ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE ECONOMIE AGROALIMENTAR MEDIULUI

IA

Prof. univ. dr. MIRCEA GHEORGHI Conf. univ.dr. SIMONA ROXANA P T RL GEANU

ECONOMETRIE

BUCURE TI -2008-

1

CUPRINS Introducere Capitolul I: Modele econometrice 1.1. Generalit i 1.2. Model aleator 1.3. Natura variabilelor care apar n model 1.4. Induc ia statistic 1.5. Identificarea modelului 1.6. Previziunea variabilei endogene 1.7. Vocabular uzual Capitolul II: Regresia simpl 2.1. Modelul liniar al regresiei simple 2.2. Determinarea estimatorilor parametrilor prin metoda celor mai mici p trate 2.3. Propriet ile estimatorilor 2.3.1. Covarian a estimatorilor 2.3.2. Determinarea unui estimator nedeplasat pentru varian a erorilor 2.3.3. Interpretarea geometric a metodei celor mai mici p trate 2.3.4. Coeficientul de corela ie liniar 2.3.5. Distribu ia de probabilitate a estimatorilor 2.4. Teste i intervale de ncredere 2.5. Previziunea cu modelul liniar 2.6. Experien de calcul Capitolul III: Regresia multipl 3.1. Modelul liniar al regresiei multiple 3.2. Determinarea estimatorilor parametrilor 3.3. Propriet ile estimatorilor 3.4. Determinarea unui estimator nedeplasat pentru varian a reziduurilor 3.5. Teste i regiuni de ncredere 3.6. Previziunea variabilei endogene 3.7. Coeficientul de corela ie multipl . Analiza varian ei 3.8. Experien de calcul Capitolul IV: Studiul modelului liniar cnd ipotezele clasice asupra erorilor nu mai sunt realizate 4.1. Ipoteza de independen a erorilor 4.1.1. Testarea ipotezei de independen a erorilor 4.1.2. Experien de calcul 4.2. Ipoteza de normalitate a erorilor 4.3. Ipoteza de heteroscedasticitate 4.3.1. Experien de calcul 4.4. Ipoteza de independen a erorilor n raport cu variabilele exogene 4.5. Ipoteza referitoare la faptul c variabilele sunt observate f r er oare 4.5.1. Experien de calcul Bibliografie 3 4 4 4 4 5 5 5 6 10 10 11 12 15 16 18 21 22 24 25 29 34 34 35 36 38 39 41 42 45 49 49 52 55 59 60 61 63 63 65 68

2

INTRODUCERE Dezvoltarea aparatului statistic furnizeaz economi tilor tot mai multe date cifrice despre procesele i fenomenele care au loc n timp i spa iu. Econometria este un mijloc de a exploata aceste date. No iunea de econometrie provine din termenii oikonomie (economie) i metron (m surare) i desemneaz totalitatea metodelor i tehnicilor de m surare a fenomenelor i proceselor care au loc n domeniul economic. Primele lucr ri econometrice au avut ca obiect func iile consumului, care leag nivelul consumului de venitul disponibil (aceste func ii stau la baza teoriei keynesiene). n decursul timpului, numero i autori au ncercat definirea econometriei. Lucrarea ECONOMETRIA PENTRU...ECONOMI TI, a profesorului Eugen tefan Pecican, ap rut la Editura Econmic n 2003, con ine multe referiri n acest sens, din care am selectat cteva. Autori R. Frisch P.A. Samuelson, T.C. Koopmans, J.R.N. Stone Fr. Perroux G.C. Chow W. Griffits, H. Carter, G. Judge Referin a Econometria realizeaz mbinarea punctelor de vedere care se refer la teoria economic , statistic i matematic cu privire la natura rela iilor cantitative din economie Econometria reprezint o analiz de natur cantitativ a fenomenelor economice, bazat pe dezvoltarea recent a teoriei culegerii i interpret rii datelor, n conexiune cu metodele de inferen (induc ie) statistic adecvate Econometria este o economie de inten ie tiin ific Econometria este un domeniu n care se mbin arta i tiin a de a utiliza metodele statistice n vederea m sur rii rela iilor economice Econometria este ansamblul metodelor de realizare a analizei datelor economice

Autorul lucr rii citate mai sus este de p rerea c obiectul econometriei const n cunoa terea mecanismelor de desf urare a proceselor economice descrise de serii de date statistice, prin utilizarea metodelor cantitative de natur statistic sau matematic . Defini iile date econometriei pun n eviden dou elemente: domeniul de studiu (economia, rela iile dintre variabilele economice) i metodele utilizate (provenite din statistic i matematic ). Econometria se orienteaz spre construirea de modele econometrice care s reprezinte simplificat procesele sau fenomenele economice analizate i s permit simul ri ale acestora, n scopul n elegerii lor, pe de o parte, dar i s serveasc la realizarea de previziuni, prognoze care s fundamenteze politicile economice, pe de alt parte.

3

CAPITOLUL I MODELE ECONOMETRICE 1.1. Generalit i

Modelarea economic reprezint un proces de cunoa tere mijlocit a realit ii cu ajutorul unui instrument cu caracteristici speciale: modelul. Sistemul real supus studiului este nlocuit prin modelul s u, care este o reprezentare simplificat a obiectului cercetat. Modelul econometric este, de regul , o mul ime de rela ii numerice care permite reprezentarea simplificat a procesului economic supus studiului (uneori chiar a ntregii economii). Modelele actuale comport adesea mai mult de zece rela ii (ecua ii). Validitatea unui model este testat prin confruntarea rezultatelor ob inute cu observa iile statistic e. Pentru a studia un fenomen economic se ncearc reprezentarea lui prin comportamentul unei variabile. Aceast variabil economic depinde, la rndul s u de alte variabile de care este legat pr in rela ii matematice. De exemplu, dac se studiaz cererea (C) i oferta (O) dintr-un anumit bun pe o pia , se tie c cererea i oferta depind de pre ul (p) bunului respectiv. Putem scrie c variabilele C i O sunt func ii de variabila p i c la echilibrul pie ei, trebuie ca cererea s fie egal cu oferta. Se construie te astfel un model elementar de forma:

[1]

C ! f ( p) O ! g ( p ) C ! O

Oferta i cererea dintr-un anumit bun depind i de alte variabile dect pre ul. Astfel, cererea dintr-un bun alimentar depinde i de venitul disponibil, de pre ul unor produse analoage etc. La fel, dac este vorba despre un bun agricol (gru,...) oferta depinde de pre ul anului precedent. Rela ia stabilit ntre variabile n modelul econometric este dat , de regul , la un anumit moment de timp t, caz n care variabilele apar indiciate:

[2]

Ct

n modelul [2] s-au introdus mai multe variabile care explic cererea i oferta dintr-un bun i s-a considerat realizarea acestor variabile la momentul t sau t -1. Se observ c modelul comport mai multe rela ii. Se zice c avem un model cu ecua ii multiple. Evident, se va ncepe studiul cu un model mai simplu, cu o unic ecua ie. 1.2. Model aleator

