Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1...

209
1 Cursul 1. Recapitulare liceu Bibliografie: 1. G. Streinu-Cercel, G. Constantinescu, G. Oprea, Matematică. Manual pentru clasa a XI-a ed. Sigma, Bucureşti, 2006. 2. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Stănescu, Matematică. Elemente de algebră superioară. Manual pentru clasa a XI-a ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993. 3. C. Crăciun, L. Lupşa, Matematică pentru studenţi străini ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. Scopuri: 1) Utilizarea operaţiilor cu matrice 2) Calcularea valorii unui determinant; proprietăţiile determinanţilor 3) Determinarea inversei unei matrice 4) Rangul unei matrice 5) Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare 1. Utilizarea operaţiilor cu matrice Noţiunea de matrice a intervenit în studiul sistemelor de ecuaţii liniare. Ea a fost introdusă de matematicianul englez Artur Cayley în 1858. Definiţia 1. Fie n m, şi fie o mulţime de numere C , , , , Q . Se numeşte matrice de tipul n m, cu elemente din , o funcţie n m A , , 2 , 1 , , 2 , 1 : ; notăm mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 sau n j m i ij a A 1 1 . Observaţia 1. Matricele sunt o generalizare a vectorilor; vectorii sunt matrice cu o linie (matrice linie), sau cu o coloană (matrice coloană). Definiţia 2. Matricea pătratică de ordinul n , nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 este o matrice cu n linii şi n coloane.

Transcript of Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1...

Page 1: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 1. Recapitulare liceu

Bibliografie:

1. G. Streinu-Cercel, G. Constantinescu, G. Oprea, Matematică. Manual pentru clasa a XI-a

ed. Sigma, Bucureşti, 2006.

2. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Stănescu, Matematică. Elemente de algebră superioară. Manual

pentru clasa a XI-a ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.

3. C. Crăciun, L. Lupşa, Matematică pentru studenţi străini ed. Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1983.

Scopuri:

1) Utilizarea operaţiilor cu matrice

2) Calcularea valorii unui determinant; proprietăţiile determinanţilor

3) Determinarea inversei unei matrice

4) Rangul unei matrice

5) Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

1. Utilizarea operaţiilor cu matrice

Noţiunea de matrice a intervenit în studiul sistemelor de ecuaţii liniare. Ea a fost introdusă

de matematicianul englez Artur Cayley în 1858.

Definiţia 1. Fie nm, şi fie o mulţime de numere C,,,, Q . Se numeşte

matrice de tipul nm, cu elemente din , o funcţie nmA ,,2,1,,2,1: ; notăm

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

sau njmiijaA

11 .

Observaţia 1. Matricele sunt o generalizare a vectorilor; vectorii sunt matrice cu o linie

(matrice linie), sau cu o coloană (matrice coloană).

Definiţia 2. Matricea pătratică de ordinul n ,

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

este o matrice

cu n linii şi n coloane.

Page 2: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

Definiţia 3. Matricea linie nnaaa ,,, 2211 este diagonala principală, iar matricea

coloană 11,21 ,,, nnn aaa este diagonala secundară a matricei A .

Mulţimea tuturor matricelor de tipul nm, cu elementele din mulţimea se notează prin

nm, .

Mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordinul n cu elemente din mulţimea se

notează prin n .

Definiţia 4. Urma unei matrice nA , njniijaA

11 este suma elementelor de pe

diagonala principală;

n

iiiaA

1

tr .

Definiţia 5. Două matrice de de tip nm, , njmiijaA

11 şi

njmiijbB

11 se numsc egale

dacă njmiba ijij ,1,,1, .

Definiţia 6. Fie matricele nmBA ,, , njmiijaA

11 ,

njmiijbB

11 . Suma matricelor

A şi B este matricea njmiijcC

11 , cu njmibac ijijij ,1,,1, , notată BAC .

Teorema 1 (proprietăţile adunării matricelor). Pentru orice matrice nmCBA ,,, :

1) ABBA (comutativitatea)

2) CBACBA (asociativitatea)

3) elementul neutru; AAA nmnm ,, OO , unde nm,O este matricea nulă (are

toate elementele 0) de tip nm, .

4) matricea opusă nmA , , nmAAAA ,O . Pentru

njmiijaA

11 , avem

njmiijaA

11 .

Deci, mulţimea matricelor de tipul nm, împreună cu operaţia de adunare are o structură

de grup abelian.

Definiţia 7 (înmulţirea cu scalari). Fie nm

njmiijaA ,

11 şi . Produsul

dintre numărul (numit scalar) şi matricea A este matricea njmiijbB

11 , cu

njmiab ijij ,1,,1, , care se notează cu A .

Teorema 2 (proprietăţile înmulţirii cu scalari a matricelor). Pentru orice matrice

nmBA ,, , şi ba, :

Page 3: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

1) AA 1

2) AbAaAba

3) BaAaBAa

4) bAaAab ,

5) BaAABa .

Observaţia 2. Pentru a efectua produsul a două matrice trebuie ca numărul de coloane ale

primei matrice să fie egal cu numărul linii al celei de-a doua matrice.

Definiţia 8. Fie pnm ,, , nm

njmiijaA ,

11 şi

pknjjkbB

11 . Produsul

matricelor A şi B (în această ordine), este matricea pk

miikcC

11 ,

pkmibacn

jjkijik ,1,,1,

1

; matricea produs se notează BA .

BAC

npnkn

jpjkj

pk

mnmjm

iniji

nj

mpmkm

ipiki

pk

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

ccc

ccc

ccc

1

1

1111

1

1

1111

1

1

1111

Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie qpnm ,,, .

1) Oricare ar fi matricele nmA , , pnB , , qpC , :

BCACAB (asociativitatea)

2) Oricare ar fi matricele nmA , , pnCB ,, :

ACABCBA (distributivitatea înmulţirii la stânga faţă de adunare)

3) Oricare ar fi matricele nmBA ,, , pnC , :

BCACCBA (distributivitatea înmulţirii la dreapta faţă de adunare)

4) Matricea unitate de ordinul n ,

100

010

001

I

n este element neutru faţă de

înmulţire, adică nA avem AAA nn II .

Observaţia 3. În general ABBA .

Page 4: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

Definiţia 9 (ridicarea la putere a matricelor pătratice). Dacă nA , nA O ,

definim nA I0 şi AAAAA k

orikde

k 1 , k .

Observaţia 4. Observăm că

kppk

pkpk

AA

AAA, pk, .

Definiţia 10. Transpusa unei matrice njmiijaA

11 este matricea

mjniij

t aA

11 definită

prin mjniaa jiij ,1,,1, .

Observăm că transpusa unei matrice se obţine din matricea iniţială schimbând liniile în

coloane şi invers.

nmnn

n

m

mnnn

m

m

t

mnmm

n

n

t

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

21

22212

12111

21

22221

11211

Teorema 4 (proprietăţile transpunerii matricelor). Dacă nmBA ,, iar

atunci

1) tttBABA

2) ttAA

3) tttABAB

4) AAtt

Exemplul 1. Fie 321 ,, xxx soluţiile ecuaţiei 03 baxx , ba, , 0a şi

111

321

2

3

2

2

2

1

xxx

xxx

A . Calculaţi tAA .

Soluţie.

31

1

1

111 321

2

3

2

2

2

1

321

2

3

2

2

2

1

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

3

3

3

2

3

1

4

3

4

2

4

1

3

2

3

2

2

2

1

2

1

321

2

3

2

2

2

1

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xx

xx

xx

xxx

xxx

AA t .

Folosind relaţiile lui Viete avem:

01

0321 xxx ; a

axxxxxx

1313221 ; bxxx 321 .

Page 5: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

Obţinem:

aa

xxxxxxxxxxxx 21

22 3231212

32123

22

21

bbxxxa

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

3330

33

321

3213213231213

32133

32

31

22223

22

23

21

22

21

223

22

21

43

42

41 2242 aaaxxxxxxxxxxxx ,

unde

22321321

2313221

23

22

23

21

22

21 022 abaxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Deci

302

023

232 2

a

ab

aba

AA t .

Definiţia 11. Matricea nA se numeşte simetrică dacă tAA .

Definiţia 12. Matricea nA se numeşte antisimetrică dacă tAA .

2. Calcularea valorii unui determinant; proprietăţile determinanţilor

Definiţia 13. Determinantul unei matrice de ordinul al 2-lea,

2221

1211

aa

aaA este numărul

21122211

2221

1211det aaaa

aa

aaA .

Pentru calculul determinanţilor de ordinul 3 vom aplica următoarele trei reguli de calcul:

1. Regula lui Sarrus: scriem sub linia a treia primele două linii, apoi adunăm

produsul elementelor de pe cele 3 diagonale paralele cu direcţia şi scădem

produsul elementelor situate pe cele 3 diagonale paralele cu direcţia

322311332112312213231231133221332211

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

Fig. 1

2. Regula triunghiului: evidenţiem “triunghiuri” cu vârfurile în elementele

determinantului, ca în Fig 2. Se adună produsele elementelor care se află pe

diagonala principală şi în vârfurile triunghiurilor ce au o latură paralelă cu aceasta

Page 6: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

şi se scad produsele elementelor care se află pe diagonala secundară şi în vârfurile

triunghiurilor ce au o latură paralelă cu aceasta.

322311332112312213231231133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Fig. 2

3. Regula minorilor: dezvoltarea determinantului după o linie sau coloană

3231

1211

23

3331

1311

22

3332

1312

21

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

333231

232221

131211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

Alegem o linie i sau o coloană şi înmulţim fiecare element ija , 3,1j al acestei linii sau

coloane cu determinantul de ordin inferior obţinut prin eliminarea liniei i şi a coloanei j şi cu

ji1 şi adunăm produsele astfel rezultate şi obţinem valoarea determinantului.

Definiţia 14. Determinantul unei matrice de ordinul n este numărul

n

kkjkj

jkAa

1

1 ,

unde cu kjA se notează minorul elementului kja , adică determinantul matricei de ordinul 1n

care se obţine din matricea A eliminând linia i şi coloana j .

Proprietăţile determinanţilor sunt:

1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matrici transpuse.

Datorită acestei proprietăţi putem transcrie proprietăţile obţinute pentru liniile unui

determinant la coloanele sale şi reciproc.

tAA detdet

2. Dacă o matrice are o linie (sau o coloană) cu toate elementele 0, atunci

determinantul ei este egal cu 0.

0

000

232221

131211

aaa

aaa

Page 7: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

3. Dacă înmulţim toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice cu un

număr, valoarea determinantului matricei se înmulţeşte cu acel număr.

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

.

Ca o consecinţă a acestei proprietăţi: tAaAa detdet , nA , a .

4. Dacă într-o matrice adunăm la elementele unei linii (respectiv coloane), elementele

corespunzătoare unei alte linii (respectiv coloane) înmulţite cu un număr, atunci

valoarea determinantului matricei astfel formate este aceeaşi cu a determinantului

matricei iniţiale.

333231

232221

131211

33323231

23222221

13121211

aaa

aaa

aaa

aaaa

aaaa

aaaa

5. Dacă o matrice are două linii (respectiv două coloane) proporţionale, atunci

determinantul ei este nul.

0

333231

131211

131211

aaa

aaa

aaa

6. Dacă schimbăm între ele două linii (sau două coloane) ale unei matrice pătratice,

atunci determinantul îşi schimbă semnul.

333231

232221

131211

333231

131211

232221

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

7. Dacă două matrice diferă printr-o singură linie (sau coloană), atunci suma

determinanţilor acestor matrice este egală cu determinantul matricei care are pe

linia respectivă (coloana respectivă) suma elementelor liniilor (sau coloanelor)

respective ale celor doi determinanţi.

33323131

23222121

13121111

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

8. Determinantul produsului a două matrice pătratice (de acelaşi ordin) este egal cu

produsul determinanţilor acestor matrice.

Dacă nBA, atunci BAAB detdetdet

Page 8: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

9. Dacă o linie (respectiv coloană) a unei matrice A este o combinaţie liniară a

celorlalte linii (respectiv coloane) ale matricei A , atunci determinantul matricei A

este nul (şi reciproc).

,,0

231322122111

232221

131211

aaaaaa

aaa

aaa

Exemplul 2. Calculaţi valoarea determinantului

3333

2222

1111

dcba

dcba

dcba , dcba ,,, .

Soluţie.

333333

222222

3333333

2222222

)4

3333

2222

00011111

adacab

adacab

adacab

adacaba

adacaba

adacaba

dcba

dcba

dcba linieprimadupadezvoltare

))()((11

))((

001

111

)4)3

2222

222222

)4

222222

)3

cdbdbcadacababdabc

bdbcadacab

abadbdabacbc

bdbcadacab

abadbdabacbcaabb

bdbcabadacab

aaddaaccaabb

adacabadacab

linieprimadupadezvoltare

3. Determinarea inversei unei matrice

Definiţia 15. Pentru matricea nA , matricea nB care satisface condiţiile

nIAB şi nIBA constituie matricea inversă a lui A şi este notată cu 1A .

Nu toate matricele pătratice sunt inversabile.

Teorema 5. Matricea nA este inversabilă dacă şi numai dacă 0det A .

Matricele inversabile se numesc nesingulare iar cele neinversabile se numesc matrice

singulare.

Page 9: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

Teorema 6 (proprietăţile matricelor inversabile). Dacă nBA, sunt nesingulare

atunci

1) AA 11

2) produsul AB este de asemenea o matrice nesingulară

3) 111 ABAB

4) 11 ttAA

Pentru a găsi inversa unei matrice se procedează astfel:

Etapa I. Calculăm Adet . Dacă 0det A , atunci A este inversabilă.

Etapa II. Scriem matricea transpusă a matricei A , notată tA .

Etapa III. Scriem matricea adjunctă (reciprocă) , notată A , înlocuind fiecare elemnt al

matricei transpuse tA prin complementul său algebric, notat njiij ,1,, , ce se calculează astfel:

njiAij

ji

ij ,1,,1

, unde ijA este minorul elementului ija din matricea tA .

Etapa IV. Obţinem matricea inversă a matricei A folosind relaţia

AA

Adet

11 .

4. Rangul uni matrice

Definiţia 15. Fie matricea nmA , , nm, şi r , nmr ,min . Un

determinant de ordin r , format cu elementele matricei A situate la intersecţia a r linii şi r

coloane, se numeşte minor de ordinul r .

Definiţia 16. Matricea nulă are rangul 0. Dacă matricea nmA , , nm, nu este

nulă, există un număr r , nmr ,min , astfel încât cel puţin un minor de ordinul r este

nenul iar toţi minorii de ordin mai mare decât r (dacă există sunt nuli), atunci r constituie

rangul matricei A şi se notează cu Arang .

Propoziţia 1. Dacă matricea nmA , , atunci tAA rangrang .

Pentru a determina rangul unei matrice vom proceda astfel:

Etapa I. Calculăm minorii de ordin maxim până când găsim un minor nenul.

Etapa II. Dacă nu găsim un minor nenul în etapa precedentă vom calcula minorii de ordin

inferior.

Teorema 7. rA rang dacă şi numai dacă toţi minorii de ordinul 1r (dacă există) sunt

nuli.

Page 10: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

5. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

Forma generală a unui sistem liniar este:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

unde:

nxxx ,, 21 sunt necunoscutele sistemului,

numerele njmiaij ,1,,1, sunt coeficienţii necunoscutelor,

mbbb ,, 21 sunt termenii liberi ai sistemului.

Unui sistem liniar îi asociem următoarele matrice:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

matricea sistemului,

mb

b

b

2

1

matricea termenilor liberi.

nx

x

x

2

1

matricea necunoscutelor,

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

A

21

222221

111211

~ matricea extinsă a sistemului care se obţine

adăugând la matricea A coloana termenilor liberi.

Definiţia 17. Se numeşte soluţie a sistemului de ecuaţii liniare un sistem ordonat de n

numere tn ,, 21 astfel încât înlocuind necunoscutele nxxx ,, 21 respectiv prin

n ,, 21 este verificată fiecare din ecuaţiile sistemului.

Definiţia 18. Un sistem este

compatibil dacă are cel puţin o soluţie,

Page 11: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

compatibil determinat dacă are soluţie unică,

compatibil nedeterminat dacă are o infinitate de soluţii,

incompatibil dacă nu are soluţii.

Vom prezenta următoarele metode de rezolvare a sistemelor liniare:

Metoda lui Cramer permite rezolvarea sistemelor liniare de n ecuaţii cu n

necunoscute având determinantul asociat matricei sistemului nenul.

Teorema 5. Dacă sistemul

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

(1)

are determinantul nenul, atunci soluţia sa utilizând metoda lui Cramer este nxx ,,1 , unde

nix

x i

i ,1,

, nixi ,1, fiind determinantul obţinut din prin înlocuirea coloanei

corespunzătoare coeficienţilor necunoscutei nixi ,1, cu coloana termenilor liberi, adică

nninninnn

nii

nii

i

aabaaa

aabaaa

aabaaa

x

1,1,21

21,221,22221

11,111,11211

.

Metodă de rezolvare a sistemelor liniare de m ecuaţii cu n necunoscute.

1) Se determină Arang .

2) Se alege un minor principal

rrrr

r

r

princ

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

.

3) Se precizează: necunoscutele principale rxx ,,1 şi secundare nrr xxx ,, 21 şi de

asemenea ecuaţiile principale (ecuaţiile r,2,1 ) şi ecuaţiile secundare (celelalte

rm ecuaţii). Dacă există ecuaţii secundare se calculează minorii caracteristici

(minorul obţinut din minorul principal, prin bordarea acestuia cu elementele

corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi şi câte una din liniile rămase); numărul

minorilor caracteristici este egal cu numărul ecuaţiilor secundare şi este egal cu rm .

4) Se stabileşte dacă sistemul (1) este compatibil.

Page 12: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

Teorema 6. (Teorema lui Rouche) Un sistem de ecuaţii este compatibil dacă şi numai

dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli.

5) Dacă sistemul este compatibil soluţia sa se obţine prin rezolvarea sistemului principal

(sistemul format din ecuaţiile şi necunoscutele ai căror coeficienţi formează minorul

principal, trecând în membrul drept termenii care conţin necunoscutele secundare şi

atribuind acestor necunoscute secundare valori arbitrare):

- dacă numărul necunoscutelor secundare este 0 sistemul este compatibil determinat;

- dacă există necunoscute secundare, sistemul este compatibil nedeterminat; numărul

necunoscutelor secundare arată gradul de nedeterminare.

Metoda matriceală permite rezolvarea sistemelor liniare de n ecuaţii cu n

necunoscute având determinantul asociat matricei sistemului nenul.

Un sistem liniar de n ecuaţii cu n necunoscute poate fi exprimat matriceal astfel:

BAX ,

unde:

A este matricea sistemului (de ordinul n ),

X este matricea necunoscutelor (matrice coloană),

B este matricea termenilor liberi (matrice coloană).

În cazul nA , dacă matricea A este inversabilă, înmulţind la stânga ecuaţia BAX

cu 1A obţinem

BAXAABAAXA 1111 ,

deci BAX 1 .

Teorema 6. Dacă 0det A atunci BAX 1 este soluţia unică a sistemului considerat.

Definiţia 19. Un sistem liniar în care toţi termenii liberi sunt nuli se numeşte omogen.

Forma generală a unui sistem liniar omogen de m ecuaţii cu n necunoscute este

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

ija , njmi ,1,,1 .

Orice sistem liniar omogen este compatibil, având întotdeauna cel puţin soluţia nulă

0,0,0,, 21 nxxx .

Dacă r este rangul matricei sistemului, avem cazurile:

Page 13: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

dacă nr atunci sistemul este compatibil determinat, având soluţia unică 0,0,0 ;

dacă nr atunci sistemul este compatibil nedeterminat.

Exemplul 3. Rezolvaţi sistemul:

0417

0453

032

023

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

Soluţie.

Observăm că 4m , 3n ; matricea sistemului are rangul 3r .

Deoarece toţi cei 4 minori de ordinul 3 sunt nuli, iar 012

31

rezultă 2rang A ; deci

sistemul este compatibil nedeterminat.

Necunoscutele principale sunt 21, xx ; notăm ttx ,3 .

Mulţimea soluţiilor sistemului este

ttttS |,

7

1,

7

11.

Page 14: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 2. Calcul vectorial

Bibliografie:

1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi

diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.

2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.

3. S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1989.

4. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

5. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

6. P. Matei, Algebră liniară. Gometrie analitică şi diferenţială, ed. Agir, Bucureşti, 2002.

7. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.

8. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi Pedagogică

R.A., Bucureşti, 1993.

9. C. Udrişte, Algebră liniară, geometrie analitică, Geometry Balkan Press, Bucureşti, 2005.

10. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

11. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie n- dimensională, ed. Radical,

Craiova, 1996.

Scopuri:

1) Introducerea noţiunii de vector liber

2) Operaţii cu vectori liberi

3) Definirea produselor în mulţimea vectorilor liberi: produsul scalar, produsul vectorial,

produsul mixt

1. Vectori liberi

Pe lângă noțiunile cu care operează matematica, create prin abstractizare în urma

observației mediului înconjurător (de ex. noțiunile geometrice) sau a cercetării cantitative și

calitative a fenomenelor naturii (de ex. noțiunea de număr) în matematică există și elemente

preluate din alte științe. Noţiunea de vector, introdusă de fizică a fost studiată şi dezvoltată,

creându-se calculul vectorial, devenit un instrument util atât matematicii, cât şi fizicii. Toate

mărimile fizice sunt reprezentabile prin vectori (de ex. forţa, viteza).

În examinarea fenomenelor din natură se întâlnesc două tipuri de mărimi:

Page 15: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

1. mărimi scalare (temperatura, lungimea, timpul, volumul, densitatea, suprafața) care se

pot caracteriza printr-un număr (ce se măsoară cu o anumită unitate de măsură);

2. mărimi vectoriale (forţa, viteza, accelerația) pentru a căror caracterizare nu este

suficientă măsura lor, ci este necesară cunoașterea direcției și sensului în care ele

acționează.

Pentru a reprezenta un vector se utilizează segmentul orientat, metoda fiind preluată din

mecanică.

Fie 3 spaţiul tridimensional al geometriei elementare.

Definiţia 1.1. Numim segment orientat (sau vector legat) o pereche ordonată de puncte

33, BA şi-l notăm AB (vezi Fig. 1.1).

A

B

AB

AB

Fig. 1.1. Reprezentarea unui segment orientat

CARACTERISTICILE UNUI SEGMENT ORIENTAT

Considerăm segmentul orientat AB , pentru oricare două puncte 3, BA .

Punctele A şi B se numesc originea şi respectiv extremitatea (vârful) segmentului

orientat. Dacă BA atunci AA este segmentul orientat nul.

Dacă BA atunci dreapta determinată de ele se numeşte dreapta suport a lui AB şi se

notează cu AB ;

Direcţia segmentului orientat AB BA este direcţia dreptei AB .

Sensul pe dreapta suport, de la A către B se numeşte sensul segmentului orientat AB .

Distanţa dintre punctele A şi B se numeşte lungimea (norma, modulul) segmentului

orientat AB şi se notează AB . Dacă originea unui segment orientat coincide cu

extremitatea (segment orientat nul) atunci lungimea acelui segment este egală cu 0 .

Definiţia 1.2. Două segmente orientate AB şi CD , BA , DC au aceeaşi direcţie

dacă dreptele lor suport AB şi CD sunt paralele sau coincid.

Page 16: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

Definiţia 1.3. Două segmente orientate AB şi CD , BA , DC care au aceeaşi direcţie

se spune că au acelaşi sens dacă B şi D se găsesc în acelaşi semiplan determinat de dreapta AC

(vezi Fig. 1.2).

A

C

D B

Fig. 1.2. Exemplu de două segmente orientate, ce au acelaşi sens

Definiţia 1.4. Două segmente orientate AB şi CD , BA , DC se numesc echipolente

dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime; dacă AB este echipolent cu CD vom

scrie CDAB ~ .

Teorema 1.1. Relaţia de echipolenţă definită pe mulţimea segmentelor orientate este o

relaţie de echivalenţă.

Observaţie

Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă pentru că este:

1. reflexivă: ABAB ~ ;

2. simetrică: CDAB ~ implică ABCD ~ ;

3. tranzitivă: CDAB ~ şi EFCD ~ implică EFAB ~ .

Vectorii pot fi clasificați astfel:

a) vectori liberi, ce au originea arbitrară în orice punct al spațiului, dar păstrează

modulul, direcția și sensul;

b) vectori legați, ce au originea într-un punct determinat;

c) vectori alunecători care se deplasează de-a lungul unei aceleiași drepte suport, iar

originea lor poate fi oriunde pe dreaptă.

Definiţia 1.5. Numim vector liber (geometric) caracterizat de un segment orientat AB ,

mulţimea segmentelor orientate echipolente cu AB :

ABCDCDAB ~| .

Orice segment orientat din această mulţime se numeşte reprezentant al vectorului liber

AB ; deci ABCD .

Un vector liber de lungime:

Page 17: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

1 se numeşte versor (vector unitate) ; se notează în general cu e ;

0 se numeşte vector nul ; se notează cu 0 .

Definiţia 1.6. Prin lungimea, direcţia şi sensul unui vector liber nenul se înţelege

lungimea, direcţia şi sensul segmentului orientat care îl reprezintă.

Mulţimea vectorilor geometrici din spaţiul 3 se va nota cu 3V :

33 ,|V BAAB ,

adică 3V reprezintă mulţimea claselor de echivalenţă ale segmentului orientat AB .

Pentru a desemna lungimea unui vector liber a sau AB se pot utiliza notaţiile: a , AB

sau BAd , .

Definiţia 1.7. Se spune că doi vectori liberi sunt egali şi se scrie ba dacă reprezentanţii

lor sunt echipolenţi.

Definiţia 1.8. Doi vectori liberi nenuli a şi b se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcție

(vezi Fig. 1.3).

a

b

Fig. 1.3. Exemplu de vectori coliniari

Definiţia 1.9. Doi vectori coliniari care au aceeaşi lungime însă au sensuri opuse se numesc

vectori opuşi. Opusul vectorului liber a este a (vezi Fig. 1.4).

a

a

Fig. 1.4. Exemplu de vectori opuşi

Definiţia 1.10. Trei vectori liberi a , b , c se numesc coplanari dacă dreptele lor suport

sunt în același plan. (vezi Fig. 1.5).

b

a

c

Fig. 1.5. Exemplu de vectori coplanari

Page 18: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

§1.1. Operaţii cu vectori liberi

În mulţimea 3V se definesc următoarele operaţii:

1. adunarea vectorilor liberi;

2. înmulţirea vectorilor liberi cu numere reale;

3. descompunerea unui vector liber.

1.1.1. Adunarea vectorilor liberi

Pe 3V se defineşte o operaţie internă (adunarea vectorilor liberi)

333 VVV: , definită astfel: baba , .

Deci, suma a doi sau mai mulți vectori este tot un vector, care se poate obține prin

următoarele metode:

A) dacă vectorii sun paraleli sau coliniari și

a) au același sens atunci vectorul sumă are direcția și sensul vectorilor

componenți, iar mărimea egală cu suma mărimilor vectorilor componenți;

b) de sens contrar atunci vectorul sumă are direcția comună, sensul vectorului mai

mare, iar mărimea dată de diferențele mărimilor celor doi vectori.

B) dacă vectorii au doar originea comună, suma lor se determină utilizând regula

paralelogramului.

Definiţia 1.111. (regula paralelogramului). Fie 3V, ba doi vectori liberi, ce au

originea comună şi 3A un punct arbitrar fixat. Dacă aOA (OA reprezentant al

vectorului liber a ) şi bOC atunci vectorul liber c reprezentat de segmentul orientat OB

se numeşte suma vectorilor liberi a şi b ; se scrie bac sau OCOAOB (Fig.

1.6).

b

a bac

O C

B A

a

b

Fig. 1.6. Ilustrarea regulii paralelogramului

C) dacă vectorii sunt dispuși astfel încât în extremitatea unuia să fie originea celuilalt,

pentru a realiza suma lor se aplică regula triunghiului.

Page 19: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

Definiţia 1.122. (regula triunghiului). Fie 3V, ba doi vectori liberi şi 3A un punct

arbitrar fixat. Dacă aAB ( AB reprezentant al vectorului liber a ) şi bBC atunci vectorul

liber c reprezentat de segmentul orientat AC se numeşte suma vectorilor liberi a şi b ; se scrie

bac sau BCABAC (Fig. 1.7).

a

b

bac

A B

C

Fig. 1.7. Ilustrarea regulii triunghiului

Observații. Pentru mai mulți vectori, așezați în același fel, se aplică regula poligonului,

care este o generalizare a regulii triunghiului; vectorul sumă este acela care închide poligonul și

unește originea primului vector component, cu extremitatea ultimului.

Adunarea vectorilor are la bază fapte experimentale (compunerea forțelor, a vitezelor)

Exemplul 1.1. Se consideră un segment AB şi punctele 1M şi 2M care împart segmentul

în trei părţi egale. Dacă M este un punct oarecare în afara segmentului, să se exprime vectorii

1MM şi 2MM în funcţie de vectorii aMA şi bMB .

M

A B

1M 2M

a b

Rezolvare

Folosind regula triunghiului avem:

11 AMMAMM .

Dar

baMBAMAB .

Deducem

33

11

abABAM

Page 20: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

şi

3

2

31

baabaMM

.

Similar,

3

2

32

3

222

baabaABMAAMMAMM

.

Teorema 1.2. Adunarea vectorilor liberi determină o structură de grup abelian ,V3 pe

mulţimea vectorilor liberi.

Observații. Observăm că adunarea vectorilor liberi este o operaţie algebrică internă bine

definită adică vectorul liber bac nu depinde de alegerea punctului A pentru că din

BAAB şi CBBC rezultă CAAC .

Se verifică proprietăţile de:

1. asociativitate:

3V,,, cbacbacba ;

2. 0 este element neutru:

3V0 astfel încât aaa 00 , 3V a ;

3. element simetrizabil:

3V a , 3V a astfel încât 0 aaaa ;

4. comutativitate:

abba , 3V, ba .

