1

Angel HUMINIC

MECANICA FLUIDELOR

EDITURA UNIVERSITĂȚII TRANSILVANIA din BRAŞOV

2014

2

3

4

5

CUPRINS

1. NOTIUNI INTRODUCTIVE DE MECANICA FLUIDELOR 11

1.1 Definiția Fluidelor 12

1.1.1 Comportamentul mecanic al fluidelor în raport cu cel al solidelor 12

1.1.2 Conceptul de mediu continuu, omogen și izotrop 13

1.1.3 Definiția fluidului. Modele de fluid 16

1.2 Forțele care Acționează Asupra Fluidelor 17

1.3 Noțiuni Fundamentale de Matematică 20

1.3.1 Vectori. Sisteme de referință 20

1.3.2 Elemente de calcul vectorial 23

1.3.3 Operatori diferențiali vectoriali 30

1.3.4 Relații de calcul integral 36

2. PROPRIETĂȚILE ȘI PARAMETRII CARE DEFINESC STAREA UNUI FLUID 38

2.1 Proprietăți Fizice Comune Lichidelor și Gazelor 38

2.1.1 Presiunea 38

2.1.2 Densitatea 42

2.1.3 Greutatea specifică 44

2.1.4 Compresibilitatea 44

2.1.5 Celeritatea 47

2.1.6 Numărul Mach 47

2.1.7 Adeziunea la suprafețele solide 48

2.1.8 Vâscozitatea 49

2.1.9 Conductivitatea termică 54

2.2 Proprietăți Fizice Specifice Lichidelor 55

2.2.1 Tensiunea superficială 55

2.2.2 Capilaritatea 56

2.2.3 Absorbția gazelor 58

2.3 Proprietăți Fizice Specifice Gazelor 59

2.3.1 Căldura specifică 60

2.3.2 Energia internă specifică 60

2.3.3 Entalpia specifică 61

2.4 Aplicații Ale Proprietăților Fluidelor 61

6

3. STATICA FLUIDELOR 67

3.1 Ecuația de Repaus a Fluidelor 67

3.2 Relația Fundamentală a Staticii Fluidelor 70

3.3 Forme Particulare ale Relației Fundamentale a Staticii Fluidelor 73

3.3.1 Repausul fluidelor incompresibile în câmp gravitațional 73

3.3.2 Repausul relativ al lichidelor în câmp gravitațional 76

3.3.3 Repausul fluidelor compresibile în câmp gravitațional 81

3.4 Forțe de Acțiune ale Fluidelor în Repaus Asupra Unor Pereți Solizi 82

3.4.1 Forțe de acțiune pe pereți plani 83

3.4.2 Forțe de acțiune pe pereți curbi 86

3.5 Instrumente Pentru Măsurarea Presiunilor 90

3.5.1 Tubul piezometric 91

3.5.2 Manometre "U" 92

3.5.3 Alegerea piezometrului adecvat 95

3.5.4 Manometre cu element elastic 96

3.6 Aplicații - Statica Fluidelor 96

4. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE 104

4.1 Noțiuni Generale de Cinematica Fluidelor 105

4.1.1 Metode de studiu ale mișcării fluidelor 105

4.1.2 Expresia accelerației unei particule de fluid 106

4.1.3 Mărimi caracteristice mișcării fluidelor 108

4.2 Ecuațiile Mișcării Fluidelor Ideale 115

4.2.1 Teorema de transport a lui Reynolds 115

4.2.2 Ecuația de continuitate 115

4.2.3 Ecuația lui Euler de mișcare a fluidelor ideale 119

4.2.4 Ecuația lui Bernoulli 121

4.2.5 Teorema impulsului 124

4.2.6 Teorema momentului cinetic 129

4.2.7 Puterea unui curent de fluid. Coeficientii lui Coriolis și Boussinesq 130

4.3 Aplicații ale Ecuației lui Bernoulli 132

4.3.1 Parametrii frânați ai fluidelor 132

4.3.2 Aparate de măsură a vitezelor și debitelor bazate pe

ecuația lui Bernoulli

135

4.3.3 Ejectoarele subsonice 140

4.3.4 Aplicații numerice 142

7

4.4 Aplicații ale Teoremei Impulsului 146

4.4.1 Forțe hidrodinamice pe suprafețe plane 147

4.4.2 Forțe hidrodinamice în ajutaje 148

4.4.3 Forța axială care acționează asupra unui rotor. Teoria lui Betz 150

4.4.4 Aplicații numerice 152

4.5 Noțiuni de Teoria Vârtejurilor 153

4.5.1 Vârtejul unei particule de fluid 153

4.5.2 Teorema lui Helmholtz 155

4.5.3 Circulația vitezei. Teorema lui Stokes 155

4.5.4 Teorema lui Thomson (lord Kelvin) 157

4.5.5 Câmpul de viteze datorat unui sistem de vârtejuri pentru fluide

incompresibile. Formula lui Biot și Savart generalizată

159

4.5.6 Câmpul de viteze indus de tuburi subțiri de vârtej 162

4.5.7 Aplicații 165

4.6 Mișcări Potențiale Plane 166

4.6.1 Funcția de potențial. Funcția de curent 166

4.6.2 Potențialul complex al mișcării. Viteza complexă 169

4.6.3 Mișcări potențiale plane definite de funcții date. Funcția 171

4.6.4 Mișcări potențiale plane produse de surse și vârtejuri 177

4.6.5 Mișcarea în jurul unui contur circular 186

4.6.6 Metoda transformărilor conforme 194

4.6.7 Relațiile Blasius-Ceaplîghin 197

4.7 Curgerea Fluidelor Ideale Compresibile 200

4.7.1 Principiul I al termodinamicii 201

4.7.2 Călduri specifice 204

4.7.3 Funcții de stare ale gazelor 205

4.7.4 Ecuația energiei totale a fluidelor în mișcare permanentă 207

4.7.5 Mișcarea fluidelor prin conducte cu secțiune variabilă. Viteza critică

208

4.7.6 Transmiterea perturbațiilor în fluidele compresibile 211

4.7.7 Unde de șoc 215

5. DINAMICA FLUIDELOR REALE 220

5.1 Generalități 220

5.1.1 Experimentele lui Reynolds. Curgeri laminare și turbulente 220

5.1.2 Profilul vitezelor în mișcare laminară și în mișcare turbulentă 224

8

5.2 Ecuațiile Mișcării Fluidelor Reale 228

5.2.1 Ecuațiile mișcării fluidelor reale în componente de eforturi.

Ecuațiile Cauchy

228

5.2.2 Ecuațiile Navier-Stokes 232

5.2.3 Ecuațiile Navier-Stokes în coordonate cilindrice 234

5.3 Soluții Exacte ale Ecuațiilor Navier-Stokes 235

5.3.1 Mișcarea permanentă a unui fluid între două plăci plane ,

paralele

236

5.3.2 Mișcarea plană Couette 238

5.3.3 Mișcarea plană Poiseuille 239

5.4 Mișcarea Turbulentă a Fluidelor 240

5.4.1 Structura mișcărilor turbulente. Gradul de turbulență al unui

curent de fluid

240

5.4.2 Corelații și coeficienți de corelație în mișcarea turbulentă 242

5.4.3 Ecuațiile mișcărilor turbulente - ecuațiile lui Reynolds

(fluide incompresibile)

245

5.4.4 Teoria coeficientului de vâscozitate turbulentă a lui Boussinesq 248

5.4.5 Teoria lungimii de amestec a lui Prandtl 250

5.4.6 Structura mișcării turbulente în apropierea suprafețelor solide.

Legile variației vitezei la perete

253

5.5 Noțiuni Generale de Teoria Stratului Limită 257

5.5.1 Parametrii și relațiile care definesc stratul limită 257

5.5.2 Ecuațiile de mișcare în stratul limită bidimensional 260

5.5.3 Ecuația impusului în formă integrală pentru stratul limită plan 262

5.5.4 Placa plană într-un curent uniform, cu strat limită laminar 265

5.5.5 Placa plană într-un curent uniform, cu strat limită turbulent 267

5.5.6 Desprinderea stratului limită. Metode de control ale

stratului limită

268

5.6 Forțe și Momente Aero- Hidrodinamice 271

5.7 Aplicații 274

5.8 Ecuația lui Bernoulli la Curgerea Fluidelor Reale. Pierderi Energetice 278

5.8.1 Pierderile liniare (distribuite) de sarcină 281

5.8.2 Pierderile locale de sarcină 282

5.9 Elemente de Analiză Dimensională și Teoria Similitudinii 285

5.9.1 Metoda Rayleigh 286

5.9.2 Teoremele a lui Buckingham 287

9

5.9.3 Utilizarea modelelor la scară. Criterii de similitudine 289

6. ELEMENTE DE HIDRAULICA INSTALAȚIILOR ȘI MAȘINI HIDRAULICE 292

6.1 Mișcări Permanente în Conducte sub Presiune 292

6.1.1 Pierderi liniare. Calculul coeficientului lui Darcy 293

6.1.2 Pierderile locale de sarcină 296

6.1.3 Caracteristica unui traseu hidraulic 296

6.2 Mișcări Nepermanente în Conducte sub Presiune. Lovitura De Berbec 298

6.3 Mișcări Efluente Permanente 300

6.3.1 Curgerea prin orificii 300

6.3.2 Calculul timpului de golire al unui rezervor 302

6.3.3 Curgerea peste deversoare 302

6.4 Mașini (Generatoare) Hidraulice 304

6.4.1 Pompe centrifuge 305

6.4.2 Ventilatoare 312

6.5 Aplicații 316

7. ELEMNTE DE AERODINAMICA VITEZELOR MICI 321

7.1 Profile Aerodinamice 323

7.1.1 Caracteristicile geometrice ale profilelor aerodinamice 324

7.1.2 Caracteristicile aerodinamice ale profilelor 325

7.1.3 Clasificarea profilelelor aerodinamice 328

7.1.4 Curgerea în jurul unui profil aerodinamic. Teorema Kutta-Jukowski 330

7.1.5 Curgerea în jurul unui profil subțire în ipoteza perturbațiilor mici 331

7.1.6 Determinarea distribuției de vârtejuri pentru profile subțiri cu

schelet dat

334

7.1.7 Determinarea caracteristicilor aerodinamice pentru

profilele aerodinamice

337

7.2 Aripi de Anvergura Finită 340

7.3 Elemente de Aerodinamica Automobilelor 347

8. SCURT ISTORIC 361

Bibliografie 372

10

11

1. NOTIUNI INTRODUCTIVE DE

MECANICA FLUIDELOR După cum și denumirea sugerează, mecanica fluidelor este o componentă a

mecanicii, cea din urmă fiind o ramură a fizicii, una dintre științele fundamentale ale

naturii. Studiază fluidele la nivel macroscopic, modelate ca medii continue, precum și

interacțiunea dintre acestea și solidele cu care vin în contact, având astfel aplicații în

majoritatea științelor inginerești, dar și în alte domenii precum meteorologia

(mișcarea atmosferei terestre), oceanografia (mișcarea apelor oceanice), medicina

(curgerea fluidelor în interiorul corpului uman) etc.

Mecanica fluidelor apare ca disciplină de studiu în secolul al XVIII-lea,

fundamentele ei teoretice fiind formulate de către matematicienii Daniel Bernoulli

(1700-1782) și Leonhard Euler (1707-1783), utilizând un model de fluid fără

rezistență la deformare, cunoscut în prezent ca modelul de fluid ideal, fără

vâscozitate. La forma modernă a acestei științe au contribuit decisiv matematicienii și

fizicienii George Gabriel Stokes (1819-1903) și Osborne Reynolds (1842-1912), cu

numeroase rezultate, printre care formularea ecuațiilor de mișcare ale fluidelor reale.

De asemenea, contribuții semnificative au fost aduse de către fizicianul și

inginerul Ludwig Prandtl (1875-1953), cel care a introdus și a dezvoltat teoretic

conceptul de strat limită, punând astfel bazele aerodinamicii, una dintre aplicațiile

moderne ale mecanicii fluidelor. Principalele personalități care au contribuit la

fundamentarea acestei științe sunt evocate în capitolul de încheiere al lucrării.

În prezent, dezvoltarea mecanicii fluidelor continuă prin aplicațiile ei, dintre care cele mai importante sunt hidraulica și aerodinamica, care studiază

stocarea și transportul lichidelor prin canalizări și conducte,

funcționarea mașinilor hidraulice, respectiv,

curgerea aerului în jurul vehiculelor aflate în mișcare (avioane, automobile, trenuri etc.),

construcțiile supuse acțiunii vântului (clădri, poduri, antene),

funcționarea turbinele eoliene,

Cea mai recentă dintre ramurile acestei științe este mecanica fluidelor

numerică (Computational Fluid Dynamics - CFD), în care cercetătorii își concentrează

eforturile pe modelarea matematică a fenomenelor specifice și obținerea unor soluții

pe cale numerică cu ajutorul calculatoarelor.

12

1.1 DEFINIȚIA FLUIDELOR

1.1.1 Comportamentul mecanic al fluidelor în raport cu cel al solidelor Denumirea generală de fluide este atribuită lichidelor și gazelor, diferențiate

de solide datorită proprietății de fluiditate. Astfel, dacă un corp solid are formă și

volum fix în condiții obișnuite, adică distanțele dintre punctele sale rămân constante,

sau se modifică foarte puțin sub acțiunea unor forțe exterioare, lichidele și gazele pot

suferi deformații oricât de mari sub acțiunea unor forțe relativ mici. Acest lucru este

posibil datorită coeziunii reduse dintre moleculele fluidelor. De asemenea,

lichidele iau forma vaselor care le conțin, deci nu au formă proprie, dar au

volum constant, deci și densitate constantă, motiv pentru care sunt

considerate fluide incompresibile,

gazele ocupă întregul volum al recipientelor ce le conțin, deci nu au nici

volum constant, în consecință și densitatea lor este variabilă, fiind

comprimabile.

Astfel, din punct de vedere al comportamentului mecanic, caracteristic

fluidele este capacitatea redusă de a opune rezistență la modificarea formei,

deformările fiind cauzate în principal de forțele de forfecare care se exercită între

straturile alăturate, după cum este ilustrat în figura 1.1 în cazul unei particule de fluid

de formă paralelipipedică asupra căreia acționează forța tangențială , sau efortul

tangențial , reprezentând forța care acționază pe unitatea de suprafață.

Fig. 1.1 – Deformația unghiulară a unei particule de fluid

Sub acțiunea forței , particula de fluid descrisă de dreptunghiul în

planul ( ), suferă o deformare liniară pe direcția axei ( ), punctele , și

deplasându-se în pozițiile , , respectiv . O măsură a acestei alungiri este dată de

deformația unghiulară

13

(1.1)

care pentru deplasări mici se poate aproxima

(1.2)

Pentru solide, există o relație directă între efortul tangențial și deformația

unghiulară

(1.3) exprimată de legea lui Hooke. Așadar, dacă efortul tangențial este constant atunci și

deformația ungiulară are o valoare fixă.

În cazul fluidelor, deformația unghiulară este variabilă în intervalul de timp în

care este aplicat, chiar dacă efortul tangențial este constant. Conform ipotezei lui

Newton, după cum este prezentat în paragraful 2.1.8, valoarea efortului este direct

proporțională cu variația în timp a deformației unghiulare, sau cu viteza de

deformare

(1.4)

unde este viteza de deformare a particulei pe direcția efortului, iar ( )

reprezintă variația vitezei de deformare pe direcție normală la cea a efortului. Ipoteza lui Newton a fost confirmată și de experimente. Comparând relațiile

(1.3) și (1.4), se poate constata că fluidele au un comportament mecanic mult mai

complex ca al solidelor.

1.1.2 Conceptul de mediu continuu, omogen și izotrop Ca și solidele, fluidele sunt considerate și analizate ca fiind medii continue,

adică ocupă un spațiu în care distribuția mărimilor fizice ce le caracterizează

(presiune, densitate, temperatură etc.) este continuă, cu excepția unor puncte, linii

sau suprafețe de discontinuitate, numite și singularități.

Un exemplu de suprafață de discontinuitate îl reprezintă unda de șoc formată

pe aripa unui avion care traversează bariera sonică, figura 1.2. Pe suprafața undei de

șoc viteza curentului de aer relativă la aeronavă ( ) atinge valoarea corespunzătoare

vitezei de deplasare a sunetului ( ), raportul dintre cele două viteze reprezentând

numărul Mach, .

