sorin Peligrad Adrian furcanu Marius AntonescuFlorin Antohe Lucia Popa Agnes Voica

Matematicialgebtd, geometrie

Caiet de lucru. Clasa a Vl-aPartea I

r' Modalitafi de Iucru diferentiatey' Pregitire suplimentari prin planuri individualizate

Soluliile testelor de autoevaluare pot fi consultate la adresa:

http://www.edituraparalela45.rolwp-content luploadsl}l17 107/solutii_teste_de_autoevaluare_consolidare_clasa6 seml_2018.pdf

Editura Paralela 45

R,ECAPITULARE

2. Modele de teste pentru evaluarea ini1ia16........ ........................5

ALGEBRACapitolul I. DMZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE1. Operalii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri..... ........................7

3. Criteriile de divizibilitate cu 10,2,5,3,9 ............ ................164. Proprietdfi ale relaliei de divizibilitate in N ............... ..........205. Numere prime, numere compuse .......................236. Descompunerea numerelor naturale in produs de puteri de numere prime ................277.Divizori comuni a dou[ sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c. ........................31

9. Multiplii comuni a doud sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.; rela[iadinhe c.m.m.d.c. qi

10. Probleme simple care se rezolvd folosind divizibilitatea................. ......42

Capitolul II. OPERATII CU NUMERE RATIONALE POZITM

12. No{iunea de num[r rafional; forme de scriere a unui num[r ralional; N c Q ....."....5313. Adunarea numerelor rafionale pozitive...... ......5i14. Sc[derea numerelor ralionale pozitive...... .......6215. lnmullirea numerelor ralionale pozitive...... ........................6616. Ridicarea la putere cu exponent numlr natural a unui num6r rafional pozitiv .........71

18. impI(irea numerelor ralionale pgzitive...... ........................80

GEOMETRIECapitolul I. DREAPTA20. Punct, dreaptd,planl'pozisiile relative ale unui punct fafi de o dreapti;pozifile relative a doui drepte.......92

22. Segment. Lungimea unui segment; distanfa dintre doul puncte........ .............."......10123. Segmente congruente; construclia unui segment congruent cu un segment dat.......... ..............10524. Mijlocul unui segment; simetricul unui punct fa!6 de un punct..... ......109

Recapitulare Si sistematizare prin teste ............... l 14

Capitolul II. UNGHIURI

26. Misurarea unghiurilor cu raportoru1............ ......'.'............120

27.tJnghi drept, unghi asculit, unghi obtuz; unghiuri congruente .-...-------124

28. Calcule cu m[suri de unghiuri exprimate in grade qi minute sexagesimale................. .............128

29. Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi.. ....................132

30. Unghiuri suplementare; unghiuri complementare ............. .........---..-.-.136

32. Unghiuri formate in jurul unui punct.. .....--.-.-144

Recapitulare Si sistematizare prin teste ........... ""149

Capitolul III. CONGRUENTA TRIUNGHIURILOR33. Triunghi, elemente; perimetru; clasificarea triunghiurilor...'........'.... """"""""""' 151

34. Construcfia triunghiurilor: caztxile L.U.L., U.L.U., L.L.L. """""""" 155

35. Congruenfatriunghiuriloroarecare.............. """"""""""'15936. Criterii de congruenlE a triunghiurilor: L.U.L, U.L.U., L.L.L.-........ .'.......'..'.'.'.'...163

37. Elemente de ralionament geometric ...-...-.......167

38. Metoda triunghiurilor congruente ..................171

rROBLEME rREGATITSARE PENTRU OLIMPIADE $I CoNCURSURI ......................180

Competenfa:Recunoagterea unor mul[imifi nite; mullimea numerelornaturale pare/impare,mul[imea cifrelor unui numdr

Numirul de elemente al unei multimi se numegte cardinalul mulfimii. Numerele naturale suntnumerele care pot repreznnta cardinalul unor mullimi. Cardinalul mu{imii vide este 0, deci 0 esteilm[rnatural.

