/exp(10

−=≅

Tkqvnn

Bacqq

h,

1)/exp()/exp(1−

=+Tkqv

TkqvnBac

Bacq

h

h . (50)


1) Metale

In cazul metalelor, deoarece electronii care participa la conductie sunt in imediata vecinatate a

nivelului Fermi ( ), considerand o lege de dispersie parabolica, obtinem FEE ≅ h/2mEk =

h/2 FmE≅ = 108 cm–1 pentru = 4 eV si FE 0mm ≅ , in timp ce 3 26 nqD π= = 8⋅107 cm–1

pentru o concentratie a ionilor n = 1022 cm–3, astfel incat Dqq =max . Introducand notatia

timpul de relaxare este dat de Tkqvx Bac /h=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

Θ=

TI

ETC

ED

D

m

ac 2/35

5

)(1

τ (51)

unde este temperatura Debye, BDacD kqv /h=Θ

ac

Dm

vmM

qDC

π2/9

52

2

Ω=

h, ∫=

−+

∫=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ ΘΘ TTD DD

dxxxxxdxx

TI

/

0

4/

0

4 )2/coth(1)exp(1)exp( (52)

a) temperaturi inalte ( TD <<Θ , 1)exp( <<x ):

4/

0

3/

0

4

212

1)1(2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

=∫=∫−+

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ ΘΘ

Tdxxdx

xx

TI DTTD DD

2/312/32)( ETETC

Em

Dac

−≈Θ

=τ (53)

b) temperaturi joase ( TD >>Θ ): .const)( ==∞≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ bI

TI D

2/352/35

5)( ETE

bTCE

m

Dac

−≈Θ

=τ (54)

2) Semiconductori

In semiconductori energia electronilor poate fi aproximata cu energia termica astfel incat, la T

= 300 K si pentru 0mm ≅ , hh /2/2 TmkmEk B≅= = 5⋅106 cm–1, in timp ce are

aproximativ aceeasi valoare ca si in cazul precedent: 8⋅107 cm–1. In consecinta si,

facand schimbarea de variabila , obtinem

Dq

kq 2max =

Tkqvx Bac /h=


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=Tk

kvIkv

TkCk B

ac

ac

Bs

ac

h

h

22)(

1 5

τ, (55)

cu

2

224hacMvkmDC

πΩ

= (56)

Deoarece in acest caz (am vazut anterior ca energia fononilor acustici corespunde unei

temperaturi de 1 K), avem

1<<x42

212

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Tkkv

TkkvI

B

ac

B

ac hh

kTkmDMvk

B

acac

12)( 2

32

Ω=

hπτ (57)

relatie care, pentru o lege de dispersie parabolica devine

2/112/12/32

422)( −−− ≈Ω

= ETETkmD

MvEB

acac

hπτ (58)

Observatie: Timpul de relaxare pe fononi optici in cristale nepolare poate fi calculat similar,

folosind relatia de dispersie specifica. Acest mecanism, care nu mai poate fi aproximat cu un

proces elastic, devine semnificativ in conditii de temperaturi ridicate sau in cazul excitarii

optice sau electrice a materialului, situatie in care energia electronilor creste mult peste

valoarea la echilibru.


Imprastierea electronilor pe fononi optici in cristale polare

Interactiunea electron-fonon optic

In cristale polare, cu legatura ionica sau partial ionica, imprastierea electronilor pe fononi

optici este mai puternica decat cea pe fononi acustici deoarece in timpul oscilatiilor ionilor cu

polaritati diferite se formeaza un moment de dipol electric in fiecare celula, cu care electronii

interactioneaza Coulombian. Exemple de cristale polare sunt cristalele ionice, izolatoare din

punct de vedere electric, dar si semiconductori polari, cum ar fi compusii AIII-BV.

Si in acest caz putem folosi aproximatia ionului rigid (modelul Nordheim), potentialul

Coulombian referindu-se la sarcinile efective Q asociate ionilor:

||4)( 0

0

0±

±±

−=−

αα

πε RrRr

jj

eQV m (59)

Hamiltonianul de interactiunii a electronului cu cele doua tipuri de ioni este

∑∑⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−

−

−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−∂

−∂+

−∂

−∂−= −

−

−+

+

+−

−

−+

+

+

−α

αα

αα

α

α

αα

α

αα

α

α

πεu

RrRru

RrRru

RrRru

RrRr

30

0

30

0

00

0

0

0

||||4)()(

)()( eQVVH fe

(60)

unde deplasarile de la pozitiile de echilibru pentru oscilatiile normale ale retelei sunt

)exp(1 0,

,,

±±

±

± ⋅∑= αλλ

λα Rqeu qq

q iANM

(61)

astfel incat, modeland perechile de ioni adiacenti ca dipoli ale caror momente se anuleaza in

starea de echilibru, cand , obtinem −+ = 00αα RR

)(||4 30

0

0∑ −

−

−−= −+

+

+

−α

ααα

α

πεuu

RrRreQH fe (62)

unde

)( −+ −= ααα uuM Q (63)

este momentul de dipol. Polarizarea se defineste ca momentul de dipol pe unitatea de volum a

celulei elementare: Ω= /αMP .


Trebuie observat ca, desi in cristalele ionice exista sarcini localizate pozitive si

negative asociate ionilor in stare de echilibru, acestea nu contribuie la interactiunea electron-

fonon, ci determina structura de benzi a cristalului. In nu intervin decat deplasarile de la

pozitiile de echilibru. In acest sens momentele dipolare ale ionilor adiacenti se anuleaza la

echilibru!

αM

Tinand cont de faptul ca pentru oscilatii optice (vezi cursul de solid)

0,, =+ −−

++ λλ qq ee MM (64)

alegem vectorii de polarizare

λλ ,, ˆqq ee−+

±

+±=

MMM m (65)

cu un versor de polarizare, astfel incat, in termenii unei mase reduse definite prin λ,ˆqe

−++=

MMM r

111 (66)

si renuntand la indicele + in expresia Hamiltonianului, obtinem

αα α

α

πεu

RrRr ~

||4 30

0

0∑

−

−−=−

eQH fe (67)

unde

)exp(ˆ1~ 0,

,, αλ

λλα Rqeu

qq ⋅∑= iA

NMq

r (68)

este o deplasare de tipul (61) in care apare masa relativa in locul masei ionilor.

Hamiltonianul de interactie (67) este acelasi cu cel din cazul imprastierii electronilor

pe fononi acustici daca masa ionului M este inlocuita cu si daca sarcina pozitiva este

inlocuita cu Q. Ca urmare, transformata Fourier a potentialului de interactiune se scrie

rM Ze

02εVq

eQV −=q (69)


si in elementul de matrice al interactiunii electron-fonon nu se ia in considerare ecranarea

datorita electronilor, care este neglijabila in acest caz deoarece electronii sunt mult mai putin

mobili. In consecinta

qrMN

VqeQiF

ωε 20

h=q (70)

iar probabilitatea de tranzitie pe unitatea de timp cu absorbtia sau emisia unui fonon optic este

)(21

21||2),( 2,

qkqkqqkk ωδπhmm

hEEnFP q

emabs −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=± ± (71)

Sarcina Q este determinata de diferenta dintre sarcinile nucleelor si ale electronilor cat

si de deformarea sarcinii electronice ca rezultat al momentelor de dipol care se formeaza, si

poate fi in general legata de permitivitatea mediului polarizabil. Mai precis, daca se aplica un

camp electric exterior polarizarea totala va fi o suma a polarizarii P produsa de oscilatiile

retelei si polarizarea a paturilor electronice: elP

eltot PPP += (72)

Tinand cont de legatura dintre inductia electrica D si : totP

EPED εε =+= tot0 (73)

rezulta

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−=−=r

rtot ε

εεεε 10

0 DDDEDP , (74)

o relatie similara existand intre si permitivitatea optica relativa: elP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=r

rel ε

ε~

1~DP (75)

In consecinta,


DPPP ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

rreltot εε

1~1 (76)

Deoarece polarizarea unei perechi de ioni cu sarcina Q si masa redusa poate fi dedusa si

din conditia de egalitate a fortei externe in vid

rM

0/εDEF QQext == cu forta reactiva a

oscilatiilor retelei, , obtinem )(2 −+ −= ααω uuF optrreact M

DuuPΩ

=−Ω

= −+2

0

2)(

optrMQQ

ωεαα (77)

sau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Ω=

rroptrMQ

εεωε 1

~12

02 (78)

adica

220

22 1

~1

2||

VqC

qV

eF opt

rr

optq

ωεεε

ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

h (79)

Timpul de relaxare la imprastierea pe fononi optici

Introducerea unui timp de relaxare la imprastierea electronilor pe fononi optici longitudinali

cu frecventa optω nu este in general justificata deoarece imprastierea nu poate fi considerata

elastica sau cvasielastica, dar in cazul temperaturilor inalte si joase introducerea acestui

parametru este posibila.

