ALGEBRA I

Anul I, semestrul I

SUBIECTE PROPUSE

I. Stabiliti daca

1. Fie { }2H n n N= ∈ , atunci H este submonoid al monoidului ( ), ,0N + ?

2. Daca { }2 1H n n N= + ∈ , atunci H este submonoid al monoidului ( ), ,1N ⋅ ?

3. Fie ( )2 , ,0

a bT R a b c R

c

= ∈

multimea matricelor superior triunghiulare din ( )2M R . Atunci

( )2T R nu este submonoid al monoidului ( )( )2 2, ,M R I⋅

4. Aplicatia ( )2:f M Z Z→ , ( ) AAf = este morfism de la monoidul ( )( )2 2, ,M Z I⋅ la monoidul

( ), ,1Z ⋅

5. Fie n N ∗∈ si ( )ˆ, ,1nZ ⋅ monoidul multiplicativ al claselor de resturi modulo n.

Aplicatia : nf Z Z→ , ( ) aaf ˆ= este morfism de la monoidul ( ), ,1Z ⋅ la monoidul ( )ˆ, ,1nZ ⋅ ?

6. Fie ( )eG ,,⋅ un grup. Pentru orice Ga∈ , aplicatiile GGa →λ : , axxa =λ )( si GGa →ρ : ,

xaxa =ρ )( nu sunt bijective.

7. Fie ( ){ }nnSH n =σ∈σ= , atunci H nu este subgrup al lui nS .

8. Fie ( )eG ,,⋅ un grup finit si H un subgrup al lui G . Atunci

[ ]HGHG :⋅= .

9. Dacă a este element de ordin finit, atunci numarul natural notat cu ( )aord ,

( ) { }eaNkaord k =∈= *min

se numeste ordinul lui a .

10. Dacă G este grup finit, atunci orice element Ga∈ are ordinul finit si ( )ordGaord .

11. Fie ( )eG ,,⋅ un grup finit si Gn = . Atunci ea n = , Ga∈∀ .

12. Dată nS∈σ , 2≥n , notam cu ( )σInv numarul perechilor ( )ji, cu ji < astfel incat ( ) ( )ji σ>σ .

Vom spune ca ( )σInv este numarul inversiunilor permutarii σ .

13. O permutare nS∈σ este para daca ( ) 1−=σε .

14. O permutare nS∈σ este impara daca ( ) 1=σε

15. Fie nS∈σ , 1>n şi mτττ=σ ooo ...21 o reprezentare a lui σ ca produs de transpozitii. Atunci

numerele m şi ( )σInv au aceeasi paritate si deci ( ) ( )m1−=σε .

= A= A

= F

= A

= A

= F= F

= A

= A

= A= A

= A= F= F

= A

16. Daca 1>n , atunci ( ){ }1=σε∈σ= nn SA nu este un subgrup de ordin 2

!n al lui nS .

17. Fie ( )eG ,,⋅ un grup. Un subgrup N al grupului G se numeşte subgrup normal al lui G daca

Ga∈∀ , Nx∈∀ ⇒ Naxa ∈−1 .

18. ( ) ( )2 2SL R GL R< , unde ( ) ( ){ }2 2 1SL R X M R X= ∈ = ?

19. Daca ( )eG ,,⋅ este un grup atunci subgrupul unitate { }e=1 şi G sunt subgrupuri normale ale lui

G .

20. Daca ( )eG ,,⋅ este grup abelian atunci orice subgrup H al lui G nu este subgrup normal.

21. Un grup ( )eG ,,⋅ se numeşte simplu daca are cel puţin doua elemente si nu are subgrupuri normale

diferite de { }e=1 si G .

22. Orice grup G de ordin p , p numar prim, nu este simplu.

23. Daca 5≥n , atunci grupul altern nA este simplu.

24. Daca 3≥n , grupul altern nA este generat de ciclurile de ordin 3.

25. Fie ( )eG ,,⋅ şi ( )eG ′⋅′, doua grupuri. O aplicatie GGf ′→: se numeste morfism de la grupul G

la grupul G′ daca )()()( yfxfxyf = oricare ar fi Gyx ∈, .

