Modele matematice pentru evaluarea derivatelor financiare

Dr. Iulian Stoleriu

Facultatea de Matematica

Universitatea ”Al. I. Cuza”, Iasi

iulian.stoleriu@uaic.ro

stoleriu@yahoo.com

[10−Dec−2009]

Modelul binomial cu n perioade

S0

Su = uS

0

Sd = dS

0

t = 0 t = T/n t = 2T/n t = T

p

1−p

Suu

= u2 S0

Sud

= u d S0

Sdd

= d2S0

Suuu

= u3S0

Suud

= u2 d S0

Sudd

= u d2 S0

Sddd

= d3S0

p

p

p

p

p

1−p

1−p

1−p

1−p

1−p

X X X X

(f0)

(fu)

(fd)

(fuu

)

(fud

)

(fdd

)

(fuuu

)

(fuud

)

(fudd

)

(fddd

)

* Pretul activului financiar derivat este:

f0 = e−rTn∑k=0

Cknψk(1− ψ)n−kf(ukdn−kS0) = e−rTEψ[f(ST )], unde ψ =

erTn − du− d

Modele discrete

? P (ST = ud2S0) = C23ψ(1− ψ)2.

? Alte modele discrete: modelul binar sau modelul trinomial (discretizarea ecuatiei B-S)

Figure 1: Arbore binar.

Figure 2: Arbore trinomial.

Modelul Black-Scholes

(F. Black, M. Scholes & R. Merton) Ipoteze de lucru:

? optiuni de tip call european;

? St este o miscare browniana geometrica,

dSt = µStdt+ σStdWt;

? fara dividende;

? piata financiara este considerata a fi perfecta.

? σ este o functie determinista de timp.

Figure 3: Procese Wiener.

Ecuatia Black-Scholes (1973):∂C

∂t+

1

2σ2S2 ∂

2C

∂S2+ rS

∂C

∂S= rC, t ∈ [0, T ].

Conditia finala:

C(St, T ) = (ST −K)+

Conditii la limita:

C(0, t) = 0, pentru S = 0;

C(S, T )

S→ 1, pentru S →∞.

* Cazul discret ın timp. Formula Cox-Ross-Rubinstein:

(CRR) C0 = S0B(a, n, ψ∗)−Ke−rTB(a, n, ψ)

unde

ψ∗ = ψue−rTn , B(a, n, ψ) =

n∑k=a

Cknψk(1− ψ)n−k.

* Cazul continuu ın timp. Solutia ecuatiei Black-Scholes este:

(BS) C0 = S0 Φ(d1)−K e−rT Φ(d2)

unde

d1 =ln(S0

K ) + (r + σ2

2 )(T )

σ√T

, d2 = d1 − σ√T .

* B(a, n, ψ)→ Φ(d1), cand n→∞.

* Pentru un put EU, folosim paritatea put-call.

Drift si volatilitate

? In multe cazuri, r nu este constant, ci o variabila aleatoare (real market). Valoarea medie a

fluctuatiilor ın jurul lui r se numeste drift, notat cu µ (valoarea asteptata a castigului pentru

o unitate monetara).

? Volatilitatea σ este o masura statistica utilizata pentru a determina amploarea fluctuatiilor

ınregistrate de pretul unui activ financiar.

? In practica, volatilitatea nu poate fi observata direct, dar poate fi estimata. Volatilitatea e

reprezentata de deviatia standard.

? Riscul ratei dobanzii pietei:

λ =µ− rσ

(scorul statistic)

Volatilitate istorica (historical volatility)

? Foloseste valorile imediat recente ale activului studiat;

? Pretul este observat la intervale fixe de timp (e.g., zilnic, saptamanal, lunar);

? De regula, σ este ıntre 15% si 60%;

? Reamintim ca

lnSTS0∼ N

((µ− σ2

2

)T, σ√T

).

? Presupunem ca ın intervalul de timp ∆t avem n+1 observatii asupra pretului activului, notate

prin Si, (i = 0, n).