Legea de conservare a energiei pentru un electron cu masa efectiva m este

optmk

mωhhh

±=±

22)( 2222 qk (80)

sau, daca θ este unghiul dintre k si q,

0cos2

222=± optm

kqmq ωθ hm

hh (81)


Rezolvand aceasta ecuatie in raport cu q obtinem doua solutii corespunzatoare procesele de

absorbtie si emisie de fononi, pe care le notam si respectiv : 1q 2q

222

1 coscos ηθθ +±−= kkq (de fapt, doar 2221 coscos ηθθ ++−= kkq ) (82a)

2222 coscos ηθθ −±= kkq (de fapt, doar 222

2 coscos ηθθ ++= kkq ) (82b)

unde 222 22

hh

h optBopt mkm Θ==

ωη . In realitate doar solutiile pozitive (cele din parenteze) sunt

relevante, deoarece ne referim la modulul vectorului de unda pentru fononi.

a) Temperaturi inalte: , optT Θ>> η>>k , astfel incat atat pentru emisia cat si pentru

absorbtia fononului avem , 0min =q kq 2max = . In acest regim de temperatura imprastierea

poate fi considerata elastica, astfel incat

χ

χ

qχ

χ

qqkkqkk

k kq

Pkq

P emabs

opt∑ −+∑ +−= ),(),(

)(1

τ (83)

cu

)(21

21||2),( 2,

optqemabs EEnFP ωδπ

hmmh

kqkqqkk −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=± ± , (84)

)cossintan(cos ϕθβθ +=kq

kq

χ

χ (85)

si in functiile delta putem neglija energia fononului optic:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±≅−± θδωδ cos

2)( 2 k

qkqh

mEE opthmkqk (86)

Trecand de la suma la integrala in expresia timpului de relaxare, ca si in cazul fononilor

acustici

∫ +=kopt

optdqnq

k

mC 2

033 )12(

4)(1

qk hπ

ωτ

(87)

unde, la temperaturi ridicate putem aproxima numarul fononilor cu


11)/(1

11)/exp(

1>>

Θ==

−+≅

−=

optopt

B

BoptBoptq

TTkTkTk

nωωω hhh

(88)

Rezultatul este

opt

optk

opt

opt

opt

Tk

mCqdqT

k

mCΘ

=∫Θ

= 3

2

033

24)(

1hh π

ω

π

ωτ k

, (89)

2/112/122/12)( ETE

TmCE opt

optopt

−∝Θ

=ω

πτ h (90)

b) Temperaturi joase: , optT Θ<< η<<k . In acest caz imprastierea este inelastica,

introducerea timpului de relaxare nefiind posibila. Dar, daca optBTk ωh<< majoritatea

electronilor pot doar absoarbe fononi, proces in care electronii capata o energie situata intre

optωh si optωh2 . In urma absorbtiei, electronul emite un fonon deoarece raportul dintre

probabilitatea de emisie si absorbtie este foarte mare. Acest raport este dat de

1exp1

>>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

+Tkn

n

B

optωh

q

q (91)

pentru ca variatia energiei unui electron in urma absorbtiei si emisiei imediate a unui fonon

optic este foarte mica, fiind determinata doar de variatia slaba a frecventei fononului optic cu

q, imprastierea poate fi considerata elastica. (Variatia cvasi-impulsului electronului este foarte

mare in urma imprastierii!).

In calculul timpului de relaxare se iau in

considerare insa doar procesele asociate cu absorbtia

fononului (vezi figura din dreapta), descrise prin

probabilitatea de tranzitie

)(||2),( 2optq

abs EEnFP ωδπh

h−−=+ + kqkqqkk

E ωopt (92) cu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=−−+ θηδηθδωδ cos

22cos

2)(

22

2

22222

kqq

kqm

mmkq

mqEE opt

h

hhhhkqk (93)


iar limitele de integrare sunt

)0(22

min =−+= θη kkq (94a)

)(22max πθη =++= kkq (94b)

Procedand ca si in cazurile de mai sus, cu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Θ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

TTkn opt

B

opt expexpωh

q

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

++

−+Θ−=

∫−

=++

−+

ηη

ηηη

ηη

π

ω

ηπ

ωτ

η

η

kk

kkkkT

k

mC

dqq

qnk

mC

optopt

kk

kk

opt

opt

2

2

2

2

22

2

33

22

33

1

1ln12)/exp(

4

4)(1

22

22

h

hqk

(95)

Pentru η<<k , 2

2

2

2

2111

ηηkk

+≅+ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±≅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛±+ 3

3

2

2

611ln

ηηηηkkkk , termenul din

paranteza mare este si )/)(3/4( 3 ηk

)/exp(3)(

13 T

mCopt

opt

optΘ−=

ηπ

ωτ hk

(96)

)/exp()/exp(3)(3

TTmC

E optoptopt

opt Θ∝Θ=ω

ηπτ h (97)

La temperaturi joase timpul de relaxare la imprastierea electronilor pe fononi optici in cristale

polare este independent de energia electronilor!

Observatie: In cristale polare piezoelectrice (in general compusi AIIBVI) imprastierea pe

fononi acustici este comparabila cu cea pe fononi optici deoarece oscilatiile acustice cu

lungime de unda mare produc forte elastice insotite de polarizarea electrica a cristalului. In

acest caz, la imprastierea pe fononi acustici, (ca la imprastierea pe fononi

optici in cristale polare nepiezoelectrice), iar la imprastierea pe fononi optici la temperaturi

joase, , ca in cristale polare nepiezoelectrice.

2/11ETpiezoac

−∝τ

)/exp( Toptpiezoopt Θ∝τ

Fenomene cinetice in solide. Conductivitatea electrica

La inceputul cursului am stabilit ca, pentru suprafete izoenergetice sferice: ,

tensorul conductivitatii, definit ca

mkE 2/22h=k

∑=ν

νμνμ σ Ej (1)

este izotrop: . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

σσ

σσ μν

000000

In plus, am gasit o relatie intre conductivitatea electrica si mobilitatea electronilor cu

concentratie n si masa efectiva m si media timpului de relaxare ca functie de energie:

μτσ neEm

ne=⟩⟨= )(

2,

mEe⟨

=⟩)(τμ ,

∫

∫∞⎛⎝=⟩⟨ 0)(Eτ

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝−

⎟⎠⎞

⎜⎛−

0

2/30

2/30 )(

dEEdEdf

dEEEdEdf τ

(2)

Relatii similare cu (2) pot fi insa obtinute pentru relatii de dispersie diferite de cea

parabolica. De exemplu, in Ge si Si suprafetele izoenergetice sunt eliptice:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

3

23

2

22

1

21

2

2 mk

mk

mk

E hk (3)

ceasta situatie poate fi redusa la cazul suprafetelor izoenergetice sferice printr-o schimbare A

de variabila

3,2,1,''/ == μμμμ kmmk (4)

stfel incat a

'2')'''(

'2

2223

22

21

2' m

kkkkm

E hh=++=k . (5)

inand cont de faptul ca, si in acest caz tensorul conductivitatii este diagonal pentru ca

energia este o functie para de , cu

T

μk

Fenomene cinetice. Conductivitatea/rezistivitatea metalelor si semiconductorilor 2

∫ ⎟⎞

⎜⎛−=

∞ 022

22)( kkkdfe τσ μμ

h , ⎠⎝0

4

3d

dEmπ μ (6)

si de relatia

k'dmm 2/132 ) , obtinem k

mmdkdkdkd 2/3

1321

'(

==

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∞∞

0

2/302/1

3212/322 (2 me h

320

402/5

2/1321

2 )()3

)('

)(3

dEEEdEdf

mmmdkkk

dEdf

mmmmm τ

πτ

πσ

μμμμ

h

(7) Pe de alta parte, in mod analog,

∫ ⎟⎞

⎜⎛−= 0

32321 )(2 E

dEdfmmmn

⎠⎝

∞

0

2/32/12/3

3dE

hπ, (8)

astfel incat

⎝

=

zz

yy

σσσμν

000000

(9)

cu

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎛ xxσ

xxxσ neEmne μτ =⟩⟨= )(

1

2, yyy neE

mne μτσ =⟩⟨= )(

2

2, zzz neE

mne μτσ =⟩⟨= )(

3

2. (10)

Conductorul anizotrop poate fi caracterizat printr-o conductivitate si masa e

fectiva de

drift, definite ca

⟩⟨=++=++= σσσ yyxx(1 τμμμσd

zyxzz mnene

2)(

31)

3 (11a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=⊥mmmmmmd

2131111

311

||321

ultima egalitate avand loc in cazul r

masa efectiva longitudinala si una transversala.