14

Fig. 1.2 – Formarea undei de șoc pe aripa unui avion supersonic

Ipoteza generală a continuității unui fluid se exprimă prin faptul că în fiecare

punct ( ) aparținând fluidului se pot determina la orice moment dat ( ),

presiunea ( ), descrisă de funcția

densitatea ( ), descrisă de funcția ,

temperatura ( ), descrisă de funcția ,

viteza ( ), descrisă de funcția , aceste funcții fiind continue, deci și derivabile. Astfel, dacă un mediu este continuu,

atunci un element infinit al acestuia păstrează toate proprietățile mediului.

Practic, cu cât liberul parcurs al moleculelor ( ) ce formează un fluid este mai

mic (număr cât mai mare de molecule în unitatea de volum), cu atât fluidul poate fi

considerat un mediu continuu ( reprezintă distanța medie dintre două ciocniri

consecutive intre particulele mediului). În tabelul 1.1 sunt date câteva valori

orientative ale liberului parcurs al moleculelor de aer în funcție de altitudine ( ).

Tab. 1.1 - Mărimea liberului parcurs al moleculelor de aer în funcție de altitudine

Pentru a aprecia dacă un mediu fluid poate fi considerat continuu în raport

cu un fenomen studiat se utilizează criteriu Knudsen, după numele fizicianului danez

Martin Knudsen (1871–1949)

15

(1.5)

unde următoarele reprezintă numărul Knudsen,

liberul parcurs al particulelor mediului,

parametrul caracteristic fenomenului studiat,

variația rela vă a parametrului studiat pe unitatea de lungime

dimensiunea caracteristică fenomenului studiat.

La curgerea aerului atmosferic în jurul unei aripi de avion, figura 1.3,

lungimea caracteristică depinde de viteza cu care se deplasează avionul (sau viteza

aerului, relativă la aeronavă)

(1.6)

unde este intervalul (mediu) de timp în care aripa întâlnește particule de aer, la o

viteză de zbor dată ( ).

Fig. 1.3 – Curgerea aerului în jurul unei aripi de avion

Așadar, reprezintă parametrul caracteristic fenomenului de curgere a

aerului în jurul aripii.

Se consideră că pentru

, mediul este continuu și în studiul acestuia se folosesc principiile

mediilor continue; în practică se consideră ,

, mediul este considerat rarefiat și la studiul acestuia este utilizată

teoria cinetico-moleculară,

, mediul mai pastrează din caracteristicile mediului continuu, însă în

anumite regiuni propietatea se pierde (zone de discontinuitate).

Un mediu fluid continuu este considerat și omogen dacă densitatea sa ( )

este constantă pentru valori constante ale presiunii ( ) și temperaturii ( )

(1.7)

16

De asemenea, un mediu fluid este considerat izotrop dacă prezintă aceleași

proprietăți în toate direcțiile din jurul unui punct.

1.1.3 Definiția fluidului. Modele de fluid Sintetizând cele enunțate în paragrafele anterioare, se poate formula

următoarea definiție generală pentru fluide. Fluidul reprezintă un mediu continuu, omogen și izotrop, lipsit de formă

proprie, în interiorul căruia, în stare de repaus, se exercită doar eforturi normale pe

suprafețele de contact ale particulelor. Dacă eforturile nu ar acționa pe direcție normală (perpendiculară pe

suprafațele particulelor), atunci fluidul nu mai poate fi considerat în repaus, deoarece

existența unor eforturi tangențiale duce la modificarea formei particulelor de fluid. Prin model de fluid se înțelege o schemă simplificată de fluid, acesta fiind

considerat un mediu continuu, căruia i se atribuie principalele proprietăți

macroscopice (măsurabile) ale fluidului real (compresibil și vâscos) în contextul

fenomenului studiat.

Necesitatea utilizării unor modele simplificate se datorează complexității

ridicate a fenomenelor asociate curgerii fluidelor. Neglijând anumite procese,

secundare fenomenului real, devine posibilă construirea unui model simplificat.

Principalele modele de fluid cu care se operează în teorie sunt

fluid ideal fluid lipsit de vâscozitate, la care se neglijează efectul forțelor

de coeziune dintre particule, implicit și efectul forțelor de

frecare dinte straturile de fluid (modelul Euler),

fluid fluid vâscos a cărui comportament dinamic poate fi modelat

newtonian considerând o dependență liniară între tensiuni și viteza

de deformare (modelul Newton); celelalte fluide sunt non-

newtoniene, sau reologice,

fluid: la care volumul unei mase constante nu se modifică odată cu

incompresibil variația presiunii; este valabil pentru lichide (modelul Pascal),

fluid ușor pentru care se neglijează efectele datorate greutății proprii,

care este foarte mică în raport cu alte forțe, precum cele de

presiune; este aplicabil volumelor finite de gaze.

17

Particula fluidă este o porțiune de fluid, de formă oarecare și de dimensiuni

arbitrar de mici, care păstrează caracteristicile de mediu continuu și în raport cu care

se studiază repausul sau mișcarea fluidului prin aplicarea principiilor, legilor și

teoremelor mecanicii generale. Omogenitatea și izotropia unui fluid permit ca

relațiile stabilite pentru o particulă să fie valabile pentru întregul fluid.

Limita inferioară a dimensiunilor particulei este impusă de condiția neglijării

influenței mișcărilor proprii ale moleculelor, sau a mișcării browniene. Aceasta

trebuie să fie mai mare decât lungimea liberului parcurs molecular. Limita superioară

este determinată de condițiile aplicării calculului infinitezimal.

1.2 FORȚELE CARE ACȚIONEAZĂ ASUPRA FLUIDELOR Principale forțe care acționează asupra particulelor unui fluid de masă ( )

care la un moment ocupă un volum ( ), delimitat de suprafața (S), precum în figura

1.4 se pot grupa în

forțe masice și

forțe de suprafață.

Fig. 1.4 – Forțele care acționează asupra particulelor de fluid

Deoarece forțele interioare, de legătură, se anulează reciproc conform

principiului egalității dintre acțiune și reacțiune, în cele ce urmează vor fi analizate

acțiunile pe care le exercită forțele exterioare.

Forțele masice exterioare sunt rezultatul acțiunii unor câmpuri de forțe

exterioare, precum cel gravitațional, sau câmpuri de natură electrică și/sau

magnetică. Acestea exercită asupra particulelor de fluid acțiuni proporționale cu

masa acestora.

18

Uzual, în mecanica fluidelor se iau în considerare doar forțele de greutate,

care sunt predominante, sau după caz și forțele de inerție. În magneto-hidrodinamică

sau dinamica plasmei, forțele care intervin preponderent sunt de natură magnetică

sau electrică.

Forța masică elementară ( ) care acționează asupra unei particule de fluid

având masa ( ) este dată de relația

(1.8)

unde este forța masică unitară, sau forța care acționează asupra unității de

masă,

este densitatea fluidului.

Forța masica unitară ( ) are dimensiunea unei accelerații. Pentru un corp

aflat în repaus în câmp gravitațional, forța masică elementară este reprezentată de

greutatea particulei ( ), situație în care forța masica unitară este

egală cu accelerația gravitațională, .

(1.9) Forțele de suprafață exterioare provin din interacțiunea fluidului cu alte

corpuri (pereți solizi sau alte fluide), prin intermediul suprafeței ( ). Se mai numesc și

forțe de contact și reprezintă efectul de legătură al masei de fluid cu mediul

înconjurător. Similar ca în cazul forțelor masice, forța elementară de suprafață se

definește ca fiind

(1.10)

unde este forța de suprafață unitară, sau forța care acționează pe unitatea

de suprafață. Forța de suprafață unitară depinde de vectorul de poziție ( ) al punctului în

care se consideră elementul de suprafață ( ) și de orientare versorului normalei ( )

la respectiva suprafață. Pentru situația din figura 1.4 a fost adoptată o orientare

corespunzătoare feței în contact cu fluidul (orientat înspre fluid).

Pentru cazul general în care între și este un unghi ( ), precum în figura

1.5, forța elementară de suprafață va avea două componente, și

, pe

direcție normală la suprafața elementară , respectiv pe direcția tangentei la

(1.11)

19

(1.12)

unde este forța de suprafață unitară după direcția normalei la ,

este forța de suprafață unitară după direcția tangentei la .

Fig. 1.5 – Descompunerea forței de suprafață unitară

Componenta normală se numește efort de presiune și este orientată în sensul

compresiunii (înspre fluid), deoarece în condiții obișnuite fluidele nu pot prelua forțe

de întindere (tracțiune)

(1.13) iar în raport cu orientarea versorului la suprafața elementară din figura 1.5

(1.14) Scalarul reprezintă presiunea statică în punctul în care se consideră

elementul de suprafață .

Componenta tangențială definește, în general, efortul tangențial unitar de

vâscozitate , care poate fi descompus după direcțiile planului tangent la .

Fig. 1.6 – Eforturile care acționează pe fețele unei particule elementare de fluid

20

În figura 1.6 sunt prezentate eforturile unitare care acțiunează pe fețele unei

particule de fluid de formă paralelipipedică, cu muchiile aliniate după axele

sistemului de referință cartezian.

Astfel, pe fiecare dintre fețele particulei vor acționa câte trei eforturi, dintre

care unul perpendicular, ( ), celelalte două fiind tangente la suprafață, în

planul suprafeței, ( ), unde primul indice indică axa pe care fața

considerată este perpendiculară, cel de al doilea indicând direcția efortului.

Starea de tensiune a unei particule de fluid real este dată de tensorul

eforturilor unitare, definit de matricea

(1.15)

După cum este demonstrat în paragraful referitor la ecuațiile de mișcare ale

fluidelor reale, tensorul eforturilor unitare este unul simetric, deoarece

și .

(1.16)

Pentru situația ilustrată în figura anterioară, efortul de presiune statică este

definit ca medie aritmetică a eforturilor normale

(1.17)

1.3 NOȚIUNI FUNDAMENTALE DE MATEMATICĂ După cum se poate intui din cele prezentate anterior, pentru a putea înțelege

și opera cu modelele și teoriile care descriu fenomenele asociate mecanicii fluidelor,

sunt necesare cunoștințe adecvate de matematică, precum cele referitoare la calculul

vectorial, diferențial și integral și de asemenea, elemente de teoria câmpurilor

(mediilor continue).

Pentru a facilita parcurgerea prezentei lucrări, în paragrafele următoare sunt

prezentate câteva dintre noțiunile fundamentale de matematică utilizate frecvent.

1.3.1 Vectori. Sisteme de referință Vectorul reprezintă o noțiune ce definește o cantitate care are , sens

și mă m (modul). Cel mai simplu exemplu de vector îl constituie un segment de

dreaptă, precum cel din figura 1.7, între punctele și orintat de la la ,

21

simbolizat în mod curent , sau simplu . Modulul acestui vector, simbolizat sau

, reprezintă distanța dintre cele două puncte.

Fig. 1.7 – Vector în sistemul cartezian

Într-un sistem de referință dat, vectorii pot fi exprimați cu ajutorul unor

scalari al căror număr ( ) este egal cu cel al dimensiunilor spațiului. Pentru sistemul

cartezian din figura 1.7,

v v v (1.18) unde și reprezintă versorii corespunzători direcțiilor sistemului de

referință (vectorii de modul egal cu unitatea de lungime a

spațiului), v v și v sunt componentele scalare ale vectorului, deci ;

reprezintă lungimile proiecțiilor vectorului pe axele sistemul

de referință, după cum este ilustrat în figura 1.7. În funcție de componentele v v și v , mărimea (modulul) vectorului este

v v

v (1.19)

În studiul mișcării fluidelor, există frecvent situații când e mai practică

raportarea la un sistem de coordonate curbilinii, precum cel de coordonate cilindrice

(figura 1.8) utilizat în cazul mișcărilor axial simetrice, sau sistemul de coordonate

sferice (figura 1.9).

Dacă în sistemul cartezian poziția punctului este descrisă de coordonatele

, în sistemul cilindric punctul este definit de coordonatele ,

22

unde este distanța de la punctul la axa (axa de rotație),

numită și raza vectoare,

este ungiul dintre axa și direcția razei vectoare, fiind

cunoscut ca unghiul de azimut.

Fig. 1.8 – Sistemul de coordonate cilindrice

Legătura dintre coordonatele carteziene și cele cilindrice este exprimată de

relațiile

(1.20)

așadar

(1.21)

În sistemul sferic, poziția punctului este descrisă de coordonatele unde reprezintă distanța de la punctul la originea sistemului ( )

(raza vectoare),

este ungiul ditre axa si direcția razei vectoare, fiind

cunoscut ca unghiul de zenit. Relațiile cu coordonatele carteziene sunt

(1.22)

23

În acest caz

(1.23)

Fig. 1.9 – Sistemul de coordonate sferice

Precum în cazul sistemului cartezian, , , și reprezintă versorii

direcțiilor sistemului de referință corespunzător.

Deși rezolvarea problemelor se face, în general, prin raportarea la un sistem

de coordonate convenabil ales, formularea legilor fizicii în termeni vectoriali este

independentă de sistem (acesta reprezentând și principalul avantaj al utilizării

vectorilor), deoarece un vector nu trebuie să aibă neapărat precizată și poziția în

spațiu.

Exemple de mărimi vectoriale, întâlnite frecvent în mecanica fluidelor, sunt

vectorul de poziție ( ), viteza ( ), accelerația ( ), rotorul vitezei ( ), forța ( ),

momentul forței (în raport cu un punct, ), impulsul ( ) etc.

1.3.2 Elemente de calcul vectorial 1.3.2.1 Adunarea vectorilor Din punct de vederea geometric, suma a doi vectori și , figura 1.10(a),

este definită prin construcția prezentată în figura 1.10(b), cunoscută și ca regula

paralelogramului pentru adunarea vectorilor, echivalentă cu construcția din figura

1.10(c). Pentru mai mulți vectori , , ..., , figura 1.10(d), adunarea se face

precum în figura 1.10(e). În fiecare dintre situații, rezultatul este tot un vector.

24

Fig. 1.10 – Adunarea vectorilor

În sistemul cartezian suma vectorilor și este

exprimată de relația

(1.24)

1.3.2.2 Produsul scalar al vectorilor. Cosinușii directori ai unui vector Produsul scalar " " al vectorilor și se definște ca fiind acel număr

(scalar) obținut prin înmulțirea modulului primului vector, cu modulul celui de al

doilea și cu cosinusul unghiului dintre direcțiile celor doi vectori

(1.25) În sistemul cartezian, produsul scalar al vectorii și

devine

(1.26) deoarece produsele scalare ale versorilor sunt egale cu unitatea pentru situațiile ,

și , sau nule pentru celelalte cazuri

25

(1.27)

(1.28)

Ținând cont de modul în care este definit produsul scalar al vectorilor,

componentele scalare ale vectorului definit de relația (1.18)

v v v (1.18) pot fi exprimate și în forma

v v v (1.29) deoarece

v v v v v v v (1.30) Calculul anterior se aplică similar și pentru celelalte două componente, deci

relația (1.18) este echivalentă cu

(1.31) Relația (1.19) de calcul a mărimii (modulul) vectorului , rezultă din

v v v v v v v v

v (1.32)

De asemenea, un vector poate fi exprimat și în forma

(1.33) unde este vectorul unitate corespunzător direcției vectorului , figura 1.11.

(1.34)

Ținând cont de (1.31), devine în sistemul cartezian

(1.35)

26

unde , , și se numesc cosinușii directori și reprezintă funcțiile cosinus

ale unghiurilor dintre axele sistemului de referință și direcția

vectorului (figura 1.11)

(1.36)

Fig. 1.11 – Cosinușii directori ai unui vector

Cosinușii directori au proprietatea că suma pătratelor lor este egală cu

unitatea

(1.37)

1.3.2.3 Produsul vectorial al vectorilor Produsul vectorial " " al vectorilor și se definște ca fiind un

vector a cărui direcție este perpendiculară pe planul definit de cei vectori și al cărui

modul este obținut prin înmulțirea modulului primului vector cu modulul celui de al

doilea și cu sinusul unghiului dintre dintre direcțiile celor doi vectori

(1.38) Sensul vectorului produs vectorial se determină prin convenția cunoscută ca

regula șurubului (burghiului) drept: sensul de avans al unui șurub (normal) cu filet pe

dreapta, obținut prin rotirea primul factor al produsului ( pentru cazul considerat)

cu unghiul cel mai mic până când direcția acestuia coincide cu cea corespunzătoare

celui de al doilea factor ( ), după cum este ilustrat în figura 1.12.