\ t tu4i*ea nu.nerelor naturale se noteazd cu N, deci N = { 0, 1,2,3, 4, . . .} .

Mulfimea numerelor naturale diferite de 0 se noteazdcu N*, deci N. = {lo 2,3,4, ...}.In clasele I-fV au fost inv6late opera,tiile de adunare, sc[dere, inmullire gi imp[rfire cu numere naturale. inclasa a V-a au fost completate cunogtinlele despre implrfirea numerelor naturale gi a fost definita opera,tiade ridicare la putere.Principalele proprietifi ale acestor opera{ii sunt:

\ lOrr"rea este comutativl, este asociativi, iar 0 este element neutru.Exemple: 7-.1+ 10+90 +999=(t +ggg)+(10+ 90)= 1666+ 100= 1100.

2. Suma cifrelor numlrului 100...Q1 este 2 pentru orice n e N*.

=(t+too)+(t+roo)+...+(r +100) = (r+ roo).s0 = (1+100) .t00:2= 5050.

(suma lui Gauss).

\ S.Id..ua nu este comutativi. Egalitatea a - b = b - a arcloc dac[ qi numai dacd a = b.Exemplu:x-5=5-;r=x=5

\ inmutfirea este comutativ[, asociativl, I este element neutru gi este distributivd fafn de adunare gisc[dere.Exeuple: t-.25 .8 .4.3 :(2s.4).(8 .3) = 100 .24=2400.

2. Produsul cifrelor numftului 5++4 este 20, pe,ntnr orice z e N{*.

\ feo"enna fitnpdrfir'rrr 8rr Tlsh Pentnr uice numere naturale a qi b, b * O,exist[ dou[ numere

naturale unice c gi r, astfel io"y@$il r. eIObsenta[i& Teorema impe4irii cu rest este un p.ocA". prin care putem s[ afl[m cAtul gi restul unorimp[{iri, atunci cdnd acestea sunt greu de calculat direct. in astfel de situalii, incerc[m s[ scriem deimpir-,titul ca produsul dintre implrfitor gi un numlr (acesta va fi cdtul!), adunat cu un alt numir mai mic dec6timp[rfitorul (acesta va fi restul!).

4. I + 2 +3 +... + n = (l + n). n:, =fuP

nde0

3. I + 2 + 3 +... + 100 = (t + too) + (z +99) +... + (so + s r) =50 depmteze

50 depmtere

EXemple: 1. Calculeazd cittil 9i restul impd4irii numarului 6a + 3b + 251a3.

6s+3b+25=3(2a+b+8)+19i1<3,decicdtulimp[rfiriilui6a+3b+25la3este2a*b*restul este 1.

2, Calculeazd cdfltlgi restul impergirii num[rului I + 2 + 22 + ... + 2100 la 4.

l+2+22+...+ztoo-22(I+2+...+2s8)+3gi3<4,decicituleste l+2+.-.*2",iarrestuleste3.I Ridicarea la putere este d"fi],f

ll*l;, pentru n > 2t.----\,-'

\ Oaca d € N*, atunci o' =fo, pentru n =! ,0': 0, pentru orice n e N*, iar 0o nu are sens'

ll, pentrur=0t

Exernple:103 = 1000, lro = 1, 05 = 0, 7o = l,122 = t44,

\ Reguli de calcul eu Puteri:a^ . a, = gm*n

.-.a- ., b. = 7a', b)., dacd a : b

a* :an=a'-',dacdm>n (a^.b"):(e'ba1=smP'Snj,(am)" - qmn dacd m> p qi n>- q

(a'b)'= a' 'b*

EXeVnple:211 .223 =2ao;3as:325 =3";(5')to =570;(2a)3 =23'a3 =8a3;57 '37 = (5'3y =151;

611 . 2ti = (6 : 2)17 = 317; (21s . 7rr)r'. (237 . 744) = (2rr . 7+a1 : (23, . 7*) = 2 . 72 = 2 . 49 = 98.

I a." este oputere care are ca exponent altd putere; se calculeaz[ mai intdi exponentul.