(11b)

elatiei de dispersie de forma elipsoid de rotatie,

introducand o


Relatiile pot fi extinse si in cazul in care benzile de energie contin mai multi elipsoizi,

de exemplu cN elipsoizi echivalenti, fiecare cu in electroni si avand axele principale de-a

lungul axelor de coordonate x, y, si z. In acesta situatie, specifica Si (vezi figura de mai jos),

⟩⟨=++=

++= σσσσ cN )(

τμμμd

izyxi

c

zzyyxx

menenN 2

)(3

3 (12a)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=321

1113

1mmm

Nm

c

d (12b)

Masa efectiva de drift este diferita de masa efec

ele doua fiind egale doar cand exista un singur minim al benzii si cand conductorul este

izotrop

. Acesta este cazul compusilor

semico

tiva obtinuta din relatia de dispersie,

c

. De asemenea, tensorul conductivitatii poate avea componente nediagonale daca axele

elipsoizilor sunt dispuse dupa alta directii decat x, y, si z.

Un alt caz de importanta practica este cel in care energia depinde doar de modulul lui

k, dar dependenta, desi izotropa, nu este parabolica

nductori AIIIBV cu banda interzisa ingusta, de exemplu InSb, pentru care

⎥⎥⎤

⎢⎡

−⎟⎞

⎜⎛+=

22/122

g kE h

⎦⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

112 g

k mEE (13)

m fiind masa efectiva la ma

k ˆ)/(11 dkdEE −− =∇= hh , cu , si

rginea inferioara a benzii de conductie. In aceasta situatie,

k k/ˆ kk =

v

⎟⎞

2k∫

⎠⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∞

0

202

2)(

3dk

dkdEk

dEdfe τ

πσ

h∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∞2e2

0

30

2 )()()(

3dE

EmEkE

dEdf τ

π (14)

introdus o masa efectiva dependenta de energie prin )(

)( 2kunde amEmdk

kdE h= .

etalica sau semiconductoare a

cristalului. Metalele si semiconductorii, prin functia de distributie si prin mecanismele de

pras

Aceste relatii sunt valabile indiferent de natura m

im tiere specifice au comportari diferite la aplicarea unui camp electric, asa cum vom

vedea in cele ce urmeaza.


Rezistivitatea electrica a metalelor si aliajelor

Rezistivitatea elec

eoarece reteaua cristalina a metalelor este formata dintr-un singur tip de atomi, aceste

l incat conductivitatea unui metal pur, ideal si izotrop

trica a metalelor

D

materiale sunt cristale nepolare, astfe

este determinata de imprastierea electronilor pe fononi acustici. In acest caz

2/3528)( EMvmE Dac

ac ⎟⎞

⎜⎛ Θ=

πτ , 52 T

TIqD D

D⎠⎝⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ΘΩh

(15)

cu

1)exp(1)exp(/

0

4−+

∫=⎟⎠⎞

⎜⎛ΘI⎝

Θ

xxdxx

T

TD D (16)

In metale, la temperaturi joase, presupunem ca distributia electronilor este total

egenerata astfel incat )( 00FdE Fd EEdf

−=− δ , cu E valoarea nivelului Fermi la T = 0, si

0

)()(

)( 0

0

2/30

0

2/30df ⎞⎛∞

Fac

ac

ac EdEE

dEdf

dEEEdEE τ

ττ =

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∫ ⎟⎠

⎜⎝−

=⟩∞

, )( 02

Fac Em

ne τσ =⟨ , (17)

adica

5

05

52

2/3020 1

2)(28

)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΘΩ

==σσT

TIT

TIqmD

EMvneE D

D

D

DD

FacF

σπ

h

(18)

sau, in termeni de rezistivitate,

⎟⎞

⎜⎛ Θ⎟

⎞⎜⎛= IT D

5

02ρρ ⎠⎝⎠⎝ Θ TD

(19)


Observatie 1

Formula timpului de relaxare (15) a fost obtinuta in aproximatia imprastierii elastice a

electronilor pe fononii acustici. In cazul in care energia fononilor acustici, desi foarte mica,

este luata in considerare, se obtine o formula asemanatoare, functia ⎟⎠

⎜⎝ T

I fiind inlocuita ⎞⎛ΘD

cu dublul functiei

∫=⎟⎠

⎜⎝ T

J0

5[e −

⎞⎛Θ Θ TD Ddx

xxx/

2

5

]1)xp()exp( (20)

Ambele expresii dau aceeasi dependenta a timpului de relaxare in limita temperaturilor joase

si inalte. Ca functie de , dependenta rezistivitatii de temperatura, 5J

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

⎠⎞

⎝⎛Θ TT D

D5

5

0 ⎟⎜= J4ρρ (21)

este cunoscuta ca formula Bloch-Grüneisen.

bservatie 2 O

Aproximatia distributiei total degenerate a electronilor este justificata in cazul metalelor,

deoarece, altfel, pentru o functie de distributie Fermi-Dirac

]/)exp[(11)(0 TkEE

EfBF−+

= (22)

2/3Eputem exprima medierea pe termenul din expresia timpului de relaxare ca

)()()(2

322/30

00

002/3 FTk

dEEffdEEdEE =

∫+−=

∫ ⎟⎠

⎜⎝−

=⟩⟨)2/3()(

)(

2/12/1

00

03

0

23

0

2/30

30

yFy

dEEfEEf

EE

dEEdEdf

df

B

∫+−∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎞⎛

∞∞

∞∞

∞

∞

(23)

unde , TkEy BF /=


∫∞

+−=

0 1)exp()(

yxdxxyF

α

α (24)

este integrala Fermi-Dirac, si

)()(2

2/30 yFTkB ⎟

⎞⎜⎛

)(22/10 yFE

EF

F ⎟⎠

⎜⎝

= σσ . (25)

Deoarece la temperaturi scazute dar finite, , putem aproxima integralele 1/ >>= TkEy BF

Fermi Dirac cu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛

=+1

1)( yyFα

α⎝

++

+ 2

2 )1(61 y

ααπα

, (26)

obtinem

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

0

20

431)(

F

BF E

TkE πσσ (27)

corectia fata de expresia (18) fiind de sub 1%.

