Marius PERIANUIoan BALICAPaula BALICA

ESENTIAL)

Matematiciclasa a VII-a

I

%(/ cLueul \/ulreulrtctet.tton\

Cuprins

Capitolul 1. Numere ralionale

1.1. Mullimeanumerelorralionale.Forme de scriere a numerelor ra1ionale.......

1.2. Reprezentarea numerelor ralionale pe axa numerelor.

Compararea numerelor ralionaleTeste de evaluare ..................

1.3. Adunarea gi scdderea numerelor ra1ionale.......

1.4. lnmullirea gi impi(irea numerelor ralionale1.5. Puterea cu exponent intreg a unui numdr ralional

1.6. Ordinea efectudrii operaliilor cu numere ralionaleTeste de eval u ore ..................

1.7. Ecualii cu coeficienfi ralionali1.8. Probleme care se rezolvS cu ajutorul ecualiilor

Teste de eval uare ..................

1.9. Probleme cu caracter aplicativ........

Capitolul 2. Numere reale

2.1. Rddicina pdtratd a unui numdr natural pitrat perfect ...................... 67

2.2. Rdddcina pitrati a unui numdr natural ralional pozitiv 71

2.3. Mullimea numerelor reale. Modulul unui numdr real.

Compararea numerelor reale. Reprezentarea pe axiTeste de eval u o re .................

Reguli de calcul cu radicaliOperalii cu numere reale .....'.......

Ralionalizarea numitorului ......................

Media geometricA .............

Teste de evaluare .................Probleme cu caracter aPlicativ

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

13

19

23303641

4751

55

5963

75808389

101

110"t12

115

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

4."t.

4.2.

GEOMETRIE

Capitolul 3. Patrulatere

Patrulater convexParalelogramul

Teste de evaluare

RombulPitratulTrapezulTeste de evalu ore .................Ariile fi gurilor geometriceTeste d e eval uare .................Probleme cu caracter aplicativ........

Capitolul 4. Aseminarea triunghiurilorRaportul a doui segmenteTeorema lui ThalesTeste de evaluore

4.3. Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentali a asemdndrii .....................

4.4. Criterii de asemdnare a triunghiurilor ................

Teste de evaluare .................

4.5. Probleme cu caracter aplicativ

Capitolul 5. Variante de subiecte pentru tezi .............

Solutii .......... 199

't19"t22

133

129133

136139142145149155

159

163"t67

"t74"t77

182188191

195

rJ

6st!o-

9oclg-9

3zEIIlc)'=l!Ea

4

CAPITOLUL

ItJumere ra[ionale

1.1. Mullimea numerelor rafionale.

Forme de scriere a numerelor ralionale

1.2. Reprezentarea numerelor ralionale pe axa numerelor.

Compararea numerelor ralionale

Teste de evoluare

1.3. Adunarea gi sciderea numerelor ralionale

1.4. inmullirea gi impi(irea numerelor ralionale

1.5. Puterea Gu exponent intleg a unui numir ralional

1.6. Ordinea efectuiriioperaliilor cu numere rafionale

Teste de evaluare

1.7. Ecualii cu coeficienli ralionali

1.8. Probleme care se rezolvi cu ajutorul ecualiilor

Teste de evaluare

1.9. Probleme cu caracter aplicativ

CAPITOLUL 1

Numere rationale

1.1. Mullimea numetelor ralionale.Forme de scriere a numerelor ralionale

Numir raliOna!. Un numdrx se numeqte numdr ralional dacd existl o pereche

de numere intregi (a,b) cu b * 0 , astfel incdtr :9. Uotti-ea numerelor ralionale seb

Observalii. 1. Are loc incluziunea N c Z c Q .

2. Q* = A \ {0} este muftimea numerelor rolionale nenule-

3. Q=Q-v{0}uQ* , unde Q* reprezintA mullimea numerelor

ralionale pozitive, iar Q- mullimea numerelor ralionale negative.

Forme de scriere a numerelor ralionale.Un numir ralional poate fi reprezentat prin fraclii ordinare echivalente sa]o

printr-o fraclie zecimald finitd sau periodicd.

