Curs5 Hidrogeologie Aplicata MIM

Curs de hidrogeologie Conf. dr. ing. Omer Ichinur

Curs V

Transfer de masă în mediul poros saturat

În transferul de masă sau energie în mediul subteran, indiferent de natura lor

(apă, gaz, soluţii, căldură), intervin două procese ce se suprapun :

- o mişcare ce reprezintă modificarea poziţiei particulelor fluide în raport

cu matricea solidă. Această mişcare este descrisă de o relaţie dinamică

(legea lui Darcy);

- o variaţie a stocului în timp (acumulare sau eliberare). Aceste variaţii

sunt rezultatul influenţelor externe (precipitaţii, evaporaţii), consumurilor

locale (extracţii realizate de către rădăcinile diferitelor plante) sau

schimburilor cu alte faze (evaporaţii, condensarea). Variaţiile stocului sunt

descrise cantitativ prin principiul conservării masei exprimată prin ecuaţia de

continuitate.

Descrierea globală a proceselor de transfer se obţine prin asocierea legii

dinamicii cu ecuaţia de continuitate.

3.1. Regimuri de curgere ale apelor subterane

Din punct de vedere al modului în care se deplasează particulele de apă unele

faţă de altele, mişcarea apei subterane se face fie în regim laminar, fie în regim

turbulent.

Mediul subteran în care se efectuează curgerea mediu poros eterogen şi

anizotrop, curgerea laminară care se caracterizează prin paralelismul traiectoriilor

descrise de firele de curent are loc foarte rar şi numai în anumite domenii.

Modificarea unuia sau a mai multor factori care condiţionează curgerea laminară,

modifică regimul de curgere în turbulent, regim în care mişcarea particulelor de apă

se face fie oblic, fie perpendicular pe direcţia de curgere generală, producându-se

chiar şi turbionări [5].

3.1.1 Curgerea în regim laminar

Curgerea în regim laminar este o curgere permanenţă caracterizată prin fire

1


de curent continuu, rectilinii, care ocupă unul faţă de celălalt aceeaşi poziţie

relativă, chiar când condiţiile şi formele se modifică. Firele de curent au viteze

uniforme şi sunt paralele cu axa curgerii curentului continuu.

3.1.2 Curgerea în regim turbulent

Este curgerea în care firele de curent au traiectorii care se intersectează în mod

continuu şi neregulat, au viteze variabile, deplasarea particulelor de apă facându-se

în diverse direcţii chiar şi perpendiculare pe direcţia generală de mişcare,

producându-se în unele cazuri chiar şi turbionări.

Curgerea în regim turbulent este frecventă în cazul apelor subterane, ea

apărând chiar şi în medii omogene atunci când viteza de curgere este foarte mare.

în mişcarea turbulentă viteza într-un punct al mediului este mereu alta, având o

serie de variaţii rapide în jurul unei viteze medii. Acest fenomen poartă numele de

pulsaţia vitezei. Direcţia vitezei variază de asemenea în timp.

Experienţa a evidenţiat că dacă curgerea se face cu debit constant, expresia:

(3.1.)

reprezintă media în timp a vitezei locale momentane U’ pe un interval de timp T

suficient de lung şi care are o valoare constantă U, numită viteza locală medie în

punctul considerat. Diferenţa U" = U'-U poartă numele de viteza de pulsaţie.

Această curgere apare în momentul în care viteza de curgere în regim laminar

s-a mărit peste o anumită valoare, numită viteză critică.

3.1.3 Numărul lui Reynolds (Re)

În hidraulică cele două regimuri de curgere laminar şi turbulent au ca factor

determinant viteza de curgere. Regimul laminar fiind legat de viteza de curgere s-a

stabilit o constantă care condiţionează acest regim. Această constantă este

numărul lui Reynolds după numele savantului care 1-a propus prima dată (1883),

parametrul caracteristic al regimului de curgere.

Expresia care-l defineşte este: (3.2.)

în care v este viteza medie de curgere a apei, δ - dimensiune caracteristică pentru

2


mediul poros, ca de pildă diametrul mediu al granulelor sau acela al porilor, ν -

coeficientul cinematic de vâscozitate.