26. Un inel comutativ R cu 01 ≠ si cu divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate sau inel

integru

27. Inelul ( ), ,Z + ⋅ al numerelor intregi nu este domeniu de integritate.

28. Daca ( )⋅+,,R este un inel, atunci Rx∈∀ avem 000 =⋅=⋅ xx .

29. Daca ( )⋅+,,R este un inel, atunci daca 1>R , atunci 01 ≠ .

30. Daca ( )⋅+,,R este un inel, atunci ( ) ( ) xyyxyx −=−=− şi ( )( ) xyyx =−− oricare ar fi Ryx ∈, .

31. Daca ( )⋅+,,R este un inel, atunci ( ) xzxyzyx −=− şi ( ) zxyxxzy −=− oricare ar fi Rzyx ∈,, .

32. Daca ( )⋅+,,R este un inel, atunci daca R nu are divizori ai lui zero, iar xzxy = sau zxyx = cu

0≠x , atunci zy = .

33. ( )2M Z nu este subinel al inelului ( )2M R ?

34. Dacă R este un inel. Atunci

( )

∈

= Rcba

c

baRT ,,

02

nu este subinel al inelului ( )R2M ,

35. Mulţimea S a şirurilor Cauchy de numere reale este subinel al inelului �� al şirurilor de numere

reale.

36. Daca n N∈ şi { }I nZ nq q Z= = ∈ atunci I este ideal al lui Z?

37. Daca I R< , atunci I este subgrup al grupului ( ), ,0R + ?

38. Dacă n∈� iar , , ,na nb

I a b c dnc nd

= ∈

� , atunci I nu este ideal bilateral al lui R .

= F

= A= A

= A

= F

= A= F

= A= A

= A

= F= F

= A= A

= A= A

= A= F

= F

= A

= A= A

= A

39. Aplicaţia : nf Z Z→ , este morfism surjectiv de la inelul ( ), ,1Z ⋅ la inelul ( )ˆ, ,1nZ ⋅ ? .

40. Aplicatia ( )2:f M Z Z→ , AAf ˆ)( = , unde ( )2

a cA M Z

b d

= ∈

, ˆ ˆ

ˆˆ ˆ

a cA

b d

=

, nu este

morfism surjectiv de inele?

41. Fie RRf ′→: un morfism de inele, atunci )( fKer este ideal bilateral al lui R , iar )Im( f este

subinel al lui R′ .

42. Dacă RRf ′→: este un morfism de inele, atunci )(

~)Im(fKer

Rf .

43. Fie ( )2M nZ multimea matricelor patrate cu coeficienti in nZ. Daca ( ) ( )2 2: nf M Z M Z→ este

morfismul cu actiunea

=

dc

ba

dc

baf

ˆˆ

ˆˆ

avem ( ) ( )2Ker f M nZ= şi ( ) ( )2Im nf M Z= ?

44. ( )2 nM Z nu este ideal bilateral al lui ( )2M Z ?

45. Daca ,m n N ∗∈ sunt prime între ele, atunci inelul mnZ nu este izomorf cu produsul direct al

inelului mZ cu inelul nZ ?

46. Fie K şi K ′ doua corpuri. O aplicatie KKf ′→: se numeste morfism (izomorfism) de corpuri

daca este morfism (izomorfism) de la K la K ′ considerate ca inele.

47. Un domeniu de integritate finit este corp. Inelul ( ), ,pZ + ⋅ este corp daca si numai daca p este

numar prim?

48. Dacă R este un domeniu de integritate există un corp comutativ K , numit corpul fracţiilor lui

R , astfel încât R este subinel al lui K şi pentru orice Kx∈ există Rba ∈, , 0≠b astfel încât 1−= abx .

49.

( ) ( )2 2, ,0

x yT Z x y z Z M Z

z

= ∈ ⊂

este o Z-subalgebră a Z-algebrei ( )2M Z ?

50. Dacă R este un domeniu de integritate, atunci [ ]XR este domeniu de integritate şi

( ) ( ) ( )ggradfgradfggrad +=

oricare ar fi [ ]XRgf ∈, , 0≠f , 0≠g .