1.1.2. Înmulţirea unui vector liber cu un scalar

Vom defini acum o operaţie externă (înmulţirea unui vector liber cu un scalar )

33 VV: , definită astfel: atat , ,

0at dacă 0t sau 0a ;

vectorul liber at are:

a) aceeaşi direcţie cu a ,

b) acelaşi sens cu a dacă 0t şi sens opus lui a dacă 0t ;

c) lungimea atat .

Page 21: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

Teorema 1.3. Înmulţirea vectorilor liberi cu scalari are următoarele proprietăţi:

1. distributivitate faţă de adunarea vectorilor:

tbtatbat , şi 3V, ba ;

2. distributivitate faţă de adunarea scalarilor

tsatasats ,, şi 3V a ;

3. tsastats , şi 3V a ;

4. ,1 aa 3V a .

1.1.3. Descompunerea unui vector liber

Propoziţia 1.1. (descompunerea unui vector după o direcţie). Fie 0\V, 3ba .

Vectorii a şi b sunt coliniari dacă și numai dacă t unic astfel încât atb .

Teorema 1.4. Fie 0\V, 3ba . Vectorii a şi b sunt coliniari dacă şi numai dacă

, nesimultan egali cu 0 (adică 022 ) astfel încât 0 ba .

Descompunerea unui vector după două direcții este operația inversă adunării a doi vectori.

Propoziţia 1.2. (descompunerea unui vector după două direcţii necoliniare). Fie

0\V,, 3cba . Dacă cba ,, sunt coplanari atunci , unic determinaţi astfel încât

bac .

Teorema 1.5. Fie 0\V,, 3cba . Vectorii cba ,, sunt coplanari dacă şi numai dacă

,, nesimultan egali cu 0 (adică 0222 ) astfel încât 0 cba .

Propoziţia 1.3. (descompunerea unui vector după trei direcţii necoplanare). Fie

0\V,,, 3dcba . Dacă cba ,, sunt necoplanari atunci ,, unic determinaţi astfel

încât cbad .

Considerăm un punct în 3 numit origine şi trei versori necoplanari i , j , k cărora le

ataşăm axele de coordonate x , y , z , ce au acelaşi sens cu sensul acestor versori (vezi Fig.

1.9). Ansamblul kji ,,; se numeşte reper cartezian în 3 .

Page 22: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

O y

x

z

j

k

i

zyxM ,,

y

z

x

v

Fig. 1.7. Reprezentarea unui reper cartezian în 3

Întrucât versorii i , j , k sunt necoplanari, atunci conform propoziţiei 1.3, pentru orice

vector 3Vv , tsr ,, unic determinaţi astfel încât v se exprimă în forma

ktjsirv , numită expresia analitică a vectorului v . Numerele tsr ,, se numesc

coordonatele euclidiene (componente) ale lui v în raport cu reperul kji ,,; .

Definiţia 1.133. Fie 3M fixat. Vectorul OM se numeşte vector de poziţie al

punctului M . Coordonatele vectorului de poziţie OM în raport cu reperul kji ,,; se numesc

coordonatele punctului M . Dacă kzjyixOM atunci se scrie zyxM ,, .

Exemplul 1.2. Să se determine astfel încât vectorii

kjiv 3221 , kjiv 2 , kjv 243

să fie coplanari.

Cu astfel determinat să se descompună 1v după direcţiile vectorilor 2v şi 3v .

Rezolvare

Folosind teorema 1.5, 1v , 2v , 3v coplanari ,, , 0222 astfel

încât 0321 vvv .

Obţinem

023422 kji , adică

023

042

02

;

Page 23: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

sistemul omogen admite soluţia nebanală

0

213

42

012

8 .

Dacă 1v , 2v , 3v coplanari, din propoziţia 1.3 avem: , unic determinaţi astfel

încât

321 vvv kjikji 248362 ;

deci

2

532232

648

2

Obţinem

3212

52 vvv .

Definiţia 1.144. Dacă 3, BA şi 111 ,, zyxA , 222 ,, zyxB sunt două puncte date,

atunci avem (vezi fig. 1.8)

kzzjyyixxOAOBAB 121212 ,

iar distanţa dintre punctele A şi B notată BAd , se calculează conform formulei:

2122

122

12, zzyyxxABBAd .

O y

x

z

j

k

i

111 ,, zyxA

222 ,, zyxB

Fig. 1.8

Page 24: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

Definiţia 1.155. Fie 0\V, 3ba , 3 şi aA , bB . Unghiul ,0

determinat de segmentele orientate A şi B se numeşte unghiul dintre vectorii liberi a şi b

(vezi Fig. 1.9). Unghiul dintre cei doi vectori este unghiul semidreptelor suport considerate în

sensul vectorilor.

B

A

O a

b

Fig. 1.9. Reprezentarea unghiului dintre vectorii liberi a şi b

Vectorii a şi b se numesc ortogonali dacă unghiul dintre ei este 2

.

§1.2. Definirea produselor în mulţimea vectorilor liberi

1.2.1. Produs scalar în 3V

Fie 3V, ba . Pentru 0a , 0b se notează cu ,0 unghiul dintre a şi b .

Definiţia 1.166. Se numeşte produs scalar al vectorilor liberi a şi b scalarul ba dat de

00,0

0,0,cos

bsaua

bababa (1.1)

Produsul scalar reprezintă lucrul mecanic efectuat de forța F necesară pentru a deplasa un

mobil pe o dreaptă, de vector director d , care face cu direcția forței F unghiul .

Propoziţia 1.4. Produsul scalar al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:

1. comutativitatea: abba , 3V, ba ;

2. btabatbat , 3V, ba şi t ;

3. distributivitatea faţă de adunarea vectorilor liberi:

cabacba , 3V,, cba ;

cbcacba , 3V,, cba ;

4. 0 aa , 3V a , 0a şi 0 aa 0a ;

5. 0 ba a şi b sunt ortogonali, 0a , 0b ;

Page 25: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

6. dacă

kajaiaa 321 , kbjbibb 321 3V

atunci se obţine expresia analitică a produsului scalar:

332211 babababa (1.2)

În particular,

223

22

21

aaaaaa (1.3)

7. unghiul dintre vectorii nenuli 0\V, 3ba este dat de formula

23

22

21

23

22

21

332211cosbbbaaa

bababa

ba

ba

, ,0 (1.4)

se observă că vectorii a şi b sunt ortogonali dacă şi numai dacă

0332211 bababa .

Exemplul 1.3. Să se calculeze 133221 32 vvvvvv ştiind că

bav 31 , bav 32 şi bav 3 , iar 92a , 3

2b şi

3,

ba .

Rezolvare

Folosind formula (1.4) avem:

2

33

2

133,cos bababa .

Calculăm

312183833333

33333

22

21

bbaabbbaabaa

bbaabababavv.

Similar 3332 vv şi 363013 vv .

Exemplul 1.4. Să se găsească un vector x coliniar cu kjia 2 şi care satisface

condiţia 3ax .

Rezolvare

Deoarece x este coliniar cu a rezultă unic astfel încât ax . Vom obţine

2

136333

2 aaaax .

Rezultă kjiax2

1

2

1

2

1 .

Page 26: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

1.2.2. Produs vectorial în 3V

Fie 3V, ba . Pentru 0a , 0b se notează cu ,0 unghiul dintre a şi b .

Definiţia 1.17. Produsul vectorial dintre vectorii liberi a şi b este vectorul liber ba

construit în felul următor:

direcţia lui ba este ortogonală planului determinat de vectorii a şi b ;

mărimea lui ba este dată de formula

coliniariba

inecoliniarbababa

,,0

,,sin (1.5)

sensul dat de regula mâinii drepte, adică sensul indicat de degetul mare al

mâinii drepte, când a se roteşte către b cu unghiul .

b

a

ba

O y

x

z

Fig. 1.8. Reprezentarea grafică a produsului vectorial

Propoziţia 1.5. Proprietăţile algebrice ale produsului vectorial al vectorilor liberi sunt:

1. anticomutativitatea: abba , 3V, ba ;

2. btabatbat , 3V, ba şi t ;

3. distributivitatea faţă de adunarea vectorilor

cabacba , 3V,, cba ;

cbcacba , 3V,, cba ;

4. 0 aa , 3V a ;

5. 000 aa , 3V a ;

6. dacă kajaiaa 321 , kbjbibb 321 atunci se obţine expresia

analitică a produsului vectorial

Page 27: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

14

321

321122131132332

bbb

aaa

kji

kbabajbabaibababa . (1.6)

Propoziţia 1.6. Proprietăţile geometrice ale produsului vectorial al vectorilor liberi sunt:

1. 0 baa

2. 0 bab

3. identitatea lui Lagrange:

2222bababa , 3V, ba

4. ba este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentanţilor lui a şi

b având aceeaşi origine.

a

b

O A

C B

Fig. 1.9. Interpretarea geometrică a produsului vectorial

OBOAOBOAOBOAOBCA ,sin

Dar

OABOBCA 2 .

Rezultă

2

OBOA

OAB

.

Exemplul 1.1. Cunoscând două laturi jiAB 43 , jiBC 5 ale unui triunghi să se

calculeze lungimea înălţimii sale CD .

Rezolvare

5169 AB

k

kji

BCAB 19

051

043

adică ba este ortogonal pe a şi b .

Page 28: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

15

22

CDABBCAB

ABC

5

19

AB

BCABCD

1.2.3.3. Produs mixt în 3V

Definiţia 1.18. Fie 3V,, cba trei vectori liberi. Produsul mixt al acestor vectori liberi

este numărul real cba .

Observaţie. Dacă vectorii liberi 0\V,, 3cba sunt necoplanari, atunci produsul mixt, în

valoare absolută a celor trei vectori reprezintă volumul paralelipipedului construit pe cei trei

vectori ca muchii (vezi Fig. 1.13).

Dacă notăm cu unghiul dintre vectorii b şi c şi cu unghiul dintre vectorii a şi

cbd , atunci

dparalelipe

h

hacbdadacba Vcoscos

,

adică

dparalelipecba V .

b

d

a

c

h

Fig. 1.10. Interpretarea geometrică a produsului mixt

Propoziţia 1.7. Produsul mixt al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:

1. acbbaccba

2. bcacba

3. ctbacbtacbat , t

4. dcbdcadcba

Page 29: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

16

5. identitatea lui Lagrange:

dbcb

dacadcba

6. 0 cba dacă şi numai dacă:

a) cel puţin unul dintre vectorii a , b , c este nul;

b) doi dintre vectori sunt coliniari;

c) vectorii a , b , c sunt coplanari.

7. dacă kajaiaa 321 , kbjbibb 321 , kcjcicc 321 atunci se

obţine expresia analitică a produsului mixt

321

321

321

ccc

bbb

aaa

cba . (1.7)

Exemplul 1.2. Să se determine astfel ca volumul paralelipipedului construit pe

vectorii kjia 32 , kjib 2 , jic 2 să fie egal cu 5 .

Rezolvare

Volumul construit pe cei trei vectori ca muchii este

510

02

211

132

V .

Din condiţia 5V deducem 5510 adică 11 , 32 .

Page 30: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 3. Planul şi dreapta în 3

Bibliografie:

1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi

diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.

2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.

3. S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1989.

4. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

5. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

6. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.

7. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi

Pedagogică R.A., Bucureşti, 1993.

8. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

Scopuri:

1) Tipuri de ecuaţii (ecuaţiile dreptei determinată de: un punct şi un vector liber nenul,

două puncte distincte, intersecţia a două plane; ecuaţiile planului determinat de: un

punct şi un vector nenul normal la plan, un punct şi doi vectori necoliniari, trei puncte

necoliniare, o dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă, două drepte concurente, două

drepte paralele),

2) Fascicule de plane

3) Distanţe în 3 (distanţa de la un punct la o dreaptă, distanţa de la un punct la un plan,

distanţa dintre două drepte),

4) Unghiuri în 3 (unghiul dintre două drepte, unghiul dintre două plane, unghiul dintre

o dreaptă şi un plan).

Un vector este o translaţie a spaţiului cu trei dimensiuni; din acest motiv trebuie studiate

elementele de bază ale geometriei euclidiene cu trei dimensiuni: punctele, dreptele şi planele.

Page 31: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

Fie kjiO ,; un reper cartezian. Pentru 3M , coordonatele punctului M sunt

coordonatele vectorului de poziţie OM . Dacă kzjyixOM atunci zyxM ,, .

1. Ecuaţiile dreptei în 3

O dreaptă în 3 poate fi determinată de:

1) un punct şi un vector liber nenul;

2) două puncte distincte

3) intersecţia a două plane.

1.1. Dreapta determinată de un punct şi un vector nenul

Fie 30 M , 0000 ,, zyxM şi 0\3Vv , kcjbiav . Ne propunem să

găsim ecuaţia dreptei determinată de punctul 0M şi de vectorul nenul v , notată vMd ,0

şi reprezentată în figura 1.

d r 0r

0M

M

v O

Fig 1. Dreapta determinată de un punct şi un vector nenul.

Notăm kzjyixOMr 00000 .

Fie 3M , zyxM ,, şi notăm kzjyixOMr .

Punctul dM MM0 şi v sunt coliniari

00 vMM (1)

Dar

00 rrMM (2)

Din (1) şi (2) rezultă ecuaţia vectorială a dreptei vMd ,0 :

00 vrr ;

v se numeşte vector director al dreptei.

Page 32: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

Dacă MM0 şi v sunt coliniari atunci ( conform propoziţiei 1 din cursul 2 t

unic, astfel încât

vtMM 0 .

Ţinând seama de relaţia (2) rezultă

vtrr 0 ;

obţinem ecuaţia parametrică vectorială a dreptei d :

tvtrr ,0 (3).

Ecuaţia (3) poate fi scrisă sub forma

ktcjtbitakzjyixkzjyix 000 ;

deducem ecuaţiile parametrice ale dreptei d :

tczz

tbyy

taxx

0

0

0

, t (4).

Dacă în relaţia (4) eliminăm parametrul t se obţin ecuaţiile carteziene ale dreptei d :

c

zz

b

yy

a

xx 000

(5).

În relaţia (5) se face următoarea convenţie: dacă unul dintre numitori este 0 , atunci se

anulează şi numărătorul respectiv.

1.2. Dreapta determinată de două puncte distincte

Fie

31 M , 1111 ,, zyxM , 11 OMr şi

32 M , 2222 ,, zyxM , 22 OMr .

Vrem să determinăm ecuaţia dreptei determinată de punctele 1M şi 2M , notată

21, MMd şi reprezentată în figura 2.

Page 33: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

d

r

1r

1M

M

v

2r

O

2M

Fig 2. Dreapta determinată de două puncte distincte.

Fie dM , zyxM ,, şi notăm OMr .

Considerăm dreapta ca fiind determinată de 1M şi 21MM .

Deoarece

0211 MMMM

rezultă că ecuaţia vectorială a dreptei d este:

0121 rrrr .

Deoarece conform propoziţiei 1 din cursul 2 t unic, astfel încât

211 MMtMM

rezultă că

trrtrr ,121 ,

adică ecuaţia parametrică vectorială este de forma:

trrtrr ,121 ;

ecuaţiile parametrice sunt:

121

121

121

zztzz

yytyy

xxtxx

, t ,

iar ecuaţiile carteziene vor fi:

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

.

2. Planul în 3

În 3 un plan poate fi determinat astfel:

Page 34: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

1) un punct şi un vector nenul normal la plan,

2) un punct şi doi vectori necoliniari,

3) trei puncte necoliniare,

4) o dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă,

5) două drepte concurente,

6) două drepte paralele.

2.1. Planul determinat de un punct şi un vector normal la plan

Fie 0M , 0000 ,, zyxM şi vectorul liber nenul kcjbian

normal la (vezi figura 3).

n

d

r

0r

0M

M

O

Fig 3. Planul determinat de un punct şi un vector normal la plan.

Dreapta d care trece prin 0M şi are direcţia vectorului n se numeşte normala la

plan prin 0M ; vectorul n este vector normal al planului.

Ne propunem să determinăm ecuaţia planului determinat de punctul 0M şi de vectorul

n , pe care îl notăm nM ,0 .

Un punct zyxM ,, MM0 şi n sunt ortogonali.

Notăm kzjyixOMr .

Deoarece n este perpendicular pe MM0 rezultă

00 nMM ,

adică

00 nrr ;

de aici deducem ecuaţia normală a planului :

00 nrnr (6).

Page 35: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

Scriind relaţia (6) sub forma

0000 czbyaxczbyax ,

obţinem ecuaţia carteziană a planului :

0000 zzcyybxxa (7).

Dacă notăm

dczbyax 000

atunci din ecuaţia (7) se deduce ecuaţia carteziană generală a planului :

0 dczbyax .

2.2. Planul determinat de un punct şi doi vectori necoliniari

Fie 3, Vvu necoliniari, adică 0 vu , de forma

knjmilu 111 şi knjmilv 222

şi fie 0M , 0000 ,, zyxM (vezi figura 4).

1M

M

2M

0M

u

v

Fig. 4. Planul determinat de un punct şi doi vectori necoliniari.

Vrem să determinăm ecuaţia planului determinat de punctul 0M şi de vectorii liberi

u şi v , notat vuM ,,0 .

Fie

10MM un reprezentant pentru vectorul liber u ,

20MM un reprezentant pentru vectorul liber v .

Un punct zyxM ,, MM0 , 10MM , 20MM sunt coplanari. Coplanaritatea

acestor vectori poate fi exprimată astfel:

a) folosind propoziţia 2 din cursul 2 21, tt unic determinaţi, astfel încât

2021010 MMtMMtMM (8).

b) folosind propoziţia 7, din cursul 2 MM0 este perpendicular pe vu , adică

Page 36: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

00 vuMM (9).

Scriind relaţia (8) sub forma

vtutrr 210

deducem ecuaţia parametrică vectorială a planului :

21210 ,, ttvtutrr

şi apoi ecuaţiile parametrice ale planului :

22110

22110

22110

ntntzz

mtmtyy

ltltxx

, 21, tt .

Din relaţia (9) obţinem ecuaţia vectorială a planului :

00 vurr .

Deoarece

kzzjyyixxMM 0000

avem

222

111

000

0

nml

nml

zzyyxx

vuMM

;

astfel din relaţia (9) deducem ecuaţia carteziană a planului :

0

222

111

000

nml

nml

zzyyxx

.

2.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare

Fie 3210 ,, MMM necoliniare, 0000 ,, zyxM , 1111 ,, zyxM ,

2222 ,, zyxM . Rezultă 10MM , 20MM necoliniari.

Ne propunem să obţinem ecuaţia planului determinat de aceste puncte, ce este

reprezentat în figura 5 şi pe care-l notăm 210 ,, MMM .

Page 37: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

1M

M

2M

0M

Fig. 5. Planul determinat de trei puncte necoliniare.

Observăm că 210 ,, MMM coincide cu 201001 ,, MMMMM , adică am

revenit în cazul prezentat în paragraful anterior.

Avem

kzzjyyixxMM 01010110 ,

kzzjyyixxMM 02020220 .

Un punct zyxM ,, MM0 , 10MM , 20MM sunt coplanari, adică

020100 MMMMMM .

Întrucât

kzzjyyixxMM 0000 ,

obţinem următoarea ecuaţie carteziană a planului :

0

020202

010101

000

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

.

2.4. Planul determinat de o dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă

Fie 3d şi un punct dM 0 (vezi fig. 6). Vrem să determinăm ecuaţia planului

determinat de dreapta d şi de punctul 0M , notat dM ,0 .

0M

a

A

d

Fig. 6. Planul determinat de o dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă.

Fie dA , deci avem aAd , .

Observăm că dM ,0 coincide cu AMaM 001 ,, .

Page 38: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

Dacă 0r este vectorul de poziţie al punctului 0M (se notează 00 rM ) şi ArA iar

zyxM ,, atunci ecuaţia vectorială a planului este:

000 rrarr A

iar ecuaţia carteziană a planului :

0

000

321

000

zzyyxx

aaa

zzyyxx

AAA

,

unde kajaiaa 321 , iar AAA zyxA ,, .

2.5. Planul determinat de două drepte concurente

Fie Pdd 21 , vezi ( figura 7); dreapta

1d este dreapta care trece prin P şi are vector director 1a , 11 , aPd

2d este dreapta care trece prin P şi are vector director 2a , 22 , aPd .

Dorim să determinăm ecuaţia planului determinat de dreptele 1d şi 2d .

1a

1d

2d

P

2a

Fig. 7. Planul determinat de două drepte concurente.

Observând că 21, dd coincide cu 211 ,, aaP , adică cu planul care trece

prin P şi conține vectorii necoliniari 1a şi 2a . Dacă zyxM ,, deducem că ecuaţia

vectorială a planului este:

021 aarr p ;

ecuaţia carteziană a planului va fi :

0

222

111

nml

nml

zzyyxx PPP

,

unde knjmila 1111 , knjmila 2222 şi PPP zyxP ,, .

Exemplul 1. Să se verifice că următoarele drepte sunt concurente

Page 39: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

4

5

1

7

2

1:1

zyxd şi

12

1

3

6:2

zyxd

şi apoi să se scrie ecuaţia planului determinat de acestea.

Rezolvare

Observăm că vectorii directori ai celor două drepte sunt

kjia 421 ,

şi respectiv

kjia 232 .

Deoarece

07109

123

41221

kji

kji

aa

rezultă că vectorii 1a şi 2a nu sunt coliniari, adică 21 dd .

Fie

21 ddP .

Deoarece

1dP obţinem 1421 pp yx şi

2dP obţinem .33122 pp yx

Rezolvând sistemul

33122

1421

pp

pp

yx

yx

obţinem: 3px , 5py , 3pz .

Planul determinat de dreptele 1d şi 2d va avea ecuaţia

03751039: zyx ,

adică

0447109: zyx .

2.6. Planul determinat de două drepte paralele

Fie 321, dd , 21 || dd vezi ( figura 8 ); dreapta

1d este dreapta care trece prin 1A şi are vector director a , aAd ,11

Page 40: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

2d este dreapta care trece prin 2A şi are vector director a , aAd ,22 .

a

1d

2d

1A

2A

Fig. 8. Planul determinat de două drepte paralele.

Planul determinat de 1d şi 2d este planul care trece prin 1A şi are vectori directori a

şi 21AA .

Dacă zyxM ,, atunci ecuaţia vectorială a planului este:

0211 AAarr A .

Ecuaţia carteziană a planului :

0

121212

321

111

AAAAAA

AAA

zzyyxx

aaa

zzyyxx

,

unde kajaiaa 321 , iar 1111 ,, AAA zyxA ,

2222 ,, AAA zyxA .

1.3. Dreapta determinată de intersecţia a două plane

Considerăm 321, (vezi figura 9) de ecuaţii

.0:

0:

22222

11111

dzcybxa

dzcybxa

1

2

2n 1n

d

21 nn

Fig. 9. Dreapta determinată de intersecţia a două plane.

Intersecţia dintre planele 1 şi 2 este mulţimea soluţiilor sistemului de ecuaţii

determinat de ecuaţiile lui 1 şi 2 .

Page 41: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

Notăm

222

111

cba

cbaA .

Dacă 2rang A rezultă sistemul este compatibil simplu nedeterminat iar intersecţia

celor două plane este o dreaptă.

Dacă AA rangrang rezultă sistemul este incompatibil, deci 21 , adică

21 || .

Fie

1n vectorul normal la 1 , kcjbian 1111 şi

2n vectorul normal la 2 , kcjbian 2222 .

Avem

11 nd d

22 nd d

Notăm

21 nnu , knjmilu .

Avem

kbabajcacaicbcb

cba

cba

kji

nn 122121121221

222

11121 .

Deducem

22

11

cb

cbl ,

21

21

aa

ccm ,

21

21

bb

aan .

Ecuaţia dreptei d este:

n

zz

m

yy

l

xx 000

, 000 ,, zyx fiind soluţie a sistemului.

3. Fascicul de plane

Fie 21 d ,

.0:

0:

22222

11111

dzcybxa

dzcybxa

dreapta d are vector

director 21 nn .

Page 42: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

Definiţia 1. Mulţimea planelor care conţin dreapta d se numeşte fascicul de plane de

axă d . Dreapta d se numeşte axa fasciculului iar 21, se numesc plane de bază ale

fasciculului.

Fig.10 Fascicul de plane

4. Distanţe în 3

4.1. Distanţa de la un punct la o dreaptă

Fie aAd , cu AAA zyxA ,, , kajaiaa 321 şi fie 3M . Considerăm

AA reprezentant pentru a .

Ecuaţia dreptei d este

321 a

zz

a

yy

a

xx AAA

.

Construim paralelogramul PMAA (vezi figura 11).

a

d

A A

P M

Fig. 11. Distanţa de la un punct la o dreaptă

Ştim că

MAAAPMAA . (10)

Dar

dMAAPMAA , . (11)

d

Un plan arbitrar din fascicul are ecuaţia de forma:

0: 22221111 dzcybxadzcybxa , .

Page 43: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

14

Din (10) şi (11) rezultă că formula distanţei de la un punct la o dreaptă este

a

MAa

AA

MAAAdM

, .

4.2. Distanţa de la un punct la un plan

Considerăm planul

0: dczbyax

şi punctul 0000 ,, zyxM , 0M . Fie 1M proiecţia lui 0M pe planul , 1111 ,, zyxM

(vezi figura 12).

0M

1M

n

Fig. 12. Distanţa de la un punct un plan

Distanţa de la punctul 0M la planul este

100 , MMM .

Fie nMd ,0 dreapta normală la plan care trece prin 0M , kcjbian .

Ecuaţia acestei drepte este

tc

zz

b

yy

a

xx

000

sau

tczz

tbyy

taxx

0

0

0

, t .

Deoarece dM 1 tc

zz

b

yy

a

xx

010101

tczz

tbyy

taxx

01

01

01

. (12)

Deoarece

Page 44: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

15

1M 0111 dczbyax

dczbyax 111 (14).

Înmulţind prima ecuaţie din (12) cu a , a doua cu b şi a treia cu c vom avea:

201

201

201

tcczcz

tbbyby

taaxax

. (13)

Adunând cele trei ecuaţii din (13) rezultă

222000111 cbatczbyaxczbyax . (15)

Înlocuind (14) în (15) deducem

222000 cbatdczbyax ,

adică

222

000

cba

dczbyaxt

. (16)

Avem

kzzjyyixxMM 01010110 ;

deci

222222)12(

201

201

20110 ctbtatzzyyxxMM .

22210 cbatMM . (17)

Înlocuind (16) în (17) vom deduce formula distanţei de la un punct la un plan:

222

0000 ,

cba

dczbyaxM

.

Exemplul 2. Se dau

planul 02: zyx

dreapta

042

01:

zyx

yxd şi

2,1,1A .

a) Să se calculeze distanţa de la punctul A la planul .

b) Să se calculeze distanţa de la punctul A la dreapta d .

Rezolvare

Page 45: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

16

a) Avem

3

2

111

2211111,

222222

000

cba

dczbyaxA .

b) Distanţa de la punctul punctul A la dreapta d (Fig. 13) se calculează cu formula

a

AMa

AM

AMAMdA

, .

a

d

M A

P A

Fig 13. Distanţa de la un punct la o dreaptă

Vectorul director al dreptei d este

kji

kji

a 3

121

011 .

Obţinem

11a .

Din faptul că dM avem

.42

1

042

01

MMM

MM

MMM

MM

zyx

yx

zyx

yx

Notând

uzM

deducem

uyuy MM3

1133

şi

uyx MM3

121 .

Putem considera 0u ; obţinem

Page 46: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

17

0

1

2

M

M

M

z

y

x

0,1,2M .

Ecuaţia dreptei d este

311

MMM zzyyxx

.

Avem

kiAM 2

şi

kji

kji

AMa

2

201

311 ;

deci

6 AMa .

Vom obţine

11

6, dA .

4.3. Distanţa dintre două drepte

Fie 21, dd două drepte necoplanare (vezi figura 14).

1d

2d 2d

b

a 1A

2A

Fig. 14. Distanţa dintre două drepte

Distanţa dintre dreptele 1d şi 2d este

,,, 22121 AAAdd ,

Page 47: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

18

unde:

este planul care trece prin 1d şi este paralel cu 2d ,

,2A este înălţimea corespunzătoare vârfului 2A al paralelipipedului

oblic construit pe vectorii a , b , 21AA .

Deci formula distanţei dintre două drepte este:

ba

AAbadd

bazei

pedparalelipi

2121

A

V, .

5. Unghiuri în 3

5.1. Unghiul dintre două drepte

Fie 1d , 2d două drepte ce au vectorii directori kajaiaa 321 şi respectiv

kbjbibb 321 . Unghiul dintre dreptele 1d şi 2d este unghiul dintre vectorii a şi

b (vezi fig. 15).

a 1d

2d

P

b

Fig. 15. Unghiul dintre două drepte

Deci

23

22

21

23

22

21

332211cosbbbaaa

bababa

ba

ba

, ,0 .

Observaţii.

1) 2

dreptele sunt perpendiculare

0 ba 0332211 bababa .

2) 0 dreptele sunt paralele 0 ba

0

321

321

bbb

aaa

kji

0122131132332 kbabajbabaibaba

Page 48: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

19

0

0

0

1221

3113

2332

baba

baba

baba

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a (18).

Deci 21 || dd are loc (18).

5.2. Unghiul dintre două plane

Fie

0: 11111 dzcybxa şi vectorul normal kcjbian 1111 ,

0: 22222 dzcybxa şi vectorul normal kcjbian 2222 .

1

2

2n 1n

d

Fig. 16. Unghiul dintre două plane

Unghiul dintre planele 1 şi 2 este unghiul dintre vectorii 1n şi 2n (vezi fig.

16). Deci

22

22

22

21

21

21

212121

21

21cos

cbacba

ccbbaa

nn

nn

, ,0 .

Observaţii.

1) 21 || 1n şi 2n coliniari 21 ntn , t ; deci 21 || 21 ata ,

21 btb , 21 ctc .

2) 1 2 021 nn 0212121 ccbbaa .

5.3. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan

Considerăm dreapta d de vector director kajaiaa 321 şi planul de vector

normal knjninn 321 .

Unghiul dintre dreapta d şi planul este unghiul dintre dreapta d şi proiecţia

acestei drepte pe planul (vezi fig. 17).