S presupunem c se studiaz consumul (Ci ) dintr-un anumit bun de c tre o familie (i). ntre alte variabile, consumul depinde de venitul disponibil al familiei (Vi ). Modelul econometric elementar const n a exprima Ci n func ie de Vi . Desigur, al i factori dintre care unii sunt necunoscu i determin de asemenea consumul familiei. Condens m efectele acestor al i factori ntr-unul singur, aleator, notat i. Se ob ine astfel un model aleator: [3] i i i Factorul aleator i este o variabil aleatoare care urmeaz o anumit lege de probabilitate, ce va trebui s fie specificat prin ipotezele f cute asupra modelului. Cel mai frecvent, ipotezele se ref er doar la momentele de ordinul I i II ale variabilei aleatoare i. Urmeaz s ne asigur m c func ia f (sau clasa de func ii) aleas nu contrazice rezultatele experien ei. De exemplu, dac s-a ales f ca o func ie liniar (adic f(Vi ) = aVi+b), modelul econometric este: [4]

C ! f (V ) I

C i ! aVi b I i

i variind pe i pentru diferitele familii studiate, ne vom asigura c rela ia [4] este bine satisf cut . Se spune c test m modelul. Dac rezultatul ob inut este convenabil, se va trece la estimarea parametrilor a i b. Apoi, definind o regul de previziune se va putea determina consumul Ci dac se cunoa te venitul Vi . 1.3. Natura variabilelor care apar n model

ntr-un model econometric se disting dou tipuri de variabile: -exogene. Sunt variabilele explicative ale variabilei studiate i se consider ca fiind date autonom. n modelul [4] Vi este variabila exogen (sau explicativ , independent ). Venitul familiei Vi explic n acest model 4

Ct Ot

f ( pt , x1t , x 2 t ,..., x nt ) g ( p t 1 , x1t , x 2 t ,..., x rt ) Ot

consumul familiei Ci. Valoarea variabilei exogene pentru un i dat i pentru i precizat- permite determinarea consumului Ci . -endogene. Sunt variabilele de explicat (sau dependente). Ci este variabila endogen n modelul precedent. Se poate remarca faptul c Ci este acum o variabil aleatoare datorit lui i. Distinc ia ntre natura variabilelor este foarte important i va trebui precizat ntotdeauna nainte de a studia modelul. Cnd modelul econometric a c p tat formularea matematic definitiv se spune c modelul a fost specificat. Modelul [4] de mai sus este specificat. Se cunoa te forma func iei f din expresia Ci = f(V i ) + i , adic f(Vi) = aVi +b. Ad ugarea variabilei exogene i d modelului formularea definitiv [4]. Mul imea parametrilor care definesc complet modelul econometric constituie structura acestuia. De exemplu, dac a = 0,7 i b = 23 iar urmeaz o lege de probabilitate normal de medie (speran matematic ) egal cu zero i dispersie (varian ) egal cu 5, atunci mul imea a = 0,7; b= 23; W = 5 constituie structura modelului [4]. Scopul va fi acela ca, plecnd de la cuplurile (Ci,Vi ) asociate diferitelor familii i, s se determine structura adev rat a modelului. Cu alte cuvinte, plecnd de la un spa iu e antion definit de mul imea cuplurilor (Ci ,Vi) s se determine structura adev rat a modelului n spa iul cu trei dimensiuni al structurilor a , b, W . Aici intervine induc iastatistic . 1.4. Induc ia statistic

Obiectul induc iei statistice este de a determina o procedur care, pornind doar de la observa iile statistice de care dispunem, s permit trecerea de la spa iul e antion la spa iul structurilor. Odat ce modelul a fost ales, se admite c exist un triplet (a, b, W ) care permite reprezentarea exact a procesului prin care valorile variabilelor observate au fost determinate. n cursul induc iei statistice modelul nu se mai modific . Procedura aleas a a cum se va vedea n continuare va consta n ob inerea de estimatori pentru parametrii a i b care s permit determinarea celor mai bune valori reale ale acestor parametri. Aceste valori se vor aprecia, n general, cu ajutorul unor intervale de ncredere construite la un prag de semnifica ie (E) dat. De exemplu, n modelul [4] se va g si c a[0,64;0,78] i b[20;27] cu o probabilitate de 95% (s-a considerat E=5%). Se poate estima i abaterea medie p tratic (W) a variabilei aleatoare i. Se va vedea rolul important jucat de aceast variabil aleatoare n modelul econometric. Identificarea modelului

1.5.

Consider m din nou modelul Ci =aVi+b+ i . S presupunem c procedura utilizat , pornind de la informa ia de inut , adic de la cuplurile (Ci ,Vi ), i=1,2,... nu conduce la o solu ie unic , ci la dou structuri distincte: s0 =a0 ,b0,W 0 , s1 =a1 ,b1,W 1. Deorece legea de probabilitate pentru precizeaz i legea de probabilitate pentru C, fiecare structur ( innd cont de valorile exogenelor i de legea lui ) conduce la o lege de probabilitate pentru C. Presupunem c structurile s0 i s1 conduc la aceea i lege de probabilitate pentru consumul C. Sunt posibile dou cazuri: s0 i s1 sunt distincte i nu putem alege ntre ele. Se spune c structurile considerate nu sunt identificabile i, ca urmare, modelul nu este identificabil. Din aceast cauz nu vom putea determina valorile parametrilor care figureaz n model; s0 i s1 nu sunt distincte, intersec ia lor nu este vid . Acestea vor permite identificarea unei p r i a parametrilor modelului (cei care apar in intersec iei). Se spune c cele dou structuri sunt echivalente, dar nu permit o identificare complet a modelului. Problema identific rii este important mai ales n cazul modelelor cu ecua ii multiple. Previziunea variabilei endogene

1.6.

Interesul unui model a c rui structur a fost determinat const n a-l utiliza pentru previzionarea variabilelor endogene ntr-o etap viitoare sau ntr-o circumstan dat , dac este vorba despre observa ii luate la acela i moment-, atunci cnd cele exogene au fost fixate. De exemplu, dac dorim s studiem evolu ia importurilor (Y) n func ie de produsul intern brut (X1) i de nivelul stocurilor (X 2), modelul econometric este: yt=a1x1t +a2x2t+b+ t, t=1,2,...,T unde t este timpul. Datele istorice (pe perioada 1990-2005) despre Y, X1 i X2 (observa iile fiind anuale) permit determinarea parametrilor modelului. S presupunem c am g sit estima iile punctuale:

a 1 ! 0,14 a 2 ! 0,6 b!6 5

Modelul estimat este: y t ! 0,14 x1t 0,6 x 2t 6 . Dac dorim s facem o previziune a importurilor pentru anul 2007, trebuie s tim PIB-ul i nivelul stocurilor n anul 2007. Presupunnd c aceste variabile exogene sunt x1=1030 i x2=12,7 vom avea ca previziune pentru y: y2007=(0,14).1030+(0,6).(12,7)+6sau, n general, U , unde este perioada de previziune. 1 1U 2 2U Observa ie. Asupra valorii previzionate trebuie s remarc m: - valorile exogenelor x1 , x2 au fost alese arbitrar, eventual innd cont de evolu ia lor trecut ; - specificarea modelului nu poate fi perfect , forma func iei alese pentru a explica evolu ia lui y neputnd fi suficient de precis ; - este posibil ca variabilele explicative (exogene) ale variabilei endogene (explicate), s nu mai intervin n acela i mod ca n perioada 1990-2005, cnd s-a studiat legatura dintre ele. Este posibil s aib loc un oc, o ruptur care s perturbe echilibrul dintre variabilele care explic fenomenul, la momentul previziunii. Este evident c toate aceste cauze pot constitui surse de eroare a previziunii. Vom vedea care sunt metodele de a minimiza eroarea de previziune. Rezumatul capitolului I Pentru construc ia i utilizarea unui model econometric, se parcurg urm toarele etape: - specificarea modelului (g sirea formul rii matematice definitive a leg turii dintre variabilele care descriu fenomenul sau procesul economic studiat); - estimarea parametrilor i testarea modelului cu ajutorul statisticilor (seriilor de date observate) deja cunoscute; - previziunea variabilei endogene. Vocabular uzual

yp ! a x a x b

1.7.

