Marius PERIANUc6t[1in srANrcADaniela sfANtcA

ESENTIAL)

Matematiciclasa a Vl-a

II

W/ cluzul- \

,MATEMATIcIENILOR\

Cuprins

ercesRA

Cep. 1 - Rapoarte 9i proPortii

t"l. Rapoartel.Z Procente

lL Propo(ii derivate......Teste de evaluare .........................

I 5. Mirimi direct propo(ionalet5. Mirimi invers propo{ionalelJ. Regula de trei simpldIt Reprezentarea datelor prin grafice..13. ProbabilitSli ...

l.tO. Probleme cu caracter practic...............

C+.2- Numereintregi?-1. Numir intreg ...................

22 Compararea gi ordonarea numerelor intregi.....

13 Adunarea numerelor intregi ............

2,a Sciderea numerelor intregi.............Teste de evaluare..............

15 lnmulfirea numerelor intregitf lmpa(irea numerelor intregi............

L7. Puterea unui numdr intreg ................

It Ordinea efectuirii operatiilor.leste de evaluare ..........................

L.} Rezolvarea unor ecuatiiin Z

LlO. Rezolvarea unor inecuafiiin Z

; Ltt- Probleme care se rezolvi cu ajutorul ecuatiilor

57

6'l6367

7

11

1622

262933

3741

465053

70

7377

80=83 1

(!86*8el

lE

s2=

=esHlrl

IEIIF

=

fstedeevaluare

GEOMETRIE

Cap.3 - Perpendicularitate gi paralelism3.1. Drepte perpendiculare.....---.-.---3.2. Congruenla triunghiurilor dreptunghice...........3.3. Mediatoarea.............

3.4. Simetria fatd de o dreaptd3.5. Bisectoarea

Teste de evaluarelnillimile triunghiuluiMedianele triunghiuluiTeste de evaluareUnghiurideterminate de doud drepte cu o secant5.Drepte paraleleTeste de evaluare

Cap. 4 - Proprietitile triunghiurilor4.1. Suma mdsurilor unghiurilor unuitriunghi4.2. Proprietd[ile triunghiului isoscel

Teste de evaluare4.3. ProprietS[ile triunghiului echilateral

Teste de evaluare4.4. Proprietifile triung hiului dreptunghic .............

Teste de evaluare

Cap. 5 - Variante de subiecte pentru teze

103

109111

117120"124

127

130

133

"137

146

151

155

162165168

17"1

176

181

187

3.6.3.7.

3.8.

9= Solutii

vtg.gCtEog=Fli

=,l!r.oU

=zsGqtAf(E

=

CAPITOLUL TRapoarte Si proporlii

1.1. Rapoarte

1,2. Procente

1.3. Proporgii

1.4. Propo$ii derivate

Teste de evaluare1.5. Mirimi direct proporfionale

1.6. Mdrimi invers proporlionale

1.7. Regula de trei simpli1.8. Reprezentarea datelor prin grafice

1.9. ProbabilitiliTeste de evaluare

1.10. Probleme cu caracter practic

CAPITOLUT 1

Rapoarte gi proporfiiTema 1.1.Rapoarte

Raport. Yrn raporul numerelor ralionale pozitive a Si b, cu b + 0, se inlelege

nr:mIrul ralional a:b,no@t f,.

Scrierea 9 este raportul,iar a gi b smt termenli raportului.b'Valoarea unui raport f, este num5rul c care se obline din relalra c = a : b.

Exemplu. lntr-o clasl sunt t2 fete qi 16 bnieli. Spunem ci raportul dintre numdrul fetelor 9i

cel al bdiefilor este egal "o -L

.Valoarea raportului este 12: 16 =0,75 .t6

Observalii1. La scrierea raportului a doui mdrimi, de aceeagi natur6, acestea trebuie exprimate

in aceeaqi unitate de mlsur[. De exemplu, daci lilimea unui dreptunghi este egaldcu 120 cm, iar lungimea este egal[ cu 3,6 m, pentru a afla raportul dintre lifime gi

lungime, intdi transformim:

L=3,6m=36ocm giapoi uu"*, t=##:+2. Se pot forma rapoarte qi cu cantit5li de tipuri diferite. De exemplu, dacl unui om ii

trebuie 3 ore pentru a parcurge lzkm,se formeazi raportd l?P = 4 kmlh .' 3h

Formarea raportului duce la un nou concept, de vitezd, cu unitatea de m[sur[ km/tr.

3. Valoarea unui raport nu se schimbd dacd inmu$m sau implr[im ambii termeni ai

sdi cu acelagi numlr real, nenul:

a a.m q ain ^_=--m*0 sl ----n+u.b b.m b b:n'Exemple de rapoarte utilizate in practicd

1. Raportul procenfiial este un raport de forma * care se noteazd po/o.100

1()Exemplu. tS'/"=ffi .