Page 49: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

20

a

d

1d

n

2

Fig. 17. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan

Unghiul dintre dreapta d şi planul este legat de unghiul , unghiul vectorilor a şi n

prin relaţiile

2

după cum vectorii sunt de aceeași parte a planului sau în părți diferite.

Deci:

sin2

coscos

, ,0

2,0

.

Deoarece

an

an cos , ,0

rezultă

23

22

21

23

22

21

332211sin

aaannn

nanana

,

2,0

.

Observaţii.

1) ||d 0 an 0332211 nanana .

2) d 2

0 an ||

)18(

3

3

2

2

1

1

a

n

a

n

a

n .

Page 50: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 4. Spaţii vectoriale

Bibliografie:

1. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

2. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

3. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

4. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie n- dimensională, ed. Radical,

Craiova, 1996.

Scopuri:

1) Introducerea noţiunii de spaţiu vectorial; exemple de spaţii vectoriale

2) Definirea bazei unui spaţiu vectorial şi a dimensiunii sale

3) Prezentarea matricei de trecere de la o bază la alta şi a formulelor de schimbare a

coordonatelor unui vector când se schimbă baza spaţiului

4) Aplicatii

Algebra liniară poate fi privită ca teoria spaţiilor vectoriale, deoarece un spaţiu vectorial

este o mulţime de obiecte sau de elemente, ce pot fi adunate între ele şi înmulţite cu numere

(rezultatul rămânând un element al mulţimii), în aşa fel încât regulile obişnuite de calcul să

rămână valabile.

Un exemplu de spaţiu vectorial îl constituie spaţiul vectorilor geometrici (liberi), care

joacă un rol central în fizică şi tehnologie şi ilustrează importanţa spaţiilor vectoriale şi a întregii

algebre liniare pentru aplicaţiile practice.

Fie K un corp comutativ şi V o mulţime nevidă. Elementele lui K se numesc scalari şi le

vom nota cu litere greceşti, iar elementele lui V se numesc vectori şi le vom nota cu litere latine,

cu bară deasupra.

Definiţia 1. Mulţimea V se numeşte spaţiu vectorial peste corpul K dacă sunt definite:

1. o operaţie algebrică internă, notată aditiv “+”, VVV : , numită adunare, faţă

de care V este grup comutativ;

Page 51: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

2. o operaţie algebrică externă, notată multiplicativ “ ”, VVK : , numită

înmulţirea cu scalari, care satisface axiomele:

a) Kaaa ,, şi Va

b) Kbaba , şi Vba ,

c) Kaa ,, şi Va

d) ,1 aa Va .

Dacă K este corpul numerelor reale, atunci V se numeşte spaţiu vectorial real.

Dacă K este corpul numerelor complexe, atunci V se numeşte spaţiu vectorial complex.

Exemple de spaţii vectoriale

1) Spaţiul vectorial aritmetic real cu n - dimensiuni ,,n .

orinde

n este mulţimea sistemelor ordonate formate cu câte n numere

reale, adică

nixxxxx inn ,1,|,,, 21 .

Fie , nyx , , nxxxx ,,, 21 , nyyyy ,,, 21 ; atunci

nnn : , nndef

yxyxyxyx ,,, 2211

nn : , ndef

xxxx ,,, 21 .

2) Spaţiul vectorial al polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienţi reali, de

grad n ,,R Xn

XnR semnifică mulţimea polinoamelor în nedeterminata X , cu coeficienţi reali, de

grad n .

Fie , XQP nR, ,

nn XaXaaXP 10 , n

n XbXbbXQ 10 ;

atunci

nnn RRR: , nnn

def

XbaXbabaXQXP 1100

nn RR: , nn

def

XaXaaXP 10 .

3) Spaţiul vectorial ,,,nm al matricelor de tipul nm , cu coeficienţi reali

Page 52: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

Vom arăta că mulţimea matricelor de numere reale cu m linii şi n coloane formează, faţă

de adunarea matricelor şi înmulţirea acestora cu scalari din un spaţiu vectorial pe .

Etapa I. Se demonstrează că ,,nm grup comutativ (abelian).

Dacă nmBA ,, atunci nmBA , , adică nm, este parte stabilă în

raport cu adunarea matricelor (adunarea este bine definită). Întrucât sunt uşor de verificat

axiomele privind

asociativitatea: nmCBACBACBA ,,,,

existenţa elementului neutru: nmAAOOA ,, ,

00

00

O

faptul că orice element este simetrizabil

XAOAAAA nR,

rezultă că ,,nm grup.

Deoarece adunarea matricelor este comutativă ( nmBAABBA ,,, )

rezultă că ,,nm grup abelian.

Etapa II. Verificăm axiomele a), b), c), d) pe care trebuie să le satisfacă înmulţirea cu

scalari.

a) AAA , , , nmA ,

b) BABA , , nmBA ,,

c) AA , , , nmA ,

d) AA 1 , nmA ,

4) Spaţiul vectorial ,, al funcţiilor definite pe mulţimea numerelor reale cu

valori reale

Dacă :| ffnot

, gf , , atunci

: , xgxfxgfdef

: , xfxfdef

5) Spaţiul vectorilor geometrici (liberi), notat cu 3V .

Teorema 1. Dacă V este un spaţiu vectorial real atunci au loc următoarele afirmaţii:

Page 53: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

i) Vaa ,00 ,

ii) ,00 ,

iii) Vaaa ,1 ,

iv) dacă K , Va astfel încât 0 a atunci 0 sau 0a .

Definiţia 2. Un sistem de vectori mxx ,,1 din spaţiul vectorial V peste K este liniar

dependent dacă există scalarii miKi ,1, , 0i astfel încât

011 m

m xx (1).

Dacă relaţia (1) are loc numai dacă 01 m , sistemul este liniar

independent.

Definiţia 3. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi mxxS ,,1 un sistem finit

de vectori din V . Spunem că vectorul Vv este o combinaţie liniară finită de elemente din S

dacă

m

ii

i xv1

, unde Sxi , Ki , mi ,1 .

Definiţia 4. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K . Sistemul S de vectori din V se

numeşte sistem de generatori pentru V dacă orice vector din V este o combinaţie liniară de

vectori din S .

Definiţia 5. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K . Sistemul B de vectori din V se

numeşte bază a lui V dacă:

b1) B este liniar independent;

b2) B este sistem de generatori pentru V .

Exemplul 1. njmiEij ,1,,1, este o bază în nm,

Fie nmA , ,

mnm

n

aa

aa

A

1

111

. Putem scrie

Page 54: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

mn

n

a

aaa

A

000

0000

0000

0000

0000

000

0000

0000

000

0000

0000

0000 11211

1000

0000

0000

0000

0000

0010

0000

0000

0001

1211

mnaaa

Notăm

j

ij iE

00

1

00

.

Folosind această notaţie, avem

mnmnEaEaEaA 12121111 ,

adică

njmiEij ,1,,1, este sistem de generatori.

Considerăm combinaţia liniară nulă a matricelor din

njmiE ij

mnm

nm

i

n

jijij ,1,,1,0OO

1

111

1 1

;

deci

njmiEij ,1,,1, este liniar independent.

Rezultă că

njmiEij ,1,,1, este o bază în nm, .

Definiţia 6. Numărul vectorilor dintr-o bază a spaţiului vectorial V se numeşte

dimensiunea lui V (peste K ) şi se notează Vdim sau VKdim .

Exemplul 2. nmnm ,dim .

Observaţie. Două baze oarecare în V au acelaşi număr de vectori.

Page 55: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

Propoziţia 1. Fie V este un spaţiu vectorial de dimensiune n şi

VaaaB n ,,, 21 . Atunci:

a) dacă B liniar independent rezultă B este bază,

b) dacă B este sistem de generatori rezultă B este bază.

Teorema 2. Fie V un spaţiu vectorial peste K şi VaaB m ,,1 . Atunci B este

o bază a lui V dacă şi numai dacă orice vector al lui V se poate scrie în mod unic ca o

combinaţie liniară a vectorilor din B .

Deci, dacă V un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită n iar maaB ,,1

este o bază a lui V , atunci Vx , miKx i ,1, unici, astfel încât

m

m axaxx 11 .

Definiţia 7. Scalarii unici miKx i ,1, care apar în calitate de coeficienţi în scrierea

vectorului Vx ca o combinaţie liniară de vectorii bazei B se numesc coordonatele vectorului

x în baza B .

Vom nota prin Bx matricea coloană formată cu coordonatele lui x în baza B ; deci

m

B

x

x

x

x

2

1

.

Observaţie. Scrierea unui vector într-o bază este unică.

Fie neeB ,,11 , nffB ,,12 două baze ale lui V , Vx şi

n

n exexx 11 , (5)

n

n fyfyx 11 . (6)

Considerăm că vectorii din 2B se scriu ca o combinaţie liniară a vectorilor din 1B :

n

nnnn

nn

eef

eef

11

111

11

(7)

Scriind pe coloane coeficienţii acestor combinaţii liniare obţinem matricea

Page 56: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

nn

n

n

n

BB

1

221

111

, 21 (*),

care reprezintă matricea de trecere de la baza 1B la baza 2B .

Observaţie. Matricea 21,BB este întotdeauna nesingulară datorită liniar independenţei

vectorilor dintr-o bază.

Înlocuind (7) în (6) obţinem

n

nn

nnn

n

nn

nnn

nn

eyyeyy

eeyeeyx

11

111

11

11

111

11

(8)

Datorită unicităţii scrierii unui vector într-o bază, din (5) şi (8) rezultă

nn

nnn

nn

yyx

yyx

11

111

11

(9)

Formulele (9) constituie formulele de schimbare a coordonatelor unui vector când se

schimbă baza spaţiului.

Relaţiile (9) pot fi scrise sub formă matriceală astfel:

2211 , BBBB xx (**) sau

121

2

1, BBBB xx .

Exemplul 2. În spaţiu vectorial aritmetic 3 se consideră vectorii:

2,1,21 a , 2,1,12 a , 2,3,03 a ,

1,1,01 b , 1,1,22 b , 1,2,13 b , 3,2,1x .

Se cere:

a) Să se arate că 3211 ,, aaa este o bază a lui 3 .

b) Să se determine coordonatele lui x în raport cu baza 1 .

c) Să se arate că 3212 ,, bbb este o nouă bază a lui 3 şi să se scrie matricea de

trecere de la baza 1 la baza 2 .

d) Să se scrie formulele de schimbare a coordonatelor unui vector când se trece la baza 1

la baza 2 .

Page 57: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

Rezolvare

a) 3dim 3 este suficient să arătăm că vectorii sunt liniar independenţi.

Fie o combinaţie liniară nulă

033

22

11 aaa .

Rezultă

0,0,02,3,02,,2,,2 33222111 .

Se obţine sistemul:

.0222

03

02

321

321

21

Deoarece

08

222

311

012

d

rezultă sistemul sistemul are soluţia unică

0321 .

Rezultă că vectorii sunt liniar independenţi.

b) Fie

3

32

21

1 aaax .

Avem

33222111 2,3,02,,2,,23,2,1 .

Se obţine sistemul:

3222

23

12

321

321

21

a cărui soluţie este

8

7,

4

9,

8

13 321 .

Deci

Page 58: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

8

74

98

13

Bx .

c) Similar se demonstrează şi că 2 este bază.

Ştim că

33

32

31

23

22

21

13

12

11

, 21 BB .

Putem scrie

3

312

211

111 aaab (10)

3

322

221

122 aaab (11)

3

332

231

133 aaab (12)

Din (10) deducem

2,3,02,1,12,1,21,1,03

12

11

1 (13)

Din (13) rezultă sistemul

1222

13

02

31

21

11

31

21

11

21

11

ce are soluţia

625.0

11

,

25.12

1 ,

125.0

31

.

Din (11) deducem

2,3,02,1,12,1,21,1,23

22

212

(14)

Din (14) rezultă sistemul

1222

13

22

32

22

12

32

22

12

22

12

ce are soluţia

Page 59: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

875.1

12

,

75.12

2 ,

375.0

32

.

Din (12) deducem

2,3,02,1,12,1,21,2,13

32

313

. (15)

Din (15) rezultă sistemul

1222

23

12

33

23

13

33

23

13

23

13

ce are soluţia

875.0

13

,

75.02

3 ,

625.0

33

.

Se obţine

625.0375.0125.0

75.075.125.1

875.0875.1625.0

21 ,BB .

d) Fie

3

32

21

11

axaxaxv

3

32

21

12 bybybyv

Vom avea

3

2

1

,3

2

1

21

y

y

y

x

x

x

3213

3212

3211

625.0375.0125.0

75.075.125.1

875.0875.1625.0

yyyx

yyyx

yyyx

Exemplul 3. În spaţiu vectorial 2,2 se consideră matricele:

00

011C ,

00

112C ,

01

113C ,

11

114C ,

10

001A ,

11

002A ,

11

103A ,

11

114A .

Se cere:

a) Să se arate că 43211 C,C,C,C si 43211 ,,, AAAA sunt baze pentru

2,2 .

b) Să se determine matricea de trecere de la baza 1 la baza 2 .

Page 60: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

c) Să se scrie formulele de schimbare a coordonatelor unui vector când se trece la

baza 1 la baza 2 .

Rezolvare.

a) Fie 24

43

32

21

1 O AAAA . Avem

00

00

11

11

11

10

11

00

10

004321

00

00000

0

00

44

44

33

3

221.

Rezultă 04 ; deci 04 .

Se obţine sistemul

00

00

0

14321

2432

4343

Deci 04321 2 liniar independent.

bază

a

propozitia

2

1

2

2,2

elemente4re

4dim

Similar se demonstrează şi că 1 este bază.

b) Folosind (*) avem

44

43

42

41

34

33

32

31

24

23

22

21

14

13

12

11

, 21 BB .

Pe baza formulelor din (7) obţinem

4

413

312

211

111 CCCCA . (16)

4

423

322

221

122 CCCCA . (17)

4

433

332

231

133 CCCCA . (18)

4

443

342

241

144 CCCCA . (19)

Din (16) deducem

Page 61: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

11

11

01

11

00

11

00

01

10

00 41

31

21

11

. (20)

Din (20) rezultă sistemul

11

10

00

00

41

41

31

41

31

21

41

31

21

11

41

31

21

11

În final se obţine

1111

0001

2010

2100

21 , .

c) Fie

4

43

32

21

11

CxCxCxCxx

4

43

32

21

12

AyAyAyAyx

Înlocuind aceste relaţii în (**) vom avea

4

3

2

1

,

4

3

2

1

21

y

y

y

y

x

x

x

x

43214

13

422

431

2

2

yyyyx

yx

yyx

yyx

Page 62: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 5. Aplicaţii liniare şi matrice- partea I

Bibliografie:

1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi

diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.

2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.

3. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

4. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

5. P. Matei, Algebră liniară. Gometrie analitică şi diferenţială, ed. Agir, Bucureşti, 2002.

6. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.

7. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi

Pedagogică R.A., Bucureşti, 1993.

8. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

Scopuri:

1) Aplicaţii liniare: exemple, operaţii, nucleu, imagine

2) Matricea asociată unei aplicaţii liniare

3) Matricea ca aplicaţie liniară

4) Schimbarea matricei asociate la schimbarea bazei

Aplicaţiile liniare trebuie să fie studiate datorită faptului că sunt compatibile cu

operaţiile definite într-un spaţiu vectorial şi fac posibil transferul unor situaţii algebrice sau al

unor probleme dintr-un spaţiu în altul.

Operaţiile cu matrice reflectă evident asemănarea acestora cu operaţiile cu aplicaţii

liniare; deci matricele pot fi folosite pentru descrierea numerică a aplicaţiilor liniare.

Reprezentarea aplicaţiilor liniare prin matrice este analoagă reprezentării vectorilor prin

n-upluri în raport cu o bază.

Există legătură între ecuaţiile date prin aplicaţii liniare şi sisteme de ecuaţii liniare.

Page 63: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

Definiţia 1. Fie U şi V două spaţii vectoriale peste corpul K . Aplicaţia VUT : se

numeşte aplicaţie liniară dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:

1. UyxyTxTyxT ,, , adică T este aditivă;

2. KUxxTxT ,, adică T este omogenă.

Cele două proprietăţi ale aplicaţiei liniare pot fi formulate într-una singură.

Propoziţia 1. Aplicaţia VUT : este liniară dacă şi numai dacă

UyxKyTxTyxT ,,,, .

Exemple de aplicaţii liniare

1) :T , ,xxT ;

2) VV : , Vxxx , aplicaţia identică;

3) VU : , VUx 0 aplicaţia nulă;

4) mnT : , ntnxxxxAxT ,,, 1 , nmA , dată

5) KKT n : ,

n

iiiaAtrAT

1

6) KKT mnnm ,,: , tAAT

7) 33: VT , 321 ,, vvvvT , kvjvivv 321 .

Vom nota cu VU ,L mulţimea tuturor aplicaţiilor liniare definite pe U cu valori V .

Definiţia 2. Se numeşte endomorfism al spaţiului vectorial V , orice aplicaţie

VVT : .

Notăm cu VEnd mulţimea endomorfismelor spaţiului vectorial V .

Definiţia 3. Fie VUT ,L .

a) Mulţimea

VxTUxT 0|Ker

se numeşte nucleul aplicaţiei liniare T .

b) Mulţimea

vuTUuVvUTT ,|Im

se numeşte imaginea aplicaţiei liniare T .

Definiţia 5. O aplicaţie liniară VUT : este:

1) injectivă dacă şi numai dacă VT 0Ker ;

Page 64: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

2) surjectivă dacă şi numai dacă VT Im .

Propoziţia 2. Fie VUT : o aplicaţie liniară bijectivă. Dacă neeB ,,11 este

o bază în U , atunci neTeTB ,,12 este o bază în V .

Teorema 1. Fie aplicaţia liniară nn VUT : între spaţii vectoriale de aceeaşi

dimensiune. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

i) T este injectivă; ii) T este surjectivă; iii) T este bijectivă.

Definiţia 6. Fie VUTS ,L, . Suma celor două aplicaţii liniare este aplicaţia liniară

VUR ,L , UxxTxSxTSxR , .

Definiţia 7. Fie VUT ,L . Înmulţirea cu scalari a aplicaţiei liniare T se defineşte

astfel:

VUT ,L , UxKxTxT ,, .

Definiţia 8. Compunerea a două aplicaţii se numeşte produs (înmulţire) şi se

defineşte precum în cazul funcţiilor.

Observaţie. Compunerea nu este comutativă dar este asociativă.

Propoziţia 3. Dacă WVU ,, sunt spaţii vectoriale peste K iar VUT : şi

WVS : sunt aplicaţii liniare, atunci aplicaţia

WUTS : , UxxTSxTS ,

este liniară.

Definiţia 9. Puterile naturale ale unui endomorfism VVT : se definesc inductiv

astfel:

,2,1,1

0

nTTT

T

nn

Definiţia 10. Fie VUT ,L o aplicaţie liniară bijectivă (deci inversabilă). Inversa

sa, UVT ,L1 este tot o aplicaţie liniară.

Teorema 3. Mulţimea VU ,L este un spaţiu vectorial peste corpul K în raport cu

adunarea aplicaţiilor liniare şi cu produsul dintre un scalar şi o aplicaţie liniară.

Definiţia 11. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune n .

Submulţimea nevidă W a lui V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă sunt

îndeplinite următoarele condiţii:

1) WyxWyx ,,

Page 65: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

2) WxKWx , .

Propoziţia 4. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune n .

Submulţimea nevidă W a lui V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă şi numai dacă

WyxKWyx ,,, .

Propoziţia 5. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune finită n . Dacă

W este un subspaţiu vectorial al lui V , atunci dimensiunea lui W este finită şi

VW dimdim .

Propoziţia 6. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune finită n . Dacă

W este un subspaţiu vectorial al lui V , atunci VW dimdim dacă şi numai dacă VW .

Propoziţia 7. Mulţimea soluţiilor unui sistem liniar şi omogen cu m ecuaţii şi n

necunoscute este un subspaţiu vectorial al lui n , de dimensiune rn , r fiind rangul

matricei asociată sistemului A .

Teorema 4. Fie VUT ,L . Avem următoarele proprietăţi:

i) TKer este un subspaţiu vectorial al lui U ;

ii) TIm este un subspaţiu vectorial al lui V .

Propoziţia 8. Dacă VUT ,L atunci:

1) VUT 00 , adică o aplicaţie liniară duce vectorul nul, în vectorul nul;

2) UxxTxT , ;

3) Dacă W este un subspaţiu vectorial al lui U , atunci WT este un subspaţiu

vectorial al lui V ;

4) Dacă vectorii Uxx n ,,1 sunt liniar dependenţi atunci şi vectorii

VxTxT n ,,1 sunt de asemenea liniar dependenţi;

5) Fiind daţi vectorii Uxx n ,,1 , dacă vectorii VxTxT n ,,1 sunt liniar

independenţi atunci şi vectorii nxx ,,1 sunt liniar independenţi.

Teorema 5. Fie VU , două spaţii vectoriale peste corpul K . Dacă Udim iar

VUT ,L , atunci

UTT dimImdimKerdim .

Definiţia 12. Fie VUT ,L .

a) Dimensiunea nucleului lui T se numeşte defectul lui T .

b) Dimensiunea imaginii lui T se numeşte rangul lui T .

Page 66: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

Fie VU , două spaţii vectoriale peste corpul K de dimensiuni finite, nU dim ,

mV dim şi VUT ,L .

Fie neeB ,,11 şi mffB ,,12 baze în U şi respectiv V .

Considerăm expresiile vectorilor VeTeT n ,,1 în baza 2B :

mm

nnnn

mm

mm

fffeT

fffeT

fffeT

22

11

222

21122

122

111

11

Notăm cu

m

nm

n

BBT

1

111

, 21

~,

matricea de tipul nm , în care coloana de indice i conţine coordonatele vectorului ieT .

Definiţia 13. Matricea 21 ,~

BBT se numeşte matricea asociată aplicaţiei liniare T

relativ la bazele 1B şi 2B , fixate în spaţiile vectoriale U şi V .

Exemplul 1. Fie 23: f , 32321321 7,2,, xxxxxxxxfxf .

a) Să se arate că f este aplicaţie liniară.

b) Să se scrie matricea asociată lui f în raport cu bazele canonice ale celor două spaţii

3 şi 2 .

c) Să se determine fKer şi fIm .

d) Este f surjectivă?

Rezolvare

a) f este aplicaţie liniară

3y,x,,,yfxfyxf .

Fie , şi 3, yx . Deci 321 ,, xxxx , 321 ,, yyyy .

Vom avea

Page 67: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

yfxfyyyyyxxxxx

yyyyyxxxxx

yyxxyyyxxx

yxyxyxyxyx

yxyxyxfyxf

3232132321

3232132321

3232321321

3322332211

332211

7,27,2

7,27,2

77,22

7,2

,,

b) Deoarece

1,0,0,0,1,0,0,0,1 3211 eee bază în 3 ,

1,0,0,1 212 ff bază în 2

rezultă

.717,11,0,0

111,10,1,0

020,20,0,1

213

212

211

fffef

fffef

fffef

Vom obţine

710

112~2,1

f .

c) Avem

23 0|Ker xfxf

Fie

07

020,07,20;

32

32132321

23

xx

xxxxxxxxxfx

Nucleul lui f este mulţimea soluţiilor sistemului

313132

321482

7

2xxxx

xx

xxx

3333 ,,7,4Ker xxxxxfx .

Deoarece, conform cu propoziţia 7

123Kerdim rnf ,

ţinând seama că (vezi teorema 5)

ff mIdimKerdimdim 3

obţinem

2Imdim f .

d) Ştim că

Page 68: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

2Im f ,

adică fIm este subspaţiu vectorial al lui 2 (vezi teorema 4).

Deoarece

2

2

2

Im

2dim

2Imdim

Im

ff

f

f este surjectivă.

Exemplul 2. Se consideră aplicaţia liniară 22:T , definită prin

2,

11

01

10

21AAAT .

Construiţi matricea aplicaţiei liniare T în baza canonică a spaţiului respectiv.

Ştim că

10

00,

01

00,

00

10,

00

01,,, 22211211 EEEEB

este bază canonică în 2 .

Calculăm

2221121122

211121

121112

1111

2211

22

11

01

10

20

11

01

10

00

10

21

201

02

11

01

01

02

11

01

01

00

10

21

00

11

11

01

00

10

11

01

00

10

10

21

00

01

11

01

00

01

11

01

00

01

10

21

EEEEET

EEET

EEET

EET

Rezultă

1000

1100

2010

2211

~BT .

Ne propunem să definim operaţiile cu matrice, pornind de la operaţiile corespunzătoare cu

aplicaţii liniare.

Fie VUTS ,L, şi neeB ,,11 , mffB ,,12 baze în U şi respectiv V .

Page 69: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

Fie BA, matricele asociate lui S şi T în raport cu cele două baze:

21 ,~

BBSA , njmiijaA

11 şi 21 ,

~BBTB ,

njmiijbB

11 .

Avem:

mmnnn

mmjjj

mm

fafaeS

fafaeS

fafaeS

11

11

11111

şi

mmnnn

mmjjj

mm

fbfbeT

fbfbeT

fbfbeT

11

11

11111

1) Egalitatea matricelor

S şi T sunt egale jj eTeS , nj ,1

mmjiijjmmjiijj fbfbfbfafafa 1111 (1).

Deoarece mff ,,1 este bază şi ştim că scrierea unui vector într-o bază este unică, din

(1) rezultă ijij ba , mi ,1 , nj ,1 .

Definiţia 14. Matricele njmiijaA

11 şi

njmiijbB

11 sunt egale dacă şi numai dacă

ijij ba , mi ,1 , nj ,1 .

2) Adunarea matricelor

Notăm cu C matricea asociată aplicaţiei liniare TS .

Avem

,11

11

mmjiijj

mmjiijjjj

def

j

fbfbfb

fafafaeTeSeTS

adică

mmjmjiijijjjj fbafbafbaeTS 111 (2).

Dar

Page 70: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

mmjiijjj fcfcfceTS 11 (3).

Din (2) şi (3) rezultă ijijij bac , mi ,1 , nj ,1 .

Definiţia 15. Suma matricelor njmiijaA

11 şi

njmiijbB

11 este matricea

njmiijcC

11 , ijijij bac , mi ,1 , nj ,1 . Notăm BAC .

3) Înmulţirea unei matrice cu un scalar

Notăm cu C matricea asociată aplicaţiei liniare KS , .

mmjiijjjj fafafaeSeS 11 (4).

Dar,

mmjiijjj fcfcfceS 11 (5).

Din (4) şi (5) rezultă ijij ac , mi ,1 , nj ,1 .

Definiţia 16. Prin înmulţirea unei matrice njmiijaA

11 cu un scalar K rezultă

matricea A , ale cărei elemente se obţin înmulţind toate elementele lui A cu .

4) Produsul a două matrice

Fie VUS ,L , WVT ,L şi neeB ,,11 o bază în U , mffB ,,12 o

bază în V , pggB ,,13 o bază în W .

Notăm cu:

njmiijaA

11 matricea asociată lui S în raport cu 1B şi 2B ;

mjpiijbB

11 matricea asociată lui T în raport cu 2B şi 3B .

Avem

,11

11

mmjkkjj

mmjkkjjjj

fTafTafTa

fafafaTeSTeST

adică

ppmiim1m1mjppkiik1k1kj

p1pi1i111j1j

gbgbgbagbgbgba

gbgbgbaeST

(6)

Notăm cu njpiijcC

11 matricea asociată aplicaţiei liniare WUST ,L . Rezultă

Page 71: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

ppjiijjj gcgcgceST 11 (7).

Scriem (6) ca

pmjpmkjpkjp

imjimkjikji

mjmkjkjj

gababab

gababab

gabababeST

11

11

111111

(8)

Din (7) şi (8) rezultă

mjimkjikjiij abababc 11 , pi ,1 , nj ,1 .

Definiţia 17. Produsul dintre matricele mjpiijbB

11 şi

njmiijaA

11 este matricea

njpiijcC

11 , unde mjimkjikjiij abababc 11 , pi ,1 , nj ,1 .

Notăm ABC .

Observaţie. Produsul AB este definit dacă şi numai dacă numărul coloanelor lui B este

egal cu numărul liniilor lui A .

Propoziţia 9. Dacă CBA ,, sunt matrice având dimensiuni corespunzătoare, astfel încât

produsele următoare să fie definite şi K , atunci:

a) CABBCA ;

b) ACABCBA ;

c) CABAACB ;

d) ABBABA .

Observaţie. În general, produsul a două matrice nu este comutativ.

5) Inversa unei matrice

Definiţia 18. Matricea KA n este inversabilă dacă există o unică matrice

KB n astfel încât nBAAB . Inversa lui A se notează cu 1A .

6) Rangul unei matrice

Teorema 5. Fie VU , două spaţii vectoriale peste corpul K şi VUT ,L . Dacă

neeB ,,11 este o bază în U şi mffB ,,12 este o bază în V iar A este

matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu bazele 1B şi 2B , atunci AT rangrang .

Propoziţia 10. O matrice pătratică este inversabilă dacă şi numai dacă este nesingulară.

Fie Ux . Putem scrie

Page 72: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

n

n exexx 11 .

Vom avea

,2

21

112

211

11

1

11

mm

nnnn

mm

nn

fffxfffx

eTxeTxxT

adică

mm

nnm

nn fxxfxxxT

11

111

11 (9).

Deoarece VxT rezultă

m

m fyfyxT 11 (10).

Din (9) şi (10) se deduce

mn

nmm

nn

xxy

xxy

11

111

11

;

deci

1212,

~BBBB xTxT . (11)

Fie 1B o altă bază a lui U şi 2B o altă bază a lui V .

Fie C matricea de trecere de la baza 1B la baza 1B şi D matricea de trecere de la

baza 2B la baza 2B .