51. ,a b

K a b Rb a

= ∈ −

este corp in raport cu adunarea si inmulţirea matricelor şiK C≈ ?

52. Daca MMf ′→: este un morfism bijectiv de monoizi iar 1−f este inversa aplicatiei f , atunci 1−f este morfism bijectiv de la monoidul ( )eM ′⋅′ ,, la monoidul ( )eM ,,⋅ .

= A

= F

= A= A

= A= F

= F

= A

= A

= A

= A

= A

= A

= A

53. Pentru monoidul multimea elementelor inversabile din este

, unde s-a notat cu ( )na, cel mai mare divizor comun al numerelor

intregi a si n .

54. Orice grup ( )eG ,,⋅ de ordin 3 este izomorf cu grupul aditiv al claselor de resturi modulo

3.

55. Daca ( )eG ,,⋅ este un grup, Ga∈ , aplicatia GG→ϕ : ( ) 1−=ϕ axax este bijectiva .

56. Aplicatia :f C R∗ ∗+→ ,

22)( bazzzzf +=== daca i baz += , este morfism de la grupul

( ), ,C∗ + ⋅ la grupul ( ), ,R∗+ + ⋅ ?

57. Dacă ( )eG ,,⋅ şi ( )eG ′⋅′ ,, sunt două grupuri, aplicaţia GGf ′→: , exf ′=)( este morfism de

grupuri .

58. Fie ( )eG ,,⋅ şi ( )eG ′⋅′ ,, două grupuri şi GGf ′→: un morfism de grupuri. Atunci

eef ′=)( şi ( ) ( ) 11 )(−− = xfxf , oricare ar fi Gx∈ .

59. Grupurile ( ), ,0+� şi ( ), ,0+� sunt izomorfe

60. Grupurile ( )*, ,1⋅� şi ( )*, ,1⋅� nu sunt izomorfe

61. Grupurile ( ), ,0+� şi ( )* , ,1+ ⋅� nu sunt izomorfe

62. Pentru orice ,x y R∈ se defineste legea de compozitie ( )* ln x yx y e e= + . Multimea solutiilor

ecuatiei ( )* * 0x x x = este…

63. Pe Z definim legea de compozitie * 6 6 42x y xy x y= − − + . Suma elementelor simetrizabile in

raport cu această lege este…

64. Pe R este definita legea de compozitie * 3 3x y xy x y m= + + + . Egalitatea ( )2*3 *4 175= are loc

pentru …

65. Fie grupul ( )10,Z + . Cate subgrupuri are acest grup ?

66. Fie grupul ( )12,Z + . Cate grupuri factor are acest grup ?

67. Afirmatia este adevărată [ ]:G

G HH

=

68. Cate morfisme exista de la grupul ( ),Q + la grupul ( ),Z + ?

69. Fie M si N doua multimi finite avand m, respectiv n elemente. Cate functii definite pe M cu valori

in N exista ?

70. Fie M si N două multimi finite avand m, respectiv m elemente. Cate functii bijective definite pe M

cu valori în N exista ?

71. Fie M si N două multimi finite avand m, respectiv n elemente, m n≤ . Cate functii injective

definite pe M cu valori in N exista ?

72. Pe multimea numerelor naturale considerăm operatia algebrică nm n m⊥ = . Atunci

operatia este asociativă si nu este comutativă?

73. Fie z C∗∈ , iz = , atunci ord(i)=…?

x = -ln 3

8==m = 2

=2=2

= A

=FZ Q =FR C =AQ Q =A

= A

= A= A

= A

= A

mn =

nm =m

nA = =operatia nu este asociativă si nu este comutativa

=4

74. Dacă m N ∗∈ şi m

im

zπ

+π

=2

sin2

cos , atunci ord(z)=…?