? Fie

ui = ln

(SiSi−1

)(i = 0, n).

? Avem: D2(ui) = σ2∆t. O estimatie pentru deviatia standard teoretica σ√

∆t este deviatia

standard empirica pentru ui, de unde o estimatie pentru σ este:

σ =1√∆t

√√√√ 1

n− 1

n∑i=1

(ui − u)2.

? Eroarea standard de aproximare este

ε =σ√2n.

Volatilitate implicita (implied volatility)

? Avem: C0 = C(S0, K, r, T, σ).

? Dintre variabilele de mai sus, doar σ nu poate fi observat ın mod direct.

? Presupunem S0, K, r, T cunoscute si o cotatie de pe piata a lui C0. Cautam acel σ care,

introdus ın formula Black-Scholes, sa regasim C0.

? E.g., fie S0 = 21, K = 20, r = 0.1, T = 0.25, C0 = 1.875. Folosim metoda ınjumatatirii

intervalului pentru a calcula pe σ (volatilitatea implicita).

? Incercam σ = 0.2 =⇒ C0 = 1.76 < 1.875.

? Deoarece C depinde crescator de σ, caut σ = 0.3 =⇒ C0 = 2.10 > 1.875.

? Caut σ = 0.25 etc.... σ = 0.235. (23.5%p.a.)

? Graficul volatilitatii implicite versus K se numeste volatility smile

? Pretul de exercitiu este stabilit ın jurul lui S0. Vom spune ca pretul activului suport este la:

– sub-paritate (in-the-money), daca K < S0.

– la paritate (at-the-money), daca K = S0.

– supra-paritate (out-of-the-money), daca K > S0.

Figure 4: Volatility smile.

Cum alegem factorii u si d?

? Dorim sa alegem aceste valori ın concordanta cu µ si σ.

? Presupunem ca pretul unui activ la t = 0 este S0, iar driftul este µ.

Valoarea acestui activ la finele unei perioade de timp ∆t va fi S0(1 + µ∆t).

? Fie σ astfel ıncat varianta ratei dobanzii ın perioada ∆t este S20σ

2∆t;

? La finele perioadei ∆t, activul (stock) va avea una dintre valorile uS0 sau dS0.

? Presupunem ca, prin procedee empirice, am determinat probabilitatea p. Valoarea empirica

asteptata a pretului activului la scadenta va fi p uS0 + (1− p) dS0.

? Egalam valoarea medie empirica cu cea teoretica:

p uS0 + (1− p) dS0 = S0(1 + µ∆t), (1)

de unde

p∗ =eµ∆t − du− d

.

Totodata, egalam si valorile pentru dispersie,

pu2S20 + (1− p)d2S2

0 − (puS0 + (1− p)dS0)2 = S20σ

2∆t. (2)

? Eliminand p din (1) si (2), obtinem:

(u− 1− µ∆t)(1 + µ∆t− d) = σ2∆t.

Ignoram puterile de ordin superior ale lui ∆t si gasim ca o solutie a sistemului este:

u = 1 + σ√

∆t, d = 1− σ√

∆t.

In teoria Cox-Ross-Rubinstein, u si d sunt alese ın urmatorul mod:

u = eσ√

∆t, d = e−σ√

∆t,

care, ın cazul ın care√

∆t 1, sunt similare cu cele anterioare.

? u si d sunt independente de µ (asadar, volatilitatea pretului activului e aceeasi atat ın piata

reala, cat si ın cea lipsita de risc) ⇐= Teorema lui Girsanov.

? Teorema (Girsanov): Fie c.p. (Ω, F , P ), Wt miscarea Browniana, Ft o filtrare generata de

Wt si procesul stochastic θt adaptat la Ft. Definim urmatoarea masura de probabilitate:

P ∗(F ) =

∫F

LT dP, (∀)t ∈ F ,

unde

Lt = exp

−∫ t

0

θtdWt −1

2

∫ t

0

θ2t dt

, t ∈ [0, T ].