Pornind de la formula rezistivitatii metalelor (19) sau de la formula Bloch-Grüneisen,

btinem aceleasi dependente de temperatura in regimul de temperaturi inalte si joase. o

a) Temperaturi inalte: DT Θ>> . Deoarece

4/

0 2 ⎠⎝∫

⎠⎝ TT3 12 ⎟

⎞⎜⎛ Θ=≅⎟

⎞⎜⎛Θ Θ

dxxI DTD D,

4/

0

35 4

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Θ=∫≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Θ Θ

Tdxx

TJ DTD D

D

TΘ

= 0ρρ (28)

Aceasta es , a rezistivita

mperatura camerei sau temperaturi mai inalte (vezi figura de mai sus).

te dependenta cunoscuta, liniara tii de temperatura valabila la

te


In cazul in care, pentru anumite metale DΘ = 300 – 400 K, aproximatia DT Θ>> nu

mai este valabila la temperatura camerei si este necesara retinerea termenilor s na uperiori, pa

la , in dezvoltarea in serie a exponentialelor: 3x62

1)exp(32 xxxx +++≅ , si

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎞⎛ Θ⎞⎛⎞⎛ Θ 4/ 2 11xTD⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ−⎟

⎠⎜⎝

=∫ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−≅⎟

⎠⎜⎝

Θ 2

0

3

91

2612

TTdxx

TI DDD ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Θ=∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Θ Θ 24/

0

23

5 1811

41

121

TTdxxx

TJ DDTD D

dependenta rezistivitatii de temperatura fiind usor diferita in cele doua cazuri

⎥⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ Θ−=

2

011T Dρρ ,

⎥⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ Θ−=

2

011T Dρρ

⎦⎢⎣ ⎠⎝Θ 18 TD ⎦⎢⎣ ⎠⎝Θ 18 TD (29)

b) Temperaturi joase: . In acest caz limita superioara a integralei se poate extinde la

finit si rezultatul integrarii este o constanta, b. In consecinta, in acest regim de temperatura

DT Θ<<

in

5

0' ⎟⎞

⎜⎛=

Tρρ (30) ⎠⎝ ΘD

dependenta con ,

n), trivalente (In), tetravalente (Sn, Pb), si la unele metale de tranzitie (Ti, Mo).

efectivi de

rcina ai benz

cu A, B constant

e temperatura a rezistivitatii arata ca in

firmata de experimente pentru metale monovalente (alcaline), bivalente (Cd

Z

Pe de alta parte la multe metale de tranzitie 2T∝ρ sub 10 K datorita unui alt

mecanism de imprastiere: electronii „usori” ai benzilor s, care sunt purtatori

sa , se imprastie pe electronii „grei”, practic imobili, ilor d. La aceste metale

52 BTAT +=ρ (31)

e. In general, dependenta

d

figura din dreapta.


Rezistivitatea reziduala a metalelor. Regula Matthiessen

upa cum reiese si din (30) si (31), rezistivitatea electrica datorata oscilatiilor retelei

arul de fononi devine zero (ionii

D

(imprastierii pe fononi) se anuleaza la T = 0 K deoarece num

retelei devin statici). Experimental, se constata insa ca valoarea rezistivitatii metalelor

normale (nu a celor supraconductoare!) tinde spre o valoare constanta, numita rezistivitate

reziduala, pe masura ce temperatura scade spre 0 K. Rezistivitatea reziduala este independenta

de temperatura si se datoreaza imprastierii electronilor de conductie pe imperfectiunile statice

ale retelei (impuritati, defecte, dislocatii), prezente intr-un metal real. La temperatura camerei

rezistivitatea reziduala este cu 2-3 ordine de marime mai mica decat cea a metalului ideal,

astfel incat devine semnificativa doar la temperaturi joase. Imprastierea electronilor pe

imperfectiunile statice este considerata elastica, timpul de relaxare putand fi exprimat ca

(similar cazului imprastierii pe impuritati)

cFirez vN σ

τ 1= (32)

unde este numarul impuritatilor statice, viteza Fermi (viteza electronilor la

peraturi scazute) si

iN Fv

tem cσ este sectiunea eficace de transport.

Deoarece procesul de imprastiere p

e impuritati statice si cel de imprastiere pe fononi

acustici sunt necorelate,

acrez τττ111

+= (33)

probabilitatile de imprastiere se aduna, si

5

5' T

+= ρρρ , (34a) 0D

rezΘ

irez

rez N (34b) en

m∝=

τρ 1

20

expresie denumita regula lui Matthiessen;

aceasta regula datorita impuritatilor care schimba spectrul fononic prin

0n reprezinta concentratia de electroni la T = 0 K.

Pot exista abateri de la

modificarea interactiunii electron-fonon. Masurarea rezistivitatii la temperaturi foarte scazute

este o metoda de a estima puritatea unui metal.


Rezistivitatea electrica a aliajelor. Regula Nordheim

general, rezistivitatea electrica creste in cazul aliajelor metalice, deoarece introducerea in

za reteaua cristalina a metalului A si

ales,

In

reteaua unui metal A a atomilor metalului B distorsionea

imprastierea electronilor creste. In plus, interactiunea chimica a componentilor poate duce la

cresterea rezistivitatii. Aliaje metalice se formeaza doar intre metale miscibile, in care mixtura

formata in stare lichida nu se separa in straturi/regiuni continand un singur element.

Intr-un aliaj binar dezordonat A-B, cu concentratii ale componentilor A si B egale cu c

si, respectiv, c−1 , daca structura aliajului nu se modifica pe intervalul de compozitii

1( ccrez −∝ )ρ , (35)

relatie numita

ediu al electronului in aliaj este (o tratare riguroasa este, desigur, mult mai complicata)

(36)

unde si su

ecinatatea atomilor de tip A si B devine, respectiv,

(37)

cu . In calculul timpului de

atratul elementului de matrice al potentialului de interactie intre starea initiala si finala,

te elemente d

⟩⟨=⟩− kkk ABB VcV . (38)

Intr-un aliaj contributia atomilor A si B este proportional cu

zistivitatea electrica, se obtine inmultind elementul de matrice corespunzator cu concentratia

|||'|)1(|||'|)1(|) ⟩⟨−=⟩⟨−+⟩− kkkk ABAB VccVccc . (39)

si regula Nordheim. Aceasta relatie se poate justifica considerand ca potentialul

m

BA VccVV )1( −+=

AV BV nt potentialele atomice ale atomilor A si B. In consecinta, potentialul in

v

ABA VcVV )1( −=− , ABB cVVV −=−

BAAB VVV −= relaxare, probabilitatea de imprastiere se obtine din

p

aces e matrice pentru atomii A si B fiind

222 |||'|)1(|||'| ⟩⟨−=⟩−⟨ kkkk ABA VcVV , |'| ⟨k V 222 |||'|||

la timpul de relaxare, care

re

c, respectiv c−1 , astfel incat

2 ||'|1(),( ⟨∝ kk ABVcfiP 2222


Regula Nordheim este confirmata de

zultatele experimentale pentru aliaje binare

dezord

u retea cristalina, in care rezistivitatea scade fata de compusii

dezord

re

onate, de exemplu Ag-Au (aliaj perfect

miscibil, vezi figura din dreapta), Ag-Cu, Au-Cu

(curba punctata din figura de mai jos, stanga), dar

unele abateri s-au observat la aliajele metalelor de

tranzitie cu metalele nobile.

In unele aliaje, de exemplu Au-Cu, se pot obtin

presiune compusi ordonati, c

e in anumite conditii de temperatura si

onati, in care atomii A si B nu sunt asezati periodic (linia continua in figura de mai jos

stanga). In astfel de cazuri rezistivitatea poate fi mai scazuta decat a metalelor componente.

De asemenea, in anumite situatii aliaje din metalele A si B se obtin doar in anumite

ale a eapta). In aceste intervale regula Nordheim

este va

ixtura de graunti de

metale

interv i sus, dr

Cu Cu3Au CuAu Au

de compozitie (vezi figura de m

labila.

Pentru aliaje metalice complet

nemiscibile, m

A si B poate fi considerata ca o

retea de rezistori conectati in serie si

paralel (vezi figura din dreapta).


Conductivitatea electrica a semiconductorilor

Spre deosebire de te determinata de

mbele tipuri de purtatori de sarcina: electroni si goluri, iar functia de distributie este de tip

metale, in semiconductori conductivitatea/rezistivitatea es

a

Maxwell-Boltzmann:

⎟⎠⎞

⎜⎛ −

=EEEf Fexp)(

⎝ TkB0 (40)

In acest caz, pentru un timp de relaxare rETAE )()( =τ ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎞⎛−

∞∞ 2/30 dEEEdf τ=

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∫ ⎟⎠

⎜⎝=⟩

∞

+

∞

25

25

))((exp

exp)(

)()(

0

2/3

0

23

0

2/30

0r

TkTAdEE

TkE

dEETk

E

TAdEE

dEdf

dEE rB

B

r

Bτ

(41) unde, pentru , functia Γ este definita ca

−

0

1) dxxx y (42)

