Modele matematice pentru evaluarea derivatelor financiare
Dr. Iulian Stoleriu
Facultatea de Matematica
Universitatea ”Al. I. Cuza”, Iasi
[10−Dec−2009]
Modelul binomial cu n perioade
S0
Su = uS
0
Sd = dS
0
t = 0 t = T/n t = 2T/n t = T
p
1−p
Suu
= u2 S0
Sud
= u d S0
Sdd
= d2S0
Suuu
= u3S0
Suud
= u2 d S0
Sudd
= u d2 S0
Sddd
= d3S0
p
p
p
p
p
1−p
1−p
1−p
1−p
1−p
X X X X
(f0)
(fu)
(fd)
(fuu
)
(fud
)
(fdd
)
(fuuu
)
(fuud
)
(fudd
)
(fddd
)
* Pretul activului financiar derivat este:
f0 = e−rTn∑k=0
Cknψk(1− ψ)n−kf(ukdn−kS0) = e−rTEψ[f(ST )], unde ψ =
erTn − du− d
Modele discrete
? P (ST = ud2S0) = C23ψ(1− ψ)2.
? Alte modele discrete: modelul binar sau modelul trinomial (discretizarea ecuatiei B-S)
Figure 1: Arbore binar.
Figure 2: Arbore trinomial.
Modelul Black-Scholes
(F. Black, M. Scholes & R. Merton) Ipoteze de lucru:
? optiuni de tip call european;
? St este o miscare browniana geometrica,
dSt = µStdt+ σStdWt;
? fara dividende;
? piata financiara este considerata a fi perfecta.
? σ este o functie determinista de timp.
Figure 3: Procese Wiener.
Ecuatia Black-Scholes (1973):∂C
∂t+
1
2σ2S2 ∂
2C
∂S2+ rS
∂C
∂S= rC, t ∈ [0, T ].
Conditia finala:
C(St, T ) = (ST −K)+
Conditii la limita:
C(0, t) = 0, pentru S = 0;
C(S, T )
S→ 1, pentru S →∞.
* Cazul discret ın timp. Formula Cox-Ross-Rubinstein:
(CRR) C0 = S0B(a, n, ψ∗)−Ke−rTB(a, n, ψ)
unde
ψ∗ = ψue−rTn , B(a, n, ψ) =
n∑k=a
Cknψk(1− ψ)n−k.
* Cazul continuu ın timp. Solutia ecuatiei Black-Scholes este:
(BS) C0 = S0 Φ(d1)−K e−rT Φ(d2)
unde
d1 =ln(S0
K ) + (r + σ2
2 )(T )
σ√T
, d2 = d1 − σ√T .
* B(a, n, ψ)→ Φ(d1), cand n→∞.
* Pentru un put EU, folosim paritatea put-call.
Drift si volatilitate
? In multe cazuri, r nu este constant, ci o variabila aleatoare (real market). Valoarea medie a
fluctuatiilor ın jurul lui r se numeste drift, notat cu µ (valoarea asteptata a castigului pentru
o unitate monetara).
? Volatilitatea σ este o masura statistica utilizata pentru a determina amploarea fluctuatiilor
ınregistrate de pretul unui activ financiar.
? In practica, volatilitatea nu poate fi observata direct, dar poate fi estimata. Volatilitatea e
reprezentata de deviatia standard.
? Riscul ratei dobanzii pietei:
λ =µ− rσ
(scorul statistic)
Volatilitate istorica (historical volatility)
? Foloseste valorile imediat recente ale activului studiat;
? Pretul este observat la intervale fixe de timp (e.g., zilnic, saptamanal, lunar);
? De regula, σ este ıntre 15% si 60%;
? Reamintim ca
lnSTS0∼ N
((µ− σ2
2
)T, σ√T
).
? Presupunem ca ın intervalul de timp ∆t avem n+1 observatii asupra pretului activului, notate
prin Si, (i = 0, n).
