Ecuatii Cu Derivate Partiale de Ordinul Al Doilea, Maria Batinetu-giurgiu

ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ

Prof. univ. dr. MARIA BĂTINEŢU-GIURGIU

© 2005 Editura Academiei Tehnice Militare

La o sută de ani de la naşterea lui MIRON NICOLESCU

PREFAŢĂ

Cartea de faţă, în parte, reproduce cât se poate de exact prelegerile ţinute de

autor studenţilor din anul II profilul electric şi profilul mecanic secţia de aviaţie din Academia Tehnică Militară, conform programei analitice actuale, în uz, în cadrul cursului de Matematici Speciale.

Intenţia autorului, în elaborarea acestei cărţi a fost de a pune la dispoziţia studenţilor un material bibliografic cuprinzător pe problemele esenţiale şi specifice ale capitolului de ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea, capitol al cursului de Matematici Speciale, dar şi de a interesa un grup mai larg de cititori. Scopul autorului este de a iniţia şi introduce cititorul în problematica şi metodele de bază ale teoriei ecuaţiilor liniare cu derivate parţiale de ordinul al doilea şi în mod deosebit a teoriei problemelor la limită pentru ecuaţiile fundamentale ale fizicii matematice: ecuaţia liniară eliptică de ordinul doi (ecuaţia lui Laplace), ecuaţia undelor ( 1,3n = ), ecuaţia căldurii.

Prin conţinut, această carte reflectă nu atât preferinţele autorului, ci mai ales opţiunile sale privitoare la tematica, fie şi numai a unui capitol, dacă nu a unui curs, de ecuaţii cu derivate parţiale pentru studenţii din universităţile tehnice, înlesnindu-le astfel înţelegerea mai bună a cursurilor de la disciplinele de specialitate.

Prezenta carte încheie ciclul de lucrări deja publicate de autor, şi anume: „Matematici Speciale – Funcţii complexe şi Transformata Laplace”, 1991 Editura Academiei Tehnice Militare, „Funcţii Bessel”, 1996 Editura Academiei Tehnice Militare, „Elemente de Analiză Fourier. Polinoame ortogonale. Aplicaţii în electrotehnică”, 2001 Editura Academiei Tehnice, „Teoria câmpurilor. Elemente de teoria distribuţiilor”, 2003 Editura Academiei Tehnice Militare, care în totalitatea lor reprezintă materialul bibliografic de bază, actualizat, complet, necesar pentru cursul de Matematici Speciale predat de autor.

Capitolul 1 al cărţii conţine o prezentare teoretică corespunzătoare a ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi şi nu numai, în n variabile, . 2n ≥


Un loc aparte îl au problemele de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Cauchy pentru ecuaţii hiperbolice în cazul 1,3n = şi ecuaţii parabolice. De asemenea este dată în cazul coeficienţilor analitici teorema Cauchy-Kovalevskaia.

Distinct sunt tratate ecuaţiile eliptice, ele ocupând un spaţiu amplu; sunt dezvoltate noţiuni de bază, fundamentale ale teoriei potenţialului, prezentate atât în cazul general, cât şi în cazul dimensiunii 2,3n = nuanţându-se particularităţile specifice acestor dimensiuni, aceasta tocmai pentru a da un plus de înţelegere a noţiunilor şi conceptelor matematice care intervin.

Problemele la limită şi metodele specifice de abordare şi rezolvare sunt prezentate pe fiecare tip de ecuaţie în parte şi pe tipuri de probleme. Pe lângă problemele de existenţă reţine atenţia în mod deosebit şi problema unicităţii soluţiei, în acest sens s-a dat principiul de maxim. S-a insistat pe formulele de reprezentare a soluţiilor, de exemplu în problema Cauchy pentru ecuaţia undelor 1,3n = s-au dat formulele clasice d'Alembert, Kirchhoff, Poisson, rescrise apoi cu medii sferice; în cazul eliptic un loc central îl ocupă soluţia fundamentală, funcţia lui Green pentru operatorul lui Laplace în cazul unor domenii particulare, inclusiv în cazul domeniilor simplu conexe. Tot în cazul eliptic s-a dat şi teorema de medie a lui Gauss pentru funcţii armonice.

Lucrarea conţine şi un vast material ilustrativ de aplicaţii. Aplicaţiile fac obiectul capitolului 2 al cărţii. Sunt atât aplicaţii complet rezolvate, cât şi aplicaţii propuse spre rezolvare, dar toate însoţite de indicaţii şi răspunsuri, indicaţiile fiind ample şi chiar în detaliu.

Capitolul 2 conţine aplicaţii pe care autorul le-a predat la clasă, la seminar, dar şi probleme cu un grad de dificultate mai ridicat, unele fiind probleme de concurs.

Am încercat să fac din această carte o sinteză a unui domeniu matematic vast, anume cel al ecuaţiilor cu derivate parţiale liniare de ordinul al doilea, care să se poată lectura lejer şi care să permită studenţilor şi inginerilor abordarea unor probleme de specialitate cu efort matematic minim. Cu temeinice cunoştinţe de analiză reală şi elemente de analiză funcţională cartea poate fi citită uşor, autorul având credinţa că pune la dispoziţia studenţilor o carte interesantă care va contribui la pregătirea ştiinţifică a oricărui viitor inginer, fiind totodată o carte utilă deopotrivă matematicienilor, cadre didactice, şi inginerilor.

Autorul adresează alese mulţumiri dnei Mihaela Zaharioiu, dnei ing. Rădulescu Claudia, dlui cpt. ing. Stelian Spînu pentru efortul depus în tehnoredactarea şi corectarea lucrării făcând posibilă apariţia cărţii în această formă.

M. B – G.


CUPRINS

CAPITOLUL 1 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA

§1 Generalităţi. Problema Cauchy

§2 Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Cauchy restrânse pentru ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea în două variabile independente. Teorema Cauchy-Kovalevskaia

§3 Curbe caracteristice. Clasificarea ecuaţiilor cvasiliniare de ordinul al doilea. Reducerea la forma canonică a ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea în două variabile independente, cvasiliniare

3.1 Clasificarea ecuaţiilor cvasilinaire de ordinul al doilea

3.2 Reducerea la formă canonică a ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea cvasiliniare, în două variabile independente

§4 Metoda separării variabilelor sau metoda Daniel Bernoulli - Fourier. Principiul lui Duhamel

§5 Ecuaţia undelor

5.1 Deducerea ecuaţiei coardei vibrante

5.2 Problema Cauchy pentru ecuaţia coardei vibrante. Metoda lui d'Alembert şi Euler sau metoda schimbării variabilelor sau metoda undelor progresive. Formula lui d'Alembert

5.3 Ecuaţia undelor în n, n > 1. Problema Cauchy. Teorema de unicitate

5.4 Ecuaţia undelor în n, n = 1, 3. Problema Cauchy. Teorema de existenţă. Formula lui d'Alembert, formula lui Poisson, formula lui Kirchhoff

§6 Ecuaţii hiperbolice. Ecuaţia telegrafiştilor

6.1 Problema Cauchy pentru ecuaţii hiperbolice. Funcţia lui Riemann

6.2 Ecuaţia telegrafiştilor

§7 Problema mixtă pentru ecuaţia undelor

7.1 Problema mixtă şi unele probleme fizice descrise de ecuaţia undelor


7.2 Metoda lui Daniel Bernoulli - Fourier, sau metoda separării variabilelor pentru coarda vibrantă

§8 Ecuaţia căldurii 8.1 Cele mai simple probleme care conduc la ecuaţii de tip parabolic.

Ecuaţia căldurii 8.2 Probleme la limită şi cu condiţii iniţiale asociate ecuaţiei căldurii 8.3 Principiul de maxim pentru ecuaţia căldurii. Unicitatea soluţiei

primei probleme mixte şi a problemei Cauchy ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale

8.4 Metoda separării variabilelor în cazul primei probleme mixte ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale. Funcţia lui Green

8.5 Metoda separării variabilelor în cazul problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii unidimensionale în cazul unei bare infinite. Formula lui Poisson

8.6 Metoda transformatei Fourier în rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii unidimensionale în cazul unui conductor infinit

§9 Ecuaţii eliptice. Ecuaţiile Laplace şi Poisson

9.1 Probleme eliptice la limită şi modele fizice

9.2 Soluţia fundamentală a operatorului Laplace. Potenţialul de volum. Potenţiale de suprafaţă

9.3 Funcţia Green pentru operatorul lui Laplace şi un domeniu Ω ⊂ n.

Cazul sferei B (0, a) ⊂ n. Principiul de maxim

9.4 Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Dirichlet 9.5 Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Neumann

9.6 Problemele lui Dirichlet şi Neumann pentru ecuaţia lui Laplace în plan şi spaţiul 3

9.7 Separarea variabilelor în ecuaţia lui Laplace în diverse sisteme de coordonate curbilinii ortogonale

§10 Funcţii biarmonice. Problema biarmonică pentru un semiplan

10.1 Ecuaţia biarmonică. Funcţii biarmonice

10.2 Problema biarmonică pentru un semiplan

§11 Media sferică a funcţiilor

11.1 Media sferică a funcţiilor. Formula lui Pizetti 11.2 Media sferică a funcţiilor armonice. Teorema lui Gauss


11.3 Media sferică şi problema Cauchy pentru ecuaţia undelor

CAPITOLUL 2 APLICAŢII

§1 Exerciţii şi probleme rezolvate

§2 Exerciţii şi probleme propuse

2.1 Enunţuri 2.2 Indicaţii şi răspunsuri

BIBLIOGRAFIE


CAPITOLUL 1

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA

Teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale s-a dezvoltat timp îndelungat în principal în direcţia studierii ecuaţiilor şi problemelor fizicii matematice, care de fapt reprezintă o parte a teoriei amintite. Deşi s-au obţinut rezultate importante în studierea ecuaţiilor generale cu derivate parţiale, fizica matematică ocupă şi va ocupa probabil încă mult timp un loc deosebit de important în această disciplină. Însăşi denumirea de „fizică matematică” este legată de faptul că această parte a teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale a apărut din studierea câtorva probleme simple, dar importante, ale fizicii. Să amintim câteva dintre ele.

1. Problema coardei vibrante. Să presupunem că poziţia iniţială a coardei coincide cu axa Ox şi că oscilaţiile ei se produc în planul vertical. Să admitem că dintr-o cauză sau alta coarda este scoasă din starea de echilibru. O astfel de cauză poate fi, de exemplu, lovirea coardei. Prin aceasta coarda îşi schimbă forma; fiecare punct al coardei suferă o anumită deplasare. Pentru simplificare să admitem că deplasarea este perpendiculară pe axa Ox şi se produce tot timpul în planul ( ),x u , unde u indică deviaţia coardei de la poziţia de echilibru. Evident, u este funcţie de două variabile ( ),u u x t= . Dacă admitem o coardă omogenă cu grosimea constantă şi că, în momentul care urmează după cel iniţial, asupra coardei nu acţionează nici un fel de forţe exterioare, precum şi, în sfârşit, că această coardă este inextensibilă, dar perfect flexibilă, atunci se poate demonstra că funcţia u satisface ecuaţia liniară cu derivate parţiale

2 2

2 21u

2u

x a t∂ ∂

=∂ ∂

, (1)

unde a este o mărime constantă care depinde de proprietăţile fizice ale coardei. Ecuaţia (1), deşi aproximativă, este valabilă în cazul aşa-numitelor vibraţii

mici ale coardei. Această ecuaţie se numeşte ecuaţia undelor în două variabile independente sau ecuaţia coardei vibrante.

Probleme mai complexe ale fizicii conduc la ecuaţii cu derivate parţiale similare cu (1), dar mai complicate. Astfel, vibraţiile transversale ale unei membrane subţiri, care în poziţia de echilibru se află în planul ( ),x y , sunt descrise de ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul al doilea


2 2

2 2 21u u 2

2u

x y a t∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

, const.a = (2)

Ecuaţia (2) se numeşte ecuaţia vibraţiei membranei sau ecuaţia undelor în trei variabile independente.

Ca şi ecuaţia coardei vibrante, ea descrie suficient de precis numai micile oscilaţii ale membranei.

Ecuaţia undelor în patru variabile independente are forma 2 2 2

2 2 2 21u u u 2

2u

x y z a∂ ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂ ∂t

u

)

. (3)

Această ecuaţie defineşte, de exemplu, câmpul vitezelor unui gaz oscilant, dacă aceste viteze sunt mici şi derivă dintr-un potenţial, adică dacă există o funcţie u, astfel încât , unde v este vectorul viteză al particulei de gaz.

gradv =

2. Problema câmpului nestaţionar de temperatură. Dacă presupunem că se supune încălzirii o porţiune a suprafeţei unui corp omogen, atunci în acest corp apare un câmp de temperatură; temperatura, evident, se schimbă de la un punct la altul al corpului şi de la un moment de timp la altul. Notând temperatura cu u, se observă că u este funcţie de variabilele independente

(, , , : , , ,x y z t u u x y z t= . Se poate demonstra că această funcţie satisface ecuaţia cu derivate parţiale

2 2 2

2 2 2 , cou u u uk ktx y z

∂ ∂ ∂ ∂+ + = =

∂∂ ∂ ∂nst . (4)

Remarcăm faptul că expresia 2 2

2 2u u 2

2u

x y z∂ ∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂

este rezultatul aplicării

operatorului lui Laplace funcţiei u şi se notează cu simbolul : Δ2 2

2 2u u uu

2

2x y z∂ ∂ ∂

Δ = + +∂ ∂ ∂

.

Ecuaţia (4) se poate scrie deci sub forma uu kt

∂Δ =

∂. Ecuaţia (4) se

numeşte ecuaţia propagării căldurii; ea este o ecuaţie liniară cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Această ecuaţie era cunoscută încă de Euler, dar adesea este legată de numele lui Fourier.

3. Propagarea câmpului de temperatură staţionară. Să presupunem că u, câmpul de temperatură este constant în timp. Atunci u este doar funcţie de coordonatele spaţiale,

( ), ,u u x y z= .


Ecuaţia (4) devine

2 2 2

2 2 2 0u u ux y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(5)

sau 0uΔ = . (5')

Ecuaţia (5) (sau (5')) se numeşte ecuaţia lui Laplace. (Pierre Simon Laplace 1749-1827); este o ecuaţie liniară cu derivate parţiale de ordinul al doilea.

Ecuaţiile (1), (2) (respectiv (3)) şi (4) corespund unor probleme distincte ale fizicii, dar ele sunt distincte şi din punct de vedere matematic. Ele reprezintă trei tipuri importante de ecuaţii cu derivate parţiale: hiperbolic, parabolic şi eliptic.

Pentru aplicaţiile fizicii prezintă interes şi multe ecuaţii liniare de ordin superior. Unele probleme din geometrie şi fizică conduc atât la ecuaţii neliniare cu derivate parţiale, cât şi la sisteme de ecuaţii diferenţiale. Astfel, sunt bine cunoscute sistemele de ecuaţii diferenţiale din teoria elasticităţii, hidrodinamicii şi electrodinamicii.

În exemplele (1) – (5), prezentate mai sus, numărul variabilelor independente, în concordanţă cu sensul fizic al problemelor, este cel mult egal cu patru; evident se pot considera ecuaţii cu un număr arbitrar de variabile independente, iar pe parcursul lucrării de faţă se vor face referiri în acest sens.

Să mai dăm câteva exemple de ecuaţii şi sisteme de ecuaţii cu derivate parţiale.

a) Ecuaţia biarmonică

( )2u f xΔ = cu ( )2 :u uΔ = Δ Δ . (6)

În unele aplicaţii (de exemplu, în teoria elasticităţii) un rol deosebit de important îl are ecuaţia biarmonică în două variabile independente. Această ecuaţie are următoarea formă explicită

( )4 4 4

4 2 2 42 ,u u u f x yx x y y∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂ ∂

.

Un rol important îl joacă în aplicaţii ecuaţia poliarmonică

, cu 0nuΔ = ( )( )( ): ... , ,nu u nΔ = Δ Δ Δ ∈ ≥ 3.n (7)

Rezultate deosebite, devenite clasice pentru importanţa lor şi pentru eleganţa lor, au fost obţinute de academicianul Miron Nicolescu care în 1936 publică la Herman, Paris, monografia „Les fonctions polyharmoniques” în colecţia „Actualităţi ştiinţifice”. După această dată, conceptul de funcţie poliarmonică este organic legat de numele lui Miron Nicolescu, ilustru matematician român, unul din marii creatori şi conducători de şcoală ai ştiinţei româneşti, v. [17], [18].


b) Oscilaţiile unui corp elastic tridimensional, omogen şi izotrop sunt descrise de ecuaţia vectorială din teoria elasticităţii dinamice

( ) (2

2 graddiv ,u u ut

∂ρ = μΔ + λ + μ + )f x t∂

, (8)

unde u este vectorul deplasărilor elastice, f este vectorul forţelor de volum, – densitatea mediului elastic, ρ λ şi μ – constantele lui Lamé. Dacă se notează

cu , respectiv ju , 1,jf j = 3 componentele câmpurilor vectoriale u şi f, iar cu

1 2 3, ,x x x coordonatele carteziene ale punctului x, atunci ecuaţia vectorială (8) se scrie ca sistem de trei ecuaţii scalare

( ) ( )2

2 , , 1,jj j

j

uu f x t

xt

∂ ∂θρ = μΔ + λ + μ + =

∂∂3j

unde 31 2

1 2div .

x x xuu uu

3

∂∂ ∂θ = = + +

∂ ∂ ∂

Dacă u nu depinde de t, se obţine ecuaţia vectorială din teoria elasticităţii statice

( ) ( )graddiv 0u u fμΔ + λ + μ + =x , (9)

echivalentă cu sistemul de trei ecuaţii scalare

( ) ( ) 0, 1, 3j jj

u f xx

j∂θμΔ + λ + μ + = =

∂.

Toate ecuaţiile şi sistemele scrise mai sus sunt liniare. Vom da în continuare câteva exemple de ecuaţii şi sisteme neliniare.

c) Ecuaţia suprafeţei minime

2 22 2

2 21 2 1u u u u u u uy x y x y xx y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

20= , (10)

unde u este cota punctului de pe suprafaţă de abscisă x şi ordonată y. Ecuaţia neliniară (10) este liniară în raport cu derivatele sale de ordin

superior. Ea este un exemplu de ecuaţie cvasiliniară. d) Ecuaţiile lui Navier - Stokes

( )

( )

3

1

1 grad ,

div 0

kkk

v vv v p f xt x

vt

=

⎧ ∂ ∂− νΔ + + =⎪

⎪ ∂ ∂ ρ⎨∂ρ⎪ + ρ =⎪ ∂⎩

∑ t , (11)


descriu mişcarea unui lichid sau gaz. Câmpul vectorial v este câmpul vectorial al vitezelor particulei de lichid care la momentul t se găseşte în punctul ( )1 2 3, ,x x x x ; – componentele vectorului v; p – presiunea;

– coeficientul de vâscozitate; f – câmpul vectorial al forţelor masice care acţionează asupra mediului. Ecuaţiile lui Navier - Stokes sunt cvasiliniare.

1 2 3, ,v v vν

e) Ecuaţia lui Monge-Ampère

(22 2 2

2 2 ,u u u )f x yx yx y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂− =⎜ ⎟

∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠, (12)

joacă un rol important în multe probleme de geometrie. Ecuaţia (12) este un exemplu de ecuaţie neliniară.

Prin considerarea exemplelor de ecuaţii (1) – (5) am încercat să punem în evidenţă cele trei tipuri de ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea, care fac obiectul în particular al acestui capitol, al acestei cărţi. Enumerarea tipurilor de ecuaţii a) – e) are ca scop să evidenţieze succint diverse domenii ale fizicii, mecanicii etc. care conduc la studiul unor ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea, sau de ordin superior şi care pot fi liniare, cvasiliniare, neliniare. Evident exemplele sunt numeroase, iar problemele matematice ce intervin în abordarea lor foarte dificile.

În principal, cu mici excepţii, capitolul acesta este dedicat ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea cvasiliniare.

§1 Generalităţi. Problema Cauchy DEFINIŢIA 1.1. Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea în două variabile independente, o ecuaţie de forma

2 2 2

2 2, , , , , , , 0z z z z zF x y zx y x yx y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂=⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠. (13)

Funcţia necunoscută este ( ),z z x y= , o funcţie de două variabile independente.

DEFINIŢIA 1.2. Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea în n variabile independente, o ecuaţie de forma

2 2 2

1 2 2 21 1

, , , ; , , , , , , , ,nn i j n

z z z z zF x x x zx x x xx x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂=⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠

… … … … 0. (14)

DEFINIŢIA 1.3. Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, în două variabile independente, liniară, o ecuaţie de forma (13) unde

este polinom de gradul întâi în raport cu funcţia necunoscută şi cu toate derivatele acesteia. Forma generală a ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniară, în două variabile independente, este

( )F ⋅


(2 2 2

11 12 22 1 22 2 ,z z z z za a a a a az f xx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂)y

0

, (15)

unde coeficienţii sunt funcţii de x şi y. 11 12 22 1 2, , , , ,a a a a a a Dacă , atunci ecuaţia (15) se numeşte omogenă. ( ),f x y =

DEFINIŢIA 1.4. Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, în două variabile independente, cvasiliniară o ecuaţie de formă (13) care este liniară în raport cu derivatele parţiale de ordinul al doilea:

( ) ( ) ( )2 2 2

11 12 222 2, , , , , ,z z za x y a x y a x y f x y z ,z zx y xx y

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠y∂

)

.

Ecuaţiile clasice ale fizicii matematice sunt: – ecuaţia (3), ecuaţia propagării undelor într-un mediu cu trei dimensiuni,

numită şi ecuaţia undelor sferice, având drept cazuri particulare ecuaţia (1) a coardei vibrante şi ecuaţia (2) a membranei vibrante, numită şi ecuaţia undelor cilindrice;

– ecuaţia (4), ecuaţia propagării căldurii; – ecuaţia (5) din teoria potenţialului newtonian (coulombian), ecuaţia lui

Laplace. DEFINIŢIA 1.5. Se numeşte soluţie sau integrală a ecuaţiei (13), o

funcţie de clasă într-un domeniu din planul ( ,z z x y= 2C xO y care, înlocuită împreună cu derivatele sale până la ordinul al doilea inclusiv în ecuaţia (13), transformă pe (13) în identitate.

DEFINIŢIA 1.6. Se numeşte soluţie (sau integrală) generală a ecuaţiei (13) o soluţie a sa care depinde de două funcţii arbitrare de o singură variabilă de o clasă determinată, funcţii prin particularizarea cărora se obţine orice soluţie (integrală) a ecuaţiei (13).

În cele ce urmează nu ne interesează problema găsirii integralei generale a ecuaţiei (13) ci problema găsirii acelor soluţii ale ecuaţiei (13) care verifică una sau mai multe condiţii suplimentare.

DEFINIŢIA 1.7. Prin problemă Cauchy restrânsă pentru ecuaţia (13) se înţelege problema găsirii soluţiei (soluţiilor, dacă problema nu admite soluţie unică) pentru

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

0

0

, , , , , , , 0

, ,

,

z z z z zF x y zx y x yx y

z x y yz x y yx

⎧ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂=⎪ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎝ ⎠⎪⎨ = ϕ⎪∂⎪ = ψ⎪ ∂⎩

(16)

unde , sunt două funcţii date (date Cauchy), definite şi de o anumită clasă de regularitate într-un domeniu.

( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅


DEFINIŢIA 1.8. Prin problemă Cauchy generală pentru ecuaţia (13) se înţelege determinarea unei soluţii a următoarei probleme:

( ) ( )

( )0

2 2 2

2 2

0

, , , , , , , 0

, ,

dd x x

z z z z zF x y zx y x yx y

z x y y

z y=

⎧ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂=⎪ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎝ ⎠⎪ = ϕ⎨⎪⎪ = ψ⎪ τ⎩

unde τ este o direcţie care nu este conţinută în planul 0x x= , iar ( )ϕ ⋅ , sunt două funcţii date, definite şi de o anumită clasă într-un domeniu. ( )ψ ⋅

Observaţia 1.1. Este interesant de reţinut că în problema Cauchy generală

se consideră derivata după o direcţie τ , 0

dd x x

z

=τ în loc de derivata parţială

0x x

zx =

∂∂

din problema Cauchy restrânsă. Această problemă apare în mod natural

din formularea matematică a problemei fizice concrete, direcţia fiind determinată de problema fizică considerată.

τ

PROPOZIŢIA 1.1. Problema Cauchy restrânsă este echivalentă cu o problemă Cauchy generală.

Interpretarea geometrică a problemei Cauchy restrânse

Soluţia problemei Cauchy restrânse, dacă există, asociată ecuaţiei (13), adică problema (16), poate fi interpretată în spaţiul cu trei dimensiuni al punctelor ( , , )x y z ca o suprafaţă ( ),z z x y= , care pentru 0x x= devine ( ) ( )0 ,z x y y= ϕ . Ecuaţiile ( ) ( )0 0, ,x x z x y y= = ϕ reprezintă o curbă

aflată în planul ( )Γ 0x x= ; integrala (soluţia) problemei Cauchy (16) trece prin curba ( . Deoarece planul tangent la suprafaţa )Γ ( ,z z x y )= are de-a lungul acestei curbe parametrii directori ( ) ( ), ,p q 1⋅ ⋅ − , vom avea

( ) ( ) ( ) ( )00

0 0, ,x xx x

z zq x y y y p x yy x ==

∂ ∂′= = ϕ = ψ =∂ ∂

, .

Prin urmare, parametrul ( )p ⋅ depinde de funcţia ( )ψ ⋅ ; există deci o infinitate de suprafeţe integrale ale ecuaţiei (13) care trec prin curba ( )Γ , depinzând de o funcţie arbitrară ( )ψ ⋅ . Planul cu parametrii directori ( ) ( )0 ,p x y y= ψ , ( ) ( )0 ,q x y y′= ϕ şi –1 , variind continuu de-a lungul

curbei în funcţie de parametrul y, defineşte o suprafaţă desfăşurabilă care ( )Γ


trece prin curba ( )Γ , suprafaţa ( ),z z x y= rămânând tangentă la această suprafaţă de-a lungul curbei ( ) . Γ

Acestea fiind precizate urmează că sub aspect geometric problema Cauchy restrânsă revine la:

Observaţia 1.2. Fie şi ecuaţia (13). Fie curba 7:F D ⊂ → ( )Γ definită de 0x x= ( )z y= ϕ , y I∈ ⊂ . Se consideră suprafaţa desfăşurabilă , definită de o familie de plane tangente la curba Σ ( )Γ ,

( ) ( )0: ,p x y yΣ = ψ , ( ) ( )0 , ,q x y y y I′= ϕ ∈ . Problema Cauchy restrânsă asociată ecuaţiei (13) constă în determinarea acelei soluţii pentru ecuaţia (13) care trece prin ( şi este tangentă la )Γ Σ de-a lungul curbei . ( )Γ

§2 Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Cauchy restrânse pentru ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea în două variabile independente. Teorema Cauchy-Kovalevskaia

În acest paragraf vom stabili un rezultat privind existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Cauchy restrânse pentru ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea în două variabile independente. În acest scop sunt necesare unele noţiuni şi rezultate preliminare de funcţii olomorfe, analitice în mai multe variabile.

DEFINIŢIA 2.1. O funcţie se numeşte olomorfă pe

D dacă oricare ar fi punctul

: mg D ⊂ →

)( 0 0 01 2, , ..., mx x x D∈ funcţia admite o

dezvoltare în serie de puteri, de forma, ( )g ⋅

, (17) ( ) ( ) ( )1

1 21 2

0 01 2 ... 1 1

, ,..., 0

, , ..., ... m

mm

kkm k k k m

k k k

g x x x A x x x x∞

=

= −∑ m−

serie convergentă în hipersfera ( ) ( ){ 1 1, ..., , ..., ,m mS x x x x D= ∈ 0 ,i ix x r− < 1, ,i m= cu . Coeficienţii dezvoltării (17) sunt daţi de }0r >

1 2

1 2 1 20

...

...1 2 1 2 , 1,

1! ! ... ! ...

m

m mi i

k k k

k k k k k km m x x i m

gAk k k x x x

+ + +

= =

∂=

∂ ∂ ∂. (18)

DEFINIŢIA 2.2. Se numeşte funcţie majorantă pentru o funcţie dată, dezvoltabilă în serie Taylor, o funcţie dezvoltabilă în serie Taylor în aceleaşi condiţii ca şi funcţia dată iniţial, ai cărei coeficienţi sunt toţi pozitivi sau nuli şi superiori modulelor puterilor corespunzătoare ale funcţiei iniţiale.

PROPOZIŢIA 2.1. Pentru orice funcţie olomorfă pe D se poate construi o majorantă.

: mg D ⊂ →


Demonstraţie: Fără a restrânge generalitatea problemei putem presupune

că . Prin urmare, conform Definiţiei 2.1, formulele (17) şi (18),

( )0, 0, ..., 0 Dθ = ∈

, (19) ( ) 1 21 2

1 2

1 ... 1 2, ,..., 0

, ..., ... mm

m

k k km k k k

k k k

g x x A x x x∞

=

= ∑ m

seria (19) fiind convergentă într-o hipersferă centrată în origine. Fie ( )1 2, , ..., mα = α α α un punct al hipersferei în care seria (19) converge, cu 0iα > , oricare ar fi 1,i = m . Deoarece termenul general al unei serii convergente este termenul general al unui şir convergent la zero, rezultă că există o constantă pozitivă M, 0M > , astfel încât

( ) ( )1 2...1 2 11 2

1

... , , ..., , 0mk k km

mk k k

m ms

A M k k k k=

α α α < ∀ = = ≥∑ sk .

Rezultă

1 2 1 2...

1 2

....m mk k k k k k

m

MA ≤α α α

(20)

Cu aceasta, deducem că funcţia

( )

1 2

1 2

1 21 2

1 2

1 21 2

1 2

1 2

1 20 0 0

1 2, ,..., 0 1 2

, , ..., :1 1 ... 1

...

... ,...

m

m

mm

m

mm

m

kk km

mk k k

k k kmk k k

k k k m

MG x x xxx x

xx xM

M x x x

∞ ∞ ∞

= = =

∞

=

= =⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=α α α

∑ ∑ ∑

∑

=

(21)

este o majorantă pentru funcţia ( )1, ..., mg x x . Observaţia 2.1 – Majoranta (21), dedusă conform construcţiei din Propoziţia 2.1, nu este singura posibilă. Astfel, pentru funcţia ( )1, ..., mg x x , din Propoziţia 2.1, o majorantă posibilă este şi funcţia

( )1 21 2

, , ..., ...1m

m

MG x x x x xa

=+ + +

−x , (22)

unde ( )1 2min , , ..., ma = α α α .


În adevăr, pentru 1 2 ... mx x x+ + + ≤ a , funcţia ( )G ⋅ , dată de (22), se poate dezvolta în serie uniform convergentă.

( )

1 2

1 2

1 21 2

0

1 21 20 ...

..., , ...,

1 ! ... .! !... !

m

m

km

mk

k k kmk

mk k k k k

x x xG x x x Ma

kM x x xk k ka

∞

=∞

= + + + =

+ + +⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∑

∑ ∑

Dar ( )1 2

1 2 1 2

... !! 1! !... ! ! !... !

m

m m

k k kkk k k k k k

+ + += ≥

şi

1 2 1 2...1 2

1 1 1 ....m mk k k k k k k

ma a + + += ≥α α α

Prin urmare, conform (20),

1 2 1 2...

1 21 2

!! !......m mk k k k k k k k

mm

M M M kAk k ka a

≤ ≤ <α α α !

. (23)

Din (23) rezultă că funcţia (22) este o majorantă pentru funcţia din Propoziţia 2.1.

( )g ⋅

– O altă majorantă posibilă pentru funcţia ( )g ⋅ din Propoziţia 2.1 este funcţia

( )11 2 1

, ...,... ...1 1

mn n

MG x xmx x x x x

a b+

=+ + + + +⎛ ⎞ ⎛− −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝⎞⎟⎠

, (24)

unde ( )1min , ..., na = α α , ( )1min , ...,n mb += α α cu . n m<

În adevăr, funcţia se poate dezvolta, ca serie binominală, în serie de puteri dacă

( )G ⋅1 ... nx x a+ + < şi 1 ...n mx x+ b+ + < . Se obţine, cu seria

binomială,

( ) ( )

( )

1 2

1

1

1

1 21 1 2

1 1 2... 0

11

1 1... 0

... !1, ..., ...... ! !... !

... !1 ... .... !... !

n

n

n m

n m

k k knm n

n nk k

k kn mmn

n m n mk k

k k kG x x M x x x

k k k k k

k kx x

k k k k+

+

∞

+ + =

∞+

++ ++ + =

⎛ ⎞+ + += ×⎜ ⎟

⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎛ ⎞+ +

× ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑

∑ (25)

Faptul că funcţia (24) este o majorantă a funcţiei ( )g ⋅ din Propoziţia 2.1 rezultă conform inegalităţilor evidente, care urmează,


( )1

1

... !1

!... !n

n

k kk k+ +

≥ , ( )1

1

... !1

!... !n m

n m

k kk k+

+

+ +≥ .

Prin urmare,

1 1...1

1 1...n nk k k k

na + + ≥α α

,

1 1...1

1 1...n m nk k k

n mb + ++ ++

≥α α mk .

Deci

( ) ( )

1 2 1 1

1 1

1 1

...1 1

... ...

1 2 1... ...

1

... ...1 1

... ! ... ! .

!... !

m n n m

n n m

n n m

k k k k k k kn n m

k k k k

n n mk k k k

m

MA

Ma b

M k k k k ka b k k

+

+

+

+

+ + + +

++ + + +

≤ ≤α α α α

≤ ≤

+ + + + +≤

DEFINIŢIA 2.3. Fie ( ): n nA D ⊂ → L , , o matrice de tip ale cărei elemente sunt funcţii complexe definite pe D. Fie

un vector coloană cu n componente, funcţii complexe pe D. Se consideră sistemul de ecuaţii diferenţiale în complex, de ordinul întâi

n n× : nb D →

( ) ( )ddw A z w b zz= + . (26)

Se numeşte soluţie a sistemului (26) o funcţie complexă olomorfă în , care are proprietatea : nw D D⊂ → D

( ) ( ) ( ) ( )ddw z A z w z b zz

= + , pentru orice . z D∈

TEOREMA 2.1. Fie un domeniu simplu conex. Fie , D ⊂ ( )A ⋅ ( )b ⋅ , ca în Definiţia 2.3, olomorfe în D. Atunci pentru orice şi există o soluţie în a sistemului (26) cu proprietatea

0z D∈ 0nw ∈

D D⊂ ( )0w z w= 0 ; dacă două soluţii coincid în atunci ele coincid peste tot în . 0z D Observaţia 2.2 – Fie D un domeniu simplu conex, . Fie ecuaţia de ordinul n în complex

D ⊂

( ) ( ) ( )10 1 1...n n

n na w a w a w a w f z−− ′+ + + + = . (27)

Dacă , ( )ia ⋅ 0,i n= şi ( )f ⋅ sunt funcţii olomorfe în D atunci pentru orice şi pentru orice sistem de n numere complexe 0z ∈ D 0 1 1, , ..., nw w w − ∈


există o funcţie olomorfă unică în D cu proprietatea că înlocuită în (27) o transformă în identitate şi ( )0 0w z w= , ( ) ( ) ( )1

0 1 0, ..., nnw z w w z w−

1−′ = = . Această afirmaţie rezultă din Teorema 2.1, prin reducerea ecuaţiei (27) la

un sistem de ecuaţii diferenţiale în n funcţii necunoscute, de ordinul întâi. – Pentru detalii privind ecuaţii diferenţiale şi sisteme de ecuaţii

diferenţiale în complex, v. [2]. Ipoteza H 2.1. Fiind dată ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul al doilea

(13) presupunem că ecuaţia (13) poate fi rezolvată în raport cu 2

2zr

x∂

=∂

, adică

ecuaţia (13) poate fi adusă la forma ( ), , , , , ,r f x y z p q s t= , (13')

cu şi conform notaţiilor lui Monge ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0f =) zpx∂

=∂

, zqy∂

=∂

,

2zsx y∂

=∂ ∂

, 2

2zt

y∂

=∂

.

TEOREMA 2.2 (Cauchy – Kovalevskaia, de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Cauchy restrânse). Fie 7D ⊂ un domeniu simplu conex şi fie o funcţie olomorfă pe D cu proprietatea că pentru 7:f D ⊂ →( )0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,x y z p q s t D∈ , punct în D, ( )0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,f x y z p q s t 0= . Fie , două funcţii indefinit derivabile într-o vecinătate a lui şi care satisfac condiţiile

( )ϕ ⋅ ( ) :ψ ⋅ →

0y( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, ,y z y q y t′ ′′ϕ = ϕ = ϕ = ;

( ) ( )0 0 0,y p y′ψ = ψ = 0s . Atunci problema Cauchy restrânsă

( )( ) ( )

( )0

0

, , , , , ,

,

x x

r f x y z p q s t

z x y y

z yx =

⎧ =⎪

= ϕ⎪⎨∂⎪ = ψ⎪ ∂⎩

, (28)

admite soluţie olomorfă, unică. Demonstraţie: „unicitatea” Înainte de a trece la demonstraţia propriu-zisă simplificăm datele problemei (28). Anume, să observăm că printr-o transformare liniară de forma

0

0

x x Xy y Y= +⎧

⎨ = +⎩ ,

condiţiile problemei Cauchy (28), scrisă în raport cu noile variabile X şi Y se vor considera în , . Problema ca structură şi grad de regularitate 0X = 0Y =


nu se schimbă. De aceea, vom da demonstraţia unicităţii soluţiei problemei (28) în ipoteza că 0 0 0x y= = şi că deci ( )0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0f = . Cu această precizare trecem la demonstrarea unicităţii soluţiei problemei (28), în cazul specificat. Presupunem că problema Cauchy restrânsă (28) admite soluţie olomorfă în origine, fie aceasta . Atunci ( ,z z x y= ) ( )z ⋅ admite o dezvoltare în serie de puteri, într-un disc centrat în origine, fie aceasta

, (29) ( )0

, i jij

n i j n

z x y a x y∞

= + =

= ∑ ∑cu

( ) ( ), 0,0

1 , , ,! !

i j

ij i jx y

za i j ii j x y

+

=

∂= ∈

∂ ∂j n+ = ∈ . (30)

Metoda demonstraţiei constă în a arăta că toţi coeficienţii , ija ,i j ∈ , , din (30) se determină în mod unic cu ajutorul funcţiilor i j n+ = ∈ ( )f ⋅ ,

, şi a derivatelor acestora. În adevăr, din (30) deducem succesiv: ( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

00

10

01

2

20 2

0, 0 0

0, 0 0

0, 0 0

1 10, 0 0, 0, 0 , 0 , 0 , 0 , 02 2

a zzaxzay

za fx

⎧ = = ϕ⎪ ∂⎪ = = ψ⎪ ∂⎪ ∂⎨ ′= = ϕ⎪ ∂⎪⎪ ∂ ′ ′ ′′= = ϕ ψ ϕ ψ ϕ⎪ ∂⎩

, (31)

deoarece

( ) ( ) ( )2

0 110 0

d0, 0 0 2dx y

x y y

z zs y ax y y x y= =

= = =

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′= = = ψ = ψ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=

( ) ( ) ( )2

0 02200

d0, 0 2 0dx y

yx y

z zt a yy y yy

= === =

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′ ′= = = = ϕ = ϕ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠′ .


Pentru a determina ceilalţi coeficienţi ai dezvoltării (30) observăm că

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1

1, 1 1 100

11

10

1 11! 1 ! 1 !

1 d 1 0 , 2, 3, ...1 ! 1 !d

k k

k k kx yx y

kk

ky

z zak k xx y y

y kk ky

−

− − −= == =

−−

−=

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = ⎜ ⎟− − ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂

= ψ = ψ =− −

=

(32)

( )

( )

( )

,0

2 2

2 20

2

20

1! !

1! !

1 ,! !

k

i k i i k ix y

k

i k ix y

k

i k ix y

zai k i x y

zi k i x y x

fi k i x y

− −= =

−

− −= =

−

− −= =

∂= =

− ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟

− ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂=

− ∂ ∂

(33)

iar în derivatele funcţiei ( )f ⋅ intervin ( )0ϕ , ( )0ψ , ( )0′ϕ , , ( )0′ψ ( )0′′ϕ , ( )0′′ψ , ... .

Prin urmare, toţi coeficienţii , ija ,i j ∈ , i j n+ = ∈ , din dezvoltarea (30) se pot determina din aproape în aproape cu ajutorul funcţiilor

( )f ⋅ , , şi a derivatelor lor calculate în ( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅ 0x y= = . Deoarece aceste valori sunt unic determinate rezultă că şi coeficienţii dezvoltării (30) sunt unic determinaţi. Prin urmare, soluţia olomorfă a problemei Cauchy restrânse (28), dacă există, este unică.

„Existenţa” Înainte de a trece la demonstraţia propriu-zisă vom simplifica datele problemei (28). Anume, demonstrăm că în problema (28) putem lua oricând condiţiile iniţiale şi putem lua funcţiile şi 0 0 0x y= = ( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅ identic nule. (Aceasta este o procedură generală în rezolvarea diverselor probleme la limită sau Cauchy asociate ecuaţiilor cu derivate parţiale, anume de a omogeniza datele iniţiale sau la limită; din acest motiv merită a se reţine procedura prin care se realizează omogenizarea datelor Cauchy sau la limită; în cazul de faţă este problema de omogenizare a datelor Cauchy.) Pentru aceasta este suficient a se face schimbarea de funcţie , după regula z → u

( ) ( ) ( ) ( ),z x y y x y u x y= ϕ + ψ + , , (34)

prin care noua funcţie necunoscută ( ),u u x y= , pe care o vom nota tot cu ( )z ⋅ , va avea condiţii iniţiale pentru 0x = , date de

0 0 0 0 0 0z p q s t= = = = = , ( )0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0r h f= = .


După transformarea (34) ecuaţia cu derivate parţiale din problema (28) trece în

( ), , , , , ,r h g x y z p q s t= + , (35)

cu . (S-a făcut o dezvoltare în serie a funcţiei (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0g =) ( )f ⋅ şi s-a notat cu seria din care s-a scos valoarea funcţiei ( )g ⋅ ( )f ⋅ în origine, adică tocmai h.) Făcând acum transformarea de funcţie , cu z → u

( ) ( ) 2, ,2hz x y u x y x= + , (36)

şi renotând funcţia necunoscută cu z, problema (28) trece într-o problemă de aceeaşi natură numai că 0 0 0x y= = şi ( ) ( ) 0y yϕ = ψ ≡ , adică într-o problemă Cauchy cu date Cauchy omogene.

Prin urmare, putem lucra direct pe problema (28) unde gândim şi 0 0 0x y= = ( ) ( ) 0y yϕ = ψ ≡ .

Trecem, în acest cadru simplificat, dar nerestrictiv, la demonstrarea existenţei soluţiei olomorfe pentru problema (28).

Ideea demonstraţiei constă în a considera seria

, (37) 0

i jij

n i j n

a x y∞

= + =∑ ∑

cu , , ija ,i j ∈ i j n+ = ∈ daţi de formulele (31), (32), (33) în funcţie de ( )ϕ ⋅ , , ( )ψ ⋅ ( )f ⋅ şi derivatele lor calculate în 0x y= = .

Urmează să demonstrăm că seria (37) este uniform convergentă. În acest scop se foloseşte teoria majorantelor. Anume, conform Propoziţiei 2.1, funcţia

( )f ⋅ , fiind olomorfă, admite o majorantă. Luăm o majorantă de forma (25), deci

( ), , , , , ,1 1

Mx y z p q s t Mx y z p q s t

a b

Φ =+ + + + +⎛ ⎞ ⎛− −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

−⎞⎟⎠

, (38)

unde M este o constantă pozitivă suficient de mare, iar a, b sunt constante pozitive suficient de mici.

Considerăm ecuaţia majorantă ( ), , , , , ,r x y z p q s= Φ t . (39)

Observăm, înlocuind direct în (39), că ( )0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0Φ = .


Considerăm următoarea problemă Cauchy restrânsă asociată ecuaţiei majorante (39),

( )

( )

( )

, , , , , ,

0, 0

0, 0

r x y z p q s

z yz yx

⎧ = Φ⎪⎪ =⎨∂⎪ =⎪ ∂⎩

t

. ( ) m28

Vom demonstra că problema ( ) admite soluţie olomorfă unică. Pentru aceasta vom considera problema ( ) care va fi chiar problema ( ) sub o formă uşor modificată. Modificarea constă în artificiul lui Goursat, anume în

problema ( ) înlocuim x cu

m28'm28 m28

m28 xα

, cu ( )0, 1α ∈ . Prin urmare, problema

modificată este

( )

( )

1 1

0, 0

0, 0

Mr Mx y z p q s t

a bz y

z yx

⎧ = −⎪ ⎛ ⎞+ + + +⎪ ⎜ ⎟ +⎛ ⎞α⎪ − −⎜ ⎟ ⎜⎪ ⎝ ⎠ ⎝⎨⎪ =⎪∂⎪ =⎪ ∂⎩

⎟⎠

y

, ( ) 'm28

Dacă pentru ( ) căutăm soluţii care depind numai de , problema ( ) devine

'm28 u x= + α

'm28

( ) ( )

( )

2/ 11 1

0 00

Mz Mu z z z

a bzz

⎧ ′′ = −⎪ ⎛ ⎞′ ′′⎛ α + + + α ⎞ α + α⎪ − −⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎨

⎪ =⎪′ =⎪⎩

''m

y

⎠, ( 28 )

deoarece , u x= + αd dd d

z z u zp zx u x u∂ ∂ ′= = = =∂ ∂

; dd

z z uqy u y∂ ∂

= =∂ ∂

=

; z′= α ( )2z zs z z

x y y x y∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′ ′′= = = =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

α ; 2

2z zt

y yy∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = =⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠

( ) 2z zy∂ ′ ′′= α = α∂

; ( )2

2z z

xr z∂ ∂ ′

x′′= = =

∂∂.


Prin urmare, problema ( ) este de fapt o problemă Cauchy pentru o ecuaţie diferenţială de ordinul al doilea, anume

''m28

( )

( )

( )( )

22 2 22

2 2d d1d d

1

1

0 00 0

M z zb bu u

M Mu z z

azz

⎧ ⎛ ⎞α + α⎡ ⎤⎪ − α + α − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ = −⎪⎨ ′+ + + α

α⎪ −⎪⎪ =⎪⎪ ′ =⎩

. ( ) '''m28

Alegând pe astfel încât α ( )2 1Mb

α + α < problema ( ) este o problemă

Cauchy pentru o ecuaţie diferenţială de ordinul al doilea de forma:

'''m28

( )( )

22

2d d d, ,

d dd0 00 0

z zA B g u zu uu

zz

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨

=⎪⎪ ′ =⎩

,

z

( m28∗ )

cu olomorfă, ( )g ⋅ 0A > , 0B > . Aplicând Observaţia 2.2 rezultă că problema ( ) admite soluţie olomorfă unică. Deci există

m28∗

( )z z u= unică cu proprietatea că

, cu ( )0

kk

kz u a u

∞

=

= ∑ ( )d 0 ,d

k

k kza

u= k ∈ . Să arătăm că toţi aceşti

coeficienţi ,ka k ∈ sunt nenegativi. Într-adevăr, ( ) ( )0 0z z′= 0= . În plus din

( )

( )

( )0 2

0

11

, , 01

u

u

M Mu z z

ag u z z Mb

=

=

−′+ + + α

α−′ = =

− α + α


rezultă, conform ( ), că m28∗22 2

2 20 0

d d 0d du u

z zA Bu u= =

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠, deci

2

20

d 0d u

zu =

= . Derivând ecuaţia din ( m28∗ ) în raport cu u obţinem

2 g g gAz Bz z zu z z

z∂ ∂ ∂′′′ ′′ ′′′ ′ ′′− = + +′∂ ∂ ∂

.

Cu aceasta, deducem că ( )( )2

10 01

Mz Mab

′′′ = >α − α + α

.

Calculând în continuare derivatele de ordin superior, deducem că problema ( ) admite o soluţie olomorfă unică cu toţi coeficienţii dezvoltării, soluţiei, nenegativi. Această soluţie este o majorantă a seriei (37). Faptul că soluţia problemei ( ) este o majorantă a seriei (37) rezultă din faptul că

m28∗

m28∗ ( )Φ ⋅ dat de (38) este o majorantă pentru ( )f ⋅ şi din modul cum sunt construiţi coeficienţii din seria (37), anume numai cu ajutorul lui ija ( )f ⋅ şi a derivatelor sale calculate în 0x = , . Dar aceste valori sunt majorate de valorile lui

şi a derivatelor sale, deoarece 0y =

( )Φ ⋅ ( )Φ ⋅ este funcţie majorantă pentru funcţia ( )f ⋅ . Rezultă atunci că seria (37) este uniform convergentă şi din modul cum a

fost construită deducem că suma sa este soluţie a problemei (28) (în cazul simplificat la care am redus problema). Prin urmare, problema (28) admite soluţie unică olomorfă. Observaţia 2.3 – Teorema 2.2 dă o soluţie locală, în caz că ( )f ⋅ este olomorfă. Caracterul local al soluţiei este indus de mulţimea pe care ( )f ⋅ admitea o dezvoltare în serie de puteri în jurul originii; – Demonstraţia dată mai sus urmează ideile din [22] şi [23]; – Afirmaţiile referitoare la existenţa soluţiei problemei Cauchy formulată în Teorema 2.2, cu privire la analiticitatea acestei soluţii şi la unicitatea ei în clasa funcţiilor analitice constituie conţinutul teoremei clasice Cauchy – Kovalevskaia. Afirmaţia despre unicitatea soluţiei problemei (28) în clasa funcţiilor neanalitice, dar suficient de netede, a fost demonstrată de Holmgren, v. [7] şi [11].


§3 Curbe caracteristice. Clasificarea ecuaţiilor cvasiliniare de ordinul al doilea. Reducerea la forma canonică a ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea în două variabile independente, cvasiliniare

3.1 Clasificarea ecuaţiilor cvasilinaire de ordinul al doilea

i. Clasificarea ecuaţiilor cvasiliniare de ordinul al doilea în două variabile independente

DEFINIŢIA 3.1.1. Se numeşte ecuaţie cvasiliniară de ordinul al doilea, în două variabile independente o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea de forma

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2, 2 , , , , , ,z z z zA x y B x y C x y D x y zx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠0z

=

0=

, (40)

liniară în derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei necunoscute . ( ),z z x y=

Asociem ecuaţiei (40) ecuaţia diferenţială

, (41) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, d 2 , d d , dA x y y B x y x y C x y x− +

numită ecuaţia caracteristicilor pentru ecuaţia (40). Ecuaţia (41) se poate aduce la forma

( ) ( ) ( )2d d, 2 , ,

d dy yA x y B x y C x yx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0= . (41')

Din (41') rezultă ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2, , ,dd ,

,B x y B x y A x y C x yyx A x y

± −= .

Deci, ecuaţiile (41) şi (41') se reduc în general la două ecuaţii diferenţiale

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

, , ,dd ,

, , ,dd ,

,

,

B x y B x y A x y C x yyx A x y

B x y B x y A x y C x yyx A x y

⎧ + −⎪ =⎪⎪⎨⎪ − −

=⎪⎪⎩

. (42)

DEFINIŢIA 3.1.2. Se numesc curbe caracteristice ale ecuaţiei (40) cele două familii de curbe plane (din planul xOy ) definite de ecuaţia diferenţială (41'), independente de orice suprafaţă integrală a ecuaţiei (40).


CLASIFICARE: 1. Dacă ( ) ( ) ( )2 , , ,B x y A x y C x y− 0> , atunci cele două familii de

curbe caracteristice ale ecuaţiei (40) sunt reale şi distincte; ecuaţia (40) este de tip hiperbolic.

2. Dacă ( ) ( ) ( )2 , , ,B x y A x y C x y− 0= , atunci există o singură familie de curbe caracteristice pentru ecuaţia (40); ecuaţia (40) este de tip parabolic.

3. Dacă ( ) ( ) ( )2 , , ,B x y A x y C x y− 0< , atunci există două familii de curbe caracteristice ale ecuaţiei (40), complex conjugate; ecuaţia (40) este de tip eliptic.

Este evident că o aceeaşi ecuaţie poate fi de tipuri diferite, funcţie de regiunile din plan considerate. Subliniem faptul că în ipoteza că , ( ),A ⋅ ⋅ ( ),B ⋅ ⋅ ,

( ),C ⋅ ⋅ sunt funcţii continue, trecerea de la un domeniu de hiperbolicitate la unul de elipticitate se face prin curbe de parabolicitate ale ecuaţiei (40).

Să presupunem că mulţimea punctelor dintr-un domeniu dat D, din planul xOy, în care ( ) ( ) ( )2 , , ,B x y A x y C x y− 0= formează o curbă σ continuă cu tangentă continuă.

DEFINIŢIA 3.1.3. Dacă în domeniul D care conţine curba σ , în afara curbei σ , ecuaţia (40) este de acelaşi tip (adică sau eliptică sau hiperbolică), atunci spunem că domeniul D este conţinut în domeniul de elipticitate sau în domeniul de hiperbolicitate al ecuaţiei (40) cu singularitate parabolică de-a lungul lui σ .

Dacă însă arcul de curbă σ divide domeniul D în două subdomenii, în fiecare din ele ecuaţia (40) fiind de alt tip, atunci ecuaţia (40) se numeşte ecuaţie de tip mixt în domeniul D, însuşi domeniul D se va numi de tip mixt pentru ecuaţia (40).

ii. Clasificarea ecuaţiilor cvasiliniare de ordinul al doilea în n variabile independente, 2n >

Forma generală a unei ecuaţii cvasiliniare de ordinul al doilea în n variabile independente este

2

11, 1

, ..., , , , ..., 0n

ijn

i j ni j

z za F x x zx x x x=

∂ ∂⎛+ =⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑ z∂ ⎞

⎟ , (43)

cu ( )1, ..., , , 1,ij ijna a x x i j= = n .

Asociem ecuaţiei (43) ecuaţia diferenţială

( )1, 1

, ..., 0n

ijn

i ji j

G Ga x xx x=

∂ ∂=

∂ ∂∑ , (44)

numită ecuaţia caracteristicilor.


DEFINIŢIA 3.1.4. Forma pătratică în 1, ..., nπ π

, cu ( )1, 1

, ...,n

ijn i

i j

A a x x=

= π j∑ π , 1,ii

G i nx∂ , (45) π = =∂

se numeşte forma caracteristică a ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul al doilea, în n variabile independente (43). Fie ( )det ijaΔ = . Dacă , , 1,ija i j = n sunt constante reale şi dacă

, atunci forma pătratică (45) se poate scrie ca o sumă de n pătrate. 0Δ ≠ Dacă dar rangul matricei 0Δ = ( ) , 1,

iji j na = este n p− , atunci forma

pătratică (45) se poate scrie ca o sumă de n p− pătrate. Se ştie însă că reducerea unei forme pătratice la o sumă de pătrate se poate face într-o infinitate de moduri, însă numărul pătratelor negative şi al celor pozitive este mereu acelaşi, conform legii inerţiei. Deoarece toate afirmaţiile de mai sus sunt adevărate în cazul în care , , 1,ija i j = n sunt constante vom considera forma caracteristică (45), asociată ecuaţiei (43), în fiecare punct din . Evident, schimbând punctul se schimbă şi matricea

n

( ) , 1,ij

i j na = . În funcţie de forma caracteristică A, (45), vom da următoarea clasificare, punctuală, pentru ecuaţia (43).

CLASIFICARE:

1. Dacă şi dacă toate pătratele în forma caracteristică A, adusă la o sumă de pătrate, au acelaşi semn într-un punct , atunci ecuaţia (43) se numeşte de tip eliptic în .

0Δ ≠

0nP ∈

0P 2. Dacă şi pătrate în forma caracteristică A, adusă la o sumă de pătrate, au acelaşi semn, iar unul are semn contrar într-un punct , atunci ecuaţia (43) se numeşte de tip hiperbolic (hiperbolic normal) în .

0Δ ≠ 1n −

0nP ∈

0P Dacă şi pătrate, 0Δ ≠ n − p 1p > , au un semn, iar p pătrate au semn contrar într-un punct , atunci ecuaţia (43) se numeşte de tip ultrahiperbolic în .

0nP ∈

0P 3. Dacă în , forma pătratică A se reduce la sumă de

(0Δ = 0

nP ∈n p− 0p > ) pătrate, atunci ecuaţia (43) se numeşte de tip parabolic în . 0P Subliniem, aşa cum am făcut şi în partea introductivă la acest capitol, că ecuaţiile de tip hiperbolic, eliptic, parabolic caracterizează trei categorii mari de fenomene. Ele intervin în fizica matematică şi în tehnică sub toate formele; mai puţin întâlnite sunt ecuaţiile de tip ultrahiperbolic. (După cum a rezultat din clasificarea de mai sus un rol esenţial în clasificarea ecuaţiilor cvasiliniare de ordinul al doilea în n variabile îl are forma caracteristică (45), care în literatura


de specialitate este asociată cu noţiunea de hipercon caracteristic a cărui ecuaţie tangenţială este 0ij

i ja π π = .) Dăm în continuare câteva exemple din cele trei tipuri principale de ecuaţii. Ecuaţia lui Laplace sau a potenţialelor este de forma

2 2 2

2 2 20 0u u uux y z∂ ∂ ∂

Δ = ⇔ + + =∂ ∂ ∂

.

Ecuaţia caracteristicilor este 2 2 2

0G G Gx y z

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Notând cu 1Gx

∂π =

∂, 2

Gy

∂π =

∂, 3

Gz

∂π =

∂, forma caracteristică este

2 21 2A 2

3= π + π + π . Conul caracteristic este de ecuaţie tangenţială 2 2 2

1 2 3 0π + π + π = . Acest con este imaginar, având real doar vârful său; este de altfel conul izotrop al spaţiului. Caracteristicile sunt imaginare, deci ecuaţia este de tip eliptic. (Toate pătratele au acelaşi semn în forma caracteristică A, iar 1Δ = .) Ecuaţia undelor cilindrice este de forma

2 2

2 2 21u u 2

2u

x y a t∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

.

Ecuaţia caracteristicilor este 2 2 2

21 0G G G

x y ta∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

23

.

Forma caracteristică este 2 2 21 2A a−= π + π − π , cu 3

Gt

∂π =

∂. În acest caz

, iar A are două pătrate pozitive şi unul negativ. Conul caracteristic de ecuaţie tangenţială

2a−Δ = −2 2 2 21 2 3 0a−π + π − π = este real şi ecuaţia este de tip

hiperbolic. Ecuaţia căldurii, de forma

2 2 2

2 2 2 21u u u

tx y y a∂ ∂ ∂ ∂

+ + =u∂∂ ∂ ∂

,

este o ecuaţie în patru variabile , , ,x y z t . Ecuaţia caracteristicilor este 2 2 2

0G G Gx y z

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= ,

adică coincide cu ecuaţia caracteristicilor pentru ecuaţia lui Laplace. Dar, în acest caz deci este o ecuaţie de tip parabolic. 0Δ =


Ecuaţia 2 2 2 2

2 2 2 2 0u u u ux y z t∂ ∂ ∂ ∂

+ − − =∂ ∂ ∂ ∂

este o ecuaţie de tip ultrahiperbolic.

3.2 Reducerea la formă canonică a ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea cvasiliniare, în două variabile independente

În cele ce urmează ne vom ocupa de ecuaţia (40) în ipoteza că ( ),A ⋅ ⋅ , , ( ),B ⋅ ⋅ ( ),C ⋅ ⋅ sunt funcţii continue reale, diferenţiabile într-un domeniu dat

; de asemenea, presupunem că Δ ( ),A ⋅ ⋅ , ( ),B ⋅ ⋅ , ( ),C ⋅ ⋅ nu se anulează în acelaşi timp în Δ şi că în domeniul Δ ecuaţia (40) este sau hiperbolică, sau eliptică, sau parabolică deci nu este de tip mixt.

Pentru a scoate în evidenţă ce are caracteristic fiecare tip de ecuaţie (40) în parte vom reduce ecuaţia (40) la o formă cât mai simplă, în funcţie de clasificarea făcută, cu ajutorul schimbărilor de variabile, tot aşa cum în geometria analitică prin schimbări de axe, care în fapt sunt transformări liniare de variabile, se aduce ecuaţia generală a unei conice la forma canonică.

Prin urmare, efectuăm în ecuaţia (40) schimbarea de variabile independente

( )( )

( ),

: , , , :,

x xT

y y⎧ = ζ η⎪ Tζ η ∈ Δ Δ → Δ⎨

= ζ η⎪⎩ (46)

nedegenerată, adică cu proprietatea că determinantul funcţional ( )( )

,0

,D x yD

≠ζ η

în , ceea ce permite inversarea transformării (46), deci se obţine transformarea Δ

( )( )

( )11 ,

: , , , :,

x yT x y T

x y−− ⎧ζ = ζ⎪ ∈ Δ Δ →⎨

η = η⎪⎩Δ . (47)

Să calculăm derivatele funcţiei ( ),z ⋅ ⋅ în raport cu noile variabile ,ζ η şi să rescriem ecuaţia (40) în noile variabile. Rezultă


( ) ( )

( ) ( )

( )2

2

2

2

, ,

, ,

,

z z zx y x yx x xz z zx y x yy y y

z z z zx yx x x x xx

z z zx x xx

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎝ ⎠∂ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂ ζ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛= + +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂ ∂ζ ∂ ∂η∂⎝ ⎠ ⎝

( )

2

2

2 22 2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

2

, (48)

zx x

z z z zx x y x

2

2 2z

x x

z z z zx yx y y x y x x

z z zx y x y x x y

∂η ∂ ∂ η⎞ + =⎜ ⎟ ∂ ∂η ∂⎠

∂ ∂ζ ∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂η ∂ ∂ ζ ∂ ∂ η⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ζ∂η ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂η⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ζ ∂η ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ζ ∂ζ ∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ ζ= + + +

∂ ∂ ∂ζ∂η ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ζ

+

( )

2 2 2

2

2

2

2 22 2 2 2

2 2

,

2

z z zy x x y x y

z z z zx yy y y y yy

z z z zy y y y y

∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂η ∂η ∂ ∂ η+ +

∂η∂ζ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂η ∂ ∂∂η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ζ ∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂η ∂ ∂ ζ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ζ∂η ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂η∂ζ ∂η ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2z 2

2 .y

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ η⎪ ∂⎩

Înlocuind, derivatele date de (48), în ecuaţia (40) obţinem tot o ecuaţie cvasiliniară de forma

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 12 2, 2 , , , , , ,z z z zA B C D z∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ 0zζ η + ζ η + ζ η + ζ η =⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ζ ∂η∂ζ ∂η ⎝ ⎠

,(49)

unde

( )

( )

( )

2 2

1

1

2 2

1

, 2

, .

, 2

A A B Cx x y y

B A B Cx x x y y x y

C A B Cx x y y

⎧ ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ζ η = + +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪ ∂ζ ∂η ∂ζ ∂η ∂ζ ∂η ∂ζ ∂η⎛ ⎞⎪ ζ η = + + +⎨ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪⎪ ∂η ∂η ∂η ∂η⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ζ η = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

y (50)

În formulele (50), ţinând seama de transformarea T dată de (46), A, B, C sunt funcţii de variabilele ζ şi η .


Prin calculul direct se verifică faptul că ( ) ( )21 1 1 ,B A C x y− =

( ) ( ) ( )( )

22 ,

,,

DB AC x y

D x y⎡ ζ η

= − ⎢⎣ ⎦

⎤⎥ . Deoarece transformările (46) şi (47) sunt

nesingulare rezultă că ecuaţia (49) este de acelaşi tip ca şi ecuaţia (40). Ne propunem să scriem sub o formă simplificată coeficienţii (50) ai

ecuaţiei (49). În acest scop trebuie să alegem convenabil transformarea (47). Începem prin a observa că dacă ( ),G x y c= este o familie de curbe caracteristice ale ecuaţiei (40), deci soluţie a ecuaţiei (41'), prin diferenţierea

ecuaţiei ( ),G x y c= , deducem d dG Gx yx y

0∂ ∂+ =

∂ ∂. Adică d

d

Gy x

Gxy

∂∂= −∂∂

.

Înlocuind în (41') rezultă

2 2

2G G G GA B Cx x y y

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠0=

y=

. (51)

(În esenţă este ecuaţia (44) când ecuaţia (43) este considerată în cazul particular , adică (40).) Facem observaţia că , 1 22, ,n x x x= = ( )1 ,A ⋅ ⋅ ( )1 ,B ⋅ ⋅ ,

, coeficienţi daţi de (50), sunt de forma (51). Deci transformarea (47) ar trebui definită cu ajutorul curbelor caracteristice.

(1 ,C ⋅ ⋅ )

0

Fie ecuaţia algebrică

2 2Ar Br C− + = . (52)

Rezultă ( ) ( )1 2 0A r r r r− − = , cu rădăcini pentru (52). Conform (51)

rezultă că

1 2,r rGxr Gy

∂∂= −∂∂

este o rădăcină pentru ecuaţia (52). Cu aceasta, dacă

2 0B AC− ≠ obţinem

1 2 0G G G GA r rx y x y

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛+ +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞ =⎟⎠

2, cu 1r r≠ . (52')

Prin urmare, în ipoteza 0A ≠ şi 2 0B AC− ≠ , ecuaţia (52') se descompune în

1

2

0

0

G Grx yG Grx y

∂ ∂⎧ + =⎪ ∂ ∂⎪⎨ ∂ ∂⎪ + =⎪ ∂ ∂⎩

. (53)


Fie ( ),ζ ⋅ ⋅ soluţia generală a primei ecuaţii a sistemului (53); fie soluţia generală a celei de a doua ecuaţii a sistemului (53). Aceasta înseamnă

( ,η ⋅ ⋅)

1

2

0

0

rx y

rx y

∂ζ ∂ζ⎧ + =⎪ ∂ ∂⎪⎨ ∂η ∂η⎪ + =⎪ ∂ ∂⎩

. (53')

Înmulţind, în (53'), prima ecuaţie cu y∂η∂

, a doua ecuaţie cu y∂ζ∂

şi

presupunând că 0y∂η

≠∂

, 0y∂ζ

≠∂

rezultă, prin scădere, x y∂ζ ∂η

−∂ ∂

( )1 2 0r rx y y y∂η ∂ζ ∂ζ ∂η

− + −∂ ∂ ∂ ∂

= 2r. Deoarece 1r ≠ rezultă ( )( )

,,

DD x y

ζ η=

0x y

x y

∂ζ ∂ζ∂ ∂

=∂η ∂η∂ ∂

≠ , deci transformarea (47) dată de curbele caracteristice ale

ecuaţiei (40) este nesingulară. Aceasta este transformarea căutată. Din ecuaţia (52) deducem relaţiile

1 2

1 2

2Br rA

Cr rA

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

. (54)

Ţinând seama de (54), coeficienţii (50) se rescriu astfel:

( )

( )

2 2

1 1 2 1 2

1 2

1 1 2 1 2

1 2 2

2 2 2

A A r r r rx x y y

A r rx y x y

B A r r r rx x x y y x y y

A r r A rx y x y x

⎡ ⎤∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ∂ζ ∂η ∂ζ ∂η ∂ζ ∂η ∂ζ ∂η ⎤⎛ ⎞= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∂ζ ∂ζ ∂η ∂η ∂ζ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

2

1 1 2

.

ry x y

C A r rx y x y

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪ ζ ∂η ∂η⎛ ⎞ ⎛⎪ +⎜ ⎟ ⎜⎪ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎪

∂η ∂η ∂η ∂η⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

⎞⎟⎠

(55)


Cu aceasta obţinem următoarele: Dacă se consideră transformarea (47) unde ( ),ζ ⋅ ⋅ , ( , )η ⋅ ⋅ sunt date de

curbele caracteristice ale ecuaţiei (40), atunci: 1. Cazul hiperbolic: 2 0B AC− > . Rădăcinile şi sunt reale şi

distincte deci, conform (41), (41'), respectiv (42), există două familii de curbe caracteristice reale, distincte. Conform (47) şi (55) rezultă . Vom arăta însă că . Pentru aceasta presupunem prin absurd că . Atunci

1r 2r

1 1 0A C= =

1 0B ≠ 1 0B =

( ) ( )( )

22 21 1 1

,0

,D

B A C B ACD x y

⎡ ⎤ζ η− = = − ⎢ ⎥

⎣ ⎦. Deoarece transformarea (47) este

nesingulară rezultă 2 0B AC− = ; s-a ajuns la contradicţie. Cu aceasta ipoteza de absurd este falsă, deci . 1 0B ≠

Prin urmare, în cazul hiperbolic, după simplificare cu 12B obţinem următoarea formă simplificată pentru ecuaţia (40):

2

1 , , , , 0z zD z∂ ∂⎛+ ζ η =⎜∂ζ∂η ∂ζ ∂η⎝ ⎠

z∂ ⎞⎟ . (56)

Forma (56) se numeşte prima formă canonică a ecuaţiei cvasiliniare (40) în două variabile de tip hiperbolic.

Efectuând schimbarea

u vu v

ζ = +⎧⎨η = −⎩

, (57)

din (56) rezultă 2 2

12 2 , , , , 0z z z zD u v zu vu v

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞′− + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂,

care se numeşte a doua formă canonică pentru ecuaţiile cvasiliniare de tip hiperbolic în două variabile independente.

2. Cazul parabolic: 2 0B AC− = . În acest caz 1r 2r= . Conform (41), (41'), respectiv (42), există o singură familie de curbe caracteristice ( ),x y cζ = pe care o alegem ca familie de coordonate în transformarea (47).

Atunci (47) devine

( ),

?x y⎧ζ = ζ

⎨η =⎩

. (58)

În transformarea (58) alegem a doua familie de coordonate arbitrar, fie aceasta ( , )x yη = η , cu condiţia însă ca transformarea (58), astfel construită,


( )( )

,,

, ( )

x y

x y arbitrar

⎧ζ = ζ⎪⎨η = η⎪⎩

(58')

să fie nedegenerată, deci inversabilă. Conform (55), în acest caz, se vede că , iar . Împărţind cu deducem următoarea formă

canonică pentru ecuaţia (40): 1 1 0A B= = 1 0C ≠ 1C

2

22 , , , , 0z zD z∂ ∂⎛ ⎞+ ζ η =⎜ ⎟∂ζ ∂η∂η ⎝ ⎠

z∂ . (59)

3. Cazul eliptic: 2 0B AC− < . În acest caz ecuaţia (52) are două rădăcini şi complex conjugate. Prin urmare, curbele caracteristice 1r 2r( ) 1,x y cζ = , ( ) 2,x yη = c , soluţii pentru (41), (41'), respectiv (42), sunt

complex conjugate. Se face transformarea (47) pentru ( ),ζ ⋅ ⋅ , date de curbele caracteristice ale ecuaţiei (40). Se obţine

( ,η ⋅ ⋅)1 1 0A C= = . În acest caz,

formal, ca în cazul hiperbolic se deduce

2

3 , , , , 0z zD z∂ ∂⎛ ⎞+ ζ η =⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ζ ∂η⎝ ⎠

z∂ . (60)

Observăm că pentru ca ecuaţia (60) să aibă sens trebuie să presupunem că funcţiile ( )A ⋅ , ( )B ⋅ , ( )C ⋅ , ca funcţii de variabilă complexă, sunt funcţii olomorfe pentru că numai în acest caz soluţia ( )z ⋅ rezultă tot olomorfă şi astfel au sens derivatele funcţiei ( )z ⋅ în raport cu variabilele complexe ,ζ η .

Deoarece familiile de curbe caracteristice ( ) 1,x y cζ = , ( ) 2,x y cη = sunt complex conjugate putem alege ca variabile reale pe ( ),u ⋅ ⋅ , ( ),v ⋅ ⋅ , ştiind că

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, , i.

, , i

,

,

x y u x y v x y

x y u x y v x y

⎧ζ = +⎪⎨η = −⎪⎩

Rezultă 2

u ζ + η= ,

2iv ζ − η= . Atunci, prin calcul direct deducem

1 12 i

z zu v

∂ ∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ζ ∂ ∂⎝ ⎠

z∂ .

2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 1 1 1 12 i 4 4 i 4 i 4

1 .4

z z z z z zu v u v u vu v

z zu v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = − + +⎜ ⎟∂ζ∂η ∂η ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟

∂ ∂⎝ ⎠

2 2z=


1 12 i

z zu v

∂ ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂η ∂ ∂⎝ ⎠

z∂ .

Cu aceasta ecuaţia (60) se rescrie 2 2

32 2 , , , , 0z z z zD u v zu vu v

∂ ∂ ∂ ∂⎛′+ + =⎜ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂⎞⎟ . (60')

Observaţia 3.2.1 – Se poate ajunge la forma (60') şi fără a presupune coeficienţii ecuaţiei (40) funcţii olomorfe.

– În consideraţiile anterioare condiţiile 2 0, 0, 0B AC− > = < din cazurile hiperbolic, parabolic, eliptic sunt gândite punctual (respectiv pe mulţimile pe care inegalităţile au loc) sau în cazul ecuaţiilor (40) cu coeficienţi

constanţi se reţine, prin verificare, una din inegalităţi. Astfel, în cazul ecuaţiei (40) cu coeficienţi variabili se obţine pentru ecuaţia (40), pe submulţimi de puncte, una din formele canonice (56), (59), (60'). Adică, pe un domeniu dat ecuaţia (40) poate fi redusă eventual la fiecare din formele canonice (56), (59), (60'), (pe submulţimi), ecuaţia (40) fiind de tip mixt.

§4 Metoda separării variabilelor sau metoda Daniel Bernoulli - Fourier. Principiul lui Duhamel

Spre deosebire de teoria ecuaţiilor diferenţiale sau de teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul întâi, în teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea nu există metode de calcul care să conducă la determinarea soluţiei generale. Astfel, luând în consideraţie ecuaţiile clasice ale fizicii matematice în afara ecuaţiei coardei vibrante, pentru toate celelalte ecuaţii nu este posibilă determinarea soluţiei generale.

Problema găsirii soluţiei generale nu ne va interesa în cele ce urmează, deoarece din considerente practice se solicită determinarea unor soluţii care satisfac anumite condiţii particulare, cum ar fi condiţiile iniţiale sau condiţiile la limită sau condiţii mixte (şi condiţii iniţiale şi condiţii la limită).

În plus, metodele de rezolvare ale diverselor probleme particulare, impuse ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea, diferă de la un tip de ecuaţie la altul. Există totuşi o metodă care se poate aplica celor trei tipuri de ecuaţii cu derivate parţiale descrise în secţiunea 3.1, §3. Această metodă se numeşte „metoda separării variabilelor” sau „metoda lui Fourier” şi poate fi aplicată în următoarele condiţii:

1i ) ecuaţia cu derivate parţiale, indiferent de ordin, trebuie să fie liniară în

u, 1 2

1 2

, ... , , ...,... n

p

k k ki n

u ux x x x∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

1,i n= , 1 ... np k k m= + + ≤ , m – ordinul

ecuaţiei; 2i ) condiţiile suplimentare în care se caută soluţia trebuie să fie liniare (în

raport cu funcţia necunoscută), iar acestea să conducă la probleme de funcţii şi


valori proprii numărabile (adică problema în cauză admite o infinitate numărabilă de funcţii şi valori proprii).

În acest paragraf tratăm această metodă în cazul general, urmând să fie particularizată în paragrafele următoare pe cazuri concrete de probleme ataşate ecuaţiilor fizicii matematice.

Fie . Se consideră cu ,q n ∈ nnD ⊂ nD∂ netedă pe porţiuni.

Se notează cu ( )1, ..., n nx x x D= ∈ , cu 1 2

1 2

...

1 2

: ,...

n

n

k k kkk

k k k kn

u uD ux x x x

+ + +∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

1 2 ... ,nk k k k= + + + cu ( )1 ,..., nk k k ka a a x= = pentru nx D∈ ,

( ) ( )1, , , ..., nF t x F t x x= , unde t este o variabilă independentă care ia valori pozitive şi care practic are interpretarea de timp, şi cu ( ),L x D u =

1 2

1 2 11 2

...

, ,...,0 , ,... 0 1 ...

n

n nn

m m k k kk

k k k k k knk k k k

ua D u ax x

+ + +

= =

∂= =

∂ ∂∑ ∑ , 12, 3, ..., , ..., nm k k= ∈ .

Se consideră problema mixtă în [ ]0, nT D×

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 100

1

110

, ,

, , ,c.i.

..., , ,

c.l. , ,n

q

q

tt

q

q nqt

x D

u L x D u F t xt

uu t x u x t x ut

u t x u x x Dt

Au t x t x

==

−

−−=

∈∂

⎧ ∂− =⎪

∂⎪⎪ ⎧ ∂

= =⎪ ⎪⎪ ∂⎪⎨ ⎨⎪ ∂⎪ = ∈⎪ ⎪ ∂⎪ ⎩⎪ = ϕ⎪⎩

,x , (61)

unde ( )iu ⋅ , 0, 1i q= − sunt funcţii date în nD (datele Cauchy), A este un operator liniar, iar ( , )ϕ ⋅ ⋅ funcţie dată (date la limită) în [ ]0, nT × ∂D . T este o constantă pozitivă fixată.

Prin soluţie pentru problema (61) se înţelege o funcţie de q ori derivabilă în raport cu variabila t şi care

admite în raport cu variabila spaţială derivate parţiale de ordin m inclusiv, care satisface ecuaţia din (61), condiţiile iniţiale (c.i.), respectiv condiţiile la limită (c.l.) din problema (61).

[ ]: 0, nu T D× →

Metoda separării variabilelor constă în găsirea unui şir de soluţii de formă particulară, pentru ecuaţia din problema (61), care să satisfacă eventual o parte din condiţiile suplimentare (de regulă la limită) din problema (61). Cu acest şir de soluţii se formează o serie ai cărei coeficienţi se determină din condiţia ca suma seriei să fie soluţia problemei (61), deci să satisfacă ecuaţia din problema (61) şi toate condiţiile la limită şi iniţiale impuse de problema (61).


Rezolvarea problemei (61) prin metoda separării variabilelor constă în general din următoarele etape:

.1e Se omogenizează condiţiile la limită. Operaţia de omogenizare se realizează printr-o schimbare de funcţie , ceea ce revine la determinarea unei funcţii

u → v( ),ω ⋅ ⋅ , care verifică condiţiile la limită din problema (61),

( ) (,nx D ),A t x t x∈∂ω = ϕ ; cu schimbarea de funcţie , după regula

funcţia

u → v

),( ) ( ) (, ,u t x v t x t x= + ω ( ),v ⋅ ⋅ satisface problema

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1

0 1

1

11

, ,

0, , 0, ,c.i.

..., 0, ,

c.l. , 0n

q

q

q

q nq

x D

v L x D v F t xt

vv x u x x u xt

v x u x x Dt

Av t x

∗ ∗

−∗−−

∈∂

⎧ ∂− =⎪

∂⎪⎪ ∂⎧ = =⎪⎪ ⎪ ∂⎪⎨ ⎨⎪ ∂⎪ = ∈⎪ ⎪ ∂⎩⎪⎪ =⎪⎩

, (62)

cu ( )1 ,F ⋅ ⋅ , ( ) ( )0 , ..., qu u∗ ∗−1⋅ ⋅ alte funcţii, în general, decât ( ), ,F ⋅ ⋅

, care însă sunt cunoscute odată cu ( ) ( )0 , ..., qu u −⋅ 1 ⋅ ( ),F ⋅ ⋅ şi ( ),ω ⋅ ⋅ . În cazul particular şi diverse forme ale operatorului A din

condiţiile la limită, din problema (61), dăm în continuare exemple de funcţii 1n m= =

( ),ω ⋅ ⋅ .

1. ( ) ( )

( ) ( ),

.,

u t a g tu t b h t

⎧ =⎨

=⎩

( ) ( ) ( ) ( ), , , a x x bu v v t x u t x h t g tb a b a− −

→ = + +− −

,

deci ( ) ( ) ( ), x a b xt x h t g tb a b a− −

ω = +− −

.

2. ( ) ( )

( ) ( )

,

,

u t a g tu t b h tx

⎧ =⎪⎨ ∂

=⎪ ∂⎩

.

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2, , ,2

x a x bu v v t x u t x h t g tb a b a− −

→ = − −− −

,

deci

( )( )( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2,2

x a x bt x h t g tb a b a− −

ω = +− −

.


3. ( ) ( )

( ) ( )

,

,

u t a g txu t b h tx

∂⎧ =⎪⎪ ∂⎨ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )2 2

, , ,2 2

x a x bu v v t x u t x h t g tb a b a− −

→ = − +− −

,

deci ( )( )( )

( ) ( )( )

( )2 2

,2 2

x a x bt x h t g tb a b a− −

ω = −− −

.

Soluţia problemei (62), conform principiului superpoziţiei, se caută de forma

2e .

( ) ( ) ( )0, , pv t x v t x v t x,= + , (63) unde ( )0 ,v ⋅ ⋅ este soluţie pentru problema

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0 1

1

11

, 0

0, , 0,c.i. ,

... , 0, ,

c.l. , 0n

q

q

q

q nq

x D

v L x D vt

vv x u x x u xt

v x u x x Dt

Av t x

∗ ∗

−∗−−

∈∂

⎧ ∂− =⎪

∂⎪⎪ ∂⎧ = =⎪⎪ ⎪ ∂⎪⎨ ⎨⎪ ∂⎪ = ∈⎪ ⎪ ∂⎩⎪⎪ =⎪⎩

(64)

iar este soluţie pentru problema ( ,pv ⋅ ⋅ )

( ) (

( )

)

( )

( )

( )

1

1

1

, ,

0, 0, 0, 0,c.i.

... , 0, 0,

c.l. , 0n

q

q

q

nq

x D

v L x D v F t xt

vv x xt

v x x Dt

Av t x

−

−

∈∂

⎧ ∂− =⎪

∂⎪⎪ ∂⎧ = =⎪⎪ ⎪ ∂⎪⎨ ⎨⎪ ∂⎪ = ∈⎪ ⎪ ∂⎩⎪⎪ =⎪⎩

. (65)

3e . Se rezolvă problema (64) cu metoda separării variabilelor Se caută soluţia ( )0 ,v ⋅ ⋅ sub forma unui produs de forma

( ) ( ) ( )0 ,v t x t X x 0= θ ≠ (66)

cu , iar [ ]( )0,q Tθ ∈ C ( )mnX ∈ C D . Prin înlocuire în ecuaţia din (64)

rezultă


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0q t X x t L x D X xθ − θ = , care, conform (66), se mai poate scrie şi sub forma

( ) ( )( )

( ) ( )( )

,q L x D X xtt X x

θ=

θ . (67)

Deoarece t şi x sunt variabile independente, relaţia (67) are loc dacă şi numai dacă există λ ∈ astfel încât

( ) ( )( )

( ) ( )( )

,q L x D X xtt X x

θ= = λ

θ . (68)

În plus din condiţiile la limită din problema (64) obţinem ( ) ( ) ( )00 ,

nn x Dx DAv t x t AX x ∈∈= = θ

adică

( ) 0nx DAX x ∈ = , (69)

deoarece implică ( ) 0tθ = ( )0 ,v t x 0= , ceea ce contrazice (66). Prin urmare, din (68) şi (69) rezultă

( ) ( ) ( ) 0q t tθ − λθ = , (70) ecuaţie diferenţială de ordin q cu coeficienţi constanţi şi

( ) ( ) ( )

( ), 0

0nx D

L x D X x X x

AX x ∈

⎧ − λ⎪⎨

=⎪⎩

=. (71)

Să observăm că ( ) 0X x = este soluţie pentru (71), dar această soluţie ar conduce la , ceea ce contrazice (66). Rezultă deci, că pentru (71) trebuie determinate soluţii nebanale, ceea ce în alţi termeni revine la faptul că

( )0 ,v t x = 0λ

este o valoare proprie a problemei la limită (71). Conform ipotezei ) făcută asupra condiţiilor suplimentare, inclusiv asupra condiţiilor la limită, rezultă că problema (71) admite o infinitate numărabilă de funcţii şi valori proprii reale, adică există şirul

2i

{ }k k∈λ ⊂ , astfel încât la fiecare kλ să corespundă cel puţin o soluţie nebanală ( )kX ⋅ a problemei (71), (deci dacă diferă de

atunci singura soluţie pentru (71) este doar soluţia banală). λ

,k kλ ∈Pentru , notăm cu kλ = λ ( )kθ ⋅ soluţia problemei (70). Evident

( ) ( ) ( )1 1 ... ,k k k kq kqt a t a t kθ = θ + + θ ∈ unde { } 1,ks s q=θ este un sistem fundamental de soluţii particulare pentru ecuaţia

( ) ( ) 0qkt tθ − λ θ = ,


iar { } 1,ks s qa = sunt q constante reale arbitrare. Cu aceasta, pentru { }k k∈λ şi

conform (66) se deduce şirul de soluţii de formă particulară, { }0k kv ∈ cu ( ) ( ) ( )0 ,k k kv t x t X x= θ , k ∈ . Deoarece ecuaţia din problema (64) este

liniară şi omogenă rezultă că

( ) ( ) ( ) ( )0 0, ,k kk k

v t x v t x t X x∈ ∈

= = θ∑ ∑ k , (72)

în ipoteza că seria de funcţii din (72) este uniform convergentă şi derivabilă termen cu termen de q ori în raport cu t, iar în raport cu x are sens ( ) ( )0,L x D v t x,

). În ipotezele de mai sus, funcţia (72) satisface ecuaţia şi

condiţiile la limită din problema (64), pentru că termenii seriei din (72), au aceste proprietăţi, iar ecuaţia din (64) este liniară şi operatorul A în problema (64) este liniar.

(0 ,kv ⋅ ⋅

Se impune funcţiei (72) să satisfacă şi condiţiile iniţiale din problema (64). Rezultă sistemul

. (73)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

1

11

0

0

..................................

0

k kk

k kk

qk qk

k

X x u x

X x u x

X x u x

∗

∈∗

∈

− ∗−

∈

⎧ θ =⎪⎪

′θ =⎪⎪⎨⎪⎪⎪ θ =⎪⎩

∑

∑

∑

Dacă şirul de funcţii ( ){ }k kX ∈⋅ este ortonormal se pot determina

după regula ( ) ( ) ( ) ( )10 , 0 , ... , 0qk k k

−′θ θ θ

( ) ( )0 ,jj kk u X∗θ = , 0, 1,j q k= − ∈ , (74)

unde 1 2,g g reprezintă produsul scalar în raport cu care şirul de funcţii { }k k∈Χ este ortonormal; în plus, dacă şirul de funcţii proprii { } este şi complet (închis) în raport cu mulţimea de funcţii căreia îi aparţin datele iniţiale

, atunci seriile din (73) sunt convergente în medie la

, deci (73) are sens. Rămâne să mai observăm că (74) au loc şi ele revin la determinarea celor q constante de integrare ce intervin în reprezentarea lui

k kX ∈

( ) ( ) ( )0 1 1, , ..., qu u u∗ ∗ ∗−⋅ ⋅ ⋅

1 ⋅( ) ( )0 , ..., qu u∗ ∗−⋅

( ) 1, , , ...,k kk a kqaθ ⋅ ∈ . Pentru aceste constante (74)


revine la ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 20 0 ... 0 , , 0,j j j

k k kq j kk k kqa a a u X j 1∗θ + θ + + θ = = q − , (75)

care determină în mod unic constantele { } 1, ,ks s qa k= ∈ fixat deoarece

determinantul sistemului liniar (75) este chiar wronskianul soluţiilor { } 1,ks s q=θ care formau un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia ( ) ( ) ( ) 0q

kt tθ − λ θ =

)

. În concluzie, metoda separării variabilelor rezolvă formal complet (adică

lăsând la o parte problema convergenţei seriei (72) ) problema (64). 4e . Rezolvarea problemei (65). Principiul lui Duhamel

Se ataşează problemei (65) problema mixtă, în funcţia necunoscută , dată de ( , ;w ⋅ ⋅ τ

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

( )

( )

( ) ( )

( )

2

2

1

11

, ;, , ; 0, , 0,

0, ; 0...................

c.i. .0, ; 0

0, ; ;

c.l. , ; 0n

q

nq

q

q

q

q

x D

w t xL x D w t x t x T D

tw x

w xt

w x F xt

Aw t x

−

−

−

−

∈

⎧ ∂ τ− τ = ∈⎪

∂⎪⎪ ⎧ τ =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ∂⎨ τ =⎨⎪ ∂⎪⎪ ⎪⎪ ∂⎪ τ = τ⎪ ⎪ ∂⎩⎪⎪ τ =⎩

×

(76)

Să observăm că problema (76) este o problemă de tip (64), dar cu alte date iniţiale. În plus în problema (76) apare prin una din datele Cauchy, ultima condiţie iniţială, parametrul ( ), 0, Tτ τ ∈ , ceea ce face ca soluţia problemei (76) scrisă în variabilele t şi x să depindă şi de parametrul τ .

Conform , prin metoda separării variabilelor, soluţia problemei (76) este complet determinată.

3e

TEOREMA 4.1 (Principiul lui Duhamel). Soluţia problemei (65) este dată de

( ) (0

, ,t

pv t x w t x ); d= − τ τ τ∫ , (77)

cu ( ), ;w t x τ soluţie a problemei (76).


Demonstraţie: Funcţia ( ),pv ⋅ ⋅ dată de (77) este reprezentată de o integrală depinzând de parametrii t şi x. Utilizând formulele de derivare pentru integralele depinzând de parametri, prin calcul direct, obţinem

(78)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

, , , ;

, , ;

t

p

t

L x D v L x D w t x

L x D w t x

= − τ

= − τ

∫

∫

d

d .

τ τ =

τ τ

Conform (76), prima condiţie Cauchy, ( )0, ; 0w x τ = . Cu aceasta deducem

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

0

0

0

, , ; d

, ; d , ;

, ; d 0, ;

, ; d .

tp

t

t

t

t

vt x w t x

t t

w t x w t xt

w t x w xt

w t xt

τ=

∂ ∂= − τ τ τ =

∂ ∂

∂ − τ τ= τ + − τ

∂

∂ − τ τ= τ + τ

∂

∂ − τ τ= τ

∂

∫

∫

∫

∫

τ =

=

(79)

În mod analog, găsim

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

20

2

20

2

20

2

20

, ;, d

, ; , ;d

, ; d 0, ;

, ; d .

tp

t

t

t

t

v w t xt xt tt

w t x w t xtt

w t x w xtt

w t xt

τ=

∂ ∂ − τ τ∂= τ =∂ ∂∂

∂ − τ τ ∂ − τ τ= τ + =

∂∂

∂ − τ τ ∂= τ + τ

∂∂

∂ − τ τ= τ

∂

∫

∫

∫

∫

=

(80)

(S-a folosit, în stabilirea formulei anterioare, a doua condiţie Cauchy din problema (76).) Complet analog, utilizând datele Cauchy din (76) rezultă


( ) ( )

( ) ( )

3 3

3 30

1 1

1 10

, ;, d

....................

, ;, d

tp

tq qp

q q

v w t xt xt t

v w t xt xt t

− −

− −

⎧ ∂ ∂ − τ τ⎪ = τ∂ ∂⎪

⎪⎨⎪∂ ∂ − τ τ⎪

,

= τ⎪ ∂ ∂⎩

∫

∫

. (81)

Din (76) şi (81), prin derivare în raport cu t, rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

10

10

10

, ; , ;, d

, ; d ;

, ; d ; ,

tq q qp

q q qt

t q

q

t q

q

v w t x w t xt xt t t

w t x F xt

w t x F t xt

−

−τ=

∂ ∂ − τ τ ∂ − τ τ= τ +

∂ ∂ ∂

∂ − τ τ= τ + τ =

∂

∂ − τ τ= τ +

∂

∫

∫

∫

=

(82)

(deoarece ( ) ( ) (1 1

11 10

, ; , ; ,q q

q qt

w t x w x F xt t

− −

− −τ= α=

∂ − τ τ ∂ α τ= =

∂ ∂)τ , dar

înseamnă , adică 0α = 0t − τ = tτ = deci ( ) ( )1 1, ,F x F t xτ = ). Din (78) şi (82) deducem

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

10

0

0

, ;, , ,

, , ; d

, , ; d 0,

tq qp

pq q

t

t q

q

v w t xF t x t x L x D vt t

L x D w t x

L x D w t xt

∂ ∂ − τ τ− + − =

∂ ∂

− − τ τ τ =

⎡ ⎤∂= − − τ τ τ =⎢ ⎥

∂ − τ⎣ ⎦

∫

∫

∫

dτ −

(83)

deoarece ( ), ;w ⋅ ⋅ τ este soluţie pentru problema (76). Cu (83) am stabilit, prin verificare, că funcţia dată de (77) satisface ecuaţia neomogenă din problema (65). Scriind (77), (79), (80), (81) pentru

rezultă că (77) satisface condiţiile Cauchy, toate omogene, din problema (65). De asemenea, din (77) şi din condiţiile la limită pentru

0t =( ), ;w ⋅ ⋅ τ , anume

( ), ; 0nx DAw t x ∈∂τ = rezultă că

( ) ( )0

, , ;nn

t

p x Dx DAv t x Aw t x ∈∂∈

d 0= − τ τ τ =∫ .


Cu aceasta s-a demonstrat că (77) este soluţie pentru problema (65). Observaţia 4.1 – Metoda separării variabilelor poartă denumirea şi de metoda Daniel Bernoulli - Fourier, sau prescurtat metoda Fourier întrucât sistemul (73) reprezintă în fapt dezvoltări în serie Fourier, în raport cu sistemul ortonormal ( ){ }k kX ∈⋅ , a datelor Cauchy ( ) ( ) (0 1 1, , ..., qu u u )∗ ∗ ∗

−⋅ ⋅ ⋅ . – În metoda separării variabilelor descrisă pe problema (61), trebuie făcut calculul în detaliu privind aplicarea metodei Fourier, doar pentru problema (64) din . Pentru problema (76) din nu se repetă raţionamentul ci se scrie soluţia problemei (64) în care datele Cauchy se înlocuiesc cu cele din problema (76).

3e 4e

§5 Ecuaţia undelor Ecuaţia undelor în una, două respectiv trei variabile spaţiale este

2 2

22 2u ua

t x∂ ∂

=∂ ∂

, (84)

2 2

22 2

1 2

u uat x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= +⎜⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

2u

x⎟⎟ , (85)

2 2 2 2

22 2 2 2

1 2 3

u u uat x x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + +⎜⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u⎟⎟ . (86)

În n variabile spaţiale ecuaţia undelor este dată de 2 2 2

22 2 2

1...

n

u u ua ft x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂− + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

= ,

adică

2

22u a u f

t∂

− Δ =∂

. (87)

În acest paragraf se va trata separat ecuaţia undelor în cazul unei singure variabile spaţiale. Pentru problema Cauchy, în acest caz, este deja cunoscut un rezultat de existenţă şi unicitate a soluţiei, conform Teoremei 2.2 (Cauchy - Kovalevskaia), §2. În acest paragraf vom deduce formula lui d'Alembert de reprezentare a soluţiei problemei Cauchy pentru ecuaţia undelor în cazul unei singure variabile spaţiale.

Se va formula şi demonstra o teoremă de unicitate pentru soluţia problemei Cauchy ataşată ecuaţiei undelor în cazul a n variabile spaţiale,

, . n ∈ 1n >Pentru cazul 2, 3n = nu vom studia, în cele ce urmează, teoreme de

existenţă pentru problema Cauchy ataşată ecuaţiei undelor (85), respectiv (86),


ci ne mărginim la a construi formule explicite de reprezentare a soluţiei problemei Cauchy pentru aceste cazuri sub forma formulei lui Poisson (în cazul a două variabile spaţiale) şi sub forma formulei lui Kirchhoff (în cazul a trei variabile spaţiale).

În finalul acestui paragraf formulăm şi rezolvăm o problemă la limită, mixtă asociată ecuaţiei undelor în o variabilă spaţială, utilizând metoda separării variabilelor expusă în §4 al acestui capitol.

5.1 Deducerea ecuaţiei coardei vibrante Prin coardă înţelegem un fir subţire care se poate îndoi liber. Admitem că

ea se găseşte sub acţiunea unei tensiuni , iar în starea de echilibru, fără forţă exterioară, este dirijată după axa Ox. Dacă scoatem coarda din poziţia de echilibru şi o supunem acţiunii unei forţe, coarda începe să vibreze, şi anume punctul coardei care ocupă în starea de echilibru poziţia N de abcisă

0T

1x în momentul t va ocupa poziţia M. Ne mărginim să luăm în considerare numai vibraţiile transversale, presupunând că întreaga mişcare are loc într-un singur plan şi că punctele coardei se deplasează perpendicular pe axa Ox. În aceste condiţii fenomenul de vibraţie poate fi descris printr-o funcţie care caracterizează deplasarea vectorială a coardei. Vom face ipoteza că, coarda este un fir elastic, flexibil. Expresia matematică a noţiunii de flexibilitate constă în faptul că tensiunile care apar în coardă sunt întotdeauna orientate după tangentele la profilul ei instantaneu. Această condiţie exprimă faptul că, coarda nu se opune la flexiune. Tensiunea care apare în coardă poate fi calculată, datorită elasticităţii, după legea lui Hooke. Să calculăm alungirea pe care o suferă porţiunea de coardă

( ,u x t )

[ ]NN ′ , care din cauza deformaţiilor coardei trece în MM ′ . Lungimea arcului MM ′ este

2

1

2

2 11 dx

x

uS x xx∂⎛ ⎞′ = + = − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ x S .

Am considerat că deformaţiile sunt mici şi deci am neglijat pătratul

derivatei ( )ux∂

⋅∂

. În modul acesta, în limitele preciziei adoptate, nu se produce

nici o alungire a porţiunii de coardă în fenomenul de vibraţie. De aici, deducem conform legii lui Hooke, că valoarea tensiunii T în fiecare punct nu variază în timp. Notând cu ( ) ( ),x uT x T x proiecţiile tensiunii ( )T x pe axa Ox, respectiv pe axa Ou, obţinem

( ) ( ) ( ) ( )2

cos

1x

T xT x T x T xux

= α = ≅∂⎛ ⎞+ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, (88)


unde este unghiul făcut de direcţia tangentei într-un punct α P MM ′∈ la arcul de curbă MM ′ cu direcţia pozitivă a axei Ox. (Formula (88) rezultă din interpretarea geometrică a derivatei într-un punct la

graficul unei funcţii, fie aceasta ( ),u x ⋅ . Obţinem tg uxx∂

=∂

. Rezultă

22

2sincos

ux

α ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠α; prin urmare,

2

1cos

1 ux

α =∂⎛ ⎞+ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

.)

( ) ( ) ( ) ( )2

tgsin

1u

T x uT x T x T xxu

x

α ∂= α = =

∂∂⎛ ⎞+ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

. (89)

Fig. 1.5.1

Elementul de coardă MM ′ este solicitat de următoarele forţe: tensiunea în punctul M ′ dirijată după tangenta în M ′ care formează cu direcţia pozitivă a axei Ox un unghi ascuţit; tensiunea în punctul M, dirijată după tangenta în M care formează cu direcţia pozitivă a axei Ox un unghi obtuz; forţa exterioară

dF x , dirijată după direcţia pozitivă a axei Ou; forţele de inerţie dirijate după

direcţia negativă a axei Ou date de 2

2 du xt

∂− ρ∂

, unde ρ este densitatea liniară

a coardei, iar viteza punctului curent al arcului MM ′ este ( )ut

∂⋅

∂ şi acceleraţia

( )2

2u

t∂

⋅∂

.


Să observăm că, deoarece examinăm numai vibraţiile transversale, trebuie ca suma proiecţiilor tuturor acestor forţe pe axa Ox să fie nulă. Prin urmare,

, sau conform (88) rezultă ( ) ( )1 2 0x xT x T x− = ( ) ( )2 1 0T x T x− = . De aici rezultă în virtutea alegerii arbitrare a lui 1x şi a lui 2x că tensiunea nu depinde de x, adică pentru toate valorile lui x şi t avem 0T T= . Pentru a deduce ecuaţia vibraţiilor transversale ale coardei vom face proiecţia forţelor, care acţionează asupra arcului MM ′ , pe axa Ou. Obţinem următoarea condiţie de echilibru, conform principiului lui d'Alembert:

( ) ( )2

2 1 2d du uuT x T x F x x

t∂

− + − ρ 0=∂

.

Conform (89) deducem 2

0 2d dM M

u u uT F xx x t′

⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂⎣ ⎦0x = .

Dar, ( )2

2 dM M

u u u P xx x x′

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂

, cu P MM ′∈ . Prin urmare, deducem

2 2

0 2 2u uT F

x t∂ ∂

+ = ρ∂ ∂

.

Împărţind în relaţia anterioară cu ρ şi notând 20T a=ρ

, F f=ρ

obţinem

ecuaţia vibraţiilor transversale întreţinute ale coardei

2 2

22 2u ua f

t x∂ ∂

= +∂ ∂

. (90)

Dacă forţa exterioară lipseşte, atunci 0f = şi (90) devine

2 2

22 2 0u ua

t x∂ ∂

− =∂ ∂

, (90')

adică (84), ceea ce reprezintă ecuaţia oscilaţiilor libere ale coardei.

5.2 Problema Cauchy pentru ecuaţia coardei vibrante. Metoda lui d'Alembert şi Euler sau metoda schimbării variabilelor sau metoda undelor progresive. Formula lui d'Alembert

În dinamică, numai ecuaţia (90) sau (90') nu este suficientă pentru completa determinare a mişcării coardei; mai este necesar să se cunoască poziţia

punctelor ei şi vitezele lor ( ,u ⋅ ⋅ ) ( ,ut

)∂⋅ ⋅

∂ pentru 0t = , ca funcţii date de x.

Suntem conduşi astfel la următoarele probleme Cauchy:


( ) (

( )

)

( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

0

0

1 , , 0,

, ,

, ,

t

t

u u x ta t xu x t f x x

u x t g x xt

=

=

⎧ ∂ ∂= ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪= ∈⎨

⎪∂⎪ = ∈

⎪ ∂⎩

,

∞

(91)

în cazul oscilaţiilor libere ale coardei şi

( ) ( ) (

( )

)

( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

0

0

1 , , , 0,

, ,

, ,

t

t

u u x t x ta t xu x t f x x

u x t g x xt

=

=

⎧ ∂ ∂− = Φ ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪= ∈⎨

⎪∂⎪ = ∈

⎪ ∂⎩

∞

, (92)

în cazul vibraţiilor transversale întreţinute ale coardei.

i. Problema Cauchy şi formula d'Alembert în cazul oscilaţiilor libere ale coardei

TEOREMA 5.2.1. Fie ( )2f ∈ C , ( )1g ∈ C . Atunci problema Cauchy (91) admite soluţie unică şi

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

1,2

1 + d , , 0.2

x at

x at

u x t f x at f x at

g xa

+

−

= − + + +

τ τ ∀ ∈ ∀ ≥∫ t

(93)

Demonstraţie: Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Cauchy (91) rezultă din Teorema 2.2, §2. Prin metoda d'Alembert sau metoda schimbării variabilelor vom demonstra formula (93) de reprezentare a soluţiei problemei Cauchy (91), cunoscută sub denumirea de formula lui d'Alembert.

Metoda schimbării variabilelor, pe care o prezentăm în cele ce urmează, constă în a observa că ecuaţia cu derivate parţiale din problema Cauchy (91) este chiar liniară deci şi cvasiliniară şi în plus de tip hiperbolic. Urmând pas cu pas ideile şi calculele dezvoltate în §3 subpunctele i. şi ii. observăm că

22 2

1 1 0B ACa a

⎛ ⎛ ⎞− = − − = >⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞⎟ există două familii de curbe caracteristice

reale a căror ecuaţie diferenţială este 2

2d 1 0d

tx a

⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.


Sistemul diferenţial al caracteristicilor este d 1d d

echivalent cu d 1 d dd

tx a x a tt xx a

⎧ =⎪ d 00a t

− =⎧⎪⎨ ⎨ + =⎩⎪ = −⎪⎩

.

Prin integrare se obţin două familii de caracteristici reale 1

2

x at cx at c− =⎧

⎨ + =⎩.

Pentru a reduce ecuaţia din problema (91) la formă canonică se face schimbarea de variabile ( ) (,x t → ),ζ η conform transformării

x atx at

ζ = −⎧⎨η = +⎩

. (94)

Rezultă

2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2

2 2

2

2

u u u u ux x x

u u u u u uxx

u u u u ua at t t

u u u u ua a a a att

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂⎧ = + = +⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η⎪⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = + +⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ζ∂η∂ ∂ζ ∂η⎝ ⎠⎪⎨ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂⎪ = + = − +⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎪ = − + = − +⎢ ⎥⎪ ∂ ∂ζ ∂η ∂ζ∂η∂ ∂ζ⎣ ⎦⎩

2 2

2u

∂η

. (95)

Înlocuind (95) în ecuaţia din (91) rezultă

2

0u∂=

∂ζ∂η. (96)

Integrala generală a ecuaţiei (96) este

( ) ( ) ( ),u ζ η = ϕ ζ + ψ η , (97)

cu ( ) ( ),ϕ ⋅ ψ ⋅ funcţii arbitrare de două ori derivabile. Din (94) şi (97) rezultă că integrala generală a ecuaţiei din problema (91) este

( ) ( ) ( ),u x t x at x at= ϕ − + ψ + . (98)

Cu (98) s-a obţinut structura soluţiei generale a ecuaţiei coardei în cazul oscilaţiilor libere. Urmează să determinăm funcţiile reale, arbitrare şi

astfel încât (98) să satisfacă condiţiile Cauchy din problema (91). (Prin soluţie a problemei (91) se înţelege o funcţie de două variabile

( )ϕ ⋅( )ψ ⋅


( ) ( ),x t ∈ × ∞0, , de două ori derivabilă în raport cu t şi cu x care transformă ecuaţia din (91) în identitate şi care în plus satisface condiţiile suplimentare din problema (91), condiţii de tip Cauchy.) În acest scop impunem funcţiei (98) condiţiile din problema (91).

Observând că

( ) ( ) (,u )x t a x at a x at

∂ ′ ′= − ϕ − + ψ +∂

t ,

rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1x x f x

x x ga

⎧ϕ + ψ =⎪⎨ ′ ′ϕ − ψ = −⎪⎩

x. (99)

Integrând a doua ecuaţie din (99), obţinem ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

01 d , , arbitrar.

x

x

x x f x

x x g xa

⎧ϕ + ψ =⎪⎪⎨ϕ − ψ = − τ τ ∈⎪⎪⎩

∫

Deducem

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

1 1 d2

1 1 d2

x

x

x

x

x f x ga

x f x ga

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ϕ = − τ τ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣⎨

⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ψ = + τ τ⎪⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

∫

∫

⎦ ,

deci

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

1 1 d2

1 1 d2

x at

x

x at

x

x at f x at ga

x at f x at ga

−

+

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ϕ − = − − τ τ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣⎨

⎦⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ψ + = + + τ τ⎪⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

∫

∫ . (100)

Din (98) şi (100) rezultă

( ) ( ) ( )[ ] ( )1 1, d2 2

x at

x at

u x t f x at f x at ga

+

−

= − + + + τ∫ τ , (101)

adică (93). Formula (93) (respectiv (101) ) se numeşte formula lui d'Alembert în cazul oscilaţiilor libere ale coardei.


Observaţia 5.2.1 – Metoda lui d'Alembert s-a aplicat în cazul coardei infinite. Aşa cum rezultă din demonstraţia Teoremei 5.2.1, §5, puteam presupune că partea din coardă care ne interesa făcea parte dintr-o coardă de lungime mare, ale cărei capete pentru valori mici ale lui t nu influenţau partea de coardă considerată.

– Formula lui d'Alembert, (101), ne permite următoarea interpretare fizică pentru mişcarea coardei infinite. Fie

( )( ) [ ]

[ ]

( )

, 0,, 0

0 , \ 0,

, 0 0

f x xu x

xu xt

⎧ ⎧ ∈ α⎪=⎪ ⎨⎪ ∈ α⎪⎩⎨∂⎪ =⎪ ∂⎩

.

În aceste condiţii mişcarea coardei este caracterizată, conform (101), de funcţia

( ) ( ) ([ ]1,2

u x t f x at f x at= − + + ) .

