Curs5 Econometrie Regr Neliniara

Prof.Prof. univ. univ. ddr. r. Carmen PintilescuCarmen Pintilescu

ECONOMETRIEECONOMETRIE - anul universitar 2008-2009-- anul universitar 2008-2009-

PPlanul cursuluilanul cursului

1.1. Elemente conceptuale Elemente conceptuale 2.2. DemersulDemersul metodologic metodologic al al

econometrieieconometriei3.3. Modelul de regresie liniară simplăModelul de regresie liniară simplă4.4. Modelul de regresie liniară multiplăModelul de regresie liniară multiplă5.5. Modele de regresie non liniarăModele de regresie non liniară6.6. Modele cu variabile dummyModele cu variabile dummy

5. Modele de regresie ne5. Modele de regresie neliniarăliniară

5.1. 5.1. Tipuri de modeleTipuri de modele

5.2. Modele liniarizabile5.2. Modele liniarizabileaa. Modelul hiperbolic. Modelul hiperbolicb. b. Modelul exponenModelul exponenţţialialc. Modelul puterec. Modelul putere

5.3. Modele polinomiale5.3. Modele polinomiale

55.4. Modele neliniare multiple.4. Modele neliniare multiple

55.1. Tipuri de modele neliniare.1. Tipuri de modele neliniare

Putem distinge douPutem distinge două mari clase de modele ă mari clase de modele neliniare:neliniare:

I.I. Modelele liniarizabileModelele liniarizabile sunt acele modele neliniare care se pot transforma în modele liniare prin logaritmare sau alte transformări: m modelul hiperbolicodelul hiperbolic, modelul , modelul exponenţial şi modelul putere.exponenţial şi modelul putere.

II. Modele polinomiale II. Modele polinomiale sunt acele modele care sunt acele modele care exprimă relaţia dintre variabilele X şi Y cu exprimă relaţia dintre variabilele X şi Y cu ajutorul unui polinom de gradul 2, 3, etcajutorul unui polinom de gradul 2, 3, etc..

5.2. Modele liniarizabile5.2. Modele liniarizabile

a. a. Modelul hiperbolic (Modelul hiperbolic (invers sau reciprocinvers sau reciproc))

- - în teoria economică, modelul hiperbolic se în teoria economică, modelul hiperbolic se foloseşte pentru a studia legătura dintre foloseşte pentru a studia legătura dintre rata şomajului (rata şomajului (XX) şi rata inflaţiei sau rata ) şi rata inflaţiei sau rata variaţiei salariului nominal (variaţiei salariului nominal (YY).).

- curba de regresie se numeşte curba de regresie se numeşte Curba lui Curba lui Philips.Philips.

1. 1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului

X

Y1

10

Parametrii modelului: Parametrii modelului:

- ββ00 arată valoarea lui Y atunci când X tinde la arată valoarea lui Y atunci când X tinde la

infinit;infinit;

- - ββ11 arată cu cât creşte sau scade arată cu cât creşte sau scade, , în medie, în medie,

valoarea lui Y atunci când 1/X creşte cu o valoarea lui Y atunci când 1/X creşte cu o unitate.unitate.

Observaţii:Observaţii:

- Dacă Dacă ββ11>0 , curba este descrescătoare, adică o >0 , curba este descrescătoare, adică o

creştere a valorilor variabilei creştere a valorilor variabilei XX determină determină descreşterea valorilor variabilei descreşterea valorilor variabilei YY..

- Dacă Dacă ββ11<0, curba este crescătoare, adică o <0, curba este crescătoare, adică o

creştere a valorilor variabilei creştere a valorilor variabilei XX determină determină creşterea valorilor variabilei creşterea valorilor variabilei Y.Y.

2. Estimarea parametrilor modelului 2. Estimarea parametrilor modelului (output Coefficients)(output Coefficients)

La nivelul unui eşantion:

Estimarea parametrilor se face prin MCMMP:Estimarea parametrilor se face prin MCMMP:

unde: unde: eeii=y=yii-y-yxixi

2 mini

S e

ii

i ex

bby 1

10

Aplicând MCMMP se obţine sistemul de ecuaţii:Aplicând MCMMP se obţine sistemul de ecuaţii:

Estimaţiile Estimaţiile bb00 şi şi bb11 sunt prezentate în output-ul sunt prezentate în output-ul CoefficientsCoefficients – – Unstandardized CoefficientsUnstandardized Coefficients..