Tinand cont ca pentru n intreg,

⟨

TkEx B/=

∫=Γ∞

exp()(y . −

, !)!12(22 4

1−=⎞⎛ +Γ nn π 35 π

=⎞⎛Γ)!1()( −=Γ nn ⎟⎠

⎜⎝ n , avem

2⎟⎠

⎜⎝

ectiva depinde slab de temperatura

si, pentru electroni, daca masa ef

⎟⎠⎞⎛ 5)(4 2neTA r ⎜

⎝+Γ=

2)(

3r

mTk

nBn

πσ , (43a)

rTTA )(∝ . (43b) rB

nn rTk

mTeAT

25)(

3)(4)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ=

πμ

La imprastierea pe fononi acustici: 2/1−=r

1

422)( −∝= TMvTA acac

hπ , 2/32/1)(3

)(4)( −∝= TTkm

TeATBn

acacn

πμ (44)

2/32 Ω TkmD Bn


La imprastierea pe fononi optici mperaturi inalte in semiconductori polari: la te 2/1=r

1

202)( −∝

Θ= T

TTA opt

optεπh ,

2/3

me noptω2/12/1)(

)(8)( −∝= TTk

TeAT B

optoptnμ 5

3 mnπ (4 )

La imprastierea pe fononi optici la temperaturi joase in semiconductori polari: 0=r

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ Θ

∝⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ Θ

=TA optoptopt expexp23)(

20επ h , ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛ Θ

∝=TeA

T optoptn exp

)()(μ

⎠⎝⎠⎝ TTme optnω ⎠⎝ Tmopt

n

(46)

La imprastierea pe impuritati ionizate: r = 3/2

.const2

)(42

220 ≅=

mTA rn

iεεπ

, 2/12/9

KNeZ i

2/32/3)()(8)(inμ TTk

mTeAT Bn

i ∝=π

(47)

unde K este o functie care depinde te slab de energie:

foar

⎥⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟

⎜⎜+=

3/12041ln)( r EEK επε in formula Conwell-Weissk

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎠

⎞

⎝

⎛2

iNZeopf (tratare clasica)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

228)(

hαEmFEK n in formu ranata)

La imprastierea pe

la Brooks-Herring (tratare cuantica, interactiune ec

impuritati neutre: r = 0

const.)(3

≅= ni

emTAεπε

, 80 0

22

nr Nh≅=

n

iin (μ

mTeAT )() const. (48)

mobilitatea fiind independenta d tura.

Trebuie remarcat ca in ultimele doua mecanisme mobilitatea este invers proportionala

in semiconductori puri. De asemenea, in

formul

e tempera

cu concentratia impuritatilor, fiind mai mare

ele de mai sus a fost neglijata dependenta (foarte slaba) de temperatura a masei

efective, constantei de cuplaj electron-fonon si frecventelor de oscilatie acustice si optice.


In plus, nu s-au luat in considerare mecanisme de

imprastiere ca imprastierea electron-electron, intervai, pe

disloca

l

T )(μ (49)

unde

la imprastierea pe fononi acustici,

la imprastierea pe fononi optici la temperaturi inalte,

s = 3/2 l

s = 0 la

prastierea golurilor se obtin inlocuind masa

ferentelor dintre structura

ne

tii, etc., intalnite in anumiti semiconductori sau in

conditii speciale. De exemplu, imprastierea intervai are loc

intre vaile din banda de conductie a Si, ilustrate in figura

din dreapta.

In concluzie, cu exceptia imprastierii pe fononi optici

a temperaturi joase,

sT∝ n

2/3−=s

2/1−=s

a imprastierea pe impuritati ionizate

imprastierea pe impuritati neutre.

La prima vedere, formulele pentru im

efectiva a electronilor cu cea a golurilor. Totusi, datorita di

energetica a benzilor de valenta si conductie, suprafetele izo-energetice pentru goluri nu sunt

in general sferice si mecanismele de imprastiere nu sunt intotdeauna aceleasi ca pentru

electroni. In particular, imprastierea pe fononi acustici este insotita de imprastierea intervai si

pe fononi optici. De aceea, pot aparea diferente intre parametrii s din (49) in cazul

semicondutorilor n si p din acelasi material.

Dupa cum am vazut si la seminar, in cazul conductiei ambipolare pn jjj += si

)pn p( μμσ + = (50)

Dependenta

mobilitatii cat si a concentratiei purtatorilor de sarcina. Pentru semiconductori intrinseci,

de temperatura a conductivitatii este determinata de dependenta de T atat

a

in si

pn ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=+ μ=

TkE

NNeneB

gvcpnipni 2

exp)()( μμμσ , (51)

unde


2/333

2/3,

,4

)2(T

TkmN Bpn

vc ∝=hπ

π

nsitatile effective de stari in banda de conductie si valenta. Latimea benzii interzise se

poate determina din masuratori l

ezi laboratorul de solid!) si din fitarea ulterioara cu o linie dreapta a dependentei

(52)

sunt de

experimentale ale concentratiei intrinseci date de efectul Hal

(v

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛T

fT

ni 1ln2/3

.

In cazul in care mobilitatile electronilor si golurilor au aceeasi dependenta de

temperatura (acelasi s),

⎟⎟⎞

⎜⎜⎝

⎛−+

TkE

B

gs

2exp2/3 (53)

⎠

∝ Tiσ

dica a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∝

TkE

TB

gi 2

exp2/3σ la imprastierea pe impuritati neutre, la temperaturi joase

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∝

TkE

TB

gi 2

exp3σ la imprastierea pe impuritati ionizate

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∝

TkE

TB

gi 2

expσ la im inalte prastierea pe fononi optici in semiconductori polari, la T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∝

TkE

B

gi 2

expσ la im iconductori puri

Deoarece dependenta de temperatura a factorului exponential este dominanta, rezistenta

electrica a semicond

prastierea pe fononi acustici, in sem

uctorilor depinde de temperatura ca

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

TAR exp , (54)

B

asuratorile experimentale permitand gasirea mecanismului de imprastiere si a latimii benzii

interzise d

m

gE in dependenta ⎟⎞

⎜⎛= fR 1ln (vezi laboratorul de solid! Se reprezinta mai multe

⎠⎝T

mult de o linie dreapta sau cea pentru care este mai aproape de valoarea obtinuta din alte

tipuri de masuratori).

astfel de curbe pentru diferite valori ale s si se considera relevanta cea care se apropie mai

gE


Consideratiile de mai sus sunt valabile doar daca un singur mecanism de imprastiere

este dominant, situatie care nu corespunde i tdeauna realitatii. De exemplu, pentru n-Ge in

intervalul de temperat

nto

ura 100-280 K, , in timp ce pentru p-Ge in intervalul 66.1exp −∝Tnμ

300-400 K, 3.2exp −∝ Tpμ . In particular, daca imprastierea purtatorilor de sarcina (electroni

sau goluri) cu masa efectiva m pe fononi acustici si impuritati ionizate are loc simultan,

)(1

)(1

EEτ= , (55)

)(1

E iacef ττ+

)()()()( EEee iac ττ)(EEm

Em iac

ef τττμ

+=⟩⟨= . (56)

Deoarece si , la temperaturi inalte putem neglija imprastierea pe

impuritati ionizate, la temperat a

ecanisme actionand simultan doar la temperaturi intermediare, pentru care

ET iτ ,

2/3−∝Tacμ 2/3Ti ∝μ

uri joase neglijam imprastierea pe fononi acustici, cele dou

m2/1)( −= Aacacτ Ai= , 2/3)( ET

2/1)(3)(4)(

TkmTeAT

B

acac

πμ = , 2/3)()(8)( Tk

mTeAT B

ii

πμ = , 222 )()(6 TkTk

AA

BBi

ac

i

ac βμμ

==

22

2/3

22

2/3

22

2/3

)/()/(

43

)/()()(

)/()(

βμπ

βτ

+=

+=

+=

TkETkE

em

TkEE

TkTA

AAEEAE

B

Bac

BB

ac

iacacef

(57)

si

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

=

∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

∫+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=⟩⟨=∞

∞

25

)(4

3

exp

)/()/(exp

43)(

0

2/3

022

2/32/3

βμπβμπτμ J

dEETk

E

dETkE

ETkETk

E

Eme

ac

B

B

B

Bacef (

sau

58)

)(βμμ Jac= (59)

, cu ,

TkEx B/=unde

∫+

−=∞

022

3 )exp()( dxx

xxJβ

β (60)


si tinand ∝cont ca Tβ se obtine dependenta de temperatura a mobilitatii pe intregul

terval de valori, incluzand cele inalte si joase. Intr-adevar, pentru

32 −

∞→iμ , 0→βin ,

( =−∞

dxx 1)2(exp)0(0

=Γ∫=→ xJ β , ac) μμ = (61)

