Modele matematice ˆın Finante Dr. Iulian Stoleriu Facultatea de ...
39
Modele matematice ˆ ın Finant ¸e Dr. Iulian Stoleriu Facultatea de Matematic˘ a Universitatea ”Al. I. Cuza”, Ia¸ si [email protected]
Transcript of Modele matematice ˆın Finante Dr. Iulian Stoleriu Facultatea de ...
Modele matematice ın Finante
Dr. Iulian Stoleriu
Facultatea de MatematicaUniversitatea ”Al. I. Cuza”, Iasi
Plan
* Matematici financiare
* Piete financiare
* Piata instrumentelor financiare derivate
* Metode numerice ın Matematica Financiara
* Teoria alegerii rationale
* Analiza riscului financiar
* Optimizarea portofoliilor
Matematici financiare
p Obiectul Matematicilor financiare consta ın utilizarea rationamentului matematic riguros ınstudiul modelelor economico-matematice ale operatiunilor financiare.
p Utilizeaza rezultate si tehnici din Teoria probabilitatilor, Analiza stochastica, Statistica, DEs,PDEs si SDEs, Teoria optimizarii, Control optimal, Analiza numerica, Algebra liniara si Pro-gramare (C++, Matlab) ın studiul proceselor financiare.
p De multe ori, Matematicile financiare se confunda cu Ingineria financiara (analiza matematicaa instrumentelor financiare derivate)
p Exemple de ıntrebari la care aceasta disciplina ısi propune sa raspunda sunt:Cum alegem ıntre doua proiecte riscante?Care este ”pretul corect” al unei optiuni de a comercializa un titlu de valoare?Care sunt strategiile optime de investitie?Cum ar trebui gestionat portofoliul de optiuni ın vederea reducerii riscului financiar?
p Data nasterii Matematicilor financiare moderne este 29 Martie 1900, facand referire la teza”Theorie de la Speculation” a lui Louis Bachelier, redescoperita mai tarziu de Paul Samuelson.
p Scopul lucrarii era de a introduce o teorie pentru evaluarea contractelor cu optiuni.
Piata financiara
p Piata financiara − locul de ıntalnire al ofertei de capitaluri cu cererea de capitaluri.
p Functiile pietei financiare: faciliteaza schimbul de active, evalueaza pretul activelor, strangeinformatii, reduce costurile de cautare a partenerilor de afaceri
p Componente ale pietei financiare:
– piete monetare (money market, cu maturitate < 1 an);
– piete de capital (capital market, cu maturitate > 1 an).
p Subcomponenete ale pietelor monetare si de capital:
– piata primara (asigura emisiunea de titluri financiare);
– piata secundara (e.g., bursa de valori, piata inter-dealeri (OTC), piete on-line).
p Tipuri de piete financiare, ın functie de activele tranzactionate:
– piata titlurilor de valoare (stock market);
– piata derivatelor financiare (derivatives market) (e.g., futures, optiuni, swaps);
– piata de marfuri (commodity market) - metale pretioase, carbuni, alimente etc;
– piata cu venit garantat fix (fixed-income market) (e.g., obligatiuni).
p Factori care influenteaza piata financiara
– actiunile investitorilor (institutii, persoane fizice);
– conditiile de afaceri (volumul de vanzari, perioada din an, cantitatea de profituri);
– actiunile guvernamentale (dobanzi, taxe, politica);
– indicii economici (e.g., GNP, rata inflatiei, deficitul bugetar, rata somajului, indici bursieri)
– evenimentele interne si internationale (e.g., razboaie, dezastre naturale)
p Actorii financiari: brokerii (agentii de schimb), dealerii, bancherii de investitii, societati deadministrare a investitiilor, societati de registru, case de compensatie;
p Matematicile financiare se preocupa de:
– cotarea derivatelor financiare;
– strategii de hedging pentru derivative;
– managementul riscului pentru portofolii;
– optimizarea portofoliilor;
Piata activelor financiare derivate
? Activul financiar (asset) este orice activ detinut (care e ın posesie sau urmeaza a fi ın posesie,prin drept) ce are o valoare de schimb.
? Activele financiare pot fi riscante (e.g. actiuni, valuta) sau lipsite de risc (sau sigure) (e.g.aur, depozite ın banca, obligatiuni).
? Un portofoliu reprezinta ansamblul activelor financiare care apartin unui investitor.
? Un instrument financiar derivat (financial derivative sau contingent claim) este un instrumentfinanciar a carui valoare viitoare este determinata de pretul sau de preturile unuia sau maimultor active suport. (apar mentionate pentru prima data ın istorisirile lui Aristotel)
? Active suport: marfuri, actiuni, obligatiuni, indici economici etc.
? Instrumente financiare derivate: contracte forward, contracte futures, optiuni, swaps.