Teoremi. Pentru orice num[r ralional nenul q existi o unicdfracyie ireductibild

!.", oeZ si beN*,astfel incil q=!.b'----' b

Transformarea fracliilor ordinare in fraclii zecimale

Un numlr ralional pozitiv reprezentafprint-o frac,tie ireductibilA + ,cu a, b e N*,' h'b > 2, se ttnsformE, folosind algoritnul de impErfire a numerelor naturale, in:

a. fracf,e zBcimaldfiniti dac[ descompunerea lui 6 in produs de factori primi cont'ne

numai factorii 2 sau 5.

b. fracf;e periodicl simplE daci descompunerea lui b in produs de factori primi nu

conline nici factonrl pirnz,nici factorul prim 5.

c. frac1ie periodic[ mixtii dac[ descompunerea lui in factori primi b conline cel

pulin unul din factorii piimi 2 9i 5 9i cel pulin un alt factor prim diferit de 2 9i de 5.

Exemple.

noteazdcu Q gi poate fi definiti astfel: Q = {x

1 o,b eZ,b +0,astf"t incat, = 9).

a. frac1ii zecimatefinite, + ='; = 4,625,ff = fr =r,ro,

b. frac1ii zecimate periodice simpte: T = # = I s,(3) , *= *= 2, (03) ;

c. fraclii zecimate periodice mixte: * = + = 0,0(l 8), # = X = 4t's(6) .

(13

I(!.E(E

UgF

=UIF

=a

7

Transformarea fracliilor zecimale in fraclii ordinarea. transformarea fracliilor zecimale finite in fraclii ordinare:

- ^ 'P, --, -'PP, -4Ao,AtA2,.. An - %- lO,- = -- lo,-

b. transformarea fracliilor zecimale periodice srrnqlein :laclii ordinare:

ara2 ... a pao,(ara, ...o0) = oo-#

p cite

c.transformarea frac,tiilor zecimale periodice mixte in fraclii ordinare:

cto,c\a2 .,. a,(brb, .,, br): aoara, .., anbrb, ... bo - ara, ... an

99...9 00...0\----vJ t---w-

pcifte rcifte

Exempte. a.15,34=,t#=ff ;0,s=* ;a,x+=94.

b. 0,(l 7) = fr ; s,ts; = sf, ; +03,(zss) = 4$#.

c.2,s(r3) =rt9*;t =r# ;0,27(s68)="i!f;i' =27541

Io(E

(!o-

Ioc(!o

fzcUJo.)'=l!

=a

8

CUNOA$TERE 9I EXERSARE

1. Scrieli:

i t', bie"pF ai tueie iit'esi 4egiiivg: i , : i i i

2.3,2 este un numlr rafional, reprezentat sub formd de fraclie zecimald. Scrieli altecinci exemple de numere ra,tionale, reprezentate sub form[ de fraclie zecimald.

3. f este un numlr rational, reprezentat sub formd de frac{ie ordinarI. Scrie}i alte4

cinci exemple de numere ra,tionale, reprezentate sub formi de fracfie ordinarS.

0.r.Rezolvare. f;

,

4. Un exemplu de fracfie ordinarl ce nu se mai poate simFlifica este ]f , numitdll'fraclie ireductibil[. Scrie]i alte cinci exemple de fract'i ireductibile.

lndicafie. Puteli alege num6ritorul gi numitorul numere naturale consecutive, astfel

tuacliavafi in mod sigur ireductibih. W

5. Un exemplu de numir ralional negativ este -12,5, acesta fiind reprezentat sub.,

form6 de fuaclie zecimala. Un alt exemplu este -f,, fiind reprezentat sub formlv

de fraclie ordinar[. Scriefi alte cinci exemple de numere ra]ionale negative,

penku fiecare dintre cele doul moduri de scriere.

este qi numdr intreg, qi numdr ralional. Exist[ insi numere care sunt intregi, dar nu

sunt naturale, de exemplu -9 (sau orice alt numlr intreg negativ), aqa cum existi

numere care sunt ralionale, dar nu sunt intregi, de exemnlu {.