∞→acμ , ∞→βiar daca ,

ac

idxxxJμμ

ββββ ==

Γ=∫ −=∞→

∞

220

32

6)4()exp(1)( , iμμ = (62)

In cazul concret al unui semiconductor cu impuritati ionizate donoare de concentratie

, de exemplu P in Si (vezi cursul/seminarul de statistica a purta )

te determinata de conditia de neutralitate electrica

N+ 0

e carora exista

lectroni localizati)

dN torilor de sarcina in solid!

concentratia electronilor es

d Npn += (63)

unde 0dN este concentratia impuritatilor neutre (pe nivele energetice al

d

e

Ev

Ed

Eg

Egd Ec

tratiei electronilor de temperatura se intalnesc trei cazuri

si pentru care electronii din banda de conductie

rovin prin excitarea termica a elec r localizati pe nivelele de impuritate. Avem o

In acest caz, in dependenta concen

1) temperaturi mici, pentru care pN d >>

p tronilo

concentratie mica de electroni, data de

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

TkENN

TkEENNn

B

gddc

B

cddc

2exp

22exp

2)2/exp(4/3 TkET Bgd−∝ (64)


2) temperaturi intermediare, intre temperatura de

saturatie sT pentru care donorii sunt complet

nizati e nivelele donoare sunt libere) si

temperatura de incepere a conductiei intrinseci ,

entru care dar . In acest caz,

=

i n

io (toat

iT

p dNpn += id nN <<

al conductiei extrinseci (vezi figura din dreapta),

dNn = , di Nn /2 (65)

3) temperaturi mari, peste iT , in care donori su

intrinseca:

n

p

t complet ionizati si conductia este

⎟⎠

⎜⎝ TkB2 d⎟

⎞⎜⎛−==

ENNn g

vci exp (66)

ezi figura din partea dreapta), in

dominanta de temperatura de tip exponential,

din reprezentari

n N>>

In ceea ce priveste conductivitatea

electrica (v

regiunea 3) este de tip intrinsec, cu dependenta

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Tf 1lnσ putandu-se

termde ina latimea benzii interzise.

In domeniul de saturatie 2) dependenta conductiv

dependenta de T a mobilitatii pentru ca dNn

itatii de temperatura este dictata de

= = const. Avand in vedere prezenta unui num

mare de impuritati ionizate, putem presupune

dominant, si ca ∝σ

depinde din nou exponential de temp

ar

ca acesta este mecanismul de imprastiere

μ . La temperaturi mai joase, in regiunea 1), conductivitatea

eratura, si

2/3Ti ∝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∝⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= +

TkE

TTk

ET

TkENNe

B

gd

B

gd

B

gddci 2

exp22

exp2

25.22/3μσ (67)

din reprezentari de

exp4/3

tipul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

T1 gasindu-se energia de ionizare a impuritatii, E . = flnσ gd

T Ts Ti

extrinsec

1) 2) 3)

intrinsec

3) 2) 1)

Coeficienti fundamentali de transport

In conditii de neechilibru si in prezenta unui gradient de temperatura T∇ in cristal apare un

flux termic. Prin analogie cu densitatea curentului electric, densitatea fluxului termic in

unitatea de timp se poate defini ca

krkvrkvw kk

k dfEEfEE FF ),()(4

1),()( 3,∫ −=∑ −=

πσ (1)

In expresia de mai sus energia termica, adica FEE −k inlocuieste sarcina electrica din

expresia densitatii de curent, iar ),()(),( 10 rkrk k fEff += , cu 01 ff << . Avand in vedere

proprietatile de simetrie ale functiei de distributie de echilibru,

krkvj dfe ),(4

13 ∫−=π

(2)

krkvw k dfEE F ),()(4

113 ∫ −=

π (3)

Aceste relatii sunt valabile si in prezenta campului magnetic. In camp electric si in prezenta

unui gradient de temperatura ecuatia cinetica Boltzmann este

0)(0 =

−+∇⋅−∇⋅

kEv kr τ

fffefh

(4)

Pentru

vkkk h⋅=∇=∇≅∇dEdfE

dEdfff 00

0 (5a)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇

−+∇−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∇≅∇−

TT

EEEdEdf

TkEE

drdff F

FB

F 01

0 1)(exp rrr (5b)

obtinem

dEdfT

eTEEE

eef F

F0

11)(),( vEkrk ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇

−+∇+= τ . (6)

Coeficienti fundamentali de transport. Conductivitatea termica 2

O comparatie cu conductivitatea electrica derivata in prezenta doar a campului electric intr-un

conductor uniform arata ca, in cazul general E se inlocuieste cu TeT

EEEe

FF ∇

−+∇+

1E

astfel incat densitatile de curent electric si flux termic devin

TT

Ee F ∇−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+=

βσˆ1ˆ Ej (7)

TT

Ee F ∇−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+=

χβˆ1ˆ Ew (8)

unde σ̂ , si β̂ χ̂ sunt tensorii fundamentali de transport. Pe componente, relatiile de mai sus

se scriu

TT

Ee

Ej F νμν

ννμνμβ

σ ∇−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+=

1 (9)

TT

Ee

Ew F νμν

ννμνμχ

β ∇−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+=

1 (10)

unde

kk dvvdEdfe

νμμν τπ

σ )(4

03

2

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= (11)

kk dvvEEdEdfe

F νμμν τπ

β )()(4

03 −∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−= (12)

kk dvvEEdEdf

F νμμν τπ

χ )()(4

1 203 −∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= (13)

In cazul izotrop, cand campul electric si gradientul de temperatura sunt aplicate pe directia

axei x,

dxdT

TdxdE

eEj xxF

xxxxβσ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1 , dxdT

TdxdE

eEw xxF

xxxxχβ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1 (14)

coeficientii fundamentali de transport σσ =xx , ββ =xx , χχ =xx calculandu-se analog

conductivitatii electrice de la inceputul cursului.


In particular, pentru suprafete izoenergetice sferice

⟩⟨= τσm

ne2 (15)

( ⟩⟨−⟩⟨−= ττβ FEEmne ) (16)

( ⟩⟨+⟩⟨−⟩⟨= τττχ 22 2 FF EEEEmn ) (17)

Conductivitatea termica a solidelor

Conductivitatea termica este determinata de transportul de energie atat prin purtatorii de

sarcina (electroni si/sau goluri) cat si prin oscilatiile retelei (fononi), fiind asociat cu procese

de imprastiere (ciocniri) caracterizate printr-un timp de relaxare.

Conductivitatea termica este caracterizata de proportionalitatea dintre densitatea

fluxului termic in unitatea de timp si gradientul de temperatura:

dxdTwx κ−= (18)

semnul negativ indicand scaderea fluxului de energie termica. Parametrul κ este

conductivitatea termica si, in general, este o suma a contributiilor electronice si fononice:

fe κκκ += . (19)

Conductivitatea termica a conductorilor In conductori (metale sau semiconductori), , astfel incat 210/ −≅ef κκ eκκ ≅ . Pentru a

determina expresia conductivitatii termice se foloseste de obicei un montaj experimental in

care fluxul sarcinii electrice pe directia considerata, de exemplu x, este nul, astfel incat

dxdT

TdxdE

eEj F

xxβσ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

10 (20)

dxdT

TdxdE

eEw F

xxχβ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1 (21)


de unde obtinem

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= χ

σβκ

21Te (22)

sau

⟩⟨⟩⟨−⟩⟩⟨⟨

=τ

τττκ22 EE

mTn

e (23)

Din aceasta expresie rezulta ca o valoare nula a conductivitatii termice se obtine cand τ =

const. sau cand gazul electronic este total degenerat, caz in care . )()()( 00F

nF

n EEEE ττ =⟩⟨

Din punct de vedere experimental coeficientii de transport satisfac relatia Wiedemann-

Franz

Te ∝σκ (24)

expresie ce poate fi pusa sub forma T

L e

σκ

= = const., unde L este numarul lui Lorentz.