Dac sunte i familiariza i cu statistica matematic , pute i trece la capitolul II. n caz contrar, v reamintim aici cteva no iuni de baz . Lectura acestui paragraf credem c v va incita s revede i cursul de Statistic matematic . Nor de puncte Fiind dat o serie de date statistice n care valorile (xi ,yj) apar efectiv de nij ori putem reprezenta ntr-un plan toate aceste valori prin puncte de coordonate (xi ,yj) afectate de coeficien ii nij , ob inndu-se astfel un nor de puncte. Ajustare Reprezentarea grafic a seriilor de date economice conduce frecvent la figuri pu in lizibile i greu de interpretat din cauza varia iilor pe termen scurt, numeroase i sensibile, dar f r o semnifica ie important . Metodele matematice numite de ajustare permit ob inerea unei curbe simple, ct mai apropiat posibil de mul imea de puncte furnizate de observa iile empirice disponibile. Ajustare liniar Atunci cnd reprezentarea grafic a unei serii statistice duble d un nor de puncte de form alungit , se ncearc ob inerea unei aproxim ri bune a acestei serii cu ajutorul unei drepte, realizndu -se astfel o ajustare liniar . Exist mai multe metode pentru g sirea acestei drepte: - metoda grafic (se determin punctul mediu M ale c rui coordonate sunt x, y i se traseaz dreapta care pare a fi cea mai reprezentativ a seriei, determinnd ecua ia Y=aX+b. Aceast metod este ambigu pentru c nu ine cont de ponderea fiec rui punct n norul de puncte); - metoda lui Mayer (se regrupeaz punctele norului n dou submul imi c rora li se determin punctele medii M1 i M2. Dreapta de ajustare este atunci dreapta care trece prin M1 i M2); - metoda celor mai mici p trate (const n a face minim suma p tratelor distan elor de la punctele norului la o dreapt de ecua ie Y=aX+b numit dreapt de regresie a lui Y n X. Se arat c panta (coeficientul director) acestei drepte este a=cov(X,Y)/Var(X). Coeficientul b se ob ine scriind c dreapta de regresie trece prin punctul mediu:

b ! Y aX . Procednd la fel se g se te dreapta de regresie de ecua ie X=adY+bd , cu ad=cov(X,Y)/Var(Y) i b d X a d . Cele dou drepte de regresie sunt, n general, distincte. Compararea lor permite m surarea nivelului ! Yde corela ie al caracteristicilor X i Y. Corela ia se m soar cu coeficientul de corela ie V=cov(X,Y)/W(X)W(Y). Se constat c V2=aad i c V variaz ntre 1 i 1. V2 m soar unghiul dintre cele dou drepte de regresie, care coincid dac V2=1, adic

V ! 1 . Caracteristicile X i Y sunt corelate maximal cnd V este apropiat de 1).

n afara faptului de a da o reprezentare mai mult sau mai pu in satisf c toare leg turii dintre X i Y, importan a ajust rii liniare este de a permite previziuni statistice, asociind lui X o valoare probabil a lui Y prin rela ia Y=aX+b. Probabilitate Fiind dat o mul ime finit ;, numim probabilitate pe ; orice aplica ie p a lui P(;) mul imea p r ilor lui ; - n intervalul [0,1A care verific trei condi ii: 6

- p(A)u0, pentru A P(;) - p(;)=1 - p(AB)= p(A)+ p(B), dac A,B P(;), AB=* ; se nume te univers (sau univers de probabilit i). ; nzestrat cu probabilitatea p se nume te spa iu probabilizat. Orice parte a lui ; este un eveniment. Un singleton (mul ime ce con ine un singur element) al lui ; se nume te eveniment elementar sau eventualitate. ; este evenimentul cert. * este evenimentul imposibil. A este evenimentul complementar lui A n ; (se nume te eveniment contrar lui A). Dac AB=*, evenimentele A i B sunt incompatibile. Variabil aleatoare Dac ; este un univers finit, numim variabil aleatoare orice aplica ie X: ; pR ( a lui ; n mul imea numerelor reale). Mul imea valorilor lui X, adic X(;) se nume te universul imagine. Aten ie!- o variabil aleatoare nu este o variabil , ci o aplica ie! Se observ c nu este necesar s cunoa tem o probabilitate pe ; pentru a defini o variabil aleatoare pe ;. Legea de probabilitate a unei variabile aleatoare Dac universul finit ; este nzestrat cu o probabilitate p, iar X este o variabil aleatoare definit pe ;, numim lege de probabilitate a variabilei aleatoare X, aplica ia px : X(;)p[0,1A care asociaz oric rui xX(;) probabilitatea evenimentului mul imea antecedentelor lui x prin X. Aceast mul ime X-1(x) este notat (X=x). Legea de probabilitate a lui X, notat px este definit prin px: X(;)p[0,1A, x pp(X=x). A studia o variabil aleatoare nseamn a-i descoperi legea sa de probabilitate. Func ie de reparti ie Dac universul finit ; este nzestrat cu o probabilitate p, iar X este o variabil aleatoare definit pe ;, se asociaz acestei variabile aleatoare func ia F:Rp[0,1A definit prin F(x)=p(X x) numit func ie de reparti ie a variabilei aleatoare X. Evenimentul (X x) este imaginea intervalului g, x prin func ia X. Func ia de reparti ie este o func ie n scar . Speran a matematic Dac X este o variabil aleatoare definit pe universul finit ;, nzestrat cu probabilitatea p, universul imagine este o mul ime finit i ia valorile xi , i=1,2,...,n. Legea de probabilitate a lui X asociaz fiec rui xi probabilitatea pi =p(X=xi ). Se nume te speran matematic a variabilei aleatoare X, num rul real

E ( X ) ! p i xii !1

n

. E(X) este media n probabilitate a valorilor luate de variabila aleatoare X. E(.) este un operator

liniar. Varian a Dac X este o variabil aleatoare definit pe universul finit ;, nzestrat cu probabilitatea p, universul imagine este o mul ime finit i ia valorile xi , i=1,2,...,n. Legea de probabilitate a lui X asociaz fiec rui xi probabilitatea pi =p(X=xi ). Se nume te varian a variabilei aleatoare X, num rul real pozitiv

Var ( X ) ! pi ( x i E ( X )) 2i !1

n

. Varian a este media n probabilitate a p tratului distan elor de la xi la media lor.

