exercitii rez

download exercitii rez

of 123

  • date post

    05-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    520
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of exercitii rez

1APLICATIIALECALCULULUIDIFERENTIALMaterialpentruuzulstudent ilordelaFACULTATEADEMECANICA2Contents1 Aplicat iialecalcululuidiferent ial 51.1 Extremealefunct iilorrealedemaimultevariabilereale. . . . 51.1.1 Exemple siexercit iirezolvate . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Exemple siexercit iipropuse . . . . . . . . . . . . . . . 211.2 Funct iideniteimplicit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1 Exemple siexercit iirezolvate . . . . . . . . . . . . . . 221.2.2 Exemple siexercit iipropuse . . . . . . . . . . . . . . . 371.3 Extremealefunct iilordeniteimplicit . . . . . . . . . . . . . 411.3.1 Exemple siexercit iirezolvate . . . . . . . . . . . . . . 411.3.2 Problemepropuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.4 Extremecondit ionate. MetodamultiplicatorilorluiLagrange . 501.4.1 Exemple siexercit iirezolvate . . . . . . . . . . . . . . 501.4.2 Problemepropuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.5 Extremelefunct iilorrealedenitepemult imicompacte nIRm841.5.1 Exemple siexercit iirezolvate . . . . . . . . . . . . . . 841.5.2 Problemepropuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.6 Transformaripunctualeregulate . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.6.1 Exemple siexercit iirezolvate . . . . . . . . . . . . . . 931.6.2 Problemepropuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.7 Dependent a siindependent afunct ional a . . . . . . . . . . . . 971.7.1 Exemple siexercit iirezolvate . . . . . . . . . . . . . . 971.7.2 Exemple siexercit iipropuse . . . . . . . . . . . . . . . 1001.8 Schimbaridevariabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.8.1 Schimbareavariabilei independente necuat ii diferen-t ialeordinare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.8.2 Schimbarea ambelor variabilentro ecuat ie diferen-t ial aordinara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10534 CONTENTS1.8.3 Schimbareavariabilelorindependente nexpresii dife-rent ialecuderivatepart iale . . . . . . . . . . . . . . . 1071.8.4 Schimbareatuturorvariabilelor ntroecuat iediferen-t ial a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.8.5 Exemple siexercit iipropuse . . . . . . . . . . . . . . . 119Chapter1Aplicat iialecalcululuidiferent ial1.1 Extremeale funct iilorreale demai multevariabilereale1.1.1 Exemplesiexercit iirezolvateExercit iul1.1.1S asedeterminepuncteledeextremlocal alefunct ieif: IR2IR, f(x, y) = x4+y4+ 2x2y28x + 8y.Solut ie. Determin ampunctelecritice(stat ionare)alefunct ieif.Intruc at funct iaf estedeclas aC(IR2), pentrudeterminareaacestorpuncte stat ionare, trebuie s a calcul am derivatele part iale de ordinul nt ai alefunct ieif.Avemfx(x, y) = 4x3+ 4xy28,fy(x, y) = 4y3+ 4x2y + 8.Solut iile sistemului obt inut prin anularea derivatelor part iale de ordinul ntaialefunct ieif

x4+xy2= 2y3+ x2y = 2vor ppunctele stat ionare ale funct iei f. Sistemul obt inut este omogen. Dupaadunareaecuat iilor si mp art ireacuy3seajungelaecuat iat3+t2+t + 1 = 0, t =xy.56 IonCraciunSingurasolut ie realaaecuat iei nt este t0= 1si pentruadeterminapunctelestat ioanreavemderezolvatsistemul

y= xx3+xy2= 2.Rezolv and acest sistem, gasim c a singurul punct stat ionar este x0= (1, 1).Pentru a decide natura acestui punct stat ionar trebuie sa calcul am valorilederivatelorpart ialedeordinulaldoileaalefunct ieifnpunctulx0.Avem:2fx2(x0) = (12x2+ 4y2)

(1,1)= 16;2fxy(x0) = (8xy)

(1,1)= 8;2fy2(x0) = (12y2+ 4x2)

(1,1)= 16.Hessianafunct iei fnpunctul x0estematriceapatratic asimetric adeordinulaldoileaHf(x0) =