? Optiunile tranzactionate pentru prima oara la CBOE (1973);
? Primele modele create de Robert Merton, Myron Scholes, Fisher Black (1973), Louis Bachelier(1900), John Cox, Stephen Ross, Mark Rubinstein (1979).
? Utilitatea derivatele financiare: gestionarea riscului, speculatie, arbitraj,
? Actorii de pe piata derivatelor financiare: hedgerii, speculatorii, arbitrajorii.
Forward si Futures
? Contractul forward este o ıntelegere de a tranzactiona un activ financiar la o data viitoarepre-stabilita (scadenta), pentru un pret (pret de livrare) stabilit la semnarea contractului.
? Este ın contrast cu contractul spot = ıntelegerea de a tranzactiona imediat
? Tranzactionate pe piata OTC
? Cumparatorul se afla ın pozitia long forward (LF), iar vanzatorul ın pozitia short forward (SF)
? Pretul forward este pretul (unic) de livrare pentru care nu e nevoie de nici un schimb de bani lamomentul initierii contractului (i.e. nu ne costa nimic pentru a ıntra ıntr-un astfel de contract)
? Notatii: K = pretul de livrare; T = scadenta;
– St = pretul (spot) al activului la momentul t; (S0− cunoscut, ST− necunoscut);
– Πt = profitul net (pay-off) la momentul t.
? Avem ca: ΠT = ST −K pentru (LF) si ΠT = K − ST pentru (SF)
? Contractele futures sunt contracte forward standardizate, tranzactionate la bursa.
? D.p.d.v. al modelarii matematice, sunt tratate la fel cu contractele forward
? Exemple: cumparare de 1000 barili de petrol @ $74/baril ın Aprilie 2010 (NYSE);vanzare de £750 000 @ 1.1 EUR/£ ın Februarie 2010 (CME);
Optiuni
? Contractul cu optiune (sau optiune) este un contract ce confera detinatorului dreptul, dar nusi obligatia, de a tranzactiona ın viitor un anumit activ financiar, la un pret convenit, ıntr-untermen definit sau la expirarea acestuia, ın schimbul platii unei prime.
? Optiuni: vanilla (europene, americane) sau exotice (e.g., bermudiene, knock-in/out, digitale)
? Optiuni: de cumparare (call option) sau de vanzare (put option)
? Valoarea optiunii europene la scadenta:
C(T ) = (ST −K)+ (call) si P (T ) = (K − ST )+ (put)
? Profiturile corepunzatoare (pay-off):
Πc(ST ) = (ST −K)+ − C0 si Πp(ST ) = (K − ST )+ − P0
? Paritatea put-call:S(t) + P (t)− C(t) = Ke−r(T−t), ∀t ∈ [0, T ].
? Problema fundamentala este evaluarea acestor instrumente financiare (i.e., C0 =?, P0 =?)
? Exemplu: Un anumit pachet de actiuni costa astazi £100. Cat ar trebui sa platim pentrudreptul de a cumpara pachetul de actiuni dupa exact un an, cu acelasi pret? (call european)Dar pentru dreptul de a vinde pachetul de actiuni oricand pana se ımplineste un an?(put american) Cand ar fi optim sa cumparam?
Optiuni
? Pentru un t ∈ [0, T ], avem ca C(t) = C(K, S, T, q, r) si P (t) = P (K, S, T, q, r).
? Valoarea unei optiuni de tip american este cel putin valoarea unei optiuni europene core-spunzatoare
? Pentru active suport ce nu genereaza dividende, optiunile americane nu ar trebui exercitatepana la scadenta; (din motive de asigurare si dobanda)
? Spunem ca pretul activului suport la maturitate este:
– sub-paritate (in-the-money), daca K < S0
– la paritate (at-the-money), daca K = S0
– supra-paritate (out-of-the-money), daca K > S0
? Terminologie:
– a cumpara o optiune call (long call) = drept de a cumpara;
– a vinde o optiune call (short call) = obligatia de a vinde;
– a cumpara o optiune put (long put) = dreptul de a vinde;
– a vinde o optiune put (short put) = obligatia de a cumpara;
0 0
Profit Profit
S(t) S(t) − C0
− P0
abandon exercitare exercitare abandon
K
K+C0
K−P0 K
Figure 1: Profitul pentru un long call (a) si un long put (b).
0 0
Profit Profit
S(t) S(t)
C0
P0
abandon exercitare exercitare abandon
K K+C0 K−P
0 K
Figure 2: Profitul pentru un short call (a) si un short put (b).
Strategii de investitii cu optiuni
? Optiunile sunt utile pentru: speculatie, hedging (acoperirea riscului sau asigurare), arbitraj.
? strategii simple, e.g., cumparare de call si put, acoperite sau neacoperite, ın functie de an-ticiparile investitorilor asupra evolutiei viitoare a cursului activului suport.