R d cina p trat (radicalul) lui Var(X) este ecartul-tip al variabilei aleatoare X, notat W x. Momente condi ionate Se consider vectorul aleator

X , Y : ; p R 2

,

cu

reparti ia

P ( X ! x i , Y ! y j ) ! pij , p ij " 0,

pi j

ij

! 1 i variabila aleatoare condi ionat (X/Y=yj) cu reparti a

P( X ! xi / Y ! y j ) !

p ij p. j

, p. j ! pij . Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X condi ionat de Y=yj estei

momentul ini ial de ordinul k al variabilei aleatoare condi ionate (X/Y=yj):

M ( X k / Y ! y j ) ! x ik P ( X ! xi / Y ! y j ) ! xiki i

p ij p. j

!

1 p. j

pi

ij

x ik

Similar se define te momentul de ordinul k al variabilei aleatoare Y condi ionat de X=xi . Pentru k=1 se ob in mediile condi ionate:

M (X /Y ! y j ) !

1 p. j

x pi i

ij

,

Se pot defini variabilele aleatoare medii condi ionate astfel: - variabila aleatoare media lui X condi ionat de Y, cu reparti ia:

M (X /Y ! y j ) , p. j u 0, p. j ! 1 M (X /Y ) : p. j j -variabila aleatoare media lui Y condi ionat de X , cu reparti ia:

(Y / X ! x i ) !

1 y j pij pi . j

7

M (Y / X ! x i ) , p i . u 0, p i . ! 1 M (Y / X ) : pi . i Regresie Se nume te regresia variabilei aleatoare X n raport cu Y, variabila aleatoare M(X/Y) cu mul imea valorilor posibile: M(X/Y=y),

x R.(se mai scrie i

X

Similar, regresia variabilei aleatoare Y n raport cu X este: M(Y/X=x), y R. Dac M(X/Y)=aX+b sau M(Y/X)=cY+d se spune c regresia este liniar Reparti a normal Variabila aleatoare X urmeaz o reparti ie normal de parametri m i N (m, W ) ) dac densitatea ei de probabilitate (derivata func iei de reparti ie) este:

f ( x) !Pentru m=0 i

1 W 2T

exp(

( x m) 2 ), x R, 2W 2

m R, >0

=1 se ob ine reparti ia normal normat N(0,1), cu densitatea de probabilitate:

f ( x) !

1 2T

exp(

x2 ), x R, 2

Se arat c parametri m i 2 sunt media (speran a matematic ), respectiv dispersia (varian a) variabilei aleatoare X N (m, W ) . Reparti ia 2 (hi-p trat) cu n grade de libertate Variabila aleatoare X urmeaz legea de reparti ie hi-p trat cu n grade de libertate (se mai scrie i X H (n) ) dac densitatea ei de reparti ie este:

f ( x) !

1 n +( )2 2n 2

x

n 1 2

x exp( ), x>0, n N * 2i=1,2,...,n sunt independente, atunci variabila aleatoare

Dac

variabilelen

aleatoare

X i N (0,1),

Y ! X i2i !1

urmeaz legea de reparti ie H(n).

Reparti ia Student cu n grade de libertate S(n) Variabila aleatoare X urmeaz legea de reparti ie Student cu n grade de libertate dac densitatea ei de reparti ie este:

f ( x) !

1 x2 1 n n 1 n & , 2 2

n 1 2

, x R, n N *

Dac

variabilele aleatoare

X N (0,1), Y H (n) sunt

independente, atunci variabila aleatoare

Z!

X Y n

S (n) .

Reparti ia Fisher-Snedecor F(n1,n2) Variabila aleatoare X urmeaz legea de reparti ie Fisher-Snedecor cu n1 i n2 grade de libertate dac densitatea ei de reparti ie este:n1

n1 2 n21 1 n n x 1 2 n n 2 1 1 x , f ( x) ! 2 n1 n 2 n 2 & , 2 2

x>0,

n1 , n 2 N *

8

Dac

variabilele aleatoare

X 1 H (n1 )

i

X 2 H (n 2 )

sunt independente, atunci variabila

X1 n aleatoare X ! 1 F ( n1 , n 2 ) . X2 n2

9

CAPITOLUL II REGRESIA SIMPL Studiem, pentru nceput, cel mai simplu model econometric: o variabil n cadrul capitolului este prezentat

endogen

reprezint

evolu ia

fenomenului considerat i aceast evolu ie este explicat printr-o singur variabil exogen . metoda de estimare a parametrilor care intervin ntr -un model econometric, se vor examina propriet ile estimatorilor ob inu i i se vor generaliza rezultatele analizei pentru modele mai complexe. ntr-o prima parte se va trata ob inerea estimatorilor parametrilor modelului i propriet ilor lor, iar ntr o a doua parte se d o interpretarea geometric a metodei utilizate, determinarea intervalelor de ncredere referitoare la parametri i previziunea care poate fi f cut cu un astfel de model. 2.1. Modelul liniar al regresiei simple Consider m modelul: (1)

yt ! axt b I t , t=1, 2, ...,TX o variabil exogen ; I o variabil aleatoare ale c rei caracteristici vor fi precizate prin ipoteze.

n care: Y reprezint o variabil endogen ;

Se dispune de T observa ii asupra lui Y i X, adic T cupluri (xt , yt ) care sunt realiz ri ale lui X i Y. a i b sunt parametri reali necunoscu i pe care dorim s -i estim m cu ajutorul observa iilor (xt , yt ) cunoscute. Ipoteze fundamentale Pentru a putea ob ine rezultatele enun ate la nceput, vom simplifica lucrurile impunnd o serie de ipoteze restrictive asupra modelului. Ulterior, n alte capitole, se vor relaxa aceste restric ii, discutnd implica iile abandon ri i unora din aceste ipoteze asupra calit ii estimatorilor. I1 : xt i yt sunt m rimi numerice observate f r eroare; X variabila explicativ se consider dat autonom n model; Y variabila endogen este o variabil aleatoare, prin intermediul lui I. I2 : a)- I urmeaz o lege de distribu ie independent de timp, adic media i dispersia lui I nu depind de t:

E I t ! 0, t ! 1,2,..., T ,Var I t ! W I2 , cantitate finit , t .Observa ie: S-au folosit aici, pentru medie i dispersie, nota iile E y , respectiv Var y , provenind de la speran a matematic i varian a unei variabile aleatoare. Se presupune c studen ii au cuno tin e elementare despre teoria probabilit ilor i statistic matematic . Altfel, ele trebuie rev zute! b)- Realiz rile lui I sunt independente de realiz rile lui X n cursul timpului. Aceasta este ipoteza de homoscedasticitate. n caz contrar, exist heteroscedasticitate. 10

c)- Independen a erorilor (se va vedea pe parcurs c variabila aleatoare I reprezint erori sau reziduuri). Dou erori relative la dou observa ii diferite t i t sunt independente ntre ele, nsemnnd c au covarian a nul :

I cov t , I t d ! 0 , ceea ce implic E I t .I t d ! 0 . Prin defini ie, cov( I t , I t d ! E (I t E (I t ))(I t d E (I t d ) ))

?