i i i

i

i ii

i ii

i

x

y

xb

xb

yx

bbn

210

10

11

1

2

2

11

11

1

ii

iii

i

xxn

yxx

yn

bb

2

2

20

011

11

ii

i

i

iii

xxn

x

y

xxy

bb

3. Testarea semnificaţiei parametrilor 3. Testarea semnificaţiei parametrilor (output Coefficients)(output Coefficients)

Ipoteze: HIpoteze: Hoo: : ββ 00=0=0, , ββ11=0; H=0; H11: : ββ00##0, 0, ββ11##00 Interpretare: Sig<0,05, se respinge ipoteza HInterpretare: Sig<0,05, se respinge ipoteza Hoo, ,

deci valoarea parametrilor este semnificativ deci valoarea parametrilor este semnificativ diferită de zero.diferită de zero.

4.4. Estimarea şi testarea intensităţii Estimarea şi testarea intensităţii legăturii dintre variabile legăturii dintre variabile a. a. EstimareaEstimarea: valorile estimate ale raportului : valorile estimate ale raportului de corelaţie şi raportului de determinaţie sunt de corelaţie şi raportului de determinaţie sunt în output-ul în output-ul Model SummaryModel Summary ( (R squareR square). ). Acesta din urmă arată ponderea variaţiei Acesta din urmă arată ponderea variaţiei variabilei variabilei YY explicată prin variaţia variabilei explicată prin variaţia variabilei XX..

b. Testarea statistică b. Testarea statistică

Ipoteze: Ipoteze: HHoo: :

HH11: :

Statistica test: valoarea calculată a statisticii Statistica test: valoarea calculată a statisticii test F (Fisher) este în output-ul test F (Fisher) este în output-ul ANOVAANOVA..

Interpretare: Sig<0,05 arată că se respinge Interpretare: Sig<0,05 arată că se respinge ipoteza Hipoteza Hoo, valoarea raportului de corelaţie , valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero.este semnificativ diferită de zero.

00

5. Exemplu5. Exemplu

În urma prelucrării datelor privind valoarea

indicilor câştigului salarial real (%) şi a ratei şomajului (%) înregistrate în România, în perioada 1991-2005, s-au obţinut următoarele rezultate:

Coefficients

117.437 31.755 .716 3.698 .003

51.490 4.602 11.188 .000

1 / rata_somaj

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Model Summary

,716 ,513 ,475 7,278R R Square

AdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

The independent variable is rata_somaj.

ANOVA

724,408 1 724,408 13,677 ,003

688,541 13 52,965

1412,949 14

Regression

Residual

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

The independent variable is rata_somaj.

Rezolvare:Rezolvare:

1. 1. Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabiledouă variabile este: este:

XY

1437,117490,51

Interpretare:Interpretare:

Valorile estimate ale parametrilor modelului Valorile estimate ale parametrilor modelului hiperbolic arată că:hiperbolic arată că:

nivelul indicelui câştigului salarial real este de nivelul indicelui câştigului salarial real este de 51,49%, atunci când rata şomajului tinde spre51,49%, atunci când rata şomajului tinde spre ; ;

nivelul indicelui câştigului salarial real creşte, nivelul indicelui câştigului salarial real creşte, în medie, cu 117,437 unităţi (117,437%) la o în medie, cu 117,437 unităţi (117,437%) la o creştere cu o unitate (1%) a inversei ratei creştere cu o unitate (1%) a inversei ratei şomajului.şomajului.

2. Testarea semnificaţiei parametrilor 2. Testarea semnificaţiei parametrilor modeluluimodelului

IpotezeIpoteze

Calculul statisticii testCalculul statisticii test


- pentru parametrul - pentru parametrul ββ11, valoarea , valoarea (Sig.=0,0(Sig.=0,00303)<0,05, ceea ce arată că se )<0,05, ceea ce arată că se respinge ipoteza Ho, valoarea parametrului respinge ipoteza Ho, valoarea parametrului ββ11 este semnificativ diferită de zero este semnificativ diferită de zero..

3. Estimarea şi testarea raportului de corelaţie3. Estimarea şi testarea raportului de corelaţie

Valoarea estimatăValoarea estimată a raportului de corelaţie a raportului de corelaţie este 0,905. Interpretare.este 0,905. Interpretare.

