Econometrie Regr Neliniara 2013

ECONOMETRIE

2013- CURS 7 -

Modele semi-logaritmice

Modele polinomiale

Fie variabila independentă, fie variabila dependentă apar,

în forma liniarizată a modelului, ca variabile logaritmate

Estimează variaţia relativă sau absolută a variabilei

dependente la o variaţie absolută sau relativă cu o

unitate a variabilei independente

Modelele cu variabila dependentă logaritmată pe care le

vom studia sunt: modelul Compound (Compus), Growth

(de creştere) şi Exponenţial

Modelul cu variabila independentă logaritmată pe care îl

vom studia este modelul Logarithmic

Modelul Compound

Forma generală a modelului:

Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:

eY X 10

10 lnlnln XY

Parametrii modelului:- β0 este valoarea medie a lui Y pentru X=0.

Variabila Y are numai valori pozitive, deci β0 satisface condiţia β0 >0.

- lnβ1 arată variaţia medie procentuală a lui Y la o variaţie absolută a lui X cu o unitate. Reprezintă rata de creştere sau reducere a variabilei Y în raport cu variabila X.

X

Y

ln

ln 1

Observaţii:

- Dacă lnβ1>0, adică β1>1, atunci legătura dintre cele două variabile este directă.

- Dacă lnβ1<0, adică 0<β1<1, atunci legătura dintre cele două variabile este inversă.

2. Estimarea parametrilor modeluluiSe face prin MCMMP:

Sistemul de ecuaţii normale:

n1,i ,yln=xbln+blnn ii10

ylnx=xbln+xbln ii2i1i0

imminei2

;

xxn

ylnxylnxnbln

2i

2i

iiii1

2i

2i

iii2ii

0xxn

ylnxxxylnbln

3. Testarea semnificaţiei parametrilor Ipoteze Interpretare

4. Intensitatea legăturii dintre variabile

- raportul de determinaţie (R square)

5. Exemplu

În urma analizei legăturii dintre valoarea investiţiilor (mii euro) şi valoarea producţiei (mil. euro) înregistrate pe un eşantion de 5 firme, s-au obţinut următoarele rezultate:

Coefficients

1.769 .103 2.677 17.118 .000

1.322 .256 5.161 .014

xi

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

The dependent variable is ln(yi).

i

i

xx 769,1322,1y

Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:

Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:

lnyi=ln1,322+xiln1,769=0,279+0,570xi

- valoarea parametrului β1 arată că, la o creştere cu o mie de euro a valorii investiţiilor, valoarea producţiei creşte, în medie, cu o rată de 0,57 sau cu 57%.

2. Testarea semnificaţiei parametrilor

3. Estimarea şi testarea intensităţii legăturii dintre variabile

Model Summary

.985 .969 .959 .185R R Square

AdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

The independent variable is xi.

ANOVA

3.253 1 3.253 95.333 .002

.102 3 .034

3.356 4

Regression

Residual

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

The independent variable is xi.

Modelul Growth (de Creştere)

1. Forma generală a modelului:


X10eY

XYln 10

Parametrii modelului:

- e β0 este valoarea medie a lui Y pentru X=0.

- β1 arată variaţia medie procentuală a lui Y la o variaţie absolută a lui X cu o unitate.

X

Y

ln

1

ExempluSe consideră legătura dintre Timpul de accelerare de la 0 la 60 mile/ora(exprim. Secunde) şi Puterea motorului (CP).

Coefficients

-.004 .000 -.726 -21.032 .000

3.092 .019 164.791 .000

Horsepower

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

The dependent variable is ln(Time to Accelerate from 0 to 60 mph (sec)).

XeY 004,0092,3Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:


Ln Y=3,092-0.004X

Interpretare: când Puterea motorului este de 0

C.P., Timpul de accelerare este de e3,092=22 secunde.