A

i innd cont de a) rezult implica ia.

d)- Normalitatea erorilor. Presupunem c I urmeaz o lege de reparti ie normal , cu media 0 i dispersia ceea ce poate fi scris astfel: I3 : Primele momente empirice ale variabilei X, pentru T foarte mare, sunt finite:

W I2 ,

I N 0, W I2

.

1 T xt Tg p x0 p T t !1

(media empiric ).

2 1 T xt x T pg p s 2 T t !1

(varian a empiric ).

Aceast ipotez va fi folosit pentru a preciza propriet ile asimptotice ale estimatorilor parametrilor a i b. Ipotezele I1, I2, I3 pot p rea foarte restrictive. Vom vedea ulterior ce consecin e are abandonarea unora dintre ele asupra propriet ilor estimatorilor lui a i b. 2.2. Determinarea estimatorilor parametrilor prin metoda celor mai mici p trate Determinarea estimatorilor parametrilor a i b (nota i cu

a

i

b)

prin metoda celor mai mici p trate

(MCMMP) se face punnd condi ia ca suma p tratelor erorilor s fie minim , adic :

I t2 ! ?yt axt bA ! N a, b.2 t !1 t !1

T

T

Pentru ca N a, b s fie minimal , trebuie ca: 1. condi ii necesare:

xN xN ! 0, ! 0. xa xb2

x 2N 2 xN 2. condi ii suficiente: " 0 , xa 2 2 xN xa xbxa

x 2N xaxb " 0 . x 2N xb 2

Calcul m derivatele par iale ale func iei N a, b .T xN ! 2y t ax t b xt ! 0 xa t !1 T xN ! 2y t ax t b 1 ! 0 xb t !1 T x 2N ! 2 xt2 " 0 xa 2 t !1

11

x 2N ! 2T xb 2T x 2N x 2N ! 2 x t . ! xaxb xbxa t !1

Atunci, condi iile de ordinul I (necesare) conduc la sistemul de ecua ii:T T T 2 xt yt a xt b xt ! 0 !1 t !1 t !1 1 tT , T y a x Tb ! 0 t !1 t t !1 t

iar condi iile suficiente (de ordinul II) sunt verificate. Ecua iile condi ii de ordinul I (numite ecua ii normale, vezi justificarea geometric din partea a II-a), le mp r im la T, rezultnd:

1 T 1 T xt yt a xt2 b x ! 0 T t !1 T t !1 . ax b ! 0 y

2.3. Propriet ile estimatorilor

demonstra ie vom ine cont de ipotezele I1, I2, I3. Pentru a u ura demonstrarea propriet ilor enun ate, transform m mai nti expresiile (2) pentru a le exprima n func ie de parametrii a i b. Vom considera modelul (1)

yt ! axt b I t , t=1, 2, ...,T, nsum

Din a doua ecua ie avem

b ! y axt t

i nlocuind n prima ecua ie:

1 xt yt y x a! T ! 2 1 2 xt x TAm ob inut estimatorii

x y T y x ! y y x x . x Tx x x t t 2 t 2 2 t

a i b ai parametrilor a i b da i de rela iile:

yt y xt x a , ! 2 2 xt x b ! y ax

Observa ie:

a este o variabil aleatoare pentru c e func ie de yt, iar b este aleator pentru c e func ie de a .

Vom ar ta c estimatorii a i

b ob inu i prin metoda celor mai mici p trate sunt nedeplasa i i convergen i. n

m dup to i t i mp r im la T. Rezult :

1 1 1 y t ! a T xt b T I t T

, adic

12

2 y ! a x b I .Sc dem membru cu membru pe (2) din (1):

yt y ! a xt x I t Ii nlocuim y t y n expresia lui

2

a:2 t t t 2

! a x x I x x ! A I x x x x I x x I x x ! a I x x !a x x x x t

a ? x a!

x I t I xt xt

t

t

t

t

t

t

2

2

t

t

(deoarece

I ( x

t

x) !I ( xt x) ! 0 ).

Din expresia lui

b , avem c b ! y a x , adic y ! a x b , iar din (2)

y ! a x b I , astfel c prin

sc dere rezult : 0 ! a a x b b I sau b ! b I a a x . Am ob inut c :

a !a

xi

I t xt xt

x

2

b ! b I a a x .

a

b

sunt estimatori nedeplasa i pentru a i b. media estimatorului este chiar parametrul estimat. Vom aplica n rela iile g site mai sus. Pentru comoditate, not m cu wt cantitatea:

Un estimator este nedeplasat dac operatorul de medie E

wt !

x x 2 t

xt x

, astfel c

a ! a I t wt

Rezult :

E a ! E a wt E I t ! a , pentru c

E(a)=a i E(It )=0.

E b ! E b E I xE a a Avem c : E(b)=b,

1 1 E I ! E I t ! E I t ! 0 T T

i

E a a ! E a E a ! a a ! 0 , deci E b ! b .

a

i

b

sunt estimatori convergen i pentru a i b.

13

tiind c

E a ! apentru ca

i

E b !b,

i

este suficient s

ar t m c

Var a T pg p 0

i

Var b T p g p 0 estimatorilor

a

bs

fie convergen i n probabilitate c tre a i b. Calcul m varian a

a

i

b., adic

tim c

a ! a wt I t

a a ! wt I t

.

2 2 Var a ! E a a ! E wt I t ! E wt2I t2 2 wt wt 'I t I t ' ! t t' ! wt2 E I t2 2 wt wt ' E I t I t ' t t'

Conform ipotezelor fundamentale,

Var a ! wt W I ! W I2 2

x x 2 t dar wt ! xt x

n final, dispersia estimatorului

Conform ipotezei I3,

Am ob inut c

Determin m acum dispersia estimatorului

2 2 2 2 2 Var b ! E b b ! E I a a x ! E I 2I x a a a a x ! 2 2 2

? A ! E 2 xE ? a a A x E a a I I EI!

Evalu m, pe rnd, fiecare termen:

t t

(deoarece

E I t I t ! 0 ).

2

t

t

1 T2

TW 2 1 E I T E I I ! T Var I ! T2 t 2 t

14

2

1 1 2 ! E I t ! E 2 I t 2 I t I t ! T t t T 2 I 2

E I t2 ! W I2,

i

E I t I t ' ! 0 , pentru

2

w

2 t

! 2

2

x x 2 t

1

.

a

este:

Var a !

x x . 2 t

W I2

2 1 xt x Tg p s 2 i avem c p T

a T pg p a

P

( a este convergent n probabilitate c tre a).

b

:

?

2

t { t ' , rezultnd:

W I2 Var a ! 2 T pg p 0 . Ts

A

!

W I2 T

1 1 2 E I a a ! E I t wt I t ! E wt I t wt I t I t ' ! T t t' T 2 W 1 1 1 ! wt E I t2 wt E I t I t ' ! wtVar I t ! I wt T T t t' T Tdar

w ! t t !1 t !1

T

T

x

xt xt

adic E I a a ! 0 .