Conform cu (11) avem

1212,

~BBBB xTxT . (12)

Ştim că

1111 , BBBB xCx (13)

şi

2222

, BBBB xTDxT . (14)

Egalând (11) şi (14) rezultă

121222 ,,~

BBBBBB xTxTD . (15)

Înlocuind (13) în (15) rezultă

11121222 ,,,~

BBBBBBBB xCTxTD . (16)

Page 73: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

Dacă în relaţia (16) înmulţim în ambii membri la stânga cu inversa lui D , obţinem

11121222,,,

1 ~BBBBBBBB xCTDxT

(17)

Din (12) şi (17) rezultă

1112122121 ,,,1

,~~

BBBBBBBBBB xCTDxT

,

adică

11212221 ,,,1

,~~

BBBBBBBB CTDT

. (18)

Formula (18) constituie formula de schimbare a matricei asociată unei aplicaţii liniare

când se schimbă bazele în cele două spaţii vectoriale U şi V .

Exemplul 3. Fie 321 End, TT , definite astfel

3213213211 23,81520,55 xxxxxxxxxxT ,

3213212 555,0,101010 xxxxxxxT ,

3321 ,, xxxx .

Să se afle matricea sumei celor două endomorfisme 21 TTT relativ la baza

3321 2,2,1,1,4,3,1,3,2 vvvB .

Rezolvare

Avem

.678,81520,51115 321321321

2121

xxxxxxxxx

xTxTxTTxT

Fie

1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 eeeB

baza canonică a spaţiului 3 .

Calculăm

8,20,15060718,08015120,05011151 eT

7,15,112 eT ;

6,8,53 eT

Obţinem

678

81520

51115~

BT .

Page 74: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

Notăm cu C matricea de trecere de la baza B la baza B .

Deoarece

3211 321,3,2 eeev ,

3212 431,4,3 eeev ,

3213 222,2,1 eeev

avem

211

243

132

C .

Deci

310

020

021

CT~

CT~

B1

B .

Page 75: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 6. Aplicaţii liniare şi matrice- partea II

Bibliografie

1. Ebâncă, D., Metode numerice, Ed. Sitech, Craiova, 1994.

2. Groza G., Analiza numerica, Ed. MatrixRom, Bucuresti, 2005.

3. Iorga, V., Jora, B., Programare numerică, Ed. Teora, 1996.

4. Nicholson, W., K., Linear Algebra and with Applications, PWS Publishing Company,

Boston, 1995.

5. Păltineanu, G., Matei, P., Trandafir R., Bazele Analizei Numerice, Ed. Printech,

Bucureşti 2001.

Scopuri:

1) Rezolvarea sistemelor triunghiulare

2) Metoda eliminării a lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare

3) Descompunerea unei matrice într-un produs de două matrice triunghiulare

4) Metoda lui Cholesky

1. Rezolvarea sistemelor triunghiulare

Multe probleme practice din diverse domenii cum ar fi: ingineria, fizica, chimia,

economia, biologia, ştiinţele sociale, afacerile pot fi reduse la rezolvarea unui sistem de

ecuaţii liniare.

Aplicaţie. Găsiţi curenţii din circuitul următor.

10V

A

5V

C D

10

5

20

B

5

10V

20V

1I 6I

2I

3I

4I

5I

Page 76: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

Aplicând legile lui Kirchhoff şi legea lui Ohm obţinem sistemul

45

43

1

453

642

516

321

5510

510205

20510

II

II

I

III

III

III

III

ale cărui necunoscute sunt 61 ,, II .

Necesitatea utilizării metodelor numerice în algebra liniară se datorează faptului că

pentru rezolvarea sistemelor mari de ecuaţii, regula lui Crammer nu mai poate fi aplicată.

Definiţia 1. O matrice pătrată cu toate elementele de sub diagonala principală nule se

numeşte matrice superior triunghiulară; adică o matrice de forma

nn

n

r

rr

R

00

0

111

.

Definiţia 2. O matrice pătrată cu toate elementele de deasupra diagonalei principale

nule se numeşte matrice inferior triunghiulară; adică o matrice de forma

nnn ll

l

L

1

11

0

00

.

Pentru matrici triunghiulare condiţia de nesingularitate este

nirii ,1,0 , respectiv nilii ,1,0 .

Considerăm sistemul superior triunghiular

nnnn

nn

nn

bxr

bxrxr

bxrxrxr

22222

11212111

Soluţia sistemului se determină cu ajutorul relaţiilor

1,1

nir

xrb

xii

n

ijjiji

i

.

Page 77: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

Considerăm sistemul inferior triunghiular

nnnnnn bxlxlxl

bxlxl

bxl

2211

2222121

1111

Soluţia sistemului se determină cu ajutorul relaţiilor

nil

xlb

xii

i

jjiji

i 1,

1

1

.

2. Metoda eliminării a lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare

Fie sistemul de ecuaţii liniare:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

(1),

care poate fi scris sub forma matriceală

bxA ,

unde:

nA , njniijaA

11 este matricea coeficienţilor,

1,nb reprezintă coloana termenilor liberi,

1,nx constituie vectorul coloană format cu necunoscutele sistemului.

Dacă matricea A este inversabilă, atunci sistemul admite soluţia unică 1,nx ,

ce se poate exprima sub forma

bAx 1 (2).

Relaţia (2) nu constituie o metodă practică de rezolvare a sistemului (1), deoarece

inversarea unei matrice este o problemă complicată.

Metoda eliminării a lui Gauss permite aducerea sistemului (1) la un sistem echivalent

de formă triunghiulară, care poate fi rezolvat cu uşurinţă.

Teorema 1. Fie nA , njniijaA

11 care satisface condiţia

Page 78: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

1,1,0

1

111

nr

aa

aa

rrr

r

(3).

Atunci există o matrice nesingulară inferior triunghiulară nM astfel încât matricea

MAR este superior triunghiulară.

Matricea M se alege ca un produs de matrici elementare

121 MMMM n ,

Înmulţirea la stânga a matricei A cu matricea M

AMMMAM n 121

se poate exprima printr-un şir de transformări elementare:

,11

1

112

1

nnn

rrr

AMA

AMA

AMA

AA

fiecare transformare anulând termenii subdiagonali din coloana r ai matricei rA , parţial

triangularizată.

Avem

rnn

rnr

rnr

rrr

rrn

rrr

rn

rr

r

rn

rr

rr

r

aa

aa

aa

aaa

aaaa

A

00

00

00

0

,1,1

2222

111211

111,

1,1

11,1

111,

1

12

11,2

12

122

11

11,1

11

112

111

1

000

000

00

0

rnn

rrn

rnr

rrr

rrn

rrr

rrr

rn

rr

rr

r

rn

rr

rr

rr

r

aa

aa

aaa

aaaa

aaaaa

A

.

Page 79: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

Dacă

0r

rra (elementul rrra se numeşte pivot) putem considera matricea Frobenius

100

010

0010

00001

,1

rrr

rnr

rrr

rrr

r

a

a

a

aM .

Din

rrr AMA 1

deducem

o r

ijr

ij aa 1

, ri ,1 , nij ,

o

rrr

rrj

rirr

ijr

ija

aaaa

1, nrji ,1, .

Matricea rA se transformă în matricea 1rA după următoarele reguli:

- liniile r,,2,1 şi coloanele 1,,2,1 r nu se schimbă;

- elementele subdiagonale din coloana r se anulează;

- elementele situate în liniile şi coloanele nrr ,,2,1 se transformă după

regula dreptunghiului:

Din produsul de pe diagonala pivotului se scade produsul de pe cealaltă diagonală,

iar rezultatul se împarte la pivot.

rira

rrja

rija

rrra

Fig. 1. Ilustrarea regulii dreptunghiului.

Astfel

Page 80: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

rrr

rrj

rir

rrr

rijr

ija

aaaaa

1, nrji ,1, .

Observaţie.

În final se obţine matricea superior triunghiulară

nnn

nn

n

nn

nn

nn

a

aa

aaa

AMMMAR

00

0222

11211

121 .

Dacă notăm 121 MMMM n , atunci AMR .

Observaţie. Procedura de triangularizare eşuează dacă pivotul este foarte mic, adică

1

rrra . În acest caz se alege un nou pivot astfel:

1. se cauta in coloana r acel element

nriarir , , astfel incat:

rjr

njr

rir aa

max

(pivotare parţială). Dacă

0rira atunci rr AA 1 şi nr IM ; altfel se permută

între ele liniile r şi i .

2. r

klnlkr

rij aa

,max (pivotare totală). Dacă

0

rkl

a atunci rn AA şi nj IM ,

1 njr ; altfel se permută între ele liniile r şi i iar apoi se permută coloanele

r şi j .

Exemplul 1. Să se rezolve sistemul următor folosind metoda eliminării a lui Gauss:

4537

3375

2753

1753

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Avem

5317

3175

1753

7531

1 AA ;

Page 81: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

100

010

001

0001

111

141

111

131

111

121

1

a

a

a

a

a

a

M

1007

0105

0013

0001

1M .

244

243

242

234

233

232

224

223

222

214

213

212

211

2

0

0

0

aaa

aaa

aaa

aaaa

A ,

unde

o 1

121 jj

aa , 4,1j ,

o

4

111

112

121

111

1222

22

a

aaaaa ,

8

111

113

121

111

1232

23

a

aaaaa ,

20

111

114

121

111

1242

24

a

aaaaa

o

8

111

112

131

111

1322

32

a

aaaaa ,

24

233

a ,

32234

a ,

o

20242

a ,

32243

a ,

44244

a

Deci

4432200

322480

20840

7531

2A .

Obţinem

100

010

0010

0001

222

242

222

232

2

a

a

a

a

M

1050

0120

0010

0001

2M ,

Page 82: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

344

343

334

333

324

323

322

314

313

312

311

3

00

00

0

aa

aa

aaa

aaaa

A ,

o 23

ijij aa , 4,1i , 3,1j ,

o

8

222

223

232

222

2333

33

a

aaaaa ,

8

334a ,

o

8343a ,

56

344a .

Deci

56800

8800

20840

7531

3A .

Obţinem

100

0100

0010

0001

333

343

3

a

a

M

1100

0100

0010

0001

3M ,

R

a

aa

aaa

aaaa

A

64000

8800

20840

7531

000

00

0

344

434

433

424

423

422

414

413

412

411

4 ,

Sistemul este echivalent cu

bMMMxAMMM 123123 MbxMA .

Obţinem

1179

0121

0013

0001

123 MMMM .

Rezultă sistemul

Page 83: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

1664

288

52084

1753

4

43

432

4321

x

xx

xxx

xxxx

a cărui soluţie este: 4

31 x , 02 x , 03 x ,

4

14 x .

Soluţia sistemului considerat este

25.0

0

0

75.0

x .

3. Descompunerea unei matrice într-un produs de două matrice triunghiulare

Definiţia 3. O descompunere a unei matrice A de forma

RLA ,

unde L este o matrice inferior triunghiulară iar R este o matrice superior triunghiulară se

numeşte factorizare LR a matricei A .

Teorema 2. Fie nA , njniijaA

11 o matrice care satisface condiţia (3).

Atunci există o matrice nesingulară inferior triunghiulară nL şi o matrice

nesingulară superior triunghiulară nR , astfel încât

RLA (6).

Sistemul

bxA

poate fi rescris

bxRL

sau

byL (4),

yxR (5),

adică rezolvarea sistemului (1) se reduce la rezolvarea a două sisteme triunghiulare din (4) şi

(5) dacă se cunoaşte factorizarea (6).

Aceasta poate fi obţinută astfel:

1. matricea R se calculează în cursul procesului de eliminare gaussiană

2. matricea L se calculează pe baza relaţiei

Page 84: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

12111

12

11

1121

1

nnn LLLMMMMMMML .

Propoziţia 1. Orice matrice Frobenius este inversabilă şi inversa este

100

010

0010

00001

,1

rrr

rnr

rrr

rrr

r

a

a

a

aL .

Dacă

121 nLLLL ,

atunci matricea L este de forma

1

0

001

1,1

2,11,1

nnn

nn

ll

llL

.

Exemplul 2. Să se factorizeze LR matricea:

5317

3175

1753

7531

A .

Folosind exemplul anterior obţinem

1157

0125

0013

0001

1ML ,

64000

8800

20840

7531

4AR .

Sunt cunoscute două tipuri de factorizări:

1) factorizarea lui Doolittle

În această factorizare, elementele diagonale ale matricei L se iau egale cu unitatea, adică

1iil , ni ,1 .

Deoarece

Page 85: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

nnnjnkn

inijiki

knkjkkk

njk

nn

nkjkkk

nkjkkkkk

njkk

ninkknnn

ikkiii

kkkk

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

r

rrr

rrrr

rrrrr

lllll

llll

lll

1

1

1

11111

,

,,,

,1,1,11,1

1111,111

1,21

1,21

1,21

0000

00

0

1

01

001

000001

elementele matricelor L şi R sunt:

njar jj 1,11 (rezultă înmulţind linia 1 din L cu coloana j din R ),

nir

al ii 2,

11

11 (rezultă înmulţind linia i din L cu coloana 1 din R ),

njkrlark

hhjkhkjkj

2,1

1

(rezultă înmulţind linia k din L cu

coloana j din R ),

nikrlar

lk

hhkihik

kkik

13,1 1

1

(rezultă înmulţind linia i din L cu

coloana k din R ).

2) factorizarea lui Crout

În această factorizare, elementele diagonale ale matricei R se iau egale cu unitatea, adică

1iir , ni ,1 .

Deoarece

Page 86: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

nnnjnkn

inijiki

knkjkkk

njk

nkjk

nkjkkk

njkk

nnninkknnn

iiikkiii

kkkkkk

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

rr

rrr

rrrr

llllll

lllll

llll

l

1

1

1

11111

,,

,1,1,1

1111,1

1,21

1,21

1,21

11

10000

100

10

1

0

00

00000

elementele matricelor L şi R sunt:

nial ii 1,11 (rezultă înmulţind linia i din L cu coloana 1 din R ),

njl

ar

jj 2,

11

11 (rezultă înmulţind linia 1 din L cu coloana j din R ),

nikrlalk

hhkihikik

2,1

1

(rezultă înmulţind linia i din L cu coloana

k din R ),

njkrlal

rk

hhjkhkj

kkkj

13,1 1

1

(rezultă înmulţind linia k din L

cu coloana j din R ).

Exemplul 3. Să se rezolve sistemul următor folosind factorizarea LR (Doolitle):

.02

632

742

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Etapa 1. Se realizeaza factorizarea Doolitle a matricei

211

132

421

A , adica se

determina matricele

111

012

001

L si

100

710

421

R .

Page 87: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

Etapa 2. Se rezolva sistemul bLy , folosind formula (4), unde

0

6

7

b ; rezulta

solutia

1

8

7

y .

Etapa 3. Se rezolva sistemul yRx , folosind formula (5); rezulta solutia

1

1

1

x .

4. Metoda lui Cholesky

Definiţia 3. O matrice pătrată nA , njniijaA

11 se numeşte simetrică

dacă tAA sau njiaa jiij ,1, .

Definiţia 4. O matrice pătrată nA , njniijaA

11 simetrică este pozitiv

definită dacă şi numai dacă nrr ,1,0 , unde

rrr

r

r

aa

aa

1

111

.

În cazul unui sistem cu matrice simetrică şi pozitiv definită, factorizarea LR are

forma particulară

RRA t (7),

în care R este o matrice superior triunghiulară.

Descompunerea din (7) se numeşte factorizare Cholesky.

Deoarece

nn

jnjj

inijii

nji

nji

nnjninnn

jnjjijjj

iiii

nnnjnin

inijiii

nji

r

rr

rrr

rrrr

rrrrr

rrrrr

rrrrr

rrr

rr

r

aaaa

aaaa

aaaa

0000

000

00

0

00

000

0000

22222

1111211

21

21

21

2212

11

1

1

11111

elementele matricei R se vor calcula conform formulelor

Page 88: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

14

.,1,,

,1,

1

1

1

1

2

njir

rra

r

nirar

ii

i

kkjkiij

ij

i

kkiiiii

(8)

Observaţie. Toate elementele de pe diagonala principală a lui R sunt pozitive.

Rezolvarea sistemului bxA cu metoda Cholesky, când A este simetrică şi pozitiv

definită revine la rezolvarea a două sisteme triunghiulare

byRt (9),

yxR (10).

Exemplul 4. Să se determine descompunerea Cholesky a matricei:

322

235

2510

A .

Vom determina elementele matricei

33

2322

131211

00

0

r

rr

rrr

R .

Folosind formulele (8) obţinem:

.5

3

2

2

1

10

2

10

5

10

223

2133333

22

13122323

2122222

11

1313

11

1212

1111

rrar

r

rrar

rar

r

ar

r

ar

ar

Rezultă

5

300

22

10

10

2

10

510

R .

Se verifică că ARRt .

Page 89: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 7. Vectori şi valori proprii

Bibliografie:

1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi

diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.

2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.

3. Ebâncă, D., Metode numerice, Ed. Sitech, Craiova, 1994.

4. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

5. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

6. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.

7. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi

Pedagogică R.A., Bucureşti, 1993.

8. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

Scopuri:

1) Polinomul caracteristic al unui endomorfism

2) Determinarea valorilor proprii şi vectorilor proprii pentru un endomorfism

3) Algoritmul de diagonalizare a unui endomorfism; exemplu

Problemele de valori proprii au o deosebită importanţă în multe ramuri ale fizicii. Ele

fac posibilă găsirea unor sisteme de coordonate, în care transformările iau formele cele mai

simple.

De exemplu, în mecanică momentele principale ale unui corp solid se găsesc cu ajutorul

valorilor proprii ale unei matrice simetrice reprezentând vectorul tensorial. Situaţia este

similară în mecanica mediului continuu, unde rotaţiile şi deformările unui corp în direcţiile

principale se găsesc cu ajutorul valorilor proprii ale unei matrice simetrice. Valorile proprii au

o importanţă centrală în mecanica cuantică, unde valorile măsurate ale mărimilor fizice

observabile apar ca valori proprii ale unor operatori. De asemenea, valorile proprii sunt utile

în studiul ecuaţiilor diferenţiale şi al sistemelor dinamice continue, care apar în domenii

precum fizica şi chimia.

Page 90: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

Definiţia 1. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi VT End . Spunem că

scalarul K este o valoare proprie pentru T dacă există 0\Vx astfel încât

xxT (1).

Definiţia 2. Vectorul 0\Vx pentru care există K astfel încât xxT se

numeşte vector propriu pentru T corespunzător valorii proprii .

Observaţie. Dacă este o valoare proprie a lui T atunci există o infinitate de vectori

proprii corespunzători lui .

Notăm cu T mulţimea tuturor valorilor proprii ale endomorfismului T , numită

spectrul lui T .

Fie endomorfismul VVT : şi nee ,,1 o bază a lui V .

Considerăm expresiile vectorilor VeTeT n ,,1 în baza :

nn

nnnn

nn

nn

eeeeT

eeeeT

eeeeT

22

11

222

211

22

122

111

11

(2)

Fie T~

matricea asociată aplicaţiei liniare T relativ la baza ,

n

nn

n

T

1

111

~

Fie Vx . Putem scrie

n

n exexx 11 .

Relaţia (1) devine

nn

nn exexexexT 1

11

1 . (3)

Deoarece T este aplicaţie liniară, din (3) rezultă

nn

nn exexeTxeTx 1

11

1 (4)

Dacă în (4) ţinem seama de relaţiile (2) obţinem

n

nn

nnnn

n

nn

exexeeex

eeex

11

22

11

122

111

11

(5)

Din (5) obţinem

Page 91: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

0

0

0

22

11

2222

121

1212

111

nnn

nn

nn

nn

xxx

xxx

xxx

, (6)

adică un sistem liniar şi omogen în necunoscutele nxxx ,,, 21 .

Scalarul este valoare proprie a lui T dacă şi numai dacă sistemul (6) admite soluţii

nebanale, adică dacă există un sistem de scalari nxxx ,,, 21 , nu toţi nuli, care verifică

sistemul (6) .

Acest lucru se realizează dacă şi numai dacă

0

21

222

21

112

11

nn

nn

n

n

,

adică

0I~

nT , (7)

nI fiind matricea unitate de ordin n .

În concluzie, este valoare proprie a lui T dacă şi numai dacă este o rădăcină în K a

ecuaţiei (7).

Notăm

nTP I~

.

Observaţie. Polinomul P este un polinom în , de gradul n :

nnnnnnP 13

32

21

1 ,

unde

T

T

n

n

njij

jj

i

ij

ii

n

i

ii

~det

~Tr

12

11

Page 92: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

Definiţia 3. Polinomul în nedeterminata , nTP I~

de gradul n se

numeşte polinomul caracteristic asociat endomorfismului T .

Definiţia 4. Ecuaţia 0P se numeşte ecuaţia caracteristică asociată

endomorfismului T .

Exemplul 1. Fie T un endomorfism al lui 3 astfel încât T admite valorile proprii:

2,1,1 321 cu vectorii proprii 1,0,11 x , 1,2,12 x , 1,1,23 x . Să se

scrie matricea asociată lui T în baza canonică

1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 eee

a lui 3 .

Rezolvare

Observăm că

.2

,2

,

3213

3212

311

eeex

eeex

eex

Deoarece

111 xxT

deducem

31131 eeeeT (8)

Ţinând seama că T este aplicaţie liniară din (8) obţinem

31131 eeeTeT (9)

Similar, deoarece

222 xxT

deducem

3212321 22 eeeeeeT (10)

Ţinând seama că T este aplicaţie liniară din (10) obţinem

3212321 22 eeeeTeTeT (11)

Page 93: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

Analog, deoarece

333 xxT

deducem

3213321 22 eeeeeeT (12)

Ţinând seama că T este aplicaţie liniară din Error! Reference source not found.

obţinem

3213321 22 eeeeTeTeT (13)

În vederea determinării expresiei lui

3,1, ieT i

ca o combinaţie liniară a elementelor din baza vom rezolva sistemul de ecuaţii, care rezultă

din relaţiile (9), Error! Reference source not found. şi Error! Reference source not found.

adică:

321321

321321

3131

2242

22

eeeeTeTeT

eeeeTeTeT

eeeTeT

(14)

Adunând primele două ecuaţii deducem:

2132 222 eeeTeT ,

adică

2132 eeeTeT (15)

Adunând ultimele două ecuaţii deducem:

3121 353 eeeTeT (16)

Din Error! Reference source not found. rezultă

2213 eTeeeT (17)

Din Error! Reference source not found. rezultă

2311 335 eTeeeT (18)

Înlocuind Error! Reference source not found. şi Error! Reference source not found.

în prima ecuaţie a sistemului Error! Reference source not found. obţinem

31221231 335 eeeTeeeTee ,

adică

2321 445 eTeee

Page 94: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

şi deci

3212

4

1

4

5eeeeT .

Vom avea

21321311

4

3

4

5

4

1

4

5335 eeeeeeeeT

şi

321321213

4

3

4

1

4

1

4

5eeeeeeeeeT

.

Obţinem

110

434143

414545~T .

Observaţie. Scalarul este valoare proprie a lui T dacă şi numai dacă este

rădăcină a ecuaţiei caracteristice.

Definiţia 5. Mulţimea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice asociate unui endomorfism T

se numeşte spectrul endomorfismului T . Dacă toate rădăcinile sunt simple se spune că T

este un endomorfism cu spectru simplu.

Teorema 1 (Hamilton- Cayley). Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , de

dimensiune finită n , 1n şi un endomorfism VEndT . Dacă nTP I~

este

polinomul caracteristic al matricei endomorfismului T în raport cu o bază a lui V ,

TA~

, atunci OAP .

Exemplul 2. Să se calculeze 4234 1632248 IAAAAAP , unde A este

matricea

2011

1100

1131

0002

A .

Polinomul caracteristic asociat matricei A este

1632248

2011

1100

1131

0002

234

P .

Page 95: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

Utilizând teorema lui Hamilton- Cayley obţinem OAP .

Pentru a determina valorile proprii asociate unui endomorfism se procedează astfel:

se scrie ecuaţia caracteristică;

se rezolvă ecuaţia caracteristică;

se obţin valorile proprii ale endomorfismului ca fiind rădăcinile ecuaţiei

caracteristice.

Pentru a determina vectorii proprii corespunzători unei valori proprii 0 a lui T se

procedează astfel:

o se rescrie sistemul (6) înlocuind pe cu 0 ;

o se determină subspaţiul vectorial 0

W al soluţiilor sistemului liniar şi omogen

obţinut (găsim dimensiunea şi o bază), numit subspaţiul propriu asociat valorii

proprii 0 ;

o toţi vectorii nenuli din subspaţiu vectorial sunt vectori proprii pentru valoarea

proprie asociată 0 .

Definiţia 6. Dimensiunea subspaţiului propriu 0

W asociat valorii proprii 0 se

numeşte multiplicitatea geometrică a lui 0 şi se notează cu 0

g .

Definiţia 7. Prin multiplicitatea algebrică a valorii proprii 0 , notată cu 0

a se

înţelege multiplicitatea lui 0 ca rădăcină a polinomului caracteristic P asociat

endomorfismului T .

Propoziţia 1. Polinomul caracteristic nTP I~

este invariant în raport cu

schimbarea bazei în spaţiul vectorial V .

Teorema 1. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , nVdim , VT End

şi 0 o valoare proprie a lui T . Atunci, multiplicitatea geometrică a lui 0 este cel mult

egală multiplicitatea algebrică a lui 0 , adică 00 ag .

Propoziţia 2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , şi VT End . Atunci

fiecărui vector propriu al lui T îi corespunde o singură valoare proprie T .

Considerăm că VT End admite n valori proprii distincte n ,,1 şi

nV dim .

Page 96: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

Notăm cu naa ,,1 vectorii proprii ai endomorfismului T corespunzători respectiv

la valorile proprii n ,,1 .

Fie naa ,,1 o bază de vectori proprii a lui T ; deci

.

,111

nnn aaT

aaT

Matricea

n

T

00

00

00

~ 2

1

este o matrice diagonală.

Definiţia 8. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , de dimensiune finită n , 1n .

Spunem că endomorfismul VT End este diagonalizabil dacă există o bază a lui V în

raport cu care matricea sa este o matrice diagonală.

Teorema 2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , de dimensiune finită n , 1n .

Condiţia necesară şi suficientă ca endomorfismul VT End să fie diagonalizabil este ca

polinomul caracteristic P să aibă toate rădăcinile în K şi pentru fiecare valoare proprie

multiplicitatea geometrică să fie egală cu multiplicitatea algebrică.

Algoritmul de diagonalizare a unui endomorfism VT End constă în următorii

paşi:

1. fixarea unei baze oarecare V şi determinarea matricei T~

asociată

endomorfismului T în această bază;

2. determinarea valorilor proprii p ,,1 şi a multilplicităţilor algebrice

corespunzătoare acestora: p

aa ,,1 ;

3. determinarea subspaţiilor proprii p

WW ,,1 corespunzătoare valorilor proprii

p ,,1 ;

4. determinarea unei baze i a subspaţiului propriu i

W asociat valorii proprii i ,

pi ,1 şi a multiplicităţii geometrice i

g , corespunzătoare valorii proprii i ,

pi ,1 ;

Page 97: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

5. verificarea condiţiei (din teorema 3) ca endomorfismul T să fie diagonalizabil;

6. obţinerea bazei a spaţiului vectorial V în raport cu care matricea asociată lui T are

forma diagonală canonică astfel:

p 21 .

Matricea asociată lui T în baza este matrice diagonală şi are pe diagonală valorile

proprii pp ,,;;,, 11 fiecare dintre acestea apărând de un număr de ori egal cu

ordinul său de multiplicitate:

p

p

T

0

0

~1

1

.

7. construirea matricei de trecere de la baza la baza , adică BBM , ;

8. verificarea corectitudinii calculelor testând relaţia

BBBB MTMT

,,1 ~~

.

Exemplul 3. Pe spaţiul vectorial al matricelor de ordin 2 se consideră aplicaţia

22:T , tAAT .

a) Să se scrie matricea asociată lui T în raport cu baza canonică a spaţiului 2 .

b) Să se determine valorile proprii şi subspaţiile proprii corespunzătoare.

c) Să se determine o bază a spaţiului vectorial 2 în raport cu care matricea

asociată lui T are forma diagonală.

a) Ştim că

10

00,

01

00,

00

10,

00

0122211211 EEEE

consituie baza canonică a spaţiului 2 .

Calculăm

Page 98: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

211212

111111

01

00

00

01

EEET

EEET

t

t

222222

122121

10

00

00

10

EEET

EEET

t

t

Matricea asociată lui T în raport cu baza canonică a spaţiului 2 va fi

1000

0010

0100

0001

~T .

b) Determinăm

1111

1000

010

010

0001

I~ 322

4

TP .

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt

11 , având 31a

12 , având 12a .

Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 1 este

AATAW 12 |1

.

Deoarece tAAT şi 11 obţinem

AAAW t |21.

Fie 2A ,

2221

1211

aa

aaA .

Din condiţia AAt deducem

2221

1211

2212

2111

aa

aa

aa

aa 2112 aa .

Deci

Page 99: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

2212

12112 |

1 aa

aaAAW .

Putem scrie

222212111122121101

10

10

00

01

10

00

01EaaEaaaaA

;

rezultă

01

10,, 22111 EE

este sistem de generatori pentru 1

W .

Observăm că 1 este şi liniar independent deoarece dacă

22222121111 O01

10

EaaEa

rezultă

00

00

2212

1211

aa

aa,

adică

0221211 aaa .

Deci

01

10,, 22111 EE este o bază a lui

1W şi 3

1g .

Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 2 este

AATAW 22 |2

,

adică

AAAW t |22.

Din condiţia AAt deducem

2221

1211

2212

2111

aa

aa

aa

aa

0

0

22

2112

11

a

aa

a

.

Deci

0

0|

12

1222 a

aAAW .

Page 100: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

Putem scrie

01

1012aA .

Similar, obţinem

01

102 este o bază a lui

2W şi 1

2g .

c) Deoarece

11 ga

22 ga

ecuaţia 0P are rădăcini reale

rezultă că T este diagonalizabil.

Baza spaţiului vectorial 2 în raport cu care matricea asociată lui T are forma

diagonală canonică este

4321221121 ,,,01

10,

01

10,, FFFFEE

iar

1000

0100

0010

0001

~T .

Vom avea:

2221121121124

2221121121123

22211211222

22211211111

0110

0110

1000

0001

EEEEEEF

EEEEEEF

EEEEEF

EEEEEF

;

Deci

0010

1100

1100

0001

,BBM .

Rezultă

Page 101: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

TMTM BBBB~

1000

0100

0010

0001

~,,

1 .