Exevnplu: 102'= 108 = 100000000'

\ t, calcule trebuie respectate ordinea efectu6rii operaliilor qi a parantezelor'

L. Calclleazd, folosind formula sumei lui Gauss:

Determini cel mai mic numdr natural de 3 cifre care imp6rlitla37 dI restul 19.

Srlugier l00=37 .2+26;26-lg =7; 100 -7 =93;93=37 .2+19,deci93 estecelmaimarenumdrdedoud

cifre care impdr{it la3i ddrestul 19; 93 + 37 = 130; 130 = 37 . 3 + 19, deci 130 este cel mai mic num[r de trei

cifre care imp5rlit la37 ddrestul 19.

b Ouca * * y * z= 10 $i -y - z = 5, calcaleazd 8x + lly + 52.

solul.;ie: x + y + z =l0l'8 = 8'r + 8y + s' = 80.l> gx + gy +gz +3y -32= g0 + 15 = gx + 1ly + 5z :95.

y-z=51'3=3Y-32=t5 )8

- ^- / \J5.l ..... +..... Ir \ r 4 . a . , 1< \ /JJ 1.i... t .t..'l

+it b) 1+ 2 + 3 +... + 35 = --L 2-------r = ..... .

E;1t+1"+tri 2. lncercuieqte numerele care dau restul2 la impdrlirea la 5: 42; 3l; 64; 27; 5051; 4092.:!.: +

. .: .t LI\,.;; \ Orice numlr care d[ restul 2 la imp6(irea 1a 5 are ultima cifrd ..... sau ..... .

i*$ 5. Calculeazd: a]1323 ' 341 ' 3te = '..............li{f b) (2')' :417 -# c) 4" . 9r1 ' 18rr = ................

6**cdnum[rul a=23'*2.9, +3*r .4. -f-+105 este divizibil cu 7.

Solufie: a=2'n*2 -9" +3"*t -4".ff +105=a={.S-g+3.3".4".6, +105=

) a - 4. 72" + 3. 72' + 105 = a :'l -Tt +7 -lS + o = I .(tz, + t5) = aiT .

Calctleazd:a) 25 + 97 = .......... b) 1275 + 3943 =

d) 314s -2973:c) 432 - 134 =e)23- 45 =..........$ AaU : 12 = ..........

ficabdeaza:a) 143 + 451 + 57 + 349 = ..........b) 3157 + 4119 - 157 - 119 =c) 3110 + 475 - 110 + 525 =d) 5773 + l29l + 709 - 773 =

$ Calculeaz[:a)1+2+3+...*49=b)2+4+6+... *gg=

d)3+7+tl+...*403=

Determinl numerde natrrale nenule care impIrlitela 8 dau citul egal curesfitl

fin"ter-in6 restul impErtirii la 7 (cu a, b eN) a nu-mIrului n=35a+ 49b +2015-

fia) Scrie num[ru] natural 12 ca suml de doui nume-re naturale nenule. Cite variante existii?b) Scrie num[rul natural 10 ca produs de dou[ numerenaturale. CAte variante exist[?

fi a) Calcu leazd ab * ac, qtlind, cd a = 12 qi b + c :25.b) Determind numirul natural x, gtiind c[:

x@ + z):245 $y -t z = 49.

fi Srrrnu a doui numere este 214.Afl6 numerele, qti-ind cd impdr,tindu-l pe unul la celdlalt se obtine c6tul 11qi restul 10.

fr t. impart 50 de ciocolate, 100 de napolitane,225 de bomboane gi 75 acadelein25 de pachete iden-tice. $tiind ci preful unei ciocolate este 4 lei, dou[napolitane cost[ impreund 3 lei, 3 bomboane costd im-preun[ un leu, iar 6 acadele costi 14 lei, afld preful unuipachet.

lb*U numIrul zllelorcalendaristice cuprinse in peri-oada 01.01.2000 - 31.12.2}rc.

f) 147 '50 =h)2827:257 =

fi Compteteazl corespunzitor tabelele:

b)a)

$ Cutcrrleazl suma numerelor care imp[rfite la 11dau cdtul 5 gi restul nenul.

re)

fi oete.-inr cel mai mic gi cel mai mare numdr natu- impdrlirii num[rului l5a + 7la 5 este 31.ral de trei cifre care implrfit la23 dnrestul 17.

ft O"r.rr.rin5 c6tul gi restul ?mpe4irii numdruluil\a + 20b + 32 lanum[ru] 3a + 4b* 5, unde a, D e F{*.

fi netermin[ cdtul gi restul imp[r,tirii numlnrluilZa-l la3,undea e N*.