Atunci, procesul dW ∗t = θt dt+ dWt este o miscare Browniana ın raport cu masura P ∗.

? Stim ca Wt ∼ NP (0, T ). Daca θt = θ = const., atunci W ∗t ∼ NP (θT, T ).

? Pentru un activ financiar ce valoreaza St, schimbarea de la o piata reala la una fara risc este:

dStSt

= µdt+ σdWt

= rdt+ σ

[µ− rσ

dt+ dWt

]= rdt+ σdW ∗t .

Exemplu: Pretul curent este S0 = 10, σ = 0.2, T = 2, n = 731. Atunci,

u = eσ√T = 1.3269, d = e−σ

√T = 0.7536.

Figure 5: Evolutia pretului unui activ financiar ıntr-o piata ın care tranzactiile se fac zilnic.

Evaluarea optiunilor americane. Cazul discret

? Propozitia 1 Intr-o piata viabila, avem

maxSt −Ke−r(T−t), 0

≤ Cet ≤ St, ∀t ∈ [0, T ].

? Propozitia 2 Pentru un activ financiar pentru care nu se platesc dividende, avem

Cat = Cet , ∀t ∈ [0, T ].

- Aratam ca Cat ≤ Cet , ∀t ∈ [0, T ]. Stim ca:

Ca(t) = maxSt −K, Cet , ∀t ∈ [0, T ].

Dar, daca nu se platesc dividende, din Propozitia 1 avem:

St −K ≤ St −Ke−r(T−t) ≤ Cet ,

de unde rezulta inegalitatea

Cat ≤ Cet , ∀t ∈ [0, T ]. √

? Doua motive pentru care o optiune de tip call american pentru care nu se platesc dividende

nu ar trebui exercitata mai devreme de maturitate: asigurare si dobanda.

Optiuni put americane

? Notam cu P a(t, S) valoarea unui put american la momentul t, pentru activul S.

Fara dividende, P a(t, S) ≥ P e(t, S), (∀)t ∈ [0, T ].

? Discretizam ın spatiul starilor si timp. Obtinem o latice (i, j). Pentru fiecare nod, definim:

P ai, j − valoarea optiunii la nodul (i, j);

Si, j = S0ujdn−j .

? La scadenta, avem:

P an, j = maxK − S0ujdn−j , 0, j = 0, 1, . . . , n.

? Daca optiunea nu este exercitata, atunci avem:

P ai, j = e−rTn

(ψfi+1, j+1 + (1− ψ)P ai+1, j

), i = 0, 1, . . . , n− 1, j = 0, 1, . . . , i.

? Daca optiunea este exercitata, atunci:

P ai, j = maxK − S0u

jdi−j , e−rTn

(ψP ai+1, j+1 + (1− ψ)P ai+1, j

), i = 0, n− 1, j = 0, i.

? Valoarea cautata pentru derivatul financiar este P a0,0.

? Cand n→∞, atunci obtinem valoarea lipsita de arbitraj a unui put american.

Exemplu (put american): Se dau: S0 = 50, K = 52, r = 0.05, u = 1.2, d = 0.8, T = 2,

n = 2. Avem ca ψ = 0.6282.

Evaluarea optiunilor americane. Cazul continuu

? In general, nu putem gasi o formula explicita care sa reprezinte pe P a(t, S).

? Notam cu Λ(St) = maxK − St, 0; (∀)t ∈ [0, T ]. (functia pay-off la momentul t)

? Intr-o piata viabila, avem ca

P a(t, S) ≥ Λ(St), (∀)t ∈ [0, T ], S > 0. (3)

? In cazul unui put american, daca lasam optiunea sa se maturizeze, atunci

∂P a(t, S)

∂t+

1

2σ2S2 ∂

2P a(t, S)

∂S2+ rS

∂P a(t, S)

∂S− rP a(t, S) ≤ 0, (∀)(t, S) ∈ [0, T ]× (0, ∞).