? Fie
ui = ln
(SiSi−1
)(i = 0, n).
? Avem: D2(ui) = σ2∆t. O estimatie pentru deviatia standard teoretica σ√
∆t este deviatia
standard empirica pentru ui, de unde o estimatie pentru σ este:
σ =1√∆t
√√√√ 1
n− 1
n∑i=1
(ui − u)2.
? Eroarea standard de aproximare este
ε =σ√2n.
Volatilitate implicita (implied volatility)
? Avem: C0 = C(S0, K, r, T, σ).
? Dintre variabilele de mai sus, doar σ nu poate fi observat ın mod direct.
? Presupunem S0, K, r, T cunoscute si o cotatie de pe piata a lui C0. Cautam acel σ care,
introdus ın formula Black-Scholes, sa regasim C0.
? E.g., fie S0 = 21, K = 20, r = 0.1, T = 0.25, C0 = 1.875. Folosim metoda ınjumatatirii
intervalului pentru a calcula pe σ (volatilitatea implicita).
? Incercam σ = 0.2 =⇒ C0 = 1.76 < 1.875.
? Deoarece C depinde crescator de σ, caut σ = 0.3 =⇒ C0 = 2.10 > 1.875.
? Caut σ = 0.25 etc.... σ = 0.235. (23.5%p.a.)
? Graficul volatilitatii implicite versus K se numeste volatility smile
? Pretul de exercitiu este stabilit ın jurul lui S0. Vom spune ca pretul activului suport este la:
– sub-paritate (in-the-money), daca K < S0.
– la paritate (at-the-money), daca K = S0.
– supra-paritate (out-of-the-money), daca K > S0.
Figure 4: Volatility smile.
Cum alegem factorii u si d?
? Dorim sa alegem aceste valori ın concordanta cu µ si σ.
? Presupunem ca pretul unui activ la t = 0 este S0, iar driftul este µ.
Valoarea acestui activ la finele unei perioade de timp ∆t va fi S0(1 + µ∆t).
? Fie σ astfel ıncat varianta ratei dobanzii ın perioada ∆t este S20σ
2∆t;
? La finele perioadei ∆t, activul (stock) va avea una dintre valorile uS0 sau dS0.
? Presupunem ca, prin procedee empirice, am determinat probabilitatea p. Valoarea empirica
asteptata a pretului activului la scadenta va fi p uS0 + (1− p) dS0.
? Egalam valoarea medie empirica cu cea teoretica:
p uS0 + (1− p) dS0 = S0(1 + µ∆t), (1)
de unde
p∗ =eµ∆t − du− d
.
Totodata, egalam si valorile pentru dispersie,
pu2S20 + (1− p)d2S2
0 − (puS0 + (1− p)dS0)2 = S20σ
2∆t. (2)
? Eliminand p din (1) si (2), obtinem:
(u− 1− µ∆t)(1 + µ∆t− d) = σ2∆t.
Ignoram puterile de ordin superior ale lui ∆t si gasim ca o solutie a sistemului este:
u = 1 + σ√
∆t, d = 1− σ√
∆t.
In teoria Cox-Ross-Rubinstein, u si d sunt alese ın urmatorul mod:
u = eσ√
∆t, d = e−σ√
∆t,
care, ın cazul ın care√
∆t 1, sunt similare cu cele anterioare.
? u si d sunt independente de µ (asadar, volatilitatea pretului activului e aceeasi atat ın piata
reala, cat si ın cea lipsita de risc) ⇐= Teorema lui Girsanov.
? Teorema (Girsanov): Fie c.p. (Ω, F , P ), Wt miscarea Browniana, Ft o filtrare generata de
Wt si procesul stochastic θt adaptat la Ft. Definim urmatoarea masura de probabilitate:
P ∗(F ) =
∫F
LT dP, (∀)t ∈ F ,
unde
Lt = exp
−∫ t
0
θtdWt −1
2
∫ t
0
θ2t dt
, t ∈ [0, T ].