6a o.r.*in5 nr.rrndrul natural a perrtra care c6tul

fiOace a + b -35 gi b + c : lT,calculeazi:a) a+2b + c' b)a-c;c)2^a+5b+3c; ill3a+b-2c.

Sc"totoa,a'1 t2.lzs +7 . (325' 3, ) - ra] - soo;

b) 2o1s:[rs'+ 62 .(275:11-17) -ZZ.5f:

9ffiffie

4 + 5

+ + +

7 a 9

+

l5 + 23

+ + +

31 + 9

+

c) 57 .{ltzs (z' +z' )] - s} :(zts - no);

d) [(7 '5 - 8):33 + 5 .(136 - e.r5))o :20.

fi O.t..*ind cifrele a qi b,qtiind cd ab + S. ba =315.

fi co*purd numerele:L)7*J 8t,; b) 2ilfly4. c) 5orE 2523; d)9311)2720.

b O enciclopedie are 860 de pagini. De c6te ori este

folosit[ cifraT la numerotarea paginilor acesteia?

fu ena,a) cel mai mic numdr natural cu cifre distincte qi sumacifrelor 17 ; ..............b) cel mai mare numir natural cu cifre distincte gi sumacifrelor 17 . ..............

,=ltz')':163 + z'o :(2u *2')]'(2")' si

u=1U.3'-3') .272 +2.9' .3u).2".

9i performant5) .-

6 *U numIrul naturalx din egalitatea:a\T +2x+2 +2x+3 =416; b)2.3nr + 5 .3, =297;c) 2*t . 3, + 2* . 3,*r = 180.

$ Aratecl oricare ar fi numErul natural impar z, exis-t[ n numere nafurale impare consecutive a clror sumieste n2.

$ ana deimp[rlitul qi restul impetirii a dou[ numerenaturale, qtiind ci diferenfa dintre deimpn{t gi rest este

egalS cu 5.

S n.t..*ind numerele naturale tfi, ft, p pentru care3*+4n+9=150.

$ scrie numaruI:t) 521 ca suma de dou[ pitrate perfecte;b) 326 ca suma de dou[ cuburi perfecte;c) 3131 ca suma dintre un pihat perfect qi un cub perfect.

pentru a treia, 8 pentru a patra piirdtjctr... qi tot aga,

panl ce toate cele 64 depdtate ale tablei vor fi acope-rite de grau" Aratii d n + 1 este pdtrat perfect, unde neste numEnrl boabelor de grdu pe care Sissa ben Dahirarfi tebuit sE le primeascS.

6Uunul dintre concursurile la carea participat, nu-merul concurenfilor a fost egal cu cel mai mare p[tr3tperfectpar de doui cifre. Concursul s-a desfrquratlupdregula ,,Cine pierde p[rdseqte concursul". La fiecarerundd au participat tofi cei rdmaqi in concurs.-Numirulacestora s-a injumdtilit dupl fiecare rund5, deoarece nus-a inregistrat nicio remizd,la final rlmdndnd un singurconcurent neinvins. Afld cdte partide s-au desfrgurat peparcursul intregului concurs.

fi carccifre se folosesc pentru a numerota paginile S co*p*6 numerele:

unei clrfi care are 125 de pagini?

fi fentru numerotarea paginilor unei cdrfi se folosesc381 cifre. Cite pagini are carlea?

fi cab,ieaza:a) 20t5 -20ts : [2015 -20ts . (201s - 201s)];b) 13zoto * lzots; : (320t6 -32ots).C) 3zoro -3201s -32014 - 5 . 91007.

fi corrrpuri numerele:a)231)321; b) 28?E 53?.

fi Scri" numdrul 32ots casumi de 3 numere naturaleconsecutive.