? combinatii − combinatii de optiuni asupra aceluiasi activ suport, e.g., salturile (spreads),prima dubla (stellage) sau gatuirile (strangles).
? cumpararea de portofolii formate din optiuni call si put si active suport, ın vederea luarii uneipozitii cat mai bune pe piata la scadenta
e.g., profitul pentru un 100 call − 110 put este
(ST −K)+ − C0 + (K − ST )+ − P0 =ST −K − C0 − P0, ST ≥ K;
K − ST − C0 − P0, ST < K.
K S(T)
K − C0 − P
0
Pretul corect
p Ce ıntelegem prin ”pret corect”?Sa ıntelegem mai ıntai cum ar arata un ”pret incorect”!
p Exemplu: Pe piata aurului, 1g Au costa astazi S0 = 97 RON. Pe aceasta piata, pot fitranzactionate contracte forward de vanzare cu pretul de livrare K = 100 RON si cu scadentaT = 1/2. Rata dobanzii anuale de referinta este r = 0.04 (i.e., p = 4%).
? Facem urmatoarele actiuni financiare:
– (t = 0): Iau cu ımprumut 97 RON pentru 1/2 an si cumpar 1g Au. In acelasi timp, iauo pozitie SF de vanzare a 1g Au la T = 1/2 cu K = 100 RON.
(i.e., + 97− 97 = 0 la momentul t = 0)
– (T = 1/2): Vand 1g Au si rambursez ımprumutul + dobanda aferenta. Obtin:
100− 97 ∗ (1 + 0.04 ∗ 1/2) = 1.06 RON free lunch!!!
p Obtinem astfel un castig sigur, fara sa detinem ceva sau sa ne expunem vreunui risc deoarececontractele forward nu sunt corect evaluate pe piata.
p Astfel, un ”pret corect” ar fi acel pret unic al activului ce nu genereaza free lunch.
Arbitraj (free lunch)
? Arbitrajul este modalitatea de a realiza un profit fara ca investitorul sa ısi asume vreun riscsau sa investeasca un capital, obtinand profit din diferentele de preturi de pe piata financiara(e.g. cumpara si vinde ın acelasi timp, cu preturi diferite)
? Sta la baza teoriei de evaluare a activelor prin arbitraj (Asset Pricing Theory)
? Lipsa arbitrajului =⇒ doua active ce produc acelasi efect trebuie sa aiba acelasi pret
? Short selling (vanzare prin lipsa): procedeul de a vinde un activ pe care nu-l detii
? Etape: se ia cu ımprumut activul si vinde-l. La maturitate, cumpara activul si ınapoiaza-lplus, eventual, o dobanda pentru ımprumutProfitul va fi: pozitiv, daca preturile scad si negativ, daca preturile cresc
? Investitorii spera ca preturile pe piata spot sa scada, pentru a face un profit.
? Motive pentru a vinde prin lipsa:
– speculatie (profit daca preturile scad) (e.g., George Soros, 1992);
– finantare (e o modalitate de a ımprumuta bani, folosita mai ales la obligatiuni);
– hedging (pentru acoperirea riscului detinerii unor active).
Valoarea ın timp a banilor
? rata neutra la risc (risk-free rate) = acea rata ce nu genereaza oportunitati de arbitraj;
? Pentru un activ ce valoreaza acum S0, aflat ıntr-o piata cu r, valoarea sa la momentul t este
St =
S0 · (1 + rt) , ın regim de dobanda simpla
S0 · (1 + rm )m , ın regim de dobanda compusa
S0 · er t , ın regim de dobanda compusa continuu
? Valoarea S0 la timpul t = 0, va valora S0ert la momentul t. Invers, valoarea ST la timpul
viitor t = T valoreaza ST e−rT la t = 0 si ST e−r(T−t) la momentul t ∈ [0, T ].
? erT = factor de fructificare; e−rT = factor de actualizare;
Evaluarea derivatelor financiare
? Vom folosi urmatoarele presupuneri de modelare:
– costurile de tranzactionare, comisioanele, taxele sunt neglijate. A ıntelege pietele farafrictiuni e un pas ınainte ın a ıntelege pe cele cu frictiuni;
– nu sunt restrictii asupra cantitatilor tranzactionate si ca aceasta nu va schimba pretulactivelor tranzactionate;
– aceeasi rata a dobanzii, r, atat pentru ımprumut cat si pentru credit;
– lipsa arbitrajului pe piata financiara;
? Intr-o piata lipsita de arbitraj, pretul forward al unui activ ce nu genereaza dividende esteF0 = S0e
rT . Daca genereaza dividende, atunci F0 = S0e(r−q)T (q rata de plata a dividendelor)
? Pretul forward pentru un activ ımprumutat si care nu produce dividende este
F0 = (S0 − I)e(r−q)T .