Se vede că graficul funcţiei ( )f x at− se obţine din graficul funcţiei ( )f x prin translaţia de modul at în direcţia şi sensul axei Ox. Graficul funcţiei ( )f x at+ se obţine din graficul funcţiei ( )f x prin translaţia şi se face

în sens opus. Interpretarea acestui rezultat este următoarea: perturbarea iniţială a coardei pe un interval [

at−

]0, α se propagă de-a lungul coardei în ambele sensuri prin două unde, una directă cu viteza a şi alta inversă cu viteza . Iniţial cele două unde sunt

a−

Fig. 1.5.2

suprapuse apoi se despart şi se îndepărtează una de cealaltă mergând în sensuri opuse. De aici denumirea acestei metode de metoda undelor progresive.

ii. Problema Cauchy şi formula lui d'Alembert în cazul vibraţiilor transversale întreţinute ale coardei

TEOREMA 5.2.2. Fie ( )2f ∈ C , [ )( )1 0,Φ ∈ × ∞C şi ( )1g ∈ C . Atunci problema Cauchy (92) admite soluţie unică şi


( ) ( )( )

( )

( ) ( )[ ] ( )

0

1 1, , d d2 2

1 , , 0.2

at x at s x at

x at s x at

u x t s s ga

f x at f x at x t

+ − +

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟= Φ ζ ζ + ζ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + + − ∀ ∈

∫ ∫ ∫ dζ +

≥

(102)

Demonstraţie: Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Cauchy (92) rezultă din Teorema 2.2, §2. Că (102) este soluţie pentru problema Cauchy (92) vom demonstra prin calcul direct, prin verificare, calculând pentru ( ),u ⋅ ⋅ dat de (102) derivatele de ordinul al doilea în raport cu x şi t şi înlocuind în problema (92). Folosind ipotezele asupra datelor Cauchy ( )f ⋅ şi ( )g ⋅ şi a termenului liber ( ),Φ ⋅ ⋅ rezultă că ( ),u ⋅ ⋅ , dat de (102), admite derivate de ordinul al doilea inclusiv în raport cu ambele variabile x şi t în ( )0,× ∞ . Aplicând teorema derivării unei integrale depinzând de parametri, rezultă:

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

0

, ,2

12

.2

atu a , dx t x at s s x at s st

g x at g x at

a f x at f x at

∂⎡ ⎤= Φ + − + Φ − +⎣ ⎦∂

+ + + − +

′ ′+ + − −

∫ s +

(103)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

2 2

20

2

2

, ,2

+ ,2

.2

atu a , dx t x at s s x at s s

x xt

aa x t g x at g x at

a f x at f x at

∂ ∂Φ ∂Φ⎡ ⎤= + − − − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∂

′ ′Φ + + + − +

′′ ′′+ + − −

∫ s +

(104)

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

0

1, ,2

1 +21 .2

atu , dx t x at s s x at s sx

g x at g x ata

f x at f x at

∂⎡ ⎤= Φ + − − Φ − +⎣ ⎦∂

+ − − +

′ ′+ + + −

∫ s +


( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

2

20

1, ,2

121 .2

atu , dx t x at s s x at s s

x xx

g x at g x ata

f x at f x at

∂ ∂Φ ∂Φ⎡ ⎤= + − − − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∂

′ ′+ + − − +

′′ ′′+ + + −

∫ s +

(105)

Înlocuind (104) şi (105) în ecuaţia din problema (92), rezultă că funcţia ( ),u ⋅ ⋅ dată de (102) este soluţie pentru ecuaţia din problema (92). În plus, conform

(102), rezultă ( ) ( ), 0u x f x= , iar conform (103), rezultă ( ) ( ), 0u x g xt

∂=

∂,

adică funcţia ( ),u ⋅ ⋅ dată de (102) este soluţie pentru problema Cauchy (92). Conform Teoremei 2.2, §2, funcţia (102) este unica soluţie a problemei Cauchy (92).

Formula de reprezentare (102) se numeşte formula lui d'Alembert în cazul oscilaţiilor întreţinute ale coardei.

5.3 Ecuaţia undelor în . Problema Cauchy. Teorema de unicitate

,n n > 1

În această secţiune se consideră ecuaţia undelor în n variabile spaţiale ; corespunzător se consideră problema Cauchy 1n >

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 , , , 0, , 1

, 0 , .

, 0 ,

n

n

n

u u x t x t T nt

u x f x xu x g x xt

⎧ ∂− Δ = Φ ∈ × >⎪

∂⎪⎪⎨ = ∈⎪∂⎪ = ∈

⎪ ∂⎩

(106)

DEFINIŢIA 5.3.1. Prin soluţie clasică pentru problema Cauchy (106) se înţelege o funcţie [ )( )2 0,nu ∈ ×C T , care verifică pe ( )0,n T× ecuaţia

din problema (106) şi satisface pe condiţiile iniţiale (Cauchy) din (106) pentru

n

( )0u ⋅ şi ( )1u ⋅ funcţii date, cunoscute pe şi fix, dar arbitrar. n 0T >TEOREMA 5.3.1. Problema Cauchy (106) are cel mult o soluţie clasică. Demonstraţie: Se consideră ( ) 1

0 0, nx t +∈ un punct arbitrar şi se notează cu D domeniul

( ) ( ){ }2 210 0, ; , 0nD x t x x t t t s t+= ∈ − < − < < < 0 ,

unde ( )00,s t∈ este arbitrar dar fix. Vom nota cu 1 2 3, , , 4Γ Γ Γ Γ porţiunile

de frontieră , ( )1 2 3 4D∂ = Γ Γ Γ Γ∪ ∪ ∪ ( ){ }2 21 0, 0 ;x x x tΓ = − < ,


( ) ( ){ }2 22 4 0 0, ;x t x x t tΓ Γ = − = −∪ ,

( ) ( ){ }2 23 0, ;s x s x x s tΩ = Γ = − ≤ − 0 .

Fig. 1.5.3

Fie ( ),u ⋅ ⋅ o soluţie a problemei (106), în care 0f ≡ , şi 0 0u ≡ 1 0u ≡ . Ţinând seama de relaţia

( ) ( ) ( )

222

21

12

, 0,

n

xi ii

n

u u u u uu ut t t xt

x t=

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛⎪ − Δ = + ∇ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∂⎝ ⎠⎨ ⎝ ⎠⎪∀ ∈ × ∞⎪⎩

∑ t x⎞

∂ ∂

şi aplicând formula Gauss-Ostrogradski pe D, rezultă

( )2

20 ,x t x xD

u uu ut t

∂

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪∂ ∂⎛ ⎞⎨ ⎬= + ∇ ν − ∇ ν⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ dσ , (107)

unde s-a notat cu ( ) 1, nt x

+ν = ν ν ∈ versorul normalei exterioare la suprafaţa D∂ . Se observă, însă, imediat că

11, 0 pe t xν = − ν = Γ 31, 0 pe t xν = ν = Γ

222 4, 0 pe t x tν = ν ν > Γ Γ∪ .


Cu această observaţie, (107) se rescrie sub forma

( ) ( )

( )

( ) ( )

1

2 4

22

22

22

3

, 0 , 0 d

, d

, , d 0 .

x

x t x x

x

u x u x xt

u uu ut t

u x s u x s xt

Γ

Γ Γ

Γ

⎡ ⎤∂⎛ ⎞− + ∇ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞+ + ∇ ν − ∇ ν⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤∂⎛ ⎞+ + ∇ =⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

∫

∪

σ +

(108)

Dar

( )2 4

22 , dx t x x

u uu ut t

Γ Γ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪∂ ∂⎛ ⎞⎨ ⎬+ ∇ ν − ∇ ν σ ≥⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫

∪

0 , (109)

pentru că

( ) ( ), ,

.

x x x x x x

x t x t

u u uu u ut t t

u uu ut t

∂ ∂ ∂− ∇ ν ≥ − ∇ ν = − ∇ ν∂ ∂ ∂

∂ ∂= − ∇ ν = − ∇ ν

∂ ∂

=


( ) ( )( )3

22, ,x

u x s u x s xt

Γ

⎡ ⎤∂⎛ ⎞ d 0+ ∇ ≤⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ,

deci , ( ), 0u x s = ( ) 3 sx∀ ∈ Γ = Ω , ( ) ( )00,s t∀ ∈ . Deoarece punctul

( )0 0,x t a fost arbitrar ales în 1n+ rezultă 0u ≡ . Cu aceasta teorema este complet demonstrată.

5.4 Ecuaţia undelor în , 1n n = , 3. Problema Cauchy. Teorema de existenţă. Formula lui d'Alembert, formula lui Poisson, formula lui Kirchhoff

Prezentăm acum rezultatul fundamental de existenţă a soluţiei clasice pentru problema Cauchy (106) în cazul 1, 3n = .

TEOREMA 5.4.1. Fie [ )( )2 0,nΦ ∈ ×C ∞ , ( )3 nf ∈ C şi

pentru (2 ng ∈ C ) 2, 3n = şi [ )( )1 0,nΦ ∈ ×C ∞ , ( )2 nf ∈ C ,

în cazul . Atunci problema Cauchy (106) admite o soluţie unică dată de formulele:

(1 ng ∈ C ) 1n =


1. D'Alembert ( )1n =

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )[ ] ( )

0

1 1, d , d d2 2

1 , , 0.2

t x t s x t

x t s x t

u x t s s g

f x t f x t x t

+ − +

− − −

= Φ ζ ζ + ζ

+ + + − ∀ ∈

∫ ∫ ∫ ζ +

≥

(110)

2. Poisson ( )2n =

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

2 20

22

222

,1, d d2

1 d2

1 d , , 0,2

t s

t

t

t

B X

B X

B X

su X t s

t s X

g

t X

fX t

t t X

−

Φ ζ= ζ

π − − − ζ

ζ+ ζ +

π − − ζ

ζ∂+ ζ ∀

π ∂ − − ζ

∫ ∫

∫

∫

+

∈ ≥

(111)

cu ( )tB X discul de centru X şi rază t. 3. Kirchhoff ( )3n =

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) 3

,1 1, d4 4

1 1 d , , 0,4

t t

t

B X B x

B x

t Xu X t g

X t

f X tt t

∂

∂

Φ ζ − − ζ= ζ +

π − ζ π

∂ ⎛ ⎞+ ζ σ ∀ ∈ ≥⎜ ⎟π ∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

dζ σ +

(112)

unde ( )tB X este sfera cu centrul în X şi de rază t. Demonstraţie: Cazul deja a fost demonstrat în Teorema 2.2, §2 şi

Teoremele 5.2.1 şi 5.2.2, §5, formulele (93), respectiv (102). Formula (110) rezultă din (102) pentru şi

1n =

1a = ( ),x t 0Φ ≡ . Pentru ( ),x t 0Φ ≠ se aplică principiul lui Duhamel, Teorema 4.1, §4, şi rezultă (110).

Trecem, în cele ce urmează, la demonstrarea formulei lui Kirchhoff, cazul . Demonstraţia se face în etape. 3n =Etapa I. Deducerea formulei de reprezentare (112) în cazul 0Φ ≡În problema (106) datele Cauchy ( )f ⋅ şi ( )g ⋅ sunt definite pe .

Conform Teoremei 5.3.1, §5 problema Cauchy (106) dacă admite soluţie clasică, aceasta este unică. Fie

3

( ) 3, ,X x y z= ∈ şi ( ) 3r rB X B= ⊂ sfera de

centru X şi rază . Fie ,r r > 0 ( ), , ,u u x y z t= o soluţie a problemei Cauchy (106), dacă există.


Definim funcţia

( ) ( )( )

21, : , , , d

4r

rB X

F r t u x y z tr

∂

= σπ ∫ . (113)

Trecând de la sfera rB la sfera unitate (cu centrul în origine şi de rază 1r = ), rezultă

( ) ( )( )1 0

1, , ,4

B

F r t u x r y r z r t∂

= + α + β + γπ ∫ , dω , (114)

unde 21d rr

ω = σd reprezintă elementul de arie al sferei unitate sau unghiul

solid cu vârful în ( ), ,X x y= z sub care se vede elementul de arie d rσ ; sunt coordonatele unui punct pe sfera unitate , ,α β γ

[ ] [sin cossin sin , 0, , 0, 2cos

α = θ ϕ⎧⎪β = θ ϕ θ ∈ π ϕ ∈ π⎨

⎪γ = θ⎩

] .

Rezultă că şi prin urmare (114) se rescrie d sin d dω = θ θ ϕ

( ) ( )2

0 0

1, sin cos , sin sin , cos , sin d d4

F r t u x r y r z r tπ π⎛ ⎞⎜ ⎟= + θ ϕ + θ ϕ + θ θ⎜ ⎟π ⎝ ⎠∫ ∫ θ ϕ .(115)

Observăm că

( ) ( )0, , , ,F t u x y z t= . (116)

Cum dorim o reprezentare, în funcţie de datele Cauchy ale problemei (106), pentru funcţia ( )u ⋅ , conform (116) este suficient să obţinem o astfel de reprezentare pentru ( )0,F t . În acest scop vom stabili câteva proprietăţi pentru funcţia ( ),F r t . Astfel, prin integrarea ecuaţiei undelor, din problema (106) în cazul , în sfera (bila) ( ),x tΦ = 0 ( )rB X obţinem, prin calcul direct,

( ) ( )

( )( )1

2 2

2 20

22

20 0

22

20

d d d

, , , d d

4 d . (117)

r

rBr X B X

r

B

r

u ut t

u x y z tt

Ft

ρ∂ ρ

∂

⎛ ⎞∂ ∂Ω = σ ρ =⎜ ⎟

⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤∂= ρ + αρ + βρ + γρ⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∂= π ρ ρ

∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

ω ρ =


Utilizând însă formula lui Gauss-Ostrogradski (flux divergenţă), obţinem

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

1

1

2 2 2

2 2

2

0

2

0

2

d d

, , , d

, , , d

4 , .

r rBr X Br X Br X

B

B

u uut

u x r y r z r t rr

r u x r y r z r tr

Fr r tr

∂

∂

⎛ ⎞∂ ∂ ∂Ω = Δ Ω = + + Ω =⎜ ⎟

∂ ∂ζ ∂η⎝ ⎠

∂⎡ ⎤= + α + β + γ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∂= + α + β + γ

∂

∂= π

∂

∫ ∫ ∫

∫

∫

2

2 2 d ru u∂

∂ξ

ω =

ω =

(118)


( )2

2 22

0

4 d 4r

F Fr rrt

∂ ∂π ρ ρ = π

∂∂∫ , t . (119)

Prin derivarea relaţiei (119) în raport cu r rezultă

2

22 2

1F rr rt r

∂ ∂ ⎛= ⎜F∂ ⎞⎟∂ ∂⎝ ⎠∂

. (120)

Notând cu ( ,F ⋅ ⋅ ) funcţia

( ) ( ), ,F r t rF r t= , (121)

prin calcul elementar rezultă 2

22 2

1 ,F F F F Fr r Fr r r r r r rr r

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂Fr

)

,

adică verifică ecuaţia undelor (într-o singură variabilă spaţială ), ( ,F ⋅ ⋅

, 0r r >

2 2

2 2 , 0F F rt r

∂ ∂= >

∂ ∂ . (122)

În plus verifică condiţia la limită ( ,F ⋅ ⋅ ) ( ) ( )0, 0 0, 0F t F t= ⋅ = . Prelungim funcţia ( ,F ⋅ ⋅ ) la axa reală, în raport cu r, şi anume definim

( )( )( ), , 0

,, ,

rF r t rF r t

rF r t r⎧ ≥

= ⎨0− − <⎩

. (123)


Funcţia (123) satisface pentru r ∈ ecuaţia undelor într-o dimensiune spaţială, 2 2

2 2 ,F F rt r

∂ ∂= ∈

∂ ∂.

În plus, cu uşurinţă, deducem condiţiile Cauchy pe care le satisface funcţia (123), şi anume conform (113)

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

1, 0 , 0 , , , 0 d4

1 , , d ,4

rBr X

rBr X

F r rF r u x y zr

f x y zr

∂

∂

= =π

= σπ

∫

∫

σ =

(124)

( ) ( )( )

( )

( )

( )

1, 0 , 0 , , , 0 d4

1 , , d .4

r

r

rB X

rB X

F F ur r r x y zt t r t

g x y zr

∂

∂

∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ π ∂

= σπ

∫

∫

σ =

)

Cu aceasta funcţia este soluţia problemei Cauchy pentru ecuaţia undelor într-o singură variabilă spaţială

( ,F ⋅ ⋅

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 , , 0

1, 0 , , d .4

1, 0 , , d4

rBr X

rBr X

F F r tt r

F r f x y zr

F r g x yt r

∂

∂

⎧ ∂ ∂= ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪⎪ =⎨ π⎪⎪ ∂ z

σ

= σ⎪∂ π⎪⎩

∫

∫

(125)

Pentru problema (125), conform formulei lui d'Alembert, avem

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1, d2 2

, 0 , , 0

t r

t r

r t r tF r t r r

Fr F r r rt

+

−

⎧ ϕ + − ϕ −⎪ = +⎪⎨⎪ ∂ϕ = ψ =⎪

∂⎩

∫ ψ. (126)

Observăm că, utilizând (116), (121) şi (123),

( ) ( ) ( ) ( )0

,, , , 0, lim 0,r

F r t Fu x y z t F t tr r→

∂= = =

∂ . (127)


Pentru calculul derivatei (0,F tr

∂∂

) folosim (126) şi deducem

( ) ( ) ( )0,F t tr

∂ ′= ϕ + ψ∂

t . (128)

Din (127), (128), (126) şi condiţiile Cauchy din problema (125) rezultă

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

d 1 1, , , , , d , , dd 4 4

1 d 1 1, , d , , d , 4 d

(129)

r r

t t

r rB X B X

r t

B X B X

u x y z t f x y z g x y zr r r

f x y z g x y zt t t

∂ ∂=

∂ ∂

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= σ +⎢ ⎥⎨ ⎬π π⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞= σ +⎢ ⎥⎜ ⎟π ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

σ =

σ

unde

( )( )

( )2

2

0 0

, , d sin cos , sin sin , cos sin d d .tB X

G x y z G x t y t z t tπ π

∂

⎛ ⎞⎜ ⎟σ = + θ ϕ + θ ϕ + θ θ θ ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫Cu (129) s-a obţinut formula lui Kirchoff în cazul 0Φ ≡ , adică (112).

Etapa a II-a. Se demonstrează că formula (129) este soluţia problemei Cauchy (106) în cazul şi 3n = ( ),x t 0Φ = . În acest scop se demonstrează următoarea lemă.

LEMA 5.4.1. Fie ( ), ,G ⋅ ⋅ ⋅ o funcţie de două ori diferenţiabilă. Atunci funcţia

( ) ( )( )

1, 0 , , d4

tB X

H X G x y zt∂

= σπ ∫ (130)

are proprietăţile:

( ) ( ) ( ) ( )2not

0 2d, 0 0, , 0 = , , , , 0 0d

H HH X X G G x y z Xt t

∂= =

∂=

)

. (131)

Demonstraţie: Conform definiţiei integralei de suprafaţă şi reprezentând suprafaţa (tB X∂ în coordonate sferice rezultă

( )( )

( )2

2

0 0

, , d sin cos , sin sin , cos sin d d .tB X

G x y z G x t y t z t tπ π

∂

σ = + θ ϕ + θ ϕ + θ θ θ ϕ∫ ∫ ∫Dezvoltând funcţia ( ), ,G ⋅ ⋅ ⋅ în serie Taylor în jurul punctului ( ), ,x y z rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

22

2

, , , , , ,

, , , ,

G GG x y z G x y z x x x y z y yx y

G Gx y z z z x y z x xz x

∂ ∂= + − + −

∂ ∂

∂ ∂+ − + −∂

+

+∂


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 22

... , , +

.

G x y z y y z zy z

x x y y z z

∂+ + − −

∂ ∂

⎡ ⎤+ θ − + − + −⎣ ⎦

Integralele termenilor liniari pe sferă sunt nuli şi obţinem

( )

( ) ( ) ( )2 4, , d 4 , ,tB X

G x y z t G x y z At t∂

σ = π + + θ∫ 4 ,

adică din (130) deducem

( ) ( ) ( )3, , , 3H X t G x y z t Bt t= + + θ . (132)

Din (132) rezultă imediat concluziile (131) ale lemei.

Aplicând Lema 5.4.1 integralelor ( )( )

1 , , dtB X

f x y zt∂

σ∫ şi

( )( )

1 , , dtB X

g x y zt∂

σ∫ din formula lui Kirchhoff (129) rezultă imediat că

( ) ( )

( ) (

, , , 0 , ,,

, , , 0 , ,

u x y z f x y zu )x y z g x y zt

⎧ =⎪⎨ ∂

=⎪ ∂⎩

adică condiţiile Cauchy din problema (106) sunt satisfăcute de funcţia (129). Pentru a demonstra că funcţia ( ), ,u ⋅ ⋅ ⋅ , definită de (129), prin formula lui Kirchhoff, satisface şi ecuaţia din problema (106) în cazul ( ),x t 0Φ = , facem observaţia că dacă ( ), ,u ⋅ ⋅ ⋅ este soluţie pentru ecuaţia undelor atunci şi funcţia

( , ,ut

∂⋅ ⋅ ⋅

∂) satisface aceeaşi ecuaţie a undelor. Cu această observaţie, este

suficient, conform (129), să demonstrăm că o integrală de forma

( ) ( )( )

1, , , , , dtB X

v x y z t G x y zt∂

= σ∫ , (133)

cu ( ), ,G ⋅ ⋅ ⋅ o funcţie de două ori diferenţiabilă, este soluţie pentru ecuaţia undelor în cazul 3n = . Pentru aceasta amintim că

( ) ( )2

0 0

, , , sin cos , sin sin , cos sin d dv x y z t t G x t y t z tπ π

= + θ ϕ + θ ϕ + θ θ∫ ∫ θ ϕ . (134)


Rezultă

( )2

0 02

0 02

2

0 0

sin cos , sin sin , cos sin d d

sin cos sin sin cos sin d d

1 sin cos sin sin cos sin d d

1 dd

v v t G x t y t z tt t t

v G G Gtt x y z

v G G G tt t x y z

v Gt t

π π

π π

π π

∂ ∂= + + θ ϕ + θ ϕ + θ θ θ ϕ =

∂ ∂

∂ ∂ ∂⎡ ⎤= + θ ϕ + θ ϕ + θ θ θ ϕ =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

∂ ∂ ∂⎡ ⎤= + θ ϕ + θ ϕ + θ θ θ ϕ =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

= +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( )1d d , 135t tB X B X

v v IGn t t t t

∂

σ = + Δ σ = +∫ ∫unde cu I s-a notat integrala triplă pe ( )tB X . Derivând din nou, rezultă că

2

2 2 2

2 2

1 1

1 1 .

v v v I It t t tt t t

v I v I I It t t t t t tt t

∂ ∂ ∂= − + − =

∂ ∂∂1∂ ∂⎛ ⎞= + − − + =⎜ ⎟

∂ ∂⎝ ⎠

(136)

Însă 2

2

0 0 0

sin d d dt

I G rπ π⎡ ⎤

⎢ ⎥= Δ θ θ ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ r

şi deci

( )

dtB X

I Gt

∂

∂= Δ σ

∂ ∫ . (137)

Din (136) şi (137) deducem

( )

2

21 d

tB X

v Gtt∂

∂= Δ σ

∂ ∫ . (138)

Din (134) şi (133) rezultă imediat că

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 21 d

1 d .

t

t

B X

B X

v v v G G Gtx y z x y z

Gt

∂

∂

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + σ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

= Δ σ

∫

∫

=

)

(139)

Din (139) rezultă că definită de (133) este soluţie pentru ecuaţia undelor în cazul . Cu aceasta rezultă că funcţia

( , ,v ⋅ ⋅ ⋅3n = ( ), ,u ⋅ ⋅ ⋅ definită de


formula lui Kirchhoff (129) satisface ecuaţia undelor şi cum satisface şi condiţiile Cauchy din (106) este soluţie pentru problema Cauchy (106) în cazul

( ), 0x tΦ = . Etapa a III-a . Stabilirea formulei lui Kirchhoff (112) pentru

( ), 0x tΦ ≠ Considerăm funcţia

( ) ( )( )

3,1, d ,4

tB

tw t t

η

Φ ζ − η − ζη = ,ζ η ∈ ∈

π η − ζ∫ . (140)

Este uşor de văzut că [ )( )2 3 0,w ∈ ×C ∞ şi

( ) ( ) ( ) 3, 0 0, , 0 0,wwt

∂η = η = ∀ η ∈

∂. (141)

Funcţia se poate scrie sub forma ( ,w ⋅ ⋅ )

( ) ( )( )

( )( )1

0

0 0

1 d, , d4

1 , d4

t

B

t

B

w t t

t

ρ

ρ∂ η

∂

ρ⎛ ⎞η = Φ ζ − ρ σ =⎜ ⎟π ρ⎝

⎛ ⎞= Φ η + ρλ − ρ λ⎜ ⎟π⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫ d .

⎠

ρ ρ

(142)

Vom nota cu

( ) ( )( )( )1 0

, , , d4

B

tZ t t∂

− τη τ = Φ η + − τ λ τ λ

π ∫ ,

unde τ este un parametru. Se deduce uşor, ca pentru funcţia (133), că

( ) ( ) ( ) ( )2

52 , , , , 0, , , .Z t Z t t

t η∂

η τ − Δ η τ = ∀ η τ ∈∂

(143)

În plus

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

4

, , 0, ,.

, , , , ,

Z t t tZ t t t tt

⎧ η = ∀ η ∈⎪⎨ ∂

η = Φ η ∀ η ∈⎪ ∂⎩

(144)

Deoarece, conform relaţiei (142),

(145) ( ) ( ) ( ) ( ) 4

0

, , , d , ,t

w t Z t tη = η τ τ ∀ η ∈∫


din (143) şi (144) rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 20

2

20

2

20 0

, , , , , d

, , , d

, , , d ,

t

t

t t

w Z Zt t t ttt t

Zt tt

Zw t Z t ttη η

⎧ ∂ ∂ ∂⎪ η = η + η τ τ =∂∂ ∂⎪

⎪⎪ ∂⎪ = Φ η + η τ τ⎨

∂⎪⎪

∂⎪Δ η = Δ η τ τ = η τ τ⎪ ∂⎪⎩

∫

∫

∫ ∫

.

, d

(146)

Deci, conform (141) şi (146),

( )

( ) ( )

( ) ( )

24

2

3

3

, , în

, 0 0 , .

, 0 0 ,

w w tt

wwt

⎧ ∂− Δ = Φ η⎪

∂⎪⎪⎨ η = ∀ η ∈⎪∂⎪ η = ∀ η ∈

⎪ ∂⎩

(147)

Conform principiului superpoziţiei suma funcţiilor date de (129) şi (145) este soluţie pentru problema Cauchy (106) şi suma celor două funcţii reprezintă chiar formula lui Kirchhoff (112) în cazul 3n = .

Omitem demonstraţia formulei lui Poisson deoarece este asemănătoare cu aceea a formulei lui Kirchhoff.

§6 Ecuaţii hiperbolice. Ecuaţia telegrafiştilor

6.1 Problema Cauchy pentru ecuaţii hiperbolice. Funcţia lui Riemann

În această secţiune ne vom ocupa de câteva probleme clasice ataşate ecuaţiilor de tip hiperbolic. Ne limităm la ecuaţii hiperbolice cvasiliniare în două variabile independente.

TEOREMA 6.1.1. Problema

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

0

0

, , ,

,

,

x yu a x y u b x y u c x y u f x y

x yu x y x

u x y x

⎧ ∂ ′ ′= + + +⎪ ∂ ∂⎪⎨ = ϕ⎪⎪ = ψ⎩

,

, (148)

unde 0x x= , sunt două curbe caracteristice, aparţinând la familii diferite,

0y y=( ) ( ) ( ) ( ), , ,a b c f⋅ ⋅ ⋅ ⋅ sunt funcţii continue în


( ){ }0 0, ,D x y x x y y= ≥ ≥ , ( )ϕ ⋅ , ( )ψ ⋅ sunt funcţii continue pentru

0x x≥ , şi 0y y≥ ( ) ( )0 0x yϕ = ψ , admite soluţie unică în D. Demonstraţie: Problema (148) se referă la determinarea unei funcţii

care ia valori prescrise pe două curbe caracteristice aparţinând la familii diferite.

(2 ,u D∈ C )

Integrând ecuaţia din problema (148) în raport cu x pe intervalul [ ]0 ,x x , presupunând y fixat, rezultă

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0

0

0, ,

, , , , , , d

, d .

x

x

x

x

u ux y x yy y

u ua y y b y y c y u yy

f y

∂ ∂− =

∂ ∂

∂ ∂⎡ ⎤= ζ ζ + ζ ζ + ζ ζ⎢ ⎥∂ζ ∂⎣ ⎦

+ ζ ζ

∫

∫

ζ +

Considerăm în această relaţie pe x fixat şi integrăm în raport cu y pe intervalul [ ]0 ,y y . Se obţine

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0

0 0

, , d d

, , , , , , d d .

,

y x

y x

y x

y x

u x y x y x f

u ua b c u

x x y y

⎧⎪ = ϕ + ψ − ψ + ζ η ζ η +⎪⎪⎪

⎧ ⎫⎨ ∂ ∂⎡ ⎤⎪ ⎪+ ζ η ζ η + ζ η ζ η + ζ η ζ η ζ η⎪ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ζ ∂η⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪≥ ≥⎪⎩

∫ ∫

∫ ∫(149)

Reţinem deci că problema existenţei şi unicităţii soluţiei problemei (148) s-a redus la existenţa şi unicitatea soluţiei ecuaţiei integrale (149). Să observăm că, prin calcul direct, efectuând derivatele în (149) şi înlocuind în (148), dacă (149) admite soluţie, aceasta satisface problema (148). Metoda prin care vom demonstra că ecuaţia (149) are soluţie unică este metoda aproximaţiilor succesive a lui Emil Picard.

Considerăm ecuaţiile

( )

( ) ( ) ( )

20

21 1

1

,

, , , ,n n nn

u f x yx y

u u ua x y b x y c x y u nx y x y

∗− −−

⎧ ∂=⎪ ∂ ∂⎪

⎨∂ ∂ ∂⎪ = − − − ∈⎪ ∂ ∂ ∂ ∂⎩

(150)

şi vom determina pe cu condiţiile ( )0u ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0 0, , , ,u x y x u x y y x y )0= ϕ = ψ ϕ = ψ ,


iar pe cu condiţiile ( ) ,nu n ∗⋅ ∈

( ) ( )0 0, 0, , 0,n nu x y u x y n ∗= = ∈ .

Conform (149) rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

1 11

, , d

.

, , , ,

yx

x y

yxn n

n nx y

u x y x y x f

u uu x y a s t b s t c s t u t ss t− −

−

⎧⎪ = ϕ + ψ − ϕ + ζ η ζ η⎪⎪⎨

⎧ ⎫⎪ ∂ ∂⎡ ⎤⎪ ⎪= − + +⎪ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩

∫ ∫

∫ ∫

d

d d

(151)

Din (151) rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

1 11

1 11

, , , , , , ,

.

, , , , , , ,

yn n n

ny

xn n n

nx

u u ux y a x t x t b x t x t c x t u x t tx x t

u u u

d

dx y a s y s y b s y s y c s y u s y sy s y

− −−

− −−

⎧ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎪ = − + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎪⎪⎨⎪ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= − + +⎪ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎪⎩

∫

∫(152)

Să considerăm seriile de funcţii

0 0 0

, ,nn

n n n

uu .nux y

∞ ∞ ∞

= = =

∂ ∂∂ ∂∑ ∑ ∑ (153)

Vom demonstra că aceste serii de funcţii sunt uniform convergente în dreptunghiul ( ){ }0 0, ,x y x x y yΔ = ≤ ≤ α ≤ ≤ β .

Într-adevăr, prin ipoteză funcţiile ( ) ( ) ( ) ( ), , ,a b c f⋅ ⋅ ⋅ ⋅ sunt continue în D, deci pe care este mulţime compactă în . Funcţiile

sunt presupuse continue pe Δ 2

( ) ( ),ϕ ⋅ ψ ⋅ 0x x≥ , respectiv , deci continue pe intervalele [

0y y≥

]0 ,x α , [ ]0 ,y β . Cu aceasta rezultă că există A ∗+∈ ,

, astfel încât M ∗+∈

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00

, , , , ,.

, , , , , , ,

a x y A b x y A c x y A

u uu x y M x y M x y M x yx y

⎧ ≤ ≤ ≤⎪⎨ ∂ ∂

≤ ≤ ≤ ∀⎪ ∂ ∂⎩∈ Δ

(154)

Cu (154) rezultă că

( ) ( ) ( )0 00 , 3 , ,u ua b cu x y AM x y

x y∂ ∂⎡ ⎤+ + ≤ ∀ ∈⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

.Δ (155)


Din (155), (151) şi (152) scrise pentru 1n = , rezultă

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1 0 0

1 10 0

, 3 d d 3.

, 3 , , 3 , ,

yx

x y

u x y AM s t AM x x y y

u ux y AM y y x y AM x x x yx y

⎧⎪ ≤ = − −⎪⎪⎨⎪ ∂ ∂

≤ − ≤ − ∀ ∈⎪∂ ∂⎪⎩

∫ ∫

Δ

Din 0 00 x x x< − < α − , 00 y y y0< − < β − rezultă

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0 0

x x y y x y0

0x x y y x y− − α − β −

<− + − α − + β −

.

Cu aceasta rezultă

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 01 0

0 0

0 00 0

0 0

3,

3 .

AM x x y yu x y x x y y

x x y y

x yA M x x

x y

− −≤ ⎡ − + −⎣ ⎦− + −

α − β −≤ −

0

y y

⎤ ≤

+ −⎡ ⎤⎣ ⎦α − + β −

Notăm ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0max 3 , 3

x yK A A

x yα − β −⎧ ⎫

= ⎨ ⎬α − + β −⎩ ⎭.

Obţinem

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 0 0

10 0

10 0

,

, ,

,

u x y MK x x y y

u x y MK x x y y x yxu x y MK x x y yy

⎧ ≤ − + −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪∂⎪⎪ , .≤ − + − ∀ ∈ Δ⎡ ⎤⎣ ⎦⎨ ∂

⎪ ∂⎪ ≤ − + −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ ∂⎩

(156)

Vom demonstra, prin inducţie completă, că

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0 0

, , , , ,

, , .!

n nn

nn

u uu x y x y x yx y

K x x y yM x

n

∂ ∂≤

∂ ∂

− + −⎡ ⎤⎣ ⎦≤ ∀ y ∈ Δ

(157)

Presupunem (157) adevărat pentru toţi indicii p, 1 1p n≤ ≤ − . Să demonstrăm (157) pentru p n= . Observăm în acest scop că


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1 11

110 0

, , ,

3 ,1 !

n nn

nn

u ua x y b x y c x y ux y

K x x y yAM x y

n

− −−

−−

∂ ∂+ + ≤

∂ ∂

− + −⎡ ⎤⎣ ⎦≤ ∀−

, .∈ Δ

(158)

În stabilirea inegalităţii (158) s-a scris (157) pentru 1p n= − şi s-a ţinut seama de (154).

Ţinând seama de a doua relaţie (151) şi de (158), deducem

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

0 0

1 10 0

1 1 110 0 0 0

3, d1 !

3 ,1 ! 1

, .

yxn nn

x y

n n nn

AMKu x y s x t y s tn

x x y y x x y yAMKn n n

x y

− −

+ + +−

≤ − + − =⎡ ⎤⎣ ⎦−

− + − − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦=− +

∀ ∈ Δ

∫ ∫

(159)

d

Dar, pentru 0p > şi are loc inegalitatea 0q >

( ) ( )1 1 1

1

1

n n nnp q p q

pq p qn

+ + +−+ − −

≤ ++

.

Prin urmare, (159) conduce la

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

10 00 0

0 01

0 00 0

0 0

0 0

3,!

3!

, , , !

(160)

nn

n

n n

n n

x x y yx x y yAMKu x yn x x y y n

x yAMK x x y yn x y

MK x x y y x yn

−

−

− + −⎡ ⎤− − ⎣ ⎦≤ ⋅ ⋅− + −

α − β −≤ ⋅ ⋅ − + −⎡ ⎤⎣ ⎦α − + β −

≤ − + − ∀ ∈ Δ⎡ ⎤⎣ ⎦

≤

≤

deci (157) s-a demonstrat prin inducţie pentru ( )nu ⋅ .

Analog rezultă (157) pentru ( )nux

∂⋅

∂ şi ( )nu

y∂

⋅∂

pentru că

( ) ( ) ( ) ( )0

1 10 0

3, d1 !

yn nn

y

u AMKx y x x t y tx n

− −⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪≤ − + −⎡ ⎤ =⎨ ⎬⎣ ⎦∂ − ⎪ ⎪⎩ ⎭∫


( ) ( ) ( ){ }( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

0 0 0

1

0 0

0 0

3!

3!

, , .!

n n n

n n

n

AMK x x y y x xn

AMK x x y yn

MK x x y y x yn

−

−

= − + − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

≤ − + − ≤⎡ ⎤⎣ ⎦

≤ − + − ∀ ∈ Δ⎡ ⎤⎣ ⎦

≤

Prin urmare, seriile de funcţii (153) sunt majorate de seria numerică

( ) ( ) ( ) (0 00 0

0

e!

nnK x y

n

MK x yM

n

∞α− + β− )⎡ ⎤⎣ ⎦

=

α − + β −⎡ ⎤⎣ ⎦ =∑ ,

deci seriile (153) sunt absolut şi uniform convergente pe Δ . Aceasta înseamnă că

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

0 0

0 0

00

0 0

0

, , d

, ,, , ,

yxn

kk x y

n n

y k kx nk k

kkx y

u x y x y x f

u s t u s ta s t b s t c s t u s t t s

s t

=

= =

=

= ϕ + ψ − ϕ + ζ η ζ η −

⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪

⎨ ⎬⎢ ⎥− + +⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∫ ∫

∑ ∑∑∫ ∫

d

, d d .

Trecem la limită, în această relaţie, după , posibil conform teoremelor de integrare a seriilor de funcţii uniform convergente, şi rezultă

n → ∞

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0, ,

, , , , , , d

yx

x y

yx

x y

u x y x y x f

u ua s t s t b s t s t c s t u s t t ss t

= ϕ + ψ − ϕ + ζ η ζ η −

⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂⎪ ⎪− + +⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫

∫ ∫

d d

d .

),

(161)

Cu (161) am demonstrat că

(162) ( ) (0

, nn

u x y u x y∞

=

= ∑este soluţia problemei (148) şi Teorema 6.1.1 este complet demonstrată.

DEFINIŢIA 6.1.1. Fie ( ) ( )2 0: ; ; ,L D D D→ ⊂C C 2 , operatorul diferenţial de ordinul doi definit prin

( ) ( ) ( ) ( )2

, ,u u u ,L u a x y b x y c x y ux y x y∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂

, (163)


cu ( )0, , ;a b c D∈ C . Se numeşte prin definiţie operatorul adjunct operatorului L, operatorul diferenţial ( ) (2 0: ; ;M D D→C C ) , definit prin

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2

, ,v ,M v a x y v b x y v c x y vx y x y∂ ∂ ∂

= − − +∂ ∂ ∂ ∂

, (164)

oricare . ( )2 ;v D∈ C

PROPOZIŢIA 6.1.1. Fie ( ) ( )2 0: ; ; ,L D D D→ ⊂C C 2

)

, operator diferenţial dat de (163) şi operatorul diferenţial

adjunctul său. Atunci are loc formula de tip Green

( ) (2 0: ; ;M D D→C C

( ) ( )[ ] 1 2d d d d ,vL u uM v x y P y P x DΔ ∂Δ

− = −∫∫ ∫ Δ ⊆ , (165)

unde

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

1, ,

2, ,

1 1,2 2

.1 1,2 2

x y x y

x y x

u v vP x y v u auv uv u avy y y y

u v vP x y v u buv uv u bvx x x x

⎧ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − −⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎨

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = − + = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ y

(166)

Demonstraţie: Fie DΔ ⊂ . Se aplică formula lui Green ansamblului ( )1 2d d , ,P y P xω = − Δ ∂Δ . Rezultă

1 21 2d d dP PP y P x x y

x y∂Δ Δ

∂ ∂⎛ ⎞− = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫ d . (167)

Se observă că

( ) ( )1 2P P vL u uM vx y

∂ ∂+ = −

∂ ∂ în Δ .

DEFINIŢIA 6.1.2. Fie ( )20 0, , ,D M D M x⊂ ⊂ y . Se numeşte

prin definiţie funcţie Riemann pentru ecuaţia ( )L u f= , L operatorul diferenţial definit de (163), funcţia ( )0 0, ; ,v x y x y , soluţie a problemei


( )

( )( )

( )( )

( )0

0 0, d , d

0 0

0 0

0

, e , , e

, 1

yx

xb s y s a x s s

M v

v x y v x y

v x y

∫ ∫

⎧ =⎪⎪⎨ = =⎪⎪ =⎩

0 ,y (168)

cu M operatorul diferenţial adjunct operatorului L. Observaţia 6.1.1. Problema (168) admite soluţie unică, conform Teoremei

6.1.1. Condiţia pentru ( )0 0,v x y rezultă imediat din condiţiile de racord a datelor pe caracteristici.

Funcţia lui Riemann ( )0 0, ; ,v x y x y are proprietatea că

( ) ( )0 0, 0, ,v bv x y x y Dx∂⎛ ⎞− = ∈⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, ( ) ( )0 0, 0, ,v av x y x y Dy∂⎛ ⎞− = ∈⎜ ⎟∂⎝ ⎠

.

DEFINIŢIA 6.1.3. Fie ( ) ( )2 0: ; ;L D D→C C , 2D ⊂ , operatorul diferenţial definit de (163). Se înţelege prin problemă Cauchy pentru ecuaţia hiperbolică, definită de operatorul L, problema determinării unei funcţii , soluţie pentru ( )u ⋅

( )

( ) ( )( )( ) ( )0

, , , ; ,

L u f în Duu g h g hxΓ

Γ

⎧ =⎪

∂⎨ = = ∈ Γ Γ⎪ ∂⎩C .D⊂

(169)

Observaţia 6.1.2. În problema (169) se poate înlocui condiţia ( )

u hx Γ

∂=

∂

cu ( )

u hy Γ

∂=

∂.

În esenţă problema Cauchy pentru ecuaţia hiperbolică definită de operatorul diferenţial L constă în determinarea unei soluţii a ecuaţiei din (169), soluţie care împreună cu una din derivatele sale spaţiale de ordinul întâi ia valori prescrise pe o curbă (

( )u ⋅

) DΓ ⊂ , dată. TEOREMA 6.1.2. Fie dreptunghiul ABCD. Problema Cauchy 2Δ ⊂

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

2, , ,

AB

AB

u u ua x y b x y c x y u f x yx y x y

u x

u xy

⎧ ∂ ∂ ∂+ + + =⎪ ∂ ∂ ∂ ∂⎪

⎪ = ϕ⎨⎪ ∂⎪ = ψ∂⎪

⎩

,

, (170)


cu ( )1, ;a b ∈ ΔC , de clasă , ( )ϕ ⋅ 1C ( )ψ ⋅ continuă, , admite soluţie unică, dată de

( )0 ;f ∈ ΔC

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

0 0

1 d d2

, ; , , d d ,

P Q

QP

u M uv uv P y P x

v x y x y f x y x yΩ

= ⎡ + ⎤ − −⎣ ⎦

+

∫

∫∫

+

)

(171)

unde este funcţia Riemann a ecuaţiei hiperbolice din problema (170), este domeniul haşurat în figura 1.6.1 şi

( 0 0, ; ,v x y x yΩ ⊂ Δ ( )0 0,M x y ∈ Δ ; şi

sunt daţi de (166). 1P

2PDemonstraţie:

Fig. 1.6.1

Fie arcul AB de ecuaţie ( )y x= α , [ ],A Bx x x∈ . Presupunem că orice

paralelă la axele de coordonate intersectează arcul AB cel mult într-un punct. Presupunem că este o funcţie derivabilă cu derivată continuă. Fie

. Fie punctele în care paralele la Oy, respectiv Ox

intersectează arcul

( )α ⋅( )0 0,M M x y= ∈ Δ ,P Q

AB . Fie Ω domeniul haşurat şi ( )Γ = ∂Ω . Fie L şi M operatorii diferenţiali definiţi de (163) şi respectiv (164). Fie şi ( )u ⋅ ( )v ⋅ soluţii pentru ecuaţiile , ( ) 0L u = ( ) 0M v = , în particular chiar funcţia Riemann pentru ecuaţia

( )v ⋅( )L u f= . Aplicăm ansamblului ( )( ), , ,u v Ω ∂Ω = Γ

formula de tip Green (165). Rezultă

. (172) ( )

( ) ( )1 2 0 0

1 2

d d , ; , , d

cu , definiţi de (166)

P y P x v x y x y f x y x y

P P Γ Ω

⎧ − =⎪⎨⎪⎩

∫ ∫∫ d ,


Explicitând integrala pe ( , rezultă )Γ

(173)

( ) [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

d d d d d d

d d d d d

PMQP

QM PM MQQP

P y P x P y P x P y P x

P y P x P y P x P y P x

Γ

− = − + − −

− − = − + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ d .∫

Ţinând seama de (166), rezultă

[ ]

( )[ ]

( ) ( )[ ][ ]

11d d2

1 d .2

PM PM

M PPM

vP y uv u av yy y

vuv uv u av yy

⎡ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∂⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫ ∫

∫

=

Conform Observaţiei 6.1.1 rezultă

[ ]

( ) ( )[11d2

]M PPM

P y uv uv= −∫ . (174)

Analog, conform (166) şi Observaţiei 6.1.1,

[ ]

( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )

21d d2

1 d2

1 .2

QM QM

M QQM

M Q

vP x uv u bv xx x

vuv uv u bv xx

uv uv

⎡ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∂⎛ ⎞= ⎡ − ⎤ − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂⎝ ⎠

= ⎡ − ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫ =

) 1=

(175)

Înlocuind (173), (174) şi (175) în (172) şi ţinând seama de faptul că , obţinem (171). ( ) ( 0 0 0 0, ; ,v M v x y x y=

De observat că în (171) integrala pe QP este cunoscută pentru că din datele Cauchy din (170), anume ( )( ) ( ),

ABu u x x= α = ϕ x ,

( )( ) ( ),u x xy∂

α = ψ∂

x daţi, se deduce ( )( ) ( ),u x x xx∂ ′α = ϕ −∂

( )( ) ( ),u x xy∂ ′− α α∂

x . În această condiţie intervine ipoteza şi să

fie de clasă pe

( )ϕ ⋅ ( )α ⋅

1C [ ],A Bx x . Observaţia 6.1.3. Formula (171) este adevărată oricare ar fi poziţia

punctului ( 0 0, )M x y în dreptunghiul Δ , adică indiferent dacă M se află situat

deasupra arcului AB sau sub acest arc. Totuşi forma curbei AB influenţează


expresia analitică a soluţiei a problemei (170). Anume, dacă se admite că funcţia este strict crescătoare în raport cu x, atunci prin aplicarea corectă a aceleiaşi formule (165), se obţine

(u M )( )α ⋅

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

0 0

1 d d2

, ; , , d d .

P Q

QP

u M uv uv P y P x

v x y x y f x y x yΩ

= ⎡ + ⎤ − −⎣ ⎦

−

∫

∫∫

−

Fig. 1.6.2

Observaţia 6.1.4. Presupunând cunoscută funcţia ( )v ⋅ a lui Riemann ataşată ecuaţiei , putem exprima soluţia ( )L u f= ( )u ⋅ a problemei cu date pe caracteristici, (148), a cărei existenţă şi unicitate este dată de Teorema 6.1.1. În adevăr pentru ( )u ⋅ soluţie a problemei (148) şi ( )v ⋅ funcţia lui Riemann pentru ecuaţia ( )L u f= se aplică formula (165) pentru , dreptunghiul APMQ din figura 1.6.3. Rezultă

Δ

( ) ( )0 0 1 2, ; , , d d d dAPMQA

v x y x y f x y x y P y P xΔ

= −∫∫ ∫ .

Fig. 1.6.3


Ţinând seama de (166), se obţine

[ ]

( ) ( )[ ][ ]

1 21d d2 P A

AP AP

uP y P x uv uv v bu xx∂⎛ ⎞− = − − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ d .

[ ]

( ) ( )[ ]

1 21d d2 Q A

QA QA

uP y P x uv uv v au yy∂⎛ ⎞− = ⎡ − ⎤ + +⎣ ⎦ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ d .

Folosind proprietăţile funcţiei Riemann, se deduce

[ ]

( ) ( )[ ]11d2 M P

PM

P y uv uv= −∫ ,

[ ]

( ) ( )21d2 M Q

MQ

P x uv uv− = ⎡ − ⎤⎣ ⎦∫ .

Cu aceasta se obţine

( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( )

, d

, ; , , d d ,

AAP AQ

u uu uv v bu x v aux y

v x y f x y x yΔ

d y∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ζ η = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ ζ η

∫ ∫

∫∫

adică notând coordonatele punctului curent M cu ,x y şi folosind datele iniţiale, soluţia problemei (148) este dată de

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

0 0 0

0 0

0 0

, , ; ,

, ; , , d

, ; , , d

, ; , , d d .

x

x

y

y

u x y v x y x y x

v s y x y s b s y s s

v x t x y t a x t t t

v s t x y f s t s tΔ

= ϕ +

′+ ⎡ϕ + ϕ⎣ ⎦

′+ ⎡ψ + ψ⎣ ⎦

+

∫

∫

∫∫

⎤ +

⎤ +

Dăm în continuare două exemple de construcţie a funcţiei lui Riemann pentru anumite ecuaţii hiperbolice şi rezolvăm şi două probleme de tip (148) pentru ecuaţiile respective.

Exemplul 1. Fie ( )2

2 ,uL u c u cx y∂ 0= +∂ ∂

> . Ne propunem să

determinăm funcţia lui Riemann pentru ecuaţia ( ) 0L u = .


În acest caz ( )2

2vM vx y∂

= +∂ ∂

c v . Avem de rezolvat problema

( ) ( )

22

0 0 0 0 0 0

0.

, ; , 1, , ; , 1

v c vx y

v x y x y v x y x y

⎧ ∂+ =⎪ ∂ ∂⎨

⎪ = =⎩

Căutăm pe de forma ( )v ⋅ ( )v F z= , ( ) ( )0z x x y y0= − − . Pentru rezultă ecuaţia ( )F ⋅

( ) ( ) ( )2 0zF z F z c F z′′ ′+ + = . Considerând , definită prin ( )G ⋅ ( ) ( )2F z G c z= , rezultă ecuaţia

( ) ( ) ( ) 0tG t G t tG t′′ ′+ + =)

, care este un caz particular de ecuaţie Bessel. Prin urmare, o soluţie particulară este,

( 0ν =

( ) ( )( )

( )

2

0 20

12!

n n

n

tG t J tn

∞

=

− ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ,

funcţie olomorfă în tot planul complex, deci

( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0, ; , 2v x y x y J c x x y y= − − . (176)

Deoarece ( )0 0J 1= , rezultă că (176) este funcţia Riemann corespunzătoare ecuaţiei . Cu aceasta deducem că soluţia problemei ( ) 0L u =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

1

0

, 0 , 0, , 0 0

, funcţii de clasă

u c ux y

u x x u y y

⎧ ∂+ =⎪ ∂ ∂⎪

⎨ = ϕ = ψ ϕ = ψ⎪⎪ϕ ψ⎩ C

,

este

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 00

00

, 2 0 2

2 d .

x

y

u x y J c xy J c y x t t t

J c x y t t t

′= ϕ + − ϕ

′+ − ψ

∫

∫

d +

Exemplul 2. Fie ( )2

2 ,uL u c u cx y∂ 0= −∂ ∂

> . Ne propunem să

determinăm funcţia lui Riemann pentru ecuaţia ( ) 0L u = . În acest caz

( )2

2vM vx y∂

= −∂ ∂

c v . Funcţia lui Riemann este soluţie a problemei


( ) ( )

22

0 0 0 0 0 0

0

, ; , 1, , ; ,

v c vx y

v x y x y v x y x y

⎧ ∂− =⎪ ∂ ∂⎨

⎪ 1= =⎩

.

Căutăm pe de forma ( )v ⋅ ( )v F z= , ( ) ( )0z x x y y0= − − ; pentru ( )F ⋅ rezultă ecuaţia

( ) ( ) ( )2 0zF z F z c F z′′ ′+ − = . Procedând ca în exemplul 1, considerăm funcţia ( )G ⋅ dată de ( )F z =

( )2G c z= . Pentru funcţia ( )G ⋅ rezultă ecuaţia ( ) ( ) ( ) 0tG t G t tG t′′ ′+ − = ,

care este un caz particular al ecuaţiei modificate a lui Bessel. Această ecuaţie admite soluţia particulară

( ) ( )( )

2

0 20

12!

n

n

tG t I tn

∞

=

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ .

Această funcţie este olomorfă în tot planul complex şi deci funcţia lui Riemann este dată de

( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0, ; , 2v x y x y I c x x y y= − − . (177)

Evident ( ) ( )0 0 0 0 0 0, ; , 1 , ; ,v x y x y v x y x y= = , aceasta deoarece ( )0 0 1I = . Cu aceasta rezultă că soluţia problemei

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

1

0

, 0 , 0, , 0 0 ,

, funcţii de clasă

u c ux y

u x x u y y

⎧ ∂− =⎪ ∂ ∂⎪

⎨ = ϕ = ψ ϕ = ψ⎪⎪ϕ ⋅ ψ ⋅⎩ C

este dată de formula

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 00

00

, 2 0 2

2 d .

x

y

u x y I c xy I c y x t t t

I c x y t t t

′= ϕ + − ϕ

′+ − ψ

∫

∫

d +

6.2 Ecuaţia telegrafiştilor DEFINIŢIA 6.2.1. Se numeşte ecuaţie a telegrafiştilor ecuaţia cu

derivate parţiale de ordinul al doilea cvasiliniară, în două variabile,

( )2 2

2 2 0v v vLC LG RC RGvtx t

∂ ∂ ∂− − + −

∂∂ ∂= , (178)


în funcţia necunoscută , care reprezintă diferenţa de potenţial în raport cu pământul în cazul vibraţiilor cvasistaţionare, iar

( ,v x t ), ,L C G sunt constante cu

semnificaţie fizică bine precizată. Observaţia 6.2.1. Cu schimbarea de funcţie , dată de v → u

( ) ( ), e , , constanttv x t u x t−λ= λ = , (179)

ecuaţia (178) se rescrie

2 2

2 22 2 0u ua b u

t x∂ ∂

− − =∂ ∂

, (180)

unde 2 1a L= C , iar ( ) 2b LG RC L= − C . PROPOZIŢIA 6.2.1. Soluţia problemei Cauchy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 22 2

2 2

2

1

0

, 0 , , 0 , ,

u ua b ut x

uu x x x x de clasăt

de clasă

⎧ ∂ ∂− − =⎪

∂ ∂⎪⎪∂⎨ = ϕ = ψ ϕ ⋅⎪ ∂

⎪ψ ⋅⎪⎩

C

C

(181)

admite reprezentarea

( ) ( ) ( )[

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

2 2 20

2 2 20

2 2 2

1,2

1 2 d2

2 d .

x at

x at

x at

x at

u x t x at x at

J c x s a t s s

J c x s a tact s sx s a t

+

−

+

−

= ϕ − + ϕ + +

⎤+ − − ψ ⎦

′ − −− ϕ

− −

∫

∫

−

(182)

Demonstraţie: Problema (181) este o problemă de tip Cauchy pentru ecuaţia telegrafiştilor, deci pentru o ecuaţie hiperbolică. Conform Teoremei 6.1.2 problema (181) admite soluţie unică. Pentru a obţine formula de reprezentare (182) reducem la formă canonică ecuaţia telegrafiştilor din (181). În acest sens, amintim că sistemul diferenţial al curbelor caracteristice este d 0dx at± = , deci familiile de caracteristici sunt x at c+ = , 2x at c− = ,

. Efectuând transformarea 1 2,c c ∈ x x at′ = − , y x at′ = + , problema (181) devine


( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 0, unde ,

2,

1, ,

u bc u cx y a

u x x xu u

.

x x x x xψy x a

⎧ ∂+ = =⎪ ′ ′∂ ∂⎪⎪

′ ′ ′= ϕ⎨⎪ ∂ ∂⎪ ′ ′ ′ ′ ′− =

′ ′⎪ ∂ ∂⎩

(183)

Conform Teoremei 6.1.2 şi problema Cauchy (183) are soluţie unică, iar soluţia sa, conform (171), este dată de

( ) ( ) ( )[ ]

1 21 d2 P Q

PQ

u M uv uv P y P xd′ ′= ⎡ + ⎤ + −⎣ ⎦ ∫ . (184)

În (184) intervine funcţia lui Riemann pentru ecuaţia din problema (183), funcţie care a fost determinată în exemplul 1 şi este, conform (176),

( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0, ; , 2v x y x y J c x x y y′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − − . (185)

Fig. 1.6.4

Am considerat, pentru moment, ( )0 0,M x y′ ′ . Din proprietăţile funcţiei lui Riemann rezultă ( )0 0P Qv v J= = = 1. În (184) avem de calculat termenul integral. Rezultă, conform (166), că

[ ]

( )[ ]

[ ]

1 2 1 2d d d

1 d .2

PQ PQ

PQ

P y P x P P x

u u v vv uy x y x

′ ′ ′− = − =

⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ x (186)


Diferenţa uy x∂ ∂

−′∂ ∂

u′, este cunoscută în punctele de pe prima bisectoare, conform

problemei (183), iar un calcul elementar arată că pe aceeaşi bisectoare

( )( ) ( )

( ) ( )( )0 00 0

0 0

2c y xv v J c x x x y

y x x x x y

′ ′0

−∂ ∂ ′ ′ ′ ′ ′− = − −′ ′∂ ∂ ′ ′ ′ ′− −

. (187)

Din (183), (184), (186), (187) deducem

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

0

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0 0

1,2

1 2 d2

2d .

2

y

x

y

x

u x y x y

J c x x x y x xa

J c x x x yc y x x xx x x y

′

′

′

′

′ ′ ′ ′= ϕ + ϕ +⎡ ⎤⎣ ⎦

′ ′ ′ ′ ′ ′+ − − ψ

′ ′ ′ ′ ′− −′ ′ ′− − ϕ

′ ′ ′ ′− −

∫

∫

−

′

(188)

Notând cu ,x y′ ′ coordonatele punctului curent M din planul x Oy′ ′ şi revenind la variabilele ,x t conform transformării x x at′ = − , y x at′ = + , formula (188) se rescrie

( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

2 2 20

2 2 20

2 2 2

1,2

1 2 d2

2 d .

x at

x at

x at

x at

u x t x at x at

J c s x a t s sa

J c s x a tact s ss x a t

+

−

+

−

= ϕ − + ϕ + +

+ − − ψ

′ − −− ϕ

− −

∫

∫

−

(189)

Observaţia 6.2.2 – Deoarece ( ) ( )0 0J x I x= − , cu funcţia lui Bessel modificată de prima speţă şi de indice zero, formula (189) se rescrie

( )0I ⋅

( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

22 20

22 20

22 2

1,2

1 2 d2

2 d .

x at

x at

x at

x at

u x t x at x at

I c a t s x s sa

I c a t s xact s sa t s x

+

−

+

−

= ϕ − + ϕ + +

+ − −

′ − −+ ϕ

− −

∫

∫

ψ +

(190)


– Soluţia problemei Cauchy ataşată ecuaţiei (178) cu condiţiile iniţiale

( ) ( ) ( ) ( ), 0 , , 0vv x x x xt∂

= ϕ = ψ∂

(191)

este dată de

( ) ( ), e , ,2

t LG RCv x t u x tLC

−λ += λ = ,

unde este soluţia problemei Cauchy ataşată ecuaţiei (180) cu condiţiile Cauchy

( )u ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 , , 0uu x x x x xt

∂= ϕ = ψ + λϕ

∂.

PROPOZIŢIA 6.2.2. Problema Cauchy neomogenă cu date Cauchy omogene (corespunzătoare ecuaţiei telegrafiştilor)

( )

( ) ( )

2 22 2

2 2 ,

, 0 0, , 0 0

u ua b u ft x

uu x xt

⎧ ∂ ∂− − =⎪⎪ ∂ ∂⎨

∂⎪ = =⎪ ∂⎩

x t (192)

admite soluţie şi aceasta admite reprezentarea

( ) ( ) ( )( ) ( )2 220

0

1, 22

t x at

x at

u x t J c x s a t f s sa

+

−

, d d⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − τ τ τ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ , (193)

în care 2c b= a . Demonstraţie: Conform Teoremei 6.1.2 problema (192) admite soluţie unică şi aceasta este dată de (171). Cu schimbarea de variabile ( ) ( ), ,x t x′ ′→ y , x x a′ = − t t, y x a′ = + problema (192) se rescrie

( )

( ) ( ) ( )

22

1 , ,2 ,

, 0, , , 0

u bc u f x y cx y a

u uu x x x x x xy x

⎧ ∂ ′ ′+ = =⎪ ′ ′∂ ∂⎪⎨

∂ ∂⎪ ′ ′ ′ ′ ′ ′= −⎪ ′ ′∂ ∂⎩=

(194)

unde ( )1 21, ,

2 24x y y xf x y f

a′ ′ ′ ′+ −⎛ ⎞′ ′ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Aplicăm formula (165) perechii de funcţii ( )u ⋅ , soluţie a problemei (194), funcţia lui Riemann pentru ecuaţia din (194), deci ( )v ⋅

( )0 0, ; , ,v v x y x y′ ′ ′ ′= Ω

d d ′

domeniul haşurat din figura 1.6.4. Rezultă

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1, , ; , ,u M u x y v x y x y f x y x yΩ

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = −∫∫ . (195)


Se efectuează schimbarea de variabile ( ) ( ), ,x y s′ ′ → τ , dată de x s a′ = − τ , y s a′ = + τ . (196)

Fig. 1.6.5

Iacobianul transformării (196) este egal cu ( )12 , ,a f x y′ ′ = ( ) (21 / 4 ,a f s= − τ ) , iar triunghiul MPQ din figura 1.6.4 se transformă în

triunghiul 1 1 1M PQ din planul variabilelor s şi τ . Rezultă

( ) ( ) ( )( )0 0 0

0

2

0 0 0 00

1, , ; ,2

y x a y at

x at

u x y v s a s a x y f s sa

′ ′− ′ −

′ +

⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′ ′ ′= − τ + τ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ , d dτ τ .(197)

Se notează cu ,x y′ ′ coordonatele punctului M şi se ţine seama de x x a′ = − tt

, . Cu aceasta (197) se rescrie y x a′ = +

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )2 220

0

, 2t x a t

x a t

u x t J c x s a t f s s+ −τ

− −τ

⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − τ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ , d dτ τ ,

cu 2c b= a , adică (193). Observaţia 6.2.3. Soluţia problemei Cauchy

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2 ,

, 0 , , 0

u ua b u f x tt x

uu x x x xt

⎧ ∂ ∂− − =⎪⎪ ∂ ∂⎨

∂⎪ = ϕ = ψ⎪ ∂⎩

(198)

este suma soluţiilor problemelor Cauchy (181) şi (192). PROPOZIŢIA 6.2.3. Soluţia problemei Cauchy pentru ecuaţia undelor

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22

2 2

2 1

, , , 0

, 0 , , 0 ,

, ,

u ua f x t x tt x

uu x x x x xt

f funcţie continuă de clasă de clasă

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪∂⎨ = ϕ = ψ ∈⎪ ∂

⎪⋅ ϕ ⋅ ψ ⋅⎪⎩ C C

. (199)



( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )( )

( )

0

1 1, d2 2

1 , d d .2

x at

x at

t x a t

x a t

u x t x at x ata

f s sa

+

−

+ −τ

− −τ

= ϕ − + ϕ + + ψ τ τ

⎛ ⎞⎜ ⎟+ τ τ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫

+

(200)

Demonstraţie: Problema (199) este problema (198) în cazul . Dar, pentru cazul funcţia lui Riemann, corespunzătoare ecuaţiei undelor, este identic egală cu unu. Cu aceasta şi din (182) şi (193) rezultă (200). Formula (200) este cunoscută şi sub numele de formula lui d'Alembert pentru ecuaţia corzii vibrante infinite. Formula lui d'Alembert a fost stabilită anterior în Teorema 5.2.2, formula (102).

0b =0b =

§7 Problema mixtă pentru ecuaţia undelor

7.1 Problema mixtă şi unele probleme fizice descrise de ecuaţia undelor

Fie o mulţime deschisă şi nΩ ⊂ ( )0, T un interval (finit sau nu) al semiaxei reale pozitive. Se notează ( )0,TQ T= Ω × şi ( )0,

TT= ∂Ω ×∑ .

DEFINIŢIA 7.1.1. Se numeşte prin definiţie problemă mixtă de tip Dirichlet ataşată ecuaţiei undelor problema

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

22

2

T

0

1

0 1

, , ,

c.l.

, 0c.i. , .

, 0

: , : , , :

T

T T

u a u f x t x tt

u g pe

u x u xxu x u x

tunde f Q g u usunt funcţii date

⎧ ∂− Δ = ∈ Ω⎪

∂⎪⎪ = Σ⎪⎪ ⎧ =⎨ ⎪ ∈ Ω⎨ ∂⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎪

→ Σ → Ω →⎪⎪⎩

(201)

DEFINIŢIA 7.1.2. Prin soluţie clasică a problemei mixte (201) se

înţelege o funcţie ( ) ( )2T Tu Q Q∈ ∩C C cu ( T

u Qt

)∂∈

∂C care verifică

ecuaţia din (201) în împreună cu condiţiile la limită, c.l., şi condiţiile iniţiale, c.i., date în problema (201).

TQ

DEFINIŢIA 7.1.3. Se numeşte prin definiţie problemă mixtă de tip Neumann ataşată ecuaţiei undelor problema


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

22

2

0

1

0 1

, , ,

d d

c.l.d , d

, 0

, 0c.i. ,

, 0

: , : , , :

T

T

T

T T

u a u f x t x t Qt

u h înn

sau, mai generalu u h în n versoruln

normalei exterioare la

u x u xxu x u x

tunde f Q h u usunt

∂− Δ = ∈

∂⎧ = Σ⎪⎪⎪⎨⎪ + α = Σ⎪⎪ ∂Ω α ≥⎩⎧ =⎪ ∈ Ω⎨ ∂

=⎪ ∂⎩→ Σ → Ω →

funcţii date

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

. (202)

DEFINIŢIA 7.1.4. Prin soluţie clasică pentru problema mixtă (202) se

înţelege o funcţie ( ) ( )2T Tu Q Q∈ ∩C C cu ( T

u Qt

)∂∈

∂C care verifică

ecuaţia, condiţiile la limită prescrise şi condiţiile Cauchy date în problema (202). Vom prezenta pe scurt câteva probleme fizice descrise de ecuaţii de forma

( ) ( ) ( )2

22 , , , , ,u x t a u x t f x t x t

t∂

− Δ = ∈ Ω >∂

0

)

. (203)

Ecuaţia (203) reprezintă un exemplu tipic de ecuaţie hiperbolică liniară şi din punct de vedere fizic modelează fenomenele de vibraţie ale unui mediu elastic sub acţiunea unei forţe distribuite de densitate f. Ecuaţia (203) este folosită în egală măsură pentru descrierea fenomenului de propagare a câmpului electromagnetic, a luminii şi a altor procese ondulatorii.

1. Ecuaţia coardei elastice. În §5, secţiunea 5.1 s-a dedus ecuaţia (90) reprezentând vibraţiile transversale întreţinute ale coardei. Dacă coarda este fixată rigid în capetele a şi b, atunci ecuaţiei undelor în variabila spaţială unidimensională ( ,x a b∈ i se asociază condiţiile la limită Dirichlet

( ) ( ) ( ) [ ], , 0, 0,u a t u b t t T= = ∀ ∈ . (204)

Dacă asupra capetelor x a= şi x b= acţionează forţele şi, respectiv , atunci ecuaţiei undelor i se asociază condiţii la limită de tip Neumann

( )1h t( )2h t

( ) ( )1,u a t h tx∂

=∂

, ( ) ( )2,u b t h tx∂

=∂

, [ ]0,t T∈ . (205)


În deducerea acestor condiţii s-a folosit legea Hooke. În mod natural ecuaţiei undelor i se asociază şi condiţiile iniţiale (Cauchy)

( ) ( ) ( ) ( ) (0 1, 0 , , 0 , ,uu x u x x u x x a bt

)∂= =

∂∈ , (206)

unde este configuraţia iniţială a coardei, iar ( )0u x ( )1u x este viteza iniţială în punctul x.

2. Vibraţia longitudinală a barei elastice. Se consideră o bară elastică de lungime l ocupând segmentul [ ]0, l al axei reale. Notăm cu ( ),u x t deplasarea punctului x la momentul t în direcţia axei Ox. Alungirea la momentul t a segmentului ( ), dx x x+ este, evident, egală cu

( ) ( ) ( )d , , , duu x x t u x t x t xx∂

+ − ≈∂

şi, conform legii lui Hooke, această deformare liniară produce o tensiune egală

cu ( ) ( ), duk x x t xx∂∂

, unde ( )k x este modulul de elasticitate. Deci, asupra

segmentului ( ), dx x x+ va acţiona forţa de mărime

( ) ( ) ( ) ( )d , , ,uT x x t T x t k x x tx x∂ ∂⎛ ⎞+ − ≈ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

produsă de tensiunea T. Dacă asupra barei acţionează şi o forţă longitudinală de densitate ( ),f x t , iar densitatea liniară în punctul x este ( )xρ , atunci, conform legii lui Newton avem ecuaţia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2

2, , , , 0, ,u uk x x t f x t x x t x l t Tx x t∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + = ρ ∀ ∈ ∀ ∈⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

0,∂

.

Dacă bara este omogenă ( ( ) constantk x ≡ , ( ) constantxρ ≡ ), atunci se obţine o ecuaţie de forma (203), cu [ ]0, lΩ = . Acestei ecuaţii i se asociază în mod natural condiţii iniţiale de forma (206) şi condiţii la limită de forma (204) (tip Dirichlet), respectiv de forma (205) (tip Neumann). Adaptând modelul de mai sus se poate folosi ecuaţia (203) pentru a descrie propagarea liniară a sunetului. Mai general, ecuaţia (203) cu x variabilă spaţială tridimensională descrie ecuaţia propagării sunetului într-un mediu omogen din spaţiu.

3. Ecuaţiile câmpului electromagnetic. Se consideră un câmp electromagnetic ( ) ( )( ), , ,E x t H x t , unde ( ) ( ) ( )( 1 2, , , ,E x t E x t E x t= ,

( ) )3 ,E x t şi ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3, , , , , ,H x t H x t H x t H x t= sunt vectorii

intensitate ai câmpului electric, respectiv magnetic, în punctul 3x ∈ la momentul t. Relaţiile între H şi E sunt descrise de ecuaţiile lui Maxwell


(J.C. Maxwell 1831-1879), care, în cazul unui mediu omogen au următoarea formă

1rot EHc t∂

=∂

(207)

1rot HEc t∂

= −∂

(208)

div 0, div 0,H E= = (209) unde c este viteza luminii în vid. Ecuaţiile (208), (207) exprimă matematic legile lui Ampère şi, respectiv Faraday, referitoare la variaţiile câmpului electric şi magnetic. Ecuaţiile (209) exprimă absenţa sarcinilor exterioare. Dacă în (207) se aplică operatorul rot şi se ţine seama de relaţia elementară

rot rot graddivH H H= − Δ se obţine

2

2 21 1graddiv rot HH H Ec t c t∂ ∂

− Δ = = −∂ ∂

adică 2

2 21 H Hc t

∂= Δ

∂.

O ecuaţie asemănătoare se obţine pentru câmpul electric. Fapt cu totul remarcabil din punct de vedere fizic, aceeaşi ecuaţie descrie

propagarea acusticii în vid ceea ce demonstrează natura electromagnetică a luminii.

Ecuaţiile lui Maxwell stabilite în anul 1865 şi verificate experimental de H. Hertz în 1883, reprezintă, după opinia multor istorici ai ştiinţei, cea mai importantă descoperire ştiinţifică a secolului XIX, având implicaţii profunde asupra dezvoltării fizicii moderne. Ele au pus în evidenţă natura ondulatorie a câmpului electromagnetic şi propagarea sa cu viteză finită, precum şi natura electromagnetică a luminii. Deşi receptate târziu de matematicieni, ele aveau să deschidă calea unor cercetări profunde în teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale, rămânând şi în prezent în centrul atenţiei cercetătorilor.

7.2 Metoda lui Daniel Bernoulli - Fourier, sau metoda separării variabilelor pentru coarda vibrantă

i. Problema mixtă de tip Dirichlet pentru ecuaţia coardei în cazul oscilaţiilor libere

Considerăm problema vibraţiilor libere ale unei coarde de lungime finită l, pe care în poziţia de echilibru o presupunem situată de-a lungul axei Ox în


sensul pozitiv al axei şi având o extremitate în origine. În acest caz, în afara condiţiilor iniţiale care ne dau poziţia şi viteza coardei la momentul 0t = trebuie să cunoaştem şi mişcarea extremităţilor. Să presupunem coarda fixată la capete. Se pune, astfel, problema determinării unei funcţii definită pentru 0

( ,u x t )x l≤ ≤ şi soluţie a problemei mixte 0t ≥

( ) [ ] [ )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2 2 21 , , 0, 0,

cu condiţiile iniţiale

, 0c.i. ,

, 0 , 0

cu condiţiile la limită

0, 0c.l.

, 0

u u x ta t x

u x f xu x g x x lt

u tu l t

⎧ ∂ ∂= ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪⎪

⎧ =⎪ ⎪⎪ ⎨ ∂⎨ = ≤ ≤⎪⎪ ∂⎩⎪⎪⎪ ⎧ =⎪ ⎨⎪ =⎩⎩

∞

(210)

unde [ ], : 0,f g l → satisfac condiţiile teoremei lui Dirichlet pe [ ]0, l , deci admit dezvoltări în serie Fourier trigonometrică, în particular în serie Fourier de sinusuri pe [ ] . 0, l Vom folosi pentru rezolvarea problemei (210) metoda lui Bernoulli -Fourier sau metoda separării variabilelor, descrisă în cazul general în §4.

Deoarece ecuaţia cu derivate parţiale şi condiţiile la limită, din problema mixtă (210), sunt omogene trecem direct la etapa a metodei separării variabilelor, aşa cum a fost prezentată în §4.

3e

Căutăm, deci, pentru problema (210) soluţii de forma

( ) ( ) ( ),u x t X x T t 0= ≠ . (211)

Impunând funcţiei , dată de (211), condiţiile la limită c.l. din (210) deducem

( ,u x t )

( ) ( )( ) ( )0 0

0X T tX l T t

⎧ =⎨

=⎩.

Prin urmare

( )( )0 0

0XX l

⎧ =⎨

=⎩. (212)

În caz contrar , ceea ce ne conduce la ( ) 0T t ≡ ( ),u x t 0≡ , care contrazice (211). Cerând funcţiei ( ),u x t , de forma aleasă (211), să fie soluţie a ecuaţiei din problema (210) deducem


( ) ( ) ( ) ( )2X x T t a X x T t′′ ′′= .

Prin împărţire cu ( ) ( ) ( ),u x t X x T t= , posibil conform (211), rezultă

( )( )

( )( )2

1X x T tX x T ta′′ ′

=′

. (213)

Relaţia (213) trebuie satisfăcută identic pentru orice [ ]0,x l∈ şi . Dar, 0t ≥( )( )

X xX x′′

este funcţie numai de x, iar ( )( )

T tT t′′

este funcţie numai de t, cu x şi t

variabile independente. Prin urmare, egalitatea (213) are loc dacă şi numai dacă funcţiile din (213) se reduc la o constantă, adică dacă şi numai dacă există

astfel încât λ ∈

( )( )

( )( )2

1X x T tX x T ta′′ ′′

= = λ . (214)

Din (212) şi (214) deducem problema bilocală

( ) ( )( )( )

00 0

0

X x X xXX l

′′⎧ − λ⎪

=⎨⎪ =⎩

=

(215)

şi ecuaţia diferenţială

( ) ( )2 0T t a T t′′ − λ = . (216) În (215) şi (216) λ este un număr real arbitrar. Urmează o discuţie după . λ ∈

I. 0λ >În acest caz, observând că ecuaţia caracteristică, pentru ecuaţia

diferenţială din problema bilocală (215), este 2 0r − λ = , deci 1,2r = ± λ , soluţia generală a ecuaţiei din (215) este

( ) 1 2e exX x c c xλ − λ= + . (217)

Impunând în (217) condiţiile bilocale, în 0x = şi x l= , din (215) rezultă

1 2

1 2

0,

e el l

c c

c cλ − λ

+ =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩ 0

adică

( )1 2

1

0.

e el l

c c

c λ − λ

+ =⎧⎪⎨

− =⎪⎩ 0


Deoarece 0l λ > rezultă e el lλ − λ 0− ≠ , deci 1 2 0c c= = . Cu aceasta rezultă ( ) 0X x ≡ , adică ( ),u x t 0≡ , ceea ce conform (211) nu convine. Prin urmare, cazul nu poate fi acceptat, nu prezintă interes pentru că nu furnizează soluţii de forma (211).

0λ >

II. 0λ = În acest caz ecuaţia caracteristică, pentru ecuaţia diferenţială din problema bilocală (215), este şi admite rădăcina dublă 2 0r − λ = 1 2 0r r= = . Deducem

( ) 1 2X x c x c= + . Condiţiile bilocale ( )0 0X = , ( ) 0X l = din (215) conduc la deci şi în acest caz se obţine

1 2 0c c= =( ) 0X x = adică ( ),u x t 0≡ , ceea ce nu satisface

(211). Prin urmare, nici cazul II nu se acceptă. III. 0λ < Ecuaţia caracteristică 2 0r − λ = , cu 2kλ = − admite ca rădăcini pe

, . Deci 1 ir k= 2 ir = − k ( ) 1 2cos sinX x c kx c kx= + . Din condiţiile bilocale ( )0 0X = , ( ) 0X l = deducem

1

2

0sin 0

cc kl

=⎧⎨ =⎩

.

Facem pentru k, deci pentru λ ∈ , alegerea sin 0kl = . Rezultă

, deci

,kl n= π

n ∗∈2 2

22

nklπ

= şi 2 2

2 ,nn n

l∗π

λ = − ∈ . Cu aceasta, pentru

2 2

2 ,nn n

l∗π

λ = − ∈ problema (215) are soluţii nebanale

( ) sin ,n nnX x c x nl

∗π= ∈ , (218)

cu constante arbitrare. ,nc n ∗∈

Întorcându-ne la (216) scrisă pentru 2 2

2 ,nn n

l∗π

λ = − ∈ rezultă

( ) cos sin , ,n n nan anT t A t B t n

l l∗π π

= + ∈

n

(219)

cu ,nA B constante arbitrare. Prin procedeul descris mai sus am determinat şirul de funcţii

( ), cos sin sin ,n n nan an nu x t A t B t x n

l l l∗π π π⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦,∈ (220)

cu , ,n n n n n nA A c B B c n ∗= = ∈ .


Considerăm seria de funcţii

( )1 1

, cos sin sinn n nn n

an an nu x t A t B tl l

∞ ∞

= =

xl

π π⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ π

)

, (221)

de termen general, dat de (220). ( ,nu x t Dacă seria de funcţii (221) ar fi uniform convergentă şi dacă ar fi de două ori derivabilă atât în raport cu variabila x, cât şi cu variabila t, atunci suma seriei (221) ar fi soluţie pentru ecuaţia din problema (210) şi în plus, conform modului de deducere al şirului (220), ar satisface şi condiţiile la limită c.l. din problema mixtă (210). Să presupunem deci că seria de funcţii din (221) este uniform convergentă, de două ori derivabilă atât în raport cu x cât şi cu t. Deoarece şirurile de constante { }n nA ∗∈ , { }n nB ∗∈ sunt arbitrare le vom determina cerând sumei seriei (221) să satisfacă şi condiţiile iniţiale c.i. din problema (210). Suntem conduşi la

( )

( )[1

1

sin

, 0,

sin

nn

nn

nA x f xl

]x lan nB x g x

l l

∞

=∞

=

⎧ π=⎪

⎪ ∈⎨π π⎪ =⎪

⎩

∑

∑. (222)

În ipoteza făcută asupra funcţiilor ( )f ⋅ , ( )g ⋅ în problema (210), anume de a satisface condiţiile teoremei Dirichlet pe [ ]0, l , rezultă că , ,n nA B n ∗∈ sunt coeficienţii Fourier ai funcţiilor ( )f ⋅ şi ( )g ⋅ dezvoltate în serie Fourier de sinusuri. Rezultă

( )

( )

0

0

2 sin d

,2 sin d

l

n

l

n

nA f x x xl l

nnB g x x x

l l

.∗

⎧ π⎪ =⎪⎪ ∈⎨⎪ π

=⎪⎪⎩

∫

∫ (223)

Deoarece şirul coeficienţilor Fourier ai unei funcţii este un şir convergent la zero deducem că seria (221) este uniform convergentă. Prin urmare, există

, suma seriei (221), seria putând fi derivată termen cu

termen ca serie de funcţii uniform convergentă. Subliniem că seria (221) poate sau nu să fie de două ori derivabilă în raport cu x respectiv cu t, în funcţie de

( ) (1

, nn

u x t u x t∞

=

= ∑ ),


datele Cauchy ( )f ⋅ şi , pentru care sunt necesare condiţii suplimentare de netezime. Prin urmare, practic rezolvarea problemei (210) revine la:

( )g ⋅

– se rescriu coeficienţii nA , nB , n ∗∈ daţi de (223) şi se construieşte ( ),u x t conform (221);

– în funcţie de ( ) ( ),f g⋅ ⋅ , datele Cauchy din problema (210) se studiază dacă funcţia sumă a seriei de funcţii (221) admite sau nu derivate parţiale de ordinul al doilea în raport cu x respectiv în raport cu t. În caz afirmativ suma seriei (221) este soluţia problemei mixte (210).

( )u ⋅

ii. Problema mixtă de tip Dirichlet pentru ecuaţia coardei în cazul oscilaţiilor întreţinute

Se consideră următoarea problemă mixtă asociată ecuaţiei coardei vibrante în cazul oscilaţiilor întreţinute (ecuaţie neomogenă)

( ) ( ) [ ] [ )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2 2 21 , , , 0, 0,

cu condiţiile iniţiale

, 0c.i. ,

, 0 , 0

cu condiţiile la limită

0, 0c.l.

, 0

u u x t x t lx a t

u x f xu x g x x lt

u tu l t

⎧ ∂ ∂− = ϕ ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪⎪

⎧ =⎪ ⎪⎪ ⎨ ∂⎨ = ≤ ≤⎪⎪ ∂⎩⎪⎪⎪ ⎧ =⎪ ⎨⎪ =⎩⎩

∞

(224)

unde [ ], : 0,f g l → satisfac condiţiile teoremei lui Dirichlet pe [ ]0, l , admite dezvoltare în serie Fourier de sinusuri în raport

cu x, pe intervalul [ ] [ ): 0, 0,lϕ × ∞ →

[ ]0, l . Rezolvarea problemei mixte (224) constă în determinarea unei funcţii ( ),u x t de două ori derivabilă în raport cu t, de două ori derivabilă în raport cu

x şi care satisface ecuaţia din (224) pe [ ] [ )0, 0,l × ∞ şi în plus satisface şi condiţiile Cauchy şi la limită din (224). Vom da mai jos două variante de rezolvare pentru determinarea soluţiei clasice a problemei (224), ambele bazându-se pe metoda separării variabilelor, descrisă în §4 şi ilustrată în cazul oscilaţiilor libere ale coardei vibrante, la punctul i.


Varianta I. Metoda separării variabilelor. Principiul lui Duhamel Se va urma etapă cu etapă procedeul descris în §4. Deoarece condiţiile la

limită în problema mixtă (224) sunt omogene trecem direct la . Prin urmare, pentru problema mixtă (224) se caută soluţia de forma

2e

( ) ( ) ( )0, , pu x t u x t u x t,= + , (225)

unde este soluţie pentru problema (0 ,u ⋅ ⋅ )

( ) [ ] [ )

( ) ( )

( ) ( ) [ ]

( )( )

2 2

2 2 21 0, , 0, 0,

, 0c.i.

, 0 , 0,

0, 0c.l.

, 0

u u x t lx a tu x f x

u x g x x lt

u tu l t

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

⎪⎪⎪ ⎨ ∂⎨ = ∈⎪⎪ ∂⎩⎪

⎧ =⎪⎨⎪ =⎪ ⎩⎩

∞

, (226)

cu [ ], : 0,f g l → satisfăcând condiţiile teoremei Dirichlet pe [ , iar este soluţie pentru problema

])

0, l( ,pu ⋅ ⋅

( ) ( ) [ ] [ )

( )

( )

( )( )

2 2

2 2 21 , , , 0, 0,

, 0 0c.i. ,

, 0 0

0, 0c.l.

, 0

u u x t x t lx a tu x

u xt

u tu l t

⎧ ∂ ∂− = ϕ ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

⎪⎪⎪ ⎨ ∂⎨ =⎪⎪ ∂⎩⎪

⎧ =⎪⎨⎪ =⎪ ⎩⎩

∞

(227)

cu [ ] [ ): 0, 0,lϕ × ∞ → satisface în raport cu variabila spaţială x condiţiile teoremei Dirichlet pe [ ]0, l şi admite dezvoltarea Fourier de sinusuri în raport cu x. Conform din metoda separării variabilelor trebuie rezolvată problema (226), utilizând metoda Fourier. Problema (226) este chiar problema (210), rezolvată la punctul i, §7, secţiunea 7.2, deci soluţia sa este dată de (221) şi (223).

3e

(0 ,u ⋅ ⋅ )

Pentru deducerea funcţiei ( ),pu ⋅ ⋅ soluţie a problemei (227) se utilizează principiul lui Duhamel. Astfel, conform din metoda separării variabilelor 4e


descrisă în §4 se ataşează problemei (227) problema mixtă, în funcţia necunoscută , ( ), ;w ⋅ ⋅ τ

( ) [ ] [ )

( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2 2 21 0, , 0, 0,

, 0 0c.i. .

, 0 ,

0, 0c.l.

, 0

u u x t lt a tu x

u x xt

u tu l t

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

⎪⎪⎪ ⎨ ∂⎨ = ϕ τ⎪⎪ ∂⎩⎪

⎧ =⎪⎨⎪ =⎪ ⎩⎩

∞

(228)

Observăm că problema (228) este tot o problemă mixtă de tip (210); în acest caz 0f ≡ , , ( ) ( ),g x x= ϕ τ τ parametru. Astfel, soluţia a problemei (228) este dată de (221) şi (223) scrise pentru noile date Cauchy. Conform principiului lui Duhamel Teorema 4.1, §4 soluţia a problemei (227) este dată de

( ), ;w ⋅ ⋅ τ

( ,pu ⋅ ⋅ )

d( ) ( )0

, , ;t

pu x t w x t= − τ τ τ∫ ,

cu soluţie pentru (228). ( , ;w ⋅ ⋅ τ )Varianta a II-a. Analogul metodei variaţiei constantelor pentru ecuaţii

diferenţiale cu coeficienţi constanţi neomogene Conform principiului superpoziţiei căutăm pentru problema mixtă (224) o

soluţie de forma (225), cu ( )0 ,u ⋅ ⋅ soluţie pentru (226), iar soluţie pentru (227).

( ,pu ⋅ ⋅ )

)Pentru problema (226), conform 7.2. i, §7 soluţia este dată de (221) şi (223), adică

( ,pu ⋅ ⋅

( )

{ } { }1

, cos sin sin.

, definite de (223)

p n nn

n nn n

an an nu x t A t B t xl l

A B

∞

=

∈ ∈

⎧

lπ π π⎡ ⎤= +⎪⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎨

⎪⎪⎩

∑ (229)

Rămâne de determinat . Propunem în acest sens ( ,pu ⋅ ⋅ )

( ) ( )1

, sip nn

nu x t T tl

∞

=

n xπ= ∑ . (230)


Evident funcţia definită de (230), dacă există, satisface condiţiile la limită , ( )0, 0pu t = ( ),pu l t = 0 din problema (227). În (230) nu se cunoaşte şirul

de funcţii . Urmează să determinăm şirul de funcţii { }n nT ∈ { }n nT ∈ ,

, , astfel încât funcţia definită de (230) să satisfacă ecuaţia cu derivate parţiale şi condiţiile Cauchy din problema (227). Pentru moment lucrăm formal, adică presupunem că seria de funcţii din (230) este uniform convergentă pe [

[ ): 0,nT ∞ → n ∗∈

] [ )0, 0,l × ∞ şi poate fi de două ori derivată atât în raport cu variabila x cât şi cu variabila t. Obţinem, înlocuind în ecuaţia din (227),

( ) ( ) ( )2

21

1 sin ,n nn

an nT t T t x x tl la

∞

=

⎡ ⎤π π⎛ ⎞′′− + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ϕ .

Dezvoltând funcţia ( ), tϕ ⋅ în serie Fourier de sinusuri, posibil conform ipotezei, deducem

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

1

0

, sin , 0,

2 , sin d ,

nn

l

n

nx t t x x l tl

nt x t x x nl l

∞

=

∗

⎧ πϕ = θ ∈ ≥⎪

⎪⎨

π⎪θ = ϕ ∈⎪⎩

∑

∫

, 0

. (231)

Deci

( ) ( ) ( )2

21 1

1 sin sinn n nn n

an n nT t T t x t xl la

∞ ∞

= =

⎡ ⎤π π⎛ ⎞′′− + = θ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ l

π .

Prin egalarea coeficienţilor Fourier, în relaţia de mai sus, rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

,0 0, 0 0

n n n

n n

anT t T t a t nlT T

∗⎧ π⎛ ⎞′′ + = − θ⎪ ⎜ ⎟ ∈⎨ ⎝ ⎠⎪ ′= =⎩

.

)

(232)

Funcţia ( ,pu ⋅ ⋅ dată de (230) va fi complet determinată prin integrarea şirului de probleme Cauchy (232). Condiţiile Cauchy din (232) s-au dedus din cererea ca funcţia (230) să satisfacă datele Cauchy din problema (227).

Cu aceasta problema mixtă (224) este rezolvată.

§8 Ecuaţia căldurii Vom studia în acest paragraf ecuaţia propagării căldurii (sau ecuaţia

difuziei) care reprezintă cel mai simplu exemplu de ecuaţie parabolică şi joacă un rol important în fizica matematică. Un loc aparte va fi acordat studiului existenţei soluţiei problemei la limită şi cu condiţii iniţiale asociată ecuaţiei căldurii, ca şi problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii.


În ecuaţia căldurii şi, mai general, în ecuaţiile parabolice, variabila timp joacă un rol privilegiat astfel că într-o notaţie funcţională potrivită, aceste ecuaţii se pot scrie ca ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi pe un anumit spaţiu de funcţii în variabilele spaţiale.

8.1 Cele mai simple probleme care conduc la ecuaţii de tip parabolic. Ecuaţia căldurii

a. Problema liniară a propagării căldurii

Considerăm o bară omogenă de lungime l, izolată termic pe feţele laterale şi destul de subţire pentru ca în orice moment temperatura în toate punctele din secţiunea transversală să poată fi considerată aceeaşi. Dacă extremităţile barei se menţin la temperaturi constante , atunci de-a lungul

barei se stabileşte o distribuţie liniară a temperaturii

1,u u2

( ) 2 11

u uu x u xl−

= + . În

acest caz, căldura va trece de la extremitatea mai încălzită spre extremitatea mai puţin încălzită a barei. Cantitatea de căldură care trece printr-o secţiune a barei de arie S în unitatea de timp este dată de formula experimentală

2 1u u uQ k Sl x

S− ∂= − = −

∂, (231')

unde k este coeficientul de conductibilitate termică, dependent de materialul barei.

Fluxul de căldură se consideră pozitiv când căldura se propagă în direcţia creşterii lui x.

Să examinăm fenomenul de propagare a temperaturii într-o bară. Acest fenomen poate fi descris de o funcţie ( ),u x t , care reprezintă temperatura în secţiunea x la momentul t. Să găsim ecuaţia pe care trebuie să o satisfacă funcţia ( ),u x t . În acest scop formulăm legile fizicii care determină fenomenele legate de propagarea căldurii.

1. Legea lui Fourier: Dacă temperatura nu este uniformă, în corp apar curenţi termici dirijaţi din punctele cu temperatura mai înaltă înspre punctele cu temperatura mai joasă.

Cantitatea de căldură care trece printr-o secţiune x în intervalul de timp este ( ), dt t t+

dQ qS td ,= (232')

unde ( ) uq k xx∂

= −∂

este densitatea fluxului de căldură, egală cu cantitatea de

căldură care trece în unitatea de timp printr-o arie de . 21 cm


Legea exprimată de relaţia (232') este o generalizare a legii exprimate de relaţia (231'). Forma integrală a relaţiei (232') este

( ) ( )2

1

, dt

t

uQ S k x x tx∂

= −∂∫ t

u

, (233)

unde Q reprezintă cantitatea de căldură care trece în intervalul de timp ( ) prin secţiunea S. Dacă bara este neomogenă coeficientul de conductibilitate termică k este funcţie de x.

1 2,t t

2. Cantitatea de căldură care trebuie transmisă unui corp omogen pentru a-i ridica temperatura cu este uΔ

Q c m u c V= ⋅ ⋅ Δ = ρ Δ , unde c este căldura specifică, m este masa corpului, ρ este densitatea lui, iar V este volumul. Dacă variaţia de temperatură este diferită în diferite porţiuni ale barei, sau dacă bara este neomogenă, atunci

. (234) ( )2

1

dx

x

Q c S u x= ρ Δ∫ x

3. În interiorul barei poate să apară sau poate fi absorbită căldura (de exemplu, datorită reacţiilor chimice). Degajarea căldurii poate fi caracterizată de densitatea surselor de căldură ( ),F x t în punctul x la momentul t. Ca urmare a acţiunii acestor surse, pe porţiunea ( ), dx x x+ în intervalul de timp ( ), dt t t+ se degajă cantitatea de căldură ( )d ,Q SF x t xd dt= sau, sub formă integrală obţinem

(235) ( )2 2

1 1

, d dt x

t x

Q S F x t x⎛ ⎞⎜=⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ,t⎟

unde Q este cantitatea de căldură degajată pe porţiunea ( )1 2,x x a barei în intervalul de timp ( )1 2,t t .

Ecuaţia căldurii se obţine făcând bilanţul cantităţilor de căldură pe un segment oarecare ( )1 2,x x într-un interval de timp ( )1 2,t t . Aplicând legea conservării energiei şi folosind formulele (233) – (235) se obţine egalitatea


( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 11 1 1

2

1

2 1

, , d ,

, , d .

t x

x x x xt x

x

x

u uk x k x Fx x

c u t u t

= =

⎡ ∂ ∂ ⎤ d dt

t

τ − τ τ + ζ τ τ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

= ρ ζ − ζ ζ⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫

ζ =∫

)

(236)

Ecuaţia (236) reprezintă ecuaţia căldurii sub formă integrală. Pentru a obţine ecuaţia căldurii sub formă diferenţială vom presupune că

funcţia admite derivatele ( ,u ⋅ ⋅ xxu şi şi acestea sunt funcţii continue. (Cerând derivabilitate funcţiei

tu( ),u ⋅ ⋅ putem, în general, pierde o serie de soluţii

posibile care satisfac ecuaţia integrală (236), însă nu satisfac ecuaţia diferenţială. În cazul ecuaţiei căldurii, însă, impunând derivabilitatea soluţiei nu pierdem de fapt soluţii posibile deoarece se poate demonstra că dacă o funcţie satisface ecuaţia (236) în mod necesar ea admite derivate parţiale în x de două ori şi în t de ordinul întâi.) Folosind teorema de medie, pentru integrala Riemann, există

[ ]3 4 1 2, ,t t t t∈ şi [ ]3 4 1 2, ,x x x x∈ astfel încât

( ) ( ) ( )

( ) ( ){ }2 1

3

3

4 4

2 1

, , ,

, , ,

x x x x t

x

u uk x k x t F x t x tx x

c u t u t x

= = τ=

ζ=

⎡ ∂ ∂ ⎤τ − τ ⋅ Δ + ⋅ Δ ⋅ Δ =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

= ρ ζ − ζ ⋅ Δ⎡ ⎤⎣ ⎦

cu 2 1x x xΔ = − , 2t t 1tΔ = − , care poate fi transformată, cu ajutorul teoremei creşterilor finite, astfel: există ( )5 1 2 ( )x ,x x 5 1 2, tt t∈ , ∈ astfel încât

( ) ( )

( )

35

35

4 4, ,

, .

t tx x

x xt t

uk x t x t F x t x tx x

uc x t x tt

==

==

∂ ∂⎡ ⎤ ⋅ Δ ⋅ Δ + ⋅ Δ ⋅ Δ =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∂⎡ ⎤= ρ ⋅ Δ ⋅ Δ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

Toate aceste raţionamente se referă la intervalele ( )1 2,x x , arbitrare. Trecând la limită, în egalitatea anterioară, după

( )1 2,t t

1 2,x x x→ şi , obţinem ecuaţia 1 2,t t t→

( ),uk F x t c ux x t∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

ρ∂

. (237)

Ecuaţia (237) se numeşte ecuaţia căldurii în cazul unei variabile spaţiale (conductor liniar).

Dăm în continuare câteva cazuri particulare ale ecuaţiei căldurii.


– Dacă bara este omogenă, atunci k, c şi ρ pot fi considerate constante şi ecuaţia (237) se scrie de obicei astfel:

( )2 ,t xxu a u f x t= + , (237')

cu 2 kac

=ρ

, ( ) ( ),, F x tf x tc

=ρ

, unde a este o constantă numită coeficient

de conductibilitate de temperatură. – Densitatea surselor termice poate depinde de temperatură. În cazul unui

schimb de căldură cu mediul înconjurător, schimb care se supune legii lui Newton, cantitatea de căldură pierdută de bară raportată la unitatea de lungime şi timp este (0F h u )= ⋅ − θ , unde ( ),x tθ este temperatura mediului ambiant, iar h este coeficientul de transfer. Astfel, densitatea surselor termice în punctul x şi la momentul t este ( ) (1 ,F F x t h u )= − ⋅ − θ , unde

(1 , )F x t este densitatea celorlalte surse de căldură. Dacă bara este omogenă, ecuaţia căldurii cu schimb de căldură lateral este de forma

( )2 ,t xxu a u u f x t= − α + ,

unde kc

α =ρ

, iar ( ) ( ) ( )1 ,, , F x tf x t x tc

= αθ +ρ

este o funcţie cunoscută.

– Coeficienţii k şi c sunt, de regulă, funcţii de temperatură cu variaţie lentă. De aceea, ipoteza făcută mai sus asupra constanţei acestor coeficienţi este posibilă numai cu condiţia considerării unor intervale mici de variaţie a temperaturii. Studiul fenomenelor termice într-un interval mare de variaţie a temperaturilor conduce la ecuaţia cvasiliniară a căldurii care se scrie, pentru un mediu neomogen, astfel:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,u uk u x F x t c u x u xx x t∂ ∂⎡ ⎤ + = ρ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∂∂

.

b. Ecuaţia difuziei

Dacă mediul este neuniform umplut cu un gaz, atunci are loc o difuzie a acestuia din regiunile cu concentraţie mai mare înspre regiunile cu concentraţie mai mică. Acelaşi fenomen are loc şi într-o soluţie dacă concentraţia substanţei dizolvate nu este constantă în volum. Notând cu D coeficientul de difuzie, cu ( )c x coeficientul de porozitate şi folosind legea lui Nernst, conform căreia masa de gaz care trece prin secţiunea

x în intervalul de timp este ( ), dt t t+ ( )d ,uQ D x t Sx

dt∂= − ⋅ ⋅ ⋅

∂, unde S

este secţiunea tubului, scriind ecuaţia bilanţului de masă de gaz pe porţiunea ( 1 2, )x x în intervalul de timp deducem ecuaţia ( 1 2,t t )


u uD cx x t∂ ∂⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂∂

,

numită ecuaţia difuziei . În obţinerea acestei ecuaţii s-a considerat că nu există difuzie prin pereţii tubului.

c. Propagarea căldurii în ,n n ∗∈

Considerăm . Fie 3n = 3Ω ⊂ , un conductor termic şi fie temperatura în punctul x al domeniului

( ),u u x t=Ω la momentul t, ( )1 2 3, ,x x x x= .

Vom nota cu ( ) ( ),x c xρ şi ( )k x densitatea, căldura specifică şi coeficientul de conducţie termică. Vom nota cu ( ),F x t intensitatea surselor de căldură în punctul ( ),x t .

Dacă reprezintă fluxul de căldură în punctul (( ,q x t ) ),x t atunci prin suprafaţa în intervalul de timp va trece cantitatea de căldură dσ dt

( )d d d , xuq k t k u∂

= − σ = − ∇ ν σ∂ν

d dt

(legea lui Fourier), unde xν este normala la elementul de suprafaţă . dσ Prin urmare, prin suprafaţa S care mărgineşte un volum V trece în intervalul de timp ( ), dt t t+ cantitatea de căldură

( ) ( ) ( ) ( )2 , d d div , d dS V

Q k x u t k x u x t⎡ ⎤= − ∇ ν σ = − ∇⎣ ⎦∫ ∫ x t

t

(conform formulei flux-divergenţă, Gauss – Ostrogradski). Cantitatea de căldură datorată surselor exterioare de căldură de densitate F este . (238) ( )1 , d d

V

Q F x t x= ∫În fine, cantitatea de căldură necesară pentru ca temperatura volumului V să varieze de la ( ),u x t la ( ), du x t t+ este

( ) ( ) ( )3 , d dV

uQ c x x x t xt

t∂= ρ

∂∫ . (239)

Făcând bilanţul energetic, rezultă 3 1Q Q Q2= −

adică

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } [ ], div , , d 0, 0,V

uc x x x t k x u x t F x t x t Tt

∂⎡ ⎤ρ − ∇ − = ∀ ∈⎣ ⎦∂∫

şi, deoarece V este arbitrar, rezultă de aici ecuaţia punctuală


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, div , ,

, cu 0, , 0 fixatT T

uc x x x t k x u x t F x tt

x t Q Q T T

∂⎧ ⎡ ⎤ρ − ∇ =⎪ ⎣ ⎦∂⎨⎪ ∀ ∈ = Ω × >⎩

,

k

. (240)

Dacă mediul este omogen, adică , ,c ρ sunt constante, atunci ecuaţia (240) devine

2 în Tu u f Qt

∂− ω Δ =

∂, (241)

unde , 2 /k cω = /f F c= . Alegerea 3n = , în deducerea ecuaţiilor (240), (241) nu este restrictivă, raţionamentul făcut pentru rămânând adevărat pentru . 3n = 3,n n> ∈

Analog cu raţionamentul făcut mai sus se poate deduce ecuaţia difuziei în . Considerăm, din nou, cazul ,n n ≥ 2 3n = . Fie 3Ω ⊂ conţinând un

anumit gaz. În domeniul Ω va avea loc atunci un proces de difuzie din zonele de concentraţie mai mare spre zonele cu concentraţie mai mică, proces descris de legea lui Nernst

d duQ D dt∂= − σ

∂ν ,

unde este masa de gaz care trece prin elementul de suprafaţă dQ dσ în intervalul de timp , u este concentraţia gazului, iar D este coeficientul de difuzie.

dt

Deci variaţia masei de substanţă conţinută într-un volum elementar V de frontieră S va fi în intervalul de timp ( ),t t + ε

( )div d dt

t V

Q D u x s+ε

δ = − ⋅ ∇∫ ∫ . (242)

Pe de altă parte, în acelaşi interval de timp, în volumul V are loc o variaţie de masă datorată variaţiei de concentraţie u care este egală cu

( ) ( )c x , d d ,t

t V

u x s x st

+ε∂∂∫ ∫

unde c este coeficientul de porozitate. Rezultă de aici

( ) ( ) ( ) ( )( )c x , d d div , d dt t

t V t V

u x s x s D x u x s xt

+ε +ε∂

= ∇∂∫ ∫ ∫ ∫ s

şi, deoarece V este arbitrar în Ω , rezultă prin trecere la limită ecuaţia punctuală în Ω

( ) ( ) ( ) ( )( ), div , 0, în Tuc x x t D x u x t Qt

∂− ∇ =

∂.


Dacă avem o masă de material fisionabil care ocupă un domeniu şi în această masă a fost introdusă o sursă de neutroni, aceasta poate conduce, în anumite condiţii, la o reacţie în lanţ. Dacă considerăm că mişcarea neutronilor în

este analogă procesului de difuzie (de fapt, în realitate, intervin şi fenomene de transport care complică modelul), atunci, notând cu N densitatea de neutroni, avem, prin analogie cu ecuaţia difuziei,

3Ω ⊂

Ω

( ) în 0,N D N Tt

∂= ⋅ Δ Ω ×

∂ ,

unde D este un coeficient numit difuzivitate neutronică. Dacă luăm în considerare şi faptul că în proces apare şi o sursă de neutroni proporţională cu densitatea de neutroni, ecuaţia de mai sus trebuie înlocuită prin ecuaţia

N D Nt

∂ N= ⋅ Δ + α∂

. (243)

Controlul unui reactor nuclear revine atunci la determinarea condiţiilor în care soluţia N a problemei nu descreşte la 0 pentru . t → ∞ Observaţia 8.1.1 – Printr-o schimbare simplă de variabilă ecuaţia (241) se reduce la o ecuaţie de forma

în Tu u f Qt

∂− Δ =

∂. (244)

Într-adevăr, dacă este soluţie pentru ecuaţia (241), atunci

este soluţie pentru ecuaţia (244) în care membrul drept este înlocuit cu

( ,u ⋅ ⋅ ))( ) ( 2, ,u x t u x t−= ω

2 f−ω . – Ecuaţii parabolice liniare de forma (244) sau mai general ecuaţii de

forma

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, 1 1

1

2

, 1

, , ,

cu ; , şi există 0 astfel încât ,

, , , ,

n n

ij i Ti j ii j i

ij T i T

nn

ij i j Ti j

u u ua x t b x t c x t f Qt x x x

a Q c b Q

a x t x x t Q

= =

=

⎧ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + +⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎝ ⎠⎪⎪

∈ ∈ ω >⎨⎪⎪ ζ ζ ≥ ω ∀ ∈ ∀ ζ ∈⎪⎪⎩

∑ ∑

∑

C C

în=

(245)

intervin în studiul proceselor stohastice (procese Markov, procese Wiener) în programare dinamică stohastică şi în teoria jocurilor diferenţiale.


8.2 Probleme la limită şi cu condiţii iniţiale asociate ecuaţiei căldurii

a. Probleme la limită şi cu condiţii iniţiale în cazul unui conductor liniar

În această secţiune ne ocupăm de problema propagării liniare a căldurii, deci de ecuaţia căldurii în o singură variabilă spaţială, deci de ecuaţia (237) respectiv (237'). Pentru a obţine o soluţie unică a ecuaţiei căldurii (237), respectiv (237') trebuie să adăugăm, ecuaţiei, condiţii iniţiale şi condiţii la limită. Spre deosebire de ecuaţia undelor (de tip hiperbolic), aici condiţia iniţială constă numai în fixarea valorilor funcţiei ( ),u x t în momentul . 0t t= Condiţiile la limite pot fi diferite, în funcţie de regimul de temperatură de la frontieră. Se consideră trei tipuri fundamentale de condiţii la limită: 1. la capetele barei este dată temperatura

( ) ( ) ( ) ( )1 20, , ,u t f t u l t f t= = , cu , funcţii date într-un interval ( )1f ⋅ ( )2f ⋅ [ ]0 ,t T , ( ]0 ,t T fiind intervalul de timp în decursul căruia se studiază fenomenul; 2. la capetele barei se cunoaşte valoarea derivatei

( )10x

u g tx =

∂=

∂, ( )2 0,

x l

u g t t tx =

∂= ≥

∂.

Ajungem la aceste condiţii dacă se dă fluxul de căldură care trece prin secţiunile de la extremităţile barei. (Aceasta corespunde situaţiei când se cunoaşte cantitatea de căldură care intră sau iese pe la extremităţile barei în fiecare moment.); 3. la frontieră se dă o relaţie liniară între derivată şi funcţie

( ) ( ) ( )0, 0,u t u tx∂

⎡ ⎤= −λ − θ⎣ ⎦∂t , ( ) ( ) ( ), ,u l t u l t t

x∂

⎡ ⎤= −μ − θ⎣ ⎦∂.

Acest tip de condiţii la limită corespunde unui schimb de căldură, după legea lui Newton, pe suprafaţa corpului cu un mediu ambiant a cărui temperatură ( )θ ⋅ este cunoscută. În afară de problemele indicate aici, se întâlnesc adesea cazurile lor limită (extreme). Să considerăm fenomenul conductibilităţii termice într-o bară foarte lungă. În decursul unui interval mic de timp, influenţa regimului de temperatură, dat pe frontieră, se manifestă foarte slab în regiunea centrală a barei şi temperatura în această regiune este determinată, în special, numai de distribuţia iniţială a temperaturii. În acest caz, luarea exactă în considerare a lungimii barei nu are nici o importanţa deoarece variaţia lungimii barei nu va influenţa esenţial temperatura din porţiunea care ne interesează. În problemele de acest tip se consideră de obicei că bara are o lungime infinită. Astfel, se pune problema cu condiţii iniţiale (problema lui Cauchy) relativă la distribuţia temperaturii într-un conductor liniar infinit.


Problema Cauchy pentru ecuaţia căldurii într-o bară de lungime infinită constă în: Să se găsească soluţia ecuaţiei căldurii (237), respectiv (237'), în domeniul

x−∞ < < ∞ , care satisface condiţia Cauchy 0t t≥ ( ) ( )0,u x t x= ϕ , x−∞ < < ∞ , pentru o funcţie dată. ( )ϕ ⋅

În mod analog, dacă porţiunea de bară a cărei temperatură ne interesează se găseşte în apropiere de una din extremităţi şi este departe de cealaltă extremitate, temperatura este practic determinată în acest caz de regimul de temperatură al extremităţii apropiate şi de condiţiile iniţiale. În problemele de acest tip se consideră de obicei că bara este semiinfinită, iar coordonata măsurată de la extremitate x variază în [ )0, ∞ . Formularea problemei la limită pentru o bară semiinfinită revine la: Să se găsească soluţia ecuaţiei căldurii (237), respectiv (237') în domeniul 0 x< < ∞ , , care satisface condiţiile 0t t≥

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

, ,

0, ,

u x t x x

u t t t t

⎧ = ϕ ∈⎪⎨

= μ ≥⎪⎩

0, ∞

cu şi funcţii date. ( )ϕ ⋅ ( )μ ⋅ Problemele expuse mai sus reprezintă un caz limită (degenerat) al problemelor la limită principale. Sunt posibile cazuri extreme ale problemelor fundamentale, de alt tip, când se neglijează considerarea riguroasă a condiţiilor iniţiale. Influenţa condiţiilor iniţiale în propagarea temperaturii într-o bară scade cu timpul. Dacă momentul care ne interesează este destul de îndepărtat de momentul iniţial, temperatura barei este practic determinată de condiţiile la limită, deoarece variaţia condiţiilor iniţiale nu ar schimba starea termică a barei în limitele de precizie ale observaţiei. În acest caz se poate considera practic că experienţa a durat infinit de mult timp şi condiţiile iniţiale nu au influenţă prin aceasta. Astfel, ajungem la probleme la limită fără condiţii iniţiale când se caută soluţia ecuaţiei căldurii pentru 0 x l≤ ≤ şi t−∞ < care satisface condiţiile la limită ( ) ( )10,u t t= μ , ( ) ( )2,u l t t= μ . În funcţie de caracterul regimului de frontieră sunt posibile şi alte tipuri de probleme fără condiţii iniţiale. Foarte importantă este problema fără condiţii iniţiale pentru o bară semiinfinită când se cere soluţia ecuaţiei căldurii pentru ( l = ∞) 0 x< < ∞ ,

satisfacând condiţia la limită t−∞ < ( ) ( )0,u t t= μ , cu ( )μ ⋅ o funcţie dată. Cel mai frecvent se întâlnesc probleme fără condiţii iniţiale cu un regim de frontieră periodic, adică ( ) cost Aμ = ωt . Este natural să presupunem că după trecerea unui interval de timp mare temperatura barei variază după o lege periodică cu aceeaşi frecvenţă. Dacă însă vrem să ţinem seama în mod riguros de condiţiile iniţiale nu obţinem niciodată


în mod formal o soluţie periodică, deoarece influenţa condiţiilor iniţiale, deşi va slăbi în timp, nu se va anula; nu are nici un sens, din cauza erorilor de observaţie, să ţinem seama de această influenţă. Considerând soluţia periodică, neglijăm influenţa datelor iniţiale. Problemele la limită formulate mai sus se referă nu numai la ecuaţiile cu coeficienţi constanţi ci la toate tipurile de ecuaţii prezentate în §8, secţiunea 8.1, punctele a, b. În afara problemelor la limită liniare considerate mai sus, se pun de asemenea probleme cu condiţii la limită neliniare, de exemplu, de forma

( ) ( ) ( )4 40, 0,uk t u tx∂ t⎡ ⎤= σ − θ⎣ ⎦∂

.