Astfel,

. (1.39)

27

Fig. 1.12 – Produsul vectorial al vectorilor

În sistemul cartezian, produsul scalar al vectorii și

devine

(1.40)

deoarece produsele vectoriale ale versorilor sunt nule pentru situațiile , și

,

(1.41)

În celelalte cazuri, rezultatele produselor vectoriale sunt de forma

, sau , (1.42) Rezultatul relației (1.40) este echivalent și cu cel al determinantului

(1.43)

1.3.2.4 Derivate vectoriale Similar funcțiilor scalare, derivata unei funcții vectoriale ,

dependentă de scalarul , se notează cu , sau și este prin definiție

(1.44)

iar diferențiala funcției de parametrul este

28

Pentru exemplificare, se consideră cazul particular al mișcării unei particule,

care în intervalul de timp are traictoria descrisă de curba ( ), între

punctele ( ) și ( ), precum în figura 1.13.

Fig. 1.13 – Variația vectorului de poziție în intervalul de timp

Raportând mișcarea particulei la sistemul de referință cartezian, poziția

acesteia la orice moment de timp ( ) este dată de vectorul de poziție corespunzător

. În intervalul de timp considerat, variația vectorului de poziție ( ) este dată

de diferența , repezentând segmentul orientat .

Raportul

este, de asemenea, un vector coliniar cu .

Când , punctul se apropie de , astfel încât devine egal cu

vectorul deplasare elementară ( ), tangent la curba ( ), figura 1.14.

Fig. 1.14 – Derivata în funcție de timp a vectorului de poziție

29

Vectorul

(1.45)

este derivata în funcție de timp ( ) a vectorului de poziție ( ) și reprezintă prin

definiție vectorul viteză ( )

(1.46)

Exprimând vectorii și în funcție de componentele scalare

v v v (1.47)

respectiv,

(1.48) relația (1.46) este echivalentă cu

v v v

(1.49)

deoarece versorii nu sunt variabili în timp. Din relația anterioară rezultă

v

v

v

(1.50)

Similar, derivata în funcție de timp ( ) a vectorului viteză ( ) reprezintă prin

definiție vectorul accelerație ( )

(1.51)

având componentele

v

v

v

(1.52)

Dacă se exprimă în forma (1.33)

(1.53) unde este vectorul unitate corespunzător vectorului de poziție, variabil în timp,

atunci relația (1.49) devine

30

(1.54)

Relația anterioară reprezintă o exemplificare a regulii de derivare a

produsului dintre un scalar ( ) și un vector ( ), ambele mărimi fiind variabile (în

timp). Termenul ( ) reprezintă viteza de variație a direcției vectorului unitar .

Regula exprimată de relația (1.54) este valabilă și pentru produsul a două

mărimi vectoriale, și

(1.55)

respectiv

(1.56)

De asemenea, derivatele parțiale ale unui vector v v

v sunt

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(1.57)

iar diferențiala

(1.58)

1.3.3 Operatori diferențiali vectoriali În general, reprezintă expresii matematice care se aplică unor

funcții, indicând șirul de operații care trebuie efectuate cu acestea. Dacă funcțiile

definesc mărimi fizice, atunci putem vorbi de , aceștia având la

rândul lor semnificații fizice.

Operatorii diferențiali vectoriali sunt cei care pot fi exprimați cu ajutorul

operatorului diferențial (al lui Hamilton), simbolizat , a cărui expresie

matematică în sistemul cartezian ( ) este

31

(1.59)

unde , și sunt versorii corespunzători axelor sistemului de referință cartezian. Din punct de vedere formal, are proprietățile unui vector, deoarece

componentele sale sunt derivatele parțiale în raport cu cele trei direcții.

Utilizați în mod curent în fizică sunt , , și

ă, ce permit exprimarea locală (punctuală) a mărimilor și

proceselor fizice asociate unui domeniu modelat ca mediu continuu.

1.3.3.1 Gradientul Gradientul unei mărimi scalare este un vector ce indică sensul

celei mai rapide variații a mărimii scalare ( ), figura 1.15, fiind perpendicular pe

liniile/suprafețele pentru care , numite și suprafețe echipotențiale.

Fig. 1.15 – Gradientul unei mărimi scalare ( )

Este notat " , sau " " și în coordonate carteziene se calculează

conform relației

(1.60)

Are mărimea dată de derivata după direcția creșterii mărimii ( . Astfel

(1.61)

32

unde este versorul direcției , perpendicular pe suprafețele echipotențiale. După o direcție oarecare ( )

(1.62)

unde este derivata după direcția ,

(1.63)

iar , , și sunt cosinușii directori ai . Existența gradientului unei mărimi fizice într-un domeniu indică existența

unui fenomen de transfer/tranport. De exemplu, gradientul temperaturii ( ) indică

un transfer de căldură între două regiuni, dinspre cea cu temperatură mai mare.

În coordonate cilindrice, figura 1.8, expresia este

(1.64)

unde , și sunt coeficienții lui Lamé

(1.65)

Pentru sistemul cilindric din figura 1.8, și deci

Similar, și , deci relația (1.64) devine

(1.66)

33

1.3.3.2 Divergența Este un operator definit de produsul scalar dintre nabla ( ) și un câmp

vectorial ( ). Este notat " ", sau și în coordonate carteziene are expresia

v v v

v

v

v

(1.67)

Așadar, divergența unui vector este un scalar. În cazul în care reprezintă

viteza unui fluid, divergența vitezei exprimă gradul de modificare al unui volum de

fluid având masa constantă. Dacă , atunci fluidul de comprimă (volumul de

fluid scade), iar dacă , atunci fluidul de dilată.

Dacă , se obține operatorul diferențial al lui Laplace (laplaceanul " ")

(1.68)

În coordonate cilindrice, figura 1.8, expresia este

v

v

v

v

v

v

(1.69)

1.3.3.3 Rotorul Este un operator definit de produsul vectorial dintre nabla ( ) și un câmp

vectorial ( ). Este notat " ", " ", sau simplu și în coordonate carteziene are

expresia

v v v

v

v

v

v

v

v

(1.70)

Așadar, rotorul unui vector este tot un vector.

În cazul în care reprezintă viteza unei particule de fluid, rotorul vitezei

exprimă faptul că particula are o mișcare de rotație în jurul unei axe ce trece prin

centrul ei de greutate, cu viteza unghiulară (figura 1.16)

34

(1.71)

Fig. 1.16 – Rotorul vitezei unei particule de fluid

Rezultatul relației (1.70) este echivalent și cu cel al determinantului

v v v

(1.72)

În coordonate cilindrice (figura 1.8) expresia este

v v v

v v v

(1.73)

1.3.3.4 Derivata substanțială a unei mărimi fizice Operatorul de derivare

(1.74)

este denumit derivată substanțială.

Reprezintă derivata în raport cu timpul ( ) a unei mărimi (...) caracteristice

unui element de fluid în mișcare cu viteza . În coordonate carteziene are expresia

v

v

v

(1.75)

35

Termenul " se numește derivată locală și exprimă variația mărimii

în timp, în același punct. Termenul se numește derivată convectivă (sau de

transport) și exprimă variația mărimii între punctele domeniului fluidului.

Poate fi aplicat atât mărimilor vectoriale, cât și celor scalare. De exemplu,

derivata substanțială a vitezei este

v

v

accelerație

locală

v v accelerațieconvec vă

(1.76)

1.3.3.5 Relații de calcul cu operatorii diferențiali vectoriali Operatorii diferențiali vectoriali , și au proprietăți de

asociativitate și distributivitate. Dintre relațiile care descriu aceste proprietăți,

frecvent utilizate sunt următoarele, unde reprezintă mărimi scalare, iar mărimi

vectoriale

(1.77)

(1.78)

(1.79)

v v v (1.80)

v v v (1.81)

(1.82)

v (1.83)

(1.84)

(1.85)

deci,

v v v (1.86)

(1.87)

Pentru situația în care , relația anterioară este echivalentă cu

(1.88)

36

Dacă reprezintă viteza unei particule de fluid, atunci membrul stâng al

relației anterioare reprezintă termenul convectiv din ecuația (1.76).

Dacă este vectorul de poziție ( ), atunci

v v (1.89)

(1.90) De asemenea, din relația (1.62) rezultă că

(1.91)

și similar

(1.92)

1.3.4 Relații de calcul integral Legile care descriu fenomenele asociate mecanicii fluidelor sunt frecvent

obținute prin integrarea unor mărimi caracteristice pe un volum ( ) de fluid (numit și

volum de control), mărginit de suprafața exterioară ( ), precum în figura 1.17.

Fig. 1.17 – Volum de fluid

Dacă funcțiile și v v au derivatele parțiale de ordinul

întâi continue în domeniul care definește volumul de fluid, atunci există următoarele

relații integrale, cunoscute și ca formulele lui Gauss de conversie a integralelor de

suprafață în integrale de volum.

37

1.3.4.1 Formula integrală a gradientului

(1.93)

1.3.4.2 Formula integrală a divergenței

v

v

(1.94)

1.3.4.3 Formula integrală a rotorului

v

v

(1.95)

Semnele " " din relațiile anterioare se datorează orientării versorului la

elementul de suprafață înspre fluidul din interiorul volumului de control, precum

în figura 1.17,.

Dacă se adoptă o orintare înspre exteriorul suprafeței, atunci pentru

integralele de volum trebuie considerat semnul " ".

38

2. PROPRIETĂȚILE ȘI PARAMETRII CARE DEFINESC

STAREA UNUI FLUID

Precum în studiul oricărei materii și în studiul fluidelor este esențială

cunoașterea proprietăților acestora. Proprietățile sunt acele caracteristici care rămân

constante atunci când un fluid se află intr-o stare de echilibru determinată de condiții

unice și descrisă de parametri specifici.

Propritățile care definesc starea unui fluid pot fi comune lichidelor și gazelor,

sau specifice pentru una dintre cele două categorii de fluide.

2.1 PROPRIETĂȚI FIZICE COMUNE LICHIDELOR ȘI GAZELOR

2.1.1 Presiunea ( ) Presiunea este unul din cei mai importanți parametri ce caracterizează starea

unui fluid. Prin definiție, presiunea într-un fluid în repaus este raportul dintre forța

normală și aria suprafeței pe care se exercită această forță.

Într-un punct dintr-un fluid în repaus, se definește ca fiind limita reportului

dintre forța normală și aria suprafeței pe care se exercită această forța, când aria

tinde către zero, în jurul punctului respectiv. În formă diferențială, se exprimă

conform relației

(2.1)

sau simplu

(2.2)

Direcția de acțiune a forței rezultă din starea de repaus a fluidului. Dacă forța

nu ar fi normală (perpendiculară) pe suprafața pe care acționează, ar trebui admisă

ipoteza existenței unor eforturi tangențiale în fluid, ceea ce ar contrazice faptul că

acesta este considerat în repaus.

De asemenea, într-un fluid în echilibru, presiunea este funcție de punctul și

de momentul în care se determină, cu alte cuvinte este o mărime scalară,

.

39

Totodată, pentru un fluid, presiunea poate fi interpretată ca o măsură a

energiei acestuia pe unitatea de volum (specifică unității de volum), dacă în relația

(2.2) înmulțim numărătorul și numitorul cu deplasarea/distanța

(2.3)

Unitatea de măsură în Sistemul Internațional este , denumită începând

cu 1971 și Pascal, , în onoarea omului de știință Blaise Pascal (1623 – 1662),

matematician, fizician și filozof de origine franceză:

Deoarece aceasta este o unitate foarte mică în comparație cu presiunile

uzuale întâlnite în instalațiile industriale, sau chiar cu presiunea atmosferică din

zonele locuite ale Pământului, se folosesc multiplii pascalului

kilopascalul, denumit și piez

megapascalul, . Des utilizat, cu precădere în aplicațiile tehnice, este barul. Deși nu aparține

Sistemului Internațional, această unitate este tolerată datorită utilizării ei într-un

număr însemnat de țări, printre care și a noastră barul, . O altă unitate de măsură utilizată în tehnică este atmosfera tehnică,

prescurtată , definită de raportul:

(2.4)

Pentru definirea stării fizice normale se utilizează atmosfera fizică,

prescurtată , sau . A fost pusă în evidență și calculată pentru prima dată de

Evangelista Torricelli (1608-1647), fizician și matematician italian, care a construit

primul barometru cu mercur, a cărui schemă de principiu este prezentată în figura

2.1. Acesta este compus dintr-un tub de sticlă, închis la capătul superior, umplut cu

mercur și scufundat cu capătul liber (acoperit în prealabil) într-un vas ce conține, de

asemenea, mercur. Torricelli a observat că după eliberarea capătului acoperit, nivelul

mercurului în tub cobora până la o valoare corespunzătoare unei coloane de înălțime

.

Neglijând acțiunea exercitată de vaporii de mercur, în partea superioară a

tubului se poate considera că presiunea este nulă, corespunzătoare vidului. Astfel,

presiunea hidrostatică ( ) exercitată de coloana de mercur la baza ei (la nivelul

40

suprafeței libere) este egală cu presiunea atmosferică ( ) de pe

suprafața liberă a mercurului

. Deoarece presiunea atmosferică este în același loc o

mărime variabilă în timp și variază, de asemenea, de la un loc la

altul în funcție și de valoarea accelerației gravitaționale locale

( ), se definește presiunea fizică normală ( ) ca fiind

presiunea exercitată de o coloană de mercur de 760 mm, la

nivelul mării.

Rezoluția 4 a celei de a X-a Conferințe Generale de

Măsuri și Unități, 1954, stabilește că valoarea presiunii fizice

normale este egală cu

. Torr-ul este unitatea de măsură a presiunii denumită în onoarea lui Torricelli

și reprezintă presiunea exercitată de o coloană de mercur de .

În practică, pentru măsurarea unor presiuni mici se utilizează aparate a căror

funcționare se bazează pe principiul determinării presiunii hidrostatice exercitate de

o coloană de lichid (numit și lichid piezometric), precum în figura 2.2, relativ la

valoarea presiunii atmosferice locale ( )

g (2.5)

unde reprezintă densitatea lichidului piezometric. Astfel, sunt utilizate frecvent unități de măsură ce reprezintă

înălțimi ale unor coloane de lichid, precum apa și alcoolul

Cele menționate anterior, referitor la unitățile de măsură

utilizate și a bazei lor de calcul, dau posibilitatea definirii a două

tipuri de presiuni. În funcție de valoarea presiunii utilizată ca bază de măsurare (de

referință), se disting

Fig. 2.1

Fig. 2.2

41

presiunea absolută, : presiunea care are ca nivel de referință presiunea

vidului absolut ( ); în consecință, ca mărime absolută, presiunea este

întotdeauna pozitivă;

presiunea relativă, : presiunea care are ca nivel de referință pe cea

atmosferică în locul în care se efectuează măsurarea, . Relația de legătură dintre cele două presiuni este

(2.6) În cazul în care presiunea relativă se mai numește și

vacuummetrică, după numele aparatului utilizat la măsurarea ei (vacuummetru). Ca

valoare este negativă, fapt evidențiat și de aparatul de măsură, motiv pentru care se

mai numește și depresiune.

În cazul în care presiunea relativă se mai numește și manometrică,

caz în care este o suprapresiune și are o valoare pozitivă. Manometrele industriale se

gradează având ca zero presiunea atmosferică normală. Deoarece în problemele tehnice curente forțele care se dezvoltă in instalațiile

hidraulice/pneumatice sunt rezultatul diferenței dintre presiunea absolută din

interiorul instalației și presiunea atmosferică exterioară, în mecanica fluidelor se

utilizează, în general, presiunea relativă. Pentru un curent de fluid (fluid în mișcare), presiunea într-un punct din

interiorul acestuia este rezultatul acțiunii presiunii statice și a presiunii dinamice

(2.7) unde reprezintă presiunea totală,

presiunea statică: presiunea care se exercită în planul de separație a

două mase de fluid,

presiunea dinamică; se calculează cu relația

(2.8)

unde: este viteza curentului de fluid, în punctul de măsurare,

densitatea fluidului.

