1 - Elisabeta isanos1 1 1 1 ð , 1 ö 1 ¦ 1ó 1 1ó 1É ð k , 1 1 , 1 1 ¦£¦ 1 1 ð
DOBNDA~1
-
Upload
cristina-ghimpeteanu -
Category
Documents
-
view
54 -
download
0
Transcript of DOBNDA~1
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 1/13
DOBÂNDA SIMPLĂ:
- A: Prezentarea problemei : primele rezultate
⋅
=1 0
pn1SSs u m ar i d i cs c a d e n t al a
pa n u a l ad o b a n d ad e p r o c e n t u lc u
a n i"n"d e p e r i o a d ao p e
Ss u m aa z id e p u n
0f i n a l
0
OBS: - din suma Sfinal , cantitatea100
pnSD 0n ⋅ reprezintă dobânda , deci la scadenţă
ridică suma S0 depusă precum şi dobânda pe perioada existenţei depozitului.
- o altă interpretare :o promisiunea că : peste “n” ani voi primi suma S , valorează astăzi
100
pn1
S
⋅
- cantitatea100
pva fi notată cu “ i ‘;
Precizare : prin flux financiar vom înţelege o serie de sume încadrate în timp ; un fluxfinanciar va fi reprezentat schematic printr-o axă a timpului , pe care vor fitrecute momentele de timp , sumele respective precum şi momentul evaluăriisumelor.Sumele trecute sub axa timpului vor fi sume date ( ieşiri ) iar cele trecutedeasupra vor fi sume primite ( intrări ); momentul evaluării va fi marcat prin
semnul “ “ .
De exemplu: schema de mai jos
1
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 2/13
are înţelesul următor :
- la momentul t = 0 plătesc 120 RON ;- la momentul t = 3 încasez 340 RON ;- la momentul t = 7 plătesc 235 RON ;
- la momentul t = 9 încasez 568 RON ;- evaluarea ( calcularea valorii ) fluxului financiar se face la momentul t = 11.
Exerciţiu :să determinăm valoarea fluxului la momentul t = 11, cu dobânda de 7,7 % ;
Rezolvare : faţă de momentul t = 11 , toate cele 4 sume au carácter de depozite , deci
- suma S1 = 120 va avea valoarea :97,64
100
7,7111
120V1 −
⋅−
- suma S2 = 340 va avea valoarea :40,210
1007,7)311(1
340V2 +
⋅+
- suma S3 = 235 va avea valoarea :66,179
100
7,7)711(1
235V3 −
⋅−
- suma S4 = 568 va avea valoarea :20,492
100
7,7)911(1
568V4 +
⋅+
In final , valoarea fluxului la momentul t = 0 va fi
V1 +V2 +V3 +V4 = 457, 96 RON.
EXERCIŢIU: să determinăm valoarea fluxului financiar de mai jos, în dobândă simplă, pentru un procent de dobândă anuală de 8,3 %.
Rezolvare : în raport cu momentul t = 9 al evaluării valorii fluxului ,
- sumele de 215 şi 322 reprezintă “ depozite”- sumele de 524 , 616 şi 395 reprezintă “ promisiuni “ ;
2
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 3/13
Valoarea actuală a sumei 215 va fi : 915,339100
3,871215V1 +
⋅ ;
Valoarea actuală a sumei 322 va fi : 904,428100
3,841322V2 −
⋅ ;
Valoarea actuală a sumei 524 va fi : 393,393
100
3,841
524
V3 +
⋅+ ;
Valoarea actuală a sumei 616 va fi :192,370
100
3,881
616V4 +
⋅
+;
Valoarea actuală a sumei 395 va fi :896,197
100
3,8121
395V5 −
⋅
−.
In final ,obţinem valoarea 476,7 RON.
== // ==
EXEMPLU
Conform contractului, ar trebui să primesc de la Costică suma “S” , peste “n” ani .Intrucât ştiu că personajul un este foarte punctual, plec cu ideea că există o
probabilitate “q” nenulă ca , la scadenţă, să NU se prezinte cu suma respectivă:deaceea în contract am prevăzut clauza conform căreia, dacă nu vine cu banii , îi maiacord o perioadă de graţie de “m” ani , după care se procedează la execuţia silită , pentru
suma “S” datorată, plus o despăgubire de valoare “K”.Imi propun să calculez valoarea K a acestei despăgubiri ,astfel încât acţiunea să se
desfăşoare în condiţii de echitate ( adică să un obţin venit în cazul în care se aplicăexecuţia silită).