Această condiţie la limită corespunde radiaţiei după legea lui Stefan - Boltzman la extremitatea 0x = într-un mediu cu temperatura ( )tθ . Dacă bara este mărginită, fie într-un sens fie în ambele sensuri, capetele pot fi menţinute la o temperatură constantă, se pot da temperaturi variabile cu timpul în capetele barei, se poate produce un schimb de căldură între capete şi mediul înconjurător. Oricare din aceste situaţii se va traduce prin condiţii la limită şi avem de rezolvat o problemă analoagă celei pentru coarda vibrantă. Metoda separării variabilelor , prezentată în §4, se aplică fără noi dificultăţi.

Un gen nou de problemă se obţine dacă se consideră bara nelimitată şi fără condiţii la limită. Ne vom ocupa, în cele ce urmează, de acest caz.

Se numeşte prima problemă mixtă ataşată ecuaţiei căldurii unidimensionale problema

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

2

1 2

0

0 1 0 2

, , 0, , 0,

c.l. 0, , , , 0, .c.i. , 0 , 0,

0, 0 0 0 , , 0 0

u ua f x t x l t Tt x

u t f t u l t f t t Tu x u x x lu u f u l u l f

⎧ ∂ ∂− = ∈ ∈⎪ ∂ ∂⎪⎪ = = ∈⎨

⎪ = ∈⎪⎪ = = = =⎩

(246)

DEFINIŢIA 8.2.1. Prin soluţie clasică pentru problema mixtă (246) se înţelege o funcţie definită şi continuă pe ( ,u ⋅ ⋅ ) [ ] [ ]0, 0,T l× , cu proprietatea că în fiecare punct din interiorul dreptunghiului [ ] [ ]0, 0,T l× admite derivate de ordinul întâi în raport cu variabila t şi de ordinul doi în raport cu variabila x continue verificând ecuaţia din (246). În plus satisface condiţiile la limită c.l. şi condiţia iniţială (Cauchy) c.i. din problema (246).

( ,u ⋅ ⋅ )

)( ,u ⋅ ⋅

„Datele” primei probleme mixte sunt funcţiile ( ),f ⋅ ⋅ , , ( )0u ⋅ ( )1f ⋅ , . Relativ la problema mixtă (246) ne interesează un rezultat de existenţă,

de unicitate şi de dependenţă continuă de datele problemei a soluţiei, adică ne interesează să demonstrăm că problema (246) este corect pusă.

( )2f ⋅


Prin a doua problemă mixtă ataşată ecuaţiei căldurii unidimensionale se înţelege problema

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [

( ) ( ) ( )

22

2

1 2

0

, , 0, , 0,

c.l. 0, , , , 0, .

c.i. , 0 , 0,

u ua f x t x l t Tt xu ut g t l t g t t Tx x

u x u x x l

⎧ ∂ ∂− = ∈ ∈⎪ ∂ ∂⎪⎪

∂ ∂⎨ = =⎪ ∂ ∂⎪= ∈⎪⎩

]∈ (247)

Prin a treia problemă mixtă ataşată ecuaţiei căldurii unidimensionale se înţelege problema

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

22

2

0

, , 0, , 0,

0, 0,c.l. , 0, .

, ,

c.i. , 0 , 0,

u ua f x t x l tt x

u t u t tx t Tu l t u l t tx

u x u x x l

⎧ ∂ ∂− = ∈ ∈⎪ ∂ ∂⎪

⎪ ∂⎧ ⎡ ⎤= −λ − θ⎪ ⎣ ⎦⎪⎪⎨ ∂ ∈⎨⎪ ∂⎪ ⎡ ⎤= −μ − θ⎪ ⎣ ⎦⎪ ∂⎩⎪⎪ = ∈⎩

T

(248)

Problemele mixte (246), (247), (248) corespund propagării căldurii într-un domeniu mărginit.

Ne vom ocupa, în secţiunea următoare, de prima problemă mixtă, (246), pentru ecuaţia căldurii; cea de a doua problemă mixtă, (247), se tratează analog spre deosebire de a treia problemă mixtă, (248), care este mult mai complicată.

Problema Cauchy pentru ecuaţia căldurii în cazul unui conductor infinit

( )

( ) ( )

22

2 , , , 0,

, 0 ,

u ua f x t x tt x

u x x x

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂⎨ ∂⎪ = ϕ ∈⎩

(249)

corespunde propagării căldurii într-un domeniu nemărginit. Problema (249) va fi studiată într-o secţiune următoare, în detaliu.

b. Probleme la limită şi cu condiţii iniţiale ataşate ecuaţiei căldurii în n

În acest subpunct vom da formularea problemelor la limită şi cu condiţii Cauchy pentru ecuaţia căldurii în , ecuaţia (242). n

Fie o mulţime deschisă de frontieră nΩ ⊂ ∂Ω şi ( )0, T un interval (finit sau nu) al axei pozitive. Notăm ( )0,TQ T= Ω × şi ( )0,T TΣ = ∂Ω × frontiera laterală a cilindrului (figura 1.8.1). TQ


Fig. 1.8.1

DEFINIŢIA 8.2.2. Se numeşte problemă mixtă pentru ecuaţia căldurii (242) problema

( ) ( )0

, 0 ,0

T

T

u u f în Qt

u x u x peu p

∂⎧ − Δ =⎪ ∂⎪⎨

e = Ω⎪

⎪ = Σ⎩

(250)

unde 2

21

n

ii x=

∂Δ =

∂∑ este operatorul lui Laplace în variabilele spaţiale

( 1, ..., n )x x x= , t este variabila timp, iar , sunt funcţii date.

: Tf Q → 0 :u Ω →

DEFINIŢIA 8.2.3. Prin soluţie clasică a problemei (250) se înţelege o funcţie ( ), : Tu u x t Q= → care aparţine spaţiului

( ) ( ) ( ) ( ]( )2

2,1 , , , 0T T Ti i j

u u uQ u u Q Q Tx x x t

⎧ ⎫∂ ∂ ∂⎪ ⎪= ∈ ∈ ∈ Ω ×⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭C C C C ,

şi verifică ecuaţia pe din problema (244), condiţia Cauchy şi condiţia la limită din problema (250).

TQ

8.3 Principiul de maxim pentru ecuaţia căldurii. Unicitatea soluţiei primei probleme mixte şi a problemei Cauchy ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale

În această secţiune vom demonstra un principiu de maxim pentru ecuaţia căldurii unidimensionale. Acest principiu se poate formula, în mod corespunzător, pentru ecuaţia căldurii în , rămânând adevărat. n


TEOREMA 8.3.1 ( principiul de maxim ). Orice soluţie pentru ecuaţia omogenă a căldurii în ( )0,x l∈ , 0 t T< ≤ , continuă în dreptunghiul [ ] [ ]0, 0,l × T îşi atinge valorile maxime şi minime pe latura inferioară

, : 0il t = [ ]0,x l∈ sau pe laturile laterale [ ]: 0, 0,sl x t T= ∈ şi , :dl x l= [ ]0,∈

)t T .

Demonstraţie: Fie o funcţie continuă pe ( ,u ⋅ ⋅ [ ] [ ]0, 0,l × T , soluţie pentru ecuaţia omogenă a căldurii în ( ) (0, 0,l × )T . Fie

( ) ( ) ( )( )

, 0, 0,max ,

x t l TM u x t

∈ ×= . Fie

( )( )

,max ,

i s dx t l l lm

∈u x t=

∪ ∪. Existenţa lui M

şi m este asigurată de continuitatea funcţiei ( ),u ⋅ ⋅ pe [ ] [ ]0, 0,l × T . În plus M se şi atinge în punctul ( ) [ ] [ ]0 0, 0, 0,x t l T∈ × , deci ( )0 0,M u x t= . Prin absurd presupunem că m M< . Fie funcţia auxiliară

( ) ( ) ( )202, ,2

M mv x t u x t x xl−

= + − . (251)

Se verifică imediat că

( ) ( )202,22i s dl l l

M m M mv x t m l x m Ml− −

< + − < + <∪ ∪ . (252)

Funcţia definită prin (251) este o funcţie continuă pe [ ] [ ]0, 0,l T× , deci există ( ) [ ] [ ]1 1, 0, 0,x t l∈ × T astfel încât

( )( ) [ ] [ ]

( )1 1, 0, 0,

, maxx t l T

v x t v x t∈ ×

,= . (253)

Deoarece ( ) ( )0 0 0 0, ,M u x t v x t= = , conform (252) şi (253) rezultă

( )

( )1 1

1 1

,

, i s

M v x t

dx t l l

≤⎧⎪⎨

∉⎪⎩ ∪ ∪ l

)

. (254)

Conform (253) punctul ( 1 1,x t este un punct de maxim pentru funcţia de două variabile ( ),v ⋅ ⋅ . Rezultă, în mod necesar verificarea condiţiilor

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1

22 2 2

1 1 1 1 1 12 2

2

1 12

, 0, , 0

, , 0, dacă , 0, 0,

, 0

v vx t x tt x

v v v ,x t x t x t lx t x tv x t

x

∂ ∂⎧ = =⎪ ∂ ∂⎪⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ∂ ∂ ∂

− ⋅ < ∈ ×⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ∂ ∂⎣ ⎦⎪⎪ ∂⎪ ≤⎪ ∂⎩

T (255)


şi respectiv

( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1 1 1 1 1 12, 0, , 0, , 0, dacă şi 0, .v v vx t x t x t t T xt x

lx

∂ ∂ ∂≥ = ≤ = ∈

∂ ∂ ∂(256)

În ambele situaţii (255) sau (256) rezultă că

( )1 1

2

2,

0x t

v vt x

∂ ∂− ≥

∂ ∂ . (257)

Dar, conform ecuaţiei căldurii, pe care ( ),u ⋅ ⋅ o satisface în , şi conform definiţiei funcţiei ( ) (0, 0,l × )T ( ),v ⋅ ⋅ , (251), rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2, 0, 0, , 0, 0,

2 0.

x t l T x t l T

v v u u M mt tx x l

M ml

∈ × ∈ ×

∂ ∂ ∂ ∂ −− = − −

∂ ∂∂ ∂

−= − <

=

(258)

Prin continuitate (258) are loc în [ ] [ ]0, 0, \ i sl T l l dl× ∪ ∪ , deci şi în ( 1 1, )x t , prin urmare

( )1 1

2

2 2,

0x t

v v M mt x l

∂ ∂ −− = −

∂ ∂< . (259)

Dar (257) şi (259) sunt contradictorii, prin urmare ipoteza de absurd este falsă. Rezultă m M< M m≤ şi principiul de maxim este demonstrat.

( M m< nu este posibil, deci M m= .) Alegând în raţionamentul de mai sus u− în loc de u se deduce

principiul de minim. Unind principiul de maxim cu cel de minim rezultă

( )( )

( ),

, maxi s dx t l l l

u x t u x t∈

≤∪ ∪

, . (260)

TEOREMA 8.3.2 (unicitatea soluţiei primei probleme mixte ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale). Soluţia primei probleme mixte asociate ecuaţiei căldurii unidimensionale (246) este unică.

Demonstraţie: Se consideră problema (246). Nu punem problema existenţei soluţiei pentru (246), ci problema unicităţii.

Prin absurd presupunem că (246) admite două soluţii , ( )1 ,u ⋅ ⋅ ( )2 ,u ⋅ ⋅ distincte. Atunci funcţia

( ) ( ) ( )1 2, : , ,u x t u x t u x t= − (261)


este soluţie pentru problema

( ) ( ) ( )

( )( )

[ )

( ) ( )

2

2 0, , 0, 0,

0, 0c.l. , 0, .

, 0

c.i. , 0 0 , 0,

u u x t lt xu t

t Tu l t

u x x l

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪ ∂ ∂⎪

⎪ ⎧ =⎨ ∈⎨⎪ =⎩⎪⎪ = ∈⎩

T

(262)

Aplicăm principiul de maxim, pentru problema (262), şi conform (260) deducem ( )

( )( )

,, max ,

i s dx t l l lu x t u x t

∈0≤ =

∪ ∪,

adică , deci ( ),u x t ≡ 0 ( ) ( )1 2, ,u x t u x t≡ în ( ) ( )0, 0,l T× , contradicţie. Ipoteza de absurd este falsă, deci problema (246) dacă admite soluţie, aceasta este unică.

TEOREMA 8.3.3 (unicitatea soluţiei problemei Cauchy ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale). Soluţia problemei Cauchy asociate ecuaţiei căldurii unidimensionale, (249), este unică.

Demonstraţie: Se consideră problema Cauchy (249). Precizăm că prin soluţie a problemei (249) se înţelege o funcţie ( ),u ⋅ ⋅ continuă şi mărginită în semiplanul ( )0, ,t x≥ ∈ −∞ ∞ care satisface ecuaţia din problema (249) şi condiţia Cauchy din (249) pentru ( )ϕ ⋅ o funcţie continuă şi mărginită. Aceasta revine la

( ) ( ), , , ,u x t M x M x t< ϕ < ∈ > 0 . (263)

Pentru a demonstra unicitatea soluţiei problemei (249) considerăm L ∈ , fixat, dar arbitrar, şi funcţia

( ) ( )22

2, : 2Mv x t x tL

= + . (264)

Funcţia (264) satisface problema Cauchy

( ) ( )

( )

2

2

22

0 , , 0,.

2, 0 ,

v v x tt x

Mv x x xL

⎧ ∂ ∂− = ∈ × ∞⎪⎪ ∂ ∂⎨

⎪ = ∈⎪⎩

(265)

Să observăm că

( ) ( )22

2, 2Mv L t L t M2L

± = + ≥ . (266)


Presupunem prin absurd că problema (249) admite două soluţii mărginite, distincte şi . Atunci funcţia (1 ,u ⋅ ⋅ ) )(2 ,u ⋅ ⋅ ( ) ( ) (1 2, : , ,u x t u x t u x t )= − satisface problema Cuachy

( ) (

( )

2

2 0 în , 0,

, 0 0

u u x tt x

u x

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪

∂⎨ ∂⎪ =⎩

)∞, (267)

şi ( ), 2u x t M≤ în ( ) [ ), 0x t ∈ × ∞, . Cu aceasta, rezultă că funcţia ( ) ( ) ( ), ,w x t v x t u x t,= − satisface

ecuaţia căldurii omogene 2

2 0w wt x

∂ ∂− =

∂ ∂ în interiorul dreptunghiului

[ ] [ ], 0,L L T− × , cu arbitrar şi în plus pe 0T > ( ),w x t ≥ 0[ ]: , , 0 [ ]: , 0,s L t Tl x − = şi [ ]: , 0,dl x L t T= ∈ . il x L L t∈ − = , =

Într-adevăr ( ) ( ) ( ) 22

2, 0 , 0 , 0 0ilMw w x v x u x LL

= = − = ≥ ; s dl lw =∪

. Conform Teoremei 8.3.1 (principiul de maxim şi de minim) rezultă

( ) ( ), , 2v L t u L t M M M= ± − ± ≥ − = ≥ 0( ),w x t ≥ 0 pe dreptunghiul

[ ] [ ], 0,L L T− × . Cu aceasta deducem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [22

2, , 2 , , , 0Mu x t v x t x t x t L L T ],L

≤ = + ∀ ∈ − × . (267')

Analog ( ) ( ),u x t u x t= − , satisface problema (267) şi ( ), 2u x t M≤ în . Urmând raţionamentul anterior deducem ( ) [ ),x t ∈ × ∞0,

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [22

2, 2 , , ,Mu x t x t x t L L T ]0,L

− ≤ + ∀ ∈ − × . (268)

Din (267') şi (268) rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [22

2, 2 , , ,Mu x t x t x t L L T ]0,L

≤ + ∀ ∈ − × . (269)

Din (269) pentru , fixat dar arbitrar, prin trecere la limită după 0t >L → ∞ rezultă

( ) ( ), 0, 0,u x t t x= ∀ > ∈ , adică ( ) ( ) ( ) ( ) [ )1 2, , , ,u x t u x t x t= ∀ ∈ × 0, ∞ . (270)


Cu (270) s-a ajuns la contradicţie, deci ipoteza de absurd că problema Cauchy (249) ar admite două soluţii distincte este falsă. Prin urmare, dacă problema Cauchy (249) admite soluţie, aceasta este unică.

8.4 Metoda separării variabilelor în cazul primei probleme mixte ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale. Funcţia lui Green

Existenţa soluţiei primei probleme mixte, asociate ecuaţiei căldurii unidimensionale, (246), va fi demonstrată, în această secţiune, prin construirea efectivă a acesteia. Construcţia efectivă a soluţiei va fi realizată cu ajutorul metodei separării variabilelor expusă în §4. Trebuie remarcat că metoda separării variabilelor nu este singura metodă posibilă de găsire a soluţiei problemei (246); dar conform Teoremei 8.3.2 (de unicitate), §8, rezultă că nu are importanţă modul în care se obţine soluţia problemei (246); orice mod de construcţie al acesteia în mod necesar va conduce la aceeaşi soluţie. Se consideră prima problemă mixtă pentru ecuaţia căldurii unidimensională

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

2

1

2

1 2

1 2

, , 0, , 0,

0,c.l. , 0,

,

c.i. , 0 , 0, ,cu , şi satisfac condiţiile teoremei Dirichlet pe 0, ,

, funcţii derivabile pe 0, ,

0, 0 0 0 , , 0 0

u ua F x t x l t Tt xu t f t

t Tu l t f t

u x x x lF t l

f f T

u f u l l f

⎧ ∂ ∂− = ∈ ∈

∂ ∂⎧ =

∈⎨=⎩

⎨ = ϕ ∈

⋅ ϕ ⋅

⋅ ⋅

= ϕ = = ϕ =

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

.(271)

În problema (271) se efectuează schimbarea de funcţie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , , , l x xu v v x t u x t f t fl l

,t−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − (272)

care conduce la omogenizarea condiţiilor la limită, pentru noua funcţie ( )v ⋅ , adică

( )( )

[ ]0, 0, 0,

, 0v t

t Tv l t

⎧ =∈⎨

=⎩ .

Cu un calcul elementar problema mixtă, în funcţia necunoscută ( ),u ⋅ ⋅ , (271) se transformă tot într-o problemă mixtă, pentru funcţia necunoscută

, ( ),v ⋅ ⋅


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( )( )

[ ]

( ) ( )

)

( ) ( ) ( )

22

1 22

1 2

, , ,

0, 0c.l. , 0,

, 0

c.i. , 0 0 0 , 0,

v v l x xa F x t f t f t x t l Tt l lxv t

t Tv l t

l x xv x x f f x ll l

⎧ ∂ ∂ −− = − − ∈ ×⎪ ∂ ∂⎪

⎪ ⎧ =⎪∈⎨ ⎨

=⎪ ⎩⎪ −⎪ = ϕ − − ∈⎪⎩

0, 0,

.(273)

Problema (273) este tot prima problemă mixtă pentru ecuaţia căldurii unidimensională, în funcţia necunoscută ( ),v ⋅ ⋅ , adică tot o problemă de tip (271), dar cu date la limită omogene. Soluţia problemei (273) o căutăm de forma ( ) ( ) ( )0, , pv x t v x t v x t,= + , (274) cu ( )0 ,v ⋅ ⋅ soluţie pentru problema

( ) ( ) ( )

( )( )

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

2

1 2

0, , 0, 0,

0, 0c.l. , 0, ,

, 0

c.i. , 0 0 0 , 0,

v va x t l Tt xv t

t Tv l t

l x xv x x f f x lx l

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪ ∂ ∂⎪

⎪ ⎧ =⎪∈⎨ ⎨

=⎪ ⎩⎪ −⎪ = ϕ − − ∈⎪⎩

(275)

iar soluţie pentru problema ( ,pv x t )

( ) ( ) ( )

( )( )

[ ]

( ) ( )

22

1 22 ,

0, 0c.l. , 0, .

, 0

c.i. , 0 0 , 0,

v v l x xa F x t f t ft lxv t

t Tv l t

v x x l

⎧ ∂ ∂ −− = − −⎪ ∂ ∂⎪

⎪ ⎧ =⎨ ∈⎨⎪ =⎩⎪⎪ = ∈⎩

tl

(276)

Vom rezolva problema (275) utilizând metoda separării variabilelor. Căutăm deci pe ( )0 ,v ⋅ ⋅ de forma

( ) ( ) ( ),v x t X x T t= ⋅ ≡ 0 . (277)

Introducând (277) în ecuaţia din (275) rezultă ( )( )

( )( )

2T t X xaT t X x

′′= ,

ceea ce este posibil dacă şi numai dacă există λ ∈ astfel încât

( )( )

( )( )

2T t X xaT t X x

′′= = λ . (278)


Din condiţiile la limită din problema (275) rezultă ( ) ( )0 0,X X l 0= = .

Se obţine astfel problema bilocală

( ) ( )

( ) ( )

2 0,

0 0, 0

X x X xa

X X l

λ⎧ ′′ − =⎪⎨⎪ = =⎩

(279)


( ) ( ) 0T t T t− λ = . (280) În (279) şi (280) parametrul λ este arbitrar în . Se face în continuare

o discuţie după valorile parametrului λ .

I. 0λ >Soluţia generală pentru ecuaţia din problema (279) este

( ) 1 2e ex x

a aX x c cλ λ

−= + . (281)

Impunând lui (281) condiţiile bilocale din problema (279), deducem sistemul

1 2

1 2

0,

e el l

a a

c c

c cλ λ

−0

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

de unde rezultă 1 2 0c c= = , deci ( ) 0X x ≡ , ceea ce conduce la concluzia că nu este posibil. 0λ >

II. 0λ =În acest caz soluţia generală a ecuaţiei din problema (279) este

( ) 1 2X x c x c= + , iar din condiţiile bilocale ( ) ( )0 0X X l= = , rezultă , adică nici cazul nu este posibil.

1 2 0c c= =0λ =

III. 2 0λ = −α <Soluţia generală a ecuaţiei din problema (279) este

( ) 1 2cos sinX x c x c xa aα α

= + .

Condiţiile bilocale ( ) ( )0X X l= 0= conduc la sistemul 1

2

0.

sin 0

c

c la

=⎧⎪⎨ α

=⎪⎩


Din sin 0laα

= rezultă

( ) 2

,

sin ,k k

k a kl

kX x c x kl

∗

∗

π⎧α = ∈⎪⎪⎨ π⎪ = ∈⎪⎩

. (282)

Pentru ,k a kl

∗πα = ∈ ecuaţia diferenţială (280) pentru devine ( )T ⋅

( ) ( )2 2 2

2 0,k aT t T tlπ

+ =

de unde rezultă

( )( )

2 2 2

2e ,k a T t

lk kT t c k

π−

.∗= ∈ (283)

Din (282) şi (283) se obţine familia numărabilă de soluţii particulare pentru problema (275), ( ){ },k kv ∗∈⋅ ⋅ cu

( ) ( ) ( )

2 2 2

2, sin ek a t

lk k k k

kv x t X x T t B x kl

π−

∗π= = , ∈ . (284)

Fiecare funcţie din familia (284) satisface ecuaţia şi condiţiile la limită din problema (275). Cu familia de funcţii (284) definim, în mod formal,

( )2 2 2

20

1

, sin ek a t

lk

k

kv x t B xl

π∞ −

=

π= ∑ . (285)

Dacă seria de funcţii din (285) converge uniform şi admite şi derivate de ordinul doi în variabila x şi de ordinul întâi în variabila t, atunci ( )0 ,v ⋅ ⋅ , definit de (285), satisface ecuaţia şi condiţiile la limită din problema (275).

Impunem funcţiei ( )0 ,v ⋅ ⋅ , definit de (285), să satisfacă şi condiţia Cauchy din problema (275). Rezultă

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11

1 1 2

sin , 0,.

0 0

kk

kx B x x ll

l x xx x f fl l

∞

=

⎧ πϕ = ∈⎪

⎪⎨

−⎪ϕ = ϕ − −⎪⎩

∑ (286)

Prima egalitate în (286) ar reveni la o dezvoltare în serie Fourier de sinusuri a funcţiei . Pentru a calcula coeficienţii ( )1ϕ ⋅ ,kB k ∗∈ ca


fiind coeficienţi Fourier vom arăta, în prealabil, că prima relaţie (286) este restricţia unei dezvoltări în serie Fourier de sinusuri pe . În acest sens prelungim prin imparitate funcţia

( )0, l( )1ϕ ⋅ la [ ]1 : ,l lϕ − → cu

( )1 10,lϕ = ϕ şi ( ) ( ) ( ) [ ]1 1 , ,x x x l lϕ − = −ϕ ∀ ∈ − . Prelungim funcţia

la funcţia ( )1ϕ ⋅ ( )1 :ϕ ⋅ → prin periodicizare cu perioada 2T l= , adică ( ) ( ) ( )1 12 ,x l x xϕ + = ϕ ∀ ∈ şi [ ]1 1,l l−ϕ = ϕ .

Deoarece satisface, conform ipotezei asupra datei din problema (271), condiţiile teoremei Dirichlet rezultă că

( )1ϕ ⋅ ( )ϕ ⋅( )1ϕ ⋅ , construită mai

sus, satisface condiţiile teoremei Dirichlet pe orice interval de lungime perioada şi este şi impară şi periodică deci admite dezvoltare Fourier în serie de

sinusuri. Restricţia la ( a seriei Fourier de sinusuri pentru funcţia 2T = l

)0, l ( )1ϕ ⋅ este chiar prima relaţie (286), cu

( )10

2 sin d , .l

kkB x x x k

l l∗π

= ϕ ∈∫ (287)


( ) ( )

( )

2 2 2

2

2

0 11 0

110

2, sin d e s

2 e sin sin d

k al tl

k

k al tl

k

k kv x t y y y xl l

k k

in

.

l

x y y yl l l

π∞ −

=

π⎛ ⎞∞ − ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎡ ⎤π π⎢ ⎥= ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

π π⎢ ⎥= ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫

∑∫

=

(288)

DEFINIŢIA 8.4.1. Se numeşte definiţie funcţia lui Green (sau soluţia elementară, sau soluţia fundamentală sau nucleul rezolvant sau funcţia de influenţă) pentru prima problemă mixtă ataşată ecuaţiei căldurii funcţia

( )2

1

2, , e sin sink a t

l

k

k kG t x y x yl l

π⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= lπ π

= ∑ . (289)


, (290) ( ) ( ) ( )0 10

, , ,l

v x t G t x y y= ϕ∫ d y

care exprimă în mod explicit pe ( )0 ,v ⋅ ⋅ în funcţie de data Cauchy . ( )1ϕ ⋅ Conform principiului lui Duhamel, Teorema 4.1, §4, acest capitol, deducem ( ),pv ⋅ ⋅ sub forma


( ) ( )0

, , ;t

pv x t w x t d= − τ τ τ∫ , (291)

unde ( ), ;w ⋅ ⋅ τ este soluţie pentru problema

( ) ( ) ( )

( )( )

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

22

2

1

1 1

0, , 0, 0,

0, ; 0c.l. , 0, ., ; 0

c.i. , 0, , ,

cu , ,

w wa x t lt x

w tt T

w l t

w x F xl x xF x F x f f

l l

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪ ∂ ∂⎪

⎪ ⎧ τ =∈⎪ ⎨

⎨ τ =⎩⎪

τ = τ⎪⎪ −

τ = τ − τ − τ⎪⎩ 2

T

d dτ

τ

(292)

Problema (292) este exact problema (275), dar cu o altă dată Cauchy, deci aplicând în mod corespunzător formula (290) deducem

. (293) ( ) ( ) ( )10

, ; , , , dl

w x t G t x y F y yτ = τ∫Din (291) şi (293) rezultă

. (294) ( ) ( ) ( )10 0

, , , ,t l

pv x t G t x y F y y⎛ ⎞⎜ ⎟= − τ τ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

Din (274), (290) şi (294) rezultă

(295)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

10

10 0

, , , d

, , , d d .

l

t l

v x t G t x y y y

G t x y F y y

= ϕ +

⎛ ⎞⎜ ⎟+ − τ τ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫Cu (272) şi (295) se găseşte formula de reprezentare a soluţiei primei probleme mixte ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale (271), anume

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 10

10 0

, ,

, , , d d .

l

t l

l x xu x t f t f t G t x y y yl l

G t x y F y y

−= + + ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟+ − τ τ τ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫

, d +

(296)


Observaţia 8.4.1. Caracterul formal al calculelor generat de faptul că despre seria de funcţii din (285), ce defineşte pe ( )0 ,v ⋅ ⋅ , nu se ştie apriori dacă este sau nu convergentă uniform, împreună cu derivatele seriei respective, dispare de îndată ce şirul de coeficienţi { }k kB ∗∈ este dat de (287), ca fiind coeficienţi Fourier. Din proprietăţile coeficienţilor Fourier rezultă că ( )0 ,v ⋅ ⋅ , definit de (285), există şi admite derivate de ordinul al doilea în x şi de ordinul întâi în t în ( ) (0, 0,l T )× .

Observaţia 8.4.2. Funcţia Green (289) are proprietăţile: − este simetrică în raport cu variabilele x şi y ; − este funcţie continuă pentru [ ], 0,x y l∈ şi ; 0t >− atât în raport cu x cât şi cu y verifică condiţiile la limită omogene

( ) ( ) ( ) ( ), 0, , , , , 0 , ,G t y G t l y G t x G t x l= = = 0= .

8.5 Metoda separării variabilelor în cazul problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii unidimensionale în cazul unei bare infinite. Formula lui Poisson

Existenţa soluţiei problemei Cauchy ataşate ecuaţiei căldurii în cazul unui conductor infinit unidimensional va fi demonstrată, în această secţiune, prin construirea efectivă a acesteia.

Construcţia efectivă a soluţiei va fi realizată utilizând metoda separării variabilelor expusă în §4. Pentru deducerea nucleului Poisson ca şi a formulei lui Poisson de reprezentare a soluţiei problemei Cauchy considerate este necesar un rezultat ce va fi formulat şi demonstrat, tot în această secţiune.

Trebuie remarcat faptul că metoda Fourier a separării variabilelor nu este singura metodă de determinare a soluţiei problemei Cauchy (249), ce va fi considerată; dar conform Teoremei 8.3.3 (de unicitate), §8, rezultă că nu are importanţă metoda, procedeul prin care se obţine soluţia problemei (249); orice mod de construcţie al acesteia în mod necesar ne conduce la aceeaşi formă de reprezentare a soluţiei. Vom reveni asupra acestei idei în secţiunea următoare în care printr-o metodă diferită de cea a separării variabilelor vom rezolva problema Cauchy (249) cu metoda transformărilor integrale, anume transformata Fourier.

PROPOZIŢIA 8.5.1. Pentru ,a k ∗+∈ să se arate că

2

2 ie d e d

kxx ax x⎛ ⎞∞ ∞ − +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

−∞ −∞

=∫ ∫ , (297)

2

2 22e cos d e2

kx ak x x

a

∞ −−

−∞

π⋅ =∫ . (298)


Demonstraţie: Fie R ∗+∈ fix, dar arbitrar. Se aplică teorema lui Cauchy

pentru domenii simplu conexe funcţiei ( )2

e zf z −= şi conturului ABCDA ,

frontiera dreptunghiului ( ) ( ) [ ]2, , , , , 0, kx y x y x R R ya

⎧ ⎫⎡ ⎤Δ = ∈ ∈ − ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭.

Deoarece ( )f ⋅ este olomorfă şi Δ este un domeniu simplu conex rezultă 2

e dz

ABCDA

z− 0=∫ ,

adică

[ ] [ ]

2

2 2 2ie d e d e d e d

kR R xx z za

R BC R DA

x z x⎛ ⎞− +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

− −

0z+ − +∫ ∫ ∫ ∫ = . (299)

Fig. 1.8.2

Dar

[ ]( ) ( )

22 2 22 2 2ie e e e

kR y R yz R a

BC− + − −− −= = ≤ e⋅ ,

deci

( )[ ] [ ]

2

2 2 2lim e d lim e e d 0k

z R aR R

BC BC

z− −

→∞ →∞∃ ≤ ⋅∫ s =∫ . (300)

Analog

[ ]( ) ( )

22 2 22 2 2e e e e

kR iy R yz R a

DA− − + − −− −= = ≤ e⋅ ,

deci

( )[ ] [ ]

2

2 2 2lim e d lim e e d 0k

z R aR R

DA AD

z− −

→∞ →∞∃ ≤ ⋅∫ s =∫ . (301)


Prin trecere la limită, după R → ∞ , în (299), ţinând seama de (300) şi (301) rezultă

2

2 ie d e d

kxx ax x∞ ∞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

−∞ −∞

=∫ ∫ , (302)

adică 2

2 22 2i

0

2 e d e e e dk k xx xa ax x

∞ ∞−− −

−∞

= ⋅∫ ∫ .

Dar 2

0

e d2

x x∞

− π=∫

prin urmare 2

2 22ie e d e

kk xx a ax∞ −−−

−∞

⋅ = π∫ .

Rezultă astfel 2

2 22 2e cos i sin d ek

x ak kx x xa a

∞ −−

−∞

⎛ ⎞− = π⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ⋅ ,

adică 2

2 2

0

22 e cos d e ,k

x ak x xa

∞ −− ⋅ = π ⋅∫

deci

2

2 2

0

2e cos d e2

kx ak x x

a

∞ −− π

⋅ =∫ ⋅ . (303)

Cu (302) şi (303) s-au demonstrat formulele (297) şi (298) şi astfel propoziţia este demonstrată.

Trecem la demonstrarea existenţei soluţiei problemei Cauchy (249), precum şi la deducerea formulei lui Poisson de reprezentare a soluţiei.

Se consideră problema Cauchy

( ) ( )

( ) ( )( )

2

2 21 , , 0,

, 0 , ,cu funcţie continuă, mărginită şi absolut integrabilă pe .

u u x ttx a

u x f x xf

⎧ ∂ ∂= ∈ × ∞⎪ ∂∂⎪

⎨ = ∈⎪⎪ ⋅⎩

(304)


Vom folosi metoda Fourier, a separării variabilelor. Căutăm pentru (304) soluţii de forma

( ) ( ) ( ),u x t X x T t= ≡ 0 . (305)

Înlocuind (305) în ecuaţia din problema Cauchy (304) obţinem

( ) ( ) ( ) ( )2

1 .X x T t X x T ta

′′ ′=

Împărţind cu obţinem ( ) ( )X x T t

( )( )

( )( )2


= . (306)

În (306) variabilele s-au separat şi (306) este posibilă dacă şi numai dacă există , astfel încât λ ∈

( )( )

( )( )2


= = λ ,

de unde se obţine un sistem de două ecuaţii diferenţiale

( ) ( )

( ) ( )2

0.

0

X x X x

T t a T t

′′⎧ − λ =⎪⎨

′ − λ =⎪⎩ (307)

Din ultima ecuaţie a sistemului (307) rezultă

, (308) ( )2

e a tT t c λ=

unde c este o constantă arbitrară. Precizăm că în lipsa condiţiilor la limită în problema Cauchy pentru funcţiile , ( )X ⋅ ( )T ⋅ nu se mai obţin probleme bilocale ca în cazul primei probleme mixte ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale; funcţiile , ( )X ⋅ ( )T ⋅ se deduc strict ca soluţii ale ecuaţiilor (307). Şi în acest caz, se face o discuţie după parametrul real . λ

I. 0λ > Conform (308) când t creşte, ( )T t creşte putând depăşi orice valoare. Aceeaşi proprietate o va avea şi ( ),u x t oricare ar fi punctul ( )M x al conductorului. Acest caz nu este acceptat fizic.

II. 0λ = În acest caz, conform (308), temperatura în fiecare punct al barei nu depinde de timp. Nici acest caz nu este acceptat din punct de vedere fizic.

III. 0λ < Considerăm . Soluţiile generale ale sistemului (308) sunt:

2,k kλ = − > 0


( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2

1 2; cos si.

; e k a t

X x k c k k x c k k x

T t k c k −

⎧ = +⎪⎨

=⎪⎩

n

⎤⎦

(309)

Deoarece condiţiile la limită lipsesc, toate valorile strict pozitive ale lui k sunt acceptate. Din (309) şi (305) deducem

(310) ( ) ( ) ( )2 2

, ; cos sin e .k a tu x t k A k k x B k k x −⎡= +⎣

În general, nu putem determina pe k, ( )A k , ( )B k astfel încât să verifice şi condiţia iniţială din problema (304). Aceasta pentru că

egalitatea ( , ;u x t k )

( ) ( ) ( )cos sin ,A k k x B k k x f x x+ = ∈

nu poate avea loc decât dacă ( )f ⋅ este o funcţie periodică pe . Din acest motiv, în aceste condiţii ne propunem să determinăm soluţia problemei (304) sub forma

( ) ( )0

, , ;u x t u x t k kd∞

= ∫ , (311)

ceea ce înlocuieşte seria Fourier. În cele ce urmează, arătăm că funcţia dată de (311), dacă admite derivate

de ordinul al doilea în x şi de ordinul întâi în t verifică ecuaţia din problema (304). În adevăr, dacă aceste derivate se pot obţine prin derivare sub semnul integralei, rezultă

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 20

0

, , ;

,

, , ;

u u d

d

x t x t kx x

u ux t x t k kt t

∞

∞

⎧ ∂ ∂⎪ =∂ ∂⎪⎪

⎨⎪ ∂ ∂

=⎪ ∂ ∂⎪⎩

∫

∫

k

deci

( ) ( )2 2

2 2 2 20

1 1, ; , ; d 0,u u u ux t k x t k kt tx a x a

∞ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂− = − =⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂⎣ ⎦∫

deoarece este soluţie particulară pentru ecuaţia din problema (304), oricare ar fi

( , ;u x t k )k ∗

+∈ . Condiţia Cauchy din problema (304) revine la

( ) ( )0

, 0; d ,u x k k f x x∞

= ∈∫


sau

. (312) ( ) ( ) ( )0

cos sin d ,A k k x B k k x k f x x∞

⎡ ⎤+ =⎣ ⎦∫ ∈

În ipotezele făcute asupra funcţiei ( )f ⋅ , data Cauchy în (304), rezultă că ( )f ⋅ admite reprezentarea cu integrala Fourier şi

( ) ( ) ( )i1 e d2

xf x f∞ ∞

μ −ζ

− ∞ − ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟= ζ

π ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ d ,ζ μ

)x

d

sau, conform definiţiei exponenţialei în complex, utilizând reprezentarea şi ţinând seama de faptul că funcţia ( ) ( ) (ie cos i sinx xμ −ζ = μ − ζ + μ − ζ

( ) ( ) ( ), cosg x f x∞

− ∞

μ = ζ μ − ζ∫ ζ

d

este pară în , iar funcţia μ

( ) ( ) ( ), sinh x f x∞

− ∞

μ = ζ μ − ζ∫ ζ

este impară în μ , deducem

( ) ( ) ( )0

1 cos d d .f x f x∞ ∞

− ∞

⎛ ⎞⎜= ζ μ − ζ

π ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ⎟ζ μ (313)

Înlocuind (313) în (312), obţinem

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

1cos sin d cos d d

1 cos cos d sin sin d d .

A x B x f x

x f x f

∞ ∞ ∞

− ∞

∞ ∞ ∞

− ∞ − ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤μ μ + μ μ μ = ζ μ − ζ ζ μ⎣ ⎦ π ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥= μ ζ μζ ζ + μ ζ μζ ζ μ

π ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

=

Prin urmare, condiţia iniţială din problema (304) poate fi satisfăcută de îndată ce

( ) ( )

( ) ( )

1 cos d

1 sin d

A f

B f

∞

− ∞

∞

− ∞

⎧⎪ μ = ζ μζ ζ

π⎪⎪⎨⎪

μ = ζ μζ ζ⎪ π⎪⎩

∫

∫ . (314)


Din (310) şi (314) se obţine

( ) ( ) ( )2 21, ; e cos d .a tu x t f x

∞−μ

− ∞

μ = ζ μ − ζ ζπ ∫

Deci, conform (311),

( ) ( ) ( )2 2

0

1, e cosa tu x t f x∞ ∞

−μ

− ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟= ζ μ − ζ

π ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ d d ,ζ μ

sau schimbând ordinea de integrare

( ) ( ) ( )2 2

0

1, e cosa tu x t f x∞ ∞

−μ

− ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟= ζ μ − ζ μ⎜ ⎟π ⎝ ⎠

∫ ∫ d d .ζ (315)

Conform Propoziţiei 8.5.1, formula (298), rezultă uşor că

( )( )2

2 2 24

0

1e cos d e ,2

xa t a tx t

a t

−ζ∞ −−μ π

μ − ζ μ = >∫ 0. (316)

Integrala din (316) se numeşte integrala lui Poisson. Cu (316) soluţia problemei Cauchy (304) admite reprezentarea

( ) ( )( )2

241, e2

x

a tu x t f ta t

−ζ∞ −

− ∞

= ζ ζπ ∫ d , 0.> (317)

Formula de reprezentare (317) se numeşte formula lui Poisson, iar funcţia ( )2

24ex

a t−ζ

− se numeşte nucleul lui Poisson.

Observaţia 8.5.1. Formula lui Poisson (317) se extinde uşor pentru sau . Astfel, în cazul considerării problemei Cauchy (304) în spaţiu, unde condiţia iniţială este

2

3

( ) ( ) ( ) 3, , , 0 , , , , ,u x y z f x y z M x y z= ∈ se deduce

( )( )

( )( ) ( ) ( )2 2 2

243

1, , , , , e d d d ,2

x y z

a tu x y z t fa t

−ζ + −η + −ξ∞ ∞ ∞ −

− ∞ − ∞ − ∞

= ζ η ξ ζ η ξπ

∫ ∫ ∫

în ipoteza că funcţia este continuă, mărginită şi absolut integrabilă pe .

( , ,f ⋅ ⋅ ⋅ )3


8.6 Metoda transformatei Fourier în rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii unidimensionale în cazul unui conductor infinit

PROPOZIŢIA 8.6.1. Fie , :f g → , două funcţii continue şi absolut integrabile pe . Fie ( )F ⋅ , ( )G ⋅ transformatele lor Fourier. Atunci transformata Fourier a produsului ( ) ( )FG ⋅ este produsul de convoluţie al funcţiilor ( )f ⋅ şi , adică ( )g ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ie d d dxF G g f x f g x∞ ∞ ∞

− ζ

− ∞ − ∞ − ∞

.ζ ζ ζ = η − η η = η − η∫ ∫ ∫ η (318)

Demonstraţie: Din ipotezele impuse funcţiilor ( )f ⋅ , rezultă că ele admit reprezentare cu integrală Fourier şi au loc formulele:

( )g ⋅

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

i

i

i

1: e d este transformata Fourier2

a funcţiei ,

1: e d este transformata Fourier ,2

a funcţiei şi

1 e d d2

t

t

F f

f

f t F

F

f t f

∞− τζ

− ∞

∞ζ

− ∞

∞ ∞ζ −τ

− ∞ − ∞

⎧⎪ ζ = τ τ

π⎪⎪

⋅⎪⎪⎪⎪ = ζ ζ⎨ π⎪⎪ ⋅⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟= τ τ ζ⎪ π ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∫

∫

∫ ∫

(319)

sau

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

i

i

i


a func iei ,


a func iei i

1 e d d .2

c

c _

t

t

F f

f

f t F

F

f t f

∞τζ

− ∞

∞− ζ

− ∞

∞ ∞− ζ −τ

− ∞ − ∞

⎧⎪ ζ = τ τ

π⎪⎪

⋅⎪⎪⎪⎪ = ζ ζ⎨ π⎪⎪ ⋅⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟= τ τ ζ⎪ π ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∫

∫

∫ ∫

(320)


Se prelucrează, utilizând formulele (319), respectiv (320), integrala din membrul stâng al relaţiei (318). Rezultă

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i

i

1e d e d e d2

1 e d d2

d d .

x x

x

F G x F g x

g F

g f x f g x f g x

∞ ∞ ∞− ζ ζη − ζ

− ∞ − ∞ − ∞

∞ ∞− ζ −η

− ∞ − ∞

∞ ∞

− ∞ − ∞

⎡ ⎤⎢ ⎥ iζ ζ = ζ η η

π⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= η ζ ζ η =

π ⎢ ⎥⎣ ⎦

= η − η η = ∗ = η − η

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

=

η

Se consideră problema Cauchy

( ) ( )

( ) ( )

( )

22

2 0, , 0

, 0 , .lim , 0, lim , 0,

o funcţie continuă, absolut integrabilă pe x x

u ua x ttx

u x f x xuu x t x tx

f→±∞ →±∞

⎧ ∂ ∂− = − ∞ < < ∞ >⎪ ∂∂⎪

⎪ = − ∞ < < ∞⎨

∂⎪ = =⎪ ∂⎪

⋅⎩

(321)

Începem prin a observa că cererea ca funcţiile ( ),u t⋅ , ( ,u tx∂

⋅∂

)

)

să aibă

limită la nu este restrictivă, ea este implicit verificată pentru orice funcţie soluţie a problemei Cauchy ataşată ecuaţiei căldurii unidimensionale

pentru un conductor infinit.

±∞( ,u ⋅ ⋅

Condiţiile din problema (321) permit aplicarea transformatei Fourier în raport cu variabila x. Să notăm

( ) ( ) i1, ,2

xU t u x t e d .x∞

ζ

− ∞

ζ =π ∫ (322)

Din condiţia iniţială, în mod corespunzător, rezultă

( ) ( )

( ) ( )

i

i

1, 0 , 0 e d2

1 e d2

x

x

U u x x

f x x F

∞ζ

− ∞

∞ζ

− ∞

ζ = =π

=π

∫

∫ .= ζ

(323)


Aplicând transformata Fourier ecuaţiei, obţinem

( )2

2 i2

1 , e d2

xu ua x ttx

∞ζ

− ∞

⎡ ⎤∂ ∂ 0x− =⎢ ⎥∂π ∂⎣ ⎦∫ .

După două integrări prin părţi, relaţia anterioară devine

( ) ( )

( ) ( )

i 2 i

i i

1 1, e d , e2 2

1i , e d , e d2

x x

x x

u ux t x a x tt x

u ux t x x t xx t

∞ ∞ζ ζ

−∞− ∞

∞ ∞ζ ζ

− ∞ − ∞

⎡∂ ∂− + ⎢

∂ ∂π π ⎢⎣

⎤∂ ∂⎥− ζ = − −∂ ∂π⎥⎦

∫

∫ ∫

−

( ) ( )

( ) ( )

2i i

2 2i i

i , e i , e d2

1 , e d , e d 02 2

x x

x x

a u x t u x t x

u ax t x u x t xt

∞∞ζ ζ− ∞

− ∞

∞ ∞ζ ζ

− ∞ − ∞

⎡ ⎤ζ ⎢ ⎥− − ζ =π ⎢ ⎥⎣ ⎦

∂ ζ= − − =

∂π π

∫

∫ ∫ .

Acest calcul conduce la problema Cauchy (pentru o ecuaţie diferenţială relativă la ( ),U ζ ⋅ )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 d ,, 0

d ., 0

U ta U t

tU F

⎧ ζζ ζ + =⎪

⎨⎪ ζ = ζ⎩

(324)

În problema Cauchy (324) ζ este considerat parametru. Prin integrarea ecuaţiei din (324) rezultă

( ) ( )2 2d ,,

dU t

a U ttζ

= − ζ ζ ,

( )( )

2 2d ,d

,U t

a tU t

ζ= − ζ

ζ,

( ) ( )2 2ln , ln ,U t a t Aζ = − ζ + ζ

( ) ( )( ) ( )

2 2, e ,, 0

a tU t AU F

− ζ⎧ ζ = ζ⎪⎨

ζ = ζ⎪⎩

deci

(325) ( ) ( )2 2

, e a tU t F − ζζ = ζ .


Soluţia problemei (321) se obţine din (325) cu o teoremă de inversare, conform cu (320),

( ) ( )2 2 i1, e

2a t xu x t F e d .

∞− ζ − ζ

−∞

= ζπ ∫ ζ

t

(326)

Interpretăm în (326) funcţia 2 2

e a− ζ ca o transformată Fourier, fie ea ( )

2 2, e aG t − tζζ = . Atunci, tot cu o teoremă de inversare, conform (320),

deducem

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

i

i

1, , e d2

1 e e d2

1 e cos i sin d2

1 e cos d .2

x

a t x

a t

a t

g x t G t

x x

x

∞− ζ

− ∞

∞− ζ − ζ

− ∞

∞− ζ

− ∞

∞− ζ

− ∞

= ζ ζ =π

= ⋅ ζ =π

= ζ −π

= ζ ζπ

∫

∫

∫

∫

ζ ζ =

(327)

În prelucrarea ultimei integrale din (327) folosim Propoziţia 8.5.1, formula (298). Rezultă

( )2

241, e2

xa tg x t

a t

−= ⋅ . (328)

Conform Propoziţiei 8.6.1, formula (318) şi conform (328) rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )2

24

1, ,2

1 d2

1 e d2

x

a t

u x t g t f x

f g x

fa t

∞

− ∞

∞

− ∞

−η∞ −

− ∞

= η − ηπ

= η − ηπ

= ηπ

∫

∫

∫

d

.

η =

η =

η

S-a obţinut astfel, printr-o altă metodă, formula Poisson (317) de reprezentare a soluţiei problemei Cauchy (321), respectiv (304).


Observaţia 8.6.1. La ecuaţia căldurii neomogene unidimensionale,

(2

22 ,u ua F

t)x t

x∂ ∂

= +∂ ∂

, poate fi adusă şi ecuaţia parabolică (generalizată a

căldurii) 2

22

v vat t∂ ∂

= −∂ ∂

cv făcând schimbarea de funcţie , v u→

( ) ( ), e ,ctv x t u x t−= . În mod corespunzător, dacă pentru ecuaţia în se considera problema Cauchy sau o problemă mixtă, prin rescrierea condiţiilor iniţiale şi la limită se obţin probleme de acelaşi tip pentru ecuaţia în noua funcţie

, posibil ecuaţie neomogenă şi cu alte date Cauchy respectiv la limită.

( ,v ⋅ ⋅ )

)( ,u ⋅ ⋅

§9 Ecuaţii eliptice. Ecuaţiile Laplace şi Poisson Acest paragraf este consacrat teoriei clasice a problemelor eliptice la

limită, rezultatul central fiind teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Dirichlet în spaţiul funcţiilor de clasă . În tratarea acestei probleme fundamentale se apelează la argumente şi metode clasice cum ar fi cele oferite de principiul de maxim şi teoria potenţialului. Teoria ecuaţiilor eliptice poate fi privită fie ca un capitol al fizicii matematice, fie al matematicii pure. Privită ca parte a fizicii matematice, accentul trebuie să cadă pe tratarea detaliată a numeroaselor modele fizice reprezentate de probleme de tip eliptic. Privită din cealaltă perspectivă, teoria este o disciplină matematică în sine cu rezultate profunde şi metode proprii utile nu numai în rezolvarea problemelor fizice, ci şi în domenii abstracte ale matematicii cum ar fi teoria funcţiilor, geometria diferenţială sau topologie.

2C

9.1 Probleme eliptice la limită şi modele fizice Fie o mulţime deschisă în . Considerăm pe Ω operatorul

diferenţial Ω n

( ) ( ) ( ), 1 1

i j i

n n

ij x x i xi j i

Lu a x u b x u c x= =

= + +∑ ∑ u , (329)

unde ( )ija ∈ ΩC ; ( ),ib c ∈ ΩC şi ( ) ( )ij jia a⋅ = ⋅ pentru toţi , 1,i j n= . DEFINIŢIA 9.1.1. Operatorul L, definit de (329), se numeşte eliptic dacă

şi dacă există ( ) ( )0,c x x≤ ∀ ∈ Ω 0ω > astfel încât

( ) ( ) ( )2

, 1

, ,n

nij i j

i j

a x x=

.ζ ζ ≥ ω ζ ∀ ζ ∈ ∀ ∈ Ω∑ (330)


DEFINIŢIA 9.1.2. Prin soluţie pentru ecuaţia eliptică

( ) ( ) ( )

( ),

,Lu x f x x

f⎧ = ∈⎨

∈ Ω⎩ C

Ω (331)

se înţelege o funcţie ( )2u ∈ ΩC care satisface ecuaţia (331) pentru orice x ∈ Ω .

În cele ce urmează ne limităm la cazul particular , ( )Lu u c x u= Δ +( )c ∈ ΩC , ( ) ( )0,c x x≤ ∀ ∈ Ω . Ecuaţiei Lu f= în Ω i se pot asocia mai multe tipuri de condiţii la

limită pe frontiera ∂Ω dintre care menţionăm următoarele: Problema Dirichlet (L. Dirichlet (1805-1859)). Fie nΩ ⊂ o mulţime

mărginită şi deschisă cu frontiera ∂Ω . Prin problemă Dirichlet interioară – P.D.I. – se înţelege determinarea unei funcţii ( ) (2u )∈ Ω ∩C C Ω astfel încât

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),

,u x c x u x f x x

u x x x⎧Δ + = ∀ ∈⎨

= ϕ ∀ ∈ ∂Ω⎩

Ω, (332)

unde ( )f ∈ ΩC şi sunt funcţii date. (ϕ ∈ ∂ΩC )Problema (332) se numeşte şi prima problemă la limită. Problema Neumann (F. Neumann (1789-1895)). Fie nΩ ⊂ o mulţime

mărginită şi deschisă cu frontiera ∂Ω . Prin problemă Neumann interioară – P.N.I. – se înţelege determinarea unei funcţii ( ) ( )2u ∈ Ω ∩C C Ω care să admită derivată normală continuă şi să satisfacă ecuaţia în şi condiţia pe frontieră din problema

Ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,,

,

u x c x u x f x xu x g x x

⎧Δ + = ∀ ∈ Ω⎪⎨ ∂

= ∀⎪ ∂ν⎩∈ ∂Ω

(333)

unde ( )f ∈ ΩC şi sunt funcţii date. (g ∈ ∂ΩC )Problema (333) se mai numeşte şi a doua problemă la limită. Problema mixtă. Fie ( )α ∈ ∂ΩC astfel încât ( ) 0xα ≥ , .

Prin problemă mixtă interioară – P.M.I. – se înţelege determinarea unei funcţii ( ) x∀ ∈ ∂Ω

( ) ( )2u ∈ Ω Ω∩C C astfel încât să existe şi să fie continuă u∂∂ν

pe şi în

plus funcţia şi

∂Ω

( )u ⋅ ( )u∂⋅

∂ν satisfac ecuaţia în Ω , respectiv condiţia la

frontieră din problema


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,,

,

u c x u x f x xu x x u x g x x

⎧Δ + = ∀ ∈ Ω⎪⎨ ∂

+ α = ∀ ∈ ∂Ω⎪ ∂ν⎩

(334)

unde ( )f ∈ ΩC şi sunt funcţii date. (g ∈ ∂ΩC )Problema (334) se mai numeşte şi a treia problemă la limită. În cazul particular problema (334) se reduce la problema

Neumann interioară (333). 0α ≡

Probleme la limită exterioare. Dacă mulţimea complementară pentru este compactă, atunci se definesc problema Dirichlet exterioară,

problema Neumann exterioară şi problema mixtă exterioară ca fiind problemele (332), (333), (334) dar pe adăugându-se şi condiţii la infinit de forma

nΩ ⊂

CΩ ( )lim 0

xu x

→∞= (335)

sau

mărginită pentru ( )u x x → ∞ . (336)

Facem menţiunea că pentru 0c ≡ , 0f ≡ , ecuaţia din (332) se numeşte ecuaţia lui Laplace (după matematicianul francez P.S.Laplace (1749 – 1827) ), iar în cazul , ecuaţia din (332) se numeşte ecuaţia lui Poisson (S. Poisson (1781 – 1840) ).

0c ≡

Vom prezenta în continuare câteva modele din fizica matematică descrise de ecuaţii de forma ecuaţiei din (332).

a. Câmpul termic staţionar Ecuaţia câmpului termic numită şi ecuaţia propagării căldurii a fost

descoperită de matematicianul francez J. Fourier (1768 – 1830) şi apare în lucrarea sa fundamentală din 1822 intitulată Teoria analitică a căldurii. Acest tratat avea să influenţeze gândirea matematică a secolului XIX, iar un alt mare matematician şi fizician al secolului, C. Maxwell (1831 – 1879), avea să-l numească „un măreţ poem matematic”.

Descriem pe scurt, în cele ce urmează, modelul lui Fourier în cazul câmpului termic staţionar.

Fie un conductor termic din şi Ω 3 ( )u u x= , temperatura în punctul ( )1 2 3, ,x x x x= ∈ Ω . Legea de propagare a lui Fourier afirmă că printr-o suprafaţă trece o cantitate de căldură egală cu dσ

( ) ( )d uQ k x x d ,∂= −

∂νσ (337)

unde este normala la suprafaţa ν dσ , iar ( ,u u )∂= ∇ ν

∂ν. Funcţia ( )k ⋅ se

numeşte conductivitatea termică a materialului.


Dacă notăm cu fluxul de căldură în punctul x, atunci vom putea scrie ecuaţia (337) şi sub forma

( )q x

( ) ( ) ( )uq x k x x∂= −

∂ν . (337')

Prin urmare, prin suprafaţa S care limitează un volum V trece cantitatea de căldură

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), d divS V

Q k x u x x x k x u x= − ∇ ν = − ∇∫ ∫ dx

(conform formulei lui Gauss-Ostrogradski). Dacă există o sursă de căldură distribuită pe de densitate Ω ( )0f x , atunci în volumul V ea va produce

cantitatea de căldură ( )0 dV

f x∫ x . Făcând bilanţul energetic se obţine deci

( ) ( )( ) ( )0div d dV V

k x u x x f x x− ∇ =∫ ∫

şi, deoarece volumul V este arbitrar, se obţine ecuaţia punctuală

( ) ( )( ) ( ) ( )0div ,k x u x f x x− ∇ = ∀ ∈ Ω . (338)

Dacă ( ) ( ),k x C x= ∀ ∈ Ω

f

, atunci ecuaţia (338) se reduce la ecuaţia lui Poisson uΔ = − în Ω , (339)

unde 10f C f−= − .

Dacă pe frontiera ∂Ω a domeniului Ω se menţine o temperatură ( )ϕ ⋅ , atunci ecuaţiei (339) i se asociază condiţia la limită

peu = ϕ ∂Ω ceea ce conduce la o problemă Dirichlet interioară. Dacă pe are loc un schimb de căldură conform legii lui Newton, adică ∂Ω

( )0q h u u= − , unde este temperatura exterioară, h este coeficientul de transfer, iar q este fluxul de căldură, atunci, conform legii lui Fourier (337'), avem condiţia la limită

0u

( )0 peuk h u u∂− = − ∂

∂νΩ , (340)

adică (339) cu (340) este o problemă mixtă interioară. În fine, dacă este precizată valoarea fluxului de căldură pe ∂Ω problema

conductibilităţii termice revine la o problemă Neumann interioară.


b. Ecuaţia staţionară a difuziei Fie un mediu în care are loc difuzia unui gaz; fie 3Ω ⊂ ( )u x densitatea gazului în punctul x. Atunci conform legii lui Nernst, cantitatea care trece prin suprafaţa este dată de dσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d duc x D x x D x u x x∂= − σ = − ∇ ν σ

∂ν, d ,

unde este coeficientul de difuzie, iar ( )D ⋅ ( )ν ⋅ este normala exterioară la dσ . Procedând ca la punctul precedent, se găseşte pentru ( )u ⋅ ecuaţia ( ) ( )( ) ( ) ( )div ,D x u x f x x− ∇ = ∀ ∈ Ω , (341)

numită ecuaţia staţionară a difuziei.

c. Curgerea potenţială a unui fluid Presupunem că domeniul 3Ω ⊂ este ocupat de un fluid incompresibil

caracterizat de viteza ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3, ,v x v x v x v x= . În anumite condiţii viteza v este un vector de tip potenţial adică înv = −∇Φ Ω . (342)

unde ( )Φ ⋅ este o funcţie numită potenţialul vitezelor. (Aceasta corespunde cazului când câmpul vectorial ( )v ⋅ este irotaţional în Ω , iar este un potenţial scalar pentru . În plus, acest caz corespunde de exemplu la curgerea fluidului în medii poroase, ecuaţia (342) exprimând tocmai legea lui Darcy.) Dacă nu există alte surse, atunci, conform ecuaţiei de continuitate, rezultă (a se vedea exemplul care urmează) şi deci Φ satisface ecuaţia lui Laplace .

( )Φ ⋅( )v ⋅

div 0v =0ΔΦ =

d. Câmpul electric staţionar Fie un câmp electric ( )1 2 3, , ,E E E E= în Ω de potenţial , adică Φ

( ) ( ) ( ) 3,E x x x= −∇Φ ∀ ∈ Ω ⊂ . (343)

Dacă în domeniul Ω există o sarcină electrică de densitate ( )xρ = ρ şi permitivitatea dielectrică este , atunci 1ε = ( ) ( ) ( )div ,E x x x= ρ ∀ ∈ Ω . (344)

Într-adevăr, conform legii lui Gauss din electrodinamică fluxul câmpului electric E printr-o suprafaţă închisă S, adică ( ), d

S

E ν σ∫ , este egal cu sarcina totală din

interiorul suprafeţei S, adică ( ), d d

S V

E xν σ = ρ∫ ∫ ,

unde V este volumul mărginit de suprafaţa S.


Din teorema flux – divergenţă rezultă ( ), d div d

S V

E E xν σ =∫ ∫

şi, prin trecere la limită, se obţine

( ) ( )mess. 0 mess. 0

1 1lim div d lim d ,mess. mess.V V

V V

E x x x xV V→ →

= ρ∫ ∫

adică tocmai ecuaţia (343). Combinând ecuaţiile (343) şi (344), rezultă că ( )Φ ⋅ este soluţia ecuaţiei

Poisson . (345) în−ΔΦ = ρ Ω

În absenţa sarcinilor electrice în domeniul Ω , Φ este soluţia ecuaţiei Laplace 0 înΔΦ = Ω . (346)

9.2 Soluţia fundamentală a operatorului Laplace. Potenţialul de volum. Potenţiale de suprafaţă

DEFINIŢIA 9.2.1. Fie operatorul lui Laplace 2

211

n

i x=

∂Δ =

∂∑ . Funcţia

definită prin { }: \ 0nE →

( ) ( ) 21 , 3

21 ln , 2

2

nn

nn xE x

x n

−⎧− ≥⎪⎪ − ω= ⎨⎪ =⎪ π⎩

, (347)

se numeşte soluţie fundamentală pentru operatorul lui Laplace.

În (347) s-a notat cu / 222

nn

n⎛ω = π Γ ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , (Γ funcţia lui Euler de speţa a

doua) aria sferei unitate în şi cu n1 / 2

2

1

n

i=⎜⎜∑ ix x⎛ ⎞

= ⎟⎟⎝ ⎠

norma euclidiană a

vectorului . ( )1, ..., nnx x x= ∈

PROPOZIŢIA 9.2.1. Fie { }( )\ 0nE ∞∈ C . Atunci

( ) ( )0, 0E x xΔ = ∀ ≠ . (348)

Demonstraţie: Prin calcul elementar rezultă

( )1 , ,i

nix n

n

xE xx

= ∀ ∈ω

0x ≠


şi 2

21 1 , 0

i ii

x x n nn

n xE xx x +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟ω ⎝ ⎠

≠ .

Cu aceasta, (348) se verifică imediat. TEOREMA 9.2.1 (Riemann – Green). Fie Ω un domeniu deschis şi mărginit din de clasă pe porţiuni şi fie n 1C ( ) ( )2 1u ∈ Ω Ω∩C C ,

( )uΔ ∈ ΩC , atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d d

d ,

y

yy

uu x u y E x y y E x y y

E x yu y x

Ω ∂Ω

∂Ω

∂= Δ − − − σ

∂ν

∂ −+ σ ∀ ∈ Ω

∂ν

∫ ∫

∫

+

(349)

şi

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d d

d 0, \ .

y

ny

y

uu y E x y y E x y y

E x yu y x

Ω ∂Ω

∂Ω

∂Δ − − − σ +

∂ν

∂ −+ σ = ∀

∂ν

∫ ∫

∫ ∈ Ω

(350)

Demonstraţie: Relaţia (350) rezultă imediat din aplicarea celei de a doua formule Green ansamblului ( ), , ,u Ε Ω ∂Ω şi ţinând seama de Propoziţia 9.2.1, formula (348).

Fie x ∈ Ω , arbitrar dat fix, şi fie ( ) { }, ,nB x y y x yε = ∈ − < ε

astfel încât ( ),B x ε ⊂ Ω . Aplicând a doua formulă a lui Green ansamblului

( ), , ,u ε εΕ Ω ∂Ω , cu ( )\ ,B xεΩ = Ω ε , ( ),B xε∂Ω = ∂Ω ∂ ε∪ , rezultă relaţia

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d d

d 0

y

y

uE x y u y y y E x y

E x yu y

ε ε

ε

Ω ∂Ω

∂Ω

∂− Δ − − σ +

∂ν

∂ −+ σ =

∂ν

∫ ∫

∫


adică

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

d d

d

d d

y

y

y yS S

uE x y u y y y E x y

E x yu y

E x yu y E x y u y

ε

ε ε

Ω ∂Ω

∂Ω

ε ε,

∂− Δ − − σ +

∂ν

∂ −+ σ =

∂ν

∂ −∂= − σ −

∂ν ∂ν

∫ ∫

∫

∫ ∫ σ

(351)

unde { },nS y y x yε = ∈ − = ε , iar ε

∂∂ν

este derivata în raport

cu direcţia versorului normalei interioare la sfera Sε , adică ( )u yε

∂=

∂ν

( )( ) 1,u y x y x y −= ∇ − − .

Ţinând seama de faptul că aria sferei Sε este egală cu 1nn

−ω ε şi

( ) ( )2 1u ∈ Ω Ω∩C C , deci (1u S )εε

∂∈

∂νC rezultă

( ) ( )( )

( )21d d

2

,2

y ynnS S

u uy x y yn

Cn

ε ε

−ε ε

∂ ∂Ε − σ ≤ σ

∂ν ∂ν− ω ε

ε≤

≤

−

∫ ∫

(352)

cu ( )maxy S

uC yε∈ ε

∂=

∂ν.

Pe de altă parte, ţinând seama de faptul că ( ) 1i

ix n

n

xE xx

=ω

, deducem

că

( ) ( ) ( )( ) 1

1 1

,

1 1 pentru .

y

n nnn

E x y E x y x y x y

y Sx y

−

ε

ε− −

∂− = ∇ − − − =

∂ν− −

= =ω εω −

∈

Prin urmare

( ) ( ) ( )11d dy yn

nS S

E x yu y u y

ε ε

−ε

∂ −− σ =

∂ν ω ε∫ ∫ σ .

Aplicând, în această relaţie, o formulă de medie pentru integrala de suprafaţă rezultă că există y Sε∈ astfel încât


( ) ( ) ( ) ( )11d ariay n

nS

E x yu y u y S u y

ε

ε−ε

∂ −− σ =

∂ν ω ε∫ = . (353)

Trecând la limită, pentru 0ε → , în (352), (353) şi observând că când , rezultă că

y x→0ε →

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

există lim d 0

.

există lim d

yS

yS

u y E x y

E x yu y u x

ε

ε

ε→ ε

ε→ ε

∂⎧ − σ =⎪ ∂ν⎪⎪⎨ ⎡ ∂ −⎪ ⎢ ⎥− σ⎪ ⎢ ⎥∂ν⎪ ⎣ ⎦⎩

∫

∫⎤=

(354)

Conform ipotezei ( )uΔ ∈ ΩC , iar conform Propoziţiei 9.2.1,

, deci funcţia { }( \ 0nE ∞∈C ) ( ) ( )y E x y u y→ − Δ este integrabilă pe . Rezultă că există Ω

( ) ( ) ( ) ( )0

lim d dE x y u y y E x y u yε

ε→Ω Ω

− Δ = − Δ∫ ∫ y . (355)

Ţinând seama de (354), (355) şi trecând la limită, după , în (351) rezultă formula (349) şi astfel teorema este demonstrată.

0ε →

În cazul 2n = relaţia (349) rezultă printr-un calcul asemănător. Acest caz (ca şi cazul ) va fi considerat în detaliu ulterior. 2n = 3n =

DEFINIŢIA 9.2.2. Fie Ω o mulţime deschisă şi mărginită în şi n

( )ρ ∈ ΩC . Se numeşte potenţial de volum (newtonian) de densitate ρ , funcţia

(356) ( ) ( ) ( ) ( )d , ,nV x E x y y y xΩ

= − ρ ∀ ∈∫unde ( )E ⋅ este soluţia fundamentală pentru operatorul lui Laplace. Dacă este un corp de densitate 3Ω ⊂ ρ , atunci asupra unei mase unitate aflată în punctul ( )1 2 3, ,x x x x= va acţiona, conform legii atracţiei universale, forţa

( )3 dx yF m yx yΩ

y−= ρ

−∫ . (357)

(O masă m aflată în y va acţiona asupra masei unitate aflate în x cu forţa

3d x yF mx y−

=−

de unde prin sumare se obţine expresia (357).) Aceeaşi

expresie se obţine conform legii lui Coulomb şi pentru forţa electrostatică.


Potenţialul forţei F este prin definiţie o funcţie V, astfel încât , de unde rezultă că potenţialul forţei F definită de (357) este egal cu funcţia

gradV F= −

( ) ( )0 d

yV x

x yΩ

ρ=

−∫ y .

Deci până la produsul cu o constantă pozitivă, funcţia V definită de (356) este potenţialul newtonian al masei Ω . În termeni asemănători se poate interpreta V drept potenţial coulombian al unei sarcini electrice de densitate ρ distribuită pe . Ω Potenţialul de volum a fost introdus în ştiinţă în secolul XVIII de către D. Bernoulli (1700-1792) şi J. Lagrange (1736-1813) în legătură cu teoria newtoniană a gravitaţiei. Ulterior, P. Laplace (1749-1827) în anul 1785 şi D. Poisson (1781-1840) în 1813 aveau să descopere că potenţialul de volum de densitate pe Ω satisface ecuaţia ρ 0VΔ = în 3 \ Ω şi în VΔ = ρ Ω (a se vedea Teorema 9.2.2 de mai jos). Denumirea de potenţial a fost introdusă de George Green (1793-1841), dar studiul riguros al acestui concept matematic a fost iniţiat de A. M. Liapunov (1857-1918). TEOREMA 9.2.2. Dacă ( )ρ ∈ ΩC , atunci ( )1 nV ∈ ∩C

( )2 \n Ω∩C şi

( ) ( )0, \nV x xΔ = ∀ ∈ Ω , (358)

( ) ( ) ( )2sup 1 ,n nV x C x x−

Ω≤ ρ + ∀ ∈ . (359)

( ) ( ) ( )1sup 1 ,n nV x C x x−

Ω∇ ≤ ρ + ∀ ∈ . (360)

Dacă ( ) ( )1ρ ∈ Ω Ω∩C C , atunci ( )2V ∈ ΩC şi

( ) ( ) ( ),V x x xΔ = ρ ∀ ∈ Ω . (361)

Demonstraţie: Deoarece, conform (347), ( ) ( )2 ,nE x y C x y x−− ≤ − ∀ ≠ y

(vom nota cu C diverse constante independente de x şi y) rezultă din (356), ( ) ( ), nV x x< ∞ ∀ ∈ (prin schimbarea de variabile

, 1 1cosx = ρ θ 2 1 2sin cos , ,x = ρ θ θ … 1 1 2sin ... sin cos ,n nx 1n− − −= ρ θ θ θ 1 2 1n ( )sin ... sin sin ;n nx − −= ρ θ θ θ 0,iθ ∈ π , 0, 2i n= − , ( )1 0, 2n−θ ∈ π ,

şi ţinând seama că determinantul funcţional al transformării este 0ρ >1 2 3

1 2sin sin ... sinn n nnJ − − −

2−= ρ θ θ θ ). Rezultă evident evaluarea


( ) ( ) ( )21 ,n nV x C x x−≤ + ∀ ∈ cu ( )d , 1x Ω ≥ .

Pentru a stabili (359), conform evaluării de mai sus, este suficient să demonstrăm continuitatea funcţiei ( )V ⋅ pe . În acest scop fie

fixat, dar arbitrar. Observăm că pentru toţi

n

0x ∈ Ω ( )0rx B x∈ =

{ }0,nx x x x= ∈ − < r există , astfel încât 0C >

( ) ( ) ( ) ( )/ 2 0 0, ,r r\E x y C x B x y B x− ≤ ∀ ∈ ∈ Ω . În plus ( ) { } ( )0\k rx B x∀ ⊂ Ω cu 0kx x→ rezultă că există

( )( )

( ) ( )( )

( )0

0 0

0\ \

lim d dk

r r

kx xB x B x

E x y y y E x y y→

Ω Ω

− ρ = − ρ∫ ∫ y .(362)

Pe de altă parte, pentru k suficient de mare avem inegalitatea

( )( )

( ) ( )( )

0

22

2

1d d2

r k

k nn kB x x y r

yE x y y y y Cr

n x y −− ≤

ρ− ρ ≤ ≤

− ω −∫ ∫ ,

respectiv

( )( )

( ) ( )( )

0 0

20 2

0

1d d2

r

nnB x x y r

y.E x y y y y Cr

n x y −− ≤

ρ− ρ ≤ ≤

− ω −∫ ∫

Din aceste inegalităţi şi din (362) deducem că

( ) ( ) ( )0

0 0lim , .k

kx xV x V x x

→= ∀ ∈ Ω (363)

Pentru 0x ∈ Ω relaţia (359) se deduce în mod asemănător raţionând pe mulţimea ( )0rB xΩ ∩ în loc de ( )0rB x . Cu aceasta deducem că

. ( )nV ∈CConform Propoziţiei 9.2.1,

ixE este funcţie integrabilă pe ( )1 0B =

{ },nx x x= ∈ < 1 şi deci

( ) ( ) ( ) ( )d , , 1,n

i i

E x yV .x y y x i nx x

Ω

∂ −∂= ρ < ∞ ∀ ∈

∂ ∂∫ =

Pentru { } 0kx x→ rezultă ( ) ( )

( )

( ) ( )( )0 0

0d dr r

k

i iB x B x

E x y E x yy y y y C

x x∂ − ∂ −

ρ + ρ ≤∂ ∂∫ ∫ r

şi prin urmare, ca mai înainte, deducem ( )n

i

Vx∂

∈∂

C , 1,i = n ; astfel

evaluarea (360) este evidentă.


Deoarece funcţia ( )V ⋅ este infinit diferenţiabilă pe \n Ω şi ( ) ( ) ( ) ( )d , \

i i i in

x x x xV x E x y y y xΩ

= − ρ ∀ ∈∫ Ω

din formula pentru i ix xE , conform Propoziţiei 9.2.1, rezultă (358).

Să presupunem acum că ( ) ( )1ρ ∈ Ω Ω∩C C . Fie arbitrar, dar

fix şi fie 0x ∈ Ω

( ) { }0 0,nrB x x x x x r= ∈ − ≤ ⊂ Ω

Ω

. Atunci

. (364) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

0\

d ,r

rB x

V x V x E x y y y xΩ

= + − ρ ∀ ∈∫Deoarece funcţia ( ) ( )rV V− ⋅ este armonică pe ( )0rB x este suficient să

arătăm că ( )( )20r rV B x∈C şi ( ) ( )0 0rV x xΔ → ρ când . Pentru

aceasta să observăm că deoarece funcţia 0r →

E∇ este integrabilă în origine, funcţia este derivabilă pe ( )rV ⋅ ( )0rB x şi gradientul său rV∇ este dat de

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )

0

0

0

0

0

0

0

d

= d

d

d

1 d

d .

r

r

r

r

r

r

r xB x

yB x

yB x

B x

yB x

B x

V x E x y y y

E x y y y

E x y y y

E x y y y

E x y y y xr

E x y y y

∂

∇ = ∇ − ρ =

⎡ ⎤− ∇ − ρ =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − ∇ − ρ +⎣ ⎦

+ − ∇ρ =

= − − ρ − σ +

+ − ∇ρ

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(365)

În deducerea formulei (365) s-a folosit formula (flux-divergenţă) Gauss-Ostrogradski , cu ( )div d , df y f

Ω ∂Ω

= ν∫ ∫ σ ( )1, ..., nν = ν ν versorul normalei

exterioare la şi ∂Ω if ge= , unde ie este versorul axei ixO , adică formulele

( ) ( )d d ,iy ig y y g y i

Ω ∂Ω

= ν σ =∫ ∫ 1, n .


Din (365) rezultă că ( )( )20r rV B x∈ C şi

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

0

0

0

div d

1 div d

r

r

rB x

yB x

V x E x y y y

E x y y y xr∂

⎡ ⎤Δ = − ∇ρ −⎣ ⎦

− − ρ −

∫

∫ σ

adică ( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

0

0

0 0

, d

1 , d ,

r

r

rB x

y rB x

V x E x y y y

.E x y y x y x B xr∂

Δ = ∇ − ∇ρ −

− ∇ − − ρ σ ∀ ∈

∫

∫

Pe de altă parte, are loc relaţia

( )( ) ( )( )

( )( )0 0

0 0 11 1, d

r r

y nnB x B x

E x y y x y yr r −

∂ ∂

∇ − − ρ σ = − ρω∫ ∫ dσ ,

respectiv

( ) ( )( )( ) ( )0 0

0 10

d, dr r

nB x B x

y .E x y y y C Cx y −∇ − ∇ρ ≤ ≤

−∫ ∫ r

Deci pentru , rezultă 0r →

( ) ( )( )

( )0

0 010 0

1lim lim d .r

r nr r n B x

V x y xr −→ →

∂

Δ = ρ σ = ρω ∫

Cu aceasta, demonstraţia teoremei este completă. Observaţia 9.2.1. Prin Teorema 9.2.2 am regăsit un fapt fizic stabilit în

acest paragraf, secţiunea 9.1, exemplul d., şi anume că potenţialul unui câmp electric produs de o sarcină de densitate ρ în Ω este soluţia ecuaţiei Poisson

în . uΔ = ρ Ω

DEFINIŢIA 9.2.3. Fie nΩ ⊂ o mulţime deschisă şi mărginită de clasă ; fie o funcţie continuă. Se numeşte potenţial de dublu strat, de densitate funcţia , funcţia definită prin

2C :μ ∂Ω →μ : nW →

( ) ( ) ( ) ( )d , ny

yW x y E x y x

∂Ω

∂= μ − σ ∀ ∈

∂ν∫ , (366)

unde ( )E ⋅ este soluţia fundamentală pentru operatorul lui Laplace.


Din punct de vedere fizic, potenţialul de dublu strat pe o suprafaţă din reprezintă potenţialul coulombian generat de dipoli distribuiţi cu densitatea

pe suprafaţa ∑ şi orientaţi după normala la suprafaţă.

∑3

μ

PROPOZIŢIA 9.2.2. Potenţialul de dublu strat ( )W ⋅ , definit de (366), are proprietăţile: i. ( )2 \nW ∈ ∂C Ω şi ( ) ( )0, \nW x xΔ = ∀ ∈ ∂Ω ; ii. Restricţia funcţiei ( )W ⋅ la ∂Ω este continuă.

Demonstraţie: Prin calcul se deduce că

( ) ( ) ( )( )

( )(

,

1 , .

y

nn

E x y E x y y

)x y yx y

∂− = − ∇ − ν =

∂ν

−= −ω −

ν

(367)

Cu aceasta rezultă ( ) ( )0, \nW x xΔ = ∀ ∈ ∂Ω .

În cele ce urmează, vom nota prin ( ),K x y nucleul ( )y

E x y∂−

∂ν.

Din (367) rezultă evaluarea

( ) 2, nK x y C x y −≤ − pentru , ,x y x y∈ ∂Ω ≠ . (368)

Într-adevăr, suprafaţa fiind de clasă , local ea se reprezintă sub forma

∂Ω 2C( )1, ...,n ny g y y −= 1 , unde ( )2g D∈C , 1nD −⊂ . Deci vectorul

normal ( )yν se poate scrie sub forma

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

1 / 22

1 / 22

1 ,,

1

ii y

n

y g y g y i n

y g y

−

−

⎧′ ′ν = + ∇ = −⎪

⎨⎪ ′ν = − + ∇⎩

1, 1 (369)

unde ( )1 1, ..., ny y y −′ = ∈ D . Deci, pentru ,x y într-o vecinătate U a unui punct rezultă 0x ∈ ∂Ω

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

12

12

, 1 ,

1 ,

n nx y y g y y x x y g y

g y g y g x y x g y

−

−

′ ′ ′ ′− ν = + ∇ − + − ∇ =

′ ′ ′ ′ ′= + ∇ − − − ∇ .′

Prin urmare, avem inegalitatea

( )( ) ( )2, , ,x y y C x y x y′ ′ U− ν ≤ − ∀ ∈ ,


de unde, extrăgând o acoperire finită a frontierei prin vecinătăţi U, rezultă

( )( ) ( )2, ,x y y C x y x y,− ν ≤ − ∀ ∈ ∂Ω . Din această inegalitate se deduce (368). Continuitatea funcţiei ( )W ⋅ rezultă ca în demonstraţia pentru Teorema 9.2.2, ţinând seama de faptul că evaluarea (368) este suficientă pentru integrabilitatea funcţiei ( ) ( ),y K x y y→ μ pe ∂Ω (varietate de dimensiune

). Cu aceasta propoziţia este demonstrată. 1n − În continuare vom arăta că potenţialul de dublu strat nu este totuşi o funcţie continuă pe . n

LEMA 9.2.1. Pentru rezultă 1μ ≡

( )

1 dacă 1 dacă .20 dacă \n

x

W x x

x

∈ Ω⎧⎪⎪= ∈ ∂⎨⎪⎪

Ω

∈ Ω⎩

(370)

Demonstraţie: Conform formulei Riemann - Green (349), scrisă pentru rezultă 1u ≡

( ) ( ) ( )1 d ,yy

E x yW x x

∂Ω

∂ −= σ = ∀

∂ν∫ ∈ Ω .

Conform formulei (350) din Teorema 9.2.1 rezultă

( ) ( ) ( )0 d , ny

y

E x yW x x

∂Ω

∂ −= σ = ∀ ∈

∂ν∫ \ .Ω

Fie x ∈ ∂Ω şi suficient de mic. Notăm cu 0ε > ( )B xε sfera

{ },ny y x y∈ − < ε şi ( )B xεε= ∂ Ω∑ ∩ , Bε εΓ = ∂Ω ∩ (a se vedea

figura 1.9.1).

Fig. 1.9.1


Aplicăm, funcţiilor 1u ≡ , ( ) ( )v y E x y= − şi domeniului ( )\ B xεΩ , a doua formulă a lui Green. Rezultă

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )\

\

0 d

d d

y

B x

.y yy y

u y E x y E x y u y y

E x y E x yu y u y

ε

ε ε

Ω

∂Ω Γ ∑

⎡ ⎤= Δ − − − Δ⎣ ⎦

∂ − ∂ −= σ −

∂ν ∂ν

∫

∫ ∫

=

σ

Din această formulă şi din (367) obţinem

( ) ( )1

\

1d dy y ny y n

E x y E x y

ε ε

−∂Ω Γ ∑ Σ

∂ − ∂ −σ = σ = σ

∂ν ∂ν ω ε∫ ∫ d .ε

∫

Pentru calculul integralei dε∑

σ∫ alegem un sistem de coordonate

( ),ny y′ cu originea în x astfel încât ecuaţia suprafeţei εΣ să fie dată de ecuaţia

( )ny y′= ψ , , cu 1ny D −′ ∈ ⊂ ( )0 0ψ = , ( )0 0∇ψ = şi ( )ny y′< ψ în ( )B xε ( a se vedea figura 1.9.2).

Fig. 1.9.2

În acelaşi sistem de coordonate, ecuaţia suprafeţei este εΣ

( )1 / 222ny y′= ε − , ( ) 1

0ny D −′∀ ∈ ⊂ . Deci { 1nD y y −

ε ′ ′= ∈ .

( ) ( )1 / 222y y ⎫′ ′ψ ≤ ε − ⎬⎭

. Deoarece ( ) ( )0y y′ ′ψ = , rezultă că măsura

mulţimii { }1 ,ny y y D− \ ε′ ′ ′∈ = ε tinde la 0 pentru 0ε → . Adică


1 10 0

1 1lim d lim d2n n

n n Sε ε

− −ε→ ε→Σ

1σ = σ

ω ε ω ε∫ ∫ = ,

unde { } { }, ,n nnS y y y y y yε = ∈ = ε ∈ >∩ 0 .

Cu aceasta lema este complet demonstrată.

LEMA 9.2.2. Există o constantă astfel încât 0C >

( ) ( ), d , nyK x y C x

∂Ω

σ ≤ ∀ ∈∫ . (371)

Demonstraţie: Deoarece funcţia ( )K ⋅ este continuă şi mărginită în exteriorul unei vecinătăţi a frontierei ∂Ω , este suficient să demonstrăm (371) într-o vecinătate ( )0B xε a unui punct 0x ∈ ∂Ω . Fie suficient

de mic astfel încât

0ε >

( ) ( ){ 10 , n

nB x y y y −ε ′ ′∂Ω = ∈∩ , ( ) ,ny g y′=

( ) }2 o funcţie de clasă g ⋅ C . Atunci pentru ( )0x B xε∈ şi

rezultă

( )0y B xε∈ ∩

∂Ω∩

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

1 / 22

2

, , 1

,

n

n

x y y x g y g y x y g y

C x y x g x

−′ ′ ′ ′ ′− ν ≤ − − ∇ − + ∇

′ ′ ′≤ − + −

≤

respectiv ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) .

n n

n

x y x g x x y x g y g x g y

C x y x g y

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− + − ≤ − + − + −

′ ′ ′≤ − + −

≤

Conform cu aceste două inegalităţi şi formulei (367) rezultă că

( ) ( )( ) (

( ) )

2,

+ .

n

nn

K x y C x y x g x x y

x g x−

′ ′ ′ ′ ′≤ − + − −

′−

+

(372)

Din (372) urmează inegalitatea

( )( )

( ) ( )( )( )

0

0

2, d d

d .

ny y

B x

nn n

B x

K x y C x y

x g x x y x g x

ε

ε

−

∂Ω ∂Ω

−

∂Ω

⎛σ ≤ − σ +⎜⎝

′ ′ ′ ′+ − − + −

∫ ∫

∫∩

∩yσ


Dar ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )0

11

d

d .

nn n y

B x

nn n

y

x g x x y x g x

C x g x x y x g x y C

ε

−

∂Ω

−

′ ≤

′ ′ ′ ′− − + − σ ≤

′ ′ ′ ′ ′≤ − − + − ≤

∫

∫∩

Cu aceasta rezultă că ( )

( )

( ) ( )0

0, d ,yB x

.K x y C x B xε

ε∂Ω

σ ≤ ∀ ∈∫∩

Considerând o acoperire finită a frontierei ∂Ω cu vecinătăţi ( )0B xε , rezultă (371). (Pentru stabilirea lui (371) s-a folosit inegalitatea

( )( )

2

1 0

d dr nn

ny

ra a y y Ca ra r

−−

′ ≤

′ ′+ ≤+∫ ∫ C≤ ,

unde este o constantă independentă de a.) C TEOREMA 9.2.3. Pentru orice 0x ∈ ∂Ω au loc relaţiile

( ) ( ) ( )0

0 01lim2x x

x

W x W x x→∈Ω

= + μ , (373)

( ) ( ) ( )0

0 0

\

1lim2

nx x

x

W x W x x→

∈ Ω

= − μ . (374)

Demonstraţie: Începem demonstraţia prin a observa că această teoremă prin formulele (373) şi (374) precizează natura discontinuităţii potenţialului de dublu strat la frontiera domeniului ( )W ⋅ Ω . Faptul că este o funcţie discontinuă pe era deja semnalat prin Lema 9.2.1.

( )W ⋅∂Ω

Fie ,0δ > ( ) { }0 0,nB x x x x xδ = ∈ − < δ (, )B 0xδ δΓ = ∂Ω ∩ . Conform Definiţiei 9.2.3, formula (366) şi conform Teoremei 9.2.1, formula (349) scrisă pentru rezultă 1u ≡

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 0

d d

d

= , d

y yy y

yy

y

W x y E x y x E x y

y x E x y

x K x y y x

∂Ω ∂Ω

∂Ω

∂Ω

∂ ∂= μ − σ = μ − σ

∂ν ∂ν

∂⎡ ⎤+ μ − μ − σ =⎣ ⎦ ∂ν

⎡ ⎤μ + μ − μ σ =⎣ ⎦

∫ ∫

∫

∫

+


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0\

, d

, d ,

y

y

x K x y y x

K x y y x x xδ

δ

Γ

∂Ω Γ

⎡ ⎤= μ + μ − μ σ +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ μ − μ σ ∀ ∈ Ω ∈ ∂Ω⎣ ⎦

∫

∫ , .

Pe de altă parte, conform Lemei 9.2.1, formula (370), deducem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 01, d2yW x K x y y x x

∂Ω

⎡ ⎤= μ − μ σ +⎣ ⎦∫ 0μ

de unde rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0\

12

, ,

, , d

y

y

W x W x x

K x y K x y y x

K x y K x y y xδ

δ

Γ

∂Ω Γ

− − μ ≤

≤ + μ − μ

+ − μ − μ

∫

∫

d

.

σ +

σ

(375)

Ţinând seama de evaluarea (371) din Lema 9.2.2, cât şi de faptul că funcţia este continuă, rezultă că oricare ar fi ( )μ ⋅ 0ε > există ( )δ = δ ε , din continuitatea funcţiei , astfel încât pentru orice ( )μ ⋅ y δ∈ Γ are loc

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0, , d ,yK x y K x y y x xδΓ

+ μ − μ σ ≤ ε ∀∫ ∈ Ω .(376)

Cu , astfel fixat, deoarece funcţia δ ( )K ⋅ este uniform continuă pe ( \ δΩ × ∂Ω Γ ) obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0\

, , d ,yK x y K x y y x xδ∂Ω Γ

− μ − μ σ ≤ ε ∀∫ ∈ Ω , (377)

de îndată ce ( )0x x− ≤ θ ε . Din (375) – (377) rezultă (373). Analog se demonstrează (374). DEFINIŢIA 9.2.4. Fie nΩ ⊂ o mulţime deschisă şi mărginită de clasă ; fie o funcţie continuă. Funcţia 2C :μ ∂Ω →

, (378) ( ) ( ) ( ) ( )0 d , nyW x E x y y x

∂Ω

= − μ σ ∀ ∈∫

0 : nW → , se numeşte potenţial de simplu strat cu densitatea μ . ( ( )E ⋅ în (378) este soluţia fundamentală pentru operatorul lui Laplace. )


PROPOZIŢIA 9.2.3. Potenţialul de simplu strat ( )0W ⋅ , definit de (378), are proprietăţile:

i. ( ) ( )20 \n nW ∈ ∂Ω ∩C C

∂Ω

şi

( ) ( )0 0, \nW x xΔ = ∀ ∈ ; (379) ii. Există o constantă pozitivă C independentă de x astfel încât

( ) ( ) ( )20 1 sup ,n nW x C x x−

∂Ω≤ + μ ∀ ∈ . (380)

Demonstraţia rezultă în manieră standard din proprietăţile soluţiei fundamentale ( )E ⋅ şi de aceea o vom omite. Dacă x este într-o vecinătate suficient de mică a frontierei ∂Ω , atunci x admite o proiecţie unică pe şi deci există ∂Ω 0x unic pe astfel încât ∂Ω

( )0x x∈ ν (normala la ∂Ω în 0x ). Definim în acest caz ( ) ( 0 )x xν = ν şi putem considera derivata, după versorul normalei în ( 0 )x x∈ ±ν , funcţiei

, ( )0W ⋅

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

00

0 0

, d

, .

,yx

E x yW x W x x y

x x x x∂Ω

∂ −∂= ∇ ν = μ

∂ν ∂ν

∀ ∈ ±ν ≠

∫ σ

(381)

Conform (368) rezultă că derivata normală ( )0W x∂∂ν

este bine definită şi

pentru 0x x= , iar funcţia ( )0W∂⋅

∂ν este chiar continuă pe ∂Ω . Pe de altă parte,

funcţia ( )0W∂⋅

∂ν are la frontieră o comportare asemănătoare cu aceea a

potenţialului de dublu strat. Mai precis, are loc următoarea „teoremă de salt”. TEOREMA 9.2.4. Pentru orice 0x ∈ ∂Ω au loc relaţiile

( )

( ) ( ) (0

0

0 00

1lim2x x

x x

W W )0x x→

∈−ν

∂ ∂= − μ

∂ν ∂νx , (382)

( )

( ) ( ) ( )00

0 00

1lim .2x x

x x

W W0x x

→∈ν

∂ ∂= + μ

∂ν ∂νx (383)

Demonstraţie: Vom omite din demonstraţie unele detalii tehnice care, de altfel, pot fi făcute cu uşurinţă de cititor. Pentru ( )0x x∈ −ν rezultă


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

0

1

d

, d

,

yy

y

E x yW x y

y E x y x y

W x W x

∂Ω

∂Ω

∂ −∂= − μ σ +

∂ν ∂ν

+ μ ∇ − ν − ν σ =

= − +

∫

∫

unde am notat cu potenţialul de dublu strat cu densitatea . Însă,

conform Teoremei 9.2.3,

( )W ⋅ μ

( )

( ) ( ) (0

0

01lim2x x

x x

W x W x x→

∈−ν

= + μ )0 , (a se vedea

(373)). Cu aceasta, pentru a stabili (382) este suficient să verificăm relaţia

( )

( ) ( )0

0

1 1lim .x x

x x

W x W x→

∈−ν

0= (384)

Pentru aceasta evaluăm diferenţa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

0

1 1 0

0 0

0 0

,

, d

,

, d ,

B x

y

y

W x W x y E x y x y

x y x y

y E x y x y

E x y x y

δ

δ

∂Ω

∑

− ≤ μ ∇ − ν − ν

− ∇Ε − ν − ν σ +

+ μ ∇ − ν − ν −

− ∇ − ν − ν σ

∫

∫

∩

−

unde ( )( )0\ B xδδ= ∂Ω ∂Ω∑ ∩ , iar ( ) { }0 0,nB x y y y xδ = ∈ − < δ ,

. Avem, evident, relaţia 0δ >( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

0

0

0

1 1 0

0 0

0

0 0

, d

d

, d 2 ,

yB x

yB x

yB x

W x W x

C E x y E x y x y

C E x y x x

C E x y E x y x y

δ

δ

δ

∂Ω

∂Ω

∂Ω

− ≤

≤ ∇ − − ∇ − ν − ν σ

+ ∇ − ν − ν σ + ε ≤

≤ ∇ − − ∇ − ν − ν σ

∫

∫

∫

∩

∩

∩

+

+ ε

de îndată ce ( )0x x− ≤ ρ ε . Pentru a evalua integrala rămasă, se ţine cont de estimarea locală

( ) ( )( ) ( ) ( )20 0, , .x y x y C x y x x− ν − ν ≤ − ∀ ∈ −ν


Rezultă de aici că integrala ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )0

0 0, d yB x

E x y E x y x yδ ∂Ω

∇ − − ∇ − ν − ν σ∫∩

este uniform convergentă şi deci poate fi făcută mai mică decât Cε pentru δ suficient de mic. Prin urmare, oricare ar fi 0ε > există ( ) 0θ ε > aşa încât oricare ar fi x cu ( )0x x− ≤ θ ε rezultă ( ) ( )1 1 0W x W x− ≤ ε , ceea ce demonstrează (384). Observaţia 9.2.2. Pentru rezultatele privind potenţialul de dublu strat respectiv de simplu strat, ipoteza că ∂Ω este suprafaţă de clasă este excesiv de restrictivă. Ar fi fost suficient să presupunem că

2C∂Ω este suprafaţă

Liapunov. DEFINIŢIA 9.2.5. O varietate ∑ se numeşte suprafaţă Liapunov dacă: i. există hiperplan tangent în orice punct 0x ∈ ∑ ; ii. există astfel încât pentru orice 0r > 0x ∈ ∑ mulţimea ( )0 ,B x r∑ ∩ este conexă şi este intersectată de drepte paralele cu normala ( 0 )xν în cel mult un punct; iii. normala ( )xν este Hőlder continuă pe ∑ , adică există şi

astfel încât 0C >

( 0, 1α ∈ ) ( ) ( ) ( ), ,x y C x y α x yν − ν ≤ − ∀ ∈ ∑ .

9.3 Funcţia Green pentru operatorul lui Laplace şi un domeniu . Cazul sferei nΩ ⊂ ( )0, nB a ⊂ . Principiul de maxim

DEFINIŢIA 9.3.1. Fie Ω o mulţime deschisă din cu de clasă pe porţiuni. Se numeşte funcţie Green pentru operatorul lui Laplace şi

domeniul Ω o funcţie

n ∂Ω1C

:G Ω × Ω → cu proprietăţile: i. ( ) ( ) ( ), ,G x y g x y E x y= − − , cu :g Ω × Ω → funcţie

armonică pe Ω , continuă pe Ω ca funcţie de y, iar aplicaţia ( ),gy ∂→ ⋅

∂ν⋅

este continuă pe ∂Ω . ( ( )E ⋅ soluţia fundamentală a operatorului lui Laplace.) ii. ( ) ( ), 0, ,G x y x y= ∀ ∈ Ω ∈ ∂Ω . Observaţia 9.3.1 – Funcţia ( ),g ⋅ ⋅ din Definiţia 9.3.1 este soluţie a problemei Dirichlet interioare

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 0,

, ,y g x y y

g x y E x y y

⎧Δ = ∀ ∈ Ω⎪⎨

= − ∀ ∈⎪⎩ ∂Ω. (385)

– Funcţia ( ),g ⋅ ⋅ , soluţie a problemei Dirichlet interioare (385), este unic determinată. Unicitatea funcţiei ( ),g ⋅ ⋅ rezultă printr-un raţionament de reducere la absurd şi din aplicarea primei formule integrale Green ansamblului


( )1 2 1 2, , ,g g g g− − Ω ∂Ω , cu ( )1 ,g ⋅ ⋅ , ( )2 ,g ⋅ ⋅ două soluţii, presupuse distincte, pentru (385). Rezultă 1 2g g≡ .

– Cunoaşterea funcţiei ( ),g ⋅ ⋅ , soluţie pentru (385), deci a funcţiei Green pentru operatorul lui Laplace şi un domeniu Ω permite reprezentarea soluţiei problemei Dirichlet interioare.

TEOREMA 9.3.1. Fie ( )f ∈ ΩC , ( )ϕ ∈ ∂ΩC şi ( )2u ∈ Ω ∩C(Ω∩ C ) o soluţie a problemei Dirichlet interioare

,

.u f în

u ∂Ω

Δ = Ω⎧⎨

= ϕ⎩ (386)

Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), d , d ,yy

Gu x G x y f y y y x y xΩ ∂Ω

,∂= − − ϕ σ ∈ Ω

∂ν∫ ∫ (387)

unde ( ),G ⋅ ⋅ este funcţia lui Green ataşată operatorului lui Laplace şi domeniului . Ω Demonstraţie: Conform formulei Riemann - Green (349), rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d d

d .

y

yy

uu x E x y f y y E x y y

Ey x y

Ω ∂Ω

∂Ω

∂= − − − σ

∂ν

∂+ ϕ − σ

∂ν

∫ ∫

∫

+

(388)

Se aplică a doua formulă a lui Green ansamblului ( ), , ,g u Ω ∂Ω . Obţinem

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, ,

, , d ,

yy

y

u gg x y y u y x y

g x y u y u y g x y y∂Ω

Ω

∂ ∂⎡ ⎤− σ⎢ ⎥∂ν ∂ν⎣ ⎦

⎡ ⎤= Δ − Δ⎣ ⎦

∫

∫

d =

adică, ţinând seama de (385) şi (386),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 , d , , d yy

g ug x y f y y y x y g x y yΩ Ω

∂ ∂⎡ ⎤= − − ϕ − σ⎢ ⎥∂ν ∂ν⎣ ⎦∫ ∫ .(389)

Prin însumarea relaţiilor (388) şi (389) deducem (387). PROPOZIŢIA 9.3.1 (Funcţia Green pentru operatorul lui Laplace şi

sfera { },naB x x x a= ∈ < ). Funcţia Green pentru operatorul lui

Laplace şi sfera { }, ,naB x x x a n= ∈ < ≥ 3 este


( )

( ) ( ){ } { }

( )( )

{ }

22

2

2

2

,

, , \ 0 , \

1 , 0, \ 02

nn

a a

ann

E x y a x E x y

aG x y x x x B y B xx

E y x y Bn a

−− ∗

∗

−

⎧− − + −⎪⎪⎪= = ∈ ∈⎨⎪⎪− − = ∈⎪ − ω⎩

.

3

(390)

Demonstraţie: Se consideră sfera în , de centru 0 şi rază a,

drept domeniu ; notăm

,n n ≥

Ω { },naB x x x a= ∈ < . ( S-a notat (0, )B a cu

aB .)

Fig. 1.9.3

Căutăm funcţia Green, pentru operatorul lui Laplace şi sfera aB , sub forma

( ) ( ) ( ), , aG x y E x y E x y x y B x y∗ , , ,= − − + α − ∈ ≠ (391)

unde 2

2ax xx

∗ = , iar α este o constantă ce urmează să fie determinată din

condiţia ii. din Definiţia 9.3.1. Deoarece x∗ este simetricul prin inversiune a punctului x faţă de suprafaţa sferei aB , în planul determinat de punctele

triunghiurile 0, şi y x∗ xOy şi x Oy∗ din figura 1.9.3 sunt asemenea, deci x ya

ax x y∗ ∗

−= =

−

x . Cu aceasta, rezultă că 1 1a x x y x y− −∗= − −

şi 22x a x x −∗ = . Impunând condiţia ca ( ),G x y 0= pentru y = a va

trebui să luăm 22 nna x

−−α = . ( S-a ţinut seama de Definiţia 9.2.1, (347).)


Prelungind prin continuitate în 0x = se vede că funcţia (390) este funcţie Green pentru operatorul lui Laplace şi sfera aB .

TEOREMA 9.3.2 – Funcţia Green pentru operatorul lui Laplace şi sfera ( 0, )B a are proprietăţile:

( ) ( ) ( ), , , , aG x y G y x x y B= ∀ ;∈

Există y

G∂∂ν

şi 22

,a

any nB

G a x y Ba x y∂

∂ −= − ∈

∂ν ω −∂ .

– Soluţia problemei Dirichlet interioare

( )0

0, ,

u ,a

a

B a

u în B

B∂

Δ =⎧⎪⎨

= ϕ ϕ ∈ ∂⎪⎩ C (392)


( )( ) ( )

22 d,

a

yan

n B

ya xu x x Ba x y∂

ϕ σ−= ∀

ω −∫ .∈ (393)

– Fie ( )aBϕ ∈ ∂C . Atunci funcţia ( )u ⋅ definită de

( )( ) ( )

( ) ( )

22 d,

,

,a

yan

n B

a

ya x x Bau x x y

x x B∂

⎧ ϕ σ−∀ ∈⎪⎪ ω= −⎨

⎪ϕ ∀⎪⎩

∫∈

(394)

aparţine spaţiului ( ) ( )2 0a aB B∩C C şi este soluţie a problemei Dirichlet

(391). Demonstraţie: Conform definiţiei soluţiei fundamentale, Definiţia 9.2.1, (347), şi conform (390) rezultă imediat că ( ) ( ), ,G x y G y x= , ( ) , ,ax y B x∀ ∈ ≠ y . Conform definiţiei derivatei unui câmp scalar în raport cu un versor, în

acest caz ,yy ya

ν = vectorul de poziţie al unui punct pe aB∂ , se calculează cu

uşurinţă a

y B

G

∂

∂∂ν

, şi anume


( ) ( ) ( )( )

( ) ( )3

2

22

1 1, ,

, ,

.

a aa

Ba

Ba

y yB By B

n

n n nn n

nn

G y G x y G x y ya a

x y y x y yaa x y x x y

a xa x y

∂

∂

∂ ∂∂

∗−

− ∗

∂= ∇ = ∇

∂ν

⎡ ⎤− −= − ⋅⎢ ⎥

ω −⎢ ⎥ω −⎣ ⎦

−= −

ω −

, =

=

(395)

Conform Teoremei 9.3.1, formula (387) şi conform (395) rezultă că soluţia problemei Dirichlet interioare (391), dacă există, admite formula de reprezentare

( ) ( ) ( )22

d ,a

ynn B

ya xu x x Ba x y∂

ϕ−= σ

ω −∫ .a∀ ∈

)

(396)

Formula (396) se numeşte formula integrală a lui Poisson. Subliniem că formula (396) nu dă decât o formulă de reprezentare a soluţiei problemei Dirichlet interioare (392), în caz că problema (392) admite soluţie. Ultima parte a acestei teoreme furnizează chiar un rezultat de existenţă a soluţiei problemei Dirichlet interioare pe un domeniu sferic. Într-adevăr, este evident că funcţia , dată de (393), aparţine spaţiului ( )u ⋅ (2

aBC . Amintind faptul că , rezultă din formula (393) că ( ),xG x yΔ 0= ( ) 0u xΔ = oricare ar fi ax B∈ . Pentru a demonstra continuitatea funcţiei u pe aB , deci pe frontieră, folosind formula de reprezentare (387) respectiv (395), conform Teoremei 9.3.1, scrisă pentru deducem relaţia 1u ≡

( )22 d

1,a

yan

n B

a x x Ba x y∂

σ−= ∀ ∈

ω −∫ . (397)

Pentru simplificare, vom nota cu ( )0 ,K x y nucleul Poisson,

( )22

0 , nn

a xK x yx y−

=ω −

.

Evident ( ) ( )0 , d 1,a

y aB

K x y x B∂

σ = ∀ ∈∫ . Conform ipotezei data la frontieră

este funcţie continuă pe ( )ϕ ⋅ aB∂ , ceea ce revine la:


Fie 0 ax B∈ ∂ . Oricare ar fi 0ε > există ( ) 0δ = δ ε > astfel încât oricare ar fi cu ay B∈ ∂ ( )0y x− < δ ε rezultă ( ) ( )0y xϕ − ϕ < ε .

Folosind proprietatea nucleului lui Poisson şi continuitatea pe aB∂ a funcţiei , pentru orice ( )ϕ ⋅ ax B∈ rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

0 0 0

0 0

0 0

22 10

, d

, d

, d

2 / 2 dacă ,2

a

yB

yy x

yy x

nn

u x u x K x y y x

K x y y x

K x y y x

M a x a x x

∂

− ≤δ

− >δ

− −

− ≤ ϕ − ϕ σ ≤

≤ ϕ − ϕ σ +

+ ϕ − ϕ σ ≤

δ≤ ε + − δ ω − ≤

∫

∫

∫

cu dat de continuitatea funcţiei δ ( )ϕ ⋅ în 0x şi cu ( ){sup ,M y= ϕ

}ay B∈ ∂ . Deoarece funcţia 22a x− este continuă pe aB∂ şi

( )0

22lim 0x x

a x→

− = rezultă că oricare ar fi 0ε > există ( ) 0δ = δ ε >

astfel încât pentru orice ax B∈ cu 0x x− ≤ δ rezultă ( ) ( )0 2u x u x− ≤ ε , deci, ( )u ⋅ dat de (394) este continuă pe aB∂ .

TEOREMA 9.3.2 (Principiul de maxim). O funcţie armonică ( )u ⋅ într-un domeniu nΩ = Ω ∂Ω ⊂∪ cu derivate parţiale de ordinul al doilea continue în îşi atinge maximul şi minimul pe Ω ∂Ω .

Demonstraţie: Fie armonică în : nu Ω ⊂ → Ω , în 0uΔ = Ω . Fie ( ){ }: max ,m u x x= ∈ ∂Ω . Prin absurd presupunem că maximul funcţiei în Ω se atinge într-un punct ; fie deci ( )u ⋅ ∂Ω∪ 0x ∈ Ω

( ){ } ( )0: max ,M u x x u x m= ∈ Ω = > . Se notează cu diametrul mulţimii

:d =

( ){ }max , ; ,r P Q P QΩ = ∈ Ω . Se consideră funcţia auxiliară

( ) ( ) 2022d

M mv x u x x x−= + − .

Evident ( ) ( )0 0 0,v x u x M x= = ∈ Ω

şi

( ) ( )22 d ,

22dM m M mv x m M x− +

≤ + = < ∀ ∈ ∂Ω .


Cu aceasta rezultă că maximul funcţiei auxiliare ( )v ⋅ se atinge în intΩ = Ω . Dar, într-un punct de maximum, dacă este punct interior pentru Ω , au loc în mod necesar condiţiile

2

20, 1, , 0, 1,i i

v vi n i nx x∂ ∂

= = ≤ =∂ ∂

.