75. Dacă 1z i C∗= + ∈ , atunci ord(z)=…?

76. Fie grupul ( )4ˆ, ,0Z + şi 43̂ Z∈ , atunci ?

77. Dacă Ryx ∈∀ , , 0≠x , 0≠y , avem spunem că R este inel fără divizori ai lui zero?

78. Elementul zero al inelului 8Z Z× este ?

79. Elementul unitate al inelului 8Z Z× este ( )1,1̂ ?

80. In inelul 8Z Z× , produsul direct al inelului ( )8 , ,Z + ⋅ cu inelul ( ), ,Z + ⋅ , avem ( ) ( )ˆ5̂,3 3, 7+ − =?

81. Astfel în inelul 8Z Z× , produsul direct al inelului ( )8 , ,Z + ⋅ cu inelul ( ), ,Z + ⋅ ,

avem( ) ( )ˆ5̂,3 3, 7⋅ − =

?

82. Fie ( )2R M Z= şi 0

,0

aI a b Z

b

= ∈

, atunci I este ideal la stanga al lui R şi nu este ideal la

dreapta?

83. Fie ( )2R M Z= şi 0 0

,J a b Za b

= ∈

atunci J este ideal la stanga al lui R si este ideal la

dreapta al lui R?

84. Fie RRf ′→: un morfism de inele,atunci f este injectiv dacă şi numai dacă

85. Fie . Să se calculeze ( )3f .

86. Fie . Să se determine catul impartirii lui f la

87. Dacă ( )2

a bA

c d

= ∈

M Z şi ( ) bcadXdaXf −++−= 2 din ,

atunci ?

88. Fie R un inel astfel incat xx =6 , Rx∈∀ . Stabilti daca ?

89. Fie R un inel astfel incat xx =6 , Rx∈∀ . Stabilti daca ?

II. Probleme cu grad mediu de dificultate

1. Functia ( ) ( ) ( ) 2 2: 0, 2, 2 ,

1

xf f x

x

−∞ → − =

+ este injectivă si nu este surjectivă?

==

= F= F

= F= A

= F

= F

= A

= F = A= 6

=

= F

= F

= F

=injectivã si nu este surjectivã

2. Câte morfisme de monoizi există de la ( )* ,Z ⋅ la ( ),N + ?

3. Pe R se defineste legea de compozitie astfel * , ,x y ax by c x y R= + + ∀ ∈ unde , ,a b c R∈ .

Calculati suma 2 2 2S a b c= + + stiind că acestă lege de compozitie admite elementul neutru 3e =

4. Se consideră inelul ( ),*,Z ⊥ unde

* 2

2 2 2

x y x y

x y xy x y

= + +

⊥ = + + +

,x y Z∀ ∈ . Fie T numărul divizorilor lui zero ai acestui inel. Atunci T=…

5. Grupul ( )20,Z Z× + este finit generat, dar nu este cyclic.

6. Fie permutarea 6

123456,

512436Sτ τ

∈ =

. Determinati ordinul permutării

2τ .

7. Fie G un grup cu 6 elemente. Atunci G este întotdeauna izomorf cu grupul ( )6,Z + ?

8. Fie ( )3,S o grupul permutarilor de ordin 3 si H un subgrup cu 3 elemente al acestui grup. Câte

elemente are grupul factor 3 /S H ?

9. Fie multimea { }5 1U z C z= ∈ = . Câte elemente are această multime ?

10. Functia ( ) 2007 2005: , 4 2f R R f x x x→ = − + este bijectivă ?

11. Câte morfisme de monoizi există de la ( ),Q + la ( ),Q + ?

12. Se consideră inelul ( ),*,Z ⊥ unde

* 3

3 3 12

x y x y

x y xy x y

= + −

⊥ = − − +

,x y Z∀ ∈ . Fie [ ]P Z X∈ polinomul care are drept rădăcini elementele inversabile ale inelului si

coeficientul dominant egal cu unu. Notăm cu S suma pătratelor elementelor inversabile. Atunci

S=?

13. Grupul ( )15,Z + este ciclic?

14. Fie permutarea 6

123456,

512436Sτ τ

∈ =

. Stabiliti ordinul permutării

1τ − .