Calculele se vor face în regim de dobândă simplă, cu procentul anual “p”.
REZOLVARE :
- în varianta normală , în care Costică îmi plăteşte datoria la scadenţă:în momentul semnării contractului dispun de suma
100
pn1
SV
0
⋅=
- în cazul în care apare neplata , avem situaţia descrisă în arborele stărilor de mai jos :
3
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 4/13
Variabila aleatoare a valorii operaţiunii la momentul t = 0 este deci :
−
⋅
+
⋅=qq1
i)nm(1
K S
in1
S
v ,
cu media :i)nm(1
)K S(q
in1
S)q1()v(M
⋅+
+⋅⋅
= .
Condiţia de echitate este ca M(v) să fie eglă cu 0V , deci :
i)nm(1
)K S(q
in1
S)q1(
in1
S
⋅
++
⋅
⋅=
⋅
De aici :
4
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 5/13
Sin1
imK ⋅
⋅⋅
= .
Constatăm cu satisfacţie că rezultatul nu depinde de probabilitatea “q” , pe care oricumun aveam de unde să o determin în prealabil.
== // ==
- B: ANUITĂŢI : EXEMPLE
In principiu: o anuitate este un flux financiar , constând din depuneri de valori egale,la intervale de timp egale .
EXEMPLUL 1 :
- timp de “n” ani- la sfârşitul fiecărui an- primesc câte “ x” lei
Procentul anual de dobândă simplă este “p” .Se cere valoarea totală a depunerilor efectuate, evaluarea făcându-se :
- a: la începutul primului an ;
- b: la sfârşitul anului “n”.Rezolvare : schema fluxului financiar este prezentată mai jos :
- la începutul anului 1: sumele în cauză reprezintă promisiuni , deci valoareaoperaţiunii la momentul t = 0 va fi
in1
x...
i31
x
i21
x
i1
xV
0 ⋅+
⋅+
⋅+
+=
- la sfârşitul anului n: sumele în cauză reprezintă depozite, deci valoarea
5
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 6/13
operaţiunii la momentul t = n va fi
−⋅
=
2
1ni1xn
]i)1n(1[x...)i21(x)i1(xxVn
OBS: între V0 , Vn şi n∙x pot exista deosebiri mari : de exemplu , pentru x = 1 leu ; n = 8ani şî p = 5% anual , avem :
- valoarea la începutul anului 1 : V0 = 6,6 lei- cantitatea totală de monedă depusă : n∙x = 8 lei- valoarea finală a operaţiunii : V8 = 9,4 lei.
==//==
Caracteristicile anuităţii din exemplul de mai sus sunt următoarele :
- depunerile au loc pe o perioadă limitată, precizată dinainte↔ se numesc anuităţi temporare
- depunerile au loc la sfârşitul anului ↔ se numesc anuităţi posticipate- depunerile încep chiar în primul an ( fără perioadă de graţie )
↔ se numesc anuităţi imediate .
== // ==
EXEMPLUL 2 :
- timp de “n” ani- la începutul fiecărui an ,- începând cu începutul anului “m+1”- primesc câte “ x” lei
Procentul anual de dobândă simplă este “p” .
Se cere valoarea totală a depunerilor efectuate, evaluarea făcându-se :- a: la începutul primului an ;- b: la sfârşitul anului “n + m” ( ultimul an ) .
Rezolvare : schema fluxului financiar este prezentată mai jos :
6
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 7/13
Avem :
i)1nm(1
x...
i)1m(1
x
im1
xV0 ⋅⋅⋅
+
⋅2
1ni1xn)in1(x...)i21(x)i1(xVfinal
== // ==
De exemplu : pentru x = 1 leu ; n = 8 ani , m = 4 ani şi procentul anual de dobândă simplă p = 5 % , avem >
- valoarea anuităţii la începutul anului 1 :
lei86,505,0111
1...
05,051
1
05,041
1V
0 =⋅
+⋅
+⋅
=
- valoarea anuităţii la sfârşitul anului 12 :
lei8,92
905,0118V12 =
⋅
- cantitatea totală de monedă utilizată : 1∙8=8 lei .
Caracteristicile anuităţii din exemplul de mai sus sunt următoarele :
- depunerile au loc pe o perioadă limitată, precizată dinainte
↔ se numesc anuităţi temporare- depunerile au loc la începutul anului ↔ se numesc anuităţi anticipate- depunerile un încep chiar în primul an ( există perioadă de graţie )
↔ se numesc anuităţ iamânate .