Prin urmare în punctul de maxim pentru 0vΔ ≤ ( )v ⋅ . Pe de altă parte, prin calcul direct din expresia lui ( )v ⋅ , rezultă

202 22 0

2d 2M m M mv u x x n

d− −

Δ = Δ + Δ − = > .

S-a ajuns la o contradicţie deci ipoteza de absurd este falsă. Aceasta revine la faptul că . Prin urmare maximul funcţiei armonice 0x ∈ ∂Ω ( )u ⋅ se atinge pe

. ∂ΩAplicând rezultatul obţinut mai sus funcţiei armonice ( )u− ⋅ , rezultă că

minimul funcţiei armonice ( )u ⋅ se atinge tot pe ∂Ω .

9.4 Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Dirichlet Pentru demonstrarea teoremei de existenţă a soluţiei problemei Dirichlet

interioare relativ la un domeniu ,n n 3Ω ⊂ ≥ sunt necesare câteva noţiuni şi rezultate de analiză n - dimensională şi funcţională. Fiind vorba, în cea mai mare parte, de rezultate tratate pe larg în manualele şi cursurile de analiză, vom omite demonstraţiile şi trimitem cititorul la tratatele menţionate la bibliografie, pentru completări şi demonstraţii.

DEFINIŢIA 9.4.1. Fie ( ){ 1, ..., , ,nn i i iH x x x x a x b= = ∈ ≤ ≤

}1,i = n un paralelipiped închis.

– Fie D o mulţime deschisă din şi n

1,

s

ii

F F H H=

⎧= =⎨⎩

∪F i un

paralelipiped închis, }1, ,i s s ∗= ∈ . Se notează cu ( )m F volumul mulţimii F. Prin definiţie se numeşte măsura (volumul) mulţimii D numărul

( ) ( ){ }sup ; ,m D m F F D F= ⊂ F∈ .

– Fie K o mulţime compactă din . Prin definiţie se numeşte măsura mulţimii K numărul

n

( ) ( ){ }( ){ }

inf ; ,

inf ; , .

m K m F F K F

m D K D D deschisă

= ⊃ ∈

= ⊂

F =

– Fie A o mulţime mărginită din . Prin definiţie se numeşte măsura exterioară

n

( )m A∗ a mulţimii A numărul


( ) ( ){ }inf ; , .m A m D A D D deschisă∗ = ⊂ Prin definiţie se numeşte măsura interioară ( )

*m A a mulţimii A

numărul ( ) ( ){ }sup ; , .m A m K K A K compactă∗ = ⊂

Mulţimea A se numeşte măsurabilă dacă ( ) (*m A m A∗= ) . Valoarea comună se numeşte măsura mulţimii A. ( )m A Dacă B este o mulţime nemărginită din atunci, prin definiţie B se numeşte măsurabilă dacă pentru orice

n

0R > mulţimea RB S∩ este

măsurabilă ( { },nRS x x x= ∈ ≤ R ).

DEFINIŢIA 9.4.2 – Fie . Prin definiţie funcţia f se numeşte măsurabilă dacă pentru orice

: nf →λ ∈ mulţimea

( ){ },nx x f x∈ ≥ λ

iA

este măsurabilă. – Funcţia f, prin definiţie, se numeşte etajată dacă este de forma

( ) ( )1

,i

Nn

A ii

f x x a x=

= χ ∈∑

unde sunt mulţimi mărginite măsurabile disjuncte, ,ia ∈ i jA A = ∅∩ pentru i ; j≠

iAχ este funcţia caracteristică a mulţimii iA .

– Fie { }k kf ∈ un şir de funcţii măsurabile. Prin definiţie şirul de funcţii converge aproape peste tot (abreviat a.p.t.) la funcţia f dacă

mulţimea

{ }k kf ∈

( ) ( ){ },nkx x f x f∈ → x este de măsură nulă.

DEFINIŢIA 9.4.3 – Fie o funcţie etajată, : nf → ( )f x =

( )1

i

N

A ii

x a=

= χ∑ . Prin definiţie integrala Lebesgue a funcţiei f este numărul

( ) ( )1

N

i ii

I f m A=

= ∑ a .

– Fie : nf +→ , o funcţie măsurabilă. Prin definiţie funcţia f se numeşte integrabilă Lebesgue dacă

( ) ( ){ }sup 0 , .I f I f etajată= ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ < ∞ Prin definiţie ( )I f se numeşte integrala Lebesgue a funcţiei f şi se notează

( ) ( )dI f f x= ∫ x .


– Fie : nf → . Se definesc funcţiile , : nf f+ −+→ prin

. Prin definiţie funcţia f se numeşte

integrabilă Lebesgue dacă funcţiile

, 0,

0 , 0f f

ff

+ ≥⎧= ⎨ <⎩

0 , 0, 0

ff

f f− >⎧= ⎨− ≤⎩

f + şi f − sunt integrabile Lebesgue. Prin definiţie integrala Lebesgue a funcţiei f este

( ) ( ) ( )d d df x x f x x f x x+ −= −∫ ∫ ∫ .

DEFINIŢIA 9.4.4. Fie Ω o mulţime măsurabilă din şi 1n p≤ < ∞ . Prin definiţie

( ) ( )1 /

: dppp

pL f f măsurabilă a.î. f f x xΩ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞Ω = Ω → = < ∞⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

∫ .

Observaţia 9.4.1 – Spaţiul ( )pL Ω este spaţiu Banach cu norma pf , iar

convergenţa unui şir { }k kf ∈ în această normă se numeşte convergenţă în medie.

– În ( )pL Ω are loc inegalitatea lui Hőlder

( ) ( ) ( ) ( )1 / 1 /

d dp qp qf x g x x f x x g x x

Ω Ω Ω

⎛ ⎞ ⎛≤ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∫ ∫ ∫ d ⎞⎟⎠

,

oricare ar fi ( )pf L∈ Ω , ( )qg L∈ Ω cu 1 1 1p q+ = .

TEOREMA 9.4.1 ( Tonelli). Dacă ( ), d

B

f x y y a.p.t. x A< ∞ ∈∫

şi ( ), d d

A B

f x y y x⎛ ⎞ < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ,

atunci ( )1f L A B∈ × . TEOREMA 9.4.2 ( Fubini ). Dacă ( )1f L A B∈ × , atunci

( ) ( ) ( ) ( )1 1, , , dB

f x L B a.p.t. x A f x y y L⋅ ∈ ∈ ∈∫ A

şi ( ) ( ) ( ) ( )1 1, , , d

A

f y L A a.p.t. y B f x y x L B⋅ ∈ ∈ ∈∫ .

În plus, are loc egalitatea ( ) ( ) ( )d , d d , d , d d

A B B A A B

x f x y y y f x y x f x y x y×

= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .


Pentru noţiunile de mai sus a se vedea [16]. DEFINIŢIA 9.4.5. Fie X şi Y două spaţii Banach. Un operator liniar

se numeşte continuu dacă există o constantă :T X Y→ 0M > astfel încât

( ), .Y XTx M x x X≤ ∀ ∈ (398)

Constanta minimă M pentru care inegalitatea (398) are loc se numeşte norma operatorului T.

Spaţiul operatorilor liniari continui de la X în Y se notează ( ),X YL . DEFINIŢIA 9.4.6. Un operator ( ),T X Y∈ L se numeşte complet

continuu sau compact dacă pentru orice mulţime mărginită A X⊂ imaginea ( )T A este relativ compactă în X.

PROPOZIŢIA 9.4.1. Fie { }n nT ∈ un şir de operatori complet continui şi ( ),T X∈ L Y astfel încât lim 0nn

T T→∞

− = . Atunci T este

complet continuu. DEFINIŢIA 9.4.7. Fie X, Y două spaţii Banach şi X ∗ , Y dualele lor.

Fie

∗

( ),T X∈ L Y∗

.

. Se numeşte dualul operatorului T, operatorul definit de :T Y X∗ ∗ →

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,Tx y x T y x X y Y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= ∀ ∈ ∀ ∈

(Prin ( ),f y∗ s-a notat valoarea funcţionalei y Y∗ ∗∈ în f Y∈ ;

( ),T Y∗ ∗∈ L X ∗ . ) PROPOZIŢIA 9.4.2. Dacă T este complet continuu, atunci T este

complet continuu. ∗

DEFINIŢIA 9.4.8. Fie ( ),T X Y∈L . Numărul complex se numeşte valoare proprie pentru operatorul T dacă ecuaţia

λ

0Tx x− λ = (399) admite o soluţie nenulă. Soluţiile ecuaţiei (399) se numesc vectori proprii ai operatorului T corespunzători lui λ . Dimensiunea spaţiului liniar al vectorilor proprii corespunzători lui λ se numeşte rangul valorii proprii λ .

Observaţia 9.4.2. Studiul valorilor proprii ale unui operator complet continuu într-un spaţiu Banach, precum şi al ecuaţiei neomogene Tx x f− λ = (400)

face obiectul teoriei lui Riesz - Fredholm stabilită de I. Fredholm (1866-1927) pentru operatori integrali şi extinsă de F. Riesz (1880-1953) la clasa operatorilor complet continui. Conţinutul acestei teorii va fi dat de teorema care urmează, teoremă cunoscută sub numele de alternativa lui Fredholm.


TEOREMA 9.4.3 (alternativa lui Fredholm). Fie X un spaţiu Banach, dualul său şi un operator complet continuu pe X. Atunci: X ∗ ( ,T X∈L )X

i. Mulţimea valorilor proprii este cel mult numărabilă fără alt punct de acumulare decât . Fiecare valoare proprie are multiplicitate finită; 0λ =

ii. Dacă λ este valoare proprie pentru T, atunci λ este valoare proprie pentru T de acelaşi rang cu ∗ λ ;

iii. Dacă nu este valoare proprie pentru T, atunci ecuaţia (400) admite pentru orice f soluţie unică;

λ

iv. Dacă este valoare proprie pentru T, atunci ecuaţia (400) admite soluţie dacă şi numai dacă

λ( ),x f∗ 0= pentru orice soluţie a ecuaţiei

0Tx x∗ ∗− λ = . (401) Observaţia 9.4.3 – Alternativa lui Fredholm afirmă în fapt pe scurt că ori

ecuaţia (400) admite soluţie unică pentru orice f ori ecuaţia omogenă admite soluţie nebanală şi în acest caz ecuaţia (400) admite soluţie

dacă şi numai dacă f este „ortogonală” pe toate soluţiile ecuaţiei omogene adjuncte (401).

0Tx x− λ =

– În cazul în care spaţiul X este finit dimensional aceasta se reduce la binecunoscuta teorie de rezolvare a sistemelor algebrice liniare (teoria Kronecker - Rouché - Cappelli).

Vom omite demonstraţia pentru Teorema 9.4.3, teoremă deosebit de importantă pentru care trimitem cititorul la textele clasice de analiză funcţională, v. [5], [8], [9], [14].

În continuare ne ocupăm de problema Dirichlet interioară

în pe

u fuΔ = Ω⎧

⎨ = ϕ ∂⎩ Ω, (402)

unde este o mulţime deschisă şi mărginită din , iar Ω n ( )f ∈ ΩC şi ( )ϕ ∈ ∂ΩC .

Dacă ( )1f ∈ ΩC , atunci, conform Teoremei 9.2.2, ecuaţia din

problema (402) admite soluţia particulară ( ) ( )0 2 1 nu ∈ Ω ∩C C ,

(403) ( ) ( ) ( ) ( )0 d , .nu x E x y f y y xΩ

= − ∀ ∈∫De aceea, făcând schimbarea de funcţie , problema (402) se poate reduce la problema omogenă

0u u→ + v

( ) ( )

( ) ( ) ( )0 ,

,v x x

v x x x⎧Δ = ∀ ∈⎨

Ω

= ϕ ∀ ∈⎩ ∂Ω. (404)


Studiul existenţei soluţiei problemei (403) se poate face prin două metode diferite care conduc, totuşi , la rezultate apropiate. Aceste metode sunt cunoscute în literatură sub denumirea de metoda lui Perron, respectiv metoda ecuaţiilor integrale (metoda lui Fredholm).

Dăm în continuare metoda ecuaţiilor integrale. TEOREMA 9.4.4. Fie nΩ ⊂ un domeniu mărginit cu frontiera de

clasă şi 2C ( ) ( )2f ∈ Ω Ω∩C C , ( )ϕ ∈ ∂ΩC . Atunci problema Dirichlet interioară (402) admite soluţie unică ( ) ( )2u ∈ Ω Ω∩C C .

Demonstraţie: Cum am arătat mai sus problema (402) se reduce la problema (404). Renotăm funcţia ( )v ⋅ din (404) tot cu ( )u ⋅ şi ne ocupăm deci de problema

0 în u

u ∂Ω

Δ = Ω⎧⎪⎨ = ϕ⎪⎩

. (404')

Conform ipotezei este de clasă şi căutăm pentru (404') soluţia sub forma unui potenţial de dublu strat

∂Ω 2C

( )( )

( ) ( )

,1 ,2

W x xu x

W x x x

⎧ ∈⎪= ⎨

Ω

+ μ ∈⎪⎩∂Ω

, (405)

unde

( ) ( ) ( )d yy

E x yW x y

∂Ω

∂ −= μ

∂ν∫ σ

)

,

iar este o funcţie necunoscută. Conform Propoziţiei 9.2.2, (μ ∈ ∂ΩC( ) ( )2u ∈ Ω Ω∩C C şi ( ) ( )0,u x xΔ = ∀ ∈ Ω . Prin urmare, u pe = ϕ ∂Ω

dacă funcţia satisface ecuaţia integrală ( )ϕ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )1 , d ,2 yx K x y y x x

∂Ω

μ + μ σ = ϕ ∈ ∂Ω∫ , (406)

unde

( ) ( ) ( )( ),, n

y n

x y yK x y E x y

x y

− ν∂= − = −∂ν ω −

.

Notăm cu ( ) ( ):T ∂Ω → ∂ΩC C operatorul

. (407) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), d ,yT x K x y y x∂Ω

μ = μ σ ∀ ∈∫ ∂Ω


Vom demonstra, în continuare, că operatorul T este continuu pe ( )∂ΩC . Să observăm că am arătat deja, conform Propoziţiei 9.2.2, că operatorul T aplică spaţiul ( )∂ΩC în el însuşi. Pentru a demonstra continuitatea operatorului

T pe ( )∂ΩC considerăm { } ( )n n∈μ ⊂ ∂C Ω μ cu proprietatea că { }

pe . Utilizând Lema 9.2.2, rezultă că oricare ar fi n n

u∈μ →

∂Ω 0ε > există ( )N ∗ε ∈ astfel încât pentru ( )n N≥ ε , ( ) ( )n y yμ − μ ≤ ε , ( ) y∀ ∈ ∂Ω şi deci pentru ( )n N≥ ε , cu ( )N ε dat de convergenţa uniformă a şirului { }n n∈μ la ( )μ ⋅ pe ∂Ω ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

, d

, d ,

n n

y

T T x K x y y y

K x y C x∂Ω

∂Ω

μ − μ ≤ μ − μ σ ≤

≤ ε σ ≤ ε ∀ ∈ ∂Ω

∫

∫ .

y

Deci,

{ }nuT Tμ → μ pe ∂Ω ,

adică { }nT Tμ → μ în ( )∂ΩC . Demonstrăm, în plus, că operatorul T este şi complet continuu de la

( )2L ∂Ω în el însuşi. Arătăm mai întâi că ( )( ) (2 2T L L )∂Ω ⊂ ∂Ω şi că T este continuu pe

( )2L ∂Ω . Fie ( )2Lμ ∈ ∂Ω . Are loc egalitatea

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 / 2 1 / 2, , ,K x y y K x y K x y yμ = μ .

Conform inegalităţii lui Hölder (cu 12

p q= = ), rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 / 21 / 2 2

, d , d

, d , d

y y

y y

T x K x y y K x y y

K x y K x y y

∂Ω ∂Ω

∂Ω ∂Ω

μ ≤ μ σ ≤ μ σ ≤

⎛ ⎞⎛ ⎞≤ σ μ σ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

∫ ∫

∫ ∫ ;⎠

(408)

adică conform (408) şi (371) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

2

, d , d

, d , .

y y

y

T x K x y K x y y

C K x y y x

∂Ω ∂Ω

∂Ω

μ ≤ σ ⋅ μ σ

≤ μ σ ∀ ∈ ∂

∫ ∫

∫

≤

Ω


Pe de altă parte, deoarece ∂Ω este de clasă rezultă că 2C

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2, , n nK x y K y x C x y x y C x y− −− ≤ ν − ν − ≤ − , astfel că urmând demonstraţia din Lema 9.2.2 deducem

( ) ( ), d ,xK x y C y∂Ω

σ ≤ ∀ ∈ ∂∫ Ω .

Prin urmare

( ) ( ) ( )2 2, d d d .x y yy K x y C y∂Ω ∂Ω ∂Ω

⎛ ⎞μ σ σ ≤ μ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ σ (409)

Conform teoremei lui Tonelli (Teorema 9.4.1) rezultă că ( ) ( ) (2 1,K x y y Lμ ∈ ∂Ω × ∂ )Ω şi, conform teoremei lui Fubini (Teorema

9.4.2), deducem

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

, d d

, d d

, d d .

x y

y x

x y

y K x y

K x y y

K x y y

∂Ω ∂Ω

∂Ω ∂Ω

∂Ω×∂Ω

⎛ ⎞μ σ σ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= μ σ⎜ ⎟⎝ ⎠

= μ σ

∫ ∫

∫ ∫

∫

σ =

σ

(410)

Din (408), (409) şi (410) rezultă că ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2d d ,T x C y L

∂Ω ∂Ω

μ σ ≤ μ σ ∀ μ ∈ ∂∫ ∫ Ω .

Deci, T este continuu, conform Definiţiei 9.4.4, pe ( )2L ∂Ω . Pentru a demonstra că operatorul T este complet continuu avem de arătat că T verifică Definiţia 9.4.5. În acest sens vom demonstra, în prealabil, că T este limita uniformă a unui şir de operatori compacţi pe ( )2L ∂Ω , deci este un operator compact pe

( )2L ∂Ω . Pentru aceasta aproximăm operatorul T prin familia de operatori { } 0Tε ε> , unde

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), d ,yT x K x y y xε ε∂Ω

μ = μ σ ∀ ∈ ∂∫ Ω

şi

( )( )

( )( ), ,

, .,,n

n

K x y x yK x y x y y

x yε

⎧ − ≥ ε⎪

= − ν⎨− − < ε⎪ ω ε⎩


Funcţia ( ),Kε ⋅ ⋅ este uniform continuă pe ∂Ω × ∂Ω şi din relaţiile

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 2, d ,y LT x K x y xε ε ∂Ω

∂Ω

μ ≤ σ μ ∀ ∈∫ ∂Ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 2, , d y LT x T x K x y K x yε ε ε ε ∂Ω

∂Ω

μ − μ ≤ − σ μ∫

rezultă că pentru orice şi orice mulţime mărginită din 0ε > M ( )2L ∂Ω mulţimea ( )Tε ⊂ ∂ΩM C este o familie de funcţii egal mărginite şi egal uniform continue. Deci conform teoremei lui Arzelà - Ascoli, mulţimea T este relativ compactă în

ε M( )∂ΩC şi în mod implicit în ( )2L ∂Ω . Prin urmare, pentru orice

, 0ε > ( ) (2 2:T L Lε )∂Ω → ∂Ω este compact. Vom arăta acum că în topologia convergenţei uniforme. Pornim de la relaţia evidentă

0lim Tεε→

= T

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

d

, , d d

, , d d

, d

x y

x y

n n d .x yx y

T x T x

K x y K x y

K x y K x y y

C x y y x y y

ε∂Ω

ε∂Ω×∂Ω

ε∂Ω×∂Ω

− −

− ≤ε

μ − μ σ ≤

≤ − σ σ ⋅

⋅ − μ σ σ ≤

≤ − ν − − ε μ σ

∫

∫

∫

∫ σ

Fie U o vecinătate a unui punct 0x ∈ ∂Ω astfel încât ( ) UΓ = ∂Ω ∩ să se reprezinte sub forma ( )ny g y′= , 1ny D −′ ∈ ⊂ unde ( )2g D∈ C . Rezultă, a se vedea demonstraţia Propoziţiei 9.2.2,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, , ,x y y C x y x y− ν ≤ − ∀ ∈ Γ × Γ .

Dacă ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , ,x y x y x yεΣ = ∈ Γ × Γ − ≤ ε , atunci

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )2

2

2 2

2 2 2

, d d

d d

d d ,

n nx y

nx y

nx y L

x y

x y y x y y

y x y

C y x y C

ε

ε

− −

Σ

−

Σ

−∂Ω

∂Ω − ≤ε

− ν − − ε μ σ σ ≤

≤ μ − σ σ ≤

⎛ ⎞≤ μ − σ σ ≤ ε μ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

∫ ∫

unde C este o constantă pozitivă independentă de ε . Realizând o acoperire finită a frontierei cu vecinătăţi U, rezultă inegalitatea


( ) ( ) ( )22,LT T C Lε ∂Ωμ − μ ≤ ε μ ∀ μ ∈ ∂Ω . (411)

Cu (411) rezultă că în topologia convergenţei uniforme. Cum 0

lim Tεε→

= T { }Tε

este o familie de operatori compacţi rezultă că şi limita sa uniformă pe ( )2L ∂Ω , T, este un operator compact pe ( )2L ∂Ω .

Cu (406) şi (407) problema Dirichlet interioară a fost redusă la rezolvarea ecuaţiei 2T 2μ + μ = ϕ . (412)

Vom arăta, în continuare, că pentru ( )ϕ ∈ ∂ΩC soluţiile ( )μ ⋅ ale ecuaţiei (412) sunt în ( )∂ΩC .

Într-adevăr, pentru orice N ∗∈ se deduce prin inducţie că

( ) ( )1

0

2 2 2N

N iN i

i

T T−

=

μ = − μ + − ϕ∑ .

Am arătat deja, la începutul acestei demonstraţii că ( ) ,iT ϕ ∈ ∂ΩC . Să demonstrăm că şi i ∈ ( )NT ∈ ∂ΩC pentru N suficient de mare. În acest

sens vom arăta că nucleul NK al operatorului

( ) ( ) ( ) ( )1 , d ,NN yT x K x y y x+

∂Ω

μ = μ σ ∈ ∂∫ Ω

d

.

Pentru aceasta observăm că ( ) ( ) ( )1 , , , zK x y K x z K z y

∂Ω

= σ∫

şi, în general, pentru orice N natural are loc relaţia

. (413) ( ) ( ) ( )1, , ,N NK x y K x z K z y−∂Ω

= ∫ d zσ

Ţinând seama de evaluarea (368) din Propoziţia 9.2.2, rezultă ( )

( )

2 21

2 21

, d

d , , ,

n nz

n n

D

K x y C x z y z

C x z y z z x y U

− −

∂Ω− −

≤ − − σ ≤

′ ′ ′ ′ ′≤ − − ∀ ∈

∫

∫ ∩ ∂Ω

unde 1nD −⊂ şi U o vecinătate a unui punct 0x ∈ ∂Ω astfel încât ( )nx g x′= , ( )ny g y′= pentru ,x y U∈ ∂Ω∩ . Făcând schimbarea de

variabilă z y x y′ ′ ′= + λ − ′ , se obţine evaluarea


( )

( )0

23 2

1

3 11 0

, d

, , ,

nn n

D

n n

x yK x y C x yx y

C x y x y U D

−− −

− −

′ ′−′ ′

.

≤ − − λ λ′ ′−

′ ′≤ − ∀ ∈ ∂Ω ⊂

∫

∩

λ ≤

Prin inducţie, se obţine în general

( )

( )0

2 11

2

, d

, ,

n N nN N

D

N nN

K x y C x z y z z

C x y x y U

− + −−

+ − ,

′ ′ ′ ′ ′≤ − −

′ ′≤ − ∀ ∈ ∂Ω

∫

∪

≤

adică, pentru orice N există o constantă pozitivă (notată tot ) astfel încât NC

( ) ( )2, ,N nN NK x y C x y x y+ −≤ − ∀ ∈ ∂, .Ω

))

(414)

Cu aceasta am arătat că soluţiile ecuaţiei (412) sunt în de îndată ce . Putem aplica atunci Teorema 9.4.3 (alternativa lui Fredholm) ecuaţiei (412). Rezultă astfel că ecuaţia (412) admite soluţie unică dacă şi numai dacă ecuaţia omogenă

( ∂ΩC(ϕ ∈ ∂ΩC

0Tμ + μ = (415)

admite numai soluţia banală în spaţiul ( )2L ∂Ω (echivalent în ). Dar ecuaţia (415) în se reduce la problema Dirichlet interioară

( ∂ΩC ))( ∂ΩC

0 în 0

uu ∂Ω

Δ = Ω⎧⎪⎨ =⎪⎩

care, conform principiului de maxim, admite doar soluţia banală. Prin urmare, ecuaţia (412) admite pentru orice ( )ϕ ∈ ∂ΩC o soluţie unică . Cu aceasta teorema este complet demonstrată.

(μ ∈ ∂ΩC )

În fapt problema Dirichlet interioară (402) are soluţie unică în condiţiile Teoremei 9.4.2. Observaţia 9.4.3. Pentru problema Dirichlet exterioară se obţine un rezultat asemănător de existenţă căutând soluţia problemei

( )

0 în Ext

lim 0x

uu

u x∂Ω

→∞

Δ = Ω⎧⎪⎪ = ϕ⎨⎪ =⎪⎩

sub forma

( )( )

( ) ( )

, Ext 1 ,2

W x xu x

W x x x

⎧ ∈⎪= ⎨

− μ ∈ ∂Ω⎪⎩

Ω ,


cu considerat în (405), şi reducând problema Dirichlet exterioară la o ecuaţie integrală de forma (406).

( )W ⋅

9.5 Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Neumann Se consideră problema Neumann interioară

în

,u fu

∂Ω

Δ = Ω⎧⎪∂⎨ = ϕ⎪ ∂ν⎩

(416)

unde este mulţime mărginită în , Ω n ( ) ( )1f ∈ Ω Ω∩C C şi . Procedând ca pentru problema Dirichlet, putem reduce problema (416) la cazul particular în care

( )ϕ ∈ ∂ΩC

0f = ,

0 în u

u∂Ω

Δ = Ω⎧⎪∂⎨ = ϕ⎪ ∂ν⎩

. (417)

TEOREMA 9.5.1. Fie Ω o mulţime mărginită şi deschisă în cu frontieră de clasă . Problema Neumann interioară (416) admite o soluţie

n

2C( ) ( )2 1u ∈ Ω Ω∩C C pentru ( ) ( )1f ∈ Ω Ω∩C C şi ( )ϕ ∈ ∂ΩC dacă şi

numai dacă este îndeplinită condiţia ( ) ( )d d xf x x xΩ ∂Ω

= ϕ σ∫ ∫ .

Demonstraţie: Căutăm pentru problema (417) soluţia sub forma unui potenţial de simplu strat de densitate ( )μ ∈ ∂ΩC ,

( ) ( ) ( ) ( )d ,yu x E x y y x∂Ω

= − μ σ ∀∫ ∈ Ω . (418)

Conform Propoziţiei 9.2.3, ( ) ( )2u ∈ Ω Ω∩C C şi ( ) 0u xΔ = , . Conform Teoremei 9.2.4, rezultă că

( ) x∀ ∈ Ω

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0

0 00lim d ,

2yx x xx x

E x y xu x y→

∂Ω∈−ν

∂ − μ∂ x= μ σ − ∀ ∈ ∂∂ν ∂ν∫ Ω .

Deci condiţia la limită u∂= ϕ

∂ν pe ∂Ω este îndeplinită dacă satisface

ecuaţia integrală

( )μ ⋅

2 2 pe Fμ + μ = − ϕ ∂Ω , (419)


unde

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d

, d ,

yx

y

E x yF x y

K x y y x∂Ω

∂Ω

∂ −μ = − μ σ =

∂ν

= − μ σ ∀ ∈ ∂Ω

∫

∫ .

)

(420)

Ca în demonstraţia Teoremei 9.4.4 se arată că operatorul F este complet continuu pe , iar soluţiile ecuaţiei (419) sunt în (2L ∂Ω ( )∂ΩC .

Conform Teoremei 9.4.3 (alternativa lui Fredholm), ecuaţia (419) admite soluţie în (echivalent în (2L ∂Ω) ( )∂ΩC ) dacă şi numai dacă pentru orice soluţie a ecuaţiei omogene adjuncte ( )ψ ⋅

2F 0∗ψ + ψ = (421)

avem

. (422) ( ) ( )d xx x∂Ω

ϕ ψ σ =∫ 0

Am notat cu ( ) ( )2 2:F L L∗ ∂Ω → ∂Ω adjunctul operatorului F, adică

. (423) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2, d ,yF x K x y y L∗

∂Ω

ψ = − ψ σ ∀ ψ ∈ ∂∫ )Ω

Se observă, conform Lemei 9.2.1, că 1ψ = este soluţie pentru ecuaţia (421). În plus, ecuaţia (421) nu are alte soluţii liniar independente. Într-adevăr, conform teoremei lui Fredholm, Teorema 9.4.3, dimensiunea spaţiului soluţiilor ecuaţiei omogene (421) este finită şi coincide cu dimensiunea spaţiului soluţiilor ecuaţiei

. Dar orice soluţie a acestei ecuaţii este evident soluţie a problemei Neumann interioare omogene

2Fμ + μ = 0

0 în ,

0

uu

∂Ω

Δ = Ω⎧⎪∂⎨ =⎪ ∂ν⎩

care admite numai soluţii constante. (Aceasta rezultă din identitatea lui Green, prima formulă integrală Green aplicată ansamblului ( ), , ,u u ∂Ω Ω .) Prin urmare, am ajuns la concluzia că problema Neumann interioară (417) admite soluţie dacă şi numai dacă

( )d 0xx∂Ω

ϕ σ =∫ . (424)

În cazul 0f ≠ , amintim că u V v= + , unde V fΔ = în , iar Ω ( )v ⋅ este soluţie a problemei


0 în v

v V∂Ω ∂

Δ = Ω⎧⎪∂ ∂⎨ = ϕ −⎪ ∂ν ∂ν⎩ Ω

. (425)

Cu aceasta, conform concluziei anterioare (424), aplicată problemei (425), rezultă că problema (416) admite soluţie dacă şi numai dacă

( )d xVx

∂Ω ∂Ω

d∂ϕ σ =

∂ν∫ ∫ σ . (426)

Dar, conform formulei flux-divergenţă

( )d dV V f x∂Ω Ω Ω

∂σ = Δ ω =

∂ν∫ ∫ ∫ d .x

d .

(427)

Din (426) şi (427) deducem că problema (416) admite soluţie dacă şi numai dacă

( ) ( )d xx f x x∂Ω Ω

ϕ σ =∫ ∫ (428)

Cu aceasta Teorema 9.5.1 este complet demonstrată. Observaţia 9.5.1 – Problema Neumann exterioară se tratează în mod

asemănător. – Problema mixtă interioară

în

, 0

u fu u ∂Ω

Δ = Ω⎧⎪⎨ ∂

+ α = ϕ α >⎪ ∂ν⎩

(429)

se reduce, prin procedeul de mai sus, la ecuaţia integrală

2 2F Gμ + μ + α μ = − ϕ2

Ω

)

, unde

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d ,yG x E x y y x∂Ω

μ = − − μ σ ∀ ∈ ∂∫ .

Deoarece operatorul G este evident complet continuu pe , iar ecuaţia omogenă corespunzătoare admite doar soluţia banală, rezultă, aplicând Teorema Fredholm (Teorema 9.4.3), că problema (429) admite o soluţie unică

(2L ∂Ω

( ) ( )2 1u ∈ Ω Ω∩C C .


9.6 Problemele lui Dirichlet şi Neumann pentru ecuaţia lui Laplace în plan şi spaţiul 3

În această secţiune vom considera ecuaţiile cu derivate parţiale liniare de ordinul al doilea de tip eliptic, care se scriu concentrat sub forma

div grad grad ,u A u cu f+ + = în două respectiv trei variabile independente, ca prototip fiind ecuaţia lui Laplace , (430) div grad =0u uΔ ≡

ale cărei soluţii sunt funcţii de clasă pe un domeniu D şi care se numesc funcţii armonice.

2C

Categoric, toate rezultatele care vor fi prezentate în această secţiune se deduc din rezultatele sub formă abstractă deja obţinute în secţiunile anterioare din acest paragraf, §9; am găsit însă necesară introducerea separată, individualizată a acestei secţiuni tocmai pentru nuanţarea rezultatelor în cazul dimensiunii { }2, 3n ∈ ; demonstraţiile în acest caz pot fi urmărite mai lejer, iar tehnicile matematice, în particular utilizarea funcţiilor complexe, conduc la o înţelegere mai bună a conceptelor şi la formule de reprezentare mai inteligibile. În plus anumite construcţii pot fi făcute prin metode elementare.

Funcţiile armonice de două variabile au apărut prima dată în studiul funcţiilor de variabila complexă iz x y= + ; şi anume, dacă f este o funcţie monogenă în variabila complexă z şi dacă Reu f= , iar , atunci funcţiile u şi v satisfac condiţiile Cauchy-Riemann

Imv = f

,u v u vx y y∂ ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂x

−

din care, în anumite condiţii, rezultă că 0u vΔ = Δ = . Putem deci reţine că orice funcţie armonică de două variabile este partea reală (respectiv imaginară) a unei funcţii analitice de ii ez x y r θ= + = . Din dezvoltarea în serie Taylor, în jurul originii,

( ) ( ) i

0 0i en n

n n nn n

f z A Z a b r∞ ∞

nθ

= =

= = +∑ ∑ ,

deducem că pentru funcţia are loc reprezentarea Reu = f

)θ , (431) ( ) (0

, cos sin nn n

n

u x y a n b n r∞

=

= θ +∑dezvoltarea în serie a unei funcţii armonice într-un disc cu centrul în origine. Această legătură cu funcţiile de o variabilă complexă nu mai există la funcţiile armonice de trei sau mai multe variabile, ceea ce nu înseamnă că ele nu


admit dezvoltări de forma (430), pe care le vom pune în evidenţă în cazul a trei variabile, anume în coordonate sferice. O altă deosebire datorată numărului de variabile există şi în privinţa aşa-numitei soluţii fundamentale a ecuaţiei lui Laplace (lucru subliniat în Definiţia 9.2.1, formula (347) ). Ea se obţine căutând soluţiile ecuaţiei (430) de forma ( )u f r= , r fiind distanţa de la un punct fix A la un punct mobil M. Aceste soluţii care depind numai de distanţa r se numesc soluţii cu simetrie sferică. Dacă n este numărul variabilelor independente, atunci

( )( )

( ) ( )1

1div grad 0n

k kk

f r nf r f r f rx x r=

⎛ ⎞∂ ∂ −′′ ′= = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∑ = . (432)

Soluţia ecuaţiei (432) este

( )2

ln , dacă 2

, dacă 3n

A r B nf r A B n

r −

+ =⎧⎪= ⎨ + ≥⎪⎩

. (433)

În particular, pentru 3n = , ( ) ( ) ( )22 2

1 1r x a y b z c=

− + − + −

este o funcţie armonică în orice domeniu din , care nu conţine punctul fix 3

( , , )A a b c . Fie însă sub o formă, fie sub alta, soluţia fundamentală joacă un rol foarte important în studiul ecuaţiei lui Laplace şi a problemelor la limită ataşate acesteia, aşa după cum s-a văzut deja din dezvoltările făcute în secţiunile 9.3, 9.4, 9.5, în formă generală, ale acestui paragraf, §9.

9.6.1 Determinarea unei funcţii armonice

cunoscând

3:ϕ Ω ⊂ →

∂Ωϕ şi ddn ∂Ω

ϕ

Exprimarea (determinarea) valorilor unui câmp scalar

când se cunosc în ,

3:ϕ Ω ⊂ →

Δϕ Ω ∂Ωϕ şi ddn ∂Ω

ϕ revine la rezolvarea problemei

( )( )

( )

0

0

0

, ;

,

d , ;d

f f

g g

h hn

∂Ω

∂Ω

⎧Δϕ = ∈ Ω⎪ϕ = ∈ ∂Ω⎪

⎨ϕ⎪ = ∈ ∂Ω⎪

⎩

C

C

C

; , (434)

unde este un domeniu mărginit de suprafaţa închisă 3Ω ⊂ ∂Ω .


Numim soluţie pentru problema (434) o funcţie care satisface în ecuaţia din problema (434) şi care împreună cu derivata sa după normala exterioară la ∂Ω ia valori prescrise, date, .

(2 ;ϕ ∈ ΩC )Ω

( )0, ;g h ∈ ∂ΩC TEOREMA 9.6.1.1 (Riemann-Green). Dacă problema (434) admite soluţie, fie aceasta ( )ϕ ⋅ atunci ea admite reprezentarea

( )

1d1 1 1 1 dd d4 4 d d

rMr r n

Ω ∂Ω

.n

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ϕ ⎝ ⎠ϕ = − Δϕ ω + − ϕ σ⎢ ⎥

π π ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫ (435)

Demonstraţie: Fie M ∈ Ω un punct fixat. Fie P ∈ Ω ∂Ω∪ , un punct

oarecare. Considerăm funcţia { }: \ Mψ Ω → definită prin ( ) 1rr

ψ = ,

cu r MP= .

Fig. 1.9.4

Observăm că

( )

( )

2 3

3 3 5 3

1 1

1 1 3 3 0.

rrr r r

rr r rr r r r

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δψ = ∇ ⋅ ∇ψ = ∇ ∇ = ∇ − ∇ = ∇ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ∇ − ∇ = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟⎠

) 0

Fie sfera de centru M şi rază ( ,B M ρ ,ρ ρ > . Notăm cu ω domeniul mărginit de sfera ( ),B M ρ . Considerăm ansamblul ( , , \ , )Bϕ ψ Ω ω ∂Ω ∂∪ şi îi aplicăm a doua formulă integrală a lui Green. Rezultă

( )\

d d d dd d

Bn n

∂Ω ∂ Ω ω

ψ ϕ⎛ ⎞ϕ − ψ σ = ϕΔψ − ψΔϕ ω⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫

∪

,


adică

d d d dd dd d d d

d d .B

n n n n∂Ω ∂

Ω Ω

ψ ϕ ψ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ − ψ σ + ϕ − ψ σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − ψΔϕ ω + ψΔϕ ω

∫∫ ∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

=

(436)

În (436) nu se cunosc integralele pe B∂ şi ω deoarece nu sunt date funcţiile care intervin în integralele respective.

Vom evalua aceste integrale (pe ω şi B∂ ) folosind ipotezele de netezime impuse datelor problemei (434), ( )f ⋅ , ( )g ⋅ , ( )h ⋅ .

Astfel, din ω – mulţimea închisă şi mărginită din , deci mulţime compactă şi din

3

f = Δϕ în , Ω ( )0 ;f ∈ ΩC rezultă că este uniform continuă pe , este mărginită şi îşi atinge marginile pe

Δϕω ω . Prin urmare există o

constantă k astfel încât ( )maxP

k P∈ω

= Δϕ şi

1d d kr r

ω ω ω

ψΔϕ ω = Δϕ ω ≤ ω1 d∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ . (437)

Pentru calculul ultimei integrale din (437) se trece la coordonate sferice, efectuând schimbarea de variabile

sin cossin sin , 0 , 0 2 , 0cos

x ry r rz r

= θ α⎧⎪ = θ α ≤ θ ≤ π ≤ α ≤ π ≤ ≤⎨⎪ = θ⎩

ρ .

Rezultă ( )( )

2, ,sin

, ,D x y z

rD r

=θ α

θ şi deci

2 22 2

00 0 0

1 1d sin d d d 2 cos2

r rr r

ρπ ππ

ω

⎛ ⎞⎛ ⎞ ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ω = θ α θ = − π θ = πρ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 2 . (438)

Prin trecere la limită în (438) după ρ tinzând la zero deducem

0

1lim d 0rρ→

ω

Δϕ ω =∫∫∫ . (439)

În continuare evaluăm

1d 1 d dd d

B

rn r n

∂

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠ϕ −⎜⎜

⎝ ⎠∫∫ σ⎟⎟ , ţinând seama că

( )0 ;g ∂Ω= ϕ ∈ ∂ΩC şi (0d ;d

hn ∂Ω

ϕ= ∈ ∂ΩC ) . În plus , ca ( )ϕ ⋅


soluţie a problemei (434), are proprietatea că ( )0 ;B B∂ϕ ∈ ∂C şi

(0d ;d B

Bn ∂

ϕ∈ ∂C ) . Vom aplica o teoremă de medie pentru integrala de

suprafaţă considerată. Rezultă că există două puncte şi pe 1P 2P B∂ astfel încât

( )1

1 1d dd

d dB B

r Pn n

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ϕ σ = ϕ∫∫ ∫∫ dr σ (440)

şi respectiv

( ) ( )

( )

22 2

2

1 d d 1 1 dd dd d d

d4 .d

B B

P Pr n n r n

Pn

∂ ∂

4ϕ ϕ ϕσ = σ = πρ =

ρ

ϕ= πρ

∫∫ ∫∫

(441)

Dar

2 3

1d 1 1d

r rr n rn r r rr r

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ = ∇ = − − ∇ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

1rr

.

Deci

2

1d 1d B

rn ∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

ρ,

de unde rezultă cu (440) că

( ) ( )212

1d 1d 4 4d

B

r Pn

∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ϕ σ = ϕ πρ = πϕ

ρ∫∫ 1 .P (442)

Prin trecere la limită în (441) şi (442) după ρ tinzând la zero deducem că există

( )0

1d 1 dlim d 4d d

B

r Mn r nρ→

∂

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠ϕ − σ = πϕ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫ . (443)

Trecând la limită, pentru ρ tinzând la zero, în (436) şi ţinând seama de (439) şi (443) obţinem


( )

1d 1 d 1d 4d d

r Mn r n r

∂Ω Ω

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠ϕ − σ = − πϕ − Δϕ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ dω .

Deci

( )

1d1 1 1 1 dd d4 4 d d

rMr r n

Ω ∂Ωn

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ϕ ⎝ ⎠ϕ = − Δϕ ω + − ϕ σ⎢ ⎥

π π ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫ , (444)

adică

( )( )

( ) ( )

1d1 1 1d d

4 4 dMP

P PMP MP

rf PM h P gr r n

Ω ∂Ω

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥ϕ = − ω + −π π ⎢⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫ P σ

⎥, (445)

ceea ce trebuia demonstrat. Observaţia 9.6.1.1. Teorema 9.6.1.1 este în fapt Teorema 9.2.1, iar

formula de reprezentare (445) este formula de reprezentare (349). Prin analogie cu Definiţiile 9.2.2, 9.2.3 şi 9.2.4 regăsim DEFINIŢIA 9.6.1.1. Fie 3Ω ⊂ un domeniu mărginit de suprafaţa închisă . Fie ∂Ω (1 ;μ ∈ ΩC ) . Numim prin definiţie:

– potenţial de volum sau newtonian funcţia

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

22 2

, ,, , d d d

d ,PMP

v x y zx y z

Pr

Ω

Ω

μ ζ η ξ= ζ η ξ =

− ζ + − η + − ξ

μ= ω

∫∫∫

∫∫∫

(446)

cu ( ), ,P P= ζ η ξ , ( ), ,M M x y z= , MPr M= P ; – potenţial de simplu strat funcţia

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

22 2

, ,ˆ , , d

d ;PMP

v x y zx y z

Pr

∂Ω

∂Ω

μ ζ η ξ= σ =

− ζ + − η + − ξ

μ= σ

∫∫

∫∫

(447)

– potenţial de dublu strat funcţia

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

22 2

d 1, , , , dd

d 1 d .d P

MP

v x y zn x y z

Pn r

∂Ω

∂Ω

⎛ ⎞= μ ζ η ξ σ =⎜ ⎟⎜ ⎟− ζ + − η + − ξ⎝ ⎠⎛ ⎞= μ σ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫

∫∫

(448)


În mod corespunzător, analogul Teoremei 9.2.2, Propoziţiei 9.2.2, Teoremei 9.2.3, Propoziţiei 9.2.3 şi Teoremei 9.2.4 formulăm fără demonstraţie

PROPOZIŢIA 9.6.1.1. a) Dacă ( )1 ;μ ∈ ΩC atunci: – potenţialul de volum ( ), ,v ⋅ ⋅ ⋅ admite derivate parţiale de ordinul al

doilea continue atât în interiorul, cât şi în exteriorul domeniului şi Ω( ), , 0v x y zΔ = în exteriorul lui Ω ( ) ( ), , 4 , ,v x y z x y zΔ = − πμ în interiorul lui Ω ;

– potenţialul de simplu strat este funcţie armonică în ; 3 \ ∂Ω– potenţialul de dublu strat este funcţie armonică în . 3 \ ∂Ωb) – Dacă :μ Ω → este o funcţie integrabilă şi mărginită în Ω ,

atunci potenţialul de volum ( )v ⋅ este o funcţie de clasă în tot spaţiul şi

,

1C

( )lim 0P M

v P→

=( )dlim 0

dP M

v Pn→

= .

– Dacă ( )0 ;μ ∈ ∂ΩC , atunci potenţialul de simplu strat este o funcţie continuă la traversarea suprafeţei ∂Ω , iar derivata sa după normală este discontinuă la traversarea suprafeţei ∂Ω .

– Dacă , atunci potenţialul de dublu strat este o funcţie discontinuă la traversarea suprafeţei

(1 ;μ ∈ ∂ΩC )∂Ω , iar derivata sa după normală este

continuă la traversarea suprafeţei ∂Ω . Observaţia 9.6.1.2 – Demonstraţia Propoziţiei 9.6.1.1 este la fel de

laborioasă ca demonstraţiile din secţiunea 9.2, §9. – Cu formulele (444) şi respectiv (445) am obţinut o formulă de

reprezentare, analogul formulei de reprezentare (349), pentru soluţia problemei (434), în caz că această soluţie există. Conform Definiţiei 9.6.1.1 şi Propoziţiei 9.6.1.1 rezultă că (444), respectiv (445) dă soluţia problemei (434), în condiţiile de netezime pentru datele problemei (434), ( )f ⋅ , ( )g ⋅ , ( )h ⋅ .

TEOREMA 9.6.1.2. Fie ∂Ω o suprafaţă închisă în , care mărgineşte domeniul Ω . Fie ,

3

( )0 ;f ∈ ΩC ( )0,g h ∈ ∂ΩC ; . Atunci există şi este unică soluţia problemei (434).

Demonstraţie: Pentru orice M ∈ Ω se consideră funcţia

( ) ( )

( )( ) ,

1 d4

1d1 d

4 d

PMP

MPP

MP

f PM

r

rh P g Pr n

Ω

∂Ω

ϕ = − ω +π

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢+ −π ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫ ⎥ σ

(449)

ceea ce reprezintă o sumă algebrică de potenţiale de volum, de potenţiale de simplu şi dublu strat. Conform punctelor a) şi b) din Propoziţia 9.6.1.1,


utilizând proprietăţile potenţialelor de volum, de simplu şi dublu strat, rezultă că funcţia definită de (449) este soluţie pentru problema (434). Unicitatea soluţiei problemei (434) se demonstrează printr-un raţiona-ment de reducere la absurd. Să presupunem, prin absurd, că problema (434) ar mai admite încă o soluţie, fie aceasta ( )1ϕ ⋅ cu 1ϕ ≠ ϕ în Ω , dat de (449). Aceasta înseamnă că

( )ϕ ⋅

1

1

1

, în

dd

fg

hn

∂Ω

∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪ϕ =⎪⎨

ϕ⎪ =⎪⎩

.

Conform (445), Teorema 9.6.1.1 rezultă

( )( )

( )( )

11 d

4

1d1 d .

4 d

PMP

MPP

MP

f PMr

rh P g Pr n

Ω

∂Ω

ϕ = − ω +π

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥+ −π ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫ σ

(450)

Scăzând (449) din (450), rezultă ( ) ( )1M Mϕ = ϕ oricare ar fi M ∈ Ω , prin urmare în , absurd. 1ϕ ≡ ϕ Ω

Observaţia 9.6.1.3. Problema la limită (434), problemă neomogenă cu date la limită neomogene, poate fi redusă la o problemă omogenă cu date la limită neomogene, problema (451) dată de

1

1 1

11

0 , în

dd

g

hn

∂Ω

∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪ϕ =⎪⎨

ϕ⎪ =⎪⎩

. (451)

Problema (451) se obţine din problema (434) efectuând schimbarea de

funcţie cu 1ϕ → ϕ ( ) ( )( )

11 d

4 PMP

f PM Mr

Ω

ϕ = ϕ +π ∫∫∫ ω şi ţinând seama

de proprietăţile potenţialului de volum. Procedura este aceeaşi ca în cazul general. Prin considerarea problemei (451) am trecut de la o problemă la limită

pentru ecuaţia lui Poisson, problema la limită (434), la o problemă la limită pentru ecuaţia lui Laplace, problema (451).

Un rol extrem de important în problemele la limită pentru ecuaţii cu derivate parţiale îl au datele la frontieră, la limită; anume, este extrem de


important cât de netede sunt aceste date. Netezimea acestor date se reflectă în gradul de regularitate al soluţiei problemei respective, când soluţia există.

Problema (451) cere prea multe informaţii despre funcţia necunoscută , pe care dorim să o determinăm. Se pune în mod natural problema

determinării unei funcţii armonice ( )ϕ ⋅

( )ϕ ⋅ ( 0Δϕ = în Ω ) când se cunosc fie numai valorile funcţiei pe , fie numai valorile derivatei după normală a funcţiei căutate pe ( şi nu şi valorile funcţiei şi ale derivatei după normală pe ∂Ω ca în problema (434) ). Suntem astfel conduşi la următoarele tipuri de probleme la limită:

∂Ω∂Ω

– probleme de tip Dirichlet, – probleme de tip Neumann, – probleme de tip mixt.

Aceste probleme au fost parţial enunţate în §9, secţiunea 9.1. în . Formulăm şi dăm în continuare lista completă a acestor tipuri de probleme în domenii .

n

3Ω ⊂ DEFINIŢIA 9.6.1.2. Fie Ω un domeniu mărginit din . 3

– Problema Dirichlet interioară (P.D.I.) relativă la domeniul constă în determinarea unei funcţii

Ω:ϕ Ω → , ,

, care verifică în fiecare punct ( )2 ;ϕ ∈ ΩC

(0 ;ϕ ∈ Ω ∂Ω∪C ) P ∈ Ω ecuaţia lui Laplace, iar pe frontieră, pe ia valori date dinainte continue: ∂Ω

( )0

0 ,

, ;

în

g g∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪⎨ϕ = ∈ ∂Ω⎪⎩ C

. (452)

– Problema Dirichlet exterioară (P.D.E.) constă în determinarea unei funcţii , 3: \ϕ Ω → ( )2 3 \ ;ϕ ∈ ΩC , ( )0 3 \ ;ϕ ∈ ΩC care satisface ecuaţia lui Laplace în 3 \ Ω , iar pe ∂Ω ia valori continue, date şi

, uniform: ( )lim 0P

P→∞

ϕ =

(( )

3

0

0 , \

, ; .

lim 0 ,P

în

g g

P uniform∂Ω

→∞

⎧Δϕ = Ω⎪⎪ϕ = ∈ ∂Ω⎨⎪ ϕ =⎪⎩

C ) (453)

– Problema Neumann interioară (P.N.I.) relativă la domeniul constă în determinarea unei funcţii

Ω:ϕ Ω → , ,

care verifică ecuaţia lui Laplace în

( )1 ;ϕ ∈ Ω ∂Ω∪C

(2 ;ϕ ∈ ΩC ) Ω , iar pe ∂Ω , ddnϕ ia

valori continue, date:


(0

0 , .d , ;

d

în

h hn ∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪ ϕ⎨ = ∈ ∂Ω⎪⎩

C ) (454)

– Problema Neumann exterioară (P.N.E.) relativă la domeniul Ω constă în determinarea unei funcţii cu 3: \ϕ Ω → ( )2 3 \ ;ϕ ∈ ΩC ,

( )1 3 \ ;ϕ ∈ ΩC , care verifică ecuaţia lui Laplace în 3 \ Ω şi pentru

care ddn ∂Ω

ϕ ia valori continue, date, iar ( )lim 0P

P→∞

ϕ = , uniform:

(

( )

3

0

0 , \d , ; .d

lim 0 ,P

în

h hn

P uniform∂Ω

→∞

⎧Δϕ = Ω⎪

ϕ⎪ = ∈ ∂Ω⎨⎪⎪ ϕ =⎩

C ) (455)

– Problema mixtă interioară (P.M.I.) relativă la domeniul Ω constă în determinarea unei funcţii , :ϕ Ω → ( )2 ;ϕ ∈ ΩC , ( )1 ;ϕ ∈ ΩC astfel încât

(

( )

)0

2 2

0 ,

d , , ;d

în

n∂Ω

∂Ω

Δϕ = Ω

ϕ⎛ ⎞ϕ + α = β α β ∈ ∂Ω⎜ ⎟⎝ ⎠

α + β ≡

C .

0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(456)

– Problema mixtă exterioară (P.M.E.) relativă la domeniul constă în determinarea unei funcţii ,

Ω3: \ϕ Ω → ( )2 3 \ ;ϕ ∈ ΩC ,

( )1 3 \ ;ϕ ∈ ΩC cu proprietatea că ( )ϕ ⋅ satisface ecuaţia lui Laplace în

3 \ Ω , ddn

∂Ω

ϕ⎛ ϕ + α⎜⎝ ⎠

⎞⎟ ia valori continue, date şi ( )lim 0

PP

→∞ϕ = , uniform:

( )

( )

( )

3

0

2 2

0 , \

d , , ;d

lim 0 , P

în

n

P uniform∂Ω

→∞

∂Ω

Δϕ = Ω

ϕ⎛ ⎞ϕ + α = β α β ∈ ∂Ω⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕ =

α + β ≡

C.

0

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(457)


Ne ocupăm în continuare de problema Dirichlet şi Neumann interioară. Pentru aceasta, conform Teoremelor 9.6.1.1, 9.6.1.2 şi Observaţiei 9.6.1.3, amintim că există :ϕ Ω → , ( )2 ;ϕ ∈ ΩC , ( )1 ;ϕ ∈ ΩC astfel încât

( )

( )

0

0

0 , în

, ;

d , ;d

g g

h hn

∂Ω

∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪ϕ = ∈ ∂Ω⎪

⎨ϕ⎪ = ∈ ∂Ω⎪

⎩

C

C

(458)

şi soluţia acestei probleme este unică şi admite reprezentarea

( ) ( ) ( )

1d1 1 d

4 dMP

PMP

rM h P g P

r n∂Ω

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥ϕ = −π ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ σ . (459)

i. Problema Neumann interioară

Fie un domeniu mărginit. Considerăm problema Neumann interioară (P.N.I.) relativă la domeniul

3Ω ⊂Ω şi operatorul lui Laplace, , adică

problema la limită Δ

(0

0 , în .d , ;

dh h

n ∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪ ϕ⎨ = ∈ ∂Ω⎪⎩

C ) (460)

DEFINIŢIA 9.6.1.3. Se numeşte soluţie pentru problema (460) o funcţie cu , :ϕ Ω → ( )2 ;ϕ ∈ ΩC ( )1 ;ϕ ∈ ∂ΩC care satisface ecuaţia lui

Laplace în , iar Ωddnϕ ia valori date, continue ( )h ⋅ pe ∂Ω .

Ne punem problema existenţei şi unicităţii problemei Neumann interioare (460).

Reţinem că în problema (460) data la frontieră ( )h ⋅ este doar continuă pe . De asemenea, observăm că formula (459) nu poate da soluţia problemei (P.N.I.) (460), deoarece nu se cunoaşte

∂Ωg ∂Ω= ϕ . Pentru determinarea soluţiei

problemei (460), în caz că există, asociem problemei (460) problema determinării unei funcţii ( ), :u M P Ω → , armonice în Ω în raport cu P, adică ( ),Pu M PΔ 0= . Cerând doar ca ( ),u M P să fie armonică în Ω , funcţia există, dar nu este unic determinată. Vor fi impuse condiţii suplimentare acestei funcţii

( ,u M P )( ),u M P . Reţinem doar o primă proprietate a

acestei funcţii pe care o asociem problemei (460), anume că este ( ,u M P )


armonică în în raport cu P. Aplicăm ansamblului Ω ( ), , ,uϕ Ω ∂Ω a doua formulă integrală a lui Green. Rezultă

(d d dd d

uu un n

∂Ω Ω

ϕ⎛ ⎞− ϕ σ = Δϕ − ϕΔ ω⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ )du . (461)

Deoarece în (461) este soluţie a problemei (460), iar este armonică în domeniu , deducem

( )ϕ ⋅ ( )u ⋅Ω

d d d 0d d

uun n

∂Ω

ϕ⎛ ⎞− ϕ σ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ . (462)

Amplificăm (462) cu 14π

şi rezultatul îl sumăm cu (459). Rezultă că valorile

soluţiei a problemei (460), dacă există, sunt date de ( )ϕ ⋅

( ) 1 1 d 1 d .4 d

M u h g ur n r

∂Ω

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ⎢ ⎥π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫ (463)

Această formulă însă nu poate da valorile în punctul M ∈ Ω , pentru soluţia a problemei Neumann interioare (460), deoarece în formula (463) intervin valorile

( )ϕ ⋅( )g ⋅ ale lui ( )ϕ ⋅ pe frontieră, valori de care nu dispunem prin

datele problemei (460). Din acest motiv, vom impune condiţii suplimentare funcţiei armonice , asociată problemei (460). Considerăm, în acest sens, funcţia

( ,u M P )

( ) ( ) 1, ,MP

U M P u M Pr

= + . (464)

Deoarece ( ),u M P este armonică în Ω , în raport cu P, rezultă că ( ),U M P este armonică în { }\ MΩ . Cerem în plus funcţiei , deci

lui

( ,u M P )

( ),U M P , să satisfacă condiţia ddU 4

∂Ωn Sπ

= , S fiind aria suprafeţei ∂Ω .

( În general se poate impune condiţia d const.dUn ∂Ω

= ) Atunci funcţia

( ),U M P urmează a fi determinată ca soluţie a următoarei probleme la limită:

{ }0, în \.d 4

d

PU MUn S∂Ω

⎧Δ = Ω⎪

π⎨ =⎪⎩

(465)


Dacă ( ),U M P , soluţie a problemei (465), există atunci formula (463) devine

( ) ( ) ( ) ( )1 1, d4

d .P PM U M P h P g PS

∂Ω ∂Ω

ϕ = σ − σπ ∫∫ ∫∫

Dar, ( )d Pg P∂Ω

σ∫∫ nu depinde de punctul M, deci este o constantă în raport cu

M, prin urmare

( ) ( ) ( )1 , d4 PM U M P h P c

∂Ω

ϕ =π ∫∫ σ + , (466)

cu ( )1 d Pc g PS

∂Ω

= − σ∫∫ .

Deci, pentru ca (466) să dea efectiv soluţia problemei (460), P.N.I., trebuie să cunoaştem funcţia ( ),U M P . Dar, a cunoaşte pe ( ),U M P revine la a cunoaşte pe , soluţie a următoarei probleme la limită: ( ,u M P )

( ), 0 , în

.d 4 d 1d d MP

u M P

un S n r∂Ω ∂Ω

⎧Δ =⎪

π ⎛ ⎞⎨ = − ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Ω

(467)

Însă problema (467) este tot o problemă Neumann interioară. Deci am redus în fapt problema rezolvării P.N.I. (460) tot la o problemă Neumann interioară (467). Deosebirea între cele două probleme Neumann interioare, (460) şi (467), este că în (467) data la frontieră este foarte netedă, anume infinit diferenţiabilă, spre deosebire de problema (460) în care data la frontieră este doar continuă. Observaţia 9.6.1.4. Odată determinată funcţia ( ),u M P , relativ la un domeniu Ω , putem folosind (466) să rezolvăm orice problemă Neumann interioară relativă la domeniul Ω , soluţia fiind dată de (466).

Conform secţiunii 9.5, Teorema 9.5.1 se deduce un rezultat de existenţă pentru soluţia problemei (460).

TEOREMA 9.6.1.3. Condiţia necesară şi suficientă ca problema P.N.I. (460) să admită soluţie este ca data la frontieră ( )h ⋅ să satisfacă condiţia

. ( )d 0Ph P∂Ω

σ =∫∫Observaţia 9.6.1.5. Conform Teoremei 9.6.1.3, P.N.I. (460) nu este

întotdeauna posibilă, adică nu întotdeauna, nu pentru orice date la frontieră, nu pentru orice domeniu admite soluţie.


TEOREMA 9.6.1.4. Dacă problema Neumann interioară admite soluţie, atunci aceasta este dată de un potenţial de simplu strat

( ) ( ) 1 d PMP

M Pr

∂Ω

ϕ = μ∫∫ σ ,

unde funcţia , numită şi distribuţia potenţialului de simplu strat care dă pe

:μ Ω →( )Mϕ , este soluţie a următoarei ecuaţii integrale

( ) ( ) ( )1 1 d d2 2 d Q

Q MQh P P Q

n r∂Ω

⎛ ⎞= μ + μ σ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠∫∫

1

0

. (468)

Observaţia 9.6.1.6 – Ecuaţia integrală (468) este, de fapt, ecuaţia (419). – Condiţia , conform demonstraţiei Teoremei 9.5.1,

provine dintr-un raţionament de alternativă Fredholm (a se vedea Teorema 9.4.3), conform căruia dacă se îndeplineşte condiţia referitoare la

( )d Ph P∂Ω

σ =∫∫

( )h ⋅ sau nu, există sau nu există soluţia ecuaţiei integrale (468) pentru . Deci, de fapt problema existenţei soluţiei problemei Neumann interioare (460) se reduce la problema existenţei soluţiei ecuaţiei integrale (468), aşa cum rezultă din demonstraţia Teoremei 9.5.1.

( )μ ⋅

TEOREMA 9.6.1.5. Dacă problema Neumann interioară (460) admite soluţie, atunci soluţia problemei (460) este unică.

Demonstraţie: Prin absurd, presupunem că P.N.I. (260) nu admite soluţie unică. Fie atunci , cu ( )1ϕ ⋅ ( )2ϕ ⋅ 1 2ϕ ≠ ϕ , două soluţii distincte ale problemei (260). Rezultă

1

1

0 , în dd

hn ∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪ ϕ⎨ =⎪⎩

şi 2

2

0 , în dd

hn ∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪ ϕ⎨ =⎪⎩

,

deci funcţia este soluţie a problemei 1ϕ − ϕ2

( )( )

1 2

1 2

0 , în

d0

dn ∂Ω

Δ ϕ − ϕ = Ω⎧⎪

ϕ − ϕ⎨=⎪

⎩

. (469)

Aplicăm ansamblului ( )1 2 1 2, , ,ϕ − ϕ ϕ − ϕ Ω ∂Ω prima formulă integrală a lui Green. Rezultă

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2

dd d

d

d .

n∂Ω Ω

Ω

ϕ − ϕϕ − ϕ σ = ∇ ϕ − ϕ ∇ ϕ − ϕ ω +

+ ϕ − ϕ Δ ϕ − ϕ ω

∫∫ ∫∫∫

∫∫∫


Ţinând seama de problema (469), pe care o satisface funcţia 1 2ϕ − ϕ , deducem

( ) 21 2 d 0

Ω

∇ ϕ − ϕ ω =∫∫∫ . (470)

Din (470) rezultă în ( )1 2 0∇ ϕ − ϕ ≡ Ω , adică ( )1 2 0x∂

ϕ − ϕ ≡∂

,

( )1 2 0y∂

ϕ − ϕ ≡∂

, ( )1 2 0z∂

ϕ − ϕ ≡∂

în Ω , deci 1 2 const.ϕ − ϕ = în Ω ,

adică în . Cu aceasta rezultă unicitatea soluţiei problemei Neumann interioare, abstracţie făcând de o constantă.

1 2 + const.ϕ ≡ ϕ Ω

ii. Problema Dirichlet interioară

Fie un domeniu mărginit. Considerăm problema Dirichlet interioară (P.D.I.) relativă la domeniul

3Ω ⊂Ω şi operatorul lui Laplace, , adică

problema Δ

(0

0 , în .

, ;g g∂Ω

Δϕ = Ω⎧⎪⎨ϕ = ∈ ∂Ω⎪⎩ C )

(471)

DEFINIŢIA 9.6.1.4. Se numeşte soluţie a problemei Dirichlet interioare (471) o funcţie , :ϕ Ω → ( )2 ;ϕ ∈ ΩC , ( )0 ;ϕ ∈ ΩC care satisface ecuaţia lui Laplace în Ω şi care ia pe ∂Ω valori continue.

Ne punem problema existenţei şi unicităţii soluţiei problemei Dirichlet interioare (471), precum şi problema reprezentării soluţiei problemei (471), dacă aceasta există, în funcţie de datele problemei (471), adică în funcţie de ( )g ⋅ . Pentru aceasta la fel ca în cazul problemei Neumann interioare (460), observăm că formula (459), care dă soluţia problemei (458), nu dă o formulă de reprezentare pentru soluţia problemei (471), deoarece prin (471) nu se cunoaşte

( ) dd

h Pn ∂Ω

ϕ= .

Reţinem în plus, la fel ca în cazul problemei Neumann interioare, că data la frontieră în P.D.I. este doar continuă. Urmând un raţionament cumva analog cu cel de la P.N.I. asociem problemei (471) problema determinării unei funcţii

( )g ⋅

( ),g M P pe care pentru moment o luăm doar armonică în întreg domeniul , în raport cu punctul P; P este un punct curent în Ω , iar M este un punct fixat în

ΩΩ . Condiţii suplimentare vor fi impuse funcţiei

ulterior. Reţinem deci că ( ),g M P

( ),g M P este funcţie armonică în Ω , ( ),P g M PΔ = 0

, , ,gϕ Ω în Ω . Aplicăm a doua formulă integrală a lui Green

ansamblului , cu ( )∂Ω ( )ϕ ⋅ soluţie pentru P.D.I. (471). Obţinem


d d d 0d d

ggn n

∂Ω

ϕ⎛ ⎞− ϕ σ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ .

Amplificând această relaţie cu 14π

şi sumând cu (459), rezultă

( ) 1 1 d d 1 d4 d d

M g g gr n n r

∂Ω

⎡ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫⎤σ .

În această formulă nu cunoaştem valorile ddn ∂Ω

ϕ , de aceea vom determina pe

( ),g M P ca soluţie a următoarei probleme la limită, dacă există,

( ), 0 , în

.1P

MP

g M P

gr∂Ω

⎧Δ = Ω⎪⎨ = −⎪⎩

(472)

Pentru ( ),g M P , soluţie a problemei (472) rezultă

( ) ( ) ( )d ,1 d4 d P

G M PM g Pn

∂Ω

ϕ = −π ∫∫ σ , (473)

unde ( ) ( ) 1, ,MP

G M P g M Pr

= + . (474)

Cu aceasta ajungem la concluzia că pentru ca (473) să dea efectiv soluţia problemei (471), P.D.I., trebuie să cunoaştem funcţia ( ),G M P , ceea ce revine la determinarea funcţiei ( ),g M P ca soluţie a problemei (472). Dar problema (472) este tot o problemă Dirichlet interioară ca şi problema (471). Deosebirea dintre cele două probleme Dirichlet interioare, (471) şi (472), constă în faptul că problema (472) este mai netedă, deoarece data la frontieră este mai netedă, anume infinit diferenţiabilă.

Observaţia 9.6.1.7. Observăm că formula (473) conţine numai valorile funcţiei pe ( )ϕ ⋅ ∂Ω , cu soluţie a problemei Dirichlet interioare (471). Prin urmare, pentru ca formula (473) să permită efectiv cunoaşterea, reprezentarea soluţiei (P.D.I.) (471) este suficient să cunoaştem funcţia

( )ϕ ⋅

( ),G M P , definită de (474), funcţie ataşată domeniului Ω şi operatorului lui Laplace. Odată cunoscută funcţia (474), pentru un domeniu Ω , putem rezolva orice problemă Dirichlet interioară relativă la acel domeniu Ω .

Rezultatele, din această secţiune, cuprinse în (471), (473) şi (474) sunt analogul, în cazul dimensiunii 3n = , cuprinse în (385), (387) şi Definiţia 9.3.1 punctul i.


Studiul şi construcţia funcţiei ( ),G M P , dată de (474), fac obiectul subpunctului 9.6.2, care urmează, al secţiunii de faţă 9.6.

Analogul rezultatelor cuprinse în Teorema 9.4.4, formulele (405), (406) este dat de următoarele două teoreme ce vor fi formulate în continuare.

TEOREMA 9.6.1.6. Problema Dirichlet interioară, (471), admite soluţie pentru orice date la frontieră continue. Soluţia problemei Dirichlet interioare (471) este dată de un potenţial de dublu strat

( ) ( ) d 1 dd P

MPM P

n r∂Ω

⎛ ⎞ϕ = μ ⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ σ ,

unde este soluţie a ecuaţiei integrale :μ Ω →

( ) ( ) ( )1 1 d d2 2 d Q

MPg P P Q

n r∂Ω

⎛ ⎞= μ − μ σ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠∫∫1 .

TEOREMA 9.6.1.7. Dacă problema Dirichlet interioară (471) admite soluţie, atunci soluţia sa este unică.

Demonstraţie: Demonstraţia rezultă imediat din principiul maximului, Teorema 9.3.2.

Vom da aici totuşi demonstraţia analoagă cu cea de la unicitatea soluţiei P.N.I., a se vedea Teorema 9.6.1.5. Presupunem prin absurd că problema (471) admite două soluţii distincte, cel puţin, fie acestea ( )1ϕ ⋅ , . Atunci diferenţa (

( )2ϕ ⋅) ( )1 1ϕ − ϕ ⋅ este soluţie a problemei

( )( )

1 2

1 2

0 , în

0∂Ω

Δ ϕ − ϕ = Ω⎧⎪⎨ϕ − ϕ =⎪⎩

.

Să aplicăm prima formulă integrală a lui Green ansamblului ( )1 2 1 2, , ,ϕ − ϕ ϕ − ϕ Ω ∂Ω . Obţinem

( ) ( ) ( )

( ) ( )

21 21 2 1 2

1 2 1 2

dd d

d

d .

n∂Ω Ω

Ω

ϕ − ϕϕ − ϕ σ = ∇ ϕ − ϕ ω +

+ ϕ − ϕ Δ ϕ − ϕ ω

∫∫ ∫∫∫

∫∫∫

Ţinând seama de problema la limită pe care o satisface ( ) ( )1 2ϕ − ϕ ⋅ , rezultă

( )2

1 2 d 0Ω

∇ ϕ − ϕ ω =∫∫∫ .

Prin urmare în ( )1 2 0∇ ϕ − ϕ ≡ Ω , deci 1 2 const.ϕ − ϕ = în . Dar constanta, din relaţia anterioară, este nulă deoarece

Ω

1 2 0∂Ωϕ − ϕ = şi funcţia ( ) ( )1 2ϕ − ϕ ⋅ este continuă pe Ω . Rezultă 1 2ϕ ≡ ϕ în Ω . Am ajuns astfel la contradicţie, prin urmare P.D.I. (471) dacă admite soluţie, aceasta este unică.


Ajungem astfel la concluzia că soluţia problemei Dirichlet interioare este unic determinată.

9.6.2 Funcţia lui Green pentru operatorul lui Laplace şi un domeniu . Cazuri particulare: disc, sferă, semispaţiu. Formulele lui Poisson şi Dini

Ω

DEFINIŢIA 9.6.2.1. Fie . Se numeşte funcţie Green pentru operatorul lui Laplace şi domeniul

3Ω ⊆Ω o funcţie ( ),G M P , M ∈ Ω un punct

fixat, P ∈ Ω punct curent în Ω , cu proprietăţile: – este armonică în { }\ MΩ , în raport cu P; – este suma dintre o funcţie armonică (peste tot în Ω ) în şi funcţia Ω

1 , r MPr

= ;

– este nulă pe ∂Ω . Observaţia 9.6.2.1. Funcţia ( ),G M P , definită de formula (474), este

funcţie Green pentru operatorul lui Laplace şi domeniul Ω . Formula (473) este formula de reprezentare a soluţiei problemei Dirichlet

interioare (471), scrisă cu funcţia Green pentru operatorul lui Laplace şi domeniul . Ω

Odată ce se cunoaşte funcţia lui Green pentru un domeniu şi operatorul lui Laplace, cu (473) se poate rezolva orice problemă Dirichlet interioară relativă la acel domeniu.

În cele ce urmează vom arăta că pentru anumite domenii ca disc, sferă şi semispaţiu prin metode elementare se poate construi funcţia lui Green.

i. Construcţia funcţiei Green pentru disc. Problema lui Dirichlet pentru disc. Formula lui Poisson.

În comentariul introductiv la secţiunea 9.6 din acest paragraf, §9, am menţionat noţiunea de soluţie fundamentală pentru ecuaţia lui Laplace, soluţie care are reprezentări diferite funcţie de dimensiunea spaţiului, în care se consideră ecuaţia lui Laplace. Pentru aceasta a se vedea formula (433).

În acest paragraf subpunctul 9.6.1 s-a enunţat şi demonstrat Teorema 9.6.1.1 relativă la problema (434), obţinându-se rezultatele (444) şi (445) pentru

. 3Ω ⊂Se poate reformula şi regăsi un rezultat analog celui dat de Teorema

9.6.1.1 pentru cazul , corespunzător problemei 2Ω ⊂

( )( )

( )

0 2

0

0

, ; ,

, ;

d , ;d

f f

g g

h hn

∂Ω

∂Ω

⎧Δϕ = ∈ Ω Ω ⊂⎪ϕ = ∈ ∂Ω⎪

⎨ϕ⎪ = ∈ ∂Ω⎪

⎩

C

C

C

, (475)


problemă analoagă cu (434). Observând că dimensiunea 3n = a spaţiului a intervenit, în obţinerea formulelor (444) şi (445), în determinarea unei funcţii armonice , prin trecere la dimensiunea , deci la problema (475), funcţia se alege de forma , conform (433).

( )ψ ⋅2n = ( )ψ ⋅

( ) lnrψ = r

) 0 Se urmează pas cu pas demonstraţia teoremei 9.6.1.1 şi se observă că

este, în cazul , discul de centru M şi rază , iar ( ,B M ρ 2n = ,ρ ρ > ω interiorul acestui disc. Prin trecere la coordonatele polare ( ),r α se obţine

2 2 2

0 0

d d ln d d ln d d

ln d d 2 ln .4 2

x y r x y K r x y

K r r r K

ω ω ω

ρπ

ψΔϕ = Δϕ ≤ =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ρ ρ⎜ ⎟= − α = π − ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫ ∫

(Am considerat pentru că se va trece la limită pentru 0 < ρ < 1 ρ tinzând la zero.)

Prin analogie cu (439) se obţine

0

lim ln d d 0r x yρ→

ω

Δϕ =∫∫ . (476)

Folosind teoreme de medie, dar în integrala curbilinie, se obţine: – există astfel încât 1P ∈ ∂ω

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

11 1

dln dlnd d ln dd d

1 d d 2

r rs P s P n r sn n

Pr rP s sr r r

∂ω ∂ω ∂ω

∂ω ∂ω

ϕ = ϕ = ϕ ∇ =

ϕ⎛ ⎞= ϕ − = − = − πϕ⎜ ⎟⎝ ⎠ ρ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ;P

– există 2P ∈ ∂ω astfel încât

( )2d dln d ln 2d d

r s Pn n

∂ω

ϕ ϕ= ρ π∫ ρ .

Cu aceasta deducem că

( )0

dln dlim ln d 2 .d d

r r s Mn nρ→

∂ω

ϕ⎛ ⎞ϕ − = − πϕ⎜ ⎟⎝ ⎠∫

În consecinţă, obţinem

( ) ( ) ( )1 1 dlnln d ln d ,2 2 dP

r dd

M f P r P r sn n

Ω ∂Ω

ϕ⎡ ⎤ϕ = σ − ϕ −⎢ ⎥π π ⎣ ⎦∫∫ ∫

analog rezultatului cuprins în (244) şi (245).


(Pentru formula Green aplicată ansamblului ( ), , \ ,ϕ ψ Ω ω ∂Ω ∂ω∪ în cazul a se vedea [6] pag. 503.) În cazul 2Ω ⊂ 0f ≡ şi 2Ω ⊂ rezultă, pentru

problema (475)

( ) ( )1 d dlnln d2 d d

rM r Pn n

∂Ω

ϕ s⎡ ⎤ϕ = − ϕ⎢ ⎥π ⎣ ⎦∫ , (477)

formula de reprezentare a soluţiei problemei (475), analogul rezultatului demonstrat în Teorema 9.6.1.1. Refăcând toate raţionamentele de la ii, punctul 9.6.1 din secţiunea 9.6, acest capitol, reformulăm problema (472) pentru 2Ω ⊂ , astfel

( ) 2, 0 , în .

lnP g M P

g r ∂Ω∂Ω

⎧Δ = Ω ⊂⎪⎨

= −⎪⎩

Rezultă

( ) ( ) ( )d ,1 d2 d

G M PM g P sn

∂Ω

ϕ = −π ∫ , (478)

unde

( ) ( ), ,G M P g M P rln= + . (479)

Cu (479), în cazul , Definiţia 9.6.2.1 devine: 2Ω ⊂DEFINIŢIA 9.6.2.2. Fie 2Ω ⊂ . Se numeşte funcţie Green pentru

operatorul lui Laplace şi domeniul Ω o funcţie ( ),G M P , M ∈ Ω un punct fixat, P ∈ Ω punct curent în Ω , cu proprietăţile:

– este armonică în { }\ MΩ , în raport cu P; – este suma dintre o funcţie armonică (peste tot în Ω ) în şi funcţia

, Ω

ln r r MP= ; – este nulă pe . ∂Ω În continuare, pentru disc, vom construi funcţia lui Green prin metode elementare. În acest sens căutăm funcţia ( ),g M P armonică în interiorul discului (0, )Rω de forma

( ) 1, lng M P k r= − , (480)

k o constantă care urmează a fi determinată din condiţia lng r ∂ω∂ω = − , (481)

1 1 1, , , Ext ,r MP r M P M M P= = ∈ ω ∈ ω ∈ ∂ω . (482)


Fig. 1.9.5

OM d= , 1 1OM d= , OP R= .

Condiţia (481) revine la 1

ln lnr kr

= , adică 1

r kr

= , deci triunghiurile

OPM şi sunt asemenea, prin urmare 1OM P1 1

d R rR d r

= = , deci dkR

= .

Obţinem

( ) 1, ln dG M P r rR

= − + ln . (483)

Funcţia dată de (483) reprezintă funcţia Green pentru operatorul lui Laplace şi discul ( )0, Rω .

Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru discul (0, )Rω se scrie (478) utilizând (483), deci

( ) ( )1

dd ln1 d .2 d

r rR d lnd

M g P sn n

∂ω

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ϕ = −⎢ ⎥

π ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (484)

Notăm cu , , OPMα = 1 1OPMα = θ unghiul făcut de axa Ox cu vectorul , unghiul făcut de axa Ox cu vectorul OP . Conform teoremei cosinusului rezultă

1OM ψ

2 2 2

2 2 21 1 1

2 cos.

2 cos

d R r rR

d R r r R

⎧ = + − α⎪⎨

= + − α⎪⎩ 1

Calculând derivata unui câmp scalar v după direcţia de versor n cu ajutorul operatorului ∇ , obţinem


( ) (dd

v n v n vn

)= ∇ = ∇ ,

deci

( ) ( )

( )

2

1 11

1

dln 1 1 cosd

.dln cos

d

r rn r n nrn r r r

r n rn r

α⎧ = ∇ = = = −⎪⎪⎨ α⎪ = ∇ = −⎪⎩

r (485)

Din (484) şi (485) şi din asemănarea triunghiurilor OPM şi obţinem:

1OM P

2 2 21 1

21

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 21 12 2 2 3 2

12 2

2

dln cosd dln cosd d d 2

/ / 2 2 2 /

.

rG r R r dn n n r r r d

R r d R r d R R r d R dr R r R r R d

R dRr

αα + −− = − = − = −

+ − + − + −− = −

−=

=

Introducând coordonatele polare ( ),ρ θ pentru punctul M (deci d = ρ ), rezultă

( )2 2 2 2 cosr R R= + ρ − ρ θ − Ψ . Prin urmare (484) se rescrie

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

2 2

2

2 2 2i

2 20

22 2 i

2 20

1, d2

1 Re d2 2 cos

Re d .2 2 cos

RM g P sRr

Rg RR R R

R gR R

∂ωπ

ψ

π ψ

− ρϕ = ϕ ρ θ = =

π

− ρ= ψ

π ⎡ ⎤+ ρ − ρ θ − ψ⎣ ⎦

− ρ= ψ

π − ρ θ − ψ + ρ

∫

∫

∫

=

(486)

Formula (486) se numeşte formula lui Poisson, integrala din (486) se numeşte integrala lui Poisson; (486) dă soluţia problemei Dirichlet pentru disc, folosind funcţia Green (483) pentru disc. În continuare ne propunem să regăsim formula lui Poisson (486) folosind pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc metoda separării variabilelor, metodă des utilizată în rezolvarea problemelor la limită pentru ecuaţii cu derivate parţiale nu neapărat de tip eliptic. Metoda separării variabilelor a fost prezentată în §4 al acestei cărţi.


Considerăm problema Dirichlet interioară

( ){ }( )

2 2

2 2

0

0 , în ,,

, ;x y R

u D x y x y

u g g D+ =

⎧Δ = = + <⎪⎨

= ∈ ∂⎪⎩C

R (487)

cu funcţie periodică de perioadă ( )g ⋅ 2T = π şi care satisface condiţiile teoremei lui Dirichlet pe orice interval I ⊂ de lungime 2π . Se rescrie problema (488) în coordonatele polare ,r θ şi rezultă

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

1

1 1 1

1 1 0

,2 , , satisface condiţiile teoremei

Dirichlet pe orice interval de lungime 2

U U Ur rr r

U R gg g g

I

⎧ ∂ ∂ ∂+ + =⎪ ∂∂ ∂θ⎪⎪ θ = θ⎨

⎪ θ + π = θ ∀ θ ∈ θ⎪⎪ π⎩

,(488)

unde ( ) ( ), cos , sU r u r rθ = θ θin şi ( ) ( )i1 Reg g θθ = .

Căutăm pentru (488) soluţii de forma ( ) ( ) ( ),U r R rθ = Θ θ ≠ 0 . (489)

Înlocuind în ecuaţia din (488) şi separând variabilele, obţinem

( ) ( )

( )( )( )

2r R r rR r kR r

′′ ′ ′′+ Θ θ= − =

Θ θ , (490)

unde k este o constantă reală ale cărei valori urmează să fie precizate. Rezultă, din (488) şi (490), de rezolvat problemele:

( ) ( )( ) ( ) ( )

02 ,

k′′⎧Θ θ + Θ θ =⎨Θ θ + π = Θ θ ∀ θ ∈⎩

, (491)

( ) ( ) ( )2 0r R r rR r kR r′′ ′+ − = . (492) Ne ocupăm de problema (491) şi facem o discuţie după . k ∈I. 2 0,k = −α < α ∈

Rezultă , funcţie care nu este periodică, deci cazul I este imposibil.

( ) 1 2e eC Cαθ −αθΘ θ = +

II. 0k =Rezultă ( ) 1CΘ θ = θ + 2C . Din condiţia de periodicitate deducem

. ( ) 2CΘ θ =

III. 2 0,k = α > α ∈Rezultă . Din condiţia de periodicitate se

obţine ( ) 1 2cos sinC CΘ θ = αθ + αθ


[ ] [ ]1 2

1 2

cos cos 2 1 sin cos 2 1 sin sin 2 cos sin 2 0,C C

C Cαθ πα − + αθ πα − −

− αθ πα + αθ πα =

adică ( )

( )1 2

1 2

cos 2 1 sin 2 0.

sin 2 cos 2 1 0C C

C C⎧ πα − + πα =⎨− πα + πα − =⎩

Rezultă n ∗α = ∈ . Obţinem deci 2 ,k n n ∗= ∈ . Din cazurile II şi III obţinem pentru problema (491) soluţia de forma

. (493) ( ) cos sin ,n n nn n nΘ θ = α θ + β θ ∈

cu { } , { două şiruri de constante arbitrare. nα }∈

nβ

Pentru se rescrie ecuaţia (492). Se obţine ecuaţia 2 ,k n n=

( ) ( ) ( )2 2 0,r R r rR r n R r n′′ ′+ − = ∈ . (494)

Pentru se deduce din (494) o ecuaţie de tip Euler a cărei soluţie generală este

n ∗∈

( ) ,n nn n nR r r r n− ∗= γ + δ ∈ . (495)

Pentru , (494) devine 0n =( ) ( )2 0r R r rR r′′ ′+ = ,

adică ( ) ( ) 0rR r R r′′ ′+ = ,

ecuaţie care, printr-o schimbare de funcţie, se reduce la o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi şi care în final are soluţia generală

( )0 0 0 lnR r r= γ + δ . (496)

În (495) şi (496) şirurile de constante { }n n∈γ , { }n n∈δ sunt arbitrare.

Putem în (493), (495) şi (496) considera n ∈ , deoarece . Facem observaţia că din definiţia lui

2k n=( ),U r θ , ca soluţie pentru (488), rezultă că ea

este continuă în interiorul discului, deci în particular este definită în origine, motiv pentru care în cazul problemei Dirichlet interioare trebuie considerat

şi , . Obţinem şirul de soluţii, pentru ecuaţia lui Laplace, de forma

0 0δ = 0nδ = n ∗∈

( ) ( ), cos sin ,nn n nU r r A n B n nθ = θ + θ ∈ , (497)

cu { } , {n nA ∈ }n nB ∈ ⊂ două şiruri arbitrare de numere reale.


Considerăm seria

. (498) ( ) ( )00 1

, cosn n nn n

U r A r A n B n∞ ∞

= =

θ = + θ + θ∑ ∑ sinn

)sin

În mod formal notăm

. (499) ( ) (01

, cosnn n

nU r A r A n B n

∞

=

θ = + θ + θ∑Dacă seria (498) este uniform convergentă şi seriile derivatelor în r şi θ

de două ori sunt şi ele uniform convergente, atunci (499) defineşte o funcţie care satisface ecuaţia din problema (488). Impunând lui (499) să satisfacă condiţia la limită (pe frontieră) din problema (488), obţinem

( ( )0 11

cos sinnn n

nA R A n B n g

∞

=

)+ θ + θ = θ∑ . (500)

În condiţiile impuse funcţiei ( )g ⋅ , condiţia la limită din problema (488), deducem că (500) are loc dacă membrul stâng din (500) reprezintă dezvoltarea în serie Fourier - trigonometrică a funcţiei ( )g ⋅ . Prin urmare

( )

( )

( )

2

0 10

2

10

2

10

1 d2

1 cos d , .

1 sin d ,

nn

nn

A g

R A g n n

R B g n n

π

π∗

π∗

⎧⎪ = θ θ

π⎪⎪⎪⎪ = θ θ θ ∈⎨ π⎪⎪⎪ = θ θ θ ∈⎪ π⎪⎩

∫

∫

∫

(501)

Cu (501) şirurile { }n nA ∈ , { }n nB ∈ au semnificaţia de coeficienţi Fourier, deci sunt şiruri de numere convergente, prin urmare mărginite. Cu aceasta rezultă că seria (499) este uniform convergentă pe 1r ≤ ρ < şi la fel şi seriile derivatelor de două ori în r şi θ ale seriei (499).

Introducând (501) în (499), rezultă

( ) ( ) ( )2

110

1, 1 2 cos2

n

n

rU r g t n t tR

π ∞

=

d⎡ ⎤⎛ ⎞θ = + − θ⎢ ⎥⎜ ⎟

π ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫ .

Suma seriei, care figurează sub semnul de integrare, poate fi calculată pornind de la identitatea

( ) ( ) ( )i

1 1 1cos i sin e

n nn t

n n n

r rn t n tR R

∞ ∞ ∞−θ

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− θ + − θ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

nrR

.


Ultima serie este o progresie geometrică convergentă pentru şi are suma r < R( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

i

i i

2 2

ee e

cos i sin,

2 cos

t

t tr rS

R r R rr R t r R t

r rR t R

−θ

−θ − −θ= = =

− −⎡ ⎤− θ − + − θ⎣ ⎦=

− − θ +

deci

( ) ( )[ ]( )2 2

1

coscos2 cos

n

n

r r R tn tR r rR t R

∞

=

− θ −⎛ ⎞ − θ =⎜ ⎟⎝ ⎠ − − θ∑ r

+.

Rezultă

( )( )( )

22 21

2 20

, d2 2 cos

g tR rU r tr rR t R

π−

θ =π − − θ +∫ , (502)

adică formula lui Poisson (486). Observaţia 9.6.2.2. Scriind (483), funcţia Green pentru disc, sub forma

( )1

1, ln ln dG M Pr R

= − +1r

→

rezultă că ea dă potenţialul electrostatic al

câmpului din când în M se plasează unitatea de sarcină electrică pozitivă, iar curba este legată la pământ.

ω∂ω

În continuare, utilizând metode ale teoriei funcţiilor complexe, şi anume transformările conforme, precum şi rezultatele privind rezolvarea problemei Dirichlet interioare pentru disc, vom prezenta rezultate privind existenţa şi reprezentarea soluţiei problemei Dirichlet interioare pentru domenii simplu conexe din plan. TEOREMA 9.6.2.1 ( Riemann, 1851 ). Oricare ar fi G şi două mulţimi deschise în , simplu conexe, diferite de , există o transformare conformă ϕ .

G∗

: G G∗

Pentru orice , 0z G∈ 0w G∗∈ , [ )0, 2θ ∈ π există o transformare conformă unică astfel încât : G G∗ϕ → ( )0 0z wϕ = şi . ( )0arg z′ϕ = θ Pentru demonstraţie a se vedea [13].

Observaţia 9.6.2.3 – Funcţia ( )

2 2

2 22 cosR r

r rR t R−

=− − θ +

se numeşte nucleul lui Poisson şi intervine în formula lui Poisson (502), respectiv (486) de reprezentare a soluţiei problemei Dirichlet interioare.

( , , ,K r R t= )θ

– Conform formulelor (486), (502) soluţia problemei Dirichlet interioare pentru disc (487) admite reprezentarea


( ) ( )( )

22 2 ii

2 20

ee d2 2 cos

tR r g Ru r tR rR t r

.π

θ −=

π − − θ +∫ (503)

– Observând că nucleul lui Poisson ( ), , , Re zK r R tz

ζ +θ =

ζ −, unde

ie tRζ = , şi folosind formula integrală Cauchy pentru domenii

simplu conexe, aplicată ansamblului

iez r θ=

,z zz

ζ +⎛ ⎞⎜ ⎟ζ −⎝ ⎠

, r z R= < = ζ rezultă că

(503) se rescrie

( )( )

( )1 d2 i

R

zu z gz

ζ =

ζ +=

π ζ ζ −∫ ζ ζ . (504)

TEOREMA 9.6.2.3. Fie Ω un domeniu simplu conex din planul complex . Problema Dirichlet interioară

( )0

0 ,

u , ;

u în

g g∂Ω

Δ = Ω⎧⎪⎨

= ∈ ∂Ω⎪⎩ C

are soluţie unică şi aceasta admite reprezentarea

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )1 d ,2 i

w w z wu z g w z

w w z w∂Ω

′ζ + ζ= ζ ⋅ ζ ∀

π ζ − ζ∫ ∈ Ω , (505)

unde este o transformare conformă a discului unitate pe domeniul Ω . ( )w ⋅ Demonstraţie: Conform teoremei lui Riemann există o transformare conformă a discului unitate pe domeniul simplu conex Ω . Pentru disc problema Dirichlet interioară are soluţie şi aceasta este unică şi admite reprezentarea (504). Se efectuează în (504) schimbarea de variabilă definită de transformarea conformă

( )w ⋅

wζ → şi rezultă (505). Mai adăugăm şi rezultatul conform căruia compunerea între o funcţie armonică pe un domeniu D şi o transformare conformă a unui domeniu Ω pe domeniul D este armonică pe

. Pentru acest rezultat a se vedea [4]. ΩExemplu. Problema Dirichlet pentru semiplan

Fie ( ){ }, ,D x y x y= ∈ 0>

D∈

. Se consideră problema Dirichlet interioară

( ) ( ) ( )0

0 , în .

, 0 ,

u D

u x f x f

Δ =⎧⎪⎨

= ∈⎪⎩ C

Pentru se consideră transformarea conformă, care transformă pe D în

( )0 0 0,z x y=

{ }, 1w w w∈ < cu ( )0 0w z = . Această transformare


este dată de 0

0,z zw z

z z−

=−

D∈ . Prin această transformare punctele de pe

frontieră sunt legate prin relaţia i 0

0e x z

x zϕ −=

−, de unde rezultă transformarea

inversă ( )i

0ie

e 1zx 0zϕ

ϕ−

ϕ =−

. Înlocuind în (505), rezultă

( ) ( )

( )

( )( )

0

00

0

0

0 02

0

02 2

0 0

1 d2 i

1 d2 i

1 d .

x zx z

u z f x xx zx z

x z x zf x xx z

y f x xx x y

∞

−∞

∞

−∞∞

−∞

′−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠= =

−π−

− − += =

π −

=π − +

∫

∫

∫

ii. Construcţia funcţiei Green pentru sferă. Problema Dirichlet interioară pentru sferă. Formula lui Poisson

Pentru construcţia funcţiei Green în cazul sferei ne propunem să rezolvăm, conform Definiţiei 9.6.2.1, problema Dirichlet interioară

( ), 0, în

1P

MP

g M P D

gr∂Ω

⎧Δ =⎪⎨ = −⎪⎩

, (506)

pentru domeniul mărginit de sfera Ω ( )0,B a , adică de sfera de rază a cu

centrul în origine. Fie ( )0,M B a∈ . Fie P B∈ ∂ . Observăm că funcţia 1r

− cu

r MP= este o funcţie armonică în ( ) { }0, \B a M şi are pe frontieră valoarea dorită. Această funcţie nu este însă funcţia căutată, soluţie pentru problema (506), deoarece nu este funcţie armonică în toate punctele sferei, anume în M. Vom căuta în continuare soluţia problemei considerate sub forma

1r

− , dar pentru a asigura armonicitatea acestei funcţii în interiorul sferei vom

considera funcţia 1

1r

− , unde 1 1r M= P , cu 1M în exteriorul sferei. Aceasta

este o funcţie armonică în interiorul sferei şi urmează să determinăm punctul


1M în funcţie de punctul M fixat. Căutăm deci soluţia problemei (506) de forma

( )1

, kg M Pr

= . (507)

Fig. 1.9.6

Urmează să determinăm punctul 1M şi constanta k din condiţia ca ( ),g M P

să fie armonică în interiorul sferei şi 1B

Bg

r∂∂

= − . Evident 1

0kr

⎛ ⎞Δ =⎜ ⎟⎝ ⎠

în

interiorul sferei. Din condiţia la limită deducem 1

1BB

kr r ∂∂

= − ; deoarece

rezultă condiţia P ∈ ∂B1

1kr r

= − , pentru că 1 1B

kr r∂

k= în cazul P B∈ ∂

( similar 1Br r∂

− = −1 ). Rezultă deci că 1M este acel punct din exteriorul

sferei pentru care 1

1kr r

= − , adică 1 const.r kr= − = Acest lucru este posibil

dacă triunghiurile OPM şi sunt asemenea. Atunci 1OPM 1r ar d= . Pentru ca

cele două triunghiuri să fie asemenea este necesar ca unghiul să fie cuprins

între laturi proporţionale:

ϕ

1

d aa OM= . Rezultă 2

1a OM OM= . Aceasta

înseamnă că punctul 1M este inversul punctului M faţă de sferă. Luând


punctul 1M ca fiind inversul punctului M faţă de sfera (0, )B a găsim 1r akr d

= − = − . Deci

( )1

1, ag M Pd r

= − , (508)

prin urmare funcţia Green pentru operatorul lui Laplace şi sfera (0, )B a este

( )1

1, aG M Pr d r

= −1 .

)

(509)

Considerăm acum problema Dirichlet interioară (471), dar în cazul sferei, deci ( 0,B aΩ = . Conform formulei de reprezentare (474) rezultă că soluţia

a problemei (471) este dată de ( )ϕ ⋅

( ) ( ) ( )d ,1 d4 d P

B

G M PM g Pn

∂

ϕ = − σπ ∫∫ , (510)

unde ( ),G M P este dat de (509). Calculăm

1 1

1 12 2 3 31 1

d d 1 1 1 1d d

.

G a ann n r d r r d r

n a n n r ar rdr r r d r

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = ∇ − ∇⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦⋅

= − ⋅ ∇ + ⋅ ∇ = − + ⋅n r

=

Dar ( ) cosPn r n OP OM a d⋅ = ⋅ − = − ϕ ( )11 1cosPn r n OP OM a d⋅ = ⋅ − = − ϕ .

Rezultă 1

3 31

cosd cosd

a dG d a an dr r

− ϕϕ −= + .

Însă 1r ar d= , deci

3 33

1 3a rrd

= . Rezultă

13 3 3 3 3

21

2 3

cosd cos cosd /

cos .

a dG d a a d an dr a r d r

a dda r

− ϕϕ − ϕ= + ⋅ =

− ϕ+ ⋅

−+


Dar , deci 21a d d= ⋅

2

1add

= . Obţinem

2

2

3 2 3 3

2 2

3 3

cosd cos cosd

cos .

aaG d a d d adn r a r r

d d a d aa r ar

− ϕϕ − ϕ −

= + ⋅ =

− ϕ −+ ⋅ =

+

Prin urmare, soluţia problemei Dirichlet interioare pentru sferă (471) este dată de

( )( )2 2

3 d4 P

MPB

a d g PMa r

∂

−ϕ =

π ∫∫ σ . (511)

Formula de reprezentare (511), pentru soluţia problemei Dirichlet interioare, se numeşte formula lui Poisson şi este analoagă, în cazul dimensiunii 3n = , formulei (486). Reţinem faptul că (511) s-a obţinut utilizând funcţia Green pentru sferă şi operatorul lui Laplace, funcţie Green dedusă prin tehnici elementare ca şi în cazul discului.

iii. Construcţia funcţiei Green pentru operatorul lui Laplace şi semispaţiu. Problema Dirichlet interioară pentru semispaţiu

Considerăm semispaţiul , deci în acest caz considerăm 0z >

( ){ }3, , 0x y z zΩ = ∈ > , iar ( ){ }3, , 0x y z z∂Ω = ∈ = . A determina funcţia lui Green pentru operatorul lui Laplace şi semispaţiul

revine la a rezolva următoarea problemă Dirichlet interioară Ω

( ), 0, în

,1P

MP

g M P

gr∂Ω

∂Ω

⎧Δ = Ω⎪⎨ = −⎪⎩

(512)

unde MPr r MP= = , M un punct fixat în Ω , iar P un punct curent în

. Ştim că funcţia Ω ∂Ω∪ 1r

− este armonică în { }\ MΩ , prin urmare nu

poate fi soluţia problemei (512). Trebuie evitat punctul M.


Fig. 1.9.7

ζ

ξ

P(ζ,η,ξ)

Pentru aceasta considerăm punctul 1M simetricul punctului M faţă de

planul Oζ η . Considerăm funcţia ( )1

1,P

g M PM

= − . Această funcţie este

armonică în Ω şi în plus 1

1rM P1

∂Ω∂Ω

− = − . Rezultă

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 21

22 2

1 1 1,

1 .

G M Pr r x y z

x y z

= − =− ζ + − η + − ξ

−− ζ + − η + + ξ

−

(513)

Problema Dirichlet interioară pentru semispaţiu se formulează astfel:

( ){ }

( ) ( ) ( )0 , în , , 0

, , 0 , , 0 , , , 0 continuăg g

⎧Δϕ = Ω = ζ η ξ ξ >⎪⎨ϕ ζ η = ζ η ⋅ ⋅⎪⎩

. (514)

Ţinând seama de (513) şi (473), soluţia problemei (514) este

( ) ( ) ( )1 d , , ; , , 0 , , 0 d d4 d

GM x y z gn

∞ ∞

−∞ −∞

ϕ = − ζ η ζ η ζπ ∫ ∫ η . (515)


Direcţia normalei exterioare la ∂Ω , n , este dată de axa Oξ , prin urmare

( ) ( )( )322 200

d 2 .dG G zn

x y zξ=ζ=

∂= = −

∂ξ− ζ + − η +

(516)


( ) ( )

( ) ( )3 / 222 2

, , 01, , d d .2

zgx y z

x y z

∞ ∞

−∞ −∞

ζ ηϕ = ζ

π ⎡ ⎤− ζ + − η +⎣ ⎦∫ ∫ η

)

iv. Problema lui Neumann interioară pentru disc. Formula lui Dini

În această secţiune vom rezolva problema Neumann interioară pentru disc şi vom deduce formula lui Dini prin două metode: metoda funcţiilor complexe olomorfe în domenii simple conexe şi metoda separării variabilelor.

Fie ( 0,D R discul de centru originea planului şi rază R. Considerăm problema Neumann interioară

( ) [ )

0 , în ,d , 0, 2

d D

u Du fn ∂

Δ =⎧⎪⎨ = θ θ ∈ π⎪⎩

(517)

cu . ( )2

0

d 0fπ

θ θ =∫ Conform cu Teorema 9.6.1.3 problema (517) admite soluţie şi conform cu Teorema 9.6.1.5 aceasta este unic determinată abstracţie făcând de o constantă. Ne propunem determinarea soluţiei problemei (517), nulă în origine (centrul discului). Pentru aceasta definim funcţia auxiliară

( ) ( )0

dg R f t tθ

θ = − ∫ , (518)

care are proprietatea că este periodică cu perioada şi .

2T = π( ) ( )0 2g g= π = 0

Fie iz x= + y şi funcţia complexă olomorfă în D

( ) ( ) ( ), i ,z u x y v x yϕ = + ,

)

(519)

unde este soluţia problemei (517) cu ( ,u ⋅ ⋅ ( )0 0u = .


Pentru Dζ ∈ , ie θζ = ρ şi [ ]iRe , 0, 2Dθ

∂ζ = θ ∈ π notăm ( )U θ , valorile ( )V θ Du ∂ şi Dv ∂ . Deoarece ( )ϕ ⋅ este olomorfă în D, scriind

dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei ( )ϕ ⋅ în jurul punctului rezultă 0z =

( )( )

10

1 d2 i

nn

n D

z zz

∞

+= ∂

ϕϕ ζ = ζ

π ∑ ∫ , (520)

adică înlocuind pe ζ şi z cu reprezentările lor, găsim

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )

02

0

1, i , cos i sin .2

. i cos i sin

n

n

u v n nR

U t V t nt nt t

∞

=π

ρ⎛ ⎞ρ θ + ρ θ = θ + θ⎜ ⎟π ⎝ ⎠

+ −

∑

∫ d .

Ω

,∈

.

.

=

=

(521)

Aplicând teorema lui Cauchy pentru domenii simplu conexe ansamblului , rezultă ( )( ),nz zϕ ∂

( ) d 0,n

D

z z z n∂

ϕ =∫

de unde deducem egalităţile

(522)

( ) ( )

( ) ( )

2 2

0 02 2

0 0

cos d sin d

,

sin d cos d

U t nt t V t nt t

n

U t nt t V t nt t

π π

∗π π

⎧⎪ =⎪⎪ ∈⎨⎪

= −⎪⎪⎩

∫ ∫

∫ ∫

Cu (522) rezultă că

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

02 2

0 02 2

0 0

i cos i sin d

2 sin d 2i cos d

2 sin d 2i cos d

U t V t nt nt t

V t nt t V t nt t

g t nt t g t nt t

π

π π

π π

+ −

= +

= +

∫

∫ ∫

∫ ∫

(523)


În stabilirea formulei (523), în afară de (522), am folosit şi faptul că ( )ϕ ⋅ dată de (519) este funcţie olomorfă cu ( ) (Re ,z u x y )ϕ = şi

. Prin urmare, scriind condiţiile Cauchy-Riemann rezultă ( ) (Im ,z v x yϕ = )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, ,, ,

, ,

u vx y x yx y

.x yu vx y x yy x

∂ ∂⎧ =⎪ ∂ ∂⎪ ∀ ∈⎨ ∂ ∂⎪ = −⎪ ∂ ∂⎩

D

′

(524)

În plus, notând cu cosinuşii directori ai versorului normalei într-un punct curent al curbei

,′α βD∂ , rezultă

dd

u u un x y

∂ ∂′ ′= α +∂ ∂

β .

Dacă α şi β sunt cosinuşii directori ai versorului tangentei la D∂ şi s este

arcul pe D∂ , măsurat de la o origine arbitrară, avem dr t ds= , adică dd

xs

α = ,

dd

ys

β = ; cum 0′ ′αα + ββ = , 2 2 1′ ′α + β = , obţinem dd

ys

′α = − , dd

xs

′β = ,

deci d d d d d ,d d d d d

u u y u x v x v yn x s y s x s y s

∂ ∂ ∂ ∂= − + = − − = −

∂ ∂ ∂ ∂dd

vs

adică

( )dd

v f ss= − . (525)

Fie

. (526) ( ) ( )0

ds

F s f s s= ∫

Cu (526) deducem că ştiind pe dd D

un ∂

cunoaştem în realitate valorile funcţiei

conjugate pe ( )v ⋅ D∂ ,

( ) ( )D Dv v s A F∂ ∂= = − s , (527)

cu A o constantă arbitrară. Din (527), (526) şi (523) deducem ( ) ( )V t g t= , condiţie utilizată în stabilirea formulei (523).


Din formula lui Poisson pentru disc, formula (486), 0ρ = , obţinem

( ) ( )2

0

10 d2

u U t tπ

=π ∫ ,

care, conform cererii ca soluţia problemei (517) să se anuleze în origine, conduce la

( ) ( )2

0

10 d2

u U t 0tπ

= =π ∫ . (528)

Ţinând seama de (523), (528) şi egalând părţile reale în (521), rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 0 02

10

1, cos sin d sin cos d

1 sin d . (529)

n

n

n

n

u n g t nt t n g tR

g t n t tR

π π∞

=

π ∞

=

⎡ ⎤ρ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ρ θ = θ − θ =⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ρ⎛ ⎞= − θ⎢ ⎥⎜ ⎟π ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫ ∫

∑∫

nt t

Dar, pentru 1k < , conform [3] pag. 85 - 86 rezultă că are loc dezvoltarea în serie Fourier de sinusuri

21

sin sin1 2 cos

p

p

k kk k

∞

=

α p= α− α + ∑ . (530)

Prin urmare, din (529) şi (530),

( ) ( ) ( )( )

2

2 20

1 sin, d2 cosR tu g t

R R t

πρ − θ

ρ θ =π − ρ − θ + ρ∫ t .

Integrând prin părţi şi ţinând seama că

( ) ( )0 2g g= π = 0 , iar ( ) ( )g t R f t′ ′= − ,

rezultă că soluţia problemei Neumann interioare (517) este dată de

( ) ( ) ( )

( )

22 2

02

0

, ln 2 cos

ln d ,

Ru f t R R t

R f t r t

π

π

ρ θ = − ρ − θ + ρ =π

=π

∫

∫

dt

(531)

unde ( )2 22 cosr R R t= − ρ − θ + ρ .


Formula (531) se numeşte formula lui Dini şi ea rezolvă problema P.N.I. pentru disc. Observaţia 9.6.2.4. Cu (517), (519) am arătat că se cunosc valorile pe ∂Ω ale funcţiei conjugate , date de (527). Prin urmare problema Neumann interioară pentru

( )v ⋅( )u ⋅ se transferă în rezolvarea problemei Dirichlet interioare

pentru , ( )v ⋅

( )

0, în ,

D

v Dv A F s∂

Δ =⎧⎨

= −⎩ (532)

cu definit de (526). Domeniul D nu este în mod necesar un disc, ci un domeniu plan simplu conex arbitrar, a se vedea Teorema 9.6.2.3, formula (505). Odată determinată funcţia , funcţia

( )F ⋅

( ,v ⋅ ⋅ ) ( ),u ⋅ ⋅ – soluţia problemei Neumann interioare – este dată de

( )0

, dM M

v vu x y B x yy x

d∂ ∂= + −

∂ ∂∫ , (533)

drumul de integrare 0M M fiind o curbă rectificabilă oarecare din D, de extremităţi 0M – punct fix în D, ( ),M x y – punct curent în D.

Cu alte cuvinte, prin tehnici specifice determinărilor de funcţii complexe olomorfe, orice problemă Neumann interioară poate fi redusă la o problemă Dirichlet interioară.

În continuare ne propunem regăsirea formulei lui Dini (531) prin metoda separării variabilelor.

Se consideră problema Neumann interioară

( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

0

2

0

0 , în , , ,

d , ;d

2 , , d 0,

satisface condiţiile teoremei Dirichlet pe orice interval de lungime 2

x y R

u D x y x y x

u f f Dn

f f f t t

f I

+ =

π

⎧Δ = = ∈ + <⎪⎪

= ∈ ∂⎪⎪⎪⎨⎪ θ = θ + π ∀ θ ∈ =⎪⎪

⋅⎪⎪ π⎩

∫

C

y R

. (534)


Se rescrie problema (534) în coordonatele polare ,r θ şi rezultă

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2

2 2 2

2

0

1 1 0

d ,d

2 , , satisface condiţiile teoremei Dirichlet pe orice interval

de lungime 2 ,

d 0

U U Ur rr r

U R fr

f ff I

f t tπ

⎧ ∂ ∂ ∂+ + =⎪ ∂∂ ∂θ⎪

⎪θ = θ⎪

⎪⎪ θ + π = θ ∀ θ ∈⎨⎪ ⋅⎪

π⎪⎪⎪ =⎪⎩∫

. (535)

Căutăm pentru (535) soluţii de forma

( ) ( ) ( ), 0U r R r Tθ = θ ≡

sin

.

