SISTEME CU 1 GLDVibraţii forţate. Soluţii în domeniul timp a. Vibraţii forţate neamortizate.

Fig.1 Modelul de calcul al sistemului cu 1GLD în vibraţia forţată neamortizată

Ecuaţia de mişcare a unui sistem cu 1GLD supus unei acţiuni exterioare oarecare F(t) corespunzătoare modelului de calcul din fig.1 este:

(1)

)()()( tFtkutum

Dacă forţa exterioară este de forma :

(2)atunci ecuaţia (1) se mai poate scrie:

(3)

Acţiunea F(t) poate fi considerată ca o succesiune de impulsuri elementaredH=F() d pentru (4)

şi deci: (5)

Răspunsul sistemului la acţiunea unui impuls finit H este :

(6)

reprezentarea grafică fiind cea din fig. 2 Fig. 2 Răspunsul în deplasări la un impuls finit

)()()( 02 tfm

Ftutu

F t F f t( ) ( ) 0

t>pentru )d-(t)f(mF=du(t)

0

0

sin

t>pentru )-(tm

H=u(t)

sin

Soluţia mişcării unui sistem cu 1GLD în vibraţia forţată neamortizată, când forţa exterioară este de forma (2) este dată de:

(7)

Reprezentarea grafică a ecuaţiei (7) este cea din fig.3.

Integrala din relaţia (7) poartă numele de integrala de convoluţie sau integrala Duhamel.

Fig. 3 Răspunsul în deplasări la o forţă exterioară F(t)

)d-(t)f(mF=u(t) t

00 sin

b. Vibraţii forţate amortizate

Modelul de calcul şi ecuaţia mişcării sunt reprezentate în fig. 4 şi respectiv ecuaţia (8):

(8) în cazul acţiunii unui impuls H soluţia are forma :

(9)

iar curba deplasărilor este dată de fig.5.

Fig. 4 Modelul de calcul în Fig. 5 Răspunsul în deplasări

vibraţia forţată amortizata la acţiunea unui impuls

)()()()( tFtkutuctum

)-(tem

H=u(t) *)-(t-

*

sin

*

Dacă sistemul este supus unei acţiuni perturbatoare oarecare F(t)=F0f(t) atunci ecuaţia mişcării este:

(10)

În fig.6 este reprezentată grafic la soluţia ecuaţiei (10).

Fig. 6 Curba deplasărilor la o acţiune exterioară oarecare

)d-(te)f(mF=u(t) *)-(t-t

0*

0 sin*

Vibraţii forţate armonice neamortizate

Forţa exterioară este de forma

(11)Ecuaţia mişcării în vibraţia forţată armonică fără amortizare este:

(12)

a cărei soluţie generală este compusă din soluţia în vibraţia liberă neamortizată, uL(t), şi soluţia particulară a oscilaţiei forţate, uF(t), şi care are forma:

(13)Soluţia în vibraţia liberă are expresia:

(14)

iar soluţia în vibraţia forţată armonică are caracter staţionar şi permanent şi este tot armonică de forma:

(15)

tsinF=F(t) 0

tm

Ftutu sin)()( 02

)()()( tututu FL

tCtCtuL cossin)( 21

tNtMtuF cossin)(

Constantele M şi N se deretmină din condiţia ca această soluţie să satisfacă ecuaţia mişcării

(16)

(17)

sau

(18)

Soluţia particulară este dată de:

(19)

Iar soluţia generală este:

(20)

)cossin()( 22 tNtMtuF

tm

FtNtMtNtM sin)cossin()cossin( 0222

0)(;)( 22022 Nm

FM

tm

FtuF

sin)(

)(22

0

tm

FtCtCtu

sin

)(cossin)(

220

21

tm

FtNtM sincos)(sin)( 02222

0;)( 22

0

Nm

FM

Constantele C1 şi C2 se determină din condiţiile iniţiale:

(21)

Rezultă:

(22)

Soluţia generală se poate scrie:

(23)

Dacă la timpul t=0 atât deplasarea cât şi viteza sunt egale cu zero atunci soluţia ecuaţiei de mişcare este:

(24)

tm

FtCtCtu

cos

)(sincos)(

220

21

00 )0()0(0 uuuut

022200

1 cos)(

uCtm

FuC

)sin(sin)(

cossin)(22

00

0 ttm

Ftut

utu

)sin(sin)(

)(22

0 ttm

Ftu

(25)

(26)

D sau coeficient de amplificare dinamică

F0st este deplasarea statică după direcţia GLD produsă de amplitudinea

forţei exterioare perturbatoare, F0.În realitate răspunsul liber se amortizează foarte repede, mişcarea

se stabilizează şi rămâne numai influenţa răspunsului forţat. Soluţia mişcării în acest caz devine:

(27)Forţa dinamică şi forţa convenţională sunt date de forţa de inerţie

şi de forţa exterioară perturbatoare

(28)

00

222

022

0

)(1

1

])(1[)(FstD

k

F

m

F

m

F

2)(1

1

D

stddst ututtu sinsin)(

dconv

d

stind

FGF

DFFFk

FmFF

tmtFtFtFF

00

2

002

0

20

1

sinsin)()(

Vibraţii forţate armonice amortizate

În situaţiile în care forţa exterioară este armonică de forma :

(29)ecuaţia de mişcare este:

(30)

iar soluţia generală va fi :

(31)

Soluţia în vibraţia liberă este

(32)

iar soluţia în vibraţia forţată este

(33)

tsinF=F(t) 0

tm

Ftututu sin)()(2)( 02

)()()( tututu FL

tCtCtuL cossin)( 21

tNtMtuF cossin)( **

Constantele M* şi N* se determină din condiţia ca soluţia uF(t) să satisfacă ecuaţia de mişcare

sau

de unde se obtine sistemul de ecuatii in M* si N*

tm

FtNtM

tNtMtNtM

sin)cossin(

)cossin(2)cossin(

0**2

**2*2*

tm

FtNMtNM sincos2sin2 0*22***22

02

2

*22*

0**22

NM

m

FNM

(34)

Soluţia uF(t) reprezintă o suprapunere de două oscilaţii armonice de pulsaţie şi deci ea se mai poate scrie:

(35)

Amplitudinea A* are expresia:

(36)

22222

0*

22222

220*

4

2

4

m

FN

m

FM

*

*

)sin()(

*2*2**

**

M

NtgNMA

tAtuF

222

*

22222

0 2

4

1*

tg

m

FA

Soluţia stabilă a mişcării este :

(37)

Dacă se notează

(38)

unde D(t) este funcţia de multiplicare (amplificare) dinamică şi

(39)

)-t(

4+-1

1

mF=u(t)

22

2 2

0

sin

)-t(

4+-1

1t=D(t)

22

2 2

sin)(

pundep4+p-1

1=D

-1

2=tg ,

4+-1

1=D

222 2

22

22 2

**

***

unde: D* factor de amplificare dinamică sau coeficient dinamic

unghi de fază

Soluţia mişcării devine:

(40)

Variaţia coeficientului dinamic funcţie de raportul este reprezentată în fig.7.

*0)()(

m

FtDtu

Fig. 7 Variaţia coeficientului dinamic D funcţie de

Din fig.7 se poate observa că influenţa amortizării este mai puternică în zona (zona rezonanţei) şi că pentru valori mici ale pulsaţiei coeficientul dinamic este egal cu 1, iar pentru valori mari ale pulsaţiei coeficientul dinamic tinde către zero.

Variaţia unghiului de fază, , funcţie de este reprezentată în fig. 8.

Fig.8 Variaţia unghiului de fază funcţie de

Rezonanaţa

La rezonanţă coeficientul dinamic atinge valorile maxime

În exploatare în regim permanent a unui utilaj nu se admite funcţionarea în zona rezonanţei

• Dacă un echipament funcţionează înainte de 0.7 se consideră că

sursa funcţionează în acordare joasă

• Dacă un echipament funcţionează după se consideră că sursa funcţionează în acordare înaltă

Fig.9 Variaţia coeficientului dinamic D