(4)

? Pentru orice punct (S, t), va fi optimal sa exersam sau sa tinem de optiune pana la T , i.e.,

Pentru orice punct (S, t), una dintre (3) si (4) se va transforma ın egalitate. (5)

? Conditia finala:

P a(T, S) = Λ(ST ), S ≥ 0; (6)

? Conditii la frontiera:

P a(t, S)S→0−→ K, (∀)t ∈ [0, T ], P a(t, S)

S→∞−→ 0, (∀)t ∈ [0, T ]. (7)

? Problema [(3) - (7)] = linear complementarity problem

Avantaje/dezavantaje ale modelelor discrete

? la fiecare perioada, preturile pot lua doar un numar finit de posibile valori, ”up” si ”down”,

pe cand ın realitate S poate lua orice valoare pozitiva, inclusiv S = 0;

? volatilitatea σ este presupusa constanta ın tot intervalul [0, T ], ınsa realitatea poate fi alta.

? perioadele sunt echidistante;

? ın realitate, tranzactiile au loc ın mod continuu, ın fiecare moment.

? din punct de vedere calculatoriu, modelul binomial este ıncet.

? are marele avantaj ca poate fi usor adaptat pentru contracte de tip american.

Indici de senzitivitate (Greek letters)

Valoarea unui derivat financiar este o functie f = f(S, t, σ, r). Pentru o variatie mica a lui f in

raport cu fiecare variabila, putem dezvolta in serie Taylor:

∆f =∂f

∂S∆S +

∂f

∂t∆t+

∂f

∂σ∆σ +

∂f

∂r∆r +

∂2f

∂S2(∆S)2 +

∂2f

∂σ2(∆σ)2 + . . .

Indicele ∆ (Delta)

∆ masoara senzitivitatea derivatului financiar in raport cu S. Pentru un call european, definim:

∆ =∂C

∂S∈ (0, 1).

Din

Ct = St Φ(d1)−K e−r(T−t) Φ(d2),

gasim ca

∂C

∂S= Φ(d1) + S Φ′(d1)

∂d1

∂S−K e−r (T−t) Φ′(d2)

∂d2

∂S

= Φ(d1) +[S Φ′(d1)−K e−r (T−t) Φ′(d2)

] ∂d1

∂S.

Dar, Φ′(d2) = 12π e

− d222 = Φ′(d1) S

K er (T−t), de unde

∂C

∂S= ∆ = Φ(d1).

? ∆ = 0.5 =⇒ call la paritate; ∆ < 0.5 =⇒ call la sub-paritate; ∆ > 0.5 =⇒ call la supra-

paritate;

? e.g., pp. ∆ = 0.6. Atunci, variatia cu o unitate a pretului activului suport determina o

variatie egala cu 0.6 optiuni call, i.e., detinerea unui call EU este echivalenta cu detinerea a

60 de actiuni.

? Acoperire cu Delta (Delta hedging). Fie S0 = 10, C0 = 1, ∆ = 0.5. Un investitor ce a vandut

12 optiuni call se poate (∆)− acoperi prin cumpararea a 0.5× 1200 = 600 actiuni.

Indicele Γ (Gama)

Masoara senzitivitatea indicelui ∆ in raport cu S. Pentru un call european, definim:

Γ =∂∆

∂S=∂2C

∂S2.

Utilizand formula Black-Scholes, gasim ca acesta este:

Γ =Φ′(d1)

S0 σ√T.

Indicele Θ (Teta)

Masoara senzitivitatea derivatului financiar in raport cu t. Se defineste astfel:

Θ =∂f

∂t.

Pentru un call european, acesta este:

ΘC =∂C

∂t= −S0 Φ′(d1)σ

2√T

− rK e−r TΦ(d2).

In general, Θ ≤ 0 pentru un call european.