== // ==Precizare : o anuitate care nu este temporară
7
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 8/13
- se poate desfăşura pe o perioadă nelimitată de timp ( o infinitate de ani ):evident că aceasta este o ipoteză pur matematică ;
- se poate desfăşura pe o perioadă limitată , dar neprecizată în prealabil : încontractul de constiuire se prevede o clauză de încetare a depunerilor ( de
exemplu : depunerile continuă atâta timp cât paritatea EURO se menţine deasupra pragului de 3,5 RON / EURO): aceste anuităţi vor fi numite cu timp de oprire
aleator .
EXEMPLU: anuitate cu timp de oprire aleator ( care nu este anuitate temporară)
Ca generator de situaţii incerte , avem o urnă cu bile albe si negre,din carese fac extrageri cu revenire de câte 1 bilă : procentul de bile negre din urnă este notat cu“ π “ , deci procentul de bile albe este de 1 – π .
- la sfârşitul anului 1 : se extrage 1 bilă din urnă :
- dacă bila este neagră , primesc suma “x” şi procesul se opreşte- dacă bila este albă, se depune suma “x” în cont şi se trece maideparte ;
- la sfârşitul anului 2 : se extrage 1 bilă din urnă :- dacă bila este neagră , primesc suma “x” şi depozitul constituit- dacă bila este albă, se depune suma “x” în cont şi se trece mai
departe ;
(de subliniat faptul că depozitul se lichidează numai cu ocazia apariţiei bilei negre:dacă apare bila albă, depunerea sumei “x” se efectuează , dar un am dreptul de
lichidare a depozitului ).Să determinăm valoarea anuităţii la momentul t = 0 ( începutul anului 1 ).
Situaţiile în care se fac încasări apar în tabelul următor :
anul în careare loc încasarea 1 2 3 …. n ….suma încasată , actualizatala momentul t = 0 x∙
vx∙v2 +x∙v x∙v3+x∙v2+x∙v ….
v1
v1vx
n
−
−⋅
….
probabilitatea π )1( π 2)1( π …. 1n)1( −π ….
Media acestei variabile aleatoare este x)1(v1
v⋅
π .
== // ==
8
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 9/13
- C : ECHIVALAREA PROCENTELOR :
Ne vom ocupa de probleme de tipul :- cunosc procentul anual , p ;
- se cere procentul lunar corespunzător , q .
Modelul rezolvării este următorul : depun suma S , pe “n” ani şi calculăm valoarea finală
- în varianta anuală :
⋅
−−
−
100
pn1SS
p: procentul
S:suma
n: perioada
anual
- în varianta lunară :
⋅
−
−
⋅
100
qn121SS
q: procentul
S:suma
n12: perioada
lunar .
Faptul că procentele p , q sunt echivalente revine la faptul că cele două valori finale sunt
egale : din egalitatea Sanual = Slunar se deduce12
pq= .
Mai jos este prezentat un tabl practic de determinare a procentelor echivalente pentrudiferite sub-perioade ale anului :
- D:
COMPUNEREA PROCENTELOR ( PROCENTE VARIABILE IN TIMP )
Considerăm următoarea problemă :
se cerese dă :
%anual
%semestrial
%trimestrial
%lunar
%săptămânal
%zilnic
%anual
- : 2 :4 :12 :52 :360
%semestrial
x 2 - :2 :6 :26 :180
%trimestria
x 4 x 2 - :3 :13 :90
%lunar
x 12 x 6 x 2 - :4 :30
%
săptămânal
x 52 x 24 x 12 x 4 - :7
%zilnic
x 360 x 180 x 90 x 30 x 7 -
9
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 10/13
- avem un depozit de valoare S , pe m+n ani :- în primii “m” ani , procentul de dobândă simplă este = p- în următorii “n” ani , procentul de dobândă simplă este = q ;
Se cere procentul “k” anual constant , valabil pe întreaga perioadă de “ m+n” ani ,care
conduce la aceeaşi valoare finală ca şi cele două procente aplicate consecutiv.
- în cazul aplicării procentului unic “k” , se obţine o sumă finală
⋅100
k )nm(1SS1 ;
- în cazul celor două procente aplicate consecutiv :
o după primii “m” ani suma S devine :
⋅100
pm1SV
o după încă “n” ani , suma V devine :
⋅
⋅
⋅
100
qn1
100
pm1S
100
qn1VS2
Din egalitatea S1 = S2 , găsim :
⋅
⋅
100
qn1
100
pm1
100
k )nm(1 ,
de unde se deduce valoarea procentului “k”.