42

2.1.2 Densitatea ( ) Densitatea într-un punct din interiorul unui fluid se definește ca fiind limita

raportului dintre masa ( ) a unui element de volum din jurul punctului considerat

și volumul elementului ( ) , când acesta tinde către zero

(2.9)

În cazul unui fluid omogen, densitatea este egală raportul dintre masa unui

volum determinat de fluid și respectivul volum (masa unității de volum) și are aceeași

valoare în orice punct al fluidului

(2.10)

Relația anterioară este utilizată și în cazul definirii densității medii a unui

fluid. Termenii sinonimi ai densității sunt: masă specifică, sau masă volumică.

Inversul densității se numește volum specific: volumul ocupat de unitatea de

masă

(2.11)

În general, densitatea unui fluid este funcție de poziția punctului de

măsurare, de presiunea și de temperatura la momentul efectuării

măsurătorii. Această observație este valabilă cu precădere în cazul gazelor (fluide

compresibile), a căror densitate depinde atât de temperatură cât și de presiune. Se

poate determina din ecuația de stare, aplicată pentru două stări, dintre care una de

referință, ai cărei parametri sunt cunoscuți

(2.12)

unde termenii cu indice sunt parametrii gazului în starea de referință. Densitatea lichidelor nu depinde de presiune, iar variațiile acesteia cu

temperatura sunt în general neglijabile, motiv pentru care în practică sunt tratate cel

mai adesea ca fluide de densitate constantă (incompresibile).

Valorile densității apei pentru diferite valori ale temperaturii în intervalul

0 100 sunt prezentate în tabelul 2.1

43

Tabelul 2.1 - Variația densității apei cu temperatura 0 5 10 20 30 40 60 80 100

999.9 1000 999.7 998.2 995.7 992.2 983.2 971.8 958.4

Densitatea definită conform relației (2.10) se mai numește și densitate

absolută. În practică, pentru a ușura măsurarea densității fluidelor se utilizează

uneori densitatea relativă, definită de raportul dintre densitatea fluidului considerat

și densitatea unui fluid de referință în condiții standard

(2.13)

În figura 2.3, este prezentat principiul de măsurare a densității relative a

lichidelor, utilizând un areometru. Acesta se compune dintr-un corp plutitor lestat, la

care este atașătă o tijă calibrată. Valoarea " " corespunde densității fluidului de

referință. Valorile subunitare corespund unor lichide de densitate mai mică decât a

fluidului de referință, fiind evidențiate de adâncimi de scufundare mai mari ale

areometrului.

Fig. 2.3 - Principiul de măsurare a densității relative a lichidelor

Pentru lichide, fluidul de referință este apa distilată, la

presiunea atmosferică normală și temperatura .

Pentru gaze, fluidul de referință este aerul în stare normală,

, la presiunea atmosferică normală (

) și temperatura ( ).

44

Pentru un amestec de mai multe fluide, ,

densitatea amestecului ( ) se poate calcula cu relația

care mai poate fi rescrisă sub forma

(2.14) unde reprezintă participațiile volumice ale constituienților amestecului.

Legat de densitatea unui fluid se definește greutatea specifică sau greutatea

unității de volum.

2.1.3 Greutatea specifică ( ) Într-un punct din interiorul unui fluid, greutatea specifică reprezintă limita

raportului dintre greutatea a unui element de volum din jurul punctului

considerat și volumul elementului , când acesta tinde către zero

(2.15)

În cazul unui fluid omogen, greutatea specifică este egală raportul dintre

greutatea unui volum determinat de fluid și respectivul volum și are aceeași valoare

în orice punct al fluidului

(2.16)

Astfel, greutatea specifică este legată de densitate prin relația:

(2.17)

2.1.4 Compresibilitatea ( ) Compresibilitatea reprezintă proprietatea unui fluid de a-și modifica volumul

sub acțiunea unei variații de presiune, la o temperatură constantă. Procesul este

ilustrat schematic în figura 2.4 pentru cazul comprimării unui fluid într-un cilindru.

După cum se observă, există o dependență directă între variația presiunii și

variația de volum , exprimată de relația

45

(2.18)

unde este volumul inițial al fluidului,

reprezintă variația relativă a volumului,

este coeficientul de evaluare cantitativă a compresibilității

fluidului, denumit și modul de compresibilitate izotermă.

Fig. 2.4 - Variația presiunii într-un cilindru la modificarea volumului

Așadar, variația relativă de volum este direct proporțională cu produsul

dintre variația de presiune și modul de compresibilitate izotermă. Semnul ( ) din

relația anterioară arată faptul că unei creșteri de presiune îi corespunde o scădere de

volum. În formă diferențială, relația anterioară devine

(2.19)

Unitatea de măsură în Sistemul Internațional pentru modulul de

compresibilitate este

Inversul modulului de compresibilitate reprezintă modulul de elasticitate,

notat cu

(2.20)

Modulul de compresibilitate și modulul de elasticitate pot fi exprimate și în

funcție de variația de densitate. Ținând cont că masa unui fluid este constantă, prin

diferențierea relației obținem

46

(2.21)

Astfel, relațiile (2.19) și (2.20) sunt echivalente cu

(2.22)

În cazul lichidelor, raportul , deci . Așadar aceste fluide

pot fi tratate ca incompresibile. În tabelul 2.2 sunt prezentate valorile modulului de

compresibilitate al apei la temperaturile uzuale.

Tabelul 2.2 - Variația modulului de compresibilitate al apei cu temperatura

0 10 20 30

5.12 4.92 4.74 4.66

Pentru gazele comune, precum oxigenul, modulul de elasticitate depinde de

natura procesului. Astfel:

, pentru procese izotermice, (2.23)

pentru procese adiabatice, (2.24) unde este exponentul adiabatic; raportul dintre căldurile specifice

la presiune constantă și la volum constant ,

presiunea absolută. Pentru un amestec de mai multe fluide, , modulul de

elasticitate echivalentă ( ) se determină considerând că variația totală a volumului

amestecului este rezultatul variațiilor de volum pentru fiecare component

Relația anterioară mai poate fi rescrisă sub forma

47

(2.25)

unde reprezintă participațiile volumice ale constituienților amestecului. Legat de elasticitatea unui fluid se definește un alt parametru și anume

celeritatea.

2.1.5 Celeritatea ( ) Celeritatea, sau viteza de propagare a sunetului în interiorul unui mediu

continuu, reprezintă unul dintre parametrii care descriu propagarea undelor sonore.

Această viteză depinde de proprietățile mediului de propagare, în particular de

elasticitatea și densitatea acestuia.

Într-un mediu fluid este definită de relația lui Newton

(2.26)

În gaze, viteza sunetului depinde în primul rând de temperatură, influența

presiunii fiind neglijabilă. De exemplu, viteza de propagare a sunetului în aer este

,

. În lichide, viteza de propagare a sunetului este mult mai mare decât în gaze,

deoarece compresibilitatea lichidelor este mult mai mică decât a gazelor, ceea ce

face ca o perturbație a presiunii într-un punct să se propage rapid la punctele vecine.

Astfel, în apă viteza de propagare a sunetului atinge valori în intervalul 1400-1500

m/s. Cunoașterea precisă a vitezei sunetului în apă este importantă într-o serie de

domenii precum cartografierea acustică a fundului oceanic, aplicații ale sonarului

subacvatic, comunicații etc.

2.1.6 Numărul Mach ( ) Numărul Mach, după numele fizicianului austriac Ernst Mach (1838 - 1916),

este un parametru folosit pentru a exprima viteza unui corp în interiorul unui fluid

v

(2.27)

unde este viteza relativă a fluidului față de corp.

48

Astfel, numărul lui Mach este o mărime adimensională care arată de câte ori

este mai mare viteza unui corp mobil decât viteza sunetului în acel mediu. Pentru

Mach 1, viteza corpului este egală cu cea a sunetului în fluidul respectiv. Valorile

subunitare ale numărului lui Mach înseamnă viteze de deplasare subsonice, mai mici

decât viteza sunetului, iar valorile supraunitare înseamnă viteze supersonice. În

funcție de valoarea numărului Mach, sunt definite următoarele regimuri de mișcare a

fluidelor

- pentru mișcarea este subsonică, incompresibilă,

- pentru mișcarea este subsonică, compresibilă,

- pentru mișcarea este transonică; are loc formarea

undelor de șoc,

- pentru mișcarea este sonică,

- pentru mișcarea supersonică; are loc stabilizarea

undelor de șoc formate anterior,

- pentru mișcare hipersonică.

2.1.7 Adeziunea la suprafețele solide Este un fenomen de aceeași natură cu coeziunea, care se manifestă prin

apariția forțelor de atracție dintre particulele vecine, ale unui fluid și ale unui solid

aflate în contact. În general, forța de adeziune depinde de natura suprafeței, de

natura fluidului, de temperatură.

Experimental, a fost constatat că în jurul corpurilor solide aflate în contact cu

fluide există un strat de fluid, în interiorul căruia vitezele particulelor de fluid sunt

nule, relativ la suprafața solidului. Grosimea acestui strat aderent este de ordinul

sutimilor de milimetru ( ).

Fig. 2.5 – Grosimea stratului de fluid aderent la o suprafață solidă

49

2.1.8 Vâscozitatea ( , ) Vâscozitatea reprezintă proprietatea fluidelor de a se opune deformațiilor

atunci când straturile alăturate sunt supuse la lunecare relativă (de a opune

rezistență la modificarea formei). Această proprietate se manifestă doar la fluidele în

mișcare prin apariția unor eforturi tangențiale datorită frecării dintre straturile

alăturate de fluid, care se deplasează unele față de altele.

Stă la baza mecanismului de transmitere a mișcării într-un fluid. Constatarea a fost făcută de Newton (1687) pornind de la modelarea curgerii

unui fluid între două plăci plane, paralele, dintre care una fixă și cealaltă în mișcare

uiformă cu viteza , sub actiunea forței , după cum este ilustrat în figura 2.6. Tot el

a stabilit și expresia efortului tangențial unitar de vâscozitate.

Pentru cazul în care placa mobilă are o arie ( ) a suprafeței suficient de mare

încât să poată fi neglijate efectele de capăt ale curgerii, mișcarea unui lichid între cele

două plăci poate fi descrisă conform următorului mecanism, considerând că fluidul

este format din mai multe straturi paralele. Astfel, primul strat, aderent la placa

mobilă, se va deplasa cu aceeași viteză ca a plăcii ( ). După un interval scurt de timp

se pune în mișcare și cel de al doilea strat, dar cu o viteză mai mică, - , …,

descreșterea vitezei având loc până la ultimul strat de fluid, aderent la placa fixă, care

va avea viteza egală cu zero.

Fig. 2.6 – Modelul lui Newton pentru curgerea unui fluid între două plăci plane

Variația vitezei pe direcția normală curgerii se datorează eforturilor

tangențiale ( ) care se exercită între straturile alăturate de fluid. Conform ipotezei lui

Newton, valoarea acestor eforturi este direct proporțională cu variația vitezei pe

direcția normală curgerii (gradientul vitezei), prin intermediul unui coeficient de

proporționalitate,

50

(2.28)

unde reprezintă variația vitezei pe direcția normală la cea de mișcare a

fluidului (gradientul vitezei), pe direcția axei pentru cazul ilustrat în figura 2.6.

Mărimea caracterizează proprietatea de vâscozitate a fluidului. Se numește

coeficient de vâscozitate dinamică, sau vâscozitate dinamică, deoarece este o

mărime dependentă de efortul tangențial (forță raportată la unitatea de suprafață).

Zona în care ( ) se numește strat limită, concept detaliat în

capitolul referitor la dinamica fluidelor reale. Dacă viteza variază doar pe direcția

normală curgerii, liniar precum în figura 2.6, atunci relația anterioară devine

(2.29)

cunoscută și ca legea lui Newton pentru efortul tangențial unitar de vâscozitate.

Așadar, eforturile tangențiale sunt direct proporționale cu viteza de

deplasare a plăcii mobile și invers proporționale cu distanța dintre plăci. De

asemenea, petru cazul ilustrat anterior .

Unitatea de măsură a vâscozității dinamice în sistemul internațional este

Sensul fizic al acestei mărimi este acela de tensiune tangențială care se

dezvoltă în interiorul unui fluid omogen când gradientul vitezei este unitar.

După cum se observă, vâscozitatea dinamică nu depinde de natura fluidului,

fiind o mărime dependentă de valoarea eforturilor tangențiale care se dezvoltă în

interiorul fluidului. Pentru a lega această proprietate și de natura fluidului a fost

introdusă noțiunea de vâscozitate cinematică ( ), prin raportarea vâscozității

dinamice la densitate

(2.30)

Dacă poate fi interpretată ca reprezentând o tensiune, deci forță raportată

la unitatea de suprafață, prin împărțirea acesteia la densitate (masă specifică) rezultă

o mărime care poate fi interpretată ca reprezentând o accelerație datorită forței

masei specifice pe unitatea de suprafață (parametru cinematic), de unde și

denumirea de vâscozitate cinematică.

În sistemul tehnic, unitățile de măsură ale celor două tipuri de vâscozitate se

exprimă astfel

51

numită astfel în onoarea fizicianului francez Jean Louis Poiseuille (1797 – 1869),

după numele fizicianului britanic George Gabriel Stokes (1819 – 1903).

În cazul gazelor și vaporilor, vâscozitățile dinamică și cinematică depind de

parametrii de stare ai mediului. Astfel, vâscozitatea dinamică depinde numai de

temperatură și nu depinde de presiune, în timp ce vâscozitatea cinematică depinde și

de presiune. La presiuni uzuale, vâscozitatea lichidelor variază doar cu temperatura.

Dependența vâscozității gazelor de temperatură poate fi exprimată cu o bună

aproximație utilizând formula lui William Sutherland (1859 – 1911), The viscosity of

gases and molecular force, Philosophical Magazine, S. 5, 36, pp. 507-531 (1893)

(2.31)

unde reprezintă vâscozitatea dinamică în condiții fizice normale de

presiune și temperatură, , respectiv ,

constantă de variație a vâscozității dinamice cu temperatura. Pentru aer , respectiv . Pentru apă, vâscozitatea cinematică se poate calcula cu relația lui Poiseuille:

(2.32)

unde reprezintă vâscozitatea apei în condițiile atmosferei

fizice normale, și ,

temperatura apei. Ca rezultat al forțelor de coeziune care se manifestă între moleculele unui

fluid, la creșterea temperaturii se mărește vâscozitatea gazelor și vaporilor (crește

viteza de deplasare a particulelor de gaz, deci se micșorează liberul parcurs molecular

al acestora, implicit și fluiditatea gazului), iar vâscozitatea lichidelor se micșorează (se

micșorează forțele de coeziune și crește fluiditatea), după cum se poate observa și

din figura 2.7, unde sunt prezentate variațiile vâscozității dinamice pentru apă și aer

52

în funcție de temperatură, pentru presiunea corespunzătoare atmosferei fizice

normale.

Fig. 2.7 – Variația vâscozității dinamice pentru apă și aer în funcție de temperatură

În funcție de dependența , redată grafic în figura 2.8, se poate

face următoarea clasificare a materialelor 1- solide rigide, caracterizate de faptul că nu există deplasări între punctele care

definesc solidul, sub acțiunea unor eforturi tangențiale (sau normale), deci

(teoretic) ,

2- solide deformabile,

Fig. 2.8 – Clasificarea fluidelor în funcție de dependență

53

3- fluide de tip Bingham, ideale, sunt materiale vâscoplastice, cu prag de curgere,

; sub pragul de curgere se comportă precum solidele, iar peste pot fi tratate

precum fluidele newtoniene:

dacă , respectiv dacă . 4- fluide pseudoplastice, pentru care vâscozitatea descrește cu , precum în

cazul unor produse petroliere, sau a plasmei sanguine.