Atunci, procesul dW ∗t = θt dt+ dWt este o miscare Browniana ın raport cu masura P ∗.
? Stim ca Wt ∼ NP (0, T ). Daca θt = θ = const., atunci W ∗t ∼ NP (θT, T ).
? Pentru un activ financiar ce valoreaza St, schimbarea de la o piata reala la una fara risc este:
dStSt
= µdt+ σdWt
= rdt+ σ
[µ− rσ
dt+ dWt
]= rdt+ σdW ∗t .
Exemplu: Pretul curent este S0 = 10, σ = 0.2, T = 2, n = 731. Atunci,
u = eσ√T = 1.3269, d = e−σ
√T = 0.7536.
Figure 5: Evolutia pretului unui activ financiar ıntr-o piata ın care tranzactiile se fac zilnic.
Evaluarea optiunilor americane. Cazul discret
? Propozitia 1 Intr-o piata viabila, avem
maxSt −Ke−r(T−t), 0
≤ Cet ≤ St, ∀t ∈ [0, T ].
? Propozitia 2 Pentru un activ financiar pentru care nu se platesc dividende, avem
Cat = Cet , ∀t ∈ [0, T ].
- Aratam ca Cat ≤ Cet , ∀t ∈ [0, T ]. Stim ca:
Ca(t) = maxSt −K, Cet , ∀t ∈ [0, T ].
Dar, daca nu se platesc dividende, din Propozitia 1 avem:
St −K ≤ St −Ke−r(T−t) ≤ Cet ,
de unde rezulta inegalitatea
Cat ≤ Cet , ∀t ∈ [0, T ]. √
? Doua motive pentru care o optiune de tip call american pentru care nu se platesc dividende
nu ar trebui exercitata mai devreme de maturitate: asigurare si dobanda.
Optiuni put americane
? Notam cu P a(t, S) valoarea unui put american la momentul t, pentru activul S.
Fara dividende, P a(t, S) ≥ P e(t, S), (∀)t ∈ [0, T ].
? Discretizam ın spatiul starilor si timp. Obtinem o latice (i, j). Pentru fiecare nod, definim:
P ai, j − valoarea optiunii la nodul (i, j);
Si, j = S0ujdn−j .
? La scadenta, avem:
P an, j = maxK − S0ujdn−j , 0, j = 0, 1, . . . , n.
? Daca optiunea nu este exercitata, atunci avem:
P ai, j = e−rTn
(ψfi+1, j+1 + (1− ψ)P ai+1, j
), i = 0, 1, . . . , n− 1, j = 0, 1, . . . , i.
? Daca optiunea este exercitata, atunci:
P ai, j = maxK − S0u
jdi−j , e−rTn
(ψP ai+1, j+1 + (1− ψ)P ai+1, j
), i = 0, n− 1, j = 0, i.
? Valoarea cautata pentru derivatul financiar este P a0,0.
? Cand n→∞, atunci obtinem valoarea lipsita de arbitraj a unui put american.
Exemplu (put american): Se dau: S0 = 50, K = 52, r = 0.05, u = 1.2, d = 0.8, T = 2,
n = 2. Avem ca ψ = 0.6282.
Evaluarea optiunilor americane. Cazul continuu
? In general, nu putem gasi o formula explicita care sa reprezinte pe P a(t, S).
? Notam cu Λ(St) = maxK − St, 0; (∀)t ∈ [0, T ]. (functia pay-off la momentul t)
? Intr-o piata viabila, avem ca
P a(t, S) ≥ Λ(St), (∀)t ∈ [0, T ], S > 0. (3)
? In cazul unui put american, daca lasam optiunea sa se maturizeze, atunci
∂P a(t, S)
∂t+
1
2σ2S2 ∂
2P a(t, S)
∂S2+ rS
∂P a(t, S)
∂S− rP a(t, S) ≤ 0, (∀)(t, S) ∈ [0, T ]× (0, ∞).