Urmând punct cu punct raţionamentul făcut pentru problema Dirichlet interioară pentru disc, cu aplicarea metodei separării variabilelor, discutând exact cazurile I, II, III, rezultă şi în această problemă formula de reprezentare (499), adică

. (536) ( ) ( )01

, cosnn n

nU r A r A n B n

∞

=

θ = + θ + θ∑Din condiţia, impusă de noi, ( )0, 0U θ = rezultă

0 0A = . (537)

Condiţia la limită, de tip Neumann, din (535) conduce la

( )

( )

21

02

1

0

1 cos d

.1 sin d

nn

nn

nR A f t nt t

nR B f t nt t

π−

π−

⎧⎪ =

π⎪⎪⎨⎪

=⎪ π⎪⎩

∫

∫ (538)

Prin înlocuirea lui (537) şi (538) în (536) deducem

( ) ( ) ( )2

10

cos, dn

n

R r n tU r f t tR n

π ∞

=

− θ⎛ ⎞θ = ⎜ ⎟π ⎝ ⎠∑∫ . (539)


Conform exerciţiului 6º, capitolul 1, §5 din [3], p. 83 – 85 pentru 1q < are loc dezvoltarea în serie Fourier de cosinusuri

( )2

1

cosln 1 2 cos 2 n

n

nq q qn

∞

=

α− α + = − ∑ . (540)


( ) ( ) ( )2 2 2

20

2 cos, ln2R R Rr tU r f t t

R

π− − θ +

θ = −π ∫ dr , (541)

care este formula lui Dini, obţinută anterior sub forma (531). Observaţia 9.6.2.5. Formulele (531) şi (541) se reduc una la cealaltă dacă ţinem seama de Teorema 9.6.1.3 şi de faptul că în problema (517) drept n s-a considerat versorul normalei interioare la D∂ (prin alegerea cosinuşilor

directori dd

ys

′α = − , dd

xs

′β = ), iar în (535) s-a considerat drept n versorul

normalei exterioare relativă la D∂ . Aceasta explică diferenţa de semn care intervine în formulele (531) şi (541).

9.6.3 Armonicele cilindrice. Armonicele sferice În această secţiune vom considera câteva probleme asociate ecuaţiei lui

Laplace.

a. Problema repartiţiei căldurii într-o placă dreptunghiulară infinită

Ne propunem să găsim distribuţia temperaturii într-o placă plană omogenă ( ) [ ]{ }, 0, ,D x y x a y= ∈ 0≥ . Considerăm astfel problema la limită

( )

( ) ( ) [ ]( ) ( )

( )

( ) [ ]

2 , , , 0

, 0 , 0,0, 0 , , 0, 0 .

lim , 0

satisface condiţiile teoremei Dirichlet pe 0,y

Tk T x y D tt

T x f x x aT y T a y y

T x y

f a→+∞

∂⎧ Δ = ∈ >⎪ ∂⎪= ∈⎪⎪

⎨ = = ≥⎪

=⎪⎪⎪ ⋅⎩

(542)

În cazul staţionar, 0Tt

∂=

∂, problema (542) devine o problemă Dirichlet

pentru fâşia de dreptunghi D,


( ) ( )( ) ( ) [ ]

( )

0 , în 0, 0 , , 0, 0

., 0 , 0,lim , 0

y

T DT y T a y y

T x f x x aT x y

→+∞

Δ =⎧⎪ = =⎪⎨ = ∈⎪⎪ =⎩

> (543)

Fig. 1.9.8

Aplicăm pentru rezolvarea problemei (543) metoda separării variabilelor, metodă prezentată în §4, acest capitol şi aplicată în §9, 9.6.2 i. la deducerea formulei Poisson în cazul P.D.I. pentru disc, respectiv în §9, 9.6.2 iv. la deducerea formulei lui Dini, în cazul P.N.I. pentru disc.

Căutăm soluţii pentru (543) de forma ( ) ( ) ( ), 0T x y x y= ϕ ψ ≡ .

Înlocuind şi separând variabilele, obţinem ( )( )

( )( )

,yxx y

′′′′ ψϕ= − = α α ∈

ϕ ψ.

Considerăm cazurile: I. . Atunci 2 0α = β >

( ) ( )( )( )

2 00 0

0

x x

a

⎧ ′′ϕ − β ϕ =⎪ϕ =⎨

⎪ϕ =⎩

şi ( ) ( )

( )

2 0

lim 0y

y y

y→+∞

⎧ ′′ψ + β ψ =⎪⎨ ψ =⎪⎩

.

Rezultă

( )

( )( )

1 2

1 2

1

e e0 , deci

e e 0

x x

a a

x c cc c x

c

β −β

β −β

⎧ψ = +⎪

+ = ψ ≡⎨⎪

− =⎩

0.

Astfel este imposibil. 2 0α = β >


II. . Deducem 0α = ( ) 1 2x c x cψ = + . Din ( )0 0ψ = şi rezultă

( ) 0aψ =( ) 0xψ ≡ , imposibil.

III. . Rezultă problema bilocală 2 0α = −β <

( ) ( )( )( )

2 00 0

0

x x

a

⎧ ′′ϕ + β ϕ =⎪ϕ =⎨

⎪ϕ =⎩

,

deci ( ) 1 2cos sinx c x cϕ = β + βx , cu 1 0c = şi , adică

. Rezultă

2 sin 0c aβ =

,a k k ∗β = π ∈ ,k ka

∗πβ = ∈ . Prin urmare reţinem cazul III cu

2 2

2 ,k ka

∗πα = − ∈ . Obţinem

( ) 2 sin ,k kkx c x ka

∗πϕ = ∈

şi

( ) ( )

( )

2 2

2 0,

lim 0y

ky ya

y→∞

⎧ π′′ψ − ψ =⎪⎪⎨⎪ ψ =⎪⎩

adică

( )( )

1 1e e ,

lim 0

k ky ya a

k k k

ky

y A B k

y

π π− ∗

→∞

⎧⎪ψ = + ∈⎨

ψ =⎪⎩

.

Alegând , deducem k ∗∈

( )

( )

2

1

sin,

e

k k

k ya

k k

kx C xa

y Bπ

−

π⎧ϕ =⎪⎪⎨⎪ψ =⎪⎩

adică şirul de soluţii particulare

( ), e sin ,k ya

k kkT x y A x ka

π− ∗π

= ∈ .

Propunem

( ) ( )1 1

, , e sik ya

k kk k

kT x y T x y A xa

π∞ ∞ −

= =

n π= =∑ ∑ . (544)


Funcţia (544), dacă există, satisface (543) dacă impunem condiţia ( ) ( ), 0T x f x= , [ ]0,x a∈ , adică

( ) [ ]1

sin , 0,kk

kA x f x x aa

∞

=

π= ∈∑ . (545)

Condiţia (545) revine la a dezvolta funcţia ( )f ⋅ în serie Fourier trigonometrică de sinusuri pe , ceea ce este posibil, conform ipotezei asupra funcţiei ( )f ⋅ de a satisface condiţiile lui Dirichlet pe [ ]0, a . Prelungim funcţia ( )f ⋅ prin imparitate, pe [ ],a a− , fie această prelungire ( )1f ⋅ şi apoi prelungim pe ( )1f ⋅ , prin periodicizare, pe , cu perioada 2a, fie această prelungire . Rezultă ( )2f ⋅

( )0

2 sin d ,a

kkA f x x x k

a a∗π

= ∫ ∈ . (546)

Formulele (544) şi (546) dau soluţia problemei (543). În continuare vom aplica metoda separării variabilelor pentru rezolvarea

ecuaţiei lui Laplace în trei dimensiuni, considerând sistemul coordonatelor cilindrice, respectiv sferice.

b. Armonicele cilindrice

Se scrie ecuaţia lui Laplace

2 2 2

2 2 2 0u u uux y z∂ ∂ ∂

Δ = + + =∂ ∂ ∂

, (547)

în coordonatele cilindrice , date de , ,r θ z

[ ]cossin , 0, 0, 2 ,

x ry r r zz z

= θ⎧⎪

= θ ≥ θ ∈ π ∈⎨⎪ =⎩

.

Pentru aceasta amintim că parametrii lui Lamé în coordonate cilindrice sunt

1rR = , R rθ = , 1zR =şi expresia operatorului lui Laplace Δ în coordonatele curbilinii ortogonale

1 2 3, ,x x x cu parametrii Lamé 1 2, , 3R R R este

2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 R R R R R Ru uuR R R x R x x R x x R x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

u


deci în coordonate cilindrice obţinem

2 2

2 2 21 1 0u u uu rr r r r z∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞Δ = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

=∂θ ∂

. (548)

Căutăm pentru ecuaţia (548) o soluţie particulară de forma

( ) ( ) ( ) ( ), , 0u r z R r Z zθ = Θ θ ≡ . (549)

Substituind (549) în (548) şi separând termenii în z, de ceilalţi, obţinem

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2 ,Z z R r R r

Z z R r rR r r′′ ′′ ′ ′′Θ θ

= − − − = α α ∈Θ θ

. (550)

Pentru deducem, în particular, 2 0α = λ ≥( ) ( )2 0Z z Z z′′ − λ = ,

adică

(551) ( )

( )1 2

20 1 2

e e , 0.

, 0

z zZ z c c

Z z c z c

λ −λ⎧ = + α >⎪⎨

= + α = λ =⎪⎩

Cazul nu convine deoarece 2 0α = − μ < ( )Z ⋅ nu este periodic. Din ( )( )

( )( )

( )( )

22

R r R rR r rR r r′′ ′ ′′Θ θ

+ + =Θ θ

−λ

rezultă ( )( )

( )( )

( )( )

2 2 , .R r R rrR r rR r′′ ′ ′′⎛ ⎞ Θ θ

− − − λ = = β β ∈⎜ ⎟ Θ θ⎝ ⎠

Evident ( )Θ ⋅ este periodică şi deci trebuie ales . Fie . Rezultă

0β ≤2 0β = − μ ≤

( ) ( )2 0′′Θ θ + μ Θ θ = , adică

( ) 1 2cos sin , 0c cΘ θ = μθ + μθ μ ≠

şi cerând ca ( ) ( )2Θ θ + π = Θ θ , rezultă . În plus .

2 2,k k ∗β = − μ = − ∈( )0 cΘ θ =

Pentru , 2 0α = λ > 2 ,k k ∗β = − ∈ ecuaţia în devine ( )R ⋅

( )2 2 2 2 0r R rR r k R′′ ′+ + λ − = , (552) ecuaţie reductibilă la ecuaţia lui Bessel. Soluţia generală a ecuaţiei (552) este

( ) ( ) ( ) ,k k k k kR r A J r B N r k ∗= λ + λ ∈ ,


cu ( )kN ⋅ funcţia lui Bessel de speţa a doua. Rezultă

( ) ( ) ( ) [ ]

( )1 2

1 2

, , cos sin

e e , .

k k k k k

z z

u r z A J r B N r c k c k

c c kλ −λ ∗

θ = ⎡ λ + λ ⎤ θ + θ⎣ ⎦

× + ∈

× (553)

Pentru ca soluţia ( ), ,u r zθ să fie uniformă şi finită în , va trebui să presupunem că

0r =0kB = şi obţinem astfel armonicele cilindrice

( ) ( )

( ) ( )

, , e cos sin

e cos sin , .

zk k k

zk k k

u r z a k b k

a k b k J ar k

λ

−λ ∗

⎡θ = θ + θ +⎣⎤+ θ + θ ⎦ ∈

,

(554)

Conform metodei separării variabilelor a lui Fourier găsim că soluţia ecuaţiei lui Laplace în coordonate cilindrice este

( ) ( )

( ) ( )0

, , e e cos

e e sin

z zk k

k

z zk k k

u r z a a k

b b k J r

∞λ −λ

=

λ −λ

⎡θ = + θ +⎣

⎤+ + θ λ⎦

∑

(555)

cu menţiunea că în cazul , 0λ = 0k = avem ( )

( )( )

0 1 2

0 0 0 ln

Z z c z cc

R r a b

⎧ = +⎪Θ θ =⎨

⎪ = +⎩ r,

deci ( ) ( ) ( )0 0 0 1, , lnu r z A B r c z cθ = + + 2

,⎤

. În cazul 0k = şi λ ∈ se obţine din (553) soluţia particulară

( ) ( ) ( )1 2 0 0 0 0e ez zc c A J r B N rλ −λ+ ⎡ λ + λ⎣ ⎦ (556)

care nu depinde de unghiul θ . Asemenea soluţii au un rol esenţial în studiul potenţialului maselor, având o simetrie axială. Pentru a obţine o soluţie definită în 0r = trebuie ca în (556) să alegem

şi astfel se obţine o soluţie de forma 0 0B =

. (557) ( ) ( )1 2 0e e ,z zc c J rλ −λ+ λ λ ∈

Din soluţiile ecuaţiei lui Laplace de forma (557) se poate obţine şi soluţia 1r

, care este fundamentală în teoria potenţialului newtonian, deoarece are loc

formula

( )0 2 20

1 1e dz Jrz

∞−λ λρ λ = =

ρ +∫ , (558)


care are numeroase aplicaţii în teoria potenţialului. Pentru formula (558) a se vedea [2], capitolul 4, exerciţiul 10.

c. Armonicele sferice

Ecuaţia lui Laplace (în dimensiune 3) se scrie în coordonatele sferice sub forma , ,r θ ϕ

2

22 2

1 1sin 0sin sin

u urr r∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ θ ∂θ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ ∂ϕ

u= . (559)

Căutăm pentru ecuaţia (559) o soluţie particulară de forma

( ) ( ) ( ), , , 0u r f r Yθ ϕ = ⋅ θ ϕ ≠ , (560)

funcţia fiind armonica sferică superficială. Amintim că funcţiile ( ,Y θ ϕ)( ), ,u x y z omogene în x, y, z, soluţii ale ecuaţiei lui Laplace se numesc funcţii

sferice. Gradul de omogenitate al funcţiei ( ), ,u x y z se numeşte ordinul funcţiei sferice. Dacă este o funcţie sferică de ordinul n, atunci ( , ,u x y z )

( ) ( )( )

, , sin cos , sin sin , cos

, .

n

nn

U r r u

r F

θ ϕ = θ ϕ θ ϕ θ =

= θ ϕ

Funcţiile , soluţii ale ecuaţiei ( ,nF θ ϕ)

( )2

2 21 1sin 1 0

sin sinn n

nF F n n F∂ ∂∂ ⎛ ⎞θ + + + =⎜ ⎟

θ ∂θ ∂θ⎝ ⎠ θ ∂ϕ,

se numesc funcţii sferice superficiale de ordinul n. Pentru detalii a se vedea [3], p. 145 – 146. Funcţia ( )f ⋅ din (560) conform Observaţiei 4.2.2 din [2], p. 146, este de forma

( ) 1n nf r r r− −= α + β . Vom regăsi acest lucru înlocuind (560) în (559) şi separând variabilele. În adevăr, din (559) şi (560) prin separarea variabilelor rezultă

( )( )( )

( )

( )

2

2

2 2

1 d 1 sind , sin

1 0,, sin

Yr f rf r r Y

YY

∂ ∂⎛ ⎞′ + θ +⎜ ⎟θ ϕ θ ∂θ ∂θ⎝ ⎠

∂+ =

θ ϕ θ ∂ϕ

ceea ce revine la

( )21 dd

r f cf r

′ = − , (561)


2

2 21 1 1sin , .

sin sinY Y c c

Y Y∂ ∂ ∂⎛ ⎞θ + = ∈⎜ ⎟

θ ∂θ ∂θ⎝ ⎠ θ ∂ϕ (562)

Ecuaţia (561) este o funcţie de tip Euler şi pentru ( )1c n n= − + , n ∈ se ajunge la soluţia

( ) 1nf r Ar Br n− −= + , (563)

amintită mai sus în comentariul privind capitolul 2, §4, 4.2 din [3]. Ecuaţia (562), pentru ( )1c n n= − + , devine

( )2

2 21 1sin 1 0

sin sinY Y n n Y∂ ∂ ∂⎛ ⎞θ + + + =⎜ ⎟

θ ∂θ ∂θ⎝ ⎠ θ ∂ϕ . (564)

Să notăm cu o soluţie a ecuaţiei (564). Atunci ca soluţie particulară, depinzând de parametrul n, pentru ecuaţia lui Laplace obţinem, conform (560),

( ,nY θ ϕ)

( ) ( ) ( )1, , , ,n nn n n nu r A r B r Y n− − ∗θ ϕ = + θ ϕ ∈ . (565)

Considerăm funcţiile armonice ( ), ,pu r θ ϕ , ( ), ,mu r θ ϕ cu şi

,

p ≠ m

, , ,pp pu r r Yθ ϕ = θ ϕ( ) ( ) ( ) ( ), , ,m

m mu r r Yθ ϕ = θ ϕ . Aplicăm ansamblului

, cu , a doua formulă a lui Green. Rezultă ( ), , ,p mu u Ω ∂Ω ( ) 30,B RΩ = ⊂

dd d 0

d dpm

p muuu u

n n∂Ω

⎛ ⎞− σ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫ . (566)

Dar

( )

( )

1

1

d d,

d d.

d d ,d d

p p pp

mm mm

u upr Y

n ru u mr Yn r

−

−

⎧= = θ ϕ⎪⎪

⎨⎪ = = θ ϕ⎪⎩

(567)

Prin urmare, din (566) şi (567) rezultă

(568) ( ) ( ) ( )1 , , d 0,m pm pm p R Y Y m p+ −

∂Ω

− θ ϕ θ ϕ σ =∫∫ .≠

Relaţia (568) exprimă condiţia de ortogonalitate a şirului de funcţii sferice superficiale pe sfera ( )0,B R .

Presupunem că nu depinde de ( ,nY θ ϕ) ϕ , deci 0nY∂=

∂ϕ. În acest caz

ecuaţia (564) devine


( )1 sin 1 0sin

nn

Y n n Y∂∂ ⎛ ⎞θ + + =⎜ ⎟θ ∂θ ∂θ⎝ ⎠ (569)

sau, dacă facem schimbarea de variabilă cost = θ , obţinem

( ) ( )2 dd 1d d

nn

Yt n n Yt t⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

1 0,= (570)

care este ecuaţia diferenţială a polinoamelor lui Legendre. Pentru aceasta a se vedea [3], capitolul 2, §4, 4.1, Teorema 4.1.1. Prin urmare, soluţia căutată este ( )nY ⋅

( ) ( )cos ,n nY Pθ = θ (571)

unde este polinomul lui Legendre de ordinul n. ( )nP ⋅ În cazul simetriei în raport cu z, ( ( ) ( ), , , ,u x y z u x y z= − ), obţinem ca soluţii ale ecuaţiei lui Laplace care nu depind de ϕ , ţinând seama de (565) şi (571),

. (572) ( ) ( ) ( ) ( )1

0, , , con n

n n nn

u r u r A r B r P∞

− −

=

θ = θ ϕ = + θ∑ s

Pentru a integra în cazul general ecuaţia (564) căutăm soluţii de forma

( ) ( ) ( ),nY H Gθ ϕ = θ ϕ ≠ 0, (573)

cu periodică de perioadă ( )G ⋅ 2π . Substituind (573) în (564) şi separând variabilele, deducem

( )

( )( )

22

2sin d d 1 d ˆsin 1 sin ,

d d dH Gn n c

H Gθ ⎛ ⎞θ + + θ = − =⎜ ⎟θ θ θ ϕ ϕ⎝ ⎠

(574)

cu o constantă reală. Soluţia ecuaţiei c2

2d ˆ 0d

G cG+ =ϕ

este periodică, cu perioada , dacă 2π 2ˆ ,c = ν ν ∈ . Rezultă

( ) cos sin ,G A Bν ν νϕ = νϕ + νϕ ν ∈ . (575)

Pentru se obţine ecuaţia ( )H ⋅

( )2

21 d dsin 1 0.

sin d d sinH n n H

⎡ ⎤ν⎛ ⎞θ + + − =⎢⎜ ⎟θ θ θ θ⎣ ⎦⎝ ⎠⎥ (576)


Ecuaţia (576), cu schimbarea de variabilă ,tθ → cost = θ , devine

( ) ( )2 2

22 2

d d1 2 1dd 1

H Ht t n n Htt t

⎡ ⎤ν− − + + −⎢

−⎣ ⎦0,=⎥ (577)

adică ecuaţia diferenţială a funcţiilor Legendre asociate, a se vedea [3], capitolul 2, §4, 4.4, Definiţia 4.4.1. Cu aceasta, conform [3], Teorema 4.4.1, capitolul 2, §4, 4.4 soluţiile ecuaţiei (576) sunt funcţiile lui Legendre asociate ( ), cosnP ν θ ,

, deci ca soluţie particulară pentru (564) obţinem, conform (573), (575), (576), funcţiile

nν ≤

( ) ( ) [ ], ,, cos cos sin , ,n nY P A B n nν ν ν νθ ϕ = θ νϕ + νϕ ν ≤ ∈ .

Cu aceasta, conform metodei Fourier a separării variabilelor obţinem

(578) ( ) [ ] (,0

, cos sin cn

n nY A B Pν ν νν=

θ ϕ = νϕ + νϕ θ∑ )os .

Funcţiile (578) se numesc funcţii sferice de ordinul n sau armonice sferice. Utilizând funcţia generatoare a polinoamelor lui Legendre, a se vedea [3], Teorema 4.1.1 din capitolul 2, §4, 4.1 formulele (100) şi (110), rezultă

( )2

1

1 1 ,1 2

nn

nP x

x

∞

=

1.= + α α <− α + α

∑ (579)

De asemenea, are loc identitatea

( )

2

3 / 2 2 22

1 1 d2 .d1 2 1 21 2 x xx

− α= + α

α1

− α + α − α + α− α + α (580)

Din (579) şi (580) se deduce dezvoltarea după polinoamele lui Legendre

( )( ) ( )

( ) ( )

22

1 23 / 22

1 1 3 5 ...1 2

2 1 ..., 1.nn

P x P xx

n P x

− α= + α + α + +

− α + α

+ + α + α <

(581)

Pe de altă parte, utilizând formula lui Poisson pentru sferă, a se vedea acest capitol, §9, 9.6.2 ii., rezultă cu (511) că funcţia armonică ( ), ,u r θ ϕ care ia, pe sfera de rază şi centru originea spaţiului, valorile , admite reprezentarea

1R = ( ,f ∗ ∗ϕ θ )

( )( )

( )2 2

3 / 220 0

1 1, , , sin d d ,4 1 2 cos

ru r fr r

π π∗ ∗ ∗ ∗−

θ ϕ = ϕ θ θ ϕ θπ − γ +∫ ∫ ∗ (582)


unde ( )cos cos cos sin sin cos .∗ ∗γ = θ θ + θ θ ϕ − ϕ∗ Utilizând dezvoltarea (581) în (582) obţinem

( ) ( ) ( )2

0 0 0

2 1, , , cos sin d d .4

nn

n

nu r r f Pπ π∞

∗ ∗ ∗

=

+θ ϕ = ϕ θ γ θ ϕ θ

π∑ ∫ ∫ ∗ ∗ (583)

Cu (583) se definesc funcţiile

( ) ( ) ( )2

0 0

2 1, , cos sin4n n

nY f Pπ π

d d ,∗ ∗ ∗+θ ϕ = ϕ θ γ θ ϕ θ

π ∫ ∫ ∗ ∗ (584)

care coincid cu funcţiile sferice de ordinul n. Din (583), (584) şi (578) rezultă

( ) ( )

[ ] ( )

( ) ( )

0

,0 0

2

0 0 0

1, , ,

cos sin cos

2 1 , cos sin d d4

nn

n

nn

nn

u Y

A B P

n f P

∞

=∞

ν ν ν= ν=

π π∞

.∗ ∗ ∗

=

θ ϕ = θ ϕ =

= νϕ + νϕ θ

+= ϕ θ γ θ

π

∑

∑∑

∑ ∫ ∫ ∗ ∗

=

ϕ θ

(585)

Cu (585) se obţine dezvoltarea funcţiilor ( ),f θ ϕ definite pe sfera unitate într-o serie de forma

( ) ( )0

, ,nn

f Y∞

=

θ ϕ = θ ϕ∑ ,

cu menţiunea că sistemul de funcţii ( ){ },n nY∈

θ ϕ este ortogonal, a se vedea (568).

9.7 Separarea variabilelor în ecuaţia lui Laplace în diverse sisteme de coordonate curbilinii ortogonale

În §4 al acestui capitol am prezentat în cazul general metoda separării variabilelor sau metoda Fourier, metodă de integrare a diverselor probleme la limită asociate ecuaţiilor cu derivate parţiale, indiferent de tipul ecuaţiei cu derivate parţiale. S-au precizat, tot la modul general şi condiţii în care metoda Fourier se poate aplica. În această secţiune vom ilustra această metodă în cazul unor probleme la limită asociate ecuaţiei lui Laplace considerată în diverse sisteme de coordonate. Procedeul general pentru rezolvarea unor astfel de probleme constă în găsirea unui sistem de coordonate curbilinii ortogonale ( )1 2 3, ,x x x astfel încât


suprafaţa , pe care se impun condiţiile la limită, să fie una din suprafeţele de coordonate iar ecuaţia lui Laplace, după rescrierea ei în noile variabile conform transformării

∂Ω

( )1 2 3, ,x x x x x= , ( )1 2 3, ,y y x x x= , ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , ,z z x x x x x x= ∈ Ω ,

să admită separarea variabilelor, deci să se poată aplica metoda Fourier pentru rezolvarea problemelor la limită. Vor interveni în acest context funcţiile sferice, ca instrument de lucru.

9.7.1 Separarea variabilelor în ecuaţia lui Laplace în sistemul coordonatelor sferice

Se consideră sistemul coordonatelor sferice ( ), ,r θ ϕ definite de transformarea

[ ] [sin cos

: sin sin , 0, 0, , 0, 2cos

x rT y r r

z r

= θ ϕ⎧⎪

= θ ϕ ≥ θ ∈ π ϕ ∈⎨⎪ = θ⎩

]π .

Conform §9, 9.6.3 c, putem formula următoarele rezultate: PROPOZIŢIA 9.7.1.1. Fie ( ) 30,B aΩ = ⊂ . Problema Dirichlet

interioară

( ) ( ) [ ]

0 , ,

, 0,r a

u înu u f f continuă pe∂Ω =

Δ = Ω⎧⎨

= = θ ⋅ π⎩ (586)

admite soluţie cu simetrie de rotaţie, ( ), ,u u r= θ dată de

( ) ( )

( ) ( )

0

0

, cos

.2 1 cos sin d ,

2

n

n nn

n n

ru r f Pa

nf f P n

∞

=π

⎧ ⎛ ⎞θ = θ⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪

⎨+⎪ = θ θ θ θ⎪

⎪⎩

∑

∫ ∈

)

(587)

Demonstraţie: Conform §9, 9.6.3 c, acest capitol, întrucât pentru (586) se caută soluţii ( , ,u r θ ϕ cu simetrie de rotaţie, adică independente de ϕ , se obţine că ( ),u r θ admite reprezentarea (572),

. (588) ( ) ( ) (1

0, n n

n n nn

u r A r B r P∞

− −

=

θ = + θ∑ )cos


Pentru ca (588) să fie definită în 0r = trebuie considerat , deci 0nB =

. (589) ( ) ( )0

, cnn n

nu r A r P

∞

=

θ = θ∑ os

Conform ipotezei de continuitate în [ ]0, π pentru ( )f ⋅ rezultă că funcţia ( )f ⋅ , care de asemenea prezintă simetrie de rotaţie prin independenţa sa de ϕ , admite dezvoltarea în serie Fourier - Legendre

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

0

0

cos , 0,

.2 1 cos sin d ,

2

n nn

n n

f f P

nf f P n

∞

=π

⎧θ = θ θ ∈ π⎪

⎪⎨

+⎪ = θ θ θ θ ∈⎪⎩

∑

∫ (590)

Pentru stabilirea relaţiilor (590) a se vedea [3], capitolul 2, §4, 4.1, Teorema 4.1.1.

Impunând condiţia la limită de tip Dirichlet din (586) funcţiei (589) şi ţinând seama de (590), rezultă n

n nA a f−= , n ∈ şi deci (587). Cazul general în care data la limită ( )f ⋅ din problema Dirichlet nu

prezintă simetrie la rotaţie, deci ( ),f f= θ ϕ se tratează analog şi conform §9, 9.6.3.c, acest capitol soluţia problemei Dirichlet este dată de (583), §9, 9.6.3 c.

9.7.2 Separarea variabilelor în ecuaţia lui Laplace în sistemul coordonatelor elipsoidale degenerate

Dintre sistemele de coordonate curbilinii ortogonale pentru care ecuaţia lui Laplace admite separarea variabilelor şi soluţiile particulare se exprimă cu ajutorul funcţiilor sferice ne ocupăm în această secţiune de două sisteme de coordonate elipsoidale degenerate, comode pentru studiul problemelor la limită pentru un domeniu având forma unui elipsoid de rotaţie alungit sau turtit.

În literatură aceste sisteme de coordonate se numesc uneori coordonate sferoidale.

Sistemul de coordonate elipsoidale degenerate ( )1 2 3, ,x x x pentru un elipsoid de rotaţie alungit este dat de transformarea

[ ) [ ] [1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2

ch sin cos: sh sin sin , 0, , 0, ,

ch cos

x c x x xT y c x x x x x x

z c x x

=⎧⎪ = ∈ ∞ ∈ π⎨⎪ =⎩

],∈ −π π

)

. (591)

În (591), c este un factor de scară. Suprafeţele de coordonate sunt elipsoizi de rotaţie , cu

focarele în , hiperboloizi cu două pânze 1 const.x =

(0, 0, c± 2 const.x = , omofocali cu ei, şi planele care trec prin axa Oz, 3 const.x =


Fig. 1.9.9

Parametrii lui Lamé în coordonatele definite de (591) sunt

( )1 2 3

1 / 22 21 2 1sh sin , sh sinx x x 2R R c x x R c x= = + = x .

Ecuaţia lui Laplace în coordonatele elipsoidale degenerate pentru un elipsoid alungit se scrie sub forma

( ) 1 22 2 21 1 1 2 2 21 2

2

2 2 21 2 3

1 1 1sh sinsh sinsh sin

1 1 0.sh sin

u ux xx x x x x xc x x

ux x x

⎡ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ u ⎞+ +⎢ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+ ⎝ ⎠ ⎝⎣

⎤∂⎛ ⎞+ + =⎥⎜ ⎟ ∂ ⎥⎝ ⎠ ⎦

⎟⎠

(592)

Pentru ecuaţia (592) se caută soluţii particulare de forma ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3, ,u x x x A x B x C x 0= ≡ . (593) Substituind (593) în (592) şi separând variabilele, se obţin ecuaţiile diferenţiale ordinare ( ) ( )2

3 3 0C x C x′′ + μ = , (594)

( )2

2 22 2 2 2

1 d dsin 1 0sin d d sin

Bx Bx x x x

⎡ ⎤μ⎛ ⎞⋅ + ν ν − +⎢⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦

=⎥ , (595)

( )2

1 21 1 1 1

1 d dsh 1 0,sh d d sh

Ax Ax x x x

⎡ ⎤μ⎛ ⎞⋅ − ν ν + +⎢⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦

=⎥ (596)

unde şi sunt parametrii separării, a căror alegere, precum şi alegerea integralelor corespunzătoare ale ecuaţiilor considerate, este dictată de condiţiile concrete ale problemei.

μ ν

În particular, în cazul simetriei de rotaţie, când funcţia armonică căutată nu depinde de coordonata ( )u ⋅ 3x , trebuie ales 0μ = , ( )3 1C x = ; în cazul


mai general, când este o funcţie periodică în ( )u ⋅ 3x , parametrul ia valori întregi pozitive, , etc.

μmμ = m ∈

Coordonatele elipsoidale degenerate, pentru un elipsoid de rotaţie turtit, sunt date de transformarea

(597) [ ) [ ] [ch sin cos

: ch sin sin , 0, , 0, , ,ch cos

x cT y c

z c

= α β ϕ⎧⎪ = α β ϕ α ∈ ∞ β ∈ π ϕ ∈ −π π⎨⎪ = α β⎩

] .

Suprafeţele de coordonate sunt elipsoizii de rotaţie turtiţi , hiperboloizii de rotaţie cu o pânză

const.α =const.β = şi planele const.ϕ = Ecuaţia lui

Laplace în sistemul de coordonate ( ), ,α β ϕ definit de (597) se rescrie

( )2 2 2

2

2 2 2

1 1 1ch sinch sinch sin

1 1 0.sin ch

u uc

u

⎡ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞α + β⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟α ∂α ∂α β ∂β ∂β⎝ ⎠α − β ⎝ ⎠⎣

⎤∂⎛ ⎞+ − =⎥⎜ ⎟β α ∂ϕ ⎥⎝ ⎠ ⎦

+

(598)

Căutăm pentru (598) soluţii particulare de forma

( ) ( ) ( ) ( ), , 0u A Bα β ϕ = α β Φ ϕ ≡ . (599)

Substituind (599) în (598) şi separând variabilele, se obţine următorul sistem de ecuaţii diferenţiale

( ) ( )2 0′′Φ ϕ + μ Φ ϕ = , (600)

( )2

21 d dsin 1 0,

sin d d sinB B

⎡ ⎤μ⎛ ⎞⋅ β + ν ν + −⎢⎜ ⎟β β β β⎝ ⎠ ⎣ ⎦=⎥ (601)

( )2

21 d dch 1 0

ch d d chA A

⎡ ⎤μ⎛ ⎞⋅ α − ν ν + −⎢⎜ ⎟α α α α⎣ ⎦⎝ ⎠=⎥ . (602)

Soluţiile particulare (593) – (596) şi (599) – (602) ne permit determinarea funcţiilor armonice în interiorul, respectiv exteriorul unui elipsoid de rotaţie, ceea ce ne dă posibilitatea de a obţine soluţia unei mulţimi de probleme la limită ale fizicii matematice, referitoare la domeniile de această formă.


Fig. 1.9.10

PROPOZIŢIA 9.7.2.1. Fie 3Ω ⊂ un elipsoid de rotaţie alungit. Problema Dirichlet interioară

( ) ( ) [ ]2

0 , ,

, 0

u în

u f x f continuă pe∂Ω

Δ = Ω⎧⎪⎨ = ⋅⎪⎩ ,π

)

(603)

admite soluţie , independentă de ( 1 2,u u x x= 3x şi aceasta se reprezintă sub forma

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

11 2 2

100

2 2 20

ch, c

ch.

2 1 sin cos d2

nn n

nn

n n

P xu x x f P x

P x

n2

os

f f x x P x x

∞

=π

⎧= ⋅⎪

⎪⎨

+⎪ =⎪⎩

∑

∫ (604)

Demonstraţie: Se scrie problema (603) în coordonate elipsoidale degenerate pentru elipsoidul de rotaţie alungit. Se separă variabilele, deci se caută funcţii armonice de forma (593). Se obţin ecuaţiile (594), (595), (596). Ipoteza ca funcţia ( )f ⋅ să nu depindă de 3x şi nici ca funcţia armonică ( )u ⋅ să nu depindă de 3x conduce la 0μ = . În acest caz ecuaţia (595) se transformă în ecuaţia pentru funcţiile sferice ale lui Legendre în variabila 2cosx x= , ale cărei singure soluţii mărginite în [ ]0, π sunt soluţiile care corespund la

. Obţinem ,n nν = ∈

( ) ( )2 cosn 2B x D P x= , (605)


unde este polinomul lui Legendre de ordinul n. ( )nP ⋅ Cu substituţia 2 i 1x x= ecuaţia (596) se transformă în (595), de aceea integrala sa generală, în cazul , 0μ = nν = , n ∈ este

( ) ( ) ( )1 1ch chn n 1A x MP x NQ x= + . (606)

Dacă 1 10x x= este ecuaţia pentru ∂Ω , atunci Ω corespunde la 10 10x x≤ < , iar Ext corespunde la Ω 10 1x x< < ∞ . Deoarece pentru

, , rezultă 1 0x → ( )1ch 1nP x → ( )1chnQ x → ∞ , ( ( )nQ ⋅ este soluţia liniar independentă de , pentru ecuaţia lui Legendre, soluţie care este singulară. A se vedea [3], capitolul 2, §4, 1.1, Teorema 4.1.1, formula (107).). Cu aceasta, în (606) se alege şi rezultă şirul de soluţii particulare pentru ecuaţia lui Laplace

( )nP ⋅

0N =

( ) ( ) ( )1 2 1 2, ch cos ,n n n nu x x M P x P x n= ∈ .

)s

(607)

Conform metodei Fourier propunem pentru P.D.I. (603) o soluţie de forma

. (608) ( ) ( ) ( ) (1 2 1 2 3 1 20

, , , ch con n nn

u x x u x x x M P x P x∞

=

= = ∑Impunând funcţiei (608) condiţia Dirichlet din problema (603) şi dezvoltând funcţia ( )f ⋅ în serie Fourier de polinoame Legendre, posibil pentru că ( )f ⋅ este continuă, rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

10 2 20

2 2 20

2 2 2 20

ch cos

cos , 0, .

2 1 sin cos d ,2

n n nn

n nn

n n

M P x P x f x

f x f P x x

nf f x x P x x n

∞

=∞

=π

⎧=⎪

⎪⎪⎪ = ∈ π⎨⎪⎪

+⎪ = ∈⎪⎩

∑

∑

∫

(609)

Din (609) rezultă

( )10

1 ,chn n

nM f

P x= ⋅ n ∈ ,

adică reprezentarea (604) pentru soluţia problemei Dirichlet interioare (603). PROPOZIŢIA 9.7.2.2. Fie 3Ω ⊂ un elipsoid de rotaţie alungit. Problema Dirichlet exterioară


( ) ( ) [ ]( )

2

P

0

, 0,

lim 0

u

u f x f continuă pe

u P∂Ω

→∞

Δ =⎧⎪⎪ = ⋅⎨⎪ =⎪⎩

,π (610)

admite soluţie unică, independentă de 3x şi aceasta se reprezintă sub forma

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

11 2 2

100

2 2 2 20

ch, c

ch.

2 1 sin cos d ,2

nn n

nn

n n

Q xu x x f P x

Q x

nf f x x P x x n

∞

=π

⎧= ⋅ ⋅⎪

⎪⎨

+⎪ = ∈⎪⎩

∑

∫

os

(611)

Demonstraţie: Demonstraţia este analoagă cu cea pentru Propoziţia 7.2.2.1. Aşa rezultă şi în acest caz 0μ = şi ,n nν = ∈ şi în consecinţă ( ) (2 2cosn )B x DP x= , însă ( ) ( )1 chn 1A x AQ x= . Pentru aceasta a se vedea [12] p. 303. Astfel se determină şirul de soluţii particulare, pentru ecuaţia lui Laplace din (610),

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2, , ch cos , ,n n n nu x x x N Q x P x n= ∈ deci propunem

( ) ( )

( ) (

1 2 1 2 3

1 20

, , ,

ch cos .n n nn

u x x u x x x

N Q x P x∞

=

= =

= ∑ )

(612)

Impunând funcţiei (612) condiţia Dirichlet din (610), se deduce (611). Observaţia 9.7.2.1. În problemele (603) şi (610) s-au căutat funcţii

armonice independente de 3x , iar data la frontieră ( )f ⋅ , de asemenea, nu depindea de 3x . În cazul general când data la frontieră ( )f ⋅ este

( 2 3, )f f x x= şirul de funcţii armonice particulare este

( ) [ ] ( ) ( )1 2 3 3 3 , 2 , 10

, , cos sin cos ch ,n

n m m n m n mm

u x x x a mx b mx P x P x n=

= +∑ ∈

) ,

∈

,

deci

( ) [ ] ( ) (1 2 3 3 3 , 2 , 10 0

, , cos sin cos chn

m m n m n mn m

u x x x a mx b mx P x P x∞

= =

= +∑ ∑ (613)

pentru problema Dirichlet interioară, respectiv

( ) ( ) ( )1 2 3 3 3 , 2 , 10

, , cos sin cos ch , ,n m m n m n mm

u x x x a mx b mx P x Q x n∞

=

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑


deci

( ) ( ) (1 2 3 3 3 , 2 , 10 0

, , cos sin cos ch ,n

m m n m n mn m

u x x x a mx b mx P x Q x∞

= =

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ ∑ )

)

(614)

pentru problema Dirichlet exterioară. Observaţia 9.7.2.2. Sistemele de ecuaţii diferenţiale rezultate în urma separării variabilelor, corespunzătoare coordonatelor elipsoidale degenerate ( 1 2 3, ,x x x , în cazul elipsoidului alungit, respectiv ( ), ,α β ϕ , în cazul elipsoidului turtit diferă doar prin ecuaţiile (596) şi (602). Prin substituţia

i2π

β = − α ecuaţia (602) se transformă în (601) şi în consecinţă integrala sa

generală pentru cazul , 0μ = ,n nν = ∈ are forma ( ) ( ) ( )i sh i shn n n nA M P N Qα = α + α ,

de unde rezultă că şirul de soluţii particulare, funcţii armonice în elipsoidul turtit, este dat de

( ) ( )

( ) ( ) ( ), , ,

i sh i sh cos , .n n

n n n n n

u u

M P N Q P n

α β = α β ϕ =

= ⎡ α + α ⎤ β ∈⎣ ⎦ (615)

Cu un raţionament privind comportarea pentru grad în vecinătatea

liniei singulare

nu

0,2π

α = β = se deduce 0nN = , n ∈ în cazul problemei

Dirichlet interioare, respectiv 0nM = , n ∈ în cazul problemei Dirichlet exterioare. Prin urmare, şirul de soluţii particulare, obţinut prin separarea variabilelor, în cazul când data la frontieră ( )f ⋅ şi soluţia nu depind de

este ( )u ⋅

ϕ

( ) ( ) ( ) ( ), , , i sh cos ,n n n n nu u M P P nα β = α β ϕ = α β ∈ , (616)

pentru P.D.I. şi

( ) ( ) ( ) ( ), , , i sh cos ,n n n n nu u N Q P nα β = α β ϕ = α β ∈ , (617)

pentru P.D.E. Pentru a obţine (616), respectiv (617) a se vedea [12] p. 304 – 305. Cu aceasta se pot reformula, în cazul elipsoidului de rotaţie turtit, rezultatele cuprinse în Propoziţia 9.7.2.1 şi Propoziţia 9.7.2.2. În cazul general când data la limită ( )f ⋅ , ca şi funcţia armonică ( )u ⋅ , depinde de , se obţine prin separare de variabile, şirul de soluţii particulare ϕ

( ) [ ] ( ) ( ), ,0

, , cos sin cos i sh ,n

n m m n m n mm

u a m b m P P=

α β ϕ = ϕ + ϕ β α ∈∑ n


în cazul P.D.I. şi

( ) ( ) ( ), ,0

, , cos sin cos i sh ,n

n m m n m n mm

u a m b m P Q=

⎡ ⎤α β ϕ = ϕ + ϕ β α ∈⎣ ⎦∑ n

)

)

pentru P.D.E., deci soluţiile pentru P.D.I., respectiv P.D.E. în cazul elipsoidului de rotaţie turtit (aplatisat) vor fi de forma

( ) [ ] ( ) (, ,0 0

, , cos sin cos i shn

m m n m n mn m

u a m b m P P∞

= =

α β ϕ = ϕ + ϕ β α∑ ∑ , (618)

respectiv

( ) ( ) (, ,0 0

, , cos sin cos i shn

m m n m n mn m

u a m b m P Q∞

= =

⎡ ⎤α β ϕ = ϕ + ϕ β α⎣ ⎦∑ ∑ . (619)

9.7.3 Separarea variabilelor în ecuaţia lui Laplace în sistemul coordonatelor toroidale

În afară de coordonatele sferice şi coordonatele elipsoidale degenerate, în legătură cu funcţiile sferice sunt şi aşa - numitele coordonate toroidale care sunt utile în rezolvarea problemelor la limită referitoare la un domeniu mărginit de suprafaţa unui tor sau a două sfere care se intersectează.

Sistemul de coordonate toroidale ( ), ,α β ϕ este dat de transformarea

[ ) ( ] ( ]

sh cosch cos

sh sin: , 0, , , ,ch cos

sinch cos

cx

cT y

cz

α ϕ⎧ =⎪ α − β⎪α ϕ⎪ = α ∈ ∞ β ∈ −π π ϕ ∈⎨ α − β⎪

⎪ β=⎪ α − β⎩

, ,−π π (620)

unde c este un factor de scară. Suprafeţele de coordonate sunt torurile const.α =

( )2

2 2cthsh

cc z ⎛ ⎞ρ − α + = ⎜ ⎟α⎝ ⎠

,

sferele const .β =

( )2

2 2ctgsin

cz c ⎛ ⎞− β + ρ = ⎜ ⎟β⎝ ⎠,

care se intersectează după cercul aρ = , 0z = şi planul const .ϕ =


În scrierea suprafeţelor de coordonate s-a ţinut seama de legătura între coordonatele toroidale şi cele cilindrice ( , ,α β ϕ) ( ), , zρ ϕ dată de

ii icth2

z c α + β+ ρ = , de unde sh

ch cosc α

ρ =α − β

, sinch cos

cz β=

α − β.

Fig. 1.9.11

Parametrii lui Lamé sunt

ch cossh

ch cos

cR R

cR

α β

ϕ

⎧ = =⎪ α − β⎪⎨ α⎪ =⎪ α − β⎩

.

Ecuaţia lui Laplace în coordonatele toroidale ( ), ,α β ϕ este

( )2

2

sh shch cos ch cos

1 0.ch cos sh

u u

u

∂ α ∂ ∂ α ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜∂α α − β ∂α ∂β α − β ∂β⎝ ⎠ ⎝

∂+ ⋅ =

α − β α ∂ϕ

+⎟⎠

(621)

Spre deosebire de cazurile examinate în secţiunile 9.7.2.1, 9.7.2.2 din §9, subpunctul 9.7 şi secţiunea 9.6.3 din §9, subpunctul 9.6, acest capitol, ecuaţia


(621) nu admite o separare directă a variabilelor, totuşi, cu schimbarea de funcţie , u v→

( ) ( ) (1 / 2, , 2 ch 2 cos , , ,u )vα β ϕ = α − β α β ϕ (622)

ecuaţia (621) se rescrie

2 2 2

2 2 2 21 1cth 04 sh

v v v vv∂ ∂ ∂ ∂+ + α + + =

∂α∂α ∂β α ∂ϕ , (623)

în care se poate face separarea variabilelor. Căutăm pentru (623) soluţii de forma

( ) ( ) ( ) ( ), , 0v A Bα β ϕ = α β Φ ϕ ≡ . (624)

Prin înlocuirea lui (624) în (623) şi separarea variabilelor obţinem ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

2

1sh cth4

, .

BA AA B A

′′′′ ′⎡ ⎤βα αα + + α +⎢ ⎥α β α⎣ ⎦

′′Φ ϕ= − = μ μ ∈

Φ ϕ

=

Rezultă

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

22

2

2

1cth ,4 sh

0

BA AA A B

⎧ ′′′′ ′ βα α μ+ α + − = − = ν ν⎪ α α βα⎨

⎪ ′′Φ ϕ + μ Φ ϕ =⎩

∈,

adică

( ) ( )( ) ( )

2

2

22

2

0

0 ,

1 d d 1sh 0sh d d 4 sh

B B

A A

⎧ ′′Φ ϕ + μ Φ ϕ =⎪

′′⎪ β + ν β = μ ν ∈⎨

⎡ ⎤⎪ μ⎛ ⎞⋅ α − ν − + =⎢ ⎥⎪ ⎜ ⎟α α α α⎣ ⎦⎝ ⎠⎩

, . (625)

Sistemul de ecuaţii diferenţiale (625) furnizează o familie de soluţii particulare de forma (624), prin suprapunerea cărora se poate obţine, conform (622), forma soluţiei ecuaţiei lui Laplace în sistemul coordonatelor toroidale.

În cazul simetriei de rotaţie, când funcţia armonică ( )u ⋅ nu depinde de coordonata ϕ , trebuie luat , 0μ = ( ) 1Φ ϕ ≡ şi în consecinţă se obţine familia de funcţii armonice


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

1 / 21 12 2

, , ; 2 ch 2 cos ch ch

cos sin , . (626)

u A P B

c D

ν− ν−α β ϕ ν = α − β ⎡ ν α + ν α ⎤ ×Q

⎢ ⎥⎣ ⎦× ν νβ + ν νβ ν ∈

9.7.4 Separarea variabilelor în ecuaţia lui Laplace în sistemul

coordonatelor bipolare spaţiale Un alt tip de coordonate curbilinii ortogonale, pentru care ecuaţia lui Laplace admite separarea variabilelor şi aplicarea metodei Fourier este legată de folosirea funcţiilor sferice, este sistemul coordonatelor bipolare spaţiale. Aceste coordonate sunt înrudite, prin natura lor, cu cele toroidale şi pot fi folosite pentru rezolvarea problemelor la limită în cazul unui domeniu dublu conex, mărginit de două sfere care se intersectează. Coordonatele bipolare spaţiale ( ), ,α β ϕ sunt date de transformarea

[ ) ( ]

sin cosch cos

sin sin: , 0, , ,ch cos

shch cos

cx

cT y

cz

α ϕ⎧ =⎪ β − α⎪α ϕ⎪ = α ∈ π β ∈ ϕ ∈⎨ β − α⎪

⎪ β=⎪ β − α⎩

,−π π . (627)

Suprafeţele de coordonate sunt suprafeţele de rotaţie având forma unui fus

const.α =

( )2

2 2ctgsin

cc z ⎛ ⎞ρ − α + = ⎜ ⎟α⎝ ⎠,

sferele const .β =

( )2

22 cthsh

cz c ⎛ ⎞ρ + − β = ⎜ ⎟β⎝ ⎠

şi planele const.ϕ = Valorilor β = le corespund punctele ±∞ ( )0, z cρ = = ± , valorilor

, le corespunde punctul de la infinit, iar legătura cu coordonatele

cilindrice este dată de

0α → 0β →ii i ctg

2z c α + β+ ρ = .


Fig. 1.9.12

Parametrii lui Lamé în coordonatele bipolare spaţiale sunt sin, .

ch cos ch cosc cR R Rα β ϕ

α= = =

β − α β − α

Ecuaţia lui Laplace în coordonatele bipolare spaţiale este

( )2

2

sin sinch cos ch cos

1 0.sin ch cos

u u

u

∂ α ∂ ∂ α ∂⎛ ⎞ ⎛⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜∂α β − α ∂α ∂β β − α ∂β⎝ ⎠ ⎝

∂+ ⋅ =

α β − α ∂ϕ

⎞ +⎟⎠

(628)

Ca şi în cazul coordonatelor toroidale, variabilele pot fi separate dacă facem schimbarea de funcţie , u v→

( ) ( ) ( )1 / 2, , 2 ch 2 cos , ,u vα β ϕ = β − α α β ϕ . Ecuaţia (628) devine, ca ecuaţie cu derivate parţiale în funcţia , ( )v ⋅

2 2 2

2 2 2 21 1ctg 04 sin

v v v vv∂ ∂ ∂ ∂+ + α − + ⋅ =

∂α∂α ∂β α ∂ϕ .

Căutăm soluţii de forma

( ) ( ) ( ) ( ), , 0v A Bα β ϕ = α β Φ ϕ ≡ . (629)

Rezultă, prin substituirea lui (629) în (628), sistemul de ecuaţii diferenţiale

( ) ( )2 0′′Φ ϕ + μ Φ ϕ = , (630)


( ) ( )21 0

2B B⎛ ⎞′′ β − ν + β =⎜ ⎟

⎝ ⎠ , (631)

( )2

21 d dsin 1 0

sin d d sinA A

⎡ ⎤μ⎛ ⎞⋅ α + ν ν + −⎢⎜ ⎟α α α α⎣ ⎦⎝ ⎠=⎥ , (632)

,μ ν ∈ . Ecuaţiile (630), (631) se integrează prin funcţii elementare, iar ecuaţia (632) prin funcţii sferice. În cazul particular, al simetriei de rotaţie, când ( )u ⋅ nu depinde de ϕ , trebuie considerat 0μ = şi obţinem familia de soluţii particulare

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 / 2

, , ; cos cos

1 1ch sh 2 ch 2 ch .2 2

u A P B Q

C D

ν να β ϕ ν = ⎡ ν α + ν α ⎤ ×⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞× ν ν + β + ν ν + β β − α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(633)

În problemele relative la un domeniu mărginit de două sfere şi care nu se intersectează, variabila

1β = β

2β = β α variază în intervalul închis [ ]0, π şi, în consecinţă pentru obţinerea soluţiilor finite pe axa Oz , trebuie considerat

şi . ( ) 0B ν = ,n nν = ∈Cu aceasta, şirul de soluţii particulare pentru ecuaţia lui Laplace este

( ) ( ) ( )

( )

1 / 2, , , 2 ch 2 cos

1 1 ch sh cos , .2 2

n n

n n n

u u

a n b n P n

α β ϕ = α β = β − α ×

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + β + + β α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∈

(634)

Mulţimea corespunzătoare de soluţii, potrivită pentru rezolvarea problemei la limită pentru un domeniu mărginit de suprafaţa , se obţine

dacă considerăm

0α = α1 i , 02

ν = + τ τ ≥ şi are forma

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 / 2

1 i2

, , ; 2 ch 2 cos cos sin

cos , 0,

u a

P− + τ

b⎡ ⎤α β ϕ τ = β − α τ τβ + τ τβ ×⎣ ⎦× ± α τ ≥ (635)

unde semnul plus corespunde problemei la limită exterioare , semnul minus problemei la limită interioare

( )00 ≤ α < α

( )0α < α ≤ π .

§10 Funcţii biarmonice. Problema biarmonică pentru un semiplan

Acest paragraf este consacrat funcţiilor biarmonice. Dezvoltările din cuprinsul acestui paragraf, privind problema biarmonică pentru semiplan, aparţin distinsului matematician român acad. prof. Miron Nicolescu (1903–1975), a se vedea [18] p. 302 – 312, fondatorul şcolii de Analiză


Matematică româneşti, creator fin şi profund în matematică, numele său rămânând legat de funcţii şi ecuaţii poliarmonice, teoria potenţialului, funcţii şi ecuaţii policalorice etc. Acad. prof. Miron Nicolescu nu a impus ci s-a impus prin strălucirea şi eleganţa rezultatelor matematice proprii. Nu numai că a învăţat matematică multe generaţii, printre studenţii săi se numără şi autorul acestei cărţi, dar ne-a învăţat şi cum să învăţăm matematica; şi nu numai cum să o învăţăm, dar şi (în măsura în care aceasta se poate învăţa) cum s-o facem, cum s-o dezvoltăm. Cele ce vor fi prezentate, în cuprinsul acestui paragraf, au făcut şi obiectul unei lucrări ştiinţifice premiate cu premiul I la sesiunea cercurilor ştiinţifice studenţeşti, CERC 2003 din A.T.M. Am ţinut să cuprind în această carte acest material pentru că el mi-a permis să ofer spre studiu unor studenţi de anul II un material matematic interesant şi care a fructificat o serie de cunoştinţe matematice dobândite de studenţii în cauză la cursul de Matematici Speciale pe care autorul acestei cărţi îl predă la anul II profilul electric.

10.1 Ecuaţia biarmonică. Funcţii biarmonice DEFINIŢIA 10.1.1 – Se numeşte ecuaţie biarmonică ecuaţia cu

derivate parţiale de ordinul patru 2 0uΔ = ( 0uΔΔ = , adică 4 4 4

4 2 2 42 0u u ux x y y∂ ∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂ ∂

= ) .

– Fie 2D ⊂ un domeniu. O funcţie ( ),u ⋅ ⋅ de clasă şi mărginită în D, soluţie a ecuaţiei în D se numeşte funcţie biarmonică în D.

4C2 0uΔ =

PROPOZIŢIA 10.1.1 ( Formula lui Goursat ). O condiţie necesară şi suficientă cu o funcţie să fie biarmonică în domeniul ( ,u ⋅ ⋅ ) 2D ⊂ simplu conex este ca ea să admită reprezentarea

( ) ( )[ ]Reu z z z= ϕ + ψ , (636)

cu , două funcţii complexe olomorfe. ( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅ Demonstraţie: „Necesitatea” ( )⇒ Presupunem că funcţia este biarmonică în

( ,u ⋅ ⋅ )2D ⊂ simplu conex. Conform Definiţiei 10.1.1 rezultă că

funcţia ( ),u p x yΔ =

este funcţie armonică în D. Atunci există o funcţie ( ),q ⋅ ⋅ armonică în D, astfel încât

( ) ( ) ( ), i ,f z p x y q x y= + să fie funcţie olomorfă în D, în raport cu variabila complexă iz x y= + . Deoarece domeniul D este simplu conex funcţia olomorfă ( )f ⋅ admite primitivă în D, fie aceasta


( ) ( ) ( ) ( )1 d , i4

z f z z r x y s xϕ = = +∫ , y .

Evident

( )1 10; Re4 4

r sr s f zx y

p∂ ∂Δ = Δ = = = =

∂ ∂ .

Prin calculul direct se deduce

( ) 2 2r su rx sy px y

0,∂ ∂⎡ ⎤Δ − + = − − =⎣ ⎦ ∂ ∂

în D

adică funcţia ( )u rx sy− + este armonică în D. Să notăm această funcţie cu , deci (1 ,p ⋅ ⋅ ) ( ) 1u rx sy− + = p . Fie ( )1 ,q ⋅ ⋅ , astfel încât

( ) ( ) ( )1 1, i ,z p x y q x yψ = + să fie olomorfă în D. O asemenea funcţie ( )1 ,q ⋅ ⋅ există deoarece D este simplu conex. Obţinem

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1

1

, , , ,

Re i , i , , ,

u x y r x y x s x y y p x y

x y r x y s x y p x y

⎡ ⎤= + + =⎣ ⎦⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦

adică ( ) ( )[ ]Reu z z z= ϕ + ψ .

Cu aceasta formula de reprezentare (636) este obţinută. „Suficienţa”( )⇐ Presupunem că ( )u ⋅ admite reprezentarea (636) cu

( ) ( ) ( ), i ,z r x y s x yϕ = + şi ( ) ( ) ( )1 1, i ,z p x y q x yψ = + funcţii olomorfe. Rezultă ( ) ( ) ( ) (1, , ,u x y r x y x s x y y p x y⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ), . Prin calcul direct, ţinând seama de faptul că 0rΔ = , 0sΔ = , , rezultă 1 0pΔ =

2 r sux y∂ ∂⎛ ⎞Δ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

şi deci . 2 0uΔ =

În problema plană a teoriei elasticităţii, tensiunile ,x yX Y şi yX se exprimă cu ajutorul unei funcţii biarmonice (funcţia lui Airy), după formulele

2

2xuX

y∂

=∂

, 2

2yuY

x∂

=∂

, 2

yuX

x y∂

= −∂ ∂

.

Utilizând formula Goursat, putem exprima deci tensiunea cu ajutorul a două funcţii olomorfe. Să dăm numai rezultatul final, fără a face demonstraţia. Utilizând notaţiile din formula (636), rezultă

( )

( ) ( ) ( )[ ]4 Re

2 i 2ix y

x x y

X Y z

X X Y z z z

′⎧ + = ϕ⎪⎨

′′ ′′+ − = − ψ + ϕ⎪⎩ .

Cu ajutorul acestor formule, soluţionarea problemelor statice plane din teoria elasticităţii, când se dau tensiunile pe contur se reduce de asemenea la una din problemele la „limita” ale teoriei funcţiilor de variabilă complexă.


Explicarea legăturii dintre teoria funcţiilor de variabilă complexă şi problemele statice plane din teoria elasticităţii a fost dată de G. V. Kolosov, în lucrarea: „Ob odnom prilojenii teorii funkţii kompleksogo peremenogo k ploskoi zadace matematiceskoi teorii uprugosti”. Aplicarea sistematică a teoriei funcţiilor de variabilă complexă la problemele teoriei elasticităţii poate fi găsită în cartea lui N. I. Mushelişvili: „Nekotorîe osnovnîe zadaci matematiceskoi teorii uprugosti”.

10.2 Problema biarmonică pentru un semiplan În această secţiune este tratată o problemă la limită pentru ecuaţia

biarmonică în semiplan. Se obţine un rezultat de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei la limită considerate. De asemenea, se obţine o formulă de reprezentare a soluţiei.

10.2.1 Formularea problemei Este binecunoscut rolul funcţiei Green în rezolvarea problemei Dirichlet

pentru ecuaţia lui Laplace într-un domeniu ,n n 2Ω ⊂ ≥ dat; în plus, pentru anumite domenii , precum discul, sfera şi semispaţiul, prin metode elementare se poate construi funcţia Green pentru operatorul lui Laplace şi domeniul menţionat, a se vedea §9, 9.6.2, capitolul 1 al acestei cărţi. Pentru rezolvarea problemei Dirichlet interioare în cazul semiplanului

Ω

Ω

( ){ }, ,D x y x y= ∈ 0> a se vedea exemplul din §9, 9.6.2 i, capitolul 1 al acestei cărţi; conform acestei trimiteri bibliografice soluţia problemei Dirichlet interioare

( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

( )

0

2

0 , în , , 0

, 0 , , mărginită pe ,

, funcţie mărginită, de clasă în

u D x y x y

u x f x f f

u D

⎧Δ = = ∈ >⎪⎪

= ∈ ⋅⎨⎪

⋅ ⋅⎪⎩

C

C

(637)


( )( )

( )2 2, dy f tu x y t

t x y

∞

−∞

=π − +∫ . (638)

În secţiunea 10.2 ne propunem să rezolvăm tot în D următoarea problemă la limită

( ){ }( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2

20

0

4

0 , în , , 0

lim , , de clasă cu derivată mărginită pe

lim , , continuă şi mărginită pe

, funcţie mărginită, de clasă în

y

y

u D x y x y

u x y f x f

u x y g x gy

u D

→

→

⎧Δ = = ∈ >⎪⎪ = ⋅⎪⎨ ∂⎪ = ⋅

∂⎪⎪

⋅ ⋅⎩

C

C

. (639)


Problema la limită (639) se numeşte problema biarmonică pentru semiplanul D.

10.2.2 Rezultate preliminare DEFINIŢIA 10.2.2.1. O funcţie biarmonică în D cu proprietăţile că

există şi ( )0

lim , 0y

u x y→

= ( )0

lim , 0y

u x yy→

∂=

∂ se numeşte funcţie biarmonică

excepţională. Observaţia 10.2.2.1. Notând cu ( )0 ,u ⋅ ⋅ o soluţie particulară a problemei

(639) şi cu soluţia generală a problemei (639) rezultă că este o funcţie biarmonică excepţională. Prin

urmare, pentru a determina soluţia generală a problemei (639) este suficient să se determine o soluţie particulară pentru problema (639) şi a adăuga la aceasta cea mai generală funcţie biarmonică excepţională.

( ,u ⋅ ⋅ )),( ) ( ) (0, ,v x y u x y u x y= −

PROPOZIŢIA 10.2.2.1. Fie ( ) ( )d , 0a

k s s s∞

= α < +∞ ≤ α∫ a−∞ <,

şi o funcţie mărginită şi continuă pentru ( )ϕ ⋅ t− ∞ < < + ∞ . Se defineşte

funcţia ( ) ( ) ( ), da

x y s x sy∞

ω = α ϕ +∫ s ). Atunci există (0

lim ,y

x y→

ω şi

( ) ( )0

lim ,y

x y k x→

ω = ⋅ ϕ , oricare ar fi a şi x din .

Demonstraţie: Se consideră funcţia

( ) ( ) ( ), ,x y x y kβ = ω − ϕ x

d ,

. Evident

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

, ds

a s

x y s x ys x s s x ys x s∞

⎡ ⎤ ⎡β = α ϕ + − ϕ + α ϕ + − ϕ⎣ ⎦ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

cu 0s a> arbitrar.

Conform ipotezei, ( )da

k s s∞

= α < ∞∫ , rezultă că pentru orice 0s a>

avem

( ) ( )0

0

d ds

a s

k s s s s∞

= α + α < ∞∫ ∫ ,

cu ( )

0

ds

s s∞

α∫ convergentă şi


( )0

0

lim d 0s

s

s s∞

→∞α =∫ . (640)

Scriind explicit (640), rezultă că oricare ar fi 0ε > există

astfel încât oricare ar fi

( )1 0δ ε >

( )0s > δ ε rezultă ( )

0

ds

s s∞

α < ε∫ , în particular

( )

0

d4

s

s sM

∞ε

α <∫ , cu M marginea funcţiei ( )ϕ ⋅ pe .

Avem deci următorul rezultat:

( )

( ) ( )

0

1

0 1s

oricare ar fi 0 există 0 astfel încât pentru

orice rezultă s d .4

s sM

∞

⎧ ε > δ ε >⎪⎪

ε⎨ > δ ε α <⎪⎪⎩

∫

Pentru orice astfel de 0s deducem că: ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1

0 1

s s

oricare ar fi 0 există 0 astfel încât oricare ar fi rezultă

s d 2 s d2

s

x ys x s M s∞ ∞

⎧ ε > δ ε >⎪

> δ ε⎪⎪⎨

ε⎪ ⎡ ⎤α ϕ + − ϕ ≤ α <⎣ ⎦⎪⎪⎩∫ ∫ . (641)

Tot prin ipoteză funcţia ( )ϕ ⋅ este continuă pe . Aceasta conduce la: ( )

( ) ( ) ( )

2

2

oricare ar fi 0 există 0 astfel încât pentru orice

, cu < rezultă .2

x x x x x xk

⎧ ε > δ ε >⎪⎨ ε′ ′ ′∈ − δ ε ϕ − ϕ <⎪⎩

(642)

Fie astfel încât y ∈ ( )0 2ys < δ ε , sau ( )2

0y

sδ ε

< . Atunci, cu atât

mai mult, ( )2ys

δ ε< , pentru 0a s s≤ ≤ , cu 0s dat de (641) şi 0s a> .

Rezultă că: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

20 1 0 0

oricare ar fi 0 există , 0 astfel încâ oricare ar fi

s , şi cu ,

rezultă .2

s a y y a s ss

x ys xk

⎧ ε > δ ε δ ε >⎪

δ ε⎪ > δ ε > ∈ < ≤ ≤⎪⎨⎪

ε⎪ ϕ + − ϕ <⎪⎩


Prin urmare

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )0

1 2

20 1 0

s

a a

oricare ar fi 0 există , 0 astfel încât

oricare ar fi , şi cu ,

rezultă s d < s d2 2

0

.

s s a y y a ss

x ys x s sk

∞

⎧ ε > δ ε δ ε >⎪

δ ε⎪ > δ ε > ∈ < ≤ ≤⎪⎨⎪

ε ε⎪ ⎡ ⎤α ϕ + − ϕ α <⎣ ⎦⎪⎩

∫ ∫

s

(643)

Din (641) şi (643) se deduce că

( ) ( )

( )( )

( )

1 2

20 0 1

0

oricare ar fi 0 există 0 şi 0 astfel încât

oricare ar fi cu , , ,

rezultă , ,

y y a s s ss

s a x y

⎧ ε > δ ε > δ ε >⎪

δ ε⎪ ∈ < ≤ ≤ > δ⎨⎪⎪ > β < ε⎩

ε

ceea ce stabileşte faptul că există ( ) ( )0

lim ,y

x y k x→

β = ϕ , oricare ar fi a şi x

din . DEFINIŢIA 10.2.2.2. O funcţie de variabilă complexă ( )F z se numeşte polinom areolar de primul ordin dacă ( ) ( ) ( )0 1F z z z z= Φ + Φ , cu

funcţii monogene. ( ) ( )0 1,Φ ⋅ Φ ⋅PROPOZIŢIA 10.2.2.2. Fie ( ),Q ⋅ ⋅ o funcţie biarmonică. Atunci există

o funcţie biarmonică , astfel încât funcţia complexă ( ,P ⋅ ⋅ ) iF P= + Q

)

să fie un polinom areolar de primul ordin.

Demonstraţie: Demonstraţia constă în a construi efectiv funcţia biarmonică , ceea ce se va face prin cuadraturi simple şi utilizând Definiţia 10.2.2.2. Conform Definiţiei 10.2.2.2 funcţia

( ,P ⋅ ⋅iF P Q= + admite şi

reprezentarea ( ) ( ) ( )0 1F z z z= Φ + Φ z , cu ( ) ( )0 1,Φ ⋅ Φ ⋅ funcţii monogene. Din condiţiile Cauchy - Riemann scrise pentru funcţiile ( )0 ,Φ ⋅

( )1Φ ⋅ şi explicitând şi ( ,P ⋅ ⋅ ) ( ),Q ⋅ ⋅ funcţie de ( ) ( )0 1,Φ ⋅ Φ ⋅ rezultă că funcţia biarmonică dată ( ),Q ⋅ ⋅ şi funcţia biarmonică necunoscută sunt legate prin sistemul de ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea

( ,P ⋅ ⋅ )

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 0

2 0

P P Px yx y

Q P Qx yx y

⎧ ∂ ∂ ∂− − =⎪ ∂ ∂∂ ∂⎪

⎨∂ ∂ ∂⎪ + − =⎪ ∂ ∂∂ ∂⎩

. (644)


Sistemul (644) este un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale, liniar în funcţia necunoscută . ( ),P ⋅ ⋅

Să observăm că dacă ( )0 ,P ⋅ ⋅ este o integrală particulară pentru sistemul (644), atunci funcţia

( ) ( ) ( )0, ,S x y P x y P x y= − , ,)

cu soluţia generală pentru sistemul (644), satisface sistemul de ecuaţii ( ,P ⋅ ⋅

2

2 2

2 2

0

0

Sx y

S Sx y

⎧ ∂=⎪ ∂ ∂⎪

⎨∂ ∂⎪ − =⎪ ∂ ∂⎩

. (645)

Din (645) rezultă uşor că ( ) ( )2 2,S x y a x y bx cy d= + + + + ,

cu a, b, c, d constante reale arbitrare. Prin urmare

( ) ( ) ( )2 20, ,P x y P x y a x y bx cy d= + + + + + . (646)

Cu (646) am stabilit că pentru deducerea soluţiei generale a sistemului (644) este suficient să găsim o soluţie particulară ( )0 ,P ⋅ ⋅ a sa. Facem, în acest scop, notaţiile

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

01

01

, ,.

, ,

P QP x y x y x yx yP QQ x y x y x yy x

,

,

∂ ∂⎧ = −⎪ ∂ ∂⎪⎨ ∂ ∂⎪ = +⎪ ∂ ∂⎩

(647)

Cu (647) sistemul (644) se rescrie 1 1 1, .P Q P Q1x y y x

∂ ∂ ∂ ∂= = −

∂ ∂ ∂ ∂

Pe de altă parte din (647) se deduce 1 1 ,P Q Qy x

∂ ∂− = −Δ

∂ ∂

de unde 1 11 1,

2 2P QQ Qy x

∂ ∂= − Δ = Δ

∂ ∂.

În consecinţă

( ) ( ) ( )

0

11, , d2

y

y

P x y Q x y y x= − Δ + ϕ∫


( ) ( ) ( )0

11, , d2

x

x

Q x y Q x y x y= Δ + ψ∫ ,

funcţiile şi ( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅ urmând a fi determinate din condiţiile 1 10, 0P QΔ = Δ = .

Dar, un calcul uşor conduce la

( )0

112 y y

QP xy

=

∂Δ⎛ ⎞ ′′Δ = − + ϕ⎜ ⎟∂⎝ ⎠.

Se poate deci alege

( )00 0

1 d d2

x x

y yx x

Q .x x xy

=

⎛ ⎞∂Δ⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ = ⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫

Analog se găseşte

( )00 0

1 d d2

y y

x xy y

Qy yx =

⎛ ⎞∂Δ⎛ ⎞⎜ ⎟ψ = − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ .y

)

(1 ,P ⋅ ⋅ şi ( )1 ,Q ⋅ ⋅ fiind determinate, vom avea pentru formula de reprezentare

(0 ,P ⋅ ⋅ )

( )0 0

0 1 1, dyx

x y

QP x y P x Q yy x

∂⎛ ⎞ ⎛= + + −⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ d .Q∂ ⎞⎟ (648)

10.2.3 Existenţa şi reprezentarea unei soluţii particulare TEOREMA 10.2.3.1. Problema la limită (639) admite soluţia

particulară

( )( )

( )

( )

( )

2 3

2 22 2 2

2, dy g t y f tu x y t tt x y t x y

∞ ∞

− ∞ − ∞

= +π π− + ⎡ ⎤− +

d .⎣ ⎦

∫ ∫ (649)

Demonstraţie: Se caută pentru problema (639) o soluţie de forma

( ) ( ) ( ), ,u x y x y y x y,= ϕ + ψ , (650)

cu , ( ),ϕ ⋅ ⋅ ( ),ψ ⋅ ⋅ funcţii armonice, mărginite în D cu derivatele ( ),y∂ϕ

⋅ ⋅∂

,

( ,y

∂ψ⋅ ⋅

∂) mărginite în D.


Rezultă uşor că funcţiile ( ),ϕ ⋅ ⋅ şi ( ) (,y

),∂ϕ⋅ ⋅ + ψ ⋅ ⋅

∂ sunt soluţii pentru

problema Dirichlet de tip (637) cu datele la frontieră ( )f ⋅ , respectiv ( )g ⋅ . Aplicând (638) rezultă

( )( )

( )2 2, dy f tx y t

t x y

∞

− ∞

ϕ =π − +∫ , (651)

( ) ( )( )

( )2 2, , y g t dx y x y

y t x yt

∞

− ∞

∂ϕ+ ψ =

∂ π − +∫ ,

adică

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 22 2

2

22 2

1, d

2 d .

y g t f t dx y tt x y t x y

y f t tt x y

∞ ∞

− ∞ − ∞

∞

− ∞

ψ = −π π− + − +

+π ⎡ ⎤− +⎣ ⎦

∫ ∫

∫

t +

(652)

Din (650), (651), (652) rezultă (649). Pentru a demonstra că funcţia definită de (649) este soluţie pentru problema biarmonică pentru semiplan (639) se introduc notaţiile

( )( )

( )

( )( )

( )

2 2

2 2

, d

.

, d

y g tv x y tt x y

y f tw x y tt x y

∞

− ∞

∞

− ∞

⎧⎪ =

π⎪ − +⎪⎨⎪

=⎪ π − +⎪⎩

∫

∫ (653)

Conform (637) şi (638) rezultă că funcţiile ( ),v ⋅ ⋅ şi sunt armonice în D cu datele la frontieră

( ,w ⋅ ⋅ )( )g ⋅ , respectiv ( )f ⋅ .

Cu (653) funcţia definită de (649) se rescrie sub forma ( ,u ⋅ ⋅ )

( ) ( ) ( ) (, , , wu x y yv x y w x y y x yy

), .∂= + −

∂ (654)

Din (654) şi proprietăţile de armonicitate în D ale funcţiilor (653) rezultă că funcţia (654), adică (649) este biarmonică în D.

Prin calcul direct şi folosind Propoziţia 10.2.2.1 şi Propoziţia 10.2.2.2 se verifică faptul că funcţia biarmonică (654), deci (649), este soluţie pentru problema (639).


10.2.4 Determinarea funcţiilor biarmonice excepţionale Nu ne propunem determinarea tuturor funcţiilor biarmonice excepţionale, problemă care pare să fie destul de dificilă şi pentru care nu avem încă soluţie. Vom încerca determinarea unei clase destul de generală de astfel de funcţii. Pentru aceasta amintim că în secţiunea 10.2.2 a paragrafului 10 prin Propoziţia 10.2.2.2 am dat un rezultat de existenţă şi de construcţie efectivă a unei funcţii biarmonice plecând de la o funcţie dată ( ,P ⋅ ⋅ ) ( ),Q ⋅ ⋅ . Conform acestui rezultat deducem că pentru ( ),Q ⋅ ⋅ o funcţie biarmonică excepţională există o funcţie biarmonică astfel încât funcţia ( ,P ⋅ ⋅ ) ( ) ( ) ( ), , iF x y P x y Q x y,= + este un polinom areolar de primul ordin, adică ( ) ( ) ( )0 1F z z z z= Φ + Φ , cu

, funcţii monogene. ( )0Φ ⋅ ( )1Φ ⋅ Condiţia ca funcţia ( ),Q ⋅ ⋅ să fie funcţie biarmonică excepţională, ca şi faptul că pentru orice funcţie ( )F ⋅ au loc relaţiile

1 i2

1 i2

F Fz x

F Fz x

⎧ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= −⎪ ⎜ ⎟∂ ∂⎪ ⎝⎨∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ = +⎜ ⎟⎪ ∂ ∂⎝ ⎠⎩

Fy

Fy

∂ ⎠

∂

)

ne conduc la transformarea problemei privind determinarea unei funcţii biarmonice cunoscând pe ( ,P ⋅ ⋅ ( ),Q ⋅ ⋅ biarmonică excepţională în problema determinării polinoamelor areolare ( )F ⋅ de primul ordin, definite în

, care sunt reale, împreună cu expresia ( )Im 0z > i F Fz z

∂ ∂⎛ −⎜⎞⎟

∂ ∂⎝ ⎠ pentru z real.

TEOREMA 10.2.4.1 Polinoamele areolare ( )F ⋅ de primul ordin,

definite în , care sunt reale, împreună cu expresia ( )Im 0z > i F Fz z

∂ ∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

pentru z real admit reprezentarea

( ) ( ) 11 1

0 0 3

Re2

2nn n

n nn n n

aF z a z z a a z z

n

∞ ∞ ∞−

+= = =

n⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ , (655)

unde , este pur imaginar, iar în rest coeficienţii 0a ∈ 2a ka , { }0, 2k ∉ sunt absolut arbitrari. Demonstraţie: Se propune ( ) ( ) ( )0 1F z z z z= Φ + Φ cu ( )0Φ ⋅ ,

funcţii întregi în , deci ( )1Φ ⋅ ( )Im 0z >

( ) ( )

( ) ( )0 0 1

1 0 1

... ..., Im 0

... ..., Im 0.

nn

nn

z a a z a z z

z b b z b z z

Φ = + + + + >

Φ = + + + + >


Impunând condiţiile din teoremă polinomului ( )F ⋅ rezultă reprezentarea (655). Pentru detalii a se vedea [18], p. 310.

Observaţia 10.2.4.1. Cu observaţia 10.2.2.1, Teorema 10.2.3.1 şi Teorema 10.2.4.1 am demonstrat existenţa soluţiei problemei (639), dar nu şi unicitatea acesteia. Are loc şi un rezultat de unicitate, formulat în teorema care urmează.

TEOREMA 10.2.4.2. Problema (639) admite soluţie unică în clasa

funcţiilor biarmonice cu proprietatea 1u Oy

⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

, , cu O simbolul

lui Landau.

0y →

Pentru demonstraţie şi detalii a se vedea [17], p. 311.

§11 Media sferică a funcţiilor În teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale cu coeficienţi constanţi, un rol

important îl joacă un operator special numit „media sferică” ale cărui proprietăţi le vom studia în acest paragraf.

11.1 Media sferică a funcţiilor. Formula lui Pizetti DEFINIŢIA 11.1.1. Fie o funcţie integrabilă pe D.

Se numeşte, prin definiţie, media sferică a acestei funcţii, funcţia notată şi definită prin

: nf D ⊂ →

[ ] ( )[ ] ( ) ( )( )

1 dr

r r nσn B x

M f M f x fr

∂

= = ζσ ∫ (, )d ,x Dr < ∂ , (656)

unde ( )rB x este sfera de centru ( )1, ..., nx x x= şi rază r, cu ( )rB x D⊂ , ( )n rσ este aria pentru suprafaţa sferei ( )rB x , iar d nσ este elementul de

arie pe ( )rB x∂ . Observaţia 11.1.1 – Ţinând seama de relaţiile uzuale ,

,

11d dn

n r −σ = σ

( ) 1nn nr r −σ = ω

22

2

n

n nπ

ω =⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, cu 1dσ element de arie pentru suprafaţa

sferei , aria sferei unitate, media sferică a funcţiei ( )1 0B nω ( )f ⋅ se poate scrie şi sub forma

( )[ ] ( )( )

( )1

0

1 d , 0r

r nnn B

M f x f x Br −

∂

= + ζ σ ζ ∈ω ∫ ,r∂ (657)


respectiv

( )[ ] ( )( )1

10

1 d , 1rn B

M f x f x r∂

= + α σω ∫ .α = (658)

( S-a ţinut seama, în scrierea relaţiilor (657), (658) că dacă ( )rB xζ ∈ ∂ , atunci x rζ − = sau în formă parametrică x rζ = + α , 1α = . )

– Relaţiile (657), (658) arată că media sferică a unei funcţii de clasă ( )k DC , nD ⊂ , este o funcţie de aceeaşi clasă dar de 1n + variabile ( )

în domeniul ( ),r x

0, Dρ × , ( )dist. ,x Dρ = ∂ şi deci media sferică este un operator având ca domeniu de definiţie mulţimea funcţiilor de o clasă convenabilă definite pe D, iar domeniul valorilor este mulţimea funcţiilor de aceeaşi clasă, dar cu o variabilă în plus, definite pe ( )0, Dρ × .

TEOREMA 11.1.1. Dacă ( )2f D∈ C , nD ⊂ , atunci media sferică a funcţiei ( )f ⋅ este soluţie a problemei Cauchy, ataşată ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul al doilea Euler - Poisson - Darboux,

( ) ( )

( )

2

2

0

0

1 0

,

, 0

n

r

r

u n u ur rr

u r x f x

u r xr

⎧ ∂ − ∂+ − Δ⎪ ∂∂⎪⎪

=⎨⎪∂⎪ =⎪ ∂⎩

.

=

(659)

( 2 2

2 21

...nnx x

∂ ∂Δ = + +

∂ ∂. )

Demonstraţie: Dacă ( )2f D∈ C şi r este suficient de mic, conform Observaţiei 11.1.1, rezultă că ( )[ ]rM f x este o funcţie de clasă pe 2C

( )0, Dρ × , (dist , )x Dρ = ∂ , deci relaţia (658) poate fi derivată în raport cu r, ca integrală cu parametru. Rezultă

[ ]( )

( )

1

110

1

1 d

1 d ,r

nr

jn jjB

nnn B x

M f fr x

fr

=∂

−∂

∂ ∂= α

∂ ω ∂

= ∇ ⋅ νω

∑∫

∫

σ =

σ

deoarece vectorul ( )1, ..., nα = α α , din reprezentarea x rζ = + α cu 1α = pentru ( )rB xζ ∈ ∂ , poate fi considerat ca fiind versorul normalei exterioare la


( )1 0B , respectiv . Aplicând formula flux - divergenţă în relaţia de mai sus, rezultă

( )0rB

[ ]( )

( )( )

( )( )

[ ]

1

1

1

1

1 110

11 11

0 0

1 11 1

0

1 d

1 d d

1 d d

d .

r

r

rnn

n B x

r

n nnn B x

rn

nnn B

rn n

n r

M ff

r r

f x r rr

r f x rr

r r M f r

−

−∂

−−

∂

− −

∂= Δ ω =

∂ ω

⎛ ⎞= Δ + α σ⎜ ⎟ω ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞1 1r

=

= Δ + α σ⎜ ⎟ω⎝ ⎠

= Δ

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

=

(660)

Înmulţind relaţia (660) cu şi derivând în raport cu r, se obţine ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul al doilea

1nr −

[ ] [ ]1 1n nrn r

M fr r

r r− −⎡ ⎤∂∂

= Δ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦M f ,

care este exact ecuaţia (659) după efectuarea derivării şi a simplificării cu 1nr − . Ecuaţia din problema (659) se numeşte ecuaţia Euler - Poisson - Darboux. Prin trecere la limită în (658), după , rezultă 0r →

[ ] [ ] ( )( )

( )( )

( )

1

1

100 000

10

1lim lim d

1 d ,

r r rr r n Br

n B

M f M f f x r

f x f x

→∂>

∂

= = + αω

= σ =ω

∫

∫

σ =

adică prima condiţie Cauchy din problema (659). De asemenea, prin calcul direct, din (660) rezultă

[ ][ ]

[ ]( )

11

1 10

10 00 0

1

20

d

lim lim

lim 0.1

rn

n rr

nr rr r

nn r

nr

r M f rM f

r r

r M fn r

−

−→ →> >

−

−

Δ∂

= =∂

Δ= =

−

∫

Cu aceasta s-a stabilit şi a doua condiţie Cauchy din problema (659). Prin urmare [ ]rM f este soluţie pentru problema Cauchy (659).


Observaţia 11.1.2. Ecuaţia Euler - Poisson - Darboux are coeficienţii singulari pe hiperplanul , care este hiperplanul care poartă datele iniţiale. Cu această remarcă rezultă că problemei Cauchy (659) nu i se poate aplica teorema generală de existenţă şi unicitate Cauchy - Kovalevskaia, dată în acest capitol, §2, Teorema 2.2. Cu toate că în ecuaţia Euler - Poisson - Darboux coeficienţii nu sunt funcţii olomorfe, admiţând pe

0r =

0r = ca punct singular, Teorema 11.1.1 arată că problema Cauchy (659) admite cel puţin o soluţie, anume pe [ ]rM f . Are loc, aşa cum se va vedea din cele ce urmează, şi un rezultat de unicitate pentru problema Cauchy (659). TEOREMA 11.1.2 (de unicitate Friedrichs - Lewy) . Problema Cauchy, ataşată ecuaţiei lui Darboux,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

0

0

, ,

,

,

n

t

t

a t xu u u F t xt tt

u t x f x

u t x g xt

=

=

⎧ ∂ ∂+ − Δ =⎪ ∂∂⎪⎪

=⎨⎪∂⎪ =⎪ ∂⎩

,

dacă admite soluţie, aceasta este unică, dacă ( ), 0a t x ≥ . Pentru demonstraţie a se vedea [22], p.79 – 82. TEOREMA 11.1.3 (formula lui Pizetti) . Fie ( )kf D∈C , nD ⊂ . Atunci

[ ]2 1

2 10

10, 1, 2, ..., ;2

jr

jr

M f kjr

−

−

∂ +⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦∂ (661)

[ ] ( )

[ ] ( ) ( )( ) ( )

02

20

2 !, 1, 2, ...,

22 ! 2 ... 2 2

r rj j

r nj j

r

M f f x

M f j f x kjr j n n n j

⎧ =⎪⎪⎨ ∂ Δ ⎡ ⎤= =⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦∂ + + −⎪⎩

. (662)

Funcţia [ ]rM f admite reprezentarea, cu formulă Taylor,

[ ] ( )( )

( ) ( )

( )

2

1 2 ! 2 ... 2 2

, , .2

j jmn

r jj

m

f x rM f f x

j n n n j

kR r x m

=

⎡ ⎤Δ⎣ ⎦= ++ + −

⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ +

(663)

Demonstraţie: Formula (661) rezultă imediat din ecuaţia Euler - Poisson - Darboux pentru care, conform Teoremei 11.1.1, media sferică [ ]rM f este soluţie. Aceasta revine la identitatea

[ ] ( ) [ ] [ ]2

2 1 .r rn r

M f M fr n r M

rr∂ ∂

+ − = Δ∂∂

f


Derivând această relaţie de p ori, p ∈ , 2p k< − , rezultă

[ ] ( ) [ ]

[ ] [ ]

2 1

2 1

1

1

1

.

p pr r

p p

p pr r

n np p

M f M fr n p

r rM f M f

r pr r

+ +

+ +

−

−

∂ ∂+ + −

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛∂ ∂

= Δ + Δ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

=

⎞⎟⎠

Prin trecere la limită, după , în această relaţie, se obţine relaţia 0r →

[ ] [ ]

0

1 1

1 10

,1

r

p pr r

np pr

M f M fpn pr r

+ −

+ −

∂ ∂= Δ

+ −∂ ∂ (664)

care stabileşte o legătură între derivatele succesive ale mediei sferice în . 0r = Ţinând seama de a doua condiţie Cauchy din problema (659), scrisă pentru ( ) ( )[ ], ru r x M f x= , şi conform (664), scrisă pentru 2p = ,

se obţine [ ]0

3

3 0r

rM fr

∂=

∂, iar pentru 4, 6, ...p = rezultă succesiv

[ ]0

2 1

2 1 0r

jr

jM f

r

−

−

∂=

∂ şi astfel relaţiile (661) sunt demonstrate.

Pentru a demonstra relaţiile (662) se foloseşte prima condiţie Cauchy din problema (659), scrisă pentru ( ) ( )[ ], ru r x M f x= , formula (664) şi metoda inducţiei complete. Astfel într-o primă etapă se verifică (662) pentru . Într-adevăr prima condiţie (662) se verifică pe baza primei condiţii Cauchy din problema (659). Scriind (664) pentru

1j =

1p = rezultă

[ ] [ ]0 0

2

21

r r

rn r

M fM f

nr∂

= Δ∂

.

Conform primei condiţii Cauchy din problema (659), ţinând seama că [ ]rM f este soluţie a problemei (659), relaţia de mai sus devine

[ ] ( )0

2

21

r

rn

M ff x

nr∂

= Δ∂

,

adică se verifică a doua formulă (662) pentru 1j = . Cu aceasta etapa de verificare din metoda inducţiei complete este încheiată. Presupunem că a doua relaţie (662) are loc pentru 0j j= natural, fixat,

0 2kj ⎡ ⎤< ⎢ ⎥⎣ ⎦

. Calculăm, conform (664), [ ]0

0

2 2

2 2

jr

jM f

r

+

+

∂

∂. Rezultă, pentru

0 12kj ⎡ ⎤+ < ⎢ ⎥⎣ ⎦

,


[ ] [ ]

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0

0

0

0

2 2 20

2 2 200

00

0 0 0

10

10 0

2 12

2 !2 12 2 ! 2 ... 2 2

2 2 !.

2 1 ! 2 ... 2

j jr r

nj jr

jn

n j

jn

j

M f M fjn jr r

j f xjn j j n n n j

j f xj n n n j

+

+

+

+

∂ ∂+= Δ =

+∂ ∂

⎡ ⎤Δ+= Δ =⎢ ⎥

+ + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

+ Δ=

+ + +

Cu aceasta, conform principiului inducţiei complete, formulele (662) sunt demonstrate. Cu formulele (661) şi (662) rezultă evident formula Taylor de ordin 2m,

2km ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, adică (663).

Formula (663) se numeşte formula lui Pizetti. Observaţia 11.1.3. Dacă ( )f D∞∈ C , nD ⊂ , atunci formula lui Pizetti (663) devine dezvoltarea în serie Taylor în jurul punctului a mediei sferice

0r =( )[ ]rM f x , şi anume

( )[ ] ( )( )

( ) ( )

2

0

.2 ! 2 ... 2 2

j jn

r jj

f x rM f x f x

j n n n j

∞

=

⎡ ⎤Δ⎣ ⎦= ++ + −∑ (665)

11.2 Media sferică a funcţiilor armonice. Teorema lui Gauss TEOREMA 11.2.1 (de medie a lui Gauss) . Dacă este soluţie a ecuaţiei lui Laplace , atunci are loc teorema de medie a lui Gauss

( )u ⋅0nuΔ =

( )[ ] ( ) , 0,rM u x u x r x D= > ∈ (666)

şi invers, orice funcţie de clasă care satisface condiţia (666) pentru orice este soluţie a ecuaţiei lui Laplace.

2C0r >

Demonstraţie: „Necesitatea” ( )⇒ Fie , funcţie armonică în D, deci în D . Atunci

: nu D ⊂ →0nuΔ = ( )[ ]n rM u xΔ =

. Cu aceasta ecuaţia Euler - Poisson - Darboux pentru ( ) 0r nM u x= ⎡Δ ⎤ =⎣ ⎦( )[r ]M u x se reduce la

[ ] [ ]2

21 0r rM u M un

r rr∂ ∂−

+ =∂∂

.

Soluţia generală a acestei ecuaţii este ( )[ ] ( ) ( ) 2

1 2n

rM u x c x c x r −= + pentru , 2n >


respectiv ( )[ ] ( ) ( )1 2 lnrM u x c x c x r= + pentru 2n = . Deoarece ( )[r ]M u x este o funcţie de clasă , odată cu funcţia , în D rezultă în mod necesar

2C ( )u ⋅( )2 0c x ≡ în D, în caz contrar ( )[r ]M u x ar admite

pe ca punct singular, şi deci 0r = ( )[ ] ( )1 ,rM u x c x r 0= > . Conform primei condiţii Cauchy din problema (659) rezultă ( ) ( )1 ,c x u x x D= ∈ deci are loc (666). „Suficienţa” ( Presupunem că are loc (666). Atunci )⇐

( )[ ] ( )2 2

2 2 0, 0, .rM u x u x r xr r

∂ ∂= = >

∂ ∂D∈

Trecând în această relaţie la limită pentru şi ţinând seama de (664), scrisă pentru

0r →1p = , şi de (666), rezultă ( )[ ] ( )[ ]

0

2

20

1 10 ,r

rn r n

r

M u x .M u x u x Dn nr

∂= = Δ = Δ

∂∈

Cu aceasta deducem în D, adică 0nuΔ = ( )u ⋅ este funcţie armonică în D.

Observaţia 11.2.1. Demonstraţia necesităţii Teoremei 11.2.1 rezultă uşor utilizând formula lui Pizetti, (663). Într-adevăr, dacă 0nuΔ = , atunci oricare ar fi

0jnuΔ =

j ∗∈ . Conform formulei lui Pizetti, (663) rezultă ( )[ ] ( ) , 0,rM u x u x r x D= > ∈ ,

ceea ce trebuie demonstrat. Observaţia 11.2.2. Toate rezultatele obţinute mai sus, relative la media specifică a funcţiilor, sunt date pentru cazul . Plecând de la ecuaţia din problema (659) se poate defini media sferică a funcţiilor de o singură variabilă, şi anume ca soluţie a problemei (659) scrisă pentru

2n ≥

1n = . Dar, problema (659) în cazul este problema Cauchy pentru ecuaţia corzii vibrante, care pentru 1n =

[ ]rM f cu ( )f ⋅ funcţie de o variabilă revine la

[ ] [ ]

[ ] ( )

[ ]

2 2

2 2

0

0

0 ,

,

0

r r

r r

r

r

M f M fx

r xM f f x x

M fr

⎧ ∂ ∂− = ∈⎪

∂ ∂⎪⎪ = ∈⎨⎪∂⎪ =⎪ ∂⎩

.

Conform formulei lui d'Alembert din capitolul 1, §5, 5.2, Teorema 5.2.1, formula (93), rezultă

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]1 1 , .2r rM f x M f x f x r f x r x= = + + − ∈


În acest mod, toate rezultatele obţinute pentru mediile sferice ale funcţiilor de n variabile ( )[ ] ,n

rM f x n ≥ 2 se pot transpune în mod corespunzător şi în cazul funcţiilor de o variabilă, ţinând evident seama de particularităţile care intervin când 1n = .

11.3 Media sferică şi problema Cauchy pentru ecuaţia undelor Ne ocupăm aici de problema Cauchy pentru ecuaţia undelor în cazul

{ }2, 3n ∈ şi de scrierea soluţiei în funcţie de media sferică a datelor. Conform capitolului 1, §5, 5.4, Teorema 5.4.1, în cazul s-a dedus formula lui Kirchhoff de reprezentare a soluţiei problemei Cauchy pentru ecuaţia undelor, şi anume

3n =

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

2

32

,1 1, d4 4

1 1 d , , 0.4

at at

at

B X B X

B X

t Xu X t g

X a t

f X tt ta

∂

∂

Φ ζ − − ζ= ζ +

π − ζ π

∂ ⎛ ⎞+ ζ σ ∀ ∈ >⎜ ⎟∂π ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

dζ σ +

(667)

Utilizând media sferică a unei funcţii, conform Definiţiei 11.1.1, formula (667) se rescrie sub forma

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[0

, dat

at atu X t M F X tM g X tM f Xtρ∂ ]⎡ ⎤= ρ ρ + + ⎣ ⎦∂∫ . (668)

Conform capitolului 1, §5, 5.4, Teorema 5.4.1, în cazul s-a dedus formula lui Poisson de reprezentare a soluţiei problemei Cauchy pentru ecuaţia undelor, şi anume

2n =


( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

2 220

22 2

22 2

2 220

2

,1, d2

1 d2

1 d2

,1 d d2

1 2

a t s

at

at

a t s

t

B X

B X

B X

t

B X

su X t s

a a t s X

ga a t X

fa t a t X

s

d

sa a t s X

ga a t

−

−

⎛ ⎞Φ ζ= ζ⎜ ⎟π ⎜ ⎟− − − ζ⎝ ⎠

ζ+ ζ +

π − − ζ

ζ∂+ ζ

π ∂ − − ζ

⎛ ⎞Φ ζ= ζ⎜ ⎟π ⎜ ⎟− − − ζ⎝ ⎠

ζ+

π

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

+

=

+

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]

220

22 20

2 220

2 2 2 2 2 20 0

d d

1 d d2

,1 d d2

1 1 d d .

a t s

at

B X

at

B

t

B X

at at

X

fa t a t X

ss

a a t s X

M g X M f Xa a ta t a t

ρ

ρ

−

∂

∂

ρ ρ

⎡ ⎤ζ ρ +⎢ ⎥

− − ζ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ζ∂+ ζ⎢ ⎥π ∂ − − ζ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞Φ ζ= ζ⎜ ⎟π ⎜ ⎟− − − ζ⎝ ⎠

ρ ρ∂+ ρ +

∂− ρ − ρ

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

ρ =

+

ρ

(669)


CAPITOLUL 2

APLICAŢII

§1 Exerciţii şi probleme rezolvate 1º Să se determine domeniile de hiperbolicitate, elipticitate şi parabolicitate ale ecuaţiilor:

i) ( ) ( )2 2 2

2 22 22 0u u ux y x y x

x y yx y∂ ∂ ∂

− + + + + =∂ ∂ ∂∂ ∂

u∂ ;

ii) 2 2 2

2 2 42 22 0u u u .y y

x yx y∂ ∂ ∂

− + =∂ ∂∂ ∂

x x

Soluţie: i) Conform capitolului 1, §3, 3.1 ecuaţia de la punctul i) este o ecuaţie cu derivate parţiale cvasiliniară, de ordinul al doilea cu

, ( ), 1A x y = ( ) ( ),B x y x y= − + , ( ) 2 2,C x y x y= + .

x y= −

Fig. 2.1.1


Rezultă ( ),x yΔ [ ] ( )2 , 2B AC x y xy= − = . Cu aceasta obţinem că dacă:

0xy > , atunci ecuaţia i) este de tip hiperbolic; 0xy = , atunci ecuaţia i) este de tip parabolic; 0xy < , atunci ecuaţia i) este de tip eliptic. ii) În acest caz ecuaţia este tot cvasiliniară cu ( ) 2,A x y x= ,

( ) 2,B x y x y= , . Prin urmare ( ) 4,C x y y= ( ) [ ] ( )2, ,x y B AC x yΔ = − =

( ) ( )4 2 2 4 2 2x y x y x y x y x y= − = − + . Rezultă că dacă: 2 2 0x y− > , atunci ecuaţia ii) este de tip hiperbolic, (H);

, atunci ecuaţia ii) este de tip parabolic, (P); 2 2 0x y− =

, atunci ecuaţia ii) este de tip eliptic, (E). 2 2 0x y− < Clasificarea făcută mai sus corespunde situaţiei din figura 2.1.1.

2º Să se aducă la forma canonică şi să se integreze ecuaţia 2 2 2

2 2 22 22 2 2 0, const.z z z zx xy y y ax a

x y yx y∂ ∂ ∂ ∂

− + + − = =∂ ∂ ∂∂ ∂

Soluţie: Este o ecuaţie cvasiliniară, cu derivate parţiale de ordinul al doilea în două variabile cu ( ) 2,A x y x= , ( ),B x y xy= − , . Rezultă că

( ) 2,C x y y=

( ) [ ] ( )2, ,x y B AC x yΔ = − 0=

0,=

, deci ecuaţia este de tip parabolic. Prin urmare ecuaţia caracteristicilor admite o singură familie de caracteristici . Ecuaţia caracteristicelor este

( ) ( )2 22 2d 2 d d dx y xy x y y x+ + adică

22 2d d2 0

d dy yx xy yx x

⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Obţinem sistemul diferenţial al caracteristicilor, redus la o singură ecuaţie diferenţială

dd

y yx x= − . (1)

Ecuaţia diferenţială (1) este cu variabile separabile prin integrarea căreia se obţine

ln ln lny x c= − + , adică familia de caracteristici xy c= . (2)


Cu familia de caracteristici (2) se consideră transformarea

:xy

Tx

ζ =⎧⎨η =⎩

. (3)

Prin calculul de derivate ale funcţiei necunoscute ( ),z ⋅ ⋅ se rescrie ecuaţia în raport cu noile variabile ,ζ η definite de (3), şi anume

2 2

2 2

2 2 2 22

2 2

2

2

z z z z zyx x xz z z zxy y y

z z z z zy yx xx

z z z zy yx x

z z zyx y y

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂= + = +

∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂

= + =∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ ∂+ + = + +∂ζ∂η ∂ ∂ ∂ζ∂η∂η ∂ζ ∂η

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂η⎝ ⎠

2

2

2

x

z

+

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2 2

22

2

z zyy y

z z zy y

z z zxy x

z z z zx xy y yy

zx

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎛ ⎞⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎪ = + +⎜ ⎟⎨ ∂ ∂ζ∂η ∂∂ζ⎝ ⎠⎪⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂

+ + + =⎪∂ζ∂η ∂ ∂ ∂ζ∂η⎪

⎪ ∂ ∂ ∂⎪ = + +⎪ ∂ζ∂η ∂ζ∂ζ⎪

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎪ ⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪ ∂⎪ =

∂ζ⎪⎩

.

Înlocuind aceste derivate în ecuaţie şi ţinând seama de (3), se obţine 2 2 2

2 22 2

2 2

2

22 2 2

2

2

2

2 2

z z zx y y

z z zxy xy x

z zy x y x ax

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ + −⎢ ⎥∂ζ∂η∂ζ ∂η⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂− + + +⎢ ⎥∂ζ∂η ∂ζ∂ζ⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂⎡ ⎤ 0,+ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ζ∂ζ ⎣ ⎦⎣ ⎦=


ceea ce se reduce la 2

2 22 2 0zx ax∂− =

∂η,

adică

2

22 2z a∂

η − η =∂η

2 0 . (4)

Din (4) se obţine

2

2 2z a∂=

∂η,

care prin integrare succesivă conduce la

( ) (1, 2z a c∂ )ζ η = η + ζ∂η

,

deci ( ) ( ) ( )2

1 2,z a c cζ η = η + η ζ + ζ , cu , două funcţii arbitrare de două ori derivabile. Cu aceasta, conform (3) soluţia generală a ecuaţiei considerate este

( )1c ⋅ ( )2c ⋅

( ) ( ) ( )21 2,z x y ax xc xy c xy= + + .

3º Să se determine funcţia ( ),z x y soluţie a problemei

( ) ( )

( ) ( )

2 23

2 2

2

2

4 0

, ,

, ,

z z zx xxx y

z x x f x x

z x x g x x

⎧ ∂ ∂ ∂− −⎪ ∂∂ ∂⎪

⎨= ≥⎪

⎪ − = ≥⎩

0

0

=

,

unde ( )f ⋅ şi sunt două funcţii date cu proprietatea ( )g ⋅ ( ) ( )0 0f g= = 0 . Caz particular ( ) 4f x x= , ( ) 4g x x= − . Soluţie: Ecuaţia din problema considerată este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, cvasiliniară în funcţia necunoscută ( ),z ⋅ ⋅ de două variabile independente x şi y, cu ( ),A x y x= , ( ), 0B x y = ,

( ) 3,C x y x= − 4 . Rezultă ( ) [ ] ( )2 4, ,x y B AC x y xΔ = − = 4 0>

0

, deci ecuaţia, din problema considerată, este de tip hiperbolic. Se ataşează ecuaţia caracteristicilor

( ) ( )2 23d 4 dx y x x− = ,


sau în mod echivalent sistemul diferenţial al caracteristicilor

d 2dd 2d

y xxy xx

⎧ =⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

. (5)

Ecuaţia fiind de tip hiperbolic admite două familii de caracteristici reale, care se obţin prin integrarea sistemului de ecuaţii diferenţiale (5). Rezultă familiile de caracteristici

(6) 2

12

2

,y x c

y x c

⎧ − =⎪⎨

+ =⎪⎩cu . 1 2,c c ∈ Cu (6) se consideră transformarea

. (7) 2

2:

y xT

y x

⎧ζ = −⎪⎨η = +⎪⎩

Conform (7) prin calcul de derivate se deduce:

2 2

2 2

2 2

2

22

2

2 2

2 2 2

2 2 2

4 8

z z z z zx xx x xz z z z zy y y

z z z z zx x xx xx

z z z zxx x

zx

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂= + = − +

∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂

= + = +∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= − + = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂

+ + − + =⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ ∂ ∂ζ ∂η∂η⎝ ⎠

∂= −

∂ζ

2

x

2 22 2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

4 2 2

2 2 2

2 2 2

z z z zx x

z z z z zx x xx y y y y

z z z zx xy y

z z z z zy yy

∂ ∂ ∂ ∂+ − +

∂ζ∂η ∂ζ ∂η∂η

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ζ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂

+ + = − +⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ ∂∂η ∂ζ ∂η⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠

2

x

+

2

2 2 2 2

2 2 2

.

2

zy y

z z z zy

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ∂ ∂ζ

+ +⎪ ∂ζ∂η ∂⎪⎪ ∂ ∂η ∂ ∂ ∂⎪ + = + +

∂ ∂ζ∂η⎪ ∂η ∂ζ ∂η⎩

(8)


Înlocuind (8) în ecuaţia din problema considerată rezultă 2 2 2

2 2 22 2

2 2 23

2 2

4 8 4 2 2

4 2 2 2

z z z z zx x x x

z z z z zx x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0 ,x

− + − +⎢ ⎥∂ξ∂η ∂ζ ∂η∂ξ ∂η⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤− + + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ξ∂η ∂ξ ∂η∂ξ ∂η ⎣ ⎦⎣ ⎦

−

=

adică 2

316 0zx ∂− =

∂ζ∂η,

echivalent cu

2

0z∂=

∂ζ∂η. (9)

Soluţia generală a ecuaţiei (9) este ( ) ( ) ( ),z ζ η = ϕ ζ + ψ η , (10)

cu , două funcţii arbitrare de două ori derivabile. Din (10) şi (7) rezultă

( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅

( ) ( ) ( )2 2,z x y y x y x= ϕ − + ψ + . (11)

Impunând funcţiei (11) condiţiile din problema considerată deducem sistemul

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

0 2

2 00 0 0

x f x

,x g x

⎧ϕ + ψ =⎪⎨ϕ − + ψ =⎪ϕ + ψ =⎩

de unde rezultă

( ) ( )

( ) ( )

02

02

g

f

⎧ ⎛ ⎞−αϕ α = − ψ⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞β⎪ψ β = − ϕ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

. (12)

Din (11) şi (12) rezultă că soluţia problemei considerate este dată de

( ) ( ) ( )2 2

2 2

, 02 2

.2 2

x y x yz x y g f

x y x yf g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ψ + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0ϕ =


În cazul particular considerat rezultă

( )2 22 2

,2 2

x y xz x y⎛ ⎞ ⎛+ −

= −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

y ⎞⎟⎠

.

4º Să se rezolve problema Cauchy

2 2 2

2 2

20

0

2 3

3 .

0

y

y

u u ux yx y

u x

uy

=

=

⎧ ∂ ∂ ∂+ − =⎪ ∂ ∂∂ ∂⎪

⎪=⎨

⎪ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

0

Soluţie: Ecuaţia cu derivate parţiale din problema Cauchy considerată este cvasiliniară, în funcţia necunoscută ( ),u ⋅ ⋅ , ca funcţie de două variabile. În plus ( ), 1A x y = , ( ), 1B x y = , ( ),C x y 3= − , deci ( ),x yΔ =

[ ] ( )2 4B AC xy= − = > 0

0=

, prin urmare ecuaţia este de tip hiperbolic. Ea admite două familii de caracteristici reale, soluţii ale ecuaţiei diferenţiale a caracteristicilor

( ) ( )2 2d 2d d 3 dy x y x− − ,

adică ale sistemului diferenţial al caracteristicilor

d 3dd 1d

yxyx

⎧ =⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

. (13)

Prin integrarea sistemului diferenţial al caracteristicilor (13) se deduc două familii de caracteristici reale, şi anume

(14) 11 2

2

3, cu , .

y x cc c

y x c− =⎧

∈⎨ + =⎩

Cu cele două familii de caracteristici reale (14) se consideră transformarea

3

:y x

Tx y

ζ = −⎧⎨η = +⎩

. (15)


Conform (15) prin calcul direct rezultă

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

3

3 3

9 6

u u u u ux x xu u u u uy y y

u u u u ux xx

u u u u ux x

u u ux y x

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂= + = − +

∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂

= + = +∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= − + = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ ∂+ + = − +∂ζ∂η ∂ ∂ ∂ζ∂η∂η ∂ζ ∂η

∂ ∂ ∂ ∂⎛= +∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂η⎝

2

x

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

3 2

2

u u ux x x

u u u ux

u u u u u uy y yy

u u u uy

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ⎞

2

y

= + +⎜ ⎟ ∂ ∂ζ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ζ⎠

∂ ∂η ∂ ∂ ∂+ = − − +

∂ ∂ζ∂η∂η ∂ζ ∂η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠

∂ ∂η ∂ ∂ ∂+ = + +

∂ ∂ζ∂η∂η ∂ζ ∂η⎩

.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

+

+

(16)

Înlocuind (16) în ecuaţia din problema Cauchy considerată, rezultă 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

9 6

2 3 2

3 2

u u u

u u u

u u u

∂ ∂ ∂− + +

∂ζ∂η∂ζ ∂η

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ − − + −⎢ ⎥∂ζ∂η∂ζ ∂η⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂− + +⎢ ⎥∂ζ∂η∂ζ ∂η⎣ ⎦

0,=

adică

2

0u∂=

∂ζ∂η. (17)

Soluţia generală a ecuaţiei (17) este ( ) ( ) ( ),u ζ η = ϕ ζ + ψ η , (18)

cu şi ( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅ două funcţii arbitrare, de două ori derivabile. Aceste funcţii urmează a fi determinate impunând lui (18), adică, conform (15), lui


( ) ( ) ( ), 3u x y y x x y= ϕ − + ψ + , (19)

datele Cauchy din problemă. Rezultă astfel sistemul

( ) ( )( ) ( )

23.