Pentru un put european, acesta este:

ΘP =∂P

∂t= −S0 Φ′(d1)σ

2√T

− rK e−r TΦ(−d2).

Din ecuatia Black-Scholes, obtinem urmatoarea relatie intre indicii ∆, Γ si Θ:

Θ + r S∆ +1

2σ2 S2Γ = r C.

Indicele ν (Vega)

Masoara senzitivitatea indicelui C in raport cu volatilitatea σ. Pentru un call european, definim:

ν =∂C

∂σ.

Daca ν este mare, atunci portofoliul este foarte senzitiv la modificarile mici ale volatilitatii.

Indicele ρ (Rho)

Masoara senzitivitatea indicelui C in raport cu rata dobanzii unitare anuale neutra la risc, r.

Pentru un call european, definim:

ρC =∂C

∂r= K T Φ(d2).

Pentru un put european,

ρP =∂P

∂r= K T Φ(−d2).

Strategii de investitii cu optiuni

* Optiunile sunt utilizate pe piata financiara pentru:

? speculatie;

? hedging (acoperirea riscului sau asigurare);

? arbitraj.

* Strategii strategii bull sau strategii bear.

* Strategiile de investitie cu optiuni sunt nenumarate; amintim aici doar cateva metode uzuale:

? strategii simple. e.g., cumparare de optiuni call si put, acoperite sau neacoperite, in functie

de anticiparile investitorilor asupra evolutiei viitoare a cursului activului suport.

? combinatii. Aceste strategii sunt combinatii de optiuni asupra aceluiasi activ suport. e.g.,

salturile (en., spreads), prima dubla (en., stellage) sau gatuirile (en., strangles).

? cumpararea de portofolii formate din optiuni call si put si active suport, in vederea luarii unei

pozitii cat mai bune pe piata la scadenta.

Strategii simple cu optiuni

? cumparare de optiuni call (naked long call).

– Alaturi de cumpararea de optiuni put, acestea sunt cele mai simple strategii speculative.

– Naked long call este si cea mai populara strategie, inca de la inceputurile tranzactiilor cu

optiuni.

– Este o strategie de tip bull si poate fi propice in cazul in care se anticipeaza o crestere

importanta a cursului activului suport pana la maturitate.

– Daca anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platita pentru achizitionarea optiunii

call. Profitul net la t = T este dat de formula:

Πc = (ST −K)+ − C0.

? cumparare de optiuni put (naked long put).

– Este o actiune speculativa de tip bear, ce poate fi propice in cazul in care se anticipeaza o

scadere importanta a cursului activului suport pe durata de viata a optiunii.

– Daca anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platita pentru achizitionarea optiunii

call. Vom spune in acest caz ca pierderea, daca survine, are efect de levier.

– La scadenta, profitul/deficitul net este:

Πp = (K − ST )+ − P0.

? vanzare de optiuni call (naked short call).

– Este tot o actiune speculativa, propice in cazul in care se anticipeaza ca valoarea activului

suport nu va creste pe durata de viata a optiunii.

– Daca anticiparile nu se adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari decat

primele incasate. Pierderea, daca survine, are efect de maciuca.

– Profitul/deficitul net la maturitate este −Πc de mai sus.

? vanzare de optiuni put (naked short put).

– Actiunea poate fi propice in cazul in care se anticipeaza ca valoarea activului suport nu va

scadea pe durata de viata a optiunii.

– Daca anticiparile nu se adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari decat

primele incasate. Daca pierderea survine, atunci are efect de maciuca asupra investitorului.

– Profitul/deficitul net la scadenta este −Πp de mai inainte.

? vanzare de optiune call si detine activ suport (covered call). Strategia call acoperit este

opusul la naked call. Investitorul isi stabileste o pozitie short pentru un call, dar detine un

numar de active suport, cate sunt vandute prin operatiunea short call. Valoarea profitu-

lui/deficitului in acest caz este S −Πc, care la t = T devine:

ST + C0 − (ST −K)+ =

K + C0, ST ≥ K;

ST + C0, ST < K.