2. Scara unei hdrli este raportul dintre distanlapeharti gi distanla pe teren.

Exemplu. Pe o harti, unui segment ce are lungimea de I cm ii corespunde o distan{a in teren

egal6 cu 2 km. Deoarece 2 km : 200 000 crn, scarahdrfii este I : 200 000.

3. Concentralia unei soluyii este raportul dintre masa substanfei care se dizolvd qi

masa solufiei.

Tt!

=t!lElEU

szutraut

L'F

=uIF

=

-

7

Exemplu. in tlO g Oe api se dizolvd l0 g sare. Concentrafia solufiei este egali cu:

lo =lo = 5 =5o7o.190+10 200 100

4. Titlul unui aliaj este raportul dinte masa metalului prelios qi masa aliajului.Exemplu. Un aliaj conline 240 g aur 9i 960 g cupru. Titlul aliajului este egal cu:

240 240 t 200240+960 l2OO 5 1000

b) l2hmiin365 dezile;d) 48 de culegeri in 4 rafturi;fl 50 de flori in l0 buchete.

o?, ott; oI, atl; o*, ni

gzFta-g.9.CaooL'

=Fvt.=,t!,IEIJ

)=Gulc=lE

=

-

8

cuNoA$TERE 5l EXERSARE

f. Scrief, sub forrnd de raport urmdtoarele enunfuri:c/ 4 duminici in 30 de zile;c) 20 de elevi in 10 bdnci;e) 20 de creioane la 5 copii;

2. Deterrninaf valoarea urmdtoarelor rapoarte:

3. Dimensiunile unui dreptunghi sunt de 9 dm si 30 cm. Dacdapreciezicdpropoziliaeste adevdrati, incercuiegte litera A. in caz contrar incercuiegte litera F.

4. ink-o clasi sunt 12 feteqi 18 bdie{i.a/ Scrie,ti raportul dintre numdrul fetelor gi numdrul elevilor din clas6.D/ Scrieli raportul dinte numirul fetelor 9i numdrul biiefilor din clasI.c/ Scriefi raportul dintre num5rul bdieflor gi numlrul elevilor din clasI.

5. Raportul numerelor a gi b este eSU cu f .

a/ Scriefi raporhrl numerelor 2a Si3b.D,) Scriefi raportul numerelor 5a Si7b.c,) Scriefi raportul numerelor D gi a.

dl Scrieli raportul numerelor a2 gi b2.

e) Determinafi valoarea raportului dintre a gi D.

AF Pt. Raportul dintre lungimea 9i ligimea dreptunghiului este egal ", *.

AF P2. Raportul dintre lungimea gi lifimea dreptunghiului este egal "" 33.

AF P3. Valoarea raportului dintre lungimea gi ldlimea dreptunghiului esteegal[ cu 3.

AF P4. Valoarea raportului dintre lungimea 9i l[fimea dreptunghiului esteegald cu 0,(3).

IIACUMULARE Sl CONSOLIDARE

6. Fie raportut 9U, t *0.

a) Dacdvaloarea raportului este 5 qi D = 1,2 atunci determinali valoarea lui a.

b) Dacdvaloarea raportului este 2 Si a = 25, atunci determina,ti valoarea lui b.

7.a)Dekrmrnalirapoarteledeforma t,U*0, gtiind cd a,beN 9i a+b=6.

D/Determinalirapoarteledeforma t,U*0, gtiind cd a,beN 9i q'b=6.

8. Raportul lungimilor segmentelor [lB] Si [CD] este ]. functele f ,9 ef,ll)

9i r e [CD] astfel incdt AP = PQ = PB $i CT :TD-

a,) Detemrina,ti valoarea raportului dintre lungimile segmentelor IAP) 1i[D).D) Determina,ti valoarea raportului dintre lungimile segmentelor [AB) 9i [CD].c,) Determina,ti valoarea raportului dintre lungimile segmentelor [PB] 9i [fD].d,) Determinali valoarea raportului dintre lungimile segmentelor IAQ) 9i lCDl.

9. a) Raportul lungimile laturilor a doul pitate este egal "u ] . O"r.r-inafi raportul

perimetrelor qi raportul ariilor celor doud pitrate.

D/ Raportul perimetrelor a doul pdtrate este egal "o J. O","r*ina!i raportul

laturilor gi raportul ariilor celor dou6 p[trate.

c,) Raportul ariilor a doud pltate este egal ",, + . Determinali raportul laturilor 9i

25

raportul perimetelor celor doui pdtate.

d) Raportul lungimilor a doui dreptunghiuri este egal "o t, iurraportul l[limilor

este egal ""

l#. Determinafi raportul ariilor celor doul dreptunghiuri.