?

A

Folosind aceste rezultate par iale, se ob ine:2 2 2 W2 W2 x W I2 2 W Var b ! I x E a a ! I x Var a ! I T T T xt x

Dispersia estimatorului

1 Var (b) ! W I2 T Cum ns

1 p 0 i T T pgP

adic 2.3.1.

b T pg p b

Covarian a estimatorilor a i b

Calcul m acum covarian a estimatorilor pornind de la defini ie:

cov a, b ! E a E a ) b E (b ! E a a b b !2

A ? A ? A I ! E ?a a x a a

! E ? a a x a a A! I xW ! E ? a a A xE a a ! xVar a ! I 2

Matricea de varian

i covarian a lui

x

x x 2

!

1

2

x x ! 0 ,t

t

b

este:2 x ( xt x)2

x

1t

x

2

!

1 p 0 rezult c Ts 2 T pg

( b converge n probabilitate c tre b) .

x

t

x

a i b , notat

; a ,b este deci:

15

?

A

2

2

Var b T pg p 0 ,

.

2 I

2

Var a ; a ,b ! cov b, a

W I2 2 cov a , b xt x ! Var b xW I2 2 xt x

xt x ! 2 1 x W I2 2 T xt x

xW I2

2

1 2 xt x 2 ! WI x x x 2 t

xt x 2 1 x 2 T x x t

x

2

Se remarc faptul c

; a ,b con ine

pe W I , adic varian a lui I t care este necunoscut . Se pune deci adic o estima ie pentru

2

problema de a ob ine o estima ie pentru

; a ,b ,

Var (I t ) ! W I2 .

Not m aceast

estima ie cu

W I2 .Determinarea unui estimator nedeplasat pentru varian a erorilor

2.3.2.

Utiliznd estimatorii a iajustate ale variabilei endogene):

b putem calcula estima ia variabilei endogene yt, notat y t (se mai numesc i valori

y t ! ax t b . yt este un estimator pentru eroarea

Atunci diferen a dintre yt i

I t . Not m I t ! yt yt . Avem c

I t ! y t yt ! y t axt b ! ax t b I t axt b ! I t a a xt b b deoarece a i b converg n probabilitate c tre a i b, distribu ia lui

.

Remarc :

It

converge n probabilitate c tre distribu ia lui

It

(distribu ie normal , conform I2). tim c

b b ! I a a x

i nlocuind ob inem:

I t ! I t a a xt I a a x ! I t I a a xt xiar prin ridicare la p trat:

.

I t2 ! I t I

2a a x2

t

x I t I a a xt x2

.22

nsum m dup t=1,2,...,T i mp r im la T:

1 1 It2 ! T I t I TDar:

t

1 2a a T x xI 2 t

t

I a a

1 xt x T

.2

aa !

I x x , x x t t 2

i

x

t

x I t I ! I t xt x I xt x ! I t xt x I xt x ! a a xt x16

?

A

2

pentru c I

x

t

x ! 0.

nlocuind, rezult :

1 1 It2 ! T I t I TNot m cu

1 a a T x x2 2 2 t

.

W2 !

1 It I T

dispersia erorilor fa2

de media lor i cum ea este o variabil aleatoare, i

calcul m media E W

:2

2 2 2 1 1 1 E W 2 ! E I t I ! E I t2 2I I t I ! E I t2 I ! T T T

2

t t'

Aplicnd acum operatorul de medie n rela ia:

1 1 It2 ! T I t I T

1 a a T x x ,2 2 2 t

i innd cont de expresia varian ei estimatorului a , rezult :2 2 1 2 1 W 1 t2 ! E W 2 Var a xt x ! W I2 1 I ! W I2 1 . E I T T T T T

Rela ia g sit se poate scrie i astfel:

ob inut:

E W I2 ! W I2 , adic W IEste de remarcat c

2este un estimator nedeplasat pentru

modelul

numitorul lui probleme.

W I2

este T-2. (T-2) constituie num rul gradelor de libertate. Vom reveni ulterior asupra acestei

n concluzie, pentru modelul liniar al regresiei simple, avem estimatorii:

a!

y y x x x x t t 2 t

b ! y ax W I2 ! 1 It2 T 217

! W I2

1 T2

2 I E T E I I !W2 t t t'

2 I

W I2 1 ! W I2 1 T T

1 W I2 ! E It2 , a a c T 2

, notnd

W I2

(varian a erorilor).

yt ! axt b I t

presupune estimarea a doi parametri (a i b), iar

!

2 1 1 2 1 E I t2 E I ! W I2 E I t ! W I2 E 2 I t2 2 I t I t ' ! T t t' T T

W I2 !

1 It2 , am T 2

Estimatorul estima ie a matricei

W I2

permite s d m o estima ie a varian elor i covarian ei parametrilor din model, deci o

; a ,b , notat ; a ,b :

Var a ; a ,b ! cov a, b Var a !

x W I2t

cov a, b , Var b

unde:

2 x !W 21 I Var b T xt x

2.3.3.

Am determinat estimatorii aminimului sumei p tratelor erorilor

minimal , cu ajutorul unei reprezent ri grafice. Aceast condi ie va consta n egalitatea cu zero a dou produse scalare care redau ecua iile normale. Modelul

y1 x1 I1 1 y2 x2 I2 1 . . . . unde: Y ! , X ! , U ! . , I ! . . . . . . . . 1 y x I T T Tn spa iul ortonormat consider m vectorii Y, X, U i I.T

x

,2

2 ,

cov a, b ! x Var a .

Interpretarea geometric a metodei celor mai mici p trate i2 t

b ai parametrilor modelului utiliznd condi ia necesar de existen. Putem s d m o condi ie necesar i suficient pentru ca

a

I

I

2 t

s fie

yt ! axt b I t

se scrie sub form matriceal astfel:

Y ! aX bU I

,

18

A Y Y

I X

B

H

(L)

O

U

C

Vectorul 0H=aX+bU apar ine planului (L) determinat de vectorii X i U. Fie 0A=Y, 0B=X, 0C=U, HA=I. Cantitatea traduce

Iprin

2 t

! I

2

!H

egalitatea

cu

zero

a

produsului

scalar

al

vectorilor

respectivi:

H 0B ! 0 , sau H 0C ! 0

Y aX bU , X "! 0 , adic Y aX bU , U "! 0

x t y t a xt2 b xt ! 0 . y t a xt T b ! 0

Am reg sit, deci, sistemul de ecua ii normale. Not m

Y proiec ia pe planul (L) a vectorului Y i cu I vectorul HA ortogonal la planul (L).

A efectua o regresie a variabilei Y asupra variabilei X n modelul proiecta vectorul Y pe planul (L) din determinat de X i U.T

yt ! axt b I t

Observa ie: Consider m modelul

yt ! b I t . O reprezentare analog

celei dinainte este:

A Y 0 Un scriere matricial , modelul este OA=OH+HA.