Page 102: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 8. Spaţii euclidiene

Bibliografie:

1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi

diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.

2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.

3. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

4. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

5. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.

6. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi

Pedagogică R.A., Bucureşti, 1993.

7. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

Scopuri:

1) Definirea noţiunii de produs scalar

2) Introducerea conceptului de bază ortonormată

3) Prezentarea procedeului de ortogonalizare Gram- Schmidt

Studiul spaţiilor vectoriale euclidiene este necesar în vederea obţinerii unei baze

ortonormate, întrucât în raport cu astfel de baze, calculele devin mult simplificate. Într-

un spaţiu vectorial euclidian, produsul scalar poate fi folosit la definirea lungimii

vectorilor şi a unghiului dintre aceştia.

Fie un spaţiu vectorial real.

Definiţia 1. Aplicaţia :, se numeşte produs scalar (sau structură

euclidiană) pe dacă sunt îndeplinite condiţiile:

a) xyyx ,, , yx,

b) zyzxzyx ,,, , zyx ,,

c) yxyx ,, , yx, ,

d) 0, xx , x şi 0, xx 0x .

Page 103: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

Scalarul yx, se numeşte produsul scalar al vectorilor yx, .

Definiţia 2. Un spaţiu vectorial real pe care s-a definit un produs scalar se numeşte

spaţiu vectorial euclidian real şi se va nota ,, .

Propoziţia 1. Un produs scalar pe are următoarele proprietăţi:

i) 00,,0 xx , x

ii) zxyxzyx ,,, , zyx ,,

iii) yxyx ,, , yx, ,

iv)

n

i

m

jji

jim

jj

jn

ii

i yxyx1 111

,, ,

mjniyx ji ,1,,1,, , mjniji ,1,,1,,

Exemple de spaţii vectoriale euclidiene

1) ,,n spaţiul vectorial euclidian real canonic.

Aplicaţia nn:, definită prin

n

i

ii yxyx1

, , nyx , ,

nxxxx ,,, 21 , nyyyy ,,, 21 este un produs scalar pe n .

2) ,,,nn spaţiul euclidian real al matricilor pătratice, cu produsul scalar

BABA tTr, , nnBA ,, ,

unde am notat prin CTr urma matricei pătratice nnC , , adică

nncccC 2211Tr .

3) ,,V3 , unde aplicaţia 33 VV:, definită prin

00,0

0,0,,cos,

ysaux

yxyxyxyx

este un produs scalar pe 3V .

Acest produs scalar concret a constituit modelul pornind de la care, prin abstractizare

s-a ajuns la noţiunea de produs scalar.

Definiţia 3. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real. Se numeşte normă pe

o aplicaţie : care satisface proprietăţile:

i) 0x , x şi 0x 0x (pozitivitate)

Page 104: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

ii) xx , x , (omogenitate)

iii) yxyx , yx, (inegalitatea lui Minkowski sau

inegalitatea triunghiului)

Teorema 1. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real. Funcţia : ,

definită prin

xxx , , x

este o normă pe .

Norma definită în teorema 1 se numeşte norma euclidiană.

Observaţie. Dacă 3Vx , atunci norma (lungimea) sa, în sensul teoremei 1 coincide

cu lungimea sa în sensul geometric (vezi cursul 2).

Propoziţia 2. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real.

a) Oricare ar fi yx, are loc inegalitatea Cauchy- Schwartz- Buniakowski

yxyx ,

b) Oricare ar fi yx, are loc identitatea paralelogramului

22222 yxyxyx .

Definiţia 4. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real. Se numeşte unghi al

vectorilor nenuli yx, unicul număr ,0 pentru care

yx

yx

,cos (4).

Definiţia 5. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real. Spunem că vectorii

yx, sunt ortogonali şi notăm x y dacă 0, yx .

Observaţie. Vectorul nul este ortogonal pe orice vector x .

Exemplul 1. În spaţiul vectorial 2 se consideră 21, ee , 21 e , 42 e ,

3

, 21

ee . Se dau vectorii 21 32 eea , 21 eeb .

Se cere să se calculeze ba, .

Avem:

Page 105: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

4,2

111 eee , 16,2

222 eee .

Din relaţia (4) deducem

cos, yxyx . (5)

Pe baza relaţiei (5) obţinem

42

142,cos, 212121 eeeeee .

Rezultă

121684,,2,,,

3648208,3,5,2,32,

1121694816,9,12,432,32,

2221112121

2221112121

2221112121

eeeeeeeeeebb

eeeeeeeeeeba

eeeeeeeeeeaa

Avem

74112, aaa şi 32, bbb .

Deci

3274

36,,cos

ba

baba .

Propoziţia 3. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real şi paaa ,,, 21 ,

vectori nenuli şi ortogonali doi câte doi. Atunci vectorii paaa ,,, 21 sunt liniar

independenţi.

Definiţia 6. Dacă x este un vector nenul al spaţiului vectorial euclidian real ,,

atunci vectorul

xx

x10

se numeşte versorul lui x .

Observaţie. Lungimea vectorului 0

x este egală cu 1.

Definiţia 7. Dimensiunea spaţiului vectorial euclidian real ,, constituie

dimensiunea spaţiului vectorial asociat .

Definiţia 8. . Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real şi S .

a) Sistemul S este ortogonal dacă vectorii săi sunt nenuli şi ortogonali doi câte doi.

Page 106: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

b) Sistemul S este ortonormat (sau ortonormal) dacă este ortogonal şi fiecare dintre

vectorii săi are lungimea 1.

c) Dacă ndim atunci baza nee ,,1 a lui se numeşte

ortonormată dacă

ijji ee , , nji ,1, ,

unde

ji

jiij

,0

,1, nji ,1,

se numeşte simbolul lui Kronecher.

Baza canonică a lui n este o bază ortonormată pentru spaţiul vectorial euclidian real

canonic ,,n .

Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real de dimensiune finită n şi

nee ,,1 o bază a lui .

Fie yx, ; rezultă

i

n

i

i exx 1

, j

n

j

j eyy 1

.

Avem:

n

i

n

jji

jij

n

j

ji

n

i

i eeyxeyexyx1 111

,,, (1).

Notăm

ijji gee , , njni ,1,,1 ;

observăm că jiij gg , njni ,1,,1 , adică

nnnn

n

n

ggg

ggg

ggg

G

21

22212

11211

;

matricea G semnifică matricea produsului scalar , în raport cu baza .

Observaţie. Matricea G este simetrică ( GGt ) şi pozitiv definită ( 0xGxt

,

nnxxxx ,,, 21 ).

Din (1) obţinem

Page 107: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

n

i

n

jij

ji gyxyx1 1

, (2)

relaţie ce constituie expresia analitică a produsului scalar , în raport cu baza .

Egalitatea (2) este echivalentă cu egalitatea

yGxyxt

, (3),

numită reprezentarea matriceală a produsului scalar , în raport cu baza .

Exemplul 2. Se consideră aplicaţia 33:, care în raport cu baza canonică

321 ,, eee a lui 3 are expresia analitică

33213213232222121 ,,,,,,22, yyyyxxxxyyxxyxyyxxyx

a) Arătaţi că ,,3 este un spaţiu vectorial euclidian real.

b) Să se arate că vectorii

321 2eeea , 321 9eeeb

sunt ortogonali.

c) Să se calculeze x , unde 321 2eeex .

d) Să se calculeze unghiul dintre vectorii 321 2eeex şi 32 2eey .

e) Să se scrie matricea produsului scalar , în raport cu baza canonică a lui 3 .

Rezolvare

a) ,,3 este un spaţiu vectorial euclidian real dacă aplicaţia , este un produs

scalar. Vom verifica că sunt îndeplinite condiţiile din definiţia 1 a produsului scalar.

Observăm că avem

33213213232222121

3232222121

,,,,,,,22

22,

yyyyxxxxxyxxyyxyxxyy

yyxxyxyyxxyx

3321321321

32323232222221212121

3233222222212211

,,,,,,,,,,,

2222

222,

zzzzyyyyxxxxyzyx

yyzzyyxxyzyxyyzzyyxx

yyzxzxyzyxyyzxzxyzx

,,,,,,

,,22

22

22,

3321321

3232222121

3232222121

3232222121

yyyyxxxx

yxyyxxyxyyxx

yyxxyxyyxx

yyxxyxyyxxyx

3321

232

22

221 ,,,02, xxxxxxxxxxx

Page 108: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

0

0

0

02

0, 321

32

2

21

xxx

xx

x

xx

xx ,

adică aplicaţia , este un produs scalar.

b) Deoarece

2,1,12 321 aeeea ,

9,1,19 321 beeeb

vom obţine 0, ba ; deci a şi b sunt ortogonali.

c) Avem xxx , .

Deoarece

2,1,11,0,020,1,00,0,12 321 eeex

rezultă 11, xx , adică 11x .

d) Întrucât

yx

yxyx

,,cos

şi

4, yx

iar

14, yyy ;

obţinem

1411

4,cos

yx .

e) Avem

332313

232212

131211

ggg

ggg

ggg

G , jijieeg jiij ,3,1,,, ;

Deci

110

162

021

G .

Page 109: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

Dacă nee ,,1 este o bază ortonormată a lui , atunci matricea produsului

scalar în raport cu această bază este matricea unitate nI .

În acest caz, din (2) obţinem

n

i

ii yxyx1

, ( 2 )

iar din (3) obţinem

yxyxt

, . (3 )

Egalităţile ( 2 ) şi (3 ) justifică importanţa considerării bazelor ortonormate ce constă

în faptul că în raport cu astfel de baze, calculele sunt mult simplificate.

Definiţia 9. Matricea nA este ortogonală dacă ntt AAAA I , nI fiind

matricea unitate de ordinul n .

Teorema 2 (de schimbare a bazelor ortonormate). ,, este un spaţiu vectorial

euclidian real dimensiune finită n şi nee ,,11 , nuu ,,12 două baze

ortonormate ale lui . Atunci matricea de trecere de la 1 la 2 este ortogonală.

Exemplul 3. În spaţiul vectorial euclidian real se consideră bazele

3211 ,, eee , 3212 ,, uuu .

Dacă 3

32

21

1 exexexx , 3

32

21

1 uyuyuyx este un vector

arbitrar din , 1 este bază ortonormată şi

3213

3212

3211

7

2

7

6

7

2

7

6

7

6

7

3

7

2

yyyx

yyyx

yyyx

să se determine astfel încât 2 să fie o bază ortonormată.

Pentru ca 2 să fie o bază ortonormată, conform teoremei 2 trebuie ca matricea

2,1 de trecere de la 1 la 2 , adică

7

2

7

67

2

7

67

6

7

3

7

2

2,1

Page 110: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

să fie ortogonală.

Din condiţia

32,12,1I

t

rezultă 7

3 .

Teorema 3 (ortogonalizare Gram- Schmidt). Dacă ,, este un spaţiu vectorial

euclidian real dimensiune finită n şi naa ,,1 o bază a lui atunci există o bază

nee ,,1 a lui ortonormată;

Mai întâi construim o mulţime ortogonală nbb ,,11 şi apoi îi normăm

elementele.

Mulţimea ortogonală nbb ,,1 se construieşte din naa ,,1 astfel:

,11

11

11

11

322

31133

21122

11

nnn

nnn

iii

iii

abbb

abbb

abbb

abb

ab

(4)

unde scalarii

j

i , ni ,2 , 1,1 ij se determină din condiţia ca

ib jb , nji ,1, , ji .

Din condiţia 2b 1b rezultă

1211

12121

12

)4(

12 ,,,,0 babbbabbb . (5)

Din relaţia (5) deducem

11

1212

,

,

bb

ba

şi mai departe, ţinând seama de expresia lui 1b din (4) obţinem

Page 111: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

2

1

21

11

1212

,

,

,

a

aa

aa

aa ;

deci vectorul 2b are expresia

12

1

2122

,b

a

aaab .

Vectorul 2b este nenul. Dacă am presupune prin reducere la absurd că 02 b am

obţine că

02112

aa ceea ce este o contradicţie cu faptul că vectorii 21, aa sunt liniar

independenţi.

Scalarul 23 se determină din condiţia 3b 2b , care implică

2322

2321

13232

231

13

)4(

23 ,,,,,0 babbbbbabbbb (6)

iar scalarul 13

rezultă din condiţia 3b 1b , adică din

1312

2311

13132

231

13

)4(

13 ,,,,,0 babbbbbabbbb . (7)

Deoarece

0,, 1221 bbbb ,

relaţiile (6) şi (7) devin

23

22

2323 ,,0 babbb (8)

13

21

1313 ,,0 babbb . (9)

Din (8) obţinem:

2

2

2323

,

b

ba ,

iar din (9) deducem

2

1

1313

,

b

ba .

Expresia vectorului 3b va fi

Page 112: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

22

2

231

21

1333

,,b

b

bab

b

baab ;

sau, dacă ţinem seama de exspresia lui 2b

12

1

21

22

23

21

132

22

233

12

1

212

22

231

21

1333

,,,,

,,,

a

a

aa

b

ba

b

baa

b

baa

b

a

aaa

b

bab

b

baab

Vectorul 3b este nenul deoarece vectorii 321 ,, aaa sunt liniar independenţi.

Presupunem că am construit vectorii 11 ,, ibb de forma (4) nenuli şi ortogonali doi

câte doi şi arătăm că putem determina vectorul nenul

iii

iii abbb

11

11

astfel încât ib jb , 1,1 ij .

Vom avea

jiji

iijj

jiji

jiii

iiji

babbbbbb

babbbb

,,,,

,,0

11

11

11

11

)7(

adică

0,

2 jij

ji bab . (10)

Din (10) obţinem

2

,

j

jiji

b

ba , 1,1 ij .

Deci, vectorul ib este determinat.

Ţinând cont de modul cum au fost construiţi vectorii ibb ,,1 (conform egalităţilor

din (4)) rezultă că

1

11

1

i

iiiii aaab . (11)

Din (11) deducem că 0ib , pentru că altfel ar rezulta că vectorii iaa ,,1 sunt

liniar dependenţi.

Page 113: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

Procesul se continuă până când obţinem vectorii nenuli nbb ,,1 , care sunt

ortogonali doi câte doi.

Procedeul de ortogonalizare Gram- Schmidt poate fi sintetizat astfel:

.,,

,,

,,

,

12

1

11

21

1

12

1

11

21

1

22

2

231

21

1333

12

1

2122

11

n

n

nnnnn

i

i

iiiii

b

b

bab

b

baab

b

b

bab

b

baab

b

b

bab

b

baab

b

a

aaab

ab

Dacă notăm

ii

i bb

e1

, ni ,1

obţinem baza ortonormată nee ,,1 a lui .

Exemplul 4. În spaţiul X2R definim

1

1

d, ttQtPQP .

Să se ortonormeze în raport cu acest produs scalar baza canonică a spaţiului X2R ,

adică 2,,1 XX .

Rezolvare

Etapa I. Construim baza 321 ,, fff ortogonală, cu

.

1

22112

3

12

1

ffXf

fXf

f

Page 114: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

Din condiţia de ortogonalitate a lui 1f şi 2f deducem

.,

,0,,0,0,

11

11111121

ff

XfffXffXfff

Deoarece

02

d1,1,

1

1

21

11

tttXXf

rezultă că 0 şi Xf 2 .

Din condiţia de ortogonalitate a lui 1f şi 3f deducem

.,

,0,,,

0,0,

11

21

1

0

2121112

1

22112

131

ff

XfffffXf

ffXfff

Vom obţine

3

2

3d1,1,

1

1

31

1

2221

tttXXf

şi

2d111,1,1

1

1

111

ttff ;

deci

.3

1

,

,

11

21

1

ff

Xf

Din condiţia de ortogonalitate a lui 2f şi 3f deducem

.,

,0,,,

0,0,

22

22

2222

0

1212

2

22112

232

ff

XfffffXf

ffXfff

Deoarece

04

d,,

1

1

41

1

2222

ttttXXXf

rezultă că .02 Deci,

Page 115: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

14

3

123 Xf .

Etapa II. Construim baza 321 ,, ggg ortonormată,

3,1, if

fg

i

ii .

Întrucât

2, 111 fff

rezultă

2

1

1

11

f

fg .

Calculăm

3

2

3d,,

1

1

31

122

ttttXXff ;

vom avea

Xf

fg

2

3

2

22 .

Obţinem că

45

8

9

2

9

4

5

2

9

1

33

2

5

d19

1d

3

2dd

3

1

3

1

3

1,

3

1,

1

1

1

1

31

1

5

1

1

1

1

21

1

41

1

222233

ttt

ttttttttXXff

şi

3

1

22

53 2

3

33 X

f

fg .

Exemplul 5. Considerăm spaţiul vectorial real al matricelor simetrice, de ordinul n , cu

elemente reale, AAA ts |22 şi aplicaţia ss

22:, ,

definită prin BABA t Tr, .

Se cere să se ortonormeze sistemul de matrice:

Page 116: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

15

10

01,

21

10,

01

11321 AAA .

Rezolvare

Considerăm sistemul ortogonal 321 ,, BBB , 0Tr jti BB , ji , astfel:

221133

122

11

BBAB

BAB

AB

Din condiţia 0, 12 BB avem

1112112 ,,,0 BBBABBA ,

adică

1112 TrTr0 BBBA ;

deci

3

2

Tr

Tr

11

12

BB

BA.

Obţinem

231

3132

01

11

3

2

21

102B .

Condiţia 0, 13 BB implică

1111311113

12211113122113

TrTr,,

,,,,0

BBBABBBA

BBBBBABBBA

de unde

3

1

Tr

Tr

11

131

BB

BA .

Condiţia 0, 23 BB implică

2222322223

22221123222113

TrTr,,

,,,,0

BBBABBBA

BBBBBABBBA

de unde

7

4

Tr

Tr

22

232

BB

BA.

Page 117: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

16

Vom obţine

21337

4

3

1BBAB .

Am obţinut 321 ,, BBB sistem ortogonal.

Sistemul 321 ,, CCC este ortonotormat,

i

ii

B

BC , 3,1i .

Page 118: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 9. Operatori liniari in spaţii euclidiene

Bibliografie:

1. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

2. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

3. Matei P., Algebră liniară. Gometrie analitică şi diferenţială, ed. Agir, Bucureşti, 2002.

4. V. Postelnicu, S. Coatu, Mică enciclopedie matematică, ed. Tehnică, Bucureşti, 1980.

5. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

Scopuri:

1) Introducerea noţiunii de transformare ortogonală in plan

2) Studierea transformărilor ortogonale din plan (rotaţii, simetrii sau compuneri de

rotaţii cu simetrii).

In investigarea spaţiilor vectoriale euclidiene sunt deosebit de utile transformările liniare

compatibile cu produsul scalar, adică transformările ortogonale.

Definiţia 1. Fie ,, un spaţiu euclidian real, de dimensiune finită n . Endomorfismul

EndT se numeşte operator ortogonal sau transformare ortogonală dacă T

transformă bazele ortonormate în baze ortonormate, adică dacă neee ,,, 21 este o bază

ortonormată a lui atunci neTeTeT ,,, 21 este o bază ortonormată a lui .

Teorema 1. Pentru un operator EndT următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. T este ortogonal,

2. T este bijectiv iar 1T este ortogonal,

3. T păstrează produsul scalar, adică yxyTxT ,, , yx, ,

4. T păstrează lungimea vectorilor, adică xxT , x ,

5. matricea operatorului T în raport cu o bază ortonormată a lui este ortogonală.

Corolar 1. Dacă EndT este ortogonal atunci T păstrează unghiurile vectorilor,

adică

Page 119: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

yTxTyTxT

yTxT

yx

yxyx ,cos

,,,cos

.

Propoziţia 1. Fie End, ST doi operatori ortogonali şi . Atunci:

1. ST este operator ortogonal,

2. T este ortogonal 1 .

Notăm prin ortogonal|End TT .

Propoziţia 2. Dacă T iar A este matricea asociată lui T în raport cu baza

ortonormată a lui atunci 1det A .

Definiţia 3. Se numeşte operator ortogonal de speţa întâi sau operator de rotaţie,

un operator ortogonal pentru care determinantul matricei asociată acestuia într-o bază

ortonormată a lui este 1.

Definiţia 4. Se numeşte operator ortogonal de speţa a doua, un operator ortogonal

pentru care determinantul matricei asociată acestuia într-o bază ortonormată a lui este 1 .

Notăm prin mulţimea operatorilor ortogonali de speţa întâi,

mulţimea operatorilor ortogonali de speţa a doua.

Propoziţia 3. Rădăcinile ecuaţiei caractristice ale unui operator ortogonal au modulul

egal cu 1. În particular, valorile proprii ale unui operator ortogonal sunt egale cu 1 .

Propoziţia 4. Pentru un operator ortogonal, vectorii proprii corespunzători la valori

proprii distincte sunt ortogonali.

Teorema 2. Matricele ortogonale din 2M sunt de forma:

cossin

sincos,

cossin

sincos,

cossin

sincos,

cossin

sincos,

cossin

sincos,

cossin

sincos,

cossin

sincos, 2,0 .

Definiţia 5. O matrice ortogonală cu 1det A se numeşte matrice de rotaţie în n .

Teorema 3. Transformările ortogonale în plan sunt: rotaţii, simetrii sau compuneri de

rotaţii cu simetrii.

Propoziţia 5. Rotaţia vectorilor planului în jurul originii, în sens trigonometric, cu

unghiul , 22: r este o transformare ortogonală.

Page 120: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

Demonstraţie

Dacă este centrul de rotaţie atunci fiecărui punct M i se asociază punctul M astfel

încât:

rictrigonometsensinparcursrotatiedeunghiulMMO

aMOOM

Alegem în plan un reper ortonormat cu originea în centrul de rotaţie.

2x 21 , yyM

21 , xxM

1x

x

xT

Fig. 1. Rotaţie de unghi

Avem:

sin

cos

2

1

ax

ax

.cossin

sincos

sincoscossinsin

sinsincoscoscos

212

211

2

1

xxy

xxy

aaay

aaay

Coordonatele 1x , 2x ale unui vector x din planul 2 se transformă la rotirea

acestuia cu unghiul în sens direct trigonometric respectiv în

sincos 21 xx

şi

cossin 21 xx .

Obţinem:

cossin,sincos, 212121 xxxxxxrxr ,

xAxrxrxT , ,

cossin

sincosA .

Observăm că r este o transformare ortogonală pentru că

2I AAt .

Page 121: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

Propoziţia 5. Rotaţia de unghi 0 coincide cu aplicaţia identică.

Demonstraţie

Dacă

10

01A

rezultă

,22

11

xy

xy

adică 21

T .

Propoziţia 6. Rotaţia în jurul originii de unghi coincide cu simetria faţă de origine.

Demonstraţie

Dacă

10

01A

rezultă

,22

11

xy

xy

adică

21 , xxxsxT .

2x

21 , xxM

21 , xxM

1x

x

xT

Fig. 2. Rotaţia în jurul originii de unghi

Propoziţia 7. Simetria faţă de axa x este o transformare ortogonală.

Demonstraţie

Page 122: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

Fie 21 , xxM simetricul punctului 21 , xxM faţă de dreapta d .

2x

21 , xxM

21 , xxM

1x

x

xT

d

Fig. 3. Simetrie faţă de axa x

Dacă

10

01A

rezultă

,22

11

xy

xy

adică

21 , xxxsxT d .

Propoziţia 8. Simetria faţă de axa y este o transformare ortogonală.

Demonstraţie

Fie 21 , xxM simetricul punctului 21 , xxM faţă de dreapta d .

2x 21 , xxM 21 , xxM

1x

x xT

d

Fig. 4. Simetria faţă de axa y

Dacă

Page 123: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

10

01A

atunci

,22

11

xy

xy

deci

21 , xxxsd .

Propoziţia 9. Compunerea rotaţiei r cu simetria ds este o transformare ortogonală.

Demonstraţie

Vom avea

cossin,sincos, 212121 xxxxxxrxsrxsrxT dd

Deci

cossin

sincosA .

Propoziţia 10. Compunerea rotaţiei r cu simetria ds este o transformare ortogonală.

Demonstraţie

Vom avea

cossin,sincos, 212121 xxxxxxrxsrxsrxT dd

Deci

cossin

sincosA .

Observaţie. Avem

10

01

cossin

sincos

cossin

sincos

A .

Propoziţia 11. Compunerea rotaţiei r cu simetria s este o transformare ortogonală.

Demonstraţie

Vom obţine

Page 124: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

cossin,sincos, 212121 xxxxxxrxsrxsrxT

Deci

cossin

sincosA .

Exemplul 1. Axele de coordonate x şi y se rotesc cu unghiul 3

şi noul sistem

se consideră invers orientat sistemului iniţial. Ştiind că un punct A are coordonatele

32,3 faţă de noul sistem, să se găsească coordonatele faţă de cel vechi.

Avem o rotaţie, urmată de o simetrie în raport cu y .

x

y

x

y 3

A

Fig. 5. Rotaţie, urmată de o simetrie în raport cu y

Deducem

cossin,sincos,, yxyxyxrxsrxsryxxT dd .

Transformarea T are ecuaţiile:

.cossin

sincos

yxy

yxx

Deoarece 3x , 32y , rezolvând sistemul anterior rezultă

.32

3

2

33

y

x

Avem o rotaţie, urmată de o simetrie în raport cu x .

Page 125: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

x

y

x

y

3

A

Fig. 6. Rotaţie, urmată de o simetrie în raport cu x

Obţinem

cossin,sincos,, yxyxyxrxsrxsryxxT dd .

Transformarea T are ecuaţiile:

.cossin

sincos

yxy

yxx

Deoarece 3x , 32y , rezolvând sistemul anterior rezultă

.2

33

32

3

y

x

Propoziţia 12. Rotaţia unui sistem de coordonate rectangulare in jurul originii, în sens

trigonometric, cu unghiul , 22: R este o transformare ortogonală.

Demonstraţie

Prin rotirea sistemului de coordonate xOy rectangulare in jurul originii, în sens

trigonometric, cu unghiul se va obtine sistemul yOx . Un punct M care are coordonatele

yx, in vechiul sistem va avea in noul sistem yx , .

Alegem în plan un reper ortonormat cu originea în centrul de rotaţie.

Page 126: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

y

M

x

x y

C

D

B

A 1C

2C

Fig. 7. Rotirea unui sistem de coordonate cu un unghi

Se observa ca cos1 xOC , sin1 yAC , sin2 xOC , cos2 yBC , iar

sincos11 yxACOCOA si cossin22 yxBCOCOB

Rezulta ca ecuatiile de transformare a sistemului de coordonate xOy prin rotirea in

jurul originii, în sens trigonometric, cu unghiul vor fi:

cossin

sincos

cossin

sincos

yxy

yxx

yxy

yxx

Obţinem:

cossin,sincos, yxyxyxRxR ,

xAxRxRxT , ,

cossin

sincosA .

Observăm că r este o transformare ortogonală pentru că 2I AAt .

Exemplul 2. Se dă punctul 1,1M în planul raportat la axele rectangulare yx O,O . Să se

determine unghiul cu care trebuie rotite axele astfel încât punctul M să aparţină axei

xO . Să se afle noile coordonate ale lui M în aceste condiţii.

Rezolvare

Deoarece

,cossin

sincos

yxy

yxx

unde:

x , y sunt coordonatele punctului M în planul raportat la axele rectangulare yx O,O ,

x , y sunt coordonatele punctului M în planul raportat la axele rectangulare yx O,O ,

Page 127: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

este unghiul cu care trebuie rotite axele.

Înmulţind prima ecuaţie cu cos şi a doua cu sin şi adunând ecuaţiile astfel

obţinute, deducem:

xyx sincos ,

în timp ce înmulţind prima ecuaţie cu sin şi a doua cu cos şi adunând ecuaţiile astfel

obţinute, deducem:

yyx cossin .

Punând condiţia ca punctul M să aparţină axei xO (adică 0y ) avem

221sin

1cos

sin

cos 2

xx

x

x

yx

xx

.

În cazul când 2x rezultă

4

2

2

2

1sin

2

2

2

1cos

.

În cazul când 2x rezultă

4

5

4

2

2

2

1sin

2

2

2

1cos

.

Deci, noile coordonate ale lui M în cazul în care

axele se rotesc cu unghiul 4

sunt 0,2M ,

axele se rotesc cu unghiul 4

5 sunt 0,2M .

Page 128: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 10. Forme pătratice

Bibliografie:

1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi

diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.

2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.

3. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

4. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

5. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.

6. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

Scopuri:

1) Introducerea noţiunii de formă pătratică

2) Utilizarea metodei Gauss- Lagrange pentru reducerea formelor pătratice la

expresia canonică

3) Reducerea formelor pătratice la expresia canonică utilizând metoda Jacobi

4) Metoda valorilor proprii privind reducerea formelor pătratice la expresia canonică

5) Criterii de caracterizare a matricelor pozitiv (negativ) definite

Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K .

Definiţia 1. O aplicaţie KVVb : se numeşte formă biliniară pe V dacă

îndeplineşte condiţiile:

1. zybzxbzyxb ,,, , K, , Vzyx ,, ,

2. zxbyxbzyxb ,,, , K, , Vzyx ,, .

Spunem că forma biliniară KVVb : este simetrică (antisimetrică) dacă

xybyxb ,, ( respectiv, xybyxb ,, ).

Consecinţe. Dacă KVVb : este o formă biliniară atunci

Page 129: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

1) 00,,0 xbxb , Vx

2) a)

n

ii

in

ii

i yxbyxb11

,, , Kn ,,, 21 , Vyxxx n ,,, 21

b)

n

ii

in

ii

i yxbyxb11

,, , Kn ,,, 21 , Vyyyx n ,,,, 21 .

Definiţia 2. Dacă KVVb : este o formă biliniară simetrică, aplicaţia

KVf : , definită prin xxbxf , , oricare ar fi Vx se numeşte forma pătratică

asociată lui b .

Observaţie. Cunoaşterea formei pătratice f permite obţinerea formei bilniare simetrice

asociată lui f astfel:

yfxfyxfyxb 2

1, , Vyx , .

Forma biliniară simetrică b asociată formei pătratice f se numeşte forma polară a

formei pătratice f .

Forma pătratică corespunzătoare produsului scalar real (care este o formă biliniară

simetrică) este pătratul normei euclidiene:

2, xxxxf , Vx .