? Valoarea unui contract forward:
f = (F0 −K)e−rT , pentru cel care detine o pozitie long forward
f = (K − F0)e−rT , pentru cel care detine o pozitie short forward.
Modelul Arrow-Debrew de piata financiara
? O piata cu un numar finit, a1, a2, . . . , aN , de active tranzactionabile si doi timpi: t = 0(prezent)si t = T (scadenta);
? Preturile activelor la t = 0 sunt S0 = [S1(0), S2(0), . . . , SN (0)]τ .
? La t = 0: Investim un portofoliu θ = [θ1, θ2, . . . , θN ]τ , θi ∈ R;
? Pp. ca la t = T , fiecare activ are M stari posibile: ω1, ω2, . . . , ωM ;
? Matricea cash-flow (flux de lichiditati):
D =
S1(T, ω1) S1(T, ω2) . . . S1(T, ωM )
S2(T, ω1) S2(T, ω2) . . . S2(T, ωM )
. . . . . . . . . . . .
SN (T, ω1) SN (T, ω2) . . . SN (T, ωM )
.
? Dinamica pietei:
La t = 0, investim suma S0 · θ =N∑i=1
Si(0)θi.
La t = T , obtinem un castig/pierdere (pay-off): Dτθ =N∑i=1
Si(T, ω)θi.
? Spunem ca portofoliul θ genereaza oportunitate de arbitraj (sau free lunch) daca
(a) S0 · θ = 0 si Dτθ > 0,
sau(b) S0 · θ < 0 si Dτθ ≥ 0.
? Teorema fundamentala a evaluarii activelor financiarePiata financiara este lipsita de arbitraj (viabila) daca si numai dacaexista ψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψM )τ cu ψi > 0, ∀i = 1, M , astfel ıncat
S0 = Dψ.
? In termenii proceselor stochastice, o strategie φ ∈ Φ se numeste posibilitate de arbitraj ınraport cu Φ daca P (V φ(0) = 0) = 1 si P (V φ(T ) ≥ 0) = 1, P (V φ(T ) > 0) > 0.
? Fie ψ∗ =M∑k=1
ψk si ψ =(ψ1
ψ∗,ψ2
ψ∗, . . . ,
ψMψ∗
)(riskless probabilities)
Aceste probabilitati definesc repartitia (masura martingala echivalenta)
Q(ω) =M∑j=1
ψjχAj (ω), unde Aj =
1, daca ω = ωj
0, daca ω 6= ωj .
? Teorema: Presupunem ca ıntr-o piata lipsita de arbitraj exista oportunitati de investitiineriscante (ımprumuturi) cu o rata unitara anuala r. Atunci exista o masura de probabilitateastfel ıncat valoarea initiala a oricarui portofoliu θ este egala cu valoarea asteptata actualizataa fluxurilor de lichiditati viitoare corespunzatoare investitiei, i.e.,
S0 · θ = e−rTEQ[S(T, ω)trθ].
? In particular,S0 = e−rTEQ[ST ].
? Exemplu de piata cu posibilitati de arbitraj - piata pariurilor sportiveX joaca cu Y , ıntr-un meci de campionat. Ion este bookmaker si crede ca sansele lui X de acastiga meciul sunt de 60%, ale lui Y sa castige sunt de 30%, iar sansa unui egal este de 10%.Daca Ion doreste un joc cinstit pentru clienti, care ar trebui sa fie cotele pariurilor?(joc cinstit = joc ın care sansa ca cineva sa obtina profit este 0).
Echipa Probabilitati neutre la risc Cote corecte Probabilitati modificate Cote modificate
X 0.6 2− 3 0.67 1− 2
Y 0.3 7− 3 0.33 2− 1
Egalitate 0.1 9− 1 0.11 8− 1
Piata completa
? Spunem ca un activ financiar poate fi acoperit ımpotriva riscului (hegdeable, replicated saureachable) daca exista un portofoliu (θ1, θ2, . . . , θN ) de active astfel ıncat activul financiar siportofoliul genereaza la t = T fluxuri de lichiditati identice.
? Un astfel de portofoliu se numeste portofoliu de acoperire sau reproductibil (replicating sauhedgeable portfolio).
? O piata financiara viabila se numeste completa daca orice activ financiar poate fi replicat deun portofoliu de active deja existente pe piata.(i.e., o piata viabila cu N active tranzactionabile si M stari posibile este o piata completadaca pentru orice vector de lichiditati (cash-flow) ∆ = (∆1, ∆2, . . . , ∆M ) exista un portofoliuθ = (θ1, θ2, . . . , θN ) de active ce are valoarea Dj ın starea ωj , j = 1,M .)
? Intr-o piata lipsita de arbitraj, daca un activ financiar admite un portofoliu reproductibil,atunci valoarea activului este aceeasi cu cea a portofoliului.