Aceasta expresie este cunoscuta si sub numele de legea Wiedemann-Franz-Lorentz. Avem

2

22

221

⟩⟨

⟩⟨−⟩⟩⟨⟨==

ττττ

σκ EE

TeTL e (25)

Daca timpul de relaxare este dat de , rETAE )()( =τ

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⟩⟨∞

∞++

0

2/30

0

2/30

)()(dEE

dEdf

dEEdEdf

TAEE

mnr

nmnτ

∫+−

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−

=∞∞

∞++∞++

00

2/10

2/30

00

2/10

2/30

)(23

)(23

)(dEEfEEf

dEEfEmnrEfTA

mnrmnr

n (26)


)()(

23

32))((

)(

)(

23

32)(

2/1

2/1

00

2/1

00

2/1

yFyFmnrTkTA

dEEfE

dEEfEmnrTA mnrmnr

Bn

mnr

n +++∞

∞++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

∫

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

unde

∫+−

=∞

0 1)exp()(

yxdxxyF

α

α (27)

cu , sunt integralele Fermi-Dirac. Cu aceste notatii obtinem TkEx B/= TkEy BF /=

[ ]

[ ]22/1

2

22/3

2

2/12/52

)(23

)(25)()(

23

27

yFr

yFryFyFrr

ekL

r

rrrB

+

+++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (28)

Metale

Folosind aproximatia ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+=

+

2

21 )1(6

11

)(y

yyF ααπα

α

α pentru integralele Fermi Dirac,

valabila pentru temperaturi scazute dar finite, 1/ >>= TkEy BF , si dependenta nivelului

Fermi de temperatura valabila in aceleasi conditii

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0

20

121

F

BFF

ETkEE π (29)

avem

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

++

+

2

0

212/

2/ 1226

112/

1)(F

Bsr

B

Fsr

ETksrsr

TkE

sryF π

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++=

++ 2

0

212/01

221

61

12/1

F

Bsr

B

F

ETksrsr

TkE

srπ (30)

astfel incat


222

2/1

2/3

2

2/1

2/52

3)()(

2325

)()(

2327

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

+

+

+

ek

yFyF

r

r

yFyF

r

r

ekL B

r

r

r

rB π (31)

ultima parte a egalitatii de mai sus, care

reprezinta legea Wiedemann-Franz-

Lorentz la metale, obtinandu-se dupa

inlocuirile cu ajutorul relatiei (30).

Numarul Lorentz in cazul metalelor este

= 2.45×10–8 WΩ/K2. 0LL =

In figura din dreapta este aratata

dependenta de temperatura a numarului

Lorentz pentru Ni si compusul metalic

PrBa2Cu4O8.

Pentru metale, la o temperatura data, σκ ∝e , asa cum rezulta din figura de mai jos,

obtinuta pentru temperatura camerei.

Legea Wiedemann-Franz este verificata experimental doar la temperaturi inalte. La

temperaturi joase ar trebui ca in metale deoarece , dar din 4−∝= TTLe σκ 5T∝ρ


experimente rezulta . Aceasta dependenta se poate justifica prin faptul ca timpul de

relaxare se modifica datorita conductivitatii termice, astfel incat in locul dependentei

la metale la temperatura joasa, obtinuta pentru conductivitatea electrica, avem , si

deci . De asemenea, la temperaturi joase devine importanta si imprastierea pe

imperfectiunile statice, care aduce o contributie aditionala la conductivitatea termica

electronica, . Deoarece rezistenta reziduala este independenta de

temperatura, obtinem , si, prin analogie cu regula Matthiessen,

2−∝ Teκ

5−∝ Tτ

3−∝ Tτ2−∝ Teκ

rezreze TL ρκ /0=

Treze ∝κ

rezee κκκ111

+= , (32)

adica

21 BTTA+=

κ (33)

La temperaturi inalte, si 1−∝∝ Tτσ

eκ = const. (vezi figura din dreapta).

Relatia (33) arata ca, odata cu

scaderea temperaturii conductivitatea

termica electronica trece printr-un

maxim si apoi scade rapid la zero,

dependenta care este in acord cu

experienta, dupa cum se poate observa

din figura din stanga, pentru Au.

In general, din dependenta liniara

)( 3TfT=

κ se obtine coeficientul B din

panta dreptei si constanta A din

extrapolarea ordonatei la origine.


Semiconductori

In cazul unei distributii nedegenerate de purtatori de sarcina,

)1()exp()exp()(0

+Γ=∫ −≅∞

ααα ydxxxyyF (34)

unde . Folosind relatia de recurenta ∫ −=Γ∞

−

0

1)exp()( dxxx αα )()1( ααα Γ=+Γ , care se poate

demonstra usor prin integrare prin parti:

)1(1)exp()exp(1)exp()(000

1 +Γ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ −+−=∫ −=Γ∞∞∞

− ααα

α ααα dxxxxxdxxx

obtinem

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

−ΓΓ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

+

+

+

25

)()(

)()( 22

2/5

2/7

2/5

2/92

re

kyy

yy

ekL B

r

r

r

rB . (35)

Avem

2)/(2 ekL Bac = la imprastierea pe fononi acustici pentru care 2/1−=r

2)/(4 ekL Bi = la imprastierea pe impuritati ionizate pentru care 2/3=r

In cazul semiconductorilor exista doua tipuri de purtatori de sarcina: electroni si

goluri, expresia conductivitatii termice in acest caz fiind

)())(()(1 2

pn

pnpnpne T σσ

χχσσββκ

+++−+

−= , (36)

unde coeficientii fundamentali de transport pentru electroni si goluri sunt

⟩⟨= nn

n mne τσ

2, ⟩⟨= p

pp m

pe τσ2

, (37)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⟩⟨⟩⟨

−= Fn

nnn EE

e ττσβ , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⟩⟨⟩⟨

−= Fp

ppp E

Ee τ

τσβ (38)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⟩⟨⟩⟨

−⟩⟨⟩⟨

= 22

2 2 Fn

nF

n

nnn EEEE

e ττ

ττσχ ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⟩⟨⟩⟨

−⟩⟨⟩⟨

= 22

2 2 Fp

pF

p

ppp E

EE

E

e ττ

ττσ

χ (39)


Conductivitatea termica este

⎟⎟⎠

⎞

⟩⟩⟨⟨⟩⟩⟨⟨+⟩⟩⟨⟨+⟩⟩⟨⟨

+

⟩⟨

⟩⟨−⟩⟩⟨⟨+⎜

⎜⎝

⎛

⟩⟨

⟩⟨−⟩⟩⟨⟨

+=

pn

pnnppnpn

p

pppp

n

nnnn

pne

EEEE

EEEETe

ττττττττ

σσ

τ

τττσ

ττττσ

σσκ

2

)(1

22

2

222

2

222

2

(40)

si

2

222

)( ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

++

=eE

T

LLL F

n

n

p

p

pn

pn

pn

ppnn

σβ

σβ

σσ

σσσσσσ

(41)

unde numerele Lorentz pentru

electroni si goluri sunt

2

22

221

⟩⟨

⟩⟨−⟩⟩⟨⟨=

n

nnnn

EETe

Lτ

τττ ,

2

22

221

⟩⟨

⟩⟨−⟩⟩⟨⟨=

p

pppp

EE

TeL

τ

τττ

In semiconductorii puternic dopati dependenta de temperatura a conductivitatii termice

in regim extrinsec este similara cu cea din metale, deoarece concentratia purtatorilor de

sarcina este aproximativ constanta (vezi figura de mai sus).

In semiconductorii intrinseci,

concentratia purtatorilor de sarcina

depinde de temperatura, dependenta

de temperatura a conductivitatii

termice avand forma din figura din

dreapta.

Grupul de efecte in care

transportul purtatorilor de sarcina

intr-un conductor are loc in prezenta

unui gradient de temperatura ∇ sau T

creaza se numesc efecte termoelectrice. Cele mai importante sunt efectele Seebeck,

Peltier si Thomson, pe care le-ati studiat la seminar.

T∇


Conductivitatea termica a retelei cristaline Contributia fononilor (a oscilatiilor retelei cristaline) la transportul de energie termica este

determinant in materiale izolatoare din punct de vedere electric. Daca fluxul termic datorat

transportului de fononi are loc intre doua portiuni ale unui material intre care exista un

gradient de temperatura, presupunem ca acesti fononi sufera procese de imprastiere.

Definim fluxului termic in unitatea de timp al unui mod de vibratie fononica cu

energia λλ ω ,, qq h=E si numar de unda || q=q ca

gn vw q

qq λ

λλ ω ,

,, h∑= (42)

unde λλ ωω ,, qq −= si, in cazul fononilor acustici, q

vacgqv qq ),( ϕθ= este viteza de grup.