16 88 16

Minorii principali ai acestei matriec sunt 1= 16 > 0 si 2= det Hf(x0) =192 > 0 si,dup a criteriul lui Sylvester,rezult a c a x0= (1, 1) este punct deminim local al funct iei f, iar valoarea minim a este fmin= f(1, 1) = 12.Exercit iul1.1.2S asedeterminepuncteledeextremlocal alefunct ieif: D IR, f(x, y) =12xy + (47 x y)

x3+y4

,undeDestedomeniulformatdintoatepuncteleprimuluicadranalreperuluixOy.Solut ie. Derivatelepart ialedeordinul ntaialefunct ieisunt:

fx(x, y) =12y

x3+y4

+13(47 x y)fy(x, y) =12x

x3+y4

+14(47 x y).Sistemuldedusdupaanulareaacestorderivateare nnalforma

8x + y = 447x + 6y = 347.Exercit ii siproblemerezolvate sipropuse 7Solut iaacestuisistemestex0= 21,y0= 20sidecisingurulpunctstat ionaralfunct ieiesteM0(21, 20).Derivatelepart ialedeordinulaldoileaalefunct ieifsunt:2fx2(x, y) = 23;2fxy(x, y) = 112;2fy2(x, y) = 12.Diferent ialaadouaafunct ieifntrunpunctarbitrarM(x, y) Dested2f(x, y) =2fx2(x, y)dx2+ 22fxy(x, y)dxdy +2fy2(x, y)dy2.In punctul stat ionar determinat rezulta ca diferent iala a doua a funct iei f npunctulM0(x0, y0)ested2f(x0, y0) = 23dx216dxdy 12dy2.Observ amc aaceastaform ap atratic asepoatescriecad2f(x0, y0) = 16

2dx +14dy

2+4716dy2

2,deundededucemcadiferent ialaadouaafunct iei fnpunctul stat ionarg asit este o forma patratica negativ denita ceea ce atrage c a M0este punctdemaxim. Valoareamaxim alocal aafunct ieifestefmax= f(M0) = 220.Exemplul1.1.1Funct iarealadedouavariabilerealef: IR2IR, f(x, y) = x3+ y3+ 21xy + 36x + 36yaredouapunctestat ionare. Unuldintreeleestepunctdemaximiarcelalaltestepunctdetipsa.Solut ie. Sistemul alec arui solut ii sunt punctelestat ionarealefunct iei feste

x2+ 7y + 12 = 0,y2+ 7x + 12 = 0.=

x2+ 7y + 12 = 0,(x y)(x +y + 7) = 0.Ultimulsistemesteechivalentcudouasistemedintrecaredoar

x2+ 7y + 12 = 0,x + y + 7 = 0.8 IonCraciunaresolut iireale. Rezolvandul,seg asescdouasolut ii,(4, 4) si(3, 3).Prin urmare, funct ia fare doua puncte stat ionare M1 si M2, unde M1(4, 4),M2(3, 3).Derivatelepart ialedeordinulaldoileaalefunct ieifauexpresiile2fx2(x, y) = 6x,2fxy(x, y) = 21,2fx2(x, y) = 6y,iarvalorileacestora npunctelestat ionaresunt:

2fx2(M1) = 24,2fxy(M1) = 21,2fx2(M1) = 24,2fx2(M2) = 18,2fxy(M2) = 21,2fx2(M2) = 18.Diferent ialeledeordinulaldoilea npunctelestat ionareauexpresiile:

d2f(M1) = 24dx2+ 42dxdy 24dy2;d2f(M1) = 18dx2+ 42dxdy 18dy2,Fiecarediferent ial aesteoformap atraticadenit apeIR2. Vom ncercas ascriemacesteformepatraticecasumedep atrate, ceeace nseamn aaleaducelaexpresiicanonicealelor.Vom folosi metoda lui Gauss de aducere a unei forme p atratice la o expre-siecanonicaasa. Aceastaconst a ngruparialetermenilordupaprocedeul:dac atermenul carecont inedx2arecoecientul nenul, atunci segru-peazatot itermeniicareaucafactorpedx;n cazul c a nu exista termen care sa cont in a dx2, se aplica pasul prece-dent ncaredxse nlocuiestecudy;seadun a sisescadetermenulcarelipsestedindezvoltareaunuibinomlapatrat;sereductermeniiasman atoridupacaresereiaprocedeul ncarerolulluidx(saudupacazdy) laredy(respectivdx);dac a nu exist a termeni care s a cont ina dx2si dy2, iar coecientultermenului ce cont ine produsul dxdy este diferit de zero, atunci seefectueaz aschimbareadx=d+d, dy =d d.Inacest mod,expresia diferent ialei a doua a funct iei f ntrun punct va avea un ter-mencarecont ined2sisereiaprocedeuldelaprimulpas;Exercit ii siproblemerezolvate sipropuse 9nnal, aplicarearepetataaacestuiprocedeuconducelaoexpresieadiferent ialeiadouaafunct ieifntrunpunctcaosumadepatrate.Procedeul de scriere a unei forme p atratice ca o suma de p atrate se poateaplicasi atunci c andformapatratic aaremai multdedou avariabile, dup acum vom vedea ntrun alt exemplu, n care funct ia c areia i cercet am punc-teledeextremaretreisaumaimultevariabile.Incazuluneifunct iidetreivariabile,pasulaltreilease nlocuiestecorespunz atorcupasul:se aduna si se scad termenii care lipsesc din dezvoltarea unui trinom lap atrat.Aplic andaicimetodadescrisa,gasim:d2f(M1) = 6