(4)
? Pentru orice punct (S, t), va fi optimal sa exersam sau sa tinem de optiune pana la T , i.e.,
Pentru orice punct (S, t), una dintre (3) si (4) se va transforma ın egalitate. (5)
? Conditia finala:
P a(T, S) = Λ(ST ), S ≥ 0; (6)
? Conditii la frontiera:
P a(t, S)S→0−→ K, (∀)t ∈ [0, T ], P a(t, S)
S→∞−→ 0, (∀)t ∈ [0, T ]. (7)
? Problema [(3) - (7)] = linear complementarity problem
Avantaje/dezavantaje ale modelelor discrete
? la fiecare perioada, preturile pot lua doar un numar finit de posibile valori, ”up” si ”down”,
pe cand ın realitate S poate lua orice valoare pozitiva, inclusiv S = 0;
? volatilitatea σ este presupusa constanta ın tot intervalul [0, T ], ınsa realitatea poate fi alta.
? perioadele sunt echidistante;
? ın realitate, tranzactiile au loc ın mod continuu, ın fiecare moment.
? din punct de vedere calculatoriu, modelul binomial este ıncet.
? are marele avantaj ca poate fi usor adaptat pentru contracte de tip american.
Indici de senzitivitate (Greek letters)
Valoarea unui derivat financiar este o functie f = f(S, t, σ, r). Pentru o variatie mica a lui f in
raport cu fiecare variabila, putem dezvolta in serie Taylor:
∆f =∂f
∂S∆S +
∂f
∂t∆t+
∂f
∂σ∆σ +
∂f
∂r∆r +
∂2f
∂S2(∆S)2 +
∂2f
∂σ2(∆σ)2 + . . .
Indicele ∆ (Delta)
∆ masoara senzitivitatea derivatului financiar in raport cu S. Pentru un call european, definim:
∆ =∂C
∂S∈ (0, 1).
Din
Ct = St Φ(d1)−K e−r(T−t) Φ(d2),
gasim ca
∂C
∂S= Φ(d1) + S Φ′(d1)
∂d1
∂S−K e−r (T−t) Φ′(d2)
∂d2
∂S
= Φ(d1) +[S Φ′(d1)−K e−r (T−t) Φ′(d2)
] ∂d1
∂S.
Dar, Φ′(d2) = 12π e
− d222 = Φ′(d1) S
K er (T−t), de unde
∂C
∂S= ∆ = Φ(d1).
? ∆ = 0.5 =⇒ call la paritate; ∆ < 0.5 =⇒ call la sub-paritate; ∆ > 0.5 =⇒ call la supra-
paritate;
? e.g., pp. ∆ = 0.6. Atunci, variatia cu o unitate a pretului activului suport determina o
variatie egala cu 0.6 optiuni call, i.e., detinerea unui call EU este echivalenta cu detinerea a
60 de actiuni.
? Acoperire cu Delta (Delta hedging). Fie S0 = 10, C0 = 1, ∆ = 0.5. Un investitor ce a vandut
12 optiuni call se poate (∆)− acoperi prin cumpararea a 0.5× 1200 = 600 actiuni.
Indicele Γ (Gama)
Masoara senzitivitatea indicelui ∆ in raport cu S. Pentru un call european, definim:
Γ =∂∆
∂S=∂2C
∂S2.
Utilizand formula Black-Scholes, gasim ca acesta este:
Γ =Φ′(d1)
S0 σ√T.
Indicele Θ (Teta)
Masoara senzitivitatea derivatului financiar in raport cu t. Se defineste astfel:
Θ =∂f
∂t.
Pentru un call european, acesta este:
ΘC =∂C
∂t= −S0 Φ′(d1)σ
2√T
− rK e−r TΦ(d2).
In general, Θ ≤ 0 pentru un call european.
