Marius PERIANUCstsIiN STANICADaniela STANICA

ESENTIAL)

Matematiciclasa a VI-a

I

)w(/ cLueul \/urtrurrroerton\

Cuprins

ltsesRACap.1 - Numere naturale1 .1 . Opera$i cu numele natuta\e ..................

1.2. Reguli de calculcu puteri1.3. Compararea puterilor . Pdtrate 5i cuburi perfecte.

Alte probleme in care intervin puteri.............

Teste de evaluare1.4. Divizor. Multiplu1.5. Criterii de divizibilitate....................

1.6. Proprieti[ile ale relaliei de divizibilitate in N

Teste de evoluare ............,

1.7. Numere prime. Numere compuse......

1.8. Descompunerea numerelor naturale in produs

de puteri de numere prime............

1.9. Divizori comuni..........1.10. Multiplicomuni

Teste de evo|uore ..........................

1.11. Probleme cu caracter aplicativ........

Cap.2 - Numere rafionale

2.1. Fractii echivalente. Fraclii ireductibile..............

2.2. Numere ralionale pozitive. Forme de scriere

2.3. Compararea numerelor ralionale. Aproximiri..2.4. Adunarea numerelor ralionale pozitive.........

2.5. Sciderea numerelor ralionale pozitiveTeste de evaluore ...,..............

2.5. lnmullirea numerelor ralionale pozitive.........

2.7. lmpi(irea numerelor ralionale po2itive..............

2.8. Ridicarea la putere a numerelor ralionale pozitive.

Reguli de calcul cu puteri2.9. Ordinea efectuirii operaliilor.

Teste de evaluare2.10. Media aritmeticd ponderati a unor numere ralionale......' 113

2.1 1 . Ecualii in mullimea numerelor ralionale pozitive......... 1 16

2.12. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecualiilor......

Teste de evaluare

112

16

202328

33

3741

4448525659

6369768l87929599

IIEt

l!l!

!UIJF

=uIF

=a

3

103

107t'10

119't22

1252.1 3. Probleme cu caracter ap1icativ..............

GEOMETRIE

Cap.3 -Dreapta

Cap.6-Variante de subiecte pentru tezi

3.2. Semidreapta. Semiplanul ..........

3.4. Poziliile relative a doud drepte.......

Teste de eva1u6rre...............-.-.-..-...3.6. Probleme cu caracter ap1icativ...................

Cap.4-Unghiul4.1. Unghiul4.2. Clasificarea un9hiuri1or....................4.3. Unghiuriadiacente. Bisectoarea unui unghi .172

4.4. Unghiuri complementare. Unghiuri sup1ementare................... "177

4.5. Unghiuriopuse la vdrf ............ tg24.6. Unghiuri in jurul unui punct... 1g5

Teste de eva1uore......,.....-.... l gg4.7. Probleme cu caracter aplicativ....... l9I

Cap. 5 -Triunghiul

5.2. Construc!ia triunghiurilor5.3. Congruenla triun9hiuri1or........................5.4. Metoda triunghiurilor congruente

2"t"1

2"t5

219

22s

5.5. Probleme cu caracter practic

Solulii

12913s139142145151

155

159168

'195

200204208u

zvt_g,oJc(Eo

gzvt.g,(l]

'.EU

Izsclr|GJ|!

=a

4

AL GEBRA

CAPITOLUL

I,{umere naturale1.1. Operalii cu numere naturale1.2. Reguli de calcul cu puteri1.3. Compararea puterilor. Pitrate gi cuburi perfecte.

Alte problemein care intervin puteriTeste de evaluare

1.4. Divizor. Multiplu1.5. Criterii de divizibilitate

1.6. Proprietitile divizibilitilii in N

Teste de evaluare1.7. Numere prime. Numere compuse

1.8. Descompunerea numerelor naturale in produs de numereprime

1.9. Divizoricomuni1.10. Multiplicomuni

Teste de evaluare1.1 1. Probleme cu caracter aplicativ

CAPITOLUL 1

Ir{umere naturale

r.r.Operafii cu numere naturale

Opera[iile invSlate cu numere naturale se clasificl in:- operalii de ordinul intii: adunarea gi sclderea;- operafli de ordinul al doilea: inmullirea 9i imp[rfirea;- operalii de ordinul al treilea: ridicarea la putere.

Proprietili ale operaliilor cu numere naturale1. Adunarea este comutativi, asociativ[ qi are elementul neutu 0.