Determinarea dimensiunii caracteristice pentru mediul poros pune anumite

probleme deoarece este dificil să fie definită cu precizie. Diferiţi experimentatori au

stabilit totuşi valori critice pentru Re, care delimitează cele două regimuri de

curgere, dar rezultatele sunt departe de a fi concludente.

R. F. Nielsen [20] a găsit un Recr = 0.1 în timp ce G. J. Plain şi H. L. Mornson

au obţinut valoarea 75.

Prin consideraţii bazate pe analogia cu mişcarea în tuburi N. N. Pavlovski a

dedus o formulă teoretică pentru Re în care intervine şi porozitatea:

(3.3.)

unde n reprezintă porozitatea toatală a mediului poros respectiv, ν - coeficientul

de vâscozitate cinematică.

Această formulă, împreună cu datele experimentale, indică un Recr între 7.5 şi

9. Un dezavantaj e faptul că şi în această formulă intervine δ.

O altă formulă, stabilită de V. N. Şcelkacev face ca în expresia numărului

Re să intervină ca factori caracterizând mediul poros, permeabilitatea şi porozitatea,

factori ce se pot stabili cu precizie. Pe baza acestei formule şi a datelor experimentale

V. N. Şcelkacev a găsit că numărul Recr este cuprins între 1 şi 12. Prin urmare, chiar

în acest caz Re nu poate constitui un criteriu unic pentru caracterizarea scurgerii

prin medii poroase. Datorită complexităţii mediului poros, natura scurgerii mai este

influenţată de o serie de factori ca distribuţia porilor şi a dimensiunilor granulelor,

forma granulelor şi caracteristicile geometrice ale porilor.

Alte formule pentru calculul Recr [17]:

după Universitatea din Columbia (3.4.)

după Mint şi Şubert (3.5.)

în care este un coeficient, cu valori de 1.3 - 1.4 ;

după Schneebeli

(3.6.)

trecerea la regimul turblent făcându-se la Re=60.

3


M. D. Millionşcikov [15] a propus pentru numărul Re formula:

(3.7.)

în care : este scara liniară internă a mediului poros

k - coeficientul de

permeabilitate n - porozitatea

totală

În conformitate cu datele experimentale, valoarea critică Re cr, din formula

lui M. D Millionşcikov este egală cu Recr = 0.022.

O altă formulă pentru numărul Re [11 ]:

(3.8.)

unde k* - coeficient de permeabilitate intrinsec al mediului poros.

3.2. Viteza de filtrare, viteza efectivă şi viteza reală de curgere

În hidraulica subterană curentul real - care circulă numai prin spaţiile

corespunzătoare porozităţii efective, urmând un traseu sinuos prin spaţiile

intergranulare (Fig. nr. 3.1.) - este înlocuit cu un curent fictiv, de filtratie. având

acelaşi debit ca şi cel real, care ocupă întreaga secţiune de curgere, liniile de curent

fiind perfect rectilinii. Viteza de filtratie nu este viteza reală de mişcare a apei în

porii mediului permeabil, nici ca mărime şi nici ca direcţie. Viteza de filtratie este de

fapt un debit specific, care are dimensiunile unei viteze. Viteza de filtratie serveşte la

descrierea globală a cinematicii mişcării şi nu a celei de detaliu [23].

Viteza reală este mult mai mare decât viteza de filtraţie, atât din cauza

secţiunii mai reduse, cât şi a drumului mai lung. Viteza de avansare a frontului de apă

notată Ve şi denumită viteză efectivă este mai mare decât viteza de filtratie şi mai

mică decât viteza reală :

V = neVe şi V<Ve<Vr (3.9.)

Uneori se utilizează noţiunea de tortuozitate T care se defineşte prin raportul

dintre lungimea medie reală parcursă de particulele de fluid, l şi lungimea aparentă

sau rectilinie, L:

4


(3.10.)

Acest parametru este adimensional, fiind întotdeauna mai mare decât 1. Se

mai foloseşte factorul de tortuozitate τ care este egal cu inversul tortuozităţii:

(3.11.)

Fig. nr. 3.1. Schema circulaţiei apei în pământ

3.3. Legea lui Darcy

Conform legii stabilită experimental de Darcy, debitul filtrat printr-o probă

(Fig. nr. 3.2.) este proporţional cu secţiunea acesteia A (incluzând golurile şi scheletul

mineral), cu gradientul hidraulic I şi cu conductivitatea hidraulică k:

(3.12.)