I 0. c,) Scara unei hlrfi este 1:500000. Determinali distanla dintre doui localitdli qtiind

cn pe hartn distan!4 dintre ele este de 6 cm.D/ Distanla dintti doui localitif; este de 20 km. Determinali scara hdrlii pe care

distanla dintre cele doud localitifi este de 4 cm.c/ Pe o hart6, distanla dinte doui localitili este de 8 cm. Dacd scara hlrfii este

t:900000, determinali distanta dintre cele doud localitili.'! 1. r/ Deterrninati concentralia unei solulii obf;nuti din 300 g apd 9i 20 g sare.

,/ in 400 g de apd se toarnl 40 g zahdr. Determinali concentrafia soluliei.c/ Determinafi concentalia unei solulii obflnute din 200 ml apd gi 50 ml miere.

I(!

=l!(o

l!oszuJU)lrl

L'F

=uJF

=

IIIAPROFUNDARE $l DEZVOLTARE

12. Fie cifrele nenule a, b, c, nu neaplrat distincte. Deterrninafi valEile rapoartelor:

, ot+Ur+* .' ob"+b*+*b .q - n -; o) -----37 -,......-r

lllabc+bca+cab) .. "t+t"+* , a+n+iivt --------i::--- l-, ,, :----- - , -,

n(af+Oc+ca)' 'ac+cb+bq' a2+b4+c5

. ot+n +d l0a+lOD+lOc+llKezorvare. q ir;fr;A= 19; *,gD+loc+ I I = r.

1 3. a/ $tiind "u t =3, determinaf; valoarea rapo *r", +#.,/ $tiind ce fr=4, determinafivaloarearaportului *#c/ $tiind

"u ;=5, determinafi valoarea raportului #Rezorvare. a) t =, = a : b = 3 = a = 3b. Avem # : *#* = ]= z,zs.

14. a)Dacd t=1 ,, ?+, atunci determina{i raportul numerelora qi c.

b) Dacd t= * ui ;=#, atunci determinali raportul numerelor a qi c.

gzt/l-g.qc(Eo

Izra.E)(!)fE\J

IzsOEulA.

5(E

=

-26

:rjaa::.::;i:,:ryai::1.4j..tr.!:ti:ta:\.:iti:tr:a:t:.4...::r:. -:'aj::t:;:a:..:a!jia4.tlt*

TESTE DE EVALUAREa. . -a :^ t: ::t :. :^ ^: - t- I :

Testul 1

(1p) 1. La un concurs participd 25 fetegi 40 bdiefi.a) Scriefi raportul dinfre num6rul fetelor 9i numirul blielilor care participi laconcurs.D,) Scrief; raportul dintre numdrul fetelor gi numdrul elevilor care participi laconcurs.

l2pl 2. Determinali.r din propo4iil "

,ol !:1; q Y = n - .' 2,5 15' 5 x-7

(1p) 3. Determinafl valoarea numirului -r gtiind cd 70Yo din el este egal cu 42.(1p) a. $tiind cdagi 7 sunt extremii unei proporlii, bqi 5 mezii gi l0a-3b=58,

deterrninali numerele a Si b .

(2p) 5. Fie proporfia t

= l-. Pomind de la aceasta scrieti:m16a,) doud proporlii derivate cu aceeagi termeni;D/ trei propor,tii derivate cu termeni schimbafi.

(1p) 6. Dupd o scumpire cu2lYo preful unei cdr,tii este 48 lei. Determinafl prefulinilial al c64ii.

(1p) 7. Dacdl}%odina este egal cu l5%odinb,aitncideterminali raOorul ff.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordiun punct din oficiu.

Testul 2(1p) 1. Scriefl raportul dintre cel mai mare numir natural de doul cifre divizibil cu 5

9i cel mai mic numlr natural de dou[ cifre divizibil cn 2 qi determinalivaloarea acestui raport.

(2pl 2. a) Calculatj 35% din 80.D/ Determinafl c6t la suti reprezintinumSrul40 din num5rul 200.

(1p) 3. gtiind ci * :L $i zs = 15 , calcula\i nr .NS

(2p) a. gtiindcd ;=I:f, si *+t+z=68,determinali numerete x,y,z.

(1p) 5. Preful unui produs care inilial costa24lei s-a ieftinit cu 6 lei. Determina{i cuce procent s-a ieftinit produsul.

(1p) 6. Stma"a?!!JL=1, calculali valoarearaportului Z.3x-5y 4' x

(1p) 7. Un elev rezolvd in prima sdptimOni de vacanli 30 de probleme, ceea cerepreztnti24% din intreaga temd. Determinati numdrul problemelor din tem[.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acord6 un punct din oficiu.