D) Scrieli cinci exemple de numere intregi care nu sunt qi naturale.

(E!(ol!(!oI

=UI

Ea

9

IIACUMULARE $I CONSOLIDARE

10. Determinali elementele mullimii: A = {.

= ;1" e {2,3,41 9t b e{S,O}} .

11. Transformali urmdtoarele fraclii ordinare in fraclii zecimale:,ri*, ,)#; d#; o#; ,rffi;n#; srffi; ft)im; ilmfu; n*h

12. Transformali urmdtoarele fraclii ordinare in fraclii zecimale, amplificdnduJe,evenfual, convenabil:

Rezotvare. ol" != fi=0,+ ; ";"1=ffi=t,zs.13. Transformali urmrtoarele fraclii ordinare in fraclii zecimale, simplificdndu-le,

eventual, mai intiii:

o*; D*; o#, offi,fi #; sr S; n't#; o #'

Rezotvare. off" =fi=o,e; , #" =fi=o,oa.

14. Reprezentafi urm[toarele numere raflonale sub forml de frac]ie zecimalS finiti:

,2sl =l)

nT,

,'l1;

r) 1;)..,9*;

ot) i; oz, q1,

^41t)^'

.13e) +;oflC

41, o *,D*; oft;

,15e) lo;^25l) soo'

U

o_g

=tECL

g

EclEo

3zsEutrf.!

=a

t0

n?, dt,

-25c) T;n)*, ,, *,

tndicafie. impa4ili numEritorul la numitor 9i veli ob{ine rezultatul ".-t.

&,a

Rezolvare. 0:f =S,lS, deoarece 23:4=5,75.

15. Reprezentali urmrtoarele numere ralionale sub formr de fracfie zecimaldperiodicl simpl[:

oT, q*,o*; D|; otl,

n?, stt; o\ry; off: i)

Rezotvare. A1! =1,61, deoarece 35:3 =11,666... = 11,(6) ;

.. 200i) ; = 7,(407), deoarece 200 : 27 = 7, 407 407 ... = 7,(407) .

16. Reprezentali urmdtoarele numere ralionale sub formd de fraclie zecimaldperiodic[ mixtii:

oI; tt?; oI, o#,n#, a#' n) #; , #,Rezolvare. A+ =4,1161, deoare ce 25 :6 = 4,1666... = 4,1(6) ;

.. l0lt1 ff : z,z1+1, deoarece I 01 : 45 = 2'2444 "' = 2'2(4)'

17. Reprezentali sub form[ de frac1ie ordinar[ fiecare dintre numerele urm[toare:

200n

4#,^37t) N'

a'S 0,1; b) 4,8; c'S 9,12; o 5,5; e) 4,08;

f) 350,3; g) 18,213; h\ 0,0012; f) 50,001; il22,345.Rezolvare. tl+,8=ff; ilsO,OOr=ffi.

18. Reprezentali sub forml de frac{ie ordinar[ fiecare dintre numerele urmltoare:a) 0,(1);

fi 4,(l);b) 0,(2); c) 0,(t2); A 0,Q25); e\ 0,(5472);

s) 2,(34); h) 12,(02); i) 3,(14); j) ll,(234).

Rezolvare. r)O,(2) =| ; 00,(125) =ffi, h)r2,(02) =t *=#.19. Reprezentali sub form[ de frac,tie ordinard fiecare dintre numerele urmltoare:

a) 0,0(l); b\ 0,1(2); c) 0,12(l); O 0,23(15); e\ 1,5(14);

f)2,2(125); g) 5,15(51); h) r2,0(t2); D 5,52(36); fl2s3,2(4s).

Rezolvare. c) 0,12(t) =Pi#= ffi,fl 2,2(t2s\ = z2r?7- 2

= zH = T.r9? .-J' -' 9990 - 9990 9990 '

20. Dali c6te trei exemple de numere naturale z pentru care fraclia !2 este:n

a) supraunitar6; b) subunitar[; c) reductibild; d) ireductibil5.