2dx 72

2458dy2; d2f(M2) = 2

3dx 72

2+132dy2.Examinarea acestor expresii ale celor dou a diferent iale arat a c a prima esteo forma p atratic a negativ denita, iar a doua este form a patratic a nedenit a.Prin urmare, M1 este un punct de maximn timp ce punctul M2 nu este punctdeextrem,estepunct sa.Exercit iul1.1.3Determinat ipuncteledinIR2ncare,local,funct iaf: IR2IR, f(x, y) = x3+y39xy + 2arevaloriextreme.Solut ie. Funct iadat aesteinnitdiferent iabil aiarderivatelesalepart ialedeprimeledouaordinesunt:fx(x, y) = 3x29y,fy(x, y) = 3y29x;2fx2(x, y) = 6x,2fxy(x, y) = 9,2fy2(x, y) = 6y.Sistemul format prinanulareaderivatelor part iale de ordinul nt ai alefunct iei faredou asolut ii, O(0, 0)si M1(3, 3)iardiferent ialelecorespunz a-toareauexpresiiled2f(0, 0) = 18dxdy,d2f(3, 3) = 18dx218dxdy + 18dy2.10 IonCraciunDiferent iala a doua a funct iei f n origine este form a patratica nedenit a(arevaloriat atnegativecatsinenegativepentrudiversevalorialeluidxsidy),aceastaar at andc aorigineaesteunpunctdetip saafunct iei.Diferent iala a doua a funct iei f n cel de al doilea punct critic este form ap atratica pozitiv denit a deoarece, folosind metoda lui Gauss, se poate scried2f(3, 3) = 18

dx 12dy

2+34dy2

si, prin urmare, punctul M1(3, 3) este punct de minim local. Valoarea minim alocalaafunct ieiestefmin= f(3, 3) = 0.Seconstatac aexist aovecin atateV apunctuluiM1cuproprietateaf(x, y) > f(3, 3) = 0, ()M(x, y) V ` M1,faptceconducelaconcluziac apunctul M1esteunpunctdeminimlocalstrictalfunct ieif.Exercit iul1.1.4S a se determine punctele de extrem ale funct iei z= xy2exypedomeniul eimaximdedenit ie.Solut ie. Domeniulmaximdedenit iealfunct ieiesteIR2.Derivatelepart ialedeordinul ntaialefunct ieisunt:zx= y2(x + 1)exy;zy= xy(2 y)exy.Rezolv andsistemulcared apunctelestat ionaresegasesc:M1(0, 0); M2(1, 0); M3(1, 2).Derivatelepart ialedeordinulaldoileaalefunct ieizsunt:

2zx2(x, y) = y2(x + 2)exy;2zxy(x, y) = y(x + 1)(2 y)exy;2zy2(x, y) = x(2 4y + y2)exy.Exercit ii siproblemerezolvate sipropuse 11Diferent ialaadouaafunct ieiz ntrunpunctoarecareM(x, y)ested2z(x, y) =2zx2(x, y)dx2+ 22zxy(x, y)dxdy +2zy2(x, y)dy2.Diferent iala a doua a funct iei z n M2 este d2z(M2) = 2edy2si se constat ac aesteoformap atratic anegativa, deci M2estepunctdemaximlocal alfunct iei.Diferent ialaadouaafunct ieinM3, d2z(M3) =2e3(2dx2+ dy2),