5- fluidele dilatante, pentru care vâscozitatea crește cu , precum în cazul

suspensiilor foarte concentrate, în care faza lichidă ocupă practic doar spațiul

dintre particulele solide;

6- fluide newtoniene, pentru care valoarea tensiunilor tangențiale este

proporțională cu gradientul de viteză, conform legii lui Newton;

7- fluide ideale (perfecte), reprezintă un model teoretic de fluid, fără vâscozitate,

caracterizat de valori mari ale gradientului de viteză și absența tensiunilor

tangențiale, deci . Cele mai multe dintre fluidele uzuale, cu structuri moleculare simple, precum

apa și aerul, pot fi tratate ca fiind newtoniene, fiind studiate în cadrul mecanicii

fluidelor. Celelalte, având stucturi moleculare complexe și caracterizate de variații

neliniare , se numesc fluide nenewtoiene și constituie obiectul de

studiu al reologiei. Pentru acestea, legea de variație a tensiunilor tangențiale cu

gradientul de viteză poate fi exprimată sub forma generală

(2.33)

unde și sunt constante, care se determină experimental; se mai numește și

indice de consistență al fluidului, iar factor de comportare al

curgerii;

pentru relația anterioară este echivalentă cu cea a lui Newton, ;

corespunde fluidelor dilatante;

corespunde fluidelor pseudoplastice; poartă denumirea de vâscozitatea dinamică aparentă. Datorită comportamentului complex al fluidelor din punct de vedere al

vâscozității, este recomandat ca vâscozitatea amestecurilor să fie determinată

experimental, în special pentru cazul lichidelor. Pentru aproximarea vâscozității

amestecurile de gaze ( ) se poate utiliza relația

54

(2.34)

unde reprezintă participațiile volumice ale constituienților amestecului. 2.1.9 Conductivitatea termică ( ) Conductivitatea termică reprezintă proprietatea fluidelor de a transmite

căldura ( ), după cum este ilustrat în figura 2.9 în cazul unui fluid aflat între doi

pereți plani având temperaturile , respectiv ( ).

Fig. 2.9 – Transmiterea căldurii în interiorul unui fluid

Fluxul de căldură ( ) transmis în unitatea de timp ( ) și prin

unitatea de suprafață (S) este dat de legea lui Fourier (Jean Baptiste Joseph Fourier,

1768 - 1830)

(2.35)

unde este coeficintul de conductivitate termică al fluidului,

reprezintă cantitatea de căldură transmisă în

unitatea de timp, Semnul ( ) din relația anterioară se datorează faptului că transmiterea

căldurii se realizează în sensul descreșterii temperaturii.

Coeficientul de conductivitate depinde de natura fluidului și de temperatura

acestuia, . Se determină experimental.

Corespunzător temperaturii atmosferei fizice normală

( ), coeficienții de conductivitate ai apei și aerului au valorile

55

2.2 PROPRIETĂȚI FIZICE SPECIFICE LICHIDELOR

Principalele proprietăți fizice specifice lichidelor sunt tensiunea superficială,

capilaritatea și absorbția/degajarea gazelor.

2.2.1 Tensiunea superficială ( ) Tensiunea superficială a unui lichid este o mărime definită prin forța care se

exercită tangențial pe unitatea de lungime de pe suprafața de separație a lichidului,

datorită interacțiunii dintre moleculele de lichid din stratul superficial și moleculele

din interiorul lichidului

(2.36)

Tensiunea superficială intervine în calculul diferenței de presiune într-un

punct al unei suprafețe curbe de contact dintre două lichide imiscibile sau la nivelul

suprafeței de separație dintre un lichid și un

gaz, datorită acțiunii forțelor

intermoleculare. Astfel, dacă în interiorul

lichidului forțele de atracție dintre molecule

se echilibrează reciproc, moleculele din

stratul corespunzător suprafaței de separație

suferă o atracție spre interiorul lichidului, în

sfera de acțiune a forțelor intermoleculare,

după cum este prezentat în figura 2.10.

Dacă se notează cu și razele de

curbură principale ale unui element de suprafață, precum în figura 2.11 și cu

tensiunea superficială pe contur, atunci pe laturile de lungime și vor acționa

forțele , respectiv , ale căror rezultante (orientate înspre centrele de

curbură, pe direcția normalei la suprafață) sunt

Suma acestor forțe este echilibrată de forța rezultantă de presiune (pe

direcția normalei la suprafață). Astfel, rezulta următoarea relație cunoscută și ca

formula lui Laplace (Pierre Simone de Laplace, 1749-1827)

(2.37)

Fig. 2.10 - Acțiunea forțelor

intermoleculare

56

Fig. 2.11 – Acțiunea forțelor de tensiune superficială

asupra unui element de suprafață

Sub acțiunea forțelor de tensiune superficială, suprafața liberă tinde să

devină minimă, precum în cazul bulelor de gaz, a căror formă tinde să devină sferică,

, caz în care diferența dintre presiunea din interiorul bulei și presiunea

din exteriorul acesteia este .

2.2.2 Capilaritatea Capilaritatea este proprietatea care rezultă ca o consecință a fenomenului de

adeziune și a tensiunii superficiale și care constă în apariția unei denivelări a

suprafeței libere în tuburile capilare (tuburi subțiri, cu diametre de ordinul

milimetrilor) introduse într-un lichid, după cum este prezentat în figura 2.12.

Astfel, sub acțiunea forței de tensiune superficială, orientată după unghiul

față de suprafața tubului, suprafața liberă a lichidului urcă sau coboară în interiorul

tubului capilar, formând un menisc concav, respectiv unul convex.

Componenta verticală a acestei forțe este echilibrată de greutatea coloanei

de lichid din tub. Din ecuația de echilibru se poate calcula înălțimea denivelării

(2.38)

unde este densitatea lichidului.

57

Fig. 2.12 - Fenomenul de capilaritate pentru

(a) apă - sticlă, (b) mercur - sticlă

Unghiul se numește unghi de contact. Dacă , figura 2.13(a) se

spune că lichidul udă suprafața cu care este în contact. Pentru se

consideră că lichidul nu udă suprafața, precum în figura 2.13(b).

Fig. 2.13 - Unghiul de contact

Fenomenul de capilaritate se manifestă și în cazul plăcilor, figura 2.14, între

care există spații mici ( ), valoarea denivelării ( ) putând fi calculată similar.

Fig. 2.14 - Capilaritatea între plăci

58

2.2.3 Absorbția (sau degajarea) gazelor

Absorbția gazelor este fenomenul prin care gazele și vaporii, care alcătuiesc

faza absorbantă, pătrund în masa unui lichid prin suprafața de separație dintre cele

două faze. Se produce când concentrația componentelor în stare gazoasă este mai

mare ca cea corespunzătoare echilibrului fazelor și crește odată cu presiunea.

Degajarea gazelor este procesul invers absorbției.

În condiții obișnuite de temperatură și presiune, apa conține un volum de aer

ce reprezintă aproximativ din volumul său. De asemenea, în contact cu aerul, apa

absoarbe mai mult oxigen și mai puțin azot, respectiv și , față de

raportul în care aceste gaze se găsesc în aer (respectiv și ).

Variația conținutului de aer saturat în apă, în funcție de presiune și

temperatură este prezentată în figura 2.15.

Fig. 2.15 - Variația conținutului de aer saturat în apă

Un caz particular al fenomenului de degajare a gazelor îl reprezintă cavitația,

care poate apare în interiorul instalațiilor hidraulice pe porțiunile în care presiunea

scade sub cea de vaporizare, la temperatura corespunzătoare funcționării.

Constă în formarea unor bule de vapori și gaz care ajungând în zone de

presiuni mare se recondensează, respectiv se redizolvă, solicitând suplimentar

instalațiile. Fenomenul e marcat prin apariția unor zgomote puternice, temperaturi

locale ridicate, coroziune chimică, ce conduc la distrugerea prematură a instalațiilor.

59

2.3 PROPRIETĂȚI FIZICE SPECIFICE GAZELOR Proprietățile fizice specifice gazelor se pot clasifica în proprietăți mecanice și

proprietăți termice. Cele mecanice sunt legate de comportarea acestora ca fluide

ușoare și compresibile. Gazele și vaporii sunt denumite și fluide ușoare deoarece în

majoritatea cazurilor greutatea acestora poate fi neglijată în raport cu forțele uzuale

de presiune cu care acestea acționează asupra solidelor cu care vin în contact. De

asemenea, variațiile de volum pe care le suferă sub acțiunea forțelor de presiune

sunt însemnate valoric.

Importante în studiul fluidelor ușoare sunt proprietățile termodinamice,

deoarece mișcarea gazelor este însoțită în general și de procese termice, ca urmare a

faptului că parametrii fundamentali ce le definesc starea fizică, presiunea ( )

densitatea ( ) și temperatura ( ) sunt interdependenți. Relația care definește

această dependență pentru gazele perfecte este ecuația de stare denumită și ecuația

Clapeyron-Mendeleev

(2.39)

unde constanta caracteristică a gazului studiat,

constanta universală a gazelor,

[ ] masa gazului,

masa molară a gazului.

În studiul repausului sau mișcării unui gaz perfect (fără frecări sau unde șoc)

se deosebesc următoarele legi de variație a densității în funcție de presiune:

variație izocoră (la volum constant)

(2.40)

variație izotermă (la temperatură constantă)

(2.41)

variație adiabatică (fără schimb de căldură cu mediul exterior)

(2.42)

60

unde este exponentul transformării adiabatice (exponentul adiabatic).

variație politropică (transformare generală)

(2.43)

unde este exponentul transformării politropic (exponentul politropic).

Caracteristice gazelor sunt următoarele mărimi, prezentate succint. Detalii

suplimentare sunt prezentate în capitolul referitor la dinamica fluidelor compresibile.

2.3.1 Căldura specifică ( ) În general, pentru o substanță (omogenă), căldura specifică reprezintă

căldura necesară unității de masă din acea substanță pentru a-și mări temperatura cu

un grad, fără modificarea stării fizice sau chimice

(2.44)

Pentru gaze și vapori, căldura specifică depinde natura procesului

termodinamic. Astfel, se definesc

căldură specifică la volum constant (proces izocor, sau izodens),

căldură specifică la presiune constantă (proces izobar). Legătura dintre și este dată relația lui Robert Mayer

(2.45) Raportul dintre și definește exponentul adiabatic :

(2.46)

Din relațiile (2.45) și (2.46) rezultă

(2.47)

2.3.2 Energia internă specifică ( ) Energia internă specifică (unității de masă) este energia termică a unui

substanțe, raportată la unitatea de masă.

61

Pentru gazele perfecte, se poate calcula cu relația

(2.48)

2.3.3 Entalpia specifică ( ) Entalpia specifică reprezintă suma dintre energia internă specifică și energia

potențială de presiune specifică (unității de masă)

(2.49)

Pentru un gaz perfect se poate calcula cu relația

(2.50)

2.4 APLICAȚII ALE PROPRIETĂȚILOR FLUIDELOR

2.4.1 Pentru verificarea (sau etalonarea) manometrelor se poate utiliza o instalație

cu pompă cu șurub, a cărei schemă de principiu este prezentată în figura 2.16.

Fig. 2.16 - Schemă de principiu a instalației de verificat manometre Aceasta se compune din corpul cilindric (1) în care se deplasează pistonul (2)

prin rotirea tijei șurubului (3) în corpul filetat (4). Pistonul este articulat pe tijă astfel

încât rotirea tijei nu se transmite pistonului, acesta având numai o mișcare de

62

translație. Tija se rotește manual cu ajutorul volantului (5). Pompa se umple cu

lichidul de lucru (ulei) aflat în rezervorul (6). Manometrul de verificat (MV) și

manometrul etalon (ME) se fixează etanș la două racorduri ale conductei de refulare

(7) prin intermediul robinetelor (8) și (9). Cunoscând

diametrul cilindrului,

pasul șurubului,

volumul inițial de ulei și

coeficientul de compresibilitate izotermă al

uleiului, să se determine numărul ( ) de rotații necesare pentru ca indicația manometrului

etalon să fie . Soluție

Se efectuează conversia tuturor mărimilor în Sistemul Internațional (dacă

este necesar):

Prin rotirea tijei, pistonul se va deplasa pe o distanță , egală cu

produsul dintre numărul de rotații ( ) și distanța parcursă la o rotație, pasul filetului

(h). Astfel, va avea loc o comprimare a uleiului în cilindru și conducta de refulare

datorită creșterii de presiune , ținând cont de faptul că manometrele

industriale indică suprapresiuni: se gradează având ca zero presiunea atmosferică

normală. Exprimând variația de volum în forma

relația (2.18) de definiție a compresibilității izoterme a fluidelor devine

63

2.4.2 O placă plană de arie și masă alunecă pe un plan

înclinat, cu unghiul , acoperit cu o peliculă de ulei de grosime ,

precum în figura 2.17. Densitatea uleiului este , iar vâscozitatea

cinematică . Să se determine viteza de alunecare a plăcii în mișcare

uniformă.

Fig. 2.17

Soluție

Se efectuează conversia tuturor mărimilor în Sistemul Internațional (dacă

este necesar):

Sub acțiunea componentei tangențiale a greutății ( ), figura 2.18,

placa începe să se miște uniform accelerat. Pe măsură ce viteză crește, crește și forța

de frecare vâscoasă care se opune mișcării plăcii. La un moment dat cele două forțe

se echilibrează dinamic și mișcarea plăcii devine uniformă ( ).

64

Fig. 2.18

Pentru cazul studiat, relația lui Newton (2.29) pentru efortul tangențial

devine

unde este viteza de deplasare a plăcii în mișcare uniformă,

reprezintă vâscozitatea dinamică a uleiului, Astfel, relația anterioară devine

2.4.3 Să se determine dependența de temperatură a vitezei de propagare a

sunetului în apă, cunoscând valorile densității și modulului de elasticitate în situațiile

ș

la temperatura

ș

la temperatura

Soluție

Utilizând relația lui Newton (2.26) de calcul a vitezei de propagare a sunetului

într-un mediu fluid

(2.26)

65

rezultă

la temperatura

la temperatura

Așadar, viteza de propagare a sunetului crește cu temperatura.

2.4.4 Distribuția de viteze într-un lichid vâscos care curge peste o placă plană este

dată de relația

unde reprezintă viteza fluidului pe direcția de curgere,

reprezintă distanța pe direcția normală la suprafața plăcii. Care este valoarea tensiunii tangențiale la nivelul plăcii și pentru ,

dacă vâscozitatea dinamică a lichidului este . Reprezentați grafic

dependența pentru intervalul . Soluție

Expresia tensiunii tangențiale care se manifestă între straturile de fluid este

unde reprezintă vâscozitatea dinamică a lichidului,

variația vitezei pe direcția normală la cea de mișcare a uidului.

În acest caz

Astfel, rezultă următoarele valori ale tensiunea tangențială pentru la nivelul plăcii pentru

66

Pentru reprezentarea grafică a variației se observă că dependența

este una liniară, sau se aleg câteva puncte din intervalul și se

calculează . aspectul acestei variații este prezentat în figura următoare.

Fig. 2.19

2.4.5 Un piston se deplasează cu viteza constantă într-un cilindru

având diametrul și lungimea , ce conține un fluid cu modulul

de elasticitate . Să se calculeze deplasarea pistonului, ,

dacă presiunea în cilindru crește de la zero la și timpul necesar

deplasării. Să se întocmească o schiță.

2.4.6 Viteza într-un fluid ce curge peste o placă plană, măsurată la o distanță

pe direcție normală la suprafața plăcii, este . Fluidul are

vâscozitatea dinamică și densitatea relativă (la cea a apei). Ce valori au

gradientul vitezei și tensiunea tangențială de frecare vâscoasă la nivelul plăcii plane,

considerând o distribuție liniară a vitezei pe direcția normală curgerii. Să se calculeze

valoarea vâscozității cinematice a fluidului și să se întocmească o schiță.

2.4.7 Să se determine viteza de propagare a sunetului în aer la temperatura

, admițând că legea de variație a densității aerului în funcție de presiune

este cea politropică. Masa molară a aerului este iar exponentul

politropic . Constanta universală a gazelor este .

67

3. STATICA FLUIDELOR Statica fluidelor are ca obiect de studiu fluidele aflate în stare de echilibru

precum și forțele pe care acestea le exercită asupra solidelor cu care vin în contact.

Din definiția fluidelor, rezultă că starea de echilibru a unui fluid este

caracterizată doar de existența eforturilor normale în interiorul acestuia, eforturile

tangențiale datorate frecării vâscoase dintre straturile alăturate de fluid fiind nule.