La o creştere a puterii motorului cu 1 C.P., timpul de accelerare scade, în medie, cu o rată de 0,004 sau cu 0,4%.

Modelul Exponential

Forma generală a modelului:


eeY X0

1

XlnYln 10

Parametrii modelului:

- β0 este valoarea medie a lui Y pentru X=0.

- β1 arată variaţia medie procentuală a lui Y la o variaţie absolută a lui X cu o unitate.

X

Y

ln

1

ExempluSe consideră legătura dintre Puterea motorului (CP) şi Numărul de cilindri (cilindri).

Coefficients

.170 .005 .842 31.057 .000

38.911 1.221 31.877 .000

Number of Cylinders

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

The dependent variable is ln(Horsepower).

XeY 170,0911,38 Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:


lnY=ln38,911+0,17X

Interpretare: când Numărul de cilindri este de 0,

Puterea medie a motorului este de 38,911 C.P.

La o creştere a numărului de cilindri cu 1 cilindru, puterea motorului creşte, în medie, cu 17%.

Modelul LogarithmicForma generală a modelului:

- β0 este valoarea medie a lui Y pentru X=1.

- β1 /100 arată variaţia medie absolută a lui Y la o variaţie procentuală a lui X cu 1%.

XlnY 10

)(ln1 X

Y

Exemplu

Se consideră legătura dintre Puterea motorului şi Numărul de cilindri.

Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:

Xln458,104048,68Y

Coefficients

104.458 3.632 .822 28.761 .000

-68.048 6.112 -11.134 .000

ln(Number of Cylinders)

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

Interpretare: când Numărul de cilindri este de 1,

Puterea medie a motorului este de -68,048 C.P.

La o creştere a numărului de cilindri cu 1 %, puterea motorului creşte, în medie, cu 1,04458 C.P. (104,458/100)

a. Modelul parabolic: cel mai simplu model polinomial este modelul parabolic (Quadratic).

La nivelul eşantionului:

2210 XXY

2210X XbXbbY

În economie, modelul polinomial este folosit pentru descrierea relaţiei dintre costul unitar şi producţia realizată: costul unitar scade concomitent cu creşterea producţiei până la un nivel optim al producţiei, după care, dacă producţia continuă să crească, începe să crească şi costul unitar.

50.0040.0030.0020.0010.00 9.008.007.006.005.004.003.002.00ProductiaQuadraticObservedCost unitar

Coefficients

-25.795 3.895 -5.322 -6.623 .000

2.114 .351 4.842 6.026 .001

89.041 9.231 9.646 .000

Productia

Productia ** 2

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

Interpretare: β1<0, β2>0, deci legătura de tip parabolic admite

un punct de minim.

Coordonatele punctului de minim arată nivelul optim al producţiei pentru care costul unitar este minim. Abscisa acestui punct este: b1/2b2=25,79/4,22=6,11. Pentru o producţie de 611 bucăţi din produsul A, costul este minim.

b. Modelul cubic

În economie acest model este folosit pentru descrierea relaţiei dintre costul total şi valoarea producţiei.

Pentru acest tip de legătură se poate determina punctul de inflexiune al curbei, prin anularea derivatei de ordinul 2 in X. Se obţine valoarea lui X de unde Y îşi modifică modul de variaţie.

33

2210 XXXY

100806040200 2500020000150001000050000PIB / locGrad de urbanizare (%)

31127 1021,1101,6010,0036,32 XXXY

Coefficients

.010 .002 2.557 4.950 .000

-6.1E-007 .000 -3.206 -2.652 .009

1.21E-011 .000 1.255 . .

32.036 3.395 9.438 .000

PIB/loc

PIB/loc ** 2

PIB/loc** 3

(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

Ecuaţia estimată este:

Punctul de inflexiune este dat de:

-b2/3b3=6,1/0,000121=25105

Econometrie Regr Neliniara 2013

Documents

Transcript of Econometrie Regr Neliniara 2013