Fie V un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită n , 1n şi fie

naaa ,,, 21 o bază a sa.

Dacă KVVb : este o formă biliniară atunci Vyx , , deci

n

ii

i axx1

,

n

jj

j ayy1

rezultă

n

i

n

j

jiij yxayxb

1 1

, , (1)

unde

jiij aaba , , nji ,1, .

Expresia (1) constituie expresia analitică a formei biliniare b în raport cu baza , iar

KA nM , njiijaA

,1 reprezintă matricea asociată formei biliniare b în raport cu

baza .

Page 130: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

Din (1) se obţine expresia analitică a formei pătratice KVf : în raport cu baza

a lui V

n

i

n

j

jiij xxaxf

1 1

,

n

ii

i axx1

. (2)

Definiţia 3. Numim matrice asociată unei forme pătratice KVf : în raport cu o

bază a lui V , matricea aplicaţiei biliniare KVVb : din care provine f în raport cu

baza considerată.

Exemplul 1. .Fie

44:b , 44143332221211 422, yxyxyxyxyxyxyxyxb .

a) Să se arate că b este funcţională biliniară.

b) Să se determine matricea asociată lui b în raport cu baza

1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1 4321 ffff

şi în raport cu baza canonică şi să se evidenţieze legătura dintre ele.

c) Să se determine expresia formei pătratice f asociate lui b .

Rezolvare

a) Conform definiţiei 1, b este funcţională biliniară dacă

zybzxbzyxb ,,, , , , 4,, zyx ,

zxbyxbzyxb ,,, , , , 4,, zyx .

Vom verifica prima dintre condiţii, pentru cealaltă procedându-se similar.

Avem

.,,4

422

4422

22

422,

44143332221211

44143332221211

44441414333332322222

12121111444144333

322222122111

zybzxbzyzyzyzyzyzyzy

zxzxzxzxzxzxzx

zyzxzyzxzyzxzyzxzyzx

zyzxzyzxzyxzyxzyx

zyxzyxzyxzyxzyxb

b) Pentru a determina matricea asociată lui b în raport cu baza vom calcula

Page 131: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

.1,

1,

0,

2,

2,

1,

2,

501110001411211210,

210100101401211210,

210000101411201200,

200000001411201200,

400100101411211210,

310100001401211211,

210000001411201201,

200000001411201201,

500100001411211211,

44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

ffb

Obţinem

1102

2125

2224

3225

A .

Matricea asociată lui b în raport cu baza canonică este

1001

0100

0422

0001

A .

Observăm că

1100

0000

0111

1001

M , .

Avem

yAxyxbt

,

Page 132: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

şi

,, MM AA t .

c) Expresia formei pătratice f asociata lui b este

2414

2332

2212

21 422 xxxxxxxxxxxf .

Definiţia 4. Rangul unei forme pătratice f reprezintă rangul matricei sale în raport cu

o bază oarecare a lui V şi se notează cu frang .

Observaţie. Datorită simetriei matricei unei forme pătratice, în raport cu baza a lui

V , relaţia (2) se scrie

n

jiji

jiij

n

i

iii xxaxaxf

1,1

22 (3).

Definiţia 5. Dacă matricea asociată formei pătratice KVf : în raport cu baza

neee ,,, 21 a lui V este diagonală, adică

nA ,,diag 1

spunem că:

baza este bază canonică pentru f

expresia analitică a lui f în raport cu baza , adică

n

i

ii xxf

1

2,

n

ii

i exx1

este o expresie canonică pentru f .

Vom prezenta trei metode de obţinere a unei expresii canonice pentru o forma pătratică.

Teorema 1 (Gauss- Lagrange). Fie V un spaţiu vectorial peste K , de dimensiune

finită n şi KVf : o formă pătratică. Atunci există o bază neee ,,, 21 a lui V

în raport cu care f are o expresie canonică.

Vom prezenta algoritmul pentru obţinerea unei expresii canonice pentru o formă

pătratică, bazat pe teorema Gauss-Lagrange.

Fie neee ,,, 21 o bază a lui V în raport cu care f are expresia analitică

n

i

n

j

jiij xxaxf

1 1

,

n

ii

i exx1

.

Dacă f este forma pătratică nulă, atunci f are expresia canonică în orice bază a lui

V .

Page 133: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

Deci, putem presupune că f este nenulă.

Putem presupune şi că ni ,1 astfel încât 0iia . În caz contrar, dacă 0rpa ,

pentru pr atunci facem schimbarea de coordonate

prnitx

ttx

ttx

ii

prp

prr

,\,,1,

şi vom obţine o expresie analitică în care coeficienţii lui 2rt şi 2pt sunt nenuli.

Presupunem că 011 a .

Grupând termenii care conţin variabila 1x , din (3) obţinem

n

ji

jiij

n

k

kk xxaxxaxaxf

1,2

11

2111 2 . (4)

În (4) adăugăm şi scădem termenii necesari pentru a scrie pe f sub forma

n

ji

jiij

nn xxaxaxaxa

axf

2,

21

212

111

11

1 ,

unde

n

ji

jiij xxa

2,

nu conţine pe 1x .

Efectuăm schimbarea de coordonate

nn

nn

xz

xz

xaxaxaz

22

12

121

111

deci

nn

nn

zx

zx

za

az

a

az

ax

22

11

12

11

121

11

1 1

Trecerea la noile coordonate nzzz ,,, 21 se realizează prin intermediul relaţiei

11,M xx ,

cu matricea de trecere

Page 134: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

1000

010

1

M11

1

11

12

11

1,

a

a

a

a

a

n

.

Noile coordonate corespund noii baze

nfff ,,, 211 ,

unde

nn

n eea

af

eea

af

ea

f

111

1

2111

122

111

1

1

În raport cu baza 1 , forma Q are expresia analitică

n

ji

jiij zzaz

aQ

2,

21

11

1. (5)

Suma

n

ji

jiij zzaQ

2,1 din membrul drept al relaţiei (5) este o formă pătratică în

1n variabile, deci poate fi tratată prin procedeul descris anterior, precum forma Q .

În concluzie, după cel mult 1n paşi obţinem o bază neee ,,, 21 a lui V ,

relativ la care forma pătratică Q se reduce la expresia canonică.

Exemplul 2. Se consideră forma pătratică

4:Q , 24412332222121 422 xxxxxxxxxxxQ

Folosind metoda Gauss- Lagrange să se aducă Q la expresia canonică şi să se

evidenţieze matricea de trecere de la baza iniţială la baza în care Q are expresia canonică.

Matricea asociată lui Q în raport cu baza baza canonică a spaţiului 4

1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 4321 eeee

este

Page 135: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

10021

0120

0221

21011

A .

Observăm că 011 a .

Putem scrie pe Q sub forma

2342243222

24

21

4

54

2xxxxxxx

xxxxQ

Efectuând schimbarea de coordonate

44

33

22

4211

2

xy

xy

xy

xxxy

rezultă

44

33

22

4211

2

yx

yx

yx

yyyx

Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia

11,M xx

va fi

1000

0100

0010

21011

M1, ,

noua bază fiind

414332121112

1,,, eefefeefef .

Expresia formei pătratice Q în raport cu baza 1 este

234224322221

4

54 yyyyyyyyQ .

Page 136: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

Matricea asociată lui Q în raport cu baza 1 este

este

450210

0120

21210

0001

A .

Observăm că 022 a .

Putem scrie

4324232

43221 22

33

2

12 yyyyyyyyQ

.

Efectuăm schimbarea de coordonate

44

33

4322

11

2

12

yz

yz

yyyz

yz

;

deci

44

33

4322

11

2

12

zy

zy

zzzy

zy

Trecerea la noile coordonate 4321 ,,, zzzz se realizează prin intermediul relaţiei

22,11 M xx ,

cu matricea de trecere

1000

0100

21210

0001

M2,1

.

Noile coordonate corespund noii baze

424323221122

1,2,, ffgffgfgfg .

Page 137: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

Relativ la 2 , forma Q are expresia analitică

4324232221 22

33 zzzzzzQ .

Matricea asociată lui Q în raport cu baza 2 este

este

23100

1300

0010

0001

A .

Observăm că 033 a .

Vom forma pătrat perfect în Q pentru termenii care conţin 3z ; astfel

242432221

6

73

3

1zzzzzQ

Vom efectua schimbarea de coordonate

44

433

22

11

3

zt

zzt

zt

zt

;

vom avea

1000

13100

0010

0001

M3,2

.

Expresia formei pătratice Q în raport cu baza

4343322113 ,3

1,, gghghghgh

este

24232221

6

7

3

1ttttQ ,

deci am obţinut expresia canonică a lui Q .

Vom obţine

33,22,11,22,11,11, MMMMMM xxxx .

Page 138: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

Rezultă că matricea de trecere de la baza iniţială a spaţiului 4 la baza 3 relativ la

care Q are expresia canonică este

3,22,11,3, MMMM .

Teorema 2 (Jacobi). Fie V un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită n ,

KVf : o formă pătratică şi njiijaA

,1 matricea ei relativ la baza

neee ,,, 21 a lui V . Dacă toţi minorii principali

111 a , 2221

12112

aa

aa , , An det

sunt toţi nenuli, atunci există o bază neee ,,, 21 a lui V , în raport cu care forma

pătratică Q are expresia canonică

21

1 in

i i

i yxf

,

unde

iy , ni ,1 sunt coordonatele lui x în baza ,

10 .

Vom prezenta algoritmul pentru obţinerea unei expresii canonice pentru o formă

pătratică, bazat pe teorema Jacobi.

Căutăm vectorii neee ,,, 21 de forma

,2211

2211

2221212

1111

nnnnnn

iiiiii

ececece

ececece

ecece

ece

(6)

unde ijc , nji ,1, se determină impunând condiţiile:

ji

nijeeb ji

,1

1,0, (7)

iar KVVb : este forma biliniară din care provine f .

Calculăm

Page 139: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

ijiijiji

jiiijijijiiiiiji

acacac

eebceebceebceecececbeeb

2211

22112211 ,,,,,

Obţinem

1,:

0,:1

0,:2

0,:1

2211

,12,221,111

22222112

11221111

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiii

iiiiii

acacaceebij

acacaceebij

acacaceebj

acacaceebj

(8)

adică un sistem compatibil determinat, întrucât determinantul său este 0i (deci vectorul

ie este unic determinat).

Folosind formulele lui Crammer obţinem soluţiile sistemului (8):

i

i

i

iii

iii

i

ii

aa

aa

aa

c

11,1

1,11,1

1,111

1

0

0

, ni ,1 .

Pentru a determina expresia formei pătratice în baza neee ,,, 21 vom

calcula elementele matricei A , asociată lui f în rapot cu baza .

Avem

njieebceebceebc

ececebeeba

jijjijij

jjjjijiij

,1,,,,,

,,

2211

11

Dar, din (7) ştim că 0, ji eeb pentru ij ; deci 0ija pentru ij .

Datorită simetriei formei biliniare b rezultă 0ija pentru ij .

Deci 0ija pentru ij .

Pentru ij avem

niceebceebceebceebc

ececebeeba

i

iiiiiiiiiiiiiii

iiiiiiiii

,1,,,,,

,,

111,2211

11

Deducem că în baza forma pătratică are expresia canonică

21

1

1,

in

i i

ijin

jiij yyyaxf

,

Page 140: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

iar matricea asociată acesteia este

n

n

A

1

1

0

0

0

.

Exemplul 3. Folosind metoda Jacobi aflaţi expresia canonică şi baza în care se

realizează aceasta pentru forma pătratică

3:Q , 3321313221

23

22

21 ,,,16887 xxxxxxxxxxxxxxQ .

Rezolvare

Matricea formei pătratice relativ la baza canonică a spaţiului 3 este

148

474

841

A .

Minorii principali 3,0, ii ai acesteia sunt:

.729det

974

41

1

1

3

2

111

0

A

a

Forma pătratică Q va avea următoarea expresie canonică

23

22

21

23

3

222

2

121

1

023

1

1

81

1

9

1yyyyyyyxQ i

i i

i

.

Vom determina noua bază 321 ,, eee în raport cu care Q are expresia canonică:

,3332321313

2221212

1111

ececece

ecece

ece

unde ijc , 3,1, ji se determină impunând condiţiile:

ji

ijeeb ji

,1

31,0, (1)

b fiind forma biliniară asociată formei pătratice Q în baza , adică

Page 141: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

14

33221181

1

9

1, yxyxyxyxb .

Avem

11,

,,,11

11

1111111111111111

c

eeb

caceebceecbeeb;

deci

11 ee .

Vom calcula

.74,,,,

4,,,,

22212222122122222121222212122

22212122112112221121122212112

ccacaceebceebceececbeeb

ccacaceebceebceececbeeb

Ţinând seama de (1) obţinem sistemul

9

1,

9

4

174

042221

2221

2221

cc

cc

cc,

adică

2129

1

9

4eee .

Va trebui să calculăm

.,,,,,

,,,,,

,,,,,

333332323131333323213133

233322322131233323213123

133312321131133323213113

eebceebceebceecececbeeb

eebceebceebceecececbeeb

eebceebceebceecececbeeb

.48

474

84

333231333332323131

333231233322322131

333231133312321131

cccacacac

cccacacac

cccacacac

Ţinând seama de (1) obţinem sistemul

81

1,

81

4,

81

8

148

0474

084

333231

333231

333231

333231

ccc

ccc

ccc

ccc

;

rezultă

321381

1

81

4

81

8eeee .

Teorema 3 (Metoda valorilor proprii). Fie V un spaţiu vectorial real euclidian şi

Vf : o formă pătratică reală. Atunci există o bază ortonormată neee ,,, 21 a

spaţiului vectorial V relativ la care expresia canonică a formei este

Page 142: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

15

n

i

ii yxf

1

2,

unde

n ,,1 sunt valorile proprii ale matricei asociată formei pătratice, relativ la o bază

ortonormată (fiecare valoare proprie fiind inclusă în sumă de atâtea ori cât

multiplicitatea sa),

nyy ,,1 sunt coordonatele vectorului x relativ la baza .

Pentru a aplica metoda valorilor proprii pentru reducerea unei forme pătratice la o expresie

canonică se procedează astfel:

1. se alege o bază ortonormată neee ,,, 21 a lui V şi se scrie matricea A ,

asociată lui f în raport cu baza ;

2. se determină valorile proprii r,,1 ale matricei A , cu multiplicităţile

algebrice corespunzătoare r

aa ,,1 , cu naa

r

1 (vezi cursul 7);

3. pentru subspaţiile proprii r

WW ,,1 asociate valorilor proprii r ,,1 (vezi

cursul 7); se determină bazele ortonormate r ,,1 , folosind procedeul de

ortogonalizare Gram- Schmidt (vezi cursul 8);

4. se consideră baza ortonormată r 1 a lui V şi se scrie expresia

canonică a lui f în raport cu baza , adică

n

i

ii yxf

1

2, unde

tnyyx ,,1 .

Exemplul 4. Folosind metoda valorilor proprii determinaţi expresia canonică şi baza în

care se realizează aceasta pentru forma pătratică

3:f , 323121232221 xxxxxxxxxxf .

Matricea asociată lui f în raport cu baza canonică a spaţiului 3 este

12121

21121

21211

A .

Avem

Page 143: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

16

2

2

12

12121

21121

21211

P ,

ce are rădăcinile

2,21

1,2

2

1

2

1

a

a

Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 1 este

xxAxW 13 |

1 .

Obţinem

02

1

2

1

02

1

2

1

02

1

2

1

22

1

2

1

22

1

2

1

22

1

2

1

321

321

321

3321

2321

1321

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

Notăm tx 3 , t .

Avem

txx

txx

21

21

2

2

Deducem

txtx 21 , .

Deci

13

1

11,1,1,,| ctttttxxW

c

.

Baza ortonormată 1 va fi 11 f , unde

3

1,

3

1,

3

1

3

11

1

11 c

c

cf .

Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 2 este

xxAxW 23 |

2 .

Obţinem

Page 144: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

17

3321

2321

1321

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

xxxx

xxxx

xxxx

002

1

2

1

2

1 321321 xxxxxx .

Notăm 2

21

1 , txtx , 21, tt ; deci 21

3 ttx .

Deci

32212121213

32

21,1,01,0,1,,| ctctttttttxxW

cc

.

Considerăm sistemul ortogonal 32 , ff , unde

233

22

fcf

cf

unde se obţine din condiţia ca 3f şi 2f să fie ortogonali, adică

0, 23 ff .

Din

2

1

,

,0,

22

23

223

ff

fcffc .

Rezultă

2

1,1,

2

11,0,1

2

11,1,0

2

1233 fcf .

Baza 322 , ff este ortonormată, unde

2

1,0,

2

1

2

12

2

22 f

f

ff ,

6

1,

3

2,

6

1

3

23

3

33 f

f

ff .

Avem

32121 ,, fff .

Page 145: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

18

Matricea asociată lui f în baza va fi (vezi cursul 7)

2100

0210

002

A ,

iar expresia canonică a lui f în raport cu baza

232221

2

1

2

12 yyyxf .

Definiţia 6. Fie V un spaţiu vectorial real.

a) Forma pătratică Vf : se numeşte pozitiv definită (negativ definită) dacă

0xf ( respectiv, 0xf ), Vx , 0x ;

b) Forma pătratică Vf : se numeşte pozitiv semidefinită (negativ semidefinită)

dacă 0xf ( respectiv, 0xf ), Vx şi există Va , 0a , pentru care

0af ;

c) Forma pătratică Vf : se numeşte nedefinită dacă există Vba , astfel încât

0af şi 0bf .

Definiţia 7. O matrice simetrică este pozitiv (negativ) definită dacă forma pătratică

asociată acesteia este pozitiv (negativ) definită.

Propoziţia 1. Fie V un spaţiu vectorial real, de dimensiune finită n şi

njiijaA

,1, MA matricea simetrică asociată formei pătratice pozitiv definită

Vf : în raport cu baza neee ,,, 21 a lui V . Atunci au loc următoarele

afirmaţii:

a) 0iia , ni ,1 ,

b) 0det A ,

c) nf rang .

Teorema 4 (criteriul lui Sylvester). Fie V un spaţiu vectorial real de dimensiune finită

n şi Vf : o formă pătratică. Atunci numărul coeficienţilor pozitivi şi respectiv al celor

negativi dintr-o expresie canonică a lui f nu depinde de alegerea bazei canonice.

Definiţia 7. i) Numărul p al coeficienţilor pozitivi dintr-o expresie canonică a formei

pătratice f se numeşte indexul pozitiv al lui f .

Page 146: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

19

ii) Numărul q al coeficienţilor negatitivi dintr-o expresie canonică a formei pătratice f

se numeşte indexul negativ al lui f .

iii) Perechea dqp ,, se numeşte signatura formei pătratice, unde qpnd este

numărul de coeficienţi nuli.

Teorema următoare ne permite să decidem dacă o formă pătratică este pozitiv sau negativ

definită, fără a fi obligaţi să determinăm o expresie canonică a sa.

Teorema 5 . Fie V un spaţiu vectorial real de dimensiune finită n şi njiijaA

,1,

MA matricea simetrică asociată formei pătratice Vf : în raport cu baza

neee ,,, 21 a lui V . Atunci

1. f este pozitiv definită dacă şi numai dacă toţi minorii principali n ,,, 21

ai matricei A sunt strict pozitivi

2. f este negativ definită dacă şi numai dacă 01 kk , nk ,1 .

Observaţii. i) Forma pătratică f este pozitiv (negativ) definită dacă şi numai dacă

pnf rang (respectiv qnf rang ).

ii) Teorema 4 arată că urmând oricare dintre cele trei metode de obţinere a expresiei

canonice a unei forme pătratice, signatura formei pătratice (dedusă din expresia canonică

obţinută) este totdeauna aceeaşi.

iii) Fiind dată o formă pătratică Vf : şi matricea asociată acesteia relativ la o

bază a spaţiului V , f este pozitiv definită dacă şi numai dacă oricare din următoarele condiţii

este îndeplinită:

forma pătratică f are signatura 0,0,n ;

determinanţii 0i , ni ,1 ;

valorile proprii ale matricei A sunt strict pozitive.

Exemplul 5. Fie 4:f o formă pătratică a cărei expresie analitică în raport cu

baza canonică a lui 4 este

4432114433221 ,,,, xxxxxxxxxxxxxxf .

a) Să se scrie matricea lui f în raport cu baza canonică a lui 4 şi expresia analitică

a polarei lui f în raport cu aceeaşi bază.

Page 147: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

20

b) Folosind metoda lui Gauss să se determine o expresie canonică pentru f şi o bază

a lui 4 în raport cu care f are această expresie canonică.

c) Să se precizeze signatura lui f .

Rezolvare

a) Matricea formei pătratice relativ la baza canonică a lui 4 este

021021

210210

021021

210210

4

3

2

1

x

x

x

x

A .

Observaţie. În scrierea matricei A apar atât 1x , 2x , 3x , 4x cât şi 1y , 2y , 3y , 4y în

vederea obţinerii expresiei analitice a polarei lui f : se înmulţeşte fiecare element al matricei

A cu indicele corespunzător liniei, notat cu ix respectiv al coloanei, notat cu jy la intersecţia

cărora se află acest element.

Expresia analitică a polarei lui f în raport cu baza canonică a lui 4 va fi

43414432332124121 ,,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1, yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxb

b) Deoarece 012 a facem schimbarea de coordonate

.

2

1

2

1

2

1

2

1

44

33

212

211

44

33

212

211

xy

xy

xxy

xxy

yx

yx

yyx

yyx

Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia

11,M xx

va fi

1000

0100

0011

0011

M1, ,

noua bază fiind

2y 3y 4y 1y

Page 148: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

21

44332122111 ,,, efefeefeef .

Expresia formei pătratice f în raport cu baza 1 este

214433212121 yyyyyyyyyyyyxf ,

adică

424143323122

21 yyyyyyyyyyyyxf .

Matricea asociată lui f în raport cu baza 1 este

0212121

2102121

212110

212101

A .

Observăm că 011 a .

Putem scrie pe f sub forma

42324322

24

23

2

4312

3

4

1

4

1

2

1

2

1yyyyyyyyyyyyxf

.

Efectuând schimbarea de coordonate

;

2

1

2

1

44

33

22

4311

yz

yz

yz

yyyz

rezultă

.

2

1

2

1

44

33

22

4311

zy

zy

zy

zzzy

Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia

22,11 M xx

va fi

1000

0100

0010

212101

M2,1

,

Page 149: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

22

noua bază fiind

414313221122

1

2

1,

2

1,, ffgffgfgfg .

Expresia formei pătratice f în raport cu baza 2 este

42324324

23

22

21

2

3

4

1

4

1zzzzzzzzzzxf .

Matricea asociată lui f în raport cu baza 2 este

4143210

4341210

212110

0001

A .

Observăm că 022 a .

Putem scrie pe f sub forma

43

2

43221 2

2

1

2

1zzzzzzxf

.

Efectuând schimbarea de coordonate

;

2

1

2

1

44

33

4322

11

zt

zt

zzzt

zt

rezultă

.

2

1

2

1

44

33

4322

11

tz

tz

tttz

tz

Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia

33,22 M xx

va fi

1000

0100

212110

0001

M3,2

,

Page 150: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

23

noua bază fiind

424323221132

1,

2

1,, gghgghghgh .

Expresia formei pătratice f în raport cu baza 3 este

4322

21 2 ttttxf .

Matricea asociată lui f în raport cu baza 3 este

0100

1000

0010

0001

A .

Observăm că 0;0 3433 aa .

Efectuând schimbarea de coordonate

;434

433

22

11

uut

uut

ut

ut

rezultă

.2

1

2

1

434

433

22

11

ttu

ttu

tu

tu

Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia

44,33 M xx

va fi

1100

1100

0010

0001

M4,3

,

noua bază fiind

43443322114 ,,, hhvhhvhvhv .

Page 151: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

24

Expresia formei pătratice f în raport cu baza 4 este

24

23

22

21 22 uuuuxf .

Matricea asociată lui f în raport cu baza 4 este

2000

0200

0010

0001

B .

c) Avem

2,2 qp .

Obţinem că forma pătratică f are signatura 0,2,2 .

Page 152: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 11

Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare liniare, cu

coeficienţi constanţi

Bibliografie:

1. C. Avramescu, C. Vladimirescu, Ecuaţii Diferenţiale şi Integrale, Reprografia

Universităţii din Craiova, 2003.

2. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

3. Ivanovici, M., Ecuaţii diferenţiale, Reprografia Universităţii din Craiova, 1993.

4. I. Toma, M. V. Soare, P. P. Teodorescu, Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în mecanica

construcţiilor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1999.

Scopuri:

1) Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare omogene, de ordinul n, cu coeficienţi

constanţi

2) Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, de ordinul n, cu coeficienţi

constanţi, utilizând metoda variaţiei constantelor

3) Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, de ordinul n, cu coeficienţi

constanţi, utilizând metoda coeficienţilor nedeterminaţi

4) Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi

folosind metoda ecuaţiei caracteristice

5) Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi

folosind metoda eliminării

6) Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene, cu coeficienţi

constanţi, folosind metoda variaţiei constantelor

1. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare omogene, de ordinul n, cu coeficienţi constanţi

Definiţia 1. (i) O ecuaţie diferenţială de forma:

tfxtaxtaxtaxta nnnn

11

10 . (1)

unde

k

kk

t

xx

d

d , nk ,0 ,

Page 153: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

funcţiile ICfak0, , nk ,0 , I , 00 a se numesc coeficienţii ecuaţiei, iar

funcţia f semnifică termenul liber,

funcţia ICx n este funcţia necunoscută

se numeşte ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n .

(ii) Dacă Ittf ,0 ecuaţia (1) se numeşte omogenă, iar dacă

It , astfel încât 0tf , ecuaţia se numeşte neomogenă

Definiţia 2. O ecuaţie diferenţială de forma

011

10 xaxaxaxa nn

nn . (2)

unde naaa ,,, 10 sunt constante reale, 00 a se numeşte ecuaţie diferenţială liniară

omogenă de ordinul n , cu coeficienţi constanţi.

Definiţia 3. Polinomul nnnn aaaaP

11

10 reprezintă polinomul

caracteristic ataşat ecuaţiei diferenţiale liniară omogenă de ordinul n , cu coeficienţi constanţi

din (2) iar ecuatia 0P constituie ecuatia caracteristica atasata ecuatiei diferentiala din (2).

În continuare vom arăta că soluţiile ecuaţiei diferenţiale (2) depind de tipul rădăcinilor

ecuaţiei caracteristice.

Cazul 1. Considerăm mai întâi cazul când rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi

analizăm pe rând subcazul când rădăcinile sunt distincte şi apoi cazul când ecuaţia

caracteristică are şi rădăcini multiple.

a) Dacă ecuaţia caracteristică are toate rădăcinile reale distincte n ,,1 atunci putem

scrie soluţia ecuaţiei diferenţiale liniare omogene (2) sub forma

tn

tt neCeCeCtx 2121 .

Exemplul 1. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene cu

coeficienţi constanţi

0 xx .

Rezolvare

Se obţine polinomul characteristic:

12 P .

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt 12,1 .

Vom avea

Page 154: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

t

t

etx

etx

2

1

iar soluţia generală va fi

tt eCeCtx 21 .

b) Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcina 1 reală, multiplă, de ordinul p , np

atunci putem scrie soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene (2) sub

forma

tpp

tt etCteCeCtx 111 121

.

c) Dacă ecuaţia caracteristică are k rădăcini reale k ,,1 cu ordinele de

multiplicitate kpp ,,1 , npp k 1 atunci soluţia generală a ecuaţiei

diferenţiale omogene (2) este

tp

tp

tp

kk

etQetQetQtx

111

22

11

,

unde

1211

i

i

ppp tCtCCtQ (3)

este un polinom de grad cel mult 1ip

Exemplul 2. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene cu

coeficienţi constanţi

033 4567 xxxx .

Rezolvare

Vom obţine polinomul caracteristic

344567 133 P .

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt:

0 rădăcină multiplă de ordinul 4,

1 rădăcină multiplă de ordinul 3.

Soluţia generală va fi:

tetCtCCtCtCtCCtx 2765

34

2321 .

Cazul 2. Presupunem că rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe şi analizăm pe

rând subcazul când rădăcinile sunt distincte şi apoi cazul când ecuaţia caracteristică are şi

rădăcini multiple.

Page 155: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

a) Presupunem că ecuaţia caracteristică are toate rădăcinile complexe distincte; rezultă că

ele sunt două câte două complex-conjugate

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene (2) va fi:

teCteCteC

teCteCteCty

kt

ktt

kt

ktt

k

k

sinsinsin

coscoscos

2211

2211

21

21

unde iC , iC , ki ,1 sunt constante arbitrare.

Exemplul 3. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene cu

coeficienţi constanţi

0454 xxx .

Rezolvare

Vom obţine polinomul caracteristic

45 24 P .

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt: i 2,1 , i24,3 .

Soluţia generală va fi

tCtCtCtCtx 2sin2cossincos 4321 .

b) Presupunem că ecuaţia caracteristică are rădăcina complexă 111 i multiplă,

de ordinul 1p ; soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene va fi:

.sinsinsin

coscoscos

1111

111

211

1

1111

111

211

1

tetCtteCteC

tetCtteCteCty

tpp

tt

tpp

tt

c) Ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe

kkk i

i

111

cu ordinele de multiplicitate kpp ,,1 , unde npp k 12 . Atunci soluţia generală a

ecuaţiei diferenţiale omogene (2) este

tjpjp

t j

jjettSttRettSttRtx

sincossincos 111111

1 ,

unde

1211

j

jj

ppp tCtCCtR este un polinom de grad cel mult 1jp ,

1211

j

jj

ppp tCtCCtS este un polinom de grad cel mult 1jp .

Page 156: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

Cazul 3. Presupunem că ecuaţia caracteristică are

o rădăcinile j ,,1 reale cu ordinele de multiplicitate jpp ,,1 şi

o rădăcinile complexe llljj ii ,,111 cu ordinele de

multiplicitate ljj pp ,,1 , unde npppp ljjj 11 2 .