15. Fie multimea { }7 1U z C z= ∈ = . Câte elemente are această multime ?

= Niciunul

=S =11

=T = 0=infinit generat

=12= F

= 1

= 5

= F

=niciunul

= S=5= F

= 3

= 7

16. Considerăm multimea numerelor reale si relatia binară definită pe această multime astfel:

( ){ }, , , 3x y x y R x y x yρ = ∈ = ∨ + =

Atunci relatia este reflexivă si nu este tranzitivă?

17. Fie 2 3, 0

: , ( )7 , 0

x xf R R f x

x x

− ≤→ =

>. Atunci f este injectivă ?

18. Fie : , ( )2

xf Z Z f x

→ = , unde prin [ ]q se întelege partea întreagă a numărului q. Atunci f

este surjectivă?

19. Fie :f A B→ si :g B C→ două functii surjective. Atunci g fo este surjectivă?

20. Fie M o multime cu 3 elemente. Câte legi de compozitie se pot defini pe M ?

21. Fie un grup G si x un element de ordin finit din G. Daca m, n sunt doi intregi pozitivi cu proprietatile

, atunci ?

22. Fie permutarea are descompunerea

?

23. Fie permutarea are descompunerea ?

24. Fie . Stabiliti daca face ca sa fie un grup abelian

25. Fie . Daca atunci avem grup abelian?

26. Care sunt elementele inversabile ale inelului ?

27. Legea de compozitie . Gasiti elementul neutru.

28. Legea de compozitie Gasiti elementul neutru .

29. Legea de compozitie . Gasiti elementul neutru.

30. Legea de compozitie admite ca element simetric pe ?

31. Fie legea de compozitie , unde .Solutiile

ecuatiei sunt ?

32. Se considera multimea pe care se defineste lege de compozitie

, gasiti elementul neutru?

33. Se considera multimea pe care se defineste lege de compozitie

, gasiti elementul simetrizabil ?

34. Fie Determinaţi mulţimea elementelor sale inversabile, .

= F= F

= A= A

=39

= A

= F

= A

= F= F

==

==

= F

= F

=

= =

35. Daca f si g sunt doua functii monotone, de monotonii diferite, atunci gof (i.e. g compus cu f) este

crescatoare?

36. Daca A si B sunt multimi care verifica proprietatile : A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}; B-A={4,5,6,7,8};

{3,9}∩B=∅ ; A∩B={1}, determinati multimile A si B .

37. Se considera multimea G={ 2ba + | a,b∈Q, a2 + b

2 ≠ 0}, care impreuna cu operatia de inmultire

formeaza un grup abelian. Determinati inversul lui 276 + .

38. Daca G e grup si H1, H2 subgrupuri ale sale, atunci H1∪H2 nu poate fi subgrup al lui G?

39. Daca definim aZ + bZ ={x+y | x ∈ aZ, y ∈ bZ}, unde prin Z am notat multimea numerelor

intregi, atunci determinati 25Z + 20Z.

40. Se considera elementul )5

7sin()

5

7cos( ππ iz += apartinand grupului multiplicativ al numerelor

complexe (C*,.,1). Atunci determinati ordinul lui z .

41. Se considera elementul )7sin()7cos( ππ iz += apartinand grupului multiplicativ al numerelor

complexe (C*,.,1). Determinati ordinul lui z .

42. Daca (C*,.,1) este grupul multiplicativ al numerelor complexe, atunci cate subgrupuri de ordin 10

ale acestui grup exista ?

43. Se considera permutarea σ ∈ S10 ,

=

96281074153

10987654321σ . Gasti

ordinul permutarii.

44. Se considera permutarile σ,τ ∈ S5,

=

51243

54321σ ,

=

31452

54321τ . Determinati

permutarea x ∈ S3 cu proprietatea ca x o σ = τ .

45. Se considera permutarile σ,τ ∈ S4, . Sa se rezolve ecuatia

46.Se considera permutarea σ ∈ S5,

=

51243

54321σ . Atunci determinati σ

120 .

47. Ce morfism(morfisme) de la (Q,+) (Q fiind multimea numerelor rationale) la (Z,+) (Z fiind

multimea numerelor intregi) putem defini ?