Pentru un put european, acesta este:
ΘP =∂P
∂t= −S0 Φ′(d1)σ
2√T
− rK e−r TΦ(−d2).
Din ecuatia Black-Scholes, obtinem urmatoarea relatie intre indicii ∆, Γ si Θ:
Θ + r S∆ +1
2σ2 S2Γ = r C.
Indicele ν (Vega)
Masoara senzitivitatea indicelui C in raport cu volatilitatea σ. Pentru un call european, definim:
ν =∂C
∂σ.
Daca ν este mare, atunci portofoliul este foarte senzitiv la modificarile mici ale volatilitatii.
Indicele ρ (Rho)
Masoara senzitivitatea indicelui C in raport cu rata dobanzii unitare anuale neutra la risc, r.
Pentru un call european, definim:
ρC =∂C
∂r= K T Φ(d2).
Pentru un put european,
ρP =∂P
∂r= K T Φ(−d2).
Strategii de investitii cu optiuni
* Optiunile sunt utilizate pe piata financiara pentru:
? speculatie;
? hedging (acoperirea riscului sau asigurare);
? arbitraj.
* Strategii strategii bull sau strategii bear.
* Strategiile de investitie cu optiuni sunt nenumarate; amintim aici doar cateva metode uzuale:
? strategii simple. e.g., cumparare de optiuni call si put, acoperite sau neacoperite, in functie
de anticiparile investitorilor asupra evolutiei viitoare a cursului activului suport.
? combinatii. Aceste strategii sunt combinatii de optiuni asupra aceluiasi activ suport. e.g.,
salturile (en., spreads), prima dubla (en., stellage) sau gatuirile (en., strangles).
? cumpararea de portofolii formate din optiuni call si put si active suport, in vederea luarii unei
pozitii cat mai bune pe piata la scadenta.
Strategii simple cu optiuni
? cumparare de optiuni call (naked long call).
– Alaturi de cumpararea de optiuni put, acestea sunt cele mai simple strategii speculative.
– Naked long call este si cea mai populara strategie, inca de la inceputurile tranzactiilor cu
optiuni.
– Este o strategie de tip bull si poate fi propice in cazul in care se anticipeaza o crestere
importanta a cursului activului suport pana la maturitate.
– Daca anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platita pentru achizitionarea optiunii
call. Profitul net la t = T este dat de formula:
Πc = (ST −K)+ − C0.
? cumparare de optiuni put (naked long put).
– Este o actiune speculativa de tip bear, ce poate fi propice in cazul in care se anticipeaza o
scadere importanta a cursului activului suport pe durata de viata a optiunii.
– Daca anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platita pentru achizitionarea optiunii
call. Vom spune in acest caz ca pierderea, daca survine, are efect de levier.
– La scadenta, profitul/deficitul net este:
Πp = (K − ST )+ − P0.
? vanzare de optiuni call (naked short call).
– Este tot o actiune speculativa, propice in cazul in care se anticipeaza ca valoarea activului
suport nu va creste pe durata de viata a optiunii.
– Daca anticiparile nu se adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari decat
primele incasate. Pierderea, daca survine, are efect de maciuca.
– Profitul/deficitul net la maturitate este −Πc de mai sus.
? vanzare de optiuni put (naked short put).
– Actiunea poate fi propice in cazul in care se anticipeaza ca valoarea activului suport nu va
scadea pe durata de viata a optiunii.
– Daca anticiparile nu se adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari decat
primele incasate. Daca pierderea survine, atunci are efect de maciuca asupra investitorului.
– Profitul/deficitul net la scadenta este −Πp de mai inainte.
? vanzare de optiune call si detine activ suport (covered call). Strategia call acoperit este
opusul la naked call. Investitorul isi stabileste o pozitie short pentru un call, dar detine un
numar de active suport, cate sunt vandute prin operatiunea short call. Valoarea profitu-
lui/deficitului in acest caz este S −Πc, care la t = T devine:
ST + C0 − (ST −K)+ =
K + C0, ST ≥ K;
ST + C0, ST < K.