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene (2) va fi:

l

kkkpkkp

ttj

ip ttSttReetQtx

jjki

i1

111

1 sincos ,

unde

tQip 1 este un polinom de grad cel mult 1ip şi are expresia din (3),

1211

k

kj

ppkp tctcctR este un polinom de grad cel mult 1kp ,

1211

k

kj

ppkp tctcctS este un polinom de grad cel mult 1kp .

Exemplul 4. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene cu

coeficienţi constanţi

0124864 468 xxxx .

Rezolvare

Vom obţine polinomul caracteristic

3222468 14124864 P .

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt: 01 rădăcină dublă, i2

13,2

rădăcini triple.

Soluţia generală va fi

2

sin2

cos 2876

254321

ttCtCC

ttCtCCtCCtx .

Definiţia 4. O ecuaţie diferenţială de forma

tfxaxaxaxa nnnn

11

10

unde naaa ,,, 10 sunt constante reale, 00 a iar ICf 0: este o funcţie continuă

pe un interval I se numeşte ecuaţie diferenţială liniară neomogenă de ordinul n cu

coeficienţi constanţi.

Teorema 1. Fie ecuaţia diferenţială de ordinul n , liniară şi neomogenă, cu coeficienţi

constanţi

Page 157: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

tfxaxaxaxa nnnn

11

10 (4)

cu ka , nk ,0 constante reale, 00 a şi ICf 0 , I .

Soluţia generală a acestei ecuaţii este suma dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene

asociate şi o soluţie particulară (oarecare) a ecuaţiei neomogene; deci

txtxtx po .

În cazul când f este o funcţie oarecare, pentru determinarea unei soluţii particulare a

ecuaţiei neomogene se utilizează:

1) metoda variaţiei constantelor (sau metoda constantelor variabile) a lui Lagrange;

2) metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

2. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, de ordinul n, cu coeficienţi

constanţi, utilizând metoda variaţiei constantelor

Teorema 2. Fie ecuaţia diferenţială de ordinul n , liniară şi neomogenă, cu coeficienţi

constanţi

tfxaxaxaxa nnnn

11

10 ,

cu ka , nk ,0 constante reale, 00 a şi ICf 0 , I .

Dacă

txCtxCtxCtx nn 2211

este soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate, atunci o soluţie particulară a ecuaţiei

neomogene poate fi găsită sub forma

txtCtxtCtxtCtx nnp 2211 ,

unde tCtCtC n ,, 21 reprezintă soluţia urmatorului sistem algebric, liniar, de n ecuaţii,

cu n necunoscute, neomogen:

.

0

0

0

0

1122

111

2222

211

2211

2211

a

tftxtCtxtCtxtC

txtCtxtCtxtC

txtCtxtCtxtC

txtCtxtCtxtC

nnn

nn

nnn

nn

nn

nn

Page 158: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

3. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, de ordinul n, cu coeficienţi

constanţi, utilizând metoda coeficienţilor nedeterminaţi

Dacă ordinul ecuaţiei diferenţiale neomogene este mare, atunci calculele pentru

determinarea soluţiei particulare devin laborioase, deoarece sistemul care rezultă prin aplicarea

metodei variaţiei constantelor are n ecuaţii, şi n funcţii necunoscute.

Problemele de fizică conduc la ecuaţii de forma (4), în care tf are o formă particulară

şi în aceste cazuri soluţia particulară a ecuaţiei neomogene poate fi determinată prin metoda

coeficienţilor nedeterminaţi (sau a identificării).

Distingem următoarele situaţii:

Situaţia 1. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma

constCtf .

a) Dacă 00

nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)

are o soluţie particulară de forma

n

pa

Ctx .

b) Dacă 0 este rădăcină multiplă de ordinul mm

a ecuaţiei caracteristice atunci

ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma

mn

m

pam

tCtx

!.

Exemplul 5. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale

3 xx

3 xx .

Rezolvare

Polinomul caracteristic asociat ecuaţiei omogene este

2P .

Ecuaţia caracteristică are rădăcinile 01

01 , 12

12 .

Soluţia ecuaţiei omogene este

to eCCtx 21 .

Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene este

ta

t

a

ttxp 3

3

!1

3

112

1

iar soluţia soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale va fi

Page 159: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

teCCtx t 321 .

Situaţia 2. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma

tCetf ,

unde

este o constantă.

a) Dacă 0

nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)

are o soluţie particulară de forma

P

eCtx

t

p

.

b) Dacă este rădăcină multiplă de ordinul m a ecuaţiei caracteristice atunci

ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma

m

tm

pP

etCtx

.

Situaţia 3. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma

tPtf m

tPtf m ,

unde tPm este un polinom de gradul m .

a) Dacă 0 nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)

are o soluţie particulară de forma

tQtx mp ,

unde tQm

tQm este un polinom de acelaşi grad ca şi tPm

tPm , ai cărui coeficienţi se determină prin

identificare, punând condiţia ca txp să verifice ecuaţia neomogenă.

b) Dacă 0 este rădăcină multiplă de ordinul rr

a ecuaţiei caracteristice atunci ecuaţia

diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma

tQttx mr

t ,

unde tQm este un polinom de acelaşi grad ca şi tPm .

Exemplul 6. Să se determine soluţia generală a următoarei ecuaţii diferenţiale:

210665 2 ttxxx .

Rezolvare

Polinomul caracteristic asociat ecuaţiei omogene este

32652 P .

Ecuaţia caracteristică are rădăcinile 21

21 , 32

32 .

Page 160: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

Soluţia ecuaţiei omogene este

tto eCeCtx 3

22

1 .

Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene este

batttx p 2 .

Avem:

atxp 2 , 2px .

Obţinem

21066252 22 ttbattat ;

deci

02652

010610

bba

aa

adică

2ttxp .

Soluţia soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale va fi 232

21 teCeCtx tt .

Situaţia 4. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma

tPetf mt .

a) Dacă

nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)

are o soluţie particulară de forma

tQetx mt

p , (5)

unde tQm

tQm este un polinom de acelaşi grad ca şi tPm

tPm , ai cărui coeficienţi se determină prin

identificare, punând condiţia ca tx p

txp din (5) să verifice ecuaţia neomogenă.

b) Dacă

este rădăcină multiplă de ordinul rr

a ecuaţiei caracteristice, atunci

ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma

tPtetx mrt

p .

Situaţia 5. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma

tNtMtf sincos .

a) Dacă i i

nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)

are o soluţie particulară de forma

tBtAtxp sincos .

Page 161: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

b) Dacă i este rădăcină multiplă de ordinul mm

a ecuaţiei caracteristice, atunci

ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma

tBtAttx mp sincos .

Situaţia 6. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma

ttQttPetf mmt sincos .

a) Dacă i nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială

(4) are o soluţie particulară de forma

ttSttRetx mmt

p sincos .

b) Dacă i este rădăcină multiplă de ordinul r

r a ecuaţiei caracteristice, atunci

ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma

ttSttRettx mmtr

p sincos .

Situaţia 7. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma

tftftf k 1 ,

cu tf i

tfi de forma din situaţiile 1- 6.

În acest caz, ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma

txtxtx pkpp 1 ,

cu tx pi

txpi corespunzător lui tf i

tfi .

Exemplul 7. Să se determine soluţia generală a ecuaţii diferenţiale

texxx 4154 .

Rezolvare

Polinomul caracteristic asociat ecuaţiei omogene este

5454 223 P .

Ecuaţia caracteristică are rădăcinile

ii 2,2

0

22

1

.

Soluţia ecuaţiei omogene este

tCtCCtx tto cosesine 2

32

21 .

Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene este

txtxtx ppp 21 ,

Page 162: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

unde

5!1

1

213

1

1t

a

t

a

ttx p

iar

ttt

pP

tx

e2

2

e4

1

e42 ;

deci

tp

ttx e2

5.

Soluţia soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale va fi

ttt ttCtCCtx e2

5cosesine 2

32

21 .

4. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi folosind

metoda ecuaţiei caracteristice

Definiţia 5. Un sistem de ecuaţii diferenţiale de forma

,2211

222221212

112121111

tfxtaxtaxtax

tfxtaxtaxtax

tfxtaxtaxtax

nnnnnnn

nn

nn

(6)

unde

t

xx k

kd

d

t

xx

kk

d

d

, nk ,1

nk ,1 ,

ICfa iij0, , nji ,1,

nji ,1,

, II

,

ICxx n1

1 ,, sunt funcţii necunoscute,

se numeşte sistem de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I.

Funcţiile ija

ija se numesc coeficienţii sistemului.

Dacă 01 nff pe I sistemul se numeşte omogen; în caz contrar se numeşte

neomogen.

Page 163: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

Definiţia 6. Un sistem de ecuaţii diferenţiale de forma

,2211

222221212

112121111

tfxaxaxax

tfxaxaxax

tfxaxaxax

nnnnnnn

nn

nn

(7)

unde

t

xx k

kd

d , nk ,1 ,

ija

ija nji ,1, sunt constante reale,

ICfi0 , nji ,1, , I ,

ICxx n1

1 ,, sunt funcţii necunoscute,

se numeşte sistem de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I şi neomogen cu coeficienţi

constanţi.

Fie sistemul liniar şi omogen cu coeficienţi constanţi

tAXtX , (8)

unde

nx

x

tX 1

,

nx

x

tX 1

,

nnn

n

aa

aa

A

1

111

.

Ecuaţia (9) se numeşte ecuaţia caracteristică a sistemului (8):

0Idet nA , (9)

iar nAP Idet este polinomul caracteristic al matricei A deci valorile căutate pentru

sunt valorile proprii ale matricei A .

Cazul 1. Dacă matricea A are valori proprii distincte, atunci fiecărei valori proprii îi

corespunde un vector propriu, de componente nAA ,,1 .

Pentru a determina soluţia generală a sistemului omogen (8) se procedează astfel:

1. se rezolvă ecuaţia 0Idet nA ;

2. se obţin valorile proprii i , ni ,1 ;

3. pentru fiecare valoare proprie i i

se determină vectorul propriu

corespunzător nii AA ,,1 ;

4. se scrie soluţia generală a sistemului omogen (8):

Page 164: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

.eee

eee

eee

222

111

22

2221

1212

12

2121

1111

tnnnn

tn

tnn

tnnn

tt

tnnn

tt

CACACAtx

CACACAtx

CACACAtx

Cazul 2. Cazul valorilor proprii multiple

Presupunem că 0 este valoare proprie de ordin de multiplicitate mm

a matricei A

A .

Soluţia tX va arăta astfel:

tm

m

nm

m

m

nn

CtCtCtX 012

1

2

2

22

12

1

1

21

11

e

.

5. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi

folosind metoda eliminării

Metoda eliminării constă în reducerea sistemului de ecuaţii diferenţiale la o singură

ecuaţie diferenţială liniară de ordinul nn

, pentru una din funcţiile necunoscute ale sistemului şi

rezolvarea apoi a acestei ecuaţii.

În cazul unui sistem de ecuaţii diferenţiale de forma

2221212

2121111

xaxax

xaxax

Metoda eliminării presupune următoarele etape

1. Calculăm

.1221121121221112

1111221212112111

2221212112111222121121112121111

xaaaaxaaa

xaxaaxaaxa

xaaxaaxaxaxaaxaxaxax

2. Rezolvăm ecuaţia diferenţială

0122112112122111 xaaaaxaax

a cărei soluţie este tx1 .

3. Înlocuim pe tx1 în cea de -a doua ecuaţie a sistemului pentru a determina tx2 .

Page 165: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

14

Exemplul 8. Folosind metoda eliminării să se determine soluţia generală pentru

următorul sistem de ecuaţii diferenţiale

.2

43

213

32

321

xxx

xx

xxx

(10)

Rezolvare

Rezultă ecuaţia diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi

1111121313211 67683648348 xxxxxxxxxxxxx ,

adică

067 111 xxx .

Vom obţine polinomul caracteristic

3216731 P .

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 01 P sunt: 11 11

, 22 , 33 33

.

Rezultă

ttt CCCtx 33

2211 eee (11)

Avem

31213 22 xxxxx ,

adică

ttt CCCxxx 33

221133 e3e2e22 .

Vom rezolva ecuaţia diferenţială neomogenă, cu coeficienţi constanţi

ttt CCCxx 33

22133 e6e4e2 .

Determinăm întâi soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate:

033 xx .

Avem:

123 P .

Ecuaţia caracteristică 03 P are rădăcinile i1

i1 , i1

i1 .

Obţinem

tCtCtx o sincos 543 .

Pentru a determina soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale neomogene folosim

observăm că ne aflăm în Situaţia 2, a) deoarece

Page 166: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

15

o 0213 P 0213 P,

o 0523 P 0523 P ,

o 01033 P .

Deci

ttt

ttt

p CCCP

C

P

C

P

Cx 3

32

213

33

3

22

3

13 e

5

3e

5

4e

3

e6

2

e4

1

e2

.

Rezultă

.e5

3e

5

4esincos 3

32

21543ttt CCCtCtCtx (12)

Avem

ttt CCCtCtCxx 33

2215432 e

5

3e

5

4esincos ,

adică

63

32

21542 e5

1e

5

2ecossin CCCCtCtCtx ttt (13)

Introducând (11), (12) şi (13) în (10) vom obţine

0

03

043

043

654

6

45

54

CCC

C

CC

CC

.

Notând

33

3

22

11

5

1

5

1

KeC

KC

KC

t

soluţia generală a sistemului (10) va fi

.e3e4e

ee2e

e5e5e

33

2213

33

2212

33

2211

ttt

ttt

ttt

KKKtx

KKKtx

KKKtx

6. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene, cu coeficienţi

constanţi, folosind metoda variaţiei constantelor

Page 167: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

16

Teorema 3. Soluţia generală a sistemului neomogen este suma dintre soluţia generală a

sistemului omogen şi o soluţie particulară a sistemului neomogen

tx

tx

tx

tx

tx

tx

tXtXtX

pn

p

p

on

o

o

po

2

1

2

1

.

O soluţie particulară a sistemului neomogen se poate determina cu ajutorul metodei

variaţiei constantelor.

Se caută soluţia particulară de forma

nnnnnpn

nnp

nnp

xtKxtKxtKtx

xtKxtKxtKtx

xtKxtKxtKtx

2211

22222112

11221111

unde funcţiile tKi tK i

, ni ,1

ni ,1 se determină din sistemul

.2211

22222211

11122111

tfxtKxtKxtK

tfxtKxtKxtK

tfxtKxtKxtK

nnnnnn

nn

nn

Exemplul 6.1. Să se rezolve sistemul de ecuaţii diferenţiale lineare neomogen, cu

coeficienţi constanţi

.12

21

tt eexx

xx

Rezolvare

Soluţia generală a sistemului omogen asociat

12

21

xx

xx

va fi de forma

.ee

ee

212

211

tto

tto

KKtx

KKtx

Căutăm soluţia particulară a sistemului neomogen de forma

Page 168: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

17

,ee

ee

212

211

ttp

ttp

tKtKtx

tKtKtx

în care funcţiile tK1 şi tK2 verifică ecuaţiile

.

0

21

21

tttt

tt

eeeKeK

eKeK

Obţinem

;2

1

2

1

2

1

2

1

22

21

t

t

eK

eK

deci

t

t

et

K

et

K

22

21

4

1

2

4

1

2 tttK 2

2 e4

1

2

şi

.2

1e

2

1

2

1e

2

1

2

1e

2

1

2

1e

2

1

2

1

tttx

tttx

ttp

ttp

Soluţia generală a sistemului va fi

.2

1e

2

1

2

1e

2

1ee

2

1e

2

1

2

1e

2

1ee

212

211

ttKKtx

ttKKtx

tttt

tttt

Page 169: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Curs 12. Exemple de curbe plane

Bibliografie

1. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

2. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, Facultatea de Matematică şi

Informatică, Universitatea din Craiova, 1993.

3. M. Popescu, M. Sterpu, Geometrie analitică. Teorie si aplicatii, ed. Universitaria

Craiova, 2004.

4. Gh. D. Simionescu, Geometrie analitică, ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1968.

Scopuri:

1) Ecuaţia generală a unei conice

2) Descrierea conicelor nedegenerate: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă

3) Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei conice

4) Prezentarea unor cuadrice remarcabile din geometrie

Definiţia 1. Considerăm funcţia

2:f , cybxbyaxyaxayxf 212

22122

11 222, .

Se numeşte curbă algebrică de ordinul al doilea sau conică mulţimea a punctelor

yxM , din plan, ale căror coordonate în raport cu un reper cartezian ortonormat verifică

ecuaţia generală

0, yxf , (1)

unde coeficienţii cbbaaa ,,,,, 21221211 sunt constante reale, cu 0222

212

211

aaa ; deci

0,,,|, 2 yxfyxyxM .

Definiţia 2. Se numesc invarianţi ai unei conice acele expresii formate cu coeficienţii

ecuaţiei conicei care păstrază aceeaşi valoare la schimbări de repere ortonormate.

Propoziţia 1. Conicei din (1) i se pot asocia trei invarianţi

2211 aaI , 2212

1211

aa

aa ,

cbb

baa

baa

21

22212

11211

,

unul liniar, al doilea pătratic şi al treilea cubic în coeficienţii ecuaţiei conicei.

Invariantul determină natura unei conice. Astfel, dacă

Page 170: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

0 spunem că este conică nedegenerată (cercul, elipsa, hiperbola şi

parabola)

0 spunem că este conică degenerată.

Cu ajutorul lui se stabileşte genul unei conice. Astfel, dacă

0 spunem că are gen eliptic

0 spunem că are gen hiperbolic

0 spunem că are gen parabolic.

Definiţia 3. Se numeşte centru de simetrie al unei conice (în cazul în care acesta

există şi conica se numeşte conică cu centru) un punct C din plan care are proprietatea că

pentru orice punct M , simetricul lui M faţă de C satisface de asemenea ecuaţia conicei

.

Teorema 1. Conica : 0, yxf admite un unic centru de simetrie 00 , yxC dacă

şi numai dacă invariantul al acesteia este nenul; în acest caz, coordonatele sale sunt soluţiile

sistemului liniar:

0

0

y

f

x

f

0

0

22212

11211

byaxa

byaxa

TABLOUL GENERAL DE DISCUŢIE A CONICEI

I) Dacă 0 atunci pentru:

1. 0 , conica este

a) o elipsă reală când 0I

b) o elipsă imaginară când 0I

2. 0 , conica este o parabolă.

3. 0 conica este o hiperbolă

II) Dacă 0 atunci pentru:

1. 0 obţinem două drepte concurente imaginare cu intersecţia reală

2. 0 obţinem:

a) două drepte paralele dacă 01

b) două drepte confundate dacă 01

c) două drepte paralele imaginare dacă 01

3. 0 obţinem două drepte concurente reale,

unde

Page 171: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

21111 bca .

Teorema 2. Orice conică are una din formele canonice:

1) 012

2

2

2

b

y

a

x (elipsă imaginară);

2) 012

2

2

2

b

y

a

x (elipsă reală);

3) 012

2

2

2

b

y

a

x (hiperbolă);

4) 02

2

2

2

b

y

a

x (două drepte concurente imaginare cu intersecţia reală);

5) 02

2

2

2

b

y

a

x (două drepte concurente reale);

6) pxy 22 (parabolă);

7) 012

2

a

x (două drepte paralele imaginare);

8) 012

2

a

x (două drepte paralele reale);

9) 02 x (pereche de drepte confundate);

Definiţia 4. Cercul este mulţimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix,

numit centru, distanţa de la centru la punctele cercului numindu-se rază.

Vom raporta planul cercului la un reper cartezian ortogonal ji,; . Fie baC ,

centrul cercului iar yxM , un punct oarecare al lui (vezi fig. 1).

baC ,

yxM , r

x O

y

Fig. 1.

Page 172: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

Din definiţia 4 rezultă că distanţa dintre C şi M este constantă şi egală cu raza r a

cercului

rCM ,

adică

rbyax 22 .

Ridicând la pătrat obţinem ecuaţia carteziană implicită a cercului de centru baC , şi

rază r

222rbyax . (2)

Dacă desfacem pătratele în (2) obţinem ecuaţia cercului sub forma

022 22222 rbabyaxyx . (3)

Notând

am , bn , 222 rbap

ecuaţia (3) devine

02222 pnymxyx . (4)

În cazul cercului mulţimea va fi

0,,,|, 2 yxgyxyxM ,

unde

pnymxyxyxg 22, 22 .

Deoarece ecuaţia (4) se poate scrie sub forma

pnmnymx 2222

rezultă:

1. dacă 022 pnm atunci cercul va avea centrul nmC , şi raza

pnmr 22

2. dacă 022 pnm atunci cercul se reduce la punctul nmC ,

3. dacă 022 pnm atunci .

Pentru 022 pnm , ecuaţia (4) se numeşte ecuaţia carteziană generală a

cercului .

Dacă este unghiul pe care raza CM îl face cu direcţia pozitivă a axei Ox , atunci

ecuaţiile parametrice ale cercului vor fi

Page 173: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

sin

cos

rby

rax, 2,0 .

Fie 0c un număr real pozitiv şi F , F două puncte fixate din plan astfel încât

cFF 2 .

Exemplul 1. Să se găsească ecuaţia cercului determinat de punctele

3,1,1,2,1,1 PNM .

Rezolvare

Folosind ecuaţia Error! Reference source not found. deducem

.1062

524

222

pnm

pnm

pnm

Rezultă

10

11m ,

10

9n ,

5

12p .

Ecuaţia cercului va fi

05

12

10

18

10

2222 yxyx

sau

0129115 22 yxyx .

Definiţia 5. Elipsa este mulţimea punctelor M din plan care o satisfac relaţia

ctaFMMF 2 , (5)

adică care au suma distanţelor la două puncte fixe constantă.

Pentru a găsi ecuaţia elipsei vom transforma analitic ecuaţia (5).

Alegem pe FF ca axă Ox şi mediatoarea segmentului FF ca axă Oy (vezi fig. 2).

OBBFF .

Page 174: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

A A

B

B

O 0,cF 0,cF

yxM ,

Fig. 2.

Deci 0,cF şi 0,cF ; punctele F şi F se numesc focarele elipsei iar distanţa

FF constituie distanţa focală a elipsei.

MF , FM sunt raze focale ale punctului M . Elipsa admite un centru unic de simetrie

O şi două axe de simetrie OyOx, .

Elipsa este o curbă mărginită (există un dreptunghi care să conţină toate punctele ei).

Dacă yxM , atunci relaţia (5) devine

aycxycx 22222 . (6)

Dorim să simplificăm relaţia (6). Vom scrie

222222244 ycxycxaaycx

sau

cxaycxa 222;

deci

022222222 caayaxca . (7)

În triunghiul FMF se ştie că FFFMMF sau ca 22 , deci ca ; astfel că

022 ca . De aceea, putem nota 222 bca .

Împărţind în (7) cu 22ba rezultă ecuaţia carteziană implicită a elipsei

12

2

2

2

b

y

a

x. (8)

Dacă rba ecuaţia (8) devine

222 ryx

şi reprezintă un cerc cu centrul în origine şi de rază r .

Deci, cercul este o elipsă particulară.

Page 175: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

Astfel

1,,|,2

2

2

22

b

y

a

xyxyxM .

Pentru a găsi punctele de intersecţie ale curbei cu axele de coordonate vom face pe rând

0y şi 0x . Rezultă 0,aA , 0,aA pe Ox şi bB ,0 , bB ,0 pe Oy .

Segmentul

o aAA 2 se numeşte axa mare a elipsei;

o bBB 2 se numeşte axa mică a elipsei.

Jumătăţile lor, adică aOA şi bOB sunt semiaxele elipsei.

Punctele BBAA ,,, poartă numele de vârfurile elipsei.

Din ecuaţia (8) se deduc ecuaţiile carteziene explicite ale elipsei

22 xaa

by , aax , .

Pentru a obtine ecuatiile parametrice ale elipsei se procedeaza astfel:

1) se construiesc doua cercuri concentrice cu razele a si respectiv b , ba ;

2) se traseaza prin origine o semidreapta, care intersecteaza cele doua cercuri in

punctele A si respectiv B ;

3) prin punctele A si B se duc drepte paralele cu axele; intersectia acestor puncte va

fi un punct M al elipsei;

x

y

O

yxM ,

A

B

4) daca se noteaza unghiul format de raza OAcu axa Ox se poate deduce ca

ecuaţiile parametrice ale elipsei sunt:

Page 176: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

sin

cos

by

ax, 2,0 .

Ca şi la elipsă considerăm 0c un număr real pozitiv şi F , F două puncte fixate

din plan astfel încât cFF 2 .

Definiţia 6. Hiperbola este mulţimea punctelor M din plan care satisfac relaţia

ctaFMMF 2 , (9)

adică care au diferenţa distanţelor la două puncte fixe constantă.

Pentru a găsi ecuaţia hiperbolei vom transforma analitic ecuaţia (9).

Alegem pe FF ca axă Ox şi mediatoarea segmentului FF ca axă Oy (vezi fig. 3).

MF , FM sunt raze focale ale punctului M . Hiperbola admite un centru unic de

simetrie O şi două axe de simetrie OyOx, .

Hiperbola este o curbă nemărginită.

A A O 0,cF 0,cF

yxM ,

x

y

Fig. 3.

Deci 0,cF şi 0,cF ; punctele F şi F se numesc focarele hiperbolei iar distanţa

FF constituie distanţa focală a hiperbolei.

Dacă yxM , atunci relaţia (9) devine

aycxycx 22222 . (10)

Vom obţine

222222244 aycxaycxycx .

După reducerea termenilor asemenea şi trecerea în prima parte a tuturor celor care nu

conţin radicali, avem

222 ycxaacx .

Prin ridicare la pătrat deducem

Page 177: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

022222222 acayaxac . (11)

Observăm că am obţinut aceeaşi ecuaţie (7) de la elipsă, ceea ce rezultă înmulţind în

(11) cu 1 şi schimbând semnele în paranteze.

Deosebirea hiperbolei faţă de elipsă (unde aveam ca ) provine din faptul că în

triunghiul FMF din aFMMFFF 2 avem ac ; astfel că 022 ac . De

aceea, putem nota 222 bac .

Împărţind în (11) cu 22ba rezultă ecuaţia carteziană implicită a hiperbolei

12

2

2

2

b

y

a

x. (12)

Pentru a găsi punctele de intersecţie ale hiperbolei cu axele de coordonate vom face pe

rând 0y şi 0x . Rezultă 0,aA , 0,aA pe Ox iar pe axa Oy nu avem puncte reale,

deci axa Oy nu taie hiperbola.

De aceea, axa Ox se numeşte axă transversă iar axa Oy axă netransversă.

Punctele AA , reprezintă vârfurile hiperbolei.

Din ecuaţia (12) se deduc ecuaţiile carteziene explicite ale hiperbolei

22 axa

by , ,, aax .

Hiperbola admite două asimptote oblice xa

by .

Din (12) avem

1

b

y

a

x

b

y

a

x.

Daca ,ax , notand

t

t

eb

y

a

x

eb

y

a

x

tt eea

x 2 2

tt eeax

rezulta ca ecuaţiile parametrice ale hiperbolei sunt:

tby

tax

sh

ch, t .

Daca ax , , notand

Page 178: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

t

t

eb

y

a

x

eb

y

a

x

tt eea

x 2 2

tt eeax

rezulta ca ecuaţiile parametrice ale hiperbolei sunt:

tby

tax

sh

ch, t .

Exemplul 2. Să se determine vârfurile, focarele şi asimptotele hiperbolei

0852 22 yx .

Rezolvare

Scriind ecuaţia hiperbolei sub forma

01

5

84

22

yx

,

deducem

.5

28

5

8

4

222

2

2

bac

b

a

Vârfurile hiperbolei sunt

0,2,0,2 AA

iar focarele

0,

5

72,0,

5

72 FF .

Ecuaţiile asimptotelor hiperbolei sunt

xy5

2 .

Definiţia 7. Parabola este mulţimea punctelor din plan egal depărtate de o dreaptă fixă

şi de un punct fix.

Dreapta fixă se numeşte directoarea parabolei iar punctul fix focarul parabolei.

Pentru a găsi ecuaţia parabolei alegem un reper cartezian ale cărui axe de coordonate

sunt:

Page 179: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

o perpendiculara din focarul F pe directoarea d ca axă Ox ,

o paralela la d dusă la jumătatea distanţei dintre focar şi directoarea d ca axă

Oy (coincide cu tangenta la varvul parabolei).

Notăm OxdA . Fie M un punct al parabolei şi N proiecţia lui pe directoare

(vezi fig.4).

A O

yxM ,

x

y

M

y

pN ,

2

0,

2

pF

d

Fig. 4.

Parabola nu are centru de simetrie şi are o singură axă de simetrie Ox . Este o curbă

nemărginită.

Se notează pAF ; rezultă

0,

2

pF şi

0,

2

pA .

Dacă M este un punct oarecare al parabolei, potrivit definiţiei 7, relaţia pe care o

satisface punctul M este

MNMF . (13)

Deoarece

22

px

pxMN

,

relaţia (13) devine

222

2p

xyp

x

;

ridicând la pătrat se obţine ecuaţia carteziană implicită a parabolei

pxy 22 . (14)

Observatie. In cazul in care 0x , ecuaţia carteziană implicită a parabolei va deveni

pxy 22 .

Axa Ox taie parabola în punctul 0,0O numit vârful parabolei.

Page 180: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

Din ecuaţia (14) se deduc ecuaţiile carteziene explicite ale parabolei

pxy 2 , 0x ,

p fiind un numar pozitiv numit parametrul parabolei, care indica forma acesteia.

Cu cat p este mai mic, cu atat focarul si directoarea se apropie de axa Oy, iar parabola

se apropie de axa Ox (cand 0p atunci parabola degenereaza in axa Ox). Cu cat p este mai

mare, cu atat focarul si directoarea se departeaza de axa Oy, iar parabola se apropie de axa Oy

(cand p atunci parabola degenereaza in axa Oy).

Ecuaţiile parametrice ale parabolei sunt

ty

p

tx

2

2

, t .

Ne propunem să determinăm un reper cartezian ortonormat faţă de care ecuaţia generală

din (1) a lui să aibă una din formele canonice din (2), (8), (12), (14).