Rezolvare. c) n 4 8 =f este reductibila, deoarece se simplifici (de ex. prin 2).8

2l.Datjcdte trei exemple de numere naturale n pentru care fracfia { este:n+l

a) supraunitarf,; b) subunitard; c) reductibill; d) ireductibilS.

Rezolvare. d) n = I = :15 ; =f este ireductibild, deoarece nu se simplificI.1+l 2

;I=tEl!sUTJ

=ulF

=a

11

IIIAPROFUNDARE 9I DEZVOLTARE

22. Se considerl numerele: a : 3,123, b : l,(6) qi c : 1,2(5).a) Determinali a2-a cifud dup[ virgul[ a fiecbrui numir de mai sfi;b) Determinali a 3-a cifrd dupl virgul[ a fiecdrui numlr de mai sus;

c) Determinali a 100-a cifri dup6 virguld a fiecdrui numdr de mai sus.

Rezolvare. c) a:3,723000... ,deci a 100-a zecimald a lui a este 0.

c --1,2555..., deci a 100-a zecimald a lui c este ... .

23. Se considerl numlrul a =12,34(567) .

a,) Determinali a 4-a cifu6 dupi virguld a numdrului a;

D,) Determinali a 10-a cifrd dupd virguld a numdrului a;

c) Determinali a 100-a cifri dupd virguld a numdrului a.

Rezolvare. c) a =72,34567567567..., deci a 100-a zecimali a lui a va fi una dintre cifrele

5, 6, 7. Cum primele dou6 zecimale sunt 3 qi 4, remltL cd a 100-a zecimald va fi cifra care

este pe pozilia 98 (dinhe cifrele 5, 6, 7). Exist6nd trei posibilitSli, imp5rfim pe 98 la 3, iarzecimala cerut5 reprezintd restul acestei imp64iri.

24. Determinali, in fiecare din situaliile urmltoare, numerele intregi n pentu care

relaliile urmitoare reprezintii propozilii adev[rate:

a)leN; 6)4eN; c)l9eN; Ofi.z;n\ 11 .2, fl -1l. e N: sl -:-e Z: hl -17 ,.2.-' 2n+l--' " 2n+l---' '' 4n+1 - ' Zn-l

Rezolvare. U+.N = r e Dro = n e {1,2,7,14} .

9 ;neZ+ 4n+1e D, = 4n+le{-5,-1,1,5} = 4n e{-6,1,0,4} = r e {0,1} .

g

os=(,6-

u

E(!o

fzc,uIA.

flU

=o

12

,r:;{4r..:.:::-,.

Testul 1

(3p) t. Transformali in fraclii ordinare: a) 1,4; b) 0,(L); c) l,(12).

(2pl 2. Comparat' numerele:

3.5 5 sal i v i; t) i ti i; c,) 1,2 qi 1,38; d) t,(7) qi 1,7 .

(1p) 3. Determinali x e Q pentru care I x;= 1 .

(1p) 4. Scrieli parteaintreagi gi partea fracfionard a numdrului 3,4 .

(1p) S. Determinali a 10-a zecimald a numlrului 12,(25).

(1p) 6. Determinafi n e N pentru "ur"?.4# .i

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordi 1 punct din oficiu.

Testul 2

(3p) 1. Transformaflinfracfiizecimale: O ?, A 1, 4 +' ' 10' 5' 3

(2p) 2. Comparali numerele:

5 .7 i 3a)

u $t G; U ) tt f,: Q 0,23 ei 0,32 ; d) -| li -o,z

(1 p) 3. Determina$ x e Q pentru care I x; J- .-t0(1p) 4. Scrieti partea intreagl gi partea fraclionarl a numErului 4,12 .

(l p) 5. Determina,ti a ll-a zecimali a numdrului 3,(435).

(1p) 6. Determinafl zeN pentru"*"f r+r+'482NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordl I punct din oficiu.

;f

=l!l!

!(JUF

=IIF

=a

19