3 03x x x

x x

⎧ϕ − + ψ =⎪⎨

′ ′ϕ − + ψ =⎪⎩ (20)

Prin integrarea celei de a doua ecuaţii din (20) rezultă ( ) ( )( ) ( )

23 3,

3 3x x x

x x c

⎧ϕ − + ψ =⎪⎨−ϕ − + ψ =⎪⎩

deci

( )

( )( )

2

2

34 ,

3 334

c xxc

c xx c

⎧ +ψ =⎪⎪ ∈⎨

+⎪ϕ − = − +⎪⎩

.

Prin urmare

( )

( )

2

24 ,3

4

c

cc

⎧ − + αϕ α =⎪⎪ ∈⎨

+ β⎪ψ β =⎪⎩

. (21)

Înlocuind (21) în (19) rezultă soluţia problemei Cauchy considerate

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

3 3,

4 43 3

.4

c y x c x yu x y

x y y x

− + − + += +

+ + −=

=

(22)

Cu (22) s-a obţinut soluţia problemei Cauchy considerate, soluţie unică. De remarcat că ştiam apriori că problema Cauchy considerată admite

soluţie unică, aceasta conform Teoremei 2.2 (Cauchy – Kovalevskaia), capitolul 1, §2.


( )

( )

2 2 22 2

2 22 0

1, 1 cos

1, 2

u u u u ux xy y x yx y x yx y

u y yu y yx

⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + +⎪ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎪⎪

⎨ = −⎪∂⎪ =⎪ ∂⎩

=

.


Soluţie: Conform Teoremei 2.2 (Cauchy – Kovalevskaia), capitolul 1, §2 problema Cauchy considerată admite soluţie şi aceasta este unică. Observând că ( ) 2,A x y x= , ( ),B x y xy= − şi ( ) 2,C x y y= , rezultă ( ),x yΔ =

[ ] ( )2 ,B AC x y= − = 0

0=

, deci ecuaţia din problema Cauchy considerată este de tip parabolic. Ea admite o singură familie de caracteristici reale, soluţie a ecuaţiei diferenţiale a caracteristicilor

( ) ( )2 22 2d 2 d d dx y xy x y y x+ + , adică a sistemului diferenţial al caracteristicilor, redus la o singură ecuaţie,

dd

y yx x= − . (23)

Rezultă familia de caracteristici ,xy c c= ∈ .

Se alege transformarea

: .xy

Tx

ζ =⎧⎨η =⎩

(24)

Urmând calculul din exerciţiul 2º, acest capitol şi acest paragraf, deducem

2 2 22

2 2

2 2 2

2

2 22

2 2

2

u u uyxu uxy

u u uy yx

u u uxy xx y

u uxy

∂ ∂ ∂⎧ = +⎪ ∂ ∂ζ ∂η⎪∂ ∂⎪ =⎪ ∂ ∂ζ

⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪ = + +⎨ ∂ζ∂η∂ ∂ζ⎪⎪ ∂ ∂ ∂

= + +⎪ ∂ ∂ ∂ζ∂η ∂ζ∂ζ⎪⎪ ∂ ∂⎪ =⎪ ∂ ∂ζ⎩

2

2u

u

∂∂η

∂

. (25)

Înlocuind (25) în ecuaţia din problema Cauchy considerată aceasta devine 2 2 2

2 22 2

2 2

2

22 2

2

2

2

0,

u u ux y y

u u uxy xy x

u u u uy x x y y x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ + −⎢ ⎥∂ζ∂η∂ζ ∂η⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂− + + +⎢ ⎥∂ζ∂η ∂ζ∂ζ⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ζ ∂η ∂ζ∂ζ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦=


adică 2

22 0,u ux x∂ ∂+ =

∂η∂η

care conform (24) se rescrie 2

22 0u u∂ ∂

η + η =∂η∂η

.

Forma canonică a ecuaţiei din problema Cauchy considerată este deci

2

2 0u u∂ ∂η + =

∂η∂η. (26)

Ecuaţia diferenţială (26) nu conţine funcţia necunoscută, deci făcând

schimbarea de funcţie u v , ( ) (, uv ),∂ζ η = ζ η

∂η, se reduce ordinul ecuaţiei

(26), care devine

0v v∂η + =∂η

. (27)

Pentru fiecare ζ fixat ecuaţia (27) este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi cu variabile separabile, pentru care soluţia generală este

( ) ( )1,c

vζ

ζ η =η

, (28)

cu o funcţie arbitrară, în variabila ( )1c ⋅ ζ , de două ori derivabilă. Din (28) rezultă soluţia generală pentru (26), şi anume

( ) ( ) ( )1 2, lnu c c ,ζ η = ζ η + ζ (29)

cu ( )2c ζ o funcţie arbitrară de ζ , de două ori derivabilă. Revenind la variabilele ,x y , conform (24), se deduce soluţia generală a ecuaţiei din problema Cauchy considerată, şi anume

( ) ( ) ( )1 2, lnu x y c xy x c xy= ⋅ + . (30)

Funcţiile arbitrare ( ) ( )1 2,c c⋅ ⋅ urmează a fi determinate din condiţiile Cauchy. Se obţine sistemul

( )

( ) ( )2

1 2

1 cos.

2

c y y

c y yc y y

⎧ = −⎪⎨

′+ =⎪⎩ (31)


Rezultă astfel

. (32) ( )

( )1

2

2 si1 cos

cc

⎧ α = α − α ⋅⎪⎨

β = − β⎪⎩

n α

Din (30) şi (32) rezultă că soluţia problemei Cauchy considerate este ( ) [ ], 2 sin ln 1 cosu x y xy xy xy x xy= − ⋅ + − .

6º Să se găsească soluţia ecuaţiei 2 2 2

2 24 8 21u u ux yx y

∂ ∂ ∂ 0+ − =∂ ∂∂ ∂

,

ştiind că x 0 pe caracteristica 2 7y x− = . sin 2u =

2u = −x 0 pe caracteristica 2 3y x+ = . Soluţie: Metoda de rezolvare constă în reducerea ecuaţiei din problemă la forma canonică, deci metoda schimbării variabilelor. Observăm că

, , ( ), 4A x y = ( ), 4B x y = ( ),C x y 21= , deci ( ),x yΔ = [ ] ( )2 , 100 0B AC x y= − = > , prin urmare ecuaţia cu derivate parţiale,

cvasiliniară, de ordinul al doilea, în două variabile considerată în problemă este de tip hiperbolic. Ea admite deci două familii de caracteristici reale. Pentru deducerea lor se scrie ecuaţia caracteristicilor

( ) ( )2 24 d 8d d 21 d 0y y x x− − = . Sistemul diferenţial al caracteristicilor, corespunzător, este

d 7d 2d 3d 2

yxyx

⎧ =⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

. (33)

Prin integrarea sistemului diferenţial (33) rezultă cele două familii de caracteristici reale

(34) 11 2

2

7 2, ,

3 2x y c

c cx y c− =⎧

∈⎨ + =⎩.

Se consideră transformarea, dată de cele două familii de caracteristici (34),

7 2

:3 2

x yT

x yζ = −⎧

⎨η = +⎩ . (35)


Rezultă

2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

7 3

2 2

7 3 7

3

49 42

u u u u ux x xu u u u uy y y

u u u u ux xx

u ux x

u u

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂= + = +

∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂

= + = − +∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ζ ∂ ∂η

+ + =⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ ∂∂η⎝ ⎠

∂ ∂= + +

∂ζ∂η∂ζ

x

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

9

7 3 7

3

14 8 6

2 2 2

u

u u u u ux y y y y

u uy y

u u u

u u u u uy yy

∂∂η

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ζ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ζ ∂ ∂η

+ + =⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ ∂∂η⎝ ⎠

∂ ∂ ∂= − + +


∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠

2

2

2 2

2

2 2 2

2 2

.

2

4 8 4

y

u uy y

u u u

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎛ ⎞⎪+⎜ ⎟⎪

⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞∂ ∂ζ ∂ ∂η⎪ + + =⎜ ⎟⎪ ∂ζ∂η ∂ ∂∂η⎝ ⎠⎪

∂ ∂ ∂⎪ = − +⎪ ∂ζ∂η∂ζ ∂η⎪⎩

(36)

Înlocuind (36) în ecuaţia din enunţ, aceasta devine 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

4 49 42 9

8 14 8 6

21 4 8 4 0,

u u u

u u u

u u u

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ +⎢ ⎥∂ζ∂η∂ζ ∂η⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ − + + −⎢ ⎥∂ζ∂η∂ζ ∂η⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂− − +⎢ ⎥∂ζ∂η∂ζ ∂η⎣ ⎦

+

=


adică

2

0u∂=

∂ζ∂η. (37)

Soluţia generală a ecuaţiei (37) este ( ) ( ) ( ),u ,ζ η = ϕ ζ + ψ η (38)

cu şi două funcţii arbitrare, de două ori derivabile. În variabilele x, y, (38) se rescrie conform (35)

( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅

( ) ( ) ( ), 7 2 3u x y x y x y= ϕ − + ψ + 2 . (39)

Funcţiile arbitrare ( )ϕ ⋅ , se determină impunând funcţiei (39) datele pe caracteristici din problema considerată. Rezultă sistemul

( )ψ ⋅

( ) ( )

( ) ( ) 2

0 10 sin

10 0

2x x

x x

⎧ϕ + ψ =⎪⎨ϕ + ψ = −⎪⎩

.

Scriind oricare din ecuaţiile sistemului anterior pentru 0x = , rezultă şi condiţia

( ) ( )0 0ϕ + ψ = 0 . (40)

Din sistemul anterior rezultă, de asemenea

( ) ( )

( ) ( )

20

100

sin 05

⎧ αϕ α = − − ψ⎪⎪

⎨β⎪ψ β = − ϕ⎪⎩

. (41)

Din (39), (40) şi (41) rezultă că soluţia problemei considerate este

( ) ( )27 2 3 2, s100 5

x yin x yu x y

− += − + .

7º Să se aducă la forma canonică ecuaţia 2 2

22 2 0u ux

x y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

Soluţie: Ecuaţia din enunţ este cu derivate parţiale de ordinul al doilea, cvasiliniară în funcţia necunoscută ( ),u ⋅ ⋅ , în două variabile. Se observă că , , ( ), 1A x y = ( ), 0B x y = ( ) 2,C x y x= , în consecinţă

. Prin urmare ecuaţia este de tip eliptic.

( ),x yΔ =

[ ] ( )2 ,B AC x y x= − = − <2 0În acest caz ecuaţia cu derivate parţiale din problemă admite două familii

de caracteristici complex conjugate, de ecuaţie


( ) ( )2 22d dy x x 0.+ = În mod corespunzător sistemul diferenţial al caracteristicilor este

. (42) d i dd i

y x xy x=⎧

⎨ = −⎩ dx

Prin integrarea sistemului diferenţial (42) rezultă cele două familii de caracteristici, complex conjugate

2

1

1 22

2

i2 , ,

i2

xy cc c

xy c

⎧− =⎪⎪ ∈⎨

⎪ + =⎪⎩

. (43)

Pentru a nu lucra cu derivata în complex, urmând punct cu punct teoria prezentată în capitolul 1, §3, 3.2 cazul 3, formula (60'), alegem transformarea

2:

2

yT x

ζ =⎧⎪⎨η =⎪⎩

. (44)

Pentru rescrierea ecuaţiei în raport cu noile variabile ,ζ η (tot reale), calculăm

2 2 2

2 2

22

2

2 2 2 2

2 2

u u u uxx x xu u u uy y y

u u u ux xx x xx

u ux

u u u u uy y yy

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎧ = + =⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂η⎪∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎪ = + =⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ

⎪⎪ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎛ ⎞⎪ = = + +⎢⎜ ⎟⎨ ∂ ∂η ∂ζ∂η ∂ ∂ ∂η∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎪⎪ ∂ ∂

= +⎪∂η∂η⎪

⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎛ ⎞⎪ = = + =⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ ∂ζ⎝ ⎠⎩2

u=⎥

η . (45)

Înlocuind (45) în ecuaţia considerată rezultă

2 22 2

2 2 0u u ux x∂ ∂ ∂+ + =∂η∂η ∂ζ

,


adică 2 2

2 21 0

2u u u∂ ∂ ∂+ + =

η ∂η∂ζ ∂η .

8º Să se reducă la forma canonică ecuaţia 2 2

2 2 0, .u uy yx y

∗∂ ∂+ = ∈

∂ ∂

Soluţie: Ecuaţia din enunţ este cu derivate parţiale de ordinul al doilea, cvasiliniară, în funcţia necunoscută ( ),u ⋅ ⋅ de două variabile independente x şi y. În plus , ( ), 1A x y = ( ), 0B x y = , ( ),C x y y= . Rezultă ( ),x y yΔ = −

0

. Prin urmare pentru:

0y > ecuaţia este de tip eliptic; 0y < ecuaţia este de tip hiperbolic.

Tratăm fiecare caz în parte.

I. 0y >

Ecuaţia caracteristicilor este

( ) ( )2 2d dy y x+ = ,

deci sistemul diferenţial al caracteristicilor este

d i

d i d

y y

y y x

⎧ = −⎪⎨

=⎪⎩

dx . (46)

Prin integrarea sistemului diferenţial al caracteristicilor (46) rezultă două familii de caracteristici, complex conjugate

11 2

2

2 i, ,

2 i

y x cc c

y x c

⎧ + =⎪ ∈⎨− =⎪⎩

. (47)

Conform capitolului 1, §3, 3.2 cazul 3, se consideră transformarea

:2

xT

y

ζ =⎧⎪⎨η =⎪⎩

. (48)


Rezultă

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

1

1 1 12

1 12

u u u ux x xu u u uy y y y

u u u u ux x xx

u u u uy y yy y y yy

u uy y y

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎧ = + =⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ⎪∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎪ = + =⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂η

⎪⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎛ ⎞⎪ = = + =⎜ ⎟⎨ ∂ ∂ζ ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ ∂ζ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟∂ ∂η ∂ζ∂η ∂ ∂ ∂η∂ ∂η⎝ ⎠⎝ ⎠

∂ ∂= −

∂η∂η⎩

.

⎪⎪⎪⎪

u=

(49)

Înlocuind (49) în ecuaţia din enunţ, rezultă 2 2

2 21 1 0,

2u u uy

y y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ −⎜ ⎟⎜ ⎟∂η∂ζ ∂η⎝ ⎠

=

adică, ţinând seama de (48),

2 2

2 21 0u u u∂ ∂ ∂

+ − =η ∂η∂ζ ∂η

. (50)

II. 0y <În acest caz ecuaţia cu derivate parţiale este de tip hiperbolic şi deci

admite două familii de caracteristici reale. Ecuaţia diferenţială a caracteristicilor este

( ) ( )2 2d dy y x+ = 0 , deci sistemul diferenţial al caracteristicilor este

d d

.d d

y y x

y y x

⎧ = −⎪⎨

= − −⎪⎩ (51)

Prin integrarea sistemului diferenţial (51) rezultă cele două familii de caracteristici reale

11 2

2

2, ,

2

x y cc c

x y c

⎧ + − =⎪ ∈⎨− − =⎪⎩

.

Se consideră transformarea

2

:2

x yT

x y

⎧ζ = + −⎪⎨η = − −⎪⎩

. (52)


Rezultă

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

1 1

2

1

u u u u ux x xu u u u uy y y y y

u u u u u ux x x xx

u u u ux

u u uy yy

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂= + = +

∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂

= + = − +∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η− −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ⎛ ⎞= + = + + +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠

∂ ∂η ∂ ∂ ∂+ = + +

∂ ∂ζ∂η∂η ∂ζ ∂η

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − +⎜∂ ∂ζ ∂η−∂ ⎝2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

1 2

1 1 22

u u u uy y y yy

u uy y

u u u u uy y y

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎡ ⎤

=⎪ ⎢ ⎥⎟⎠⎪ ⎣ ⎦

⎪⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎪ = − − + +

⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎪ ∂ ∂ζ∂η ∂ ∂ζ∂η ∂ ∂− ∂ζ ∂η

⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪

⎪ ∂ ∂⎛ ⎞− − + =⎪ ⎜ ⎟∂ζ ∂η− ⎝ ⎠⎪

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ζ ∂η−∂ζ ∂η ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

.

⎪⎪⎪⎪

(53)

Înlocuind (53) în ecuaţia din enunţ, rezultă 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

12 02

u u u

u u u u uy

∂ ∂ ∂+ + −


∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + − − − + =⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ζ ∂η−∂ζ ∂η ⎝ ⎠.

Conform (52), rezultă

2 12 u u u∂ ∂ ∂⎛ ⎞ 0,+ − =⎜ ⎟∂ζ∂η ζ − η ∂ζ ∂η⎝ ⎠

(54)

prima formă canonică a ecuaţiilor de tip hiperbolic. Conform capitolului 1, §3, 3.2 cazul 1, făcând în (54) schimbarea de

variabile ( ) (, , )ζ η → α β cu

,ζ = α + β⎧

⎨η = α − β⎩ (55)


rezultă

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

1212

1 12 2

1 12 4

u u u u u

u u u u u

u u u u u

u u u u

⎧ ∂ ∂ ∂α ∂ ∂β ∂ ∂⎛ ⎞= + = +⎪ ⎜ ⎟∂ζ ∂α ∂ζ ∂β ∂ζ ∂α ∂β⎝ ⎠⎪⎪ ∂ ∂ ∂α ∂ ∂β ∂ ∂⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟∂η ∂α ∂η ∂β ∂η ∂α ∂β⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂α ∂ ∂β⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ζ ∂α ∂β ∂ζ ∂α∂β ∂ζ∂α⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

⎛ ⎞∂ ∂α ∂ ∂β ∂ ∂− + = −⎜ ⎟

∂α∂β ∂ζ ∂ζ∂β ∂α ∂β⎝ ⎠

.

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2

14

−⎠

(56)

Înlocuind (56) în (54), rezultă a doua formă canonică a ecuaţiei hiperbolice considerate, şi anume

2 2

2 21 0u u u∂ ∂ ∂

− + =β ∂β∂α ∂β

. (57)

Comparând (50) cu (57) se vede, în fiecare caz în parte, tipul ecuaţiei, funcţie de semnul lui y.


( )

( )

( )

2 22 2

2 2 0, 0

, 0 arcsin .

, 0 1

u u ux x xxx y

xu x

u xy

⎧ ∂ ∂ ∂− − − = <⎪ ∂∂ ∂⎪

⎪⎨ =⎪⎪ ∂

=⎪ ∂⎩

<

Soluţie: Ecuaţia din problema Cauchy este cu derivate parţiale de ordinul al doilea, cvasiliniară în funcţia necunoscută ( ),u ⋅ ⋅ de două variabile. Observăm că ( ) 2 2,A x y x= − , ( ), 0B x y = , ( ),C x y = −1 , deci

( ) [ ] ( )2 2, ,x y B AC x y xΔ = − = − 2 0>

0=

. Rezultă că ecuaţia din problema Cauchy considerată este de tip hiperbolic, prin urmare admite două familii de caracteristici reale.

Ecuaţia caracteristicilor este

( ) ( ) ( )2 22 2 d dx y x− − .


Sistemul diferenţial al caracteristicilor este

2 2

2 2

d 1d

d 1d

yx xyx x

⎧ =⎪−⎪

⎨⎪ = −⎪ −⎩

.

Prin integrarea sistemului diferenţial al caracteristicilor se obţin cele două familii de caracteristici reale

1

1 2

2

arcsin, ,

arcsin

xy cc c

xy c

⎧ + =⎪⎪ ∈⎨⎪ − =⎪⎩

.

Se consideră transformarea

arcsin

:arcsin

xylTxyl

⎧ζ = +⎪⎪⎨⎪η = −⎪⎩

. (58)

Printr-un calcul elementar se obţine

( )

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 3 / 22 2

2 2 2 2

2 2 2

1

1

1

2

u u u u ux x x xu u uy

u u uxx x

u u x u ux x

u u u u u uxy

⎧ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂⎛ ⎞= + = −⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η⎝ ⎠−⎪⎪ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ζ ∂η

∂ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞= − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ∂ ∂ζ ∂η∂ ⎝ ⎠−⎣ ⎦⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−

∂ζ ∂η− ∂ζ ∂η ⎝ ⎠⎝ ⎠ −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η ∂ζ∂η∂ ∂ζ ∂η⎝ ⎠

.

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(59)

Înlocuind (59) în ecuaţia din problema Cauchy considerată, rezultă 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 22 0

u u x u u

xu u x u u u

x

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + − −⎜ ⎟∂ζ ∂η∂ζ ∂η ⎝ ⎠−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− − − − − =⎜ ⎟∂ζ ∂η ∂ζ∂η∂ζ ∂η ⎝ ⎠−.


Obţinem

2

0u∂=

∂ζ∂η. (60)

Soluţia generală a ecuaţiei (60) este ( ) ( ) ( ),u ζ η = ϕ ζ + ψ η ,

care conform transformării (58) conduce la

( ), arcsin arcsin ,x xu x y y y⎛ ⎞ ⎛= ϕ + + ψ −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(61)

cu două funcţii de două ori derivabile, arbitrare. ( ) ( ),ϕ ⋅ ψ ⋅ Pentru determinarea funcţiilor ( ) ( )şiϕ ⋅ ψ ⋅ din (61), se impun condiţiile Cauchy din problema considerată. Rezultă

arcsin arcsin arcsin

arcsin arcsin 1

x x x

x x

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ + ψ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ′ ′ϕ + ψ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

. (62)

Se notează arcsin xα = . Sistemul (62) devine

( ) ( )( ) ( ) 1

⎧ϕ α + ψ −α = α⎨

′ ′ϕ α + ψ −α =⎩ . (63)

Prin integrarea ultimei ecuaţii din (63) se obţine ( ) ( )( ) ( )

.2 ,c c

⎧ϕ α + ψ −α = α⎨ϕ α − ψ −α = α + ∈⎩

Rezultă

( )( )

,c

cc

⎧ϕ α = α +∈⎨

ψ −α = −⎩. (64)

Din (61) şi (64) se deduce soluţia problemei Cauchy şi anume

( ), arcsin xu x y y= + .

10º Să se arate că soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale 2 1 1 0u u u

x y x y x x y y∂ ∂ ∂

− +∂ ∂ − ∂ − ∂

= este ( ) ( ) ( )1,u x y x yx y

= ϕ + ψ⎡ ⎤⎣ ⎦−,

( două funcţii arbitrare de două ori derivabile şi ( ) ( ),ϕ ⋅ ψ ⋅ x y≠ ).


Soluţie: Se face schimbarea de funcţie

( ) ( )1, , , ,u v u x y v x y xx y

.y= ≠−

(65)

Se rescrie ecuaţia pentru noua funcţie ( ),v ⋅ ⋅ . Rezultă

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

2

2

2

2

3 2

2

2

1 1, , ,

1 1, , ,

1 1, ,

2 1 , ,

1 1 , ,

u vx y v x y x yx x yx yu vx y v x y x yy x y yx y

u vx y v x y x yx y y x y xx y

vv x y x yyx y x y

v vx y x yx x y x yx y

∂ ∂⎧ = − +⎪ ∂ −−⎪⎪ ∂ ∂

= +⎪∂ − ∂−⎪

∂ ∂ ∂⎡ ⎤= − +⎨ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ − ∂−⎣ ⎦∂

= − − +∂− −

∂ ∂+ +

∂ − ∂ ∂−

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

,

x∂

= . (66)

Înlocuind (66) în ecuaţia din enunţ, rezultă

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2 3

2 2 3

3

1 1 1 2

1 1 1

1 0,

v v v vx y x y x yx y x y x y

v v vx yx y x y x y

vx y

∂ ∂ ∂+ − −

− ∂ ∂ ∂ ∂− − −

∂ ∂

−

− + +∂ ∂− − −

+

+ =−

adică

2

0vx y∂

=∂ ∂

. (67)

Soluţia generală pentru (67) este ( ) ( ) ( ), ,v x y x y= ϕ + ψ

cu două funcţii arbitrare de două ori derivabile, deci conform (65) ( ) ( ),ϕ ⋅ ψ ⋅

( ) ( ) ( )1,u x y x yx y

⎡ ⎤= ϕ + ψ⎣ ⎦−.


11º Să se arate că soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale 2

22 2

1 0u uxx xx y∂ ∂ ∂⎛ ⎞ − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂

se reprezintă sub forma

( ) ( ) ( )1 21, ,u x y x y x y xx⎡ ⎤= ϕ + + ϕ − ≠⎣ ⎦ 0

( , două funcţii arbitrare de două ori derivabile). ( )1ϕ ⋅ ( )2ϕ ⋅ Soluţie: Se face schimbarea de funcţie

( ) ( )1, , , ,u v u x y v x y xx

0= ≠ . (68)

Prin calcul direct se obţine

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

22

2

2

2

2 2

2 2

1 1, , ,

1, ,

u vx y v x y x yx x xx

u v v vx v x xx x x x x x x

vxx

u vx y x yxy y

∂ ∂⎧ = − +⎪ ∂ ∂⎪⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + = − + +⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∂⎪⎨ ∂⎪ =⎪ ∂⎪∂ ∂⎪ =⎪ ∂ ∂⎩

v=

. (69)

Înlocuind (69) în ecuaţia din enunţ, pentru funcţia ( ),v ⋅ ⋅ rezultă ecuaţia

2 2

2 2 0v vx y∂ ∂

− =∂ ∂

, (70)

ecuaţia undelor. Ecuaţia caracteristică pentru ecuaţia (70) este , ( ) ( )2 2d dy x− = 0

.

deci sistemul diferenţial al caracteristicilor este d d 0

,d d 0

y xy x− =⎧

⎨ + =⎩

de unde rezultă două familii de caracteristici reale 1

1 22

, ,x y c

c cx y c− =⎧

∈⎨ + =⎩


Se efectuează transformarea

:x y

Tx y

ξ = −⎧⎨η = +⎩

. (71)

Se obţine

2 2 2

2 2

2 2

2 2

.2

2

v v v v vx x xv v v v vy y y

v v v v vxx

v v v v vyy

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂⎧ = + = +⎪ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂ξ ∂η⎪∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂⎪ = + = − +⎪ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂ξ ∂η⎪

⎨ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ = + = + +⎜ ⎟∂ ∂ξ ∂η ∂ξ∂η⎪ ∂ ∂ζ⎝ ⎠⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ = − + = − +⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ξ ∂η ∂ξ∂η∂ ∂ζ⎝ ⎠⎩

2

2

2 2

2

v

v

∂η

∂η

(72)

Înlocuind (72) în (70), rezultă 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 0

v v v

v v v

∂ ∂ ∂

,

+ + −∂ζ∂η∂ζ ∂η

∂ ∂ ∂− + − =


adică

2

0v∂=

∂ζ∂η. (73)

Soluţia generală pentru (73) este ( ) ( ) ( )1 2, ,v ζ η = ψ ζ + ψ η

cu două funcţii arbitrare, de două ori derivabile, deci conform (71)

( ) ( )1 2,ψ ⋅ ψ ⋅

( ) ( ) ( )1 2,v x y x y x y= ψ − + ψ + . (74)

Din (68) şi (74) rezultă că soluţia generală a ecuaţiei din enunţ admite reprezentarea

( ) ( ) ( )1 21, ,u x y x y x yx⎡ ⎤= ϕ − + ϕ +⎣ ⎦

cu funcţii arbitrare, de două ori derivabile. ( ) ( )1 2,ϕ ⋅ ϕ ⋅



( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 214 2 1 2 0,

1

, 0 ,, 0y

u u u u uy y yx y y x yx y

u x f xu x g x

⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ − − − − = ≠ −⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ + ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠⎪⎨ =⎪⎪ ′ =⎩

1

( )f ⋅ , ( )g ⋅ funcţii de două ori respectiv o dată derivabile. Soluţie: Ecuaţia din problema Cauchy considerată este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, cvasiliniară, în funcţia necunoscută ( ),u ⋅ ⋅ în două variabile independente x şi y. Conform clasificării ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea, cvasiliniară, în două variabile, observând că ( ), 4A x y y= , ( ), 1B x y y= − , ( ),C x y = −1 , deci

( ) [ ] ( ) ( ) ( )22, , 1 4 1x y B AC x y y y yΔ = − = − + = + 2 0>

.

, deducem că ecuaţia din enunţ este de tip hiperbolic, a se vedea capitolul 1, §3. Conform capitolului 1, §2 problema Cauchy are soluţie unică, a se vedea Teorema Cauchy-Kovalevskaia.

Pentru determinarea soluţiei problemei Cauchy din enunţ vom reduce la formă canonică ecuaţia din problema Cauchy considerată. Ataşăm, în acest scop, ecuaţia diferenţială a caracteristicilor

( ) ( ) ( )2 24 d 2 1 d d d 0y y y x y x− − − =

Sistemul diferenţial al caracteristicilor este

2 d d2d d

y y xy x

=⎧⎨ = −⎩

.

Prin integrarea sistemului diferenţial al caracteristicilor rezultă două familii de caracteristici reale

21

1 22

, ,2

x y c c cx y c

⎧ − =⎪ ∈⎨+ =⎪⎩

.

Se consideră transformarea de variabile

2

:2

.x yTx y

⎧ζ = −⎪⎨η = +⎪⎩

(75)


Conform (75) rezultă

( )

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

2

2 2

2

2 2 2

2 2 2 1

2 2

u u uxu u uyy

u u u ux

u u u u uy yx y x

u u u uy y

u u u uyyy

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ζ ∂η∂ ∂ ∂

= − +∂ ∂ζ ∂η

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ζ∂η∂ ∂ζ ∂η

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= − + = − + +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ζ ∂η ∂ζ∂η∂ζ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤

2

2

22 u∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + − +⎢ ⎥∂ζ∂η ∂ζ∂η∂η ∂ζ ∂η⎣ ⎦

∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= − + = −⎢ ⎥∂ ∂ζ ∂η∂ ⎣ ⎦

∂

2 2

2

2 2

2

2 2 22

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 8 4 2

u uy y

u u uy

u u u uy y

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎡ ⎤∂ ∂⎪ − + +⎢ ⎥⎪ ∂ζ∂η∂ζ⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎪ + − + − =⎢ ⎥∂ζ∂η ∂ζ∂η⎪ ⎣ ⎦⎪

∂ ∂ ∂ ∂⎪ = − + −⎪ ∂ζ∂η ∂ζ∂ζ ∂η⎩

. (76)

Înlocuind (76) în ecuaţia din problema Cauchy considerată, rezultă

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2 22

2 2

2 2 22

2 2

4 8 4

4 1 4 1 4 1

4 8 4 2

2 2 2 2 0,1 1 1 1

u u uy y y

u u uy y y y

u u uy y

u u y uy y y y

∂ ∂ ∂+ + −


∂ ∂ ∂− − + − + − −


∂ ∂ ∂− + − +

∂ζ∂η ∂ζ∂ζ ∂η∂ ∂ ∂

− − − ++ ∂ζ + ∂η + ∂ζ + ∂η

u

u

∂−

∂=

adică

( )2

24 1 0uy ∂+ =

∂ζ∂η,

ceea ce revine la

2

0u∂=

∂ζ∂η . (77)


Soluţia generală pentru ecuaţia (77) este ( ) ( ) ( ), ,u ζ η = ϕ ζ + ψ η

care conform (75) se rescrie sub forma

( ) ( ) ( )2,u x y x y x y= ϕ − + ψ + 2 , (78)

cu , două funcţii arbitrare, de două ori derivabile. ( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅Urmând procedeul din capitolul 1, §5, 5.2, vom determina funcţiile

arbitrare , ( )ϕ ⋅ ( )ψ ⋅ impunând lui (78) condiţiile Cauchy din problema considerată. Observând că

( ) ( ) ( )2, 2 2 2u x y y x y xy∂ ′ ′= − ϕ − + ψ +∂

y ,

condiţiile Cauchy din problema considerată conduc la sistemul

( ) ( ) ( )( ) ( )

.2

x x f xx g x

⎧ϕ + ψ =⎨

′ψ =⎩ (79)

Prin integrarea celei de a doua ecuaţii, din sistemul (79) deducem

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0.1 d ,

2

x

x

x x f x

x g x

⎧ϕ + ψ =⎪⎪⎨ψ = α α ∈⎪⎪⎩

∫

Prin urmare

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

0

0

1 d ,2

.1 d ,2

x

x

f g x

g x

β

β

⎧⎪ϕ β = β − α α ∈⎪⎪⎨⎪ψ β = α α ∈⎪

⎪⎩

∫

∫ (80)


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

0 0

2

22

22

1 1, d2 2

1 d .2

x y x y

x x

x y

x y

u x y f x y g g

f x y g

− +

+

−

= − − α α + α α

= − + α α

∫ ∫

∫

d =


13º Să se aducă la forma canonică ecuaţia

( )

( )( )( )

2 2 2

2 2

3

101 21

1ln 1 , 1.1

u u u ux y ux y x x yx y

u y x xx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + −

∂ ∂ + ∂ ∂∂ ∂

+ − + = > −+

+

Soluţie: Se observă că ecuaţia din problemă este cu derivate parţiale de ordinul al doilea, cvasiliniară, în funcţia necunoscută ( ),u ⋅ ⋅ de două variabile

independente x, y. În plus ( ), 1A x y x= + , ( ), 1B x y = , ( ) 10,1

C x yx

=+

,

deci , deci ecuaţia este de tip eliptic. ( ) [ ] ( )2, ,x y B AC x yΔ = − = − 9 0< Se ataşează ecuaţiei cu derivate parţiale din enunţ ecuaţia caracteristicilor

( ) ( ) ( )2 2101 d 2d d d1

x y x y xx

+ − ++

0= ,

de unde rezultă sistemul diferenţial al caracteristicilor

( )

( )

dd 1 3i1

dd 1 3i1

xyx

xyx

⎧ = +⎪⎪ +⎨⎪ = −⎪ +⎩

.

Prin integrarea acestui sistem de ecuaţii diferenţiale rezultă două familii de caracteristici complex conjugate, şi anume

( ) ( )

( ) ( )1

1 22

ln 1 3iln 1, ,

ln 1 3iln 1y x x c

c cy x x c

⎧ − + + + =∈⎨

− + − + =⎩.

Pentru reducerea la formă canonică, a ecuaţiei din enunţ, conform capitolului 1, §3, 3.2 cazul 3 se consideră, pornind de la cele două familii de caracteristici complex conjugate, transformarea

( )

( )ln 1

:3 ln 1y x

Tx

⎧ζ = − +⎨η = +⎩

. (81)

Prin calcul direct, conform (81), rezultă

1 3

1u u u ux x x x xu u u uy y y

1u∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂⎧ = + = − +⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ + ∂ζ + ∂η⎪

⎨ ∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎪ = + =⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ⎩

(82)


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

1 131 1

1 13 31 1

6 9 1 31 1 1 1

11

u u u u ux x x x xx

u u u ux x x x

u u u ux x x x

ux y y x

⎡∂ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎛ ⎞= − + = − − +⎢⎢ ⎥⎜ ⎟∂ + ∂ζ ∂η + ∂ ∂ζ∂η ∂∂ ∂ζ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣⎤⎛ ⎞∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + − − + =⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ ∂ ∂ζ ∂η∂η ∂ζ⎝ ⎠⎥ + +⎝ ⎠ ⎦

∂ ∂ ∂ ∂− + + −

∂ζ∂η ∂ζ ∂η∂η+ + + +

∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ +

2

2u−

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

.13

1

1 3 31 1

u u u ux y y

u u u uy y x x

u u uyy

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎡⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂ζ ∂ ∂η⎪ ⎛ ⎞+ = − − +⎢⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ∂ζ ∂η + ∂ ∂ζ∂η ∂∂ζ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣⎪⎪ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂⎪ + + = − +⎥⎜ ⎟

∂ζ∂η ∂ ∂ + + ∂ζ∂η⎪ ∂η ∂ζ⎥⎝ ⎠ ⎦⎪

∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ζ∂ ∂ζ⎪ ⎝ ⎠⎩

(82)

Înlocuind (82) în ecuaţia din enunţ, rezultă

( )( )( )

2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

3

1 6 9 1 3 1 1 1 1 1

2 61 1

10 1

3 1ln 1 ,1 1 1

u u u ux x x x x

u ux x

ux

y u y u u u y xx x x

∂ ∂ ∂ ∂− + + −

+ + ∂u∂−

ζ∂η + + ∂ζ + ∂η∂ζ ∂η

∂ ∂− + +

+ + ∂ζ∂η∂ζ

∂+ −

+ ∂ζ∂ ∂ ∂

− + − + − + =+ ∂ζ + ∂η ∂ζ +

adică

( )

( )( )( )

2 2

2 2

3

19 1 1 31 1

1ln 1 .1

yu u y u ux x x

u y xx

⎛ ⎞ −∂ ∂ − ∂ ∂⎛ ⎞+ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ∂ζ⎝ ⎠∂ζ ∂η⎝ ⎠

+ − + =+

1+

+ ∂η

(83)

Din (81), prin inversarea transformării T, rezultă

/ 31 e

3

x

y

η⎧ + =⎪⎨ η

= ζ +⎪⎩

. (84)


Din (81), (83) şi (84) forma canonică a ecuaţiei din enunţ este

( )

2 2/ 3 / 3 / 3

2 2

/ 3

9e e 1 e3

3e 1 e ,3

u u u

u u

−η −η η

−η −η

⎛ ⎞∂ ∂ η ∂⎛ ⎞+ + − ζ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ζ⎝ ⎠∂ζ ∂η⎝ ⎠

η ∂⎛ ⎞− − ζ − + ζ =⎜ ⎟ ∂η⎝ ⎠

−

sau

( )

2 2 / 3

2 2

/ 3 2 / 3

3 3 3e 3 327 9

1 e e .9

u u u u

u

η

η − η

∂ ∂ − η − η − ∂ − ζ − η ∂+ + − +

∂ζ ∂∂ζ ∂η

+ ζ =

η

14º Să se determine soluţia problemei Cauchy

( )

( )

2 23

2 2

2

3 sin ,

, 0 .

, 0 ex

u u t tx x tx t

u x xu xt

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ =⎨⎪ ∂⎪ =∂⎪⎩

, 0

Soluţie: Problema considerată este un caz particular de vibraţii transversale întreţinute ale corzii. Conform capitolului 1, §5, 5.2, respectiv 5.4, Teoremele 5.2.2, respectiv 5.4.1 rezultă că problema Cauchy considerată admite soluţie unică şi aceasta este dată de formula lui d’Alembert în cazul vibraţiilor întreţinute ale corzii, (102) capitolul 1, §5, 5.2, Teorema 5.2.2, şi anume

( )

( ) ( )

3 33

03

32 2

3

1, sin d d6

1 1d 3 3 ,22 3

t tx s

tx s

x t

x t

u x t s s s

e x t x t x t

+ +

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ζ

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − ζ ζ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤+ ζ + + + − ∈⎣ ⎦

∫ ∫

∫ , 0.>

Evident problema Cauchy considerată se mai poate rezolva şi cu principiul lui Duhamel, prezentat în capitolul 1, §4. Deoarece principiul lui Duhamel va fi amplu ilustrat în aplicaţiile ce urmează nu vom dezvolta, pe acest exerciţiu, metoda de rezolvare utilizând principiul lui Duhamel.


15º i) Să se arate că soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale 2 1 1 0u u u


− +∂ ∂ − ∂ − ∂

=

este

( ) ( ) ( )1 21,u x y x y

x y⎡ ⎤= ϕ + ϕ⎣ ⎦−

,

cu , două funcţii de două ori derivabile; ( )1ϕ ⋅ ( )2ϕ ⋅ ii) Să se arate că soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale

20, , ,u n u m u n m x y


− + = ∈∂ ∂ − ∂ − ∂

≠


( )( ) ( )2

1 21 1,

n m

m nx y

u x yx yx y

+ −

− −

⎡ ⎤ϕ + ϕ∂= ⎢ ⎥−∂ ∂ ⎣ ⎦

.

Soluţia: Punctul i) este chiar exerciţiul 10º, acest capitol şi paragraf. Pentru punctul ii) să observăm că în cazul 1m n= = ecuaţia de la punctul ii) devine chiar ecuaţia de la punctul i). Deci pentru ii) în cazul

soluţia generală este dată de soluţia generală din cazul i) adică 1m n= =

( ) ( ) ( )1 21,u x y x y

x y= ϕ + ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦−

,

cu , două funcţii arbitrare de două ori derivabile. ( )1ϕ ⋅ ( )2ϕ ⋅ Să rescriem punctul i) în funcţia ( ),v ⋅ ⋅ . Conform i) ecuaţia în funcţia ( ),v ⋅ ⋅ este

2 1 1 0,v v v


− +∂ ∂ − ∂ − ∂

= (85)

cu soluţia generală

( )( ) ( )1 2,

x yv x y

x yϕ + ϕ

=−

, (86)

cu , funcţii arbitrare de două ori derivabile. Cu aceasta am verificat că dat de (86) este soluţie pentru ecuaţia de la punctul ii) în cazul

.

( )1ϕ ⋅ ( )2ϕ ⋅( ,v ⋅ ⋅ )

1m n= = Să derivăm ecuaţia (85) în raport cu x. Rezultă

( ) ( )

2

2 2

1 1

1 1 0,

v vx y x x y x x x y y x

v vx yx y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂

+ − =∂ ∂− −

v+


care conform (85) se rescrie 2 21 1 1 0,v v v

x y x x y x x x y y x x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v=

adică

2 1 2 0.v v

x y x x y x x x y y x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v= (87)

Ecuaţia (87) reprezintă ecuaţia ii) în cazul 1n = , 2m = pentru care soluţia,

conform (87), este vx∂∂

şi care conform (86) este de forma

( ) ( )1 2x xx x y⎡ ϕ + ϕ ⎤∂⎢∂ −⎣ ⎦

⎥ , adică forma soluţiei ( ),u ⋅ ⋅ cerută la ii), scrisă în cazul

, . 2m = 1n =Derivând (87) în raport cu y rezultă

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

1 2

1 2 0,

v vx y x y x y x x y x y y x y

v vx x y xx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

v−

care conform (87) devine 2 2 2 2

2

1 2

1 0,

v vx y x y x y x x y x y y x y

vx y x x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂

− =⎜ ⎟− ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

v−

adică

2 2 2 22 2 0v v

x y x y x y x x y x y y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v= . (88)

Cu (88) am arătat că 2v

x y∂∂ ∂

, cu ( ),v ⋅ ⋅ dat de (86), este soluţie pentru

ecuaţia de la punctul ii) în cazul 2m n= = . Cu aceste calcule am verificat că ii) este adevărat în cazul , 1m = 1n = ; , ; 2m = 1n = 2m = , . La fel de uşor se verifică cazul , . 2n = 1m = 2n =

Considerăm că prin aceste calcule am încheiat etapa de verificare a punctului ii) pe câteva cazuri particulare, { }, 1,m n 2∈ .

Să presupunem că ii) este adevărat pentru un m şi fixaţi. Prin urmare, presupunem că

n ∈


( )( ) ( ) ( )

2 21 2

1 1 1 1, ,n m n m

m n m nx y

u x y v x yx yx y x y

+ − + −

− − − −

⎡ ⎤ϕ + ϕ∂ ∂= =⎢ ⎥−∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

,

cu dat de (86), este soluţia generală pentru ecuaţia de la ii), adică verifică ( ,v ⋅ ⋅ )

2

0u n u m ux y x y x x y y∂ ∂ ∂

− +∂ ∂ − ∂ − ∂

= . (89)

Derivăm (89) în raport cu x şi obţinem ţinând seama de (89)

( ) ( )

2

2 2 0 ,

u n u m ux y x x y x x x y y x

n u m ux yx y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂+ −

∂ ∂− −

+

=

adică 2 21 0u n u m u u

x y x x y x x x y y x x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ,

deci

2 1 0u n u m u

x y x x y x x x y y x∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= . (90)

Ecuaţia (90) arată că ( )

(1 2

1 ,n m

m nu v x yx x y

+ + −

−∂ ∂

=∂ ∂ ∂

)

)n

satisface ecuaţia de la ii)

pentru perechea ( . Derivând (90) în raport cu y şi ţinând seama de (90) rezultă

1,m +

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

1

1 0 ,

u n u m ux y x y x y x x y x y y x y

n u m ux x y xx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ + ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

−

=

adică, conform (90), 2 2 2 2

2

1

1 0 .

u n u m ux y x y x y x x y x y y x y

ux y x y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟− ∂ ∂ ∂⎝ ⎠


Prin urmare

2 2 2 21 1 0u n u m u

x y x y x y x x y x y y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= . (91)

Cu (91) am probat, că presupunând adevărat că (89) admite soluţia

( ) (2

1 1, ,m n

m nu x y v x yx y

+ −

− −∂

=∂ ∂

) , atunci funcţia

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2 1 1 2 1 1 21 2

1 1 1 1,

m n m n

m n m nx yu v x y

x y x yx y x y

+ + + − + + + −

+ − + −

⎡ ⎤ϕ + ϕ∂ ∂ ∂= = ⎢ ⎥∂ ∂ −∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦

este soluţie pentru ecuaţia de la punctul ii) corespunzătoare perechii de indici . ( )1, 1m n+ +

Cu aceasta conform principiului inducţiei rezultă că ii) este adevărat, deci demonstrat, oricare . ,m n ∈ 16º Să se arate că soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale

20u n u m u


+ − =∂ ∂ − ∂ − ∂

,m n, ∈

se poate scrie sub forma

( ) ( )( ) ( )1 1 2,

n mm n

n mx y

u x y x yx yx y

++ + ⎡ ⎤ϕ + ϕ∂

= − ⎢ ⎥−∂ ∂ ⎣ ⎦,

cu , două funcţii arbitrare derivabile de n respectiv de m ori. ( )1ϕ ⋅ ( )2ϕ ⋅

Soluţie: Se face schimbarea de funcţie

( ) ( ) ( )1, , ,m nu v u x y x y v x y+ += − . (92)

Schimbarea de funcţie (92) este inspirată de forma soluţiei cerută de enunţul problemei.

( ,u ⋅ ⋅ )


Prin calcul direct rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

21

, 1 , ,

, 1 ,

, 1 , . (93)

1 ,

1

m n m n

m n m n

m n

m n

u vx y m n x y v x y x y x yx xu vx y m n x y v x y x y x yy y

u x y m n m n x y v x yx y

vm n x y x yy

m n x y

+ + +

+ + +

+ −

+

∂ ∂= + + − + −

∂ ∂∂ ∂

= − + + − + −∂ ∂

∂= − + + + − +

∂ ∂∂

+ + + − −∂

− + + −

,

( ) ( ) ( )2

1, ,m n m nv vx y x y xx x

+ + +

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪ ∂ ∂

+ −⎪∂ ∂⎪⎩

yy∂

Prin înlocuirea lui (93) în ecuaţia din enunţ rezultă

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

21

1 1

1

1

1

1 1

1 0 ,

m n m n m n

m n m n

m n m n

m n

v vx y m n x y n x yx y x

v m n x y m x yy

v m n m n x y n m n x y

m m n x y

+ + + +

+ +

+ − + −

+ −

∂ ∂ ⎡ ⎤− + − + + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂∂ ⎡ ⎤+ + + − − − +⎣ ⎦∂

⎡+ − + + + − + + + − −⎣⎤− + + − =⎦

+

adică

2 1 1 0.v m v n v

x y x y x x y y∂ + ∂ + ∂

− +∂ ∂ − ∂ − ∂

= (94)

Cu (94) ajungem la concluzia că funcţia necunoscută ( ),v ⋅ ⋅ satisface o ecuaţie de tipul ecuaţiei din exerciţiul 15º, ii), acest paragraf. Prin urmare

( )( ) ( )1 2, ,

n m

n mx y

v x yx yx y

+ ⎡ ⎤ϕ + ϕ∂= ⎢ ⎥−∂ ∂ ⎣ ⎦

(95)

cu , funcţii arbitrare, de n respectiv m ori derivabile. ( )1ϕ ⋅ ( )2ϕ ⋅Din (92) şi (95) rezultă demonstraţia formulei din enunţ.

17º Se dă ecuaţia cu derivate parţiale

( )2 2

2 22 2 16z z x y

x y∂ ∂

− = −∂ ∂

.

i) Să se aducă la forma canonică şi să se integreze; ii) Să se determine soluţia care satisface condiţiile


( ) ( )

( ) ( ),

,,

z x x f xz x x g x

⎧ =⎨

− =⎩

cu ( )f ⋅ , funcţii date. Caz particular ( )g ⋅ ( ) ( ) sinf x g x x= = . Soluţie: i) În cazul ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul doi, cvasiliniare în funcţia necunoscută ( ),z ⋅ ⋅ în două variabile independente, din problemă avem , ( ), 1A x y = ( ), 0B x y = , ( ),C x y = −1 , deci

( ) [ ] ( )2, ,x y B AC x yΔ = − = 1 0>

0

. Prin urmare ecuaţia este de tip hiperbolic. Este, în fapt, ecuaţia neomogenă a undelor (ecuaţia corzii vibrante). Ecuaţia din problemă este deja sub formă canonică, şi anume a doua formă canonică a ecuaţiei undelor (cazul unei variabile spaţiale). Cu schimbarea de variabile dată de familiile de caracteristici ale ecuaţiei, conform capitolului 1, §3, 3.2, ecuaţia va fi redusă la prima forma canonică a sa, după cum urmează. Ecuaţia caracteristicilor este

( ) ( )2 2d dy x− = , deci sistemul diferenţial al caracteristicilor este

d d,

d dy xy x=⎧

⎨ = −⎩

prin integrarea căruia rezultă două familii de caracteristici reale 1

1 22

, ,x y c

c cx y c− =⎧

∈⎨ + =⎩ .

Se consideră transformarea de variabile

: .x y

Tx y

ζ = +⎧⎨η = −⎩

Rezultă

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

z z zxz z zy

z z zx

z z zy

∂ ∂ ∂⎧ = +⎪ ∂ ∂ζ ∂η⎪∂ ∂ ∂⎪ = −⎪ ∂ ∂ζ ∂η⎪

⎨ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ = + +∂ζ∂η⎪ ∂ ∂ζ ∂

⎪∂ ∂ ∂ ∂⎪ = − +⎪ ∂ζ∂η∂ ∂ζ ∂⎩

2

2

2

2

z

z

η

η

.

Ecuaţia din problemă se rescrie

2

4z∂= ζη

∂ζ∂η . (96)


Din (96) rezultă

4z∂ ∂⎛ ⎞ = ζη⎜ ⎟∂ζ ∂η⎝ ⎠,

deci

( ) (21, 2z∂ )ζ η = ζ η + ϕ η

∂η,

cu o funcţie arbitrară derivabilă în variabila ( )1ϕ ⋅ η, adică ( ) ( ) ( )2 2

1 2,z ζ η = ζ η + Φ ζ + Φ η , deci

(97) ( ) ( ) ( ) (22 2

1 2, ,z x y x y x y x y= − + Φ + + Φ − )cu , două funcţii arbitrare, de două ori derivabile în variabilele ( )1Φ ⋅ ( )2Φ ⋅ ζ , respectiv η . Cu (97) s-a obţinut soluţia generală a ecuaţiei neomogene a undelor, din problemă. ii) Se impun condiţiile suplimentare funcţiei (97), condiţii pe caracteristici. Se obţine sistemul

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2

1 2

2 0.

0 2x f x

x g x⎧Φ + Φ =⎨Φ + Φ =⎩

(98)

Din sistemul (98) rezultă

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

2 1

0 0 0

02

02

f g

f

g

⎧Φ + Φ = =⎪

α⎛ ⎞⎪⎪Φ α = − Φ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪ β⎛ ⎞⎪Φ β = − Φ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

0

. (99)


( ) ( ) ( )22 2, 0

2 2x y x yz x y x y f g f+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

În cazul particular ( ) ( ) sinf x g x x= = soluţia problemei este

( ) ( )22 2, sin s2 2

in ,x y xz x y x y y+ −= − + +

adică

( ) ( )22 2, 2 sin2 2

cos .x yz x y x y= − +


18º Folosind metoda separării variabilelor să se determine soluţia ( ),u ⋅ ⋅ a ecuaţiei

2

2 2u u tut

∂ ∂= +

∂∂θ

care satisface condiţiile ( ) (( ) ( )

2 , ,,

, 0u t uu f

⎧ θ + π = θ⎨

θ = θ⎩

)t

( )f ⋅ fiind o funcţie periodică dată, de perioadă 2π , care satisface condiţiile lui Dirichlet pe orice interval I ⊂ de lungime 2π .

Caz particular ( ) 1, 00, 2

f< θ < π⎧

θ = ⎨ π < θ < π⎩.

Soluţie: Pentru rezolvarea problemei din enunţ se aplică metoda Bernoulli-Fourier, sau a separării variabilelor prezentată în capitolul 1, §4. Se caută deci soluţii de forma ( ) ( ) ( ),u t T tθ = Θ θ ≡ 0 (100)

Înlocuind (100) în ecuaţia din problemă şi separând variabilele, rezultă că există astfel încât λ ∈

( )( )

( )( )

2 ,T t tT t

′′ ′Θ θ= + = λ λ ∈

Θ θ.

Se obţine astfel, conform problemei considerate,

( ) ( )( ) (

0,

2

′′⎧Θ θ − λΘ θ =⎨Θ θ + π = Θ θ⎩ )

(101)

şi ( ) ( ) ( )2 0T t t T t′ + − λ = . (102)

Ne ocupăm de problema (101), făcând o discuţie după parametrul real λ . I. 0λ >Ecuaţia caracteristică corespunzătoare ecuaţiei diferenţiale din problema

(101) este 2 0r − λ = ,

deci 1r = λ , 2r = − λ şi prin urmare soluţia generală este

( ) 1 2 ,c e c e− λθλθΘ θ = + 1 2,c c ∈ , funcţie care nu este periodică. Cu aceasta cazul 0λ > nu se acceptă. II. 0λ = În acest caz soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale din problema (101) este

( ) 1 2 ,c cΘ θ = θ + 1 2,c c ∈ ,


care este periodică dacă şi numai dacă 1 0c = . Se deduce astfel ( )0 0cθ θ = , o constantă arbitrară. 0c ∈

Ecuaţia (102) scrisă pentru conduce la 0λ = ( )2

0 0 0,tT t k e k−= ∈ . III. 0λ <Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale din problema (101) este

2 0r − λ = , deci 1,2 ir = ± −λ , prin urmare

( ) 1 2cos sinc cΘ θ = −λ θ + −λ θ , 1 2,c c ∈ . Condiţia de periodicitate, din problema (101), impusă funcţiei ( )Θ ⋅

conduce la ( ) ( )1 2 1 2cos 2 sin 2 cos sin ,c c c c−λ θ + π + −λ θ + π = −λ θ + −λ θ

ceea ce revine la

( )( )

1 2

2 1

cos 2 1 sin 2 cos

cos 2 1 sin 2 sin 0.

c c

c c

⎡ ⎤π −λ − + π −λ −λ θ +⎣ ⎦⎡ ⎤+ π −λ − − π −λ −λ θ⎣ ⎦ =

(103)

Sistemul de funcţii { }sin , cos−λ θ −λ θ este independent funcţional, deci (103) are loc dacă şi numai dacă

( )

( )1 2

1 2

cos 2 1 sin 2 0.

sin 2 cos 2 1 0

c c

c c

⎧ π −λ − + π −λ =⎪⎨− π −λ + π −λ − =⎪⎩

(104)

Sistemul (104) este un sistem liniar, omogen în necunoscutele şi . Deci el admite soluţia banală . Rezultă astfel

1c 2c

1 2 0c c= = ( ) 0Θ θ ≡ , ceea ce nu convine pentru că ar rezulta ( ), 0u tθ ≡ .

Prin urmare, trebuie determinat astfel încât sistemul omogen (104) să admită şi alte soluţii în afară de cea banală. În mod necesar, pentru aceasta, se impune condiţia ca

∗−λ ∈

cos 2 1 sin 2

0.sin 2 cos 2 1

π −λ − π −λΔ = =

− π −λ π −λ − (105)

Din (105) se deduce condiţia ( )2 1 cos 2 0,− π −λ =

de unde rezultă

2 ,k k .∗λ = − ∈

( ) 1 2cos sin , .k k kc k c k k ∗Θ θ = θ + θ ∈ (106)


Pentru ecuaţia (102) devine 2 ,k k ∗λ = − ∈( )( )

( )22T t t kT t′

= − + ,

ecuaţie cu variabile separabile, de unde

(107) ( )2 2

e ,k t tk k kT t c c− −= .∈

Conform II şi III s-a obţinut şirul de soluţii

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, cos sin e k t t

k k k k ku t T t A k B k k− +θ = Θ θ = θ + θ ∈, . Şirului de funcţii ( ){ },k ku ∈⋅ ⋅ îi asociem seria de funcţii, în mod formal,

(108) ( ) (2 2

0

, e cos sin et kk k

ku t A k B k

∞− −

=

θ = θ + θ∑ ) .t

Dacă seria de funcţii (108) converge uniform şi dacă şi seriile derivatelor, inclusiv de ordinul al doilea în θ , respectiv de ordinul întâi în t, sunt uniform convergente, atunci funcţia definită de (108) satisface ecuaţia şi condiţia de periodicitate în θ cu perioada 2π . Şirurile de constante { }k kA ∈ , { }k kB ∈ se determină din cererea ca (108) să satisfacă şi condiţia Cauchy (în 0t = ). Rezultă

( ( )0

cos sin .k kk

A k B k f∞

=

)θ + θ =∑ θ (109)

Condiţia (109) este posibilă dacă ( )f ⋅ este dezvoltabilă în serie Fourier trigonometrică, ceea ce în condiţiile impuse prin problemă funcţiei ( )f ⋅ are loc. Rezultă

( )

( )

( )

2

00

2

02

0

1 d2

1 cos d , .

1 sin d ,

k

k

A f

A f k k

B f k k

π

π∗

π∗

⎧⎪ = θ θ

π⎪⎪⎪⎪ = θ θ θ ∈⎨ π⎪⎪⎪ = θ θ θ ∈⎪ π⎪⎩

∫

∫

∫

(110)

În cazul particular ( ) 1, 0,

0, 2f

< θ < π⎧θ = ⎨ π < θ < π⎩

se prelungeşte ( )f ⋅ la

prin periodicizare cu perioada 2π şi conform (110) rezultă


( )0

1 2, 0, ,2 2 1k kA A B k

k∗= = = ∈

π −. (111)

Pentru { }k kA ∈ , { }k kB ∗∈ daţi de (110), conform proprietăţilor şirurilor de coeficienţi Fourier, seria din (108) este uniform convergentă împreună cu seriile derivatelor de două ori în θ şi o dată în t. Cu aceasta funcţia ( ),u ⋅ ⋅ definită de (108) este soluţia problemei din enunţul exerciţiului. În cazul particular considerat, conform (108) şi (111), rezultă

( ) ( ) ( )22 2 1

1

1 2 sin 2 1, e e2 2

t k t

k

ku tk

∞− − −

=

.1− θ

θ = +π −∑

19º Să se determine soluţia problemei

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

22

2 0, , 0, ,

, , ,, ,

, 0x x

u ua cu x t ctx

u t u tu t u tu x f x

⎧ ∂ ∂− − = − π < < π ∈ ∞ ∈⎪ ∂∂⎪⎪ −π = π⎨

⎪ ′ ′−π = π⎪⎪ =⎩

unde ( )f ⋅ este o funcţie periodică de perioadă 2π şi satisface condiţiile lui Dirichlet pe ( ),−π π . Soluţie: Se face schimbarea de funcţie

( ) ( ), , e ,ctu v u x t v x t .−= (112)

Se deduce

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

, e ,

, e ,

, e , e ,

ct

ct

ct ct

u vx t x tx xu vx t x t

x xu v

.

x t c v x t x tt t

−

−

− −

∂ ∂⎧ =⎪ ∂ ∂⎪⎪ ∂ ∂

=⎨∂ ∂⎪

⎪ ∂ ∂= − +⎪ ∂ ∂⎩

(113)

( ) ( )( ) (

, ,.

, ,x x

v t v tv t v

⎧ −π = π⎨ ′ ′−π = π⎩ )t

(114)

( ) ( ), 0v x f x= . (115)


Cu (113), (114) şi (115) problema din enunţ se transformă în problema, pentru noua funcţie ( ),v ⋅ ⋅ ,

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

22

2 0, , 0,

, , ,, ,

, 0x x

v va xtx

v t v tv t v tv x f x

⎧ ∂ ∂− = − π < < π ∈ ∞⎪ ∂∂⎪⎪ −π = π⎨

⎪ ′ ′−π = π⎪⎪ =⎩

t

(116)

cu ( )f ⋅ funcţie periodică cu perioada 2π şi care satisface condiţiile lui Dirichlet pe . ( ),−π π

Pentru problema (116) aplicăm metoda separării variabilelor. Căutăm deci soluţii de forma

( ) ( ) ( ), 0v x t X x T t= ≡ .

Înlocuind în ecuaţia din (116) şi separând variabilele, rezultă 2 ,X Ta

X T′′ ′=

posibil dacă şi numai dacă există λ ∈ , astfel încât

2 .X TaX T′′ ′= = λ (117)

Din (117) şi din condiţiile de periodicitate impuse funcţiilor ( ),v t⋅ şi ( ),xv t′ ⋅ se obţin problemele

(118)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 0,

a X x X xX XX X

⎧ ′′ − λ =⎪

−π = π⎨⎪ ′ ′−π = π⎩

şi

( ) ( ) 0.T t T t′ − λ = (119) De observat că din condiţia Cauchy

( ) ( ), 0v x f x= , adică

( ) ( ) ( )0X x T f x= nu obţinem nici o informaţie privind funcţiile necunoscute ( ) ( ),X T⋅ ⋅ eventual ( )0T . Ne ocupăm de problema (118) făcând o discuţie după parametrul real λ .


I. 0λ >Rezultă ( ) 1 2 2 2e e , ,xxX x c c c c− λλ= + ∈ , care nu este funcţie periodică deci cazul I este imposibil. II. 0λ =Rezultă

( ) 1 2 1 2, ,X x c x c c c= + ∈ . Din condiţiile

( ) ( )( ) (

X XX X

⎧ −π = π⎨

′ ′−π = π⎩ )

rezultă , deci 1 0c =

( )0 ,X x c c= ∈ . (120)

În mod corespunzător, ecuaţia (119) conduce la ( ) 0,T t′ =

deci ( )0 ,T t c c= ∈ . (121)

III. 0λ <Soluţia generală a ecuaţiei din problema (118) este

( ) cos sinx xX xa a

= α −λ + β −λ .

Condiţiile din problema (118) conduc la

cos sin cos sin

sin cos ,

= sin cos

a a a a

a a a a

a a a a

π π π π⎧α −λ − β −λ = α −λ + β⎪⎪⎪α −λ π β −λ π

−λ + −λ =⎨⎪⎪ α −λ π β −λ π

− −λ + −λ⎪⎩

−λ

(122)

adică

2 sin 0.

2 sin

a

a a

π⎧ β −λ =⎪⎪⎨

−λ π⎪ α −λ⎪⎩0=


Dacă sin 0aπ

−λ ≠ , atunci 0α = β = , deci ( ) 0X x ≡ , ceea ce nu

convine, deci impunem condiţia

sin 0.aπ

−λ = (123)

Rezultă

,k ka

∗π−λ = π ∈

adică

2 2 ,a k k ∗λ = − ∈ . (124)

Pentru , rezultă 2 2 ,a k k ∗λ = − ∈

( ) cos sin ,k k kX x kx kx k ∗= α + β ∈ , ,k kα β ∈ . (125)

În mod corespunzător, ecuaţia (119) devine ( ) ( )2 2 0,T t k a T t′ + =

de unde deducem

( )2 2

e ,k a tk kT t k− ∗= γ ∈ , . (126) kγ ∈

Din (120), (121), (125), (126) găsim şirul de soluţii particulare ( ) ( ) ( ) ( )

2 2, cos sin e a k t

k k k k kv x t X x T t A k x B k x k− ∗= = + , .∈

)

Propunem, în mod formal,

(127)

( ) ( )

(2 2

0

0

, ,

cos sin e .

kk

a k tk k

k

v x t u x t

A k x B k x

∞

=∞

−

=

= =

= +

∑

∑Dacă funcţia (127) există şi admite derivate de ordinul doi în x, respectiv

de ordinul întâi în t, atunci, conform modului cum a fost dedusă, ea satisface problema (116) mai puţin condiţia Cauchy cu data ( )f ⋅ .

Vom determina şirurile de constante { }k kA ∈ şi { }k kB ∗∈ din cererea ca (127) să satisfacă şi condiţia Cauchy din problema (116). Rezultă

( ) ( )0

cos sin ,k kk

A k x B k x f x∞

=

+ =∑ (128)


ceea ce ar reprezenta dezvoltarea în serie Fourier trigonometrică a funcţiei ( )f ⋅ .

În condiţiile impuse funcţiei ( )f ⋅ dezvoltarea (128) are loc în orice x ∈ , punct de continuitate pentru ( )f ⋅ şi

( )

( )

( )

2

00

2

02

0

1 d2

1 cos d , .

1 sin d ,

k

k

A f x x

A f x k x x k

B f x k x x k

π

π∗

π∗

⎧⎪ =

π⎪⎪⎪⎪ =⎨ π⎪⎪⎪ = ∈⎪ π⎪⎩

∫

∫

∫

∈ (129)

De observat că deoarece 2T = π , pulsaţia 2 1Tπ

ω = = . Cu (129),

coeficienţi Fourier, şirurile { }k kA ∈ , { }k kB ∗∈ sunt complet, unic, determinaţi de data Cauchy ( )f ⋅ , iar seria (127) corespunzătoare lui (129), este uniform convergentă împreună cu derivatele sale de ordinul doi în x şi de ordinul întâi în t , prin urmare funcţia ( ),v ⋅ ⋅ dată de (127) este bine definită şi este soluţie pentru problema (116).

Cu (127) şi schimbarea de funcţie efectuată se obţine soluţia problemei din enunţ.

20º Să se rezolve problema mixtă

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

22

2

0

, , 0, 0,

0, 0c.l. , 0

, 0

c.c. , 0 , 0,t

u u uu a t xt x xu t

tu t

u f x x f satisface condiţiile Dirichlet pe =

⎧ ∂ ∂ ∂+ = ∈ ∞ ×⎪ ∂ ∂ ∂⎪

⎪ ⎧ =⎨ >⎨⎪ =⎩⎪⎪ = ≤ ≤ ⋅⎩

.

Soluţie: Ecuaţia cu derivate parţiale din problemă este cvasiliniară, dar

conţine termenul neliniar uux∂∂

. Se face schimbarea de funcţie

( ) 2, , 2

vxu v u x t av

∂∂= − . (130)


Pentru noua funcţie ( ),v ⋅ ⋅ rezultă problema mixtă

( )

( )

( )( )

( )20

22

2

1 ,0 d2

0 0

0, 0c.l.

, 0

c.c. , 0 e , 0

xu x x

a

v vat xv txv tx

v x c v x x− ∫

⎧ ∂ ∂=⎪ ∂ ∂⎪

⎪ ∂⎧ =⎪ ⎪⎪⎪ ∂⎨⎨ ∂⎪⎪ =⎪⎪ ∂⎩

⎪⎪⎪ = =⎩ < <

. (131)

În stabilirea problemei (131) s-a ţinut seama că din (130) rezultă

( ) ( )( )

20

1 , d2, e

xu x t x

av x t c t− ∫

= . (132) (Printr-un calcul de derivate se arată că dacă ( ),v ⋅ ⋅ este soluţie a ecuaţiei din problema (131), atunci dat de (130) este soluţie pentru ecuaţia din problema mixtă din enunţ. În calculul corespunzător se consideră că

( ,u ⋅ ⋅ )( ),v ⋅ ⋅

satisface ecuaţia din (131); atunci are loc şi relaţia 2

22

vvt xa

v v

∂∂∂ ∂= .

Această relaţie se derivează în raport cu x şi rezultatul obţinut intervine în verificarea faptului că (130) satisface ecuaţia din problema mixtă considerată.)

Pentru problema (131) se aplică metoda separării variabilelor. Prin urmare căutăm soluţii de forma

( ) ( ) ( ), 0v x t X x T t= ≠ . Înlocuind în ecuaţia din problema (131) şi separând variabilele, rezultă că separarea variabilelor are loc dacă şi numai dacă există λ ∈ astfel încât

( )( )

( )( )2


= = λ . (133)


( ) ( )( )( )

00 0

0

X x X xXX l

′′⎧ − λ⎪ ′ =⎨⎪ ′ =⎩

=

(134)

şi

( ) ( )2 0T t a T t′ − λ = . (135)


Ne ocupăm de problema bilocală (134) făcând o discuţie după parametrul real . λ

I. 0λ >Rezultă că ecuaţia caracteristică 2 0r − λ = are rădăcini reale distincte

± λ , deci ( ) 1 2e ex xX x c cλ − λ= + , 1 2,c c ∈ .

Să observăm că ( ) 1 2e ex xX x c cλ − λ′ = λ − λ .

Condiţiile bilocale conduc la sistemul algebric liniar şi omogen în şi 1c 2c

1 2

1 2

0

e e

c c

c cλ − λ

− =⎧⎪⎨

λ − λ =⎪⎩ 0

din care rezultă 1 2 0c c= = , deci ( ) 0X x ≡ , ceea ce este imposibil. II. 0λ = În acest caz

( ) 1 2X x c x= + c , 1 2,c c ∈ . Din condiţiile bilocale rezultă 1 0c = , deci rămâne

( )0 2 2,X x c c= ∈ . (136)

În mod corespunzător ecuaţia (135) conduce la ( )0 3 3,T t c c= ∈ . (137)

III. 0λ <În acest caz ecuaţia caracteristică pentru ecuaţia din (134) are rădăcini

complex conjugate i± −λ , deci soluţia generală pentru ecuaţia din problema bilocală (134) este

( ) 1 2cos sinX x k x k x= −λ + − 1 2,k kλ , ∈ . (138)

Impunând lui (138) condiţiile bilocale, rezultă

2

1 2

0

sin cos 0

k

k k

⎧ −λ =⎪⎨− −λ −λ + −λ −λ =⎪⎩

.

Rezultă

2

1

0.

sin 0

k

k

=⎧⎪⎨

−λ −λ =⎪⎩ (139)

Cum nu se poate accepta pentru că ar rezulta 1 0k = ( ) 0X x ≡ , în mod necesar se impune condiţia

sin 0−λ = .


Rezultă

,l k k ∗−λ = π ∈ ,

deci

2 2

2 ,k k ∗πλ = − ∈ . (140)

Obţinem, pentru dat de (140), λ

( ) cos , , .k k kkX x a x a k ∗π

= ∈ ∈ (141)

Ecuaţia (135) scrisă pentru λ dat de (140) conduce la

( )

2

, ,ak t

k k kT t e kπ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ∗⎝ ⎠= α α ∈ ∈ . (142)

Din (136), (137), (141) şi (142) rezultă

( ) ( ) ( )

2

, cos e ,an t

n n n n nnv x t X x T t A x A n

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠π

= = ∈ , .∈ (143)

Ataşăm mulţimii de soluţii, de formă particulară, (143) funcţia

( )2

0

, cos ean t

nn

nv x t A xπ⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

π= ∑ , (144)

dacă această funcţie există. Impunem funcţiei (144) condiţia Cauchy din problema mixtă (131). Rezultă

( ) ( )00

cos , 0, .nn

nA x v x x∞

=

π= ∈∑ (145)

Relaţia (145) este posibilă numai dacă ( )0v ⋅ admite dezvoltare Fourier trigonometrică. Deoarece funcţia ( )f ⋅ satisfăcea condiţiile lui Dirichlet pe ( )0, , rezultă că funcţia , a se vedea (131), satisface condiţiile Dirichlet pe (

( )0v ⋅)0, . Se prelungeşte funcţia ( )0v ⋅ la ( )0v ⋅ pe ( ),− prin paritate şi apoi

funcţia ( )0v ⋅ se prelungeşte la ( )0v ⋅ pe prin periodicizare cu perioada 2 , astfel încât ( )

( )0 0, ˆv v−⋅ = şi ( )0 0,v 0v= . Funcţia ( )0v ⋅ admite dezvoltare

Fourier de cosinusuri şi rezultă că (145) are loc pentru


( )

( )

0 00

00

1 d

.2 cos d ,n

A v x x

nA v x x x n ∗

⎧⎪ =⎪⎪⎨⎪ π

= ∈⎪⎪⎩

∫

∫ (146)

Pentru { }n nA ∈ dat de (146), din proprietăţile coeficienţilor Fourier, rezultă că seria din (144) este convergentă uniform împreună cu derivatele sale de ordinul doi inclusiv în x şi de ordinul întâi în t.

Din (144) şi (130) rezultă soluţia problemei mixte considerate.

21º Să se determine funcţia ( ),u ⋅ ⋅ soluţie a problemei

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

22

21 , , 0,

, 2 , ,

0,

u u u x tx xt

u x t u x t t

u t f t

⎧ ∂ ∂= + λ ∈ +∞ ×⎪ ∂∂⎪

⎨ + π = ∀ ∈⎪⎪ =⎩

,

unde ( )f ⋅ este o funcţie periodică de perioadă 2π , care satisface condiţiile Dirichlet pe orice interval de lungime 2π . Caz particular

( )2 2

1 , 0, 0,2 cos

.f t aa ab t b

b a b= > > ≠− +

Soluţie: Se va rezolva problema considerată prin metoda separării variabilelor. Propunem deci o soluţie de forma

( ) ( ) ( ), 0u x t X x T t= ≡ . Înlocuind în ecuaţie şi separând variabilele, rezultă

( )( )

( )( )

21 ,T t X xT t x X x′′ ′

= + λ

ceea ce este posibil dacă şi numai dacă există α ∈ astfel încât ( )( )

( )( )

21 .T t X xT t x X x′′ ′

= + λ = α

Din condiţia de periodicitate, în raport cu variabila t, a funcţiei ( ),u ⋅ ⋅ rezultă

( ) ( ) ( )2 ,T t T t t+ π = ∀ ∈ . De observat că din condiţia în 0x = din problemă

( ) ( ) ( )0X T t f t= , nu se poate obţine încă nici o informaţie. Avem, până în prezent, de rezolvat problemele de ecuaţii diferenţiale


(147) ( ) ( ) ( )0

2 ,T TT t T t t′′ − α =⎧

⎨ + π = ∀ ∈⎩

şi

( )2 0.X x′ X+ λ − α = (148) Urmează o discuţie după parametrul real α . Începem cu problema (148)

având informaţii mai multe despre funcţia necunoscută ( )T ⋅ . I. 0α >

Rezultă ( ) 1 2e et tT t c cα − α= + . Deoarece ( )T ⋅ nu este funcţie periodică, cazul nu se acceptă. 0α >

II. 0α =Rezultă ( ) 1T t c t c= + 2 . Condiţia de periodicitate conduce la

( )1 2 12c t c c t c+ π + = + 2 , de unde rezultă 1 0c = , deci

( )0 0 0,T t c c= ∈ . (149)

În mod corespunzător ecuaţia (148) devine 2 0X xX′ + λ =

de unde rezultă

( )2 2

20 0 0e ,

x

X x c cλ

−= ∈ . (150)

III. 0α <Pentru (147) soluţia generală este ( ) 1 2 1cos sin , ,T t c t c t c c= −α + −α 2 ∈ .

Din condiţia de periodicitate se deduce ( ) ( )1 2 1 2cos 2 sin 2 cos sin ,c t c t c t c−α + π + −α + π = −α + −α t

adică ( )( )

1 2 1

1 2 2

cos 2 sin 2 cos

sin 2 cos 2 sin 0,

c c c t

c c c t

−α π + −α π − −α +

+ − π −α + π −α − −α =

deci, deoarece funcţiile sin , cost t−α −α sunt independente funcţional,

( )

( )1 2

1 2

cos 2 1 sin 2 0.

sin 2 cos 2 1 0

c c

c c

⎧ π −α − + π −α =⎪⎨− π −α + π −α − =⎪⎩

(151)

S-a obţinut un sistem liniar, algebric, în şi , omogen, care admite soluţia . Deoarece ar rezulta

1c 2c

1 2 0c c= = ( ) 0T t ≡ impunem sistemului liniar


omogen să admită şi alte soluţii în afară de soluţia banală. Aceasta revine la o condiţie pentru α , în afară de 0α < , şi anume

cos 2 1 sin 20.

sin 2 cos 2 1

π −α − π −α =

− π −α π −α −Rezultă

( )2 cos 2 1 0,π −α − = adică

cos 2 1π −α = , deci

2 2 ,k k ∗π −α = π ∈ , prin urmare

2 , .k k ∗α = − ∈ Pentru rezultă 2kα = −

( ) 1 2cos sin , ,k k kT t c k t c k t k ∗= + ∈ (152)

cu , constante arbitrare. 1 2,k kc c ∈

Ecuaţia (148), pentru 2 ,k k ∗α = − ∈ , devine ( )2 2 0X k xX′ + λ + = ,

de unde rezultă

( )( )2 2 2

2e , ,k x

k kX x c k cλ +

− ∗= ∈ ∈ . (153)

Din (149), (150), (152) şi (153) deducem familia de soluţii de forma particulară propusă

( )( )

[ ]2 2 2

2, e cos sin , .k x

k k ku x t A kt B kt kλ +

− ∗= + ∈ Ataşăm acestei familii de soluţii, periodice în raport cu variabila t, cu perioada , funcţia 2π

( ) [ ]2 2 2 2

2 2

0

, e e cos sinx k x

k kk

u x t A kt B ktλ ∞− −

=

= +∑ . (154)

Dacă funcţia (154) există, adică seria de funcţii din (154) este uniform convergentă şi dacă în plus admite şi derivate parţiale de ordinul al doilea în variabila t, respectiv de ordinul întâi în variabila x, atunci funcţia (154) satisface ecuaţia din problema considerată şi este şi funcţie periodică, cu perioada , în variabila t. Şirurile de constante 2π { }k kA ∈ , { }k kB ∈ urmează


a fi determinate impunând funcţiei (154) să satisfacă şi condiţia în 0x = din problema considerată, cu ( )f ⋅ dat. Rezultă

[ ( )0

cos sin .k kk

]A kt B kt f t∞

=

+ =∑ (155)

Condiţia (155) este posibilă dacă şi numai dacă ( )f ⋅ admite dezvoltare Fourier - trigonometrică. În condiţiile impuse funcţiei ( )f ⋅ prin problema considerată, funcţia ( )f ⋅ admite dezvoltare Fourier - trigonometrică şi prin urmare, din (155), adevărată în orice t ∈ , punct de continuitate pentru ( )f ⋅ , rezultă

( )

( )

( )

2

00

2

02

0

1 d ,2

1 cos d ,

1 sin d ,

k

k

A f t t

A f t kt t k

B f t kt t k

π

π∗

π∗

⎧⎪ =

π⎪⎪⎪⎪ =⎨ π⎪⎪⎪ = ∈⎪ π⎪⎩

∫

∫

∫

∈ . (156)

Pentru { }k kA ∈ , { }k kB ∗∈ seria (154) este uniform convergentă şi în plus admite derivate de ordinul întâi în raport cu x, respectiv de ordinul al doilea în raport t, toate seriile rezultate prin derivare termen cu termen fiind uniform convergente. Astfel (154) şi (156) determină în mod unic soluţia problemei din enunţ.

Pentru cazul particular considerat, calculul de coeficienţi Fourier (156) se poate face cu metoda reziduurilor. Astfel cu schimbarea de variabilă ,

rezultă t z→

ie tz =

( )

( )

( )

2

0 2 2 2 2 20 1

2 2 2

2 2 2

1 1 1 dd2 2 i2 cos

1Rez ; ,

1Rez ; ,

z

zA ta ab t b abz z a b ab

a a bbabz z a b abb b aaabz z a b ab

π

=

= =π π− + − + + −

⎧ ⎛ ⎞ <⎪ ⎜ ⎟− + + −⎪ ⎝ ⎠= =⎨⎛ ⎞⎪ <⎜ ⎟⎪ − + + −⎝ ⎠⎩

∫ ∫ =


2 2

2 2

1 ,.

1 ,

a bb a

a ba b

⎧ <⎪⎪ −= ⎨⎪ >⎪ −⎩

(157)

Pentru calculul coeficienţilor , ,k kA B k ∗∈ se consideră în ansamblu

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 20

2 2 21

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 cos isini d2 cos

1 di 1

2Rez ; ,1

2Rez ; ,1

2 ,, .

2 ,

k k

k

z

k

k

k

k

kt ktA B ta ab t b

z za b z ab z

z a a bba b z ab z

z b a baa b z ab z

a a bbb a kb a baa b

π

=

∗

++ = =

π − +

= =π + − +

⎧ ⎛ ⎞<⎪ ⎜ ⎟

+ − +⎪ ⎝ ⎠= =⎨⎛ ⎞⎪ >⎜ ⎟⎪ + − +⎝ ⎠⎩

⎧ ⎛ ⎞ <⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ −= ∈⎨

⎪ ⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠−⎩

∫

∫

Rezultă

2 22 , ,

0 ,

k

k

k

aA a b kbb aB a b

∗⎧ ⎛ ⎞= <⎪ ⎜ ⎟ ∈⎨ ⎝ ⎠−⎪ = <⎩

(158)

şi

2 22 , ,

0 ,

k

k

k

bA a b kaa bB a b

.∗⎧ ⎛ ⎞= >⎪ ⎜ ⎟ ∈⎨ ⎝ ⎠−⎪ = >⎩

(159)

Din (154), (157), (158), respectiv din (154), (157), (159) rezultă că dacă

( )2 2 2 2

2 22 2

1

,

2 1, e . e cos2

x kk

k

a b

au x t ktbb a

λ ∞− −

=

<

x⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠− ⎣ ⎦

∑


şi, respectiv, dacă

( )2 2 2 2

2 22 2

1

,

2 1, e . e cos2

x kk

k

a b

bu x t ktaa b

λ ∞− −

=

>

x⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠− ⎣ ⎦

∑ .

22º Să se integreze problema la limită

( )( )( )

2

22 , 0 , 0

, 0c.l. .

, 0

c.c. , 0 sin cos

u u u x tt x xx

u x t funcţie mărginită când xu l t

u x x x

+

⎧ ∂ ∂ ∂= + < < >⎪ ∂ ∂∂⎪

⎪ ⎧ →⎨⎨⎪ =⎩⎪

⎪ = +⎩

Concursul Traian Lalescu 1979, faza na ţ ională (prof i lu l e lectr ic )

Soluţie: În rezolvarea problemei se aplică metoda separării variabilelor. Se caută, prin urmare, soluţii de formă particulară ( ) ( ) ( ),u x t X x T t 0= ≡ . (160)

Înlocuind (160) în ecuaţia din problema la limită considerată şi din condiţiile la limită impuse, rezultă

( )( )

( )( )

( )( )

2 ,T t X x X xT t X x x X x′ ′′ ′

= +


( ) ( ) ( )

( )( )

2 0

mărginită când 0 ,0

X x X x X xx

X x xX

+

⎧ ′′ ′+ − λ =⎪⎪⎨ →⎪⎪ =⎩

(161)

şi

( )( )

T tT t′

= λ . (162)

Condiţia Cauchy din problema considerată conduce la ( ) ( )0 sin cosX x T x x= + ;

din această condiţie nu rezultă nici o informaţie relativ la ( )0T sau . ( )X x Urmează o discuţie după λ ∈ , ocupându-ne în primul rând de problema (161) care conţine mai multe informaţii, condiţii despre funcţia necunoscută . ( )X ⋅


I. 0λ > În ecuaţia diferenţială din (161) se face schimbarea de funcţie ,

. Pentru noua funcţie necunoscută X v→

( ) ( )v x xX x= ( )v ⋅ se obţine ecuaţia diferenţială

( ) ( ) 0v x v x′′ − λ = , (163)

de unde rezultă ( ) 1 2e ex xv x c cλ − λ= + , deci, conform schimbării de funcţie,

( ) 1 2e ex x

X x c cx x

λ − λ= + , 1 2,c c ∈ .

Această funcţie nu verifică condiţiile bilocale din problema (161). Într-adevăr, din condiţia în x = se obţine

( )1 11 e ec cλ − λ+ = 0 ,

adică 22 1 ec c λ= − . Prin urmare

( )( )2

1e ex x

X x cx

λ − λ−= .

Dar, ( )

00

limxx

X x→>

există dacă şi numai dacă ( )( )210

0

lim e e 0x xxx

c λ − λ

→>

− = ,

adică ( )21 1 ec λ− 0= , de unde sau 1 0c = sau 0= ; ambele condiţii

sunt imposibile pentru că ar rezulta ( ) 0X x ≡ , iar . Prin urmare cazul nu este posibil.

0>0λ >II. 0λ =

Din (163) rezultă ( ) 1 2v x c c x= + , deci ( ) 12

cX x cx

= + , 1 2,c c ∈ .

Condiţiile bilocale din problema (161) conduc la 1 2 0c c= = deci ( ) 0X x ≡ , prin urmare nici cazul nu este posibil. 0λ =

III. 20, , ∗λ < λ = −α α ∈ Din (163) se obţine

( ) 1 2cos sinv x c x c x= α + α , deci

( ) 1 2 1 2cos sin , ,x xX x c c c c

x xα α

= + ∈ .

Din condiţia de mărginire în 0+ pentru ( )X ⋅ rezultă , prin urmare 1 0c =

( ) 2sin xX x c

xα

= . Condiţia bilocală în x = conduce la 2sin 0c α

= .


Cum ( în caz contrar ar rezulta 2 0c ≠ ( ) 0X x ≡ , ceea ce nu este posibil) impunem lui condiţia sin∗α ∈ 0α = . Rezultă

,k k ∗πα = ∈ .

Prin urmare 2 2

2 ,k k ∗πλ = − ∈ .

Cu aceasta obţinem

( ) 2 2

sin, ,k k k

k xX x c c k .

x∗

π

= ∈ ∈ (164)

Pentru 2 2

2 ,k k ∗πλ = − ∈ ecuaţia (162) devine

( )( )

2 2

2 ,T t k kT t

∗′ π= − ∈

de unde rezultă

( )

2 2

2e , ,k t

k k kT t c k cπ

−∗= ∈ ∈ . (165)

Din (160), (164) şi (165) se obţine familia de soluţii de formă particulară, care satisfac ecuaţia şi condiţiile la limită din problema considerată,

( )2 2

2sin

, e ,k t

k k k

k xu x t A k A,

x

π−

∗

π

= ⋅ ∈ ∈ . (166)

Se ataşează familiei de funcţii (166) funcţia

( )2 2

2

1

sin,

k t

kk

k xu x t A

x

π∞ −

=

e ,

π

= ∑ (167)

dacă seria din (167) este uniform convergentă. Conform modului de deducere a familiei de funcţii (166) dacă (167) există şi admite şi derivate de ordinul al doilea în raport cu variabila x şi de ordinul întâi în raport cu variabila t, rezultă că funcţia (167) satisface problema mixtă considerată în enunţ mai puţin condiţia Cauchy din problemă. Urmează să determinăm şirul de coeficienţi { }k kA ∗∈ cerând funcţiei (167) să satisfacă şi condiţia Cauchy din problema mixtă considerată. Aceasta revine la


( ) ( )1

sin sin cos , 0, .kk

kA x x x x x∞

=

π= + ∈∑ (168)

Relaţia (168) este posibilă de îndată ce seria de funcţii din (168) reprezintă dezvoltarea în serie Fourier - trigonometrică de sinusuri a funcţiei ( )sin cosx x x+ pe ( ) . 0,

Vom arăta că (168) este posibil. Notăm cu ( ) ( sin cos ,)f x x x x= + ( )0,x ∈ . Prelungim prin imparitate funcţia ( )f ⋅ la funcţia ( )g ⋅ ,

, ( ): ,g − → ( )0,g f= şi ( ) ( )g x g x= − − , ( ) ( ),x∀ ∈ − .

Prelungim funcţia , prin periodicizare cu perioada , la funcţia , cu

( )g ⋅ 2T =:h → ( ),h g− = şi ( ) ( ) ( )2 ,h x h x x .+ = ∀ ∈ Atunci

( ) ( ) ( )

( )

1

0

sin , punct de continuitate pentru

.2 sin d

kk

k

kh x x x h

kh x x x

∞

=

⎧ π= α ∀ ∈ ⋅⎪

⎪⎨

π⎪α =⎪⎩

∑

∫ (169)

Scriind (169) pentru ( )0,x ∈ , punct de continuitate pentru ( )f ⋅ , rezultă

( ) ( )

( )

1

0

sin sin cos , 0,

2 sin cos sin d

kk

k

kA x x x x x

kA x x x x x

∞

=

⎧ π= + ∈⎪

⎪⎨

π⎪ = +⎪⎩

∑

∫. (170)

Cu { }k kA ∗∈ daţi de (170) seria din (167) converge uniform şi admite derivate de ordinul al doilea în x şi de ordinul întâi în t, deci (167) cu { }k kA ∗∈ daţi de (170) determină în mod unic soluţia problemei mixte considerate prin enunţ.

Observaţia 1.1. În integrarea ecuaţiei din problema bilocală (161) esenţială a fost schimbarea de funcţie de ( ) ( ),X v v x xX x→ = , care a redus ecuaţia diferenţială de ordinul doi, cu coeficienţi variabili tot la o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, dar cu coeficienţi constanţi, şi anume ecuaţia (163).

Dăm în continuare o altă variantă de integrare a problemei bilocale (161), bazată pe funcţii Bessel de ordin semiîntreg. Pentru aceasta, începem prin a observa că ecuaţia diferenţială din problema bilocală (161) se poate scrie şi sub forma

2 22 0x X xX x X′′ ′ ,+ − λ = ecuaţie reductibilă la ecuaţie Bessel, a se vedea [2], p. 52, cazul b). Observând că suntem în cazul b) pentru 2a = , b = −λ , 2n = , 0c = , se efectuează


schimbarea de funcţie cu X Y ( ) ( ) 1 / 2X x Y x x−= . Prin calcule elementare se deduce pentru noua funcţie ( )Y ⋅ ecuaţia diferenţială

2 2 1 04

x Y xY x Y⎛ ⎞′′ ′+ + −λ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Aceasta este o ecuaţie diferenţială reductibilă la ecuaţie Bessel, a se vedea [2], p. 52, cazul a). Se face schimbarea de variabilă x ζ , xζ = −λ . Rezultă ecuaţia Bessel

22 2

2d d 1 0

d 4dY Y Y⎛ ⎞ζ + ζ + ζ − =⎜ ⎟

ζ ⎝ ⎠ζ.

Soluţia generală a acestei ecuaţii Bessel este ( ) ( ) ( )1 / 2 1 / 2 ,Y AJ BJ−ζ = ζ + ζ

deci ( ) ( ) ( )1 / 2 1 / 2 , ,xX x AJ x BJ x A B−= −λ + −λ ∈ .

Remarcam însă că ( )1 / 2J− ⋅ admite pe 0x = ca punct singular, a se vedea [2], p.70, Teorema 2.1.4. Prin urmare condiţia bilocală din problema (161), şi anume există şi este finită ( )

00

limxx

X x→>

, conduce în mod necesar la condiţia

0B = . Rezultă

( ) (1 / 2AX x J xx

)= −λ . (171)

Impunând condiţia bilocală în x = , din problema (161), funcţiei (171), rezultă

( )1 / 2 0AJ −λ = . Rezultă fie 0A = , ceea ce este imposibil deoarece ar rezulta ( ) 0X x ≡ ,

fie ( )1 / 2 0J −λ = . (172)

Este ştiut conform Teoremei 5.1, cap. III, §5 că

( )1 / 22 sin ,J zz

=π

z (173)

a se vedea [2], p.84. Din (172) şi (173) rezultă condiţia

( )sin 0,−λ = (174)

adică 2 2

2 0, kλ πλ = − < ∈ .


Prin urmare cazul este imposibil, iar în cazul , conform (174) s-a regăsit conform (171) şi (173)

0λ > 0λ <

( ) sin , ,kk k

A kX x x A kx

∗π= ∈ ∈ , (175)

adică (164). Pentru ecuaţia din problema bilocală (161) devine 0λ =

2 0,X Xx

′′ ′+ =

pentru care soluţia generală este

( ) 01 0 1, ,cX x c c c

x= + ∈ .

Condiţiile bilocale din problema (161) conduc la , deci , ceea ce este imposibil.

0 1 0c c= =( ) 0X x ≡

Rămâne deci doar cazul 0λ < , 2 2

2k π

λ = − cu daţi de (175),

adică (164).

( )kX ⋅

Mai departe rezolvarea se repetă pas cu pas exact la fel ca în prima variantă de rezolvare dată anterior. Rezultă astfel soluţia dată de (167) şi (170).


( )( )

( ) ( ) ( ) [ ]( )

22

2 0, 0 , 0

0, 0c.l. ., 0

c.c. , 0 , 0,lim , 0

x

x

t

u ua x ttx

u tu t

u x f x f satisface condiţiile Dirichlet peu x t

→+∞

⎧ ∂ ∂− = ≤ ≤ >⎪ ∂∂⎪

⎪ ′⎧ =⎪⎪ ⎨⎨ ′ =⎪⎩⎪⎪ = ⋅⎪

=⎪⎩

Soluţie: Este o problemă mixtă ataşată ecuaţiei căldurii într-o dimensiune spaţială. Se aplică metoda lui Fourier, a separării variabilelor. Se caută soluţii de formă particulară ( ) ( ) ( ),u x t X x T t 0= ≡ . (176)

Înlocuind în ecuaţia din problema mixtă considerată şi separând variabilele, rezultă

2 ,X TaX T′′ ′=


ceea ce este posibil dacă şi numai dacă există λ ∈ astfel încât 2 .X Ta

X T′′ ′= = λ

Conform condiţiilor la limită şi condiţiei pentru t se obţin problemele

→ +∞

(177) ( )( )

2 00 0

0

a X XXX

⎧ ′′ − λ =⎪

′ =⎨⎪ ′ =⎩

,

( )0

lim 0t

T TT t

→+∞

′ − λ =⎧⎪⎨ =⎪⎩

. (178)

Se face discuţie după şi ne ocupăm de problema bilocală (177), pentru început.

λ ∈

I. 0λ >Soluţia generală pentru ecuaţia diferenţială din (177) este

( ) 1 2 1 2e e , ,x xX x c c c cλ − λ= + ∈ . Condiţiile bilocale conduc la sistemul liniar, omogen în şi , 1c 2c

( )( )

1 2

1 2

0,

e e

c c

c cλ − λ

⎧ λ − =⎪⎨

λ − =⎪⎩ 0

care admite numai soluţia banală 1 2 0c c= = , deci ( ) 0X x ≡ , ceea ce contrazice (176). Cu aceasta cazul 0λ > nu este posibil. II. 0λ = În acest caz ( ) 1 2X x c x= + c , iar din condiţiile bilocale din (177) rezultă , deci 1 0c =

( )0 ,X x c c= ∈ . Ecuaţia din problema (178) are, pentru 0λ = , soluţia generală

( )0 ,T t c c= ∈ . Rezultă deci că în cazul 0λ = reţinem soluţia particulară

( )0 ,u x t = 0 , pentru că ( )0lim 0t

c T t→+∞

= = . (179)

III. 0λ <Soluţia generală pentru ecuaţia din problema bilocală (177) este

( ) 1 2 1cos sin , ,X x c x c x c c= −λ + −λ 2 ∈ . Condiţiile bilocale conduc la sistemul liniar algebric

( )2

1 2

0.

sin cos 0

c

c c

⎧ −λ =⎪⎨

−λ − −λ + −λ =⎪⎩


Evident 2 0c = . Sistemul în şi este omogen şi admite soluţia banală, care conform (176) nu se acceptă, deci impunem lui condiţia ca

1c 2cλ

sin 0−λ = . Rezultă

2 2

2 , .k k ∗πλ = − ∈

Cu aceasta deducem

( ) sin , , .k k kkX x c x c k ∗π

= ∈ ∈ (180)

Problema (178) în cazul 2 2

2 ,k k ∗πλ = − ∈ conduce la

( )

2 2

2.

e , ,k t

k k kT t a a kπ

−∗= ∈ ∈ . (181)

Evident ( )lim 0ktT t

→+∞= . Deci (181) este soluţie pentru (178).

Din (176), (180) şi (181) am dedus funcţiile

( )2 2

2, sin e , ,k t

k k kku x t A x A k

π−

∗π= ⋅ ∈ .∈ (182)

Cu (182) am dedus o mulţime de soluţii de forma (176), care satisfac ecuaţia, condiţiile la limită şi condiţia pentru t din problema mixtă din enunţ.

→ ∞

Definim funcţia

( )2 2

2

1

, sin ek t

kk

ku x t A xπ∞ −

=

π= ⋅∑ .

)

(183)

Dacă seria de funcţii din (183) este uniform convergentă şi în plus admite derivate de ordinul doi în raport cu variabila x şi de ordinul întâi în raport cu t, atunci funcţia este bine definită de (183) şi verifică ecuaţia, condiţiile la limită şi condiţia pentru t din problema mixtă considerată. Rămâne să determinăm şirul de coeficienţi

( ,u ⋅ ⋅→ ∞

{ }k kA ∗∈ astfel încât funcţia dată de (183) să satisfacă şi condiţia iniţială din problema mixtă considerată. Rezultă

( ) ( )1

sin , 0, .kk

kA x f x x∞

=

π= ∈∑ (184)

Relaţia (184) este posibilă de îndată ce ( )f ⋅ admite dezvoltare în serie Fourier de sinusuri. Prelungim, în acest sens, prin imparitate pe ( funcţia ),−


( )f ⋅ la , cu proprietatea ( )1f ⋅ ( )1 : ,f − → ( ) ( )1 1f x f x= − − , oricare ar fi şi ( ),x ∈ − ( )1 0,f f= . Prelungim funcţia ( )1f ⋅ la , prin

periodicizare cu perioada 2T = prin cu 2 :f → ( )2 1,f f− = şi

( ) ( )2 2 2f x f+ = x , oricare ar fi x ∈ . Deoarece ( )f ⋅ , conform ipotezei din enunţul problemei mixte, satisface condiţiile Dirichlet pe ( , rezultă că

admite dezvoltarea în serie Fourier - trigonometrică de sinusuri, dezvoltare care restrânsă la ( este chiar (184), pentru orice

)

)

0,( )2f ⋅

0, ( )0,x ∈ punct de continuitate pentru ( )f ⋅ , cu

( )0

2 sin d , .kkA f x x x k ∗π

= ∫ ∈ (185)

Pentru { }k kA ∗∈ , daţi de (185), seria din (183) este uniform convergentă împreună cu derivatele sale de ordinul doi în x şi de ordinul întâi în t, şi defineşte soluţia problemei mixte considerate.

24º Fie soluţia problemei mixte ( ,u ⋅ ⋅ )

( )

( )( )( )

22

2 , , 0 , 0

0, 0c.l. ,

, 0

c.c. , 0 0

u ua f x t xtx

u tu t

u x

⎧ ∂ ∂− = < < >⎪ ∂∂⎪

⎪ ⎧ =⎨⎨⎪ =⎩⎪

⎪ =⎩

t

)

cu ( ,f t⋅ satisface condiţiile Dirichlet pe ( )0, , oricare ar fi . 0t >Justificând în prealabil că aceasta poate fi pusă sub forma

( ) ( )1

, snn

nu x t u t x∞

=

in π= ∑ ,

să se arate că

( )( )

( )2 2 2

2

10 0

2, e sin sin ,n at t

n

n nu x t x fπ∞ − −τ

=

⎧ ⎫⎪ ⎪π π⎨ ⎬= − ζ ζ τ ζ τ⎪ ⎪⎩ ⎭∑∫ ∫ d d .

Soluţie: Problema considerată este un caz particular al primei probleme mixte ataşate ecuaţiei căldurii unidimensionale, tratate în capitolul 1, §8, 8.4. S-a rezolvat problema, în cazul cel mai general, utilizând metoda separării variabilelor şi principiul lui Duhamel. S-a scris soluţia utilizând şi funcţia Green pentru prima problemă mixtă ataşată ecuaţiei căldurii.


În rezolvarea pe care o vom da mai jos vom folosi metoda separării variabilelor împreună cu un procedeu analog metodei variaţiei constantelor, împrumutat de la integrarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, procedeu ilustrat în capitolul 1, §7, 7.2 ii, pentru problema mixtă de tip Dirichlet asociată ecuaţiei coardei vibrante în cazul oscilaţiilor întreţinute (varianta a II-a).

Căutăm pentru problema mixtă din enunţ, prin principiul superpoziţiei, soluţia de forma ( ) ( ) ( )0, , pu x t u x t u x t, ,= + (186)

cu ( )0 ,u ⋅ ⋅ soluţie a problemei

( ) ( ) ( )

( )( )( )

22

2 0, , 0, 0,

0, 0c.l. ,

, 0

c.c. , 0 0

u ua x ttx

u tu t

u x

⎧ ∂ ∂− = ∈ × +∞⎪ ∂∂⎪

⎪ ⎧ =⎨⎨⎪ =⎩⎪

⎪ =⎩

(187)

iar ( ),pu ⋅ ⋅ soluţie a problemei

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

22

2 , , , 0, 0,

0, 0c.l. .

, 0

c.c. , 0 0

u ua f x t x ttx

u tu t

u x

⎧ ∂ ∂− = ∈ × +∞⎪ ∂∂⎪

⎪ ⎧ =⎨⎨⎪ =⎩⎪

⎪ =⎩

(188)

Este evident că ( )0 ,u x t 0≡ şi deci, în realitate soluţia dată de (186) se reduce la ( ),pu ⋅ ⋅ . Insistăm însă pe scrierea (186) şi rezolvarea problemei pentru

( )0 ,u ⋅ ⋅ , chiar dacă ştim a priori că ( )0 ,u x t 0≡ , pentru că din formula de reprezentare a soluţiei problemei (187) vom propune şi justifica formula de reprezentare pentru ( ),pu ⋅ ⋅ şi apoi, cu tehnici specifice, vom deduce formula de reprezentare cerută pentru soluţia problemei mixte considerate.

Rezolvăm problema mixtă (187) prin metoda separării variabilelor. Propunem deci soluţii de formă particulară

( ) ( ) ( ), 0u x t X x T t= ≡ . Înlocuind în ecuaţia din problema (187), separând variabilele şi utilizând

condiţiile la limită, obţinem problema bilocală


( )( )

2 00 0 ,

0

a X XXX

⎧ ′′ − λ =⎪

= λ ∈⎨⎪ =⎩

(189)

şi ecuaţia diferenţială 0,T T′ − λ = λ ∈ . (190)

Facem o discuţie după parametrul λ ∈ şi ne ocupăm în primul rând de problema bilocală (189).

I. 0λ >Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale din (189) este

( ) 1 2 1 2e e , ,x xX x c c c cλ − λ= + ∈ . Condiţiile ( ) ( )0 0X X= = conduc la 1 2 0c c= = , deci cazul

nu se acceptă 0λ >

II. 0λ =Rezultă ( ) 1 2 1 2, ,X x c x c c c= + ∈ . Din condiţiile bilocale

rezultă ( ) ( )0 0X X= = 1 2 0c c= = , deci nici 0λ = nu este posibil. III. 0λ <În acest caz soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale din (189) este

( ) 1 2 1cos sin , ,X x c x c x c c= −λ + −λ 2 ∈ . Din condiţiile bilocale se obţine sistemul algebric liniar şi omogen în 1 2,c c

1

2

0.

sin 0

c

c

=⎧⎪⎨

−λ =⎪⎩

Cum implică 1 2 0c c= = ( ) 0X x ≡ , ceea ce nu se poate accepta, impunem parametrului condiţia λ

sin 0−λ = , adică

2 2

2 ,k k ∗πλ = − ∈ .

Rezultă astfel

( ) sin , , .k k kkX x c x c k ∗π

= ∈ ∈ (191)

Pentru 2 2

2 ,k k ∗πλ = − ∈ , ecuaţia diferenţială (190) devine

2 2

2 0,kT T k ∗π′ + = ∈ ,


deci

( )

2 2

2e , ,k t

k k kT t kπ

−.∗= α α ∈ ∈ (192)

Am determinat, conform (191), (192) soluţii de forma

( )2 2

2, e sin , ,k t

k k kku x t A x A k

π−

∗π= ∈ .∈ (193)

Aceste funcţii satisfac ecuaţia şi condiţiile la limită din problema (187). Propunem pentru soluţia problemei (187) funcţia (dacă există)

( )2 2

20

1

, e sink t

kk

ku x t A xπ∞ −

=

.π= ∑ (194)

Cu (194) am dedus forma soluţiei problemei omogene (187). Evident că impunând lui (194) condiţia Cauchy din problema (187) rezultă ( )0 , 0u x t ≡ , aşa cum am precizat anterior.

Prin analogie cu metoda variaţiei constantelor de la integrarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene şi conform trimiterilor deja făcute la capitolul 1, §7 respectiv §8, plecând de la (194) propunem pentru ( ),pu ⋅ ⋅ reprezentarea

( ) ( )1

, sip kk

ku x t t∞

=

n .xπ= θ∑ (195)

Această funcţie satisface condiţiile la limită din problema (188). Dacă seria de funcţii din (195) este uniform convergentă împreună cu seriile derivatelor sale de ordinul doi în variabila x şi de ordinul întâi în t atunci, cerând ca (195) să satisfacă ecuaţia neomogenă din (188), deducem

( )2 2 2

21

sin , .k kk

a k k x f x t∞

=

⎡ ⎤π π′− θ − θ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (196)

Dar, în condiţiile ipotezei, funcţia ( ),f t⋅ , după prelungire la ( prin imparitate şi apoi prelungirea acesteia la prin periodicizare cu perioada

, admite dezvoltare Fourier - trigonometrică de sinusuri şi

),−

2T =

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1

0

, sin , oricare ar fi 0, punct

de continuitate pentru , .

2 , sin d , 0, ,

kk

k

kf x t f t x x

f t

kf t f x t x x t k

∞

=

∗

⎧ π= ∈⎪

⎪⎪ ⋅⎨⎪

π⎪ = ∈ +∞⎪⎩

∑

∫ ∈

(197)


Din (196) şi (197) şi din condiţia Cauchy din problema (188), rezultă şirul de probleme Cauchy

( )

( )

2 2 2

2 ,.

0 0

k k k

k

a k f t k ∗⎧ π′θ + θ = − ∈⎪⎨⎪θ =⎩

(198)

Pentru problema Cauchy (198) admite soluţie unică. Fie k ∗∈( ) ( ) ( ),0 ,k k k pt tθ = θ + θ t ,

( )2 2 2

,0 2:k k ka k π′θ ⋅ θ + θ = 0 . (199)

( ) ( )2 2 2

, 2:k p k k ka k .f tπ′θ ⋅ θ + θ = − (200)

Ecuaţia (199) este cu variabile separabile şi

( )

2 2 2

2,0 e ,

a k t

k k kt c cπ

−θ = ∈ . (201)

Propunem pentru ecuaţia neomogenă (201) o soluţie particulară de forma

( ) ( )

2 2 2

2, e

a k t

k p kt c tπ

−θ = , (202)

cu funcţie derivabilă necunoscută. Cerând lui ( )kc ⋅ ( ),k pθ ⋅ să satisfacă ecuaţia (201), rezultă

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

e e

e ,

a k a kt t

k k

a k t

k k

k ac t c t

k af t c t

π π− −

π−

π′ − =

π= − −

adică

( ) ( )

2 2 2

2e ,a k t

k kc t f tπ

′ = − deci

( ) ( )

2 2 2

2

0

ea kt

k kc t fπ

τd .= − τ∫ τ (203)


Din (201), (202) şi (203) rezultă

( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2

0

e ea k a ktt t

k k kt c fπ π

− −θ = − τ∫ d .

−ττ (204)

Conform condiţiei Cauchy din problema (198), (204) conduce la 0kc = , deci

( ) ( )( )

2 2 2

2

0

e d ,a kt t

k kt f kπ

− −τ∗θ = − τ τ ∈∫ . (205)

Din (195), (197) şi (205) se obţine

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

1 0

1 0 0

10 0

, e d sin

2e , sin d d s

2 e sin sin , d d

a kt t

p kk

a kt t

k

a kt t

k

ku x t f x

k kin

.

f x

k k x f

π∞ − −τ

=

π∞ − −τ

=

π∞ − −τ

=

⎡ ⎤π⎢ ⎥= − τ τ =⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞

π π⎢ ⎥⎜ ⎟= − ζ τ ζ ζ τ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤

π π⎢ ⎥= − ζ ζ τ ζ τ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫

∑ ∫ ∫

∑∫ ∫

(206)

Din (186) şi (206) rezultă ( ) ( ), pu x t u x t,= , adică formula din enunţ.

25º Să se determine soluţia problemei

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

24 ,4

, , , 0 ., , , 0

1, 0 , ,5 4 cos

x x

u u tu tx x ttx

u t u t tu t u t t

u x xx

⎧ ∂ ∂− − = − − π < < π >⎪ ∂∂⎪

⎪ −π = π >⎨

′ ′−π = π >⎪⎪⎪ = ∈ −π π

−⎩

, 0


Soluţie: Ecuaţia din problema considerată este neomogenă şi liniară, de tip difuzie. Conform principiului superpoziţiei căutăm soluţia problemei sub forma ( ) ( ) ( )0, , pu x t u x t u x t, ,= + (207)


cu ( )0 ,u ⋅ ⋅ soluţie a problemei

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

24 0 ,

, , , 0 ,, , , 0

1, 0 , ,5 4 cos

x x

u u u xtx

u t u t tu t u t t

u x xx

⎧ ∂ ∂− − = − π < < π >⎪ ∂∂⎪

⎪ −π = π >⎨

′ ′−π = π >⎪⎪⎪ = ∈ −π π

−⎩

, 0t

(208)

(problemă ataşată ecuaţiei omogene) şi ( ),pu ⋅ ⋅ o soluţie particulară pentru problema

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

24 ,4

, , , 0 ,, , , 0

, 0 0, ,x x

u u tu tx x ttx

u t u t tu t u t tu x x

⎧ ∂ ∂− − = − − π < < π >⎪ ∂∂⎪⎪ −π = π >⎨

⎪ ′ ′−π = π >⎪⎪ = ∈ −π π⎩

, 0

(209)

(problemă ataşată ecuaţiei neomogene). Soluţia ( )0 ,u ⋅ ⋅ o determinăm prin metoda Fourier, a separării variabilelor. Căutăm soluţii pentru (208) de formă particulară ( ) ( ) ( ),u x t X x T t 0= ≡ . (210)

Înlocuind în ecuaţia din (208), rezultă

4 1X TX T′′ ′= + ,


4 1X TX T′′ ′= + = λ .