în care q reprezintă debitul specific, densitate de flux sau simplu flux.

Fluxul reprezintă cantitatea de apă ce curge prin unitatea de suprafaţă şi

prin unitatea de timp, deci acest flux are dimensiunea unei viteze.

Curgerea apei prin mediul poros este un proces extrem de complex care nu

poate fi descris la scară microscopică. Vom descrie curgerea cu ajutorul noţiunii de

flux a curgerii care reprezintă media globală a fluxurilor microscopice într-un volum

de pământ suficient de mare comparativ cu dimensiunile porilor şi eterogenităţile

microscopice(volum elementar reprezentativ VER).

În continuare, în locul noţiunii de flux, se va folosi noţiunea de viteză notată

cu V. Această viteză se mai numeşte şi viteză de filtraţie, fiind în general o funcţie de

punct şi de timp :V = f(x,y,z,t).

5


Fig. nr. 3.2. Experienţa lui Darcy

Într-un sistem cartezian tridimensional, pentru depozite omogene şi izotrope

legea lui Darcy se poate scrie sub forma generală :

(3.13.)

în care : V este vectorul viteză

k - coeficientul de permeabilitate

H - sarcina hidraulică.

3.3.1. Limitele de aplicabilitate a legii lui Darcy

Lucrările experimentale ale multor cercetători au confirmat, în multe cazuri,

legea lui Darcy, dar au şi infirmat-o în anumite cazuri, stabilind abateri importante

ale rezultatelor experimentale faţă de cele calculate pe baza acestei legi; abaterile s-

au dovedit mari în cazul pământurilor macrogranulare [3]. Aceste rezultate au dat

naştere uneori anumite îndoieli privind valabilitatea relaţiei (3.13.) în general, ceea

ce a stimulat o serie de cercetători să găsească alte relaţii diferite de relaţia (3.13.). În

multe cazuri, aceste relaţii sunt absolut juste, însă aceasta nu ne îndreptăţeşte să

considerăm, că legea lui Darcy nu este reală. In realitate, această lege, ca şi multe

alte legi cu care cercetătorii exprimă fenomene naturale, are o anumită limită de

aplicabilitate.

Din experienţele lui Darcy, mişcarea apei subterane ce urmează această lege,

6


este o mişcare laminară, caracterizată de numere Reynolds foarte mici. Deci dacă o

anumită mişcare a apelor subterane va fi turbulentă, ea nu va urma această lege.

N. N. Pavlovski, bazându-se pe date experimentale, a stabilit, pentru prima

oară, expresia analitică a vitezei critice, Vcr, care limitează aplicabilitatea legii lui

Darcy. In urma cercetărilor sale, N. N. Pavlovski a ajuns la următoarea relaţie:

(3.14.)

în care : n - porozitatea totală ;

ν - coeficientul de vâscozitate cinematică în cm /s;

6.5 - dimensiunea caracteristică a particulelor, în cm;

N = 50...60, un număr constant, analog numărului Reynolds.

Cercetări mai recente asupra infiltraţiei dintr-un mediu poros artificial,

alcătuit din sfere de acelaşi diametru arată că aplicarea legii lui Darcy este limitată

de condiţiaRe5 (3.15)

în care numărul Reynolds este determinat cu relaţia (3.4.)

Admiţând valoarea critică a numărului Reynolds Recr = 5, din relaţia (3.4.)

obţinem expresia vitezei cririce de filtrare:

(3.16.)

Folosind relaţiile (3.14.) şi (3.16.), s-a constat că se obţin valori apropiate ale

vitezelor critice de filtrare.

Aşadar, aplicarea legii Darcy în studiul mişcării apelor subterane este

limitată de viteza critică de filtrare. Dacă viteza de filtrare o depăşeşte pe cea critică,

ceea ce are loc la mişcarea apei în pietrişuri, în roci puternic fisurate ş.a. - atunci

legea Darcy nu este respectată.

Experienţa arată că în acest caz, mişcarea apelor subterane se face după legea:

(3.17.)

în care m este un exponent subunitar.

Unii cercetători iau în studiul problemelor care nu respectă legea liniară a lui

Darcy: exponentul m = 2/3 în această relaţie. Pentru viteze de filtrare destul de mari,

exponentul m se apropie de valoarea m = l/2.