? O piata viabila este completa daca si numai daca exista o unica masura martingala echivalenta(i.e., un unic sistem de preturi).
Modelul binomial cu o perioada
* doua active, a1− un activ riscant (e.g. actiune) si a2− un activ financiar sigur (e.g., bond);* un singur interval de timp (perioada), ıntre t = 0 (actual) si t = T (scadenta sau maturitate);* doua stari posibile ale pietei la maturitate: Ω = ω1, ω2;* rata r este fixa ın [0, T ];* vectorul pret initial pentru un portofoliu este S0 = [S1(0), S2(0)];
* cash-flow: D =
Sd Su
S2(0)erT S2(0)erT
.
* valoarea initiala a unui portofoliu (θ1, θ2) este V0 = θ1S1(0) + θ2S2(0);
pretul activului suport pretul unui derivat european cu pretul de exercitiu K
S1(0)
Su = uS
1(0)
Sd = dS
1(0)
t = 0 t = T
?
fu
fd
t = 0 t = T
f0 =
p
1−p
? Pe aceasta piata, dorim sa evaluam valoarea unui contract derivat, al carui pret depinde devaloarea activului suport. La scadenta, distributia preturilor activului suport este fu = f(Su)si fd = f(Sd);
? Intr-o piata viabila, pretul lipsit de risc (corect) al unui derivat financiar asupra unui activsuport cu pretul S(t) este:
V0 = e−rT [ψfu + (1− ψ)fd] ≡ e−rTEQ[f(S(T )], unde ψ =erT − du− d
∈ (0, 1).
? Portofoliu de acoperire (hedging portfolio) este solutia (θ∗1 , θ∗2) sistemului
θ1Sd + θ2 erT = fd
θ1Su + θ2 erT = fu.
de unde:
θ∗1 =fu − fdSu − Sd
, θ∗2 =Sufd − SdfuerT (Su − Sd)
.
? Exemplu: Un anumit pachet de actiuni costa astazi £100. Peste exact un an, acesta poatecosta £120 sau £90. Cat ar trebui sa platim pentru dreptul de a cumpara pachetul de actiunidupa exact un an, cu acelasi pret? (r = 0.03) (call european)
C0 = e−0.03·1[0.4348 · 20 + (1− 0.4348) · 0] = 8.44, (θ∗1 , θ∗2) = (
23, −58.23).
Modelul binomial cu n perioade
S0
Su = uS
0
Sd = dS
0
t = 0 t = T/n t = 2T/n t = T
p
1−p
Suu
= u2 S0
Sud
= u d S0
Sdd
= d2S0
Suuu
= u3S0
Suud
= u2 d S0
Sudd
= u d2 S0
Sddd
= d3S0
p
p
p
p
p
1−p
1−p
1−p
1−p
1−p
X X X X
(f0)
(fu)
(fd)
(fuu
)
(fud
)
(fdd
)
(fuuu
)
(fuud
)
(fudd
)
(fddd
)
* Pretul activului financiar derivat este:
f0 = e−rTn∑k=0
Cknψk(1− ψ)n−kf(ukdn−kS0) = e−rTEQ[f(S(T ))], unde ψ =
erTn − du− d
∈ (0, 1).
* Cazuri particulare:
? Daca f(s) = s, atunci f0 = S0 (= e−rtE[S(T )]);
? Daca f(s) = s−K (forward), atunci f0 = S0 −Ke−rT (=⇒ pretul forward);
? Daca f(s) = (s−K)+ (call EU), atunci prima pentru call EU este
(CRR) C0 = S0B(a, n, ψ∗)−Ke−rTB(a, n, ψ)
unde ψ∗ = ψue−rTn , B(a, n, ψ) =
n∑k=a
Cknψk(1− ψ)n−k.
? Pentru un put EU, (folosind paritatea put-call)
P0 = S0[B(a, n, ψ∗)− 1]−Ke−rT [B(a, n, ψ)− 1].
* Cum alegem u si d? De regula,
u = eσ√T , d = e−σ
√T , σ − volatilitatea pietei
* Pentru n→∞, formula (CRR) devine
(BS) C0 = S0 Φ(d1)−K e−rT Φ(d2),
unde
d1 =ln(S(t)
K ) + (r + σ2
2 )(T − t)σ√T − t
, d2 = d1 − σ√T − t.
Evaluarea optiunilor americane
? Daca optiunea nu este exercitata, atunci avem:
fi, j = e−rTn (ψfi+1, j+1 + (1− ψ)fi+1, j) , 0, n− 1, j = 0, i.
? Daca optiunea este exercitata, atunci:
fi, j = maxS0u
jdi−j −K, e−r Tn (ψfi+1, j+1 + (1− ψ)fi+1, j), i = 0, n− 1, j = 0, i;
Arbori trinomiali
u = eσ√
3 δt, d =1u.