H

Y ! bU I ,

iar conform cu reprezentarea grafic , avem rela ia

19

2

este minimal dac HA este ortogonal pe (L), adic pe X i U. Aceast condi ie se

revine, deci, la a

I

2 t

!H

Y bU ,U "! 0 sau

proiec iei vectorului Y pe suportul vectorului U este varian ei.

Ecua ia varian ei Relu m reprezentarea geometric precedent i not m cu K proiec ia lui A pe suportul vectorului U:

(L)

Evident, KH este perpendicular n K pe 0C. n triunghiul AKH, dreptunghic, avem:

1

K

tim c

y ! a x b , rezultnd c y ! y .Deoarece: AK=0A-0K ( (A0 K dreptunghic n K) HK=0H-0K ( ( 0 HK dreptunghic n K), rezult , folosind (1):

2 yt y 2

Variabilitatea total

Aceasta este ecua ia varian ei. Vom reveni asupra ei cnd vom aborda regresia multipl .

2

2

este minimal dac

HA B 0 H (HA este perpendicular pe 0H), adic HA U ! 0 sau

y

t

1 T b ! 0 , b ! yt ! y i 0 H ! b U ! y U ! Y . M sura algebric a T

y . Vom utiliza aceast observa ie pentru a exprima ecua ia

A I

Y Y

X

B

H K

O

U

C

Y

! KH

2

Hi

2

.

y t ! ax t b

1 1 y t ! a T xt b , T

adic :

y ! ax b .

Dar

i

!!

y

t

y

2

I

2 t

Variabilitatea datorat regresiei

Variabilitatea rezidual

20

2.3.4. Coeficientul de corela ie liniar Coeficientul de corela ie liniar ntre variabilele X i Y, notat V, se calculeaz cu rela ia:

y y x x . y y x x cov X , Y , unde W n general, V !V!t t 2 2 t t

XY

W X W Y

X

i W Y sunt abaterile standard (radicalul dispersiei) ale variabilelor

X i Y. tim c estimatorul parametrului a are expresia

a!

y y x x , astfel c x x t t 2 t 2 t 2 t

putem scrie:

y y x x x x V! x x y y x2 t t t 2 2 t t

t

x

2

!

a

x x . Am ob inut o expresie a coeficientului y y 2

de corela ie n func ie de estimator, iar prin ridicare la p trat: V ! Un calcul imediat arat c :

a 2 xt xt

. y y 2 2 2 2 2 t t

! ?x b x b ! ? x xA !a x x . A a a a y y n acela i timp, ecua ia varian ei conduce la: y ! y I , de unde: y y ! y y I ! 1 I . V ! y y y y y y yt

y

! y2

t

y

2

2

t

2

2

t

t

2 t

2 2

2

2

t t

t

2 t

2 t

2

2

t

t

Pe de alt

parte, utiliznd figura geometric

i notnd cu

unghiul

AKH , avem cos E !

KH , AK

cos 2 E !

KH AK

2 2

!

y y

t t

, adic yy2 2 2

V ! cos E ! 1

2

2

y

It

2 t

y

2 .

n mod necesar, 0 e V e 1 i 1 e V e 1 . Cnd V !2

0 , nu exist o rela ie de tip liniar yt ! ax t b ntre yt i xt, adic a=0.

Cnd V ! 1 , yt este legat de xt printr-o rela ie de forma y t ! ax t b . V ! 1 implic a>0, iar

V ! 1 implic aFtab=2,97 se admite ipoteza de heteroscedasticitate a erorilor. Dac presupunem acum c2 2

varian a erorilor

W I2t

este propor ional

cu p tratul valorilor

variabilei exogene, adic W I t ! P xt , P fiind o constant nenul , atunci efectele heteroscedasticit ii pot fi corectate prin transformarea modelului. mp r ind fiecare termen al ecua iei de regresie prin xt, rezult :

yt b I ! a t xt xt xtsau

z t ! a bu t L t , unde: zt ! yt , ut ! 1xtSe observ c

xt

i Lt !

It . xt

I Var t ! Var t L x t

1 2 ! 2 W It ! P . x t

Prin urmare, modelul transformat are erorile L t homoscedastice, deoarece dispersia lor este independent de timp. Efectund regresia pe modelul transformat, rezult :

z t u t T zu b ! 2 u t2 T u ! z bu a Revenind n variabilele ini iale ob inem:

62

yt 1 1 yt 1 x x T x x t t t ! t t t 2 b 2 1 1 1 x T x t t t 1 y 1 1 a ! t b T t xt T t xt Efectund calculele, rezult :

b ! 70,44 ; a ! 0,072 ; R 2 ! 0,99 , adic : yt 70,44 ! 0,072 xt xtsau

yt ! 0,072 xt 70,44 .

S remarc m faptul c panta dreptei de regresie (dup corectarea heteroscedasticit ii) este mai mic dect cea ob inut naintea corect rii. 4.4. Ipoteza de independen Se tie c a erorilor n raport cu varibilele exogene ipotez fundamental estimatorii ob inu i au propriet i optimale

sub aceast

(nedeplasa i, cu varian

minimal ). Cnd ipoteza nu mai este satisf cut aceste propriet i nu mai sunt

valabile. Cu ct coeficientul de corela ie liniar ( V ) dintre I t i xt este mai mare, cu att deplasarea estimatorilor va fi mai mare. n astfel de cazuri este de preferat s se aleag un alt model econometric pentru studierea leg turii dintre variabile. La fel trebuie procedat i atunci cnd se constat c varian a erorilor nu este finit . 4.5. Ipoteza referitoare la faptul c variabilele modelului sunt observate f r eroare Atunci cnd variabilele care apar n model nu sunt variabile observate f r eroare, va exista o corela ie ntre reziduuri i exogenele din model. n acest caz, pentru a ob ine estimatori convergen i, s-a dezvoltat o metod de estimare special , numit metoda variabilelor instrumentale, pe care o prezent m mai jos. Fie modelul liniar general:

y t ! a1 x1t a 2 x 2 t ... a p x pt I t , t=1, 2, ...,T,care, cu nota iile obi nuite, se scrie n forma matricial Y=Xa+I. Not m cu Y

~

i X valorile reale

~

(necunoscute acum pentru c observa iile Y i X con in erori!) ale variabilelor din model.

63

Putem scrie c Y ! Y Q , X ! X K , unde Q i K sunt variabile aleatoare. Vom presupune c Q i K satisface ipotezele fundamentale (medie zero, varian finit , independente). nlocuind X i Y prin expresiile lor, ob inem modelul

~

~

~ ~ Y ! Xa L ,

unde

L ! Ka I Q . Aceasta aratintermediul lui K.

c n modelul ini ial, Y=Xa+I , reziduurile I sunt corelate cu X prin

Presupunem acum c se cunosc alte p variabile exogene Zi , i=1,2,...,p necorelate cu Q, K i L, deci necorelate cu I. Acest lucru nseamn c sub forma: (1)

E Z i I ! 0 , i=1,2,...,p. Consider

m modelul ini ial Y=Xa+I scris

Y ! a1 X 1 a 2 X 2 ... a p X p I ,

x p1 x11 x 21 . . . unde X 1 ! . , X 2 ! . ,..., X p ! . . . . x x x pT 1T 2T nmul im, succesiv, ecua ia (1) cu Z1, Z2, ...Zp i aplic m operatorul de medie E fiec rei ecua ii. Se ob ine sistemul:

E Z Z 1 Y ! a1 E Z 1 X 1 ... a p E 1 X p E Z Z 2 Y ! a1 E Z 2 X 1 ... a p E 2 X p (2) .... Y ! a E X ... a E X E Zp 1 Zp p 1 p Zp Metoda de estimare VI (variabilelor instrumentale) const n a lua ca estimatori a1 ,..., a p exactsolu iile sistemului de ecua ii (2), n care speran ele matematice sunt nlocuite cu momentele empirice corespunz toare:

E Z i Y !