2. inmul,tirea este comutativl, asociativl qi are elemenhrl neutru 1.

3. inmu[irea este distributivdfalide adunare gi scddere.

Ordinea efectuirii operaliilor1. Operatiile de acelagi ordin se efectueazl in ordinea in care sunt scrise.

2. Dacd un exerciliu cuprinde operafii de ordin diferit, mai intdi se efectueazioperagiile de ordinul al treilea, apoi cele de ordinul al doilea 9i, in final, cele deordinul I.

3. Daci seutilizeazdparantezele, atunci mai intZii se efeciteazA calculele parantezele

rotunde, apoi din cele pitate gi, in final, cele din acolade.

I|E

(g.EIEUgF

=lIF

=a

7

CUNOA$TERE qI EXERSARE

1. Calculati:a) 945+62;d) 32 + 999;

2. Calculafi:a) 345+75+123;d) 202 + 303 + 77;g)509+902+10O3;

3. Calculaf;:a) 333 - 22;d) s67 - 298;

4. Calculafi:a) 845 - 35 - 123;d)50s - 303+707;9609+542 - tO43;

b)e)

b)e)h)

b)e)

b)e)h)

765 + 0;t234 + 87005;

t5 +269 + 1234;148+57+1009;408+87+1005;

345 - 234;5234 - 555;

875-29-124;144-57+109;568+79 -428;

c) 5043 + 90129;

0 2t786 + 6839.

c) 43 + 790 + 128;

0 2005 + 107 + 777;i) 178 + 6127 + 10007.

c) 4576 - 465;

a x649 - 7839.

c) 443 - 79 - 128;

03015 - 56+788;i) 778 + 1427 - 1',102.

5. Calculafi:a) 247'0;d) 56.38;99.54.104;

6. Calculafi:a) 245:5;d) 1624:4;g) 156O: 12;

T.Cala;Jrali:

b) 1345.1;e) 534'42;h) s8.79 . 100;

b) 345:3;e) 5275:5;ft/ 1080: 15;

c) l' 6723 '0;fl 2364 . 2e;i)778.9.17.

c) 724:4;fi3249:9:'i) l9ll :13.

c) 129-n=43;J) 28:n=7;i) n.2:3 = 18.

IzFut!.oc|Eo

t=Ut.g,l!

'lEU,=Gt!G5t!

=o

8

a) 27 +35'9 - 14; b) 395 - 41 '9+ 88; c)2000 - 14'15 + 128;

d)20'67 - 288+99; e) 354'12 - 671 - 66; 07364- 29'16- ls'18.

8. Completa{i spaliile punctate penfiu a obf;ne propozifii adevlrate:a,) Dublul num[rului 269 este egal cu ... .

D/ Triplul numirului 3578 este egal cu ... .

c) Jumltatea lui 500 este egal6 cu ... .

d/ Sfertul numIrului 2304 este egal cu ... .

e) Numdrul 674 este cu ... mai mare dectt 546.

l) Numdrul 56 este cu ... mai rnrc decdt 124.g) Numdxul de 7 ori mai mare decdt 18 este egal cu ... .

,, Numed de 15 ori mai mic decdt450 este egal cu... .

IIACUMULARE 9I CONSOLIDARE

9. DacI apreciezi ci propozilia este adevdratii, incercuieqte litera A tn caz contarincercuiegte litera F:

a) 47 +35 :35+47 A

c) 2OO - 145: 145 - 200 A

e) 3' 5' 12:12' 5'3 A

F b) 47-35:35.47F d)267 .r4;F CI 734+ L2'14: 12' 14 + 734

F

F

F

10. Asociaf, fiecare literi din coloana A cu cifra din coloana B corespunzltoarer5spunsului corect.

ABa)24'18 9 1' 186

2.48b)24 - t8:e i.r^c)24+18'9 4.22

11. Determinali numlrul natural n pentru care avem:

a) n+123=576; b) n-64=439;d) n:Ll =39; e) n-14=350;

A

A

A

g) 2n-lt=35; h) 47 -2n=13;

12. Calculafi:

a1 z.lt$.(:+:.r)];U s.Uzs-s.(t +ze :z)f;

c) 840, {to + z.lta -+oo : (rs + +s : 9)]} ;

d) t2s: (z: - ts) -+s : {(++o : 22 -rs).r2 - 48\.