Probabilitatile neutre la risc sunt:
pu = −√
δt
12σ2
(r − σ2
2
)+
16, p0 =
23, pd =
√δt
12σ2
(r − σ2
2
)+
16.
Pretul unui derivat financiar ın modelul trinomial
f0 = e−rδt (pu f(Su) + p0 f(S0) + pd f(Sd)).
Avantaje/dezavantaje ale modelelor discrete
? la fiecare perioada, preturile pot lua doar un numar finit de posibile valori, ”up” si ”down”,pe cand ın realitate S poate lua orice valoare pozitiva, inclusiv S = 0;
? volatilitatea σ este presupusa constanta ın tot intervalul [0, T ], ınsa realitatea poate fi alta.
? perioadele sunt echidistante;
? ın realitate, tranzactiile au loc ın mod continuu, ın fiecare moment.
? din punct de vedere calculatoriu, modelul binomial este ıncet.
? are marele avantaj ca poate fi usor adaptat pentru contracte de tip american.
Modele continue pentru piata derivatelor financiare
(F. Black, M. Scholes & R. Merton) Ipoteze de lucru:
? optiuni de tip call european;
? S(t) este o miscare browniana geometrica,
dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dW (t);
? fara dividende;
? piata financiara este considerata a fi perfecta.
? σ este o functie determinista de timp.
Figure 3: Procese Wiener.
Ecuatia Black-Scholes (1973):∂C
∂t+
12σ2S2 ∂
2C
∂S2+ rS
∂C
∂S= rC, t ∈ [0, T ].
Conditia finala:
C(S(t), T ) = (S(T )−K)+
Conditii la limita:
C(0, t) = 0, pentru S = 0;C(S, T )
S→ 1, pentru S →∞.
Metode numerice ın Finante
(1) Folosind arbori binomiali sau trinomiali;
%% convergenta modelului binomial la cel Black-Scholes n -> \infty
function binoBS(S0,T,r,sigma,K,N)
%% S0 = pretul actual al activului; T = scadenta; K = pret de exercitiu
%% sigma = volatilitatea; N = Numarul maxim de perioade
d1 = (log(S0/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2 = d1 - sigma*sqrt(T);
putEU_BS = - S0*normcdf(-d1) + K*exp(-r*T)*normcdf(-d2);
for n = 2:N
dt= T/n; P = zeros(n+1,n+1);
u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u; psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);
for j = 1:n+1
S(n+1,j) = u^(j-1)*d^(n+1-j)*S0;
P(n+1,j) = max(K - S(n+1,j),0);
end % for j
for i = n:-1:1
for j = 1:i
P(i,j) = exp(-r*dt)*(psi*P(i+1,j+1)+(1-psi)*P(i+1,j));
end % for j
end % for i
putEU(n-1) = P(1,1);
end % for n
ActivMaturitate = S(3:N+1,:);
disp(’put EU = ’), disp(putEU_BS)
plot(2:N,putEU,’b-’); hold on; axis([2 N 18.7 19.1])
plot(2:N,putEU_BS*ones(N-1),’r-.’); axis([2 N 18.7 19.1])
legend(’binomial’,’Black-Scholes’,’Location’,’SouthEast’)
title(’convergenta modelului binomial la Black-Scholes’)
Metode numerice ın Finante
(2) Metode Monte-Carlo;
Pp. ca S(T ) = S0 e(µ−σ2
2 )T+σ√T Z ∼ logN (µ, σ), de unde f0 = e−r T E∗[f(S(T )]
Algoritm:
P1 Generam un set de n valori Z1, Z2, . . . , Zn ∼ N (0, 1);
P2 Calculam valorile
Si(T ) = S0 e(r−σ2
2 )T+σ√T Zi , i = 1, 2, . . . , n.
P3 Aproximez valoarea derivatului financiar la scadenta, f(T ) prin
f(T ) = E∗[f(S(T )] =1n
n∑i=1
f(Si(T )).
P4 Aproximarea pentru valoarea cautata, f0, va fi valoarea actualizata a lui f(T ), i.e.,
f0 = e−r T f(T ).
Metode numerice ın Finante
(3) Metode cu diferente finite pentru ecuatia Black-Scholes
∂C
∂t+
12σ2S2 ∂
2C
∂S2+ rS
∂C
∂S= rC, t ∈ [0, T ].