C

0

K S(T)

− K

? cumpara put si detine activ suport (protective put) (strategie bull). E o strategie de acoperire

a riscului. Un investitor procedand astfel plateste premium pentru put si se protejeaza im-

potriva scaderii pretului activului suport. La maturitate, profitul/deficitul total pentru aceasta

strategie este Πp + ST , i.e.,

(K − ST )+ − P0 + ST =

K − P0, ST < K;

ST − P0, ST ≥ K.

K − P0

K S(t)

? cumpara put si cumpara activ suport (married put) (strategie bull).

– Un investitor procedand astfel plateste premium pentru put si intra intr-o pozitie long

asupra activului suport.

– Investitorul doreste sa profite de detinerea stockului (dividende, drept de vot etc), dar are

temeri in ce priveste riscurile ce pot aparea prin detinerea activului.

– In general se cumpara un numar de optiuni put echivalent cu numarul de actiuni detinute.

– Profitul/deficitul total la scadenta pentru aceasta strategie este Πp(T ) + ST −K:

(K − ST )+ − P0 + ST −K =

−P0, ST < K;

ST − P0 −K, ST ≥ K.

Combinatiile

? Sunt combinatii de mai multe serii de optiuni asupra aceluiasi activ-suport.

? Aceste strategii se bazeaza pe anticipari foarte exacte ale evolutiei cursului activului suport.

? Daca anticiparile sunt corecte, atunci castigurile pot fi mult mai mari decat profiturile realizate

prin strategii simple.

? salturile (en., spreads).

– Gestionarul de portofoliu cumpara si vinde in acelasi timp doua optiuni call (sau doua

optiuni put) asupra aceluiasi activ suport, dar cu preturi de exercitiu si scadente diferite.

– Salturile pot fi crescatoare (bull spreads, se anticipeaza o crestere a lui St) sau descresca-

toare (bear spreads, anticipam o scadere a lui St).

– Exemplu de bull-spread cu doua optiuni call, cu preturile de exercitiu Kc si Kv si primele

Cc0 si Cv0 : un 100 call − 110 call

Kc Kv S(t)

? butterfly spreads.

– Folosesc o combinatie de bull si bear spreads. Are 3 preturi de exercitiu.

– Se anticipeaza ca pretul activului va ramane intr-o anumita regiune, K1 < St < K3.

– Exemplu de butterfly spread cu optiuni call: long C1 − short 2C2 − long C3.

– Diagrama profitului va fi:

C1 − 2C2 + C3 = (ST −K1)+ − C10 − 2(ST −K2)+ + 2C2

0 + (ST −K3)+ − C30 .

? prima dubla (en., straddle, fr., stellage).

– Este o strategie prin care se cumpara sau se vinde simultan optiuni call-put pentru acelasi

activ suport, acelasi pret de exercitiu si aceeasi scadenta.

– Se spera intr-o variatie puternica (la cumparare), sau o variatie foarte mica (la vanzare) a

pretului activului suport, fara a sti exact in ce directie este variatia.

– e.g., un 100 call − 100 put semnifica: cumpararea unui call cu K = 100 la T , vanzarea

simultana a unui put cu K = 100.

K S(T)

K − C0 − P

0

Optiunile ca asigurare

? Optiunile pot fi folosite ca asigurare in situatii nesigure ale pietei.

? Optiunea este exercitata doar daca aceasta aduce un avantaj detinatotului.

? Detinand optiuni, nu vom mai putea spune ca

– ”Acum mi-as fi dorit sa fi cumparat acel pachet de actiuni cand am avut ocazia”

– ”Imi doresc sa nu fi cumparat acel activ”.

– ”Mi-as fi dorit sa fi pastrat acele actiuni, pe care le-am vandut”

– ”Ar fi trebuit sa vand acel activ la momentul potrivit”.