48. Cu cine este izomorf grupul multiplicativ ( ⋅+ ,*R ) (unde prin *

+R am notat multimea numerelor reale

strict pozitive)?

49. Care sunt automorfismele grupului (Z,+) (Z fiind multimea numerelor intregi) ?

50. Se considera multimea M = {1,2,3,4}. Cate submultimi cu doua elemente exista?

51. Fie A un inel unitar cu proprietatea ca x12

= x, (∀) x ∈ A. Atunci, oricare ar fi x ∈ A :x2 = 1?

=FA={1,2,3,9}; B={1,4,5,6,7,8}=

262

7

31

3+− =

=F5Z=

=10

1 subgrup =

=12

=

35241

54321x =

= σ2 =

orice morfism de tipul kx, cu k ∈ Z =cu (R,+) (grupul aditiv al numerelor reale)

=

morfismul x si morfismul –x==6

=F x2 = x

52. Fie A un inel unitar inclus in corpul C al numerelor complexe si care include intervalul (0,1).

Operatiile inelului sunt cele induse de operatiile din C. Atunci A=R sau A=C, R si C avand

semnificatia de mai sus

53. Determinati solutiile ecuatiei 3x2 – 4x + 1 =0 in Z5 .

54. Gasiti solutiile ecuatiei 3x2 – 4x + 1 =0 in Z11.

55. Determimati solutiile ecuatiei x2 – x + 5 =0 in Z7.

56. Gasiti solutiile ecuatiei x2 – x + 5 =0 in Z17

57. Care este polinomul g ∈ Z8[X] astfel incat 1̂)3̂2̂( =+ gX

58. Determinati solutiile ecuatiei 3x2 – 4x + 1 =0 in Z17 .

59. Gasiti solutiile ecuatiei 3x2 – 4x + 1 =0 in Z19 .

60. Determinati solutiile ecuatiei x2 – x + 5 =0 in Z19 .

61. Stabiliti daca

62. Fie cu coeficienti in , atunci avem ?

63. Stabiliti .... in

64. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci ?

65. Pe multimea se considera legea de compozitie determinati

elementul neutru.

66. Stiind ca legea de compozitie admite element neutru sa se

determine acesta.

67. Stiind ca legea de compozitie admite element neutru sa se determine

acesta.

68. Pe multimea se considera legea de compozitie . Determinati

grupul astfel incat functia , data de relatia sa fie un izomorfism al

celor doua grupuri.

69. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci

?

70. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci ?

71. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci

?

72. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci solutia ecuatiei

va fi ?

73. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci este parte stabila in

raport cu legea “ ”?

74. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci stabiliti daca este parte stabila in raport cu legea “ ”.

75. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci nu este parte stabila ?

= F

A=R , unde R este multimea

numerelor reale

= x1 = 1̂ , x2 = 2̂

= x1 = 1̂ 2 = 4̂

1 = 2̂ , x2 = 6̂ =x1 = 4̂ , x2 = 4̂1 =

g(X) = 3̂6̂4̂ 2 ++ XX =x1 = 1̂ , x2 = 6̂ =

x1 = 1̂ , x2 = 3̂1 =1 = 0̂1 , x2 = 0̂1 =

= A = A= = F

==

==

= A= F

= F= F =1

= A

= A

76. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci stabiliti daca este parte

stabila in raport cu legea “ ”.

77. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci determinati elementul neutru.

78. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci gasiti solutia ecuatiei

.

79. In multimea se considera multimea atunci ?

80. In multimea se considera multimea

atunci ?

81. In multimea se considera multimea atunci

determinati A3,A ∈ G

82. In multimea se considera multimea atunci stabiliti daca

.

83. In multimea se considera multimea si atunci

Stabiliti daca .

84. In multimea se considera multimea gasiti doua matrice P,Q

astfel incat

85. In multimea se considera multimea determinati matrice a U, daca

este o matrice inversabila.

86. In multimea se considera multimea sa se determine numarul de

elemente din G.