Din acest motiv fluidele reale aflate în repaus pot fi tratate ca fluide ideale, lipsite de

vâscozitate.

3.1 ECUAȚIA DE REPAUS A FLUIDELOR Ecuația de echilibru a unui fluid se obține din condiția ca rezultanta forțelor

exterioare ( ) care acționează asupra acestuia să fie nulă.

, (3.1)

unde reprezintă rezultanta forțelor masice exterioare,

este rezultanta forțelor de suprafață exterioare.

Fig. 3.1 – Forțele care acționează asupra particulelor unui fluid în repaus

Forța masică elementară care acționează asupra particulelor unui fluid de

masă și volum , mărginit de suprafața , precum în figura 3.1, se poate exprima

cu relația (1.8)

unde este forța masică unitară,

68

este densitatea fluidului. Din ecuația (3.1), rezultanta forțelor masice exterioare care acționează

asupra fluidului din volumul este egală cu

(3.2)

Deoarece asupra unui fluid în repaus acționează doar eforturi de presiune

( ), relația (1.13), orientate după direcția normalei la suprafață, rezultă că forțele de

suprafață sunt cele de presiune. Astfel, pentru o suprafață elementară al cărui

versor este orientat precum în figura 3.1

, (3.3) unde este versorul normale la elementul de suprafață.

Astfel, rezultanta forțelor exterioare de presiune ( ) va fi egală cu

(3.4)

Ținând cont de relațiile (3.2) și (3.4), condiția de echilibru enunțată anterior

se rescrie

(3.5)

Ecuația (3.5) reprezintă ecuația de repaus a fluidelor, în formă integrală.

Forma diferențială a ecuației de echilibru se obține prin trecerea de la integrala de

suprafață la cea de volum, conform relației (1.93)

(3.6)

unde este operatorul (al lui Hamilton), relația (1.59)

Semnul „-” din relația (3.6) se datorează orientării versorului spre interiorul

suprafeței (sau corespunzător feței interioare), figura 3.1. Așadar, din relațiile

(3.5) și (3.6) rezultă

69

(3.7)

Pentru un volum care tinde către zero, , relația anterioară se poate scrie

în forma

(3.8)

Relația (3.8) reprezintă ecuația vectorială de repaus a fluidelor perfecte,

cunoscută și sub numele de ecuația lui Euler (de repaus a fluidelor perfecte). Este

valabilă atât pentru fluidele incompresibile cât și pentru cele compresibile, ideale sau

reale (vâscoase).

În coordonate carteziene, corespunzător celor trei direcții , și ,

relația vectorială (3.8) este echivalentă cu sistemul de ecuații

(3.9)

unde

, și

sunt componentele forței masice unitare după direcțiile

sistemului de referință

(3.10)

Observații

1. Sistemul de ecuații (3.9) este unul liniar cu derivate parțiale de ordinul întâi,

în care coordonatele , și sunt variabile independente, iar presiunea

este variabila dependentă (funcția necunoscută).

De asemenea, densitatea și componentele forței masice unitare sunt funcții

cunoscute.

2. Rezolvarea acestui sistem se face pe baza stabilirii condițiilor pe care trebuie

să le îndeplinească forța masică unitară astfel încât fluidul să rămână în

echilibru.

70

3.2 RELAȚIA FUNDAMENTALĂ A STATICII FLUIDELOR Înmulțind ecuațiile din sistemul (3.9) cu , și (componentele scalare

ale )

(3.11)

și adunând termenii pe coloane, se obține

(3.12)

După cum se observă, paranteza din membrul drept al relației anterioare

reprezintă diferențiala totală a presiunii

(3.13)

De asemenea, dacă densitatea este constantă, , sau este o funcție

cunoscută de presiune, , precum în cazul fluidelor barotrope

(3.14)

al doilea membru al ecuației (3.12) se poate determina calculând integrala .

Rezultă, așadar, că pentru a putea rezolva ecuația (3.12), primul membru

trebuie să reprezinte la rândul său diferențiala totală a unei funcții scalare, ,

numită și funcție de forță. Astfel,

(3.15)

care îndeplinește și condiția

(3.16)

71

ceea ce înseamnă că forțele masice exterioare derivă dintr-un potențial (energetic)

(3.17) al câmpului de forțe de care aparține , orientată (natural) în sensul scăderii

potențialului.

Funcția se mai numește și potențialul forțelor masice (Caius Iacob,

Mecanică Teoretică, Editura Didactică și Pedagogică, București 1980, pag. 235). Este

o mărime de stare a fluidului și pentru un punct din interiorul fluidului reprezintă

energia potențială masică a acestuia.

Așadar, componentele forței masice unitare pot fi exprimate și în forma

(3.18)

iar când acestea sunt cunoscute, potențialul forțelor masice se determină

prin integrare

(3.19)

În aceste condiții, relația (3.12) capătă forma

(3.20)

de unde prin integrare se obține

(3.21)

Relația (3.21) este ecuația fundamentală a staticii fluidelor și reprezintă

principiul conservării energiei aplicat unei mase de fluid în repaus. Constanta de

integrare ( ) are dimensiunea unei energii masice unitare și se determină din

condiții la limită cunoscute.

Prin analogie cu , mărimea

(3.22)

se numește potențialul forțelor de presiune, iar ecuația fundamentală a staticii

fluidelor mai poate fi rescrisă sub și în forma

(3.23)

72

Suprafețele pentru care se numesc echipotențiale. Pentru fluidele

incompresibile și fluidele barotrope aflate în repaus, se remarcă următoarele

proprietăți ale suprafețelor echipotențiale.

Din condiția rezultă că și , deci într-un fluid în

repaus, suprafețele echipotențiale sunt și izobare, implicit izodense și

izoterme.

Forța masică unitară este perpendiculară pe suprafețele echipotențiale

(3.24)

După cum am precizat și anterior, este orientată în sensul scăderii

energiei potențiale, deci în sensul creșterii presiunii.

Suprafețele echipotențiale nu se intersectează, deoarece în caz contrar, în

punctele de intersecție presiunea ar avea mai multe valori diferite; astfel,

suprafețele de separație dintre fluide, precum suprafața liberă a unui lichid,

sunt echipotențiale.

Dacă forțele masice care acționează asupra unui fluid sunt foarte mici în

comparație cu forțele de presiune, se poate considera că potențialul forțelor

masice unitare este neglijabil, , iar relația (3.20) capătă forma

(3.25)

Astfel, după caz, în interiorul unui volum finit de fluid se poate considera că

presiunea este constantă, iar variațiile acesteia se transmit în toată masa

fluidului. Această consecință este cunoscută ca principiul lui Pascal, pe baza

căruia se construiesc amplificatoarele de forță (elevatorul hidraulic, presa

hidraulică etc.), sau de presiune (acumulatoarele hidraulice), utilizate în

acționările hidraulice și pneumatice. În figura 3.2 este prezentată schema de principiu a unui multiplicator de

forță, utilizat ca elevator hidraulic. Forța care se exercită asupra pistonului de

diametru generează o suprapresiune care se transmite în toată masa

lichidului, inclusiv la nivelul suprafeței pistonului de diametru , rezultând forța

cu ajutorul cărei se ridică automobilul

(3.26)

73

Fig. 3.2 – Schema de principiu a elevatorului hidraulic

3.3 FORME PARTICULARE ALE RELAȚIEI FUNDAMENTALE

A STATICII FLUIDELOR 3.3.1 Repausul fluidelor incompresibile în câmp gravitațional După cum a fost specificat în paragraful 1.2, principale forțe masice care

acționează asupra unui fluid sunt cele gravitaționale. Adoptând un sistem cartezian în

care axa reprezintă verticala, în sensul creșterii altitudinii (natural în studiul

atmosferei în repaus, precum în figura 3.3), obținem următoarea expresie a

potențialului forțelor masice unitare, relația (3.19)

Fig. 3.3 – Fluid în câmp gravitațional

(3.27)

Așadar, pentru fluide incompresibile ( ) relația (3.21) devine

(3.28)

74

Constanta de integrare se determină din condiții la limită cunoscute. În cazul

unui lichid de greutate specifică , conținut într-un vas precum în figura 3.4, se

cunoaște valoarea presiunii la nivelul suprafeței libere, , reprezentând presiunea

atmosferică locală. Astfel, dacă , iar ecuația (3.28) devine

. (3.29)

Fig. 3.4 – Variația presiunii într-un lichid

Înlocuind (3.29) în relația (3.28) obținem

(3.30)

Relația (3.30) reprezintă legea de variație a presiunii în interiorul unui lichid,

unde ( ) este cota de adâncime, fiind cunoscută ca ecuația fundamentală a

hidrostaticii. Observații

În studiul lichidelor, orientarea naturală a sistemului de referință este cea

pentru care axa este orientată în sensul creșterii adâncimii, precum în

figura 3.5.

Presiunea hidrostatică este o suprapresiune (presiune manometrică),

, notată în mod curent cu , deoarece, după cum am menționat

în paragraful 2.1.1, în problemele tehnice curente, forțele care se dezvoltă in

instalațiile hidraulice (pneumatice) sunt rezultatul diferenței dintre presiunea

(absolută) din interiorul instalației și presiunea atmosferică exterioară. Astfel,

relația (3.30) se scrie uzual în forma

(3.31)

75

După cum se observă, variația presiunii într-un lichid în repaus, în câmp

gravitațional, este o funcție liniară de adâncime (crește liniar cu adâncimea).

Valoarea presiunii maxime este la baza vasului (la cota de adâncime maximă) și este

egală cu .

Dacă în cazul considerat anterior, la suprafața liberă a lichidului presiunea

care se exercită are valoarea (presiunea manometrică exercitată de un alt fluid),

precum în figura 3.5, aceasta se transmite în toată masa lichidului, astfel încât

valoarea presiunii în interiorul lichidului va fi

(3.32) Reprezentarea variației presiunii exercitate de un fluid pe pereții vasului ce-l

conține, figura 3.5, poartă denumirea de diagrama distribuției de presiuni, sau epură

hidrostatică. Presiunea pe care o exercită fluidul asupra vasului se reprezintă pe

direcție normală în puntul de aplicație, dinspre fluid spre suprafața pe care acesta

acționează.

Fig. 3.5 – Variația presiunii pe pereții un rezervor sub presiune

Pentru lichidele în repaus, planurile orizontale (perpendiculare pe vectorul

rezultant al forței masice unitare, ) sunt planuri izobare (de presiune

constantă) și reciproc. Așadar, suprafețele libere și de separație sunt planuri izobare.

Planul pentru care presiunea este nulă se numește plan manometric. Poziția

acestuia față de suprafața liberă este definită de înălțimea manometrică,

76

(3.33)

Astfel, relația (3.32) se poate rescrie în forma

(3.34)

3.3.2 Repausul relativ al lichidelor în câmp gravitațional Un lichid se află în repaus relativ, dacă se află în repaus în raport cu un sistem

de referință mobil, legat de vasul ce-l conține, dar execută o mișcare accelerată față

de un sistem de referință oarecare. În cele ce urmează sunt prezentate două dintre

situațiile frecvent întâlnite în practică

repausul relativ al lichidelor în mișcare de translație uniformă, cu aplicații în

transportul lichidelor în rezervoare de dimensiuni mari și

repausul relativ al lichidelor în mișcare de rotație, cu aplicații în procesele de

turnare centrifugală, proiectarea rotorilor paletați etc.

3.3.2.1 Repausul relativ al lichidelor în mișcare de translație uniformă Pentru studiul repausului relativ al lichidelor în mișcare de translație

uniformă se consideră cazul unui lichid de greutate specifică conținut într-un

rezervor paralelipipedic de lungime , precum în figura 3.6.

Fig. 3.6 - Repausul relativ al lichidelor în mișcare de translație uniformă

În stare de repaus absolut, nivelul lichidului în rezervor este , caz în care

forța masică unitară ( ) are componentă doar după direcția , egală cu valoarea

77

accelerației gravitaționale, . Planurile orizontale, perpendiculare pe direcția

forței masice unitare sunt planuri izobare (de presiune constantă), precum planul

care definește suprafața liberă.

În cazul în care rezervorul se deplasează uniform accelerat după direcția axei

, cu accelerația , forța masică unitară are componente după direcțiile axelor

: accelerația inerțială, , egală în modul dar de sens contrar

accelerației mișcării;

: accelerația gravitațională, .

Sub acțiunea rezultantei forțelor masice unitare, suprafețele izobare (deci și

suprafața liberă) se deplasează astfel încât să fie perpendiculare pe direcția , sub

un unghi față de orizontală

(3.35)

Practic, suprafață liberă basculează în jurul unei axe paralelă cu care trece

prin punctul de coordonate și , nivelul lichidului în rezervor coborând

pe peretele din față și urcând pe cel din spate (raportat la sensul mișcării), rezultând

o diferență de nivel . Astfel, în sistemul de referință ( )

considerat, potențialul forțelor masice unitare este, conform relației (3.19)

(3.36)

De asemenea, pentru lichide densitatea este constantă ( ), deci

potențialul forțelor de presiune este

(3.37)

Așadar, relația fundamentală a staticii fluidelor (3.23) devine în cazul

repausului relativ al lichidelor în mișcare de translație uniformă

(3.38)

Constanta de integrare se determină din condiții (la limită) cunoscute. Astfel,

pentru punctul de coordonate

78

(presiunea atmosferică locală),

deci, în acest punct ecuația (3.38) este

(3.39)

Înlocuind relația (3.39) în (3.38) se obține

(3.40)

sau simplu, în termeni de presiune relativă la cea atmosferică locală ( )

(3.41)

Valoarea presiunii maxime se obține în punctul de coordonate

(3.42)

variația distribuției de presiuni pe pereții vasului fiind prezentată în figura 3.7.

Fig. 3.7 - Variația presiunii în mișcarea de translație uniformă

79

3.3.2.2 Repausul relativ al lichidelor în mișcare de rotație Pentru studiul repausului relativ al lichidelor în mișcare de rotație se

consideră cazul unui lichid de greutate specifică , conținut într-un rezervor

cilindric de rază , precum în figura 3.8, în care nivelul lichidului din rezervor este

pentru starea de repaus absolut.

Fig. 3.8 - Repausul relativ al lichidelor în mișcare de rotație uniformă

Dacă rezervorul se rotește cu viteza unghiulară în jurul axei proprii,

forța masică unitară are componente după toate cele trei direcții

: accelerația inerțială (centrifugă) ,

: accelerația inerțială (centrifugă) ,

: accelerația gravitațională .

Raportat la sistemul de referință considerat, potențialul forțelor masice

unitare este, conform relației (3.19)

(3.43)

80

(3.43)

Așadar, relația ecuația fundamentală a staticii fluidelor în cazul repausului

relativ al lichidelor în mișcare de rotație devine

(3.44)

Constanta de integrare se determină din condiții cunoscute. Pentru acest caz,

la nivelul suprafeței libere, care este un paraboloid de rotație, presiunea (relativă)

este nulă. Astfel, pentru

(3.45)

(3.46)

Relația de legătură dintre și se obține din condiția de egalitate a

volumului inițial de fluid (volumul unui cilindru de înălțime ) cu cel final (volumul

unui cilindru de înălțime din care se scade volumul unei jumătăți de paraboloid

de rotație)

(3.47)

Din sistemul de ecuații (3.45), (3.46) și (3.47) rezultă că valoarea constantei

de integrare este

(3.48)

Înlocuind (3.48) în (3.44) se obține relația de calcul a presiunii în interiorul

fluidului corespunzătoare repausului relativ al lichidelor în mișcare de rotație

(3.49)

Valoarea presiunii maxime se obține pentru și ,

(3.50)

81

Variația distribuției presiunii pe pereții vasului în mișcare de rotație este

prezentată în figura 3.9.

Fig. 3.9 - Variația presiunii în mișcarea de rotație uniformă

3.3.3 Repausul fluidelor compresibile în câmp gravitațional În cazul în care densitatea fluidului nu e constantă ( ), situație specifică

gazelor, pentru a putea calcula potențialul forțelor de presiune trebuie cunoscută

legea de variație a densității în funcție de presiune, (tipul transformării pe

care o parcurge gazul).