Testarea semnificaţiei raportului de corelaţieTestarea semnificaţiei raportului de corelaţie::

- - IpotezeIpoteze- Calculul statisticii testCalculul statisticii test- Interpretare: (Sig.=0,0Interpretare: (Sig.=0,00303)<0,05, deci se )<0,05, deci se

respinge ipoteza Ho.respinge ipoteza Ho.

b. b. Modelul exponenţialModelul exponenţial ( (CompoundCompound))

1.1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului::

Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:

eY X 10

10 lnlnln XY

Parametrii modelului:Parametrii modelului:- ββ00 este valoarea lui este valoarea lui YY pentru pentru X=0X=0..

- ββ11 arată variaţia medie arată variaţia medie procentuală procentuală a lui a lui YY la o la o

variaţie variaţie absolutăabsolută a lui a lui XX cu o unitate. Reprezintă cu o unitate. Reprezintă rata de creştere sau reducere a variabilei rata de creştere sau reducere a variabilei YY în în raport cu variabila raport cu variabila XX..

Observaţii:Observaţii:

- Dacă Dacă ββ11>1, atunci legătura dintre cele două >1, atunci legătura dintre cele două

variabile este directă.variabile este directă.

- Dacă 0<Dacă 0<ββ11<1, atunci legătura dintre cele două <1, atunci legătura dintre cele două

variabile este indirectă.variabile este indirectă.

2. 2. Estimarea parametrilor modelului

• Ecuaţia estimată la nivelul unui eşantion:

Valorile estimaţiilor b0 şi b1 sunt prezentate în output-ul Coefficients, coloana Unstandardized Coefficients.

Prin logaritmare se obţine:

ixi bby 10

10 lnlnln bxby ii

3. Testarea semnificaţiei 3. Testarea semnificaţiei parametrilorparametrilor

IpotezeIpoteze InterpretareInterpretare

4. Intensitatea legăturii dintre 4. Intensitatea legăturii dintre variabilevariabile

- - raportul de determinaţie (raportul de determinaţie (R squareR square))

5. Exemplu5. Exemplu

În urma analizei legăturii dintre valoarea investiţiilor şi valoarea producţiei înregistrate pe un eşantion de 5 firme, s-au obţinut următoarele rezultate:

Coefficients

1.769 .103 2.677 17.118 .000

1.322 .256 5.161 .014

xi

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

The dependent variable is ln(yi).

Model Summary

.985 .969 .959 .185R R Square

AdjustedR Square


The independent variable is xi.

ANOVA

3.253 1 3.253 95.333 .002

.102 3 .034

3.356 4

Regression

Residual

Total


The independent variable is xi.


1. 1. Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabilevariabile este: este:

Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:

llnynyii=ln1,322=ln1,322+x+xiiln1,769ln1,769=0,279=0,279+0,570x+0,570xii

ixiy 769,1322,1


- valoarea parametrului - valoarea parametrului ββ11 arată că, la o arată că, la o creştere cu o unitate a nivelului creştere cu o unitate a nivelului variabilei variabilei XX (valoarea investiţiilor), nivelul variabilei (valoarea investiţiilor), nivelul variabilei YY (valoarea producţiei) creşte, în medie, cu (valoarea producţiei) creşte, în medie, cu 0,0,57%.57%.

22. Testarea semnificaţiei parametrilor. Testarea semnificaţiei parametrilor

3. Estimarea şi testarea intensităţii legăturii 3. Estimarea şi testarea intensităţii legăturii dintre variabiledintre variabile

c. c. Modelul de tip putereModelul de tip putere ( (PowerPower))

1.1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului::

Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:

eXY 10

XY lnlnln 10

În modelul putere, parametrul În modelul putere, parametrul ββ11 este este elasticitatea variabilei dependente elasticitatea variabilei dependente YY în raport în raport cu variabila independentă cu variabila independentă XX..

• Elasticitatea unei variabile Elasticitatea unei variabile YY în raport cu o în raport cu o

altă variabilă altă variabilă XX reprezintă modificarea reprezintă modificarea

relativă (procentuală) a variabilei relativă (procentuală) a variabilei YY la o la o

modificare relativă (procentuală) a lui modificare relativă (procentuală) a lui XX cu o cu o

unitate.unitate.

Elasticitatea poate fi determinată prin relaţia:

100% mod .