87. Determinati numarul de elemente din multimea

88. Determinati in restul impartirii polinomului la polinomul .

= F b. nu este parte stabila in raport cu legea “

==

= A

= A

== F

= A

=

==8

=16=

89. Cate elemente inversabile sunt in inelul

90. Sa se determine polinoamele astfel incat

91. Sa se calculeze elementul in

92. Sa se calculeze elementul in

93. Fie G un grup. Exista o submultime stricta H a lui G (adica H sa fie strict inclusa in G) astfel incat

(∀) a∈ H si ∀b∈ G sa rezulte ab ∈ H ?

94. Orice subgrup al unui grup abelian este normal ?

95. Fie A un inel cu proprietatea ca x3 = x, (∀) x ∈ A. Atunci inelul este comutativ ?

96. Orice grup G de ordin p2, cu p numar prim, este comutativ ?

97. Fie grupul simetric ( )3 ,S o . Atunci stabiliti numărul subgrupurilor lui 3S .

98. Fie grupul simetric ( )3 ,S o . Atunci gasiti numărul subgrupurilor normale ale lui 3S .

99. Fie ( )* 2 2: , cos sin

k kf Z C f k i

n n

π π→ = + , unde *n N∈ . Atunci ( ),h k Z Z∀ ∈ ×

avem ( ) ( ) ( )f hk f h f k= ?

100. Fie grupul ( ),Z + si multimea { }5 5Z m m Z= ∈ . Stabiliti daca 5Z este subgrup al grupului

( ),Z + , dar nu este normal?

101. Fie multimea { }1U z C z= ∈ = . Stabiliti daca U este subgrup al grupului ( )*,C ⋅ , dar nu este

normal?

102. Fie ( )2M R multimea matricilor cu două linii, două coloane si elemente din multimea numerelor

reale. Multimea 0 0

,I a b Ra b

= ∈

este ideal la stânga al inelului ( )( )2 , ,M R + ⋅ , dar nu este

ideal la dreapta al acestui inel?

103. Fie ( ) { }2 2 ,Q a b a b Q= + ∈ . Atunci ( )( )2 , ,Q + ⋅ este corp necomutativ?

104. Fie $ $ [ ]42 2f X Z X= + ∈ . Atunci ( ) [ ]4g X Z X∃ ∈ astfel încât ( ) ( ) 0f X g X = $ ?

105. Fie A un inel si I, J, L ideale bilaterale în A astfel încât I J A+ = si I JL⊇ . Atunci I J⊇ ?

106. Fie U grupul multiplicativ al al numerelor complexe de modul 1, *C grupul

multiplicativ al numerelor complexe si *R+ grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive si

nenule. Stabiliti daca * */C R+ este izomorf cu U.

107. Stabiliti daca ( ),R + si ( ),Q + sunt izomorfe.

108. Fie G un grup finit si ,a b G∈ două elemente oarecare astfel încât ab ba= . Dacă

( ) , ( )ord a m ord b n= = si ( ), 1m n = atunci ( )ord ab mn=

109. Fie permutarea 9

123456789,

469732185Sτ τ

∈ =

. Descompuneti permutarea în produs de ciclii disjuncti.

=2=

==0

=6=3

=F f(h+k)=f(h)f(k)

5Z este subgrup normal al grupului ( ),Z + =F

U este subgrup normal al grupului ( )* ,C ⋅ =F

ideal la dreapta al inelului 2 , ,M R + ⋅ , dar nu este ideal la stânga al acestui inel

=F

=F corp comutativ

=A=A

=A=F

=A

(1,4,7)(2,6,)(3,9,5)(8)=

110. Fie functiile , :f g R R→ date de ( )f x ax b= + cu , , 0a b R a∈ ≠ , respectiv ( ) 3 5g x x= + . Să se

determine a si b astfel încât f g g f=o o .

111. Fie :f R R→ o functie cu proprietatea ( )( ) 2 1f f x x x= − +o pentru oricare x R∈ . Atunci

calculati f(1) .

112. Pe R se defineste legea de compozitie * 2 2 6x y xy x y= − − + pentru oricare ,x y R∈ . Atunci

gasiti suma elementelor din R care coincid cu simetricele lor fată de această lege .