Rezolvare. D,) s.ltzs - s . (t + x : z)f = s'ltzs - s' (z + t s)] = 5' 4 = 20.

r 3. Efectuafi, utilizdnd factorul comun:a) 15.12+15.88;d) 43.t8-43.8;

b) 25.47 +25.53;e) 72.21-72'll;

c) 32.4+32.6;o 28.r9-9.28.

Rezolvare.a) 15.12 + 15.88 = 15'(12 + 88)= 15'100 = 1500.

14. Efectuali:a) l+2+3+...+20; b) l+2+3+...+25;c) l+2+3+...+30; d) l+2+3+...+35.

Rezolvare. a,) I + 2 + 3 + ... + 20 = (20' 2l) : 2 = 420 : 2 = 210.

15.a)Dacd x.y=30 gi x.z=25, atancicalculaf; x'(y+z)si x'(y-z).b) Dacd x. y = 20 gi x' z =8, atunci calcula,ti x' (y + z) Si x' (y - z) .

c) Dacd x' (y + z)= 135 $i x' z = 63, atunci calculafi x' y qi x' (y - z)'

d)Dacd x'(y-z)=6 $i x'-y =24,aitncicalculafl x'(y+z)si x'z '

e)Dacd x=6 $i !*z=ll,atuncicalculaf; x'y+x'2.Rezolvare.a,) Aplicim distributivitatea inmutirii fafS de adunare 9i scEdere 9i oblinem:

x.(y+z)=x'y+x'z=30+25=55; x'(y-z)=x'y-x'z=30-25=5'

16. Efectuafi:

a1 t t + 8. {4s+ + . [r + a . 1t z . 1 3 - 8 . 14) - 3 t)\ + t234

b) (32 . I s - 32 . 5) + | t. t2 + t . {tz+ - s' lzro - 2' (23' t7 - z+' tZ)l\ ;

c) t2 + 12. {12 + 12 .U2 + t2 . (tz . t2 - t22)]\ + tz' tz;

Rezolvare.Efectuimcalculeledinparantezelerotunde:12.13-8.14=156-ll2=M;Efectuim apoi calculele din parantezele pStrate: 3 +8.44 -37 =3 +352 -37 =318;

Efectu6m calculele dintre acolade: 45 + 4. 318 = 45 +1272 = l3l7;EfectuSm calculele fina{e, f;ndnd cont de ordinea efectudrii operaliilor:

I I + 8' 13 17 + I 234 = ll + 10536 +1234 =ll78l.17. a,) Suma a doud numere naturale este egald cu 44. tmpd4ind numdrul mai mare la

numarul mai mic ob,tinem c6tul 5 qi restul 2. Determinali cele douS numere.

6) Suma a doud numere naturale este egal6 cu 93. imp64ind numirul mai mare la

numdrul mai mic oblinem cdtul 7 gi restul 5. Determinaf; cele doud numere.

c) Suma a dou6 numere naturale este egal[ cu 96. Determinati numerele gtiind cd

I.EI

t!t!sL,,

IJ

=UJ

Ea

9

L'zvt-g.gC(Eo

gzvt.srrlJ

'(!\J

)2sGIIlo3(!

=a

10

unul dinte numere este de 7 ori mai mare decdt celdlalt.

Rezolvare. c) Daci numerele suntr giy, atunci r + y:44lix:5y + 2. Prin inlocuirea luir cu 5y + 2 in prima relalie, obfinem: 5y + 2 + y : 44 sa:u 6y : 42 sau/ : 7 . De aici, x : 37 .

18. Asociafi fiecare liter6 din coloana A cu cifra din coloana B corespunz6toarer[spunsului corect.

ABQ ea-Q8-Zs) t.e1

b) (,4-28\-2s 2'91' 3.147

c) 94+(28-25) 4.41

19. a) Cdte numere naturale de doul cifre dau restul 5 la impdrfirea cu 7?

U Cel'e numere naturale de doui cifre dau restul 9 la impirlirea cu l1?c) COie numere naturale dau cdtul 13 la impir,tireaou6?0 Ceis numere naturale de hei cifre se impart exactla23?

20. a) Suma a patru numere naturale nenule gi distincte este 10. Determinali celepatru numere.D/ Suma a gase numere naturale distincte este 15. Este posibil ca toate numerele sdfie nenule?

rIIAPROFUNDARE 9I DEZVOLTARE

21. Determinafi numirul natural x:

a) (x.2:5-25).6=e0; b) s6-2.137 -(x-rs)] =rz;

c1 +.ltzz - s.(27 - x)f-14 = 78; d) (x +tz).r3 -(.r+12).e = ao.