Discretizam ın timp si spatiu: δt =t
nsi δS =
SmaxM
. Pentru fiecare punct al retelei, (iδS, jδt),
notam Ci, j = C(iδS, jδt). Aproximari ale derivatelor:
∂C
∂S=Ci+1,j − Ci,j
δSsi
∂C
∂S=Ci,j+1 − Ci,j
δt(pozitiv ın timp)
sau∂C
∂S=Ci,j − Ci−1,j
δSsi
∂C
∂S=Ci,j − Ci,j−1
δt(retrograd ın timp)
sau∂C
∂S=Ci+1,j − Ci−1,j
2δSsi
∂C
∂S=Ci,j+1 − Ci,j−1
2δt(diferenta centrala)
si∂2C
∂S2=Ci+1,j − 2Ci,j + Ci−1,j
δS2(derivata de ordin 2)
C.I. si C.L.: Ci, N = maxiδS −K, 0, i = 0, MCM, j = MδS −Ke−r(N−j)δt si C0, j = 0, j = 0, N
Metode numerice ın Finante
Metode numerice ın Finante
? Metoda explicita (∼ metoda arborilor trinomiali):
Ci, j−1 = αiCi−1, j + βiCi, j + γiCi, j+1 i = 1, 2, . . . , M −1, j = N −1, N −2, . . . , 1, 0
unde
αi =δt
2(σ2i2 − ri), βi = 1− δt(σ2i2 + r), γi =
12
(σ2i2 + ri).
? Metoda implicita:
−aiCi−1, j−1 + (1− bi)Ci, j−1 − ciCi+1, j−1 = aiCi−1, j + (1 + bi)Ci, j + ciCi+1, j
pentru i = 1, 2, . . . , M − 1, j = N, . . . , 1, 0, unde
ai =δt
4(σ2i2 − ri), bi = −δt
2(1− δt(σ2i2 + r), γi =
δt
4(σ2i2 + ri).
Teoria alegerii rationale
? Ce ati alege ıntre un castig sigur de 100 RON si o loterie la care puteti castiga 200 RON cu p = 1/2sau nimic? (=⇒ aversiune fata de risc)
? Conceptul de utilitate a fost introdus de Daniel Bernoulli ın 1738, care introduce o functiede preferintele utilizatorului de capital (sau a jucatorului de noroc) astfel ıncat, dintre douarepartitii ale venitului (sau castigului) pe care le-ar putea realiza, acesta sa o aleaga pe ceacare conduce la cea mai mare utilitate medie.
? Utilitatea este o masura a gradului de satisfactie. Poate fi: cardinala sau ordinala.
? Paradoxul de la Sankt Petersburg: o moneda ideala se arunca iar, daca apare fata cu stema,atunci jucatorul primeste £2, iar jocul continua. Daca la a doua aruncare apare tot stema,atunci jucatorul primeste £4 si jocul continua mai departe, pana cand la o aruncare aparecealalta fata, caz ın care jocul se opreste. La fiecare noua aparitie a stemei, suma pe carejucatorul o avea se dubleaza.Q: Ce prima ar trebui sa o plateasca jucatorul pentru a putea participa la acest joc?
? Idei: E(X), o limitare a averii totale a cazinoului (Poisson si Condorcet), Buffon introduceun prag de probabilitate, Daniel Bernoulli si Gabriel Cramer au introdus ideea de utilitate acastigului.
Teoria alegerii rationale
? Utilitate ın conditii certe: detinem un capital F pe care ıl investim ın mai multe obiectivesimultan, (x1, x2, . . . , xn), si sa confere o satisfactie cat mai mare. Preturile obiectivelor suntpi, iar suma maxima ce o putem plati este P .
Max U(x1, x2, . . . , xn; t), astfel ıncatx1 + x2 + · · ·+ xn = F ;
p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn = P ;
xj ∈ Aj ⊆ [0, ∞), j = 1, n, t ∈ A ⊂ R+.
? Utilitate ın conditii incerte: Fie Ω = x, y, z, . . . o multime de entitati si < o relatie binarape Ω (relatie de preferinta).
? Numim loterie (sau experiment, alternativa) entitatea (p, x ; 1 − p, y), care este un elementdin Ω daca x, y ∈ Ω si p ∈ (0, 1)
? Numim relatie rationala o relatie completa (ori x < y, ori y < x si tranzitiva.
? O functie U : Ω → R se numeste functie de utilitate ın sens von Neumann & Morgenstern(vNM) daca satisface conditiile:
(1) x < y ⇐⇒ U(x) ≥ U(y), ∀x, y ∈ Ω;(2) U((p, x; 1− p, y)) = pU(x) + (1− p)U(y), ∀x, y ∈ Ω, ∀p ∈ (0, 1).
Axiomatica von Neumann & Morgenstern
¬ Relatia x < y este rationala;
(axioma de continuitate) Daca x < y < z, atunci exista p ∈ (0, 1) a.ı. y ∼ (p, x ; 1− p, z).
® (axioma de substitutiei) Pentru oricare x, y ∈ Ω, cu x < y, avem ca
(p, x ; 1− p, z) < (p, y ; 1− p, z), ∀p ∈ (0, 1), ∀z ∈ Ω.