De exemplu, în cazul unui proces izotermic,

(3.51)

unde termenii cu indice sunt parametrii gazului în starea de referință. Astfel, potențialul forțelor de presiune devine

(3.52)

Potențialul forțelor masice în câmpul gravitațional terestru, este

. (3.53) Așadar, ecuația de repaus pentru fluidele compresibile în câmp gravitațional

devine

(3.54)

Soluțiile pentru procesele adiabatice sau politropice se determină similar.

82

3.4 FORȚE DE ACȚIUNE ALE FLUIDELOR ÎN REPAUS

ASUPRA UNOR PEREȚI SOLIZI

Fluidele exercită asupra pereților solizi cu care vin în contact forțe de

presiune. Determinarea acestora este necesară pentru dimensionarea conductelor,

rezervoarelor, barajelor etc. din punct de vedere al rezistenței.

Forța elementară de presiune cu care un fluid acționează pe o suprafață

elementară ( ), precum în figura 3.10, este dată de relația

(3.55) unde reprezintă presiunea statică în punctul în care se consideră elementul de

suprafață ,

este versorul normalei la suprafață, orientat în sensul de acțiune al forței,

dinspre fluid spre perete.

Fig. 3.10 - Forța elementară de presiune

Forța rezultantă de presiune se calculează prin integrare

(3.56)

Punctul de aplicație al forței se notează cu , sau și se numește centru

de presiune.

În cazul în care suprafața este una oarecare, curbă în spațiu, atunci și forțele

elementare vor fi oarecare în spațiu, iar acțiunea lor asupra peretelui va fi descrisă de

torsorul format din

forța rezultantă și

momentul rezultant in raport cu originea sistemului de referință ales,

83

(3.57)

unde este vectorul de poziție al punctului de aplicație al forței elementare pe

suprafața , în sistemul de referință ( ).

Pentru calculul integralelor (3.56) și (3.57) trebuie să se cunoască variația

presiunii ( ) în interiorul fluidului (din legea fundamentală a staticii fluidelor).

3.4.1 Forțe de acțiune pe pereți plani

În cazul pereților plani, versorul normalei la suprafață este constant, ,

iar relațiile (3.56) și (3.57) devin

(3.58)

(3.59)

Raportat la sistemul de referință considerat, vectorul de poziție al centrului

de presiune se obține din teorema lui Varignon aplicată sistemului de forțe

elementare, conform căreia suma momentelor forțelor elementare este egală cu

momentul rezultantei

(3.60)

3.4.1.1 Cazul fluidelor ușoare Modelul fluidului ușor, corespunde în general gazelor și vaporilor, dar poate

fi aplicat și în cazul lichidelor dacă forțele masice sunt forte mici (neglijabile) în raport

cu cele de presiune. Având în vedere că presiunea în interiorul unui volum finit de gaz

84

(fluid ușor) poate fi considerată constantă în toată masa acestuia, , deci având

aceeași valoare în orice punct al suprafeței ( ), relațiile (3.58) și (3.60) devin

(3.61)

(3.62)

unde este cota centrului de greutate al peretelui de suprafață .

Așadar, forța cu care un fluid ușor, în repaus, acționează asupra unui perete

plan este egală cu produsul dintre presiunea fluidului și aria suprafeței peretelui,

având punctul de aplicație (centrul de presiune) în centrul de greutate al peretelui

.

3.4.1.2 Cazul fluidelor grele (lichide)

Pentru determinarea acțiunii exercitate de un fluid greu pe un perete plan

considerăm cazul general în care peretele este înclinat cu un unghi față de

suprafața liberă a lichidului pe care se exercită presiunea atmosferică locală.

Într-un sistem de referință în care ( ) este planul suprafeței înclinate (vezi

figura 3.11), valoarea presiunii la o adâncime , conform legii fundamentale a

hidrostaticii (3.31), este dată de relația

(3.63)

Fig. 3.11 - Forța de presiune pe o suprafață plană înclinată

Ținând cont de (3.63), relația (3.61) devine

85

(3.64)

unde

reprezintă momentul de inerție de ordinul 1 al suprafeței

înclinate față de axa

(3.65)

S este aria suprafeței înclinate,

este cota centrului de greutate al suprafeței înclinate pe axa . Astfel, relația (3.64) devine

, (3.66)

unde reprezintă cota de adâncime a centrului de greutate ( ) al suprafeței

înclinate ( ). Așadar, forța cu care un lichid în repaus acționează asupra unui perete plan

este egală cu greutatea unei coloane din respectivul lichid având ca bază suprafața

peretelui, iar ca înălțime distanța de la centrul de greutate al suprafeței la planul de

referință: planul manometric. Pentru situația din figura 3.11, planul manometric

coincide cu planul suprafeței libere a lichidului, întrucât valoarea presiunii absolute la

nivelul suprafeței libere este cea corespunzătoare atmosferei (locale), presiunea

relativă fiind nulă.

În situația în care la nivelul suprafeței de separație acționează o

suprapresiune , variația presiunii în interiorul lichidului este descrisă de relația

(3.67) iar poziția planului manometric în raport cu suprafața de separație este dată de

înălțimea manometrică , calculată cu relația (3.33). Din relația (3.60) se obține următoarea expresie a vectorului de poziție al

punctului de aplicație al forței de presiune

(3.60)

(3.68)

86

Corespunzător sistemului de referință, coordonatele centrului de presiune în

planul ( ) sunt

și

(3.69')

și de asemenea,

(3.69'')

unde este momentul de inerție centrifugal al suprafeței în raport cu

axele și ( se definește similar),

este momentul inerțial de ordinul doi al suprafeței față de axa , Dacă ( ) este plan de simetrie, atunci și .

Într-un sistem de coordonate ( ), cu originea în centrul de greutate al

suprafeței, relațiile (3.69) devin, conform teoremei lui Steiner

(3.70)

unde

este momentul de inerție centrifugal al suprafeței în raport cu axele

și ,

este momentul inerțial de ordinul doi al suprafeței față de .

Deoarece

, rezultă că centrul de presiune ( ) este situat întotdeauna

sub cel de greutate( ). De asemenea, poziția centrului de presiune este

independentă de unghiul de înclinare al suprafeței.

3.4.2 Forțe de acțiune pe pereți curbi Pentru a ușura calculul relațiilor (3.56) și (3.57), torsorul format din forța

rezultantă și momentul se înlocuiește cu un sistem de trei forțe paralele cu

axele sistemului de referință ,

, respectiv , reprezentând componentele

forței de presiune.

(3.71)

87

Relațiile de calcul ale acestor forțe sunt

(3.72)

unde , și sunt proiecțiile algebrice ale suprafeței ( ) pe care

acționează fluidul, pe planurile sistemului de referință, ( ), ( ), respectiv ( ),

după cum este ilustrat în figura 4.3 pentru suprafața curbă (BC) a rezervorului

considerat, ale cărui fețe sunt aliniate după planurile sistemului de referință.

Fig. 3.12 - Proiecțiile unei suprafețe curbe pe planurile

sistemului de referință

Astfel, pe planurile ( ) și ( ), proiecțiile suprafeței curbe ( ) sunt niște

dreptunghiuri, iar pe planul ( ) o curbă. Punctele de aplicație ale componentelor

după axele sistemului de referință se determină cu relația

(3.73)

88

3.4.2.1 Forțe de acțiune ale fluidelor ușoare pe pereți curbi deschiși În cazul fluidelor ușoare putem considera că presiunea este constantă în

interiorul acestora ( ), astfel încât relațiile (3.72) și (3.73) devin

, , (3.74)

(3.75)

3.4.2.2 Forțe de acțiune ale fluidelor grele pe pereți curbi deschiși Alegând un sistem de referință în care planul ( ) este plan manometric, iar

axa este orientată în sensul creșterii adâncimii, pentru variații ale presiunii în

interiorul lichidului , relațiile (3.72) și (3.73) devin

(3.76)

(3.77)

unde este volumul de cuprins între suprafața udată de lichid și proiecția ei

pe planul manometric.

3.4.2.3 Forțe de acțiune ale fluidelor ușoare pe pereți interiori închiși

În cazul acțiunii fluidelor pe suprafețe interioare închise, forțele de presiune

rezultante sunt nule deoarece proiecțiile algebrice .

Acțiunea fluidelor pe astfel de suprafețe conduce la apariția unor eforturi

unitare de tensiune în pereții rezervoarelor ce le conțin, calculul acestor eforturi fiind

util la dimensionarea grosimii pereților, după cum este prezentat în exemplul

următor pentru un rezervor cilindric (sau o conductă) de diametru și lungime ,

care conține un fluid la presiunea constantă , figura 3.13.

Conform relațiilor (3.72), forța de presiune exercitată de fluid asupra unei

jumătăți de cilindru are componentele

89

(3.78)

Notând efortul unitar admisibil cu și grosimea peretelui cu , forța de

reacțiune maximă care se dezvoltă într-o secțiune a peretelui este

(3.79)

La limită, din egalitatea forțelor se obține

(3.80)

Fig. 3.13 - Acțiunea fluidelor ușoare pe pereți curbi închiși

Pentru alte tipuri de suprafețe se obțin relații de calcul ale grosimii minime în

mod similar. Relația anterioară este valabilă atât pentru gaze cât și pentru lichide

dacă forțele masice sunt mici în raport cu cele de presiune.

3.4.2.4 Forțe de acțiune ale fluidelor pe pereți exteriori

Este cazul corpurilor, parțial sau total imerse într-un lichid. În această situație

fluidul acționează asupra solidului cu o forță verticală ( ), precum în figura 3.14.

Acțiunea fluidul asupra solidului se numește forță arhimedică ( ) după

numele lui Arhimede. El a fost cel care a evidențiat și calculat acestă forță ca fiind

egală cu greutatea volumului de fluid ( ) dezlocuit de solid.

(3.81) unde este densitatea fluidului.

90

Fig. 3.14 - Acțiunea forței arhimedice asupra unui plutitor În funcție de raportul dintre greutatea solidului ( ) și forța

arhimedică, există următoarele situații de echilibru

corpul plutește, precum în figura 3.14, dacă ,

corpul plutește submers, dacă ,

corpul se scufundă, în situația în care , unde este densitatea solidului,

reprezintă volumul solidului.

Plutirea și stabilitatea acesteia reprezintă condiții de bază în proiectarea

navelor.

3.5 INSTRUMENTE PENTRU MĂSURAREA PRESIUNILOR

Una dintre aplicațiile importante ale staticii fluidelor o reprezintă măsurarea

presiunii cu instrumente a căror funcționare se bazează pe legea fundamentală a

hidrostaticii, descrisă matematic de relația (3.31). Aceste aparate se mai numesc și

manometre cu lichid, sau piezometre. Măsoară presiuni relative, exprimate în lungimi

coloană de lichid. Când determină presiunea într-un punct se numesc piezometre

simple. Dacă măsoară diferența de presiune între două puncte, sunt piezometre

diferențiale. De asemenea, dacă lichidul piezometric (lichidul utilizat pentru

determinarea presiunii) este cel a cărui presiune se măsoară se numesc piezometre

directe.

Măsurarea presiunii se face și cu aparate ce funcționează pe baza altor

principii, precum cele care utilizează elemente elastice sau traductoare electrice.

Indiferent de natura instrumentului de măsură, fluidul a cărui presiune se

91

măsoară este dirijat spre instrument prin intermediul unei prize de presiune, care

poate fi

statică, când axa prizei este normală pe direcția curentului (pentru fluide în

mișcare), figura 3.15 (a),

totală, când axa prizei este pe direcția curentului, precum în figura 3.15(b).

Fig. 3.15 - Prize de presiune

3.5.1 Tubul piezometric Este cel mai simplu manometru și este constituit dintr-un tub, deschis la

capătul superior, celălalt fiind conectat la un recipient ce conține un lichid sub

presiune, superioară celei atmosferice locale ( ), precum în figura 3.16. Presiunile

măsurate sunt relative la cea atmosferică, deci suprapresiuni.

Fig. 3.16 - Tubul piezometric

Acest instrument poate fi utilizat doar în cazul lichidelor, când înălțimea de

lichid în tubul piezometric este suficient de mare, astfel încât să fie sesizabile și

măsurabile variațiile de presiune. Presiunea în punctul , exercitată de coloana de

lichid de densitate ( ) este

(3.82)

92

3.5.2 Manometre "U" Denumirea se datorează formei acestora. Pot fi utilizat pentru măsurarea

presiunii statice în interiorul ambelor tipuri de fluide (lichide și gaze). Conectarea la

un recipient ce conține un gaz se face precum în figura 3.17. Densitatea lichidului

piezometric ( ) trebuie să fie mai mare ca cea a fluidului ( ) a cărui presiune se

măsoară. În cazul măsurătorilor în interiorul lichidelor, acestea și lichidul piezometric

trebuie să fie imiscibile.

Fig. 3.17 - Manometrul diferențial "U"

Pentru manometrul din figura 3.17 se pot scrie următoarele relații

pentru brațul din stânga

(3.83)

pentru brațul din dreapta

(3.84) De asemenea,

(3.85) deoarece presiunea în interiorul unui fluid în echilibru static absolut este constantă la

nivelul oricărui plan orizontal. Astfel, presiunea (relativă la cea atmosferică locală) în punctul este

(3.86)

93

Dacă fluidul a cărui presiune se măsoară are densitatea mult mai mică decât

cea a lichidului piezometric ( ), termenul poate fi neglijat, iar

presiunea poate fi aproximată cu relația

(3.87) Manometrele "U" pot fi utilizate și pentru măsurarea diferențelor de

presiune în interiorul unui fluid, într-o configurație precum cea din figura următoare.

Fig. 3.18 - Manometrul diferențial "U"

Pentru situația prezentată în figura 3.18

(3.88)

De asemenea, dacă , relația anterioară poate fi aproximată cu

(3.89) O variantă îmbunătățită din punct de vedere constructiv a manometrului

diferențial este prezentată în figura 3.19. Pentru a evita calculul presiunii prin citirea

înălțimii de lichid piezometric pe ambele brațe, unul dintre brațe are diametrul mult

mai mare în comparație cu celălalt, devenind practic un rezervor al lichidului

piezometric. În acest caz, deplasarea de lichid piezometric pe brațul de diametru mai

mare devine nesemnificativă. Planul de referință indică nivelul lichidului piezometric

pentru o diferență nulă de presiune. Volumul de lichid piezometric transferat de pe

un braț pe celălalt este

94

Fig. 3.19 – Variantă îmbunătățită a manometrului U

Diferența de presiune ( ) este dată de diferența de nivel pe cele două

brațe

(3.90)

Deoarece , raportul , deci poate fi neglijat, așadar

(3.91) Utilizarea mai multor tuburi piezometrice, conectate la același rezervor,

precum în figura 3.20, permite măsurarea presiunii simultan în mai multe puncte.

Tuburile formează un piezometru multiplu, sau baterie piezometrică.

Fig. 3.20 – Piezometru multiplu

95

În cazul determinării unor diferențe foarte mici de presiune, pentru a mări

precizia de citire, se utilizează micromanometrele cu braț înclinat, figura 3.21. În

acest caz, diferența de nivel ( ) se determină ca funcție de lungimea de lichid

piezometric ( ) pe brațul micromanometrului și unghiul de înclinare al brațului ( )

(3.92)

Fig. 3.21 – Micromanometru cu braț înclinat

3.5.3 Alegerea piezometrului adecvat La alegerea piezometrului adecvat unei măsurători trebuie avute în vedere

avantajele și/sau dezavantajele pe care le prezintă acestea. Principalele avantaje sunt

simplitatea din punct de vedere constructiv,

nu necesită calibrare, presiunile măsurate fiind determinate conform

principiului fundamental al hidrostaticii.

Dintre dezavantaje, se pot menționa

nu pot înregistra variații rapide de presiune,

este dificilă determinarea unor diferențe mici de presiune. De asemenea, din punct de vedere practic, înălțimile de lichid piezometric

sunt limitate la valori pentru care citirea este facilă, , deci în cazul

utilizării mercurului ca lichid piezometric presiunea maximă care poate fi măsurată

este . Pentru presiuni mai mari se utilizează manometrele cu element

elastic.

96

3.5.4 Manometre cu element elastic Sunt manometre a căror construcție se bazează pe principiul deformării unui

element elastic sub acțiunea unei presiuni. Deformația este amplificată prin

intermediul unui mecanism, astfel încât presiunea să poată fi determinată cu o

precizie suficient de bună.