== // ==
In general : se consideră perioadele de timp consecutive , n1,n2 ,…, nk
pe perioada “ni “ a fost valabil procentul “ p i “ : atunci procentul echivalent ,valabil pe întreaga perioadă , este dat de :
−
⋅
+∏∑ =
=
k
1i
ii
k
1i
i
1100
pn1
n
100 p
== // ==
10
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 11/13
De exemplu: n1 = 5 luni ; p1 = 3% lunar ;n2 = 8 luni ; p2 = 6% lunar :
ştAtunci : procentul “p” unic , valabil pe cele 13 luni , va fi
%4,51100
681100
35185
100 p =
−
⋅+
⋅+
+
== // ==
- E: PROCENT ANTICIPATIV SI PROCENT DECURSIV : PROBLEMACONVERSIEI
Se acordă un credit de valoare nominală S , pe o perioadă de “n” ani : procentul dedobândă simplă este p% anual.
Imprumutul se poate desfăşura în două variante :
- a: varianta anticipativă : _ beneficiarul împrumutului semnează că a primit suma S_ banca calculează dobânda cuvenită , D , şi o reţine din
suma acordată_ la scadenţă , împrumutătorul restituie suma S .
De exemplu : solicit un împrumut de 150 mii RON , pe 4 ani , cu 8% anual .OBS: dobânda cuvenită la acest împrumut este :
D = 150∙4∙8/100 = 48 mii RON.
_ semnez de primire pentru 150 mii ;_ iau în mână 150 – 48 = 102 mii ;_ la scadenţă restitui 150 mii lei.
- b : varianta decursivă : _ beneficiarul împrumutului semnează că a primit suma S_ beneficiarul împrumutului ia efectiv suma S_ la scadenţă , împrumutătorul restituie suma S + D .
De exemplu : solicit un împrumut de 150 mii RON , pe 4 ani , cu 8% anual .OBS: dobânda cuvenită la acest împrumut este :
D = 150∙4∙8/100 = 48 mii RON.
_ semnez de primire pentru 150 mii ;_ iau în mână 150 mii ;_ la scadenţă restitui 150 + 48 = 198 mii lei.
11
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 12/13
==/==
Deosebirea formală între cele două variante este că:_ la varianta decursivă , valoarea nominală a împrumutului este egală cu
suma luată în mână la semnarea contractului
_ la varianta anticipativă , valoarea nominală este egală cu sumarestituită la scadenţă.Chiar dacă cele două procente par egale, totuşi efectele lor sunt diferite,după cum vomvedea în exemplele de mai jos.
Exemplul 1 : se cumosc datele unui împrumut încheiat în varianta anticipativă , anume:_ împrumut 100 lei _ pe 3 ani_ cu 7% anual ;
Se cere procentul echivalent de dobândă ,în cazul variantei decursive.
Rezolvare : la împrumutul anticipat avem o dobândă de :
lei21100
73100
100
pnSD = , deci :
_ iau în mână 100 – 21 = 79 lei _ restitui 100 lei .
Fiind echivalentă , la varianta decursivă iau aceeaşi sumă şi restitui aceeaşi sumă , adică
_ iau în mână 79 lei , aceasta reprezentând valoarea nominală a împrumutului_ restitui 100 lei.
Deci : - suma de 79 lei , cu procentul decursiv q , peste 3 ani :devine = 100 lei ,
adică : %86,8q100100
q3179 =
⋅ .
Problema 2 : se cunosc datele unui împrumut încheiat în varianta decursivă , anume_ valoarea nominală 100 lei_ scadenţa : peste 5 ani _ cu procentul de 8% anual.
OBS: dobânda aferentă are valoarea lei40100
85100D = , deci:
_ iau în mână 100 lei_ restitui 100 + 40 = 140 lei.
Varianta anticipativă echivalentă :
12
5/13/2018 DOBNDA~1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dobnda1 13/13
_ iau în mână 100 lei _ restitui 140 lei , deci valoarea nominală a împrumutului este de
140 lei
Deci : dobânda la suma de 140 lei , pe 5 ani , cu q% anual este de 40 lei, adică
%714,5qlei40100
q5140 =
==//==
In general:
• anticipativ :
100
pn1
pq:decursiv procent
p:anual procent
ani"n"scadenta
⋅=
−
−
• decursiv :100
pn1
pq:vanticipati procent
p:anual procent
ani"n"scadenta
⋅=
−
−
END
13