Pentru curgerea turbulentă, N. N. Pavlovski a propus următoarea relaţie

7


(3.18.)

în care A este un coeficient empiric.

În cazul unor pământuri macrogranulare (δ>5cm), coeficientul A se

determină cu relaţia empirică a lui S. V. Izbaş [28]

[cm/s] (3.19.)

în urma efectuării unui mare număr de cercetări experimentale asupra mişcării

apei prin materiale permeabile, macrogranulare, N. N. Puzîrevski recomandă

utilizarea relaţiei (3.17.), în care se ia m=l/2.

O altă relaţie foarte utilizată relaţia stabilită de Kröber, pe baza unor

experienţe efectuate cu nisipuri de diferite mărimi (δ = 0.57...5.63 mm)

[cm/s](3.20.)

în care (3.21.)

δ - dimensiunea caracteristică a particulelor, în cm.

Din această relaţie rezultă că pentru valori mici ale lui 5, valoarea

exponentului m tinde către 1, iar pentru valori mari, către 0.5.

Concluzie: Legea lui Darcy, stabilită iniţial pentru nisipuri, a fost extinsă

ulterior şi la alte depozite permeabile ca : pietrişuri, bolovănişuri, depozite argilos-

prăfoase, roci fisurate etc. Legea liniară de filtrare a lui Darcy nu are o aplicare

universală. Ea se aplică numai regimurilor laminare de curgere care apar de obicei în

cazul nisipurilor fine, argilelor prăfoase (Re<l). în cazul nisipurilor grosiere şi

pietrişurilor, vitezele de curgere pot fi ridicate, dezvoltându-se un regim de curgere

turbulent, astfel încât relaţia dintre flux şi gradientul hidraulic nu mai este liniară.

(Fig. nr. 3.3.)

8


Fig. nr. 3.3. Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy

La solurile foarte argiloase unde vitezele de curgere sunt extrem de mici,

se semnalează de asemenea abateri de la legea liniară descrisă de Darcy, datorită

forţelor de adsorbţie predominante care conduc la modificarea anumitor

proprietăţi a apei. In cazul argilelor compacte [11], legea de variaţie pentru valori

mici ale gradientului hidraulic este dată de fig. nr. 3.4. (Jacquin, 1965).

Fig. nr. 3.4. Variaţia vitezei funcţie de gradientul hidraulic

Pentru valori ale gradientului hidraulic mai mici decât I 0, coeficientul

de permeabilitate este nul [11].

Pentru valori ale gradientului hidraulic cuprins între I0 şi I2, reia, relaţia nu

este liniară.

Proporţionalitatea corespunzătoare legii lui Darcy se aplică numai în cazul în

care I>I1 şi se exprimă printr-o formulă de forma : V = k(I-I2)

Valorile Io, I1 şi I2 variază foarte mult în funcţie de tipul de argilă şi de

structura sa. De exempu I2 atinge foarte uşor valori de ordinul zecilor în cazul

montmorillonitului. Pentru valori foarte mari ale gradientului hidraulic, s-a

observat experimental că nu mai există proporţionalitate între gradient şi viteza de

filtraţie [11]:

grad H = V+V2 (3.22.)

V : pierderi datorate frecărilor vâscoase de pereţii matricei solide

V : pierderi datorate inerţiei fluidului (disiparea energiei cinetice în pori).

Dar aceste fenomene sunt de o importanţă practică marginală şi legea lui

Darcy poate fi utilizată în majoritatea cazurilor pentru descrierea curgerii apei în

mediul subteran,

Experienţa acumulată în practica inginerească conduce la concluzia că

9


aplicarea legii lui Darcy trebuie făcută cu precauţie, deoarece, în cazul depozitelor

argiloase, filtrarea are loc numai după depăşirea unei anumite valori a

gradientului hidraulic (gradient iniţial), iar la rocile cu permeabilitate mare

(pietrişuri, bolovănişuri, masive puternic fisurate sau carstifiate) pierderea de sarcină

hidraulică poate fi proporţională cu pătratul vitezei, regimul de curgere fiind

turbulent.

10

Curs5 Hidrogeologie Aplicata MIM

Documents

Transcript of Curs5 Hidrogeologie Aplicata MIM