$ cabdeaza:a) 1 + 2t + 22 + 23 + ... + 27a;

b')2. I + 2. 3t + 2. 33 + ... + 2. 3ee;

c'1 220 +221 + ... +2s0.

Compar[numerele: a= I +21+22 +23 + ... +22ee

31ee).$r b=2. (30+3r+32+... +

Matematica !i... slur,tr l nrirfiiMihai, tatdl lui Luca, este foarte pasionat de Sah.

El pregltegte c0fiva copii de clasa a VI-a in vedereainilierii lor in tainele acestui joc. Uneori participA ladiferite concursuri organizate in fard qi nu de pt4im 6ise intoarce acasd cu medalii.

6 O veche legendl indiand ne poveqte cum inventa-torului jocului de qah, Sissa ben Dahir, i-a fost oferitE-de c[tre regele indian Shirham - o recompensd (la ale-gere), drept rdsplat6 pentru minunata inven{ie. Modest,Sissa a zis: ,,Maiestate, nu vreau cine qtie ce bogdtii lu-megti, dali-mi doar un bob de grdu pentru prima p[tr[-lici a tablei de gah, doui boabe pentru a doua, 4 boabe

10r

$ Unut dintre copiii pregitili de Mihai a participatla un concurs in care s-au desftgurat numai partide,hlitz", acestea fiind inregishate pentru a fi discutatein cadrul cursurilor. Studiind cu atenfie partidele, unuldintre copii a observat cd numlrul de mutiiri din cadrulunor partide reprezintd, toate numerele consecutive cu-prinse intre 23 gi 65. CalculeazA cdte mutiri s-au efec-tuat in total in cadrul acelor partide.

ftLuca incearcd gi el sd deslugeasc[ tainele acestui joc.Acum qtie s[ mute oricepiesl pe tabl[. Mutiirilecalului i s-au p6rut celemai interesante. Deter-min[ num[rul minim demut[ri prin care un calajunge din p[tratul I inpdtratul B pe tabla dejoc din figura aldttnatilqi scrie acest numlr ca osumd de numere naturalenenule consecutive.

6n. parcursul intregii cariere, un mare maestru a ju-cat in cadrul tuturor competi{iilor la care a participat un

numlr de 8e partide, iar un altul 98 partide. Comparlcele dou[ numere.

6n timpul jocului, Luca observl c5 singura piesd de

$ah car^e poate siri peste o alt[ piesd de pe tabli estecalul. In realitate calul este folosit qi in alte sporturipr€cum sdriturile peste obstacole, datoritd conformalieigi musculaturii puternice. Numeqte dou[ caracteristiciale celulei musculare striate din structura mugchilorscheletici-

6 r" coleg &al lui Lnca poartn intotdeauna la el,pentru a ave,ano(rc, o muletii ce inftligeaz[ un iepure.Prccizeazd o adaptae a iepnetui la condiflile de mediu.

SStuUit"qte cel pufin doui criuii de ctasiflcare a pie-selor jocului de gah. DacI pentu mitatea de mdsur[ alungimii a fost nevoie s[ se constnriascii un etalon, dece nu s:& construit un etalon gi pentru uitat€a de m[-surl a ariei unei suprafefe?

6"" o bucati de sticld poli zgdiao piesi de qah dinlemn, dar cu o bucati de lemn nu po{i zgilia o pies[din sticl6. Ce proprietate generald a corpurilor solide sepoate recunoaqte in acest exemplu?

6*u a 2017 -acifrl a num[rului 123 45 67 89 l0 1 1 1 2 1 3....20 1 620 1 ?20 t 8.

fiarata c[ existd numere naturale x, !, Z care veriflc[ egalitatea xo + f * * = !813.

Calculeazd,c6t cost6 produsele din lista de

cumpirSturi din figura 1, qtiind c[prefurile sunt cele din figura 2.

a

11U[