% mod . 100

Yif Y Y XYE

Xif X X YX

2. Estimarea parametrilor modelului

Prin MCMMPPrin MCMMP

3. Testarea semnificaţiei parametrilor

4. ExempluÎn urma prelucrării datelor privind valoarea În urma prelucrării datelor privind valoarea producţiei industriale şi nivelul investiţiilor nete producţiei industriale şi nivelul investiţiilor nete din industrie în România, în perioada 1990-din industrie în România, în perioada 1990-2004, s-au obţinut următoarele rezultate:2004, s-au obţinut următoarele rezultate:

Coefficients

,960 ,012 ,999 79,735 ,000

1,603 ,143 11,204 ,000

ln(X)

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

The dependent variable is ln(Y).

Model Summary

,999 ,998 ,998 ,116R R Square

AdjustedR Square


The independent variable is X.

ANOVA

86,240 1 86,240 6357,625 ,000

,190 14 ,014

86,429 15

Regression

Residual

Total


The independent variable is X.


1.1. Ecuaţia estimată a modelului putereEcuaţia estimată a modelului putere este: este:

Prin logaritmare se obţine:Prin logaritmare se obţine:

960,0603,1 XY

XXY ln960,0472,0ln960,0603,1lnln


Producţia industrială creşte în medie cu Producţia industrială creşte în medie cu 0,96%, la o creştere cu 1% a investiţiilor nete 0,96%, la o creştere cu 1% a investiţiilor nete în industrie.în industrie.

Panta dreptei (parametrul Panta dreptei (parametrul ββ11) reprezintă ) reprezintă elasticitatea (elasticitatea (EE) investiţiilor în raport cu ) investiţiilor în raport cu producţia.producţia.

2. Testarea semnificaţiei parametrilor2. Testarea semnificaţiei parametrilor

3. Analiza de corelaţie3. Analiza de corelaţie

55.3. Modele polinomiale.3. Modele polinomiale

a. Modelul parabolic: cel mai simplu model polinomial este modelul parabolic (Quadratic).

La nivelul eşantionului:

2210 XXY

2210 XbXbbY

În economie, modelul polinomial este folosit În economie, modelul polinomial este folosit pentru descrierea relaţiei dintre costul unitar pentru descrierea relaţiei dintre costul unitar şi producţia realizatăşi producţia realizată: : costul unitar scade costul unitar scade concomitent cu creşterea producţiei până la concomitent cu creşterea producţiei până la un nivel optim al producţiei, după care, dacă un nivel optim al producţiei, după care, dacă producţia continuă să crească, începe să producţia continuă să crească, începe să crească şi costul unitar.crească şi costul unitar.

ExempluExemplu

50.00

40.00

30.00

20.00

10.00

9.008.007.006.005.004.003.002.00

Productia

Quadratic

Observed

Cost unitar

ExempluExemplu

Coefficients

-25.795 3.895 -5.322 -6.623 .000

2.114 .351 4.842 6.026 .001

89.041 9.231 9.646 .000

Productia

Productia ** 2

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

ExempluExemplu

Model Summary

.941 .886 .853 4.484R R Square

AdjustedR Square


The independent variable is Productia.

ANOVA

1091.326 2 545.663 27.133 .001

140.774 7 20.111

1232.100 9

Regression

Residual

Total


The independent variable is Productia.

Interpretare:Interpretare: ββ22>>o, deci legătura de tip parabolic admite un o, deci legătura de tip parabolic admite un

punct de minim.punct de minim.

Coordonatele punctului de minim arată Coordonatele punctului de minim arată nivelul producţiei optim pentru care costul nivelul producţiei optim pentru care costul unitar este minim. Abscisa acestui punct este: unitar este minim. Abscisa acestui punct este:

-b-b11/2b/2b22=25,79/4,22=6,11. Pentru o producţie =25,79/4,22=6,11. Pentru o producţie de 611 bucăţi din produsul A, costul este de 611 bucăţi din produsul A, costul este minim.minim.

b. b. Modelul cubicModelul cubic

În economie acest model este folosit pentru În economie acest model este folosit pentru descrierea relaţiei dintre costul total şi descrierea relaţiei dintre costul total şi valoarea producţiei.valoarea producţiei.

33

2210 XXXY

100

80

60

40

20

0

2500020000150001000050000

PIB / loc

Grad de urbanizare (%)

Coefficients

2,931 ,071 1,197 41,218 ,000

-3,9E-007 ,000 -,361 -4,932 ,000

7,73E-014 ,000 ,165 . .

-3962,660 11506,083 -,344 ,737

PIB

PIB ** 2

PIB ** 3

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

Curs5 Econometrie Regr Neliniara

Documents

Transcript of Curs5 Econometrie Regr Neliniara