De aici şi ţinând seama de problema (208), rezultă problema

( ) ( )( ) (

4 0X XX XX X )

′′ − λ =⎧⎪ −π = π⎨⎪ ′ ′−π = π⎩

(211)


( )1T T 0′ + − λ = . (212)


Se face o discuţie după şi se rezolvă problema (211). λ ∈I. 0λ >Pentru problema (211) rezultă

( ) 2 21 2 1 2e e , ,

x x

X x c c c cλ λ

−= + ∈ .

Din condiţiile de periodicitate pentru ( )X ⋅ şi ( )X ′ ⋅ rezultă

2 2 2 21 2 1 2

2 2 21 2 1 2

e e e e

e e e e2 2

c c c c

c c c c

π λ π λ π λ π λ− −

2π λ π λ π λ π

− −

⎧⎪ + = +⎪⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ λ λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎩

λ ,

adică

( ) ( )( ) ( )

2 21 2

2 21 2

e e.

e e

c c

c c

π λ π λ−

π λ π λ−

⎧⎪ − −⎪⎨⎪

+ −⎪⎩

0

0

=

=

Deoarece 2 2e eπ λ π λ

−− ≠ 0 pentru 0λ > , rezultă

1 2

1 2

0,

0c cc c

− =⎧⎨ + =⎩

adică , deci 1 2 0c c= = ( ) 0X x ≡ . Cu aceasta, conform (210), cazul este imposibil.

0λ >

II. 0λ = Rezultă ( ) 1 2X x c x= + c , iar condiţiile de periodicitate pentru ( )X ⋅ şi

conduc la ( )X ′ ⋅1 2 1 2 ,c c c c− π + = π +

adică , deci 1 0c = ( )0 0 0,X x c c .= ∈ (213) Ecuaţia (212) devine

0T T′ + = , cu soluţia generală ( )0 0 0e , .tT t c c−= ∈ (214)

III. 0λ < Rezultă

( ) 1 2 1cos sin , , .X x c x c x c c= −λ + −λ ∈2


Din condiţiile de periodicitate pentru ( )X ⋅ şi ( )X ′ ⋅ , rezultă

1 2 1 2

1 2 1 2

cos sin cos sin,

sin cos sin cos

c c c c

c c c c

⎧ π −λ − π −λ = π −λ + π −λ⎪⎨

π −λ + π −λ = − π −λ + π −λ⎪⎩

adică

2

1

sin 0.

sin 0

c

c

⎧ π −λ =⎪⎨

π −λ =⎪⎩

Dacă sin 0π −λ ≠ , atunci 1 2 0c c= = , deci ( ) 0X x ≡ , ceea ce conform (210) nu se poate accepta. Se impune parametrului λ condiţia

sin 0π −λ =

din care rezultă 2 ,k k ∗λ = − ∈ . Obţinem astfel

( ) 1 2 1 2cos sin , , , .k k k k kX x c k x c k x c c k ∗= + ∈ ∈ (215)

Pentru ,k k ∗λ = − ∈ ecuaţia (212) devine ( )1 0T k T ,′ + + =

pentru care soluţia generală este

( ) ( )1e , ,k tk k kT t c c k .− += ∈ ∗∈ (216)

Ca urmare a acestei analize după valorile parametrului λ , conform (210), (213), (214), (215) şi (216) s-a dedus mulţimea de soluţii de forma (210),

( )( ) ( ) ( )

0 01

, e,

, cos sin e ,

t

k tk k k

u x t A

u x t A k x B k x k

−

− + ∗

⎧ =⎪⎨

= +⎪⎩ ∈

cu { }k kA ∈ , { }k kB ∗∈ două şiruri de constante nedeterminate, reale. Considerăm

(217) ( ) ( ( )1

0

, cos sin e k tk k

k

u x t A k x B k x∞

− +

=

= +∑ ) .

Această funcţie dacă există şi dacă admite derivate de ordinul doi în raport cu variabila x şi de ordinul întâi în raport cu variabila t, atunci satisface ecuaţia şi condiţiile de periodicitate în raport cu variabila x din problema (208). Impunând funcţiei (217) şi condiţia Cauchy din problema (208), rezultă

( ) (0

1cos sin , , .5 4 cosk k

k

A k x B k x xx

∞

=

+ = ∈ −−∑ )π π (218)


Să observăm că funcţia 15 4 cos x−

este periodică cu perioada 2π ,

satisface, fiind indefinit derivabilă, condiţiile Dirichlet pe orice interval de

lungime şi este şi funcţie pară. Rezultă că funcţia 2π 15 4 cos x−

admite

dezvoltare în serie Fourier - trigonometrică de cosinusuri. Cu aceasta din (218) rezultă

0

00

0,

2 cos d , .5 4 cos

1 1 d5 4 cos

k

k

B k

k xA xx

A xx

π

k ∗

π

= ∈⎧⎪⎪ =⎪ π −⎨⎪⎪ =⎪ π −⎩

∫

∫

∈

,

(218')

Din (217) şi (218') rezultă

(219) ( ) ( )10

0

, cos e k tk

k

u x t A kx∞

− +

=

= ⋅∑{ }0 , k kA A ∗∈ daţi de (218').

Deoarece { }k kA ∗∈ este şir de coeficienţi Fourier, rezultă că ( )0 ,u ⋅ ⋅ există şi este bine definită de seria de funcţii din (219) şi în plus admite derivate de ordinul doi în variabila x, respectiv derivată de ordinul întâi în variabila t. Soluţia particulară ( ,pu )⋅ ⋅ , soluţie a problemei (209) o determinăm folosind principiul lui Duhamel, prezentat în capitolul 1, §4. Prin urmare

( ) ( )0

, , ,t

pu x t w x t d= − τ τ τ∫ , (220)

cu soluţie a problemei ( , ;w x t τ )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

4 0 , , , 0,

, ; , ; , 0.

, ; , ; , 0

, 0; , ,4

x x

w w w x ttx

w t w t tw t w t t

w x x x

⎧ ∂ ∂− − = ∈ −π π × +∞⎪ ∂∂⎪

⎪ −π τ = π τ >⎪⎨

′ ′−π τ = π τ >⎪⎪ τ⎪ τ = τ − ∈ −π π⎪⎩

(221)


Remarcăm faptul că problema (221) este o problemă exact de tipul problemei (208), cu data Cauchy modificată. Aplicând metoda separării variabilelor, rezultă conform (217) că

(222) ( ) ( ( )1

0, ; cos sin e .k t

k kk

w x t A k x B k x∞

− +

=

τ = +∑ )

Funcţia (222), conform modului de deducere, satisface ecuaţia şi condiţiile de periodicitate pentru ( ), ;w t⋅ τ şi ( ), ;xw t′ ⋅ τ . Impunând funcţiei (222) să satisfacă şi condiţia Cauchy din (221), rezultă

( ) (2

0cos sin , , ,

4k kk

A k x B k x x x∞

=

τ+ = τ − ∈ −π∑ )π (223)

ceea ce reprezintă dezvoltarea Fourier - trigonometrică a funcţiei 2

4x τ

τ − , ca

funcţie de x. Pentru ca (223) să aibă loc observăm că prelungind funcţia 2

4x τ

τ − , ca funcţie de x, la prin periodicizare cu perioada 2 rezultă că

(223) are loc în orice

π

( ),π πx ∈ − punct de continuitate pentru 2

4x τ

τ − şi

2

0

2

2

1 d2 4

1 cos d , .4

1 sin d ,4

k

k

A x

A x k x x k

B x k x x k

π

−ππ

∗

−ππ

∗

−π

⎧ ⎛ ⎞τ⎪ = τ − τ⎜ ⎟π ⎝ ⎠⎪

⎪⎪ ⎛ ⎞τ⎪ = τ − ∈⎜ ⎟⎨ π ⎝ ⎠⎪⎪

⎛ ⎞τ⎪ = τ − ∈⎜ ⎟⎪ π ⎝ ⎠⎪⎩

∫

∫

∫

(224)

Cu (207), (218), (219), (220), (222) şi (224) se determină soluţia problemei din enunţ.


26º Să se determine soluţia problemei mixte

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )

2 22

2 2 , , 0, 0,

0, 0c.l. , 0 ,

, 0

, 0c.i. , 0,

, 0 0

u ua tx x tx t

u tt

u t

u x f xxu x

t

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

>⎪⎪ ⎨=⎨ ⎩

⎪⎧ =⎪ ⎪⎪ ∈⎨ ∂

=⎪ ⎪⎪ ∂⎩⎩

+∞

( )f ⋅ fiind o funcţie de clasă pe 2C ( )0, .

Concursul Traian Lalescu 1983, faza na ţ ională (prof i lu l e lectr ic ) Soluţie: Problema mixtă considerată este ataşată unei ecuaţii (ecuaţia

undelor) neomogene, cu date la limită omogene şi date Cauchy (iniţiale) neomogene. Căutăm soluţia problemei sub forma ( ) ( ) ( )0, , pu x t u x t u x t,= + , (225)

cu ( )0 ,u ⋅ ⋅ soluţie pentru problema mixtă corespunzătoare ecuaţiei omogene

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )

2 22

2 2 0, 0, , 0,

0, 0c.l. , 0 ,

, 0

, 0c.c. , 0,

, 0 0

u ua x tx t

u tt

u t

u x f xxu x

t

⎧ ∂ ∂− = ∈ ∈ +∞⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

>⎪⎪ ⎨=⎨ ⎩

⎪⎧ =⎪ ⎪⎪ ∈⎨ ∂

=⎪ ⎪⎪ ∂⎩⎩

(226)

iar ( ),pu ⋅ ⋅ soluţie pentru o problemă mixtă ataşată ecuaţiei neomogene din enunţ

( ) ( )

( )( )( )

( )( )

2 22

2 2 , 0, , 0,

0, 0c.l. , 0 .

, 0

, 0 0c.c. , 0,

, 0 0

u ua tx x tx t

u tt

u t

u xxu x

t

⎧ ∂ ∂− = ∈ ∈ +∞⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

>⎪⎪ ⎨=⎨ ⎩

⎪⎧ =⎪ ⎪⎪ ∈⎨ ∂

=⎪ ⎪⎪ ∂⎩⎩

(227)


Pentru integrarea problemei (226) şi din deducerea soluţiei sale ( )0 ,u ⋅ ⋅ se aplică metoda separării variabilelor. Prin urmare căutăm soluţii de formă particulară ( ) ( ) ( ),u x t X x T t 0= ≡ . (228)

Înlocuind (228) în ecuaţia din problema (226), rezultă 2 ,X Ta

X T′′ ′=

′

ceea ce este posibil dacă şi numai dacă există λ ∈ astfel încât 2 X Ta

X T′′ ′′= = λ .

Conform condiţiilor la limită şi a condiţiei iniţiale omogene din problema mixtă (226) se obţine problema bilocală

( )( )

2 00 0

0

a X XXX

⎧ ′′ − λ =⎪

=⎨⎪ =⎩

(229)

şi problema

( )

0.

0 0T TT′′ − λ =⎧

⎨ ′ =⎩ (230)

Să observăm că din condiţia Cauchy neomogenă referitoare la nu rezultă încă nici o informaţie nici pentru funcţia necunoscută nici pentru funcţia necunoscută .

( ), 0u x( )X ⋅

( )T ⋅În continuare se face o discuţie după valorile parametrului λ şi în mod

corespunzător se integrează problema (229). I. 0λ >Soluţia generală pentru ecuaţia din problema bilocală (229) este

( ) 1 2 1 2e e , ,x x

a aX x c c c cλ λ

−= + ∈ .

Condiţiile bilocale din (229) conduc la sistemul liniar algebric în , 1 2,c c

1 2

1 2

0

e ea a

c c

c cλ λ

−0

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

de unde rezultă

( )1 e ea ac

λ λ−

0− = .


Deoarece ( )2e e e e 1a a a a

λ λ λ λ− −

− = − 0≠ , în cazul , rezultă , deci , adică

0λ >

1 0c = 1 2 0c c= = ( ) 0X x ≡ ceea ce conform (228) nu se poate accepta. Deci cazul este imposibil. 0λ >

II. 0λ =Rezultă . Din condiţiile la limită conform

(226) deducem , deci ( ) 1 2 1 2, ,X x c x c c c= + ∈

1 2 0c c= = ( ) 0X x ≡ . Prin urmare nici cazul nu este posibil.

0λ =

III. 0λ <În acest caz soluţia generală a ecuaţiei din problema bilocală (229) este

( ) 1 2cos sin .X x c x c xa a−λ −

= +λ

Condiţiile bilocale conduc la sistemul liniar algebric, în şi 1c 2c

1

2

0.

sin 0

c

ca

=⎧⎪⎨ −λ

=⎪⎩

Nu se poate accepta 2 0c = , pentru că ar rezulta , ceea ce contrazice (228), şi atunci se impune parametrului

( ) 0X x ≡λ condiţia

sin 0a−λ

= ,

de unde se deduce 2 2 2

2 , .a k k ∗πλ = − ∈

În consecinţă pentru 2 2 2

2 0,a k k ∗πλ = − < ∈ rezultă

( ) sin ,k kkX x c x k ∗π

= ∈ . (231)

Problema (230) pentru 2 2 2

2 ,a k k ∗πλ = − ∈ devine

( )

2 2 2

2 0, .

0 0

a kT Tk

T

∗⎧ π′′ + =⎪ ∈⎨⎪ ′ =⎩

Rezultă

( ) cos sin , .k k kak akT t t t k ∗π π

= α + β ∈


Condiţia Cauchy conduce la

0kakπ

β = , deci 0kβ = , k ∗∈ .

Prin urmare

( ) cos , .k kakT t t k ∗π

= α ∈ (232)

Din (231) şi (232) deducem conform (228)

( ), cos sin ,k kak ku x t A t x k .∗π π

= ∈ (233)

Propunem soluţia ( )0 ,u ⋅ ⋅ de forma

( )1

, cos sinkk

ak ku x t A t x∞

=

.π π= ∑ (234)

Ţinând seama de modul de deducere a familiei de funcţii (233), rezultă că dacă seria de funcţii din (234) este uniform convergentă şi în plus poate fi derivată de două ori în raport atât cu variabila x, cât şi cu variabila t, seriile de funcţii rezultate fiind fiecare uniform convergente, atunci funcţia (234) satisface ecuaţia, condiţiile la limită şi condiţia iniţială omogenă din problema mixtă (226). Impunem funcţiei (234) să satisfacă şi condiţia Cauchy neomogenă din problema (226). Rezultă

( ) ( )1

sin , 0, .kk

kA x f x x∞

=

π= ∈∑ (235)

Prin enunţ funcţia ( )f ⋅ este de clasă pe 2C ( )0, deci satisface condiţiile lui Dirichlet pe ( . Se prelungeşte )0, ( )f ⋅ la ( ),− prin imparitate, fie

, cu ( )1 : ,f − → ( )1 0,f f= , ( ) ( )1 1f x f x= − − , oricare ar fi

. Se prelungeşte ( ,x ∈ − ) 1f la , prin periodicizare cu perioada 2T = ; fie cu 2 :f → ( )2 1,f f− = şi ( ) ( )2 2 2f x f x+ = , oricare ar fi

x ∈ . Atunci ( )2f ⋅ admite dezvoltare în serie Fourier - trigonometrică de sinusuri, dezvoltare care restrânsă la ( )0, este chiar dezvoltarea (235) cu

( )0

2 sin d , .kkA f x x x k ∗π

= ∫ ∈ (236)

Cu aceasta, pentru { }k kA ∗∈ daţi de (236), seria din (234) este uniform convergentă, admite derivate de ordinul al doilea atât în raport cu variabila x, cât şi cu variabila t, deci


( ) ( )01 0

2, sin d cos sin .k

k aku x t f x x x t x∞

=

⎛ ⎞ kπ π π⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫

d

(237)

Pentru rezolvarea problemei mixte neomogene (227) se poate aplica fie principiul lui Duhamel, fie un procedeu analog metodei variaţiei constantelor de la integrarea ecuaţiilor diferenţiale (şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale) liniare, neomogene, procedeu descris în capitolul 1, §7, 7.2, ii.

Prezentăm ambele variante de rezolvare urmând pas cu pas teoria expusă în §7, 7.2, ii, în cazul problemei mixte de tip Dirichlet pentru ecuaţia coardei vibrante neomogene.

Varianta I Principiul lui Duhamel

( ) ( )0

, , ;t

pu x t w x t= − τ τ τ∫ , (238)

cu ( ), ;w ⋅ ⋅ τ soluţie pentru problema mixtă

( )

( )( )( )

( )( )

2 22

2 2 0, 0, , 0

0, ; 0c.l. , 0 .

, ; 0

, 0; 0c.i. , 0,

, 0;

u wa xx t

w tt

w t

w xxw x x

t

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ τ =

>⎪⎪ ⎨τ =⎨ ⎩

⎪⎧ τ =⎪ ⎪⎪ ∈⎨ ∂

τ = τ⎪ ⎪⎪ ∂⎩⎩

t

(239)

Problema (239) este o problemă mixtă de tip (226), cu alte date Cauchy. Ea se rezolvă prin metoda separării variabilelor, dar de îndată ce s-a făcut calculul pentru deducerea lui ( )0 ,u ⋅ ⋅ , din acest calcul se reţine forma pentru ( ), ;w ⋅ ⋅ τ , şi anume conform (231) şi soluţiei generale pentru problema (230)

( )kT ⋅

( )1

, ; cos sin sin .k kk

ak ak kw x t A t B t x∞

=

π π⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ π (240)

Din condiţiile Cauchy corespunzătoare problemei (239) rezultă

( )

1

1

sin 0

.

sin , 0,

kk

kk

kA x

ak kB x x x

∞

=∞

=

⎧ π=⎪

⎪⎨

π π⎪ = τ ∈⎪⎩

∑

∑


Deducem , şi deoarece 0kA = k ∗∈ xτ , după prelungiri corespunzătoare la prin imparitate şi apoi la prin periodicizare cu perioada 2 , admite

dezvoltare în serie Fourier - trigonometrică rezultă că ( ,− )

0

2 sin d , .kkB x x x k

ak∗π

= τ ∈π ∫ (241)

Cu aceasta

( )1 0

2, ; sin d sin sin .k

k akw x t x x x t xa k

∞

=

⎛ ⎞ kτ π π⎜ ⎟τ =⎜ ⎟π ⎝ ⎠

∑ ∫π (242)

Din (225), (237), (238) şi (242) rezultă soluţia problemei mixte considerate.

Varianta a II-a Analogul principiului variaţiei constantelor Pentru problema mixtă (227), plecând de la formula de reprezentare (237)

pentru ( )0 ,u ⋅ ⋅ propunem

( ) ( )1

, sp kk

ku x t S t∞

=

in xπ= ∑ . (243)

Funcţia ( ),pu ⋅ ⋅ , dacă există, satisface condiţiile la limită din problema (227). Impunem funcţiei (243) să satisfacă ecuaţia neomogenă şi condiţiile Cauchy din problema mixtă (227). Rezultă

( )

( )

( )

2 2 2

21

1

1

sin , 0, , 0

0 sin 0 .

0 sin 0

k kk

kk

kk

a k kS S x t x x t

kS x

kS x

∞

=∞

=∞

=

⎧ ⎡ ⎤π π′′− − = ∈ >⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪

⎪π⎪ =⎨

⎪⎪

π⎪ ′ =⎪⎩

∑

∑

∑

(244)

Funcţia t x , ( )0,x ∈ , se poate prelungi, ca funcţie de x, la o funcţie impară, periodică cu perioada 2 pe . Această prelungire admite dezvoltare în serie Fourier - trigonometrică de sinusuri, fie aceasta

0t >


( ) ( )

( )

1

0

sin , 0, 0,

.2 sin d ,

kk

k

kt x t x t x

kt t x x x k

∞

=

∗

⎧ π= θ > ∈⎪

⎪⎨

π⎪θ = ∈⎪⎩

∑

∫ (245)

Din (244) şi (245) rezultă şirul de probleme Cauchy

( )

( )

( )

2 2 2

2

0 0 ,0 0

k k k

k

k

a kS S t

SS

.k ∗

⎧ π′′ + = − θ⎪⎪⎨ =⎪⎪ ′ =⎩

∈ (246)

Un calcul elementar conduce la

( ) ( )2 1 ,kk

tt kk

,∗θ = − − ∈π

deci problema (246) devine pentru k ∗∈ , fixat

( )

( )

( )

2 2 2

22 1

0 00 0

kk k

k

k

a kS Sk

SS

⎧ π′′ + = −⎪ π⎪⎨ =⎪⎪ ′ =⎩

.

t

(247)

Rezultă ( ) ( ) ( ),0 , ,k k k pS t S t S t= +

cu

( ),0 1 2cos sin .k k kak akS t c t c tπ π

= +

Ţinând seama de structura termenului neomogen, şi anume polinom în t de gradul întâi, propunem

( ), ,k p k kS t t= α + β aceasta pentru că 0 nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice ataşată ecuaţiei diferenţiale din (247). Prin urmare soluţia generală pentru ecuaţia (247) este de forma

( ) 1 2cos sin .k k k kak akS t c t c t t kπ π

= + + α + β (248)

Cerând funcţiei (248) să fie soluţie pentru problema Cauchy (247), rezultă

( )2 2 2 2 2 2

2 22 1 , 0k

k ka k a kt t

kπ π

α + β = − >π

,t


deci

( )

3

2 3 32 1 ,

.0,

kk

k

ka k

k

∗

∗

⎧α = − ∈⎪

π⎨⎪β = ∈⎩

Rezultă

( ) ( )3

1 2 2 3 32cos sin 1 , .k

k k kak akS t c t c t t k

a k∗π π

= + + − ∈π

(249)

Condiţiile Cauchy din problema (247) impuse funcţiei (249) conduc la

( )

13

2 2 3 3

0, ,2 1 0

k

kk

ckak c

a k

∗=⎧

⎪ ∈⎨ π+ − =⎪

π⎩

adică

( )

14

12 3 4 4

0, .21

k

kk

ck

ca k

∗+

=⎧⎪ ∈⎨

= −⎪π⎩

Cu aceasta din (249) rezultă că

( ) ( ) ( )

( )

4 31

3 4 4 2 3 3

3

2 3 3

2 21 sin 1

21 sin

k kk

k

akS t t ta k a k

ak t taka k

+ π

.

= − +π π

π⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥π⎣ ⎦

− =

π

(250)

Din (243) şi (250), obţinem

( )( ) 3

2 3 31

1 2, sink

pk

ak ku x t t t xaka k

∞

=

− π⎡ ⎤= − +⎢ ⎥π⎣ ⎦π∑ sin .π (251)

Cu (225), (237) şi (251) problema mixtă considerată este rezolvată.

27º Să se arate că soluţia problemei Cauchy

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 1

2 2

2

1

, , , 0, 0,

, 0 , , ,

, 0 , ,t

u ua f x t x t fx t

u x x x

u x x x

⎧ ∂ ∂− = ∈ > ∈ × +∞⎪

∂ ∂⎪⎨ = ϕ ∈ ϕ ∈⎪⎪ ′ = ψ ∈ ψ ∈⎩

C

C

C


poate fi pusă sub forma

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )

0

,2

1 1d d ,2 2

x at t x t a

x at x t a

x at x atu x t

fa a

+ + −τ

− − −τ

ϕ − + ϕ += +

d .+ ψ ζ ζ + τ ζ τ ζ∫ ∫ ∫

Soluţie: Problema Cauchy considerată este problema Cauchy pentru coarda vibrantă în cazul vibraţiilor transversale întreţinute ale coardei. Această problemă a fost tratată în capitolul 1, §5, 5.2, i, ii. S-ar putea aplica direct formula lui d'Alembert stabilită în Teorema 5.2.2, formula (102), capitolul 1, §5, 5.2. Vom rezolva problema Cauchy din enunţ regăsind astfel rezultatele amintite ca fiind deja demonstrate şi obţinute în capitolul 1, §5, 5.2, i, ii, utilizând principiul lui Duhamel.

Ecuaţia, din problema Cauchy considerată, fiind neomogenă căutăm, conform principiului superpoziţiei, soluţia de forma ( ) ( ) ( )0, , pu x t u x t u x t, ,= + (252)

unde ( )0 ,u ⋅ ⋅ satisface problema Cauchy

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 2 0 , , 0

, 0 ,c.c.

, 0 ,

u ua xx t

u x x xu x x xt

⎧ ∂ ∂ t− = ∈⎪∂ ∂⎪⎪

⎧ = ϕ ∈⎨⎪⎪ ⎨ ∂⎪ = ψ ∈⎪⎪ ∂⎩⎩

>

, (253)

iar ( ),pu ⋅ ⋅ satisface problema Cauchy

( )

( )( )

2 22

2 2 , , , 0

, 0 0c.c. ,

, 0 0t

u ua f x t xx t

u xx

u x

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎨ ⎧ =⎪ ∈⎨⎪ ′ =⎩⎩

t. (254)

Conform capitolului 1, §5, 5.2, Teorema 5.2.1, formula lui d'Alembert (93) în cazul oscilaţiilor libere ale corzii rezultă

( )( ) ( )

( )01, d

2 2

x at

x at

x at x atu x ta

.+

−

ϕ − + ϕ += + ∫ ψ ζ ζ (255)

Pentru integrarea problemei Cauchy (254) se aplică principiul lui Duhamel, conform căruia


( ) ( )0

, , ;t

pu x t w x t d ,= − τ τ τ∫ (256)

unde ( ), ;w ⋅ ⋅ τ satisface problema Cauchy

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2 0 , , 0,

., 0; 0 ,c.c.

, 0; , ,

w wa x tx t

w x xw x f x xt

⎧ ∂ ∂− = ∈ × +∞⎪

∂ ∂⎪⎪⎨ ⎧ τ = ∈

⎪⎪ ⎨ ∂⎪ τ = τ ∈⎪⎪ ∂⎩⎩

(257)

Problema (257) este, în fapt, problema (253), deci conform Teoremei 5.2.1, capitolul 1, §5, 5.2, formula lui d'Alembert (93) în cazul oscilaţiilor libere ale corzii vibrante rezultă

( ) ( )1, ; , d2

x at

x at

w x t fa

+

−

τ = ζ τ ζ∫ . (258)

Din (256) şi (258) deducem

( ) ( )( )

( )

0

1, d ,2

t x a t

px a t

u x t fa

+ −τ

− −τ

= τ ζ τ∫ ∫ dζ . (259)

Din (255) şi (259) rezultă formula din enunţ.

28º Să se arate că în domeniul x−∞ < < +∞ , soluţia ecuaţiei 0t >

( ) (2

22 , , ,u ua f x t

t)f t

x∂ ∂

− = ⋅∂∂

absolut integrabilă pe , care satisface

condiţia ( ) ( ), 0u x x= ϕ , absolut integrabilă pe , poate fi pusă sub forma

( )ϕ ⋅

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

2

2

2

2

4

4

0

1, e2

e d , d .2

x

a t

xt a t

u x ta t

fa t

−ζ+ ∞ −

−∞

−ζ−+ ∞ −τ

−∞

= ϕ ζ ζπ

+ τ ζ τπ − τ

∫

∫ ∫

d +

ζ

Soluţie: Problema considerată este problema Cauchy pentru ecuaţia căldurii neomogene în cazul unui conductor infinit.


Conform principiului superpoziţiei căutăm soluţia problemei Cauchy din enunţ sub forma ( ) ( ) ( )0, , pu x t u x t u x t, ,= + (260)

unde ( )0 ,u ⋅ ⋅ este soluţie pentru problema Cauchy

( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

2 0, , 0,,

, 0 , absolut integrabilă pe

u ua x ttx

u x x

⎧ ∂ ∂− = ∈ × +∞⎪∂⎨ ∂

⎪ = ϕ ϕ ⋅⎩

(261)

iar ( ),pu ⋅ ⋅ este soluţie pentru problema Cauchy

( ) ( ) ( )

( )( )

22

2 , , , 0, ,

, absolut integrabilă pe ., 0 0,

u ua f x t x ttx

f tu x x

⎧ ∂ ∂− = ∈ × +∞⎪ ∂∂⎪

⎨ ⋅⎪⎪ = ∈⎩

(262)

Problema Cauchy (261) a fost tratată cu metoda separării variabilelor a lui Fourier, respectiv cu metoda transformatei Fourier în capitolul 1, §8, 8.5 şi respectiv §8, 8.6. În ambele situaţii s-a obţinut formula Poisson de reprezentare a soluţiei, formula (317) din capitolul 1, §8, 8.5. Cu aceasta, soluţia problemei (261) admite reprezentarea, conform formulei Poisson

( ) ( )( )2

240

1, e2

x

a tu x ta t

−ζ+ ∞ −

− ∞

= ϕ dζ ζπ ∫ . (263)

Pentru rezolvarea problemei Cauchy (262) aplicăm principiul lui Duhamel deci

( ) ( )0

, , ;t

pu x t w x t d ,= − τ τ τ∫ (264)

cu ( ), ;w ⋅ ⋅ τ soluţie pentru problema Cauchy

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 2 0, , 0,.

, 0; , ,

w wa x tx t

u x f x x

⎧ ∂ ∂− = ∈ × +∞⎪

⎨ ∂ ∂⎪ τ = τ ∈⎩

(265)


Problema (262) este de fapt problema (261) şi prin urmare cu formula Poisson rezultă

( ) ( )( )2

241, ; , e d .2

x

a tw x t fa t

−ζ+ ∞ −

− ∞

τ = ζ τ ζπ ∫ (266)


( ) ( )( )

( )( )

2

24

0

,, d e

2

xta t

pf

u x ta t

−ζ+ ∞ −−τ

− ∞

ζ τ= τ

π − τ∫ ∫ d .ζ (267)

Din (260), (263) şi (267) rezultă formula din enunţ.


( )

( )

( )

( )

2 22

2 2 0, , , 02 2

, 02c.l., 0

2

2 ,2 2

, 0 ,c.i.

2 , 2 2

, 0 0t

u ua x tx t

u t

u t

h x x aa

u x h a x ah x a x

au x

⎧ ∂ ∂ ⎛ ⎞− = ∈ − >⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠∂ ∂⎪⎪ ⎧ ⎛ ⎞− =⎪ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ =⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎩⎨

⎧ ⎧⎪ + − ≤ ≤ −⎪ ⎪⎪ −⎪ ⎪⎪ = −⎨⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪ − ≤⎪ −⎩⎪ ′ =⎩⎩

⎪⎪⎪⎪

≤ ≤

≤

.

Soluţie: Problema mixtă de rezolvat este problema mixtă de tip Dirichlet pentru ecuaţia corzii în cazul oscilaţiilor libere, tratată în capitolul 1, §7, 7.2, i. Rezolvarea va urma punct cu punct prezentarea teoretică făcută în capitolul 1, §7, 7.2, i. Se aplică metoda Bernoulli Fourier, a separării variabilelor.

Căutăm soluţii de formă particulară ( ) ( ) ( ),u x t X x T t 0= ≡ . (268)

Introducem (268) în ecuaţia din problema mixtă considerată şi împărţind cu (268), posibil pentru că ( ),u x t 0≠ , rezultă

2 X TaX T′′ ′= .


Această egalitate are loc dacă şi numai dacă există λ ∈ astfel încât 2 X Ta

X T′′ ′′= = λ .

De aici şi din condiţiile la limită şi condiţia Cauchy omogenă din problema mixtă considerată se obţine problema bilocală

2 0

02

02

a X X

X

X

⎧ ′′ − λ =⎪

⎛ ⎞⎪⎪ − =⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪

⎛ ⎞⎪ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(269)

şi problema

( )

0.

0 0T TT′′ − λ =⎧

⎨ ′ =⎩ (270)

Se face o discuţie după valorile parametrului λ şi se începe cu rezolvarea problemei bilocale (269) care este complet formulată.

Recomandăm compararea acestei rezolvări cu cea dată în exerciţiul 26º acest capitol şi acest paragraf. În ambele exerciţii intervine problema bilocală, cumva aceeaşi, (229) şi (269) numai că în (229) se consideră ecuaţia diferenţială pe ( şi condiţiile bilocale în )0, 0x = , x = , în timp ce ecuaţia din (269) se

consideră pe ,2 2

⎛ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi se dau condiţiile bilocale în

2x = − şi

2x = . Deşi

aparent cele două probleme nu ar trebui să introducă elemente de diferenţiere, ele în realitate sunt diferite prin valorile lui λ , 0λ < şi prin sistemul de funcţii trigonometrice după care se fac dezvoltările în serie Fourier - trigonometrică. Toate aceste aspecte vor fi semnalate punct cu punct pe parcursul rezolvării.

I. 0λ >Soluţia generală a ecuaţiei din problema bilocală (269) este

( ) 1 2 1 2e e , ,x x

a aX x c c c cλ λ

−= + ∈ .

Din condiţiile bilocale rezultă

2 21 2

2 21 2

e e,

e e

a a

a a

c c

c c

λ λ−

λ λ−

⎧⎪ + =⎪⎨⎪

+ =⎪⎩

0

0

sistem liniar algebric, omogen în şi . Observând că determinantul ataşat sistemului liniar şi omogen, obţinut mai sus,

1c 2c


( )

2 2

2 2

2

e ee e

e e

e 1 e 0

a aa a

a a

a a

λ λ− λ λ

−

λ λ−

λ λ−

Δ = = −

= − ≠

=

rezultă , deci 1 2 0c c= = ( ) 0X x ≡ , ceea ce, conform (268) face ca să fie imposibil.

0λ >

II. 0λ = În acest caz ( ) 1 2X x c x= + c . Din condiţiile bilocale rezultă sistemul

algebric liniar în şi şi omogen 1c 2c 1 2

1 2

2 02 0

c cc c− + =⎧

⎨ + =⎩, care admite numai

soluţia banală . Deci 1 2 0c c= = ( ) 0X x ≡ , prin urmare şi cazul este imposibil.

0λ =

III. 0λ <În acest caz

( ) 1 2cos sin .X x c x c xa a−λ −

= +λ

Condiţiile bilocale conduc la sistemul liniar în , şi omogen 1c 2c

1 2

1 2

cos sin 02 2 ,

cos sin 02 2

c ca a

c ca a

⎧ −λ −λ− =⎪⎪

⎨−λ −λ⎪ + =⎪⎩

(271)

care admite soluţia banală 1 2 0c c= = , dar care nu interesează pentru că ar rezulta , şi care pentru a admite şi alte soluţii în afară de cea banală în mod necesar trebuie să aibă determinantul

( ) 0X x ≡0Δ = , adică

cos sin2 2

os sin2 2

1 1sin cos 2 sin cos

1 12 2 2 2

sin 0.

a a

a a

a a a a

a

−λ −λ−

Δ = =−λ −λ

−−λ −λ −λ −λ= =

−λ= =

=


Rezultă deci

, ,k ka

∗−λ= π ∈

adică

2 2 2

2 ,a k k .∗πλ = − ∈ (272)

Cu aceasta rezultă

( ) 1 2cos sin , .k k kk kX x c x c x k ∗π π

= + ∈ (273)

Problema (270) pentru 2 2 2

2 ,a k k ∗πλ = − ∈ conduce la

( )

( )

cos sin,

0 0

k k k

k

k a k aT t t tk

T

∗π π⎧ = α + β⎪ ∈⎨

⎪ ′ =⎩

,

adică , deci 0,k k ∗β = ∈

( ) cos , .k kk aT t t k ∗π

= α ∈ (274)

Din (273) şi (274) rezultă mulţimea de soluţii, de forma particulară (268),

( ), cos sin cos , .k k kk k k au x t A x B x t k ∗π π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∈

Propunem

( )1

, cos sin cos .k kk

k ku x t A x B x t∞

=

k aπ π⎛= +⎜⎝ ⎠∑ π⎞

⎟ (275)

Şirurile de constante { }k kA ∗∈ , { }k kB ∗∈ urmează a fi determinate din condiţia ca funcţia (275) să satisfacă condiţia Cauchy neomogenă din problema mixtă considerată. Aceasta conduce la

(1

cos sin , 0k kk

k kA x B x u x∞

=

π π⎛ + =⎜⎝ ⎠∑ )⎞

⎟ . (276)

Important de observat că (276) nu poate avea loc ca dezvoltare în serie Fourier - trigonometrică a funcţiei ( ), 0u ⋅ , care este o funcţie pară, chiar dacă prelungim prin paritate funcţia ( ), 0u ⋅ la ( ),− şi apoi o periodicizăm cu

perioada pentru a obţine pulsaţia 2T =π

ω = , aceasta pentru că seria din


(276) se ia după k ∗∈ , deci nu există 0A . Prin urmare, nu putem determina cele două şiruri de constante { }k kA ∗∈ şi { }k kB ∗∈ ca fiind coeficienţi Fourier ai funcţiei ( ), 0u ⋅ . Deci valorile parametrului λ date de (272) nu convin.

Reţinem din cele de mai sus că funcţia ( ), 0u ⋅ , data Cauchy neomogenă din problema mixtă este funcţie pară, remarcă importantă pentru determinarea valorilor parametrului λ , . Revenim deci la sistemul (271). Din (271) rezultă

0λ <

1 cos 0.2

ca−λ

=

Ţinând seama de observaţia că data Cauchy ( ), 0u ⋅ neomogenă, din problema mixtă considerată, este funcţie pară deducem că în mod necesar, deci impunem condiţia

1 0c ≠

cos 0,2a−λ

= (277)

de unde

( )2 1 ,2 2

k ka−λ π

= + ∈ ,

adică

( )2 2 2

22 1 ,k a k+ π

λ = − ∈ . (278)

Pentru dat de (278) din λ

2 sin 02

ca−λ

= ,

rezultă pentru că 2 0c =( ) ( )2 1sin 1 0

2kk + π

= − ≠ . Se deduce astfel

( ) ( )1

2 1cos , .k kkX x c x k+ π

= ∈ (279)

Pentru dat de (278) problema (270) conduce la 0λ <

( ) ( ) ( )

( )

2 1 2 1cos sin ,.

0 0

k k k

k

k a k aT t t t k

T

⎧ + π + π= α + β ∈⎪

⎨⎪ ′ =⎩

De aici rezultă , deci 0,k kβ = ∈

( ) ( )2 1cos , .k kk aT t t k+ π

= α ∈ (280)


Din (268), (279), (280) rezultă mulţimea de soluţii de formă particulară

( )( ) ( )2 1 2 1, cos cos ,k k

k k au x t A x t k+ π + π= ∈ .

Propunem

( )( ) ( )

0

2 1 2 1, cos coskk

k ku x t A x t∞

=

+ π + π= ∑ .a (281)

Dacă funcţia (281) există, adică seria care o defineşte este o serie de funcţii uniform convergentă şi în plus seriile de funcţii ale derivatelor de ordinul doi atât în raport cu x, cât şi cu t sunt uniform convergente, atunci funcţia (281) satisface problema mixtă considerată mai puţin condiţia Cauchy neomogenă. Vom determina şirul de coeficienţi { }k kA ∈ impunând funcţiei (281) să satisfacă condiţia Cauchy neomogenă din problema mixtă din enunţ. Deci impunem condiţia

( )

( )0

2 1cos , 0 , , .2 2k

k

kA x u x x∞

=

+ π ⎛= ∈ −⎜⎝ ⎠∑ ⎞

⎟ (282)

Condiţia (282) ar putea reprezenta o dezvoltare Fourier - trigonometrică de cosinusuri, posibil pentru că ( ), 0u ⋅ este pară, pentru o funcţie pară,

periodică cu perioada (pentru că 2T =22π π

ω = = ). În acest sens

prelungim funcţia ( ), 0u ⋅ la ( ): ,f − → , ( ) ( )f x f x= − , oricare

, ( ),x ∈ − [ ] ( )2, 2 , 0f u x− = , ( ) 0f x = , , ,2 2

x ⎛ ⎞ ⎛∈ − −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∪ ⎞⎟⎠

.

Prelungim funcţia ( )f ⋅ la prin :g → cu ( ),g f− = , ( ) ( )2g x g x+ = , oricare x ∈ . Atunci (282) reprezintă dezvoltarea

Fourier a funcţiei restrânsă la ( )g ⋅ ,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

De remarcat că dezvoltarea Fourier (282) se face în raport cu subsistemul

de funcţii ortogonale ( )2 1cos

k

k x∈

⎧ + π ⎫⎨⎩ ⎭

⎬ , nu tot subsistemul

{ }cosk

k x∈

π . Aici intervine deosebirea esenţială faţă de exerciţiul 26º.

Din (282) se deduce, din ortogonalitatea funcţiilor trigonometrice ( )2 1cos

k

k x∈

⎧ + π ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

,− pe ( ) ,


( )( )2 1, 0 cos d ,k

kA u x x x−

+ π= ∫

adică

( ) ( )

( )22

4 2 1cos , .2 1 2

kh k aA k

k a+ π

= ∈π + −

Obţinem astfel, din (281),

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

0

4 1 2 1 2 1 2 1, cos cos co2 2 1k

h k a ku x t x ta k

∞

=

+ π + π + π=π − +

∑ s ,k a

soluţia problemei mixte considerate. 30º Să se rezolve problema mixtă

( )

( )

( )

( )

( )( )

2 2

2 2

2

0 , 0, 2 , 0

0,c.l. , 0 .

2, 1

, 0c.c. , 0, 2

, 0 0

u u x tx tu t t

tu tx

u x xxu x

t

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =⎪ ⎪ >⎪ ⎨ ∂⎨ =⎪ ∂⎩⎪⎪ ⎧ =⎪ ⎪ ∈⎨ ∂⎪

=⎪⎪ ∂⎩⎩


Soluţie: Problema mixtă ataşată ecuaţiei coardei vibrante, considerată în enunţ, se deosebeşte de problemele din exerciţiul 26º şi exerciţiul 29º prin faptul că în problema mixtă considerată datele la limită nu sunt omogene. Ca metodă de rezolvare utilizăm metoda separării variabilelor descrisă în capitolul 1, §4. Aşa cum este precizat în capitolul 1, §4, întâi se vor omogeniza condiţiile la limită prin schimbarea de funcţie , schimbare dată de exemplul 2, capitolul 1, §4, , şi anume

1eu v

1e

( ) ( )( )22

22, ,4 4x xv x t u x t t−

= − − . (283)


Noua funcţie satisface problema mixtă ( ,v ⋅ ⋅ )

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

22 2 2

2 2

2

2 1 , 0, 2 , 02 2 2

0, 0c.l. , 0 .

2, 0

, 04c.i. , 0, 2

, 0 0

v v x t x tx tv t

tv tx

xv x xx

v xt

⎧ ∂ ∂ −− = − − ∈⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =⎪ ⎪ >⎨ ∂⎪⎪ =⎪⎨ ∂⎩⎪

⎧⎪ = −⎪⎪ ⎪ ∈⎨⎪∂⎪⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩

>

(284)

Pentru problema (284), ecuaţia fiind neomogenă, căutăm soluţia sub forma

( ) ( ) ( )0, , pv x t v x t v x t,= + , (285)

conform principiului superpoziţiei, cu ( )0 ,v ⋅ ⋅ soluţie pentru problema

( )

( )

( )

( )

( )( )

2 2

2 2

2

0, 0, 2 , 0

0, 0c.l. , 0

2, 0

, 04c.i. , 0, 2

, 0 0

v v x tx tv t

tv tx

xv x xx

v xt

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

⎪⎪ >⎨ ∂⎪⎪ =⎪⎨ ∂⎩⎪

⎧⎪ = −⎪⎪ ⎪ ∈⎨⎪ ∂⎪⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩

, (286)

iar soluţie pentru problema ( ,pv ⋅ ⋅ )

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

22 2 2

2 22 1 , 0, 2 , 0

2 2 20, 0

c.l. , 0 .2, 0

, 0 0c.i. , 0, 2

, 0 0

v v x t x tx tv t

tv tx

v xxv x

t

⎧ ∂ ∂ −− = − − ∈⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =⎪ ⎪ >⎪ ⎨ ∂⎨ =⎪ ∂⎩⎪⎪ ⎧ =⎪ ⎪ ∈⎨ ∂⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩

>

(287)


Problema (286) va fi rezolvată prin metoda separării variabilelor, deci căutăm soluţii de forma ( ) ( ) ( ),v x t X x T t 0= ≡ . (288)

Înlocuind (288) în ecuaţia (286) rezultă X TX T′′ ′′= ,

ceea ce are loc dacă şi numai dacă există λ ∈ astfel încât X TX T′′ ′′= = λ .

Din aceste egalităţi şi condiţiile la limită şi condiţia omogenă Cauchy din (286) se obţine problema bilocală

( )( )

00 02 0

X XXX

′′ − λ =⎧⎪ =⎨⎪ ′ =⎩

(289)

şi problema

( )

0.

0 0T TT′′ − λ =⎧

⎨ ′ =⎩ (290)

Ne ocupăm de problema bilocală (289) făcând o discuţie după . λ I. 0λ > Rezultă ( ) 1 2e e ,x xX x c cλ −= + λ cu 1 2,c c ∈ satisfăcând condiţiile

( )1 2

2 21 2

0.

e e

c c

c cλ − λ

+ =⎧⎪⎨

λ −⎪⎩ 0=

Rezultă

( )1 2

2 41

,e e 1

c c

c− λ λ

= −⎧⎪⎨

λ +⎪⎩ 0=

de unde deducem , deci 1 2 0c c= = ( ) 0X x ≡ , prin urmare, conform (288), cazul este imposibil. 0λ > II. 0λ = Rezultă . Condiţiile bilocale conduc la

şi , deci ( ) 1 2 1 2, ,X x c x c c c= + ∈

2 0c = 1 0c = ( ) 0X x ≡ , deci nici cazul 0λ = nu se acceptă. III. 0λ < În acest caz ( ) 1 2cos sin .X x c x c= −λ + − xλ


Condiţiile bilocale conduc la 1

2

0.

cos 2 0

c

c

=⎧⎪⎨

−λ −λ =⎪⎩

Cum nu se poate accepta, impunem parametrului 2 0c = λ condiţia cos 2 0−λ = ,

adică

( )2 22 1 ,

16k k+ π

λ = − ∈ . (291)

Cu (291) rezultă

( ) ( )2 1sin , .4k k

kX x c x k+ π= ∈ (292)

Pentru (291) problema (290) conduce la

( ) ( ) ( )

( )

2 1 2 1cos sin ,

4 40 0

k k k

k

k kT t t t k

T

+ π + π⎧= α + β ∈⎪

⎨⎪ ′ =⎩

.

Rezultă şi deci 0,k kβ = ∈

( ) ( )2 1cos ,

4k kk

T t t k+ π

= α ∈ . (293)

Din (292) şi (293) rezultă mulţimea de soluţii de formă particulară (288),

( ) ( ) ( )2 1 2 1, sin cos ,

4 4k kk k

u x t A x t k+ π + π

= ∈ .

Propunem

( ) ( ) ( )0

2 1 2 1, sin cos

4 4kk

k ku x t A x t

∞

=

+ π += ∑ π

. (294)

Dacă seria de funcţii din (294) converge uniform şi poate fi derivată de două ori atât în raport cu t, cât şi cu variabila x, seriile de funcţii rezultante fiind şi ele uniform convergente, atunci, conform modului în care a fost dedusă, funcţia (294) satisface ecuaţia, condiţiile la limită şi condiţia Cauchy omogenă din problema (286). Pentru a fi soluţie pentru problema (286) impunem funcţiei (294) verificarea condiţiei Cauchy neomogene. Se obţine astfel

( ) ( )2

0

2 1sin , 0, 2

4 4kk

k xA x x x∞

=

+ π= − ∈∑ . (295)


Condiţia (295) revine la o dezvoltare în serie Fourier cu anumite particularităţi:

– dezvoltarea Fourier de sinusuri, deci funcţia a cărei dezvoltare Fourier trigonometrică ar fi seria din (295) trebuie să fie impară;

– dezvoltarea Fourier din (295) nu este în raport cu întreg sistemul { }sin mm x ∗∈ω , ci numai după ( ){ }sin 2 1

ss x

∈+ ω ;

– 4π

ω = , ceea ce înseamnă că funcţia ce trebuie dezvoltată în serie

Fourier trebuie să fie periodică cu perioada 8T = .

Cu aceste precizări prelungim funcţia ( ) ( )2

, 0,4xf x x x= − ∈ 2

→

după cum urmează:

( ), : 4, 4f f f∧ ∧

→ − ,

( )

[ ]

( ]

[ )

[ ]

2

2

0 , 4, 2

, 2, 04 .

, 0, 24

0 , 2, 4

x

xx xf x

xx x

x

∧

⎧ ∈ − −⎪⎪ + ∈ −⎪⎪= ⎨⎪ − ∈⎪⎪

∈⎪⎩

Funcţia ( )f∧

⋅ este impară pe [ ]4, 4− şi ( ) ( )0,2f f x

∧= .

Prelungim funcţia ( )f∧

⋅ la , cu :f → [ ]4,4f f∧

− = şi

( ) (8 )f x f+ = x , oricare x ∈ . Considerând subsistemul trigonometric, de funcţii ortogonale, şi anume ( )2 1sin

4 k

k x∈

⎧ + π ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

deducem

( ) ( )

0

2 1sin4k

k

kf x A∞

=

x+ π= ∑ , (296)

oricare ar fi x ∈ punct de continuitate pentru ( )f ⋅ ,

( )2 2

0

1 2 1sin d ,2 4 4k

x kA x x x k⎛ ⎞ + π

= − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∫ . (297)


Formula (297) s-a obţinut prin efectuarea produsului scalar în

[( ] )2 4, 4L − între ( )f ⋅ şi ( )2 1sin ,

4k x k+ π

∈ . S-a ţinut seama de

asemenea că ( )4

2

4

2 1sin d 44

k x x−

+ π=∫ .

Din (295), (296) scrisă pe ( )0, 2 şi (297) rezultă că

( )( ) ( )

( )

00

2 2

0

2 1 2 1, sin cos4 4

.1 2 1sin d2 4 4

kk

k

k kv x t A x t

x kA x x x

∞

=

⎧ + π + π=⎪

⎪⎨

⎛ ⎞ + π⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑

∫

,

d ,

(298)

Pentru rezolvarea problemei (287) utilizăm principiul lui Duhamel, deci

( ) ( )0

, , ;t

pv x t w x t= − τ τ τ∫ (299)

cu ( ), ;w ⋅ ⋅ τ soluţie a problemei mixte

( )

( )

( )

( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

0 , 0, 2 , 0

0, ; 0c.l. , 0 .

2, ; 0

, 0; 0c.c. 2 1, 0;

2 2

w w x tx tw t

tw tx

w x

w xxt

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ τ =

⎪⎪ >⎨ ∂⎪ τ =⎨ ⎪ ∂⎩⎪⎪ ⎧ τ =⎪ ⎪

⎨⎪ ∂ − ττ = − −⎪⎪ ∂⎩⎩ 2

(300)

Problema (300) este de tipul problemei (286), numai că în (300) data Cauchy omogenă este pe funcţie nu pe derivata în variabila t.

Problema (300) se rezolvă tot prin metoda separării variabilelor. Deci prin analogie cu (288) căutăm

( ) ( ) ( ), ; ; 0.w x t X x T tτ = τ ≡

Urmând calculele făcute pentru deducerea lui ( )0 ,v x t găsim, conform (289) şi (292)

( ) ( )2 1sin , , ,4k k k

kX x c x c k+ π= ∈ ∈


corespunzând parametrului dat de (291). Problema pentru λ ( );T ⋅ τ este

( )( )

( )

( )

2 22 1, , .160; 0

kT t T t

T

⎧ + π′′⎪ τ + τ =⎨⎪ τ =⎩

0

Rezultă

( )( )2 1; sin , ,

4k k kkT t b t b k+ π

τ = ∈ ∈

şi deci

( )( ) ( )

1

2 1 2 1, ; sin sin .4 4k

k

k kv x t B x t∞

=

+ π +τ = ∑ π (301)

Se impune funcţiei (301) condiţia Cauchy neomogenă din problema (300) şi rezultă

( ) ( ) ( )2 2

1

2 1 2 1 2 1sin .4 4 2k

k

k k xB x∞

=

+ π + π − τ= −∑ 2 2

−

Cu raţionamente analoge cu cele făcute pentru obţinerea lui (297) şi (298) deducem

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12 2 2

0

2 1 2 1, ; sin sin4 4

.2 2 1 2 1sin d ,

2 1 2 2 2 4

kk

k

k kw x t B x t

x kB xk

∞

=

⎧ + π + πτ =⎪

⎪⎨

⎡ ⎤− τ + π⎪ = − −⎢ ⎥⎪ + π ⎣ ⎦⎩

∑

∫ x k ∈

(302)

Cu (302), (299), (298), (285) şi (283) problema este complet rezolvată. 31º Să se determine soluţia problemei mixte

( )

( )( )

( )( )

( )

2 22

2 2

2

, 0, , 0

0, 0c.l. , 0 .

,

2 , 02, 0

2c.i. ,2

, 0 0

u ua x tt xu t

tu t t

x xu x

x x

u xt

⎧ ∂ ∂= ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =⎪⎪ >⎨⎪ =⎪⎩⎪⎪ ⎧ ⎧⎨ ≤ <⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ − ≤ ≤⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎪ ∂⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩

Concursul Traian Lalescu 1987, faza na ţ ională (prof i lu l mecanic)


Soluţie: Deoarece în problema mixtă din enunţ datele la frontieră nu sunt omogene se face o schimbare de funcţie , conform capitolului 1, §4, , care să omogenizeze datele la frontieră, şi anume

u v 1e

( ) ( ) 2, , .xv x t u x t t= − (303)

Pentru schimbarea de funcţie (303) a se vedea schimbarea dată de exemplul 1, capitolul 1, §4, . 1e Pentru noua funcţie rezultă problema mixtă ( ,v ⋅ ⋅ )

( )

( )( )

( )( )

( )

2 22

2 22 = , 0, , 0

0, 0c.l. , 0

, 0

2 , 02, 0

2c.i. ,2

, 0 0

v v xa xt xv t

tv t

x xv x

x x

v xt

⎧ ∂ ∂− − ∈⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

>⎪ ⎨=⎪ ⎩

⎪⎪ ⎧ ⎧⎨ ≤ <⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ − ≤ ≤⎨ ⎪⎩⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩

t >

. (304)

Soluţia problemei (304) este de forma

( ) ( ) ( )0, , pv x t v x t v x t,= + , (305)

cu soluţie pentru (0 ,v ⋅ ⋅ )

( )

( )( )

( )( )

( )

2 22

2 2 = 0 , 0, , 0

0, 0c.l. , 0

, 0

2 , 02, 0

2c.c. ,2

, 0 0

v va xt xv t

tv t

x xv x

x x

v xt

⎧ ∂ ∂− ∈⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

>⎪ ⎨=⎪ ⎩

⎪⎪ ⎧ ⎧⎨ ≤ <⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ − ≤ ≤⎨ ⎪⎩⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩

t >

, (306)


iar soluţie pentru ( ,pv ⋅ ⋅ )

( )

( )( )( )

( )( )

2 22

2 22 = , 0, , 0

0, 0c.l. , 0

, 0

, 0 0c.c. , 0,

, 0 0

v v xa xt xv t

tv t

v xxv x

t

⎧ ∂ ∂− − ∈⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

>⎪⎪ ⎨=⎨ ⎩

⎪⎧ =⎪ ⎪⎪ ∈⎨ ∂

=⎪ ⎪⎪ ∂⎩⎩

t >

. (307)

Problema (306) o rezolvăm cu metoda separării variabilelor. Prin urmare căutăm soluţii de forma ( ) ( ) ( ),v x t X x T t 0= ≡ . (308)

Înlocuind (308) în (306) şi separând variabilele, rezultă că există astfel încât satisface problema bilocală

λ ∈( )X ⋅

( )( )

2 0

0 00

X Xa

XX

,

λ⎧ ′′ − =⎪⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

(309)

iar satisface problema ( )T ⋅

( )

0.

0 0T TT′′ − λ =⎧

⎨ ′ =⎩ (310)

Se face discuţia după valorile parametrului λ şi se integrează problema (309).

I. 0λ >

( ) 1 2e ex x

a aX x c cλ λ

−= +

1 2

1 2

0.

e ea a

c c

c cλ λ

−

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩ 0

Rezultă şi 1 2c c= − ( )2

1 e e 1a acλ λ

−0− = , deci , adică

, deci, conform (308), cazul 1 2 0c c= =

( ) 0X x ≡ 0λ > nu se acceptă.

II. 0λ = ( ) 1 2X x c x= + c

2 10, 0c c= = ,


deci , prin urmare 1 2 0c c= = ( ) 0X x ≡ ; nici cazul 0λ = nu se acceptă pentru că nu este verificată condiţia (308).

III. 0λ <

( ) 1 2cos sin .X x c x c xa a−λ −λ

= +

Condiţiile bilocale conduc la 1

2

0.

sin 0

c

ca

=⎧⎪⎨ −λ

=⎪⎩

Impunem condiţia sin 0a−λ

= , adică

2 2 2

2 ,a k k .∗πλ = − ∈ (311)

Rezultă

( ) sin , , .k k kkX x b x b k ∗π

= ∈ ∈ (312)

Pentru dat de (311) problema (310) conduce la λ

( )

( )

cos sin ,

0 0

k k k

k

k a k aT t t t k

T

∗π π⎧ = α + β ∈⎪⎨⎪ ′ =⎩

.

Rezultă şi deci 0,k k ∗β = ∈

( ) cos , .k kk aT t t k ∗π

= α ∈ (313)

Din (312) şi (313), conform (308) obţinem o mulţime de soluţii

( ), sin cos , ,k k kk k av x t A x t A k .∗π π

= ∈ ∈

Considerăm în mod formal funcţia

( )1

, sin coskk

k k .v x t A x∞

=

π= ∑ a tπ (314)

Dacă funcţia dată de (314) admite derivate de ordinul al doilea şi în raport cu variabila x şi în raport cu variabila t, atunci ( ),v ⋅ ⋅ satisface ecuaţia, condiţiile la limită şi condiţia Cauchy omogenă din problema (306). Impunem funcţiei (314) şi condiţia Cauchy neomogenă din problema (306). Rezultă


( )1

2 , 02sin .

2 ,2

kk

x xkA xx x

∞

=

⎧ ≤ <⎪π ⎪= ⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩

∑ (315)

Relaţia (315) are loc dacă ea reprezintă o dezvoltare Fourier - trigonometrică în serie de sinusuri. Pentru aceasta prelungim funcţia

( )( )

2 , 02

2 ,2

x xf x

x x

⎧ ≤ <⎪⎪= ⎨⎪ − ≤⎪⎩

≤ la funcţia [ ]1 : ,f − → cu proprietăţile

că ( )1f ⋅ este impară pe [ ],− şi [ ]1 0,f f= ; prelungim funcţia ( )1f ⋅ la

cu 2 :f → [ ]2 1,f f− = şi ( ) ( )2 2 2f x f x+ = , oricare ar fi x ∈ . Astfel funcţia ( )2f ⋅ admite dezvoltarea Fourier - trigonometrică de sinusuri, dezvoltare care restrânsă la [ ]0, revine la (315), unde

( )

( )

0/ 2

20 / 2

2 sin d

4 sin d sin d , .

kkA f x x x

k kx x x x x x k ∗

π= =

⎡ ⎤π π⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ ∫ ∈

Din (314) şi formulele de mai sus rezultă

( )

( )

01

/ 2

20 / 2

, sin cos

.4 sin d sin d ,

kk

k

k k av x t A x t

k kA x x x x x x k

∞

=

∗

⎧ π π=⎪

⎪⎪⎨ ⎡ ⎤π π⎪ ⎢ ⎥= + −⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

∑

∫ ∫ ∈

d ,

(316)

Pentru integrarea problemei (307) se foloseşte principiul lui Duhamel, deci

( ) ( )0

, , ;t

pv x t w x t= − τ τ τ∫


cu ( ), ;w ⋅ ⋅ τ soluţie pentru

( )

( )( )( )

( )( )

2 22

2 2 0 , 0, , 0

0, ; 0c.l. , 0 .

, ; 0

, 0; 0c.i. , 0,2, 0;

w wa x tt x

w tt

w t

w xxw xx

t

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ τ =⎪ >⎪ ⎨⎨ τ =⎩⎪

⎧ τ =⎪ ⎪⎪ ∈⎨ ∂⎪ τ = −⎪⎪ ∂⎩⎩

(317)

Pentru (317) se foloseşte metoda separării variabilelor. Urmăm pas cu pas rezolvarea problemei (306) şi în acest caz căutăm ( ) ( ) ( ), ; ; 0.w x t X x T tτ = τ ≡

Rezultă

( ) sin , ,k k kkX x b x b k ∗π

= ∈ ∈

( )

( )

; cos sin,

0, 0

k k k

k

k a k aT t t tk

T

∗π π⎧ τ = α + β⎪ ∈⎨

⎪ τ =⎩

,

deci , adică 0,k k ∗α = ∈

( ); sin , ,k k kk aT t t k .∗π

τ = β β ∈ ∈

Propunem

( )1

, ; sin sin .kk

k kv x t B x t∞

=

π πτ = ∑ a

Pentru ca ( ), ;v x t τ să fie soluţie pentru (317) se impune verificarea condiţiei Cauchy neomogene din (317), deci

( )1

2sin , 0,kk

k a k xB x x∞

=

π π= − ∈∑ .

Cu tehnici specifice, precizate în raţionamentele anterioare, relaţia de mai sus se verifică dacă

0

4 sin d , .kkB x x x

k aπ

= − ⋅ ∈π ∫ k (318)


Rezultă că

( )1

, ; sin sin ,kk

k kw x t B x t∞

=

π πτ = ∑ a

cu kB daţi de (318) este soluţia problemei (317).

32º Se consideră dreptunghiul ( ) ( ){ }2, , , 0 , 0D x y x y x a y= ∈ ≤ ≤ ≤ b≤ ,

de laturi [ ] ( ) ( ){ }2, 0 , 0 , 0OA x x x a= ∈ ≤ ≤ ,

[ ] ( ) ( ) [ ]{ }2, , , 0,AB a y a y y b= ∈ ∈ ,

[ ] ( ) ( ) [ ]{ }2, , , 0,CB x b x b x a= ∈ ∈ ,

[ ] ( ) ( ) [ ]{ }20, 0, , 0,OC y y y b= ∈ ∈ .

Să se rezolve problema

( )[ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ][ ]

1

1

2

2

1 2 1 1 2 1 2 2

1 2 1 2

, ,

, 0,, 0,

, 0,, 0,

0 0 , 0 , , 0, , 0,

0, .

OA

AB

BC

CO

u xy x y D

u f x x au g y y b

u f x x au g y y b

,,

f g f a g f a g b f g bf f şi g g satisfac condiţiile Dirichlet pe arespectiv pe b

⎧Δ = ∈⎪

⎪ = ∈⎪⎪ = ∈⎪⎪ = ∈⎨⎪ = ∈⎪

= = = =⎪⎪ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎪⎪⎩

Soluţie: Problema considerată este problema Dirichlet pentru dreptunghi ataşată ecuaţiei lui Poisson. Ea poate fi redusă la problema Dirichlet pentru dreptunghi ataşată ecuaţiei lui Laplace observând că funcţia

( ) ( )2 2,

12xy x y

u x y+

=

satisface ecuaţia lui Poisson u xyΔ = .

Se face schimbarea de funcţie

( ) ( ) ( )2 2, , ,

12xy x y

u v v x y u x y+

= − . (319)


Funcţia necunoscută ( ,v )⋅ ⋅ , dată de (319), satisface problema Dirichlet ataşată ecuaţiei lui Laplace pentru dreptunghiul OABCO, şi anume

[ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

2

2

2 2 2 2

1 1 2 2

1 2 1 1 2 1 2 2

1 2 1 2

0 , în, 0,, 0,

, 0,, 0,

, ,12 12

0 0 , 0 , , 0, şi , satisfac condiţiile Dirichlet pe 0,

OA

AB

BC

CO

v Dv f x x av h y y b

v h x x av g y y b

ay a y bx x bh y g y h x f x

,f g f a h h a h b h gf h h g

Δ =

= ∈

= ∈

= ∈

= ∈

+ += − = −

= = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ [ ][ ]

,respectiv pe 0,

ab

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

b

. (320)

Problema (320) se descompune în următoarele patru probleme, mai simple (se putea şi numai în două probleme). Pentru aceasta căutăm soluţia problemei (320) sub forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4, , , ,v x t v x t v x t v x t v x t= + + + , ,

)

(321)

cu soluţie a problemei, tot Dirichlet pentru dreptunghi, (1 ,v ⋅ ⋅

[ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]

1

0 , în, 0,

0OA

AB BC CO

v Dv f x xv

⎧Δ =⎪⎪

⎨ = ∈⎪

=⎪⎩ ∪ ∪

,a

)

(322)

(2 ,v ⋅ ⋅ soluţie a problemei, tot Dirichlet pentru dreptunghi,

[ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]

1

0 , în, 0,

0AB

OA BC CO

v Dv h y yv

⎧Δ =⎪⎪

⎨ = ∈⎪

=⎪⎩ ∪ ∪

,b

)

(323)

(3 ,v ⋅ ⋅ soluţie a problemei, tot Dirichlet pentru dreptunghi,

[ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]

2

0 , în, 0,

0BC

OA AB CO

v Dv h x xv

⎧Δ =⎪⎪

⎨ = ∈⎪

=⎪⎩ ∪ ∪

,a (324)


şi soluţie a problemei, tot Dirichlet pentru dreptunghi, (4 ,v ⋅ ⋅ )

[ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]

2

0 , în, 0,

0CO

OA AB BC

v Dv g y yv

⎧Δ =⎪⎪

⎨ = ∈⎪

=⎪⎩ ∪ ∪

.b (325)

Din liniaritatea ecuaţiei lui Laplace descompunerea problemei (320) în cele patru probleme (322) – (325) este posibilă cu reprezentarea soluţiei pentru problema (320) sub forma (321). De remarcat că fiecare din cele patru probleme (322) – (325) este mai simplă având o parte din datele la frontieră nule, ceea ce va interveni în rezolvarea acestor probleme. Se putea descompune problema (320) şi doar în două probleme Dirichlet pentru dreptunghi considerând condiţii Dirichlet nule pe [ ] [ ]AB CO∪ , iar pe

şi datele din (320), respectiv date Dirichlet nule pe [[OA] ][CB ] [ ]OA BC∪ şi datele Dirichlet din problema (320) pe [ ]AB , [ ]CO .

Indiferent că descompunem în patru probleme Dirichlet (322) – (325), sau doar în două probleme Dirichlet, aşa cum am descris mai sus, rezolvarea

problemelor obţinute în urma descompunerii se face prin metoda separării variabilelor.

Dăm rezolvarea pentru problema (322); integrarea problemelor (323) – (325) făcându-se asemănător.

Căutăm pentru problema (322) soluţii de formă particulară ( ) ( ) ( )1 ,v x y X x Y y 0.= ≡ (326)

Înlocuind în ecuaţia lui Laplace din (322), separând variabilele şi folosind condiţiile Dirichlet cu date nule din problema (322), obţinem că există astfel încât

λ ∈

( ) ( )( )

0 00

X YX Y

X X aY b

′′ ′′⎧ = − = λ⎪⎪⎨ = =⎪⎪ =⎩

.

Se obţine astfel problema bilocală

( )( )

00 0

0

X XXX a

′′ − λ =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

(327)

şi problema

( )

0.

0Y YY b′′ + λ =⎧

⎨=⎩

(328)


Facem o discuţie după valorile parametrului λ ocupându-ne de integrarea problemei bilocale (327).

I. 0λ >Din problema (327) rezultă

( ) 1 2e e .x xX x c cλ −= + λ Condiţiile bilocale conduc la

1 2

1 2

0,

e ea a

c c

c cλ − λ

+ =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩ 0

c

de unde şi 1 2c = − ( )21 e e 1a ac − λ λ 0− = , adică , deci

, ceea ce conform (326) nu este posibil. Prin urmare cazul nu se acceptă.

1 2 0c c= =( ) 0X x ≡ 0λ >

II. 0λ = ( ) 1 2.X x c x c= + Condiţiile bilocale conduc la 2 0c = şi 1 0c = , deci ( ) 0X x ≡ , deci nici cazul nu se acceptă. 0λ =

III. 0λ < În acest caz ( ) 1 2cos sin .X x c x c x= −λ + −λ

2

Condiţiile bilocale conduc la sistemul liniar în , omogen 1,c c

1

2

0.

sin 0

c

c a

=⎧⎪⎨

−λ =⎪⎩

Acest sistem admite soluţia banală 1 2 0c c= = care nu ne interesează, şi atunci impunem condiţii parametrului λ aşa încât sistemul liniar omogen să admită şi soluţii nebanale. Aceasta revine la

sin 0,a −λ = de unde rezultă

2 2

2 ,k ka

.∗πλ = − ∈ (329)

Rezultă, în acest caz,

( ) sin , .k kkX x c x ka

∗π= ∈ (330)


Pentru , dat de (329), din problema (328) rezultă λ

( )( )

e e .0

k ky ya a

k k k

k

Y y

Y b

π π−⎧

⎪ = α + β⎨⎪ =⎩

Deducem

e ek b k b

a ak k

π π−

α + β = 0, deci

2

e ,k ba

k k kπ

.∗β = − α ∈ Prin urmare

( )

( ) ( )( )( )

e e e

sh , .

k b k ky b y ba a a

k k

k

Y yka b y ka

π π π− − −

∗

= α − =

π= − ∈

(331)

Din (330) şi (331) am obţinut mulţimea de soluţii de formă particulară (326), şi anume

( ) ( )1 , sin sh ,k kk kv x y A x b y ka a

.∗π π= − ∈

Considerăm funcţia

( ) (1

, sin shkk

k kv x y A x b ya a

∞

=

π π= ∑ ) ,− (332)

dacă există. În caz că seria de funcţii din (332) este uniform convergentă şi poate fi derivată termen cu termen de două ori atât în raport cu x, cât şi cu y, seriile de funcţii astfel rezultate fiind şi ele uniform convergente, constatăm că funcţia

(332) este funcţie armonică în şi satisface condiţiile Dirichlet nule din problema (322). Impunem, pentru determinarea şirului de coeficienţi {

D}k kA ∗∈

din (332), condiţia Dirichlet nenulă din problema (322) funcţiei (332). Rezultă

( ) [ ]11

sh sin , 0, .kk

k b kA x f x x aa a

∞

=

π π= ∈∑ (333)

Relaţia (333) are loc pentru { }k kA ∗∈ coeficienţii dezvoltării în serie Fourier - trigonometrică de sinusuri a funcţiei ( )1f ⋅ pe [ ]0, a . Această dezvoltare este posibilă conform ipotezelor privind funcţia , de a satisface condiţiile Dirichlet pe [

( )1f ⋅

]0, a . Se prelungeşte prin imparitate funcţia ( )1f ⋅


la [ ],a a− , fie această prelungire [ ]1 : ,f a a∧

− → , [ ]

110,a

f f∧

= ,

( ) ( )1 1f x f∧ ∧

= − −x , oricare ar fi [ ],x a a∈ − ; se prelungeşte la , prin periodicizare cu perioada

( )1f∧

⋅

2T a= , fie această prelungire 1 :f → ,

[ ]1 1,a af f

∧

−= şi ( ) ( )1 2 1f x a f x+ = , oricare x ∈ . Astfel, funcţia ( )1f ⋅

admite dezvoltarea Fourier - trigonometrică de sinusuri, dezvoltare care restrânsă la [ ]0, a este chiar (333) cu

( )10

2 sin , .sh

a

kkA f x xk b aa

a

k ∗π=

π ∫ ∈ (334)

Obţinem astfel că soluţia problemei (322), conform (332) şi (334) este dată de

( ) (11

, sin shkk

k kv x y A x b ya a

∞

=

π π= ∑ ) ,− (335)

cu kA daţi de (334), . k ∗∈ În mod absolut similar se obţine că

( )

( )

21

10

, sin sh

,2 sin d ,

sh

kk

b

k

k kv x y B y xb b

kB h y y y kk a bbb

∞

=

∗

⎧ π π=⎪

⎪⎪⎨ π⎪ = ∈

π⎪⎪⎩

∑

∫ (336)

( )

( )

31

20

, sin sh

,2 sin d

sh

kk

a

k

k kv x y C x ya b

kC h xk b aaa

∞

=

⎧ π π=⎪

⎪⎪⎨ π⎪ =

π⎪⎪⎩

∑

∫ x x (337)

( ) ( )

( )

41

20

, sin sh

.2 sin d ,

sh

kk

b

k

k kv x y D y a xb b

kD g y y y kk a bbb

∞

=

∗

⎧ π π= −⎪

⎪⎪⎨ π⎪ = ∈

π⎪⎪⎩

∑

∫ (338)


Din (319), (321), (334), (335), (336), (337), (338) rezultă soluţia problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Poisson în dreptunghiul D, considerată în enunţ.

33º Să se rezolve problema

( ) ( ){ }( ) [ ]

( ) [ ]2 2

2 2 2 2 2 2, , , ,

, 0, 2 ,

0, 2 . x y R

u x y în D x y x y x y R

u f

f satisface condiţiile Dirichlet pe+ =

⎧Δ = + = ∈ + <⎪⎪

= θ θ ∈ π⎨⎪

⋅ π⎪⎩

Soluţie: Problema din enunţ este o problemă Dirichlet interioară pe discul centrat în origine de rază R pentru ecuaţia lui Poisson. Observăm că funcţia

( )4 4

,12

x yu x y +=

satisface ecuaţia lui Poisson din problema considerată, deci cu schimbarea de funcţie , cu u v

( ) ( )4 4

, ,12

,x yv x y u x y += − (339)

noua funcţie necunoscută satisface problema Dirichlet interioară pentru disc

( ,v ⋅ ⋅ )

( ) ( ){ }( ) [ ]

( ) ( )( )

2 2

2 2 2

4 2

0, în , , ,

, 0, 2

2 sin 2

24

x y R

v D x y x y x y

v g

Rg f

+ =

⎧Δ = = ∈ + <⎪⎪ = θ θ ∈ π⎪⎨⎪ − θ⎪ θ = θ −⎪⎩

.

R

(340)

Pentru problema Dirichlet interioară, conform capitolului 1, §9, 9.6.2 i, s-a obţinut formula lui Poisson de reprezentare a soluţiei în cazul discului; s-a prezentat atât metoda funcţiei Green, cu construcţie efectivă, cât şi metoda separării variabilelor. Mai jos, dăm în cazul concret considerat metoda separării variabilelor, urmând pas cu pas teoria deja prezentată în capitolul 1, §9, 9.6.2 i, în ideea sublinierii elementelor esenţiale specifice problemei Dirichlet interioare pentru disc.


Se scrie problema (340) în coordonate polare. Rezultă

( ) ( ){ }( ) ( ) [ ]

( ) ( )( )

2 22 2

2 2

4 2

0, în , , ,

, , 0, 2

2 sin 2

24

v v v D x y x y R

v R g

Rg f

⎧ ∂ ∂ ∂ρ + ρ + = = ∈ ρ <⎪ ∂ρ∂ρ ∂θ⎪

⎪ θ = θ θ ∈ π⎨⎪

− θ⎪θ = θ −⎪⎩

. (341)

Se caută pentru problema (341) soluţii de formă particulară

( ) ( ) ( ),v R Tρ θ = ρ θ ≡ 0. (342)

Înlocuind în ecuaţia lui Laplace din (341) şi împărţind cu ( ),v ρ θ , rezultă 2 .R R T

R R T′′ ′

ρ + ρ = −′′

Această relaţie este posibilă dacă şi numai dacă există λ ∈ astfel încât 2 0R R R′′ ′ρ + ρ − λ = ,

respectiv 0T T′′ + λ = .

Condiţia Dirichlet la frontieră devine ( ) ( ) ( )R

R T gρ=

ρ θ = θ ,

cu periodică de perioadă ( )g ⋅ 2π , adică ( )T ⋅ trebuie să fie periodică cu perioada 2 . π Rezultă astfel problema

(343) ( ) ( )

0,

2 , oricare T TT T′′ + λ =⎧

⎨ θ + π = θ θ ∈⎩

şi ecuaţia

. (344) 2 0R R R′′ ′ρ + ρ − λ =

Urmează o discuţie după valorile parametrului real λ . I. 0λ < Din problema (343) rezultă ( ) 1 2e eT c c−λθ − −λθθ = + . Condiţia de periodicitate pentru ( )T ⋅ conduce la

( ) ( )2 21 2 1 2e e ec c c c−λ θ+ π − −λ θ+ π e−λθ − −λθ+ = + , oricare ar fi . Rezultă θ ∈

( ) ( )2 21 2e e 1 e e 1c c− −λθ−λθ π −λ − π −λ− + − = 0,


combinaţie liniară nulă de funcţiile e −λθ şi e− −λθ independente funcţional, deci

( )( )

21

22

e 1,

e 1

c

c

π −λ

− π −λ

⎧ − =⎪⎨⎪ − =⎩

0

0

de unde , deoarece parantezele sunt nenule pentru ; se obţine 1 2 0c c= = 0λ ≠( ) 0T θ ≡ , ceea ce contrazice (342), deci cazul 0λ < nu se acceptă.

II. 0λ = Rezultă , care este funcţie periodică dacă şi numai dacă

( ) 1 2 1 2, ,T c c c cθ = θ + ∈

( )0 ,T c cθ = ∈ . (345)

În mod corespunzător, din ecuaţia pentru ( )R ⋅ rezultă ( )0R ρ = . Pentru ca 0 lnc= ρ + 1c ( )0R ⋅ să fie definit în 0ρ = , trebuie ales 0 0c = ,

deci

( )0 ,R c cρ = ∈ . (346)

III. 0λ >( ) 1 2cos sinT c cθ = λθ + λθ .

Condiţia de periodicitate pentru ( )T ⋅ din problema (343) conduce la

( ) ( )1 2 1cos 2 sin 2 cos sinc c c cλ θ + π + λ θ + π = λθ + λθ2 , adică

( )( )

1 2

1 2

cos cos 2 1 cos 2

sin sin 2 cos 2 1 0.

c c

c c

⎡ ⎤λθ π λ − + π λ +⎣ ⎦⎡ ⎤+ −λθ − π λ + π λ − =⎣ ⎦

Deoarece funcţiile cos λθ , sin λθ sunt independente funcţional rezultă că

( )( )

1 2

1 2

cos 2 1 sin 2 0,

sin 2 cos 2 1 0

c c

c c

⎧ π λ − + π λ =⎪⎨− π λ + π λ − =⎪⎩

sistem liniar, omogen în , care admite soluţia banală . Cum soluţia banală nu ne interesează, impunem parametrului

1,c c2 1 2 0c c= =λ , o condiţie

aşa încât sistemul în să admită şi alte soluţii în afară de cea banală.

0λ >1,c c2


Aceasta revine la cos 2 1 sin 2

0,sin 2 cos 2 1

π λ − π λ=

− π λ π λ −

adică cos 2 1,π λ = deci

2 ,k k ∗λ = ∈ . Rezultă

( ) 1 2 1 2cos sin , , , .k k k k kT c k c k k c c∗θ = θ + θ ∈ ∈

.

(347)

Pentru ecuaţia (344) devine 2kλ =2 2 0,R R k R′′ ′ρ + ρ − =

ecuaţie diferenţială de ordinul al doilea liniară, cu coeficienţi variabili, de tip Euler. Se face schimbarea de variabilă

, ettρ ρ = Rezultă

( )d d d ed d d

tR R tR R tt

−′ ′= = =ρ ρ

( )( ) ( ) ( )( )2

22

d d e e edd

t t tR .R R t R t R tt

− − −′′ ′ ′ ′′= = = − +ρ

Obţinem . ( ) ( )2 0R t k R t′′ − =Deci

( ) e e ,kt ktk k kR t k− ∗= α + β ∈ ,

adică ( ) ,k k

k k kR .k− ∗ρ = α ρ + β ρ ∈ (348)

Din (347) şi (348) ar rezulta familia de soluţii de formă particulară propusă prin (342),

( ) ( ) ( )1 2, cos sink kk k k k kv c k c , .k k− ∗ρ θ = α ρ + β ρ θ + θ ∈

Pentru ca ( ),kv ⋅ ⋅ să fie soluţie, funcţie armonică în interiorul discului Rρ < , pentru ecuaţia lui Laplace din (341), ea trebuie să fie definită în

punctele interioare discului, deci şi în 0ρ = ; rezultă astfel , 0kβ = k ∗∈ , deci

( ) [ ], cos sin ,kk k kv A k B k k .∗ρ θ = ρ θ + θ ∈ (349)


Conform (345), (346) şi (349), considerăm

(350) ( ) [0

, coskk k

k

v A k B∞

=

ρ θ = ρ θ + θ∑ ]sin .k

Dacă seria din (350) este o serie de funcţii uniform convergentă, în punctele interioare discului centrat în origine şi rază R, şi în plus admite derivate de ordinul al doilea atât în raport cu variabila ρ , cât şi cu variabila θ , aşa încât seriile rezultate prin derivarea termen cu termen în (350) de două ori în

respectiv θ să fie ele însele uniform convergente, atunci (350) defineşte o funcţie armonică în interiorul discului, adică satisface ecuaţia din problema (340). Impunem funcţiei (350) să satisfacă şi condiţia Dirichlet din problema (340). Rezultă

ρ

[ ( )0

cos sin .kk k

k

R A k B k g∞

=]θ + θ =∑ θ (351)

Dar (351) este chiar dezvoltarea în serie Fourier - trigonometrică a funcţiei , dezvoltare care are loc în condiţiile problemei din enunţ privind funcţia

( )g ⋅

( )f ⋅ , deci . Deci (351) are loc pentru ( )g ⋅

( )

( )

( )

2

00

2

02

0

1 d2

1 cos d , .

1 sin d ,

k k

k k

A g

A g k kR

B g k kR

π

π∗

π∗

⎧⎪ = θ θ

π⎪⎪⎪⎪ = θ θ θ ∈⎨

π⎪⎪⎪ = θ θ θ ∈⎪ π⎪⎩

∫

∫

∫

(352)

Funcţia (350) împreună cu (352) şi conform (339) dă soluţia problemei Dirichlet interioare considerate în enunţ. Rezultă astfel

( ) ( ) ( )24 4

10

1, 1 2 cos12 2

k

k

x yu x y g kR

d .π ∞

=

⎡ ⎤+ ρ⎛ ⎞= + ϕ + ϕ − θ ϕ⎢ ⎥⎜ ⎟π ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫


Sau, urmând raţionamentul de deducere a formulei Poisson din capitolul 1, §9, 9.6.2 i, deducem

( ) ( )( )

( )( )

24 4 2 2

2 20

2 2 224 4

2 20

1, d12 2 2 cos

1 d .12 2 2 cos arctg

x y Ru x y gR R

R x yx y gyR R x yx

π

π

+ − ρ= + ϕ ϕ =

π − ρ ϕ − θ + ρ

− ++= + ϕ

π ⎛ ⎞− ρ ϕ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ 2ϕ

2

34º Să se arate că soluţia problemei Dirichlet interioare pentru discul 2 2x y R+ < în cazul în care 2 2 2x y Ru f+ = = , 1f f= ∈ dacă 0y > , iar

dacă , se scrie sub forma 2f f= ∈ 0y <

( ) 1 2 1 22 2

2 sin, arctg2

f f f f RuR

+ − ,ρ θρ θ = +

π − ρ

iar în cazul problemei Dirichlet exterioare cu aceleaşi date pe cerc avem

( ) 1 2 1 22 2

2 sin, arct2

f f f f Ru g .R

+ − ρ θρ θ = +

π ρ −

Soluţie: i. Problema Dirichlet interioară Problema Dirichlet interioară revine la

( ) ( ){ }

2 2

2 2 2 2

1

2

0, în , , ,., 0

, 0x y R

u D x y x y x y R

f yu

f y+ =

⎧Δ = = ∈ + <⎪⎪⎨ >⎧

=⎪ ⎨ <⎪ ⎩⎩

(353)

Pentru rezolvarea problemei (353) facem trimitere la exerciţiul 33º, şi anume la rezolvarea problemei (340). Se urmează pas cu pas raţionamentul privind aplicarea metodei separării variabilelor şi obţinerea soluţiei problemei (340). Astfel soluţia problemei, conform (350) şi (351) va fi dată de


( ) [ ]

( )

012

1 20 1 2

0

2

1 20

2

1 20

1 2

, cos sin

1 d d2 2

1 cos d cos d 0,

1 sin d sin d

0 1 1 1

kk k

k

k k

k k

kk

u A A k B k

f fA f f

A f k f k kR

B f k f kR

f fkR

∞

=

π π

π

π π∗

π

π π

π

ρ θ = + ρ θ + θ

⎡ ⎤ +⎢ ⎥= θ + θ =π ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= θ θ + θ θ = ∈

π ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= θ θ + θ θ =

π ⎢ ⎥⎣ ⎦

− ⎡ ⎤= − − =⎣ ⎦π

∑

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1 22 1

.

, 2,2 , 2 1

2 1n

k nkf f k n

nR

∗

+

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎧

⎪⎪ ∈−⎨⎪ ⋅ = +⎪⎪ +π⎩⎩ Cu aceasta rezultă

( ) ( ) ( )2 11 2

1 20

sin 2 12, .2 2

n

n

nf fu f fR n

+∞

=

+ θ+ ρ⎛ ⎞ρ θ = + − ⎜ ⎟π +⎝ ⎠∑ 1 (354)

Pentru calculul sumei seriei din (354) se pleacă de la funcţia multiformă

( ) (1 1 1ln ln 1 ln 12 1 2

z )z zz

+= + − −⎡⎣−

⎤⎦ . Se uniformizează această funcţie

multiformă de exemplu prin tăietura 1 2T T T= ∪ cu {1 , Im 0T z z z= ∈ = ,

( ]}Re , 1z x= ∈ −∞ − , [ ){ }2 , Im 0, Re 1,T z z z z x= ∈ = = ∈ +∞ . Se alege acea ramură a funcţiei multiforme logaritm care are proprietatea că , deci ln 1 0= 0k = . Fie această ramură ( )zϕ =

( ) ( ){ }0

1 ln 1 ln 12

z= + − −⎡⎣ z ⎤⎦ . Această ramură pe este olomorfă şi

ea admite pe ca punct ordinar. Rezultă că

\ T

0z = ( )ϕ ⋅ admite dezvoltare Taylor în jurul punctului . Vom deduce această dezvoltare. În acest sens observăm că

0z =

( ) ( ) ( ){ }1 11 1 12

z z z− −′ϕ = + + − .


Cu seria binomială rezultă

( ) ( ){}

2 3

2 3

1 1 ... 1 ...2

1 ... ... , 1.

n n

n

z z z z z

z z z z z

⎡ ⎤′ϕ = − + − + + − + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + + + + <⎣ ⎦

Prin urmare ( ) 2 4 21 ... ..., 1.nz z z z z′ϕ = + + + + + <

Pe domeniul de convergenţă uniformă, 1z r≤ < seria din dezvoltarea anterioară se integrează termen cu termen şi rezultă, ţinând seama de alegerea ramurei , şi anume , că ( )ϕ ⋅ ( )0ϕ = 0

( ) { } 2 1

0 0

1 1ln , 12 1 2 1

n

n

z zz zz n

∞ +

=

+ϕ = = <

− +∑ . (355)

Alegând în (355) iez r θ= , cu 1r < deducem ( ) ( )2 1

0

i i

i i0

cos 2 1 isin 2 12 1

1 1 e 1 1 e 1 eln ln i arg .2 21 e 1 e 1 e

n

n

n nr

n

r rr r

∞+

=

θ θ

θ θ

+ θ + + θ=

+

⎡⎧ ⎫+ += = +⎨ ⎬ ⎢ ⎥

− −⎩ ⎭ ⎢ ⎦⎣

∑i

irr

θ

θ

⎤+−

Rezultă că

( ) i2 1

i00

i

i i

i i

i

sin 2 1 1 1 eIm ln2 1 2 1 e

1 eIm1 1 e 1 1 earg arctg .2 21 e 1 eRe

1 e

n

n

n rrn r

rr rr r

r

∞ θ+

θ=

θ

θ θ

θ θ

θ

⎧ ⎫+ θ += =⎨ ⎬

+ −⎩ ⎭

++ −= =− +

−

∑

(356)

Dar,

( )( )

( ) ( )

i

i

2

2 22 2 2 2

1 cos i sin1 e1 cos i sin1 e

1 2 sii .1 cos sin 1 cos sin

r rrr rr

r rr r r r

θ

θ

+ θ + θ+= =

− θ − θ−

− θ= +

− θ + θ − θ +

nθ

(357)


( )2

0

sin 2 1 1 2 sinarctg .2 1 2 1

n

n

n rrn r

∞

=

+ θ θ=

+ −∑ (358)


Scriind (358) pentru 1rRρ

= < rezultă, conform (354), că

( ) ( )1 21 2 2 2

1 2, ar2

f f Ru f fR

+ sinctg .ρ θρ θ = + −

π − ρ

ii. Problema Dirichlet exterioară

Problema Dirichlet exterioară revine la

( ) ( ){ }

( )

2 2

2 2

2 2 2 2

1

2

0, în Ext , , ,

, 0.

, 0

lim , există şi este finită, uniform în raport cu direcţia

x y R

x y

u D x y x y x y R

f yu

f y

u x y

+ =

+ →∞

⎧Δ = = ∈ + >⎪⎪ >⎧⎪ = ⎨⎨ <⎩⎪⎪⎪⎩

(354')

Facem din nou trimitere la exerciţiul 33º, şi anume la rezolvarea problemei (340), din care, întrucât şi pentru (354') aplicăm tot metoda separării variabilelor, reţinem, conform (347) şi (348), că pentru problema (354') găsim o familie de funcţii armonice de forma

( ) ( ) ( )1 2, cos sink kk k k k ku c k c , .k k− ∗ρ θ = α ρ + β ρ θ + θ ∈

Pentru ca ( ),ku ⋅ ⋅ să fie armonică în Ext D în mod necesar trebuie să fie definită în Ext D, deci trebuie ales 0,k k ∗α = ∈ . Obţinem astfel familia de funcţii armonice în Ext D

(355') ( ) ( ), cos sin ,kk k ku A k B k− ∗ρ θ = ρ θ + θ ∈ .k

sin .k

Conform (345), (346), (355') considerăm funcţia

(356') ( ) ( )0

, coskk k

ku A k B

∞−

=

ρ θ = ρ θ + θ∑Impunem funcţiei (356') condiţia Dirichlet din problema Dirichlet

exterioară (354'). Rezultă

(357') ( ) 1

20

, 0cos sin .

, 0k

k kk

f yR A k B k

f y

∞−

=

>⎧θ + θ = ⎨ <⎩

∑Formula (357') are loc dacă ea semnifică dezvoltarea în serie Fourier -

trigonometrică a funcţiei ( )[ )[ ]

1

2

, 0,

, ,

ff

f

⎧

2

θ ∈ π⎪θ = ⎨θ ∈ π π⎪⎩

. Evident această dezvoltare

este posibilă şi din (357') rezultă


( )

( )

( ) ( )

21 2

002 2

1 20 0

21 2

0

2 11 2

1 d2 2

cos d cos d cos d

0,

sin d 1 12

0 , 2,2 , 2 1

2 1

k k

k

k kk

k

n

f fA f

R RA f k f k f k

k

f fR RB f kk

k nkf fR k n

n

π

π π π

π

∗

π

∗+

⎧ +⎪ = θ θ =π⎪

⎪⎡ ⎤⎪⎢ ⎥= θ θ θ = θ θ + θ θ =⎪

π π ⎢ ⎥⎣ ⎦

= ∈⎨− ⎡ ⎤= θ θ θ = − − =⎣ ⎦π π

=⎧⎪= ∈⎨ −

= +⎪ π +⎩

∫

∫ ∫ ∫

∫

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

. (358')

Din (356') şi (358') rezultă

( ) ( ) ( )2 11 21 2

0

2 si, .

2 2

n

n

f f nf f Run

+∞

=

− +⎛ ⎞+ρ θ = + ⎜ ⎟π ρ +⎝ ⎠

∑ n 2 11

(359)

Conform (358') scris pentru 1Rr = <ρ

(359) devine

( ) 1 2 1 22 2

2 sin, arctg2

f f f f RuR

+ − ,ρ θρ θ = +

π ρ −

ceea ce trebuia demonstrat.

35º Să se arate că soluţia problemei Dirichlet interioare pentru inelul circular 1 20 R R< < ρ < , ( )

1 1Ru fρ= = θ , ( )2 2Ru fρ= = θ , cu ( )1f ⋅ ,

funcţii periodice, de perioadă ( )2f ⋅ 2θ = π , care satisfac condiţiile lui Dirichlet pe orice interval de lungime 2π , în cazul ecuaţiei Laplace, admite reprezentarea

( ) ( )

( )

00

1

1

, ln cos sin2

1 cos sin ,

nn n

n

n nnn

au d a n b

c n d n

∞

=∞

=

ρ θ = + ρ + ρ θ + θ +n

+ θ + θρ

∑

∑

cu

( ) ( )10 20 20 1 10 2

0 01 2 1 2

ln ln, ,2 ln ln 2 ln ln

a a a R a Rd aR R R R− −

= =− −


2 2 1 1 2 2 1 12 2 2 22 1 2 1

, ,n n n n

n n n nn nn n n n

R a R a R b R aa bR R R R

− −= =

− −

( ) ( )2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 22 2 2 22 1 2 1

,n n n n n n n

n n n nn nn n n n

nR a R a R R R b R b R Rc d

R R R R

− −= =

− −

unde

( ) ( )2 2

1 1 2 20 0

1 1cos d , cos d ,n na f n a f n nπ π

= ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕπ π∫ ∫ ∈

( ) ( )2 2

1 1 2 20 0

1 1sin d , sin d ,n nb f n b f n nπ π

∗= ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ∈π π∫ ∫ .

Soluţie: Problema Dirichlet interioară pentru ecuaţia lui Laplace şi inelul 10 2R R< < ρ < revine la integrarea problemei

( ) ( ){ }( ) [ ]( ) [ ]

( ) ( )

2 21

2 22

2 2 21 2

1

2

1 2

0, în , , ,

, 0, 2

, 0, 2

, funcţii periodice cu perioada 2 , care satisfac condiţiile Dirichlet pe orice interval de lungime 2

x y R

x y R

u D x y x y R x y R

u f

u f

f f

+ =

+ =

⎧Δ = = ∈ < + <⎪⎪ = θ θ ∈ π⎪⎪⎨ = θ θ ∈ π⎪⎪ ⋅ ⋅ π⎪

π⎪⎩

. (360)

Pentru integrarea problemei (360) se scrie aceasta în coordonate polare şi apoi se utilizează metoda separării variabilelor

Fig. 2.1.2


Rezultă

( ) [ ]( ) [ ]

1

2

2 22

2 2

1

2

0

, 0, 2 .

, 0, 2R

R

u u u

u f

u fρ=

ρ=

⎧ ∂ ∂ ∂ρ + ρ + =⎪ ∂ρ∂ρ ∂θ⎪⎪

⎨ = θ θ ∈ π⎪⎪ = θ θ ∈ π⎪⎩

(361)

Pentru (361) se urmează punct cu punct rezolvarea problemei (340) din exerciţiul 33º. Astfel, căutând soluţii de formă particulară

( ) ( ) ( ),u R Tρ θ = ρ θ ≡ 0

,k k

(362)

suntem conduşi la mulţimea de funcţii armonice, în inelul considerat,

( )( ) ( ) ( )

0 0 1

1 2

, ln.

, cos sink kk k k k k

u c c

u c k c− ∗

ρ θ = ρ +⎧⎪⎨

ρ θ = α ρ + β ρ θ + θ ∈⎪⎩ (363)

În (363) nu trebuie să mai alegem şi 0c ,k k ∗β ∈ nuli ca în cazul problemei (340) deoarece funcţiile (362) sunt definite şi armonice în coroana circulară 10 2R R< < ρ < . De asemenea, nu trebuie să alegem în (363) nici

nuli, aşa cum am procedat în exerciţiul 34º, ii, în rezolvarea problemei (354') deoarece funcţiile (363) trebuie să fie funcţii armonice doar în coroana circulară

,k k ∗α ∈

10 2R R< < ρ < . Pornind de la (363) şi conform (362) considerăm funcţia

( )

( ) ( )

0 0

1

, ln

cos sin ,k kk k k k

k

u

a k b k∞

−

=

ρ θ = α + β ρ +

+ α ρ + β ρ θ + θ∑ (364)

dacă există şi dacă seria de funcţii din (364) împreună cu seriile derivatelor sale de ordinul al doilea în raport cu ρ , respectiv cu θ sunt la rândul lor convergente uniform. În acest caz, conform modului cum a fost dedusă funcţia (364) aceasta este armonică în inelul 10 2R R< < ρ < şi pentru a fi soluţie pentru (361) trebuie să verifice şi condiţiile Dirichlet pe frontieră. Înainte de a impune condiţiile pe frontieră funcţiei (364) să observăm că aceasta se rescrie sub forma

( ) ( )

( )

0 01

1

, ln cos sin

1 cos sin .

kk k

k

k kkk

u A k

C k D k

∞

=∞

=

ρ θ = α + β ρ + ρ θ + θ +

+ θ + θρ

∑

∑

B k

(365)


Condiţiile la frontieră conduc la

( )

( )

( )

( )

( )

0 0 1 11

111

0 0 2 21

221

ln cos sin

1 cos sin

ln cos sin

1 cos sin

kk k

k

k kkk

kk k

k

k kkk

R R A k B k

C k D k fR

R R A k B k

C k D k fR

∞

=∞

=∞

=∞

=

⎧α + β + θ + θ +⎪

⎪⎪⎪ + θ + θ =⎪⎪⎨⎪α + β + θ + θ +⎪⎪⎪⎪ + θ + θ =⎪⎩

∑

∑

∑

∑ ( )

θ

θ

. (366)

Conform ipotezelor din enunţ privind funcţiile ( )1f ⋅ şi acestea sunt periodice cu perioada şi satisfac condiţiile Dirichlet pe orice interval de lungime 2 . Rezultă că funcţiile

( )2f ⋅2π

π ( )1f ⋅ , ( )2f ⋅ admit dezvoltări Fourier -trigonometrice, iar (366) sunt chiar aceste dezvoltări. Cu aceasta din (366) deducem

( )

( )

2

0 0 1 102

0 0 2 20

1ln d2

1ln d2

R f

R f

π

π

⎧⎪α + β = θ θ

π⎪⎪⎨⎪α + β = θ θ⎪ π⎪⎩

∫

∫ . (367)

( )

( )

2

1 1 10

2

2 2 20

1 cos d

1 cos d

k kk k

k kk k

A R C R f k

A R C R f k

π−

π−

⎧⎪ + = θ θ

π⎪⎪⎨⎪

+ = θ⎪ π⎪⎩

∫

∫

θ

θ θ

. (368)

( )

( )

2

1 1 10

2

2 2 20

1 sin d

1 sin d

k kk k

k kk k

B R D R f k

B R D R f k

π−

π−

⎧⎪ + = θ θ

π⎪⎪⎨⎪

+ = θ⎪ π⎪⎩

∫

∫

θ

θ θ

. (369)

Din (367) obţinem

( )

( )

20 1 10 20

1 2

10 200

1 2

ln ln2 ln ln

2 ln ln

a R a RR R

a aR R

−⎧α =⎪ −⎪⎨ −⎪β =⎪ −⎩

.


Din (368) rezultă ( )

2 2 1 12

2 1

1 2 1 2 2 12 22 1

,

.

,

k kk k

k k k

k k k kk k

k k k

R a R aA kR R

R R a R a RC k

R R

∗

∗

⎧ −= ∈⎪

−⎪⎨

−⎪= ∈⎪

−⎩

Din (369) se obţine ( )

2 2 1 12 22 1

2 1 1 2 1 22 22 1

,

.

,

k kk k

k k k

k k k kk k

k k k

R b R bB kR R

R b R b R RD k

R R

∗

∗

⎧ −= ∈⎪

−⎪⎨

−⎪= ∈⎪

−⎩

36º Să se rezolve problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace şi domeniul ( ) ( ){ 2

1 2, , , 0 , 0 ,D R R= ρ θ ρ θ ∈ < < ρ < < θ < α α ∈

dacă ( }0, 2∈ π) 0 0u θ= = , ( ), const.u c cθ=α = = , 1Ru cρ=

θ=

α,

2Ru cρ=θ

=α

.

Soluţie: S-a considerat problema Dirichlet interioară ( ) ( ) ( ){

( )}

( )

1

2

1 2

0

0, în , , 0, ,

0 , const., 0, 2

0

0, 2 , const.

R

R

u D

R R

u c

u

u c

u c

c

∗

ρ=

θ=

ρ=

θ=α

⎧Δ = = ρ θ ρ θ ∈ × α⎪⎪ < < ρ < α = α ∈ π⎪

θ⎪ =⎪ α⎪⎪⎨ =⎪

θ⎪ =⎪ α⎪

=⎪⎪α ∈ π =⎪⎩

. (370)

Fig. 2.1.3



( )

( )

( )

( )

2 22

2 2

1

2

0, în

,

, 0 0 .

,

,

u u u D

u R c

u

u R c

u c

⎧ ∂ ∂ ∂ρ + ρ + =⎪ ∂ρ∂ρ ∂θ⎪

⎪ θθ =⎪

α⎪⎨ ρ =⎪⎪ θ

θ =⎪α⎪

⎪ ρ α =⎩

(371)

Căutăm, utilizând metoda separării variabilelor, soluţii pentru (371) de forma particulară

( ) ( ) ( ),u R Tρ θ = ρ θ ≡ 0 . (372)

Evident se poate urma pas cu pas procedura generală de separare de variabile. Este însă, în acest caz, suficient să observăm că, din (372) şi o condiţie Dirichlet din (371), rezultă

( ), , const.,u c cρ α = = deci ( ) ( ) ,R T cρ α = adică

( ) ( )const.cR

Tρ = =

α (373)

Cu aceasta ecuaţia Laplace din (371) pentru (372) revine la ( ) ( ) 0,R T ′′ρ θ =

adică . ( ) 0T ′′ θ =Rezultă astfel

(374) ( ) 1 2 1 2, ,T c c c cθ = θ + ∈ .

Din condiţiile Dirichlet scrise pentru 0θ = , conform (371), rezultă ( )0 0T = ,deci din (374) se obţine , adică 2 0c =

( ) 1 1,T c cθ = θ ∈ . (375)

Din (375) şi condiţia Dirichlet din (371) scrisă în θ = α rezultă ( ) 1 ,T c cα = α =


adică 1cc =α

, prin urmare

( ) cT θθ =

α . (376)

Din (372), (373) şi (376) se deduce

( ) ( )( ), .

Tc cuT

αρ θ = ⋅ θ = θ

α α α

37º Să se arate că soluţia ecuaţiei lui Poisson ( )2 2u F x yΔ = + în

interiorul cercului de rază R centrat în origine, care este nulă pe cerc, este

( ) ( ) ( ) ( ) (2 2

2 2

0 0

, ln ln d ln ln dx y R

u x y x y s sF s s R s sF s s+

= + − − −∫ ∫ )

unde este o funcţie de clasă pe ( )F ⋅ 2C + . Soluţie: Avem de rezolvat o problemă Dirichlet interioară ataşată ecuaţiei lui Poisson pentru disc, şi anume

( ) ( ) ( ){ }2 2

2 2 2 2 2, în , , ,.

0x y R

u F x y D x y x y x y R

u + =

⎧Δ = + = ∈ + <⎪⎨⎪ =⎩

(377)


( )

( )

2 2

2 2 21 1

., 0

u u u F

u R

⎧ ∂ ∂ ∂+ + = ρ⎪ ρ ∂ρ∂ρ ρ ∂θ⎨

⎪ θ =⎩

(378)

Ţinând seama de forma termenului liber din ecuaţie, şi anume ( )F ρ , căutăm pentru (378) soluţii de forma

( ) ( ),u fρ θ = ρ . (379)

În plus, din definiţia soluţiei problemei (377), deci (378) funcţiei ( )f ⋅ i se impun condiţiile

( )( )0 să fie finit

.0

f

f R

⎧⎪⎨

=⎪⎩ (380)

Impunând funcţiei (379) să satisfacă ecuaţia Poisson din (378) şi impunând condiţiile (380), obţinem


( ) ( ) ( )

( ) ( )

1,

0 finit, 0

f f F

f f R

⎧ ′′ ′ρ + ρ = ρ⎪ ρ⎨⎪ =⎩

adică

( ) ( )

( ) ( )

1.

0 finit, 0

f F

f f R

ρ

′⎧ ′ρ ρ = ρ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦ρ⎨⎪ =⎩

(381)

Prin integrarea ecuaţiei din (381) se deduce

( ) ( ) 1 10

d ,f sF s s c c ,ρ

′ρ ρ = + ∈∫

adică

( ) ( ) 1

0

1 d ,cf sF s sρ

′ ρ = +ρ ρ∫

deci

( ) ( ) 1 2 20 0

1 d d ln ,t

f sF s s t c c ct

.ρ ⎛ ⎞⎜ ⎟ρ = + ρ + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (382)

Pentru ca (382) să fie soluţie pentru problema (381) în mod necesar trebuie ca

( )

1

20 0

0

,1 d dR t

c

c sF st

=⎧⎪⎪ ⎛ ⎞⎨ ⎜ ⎟= −⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∫ ∫ s t

deci

( ) ( ) ( )0 0 0 0

1 1d d d dt R t

.f sF s s t sF s s tt t

ρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ρ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

Schimbând în integralele iterate, din formula de mai sus, ordinea de integrare, posibil pentru că domeniul pe care se iau cele două integrale duble este simplu în raport cu ambele axe, rezultă

( ) ( )

( ) ( ) [ ]

0 0 0

0 0

1 1d d d d

d d d ln ln d .

R t R R

s

R R R

s

sF s s t sF s t st t

tsF s t s sF s R s st

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ −


Prin urmare

( ) ( ) [ ] ( ) [ ]0 0

ln ln d ln ln d ,R R

f sF s s s sF s R s sρ = ρ − − −∫ ∫

ceea ce trebuia demonstrat. Cum soluţia problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Poisson este unică, conform capitolului 1, §9, 9.4, Teorema 9.4.4, rezultă că soluţia problemei (377), adică din enunţ, este

( ) ( ) ( ) [ ]2 2

2 2

0 0

, ln ln d ln ln dx y R

u x y sF s x y s s sF s R s s+

⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ − .

38º i) Să se scrie ecuaţia undelor 2 2 2

22 2 2u u ua

2

2u

x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ t

în coordonatele sferice . , ,r θ ϕ

ii) Să se arate că soluţia ( ),u r t a ecuaţiei undelor de la punctul i) care satisface condiţiile Cauchy ( ) ( ), 0u r f r= , ( ) (, 0tu r g r )′ = , cu

, ( ) ( )2f +⋅ ∈C ( ) ( )1g +⋅ ∈C , este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

,2

1 d .2

r at

r at

r at f r at r at f r atu r t

r

gar

+

−

− − + + += +

+ ρ ρ ρ∫

Soluţie: i) Se consideră transformarea

[ ] [ ]sin cos

: sin sin , 0, 0, , 0, 2 ,cos

x rT y r r

z r

= θ ϕ⎧⎪ = θ ϕ > θ ∈ π ϕ ∈ π⎨⎪ = θ⎩

transformare care face legătura între coordonatele carteziene , ,x y z şi coordonatele sferice (coordonate curbilinii ortogonale) , ,r ϕ θ . Parametrii lui Lamé în sistemul coordonatelor sferice sunt

1, , sin .rR R r R rθ ϕ= = = θ


Expresia laplacianului în coordonatele sferice este

2

2

2 22

2 2 2

1sin sin

sin1 sin

1 12 sin sin cos sin .sinsin

uu urru

rr

u u u ur rrr r

⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ θ ∂ θ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ θ ∂ϕ∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥Δ = + + =⎢ ⎥∂ ∂θ ∂ϕθ ⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= θ + θ + θ + θ +⎢ ⎥∂ ∂θθ ∂ ∂θ ∂ϕ⎣ ⎦

2

2u∂

θ Ecuaţia undelor, din enunţ, în sistemul coordonatelor sferice se scrie sub forma

2 2 22

2 2 2

2 2 2

2 2

1sin sinsinsin

2 cos 0.sin

a u urr r

u a u a ur rt r

⎡ ⎤∂ ∂ ∂θ + θ +⎢ ⎥θθ ∂ ∂θ ∂ϕ⎣ ⎦

∂ ∂ θ ∂− + + =

∂ ∂θ∂ θ

2

2u

−

(383)

ii) Pentru ecuaţia (383) căutăm doar soluţii de forma ( ),u r t , deci independente de θ şi . Prin urmare problema Cauchy pe care o considerăm la acest punct este

ϕ

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 22 , 0, 0

, 0 , 0 .

, 0 , 0

u u ua rr rr t

u r f r ru r g r rt

⎧ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ = > >⎪ ⎜ ⎟

∂∂ ∂⎝ ⎠⎪⎪⎨ = >⎪∂⎪ = >

⎪ ∂⎩

t

v r

(384)

În problema (384) se face schimbarea de funcţie , cu u v u= . Problema (384) devine

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 2 , 0, 0

, 0 , 0 .

, 0 , 0

v va rr t

v r r f r rv r rg r rt

⎧ ∂ ∂ t= > >⎪∂ ∂⎪⎪

⎨ = >⎪ ∂⎪ = >⎪ ∂⎩

(385)

Pentru problema Cauchy (385) soluţia este dată de formula lui d'Alembert, a se vedea capitolul 1, §5, 5.2, Teorema 5.2.1, formula (93),

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )1, d2 2

r at

r at

r at f r at r at f r atv r t ga

+

−

+ + + − −= + ∫ .ρ ρ ρ


De aici, conform schimbării de funcţie făcute deducem formula din enunţ pentru ( ),u r t .