Distingem următoarele situaţii:

Cazul 1. 0 , adică conica admite un centru unic de simetrie 00 , yxC

Etapele care se parcurg în acest caz pentru obţinera unei ecuaţii canonice a conice sunt:

1) Ataşăm ecuaţiei (1) forma pătratică

22212

211 2 yaxyaxavQ , 2, yxv .

2) Matricei

2212

1211

aa

aaA asociată formei Q în raport cu baza canonică B a lui 2 îi

ataşăm polinomul caracteristic

I

aa

aaP 2

2212

1211.

3) Se efectuează o schimbare de reper ortonormat astfel încât centrul de simetrie să

constituie originea noului reper. Trecerea de la coordonatele yx, la coordonatele

yx , în noul reper se realizează printr-o translaţie de vector OC , caracterizată de

ecuaţiile

yyy

xxx

0

0.

Prin această transformare, ecuaţia generală a conicei devine

Page 181: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

02

22

02

012

02200122

011

cyyb

xxbyyayyxxaxxa

adică

02 22212

211 cyayxaxa , 00 , yxfc (15)

4) Se determină o bază ortonormată B formată din vectorii proprii corespunzători valorilor

proprii 1 şi 2 ale matricei A (vezi metoda valorilor proprii din cursul 10).

5) În raport cu baza B , ecuaţia (15) va deveni

022

21 cyx . (16)

Trecerea la noile coordonate yx , se realizează prin intermediul relaţiei

y

x

y

xBB,M .

Observăm că pentru ecuaţia (16) avem

212

1

0

0

, c

c

212

1

00

00

00

.

Deoarece 0 rezultă că c

.

6) Obţinem ecuaţia canonică a conicei:

022

21

yx . (17)

Observaţii. Dacă 1 şi 2 au acelaşi semn iar

are semn opus atunci din (17) se obţine

o elipsă. Dacă 1 şi 2 au semne diferite atunci din (17) se obţine o hiperbolă.

Exemplul 3. Se consideră conica

02816649: 22 yxyxyx .

Să se aducă la forma canonică, indicându-se schimbările de reper necesare, să se

recunoască conica obţinută şi să se reprezinte grafic.

Rezolvare

Avem

Page 182: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

14

.0500

248

462

829

05062

29

1569

I

Deoarece

0 , conica este de tip eliptic,

0 conica este nedegenerată,

0 , conica admite centru unic de simetrie.

Centrul conicei este dat de sistemul:

,08124

016418

yx

yx

adică este punctul

5

2,

5

4C .

Vom efectua o schimbare de reper ortonormat astfel încât centrul de simetrie să

constituie originea noului reper:

.5

2

5

4

5

2

5

4

yy

xx

yy

xx

Prin această transformare, ecuaţia conicei devine

025

28

5

416

5

26

5

2

5

44

5

49:

22

yxyyxx

sau

010649 22 yyxx . (19)

Observăm că

5

2,

5

4fc ,

unde

2816649, 22 yxyxyxyxf .

Matricea asociată formei pătratice din (19) este

Page 183: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

15

62

29A .

Deoarece polinomul caracteristicasociat matricei A este

51050152 P

rezultă valorile proprii

51 , 102 .

Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 1 va fi

vvAvV 12

1| .

Din relaţia

vvA 1

deducem

2

1

2

15

62

29

v

v

v

v;

deci

;2562

52921

221

121vv

vvv

vvv

rezultă

112

1,2,1| vvvvV

w

.

Vom obţine baza ortonormată

11 f ,

unde

5

2,

5

11

w

wf .

Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 2 va fi

uuAuV 22

2| .

Din relaţia

uuA 2

deducem

Page 184: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

16

2

1

2

110

62

29

u

u

u

u;

deci

;21062

102921

221

121uu

uuu

uuu

rezultă

222

2,1,2| uuuuV

z

.

Vom obţine baza ortonormată

22 f ,

unde

5

1,

5

22

z

zf .

Va rezulta

2121 , ff .

Ecuaţia conicei devine

010105: 22 yx .

Trecerea la noile coordonate yx , se realizează prin intermediul relaţiei

y

x

y

x, ,

unde

5

1

5

25

2

5

1

, ;

deci

yxy

yxx

5

1

5

2

5

2

5

1

(20)

Ecuaţia conicei va avea forma canonică

0112

:22

yx

Page 185: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

17

şi reprezintă o elipsă.

Axele elipsei au ecuaţiile 0x şi respectiv 0y .

Rezolvând sistemul din (20) deducem

.5

2

5

2

yxy

yxx

Aşadar, axele elipsei au ecuaţiile

.02

02

yx

yx

Ţinând seama că

5

2

5

4

yy

xx

deducem că axele elipsei vor avea ecuaţiile

,05

2

5

42

05

22

5

4

yx

yx

adică

.05

62

05

82

yx

yx

Centrul elipsei va fi 0,0 yxO .

Avem

0

0

y

x

05

2

05

2

yx

yx

02

02

yx

yx

;5

2

5

4

.05

62

05

82

y

x

yx

yx

deci centrul elipsei va fi

5

2,

5

4yxO .

Vârfurile elipsei vor fi

0,2 yxA , 0,2 yxA , 1,0 yxB , 1,0 yxB .

Deducem

Page 186: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

18

0

2

y

x

.5

1012

5

410

.05

62

105

82

02

102

05

2

25

2

y

x

yx

yx

yx

yx

yx

yx

0

2

y

x

.5

1012

5

410

y

x

1

0

y

x

.5

52

5

452

.55

62

05

82

52

02

15

2

05

2

y

x

yx

yx

yx

yx

yx

yx

1

0

y

x

.5

52

5

452

y

x

Obţinem vârfurile următoare ale elipsei

5

1012,

5

410yxA ,

5

1012,

5

410yxA ,

5

52,

5

452yxB ,

5

52,

5

452yxB .

Elipsa obţinută are reprezentarea grafică de mai jos

A

A

B

B O x

y

x

O

y

x

Cazul 2. 0 , adică conica nu are centru unic de simetrie.

Etapele care se parcurg în acest caz pentru obţinera unei ecuaţii canonice a conice sunt:

1), 2), 4) de la cazul 1 urmate de

Page 187: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

19

1’) În raport cu baza B , ecuaţia (1) va deveni

022 212

22

1 cybxbyx . (18)

Trecerea la noile coordonate yx , se realizează prin intermediul relaţiei

y

x

y

xBB,M .

Observăm că pentru ecuaţia (18) avem

212

1

0

0

.

Presupunem 02 pentru ca 0 . Vom obţine ecuaţia

022 212

1 cybxbx .

2’) Se formează un pătrat perfect

02

1

21

2

2

1

11

bcyb

bx .

3’) Efectuând schimbarea de coordonate

yy

bxx

1

1

rezultă ecuaţia

02 22

1 cybx .

Observăm că avem

221

2

2

1

0

00

00

b

cb

b

.

4’) 0 02 b ; de aceea putem scrie

02

22

22

1

b

cybx .

5’) Efectuând schimbarea de coordonate

22b

cyY

xX

rezultă ecuaţia canonică

Page 188: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

20

02 22

1 YbX ,

care corespunde unei parabole.

Exemplul 4. Se consideră conica

074344: 22 yxyxyx .

Să se aducă la forma canonică, indicându-se schimbările de reper necesare şi să se

recunoască conica obţinută.

Solution

Avem

.04

25

7223

212

2324

012

24

514

I

Deoarece

0 conica este nedegenerată,

0 , conica nu admite centru unic de simetrie.

Matricea asociată formei pătratice este

12

24A .

Deoarece polinomul caracteristicasociat matricei A este

552 P

rezultă valorile proprii

01 , 52 .

Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 1 va fi

uuAuV 12

1| .

Din relaţia

uuA 1

deducem

2

1

2

10

12

24

u

u

u

u;

Page 189: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

21

deci

;202

02412

21

21uu

uu

uu

rezultă

1112

1,2,| uuuuuV .

Considerând 11 u rezultă 22 u , adică 2,1u .

Vom obţine baza ortonormată

11 f ,

unde

5

2,

5

11

u

uf .

Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 2 va fi

vvAvV 22

2| .

Din relaţia

vvA 2

deducem

2

1

2

15

12

24

v

v

v

v;

deci

;252

52421

221

121vv

vvv

vvv

rezultă

2222

2,,2| vvvvvV .

Considerând 12 v rezultă 21 v , adică 1,2v .

Vom obţine baza ortonormată

22 f ,

unde

5

1,

5

22

v

vf .

Va rezulta

Page 190: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

22

2121 , ff .

În raport cu baza B , ecuaţia conicei va deveni

075

1

5

24

5

2

5

132

22

1

yxyxyx

sau

075255 2 yxy . (8.1)

Trecerea la noile coordonate yx , se realizează prin intermediul relaţiei

y

x

y

x, ,

unde

5

1

5

25

2

5

1

, ;

deducem

.5

1

5

2

5

2

5

1

yxy

yxx

Vom forma un pătrat perfect, scriind ecuaţia (8.1) sub forma

05

85

5

15

2

xy .

Efectuând schimbarea de coordonate

5

1

5

8

yy

xx

rezultă ecuaţia 055 2 xy .

Ecuaţia conicei va avea forma canonică xy 5

1: 2

şi reprezintă o parabolă.

Page 191: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

1

Cursul 13. Cuadrice

Bibliografie

1. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic

Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.

2. G. Margulescu, P. Papadopol, Curs de geometrice analitica, diferentiala si algebra

liniara, Catedra de Matematici, 1976.

3. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, Facultatea de Matematică şi

Informatică, Universitatea din Craiova, 1993.

4. M. Popescu, M. Sterpu, Geometrie analitică. Teorie si aplicatii, ed. Universitaria

Craiova, 2004.

Scopuri:

1) Ecuaţia generală a unei cuadrice

2) Cuadrice pe ecuaţii canonice: sfera, conul, elipsoidul, hiperboloizi, paraboloizi

Definition 18. Considerăm funcţia

3:f ,

czbybxbyzaxzaxyazayaxazyxf 3212313122

332

222

11 222222,,

Se numeşte suprafaţă algebrică de ordinul al doilea sau cuadrică mulţimea a

punctelor zyxM ,, din spaţiu, ale căror coordonate în raport cu un reper cartezian ortonormat

verifică ecuaţia generală

0,, zyxf ; (1)

deci

0,,,,,|,, 3 zyxfzyxzyxM .

Propoziţia 2. Cuadricei din (1) i se pot asocia patru invarianţi

332211 aaaI , 3323

2322

3313

1311

2212

1211

aa

aa

aa

aa

aa

aaJ ,

332313

232212

131211

aaa

aaa

aaa

,

cbbb

baaa

baaa

baaa

321

3332313

2232212

1131211

.

Invariantul determină natura cuadricei. Astfel, dacă

Page 192: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

2

0 cuadrica se numeşte nedegenerată (sfera, elipsoidul, hiperboloizii şi

paraboloizii)

0 cuadrica se numeşte degenerată (conul, cilindrii).

Ca şi în cazul conicelor, centrul de simetrie al unei cuadrice : 0,, zyxf este

soluţia sistemului liniar :

0

0

0

z

f

y

f

x

f

0

0

0

3332313

2232212

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

Teorema 2. Orice cuadrică are una din formele canonice:

1. 012

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 cba (elipsoid imaginar);

2. 012

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 cba (elipsoid real);

3. 012

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 ba , 0c (hiperboloid cu pânză);

4. 012

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 ba , 0c (hiperboloid cu două pânze);

5. 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x 0 ba , 0c (con imaginar de ordinul doi);

6. 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 ba , 0c (con real de ordinul doi );

7. 022

2

2

2

zb

y

a

x, 0 ba (paraboloid eliptic);

8. 022

2

2

2

zb

y

a

x, 0a , 0b (paraboloid hiperbolic);

9. 012

2

2

2

b

y

a

x, 0 ba , 0c (cilindru eliptic imaginar);

10. 012

2

2

2

b

y

a

x, 0 ba , 0c (cilindru eliptic real);

Page 193: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

3

11. 012

2

2

2

b

y

a

x, 0a , 0b (cilindru hiperbolic);

12. 02

2

2

2

b

y

a

x, 0, ba (pereche de plane imaginare cu intersecţa o dreaptă

reală);

13. 02

2

2

2

b

y

a

x, 0, ba (pereche de plane secante);

14. 022

2

za

x, 0a (cilindru parabolic);

15. 012

2

a

x, 0a (pereche de plane paralele imaginare);

16. 012

2

a

x, 0a (pereche de plane paralele reale);

17. 02 x (pereche de plane confundate).

TABLOUL GENERAL DE DISCUŢIE A CUADRICEI

I) Dacă 0 atunci pentru:

1. 0 , cuadrica are ecuaţia canonică

023

22

21

zSySxS , (2)

unde 1S , 2S , 3S sunt rădăcinile ecuaţiei seculare

023 JSISS

2. 0 , cuadrica are ecuaţia canonică

zJ

ySxS

222

21 . (3)

Dacă coeficienţii din (2) au semnele

a) cuadrica este un elipsoid imaginar

b) cuadrica este un elipsoid real

c) cuadrica este un hiperboloid cu o pânză

d) cuadrica este un hiperboloid cu două pânze.

Dacă coeficienţii din (3) au semnele

a) cuadrica este un paraboloid eliptic

Page 194: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

4

b) cuadrica este un paraboloid hiperbolic

II) Dacă 0 atunci pentru:

1. 0 , cuadrica are ecuaţia canonică

023

22

21 zSySxS , (4)

2. 0 , cuadrica este cilindru sau pereche de plane.

Dacă coeficienţii din (4) au semnele

1. cuadrica este un con imaginar

2. cuadrica este un con real

Exemplul 1. Să se determine natura următoarelor cuadrice:

a) 06722 zyzxyyx ,

b) 010940672436 222 zyxzyx ,

Rezolvare

a) Avem

zyzxyyxzyxf 67,, 22 .

Indentificăm coeficienţii cuadricei:

.0

,3,0,0

,2

1,0,

2

7,0,1,1

321

231312332211

c

bbb

aaaaaa

Vom obţine

.04

405

0300

30210

021127

00271

04

1

0210

21127

0271

2

23

021

211

00

01

127

271

211

J

I

Întrucât 0 , cuadrica admite centru unic de simetrie; coordonatele centrului rezultă

rezolvând sistemul

Page 195: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

5

135,6,21

06

072

072

0

0

0

C

y

zxy

yx

z

f

y

f

x

f

.

Vom rezolva ecuaţia seculară

04

1

2

2320 2323 SSSJSISS ;

obţinem soluţia

-2.54938S4.52772,SS 321 0.02166, .

Ecuaţia cuadricei va avea forma canonică

04052.54938-4.527720.02166 222 zyx ,

adică este un hiperboloid cu pânză.

b) Avem

10940672436,, 222 zyxzyxzyxf .

Invarianţii cuadricei vor fi

.05184

10920336

20400

3010

360036

0144

400

2110

0036

18440

01

40

036

10

036

414136

J

I

Ecuaţia seculară

0144184410 2323 SSSJSISS ;

are soluţia

4,631 321 SSS .

Ecuaţia cuadricei va avea forma canonică

036364 222 zyx

Page 196: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

6

sau

01936

222

zyx

,

adică este un elipsoid real.

Observaţie. Cuadricele puteau fi aduse la forma canonică, folosind metodele de aducere

la forma canonică a unei forme pătratice.

Definiţia 2. Sfera este mulţimea punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix,

numit centrul sferei, distanţa de la centru la punctele sferei numindu-se raza sferei.

Vom raporta planul sferei la un reper cartezian ortonormat. Fie cbaC ,, centrul sferei

iar zyxM ,, un punct oarecare al sferei (vezi fig. 1).

y O

z

x

cbaC ,,

zyxM ,,

Fig. 1. Sfera

Observatii. Sfera este o cuadrica de rotatie care se obtine prin rotirea unui cerc

(semicerc) in jurul unui diametru al sau.

In tehnica pot fi intalnite obiecte de forma sferica, de exemplu rulmentii.

Din definiţia 2 rezultă că distanţa dintre C şi M este constantă şi egală cu raza R a

sferei

RCM ,

adică

Rczbyax 222

.

Ridicând la pătrat obţinem ecuaţia carteziană implicită a sferei de centru cbaC ,, şi

rază R

2222Rczbyax . (5)

Dacă desfacem pătratele în (5) obţinem ecuaţia carteziană generală a sferei

0222 2222222 Rcbaczbyaxzyx . (6)

Page 197: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

7

Pentru a obtine ecuatiile parametrice ale unei sfere vom introduce notiunea de

coordonate sferice.

y O

z

x

M

M

Fig. 2. Coordonatele sfeice ale unui punct din spatiu

Relatiile dintre coordonatele carteziene zyx ,, ale unui punct M din spatiu si

coordonatele sale sferice ,, sunt:

,cos

sinsin

cossin

z

y

x

unde:

0 reprezinta distanta de la punctul M pana la originea axelor de

coordonate,

, ,0 constituie unghiul pe care-l face vectorul de pozitie al punctului

M cu axa zO ,

, 2,0 semnifica unghiul pe care-l face proiectia pe planul xOy a

vectorului de pozitie al punctului M cu axa xO .

Observatie. Fiecarui triplet de coordonate sferice îi corespunde un punct, dar nu oricarui

punct îi corespunde un triplet, precum in cazul cand M se afla pe zO sau in origine.

Daca efectuam o schimbare de reper ortonormat, astfel incat cbaC ,, sa constituie

orginea noului reper, atunci trecerea de la coordonatele zyx ,, la coordonatele zyx ,, în

noul reper se realizează printr-o translaţie de vector OC , caracterizată de ecuaţiile:

Page 198: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

8

.zcz

yby

xax

Ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul cbaC ,, şi de rază 0 vor fi:

,cos

sinsin

cossin

cz

by

ax

, ,,0 .2,0

Example 1. Să scrie ecuaţia sferei cu centrul pe dreapta

1

2

1

1

1:

zyxd

având raza 2R şi care trece prin punctul 1,2,0 A .

Rezolvare

Avem

tt

zyx,

1

2

1

1

1.

Ecuaţiile parametrice ale dreptei d vor fi:

.2

1

2

1

tz

ty

tx

tz

ty

tx

Deoarece centru sferei este situate pe dreapta d , rezultă că punctul

2,1, tttC

este centrul sferei.

Din condiţia

22RCA

deducem

21121221222222 tttttt ,

adică

00321212 2222 ttttttt .

Rezultă că centrul sferei este punctul

2,1,0 C ,

iar ecuaţia sferei va fi

Page 199: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

9

221:222 zyxS .

Definiţia 3. Elipsoidul este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror coordonate în

raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia

012

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 cba (7)

unde cba ,, sunt semiaxele elipsoidului.

Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia elipsoidului.

Pentru a reprezenta grafic elipsoidul vom determina intersecţiile sale cu:

- axele de coordonate,

- planele de coordonate

- planele paralele cu planele de coordonate.

0

0:

z

yOx 01

2

2

a

x ax elipsoidul intersectează Ox în două puncte:

0,0,aA şi 0,0,aA .

0

0:

z

xOy 01

2

2

b

y by elipsoidul intersectează Oy în două puncte:

0,,0 bB şi 0,,0 bB .

0

0:

y

xOz 01

2

2

c

z cz elipsoidul intersectează Oz în două puncte:

cC ,0,0 şi cC ,0,0 .

Punctele CCBBAA ,,,,, sunt vârfurile elipsoidului.

Axele de simetrie ale elipsoidului: OzOyOx ,, .

0: zOxy 012

2

2

2

b

y

a

xelipsă de semiaxe a şi b .

0: yOxz 012

2

2

2

c

z

a

xelipsă de semiaxe a şi c .

0: xOyz 012

2

2

2

c

z

b

yelipsă de semiaxe b şi c .

Intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy , de ecuaţie kz se determină din:

012

2

2

2

2

2

c

k

b

y

a

x.

Page 200: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

10

Dacă cck , atunci intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy sunt elipse având

ecuaţiile

012

22

2

222

2

kc

c

b

y

kcc

a

x.

y O

z

x

B B

C

C

A

A

Fig.3. Elipsoidul

Elipsoidul are: un centru unic de simetrie (originea), axe de simetrie (axele de

coordonate), plane de simetrie (planele de coordonate).

Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului sunt:

ucz

vuby

vuax

cos

sinsin

cossin

, ,0u , 2,0v .

Observatii. Sfera este un caz particular de elipsoid, obtinuta in cazul in care toate

semiaxele elipsoidului sunt egale intre ele.

Daca doua semiaxe sunt egale, atunci se obtine un elipsoid de rotatie, care poate fi

generat prin rotatia unei elipse in jurul unei axe. De exemplu, dacă a=b atunci elipsoidul este

de rotaţie în jurul lui Oz.

Definiţia 4. Conul de ordinul doi este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror

coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 ba , 0c .

Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia conului.

Pentru a reprezenta grafic conul vom determina intersecţiile sale cu:

- axele de coordonate,

Page 201: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

11

- planele de coordonate

- planele paralele cu planele de coordonate.

0

0:

z

yOx 0

2

2

a

x 0x conul intersectează Ox în punctul: 0,0,0O .

Similar, conul intersectează Oy şi Oz în punctul O .

0: zOxy 02

2

2

2

b

y

a

x 0 yx .

0: yOxz 02

2

2

2

c

z

a

x

0

0

c

z

a

x

c

z

a

x

două drepte concurente în punctul 0,0,0O

0: xOyz 02

2

2

2

c

z

b

y

0

0

c

z

b

y

c

z

b

y

două drepte concurente în punctul 0,0,0O

Intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy , de ecuaţie kz se determină din:

02

2

2

2

2

2

c

k

b

y

a

x.

Intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt elipse având ecuaţiile

012

2

2

2

k

c

b

y

kc

a

x.

y O

z

x

Conul are centru unic de simetrie.

Page 202: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

12

Observatie. Dacă a=b atunci se obtine conul de rotaţie care poate fi generat prin rotatia

unei cuadricei (care reprezinta doua drepte concurente)

02

2

2

2

c

z

a

y

in jurul axei Oz.

Ecuaţiile parametrice ale conului de ordinul doi:

cvz

ubvy

uavx

sin

cos

, 2,0u , v .

Definiţia 5. Hiperboloidul cu o pânză este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror

coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia

012

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 ba , 0c . (8)

Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia hiperboloidului cu o pânză.

Pentru a reprezenta grafic hiperboloidul cu o pânză vom determina intersecţiile sale cu:

- axele de coordonate,

- planele de coordonate

- planele paralele cu planele de coordonate.

0

0:

z

yOx 01

2

2

a

x ax hiperboloidul cu o pânză intersectează Ox

în două puncte: 0,0,aA şi 0,0,aA .

0

0:

z

xOy 01

2

2

b

y by hiperboloidul cu o pânză intersectează Oy

în două puncte: 0,,0 bB şi 0,,0 bB .

0

0:

y

xOz 01

2

2

c

z 22 cz hiperboloidul cu o pânză nu

intersectează Oz .

Punctele BBAA ,,, se numesc vârfurile hiperboloidului cu o pânză.

0: zOxy 01:2

2

2

2

1 b

y

a

xelipsă de semiaxe a şi b .

0: xOyz 01:2

2

2

2

2 c

z

b

y hiperbolă

Page 203: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

13

0: yOxz 01:2

2

2

2

3 c

z

a

xhiperbolă

Intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy , de ecuaţie kz se determină din:

012

2

2

2

2

2

c

k

b

y

a

x.

Rezultă că intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy sunt elipse având ecuaţiile

012

22

2

222

2

kc

c

b

y

kcc

a

x numite elipse colier.

Ecuaţiile parametrice ale hiperboloidului cu o pânză sunt:

cuz

vuby

vuax

sin1

cos1

2

2

, u , 2,0v .

Hiperboloidul cu o pânză este este o cuadrică nemărginită şi are centru unic de simetrie.

y

z

x

A

A

B B

1

2 3 3

2

O

Observatie. Dacă a=b atunci hiperboloidul cu o panza este de rotaţie în jurul lui Oz,

adica poate fi generat prin rotatia hiperbolei 012

2

2

2

c

z

b

y in jurul axei Oz.

Definiţia 6. Hiperboloidul cu două pânze este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror

coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia

Page 204: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

14

012

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 0 ba , 0c . (9)

unde cba ,, sunt numere reale strict pozitive.

Numărul pânzelor este dat de numărul pătratelor care au acelaşi semn cu termenul liber.

Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia hiperboloidului cu două pânze.

Pentru a reprezenta grafic hiperboloidul cu două pânze vom determina intersecţiile sale

cu:

- axele de coordonate,

- planele de coordonate

- planele paralele cu planele de coordonate.

0

0:

z

yOx 1

2

2

a

x Ox nu intersectează hiperboloidul cu două pânze

0

0:

z

xOy 1

2

2

b

y Oy nu intersectează hiperboloidul cu două pânze

0

0:

y

xOz 1

2

2

c

z cz hiperboloidul cu două pânze intersectează Oz în

două puncte: cC ,0,0 şi cC ,0,0 .

0: zOxy 12

2

2

2

b

y

a

x planul Oxy nu intersectează hiperboloidul cu două

pânze

0: xOyz 012

2

2

2

c

z

b

y 1:

2

2

2

2

1 b

y

c

z hiperbolă

0: yOxz 012

2

2

2

c

z

a

x 1:

2

2

2

2

2 a

x

c

z hiperbolă

Intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy , de ecuaţie kz se determină din:

12

2

2

2

2

2

c

k

b

y

a

x.

Dacă ,, cck atunci intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt

elipse având ecuaţiile

012

22

2

222

2

ck

c

b

y

ckc

a

x.

Ecuaţiile parametrice ale hiperboloidului cu două pânze sunt:

Page 205: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

15

ucz

vuby

vuax

cosh

sinsinh

cossinh

, u , 2,0v .

Hiperboloidul cu o două pânze este o cuadrică nemărginită şi are centru unic de

simetrie.

y

z

x

C

C

2

2

1

1

Observatie. Dacă a=b atunci hiperboloidul cu doua panze este de rotaţie în jurul lui Oz,

adica poate fi generat prin rotatia hiperbolei 012

2

2

2

c

z

b

y in jurul axei Oz.

Definiţia 7. Paraboloidul eliptic este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror

coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia

022

2

2

2

zb

y

a

x (10)

unde ba, , z sunt numere reale strict pozitive.

Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia parboloidului eliptic.

Pentru a reprezenta grafic parboloidul eliptic vom determina intersecţiile sale cu:

- axele de coordonate,

- planele de coordonate

- planele paralele cu planele de coordonate.

Page 206: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

16

0

0:

z

yOx 0

2

2

a

x Ox intersectează parboloidul eliptic în punctul 0,0,0O

0

0:

z

xOy 0

2

2

b

y Oy intersectează parboloidul eliptic în punctul 0,0,0O

0

0:

y

xOz 0

2

2

c

z Oz intersectează parboloidul eliptic în punctul 0,0,0O .

0: zOxy 02

2

2

2

b

y

a

x 0 yx intersecţia este punctul 0,0,0O .

0: xOyz 022

2

zb

y zby 22

1 2: parabolă

0: yOxz 022

2

za

x zax 22

2 2: parabolă

Intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy , de ecuaţie kz , se determină din:

kb

y

a

x2

2

2

2

2

.

Dacă 0k atunci intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt elipse având

ecuaţiile

1

22

:2

2

2

2

kb

y

ka

x .

Ecuaţiile parametrice ale parboloidului eliptic sunt:

vz

uvby

uvax

sin2

cos2

, 2,0u , 0v .

Paraboloidul eliptic este o cuadrică nemărginită şi nu are centru de simetrie.

Page 207: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

17

y

z

x

2

1

O

Observatie. Dacă a=b paraboloidul eliptic este de rotaţie în jurul lui Oz, adica poate fi

generat prin rotatia unei parabole de ecuatie zay 22 2 in jurul axei Oz.

Definiţia 8. Paraboloidul hiperbolic este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror

coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia

022

2

2

2

zb

y

a

x. (11)

Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia parboloidului hiperbolic.

Pentru a reprezenta grafic parboloidul hiperbolic vom determina intersecţiile sale cu:

- axele de coordonate,

- planele de coordonate

- planele paralele cu planele de coordonate.

0

0:

z

yOx 0

2

2

a

x Ox intersectează parboloidul hiperbolic în punctul 0,0,0O

0

0:

z

xOy 0

2

2

b

y Oy intersectează parboloidul hiperbolic în punctul 0,0,0O

0

0:

y

xOz 0

2

2

c

z Oz intersectează parboloidul hiperbolic în punctul 0,0,0O .

0: zOxy 02

2

2

2

b

y

a

x

0

0

b

y

a

x

b

y

a

x

două drepte concurente în punctul

0,0,0O .

Page 208: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

18

0: xOyz 022

2

zb

y zby 22

1 2: (12) parabolă cu axa de simetrie

Oz îndreptată în direcţia negativă a dreptei Oz .

0: yOxz 022

2

za

x zax 22

2 2: (13) parabolă cu axa de simetrie Oz

îndreptată în direcţia pozitivă a dreptei Oz .

Intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy , de ecuaţie kz , k se determină

din:

kb

y

a

x2

2

2

2

2

.

Dacă 0k atunci intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt hiperbole având

ecuaţiile

1

222

2

2

2

kb

y

ka

x.

Paraboloidul hiperbolic este o cuadrică nemărginită şi nu are centru de simetrie.

Paraboloidul hiperbolic este folosit în construcţii industriale, ca model pentru acoperişuri.

y

z

x

O

Ecuaţiile parametrice ale parboloidului hiperbolic sunt:

uvz

uvby

uvax

2cos

sin2

cos2

, 2,0u , 0v .

Observatii. Nu exista paraboloid hiperbolic de rotaţie; paraboloidul hiperbolic este

singura suprafata de gradul doi care nu este o suprafata de rotatie (deoarece nici o sectiune

printr-un parabolid hiperbolic nu este o elipsa).

Page 209: Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie m,n, p,q 1. 1) Oricare ar fi

19

Paraboloidul hiperbolic este o suprafata de translatie, aceasta obtinandu-se prin

translatia unei parabole (care are deschiderea in jos) zby 22 2 pe o parabola (care are

deschiderea in sus) zax 22 2 .