Avand in vedere ca la echilibru termic si densitatea fononilor depinde doar de 0,

0, λλ qq −= nn

λω ,q , deoarece viteza de grup este aceeasi ca marime dar opusa ca semn pentru q si

. In consecinta, un flux de energie termica diferit de zero apare doar daca densitatea

fononilor difera de valoarea la echilibru termic si nu mai are aceeasi valoare pentru

modurile q si . Aceasta situatie apare in prezenta unui gradient de temperatura, cand

densitatea fononilor variaza in timp in orice punct al cristalului.

0=w

q−

λ,qn

q−

Daca la un moment de timp t densitatea fononilor este , dupa un interval de timp

fononii se deplaseaza si numarul lor corespunde densitatii dintr-o regiune la distanta

, adica va fi

λ,qn

tΔ

tgΔv

Tn

Ttnntn gg∂∂

∇Δ−=∇Δ− λλλλ

,,,,

qqqq vv (43)

iar viteza de variatie a densitatii fononilor este

Tn

Tt

ng

drift ∂∂

∇−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂ λλ ,, qq v . (44)

O stare stationara se stabileste cand au loc procese de imprastiere care modifica

densitatea fononilor in sens opus variatiei sale datorita driftului:


0,, =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

ciocndrift tn

tn λλ qq . (45)

La fel ca in cazul imprastierii electronilor, introducem un timp de relaxare la imprastierea

fonon-fonon prin

)( ,

0,,,

λ

λλλ

ωτ q

qqq

fciocn

nn

tn −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂− . (46)

In aproximatia liniara, se presupune ca in prezenta gradientului de temperatura distributia

fononilor nu se abate puternic de la cea de echilibru, in termenul de drift se poate inlocui

Tn∂∂ λ,q cu

T

n

∂

∂ 0,λq , unde

1)/exp(1

,

0, −=

Tkn

Bλλ ωq

q h, astfel incat ecuatia cinetica Boltzmann

pentru fononi devine

T

nTg

∂

∂∇

0,λqv

)( ,

0,,

λ

λλ

ωτ q

qq

f

nn −−= (47)

si densitatea fluxului termic in unitatea de timp se scrie

T

nTfgg

∂

∂∇∑−=

0,

,,,

)( λλλ

λωτω q

qqq

vvw h (48)

Conductivitatea termica fononica este deci data de

T

nfggf

∂

∂∑=

0,

,,,

)( λλλ

λωτωκ q

qqq

vvh (49)

Pentru un gradient termic pe directia x, de exemplu, inlocuind in relatia de mai sus

),(31

3)( 2

22 ϕθac

gxg v

vv == pentru moduri acustice si qvac ),(, ϕθω λ =q , obtinem

2,

,2

,0,

]1)/[exp(

)/exp(

−=

∂

∂

Tk

Tk

TkT

n

B

B

B λ

λλλ

ω

ωω

q

qqq

h

hh (50)


si

2,

,2

,,

,

2

]1)/[exp(

)/exp()(),(

3 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

Tk

TkTk

vk

B

B

Bfac

Bf

λ

λλλ

λ ω

ωωωτϕθκ

q

qqq

q h

hh (51)

Putem acum trece de la suma in spatiul q la integrala:

∑ ∫=∑=

3

1,,,

,, )()()(

λλλλ

λλ ωωωω qqq

qq dDFF (52)

folosind densitatea de stari/oscilatii

∫Ω

=∫Ω

=∫∇

==== const acconstconst v

dVdqd

dqVdSVDλλλ ω λ

ωλ

ω λ

ω

ω λ

ωλ

ϕθ

ω

πωπωπω

,,, ),()2(|/|)2(||)2()( 3

,

2,

3,

2

3,3,qqq

q

qqqq

(53)

adica

λλ

λλλ

ω

λ

ω ωω

ωωωτ

πϕθκ

ω

,2,

,4

,,

0

2

3

3

1 ]1)/[exp(

)/exp()(

)2(),(3 qq

qqq d

Tk

TkTk

TkVv

dk

B

B

Bf

B

ac

Bf

D

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∑ ∫Ω

== Ω h

hh

h

(54)

Considerand ca

acac vvd 3

),(41 3

1=∑ ∫

Ω

= Ωλ

ω

ω ϕθπ (55)

si tinand cont de expresia limitei superioara a integralei dupa frecvente: 3 2 /6 VNvacD πω = ,

in variabila Tkx B/ωh= avem

dxxCxv fT

facfD

)()(31 /

0

2 ∫=Θ

τκ (56)

cu BDD k/ωh=Θ si


4

43

)1(expexp9−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Θ

=x

xxTNkCD

Bf (57)

Pentru a gasi conductivitatea termica fononica trebuie cunoscuta dependenta )(xfτ . In cazul

in care timpul de relaxare fononic este constant,

ffacf Cv τκ 2

31

= (58)

unde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Θ

=∫−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Θ

=Θ

TJTNkdx

xxxTNkC D

DB

T

DBf

D

4

3/

02

43

9]1)[exp()exp(9 (59)

cu

∫−

=y n

n dxx

xxyJ0

2]1)[exp()exp()( (60)

este caldura specifica fononica a retelei la volum constant in modelul Debye (valabila pentru

oscilatiile acustice).

Dependenta calitativa de temperatura a conductivitatii termice poate fi gasita in

urmatoarele cazuri:

a) Temperaturi inalte: DT Θ>>

In acest caz numarul fononilor din cristal este proportional cu temperatura:

λλλ ωω ,,

0, 1)/exp(

1qq

q hh

TkTk

n B

B≅

−= , (61)

frecventa ciocnirilor fonon-fonon ar trebui sa creasca proportional cu temperatura si timpul de

relaxare ar trebui sa scada proportional cu temperatura si, deoarece in acest regim 1<<x

NkdxxTNkC BT

DBf

D39

/

0

23

=∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Θ

=Θ

(62)

astfel incat


1−∝ Tfκ . (63)

In experimente se constata ca , γκ −∝ Tf 21 << γ , dependenta care poate fi justificata (dar

mult mai greu de demonstrat) prin faptul inlocuirea T

n∂∂ λ,q cu

T

n

∂

∂ 0,λq , in ecuatia cinetica

Boltzmann pentru fononi nu este decat o aproximatie a realitatii.

b) Temperaturi joase: DT Θ<<

In acest caz numarul de fononi este mic, frecventele acestora Dq ωω λ <<, si

3

02

43

]1)[exp()exp(9 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Θ

=∫−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Θ

≅∞

DDBf

Tadxx

xxTNkC (64)

cu a o constanta.

La temperaturi foarte joase (sub 10 K), situatie in care numarul fononilor este foarte

mic, rolul jucat de procesele de imprastiere este neglijabil si fononii se imprastie doar pe

suprafata cristalului, timpul de relaxare asociat fiind independent de temperatura. In acest caz

3Tf ∝κ (65)

valoarea conductivitatii termice fiind cu atat mai mare cu cat sectiunea transversala a

cristalului este mai mare.

La temperaturi mai ridicate, dar in continuare in aproximatia , numarul

mediu al fononilor care participa la imprastiere este

DT Θ<<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

−=

TTkTkn D

BBexpexp

1)/exp(1 ,

,

0,

λ

λλ

ωω

q

qq

h

h (66)

timpul de relaxare asociat fiind dat de

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

∝T

b Df expτ (67)

cu b un coeficient de ordinul unitatii, astfel incat


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

∝T

bT Df exp3κ (68)

Dependenta dominanta de temperatura in

acest caz este exponentiala. Dependenta

de temperatura a conductivitatii termice

fononice pe intregul interval de

temparatura este ilustrata in figura din

dreapta.

In general, in experimente se constata o dependenta de temperatura a conductivitatii

termice de forma

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Θ

=T

bTa Dn

Df expκ (69)

constantele a, b si n determinandu-se empiric pentru un cristal dat si intr-un interval de

temperatura dat. In figurile de mai jos sunt prezentate dependentele conductivitatii termice

fononice de temperatura in cazul diamantului si al siliciului.

Fizica starii solide II -...

Documents

Transcript of Fizica starii solide II -...