C
0
K S(T)
− K
? cumpara put si detine activ suport (protective put) (strategie bull). E o strategie de acoperire
a riscului. Un investitor procedand astfel plateste premium pentru put si se protejeaza im-
potriva scaderii pretului activului suport. La maturitate, profitul/deficitul total pentru aceasta
strategie este Πp + ST , i.e.,
(K − ST )+ − P0 + ST =
K − P0, ST < K;
ST − P0, ST ≥ K.
K − P0
K S(t)
? cumpara put si cumpara activ suport (married put) (strategie bull).
– Un investitor procedand astfel plateste premium pentru put si intra intr-o pozitie long
asupra activului suport.
– Investitorul doreste sa profite de detinerea stockului (dividende, drept de vot etc), dar are
temeri in ce priveste riscurile ce pot aparea prin detinerea activului.
– In general se cumpara un numar de optiuni put echivalent cu numarul de actiuni detinute.
– Profitul/deficitul total la scadenta pentru aceasta strategie este Πp(T ) + ST −K:
(K − ST )+ − P0 + ST −K =
−P0, ST < K;
ST − P0 −K, ST ≥ K.
Combinatiile
? Sunt combinatii de mai multe serii de optiuni asupra aceluiasi activ-suport.
? Aceste strategii se bazeaza pe anticipari foarte exacte ale evolutiei cursului activului suport.
? Daca anticiparile sunt corecte, atunci castigurile pot fi mult mai mari decat profiturile realizate
prin strategii simple.
? salturile (en., spreads).
– Gestionarul de portofoliu cumpara si vinde in acelasi timp doua optiuni call (sau doua
optiuni put) asupra aceluiasi activ suport, dar cu preturi de exercitiu si scadente diferite.
– Salturile pot fi crescatoare (bull spreads, se anticipeaza o crestere a lui St) sau descresca-
toare (bear spreads, anticipam o scadere a lui St).
– Exemplu de bull-spread cu doua optiuni call, cu preturile de exercitiu Kc si Kv si primele
Cc0 si Cv0 : un 100 call − 110 call
Kc Kv S(t)
? butterfly spreads.
– Folosesc o combinatie de bull si bear spreads. Are 3 preturi de exercitiu.
– Se anticipeaza ca pretul activului va ramane intr-o anumita regiune, K1 < St < K3.
– Exemplu de butterfly spread cu optiuni call: long C1 − short 2C2 − long C3.
– Diagrama profitului va fi:
C1 − 2C2 + C3 = (ST −K1)+ − C10 − 2(ST −K2)+ + 2C2
0 + (ST −K3)+ − C30 .
? prima dubla (en., straddle, fr., stellage).
– Este o strategie prin care se cumpara sau se vinde simultan optiuni call-put pentru acelasi
activ suport, acelasi pret de exercitiu si aceeasi scadenta.
– Se spera intr-o variatie puternica (la cumparare), sau o variatie foarte mica (la vanzare) a
pretului activului suport, fara a sti exact in ce directie este variatia.
– e.g., un 100 call − 100 put semnifica: cumpararea unui call cu K = 100 la T , vanzarea
simultana a unui put cu K = 100.
K S(T)
K − C0 − P
0
Optiunile ca asigurare
? Optiunile pot fi folosite ca asigurare in situatii nesigure ale pietei.
? Optiunea este exercitata doar daca aceasta aduce un avantaj detinatotului.
? Detinand optiuni, nu vom mai putea spune ca
– ”Acum mi-as fi dorit sa fi cumparat acel pachet de actiuni cand am avut ocazia”
– ”Imi doresc sa nu fi cumparat acel activ”.
– ”Mi-as fi dorit sa fi pastrat acele actiuni, pe care le-am vandut”
– ”Ar fi trebuit sa vand acel activ la momentul potrivit”.
Top Related