113. Polinomul [ ]3

21X X Z X+ + ∈ este ireductibil ?

114. Fie functia ( ) ( )2

2

5 1 2 3: 1,0 , ,

11 2 5 6

xf f x

x

+ − → = + . Stabiliti daca functia este bijectivă.

115. Pe R se defineste legea de compozitie *x y x y mxy= + + , unde m R∈ , cu proprietatea că

multimea [ 1, )− ∞ este parte stabilă a lui R în raport cu această operatie algebrică. Determinati e

elementul neutru al acestei legi de compozitie.

116. Se consideră corpurile ( ), ,R + ⋅ si ( ), ,*R o , unde

, , 2, * 2 2 6x y R x y x y x y xy x y∀ ∈ = + − = − − +o

Dacă ( ): ,f R R f x ax b→ = + este izomorfism de corpuri de la ( ), ,R + ⋅ la ( ), ,*R o , atunci

determinati a si b?

117. Fie funcţia :f A B→ cu proprietatea: este adevărată

afirmatia f este bijectivă?

118. Fie :f →� � , f(x)=2x+1. este adevărată afirmatia f este bijectivă?

119. Fie :f →� � , f(x)=2x+1. este adevărată afirmatia f nu este bijectivă?

120. Fie si două functii injective.Atunci g fo nu este injectiva ?

121. Fie A={0,1,2,3,4}. Atunci ?

122. Constanta este astfel încât legea de compoziţie definită prin

este asociativă pentru a=…

123. Fie grupul simetric . Atunci numărul subgrupurilor lui S3 este…

124. Fie grupul simetric . Atunci numărul subgrupurilor normale ale lui S3 este:

125. Fie permutarea

Atunci numărul inversiunilor permutării σ este…

126. Fie permutarea

Atunci ordinul lui este:

1, 0a b= = == 1

=4=F

=A

=0

1, 2a b= = ==F este injectivă

z z =F este injectivă

=Ag f� este injectivă =F

=A

a∈{0,1} = =6=3

=3

=3

127. Fie morfismul de grupuri :f Z C∗→ , 5

2sin

5

2cos)(

ππ ki

kkf += . Atunci Kerf=…

128. Fie Q( 2 )={a+b 2 |a,b∈Q}. Atunci (Q( 2 ),+,•) este inel comutativ cu divizori ai lui zero?

129. Fie K un subcorp al corpului R. Atunci: Q ∩ K=Z?

130. Fie X23 ˆˆf += ∈ Z4[X]. Atunci: ∃ g(X) ∈ Z4[X] astfel încât f(X)g(X)=1̂?

131. Fie A,B ∈ M2(R), A=

−

n

2πcos

n

2πsin

n

2πsin

n

2πcos

, B=

−10

01, n∈N*. Atunci An-1 = I2?

132. Stabiliti daca: ∃ ba ˆ,ˆ ∈Z5 astfel încât ( ) 555

baba ˆˆˆˆ +≠+ .

133. Fie G=

∈

3cba

100

c10

ba1

Zˆ,ˆ,ˆ|

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

. Atunci ∀A ∈ G: A3=I3?

134. Fie σ ∈ Sn, n=3, cu proprietatea ∀π∈Sn: σ π π σ=o o . Atunci stabiliti daca σ = e=permutarea identică.

135. Fie G un grup cu proprietatea ∀x∈G: x2 = e. Atunci stabiliti daca grupul G este izomorf cu (Z6,+)

136. Fie K=

∈

−3ba

ab

baZˆ,ˆ|

ˆˆ

ˆˆ. Atunci stabiliti daca (K,+,•) este inel cu divizori ai lui zero.

= Ker(f)=5Z={5q|q∈Z}

=F corp comutativ Q ⊆ K =F

∀ g(X) ∈ Z4[X], f(X)g(X)≠1̂ =F

=A

=F ∀ ba ˆ,ˆ ∈Z5, 55

5

baba ˆˆˆˆ +=+

A3=A =F

σ = (1 2) =FComutativ =F

corp comutativ cu 9 elemente =F