39º Se consideră ecuaţia

( )2 2

22 21 0u u ux x

xx y∂ ∂ ∂

− − −∂∂ ∂

.=

i) Să se aducă ecuaţia la formă canonică. ii) Folosind metoda separării variabilelor să se determine soluţia ecuaţiei

în ( ){ ( ) 2, , , }D x y x y= ∈ ( )1 , 0 1g x y< < < < , unde ( )g x = 2 1x x= + − , care satisface condiţiile de tip Dirichlet ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 0 , 0 1

0 , 0 1.

, 0 0 , 1, 1 0 , 1

g x

g x

u y

u y

u x g xu x g x

=

=

⎧ = < <⎪

= < <⎪⎨

= < <⎪⎪ = < <⎩


Soluţie: i) Observăm că în cazul ecuaţiei din enunţ ( ) ( )2, 1A x y x= − ,

, ( ), 0B x y = ( ),C x y = −1. Prin urmare ( ),x yΔ = [ ] ( )2 ,B AC x y− = 21 x= − . Rezultă că:

– În ( ) ( ) ( ) ( ){ }2, , , , 1 1, ,x y x y x y∈ ∈ −∞ − ∞ ∈∪ ecuaţia este de tip eliptic;

– În ( ) ( ) ( ){ }2, , , 1, 1 ,x y x y x y∈ ∈ − ∈ ecuaţia este de tip hiperbolic.

I. Cazul hiperbolic, ( )1, 1 ,x y∈ − ∈ Ecuaţia caracteristică , ataşată ecuaţiei cu derivate parţiale din enunţ, este

( ) ( ) ( )2 221 d dx y x− − 0= , iar sistemul diferenţial al caracteristicilor este

2

2

d 1d 1 .d 1d 1

yx xyx x

⎧ =⎪−⎪

⎨⎪ = −⎪ −⎩


Prin integrarea sistemului diferenţial al caracteristicilor rezultă familiile de caracteristici

11 2

2

arcsin, ,

arcsiny x c

c cy x c− =⎧

∈⎨ + =⎩.

Se consideră transformarea, dată de cele două familii de caracteristici reale,

arcsin: .

arcsiny x

Ty

ζ = −⎧⎨η = +⎩

Rezultă

( )

2

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1

11

1

1 21

+1 1

2

u u u u ux x x xu u u

xx x

u u ux

x u u

x xu u uy

u u u uy

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ ∂η⎝ ⎠−

∂ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ζ ∂η∂ ⎝ ⎠−⎣ ⎦⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= − + +⎜ ⎟∂ζ∂η− ∂ζ ∂η⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞− +⎜ ⎟∂ζ ∂η⎝ ⎠− −∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ζ ∂η

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ζ∂η∂ ∂ζ ∂η

.

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Înlocuind în ecuaţia din enunţ rezultă 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 22

21

2 01

u u u x u u

xx u u u u u

x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + + − + −⎜ ⎟∂ζ∂η ∂ζ ∂η∂ζ ∂η ⎝ ⎠−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− − + − − −⎜ ⎟∂ζ ∂η ∂ζ∂η∂ζ ∂η⎝ ⎠−,=

adică

2

4 u∂ 0=∂ζ∂η

, (386)

forma canonică a ecuaţiei din enunţ în domeniul în care ea este de tip hiperbolic. (Cu (386) s-a obţinut prima formă canonică a ecuaţiei hiperbolice considerate în enunţ.)


II. Cazul eliptic, ( ) ( ), 1 1, ,x y∈ −∞ − ∞ ∈∪ Ecuaţia caracteristicilor

( ) ( ) ( )2 221 d dx y x− − 0=

conduce la sistemul diferenţial al caracteristicilor

2

2

d id 1 .d id 1

yx xyx x

⎧ =⎪−⎪

⎨⎪ = −⎪ −⎩

Prin integrarea acestui sistem de ecuaţii diferenţiale se obţin două familii de caracteristici complex conjugate, şi anume

( )( )

21

1 22

2

i ln 1, ,

i ln 1

y x x cc c

y x x c

⎧ − + − =⎪ ∈⎨⎪ + + − =⎩

.

Se efectuează schimbarea de variabile dată de transformarea

( )2: .

ln 1

yT

x x

ζ =⎧⎪⎨η = + −⎪⎩

(Transformarea T este dată de partea reală respectiv partea imaginară a uneia din familiile de caracteristici complex conjugate obţinute prin integrarea sistemului diferenţial al caracteristicilor.) Calculul derivatelor, conform transformării T, conduce la

( )

2

2 2

2 2 22 2

2 2

2 2

1

11 1

11 1 .

u u u ux x x xu u u x

xx xx xu u u uy y y

u uy

∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎧ = + =⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂η−⎪⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎪ = = −⎢ ⎥∂ ∂η∂ − ∂η⎪ − −⎣ ⎦⎨∂ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂⎪ = + =⎪ ∂ ∂ζ ∂ ∂η ∂ ∂ζ

⎪⎪ ∂ ∂

=⎪ ∂ ∂ζ⎩

2 1

u

x ∂η−

Înlocuind în ecuaţia cu derivate parţiale din enunţ rezultă 2 2

2 22 20,

1 1

u x u x u u

x x

∂ ∂ ∂ ∂− + − − =

∂η ∂η∂η ∂ζ− −

adică

2 2

2 2 0.u u∂ ∂+ =

∂ζ ∂η (387)


ii) În cazul eliptic, deci în ( ) ( ){ 2, ,D x y x y= ∈ ,

( ) ( ), 1 1,x ∈ −∞ − +∞∪ , ( ) ( ) }0, 1 , 1y g x∈ < < în noile variabile ,ζ η avem de rezolvat problema Dirichlet interioară, conform (387),

( ) ( ) ( ){( ) }

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2 22

2 2 0 , în , , , 0, 1 ,

0 ln ln0 , 0 11 , 0 ln0 , 0 10 , 0 ln

OA

AB

BC

CO

u u

g xuuuu

⎧ ∂ ∂+ = Δ = ζ η ζ η ∈ ζ ∈⎪

∂ζ ∂η⎪⎪ < η = <⎪⎪

= < ζ <⎨

= < η <

= < ζ <

= < η <

,⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(388)

cu , transformatul domeniul D prin transformarea T, dreptunghiul OABCO din planul

ΔOζ η .

Fig. 2.1.4

Căutăm pentru problema Dirichlet interioară (388) soluţii de forma particulară ( ) ( ) ( ),u X Y 0ζ η = ζ η ≡ . (389)

Înlocuind în ecuaţia lui Laplace din (388) şi împărţind cu ( ) ( )X Yζ η rezultă

( )( )

( )( )

,X YX Y′′ ′′ζ η

= −ζ η

ceea ce este posibil, variabilele ζ şi η fiind independente, dacă şi numai dacă există astfel încât λ ∈

X YX Y′′ ′′= − = λ .


De aici şi din condiţiile Dirichlet omogene din problema (388) se obţine problema

( )

00 0

X XX′′ − λ =⎧

⎨=⎩

(390)

şi problema bilocală

( )( )

00 0ln 0

Y YYY

.′′ + λ =⎧

⎪ =⎨⎪ =⎩

(391)

În continuare facem o discuţie după valorile parametrului real λ şi integrăm problema bilocală (391).

I. 0λ <Rezultă ( ) 1 2e eY c c−λ ,η − −λ ηη = + cu

1 2

ln ln1 2

0,

e e

c c

c c−λ − −λ

+ =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩ 0

deci ( )ln ln

1 e ec −λ − −λ− = 0, prin urmare

( )ln 2 ln1 e e 1c − −λ −λ − = 0,

adică . Se obţine astfel 1 2 0c c= = ( ) 0Y η ≡ , ceea ce nu se acceptă, conform (389).

II. 0λ =În acest caz , ( ) 1 2Y cη = η + ccu

. 2

1

0ln 0

cc

=⎧⎨ =⎩

Rezultă , deci 1 2 0c c= = ( ) 0Y η ≡ şi prin urmare, conform (389), nici cazul nu este posibil. 0λ =

III. 0λ >Din problema bilocală (391) deducem

( ) 1 2cos sin ,Y c cη = λ η + λ η


cu

1

2

0.

sin ln 0

c

c

=⎧⎪⎨

λ =⎪⎩

Impunem condiţia, pentru a avea şi alte soluţii în afara celei banale care nu se acceptă, 1 2 0c c= =

sin ln 0λ = , de unde rezultă

ln , ,k k ∗λ = π ∈ adică

2 2

2 , .lnk k ∗π

λ = ∈

Obţinem astfel

( ) sin , .lnk kkY c k ∗π

η = η ∈ (392)

Pentru 2 2

2lnk π

λ = problema (390) conduce la

( ) ln lne e ,k k

k k kX kπ πζ − ζ ∗ζ = α + β ∈

cu 0k kα + β = ,

deci

( ) ( )ln lne e sh ,ln

k k

k k kkX k

π πζ − ζ ∗π

ζ = α − = α ζ ∈ . (393)

Din (389), (392) şi (393) deducem familia de funcţii armonice în Δ , care satisfac şi condiţiile Dirichlet omogene din problema (388),

( ), sh sin ,ln lnk kk ku A k .∗π π

ζ η = ζ η ∈

Considerăm, dacă există, funcţia

( )1

, sh sinln lnk

k

k ku A∞

=

.π πζ η = ζ η∑ (394)

Dacă seria de funcţii din (394) este uniform convergentă pe Δ şi admite derivate parţiale de ordinul al doilea atât în raport cu variabila ζ , cât şi cu variabila η, seriile de funcţii pentru derivate, obţinute prin derivare termen cu termen, fiind şi ele uniform convergente pe Δ , atunci funcţia (394) este armonică în şi satisface condiţiile Dirichlet omogene din problema (388). Δ


Impunem funcţiei (394) să satisfacă şi condiţia Dirichlet neomogenă din problema Dirichlet interioară (388). Rezultă

1

sh sin 1, 0 ln ,ln lnk

k

k kA∞

=

π πη = < η <∑ (395)

care este posibilă dacă funcţia constantă ( ) 1f η = , 0 ln< η < , admite dezvoltare Fourier - trigonometrică de sinusuri. În acest scop se prelungeşte

( ) 1f η = , ( ): 0, lnf → la funcţia ( ): ln , lng − → ,

Apoi se prelungeşte funcţia la , prin

periodicizare, prin funcţia , cu proprietatea că , oricare ar fi

( ) 1, ln 0.

1 , 0 lng

− − < η <⎧η = ⎨ < η <⎩

( )g ⋅

:h →( ) ( )ln 2 lnh η = η + η ∈ şi ( )ln ,lnh − g= . Atunci (395)

reprezintă dezvoltarea în serie Fourier - trigonometrică a funcţiei , restrânsă la intervalul ( şi deci

( )h ⋅)0, ln

( )( )( )

ln ln

00

2 2 lnsh sin d cosln ln ln ln ln

0 , 22 1 1 .4 , 2 1

2 1

k

k

k k kAk

k s

k sks

⎛ ⎞π π π= η η = − η⎜ ⎟

π⎝ ⎠

=⎧⎪= − − − = ⎨ = +π ⎪ + π⎩

∫ =

(396)


( )( ) ( )

( ) ( )

0

4 2 1 2, sh s2 1 ln ln2 1 sh

lnn

n nunn

∞

=

+ π + π1in ,ζ η = ζ η+ π

+ π∑ (397)

cu menţiunea că seria din (397) este uniform convergentă şi admite derivate parţiale de ordinul al doilea atât în raport cu variabila ζ , cât şi cu variabila η, deoarece s-a dedus din (394) şirul de coeficienţi { }k kA ∗∈ daţi de (396) care sunt coeficienţi Fourier. Cu aceasta, soluţia problemei Dirichlet interioare ataşată ecuaţiei din enunţ, punctul ii), şi domeniului D este

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2

0

4 2 1 2 1, sh sin l2 1 ln ln2 1 sh

lnn

n nu x y y x xnn

∞

=

+ π + π= +

+ π+ π

∑ n 1 .−


40º Folosind transformata Fourier prin cosinus să se arate că soluţia problemei

( )( )

( ) ( )

22

2 0 , 0 , 0

c.c. , 0 0 , 0

0, const., 0c.l.

lim , lim , 0

x

x x

u ua xyx

u x x

u y yuu x y x yx→∞ →∞

⎧ ∂ ∂ y− = < < ∞ >⎪ ∂∂⎪⎪ = < < ∞⎪⎨

′⎧ = −μ = >⎪⎪⎪ ⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩


( ) ( )2 2

20

2 cos, 1 e a yxu x y d .∞

− ζζ= μ − ζπ ζ∫

Soluţie: Am prezentat în capitolul 1, §8, 8.6 metoda transformatei Fourier privind rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii în cazul unui conductor unidimensional infinit.

Problema din enunţ este o problemă mixtă pentru ecuaţia căldurii în cazul unui conductor unidimensional infinit. Vom urma ideile prezentate pentru problema Cauchy în capitolul 1, §8, 8.6 deşi avem de rezolvat o problemă mixtă, nu Cauchy.

Notăm cu ( ),u ⋅ ⋅ soluţia problemei mixte şi cu ( ),U yζ transformata sa Fourier în cosinus, relativ la variabila spaţială x, deci

( ) ( )0

2, , coU y u x y xs d .x∞

ζ = ζπ ∫ (398)

Se aplică transformata Fourier în cosinus ecuaţiei din problema mixtă considerată. Rezultă

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

200

00

2

0

2 2, cos d , cos

2 2, sin d , sin

2, cos d , .

u ux y x x x y xxx

u x y x x u x y xx

u x y x x U y

∞ ∞

∞∞

∞

⎡∂ ∂ζ = ζ +⎢

π π ∂∂ ⎣

⎤∂ ⎡⎥+ ζ ζ = μ + ζ ζ −⎣∂ π π⎥⎦⎤⎥− ζ ζ = μ − ζ ζ

π⎥⎦

∫

∫

∫

( ) ( )

0

,2 , cos dU yu x y x x

y y

∞ ∂ ζ∂ζ =

π ∂ ∂∫ .


( ) ( )0

2 , 0 cos d 0 , 0 .u x x x U∞

ζ = = ζπ ∫

Cu aceasta problema mixtă din enunţ se transformă în problema Cauchy pentru ( ),U ζ ⋅ , şi anume

( ) ( )

( )

2 2 2d , 2,.d

, 0 0

U ya U y a

yU

⎧ ζ+ ζ ζ = μ⎪ π⎨

⎪ ζ =⎩

(399)

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale din problema Cauchy (399) este

( ) ( )2 2

22, e a yU y A − ζ ,μ

ζ = ζ +π ζ

cu funcţie ce rezultă din condiţia Cauchy, şi anume ( )A ⋅

( ) 22 .A μ

ζ = −π ζ

Obţinem astfel

( ) ( )2 2

22, 1 e a yU y − ζμ

ζ = ⋅ −π ζ

.

Cu teoremă de inversiune pentru transformata Fourier în cosinus rezultă

( ) ( )2 2

20

2 cos, 1 e a yxu x y d ,∞

− ζζ= μ − ζπ ζ∫

soluţia problemei mixte considerate.

41º Să se arate că soluţia problemei mixte

( )

( )( )

( ) ( )

( )

22

2

0

, , 0,

c.i. , 0 0 , 0

0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0

, d , 0

x x

u ua f x t x tt x

u x x

u t tuu x t x tx

f x t x t

→∞ →∞

∞

⎧ ∂ ∂= + >⎪ ∂ ∂⎪

⎪ = >⎪

⎧ = >⎪⎪ ⎪⎨ ⎨ ∂⎪ = =⎪ ∂⎪ ⎩⎪⎪ < ∞ >⎪⎪⎩∫

0>


( ) ( ) ( )2 2

0 0

2, , e sint

a tu x t F x∞

− ζ −τ⎛ ⎞⎜ ⎟= ζ τ ζ⎜ ⎟π ⎝ ⎠∫ ∫ d dζ τ ,


unde ( ,F t )ζ este transformata Fourier prin sinus a funcţiei . ( ), ,f t t⋅ > 0

0)

Soluţie: Rezolvăm problema mixtă din enunţ urmând ideile din capitolul 1, §8, 8.6 şi utilizând transformata Fourier prin sinus. Ideea folosirii transformatei Fourier prin sinus apare ca legitimă ţinând seama de tipul de reprezentare la care trebuie ajuns, anume în rezultat apare transformata Fourier prin sinus a funcţiei . ( ), ,f t t⋅ > Pentru ( soluţie a problemei mixte din enunţ notăm cu ,u ⋅ ⋅ ( ),U tζ transformata sa Fourier prin sinus, şi anume

( ) ( )0

2, , siU t u x t xn dx∞

ζ = ζπ ∫ .

Se aplică transformata Fourier prin sinus ecuaţiei şi condiţiei Cauchy din problema mixtă. Ţinând seama de calculele

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

200

00

2

0

0 0

2 2, sin d , sin

2, cos d , cos

,

, sin d ,

2 2, sin d , sin d ,

u ux t x x x t xxx

u x t x x u x t xx

u x t x x U t

u Ux t x x u x t x xt t

∞ ∞

∞∞

∞

∞ ∞

⎧ ⎡∂ ∂⎪ ζ = ζ −⎢π π ∂∂⎪ ⎣

⎪⎤⎪ ∂ ⎡⎥− ζ ζ = −ζ ζ +⎪ ⎣∂ π⎥⎪⎪ ⎦

⎨⎤⎪⎥+ ζ ζ = −ζ ζ⎪⎥⎪ ⎦

⎪⎪ ∂ ∂ ∂

ζ = ζ = ζ⎪ π ∂ ∂ π ∂⎪⎩

∫

∫

∫

∫ ∫ tt

)

problema mixtă din enunţ conduce la o problemă Cauchy pentru ( ,U ζ ⋅ , şi anume

( )

( )

2 2d , , 0d ,

, 0 0

U a U F t tt

U

⎧ + ζ = ζ >⎪⎨⎪ ζ =⎩

(400)

unde ( ) ( )0

2, , siF t f x t x∞

ζ = ζπ ∫ n dx , care există conform ipotezei, din

problema mixtă, referitoare la funcţia ( ), ,f t t 0⋅ > .


Ecuaţia diferenţială din (400), pentru ζ fixat, este o ecuaţie diferenţială, în ( ,U )ζ ⋅ , liniară, neomogenă. Soluţia sa generală este de forma

( ) ( ) ( )0, , pU t U t U t,ζ = ζ + ζ ,

cu (0 ,U )ζ ⋅ soluţia generală a ecuaţiei omogene

2 2d 0dU a Ut+ ζ = ,

iar ( ,pU )ζ ⋅ o soluţie particulară pentru ecuaţia neomogenă din (400). Rezultă

( ) ( )2 2

0 , e a tU t C − ζζ = ζ , cu ( )C ζ o funcţie arbitrară de ζ .

Prin metoda variaţiei constantelor propunem

( ) ( )2 2

, , e a tpU t C t − ζζ = ζ .

Cerând funcţiei ( ),pU ζ ⋅ să satisfacă ecuaţia neomogenă rezultă

( ) ( )2 2

, e ,a ttC t F t− ζ′ ζ = ζ ,

d .

deci

( ) ( )2 2

0

, , et

aC t F ζ τζ = ζ τ∫ τ

d .

Cu aceasta soluţia generală a ecuaţiei din problema Cauchy (400) este

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

0

, e , et

a t a tU t C F− ζ − ζ −τζ = ζ + ζ τ∫ τ

Condiţia Cauchy, din problema (400), impusă acestei funcţii conduce la ( ) 0C ζ ≡ , deci soluţia problemei Cauchy (400) este

( ) ( ) ( )2 2

0

, , et

a tU t F t − ζ −τ d .ζ = ζ∫ τ (401)


Cu o teoremă de inversiune pentru transformata Fourier în sinus din (401) rezultă

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

0

0 0

0 0

2, , sin d

2 , e d sin d

2 , e sin d d .

ta t

ta t

u x t U t x

F x

F

∞

∞− ζ −τ

∞− ζ −τ

= ζ ζ ζ =π

⎛ ⎞⎜ ⎟= ζ τ τ ζ⎜ ⎟π ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟= ζ τ ζ ζ⎜ ⎟π ⎝ ⎠

∫

∫ ∫

∫ ∫ x

ζ =

τ

(402)

(S-a schimbat ordinea de integrare conform teoremei lui Fubini.) Cu (402) s-a obţinut soluţia problemei mixte din enunţ, sub forma de reprezentare dorită.


( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2

0

0, 0, 0

, 0 , 0

c.i. , 0 0 , 0

, d

0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0x x

u ua xt x

u x f x xu x xt

cu f x t x

u t tuu x t x tx

∞

→∞ →∞

⎧ ∂ ∂− = >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪ ∂⎪ ⎪ = >⎪⎪ ∂⎪ ⎨⎨ ⎪⎪ ⎪ < ∞⎪ ⎪⎩⎪⎪ ⎧ = >

⎪⎪⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩

∫

t >


( ) ( ) ( ) ( )1, s2

u x t f x at f x at x at⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦gn .

Soluţie: Formula de reprezentare, la care trebuie ajuns, aminteşte de formula lui d'Alembert. Numai că formula d'Alembert dă soluţia pentru problema Cauchy ataşată ecuaţiei corzii vibrante în cazul unei bare infinite, x ∈ , a se vedea capitolul 1, §5, 5.2, Teorema 5.2.1. În problema considerată


prin enunţ avem o problemă mixtă pe semiaxă, x +∈ , deci formula din enunţ, pe care trebuie să o stabilim, nu este dată de formula d'Alembert. Mai facem observaţia că prezenţa în condiţiile la limită a existenţei limitelor din funcţia necunoscută şi din derivata sa de ordinul întâi în raport cu x, pentru x → ∞ sugerează ideea aplicării metodei transformatei Fourier în sinus sau cosinus pentru integrarea problemei mixte considerate. Vom aplica metoda transformatei Fourier în sinus. Dacă este soluţia problemei din enunţ, notăm cu

( ,u ⋅ ⋅ )( ),U tζ transformata sa în sinus.

Prelungim prin imparitate funcţia ( )f ⋅ , dată Cauchy în problemă, pe ; din absoluta sa integrabilitate pe + rezultă că prelungirea este absolut integrabilă pe şi există deci transformata sa Fourier în sinus, fie aceasta

( ) ( )0

2 sin dF f x x x∞

ζ = ζπ ∫ .

Ţinând seama de condiţiile la limită din problemă, rezultă uşor că

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

20

0 0

00

2

2 2

2 20

0

2 , sin d

2 , sin , cos d

2 , cos , sin d

,

2 , sin d , .

2 , 0 sin d , 0 .

u x t x xx

u ux t x x t x xx x

u x t x u x t x x

U t

u x t x x U tt t

u Ux x xt t

∞

∞∞

∞∞

∞

∞

⎧ ∂⎪ ζ =π ∂⎪

⎪⎡ ⎤⎪ ∂ ∂⎢ ⎥= ζ − ζ ζ⎪

π ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪

⎡ ⎤⎪⎢ ⎥= −ζ ζ + ζ ζ =⎪⎪ π ⎢ ⎥⎨ ⎣ ⎦

⎪= −ζ ζ⎪

⎪⎪ ∂ ∂

ζ = ζ⎪ π ∂ ∂⎪⎪

∂ ∂⎪ ζ = ζ⎪ π ∂ ∂⎪⎩

∫

∫

∫

∫

∫

=

Aplicând transformata Fourier în sinus problemei din enunţ şi ţinând seama de calculele anterioare, problema din enunţ se reduce la problema Cauchy


( )

( ) ( )

( )

22 2

2d 0, 0, fixatd

, 0 ,d , 0 0d

U a U tt

U FUt

⎧+ ζ = > ζ⎪

⎪⎪⎨ ζ = ζ⎪⎪ ζ =⎪⎩

(403)

ataşată transformatei ( ,U )ζ ⋅ , funcţie necunoscută. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi din (403) este

( ) ( ) ( )1 2, cos siU t c a t c an .tζ = ζ ζ + ζ ζ

Condiţiile Cauchy conduc la

( ) ( )( )

1

2,

0c Fac

⎧ ζ = ζ⎪⎨

ζ =⎪⎩

deci

( ) ( ), coU t F as tζ = ζ ζ .

Cu o teoremă de inversiune pentru transformata Fourier în sinus rezultă

( ) ( )0

2, , sinu x t U t x∞

= ζ ζπ ∫ dζ =

( )0

2 sin cos dF x a t∞

= ζ ζ ζπ ∫ ζ =

( )( ) ( )

( )( )

( )[ ]

( ) ( ) ( )

0

2 sin sin d2

, 0

, 02

1 sgn ,2

x at x atF

f x at x atf x at

f x at x at

f x at f x at x at

∞+ ζ + − ζ

= ζπ

⎧ − − >⎪+ + ⎨− − − − <⎪⎩= =

⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦

∫ ζ =

ceea ce trebuie demonstrat.



( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2 , , 0, 0

, 0 , 0

c.i. , 0 , 0

,

0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0x x

u ua F x t t xt xu x f x x

u x g x xt

cu f g absolut integrabile pe

u t tuu x t x tx

+

→∞ →∞

⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪⎪ ∂⎪ = >⎪ ⎨

∂⎨ ⎪⎪ ⎪ ⋅ ⋅⎩⎪⎪ ⎧ = >

⎪⎪⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

0

1, sgn2

1 1d ,2 2

x at t x a t

x at x a t

u x t f x at f x at x at

g s s F y ya a

+ + −τ

− − −τ

⎡ ⎤= + + − − +⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + τ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ d d .τ

Soluţie: Fiind o problemă pentru o ecuaţie neomogenă soluţia este de forma ( ) ( ) ( )0, , pu x t u x t u x t, ,= + (404)

cu ( )0 ,u ⋅ ⋅ soluţie pentru problema

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2 0 , 0, 0

, 0 , 0

c.i. , 0 , 0 ,

, absolut integrabile pe

0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0x x

u ua x tt xu x f x x

u x g x xtf g

u t tuu x t x tx

+

→∞ →∞

⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪⎪ ∂⎪ = >⎪ ⎨

∂⎨ ⎪⎪ ⎪ ⋅ ⋅⎩⎪⎪ ⎧ = >

⎪⎪⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩

(405)


iar ( ),pu ⋅ ⋅ soluţie pentru

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2 , , 0, 0

, 0 0 , 0c.i. .

, 0 0 , 0

0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0x x

u ua F t x t xt xu x x

u x xt

u t tuu x t x tx→∞ →∞

⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >

⎪⎪⎪ ⎨ ∂

= >⎨ ⎪ ∂⎩⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪

⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩

(406)

Vom căuta soluţia problemei (405) sub forma ( ) ( ) ( )0 01 02, ,u x t u x t u x t, ,= + (407)

cu soluţie pentru problema mixtă (01 ,u ⋅ ⋅ )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2

+

0, 0, 0

, 0 , 0

c.i. , 0 0 , 0 ,

absolut integrabilă pe

0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0x x


u x xt

f


⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪⎪ ∂⎪ = >⎪ ⎨

∂⎨ ⎪⎪ ⎪ ⋅⎩⎪⎪ ⎧ = >

⎪⎪⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩

(408)

şi soluţie pentru problema mixtă (02 ,u ⋅ ⋅ )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2

+

0, 0, 0

, 0 0 , 0

c.i. , 0 , 0 .


0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0x x

u ua x tt xu x x

u x g x xt

g


⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪⎪ ∂⎪ = >⎪ ⎨

∂⎨ ⎪⎪ ⎪ ⋅⎩⎪⎪ ⎧ = >

⎪⎪⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩

(409)


Să observăm că problema (408) este exact problema din exerciţiul 42º, prin urmare

( ) ( ) ( ) (011, s2

u x t f x at f x at x at⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦)gn . (410)

Să observăm, de asemenea, că dacă o funcţie ( ),h x t este soluţie pentru problema mixtă

( ) ( )

( )

( )

2 22

2 2 0 , 0, 0

, 0 , 0c.i. ,

, 0 0 , 0

c.l. 0, 0 , 0

h ha xt xh x g x x

h x xt

h t t

⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪

⎪⎨⎨ ∂⎪ = >⎪⎪ ∂⎩

⎪= >⎪⎩

t

d

atunci funcţia satisface problema mixtă ( ) ( )0

, ,t

h x t h x s s= ∫

( )

( ) ( )

( )

2 22

2 2 0 , 0, 0

, 0 0 , 0c.i. ,

, 0 , 0

c.l. 0, 0 , 0

h ha xt xh x x

h x g x xt

h t t

⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪

⎪⎨⎨ ∂⎪ = >⎪⎪ ∂⎩

⎪= >⎪⎩

t

ds

)

Această observaţie se verifică printr-un calcul elementar. Cu această observaţie rezultă că soluţia problemei (409) este dată de

, (411) ( ) ( )020

, ,t

u x t u x s= ∫unde este soluţie pentru problema mixtă ( ,u ⋅ ⋅


( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2

+

0, 0, 0

, 0 , 0

c.i. , 0 0 , 0 ,


0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0x x

u ua x tt xu x g x x

u x xt

g

u x tuu x t x tx→∞ →∞

⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪⎪ ∂⎪ = >⎪ ⎨

∂⎨ ⎪⎪ ⎪ ⋅⎩⎪⎪ ⎧ = >

⎪⎪⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩

adică o problemă de tip (408). Conform exerciţiulului 42º rezultă

( ) ( ) ( ) ( )1, s2

u x t g x at g x at x at⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦gn ,

prin urmare

( ) ( ) ( ) ( )

( )

020

1, s2

1 d .2

t

x at

x at

u x t g x as g x as x as s

g s sa

+

−

⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦

=

∫

∫

gn d =

(412)

(S-a efectuat o schimbare de variabilă, s → θ , x as+ = θ , respectiv s → τ , x as− = τ .) Din (407), (410) şi (412) rezultă

( ) ( ) ( ) ( )

( )

01, s2

1 d .2

x at

x at

u x t f x at f x at x at

g s sa

+

−

⎡ ⎤gn= + + − −⎣ ⎦

+ ∫

+

(413)

Pentru deducerea soluţiei ( ),pu ⋅ ⋅ soluţie pentru problema (406) se aplică principiul lui Duhamel, deci

( ) ( )0

, , ;t

pu x t w x t d ,= − τ τ τ∫ (414)


cu ( ), ;w ⋅ ⋅ τ soluţie pentru problema

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2 22

2 2

+

0, 0, 0

, 0 0 , 0

c.i. , 0 , , 0 .

, absolut integrabilă pe

0, 0 , 0c.l.

lim , lim , 0x x

u ua x tt xu x x

u x F x xt

F


⎧ ∂ ∂− = > >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪⎪ ∂⎪ = τ >⎪ ⎨

∂⎨ ⎪⎪ ⎪ ⋅ τ⎩⎪⎪ ⎧ = >

⎪⎪⎨ ∂⎪ = =⎪⎪ ∂⎩⎩

(415)

Problema (415) este o problemă de tip (409), deci conform (412), obţinem

( ) ( )1, ; , d .2

x at

x at

w x t F s sa

+

−

τ = τ∫ (416)


( ) ( )( )

( )

0

1,2

t x a t

px a t

u x t F s sa

+ −τ

− −τ

⎛ ⎞⎜=⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ , d d .⎟τ τ (417)

Din (404), (413) şi (414) rezultă formula de reprezentare a soluţiei problemei din enunţ.

44º Utilizând transformata Fourier să se rezolve problema Cauchy

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 2 0 , , 0

, 0 , 0

c.i. , 0 , 0 .

,

lim , lim , 0x x


u x g x xt

f g absolut integrabile peuu x t x tx→∞ →∞

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = >⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂⎨ = >⎨

∂⎪ ⎪⎪ ⎪ ⋅ ⋅⎩⎪

∂⎪ = =⎪ ∂⎩

Soluţie: Evident soluţia problemei Cauchy din enunţ este cunoscută, dată conform capitolului 1, §5, 5.2, Teorema 5.2.1 de formula lui d'Alembert.

Condiţiile privind comportarea funcţiilor ( ),u t⋅ , ( ,u tx

)∂⋅

∂ la nu sunt

condiţii restrictive; în definiţia soluţiei unei probleme Cauchy, la limită sau

+ ∞


mixtă într-un domeniu care conţine punctul de la ∞ se cere ca soluţia şi derivatele sale să fie mărginite într-o vecinătate a punctului de la infinit. În problemele în care se aplică transformata Fourier în general, sau în cosinus, sau în sinus comportarea soluţiei şi a derivatelor se precizează mai nuanţat prin cererea ca limita soluţiei şi a derivatelor sale, de un anumit ordin, în raport cu variabila spaţială să se anuleze; aceasta pentru că prin metoda transformatei Fourier aceste limite intervin la calculul prin părţi a unor integrale improprii. Vom integra problema considerată utilizând transformata Fourier, în general.

Pentru , soluţie a problemei Cauchy ataşată ecuaţiei coardei vibrante pe , cu datele Cauchy

( ,u ⋅ ⋅ )( )f ⋅ , ( )g ⋅ precizate prin problemă, notăm

cu U ( ), tζ transformata sa Fourier. Prin urmare

( ) ( ) i1, ,2

xU t u x t∞

− ζ

− ∞

ζ =π ∫ e d ,x

cu formula de inversare

( ) ( ) i1, ,2

xu x t U t∞

ζ

− ∞

= ζπ ∫ e dζ .

Prin calcule elementare rezultă că

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2i

2

i i

i i

2

1 , e d2

1 , e d i , e d2

i , e i , e d2

, .

x

x x

x x

u x t xx

u ux t x x t xx x

u x t u x t x

U t

∞− ζ

− ∞

∞∞− ζ − ζ

− ∞ − ∞

∞∞− ζ − ζ

− ∞− ∞

∂=

π ∂

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= + ζ∂ ∂

=⎢ ⎥π⎣ ⎦⎡ ⎤ζ ⎢ ⎥= + ζ⎢ ⎥π⎣ ⎦

= −ζ ζ

∫

∫

∫ =

De asemenea

( ) ( )2 2

i2 2

1 , e d ,2

xu .x t x Ut t

∞− ζ

− ∞

∂ ∂= ζ

π ∂ ∂∫ t

Să notăm cu , ( )F ⋅ ( )G ⋅ transformatele Fourier ale funcţiilor ( )f ⋅ , . Aplicând transformata Fourier problemei din enunţ, rezultă pentru ( )g ⋅

( ,U t )ζ problema Cauchy


( ) ( )

( ) ( )

22 2

2d 0d

, 0 .d , 0d

U a Ut

U FU Gt

⎧+ ζ =⎪

⎪⎪⎨ ζ = ζ⎪⎪ ζ = ζ⎪⎩

(416')

Soluţia problemei Cauchy (416') este ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2

1

2

, cos sin,

U t c a t c a tc Fa c G

⎧ ζ = ζ ζ + ζ ζ⎪

ζ = ζ⎨⎪ ζ ζ = ζ⎩

deci

( ) ( ) ( )1, cos siG

U t F a t aa

ζn .tζ = ζ ζ + ζ

ζ

Conform formulei de inversare a transformatei Fourier rezultă

( ) ( )

( )

i

i

1, e cos2

1 e sin d2

x

x

u x t F at

Gat

a

∞ζ

− ∞

∞ζ

− ∞

= ζ ζπ

ζ+ ζ

ζπ

∫

∫

d

.

ζ +

ζ

(417')

Să observăm că dacă funcţia ( )0

dx

g α α∫ este la rândul său absolut

integrabilă pe , atunci transformata sa Fourier, conform definiţiei, este

( ) ( )

( ) ( )

ii

0 0

i

1 1d e d di2 2

1 1e d .i i

x x xx

x

g x g

Gg x x

∞∞ − ζ

− ζ

− ∞ − ∞

∞− ζ

− ∞

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α = α α +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ζ⎢π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

⎤ ζ⎥+ =

ζ ζ⎥⎦

∫ ∫ ∫

∫

e

(418)

În (417') exprimăm funcţiile sin atζ şi cos atζ cu formulele lui Euler şi ţinem seama de (418) şi formula de inversiune a transformatei Fourier.


Rezultă

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )

i i

i i

0 0

1, e e2 2

1 e e di2 2

1 =2

1 + d d2a

1 = d ,2 2a

x at x at

x at x at

x at x at

x at

x at

u x t F

Ga

f x at f x at

g g

f x at f x at g

∞+ ζ − ζ

− ∞

∞+ ζ − ζ

− ∞

+ −

+

−

= ζ +π

ζ+ −

ζπ

+ + − +

⎡ ⎤⎢ ⎥α α − α α =⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + −

dζ +

ζ =

+ α α

∫

∫

∫ ∫

∫

adică formula lui d'Alembert. Să observăm că puteam căuta soluţia problemei date sub forma

( ) ( ) ( )1 2, ,u x t u x t u x t ,= + + cu ( )1 ,u ⋅ ⋅ soluţie a problemei

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2 0 , , 0

, 0 ,

c.i. , 0 0 , ,


lim , lim , 0x x

u ua xt xu x f x x

u x xt

fuu x t x tx→∞ →∞

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = ∈⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂⎨ = ∈⎨

∂⎪ ⎪⎪ ⎪ ⋅⎩⎪

∂⎪ = =⎪ ∂⎩

t

)

(419)

iar soluţie a problemei (2 ,u ⋅ ⋅

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2 0 , , 0

, 0 0 ,

c.i. , 0 , .


lim , lim , 0x x

u ua xt x

u x xu x g x xx

guu x t x tx→∞ →∞

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ = ∈⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂⎨ = ∈⎨

∂⎪ ⎪⎪ ⎪ ⋅⎩⎪

∂⎪ = =⎪ ∂⎩

t

(420)


Procedând ca în exerciţiul 43º pentru deducerea lui ( )02 ,u ⋅ ⋅ , aici deducem

(421) ( ) ( )20

, ,t

u x t u x s s= ∫ d ,

cu ( ),u x t soluţie a problemei (419) pentru data Cauchy ( )g ⋅ , nu ( )f ⋅ . Cu aceasta se foloseşte metoda transformatei Fourier pentru integrarea problemei (419), în care data Cauchy pentru ( ), 0u x se consideră pe rând ( )f x pentru ( )1 ,u ⋅ ⋅ , respectiv ( )g x pentru ( ),u ⋅ ⋅ ce intră în reprezentarea

lui ( )2 ,u ⋅ ⋅ . Notând cu ( ,U t )ζ transformata Fourier a soluţiei problemei (419) şi cu

( )F ζ transformata Fourier a funcţiei ( )f ⋅ , problema (419) conduce la problema Cauchy

( ) ( )

( )

22 2

2d 0d

, 0 ,d , 0 0d

U a Ut

U FUt

⎧+ ζ =⎪

⎪⎪⎨ ζ = ζ⎪⎪ ζ =⎪⎩

de unde rezultă

( ) ( ) ( )i ie e, cos

2

a t a tU t F a t F

ζ − ζ+ζ = ζ ζ = ζ .

Cu teoremă de inversiune pentru transformata Fourier rezultă

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

i ii

1

i i

1 e e, e d22

1 1 1e d e d2 2 2

1 .2

a t a tx

x at x at

u x t F

F F

f x at f x at

∞ ζ − ζζ

− ∞

∞ ∞+ ζ − ζ

− ∞ − ∞

+= ζ ζ =

π

⎧ ⎫⎪ ⎪= ζ ζ + ζ ζ =⎨ ⎬π π⎪ ⎪⎩ ⎭

= + + −

∫

∫ ∫ (422)

Complet analog, conform celor precizate mai sus, deducem

( ) ( ) ([ ]1, ,2

u x t g x at g x at= + + − )


deci, conform (421) şi cu o schimbare de variabilă,

( ) ( ) ( )[ ]

( )

20

1, d2

1 d .2

t

x at

x at

u x t g x as g x as s

ga

+

−

= + + −

= τ τ

∫

∫

=

(423)

Din (422) şi (423) se regăseşte formula lui d'Alembert, rezultat obţinut prin aplicarea directă a metodei transformatei Fourier fără a face trimitere la exerciţiul 43º.

45º Să se rezolve problema Dirichlet interioară

( ) ( ) ( ) ( ){}

2 2 2

2 2 2 2

2 2

, , ,

0,x y R

u f x y x y în D x y x y

x y R

u+ =

⎧Δ = + ⋅ − = ∈⎪⎪⎨ + <⎪⎪ =⎩

2 ,

cu ( )0f +∈C . Soluţie: Se rescrie problema Dirichlet interioară din enunţ în coordonate

polare. Rezultă

( )

2 22

2 2 21 1 cos 2

.0R

u u u f

u ρ=

⎧ ∂ ∂ ∂+ + = ρ ρ⎪ ρ ∂ρ∂ρ ρ ∂θ⎨

⎪ =⎩

θ (424)

Ţinând seama de forma termenului din membrul drept al ecuaţiei lui Poisson, efectuăm schimbarea de funcţie ( ) ( ), , cosu v u v 2 .ρ θ = ρ θ (425)

Noua funcţie ( )v ⋅ este soluţie a problemei

( )

( )

( )

22

1 4

0 0 finit

v v v f

v Rv

⎧ ′′ ′+ − = ρ ρ⎪ ρ ρ⎪⎨ =⎪⎪⎩

. (426)

Ecuaţia din problema (426) este o ecuaţie diferenţială de ordinul al doilea cu coeficienţi variabili de tip Euler.

Soluţia generală a ecuaţiei din problema (426) este de forma

( ) ( ) ( )0 pv v vρ = ρ + ρ , (427)


cu soluţia generală a ecuaţiei ( )0v ⋅

21 4 0v v v′′ ′+ − =ρ ρ

.

Se face aici schimbarea de variabile , tt eρ → ρ = şi rezultă ecuaţia cu coeficienţi constanţi pentru ( )v v t= ,

4 0v v′′ − = , a cărei soluţie generală este ( ) 2 2

0 1 2e et tv t c c −= + , deci

( ) 2 20 1 2 1 2, ,v c c c c−ρ = ρ + ρ ∈ . (428)

Funcţia ( )pv ρ este o soluţie particulară pentru ecuaţia neomogenă din problema (426). Prin metoda variaţiei constantelor, plecând de la (428), propunem

( ) ( ) ( )21 2pv c c 2−ρ = ρ ρ + ρ ρ . (429)

Se determină ( ) ( )1 2,c c⋅ ⋅ din sistemul

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 21 2

22

1 3

0,

2

c c

cc f

−⎧ ′ ′ρ ρ + ρ ρ =⎪⎨ ′ ρ ρ′ρ ρ − = ρ⎪

ρ⎩

(430)

obţinut din condiţia ca ( )pv ⋅ să fie soluţie pentru ecuaţia din (426) la care s-a adăugat prima condiţie din sistemul de mai sus, impusă de metoda de rezolvare. Din (430) rezultă

( ) ( )

( ) ( )

1

5

2

14 ,

4

c f

c f

⎧ ′ ρ = ρ ρ⎪⎪⎨

ρ⎪ ′ ρ = − ρ⎪⎩

adică

( ) ( )

( ) ( )

10

52

0

1 d4

.1 d4

c s f s

c s f

ρ

ρ

⎧⎪ ρ =⎪⎪⎨⎪

ρ = −⎪⎪⎩

∫

∫

s

s s

(431)


Din (428), (429) şi (431) rezultă că soluţia generală pentru ecuaţia din (426) este

( ) ( ) ( )2

5 2 212 2

0 0

1d d4 4

s cv s f s s s f s s c .ρ

ρρ = − + ρ +

ρ ρ∫ ∫

Condiţia ca ( )v ⋅ să fie definit în 0ρ = implică 2 0c = , iar condiţia ( ) 0v R = conduce la

( ) ( )2

51 2 2

0 0

1 1d d4 4

R RRc s f s s s f s s

R R

⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ .

Astfel

( ) ( ) ( )2 5 2 5

4 40 0

d d4 4

Rs sv s f s s sR

.f s sρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ ρ

ρ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ρ⎝ ⎠∫ ∫

Înlocuind pe ( )v ⋅ , obţinut mai sus, în (425) rezultă că soluţia problemei din enunţ este

( ) ( )( )

( )

2 24 4 5 5

4 22 20 0

, d4

x yRx y s su x y s f s s s f s s

R x y

+⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎢ ⎥= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ d .

46º Să se determine soluţia ecuaţiei lui Laplace 0uΔ = în semiplanul superior, , care satisface condiţiile 0y >

( )

( )

( )

lim , 0, ,

, 0 e , 0, 0,

, 0 e , 0, 0.

y

ax

bx

u x y uniform în raport cu x

u x a xu x C b xy

→∞

−

⎧ =⎪⎪ = > >⎨⎪ ∂

= > <⎪ ∂⎩

Soluţie: Remarcăm de la început că problema din enunţ nu este nici o problemă Dirichlet nici o problemă Neumann pentru ecuaţia lui Laplace, deoarece pe 0x < este dată o condiţie la limită de tip Neumann în timp ce pe

0x > o condiţie de tip Dirichlet. Rezolvăm problema considerată în enunţ

( ) ( ){ }( )

( )

( )

2 22

2 2 0, în , , , , 0

, 0 e , 0, 0

, 0 e , 0, 0

lim , 0

ax

bx

y

u u D x y x y x yx y

u x a xu x C b xy

u x y

−

→∞

⎧ ∂ ∂+ = = ∈ ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪ = > >⎪⎨ ∂⎪ = > <∂⎪

⎪ =⎪⎩

(432)


prin metoda transformărilor integrale, şi anume metoda integralei Fourier exponenţiale. Notăm cu ( ),U yζ transformata exponenţială Fourier a funcţiei ( ),u y⋅ soluţie pentru problema (432), deci

( ) ( ) i1, ,2

xU y u x y∞

− ζ

− ∞

ζ =π ∫ e d .x

Aplicând transformata Fourier exponenţială, după variabila x, în ecuaţia lui Laplace din problema (432) obţinem pentru ( ),U ζ ⋅ ecuaţia diferenţială

2

22 0U U

y∂

− ζ =∂

. (433)

Ţinând seama că ( ) ( ) i1, ,2

xu x y U y∞

ζ

− ∞

e d= ζπ ∫ ζ trebuie să verifice

condiţia de a fi definită în semiplanul superior 0y > şi să aibă proprietatea ca ( )lim , 0

yu x y

→∞= , din (433) deducem că soluţia generală a ecuaţiei (433) este

( ) ( ), e ,yU y − ζζ = Φ ζ ζ ∈ . (434)

Extindem funcţia ( ),U y⋅ în planul complex ( ),λ μ , înlocuind

funcţia ζ pentru ζ real cu 2 2ζ + η , introducând tăieturile 1T =

( ) ( ){ }, , , 0,= λ μ λ μ ∈ λ = μ ≥ η , ( ){ ( )2 , , ,T 0= λ μ λ μ ∈ λ = ,

}μ ≤ −η . Pentru funcţia multiformă radical se alege determinarea principală,

( în 0k = ( ) arg 2 arg 2cos isin ,2 2k

w k w kw w w+ π + π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∈ ).

Cu aceasta

( ) ( )2 2i1, e e

2yxu x y d

∞− ζ +ηζ

− ∞

=π ∫ Φ ζ ζ . (435)

Notând cu ( ) e axf x −= pentru 0x > şi ( ) ebxg x C= pentru 0x < din (435), rezultă

( ) ( )i1 e2

xf x d∞

ζ

− ∞

= Φ ζ ζπ ∫ (436)


şi

( ) ( )2 2 i1 e2

xg x∞

ζ

− ∞

−= ζ + η Φ

π ∫ d .ζ ζ (437)

Inversând, conform formulelor de inversiune pentru transformata Fourier exponenţială, formulele (436) şi (437) conduc la

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0i i

i i

0 0

1 1 e d e d2 2

1 1 e d e e d2 2

1 1 1 ,i i2

x x

x x ax

f x x f x x

f x x x

a

∞− ζ − ζ

− ∞ − ∞

∞ ∞− ζ − ζ −

+

+

Φ ζ = = +π π

+ = Φ ζ +π π

= Φ ζ + ⋅ ⋅ζ −π

∫ ∫

∫ ∫ =

(438)

respectiv

( ) ( )2 2 1 ,i i2C

b−Φ ζ ζ + η = Ψ ζ + ⋅ ⋅ζ +π

1 (439)

unde ( )+Φ ζ este transformata Fourier a unei funcţii care tinde la zero pentru 0x > , iar ( )−Ψ ζ este transformata Fourier a unei funcţii care tinde la zero

pentru 0x < . Din (438) şi (439) rezultă, înlocuind (438) în (439),

( ) ( )2 2

2 2 1 1 1 1i i i2 2

Ca b+ −

ζ + ηΦ ζ ζ + η + = Ψ ζ + ⋅ ⋅

iζ − ζπ π +

sau

( ) ( ) i1 1 1 1i .i i i ii 2 iC

b a−

+⎡ ⎤ζ + ηΨ ζ

ζ + ηΦ ζ − = −⎢ ⎥ζ + ζ −ζ − η π ζ − η⎢ ⎥⎣ ⎦

(440)

Ţinând seama de faptul că dacă ( )G ζ , ( )H ζ sunt transformatele Fourier exponenţiale ale funcţiilor ( )g ⋅ , ( )h ⋅ , atunci produsul ( ) ( )G Hζ ζ este transformată Fourier exponenţială a produsului de convoluţie al funcţiilor

, , conform [21], p. 208, rezultă că (440) se poate scrie sub forma ( )g ⋅ ( )h ⋅( ) ( ) ( ) ,F F F+ −ζ − ζ = ζ

fiecare din cei trei termeni reprezentând o transformată Fourier exponenţială. În

susţinerea acestui rezultat s-a folosit şi faptul că funcţia 1x

coincide cu

transformata sa Fourier prin cosinus, conform [21], p. 268.


Observând că în , 1 2\ T T∪ ( )01 ii

2−

− = , prin calcul elementar

rezultă 1 1 1 1 1 1 1

i ii i i i i i

1 1 1 1 1 i 1i ii 2 2

b b b b

ib bb b

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ζ + ζ + ζ +ζ − η ζ − η − − η − − η⎣ ⎦+ +⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

i

1

b=

ζ + ζ +ζ − η + η + η⎣ ⎦

şi

i 1 1 i 1 ii .i i 2 2

a aa a

ζ + η + +⎡ ⎤= ζ + η − + η + + η⎢ ⎥ζ − ζ − ζ −⎣ ⎦

1ia

Propunem

( ) 1 i 1 1 1 1 1 ii .i i i i2 2CF a

b ab++ +⎡ ⎤ζ = − ⋅ ζ + η − + η⎢ ⎥ζ + ζ −+ η ⎣ ⎦

Rezultă

( ) 1 i 1 1 .i i2 i

a Ca bb

⎡ ⎤+ η−Φ ζ = ⋅ +⎢ ⎥

ζ − ζ +ζ + η + η⎢ ⎥⎣ ⎦ (441)

Prin trecere la limită pentru 0η → şi ţinând seama de ramura aleasă pentru uniformizarea funcţiei multiforme radical, şi anume ramura principală, rezultă

, pentru 0i .

i , pentru 0

⎧ ζ ζ⎪ζ + η → ⎨−ζ ζ <⎪⎩

>

Atunci

( )

1 i 1 1 , pentru 0i i2

.1 i 1 1 , pentru 0

i i2

a Ca bb

a Ca bb

⎧ ⎡ ⎤−+ ⋅ ζ >⎪ ⎢ ⎥ζ − ζ +ζ ⎣ ⎦⎪Φ ζ = ⎨

⎡ ⎤+⎪− ⋅ + ⋅ ζ <⎢ ⎥⎪ ζ − ζ +−ζ ⎣ ⎦⎩

(442)


Soluţia problemei considerate este, conform (435), în care s-a trecut la limită pentru , şi (442), 0η →

( ) ( )i

i

0

1, e e d2

1 1 i 1 12 Re e e d .i i2 2

yx

x y

u x y

a Ca bb

∞− ζζ

− ∞

∞ζ −ζ

= ⋅ Φ ζ ζ =π

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥= +⎜ ⎟ζ − ζ +π ζ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫ ⋅ ζ (443)

Evaluăm, în continuare, integrala

( )( )

0 0

e, d eux uy

au e d .I a u x yx x a y a y

∞ ∞− −= =

+ −∫ ∫ (444)

Notăm

( ) e, duy

a

J a u yy a y

∞ −=

−∫ .

Atunci

( ) e e, duy au

a

J a u yu a y u

∞ − −∂= − = − π

∂ −∫ ,

deci

( ) ( )0

e, du at

J a u t c at

−= − π +∫ .

Pentru deducem 0u =

( ) 20

1 d, 0 d 2 .a

zJ a yy a y az a

∞ ∞π

= =− +∫ ∫ =

Prin urmare

( ) ( ), 0c a J aaπ

= =

şi deci

( ) (2

0

2, e d 1au

zJ a u z aua a a

−π π π= − = −∫ )Erf . (445)

( Pentru definiţia funcţiei ( )Erf z a se vedea [2], p. 138. ) Din (444) şi (445) deducem

( ) (, e 1 Erfau ) .I a u auaπ

= − (446)


Cu (446) din (443) rezultă

( ) ( ) ( ), Re e 1 Erf i e 1 Erfaz bzCu x y az bzb

−⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦,

unde i z x y= + .

§2 Exerciţii şi probleme propuse

2.1 Enunţuri 1º i) Să se aducă la cele trei forme canonice ecuaţia

2 2 2

2 22 0u u u u ua b c d e fux y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂,=

f

ştiind că sunt constante reale. , , , , ,a b c d e f ii) Pentru d e= = să se integreze ecuaţia de la punctul i).

2º Să se aducă la forma canonică şi să se determine soluţia generală a ecuaţiei

( ) ( )22 2 22

2 2sin 8

2 cos 3 sin 0.16

y xu u u ux x yx y yx y

+ +∂ ∂ ∂ ∂− − + − −

∂ ∂ ∂∂ ∂u =

3º Să se reducă la forma canonică şi să se determine soluţia generală a ecuaţiei

( ) ( )2 2 2

2 2sgn 2 sgn 0.u u uy xx yx y

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂∂ ∂


2 22 2 0u ux y

x y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

5º Să se aducă la forma canonică şi să se determine soluţia generală a ecuaţiei

2 2 22

2 22 sin cos cos 0.u u ux x xx y yx y

∂ ∂ ∂ ∂u− − −

∂ ∂ ∂∂ ∂=


( )

( )

2 2

2 2

2 0

2 1

1 0, 02

1, 0,2

1, , 12

x y

x y

u u uy yyx y

u f x x

u g x x

− =

+ =

⎧ ∂ ∂ ∂− − = >⎪ ∂∂ ∂⎪

⎪ ⎡ ⎤⎨ = ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤⎪ = ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

,


cu ( )2,f g ∈ C .


2 2 0.u uxx y∂ ∂

+ =∂ ∂


( )

( )

2 2 22

2 2

sin

sin

2 cos sin sin 0

,y x

y x

u u u ux x xx y yx y

u x

u xy

=

=

⎧ ∂ ∂ ∂ ∂+ − −⎪ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎪

⎪ = ϕ⎨⎪ ∂⎪ = ψ∂⎪⎩

=

cu ( )2ϕ ∈C şi ( )1ψ ∈C . 9º Să se arate că soluţia problemei Dirichlet interioară pentru ecuaţia lui

Poisson ( )2 2 23u f x y zΔ = + + şi interiorul sferei de rază R, centrată în

origine,

( ) ( ) ( ){}

( )

2 2 2

2 2 2 33

2 2 2

0

, , , , , ,

0 ,x y z R

u f x y z în D x y z x y z

x y z R

u

f

+ + =

+

⎧Δ = + + = ∈⎪⎪

+ + <⎪⎪⎨ =⎪⎪⎪

∈⎪⎩ C


( ) ( )

( )

2 2 2

22 2 2

0

2

0

1 1, , d

1 1 d .

x y z

R

u x y z s f s ss x y z

s f s sR s

+ +⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

+

10º Să se arate că soluţia problemei Dirichlet exterioare ataşate ecuaţiei

lui Poisson ( 2 2 23u f x y zΔ = + + ) şi exteriorului sferei de rază R

centrate în origine,


( ) ( ) ( ){}

( )

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2 33

2 2 2

0

, , , , , ,

0 ,

lim , , 0,x y z R

x y z


x y z R

u

u x y z uniform în raport cu direcţia

f

+ + =

+ + →∞

+

⎧Δ = + + = ∈⎪⎪

+ + >⎪⎪⎪ =⎨⎪

=⎪⎪⎪ ∈⎪⎩ C


( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2

22 2 2

, , 1 d

1 1 d ,

R

x y z

R

Ru x y z s f s sx y z

s f s ss x y z

∞

+ +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∫

∫

+

în ipoteza că integrala improprie ( )dR

s f s s∞

∫ este convergentă.

11º Să se arate că soluţia problemei Dirichlet interioare ataşate ecuaţiei

lui Poisson ( 2 2 23u f x y zΔ = + + )

2

şi domeniului cuprins între sferele concentrice şi centrate în origine,

1RS2RS 10 R R< < , nulă pe şi ,

1RS2RS

( ) ( ) ( ){}

( )

2 2 21

2 2 22

2 2 2 33

2 2 21 2

0

, , , , , ,

0 ,

0x y z R

x y z R


R x y z R

u

u

f

+ + =

+ + =

+

⎧Δ = + + = ∈⎪⎪

< + + <⎪⎪⎨ =⎪⎪ =⎪⎪ ∈⎩ C


( ) ( )

( )

2 2 2

1

2

1

22 2 2

22 12 2 21 2 2

1 1, , 1 d

1 1 1 d

x y z

R

R

R

u x y z s f s ss x y z

R R .s f s sR R R s x y z

+ +⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ + +⎝ ⎠

∫

∫



( ) ( )

22

2 0, , 0

, 0 ,

u ua xt x

u x f x x

⎧ ∂ ∂− = ∈⎪

∂⎨ ∂⎪ = ∈⎩

t >

ştiind că:

i) ( ) 0 1

1

,;

0 ,u x x

f xx x

⎧ <= ⎨

>⎩

ii) . ( )2 2

0e b xf x u −=


( ) ( ) (

( )

)

( )( )

( )( )

2 22

2 2 sh , , 0, 0,

, 0 0c.i. , 0,

, 0 0

0, 0c.l. , 0

, 0 ,

u ua b x x tt xu x

xu xt

u tt

u ta b constante reale.

⎧ ∂ ∂= + ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

⎪⎪ ∈⎨ ∂⎪ =⎨ ⎪ ∂⎩⎪⎪ ⎧ =

>⎪ ⎨=⎪ ⎩

⎪⎩

∞

14º Să se determine soluţia ecuaţiei lui Laplace în domeniul cuprins între două cercuri concentrice de raze 1R şi 2R cu centrul în originea axelor, cu condiţiile la limită

( ) ( ) ( )21

1 2, ,r Rr R

u f u fr =

=

∂= θ = θ θ ∈ π

∂0, 2 ,

dacă , satisfac condiţiile lui Dirichlet pe ( )1f ⋅ ( )2f ⋅ [ ]0, 2π .


( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

22

2

2

t

0, 0 , 0

10,c.l. 1 , 0

, e

c.c. , 0 , 0, , . 0, lim , 0

x

tx

u ua x ttx

u tt t

u t

u x f x xf satisface condiţiile Dirichlet pe

u x t

−

→∞

⎧ ∂ ∂− = < < >⎪ ∂∂⎪

⎪ ⎧ ′ =⎪ ⎪ + >⎨⎪⎪ ⎪⎨ ′ =⎩⎪= ∈⎪

⎪ ⋅⎪⎪ =⎪⎩


16º Să se rezolve problema Dirichlet interioară

( ){ }

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

2 2

2 2

3

3 3

3 3

3

, , 0 , 0

, 0 sin sin , 0,6

, , 0,6

, , 0,6

0, , 0,6

u u x y în D x y x a y ax y

xu x x x a x a

a yu a y y a

x au x a x x a x a

yu y y a

⎧ ∂ ∂+ = − = ≤ ≤ ≤ ≤⎪

∂ ∂⎪⎪⎪ = − + ∈⎪⎪⎪ −⎨ = ∈⎪⎪ −⎪ = − + ∈⎪⎪⎪ = − ∈⎪⎩

.

17º Să se rezolve problema Neumann exterioară ( ) ( ){ }( )

( )2 2

2 2 2

3

, , , , 3

sin , 0, 2 .

lim ,x y

r

u x y în D x y x y x y

ur

u r există şi este finită, uniform în raport cu direcţia+ =

→∞

⎧ Δ = + = ∈ + >⎪⎪ ∂⎪ = θ θ ∈ π⎨ ∂⎪⎪ θ⎪⎩


( )( )( ) ( )

22 2 2 2

3 2

2 2 20

2 2 2

02 1

, 0

.

,

t

t

ua u t x y z tt

u f x y z

u g x y zt

cu f g

=

=

+ +

⎧ ∂Δ = + + + >⎪

∂⎪⎪ = + +⎪⎨∂⎪ = + +⎪ ∂⎪

⎪ ∈ ∈⎩ C C

19º Să se rezolve problema la limită

( ) ( ){ }( ) ( )

( ) ( )

2 2 2, , , , 1 4

2, cos , 0, 2 .

1, sin , 0, 2

u xy în D x y x y x y

uur

⎧ Δ = = ∈ < + <⎪⎪ θ = θ θ ∈ π⎨⎪ ∂

θ = θ θ ∈ π⎪ ∂⎩


20º Să se rezolve problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace şi semiplanul superior

( ) ( )

2 2

2 2 0, , 0,

, 0 ,

u u x yx y

u x f x x

⎧ ∂ ∂+ = ∈ >⎪

∂ ∂⎨⎪ = ∈⎩

obţinându-se formula lui Poisson pentru semiplan

( )( )

( )( )

/ 2

2 2/ 2

d 1, ty f s su x y f x y t tx s y

∞ π

−∞ −π

= = +π π− +∫ ∫ g d .

Funcţia ( )f ⋅ este absolut integrabilă pe şi satisface condiţiile Dirichlet pe orice interval finit din .

21º Să se arate că soluţia problemei

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

4 2

4 2

2

2

3

3

0 , , 0

, 0 ,

, 0 0 ,

lim , lim , lim ,

= lim , 0, 0

x x x

x

u u x yx y

u x f x xu x xy

u uu x y x y x yx xu x y y

xf absolut integrabilă pe

→±∞ →±∞ →±∞

→±∞

⎧ ∂ ∂+ = ∈ >⎪

∂ ∂⎪⎪⎧ = ∈⎪⎪

∂⎪⎨ = ∈⎪⎪ ∂⎪⎩⎨

∂ ∂⎪ = =⎪ ∂ ∂⎪∂

= >∂

⋅⎩

⎪⎪⎪⎪

=


( ) ( ) 2 i1, cos2

xu x y F y∞

ζ

− ∞

= ζ ζ ⋅π ∫ e dζ ,

unde este transformata Fourier a funcţiei ( )F ⋅ ( )f ⋅ . 22º Să se arate că soluţia problemei Cauchy

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 3

32

30

3

03

, , , 0, , ,

, , , , ,,

, , , , ,

, ,

t

t

u a u F x y z t x y zt

u f x y z x y z

u g x y z x y zt

f g F funcţii armonice în

=

=

⎧ ∂− Δ = > ∈⎪

∂⎪⎪ = ∈⎪⎨∂⎪ = ∈⎪ ∂

⎪⋅ ⋅ ⋅⎪⎩



( ) ( ) ( ) ( )2

, , , , , , , , , .2tu t x y z f x y z t g x y z F x y z= + ⋅ +


( ) ( )

( )

( )

22 3 3

22

20

2

0

, 0, ,

0 , ,c.c.

0 , ,

t

t

u a u t x y t x yt

u x y

u x yt

=

=

⎧ ∂− Δ = + > ∈⎪

∂⎪⎪ ⎧ = ∈⎨⎪⎪ ⎨ ∂⎪ = ∈⎪⎪ ∂⎩⎩

2

.


( ) ( )2

2 332

0

0

sin , 0, , ,

0 c.i.

0

t

t

u a u t x y z t x y ztu

ut

=

=

⎧ ∂− Δ = ⋅ α + β + γ > ∈⎪

∂⎪⎪⎧ =⎨⎪⎪ ∂⎨⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩


( ) ( )

( )( )

2 2 2 2

2 2 2

3 / 23 2 2 2

, , ,

sin sin .

tu t x y za

atx y z

a

⎡= −⎢ α + β + γ⎣⎤α + β + γ ⎥− α⎥α + β + γ ⎦

+ β + γ


( )

( )

( )

( )

2 2 22 2

2 2 2 2

0

2

02

1 0, , 0, ,

0

c.c. , , ,

t

t

u u u b u b t x ya t x y

uu g x y x yt

g

=

=

⎧ ∂ ∂ ∂− − − = ∈ > ∈⎪

∂ ∂ ∂⎪⎪ ⎧ =⎪⎨ ⎪

∂⎪⎪ = ∈⎨⎪ ∂⎪⎪⎪ ∈ ×⎪ ⎩⎩ C


( ) ( )1

1, , , e d4

abt

S

tu t x y g x at y at γ= + α + βπ ∫∫ σ


cu , fiind sfera unitate din 2 2 2 1α + β + γ = 1S ( )31; , , Sα β γ ∈ şi 1dσ

este elementul de arie pe . 1S

26º Să se arate că dacă ( )f ⋅ şi ( )g ⋅ sunt funcţii poliarmonice pe ( adică ,

2

2 0p fΔ = 2 0, ,q g p q ∗Δ = ∈ ), atunci soluţia problemei Cauchy

( )

( )

( )( )

22 2

22

02

0

0, 0, ,

, c.c. , ,

,

t

t

u a u t x ytu f x y

x yu g x yt

=

=

⎧ ∂− Δ = > ∈⎪

∂⎪⎪⎧ =⎨⎪⎪ ∈⎨ ∂⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩


( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

1 12 2 1

2 20 0

1, , , , ,2 ! 2 1 !

p qk kk k

k k

at atu t x y f x y g x yk a k

− − +

= =

= Δ + Δ+∑ ∑

( ) ( )2 22

1ch sh .u at f atat g

= Δ + ΔΔ

g

27º Să se determine soluţia problemei Cauchy

( ) ( )

( )

22 2

22

02

0

, , 0, ,

0 c.c. , ,

0

t

t

u a u F x y t x ytu

x yut

=

=

⎧ ∂− Δ = > ∈⎪

∂⎪⎪⎧ =⎨⎪⎪ ∈∂⎨⎪ =⎪⎪ ∂⎩⎩

ştiind că 2 0, .p F p ∗Δ = ∈

2.2 Indicaţii şi răspunsuri 1º i) – În cazul hiperbolic, transformarea este dată de

( )( )

2

2

b b ac x a

b b ac x a

⎧ζ = + − −⎪⎨⎪η = − − −⎩

y

y, iar forma canonică este

( )( )

( )( )

( )

2 2 2

2 2

2

4 4

.4

u d b b ac ae u d b b ac ae ua b ac a b ac

f ua b ac

∂ + − − ∂ − − − ∂= +

∂ζ∂η ∂ζ ∂η− −

+−

+


– În cazul eliptic, transformarea este dată de 2x ac b

bx ay

⎧⎪ζ = −⎨η = −⎪⎩

, iar forma

canonică este

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2.u u d u bd ea u f u

a ac b a ac b a ac b∂ ∂ ∂ − ∂

+ + + +∂ζ ∂η∂ζ ∂η − − 2−

c

– În cazul parabolic se alege (de exemplu) transformarea ,

, iar forma canonică este

bx ayy

ζ = −⎧⎨η =⎩

2b a=2

2 0.u bd ae u e u f uc c c

∂ − ∂ ∂+ + +

∂ζ ∂η∂η=

ii) Pentru 0d e f= = = deducem: – În cazul hiperbolic, soluţia generală este de forma

( ) ( ) ( )2 2 2 2, ,u x y b b c x ay b b c x ay⎡ ⎤ ⎡= ϕ + − − + ψ − − −⎣ ⎦ ⎣⎤⎦

cu două funcţii arbitrare de clasă pe . ( ) ( ),ϕ ⋅ ψ ⋅ 2C

– În cazul eliptic, ecuaţia 2 2

2 2 0u u∂ ∂+ =

∂ζ ∂η nu se poate integra ca în

cazurile hiperbolic şi parabolic, folosind variabilele reale. – În cazul parabolic, soluţia generală este de forma

( ) ( ) ( ), ,u x y y bx ay bx ay= ϕ − + ψ − cu două funcţii arbitrare de clasă pe . ( ) ( ),ϕ ⋅ ψ ⋅ 2C 2º Ecuaţia este de tip hiperbolic. Se face transformarea

2 sin2 sin

x x yx x y

ζ = + +⎧⎨η = − −⎩

. Rezultă forma canonică

( )22

232

0.32 32 32

u u u uζ − η +∂ ζ − η ∂ ζ − η ∂

− + +∂ζ∂η ∂ζ ∂η

=

În această ecuaţie se face schimbarea de funcţie u v ,

( )( )

( )2

64, e ,u x y v x yζ−η

−= .

Pentru funcţia necunoscută ( ),v ⋅ ⋅ rezultă 2

0v∂=

∂ζ∂η, deci soluţia

generală a ecuaţiei în este ( ,u ⋅ ⋅ )

( )( )

( ) (21 sin

16, e 2 sin 2 sin ,y x

u x y x x y x x y− +

)⎡ ⎤= ϕ + + + ψ − −⎣ ⎦

cu două funcţii arbitrare de clasă pe . ( ) ( ),ϕ ⋅ ψ ⋅ 2C


3º Dacă 0xy > ecuaţia este de tip parabolic. Se face transformarea x yx y

ζ = +⎧⎨η = −⎩

şi rezultă pentru ecuaţie soluţia generală ( ),u x y =

( ) ( ) ( )x y x y x= ϕ − + + ψ − y dacă 0x > şi . Dacă 0y > 0x < şi 0y < , atunci ( ) ( ) ( ) ( ),u x y x y x y x y= ϕ + + − ψ + . În reprezentările

anterioare . ( ) ( ) ( )2,ϕ ⋅ ψ ⋅ ∈C Dacă 0xy < , atunci ecuaţia este de tip hiperbolic cu soluţia generală

( ) ( ) ( ), 1 2 1u x y y x y x⎡ ⎤ ⎡ 2= ϕ − + + ψ − −⎣ ⎦ ⎣ 0⎤⎦ dacă x < şi ,

respectiv

0y >

( ) ( ) ( ), 1 2 1u x y y x y x⎡ ⎤ ⎡ 2= ϕ + + + ψ + −⎣ ⎦ ⎣ 0⎤⎦ dacă x > şi . 0y <

4º Pentru 0x ≠ , ecuaţia este de tip eliptic. Cu transformarea 0y ≠ln

ln

y

x

⎧ζ =⎪⎨η =⎪⎩

forma canonică este 2 2

2 2 0u u u u∂ ∂ ∂ ∂+ − − =

∂ζ ∂η∂ζ ∂η.

5º Ecuaţia este de tip hiperbolic cu familiile de caracteristici , Soluţia generală, dedusă

din forma canonică

1cosy x x c− − = 1 1 2cos , , .y x x c c c− + = ∈2

0u∂=

∂ζ∂η, este ( ) ( ), cosu x y y x x= ϕ − − +

( )cosy x+ ψ − + x , cu , ( )ϕ ⋅ ( ) ( )2ψ ⋅ ∈ C .

6º Ecuaţia este de tip hiperbolic cu familiile de caracteristici 12x y c− = , 2 1 22 , ,x y c c c+ = ∈ . Soluţia generală a ecuaţiei este

( ) ( ) ( ), 2u x y x y x y= ϕ − + ψ + 2 , ( ) ( ) (2,ϕ ⋅ ψ ⋅ ∈ C ) . Soluţia problemei se obţine din sistemul

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

10 2 , 0,2 .

12 1 1 , , 12

x f x x

x g x x

⎧ ⎡ ⎤ϕ + ψ = ∈⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣⎨

⎦⎡ ⎤⎪ϕ − + ψ = ∈ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

Soluţia problemei este

( ) 1 1, .2 2x xu x y f y g y f+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎞⎟⎠

7º Dacă 0x < ecuaţia este de tip hiperbolic cu familiile de caracteristici 13 2y x x c+ − = , 23 2y x x c− − = , 1 2,c c ∈ . Forma canonică a ecuaţiei

este


( )2 1 0

3u u∂ ∂⎛ ⎞− −⎜ ⎟∂ζ∂η ζ − η ∂ζ ∂η⎝ ⎠

u∂= .

Dacă 0x > ecuaţia este de tip eliptic. Cu transformarea dată de 3yζ = , 2x xη = rezultă forma canonică a ecuaţiei, şi anume

2 2

2 21 0

3u u u∂ ∂ ∂+ + =

η ∂η∂ζ ∂η.

8º Ecuaţia este de tip hiperbolic cu familiile de caracteristici 1sinx x y c+ − = , 2sinx x y c− + = , 1 2,c c ∈ . Pentru

sinx x yζ = + − , sinx xη = − + y se obţine forma canonică a ecuaţiei, şi

anume 2

0u∂=

∂ζ∂η. Pentru ( ) ( ) ( )2,f g⋅ ⋅ ∈ C soluţia generală a ecuaţiei

este ( ) ( ) ( ), sin sinu x y f x x y g x x y= + − + − + , iar soluţia problemei rezultă din sistemul

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

.f x g x x

f x g x x⎧ + = ϕ⎨

′ ′− + = ψ⎩

Rezultă că soluţia problemei este

( ) ( ) ( )

( )sin

sin

sin sin,

2

1 d .2

x x y

x x y

x x y x x yu x y

− +

+ −

ϕ − + + ϕ + −= +

+ ψ α α∫

9º Se scrie problema în coordonate sferice. Din datele problemei care depind doar de 2 2r x y z= + + 2 rezultă că ( )u u r= . Pentru ( )u u r= problema revine la

( )

( )

( )

2

00 finit

u u fr

u Ru

⎧ ′′ ′+ =⎪⎪⎨ =⎪⎪⎩

r

.

Prin analogie cu rezolvarea din exerciţiul 37º rezultă formula de reprezentare a soluţiei din enunţ. (Se face schimbarea de funcţie ,

. Se deduce

u v

( ) ( )u r v r′ = ( ) ( )212

0

1 1 drcu r s f s s c

r r s⎛ ⎞= − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

Din rezultă ( ) 0u R = ( )212

0

1 1 dRcc s f s

R R s⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ( )s deci u r =


( ) ( )2 21

0 0

1 1 1 1 1 1d d .R r

c s f s s s f s sR r R s s r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ Din ( )0u

finit rezultă .) 1 0c =

10º Ca în exerciţiul 9º se scrie problema în coordonate sferice. Din datele problemei care depind doar de 2 2r x y z= + + 2 rezultă ( )u u r= . Pentru , în acest caz, se obţine problema ( )u r

( )

( )

( )

2

0 .lim 0r

u u f rr

u Ru r

→∞

⎧ ′′ ′+ =⎪⎪⎨ =⎪

=⎪⎩

Cu schimbarea de funcţie u v , → ( ) ( )u r v r′ = se deduce

( ) ( )

( )

( )

212

0

1 1 d

0lim 0

r

r

cu r s f s s cr r s

u Ru r

→∞

⎧ ⎛ ⎞⎪ = − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪

⎨=⎪

⎪ =⎪⎩

∫.

Rezultă , finit conform ipotezei şi ( )20

dc sf s∞

= −∫ s

.s ( ) ( )21

0

d dR

R

c s f s s R s f s∞

= − −∫ ∫

Apoi, prin înlocuire, rezultă formula din enunţ.

11º Ca în exerciţiul 9º şi exerciţiul 10º, se rescrie problema în coordonate sferice şi din datele problemei rezultă că ( )u u r= . Funcţia se deduce din

( )u ⋅

( )

( )( )

1

2

2

0 .

0

u u f rr

u R

u R

⎧ ′′ ′+ =⎪⎪⎨ =⎪⎪ =⎩


Rezultă formula din enunţ. (Soluţia generală a ecuaţiei în ( )u ⋅ este ca în exerciţiile

9º, respectiv 10º, ( ) ( )212

0

1 1 drcu r s f s s c

r r s⎛ ⎞= − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ , altele fiind

condiţiile din care se determină constantele şi .) 1c 2c

12º Atât cazul i), cât şi ii) reprezintă problema Cauchy pentru un conductor unidimensional infinit. Conform formulei lui Poisson, (317), din capitolul 1, §8, 8.5, rezultă:

( ) ( )( ) ( )2 2

12 2

1

1

2

1

04 4

20 0 1 1

2

1i) , e d e d2 2

e d ,2 2

x xxa t a t

x

x xa t

x xa t

uu x t fa t a t

u u x x x xa t a t

−ζ −ζ∞ − −

− ∞ −

+

−θ

−

= ζ ζ =π π

ζ =

⎡ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= θ = Φ − Φ⎤

⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫

cu ( )2

e dx

xx x−

− ∞

Φ = ∫ .

( )( )

( )

2

2 2 2

2 2 2 2

2

22 2

2 22 2

2 2

22 2 2 22 2 22 2

0 4

40 4

1 41 4

0 4 1 4

1 1 440 1 41 4

0

ii) , e e d2

e d2

e e2

e e2

1

xb a t

x a b t

a t

x a b tb xa b t

a t a b t

xb x a b ta t a b ta b t

uu x ta t

ua t

ua t

ua t

u

−ζ∞ −− ζ

− ∞

−ζ + ζ∞ −

− ∞

⎛ ⎞− + ζ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠∞ − −+

− ∞

⎛ ⎞∞ − − + ζ⎜ ⎟− ⎜ ⎟+⎝ ⎠+

− ∞

= ζ =π

= ζ =π

2 d

d

= ⋅ ζπ

=

= ζ =π

=

∫

∫

∫

∫2 2

2 21 42 2

e .4

b xa b t

a b t

−+⋅

+


13º Este o problemă mixtă pentru ecuaţia neomogenă a corzii, dar cu date la limită omogene. Se caută soluţia sub forma unei sume

cu ( ) ( ) (0, , pu x t u x t u x t= + ), ( )0 ,u ⋅ ⋅ soluţie a problemei

( ) ( ) (

( )

)

( )( )

( )( )

2 22

2 2 , , 0, 0,

, 0 0c.i. , 0,

, 0 0

0, 0c.l. , 0

, 0

u ua x tt xu x

xu xt

u tt

u t

⎧ ∂ ∂= ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

⎪⎪⎪ ∈⎨ ∂⎨ =⎪⎪ ∂⎩⎪

⎧ =⎪>⎨⎪ =⎪ ⎩⎩

∞

şi ( ),pu ⋅ ⋅ soluţie pentru

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

2 22

2 2 + sh , , 0, 0,

, 0 0c.i. , 0, .

, 0 0

0, 0c.l. , 0

, 0

u ua b x x tt xu x

xu xt

u tt

u t

⎧ ∂ ∂= ∈⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

⎪⎪⎪ ∈⎨ ∂⎨ =⎪⎪ ∂⎩⎪

⎧ =⎪>⎨⎪ =⎪ ⎩⎩

× ∞

Pentru determinarea lui ( )0 ,u ⋅ ⋅ se aplică separarea de variabile. (Este evident că , dar se găseşte structura soluţiei, care va fi utilă în rezolvarea problemei pentru

( )0 ,u x t ≡ 0( ),pu ⋅ ⋅ .).

Pentru determinarea lui ( ),pu ⋅ ⋅ se aplică principiul lui Duhamel, deci

( ) ( )0

, , ;t

pu x t w x t d= − τ τ τ∫

cu ( ), ;w ⋅ ⋅ τ soluţie pentru problema


( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( )

2 22

2 2 , , 0, 0,

, 0 0c.i. , 0, .

, 0 sh

0, 0c.l. , 0,

, 0

u ua x tt xu x

xu x b xt

u tt

u t

⎧ ∂ ∂= ∈ ×⎪

∂ ∂⎪⎪ ⎧ =

⎪⎪⎪ ∈⎨ ∂⎨ =⎪⎪ ∂⎩⎪

⎧ =⎪∈ ∞⎨⎪ =⎪ ⎩⎩

∞

Rezultă

( ) ( )2 2 2

0

cos sin2 cos, sh shk

k at k xb b tu x t xa a

∞

=2 2 .

k

π π

= − −+ π∑

Rezolvarea urmează punct cu punct teoria prezentată în capitolul 1, §7, 7.2 ii.

14º Se urmează pas cu pas rezolvarea exerciţiului 36º din acest capitol §1. Deci se scrie problema în coordonate polare şi apoi se foloseşte metoda separării variabilelor. Rezultă

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22

1 22 2

1 1

2 2

+ =0 ,

, 2 , , ,, , 0, 2

, , 0, 2

u u ur r R rrr

u r u ru r fr

u r f

⎧ ∂ ∂ ∂+ <⎪ ∂∂ ∂θ⎪

⎪ θ + π = θ θ ∈⎪⎨∂⎪ θ = θ θ ∈ π⎪ ∂

⎪ θ = θ θ ∈ π⎪⎩

R<

⋅

cu funcţii date, dezvoltabile în serie Fourier-trigonometrică. Rezultă

( ) ( )1 2,f f⋅

( )

( )

( )

02 011

21 1

1 2 1 2 1 2 2 11 1

1 1 2 2 1

1 11 2 1 2 1 2 2 1

1 11 1 2 2 1

, ln2 2

cos

sin ,

k k k k k kk k k k

k k k kk

k k k k k kk k k k

k k k kk

a a ru r RR

a R kR a r kR a R a rk

k R R R R

b R kR b r kR b R b rk

k R R R R

− − − − −∞

− − − −=

− − − − −∞

− − − −=

θ = + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ θ+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ θ+

∑

∑

+


unde

( ) ( ) ( )01 1 1 1 1 11 1 1d , cos d , sin d ,

2 k ka f a f k b f kπ π π

−π −π −π

= θ θ = θ θ θ = θπ π π∫ ∫ ∫ θ θ

( ) ( ) ( )02 2 2 2 2 21 1 1d , cos d , sin d .

2 k ka f a f k b f kπ π π

−π −π −π

= θ θ = θ θ θ = θπ π π∫ ∫ ∫ θ θ

15º Se omogenizează condiţiile la limită prin schimbarea de

funcţie , u v→ ( ) ( )( )22

21, , e

2 2 1tx xv x t u x t

t− −

= − ++

(a se vedea

capitolul 1, §4, , cazul 3). Rezultă pentru funcţia 1e ( ),v ⋅ ⋅ problema mixtă

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

22

2

1

, , , 0, 0,

0, 0c.l. , 0 ,, 0

c.i. , 0 , 0,lim , 0

x

x

t

v va g x t x ttx

v tt

v t

v x f x xv x t

→∞

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪ ∂∂⎪

⎪ ′⎧ =⎪⎪ >⎨⎨ ′ =⎪⎩⎪⎪ = ∈⎪

=⎪⎩

∞

cu ( ) ( )( )

( )

222

22 2

1 1,e 2 e1 1

t tx x tg x t a

t t

−⎡ ⎤= − − + ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦ + şi

( ) ( ) ( )22

1 2 2x xf x f x −

= − + .

Căutăm ( ) ( ) ( )0, , pv x t v x t v x t= + , cu

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

22

2

0

1

0, 0, , 0

0, 0c.l. , 0, : , 0

c.i. , 0 ,lim , 0

x

x

t

v va xtx

v ttv x t v t

v x f x xv x t

→∞

⎧ ∂ ∂− = ∈ >⎪ ∂∂⎪

⎪ ′⎧ =⎪⎪ >⎨⎨ ′ =⎪⎩⎪⎪ = ∈⎪

=⎪⎩

,

t

)

d ,τ

iar conform principiului lui Duhamel este ( ,pv ⋅ ⋅

( ) ( )0

, , ;t

pv x t w x t= − τ τ∫


cu ( ), ;w ⋅ ⋅ τ soluţie a problemei mixte

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

22

2 0 , , 0, 0,

0, 0, 0 ., 0

,0 , , 0,lim , 0

c.l.

c.i.

x

x

t

v va x ttx

v tt

v t

v x g x xv x t

→∞

⎧ ∂ ∂− = ∈ ×⎪ ∂∂⎪

⎪ ′⎧ =⎪⎪ >⎨⎨ ′ =⎪⎩⎪⎪ = τ ∈⎪

=⎪⎩

∞

În ambele probleme mixte, atât pentru ( )0 ,v ⋅ ⋅ , cât şi pentru ( ), ;w ⋅ ⋅ τ se aplică metoda separării variabilelor.

16º Se observă că funcţia ( )3 3

1 ,6

x yu x y −= este soluţie pentru

ecuaţia Poisson din problemă. Cu schimbarea de funcţie , u v→( ) ( ) ( )1, ,u x y u x y v x y= + , , pentru funcţia ( ),v ⋅ ⋅ rezultă problema Dirichlet

relativă la ecuaţia lui Laplace şi dreptunghiul D,

( ) ( ){ }( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) [ ]

2 22

2 2 0, în , , , 0 , 0

,0 sin sin , 0,, 0 , 0,

, , 0,0, 0 , 0,

v v D x y x y x a y ax y

v x x x a x av a y y a

v x a x x a x av y y a

⎧∂ ∂+ = = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤⎪

∂ ∂⎪⎪ = − ∈⎪⎨

= ∈⎪⎪ = − ∈⎪⎪ = ∈⎩

.

Pentru această problemă se poate urma punct cu punct rezolvarea din exerciţiul 32º din acest capitol, §1, sau se poate aplica direct metoda separării variabilelor fără a mai descompune problema pentru ( ),v ⋅ ⋅ în alte două probleme.

17º Se observă că funcţia ( )3 3

1 ,6

x yu x y += este soluţie pentru

ecuaţia Poisson din problemă considerată. Cu schimbarea de funcţie , u v→( ) ( ) ( )1, ,u x y u x y v x y= + , , pentru funcţia ( ),v ⋅ ⋅ rezultă problema Neumann

exterioară ataşată ecuaţiei lui Laplace ( ) ( ){ }

( ) ( )

( )2 2

2 2 2

3 3

3

r

0, în , , , 3

3sin sin cos , 0,22

lim , există, este finită şi uniformă în raport cu direcţia x y

v D x y x y x y

vr

v r+ =

→∞

⎧ Δ = = ∈ + >⎪⎪ ∂⎪ = θ − θ + θ θ∈ π⎨ ∂⎪⎪ θ⎪⎩

.


Pentru problema în se trece la coordonate polare şi rezultă ( , v ⋅ ⋅)

( ) ( ){ }

( ) ( )

( )

2 22 2

2 2

3 3

3

r

0, în , , , 3

3sin sin cos , 0,22

lim , există, este finită şi uniformă în raport cu direcţia r

v v vr r D x y x y x yrr

vr

v r=

→∞

⎧ ∂ ∂ ∂+ + = = ∈ + >⎪ ∂∂ ∂θ⎪

⎪ ∂⎨ = θ − θ + θ θ∈ π⎪ ∂⎪

θ⎪⎩

2 2

.

Se aplică metoda separării variabilelor urmând punct cu punct rezolvarea din exerciţiul 34º, ii), din acest capitol, §1.

18º S-a notat 2 2 2

3 2 2u uu 2

ux y z∂ ∂ ∂

Δ = + +∂ ∂ ∂

. Se rescrie problema în coordonate

sferice şi se urmează punct cu punct soluţia de la exerciţiul 38º din acest capitol, §1. Rezultă, deoarece funcţia necunoscută este de forma ( ),u u r t= ,

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 22

,0 .

,0

u u ua tr rr t

u r f ru r g rt

⎧ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ = +⎪ ⎜ ⎟

∂∂ ∂⎝ ⎠⎪⎪⎨ =⎪∂⎪ =

⎪ ∂⎩

r

Cu schimbarea de funcţie u v , v ur= se obţine pentru problema ( ,v r t )

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 2

,0 .

,0

v va tr t

v r r f rv r rg rt

⎧ ∂ ∂= +⎪

∂ ∂⎪⎪⎨ =⎪ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

r

Se aplică metoda schimbării variabilelor şi principiul lui Duhamel, sau direct Teorema 5.2.2, formula (102) din capitolul 1, §5, şi rezultă

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

20

1 1,22

1 .2

d d dat r at s r at

r at s r at

v r t s s gaa

r at f r at r at f r at

+ − +

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟= ζ ζ + ζ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + + + − −

∫ ∫ ∫ ζ ζ +

19º Se observă ( )3 3

1 ,12

x y xyu x y += satisface ecuaţia Poisson

din problemă. Se face schimbarea de funcţie , u v→ ( ),v x y =


( ) ( )1,u x y u x y= − , . Se rescrie problema pentru ( ),v ⋅ ⋅ trecând la coordonate polare. Rezultă

( )

( ) ( )

( ) ( )3 3

0, 1 2, 0,222, cos sin 2 , 0,2 .3sin cos1, sin , 0,2

2

v r

v

vr

⎧ Δ = < < θ∈ π⎪⎪ θ = θ − θ θ∈ π⎪⎨⎪ ∂ θ + θ⎪ θ = θ − θ∈ π⎪ ∂⎩

Se aplică metoda separării variabilelor, urmând punct cu punct rezolvarea din exerciţiul 35º, acest capitol, §1, cu deosebirea tipului de condiţii la frontieră.

20º Problema Dirichlet pentru semiplanul superior, 0y > , ataşată ecuaţiei lui Laplace

( )

( )0

0, , 0,

lim , 0y

y

u x yu f x x

u x y=

→∞

Δ = ∈ >⎧⎪⎪ = ∈⎨⎪ =⎪⎩

,

a fost rezolvată în capitolul 1, §9, 9.6.2, ii, prin exemplul considerat. S-a obţinut formula lui Poisson de reprezentare a soluţiei. Aici, în ipoteza impusă funcţiei ( )f ⋅ , regăsim rezultatul amintit utilizând transformata Fourier prin exponenţială. Se notează cu ( ),U yζ transformata Fourier prin exponenţială a soluţiei problemei Dirichlet din enunţ şi cu ( )F ζ transformata Fourier, prin exponenţială a datei Dirichlet, deci

( ) ( )1, , e2

i dxU y u x y x∞

− ζ

− ∞

ζ =π ∫ ,

( ) ( )1 e .2

i dxF f x∞

− ζ

− ∞

ζ =π ∫ x

Problema Dirichlet considerată conduce la

( ) ( )

22

2 0.

,0

dd

U Uy

U F

⎧− ζ =⎪

⎨⎪ ζ = ζ⎩


Ţinând seama de teorema de inversiune a transformatei Fourier rezultă

( ) ( )1, ,2

i dxu x y U y∞

ζ

− ∞

= ζπ ∫ e ζ ,

funcţie pentru care are loc condiţia de comportare pentru a soluţiei, deci există şi este nulă

y →∞( )lim ,

yu x y

→∞. Cu aceasta, deşi din ecuaţia diferenţială pentru

( ),U yζ ar rezulta ( ) ( ) ( )1 2, e y yU y C C eζ −ζζ = ζ + ζ cu ζ∈ se reţine ca

posibilă doar reprezentarea ( ) ( ), e yU y C − ζζ = ζ . Din condiţia Cauchy ataşată

ecuaţiei diferenţiale în ( ),U ζ ⋅ rezultă că ( ) ( ), yU y F −e ζζ = ζ . Rezultă, cu teoremă de inversiune, că

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )22

1, , e2

1 1e e22

1 .

i

i i

d

d d

d

x

y x y t x

u x y U y

F f t

yf t ty t x

∞ζ

− ∞

∞ ∞ ∞− ζ + ζ − ζ − ζ −

− ∞ − ∞ − ∞

∞

− ∞

= ζ ζ =π

⎛ ⎞⎜ ⎟= ζ ζ = ζ

π ⎜ ⎟π⎝ ⎠

=π + −

∫

∫ ∫ ∫

∫

dt =

Cu schimbarea de variabilă , t →α arctgt x y= + α rezultă ambele formule din enunţ.

21º Din natura condiţiilor impuse soluţiei problemei considerate rezultă că se poate aplica metoda transformatei Fourier exponenţiale, ca metodă de rezolvare. Fie ( ),U yζ transformata Fourier exponenţială a soluţiei problemei considerate,

( ) ( )1, , e2

i dxU y u x y∞

− ζ

− ∞

ζ =π ∫ .x

Aplicând transformata Fourier exponenţială ecuaţiei şi condiţiilor Cauchy din problema considerată, rezultă

( ) ( )

( )

24

2 0

,0 ,

,0 0

dd

dd

U Uy

U FUy

⎧+ ζ =⎪

⎪⎪⎨ ζ = ζ⎪⎪ ζ =⎪⎩


cu

( ) ( )1 e .2

i dxF f x∞

− ζ

− ∞

ζ =π ∫ x

Soluţia problemei Cauchy în ( ),U ζ ⋅ este dată de

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2 21 2, cos sin

,0 ,

,0 0dd

U y c y c y

U FUy

⎧ ζ = ζ ζ + ζ ζ⎪⎪ ζ = ζ⎨⎪ ζ =⎪⎩

deci ( ) ( ), cU y F os yζ = ζ .

Cu teorema de inversiune pentru transformata Fourier exponenţială rezultă

( ) ( ) 21, e co2

i dxu x y F y∞

ζ

− ∞

= ζ ζπ ∫ s .ζ

22º Varianta cea mai lejeră de rezolvare este cea a verificării directe, ţinând seama de faptul că funcţiile ( )f ⋅ , ( )g ⋅ şi ( )F ⋅ sunt funcţii armonice.

Dăm şi o a doua variantă de rezolvare, mai dificilă. Problema din enunţ este o problemă Cauchy pentru ecuaţia undelor în dimensiune . Soluţia sa este dată de formula lui Kirchhoff, care în cazul de faţă

3n =( ) (, , , , ,F x y z t F x y z= )

(deci nu depinde de t), revine la

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2

2

1 14 4

1 1 .4

d d

d

at at

at

B X B X

B X

Fu X g

X a t

ft ta

∂

∂

ζ= ζ + ζ σ +

π − ζ π

∂ ⎛ ⎞+ ζ σ⎜ ⎟∂π ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

Dar

( )( )

( )( )

( )( )

0

0

1 14 4

1 1 .4

d d

d d

at

at

B X B X

at

B X

F FX X

F

ρ

ρ

∂

∂

⎛ ⎞ζ ζdζ = ζ⎜ ⎟π − ζ π − ζ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

ρ =

= ζ ζ ρ⎜ ⎟π ρ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫


Deoarece ( )F ⋅ , ( )f ⋅ , ( )g ⋅ sunt funcţii armonice conform teoremei de medie a lui Gauss pentru funcţii armonice, a se vedea Teorema

11.2.1 din capitolul 1, §11, 11.2 rezultă că ( )

( )

14

datB X

FX

ζζ =

π − ζ∫

( )0

dat

M Fρ ⎡ ⎤= ρ ζ ρ =⎣ ⎦∫ ( )0

,dat

F Xρ ρ∫ ( )( )

[ ]22

14

dat

atB X

f t M fa

∂

ζ σ =π ∫ ( )2t f X= =

( )2 , ,t f x y z= , ( )( )

( ) (21 , ,

4d

atB X

g t g X t g xa t

∂

ζ σ = ⋅ = ⋅∫ )y z . (Cu [ ]aM h s-a

notat media sferică a funcţiei ( )h ⋅ pe sfera de rază a.) Astfel ( ), ,u x y z =

( ) ( ) ( )0

, , , , , , .dat

F x y z t g x y z t f x y zt∂⎡ ⎤= ρ ρ + ⋅ + ⋅⎣ ⎦∂∫

Evident aceasta rezultă direct din (668), capitolul 1, §11, 11.3 şi Teorema 11.2.1 a lui Gauss, din capitolul 1, §11, 11.2.

23º Problema din enunţ este problema Cauchy pentru ecuaţia undelor în dimensiunea şi pentru care soluţia este dată de formula lui Poisson; formula Poisson a fost prezentată în capitolul 1, §5, 5.4, Teorema 5.4.1, formula (111). Ţinând seama că datele Cauchy în problema din enunţ sunt nule, formula lui Poisson revine la

2n =

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

3 3

22220 ,

1, , d d2

a t s

t

B x y

su x y t s

a a t s x y−

⎛ ⎞ζ + η= σ⎜ ⎟

π ⎜ ⎟− − − ζ − − η⎝ ⎠∫ ∫ .

Rezultă, după trecerea la coordonate polare, ( ),ρ θ , cu transformarea

cosxζ − = ρ θ , sinyη − = ρ θ ,

( ) ( )3 3 2

3 5, .6 20

x y au x t t x y t+= + +

24º Problema din enunţ este o problema Cauchy pentru ecuaţia undelor în dimensiune . Evident, se poate aplica formula lui Kirchhoff ca în exerciţiul 22º numai că în acest exerciţiu termenul liber din ecuaţia neomogenă a undelor nu este funcţie armonică, iar formula lui Kirchhoff conduce la

3n =

( ) ( ) ( )( )

1 2 3sin1, d4

atB X

t Xu X t

X− − ζ αζ + βζ + γζ

= ζπ − ζ∫ ,


conform capitolului 1, §5, 5.4, Teorema 5.4.1, formula (112). ( , ( ), ,X x y z=

( 1 2 3, , )ζ = ζ ζ ζ . ) Făcând calculul de explicitare a integralei de volum din expresia lui se obţine ( ,u X t ) ( ) ( ), , , ,u X t u x y z t= =

( ) ( )((

( ) ( ) ) }

2

20 0 0

1 sin sin sin cos4

sin sin cos d d d .

at

at xa

y z

π π⎧ ⎡⎪ ⎢= − ρ ρ θ α + ρ θ ϕ⎨π ⎢⎪ ⎣⎩

⎤+ β + ρ θ ϕ + γ + ρ θ θ ϕ ρ⎦

∫ ∫ ∫ +

Calculul de mai sus este extrem de dificil. Vom evita acest calcul dând o nouă variantă de rezolvare. Din structura termenului liber al ecuaţiei undelor, care intervine în problema Cauchy considerată, ne propunem determinarea soluţiei de forma

( ) ( ) ( ), , , sinu x y z t t x y z= α α + β + γ . Cerând acestei funcţii să satisfacă problema Cauchy din enunţ, pentru

funcţia rezultă problema Cauchy ( )α ⋅( )

( )( )

2 2 2 2

0 00 0

a t⎧ ′′α + α + β + γ α =⎪⎨ α =⎪ ′α =⎩

.

Soluţia generală a ecuaţiei omogene ataşată ecuaţiei diferenţiale din problema Cauchy de mai sus, este

( ) 2 2 2 2 2 20 1 2cos sin .t c a t c aα = α + β + γ + α + β + γ t

Prin metoda variaţiei constantelor se propune o soluţie particulară de forma

( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 2cos sinp t c t a t c t aα = α + β + γ + α + β + γ2 t .

Soluţia problemei Cauchy în ( )α ⋅ este ( ) ( ) ( )0 ,pt tα = α + α t

şi conform datelor Cauchy rezultă

( )( ) ( )

2 2 2

3 / 22 2 2 2 3 2 2 2

sin attta a

α + β + γα = −

α + β + γ α + β + γ .

Cu aceasta rezultă formula din enunţ pentru problema Cauchy ataşată ecuaţiei undelor în dimensiunea 3n = , şi anume, conform formei alese

( ) ( ) ( ), sinu x t t x y z= α α + β + γ ,

( ) ( ) ( )( )

2 2 2

3 / 22 2 2 2 3 2 2 2

sin, , , sin .

attu x y z t x y za a

⎡ ⎤α + β + γ⎢ ⎥= − α +⎢ ⎥α + β + γ α + β + γ⎣ ⎦

β + γ


25º Deoarece în ecuaţia din enunţ intervine şi un termen în funcţia necunoscută ( )u ⋅ se face schimbarea de funcţie , u v→( ) ( ), , e , , ,bzu x y t v x y z t= , cu scopul de a aduce ecuaţia din noua problemă

pentru la ecuaţia undelor, dacă este posibil. Prin calcul elementar pentru noua funcţie necunoscută rezultă problema Cauchy

( )v ⋅( )v ⋅

( )

( ) (

22

32 0

, , , 0 0

, , , 0 , ebz

v a vt

v x y zv x y z g x yt

⎧ ∂− Δ =⎪

∂⎪⎪⎨ =⎪∂⎪ =

⎪ ∂⎩)

.

Aşadar, de la o problemă Cauchy, în dimensiunea spaţială , pentru funcţia s-a trecut tot la o problemă Cauchy, dar ataşată ecuaţiei undelor în dimensiunea spaţială . S-a ajuns la ecuaţia undelor, cu preţul măririi cu o unitate a dimensiunii spaţiale. Pentru problema Cauchy în se aplică formula lui Kirchhoff, conform cu capitolul 1, §5, 5.4, Teorema 5.4.1, formula (112). Astfel rezultă

2n =( )u ⋅

3n =( )v ⋅

( ) ( ) ( )( )

( )21, , , , , e d , , ,

4at

b

B X

v x y z t v X t g X x y za t

ζ

∂

= = ζ η σ =π ∫ .

Cu transformarea sin cos , sin sin ,x at y atζ − = θ ϕ η − = θ ϕ cosz atζ − = θ , adică x atζ − = α , y atη − = β , z atζ − = γ , cu

şi rezultă 2 2 2 1α + β + γ = atρ = ρ

( ) ( )( )1

1, , , , e e d4

bat bz

B X

tv x y z t g x at y at γ

∂

= + α + β ⋅π ∫ σ

)

,

cu sfera de rază unu cu centrul în (1B X∂ ( ), ,x y z şi 1dσ elementul de arie pe . Cu aceasta rezultă, conform schimbării de funcţie făcute, formula din enunţ.

(1B X∂ )

26º Se aplică formula Poisson dedusă în capitolul 1, §5, Teorema 5.4.1 şi rescrisă cu media sferică a datelor Cauchy sub forma (669) din capitolul 1, §11, 11.3. Rezultă

( )( )[ ] ( )[ ]

2 2 2 2 2 20 0

1 1, dat atM g X M f X

u X ta a ta t a t

ρ ρρ ρ∂ d= ρ + ρ∂− ρ − ρ

∫ ∫ .

Ţinând seama de ipotezele privind datele Cauchy ( )f ⋅ şi , şi anume că sunt funcţii poliarmonice de ordin p, respectiv q cu , adică

, , deci , oricare m

( )g ⋅

,p q ∗∈

2 0p fΔ = 2 0q gΔ = 2 0m fΔ = ∈ , , respectiv m > p


2 0r gΔ = , oricare , conform formulei lui Pizetti, dedusă în capitolul 1, §11, 11.1, Teorema 11.1.3 şi Observaţia 11.1.3, formulele (663) şi (665), rezultă

,r r∈ > q

( )[ ] ( )( )

( ) ( )( )

12 22

22 22 21 02 ! 2 !

pj j jj

j jj j

f XM f X f X f X

j j

−∞

ρ= =

⎡ ⎤Δ ρ ρ⎣ ⎦= + = Δ∑ ∑ ,

respectiv

( )[ ]( )

( )1 2

2220

.2 !

q jj

jj

M g X g Xj

−

ρ=

ρ= Δ∑

Cu aceasta

( )( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 2 2

1 2 12

220 0

1 2 12

220 0

1, d2 !

1 d .2 !

atq j j

j a tj

atp j j

j a tj

g Xu X t

a j

f Xa t j

− +

−ρ=

− +

−ρ=

⎛ ⎞Δ ρ⎜ ⎟= ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Δ∂ ρ⎜ ⎟+ ρ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

∑ ∫

∑ ∫

+

Prin integrare prin părţi şi stabilirea unei formule de recurenţă pentru calculul integralei

2 1

2 1 2 2 20

dat k

kIa t

+

+ρ

= ρ− ρ

∫ ,

şi anume ( )

2 1 2 12

2 1

k

k katI I

k+ −=+

rezultă ( ) ( )

( )

2 1 2

2 12 .2 2 1 !

k

kat kI

k

+

+ =+

! Cu aceasta

( )( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

1 12 1 2 1

2 20 0

1 12 2 1

220 0

1 1,2 1 ! 2 1 !

1 ,2 ! 2 1 !

q pj jj j

j j

p qj kj k

j k

at atu X t g X f Xa j a t j

at atf X g Xj a k

− −+ +

= =

− − +

= =

∂= Δ + Δ

+ ∂ +

= Δ + Δ+

∑ ∑

∑ ∑

=

cu , ceea ce trebuia demonstrat. ( ) 2,X x y= ∈ Forma în scriere simbolică rezultă din dezvoltările în serie ale funcţiilor

şi ch , şi anume sh z z

( ) ( )

2 1 2

0 0sh , ch ,

2 1 ! 2 !

k k

k k

z zz zk k

∞ ∞+

= =

= =+∑ ∑ z ∈ .

27º Ca şi în rezolvarea din exerciţiul 26º se aplică formula lui Poisson (669), dedusă în capitolul 1, §11, 11.3. În cazul problemei din enunţ formula (669) devine


( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )( )

( )

[ ]

( )

( )

2 220

22 20 0

22 20 0

1, d2

1 d d d2

1 d d .

a t s

t

B X

t a t s

B X

t a t s

Fu X t s

a a t s X

F

d

sa a t s

M Fs

a a t s

−

ρ

−

−ρ

⎛ ⎞ζ= ζ⎜ ⎟π ⎜ ⎟− − − ζ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ζ⎢ ⎥= ζ⎜ ⎟π ⎢ ⎥⎜ ⎟− − ρ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞ρ⎜ ⎟= ρ⎜ ⎟− − ρ⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

=

ρ =

Ca în rezolvarea din exerciţiul 26º utilizând formula lui Pizetti, a se vedea capitolul 1, §11, 11.1, Teorema 11.1.3 şi Observaţia 11.1.3, rezultă

( )[ ] ( )( )

( )2

2221

.2 !

jj

jj

M F X f X F Xj

∞

ρ=

ρ= + Δ

⋅∑

Cum , deci , oricare 2 0p FΔ = 2 0mFΔ = ,m m p∗∈ ≥ rezultă

( )[ ]( )

( )1 2

2220

.2 !

p jj

jj

M F X F Xj

−

ρ=

ρ= Δ

⋅∑

Cu aceasta

( )( )

( ) ( )

( )1 2 12

22 22 20 0 0

1, d2 !

t a t sp j j

jj

F xu X t s

a j a t s

−− +

=

⎛ ⎞Δ ρ⎜ ⎟= ρ⎜ ⎟⋅ − − ρ⎝ ⎠

∑ ∫ ∫ d .

Precizam în rezolvarea exerciţiului 26º că integrala

( )

( ) ( )[ ] ( )( )

2 1 22 1

2 1 22 20

2 !d .

2 2 1 !

ja t s j

ja t s j

Ija t s

+− +

+− ⋅ρ

= ρ =+− − ρ

∫

Prin urmare

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

( ) ( )

2 11

20 0

1 2 22

220

1, d

1 , ,2 2 !

jtpj

j

p jj

j

u X t F x a t s sa

at F X X x yja

.

+−

=

− +

=

= Δ − =

= Δ =+

∑ ∫

∑ ∈


BIBLIOGRAFIE

1. BARBU, V., Probleme la limită pentru ecuaţii cu derivate parţiale,

Editura Academiei Române, Bucureşti, 1993 2. BĂTINEŢU - GIURGIU, M., Funcţii Bessel, Editura Academiei Tehnice

Militare, Bucureşti, 1996 3. BĂTINEŢU - GIURGIU, M. , Elemente de Analiză Fourier. Polinoame

ortogonale. Aplicaţii în electrotehnică, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 2001

4. BOBOC, N., Funcţii complexe, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969

5. BRÉZIS, H., Analyse functionnelle. Théorie et applications, Masson, Paris, 1983

6. BUDAK, B. M., FOMIN, S.V., Multiple Integrals, Field Theory and Series. An Advanced Course in Higher Mathematics, Mir Publishers, Moscow, 1973 (english translation)

7. COURANT, R., HILBERT, D., Metodî matematicescoi fiziki (trad. din germană), t.1, 2, Gostehizdat, 1951

8. CRISTESCU, R., Analiză funcţională, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965

9. DIEUDONNÉ, J., History of Functional Analysis, North Holland, Mathematic Studies, Amsterdam, New York, Oxford, 1983

10. GODUNOV, S., Équations de la physique mathématique, Ed. Mir, Moscou, 1973

11. GOURSAT, E., Cours d'analyse mathématique, t. III, Paris, Gauthier - Villars, 1933

12. LEBEDEV, N.N., Funcţii speciale şi aplicaţiile lor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1957

13. LUECKING, D. H., RUBEL, L.A., Complex Analysis: A Functional Approach, Springer - Verlag, New York - Berlin - Heidelberg, 1984

14. MARINESCU, GH., Teoria ecuaţiilor diferenţiale şi integrale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1963

15. MIHLIN., S.G., Ecuaţii liniare cu derivate parţiale, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1983

16. NICOLESCU, M., Funcţii reale şi elemente de analiză funcţională, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1962


17. NICOLESCU, M., Opera matematică. Funcţii poliarmonice, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1980

18. NICOLESCU, M., Opera matematică. Ecuaţii eliptice şi parabolice, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1992

19. OLARIU, V. STĂNĂŞILĂ, T., Ecuaţii diferenţiale şi cu derivate parţiale, Editura Tehnică, Bucureşti, 1982

20. PETROVSKII, I.G., Lekţii ob uravneniah s ceastnâmi proizvodnâmi, Fizmatghiz, 1961

21. RUDNER, V. NICOLESCU, C., Probleme de matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982

22. TEODORESCU, N., OLARIU, V., Ecuaţiile fizicii matematice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1975

23. VÂRSAN, C., SBURLAN, C., Bazele ecuaţiilor fizicii matematice şi elemente de ecuaţii diferenţiale, Editura EX PONTO, Constanţa, 2000


Ecuatii Cu Derivate Partiale de Ordinul Al Doilea, Maria Batinetu-giurgiu

Documents

Transcript of Ecuatii Cu Derivate Partiale de Ordinul Al Doilea, Maria Batinetu-giurgiu