¯ (axioma de monotonie) Daca x < y si p, p′ ∈ (0, 1), p > p′, atunci
(p, x ; 1− p, y) < (p′, x ; 1− p′, y).
Teorema: Daca o relatie de preferinta < satisface axiomele de mai sus, atunci exista o funtie deutilitate asociata acesteia, unica pana la o transformare afina.
(*) (continuitate arhimedeana) Daca x < y < z, atunci ∃p, q ∈ (0, 1) astfel ıncat:
(p, x; 1− p, z) < y < (q, x; 1− q, z).
(i.e. nu exista o combinatie infinit mai buna sau infinit mai proasta)
(*) (compunerea loteriilor) Pentru orice x, y, z ∈ Ω si p, q ∈ [0, 1], avem
(p, (q, x; 1− q, y); 1− p, (r, x; 1− r, y)) ∼ (pq + (1− p)r, x; p(1− q) + (1− p)(1− r), y).
Exemple de functie de utilitate: U(w) = e−αw, U(W ) = lnw, U(W ) =√w.
Atitudine fata de risc
? Un consumator rational vNM va investi ıntr-un proiectul riscant daca U(w0) < E(U(wf )).
? Pentru optimizarea portofoliilor, avem o problema de genul:Data fiind o avere initiala w0, sa se determine averea finala optima wt si strategia optimala.
? Un investitor rational vNM cauta sa maximizeze urmatoarea expresie:
supφ∈A
E[U(Xφ(T ))],
unde φ apartine unei anumite clase de procese stochastice.
? Indici de risc (Arrow-Pratt):
IAR(U, w) = −U′′(w)
U ′(w)si IRR(U, w) = −wU
′′(w)U ′(w)
.
investitor:
- riscofob (aversiune fata de risc), U este concava, i.e., U(E(w)) > E(U(w))
- riscofil (placere pentru risc), U este convexa, i.e., U(E(w)) < E(U(w))
- indiferent (neutru la risc), U este afina, i.e., U(E(w)) = E(U(w)).
? Un riscofob prefera castigul sigur de 40 RON unei loterii (0.5, 100; 0.5,−0)
? D este echivalentul sigur al unui proiect riscant wf = w0 + L daca U(w0 +D) = E[U(wf )].
? Aplicatie ın asigurari: Consideram o polita de asigurare ın caz de accident pentru carefiecare leu asigurat costa q lei. Un individ riscofob, cu averea initiala w0, doreste sa se asigure.Firma de asigurari stabileste ca acesta va suferi un accident cu p, iar accidentul costa L.Pentru ce valoare se va asigura individul?
? Risk sharing: Doi investitori, A1 si A2, au u(w) =√w. Amandoi investesc separat ın
active riscante L = (0.5, 100; 0.5, 0), independent unul de celalalt. Atunci, valoarea castiguluiasteptat de fiecare va fi E[U(L)] = 5. Daca acestia creeaza un fond mutual, punand ın comunactivele, atunci fiecare cota parte este Lm = (0.25, 100; 0.5, 50; 0.25, 0), cu E[U(Lm)] = 6.0355.
? Dilema prizonierului:
P1 @@P2 coop non-coop
coop (10, 10) (0, 20)
non-coop (20, 0) (1, 1)
? Paradoxul lui Alais: Se considera un joc cu rezultatul final unul dintre: 4000, 3000, 0.Doua scenarii:
– A LA = (0.8, 4000; 0, 3000; 0.2, 0) si L′A = (0, 4000; 1, 3000; 0, 0);
– B LB = (0.2, 4000; 0, 3000; 0.8, 0) si L′B = (0, 4000; 0.25, 3000; 0.75, 0)
Ce varianta alegeti din fiecare scenariu?
Optimizarea portofoliilor
? Pentru evaluarea optiunilor aveam problema:Data fiind distributia lui ST (implicit, a lui CT ), sa se determine C0 si portofoliul de acoperire.
? Pentru optimizarea portofoliilor, avem problema inversa:Data fiind o avere initiala W0, sa se determine averea finala optima Wt si strategia optimala.
? Un investitor rational vNM cauta sa maximizeze urmatoarea expresie:
supφ∈A
E[U(Xφ(T ))],
unde A = φ|φ admisibila si E[U(Xφ(T ))−] <∞
dXφ(t) = Xφ(t)[(r(t) + φ(t)′µ(t)) dt+ φ(t)′σdW (t)], Xφ(0) = x0.
? Doua abordari ale problemei de optimizare:
– metoda cu martingale. Se presupune ca piata este completa si determinam averea finala op-timala via unei probleme de optimizare statica. Interpretam averea ca un derivat financiariar portofoliul optimal va fi chiar portofoliul de acoperire al derivatului financiar;
– folosind Teoria controlului optimal stochastic. Se reprezinta problema de optimizare ca oEDP.