22. a,) Suma a doui numere naturale nenule este 9. Aflali cea mai micl qi cea maimare valoare a produsului lor.D/ Suma a doui numere naturale nenule este 10. Afla1i cea mai micl gi cea maimare valoare a produsului lor.c,) Produsul a doud numere naturale este 18. Aflali cea mai mare si cea mai miclvaloare a sumei lor.d/ Produsul a doul numere naturale este 12. Afla1i cea mai mare si cea mai micivaloare a sumei lor.

Rezolvare. Sunt urnEtoarele cazuriX v x'yI 8 8

2 7 t4J 6 l84 5 20

Cea mai mic[ valoare a produsului este 8, iar cea mai mare valoare este 20.

23.Se dau numerele x=a+b $i y=b+c. Pentru fiecare din propoziliile

urm6toare, dacdapreciezici o propozifie este adev6ratii, incercuiegte in dreptul ei

litera A. in caz contrar incercuiegte litera F.

pl. Dac6x:5Siy:l0,atunci a+2b+c=50. A F

p2.Dac5x:7 Siy:9,atunci a+2b+c=16. A F

p3.Dacix:5Siy:10,atunci 2a+5b+3c=41. A F

p4.Dacdx:1 Siy:9,atunci 2q+b-c=4- A F

24. Efectuafl:a) 5+6+7+...+20; D) 8+9+10+...+25;c) 7 +8+9+...+35; d) 2+4+6+...+40;e) 3+6+9+...+30; 7) 5+10+15+...+50;

g (2 + t +...+ 2014)-(1 +3 +.-.+2013);

h) (22 + 44 + ... + ao26) : (tt + zz + ... +201 3).

Rezolvare. a) 5 + 6 + 7 + ... 1 29 = (1 + 2 + 3 +... + 20) -(l + 2 + 3 + 4) = 2Ui..

d) 2 + 4 + 6 + ..' + 40 = 2' (1 + 2 + 3 + ... + 20) = 2' (20' Zt : Z\ = 420'

TlEI

TE

l!!Ifr,F

=ulF

=a

11

Testul 1

(4p) 1. Calculaf,:

a) 50 +07 +le +91 +42 ;

c,) 1 l@ :1 158;

b) 7" .7 -731; '"

d) (60)'n :6'c.

Izut(o

.gc(to

Izut.c,(!r(€\,,

)zsGulra(g

=a

20

(1p) 2. Calculaf,: (:u)' '(s')o

+3' -70 .lz+1,3a +33 :1:'.:-ts';].(I p) 3. fudtati cI numlrul 92r este pltrat perfect gi cub perfect.

(1p) +. Compara,tinumerele: 460 cu32t7.(2p) 5. Dacd 3' : a, calctilatr in funclie de a:33";3n+t ' 32n+3 r 33n+4.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordl I punct din oficiu.

Testul 2(4p) 1. Calculali:

a) llo+53+0rr+111+ll2; b1 53e.5:531 ;

c) l33o :1328; io (zu)' 3" .

(1p) 2. Calculali: 240 '235 +2'o -2'.ls+:zn +23:(23.2'-z+If.(1p) 3. Rezolvali ecuaf;a: 5x+2 +sx+t -5' =145.(1p) 4. Comparali numerele: 5as cu 1130 .

(2p) 5. a) Ardtali cI numdrul 55 nu e pdtrat perfect.

b) Ardtali ci numdrul b = 2. (l + 2 + 3 + ... + 124) + I 25 este cub perfect.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordd I punct din oficiu.

Testul3(4P) 1. Calculali:

a) 20lo +020r +1201 +2011 +43; b) 6".6-6'u;

c) 2s6 :2s3; 0 bn)u ,(s")' .

(1p) 2. Calculali: lso : 492a +(l')o +/ .ll+l :l' +(z' . s')f -

(1p) e. Comparagi numerele: gr7 -8-916 qi 271a -26.2713.(1p) 4. Scrieji numdrul73 ca sum[ de hei cuburi perfecte.(2p) 5. Aflatj agi 6 din relalia: 2"*3 .3b-2 =9.8.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordE I punct din oficiu.