1 zit yt , i=1,2,...,p T t 1 zit x jt , i,j=1,2,...,p T t

E i X j ! ZDac not m:

64

z11 Z ! ... z 1Tmatricial :

x11 z p1 ... ... i X ! ... x ... z pT 1T ...

x p1 ... ... sistemul (2) transformat se scrie sub form ... x pT ...

Z 'Y ! Z ' X a , iar pentru c Z 'Y este inversabil , ob inem estimatorul:

1 a ! Z ' X Z 'Y .

S observ m similitudinea cu estimatorii ob inu i prin MCMMP: 1. 2. 3. MCMMP obi nuit :1 a ! X ' X X 'Y a ! X ' ; I 1 X X ' ; I 1 Y 1

MCMMP generalizat : metoda VI:

1 a ! Z ' X Z 'Y .1

Se trece de la 1. la 2. nlocuind X ' prin X ' ; I . Se trece de la 1. la 3. nlocuind X ' prin Z ' . Cunoa terea primei formule permite exprimarea celorlalte dou .

Estimatorul a ob inut prin metoda VI este un estimator deplasat pentru a, dar converge nprobabilitate c tre a pentru T suficient de mare. Pentru a putea utiliza metoda VI trebuie g site attea variabile instrumentale cte exogene con ine modelul. Aceste variabile instrumentale trebuie s fie necorelate cu reziduurile, dar puternic corelate cu exogenele modelului. Aceste restric ii limiteaz alegerea variabilelor instrumentale i, prin urmare, metoda VI nu este o metod general de estimare. 4.5.1. Experien de calcul

Consider m o anchet pe bugetele de familie pentru a studia consumul dintr-un anumit produs. Ancheta cuprinde un e antion de T familii. Facem urm toarele nota ii: y1t: cheltuielile totale ale familiei t; y2t: cheltuielile relative la produsul studiat; Vt : veniturile familiei t; i scriem ecua iile: (1) (2)

y1t ! Vt I 1ty 2t ! aVt b I 2t

65

Ne propunem s exprim m cheltuielile relative la produsul studiat n func ie de cheltuielile totale. Din ecua ia (1) avem c

Vt ! y1t I 1t

i nlocuind n (2), rezult :

y 2t ! ay1t b I 2t aI 1tsau, punnd L t (3)

! I 2 t aI 1t :

y 2t ! ay1t b L t .

S observ m c L t este corelat cu y1t prin intermediul lui I1t. Vom estima a i b din ecua ia (3) introducnd o variabil instrumental . Fie VDt venitul declarat de familia t. Este evident corela ia puternic dintre variabilele VDt i Vt. Dimpotriv , venitul declarat VDt nu este corelat cu

I 1t ! y1t Vt ,

care este ecartul ntre

cheltuielile totale i veniturile familiei t. Rezult c VDt nu va fi corelat cu L t . Utiliz m venitul declarat ca variabil instrumental . Pentru simplificarea calculelor, centr m variabilele din model:

y 2t ! ay1t b L t , t=1,2,...,T

1 1 1 y2t ! a T y1t b T L t T t t ty 2 ! a y1 b L(4)

y 2t y 2 ! a y1t y1 L t L

2

Dac aplic m MCMMP ecua iei (4), ob inem estimatorul:

yt

1t

y1 y 2t y 21t

(5).

a!

yt

y1

i aplicnd

Folosim ns instrumental centrat

metoda variabilelor instrumentale. Pentru aceasta, consider m variabila

VD

t

VD . nmul ind ecua ia (4) cu variabila instrumental centrat

operatorul de medie E, rezult :

E y 2t y 2 VDt VD ! aE y1t y1 VDt VD E L t L VDt VD

?

A

?

? A

. A

66

Dar, cum L t

i VDt nu sunt corelate, nseamn c

E L t L VDt VD ! 0 , iar acum

?

A

nlocuind E cu media empiric , ob inem:

E y 2t y 2 VDt VD ! aE y1t y 1 VDt VD

?

A

?

A

1 1 VDt VD y2t y 2 ! a T VDt VD y1t y1 , T t tde unde:

VD VD y a! VD VD yt t t t

2t

1t

. y y21

Am ob inut practic estimatorul (5) n care variabila instrumental

y

1t

y1

s-a nlocuit cu variabila

VD

t

VD att la num r tor, ct i la numitor.

67

BIBLIOGRAFIE 1. Andrei, T. 2. Cenu , Ghe. (coord.) 3. Chow, G. 4. Dobrescu, E. 5. Gheroghi , M. 6. Giraud, R. 7. Gourieroux, C. Monfort, A. 8. Gujarati, R.N. 9. Isaic-Maniu, Al. Mitru , C. Voineagu, V. 10. Malinvaud, E. 11. Onicescu, O. Botez, M. 12. Pecican, E.S. 13. Pecican, E.S. 14. Ta nadi, Al. 15. Ta nadi, Al. Cre u, A. Peptan, E. 16. T n soiu, O. Pecican, E.S. Iacob, A. 17. T n soiu, O. 18. T n soiu, O. Iacob, A. 19. www.asecib.ase.ro/soft.htm Econometrie-studii de caz, Editura A.S.E., 1998 Econometrie aplicat , Editura Arteticart, Bucure ti, 1999 Modele econometrice, Editura A.S.E., 2001 Methodes statistiques de leconometrie, Dunod, Paris, 1978 Incertitudine i modelare economic (Econometrie informa ional ), Editura tiin ific Bucure ti, 1985 Econometria pentru ... economi ti; Econometrie-teorie i aplica ii, Editura Economic , Bucure ti, 2003 Econometrie, Editura All, Bucure ti, 1994 Econometrie, Editura A.S.E., 2001 Econometrie proiect, Editura A.S.E., 2003 i Enciclopedic , Statistic i econometrie, Editura Economic , Bucure ti, 2004

Matematici pentru economi ti, Editura CISON, Bucure ti, 2000 Econometrics, McGraw Hill, New York, 1989 Tranzi ia n Romnia-Abord ri econometrice, Editura Economic , Bucure ti, 2002 Modelarea i simularea proceselor economice, Editura ASE, Bucure ti, 2001 Econometrie, Economica, 49 rue Hericart, Paris, 1990 Statistique et Modeles Econometriques, Economica, Paris, 1989 Essentials of Econometrics, McGraw Hill, New York, 1998 Statistica pentru managementul afacerilor, Editura Economic , 1995

68