Sunt simple, ușor de montat și utilizat și pot măsura presiuni într-un domeniu

extins. Principalele dezavantaje sunt legate de mecanismul de amplificare, ce nu

permite realizarea unei precizii mari și de deformațiile remanente ale elementelor

elastice, aceste aparate necesitând reetalonări periodice.

Principalele tipuri constructive sunt prezentate în figura 3.22.

Fig. 3.22 – Manometre cu element elastic,

(a) - cu tub elastic, (b) - cu membrană elastică, (c) - cu burduf

3.6 APLICAȚII - STATICA FLUIDELOR 3.6.1 Într-un rezervor închis, figura 3.23, se află apă sub presiunea . Sunt

cunoscute

adâncimea apei în rezervor,

raza de curbură a rezervorului,

lățimea rezervorului,

densitatea apei,

presiunea indicată de manometru.

1. Să se calculeze și să se reprezinte distribuția presiunii pe pereții vasului.

2. Să se calculeze valoarea forței de presiune pe peretele ( ).

97

3. Să se calculeze valoarea forței de presiune pe peretele ( ).

Fig. 3.23

Soluție

Se efectuează conversia tuturor mărimilor în Sistemul Internațional (dacă

este necesar)

1.1 Se calculează înălțimea manometrică , relația (3.33), corespunzătoare

poziției planului manometric (de referință) în raport cu suprafața de separație a apei

(vezi figura 2.2).

Deoarece la nivelul planului manometric presiunea absolută este cea

atmosferică locală, suprapresiunea este nulă ( )

1.2 Se alege sistemul de referință ( ) astfel încât

( ) este în planul manometric,

este orientată în sensul creșterii adâncimii.

98

Fig. 3.24

1.3 Se calculează presiunea (relativă) în punctele caracteristice geometriei

rezervorului. Astfel

(presiunea este constantă în interiorul unui volum finit de gaz),

Se reprezintă variația presiunii pe pereții rezervorului, precum în figura 3.25.

99

Fig. 3.25

2. Se calculează forța de presiune, , pe peretele plan (AB). Pentru

calcule convenabile, se notează (vezi figura anterioară). 2.1 Cu ajutorul relației integrale

100

2.2 Direct, cu ajutorul relației (3.66)

Observație

Ca valoare, forța de presiune este egală cu „volumul distribuției de

presiuni” (volumul unei prisme drepte cu baza trapez dreptunghic) și

acționează în centrul de greutate al acestei distribuții.

3. Se determină forța de presiune pe peretele curb , calculând

componentele în sistemul de referință considerat, cu ecuațiile (3.76) componenta orizontală

componenta orizontală , deoarece suprafața are plan de simetrie

paralel cu ( ),

componenta verticală

3.1

3.2

unde este aria proiecției suprafeței curbe ( ) pe planul ( ), figura 3.26; este volumul de lichid cuprins între suprafața curbă (udată de lichid)

și proiecția ei pe planul manometric ( ), figura 3.26;

101

Fig. 3.26

Așadar

3.6.2 Densitatea lichidelor poate fi determinată experimental cu ajutorul unui

areometru, precum în figura 3.27. Acesta este compus dintr-un corp plutitor lestat,

având la partea inferioară o cavitate cu bile de plumb, iar la partea superioară un tub

calibrat (de diametru constant). Să se calculeze densitatea unui fluid dacă partea

calibrată a densimetrului se scufundă cu relativ la poziția de echilibru

în apă. Sunt cunoscute

greutatea areometrului,

diametrul secțiunii calibrate,

densitatea apei.

102

Fig. 3.27

3.6.3 Un tub manometric "U" (vezi figura 3.28) este utilizat la determinarea

accelerației unui vehicul. Să se calculeze accelerația pentru o denivelare

. Să se traseze curba de etalonare a accelerometrului.

Fig. 3.27 Fig. 3.28

3.6.4 Un tahometru hidraulic, compus dintr-un tub manometric "U", figura 3.28, este

utilizat pentru determinarea turației. Să se calculeze turația (rotații/minut) dacă

indicația tahometrului este . Să se traseze curba de etalonare a

tahometrului.

3.6.5 Să se calculeze forța de presiune rezultantă pe peretele vertical al rezervorului

din figura 3.29, ce conține un strat de ulei cu densitatea relativă , plutind pe

un strat de apă. Să se determine și să se reprezinte diagrama distribuției presiunii pe

pereții vasului, de lățime .

103

Fig. 3.29

3.6.6 Să se calculeze denivelarea indicată de manometrul din figura 3.30. Sunt

cunoscute cotele , , și densitățile și .

Fig. 3.30

104

4. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE

Majoritatea problemelor de inginerie implică și fluide, cel mai adesea în

mișcare relativă în raport cu solidele cu care vin în contact. Partea din mecanica

fluidelor care se ocupă de curgeri este dinamica fluidelor, în care sunt studiate

mișcarea fluidelor ca rezultat al acțiunii forțelor care determină sau modifică starea

de mișcare, precum și transformările energetice produse în timpul curgerii.

După cum și titlul capitolului menționează, modelul de fluid utilizat este cel al

fluidului ideal (nevâscos). Utilizarea acestui model simplificat permite o abordare

graduală din punct de vedere al dificultății problemelor analizate, dinamica fluidelor

ideale reprezentând o etapă de studiu premergătoare celei de dinamica fluidelor

reale.

Pentru o mai bună înțelegere a fenomenelor, în profunzimea acestora,

studiile de dinamica fluidelor sunt însoțite și de descrierea grafică a câmpului mișcării

caracterizat de traiectoriile, vitezele și accelerațiile particulelor de fluid, după cum

este prezentat în figura 4.1 în cazul curgerii în jurul unui profil aerodinamic deportant

(care generează forță de apăsare aerodinamică, precum în cazul aripilor de

automobil).

Fig. 4.1 – Reprezentarea grafică a mișcării în jurul unui profil aerodinamic

Uzual, descrierea câmpului curgerii, luând în calcul doar proprietățile

geometrice ale mișcării fluidelor, se face într-un capitol separat, cinematica fluidelor,

ale cărei rezultate sunt valabile atât pentru fluide ideale, cât și pentru fluidele reale.

În prezenta lucrare, partea de cinematică este integrată în dinamică, pentru o

abordare unitară a ecuațiilor care descriu mișcarea fluidelor, incluzând și ecuația

continuității.

105

4.1 NOȚIUNI GENERALE DE CINEMATICA FLUIDELOR

4.1.1 Metode de studiu ale mișcării fluidelor Există două metode de studiu ale mișcării fluidelor (determinării

traiectoriilor, vitezelor și accelerațiilor): metoda Lagrange, respectiv metoda Euler.

Metoda Lagrange studiază mișcarea unei particule de fluid în aceeași manieră

precum la mișcarea unui punct material în mecanica clasică. Luând ca referință

poziția particulei , la momentul inițial , mișcarea ei (ecuațiile

traiectoriei) este cunoscută dacă se stabilesc legile de variație în timp ale

coordonatelor de poziție ale particulei

(4.1)

Necunoscutele sistemului (4.1), coordonatele ( ), sunt funcții de

variabilele independente ( ) (variabilele lui Lagrange). Din ecuațiile

traiectoriei se deduc componentele vitezei v v v la momentele , după

cum este ilustrat în figura 4.2,

v

v

v

(4.2)

și componentele accelerației ,

v

v

v

(4.3)

Fig. 4.2 – Descrierea mișcării particulelor unui fluid prin metoda Lagrange

106

Pentru a descrie mișcarea a particule ce alcătuiesc o masă de fluid sunt

necesare sisteme de ecuații ale mișcării, cu soluții care necesită un timp de

rezolvare și resurse de calcul semnificative. Din punct de vedere practic, mult mai

comodă este utilizarea metodei lui Euler, aceasta fiind convenabilă și din punctul de

vedere al rezolvării ecuațiilor cu derivate parțiale prin metode numerice.

Metoda Euler studiază câmpul de viteze în puncte fixe ale spațiului ocupat de

fluid. Din punct de vedere practic, se determină la momentele componentele

vitezei în puncte în care se amplasează sonde de viteză. Astfel, cunoscând

componentele vitezei ca funcții de coordonate și timp,

v v

v v

v v

, (4.4)

se determină traiectoriile prin integrarea sistemului de ecuații (4.2), respectiv, se

determină componentele accelerației derivând componentele vitezei, ecuațiile (4.3)

v v v (4.5)

Metoda este ilustrată în figura 4.3.

Fig. 4.3 – Descrierea mișcării unui fluid prin metoda Euler

4.1.2 Expresia accelerației unei particule de fluid Conform relațiilor (4.4), componentele vitezei sunt funcții de coordonate și

timp, coordonatele fiind la rândul lor funcții de timp. În consecință, diferențiala totală

a componentei vitezei după direcția ( ) se exprimă conform relației

v v

v

v

v

(4.6)

107

iar componenta după direcția x a accelerației, relația (4.3), devine

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(4.7)

Similar, componentele accelerației după direcțiile ( ) și ( ) sunt

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(4.8)

v

v

v (4.9)

Din relația anterioară se constată că accelerația are are două componente

accelerația locală, ( ), ce exprimă variația în timp a vitezei în punctele

spațiului ocupat de fluid, conform abordării euleriene și

accelerația convectivă (sau de antrenare),

v

v

v

ca rezultat al variației vitezei între punctele fluidului.

Observații

1. Mișcările fluidelor pentru care v se numesc permanente: într-un

punct din interiorul spațiului ocupat de fluid, viteza este constantă în timp.

2. Cele pentru care v se numesc nepermanente: în același punct,

viteza instantanee (v) variază în timp, în jurul unei valori medii (v ), precum în

figura 4.4. Astfel, viteza poate fi exprimată sub forma v v v , unde v

reprezintă valoarea fluctuației în raport cu vitaza medie temporală într-un

interval de timp . În calculele curente, este utilizată viteza medie

temporală, calculată pentru un interval de timp suficient de mare asfel încât

valoarea acesteia să fie independetă de timp și notată pentru simplitate tot

cu v.

108

Fig. 4.4 – Variația vitezei în timp

3. Accelerația convectivă este nulă în cazurile câmpurilor de viteză omogene, în

care viteza este aceeași în toate punctele mediului fluid: mișcare uniformă.

4. Dacă scoatem pe v

ca factor comun, relația (4.9) devine

v

v

v

(4.10)

care reprezintă tocmai derivata substanțială a vectorului viteză, obtinută prin

aplicarea operatorului derivată substanțială (1.74)

5. Utilizând teoria câmpurilor [matematici speciale, (1.88)], relația anterioară

poate fi scrisă și în forma

(4.11)

În relația (4.11) au fost puse în evidență partea potențială a accelerației

convective, , respectiv partea rotațională a acesteia, .

Mișcările pentru care se numesc irotaționale.

4.1.3 Mărimi caracteristice mișcării fluidelor Se definesc următoarele noțiuni/mărimi referitoare la mișcarea fluidelor: Curentul de fluid reprezintă o masă de fluid aflată în mișcare. Linia de curent este curba tangentă la vectorii viteză ai particulelor care la un

moment ( ), se găsesc pe această curbă (figura 4.5). În general, forma linilor de

109

curent se modifică în timp: cazul mișcărilor nepermanente, în care parametrii

fluidului variază în timp, în același punct. Ele își păstrează forma în cazul mișcărilor

permanente.

Fig. 4.5 – Linii de curent în jurul unui profil aerodinamic

Prezintă două proprietăți importante și anume

Liniile de curent nu se intersectează, cu excepția unor puncte, numite puncte

critice, în care viteza este nulă sau infinită (printr-un punct al spațiului ocupat

de un fluid nu poate trece la un moment dat decât o singură linie de curent,

deoarece într-un punct nu pot exista simultan mai multe particule cu viteze

diferite; în consecință, o particulă printr-un tub de curent se mișcă pe aceeași

linie de curent.

Liniile de curent umplu în întregime spațiul ocupat de curentul de fluid. Ecuația diferențială a liniilor de curent, sub formă vectorială, se obține din

condiția de tangență a vitezei la linia de curent, caz în care vectorul viteză

are aceeași direcție cu variația vectorului de poziție

(pentru variații mici ale ). Astfel , sau

(4.12) La momentul , sistemul ecuațiilor diferențiale al liniilor de curent este

(4.13)

Traiectoria unei particule de fluid reprezintă drumul parcurs de aceasta în

mișcarea sa. Ecuația diferențială a traiectoriilor este dată de relația

(4.14) La momentul , raportând mișcarea la sistemul triortogonal de axe ( ),

relația anterioară este echivalentă cu sistemul

110

(4.14')

Traiectoriile pot fi vizualizate experimental, după cum este prezentat în figura

4.6. În cazul mișcărilor permanente traiectoria coincide cu linia de curent, situație

care nu mai este valabilă în cazul mișcărilor nepermanente.

Fig. 4.6 – Vizualizarea curgerii în jurul unui profil aerodinamic

Suprafața de curent este suprafața formată din toate liniile de curent care se

sprijină la un moment dat pe o curbă de formă oarecare. Dacă respectiva curbă este

una închisă, simplă, atunci suprafața de curent este una tubulară, formând un tub de

curent, precum în figura 4.7.

Fig. 4.7 – Tub de curent

Observație Deoarece viteza este tangentă la pereții tubului de curent, rezultă că

prin suprafața acestuia nu se face schimb de masă. Un tub de curent de secțiune suficient de mică, astfel încât să putem neglija

variațiile parametrilor de stare ai fluidului (viteze și presiuni) în secțiunile normale,

poartă denumirea de tub elementar de curent (figura 4.8). Fluidul din interiorul unui

tub elementar de curent formează un fir de fluid. Dacă secțiunea transversală a

tubului elementar de curent tinde către zero, în jurul unui punct, atunci firul de

curent reprezintă materializarea liniei de curent care trece prin acel punct.

111

Fig. 4.8 – Tub elemtar de curent

Secțiunea transversală a unui tub de curent, numită și secțiune normală ( ),

reprezintă suprafața perpendiculară pe toate liniile de curent care o străbat. Este o

suprafață plană dacă liniile de curent sunt paralele, precum și în figura 4.9,

sau curbă în caz contrar, precum .

Fig. 4.9 – Secțiuni vii într-un tub de curent

Perimetrul udat ( ) reprezintă lungimea conturului secțiunii transversale a

unui tub de curent, mărginită de pereți solizi. Raza hidraulică ( ) reprezintă raportul

dintre aria secțiunii normale a curentului și perimetrul udat. Diametrul hidraulic ( ),

sau echivalent hidraulic, reprezintă un parametru utilizat în cazurile în care secțiunea

de curgere nu este circulară. Se determină cu relația

(4.15)

Fig. 4.10 – Cazuri frecvente de calcul ale diametrul hidraulic

În figura 4.10 sunt prezentate două situații de calcul ale diametrului

hidraulic, frecvent întâlnite în practică. Astfel, pentru cazul curgerii unui fluid printr-o

conductă circulară sub presiune (fluidul ocupă întreg spațiul interior al conductei),

112

figura 4.10(a), perimetrul udat este , iar diametrul hidraulic . Așadar,

în cazul conductelor circulare, diametrul hidraulic coincide cu diametrul geometric.

În cazul curgerii unui lichid printr-un canal dreptunghiular de lățime , figura

4.10(b), perimetrul udat și diametrul hidraulic sunt , respectiv

, unde reprezintă cota de adâncime a lichidului în canal. Volumul material al unui fluid reprezintă volumul ( ) mărginit de suprafața

( ), constituit mereu din aceleași particule de fluid. Suprafața exterioară se

deplasează și se poate deforma în raport cu sistemul de referință al mișcării, dar

rămâne impermeabilă (nu permite schimbul de masă cu mediul exterior). Așadar,

viteza v v a unei suprafețe elementare ( ) este și viteza fluidului în acel

punct, precum în figura 4.11.

Fig. 4.11 – Volum de fluid

Volumul de control reprezintă, prin definiție, un volum arbitrar de fluid, care

poate avea o mișcare independentă de cea a fluidului și a cărui suprafață se

consideră perfect permeabilă, astfel încât nu influențează curgerea. Debitul unui curent de fluid reprezintă cantitatea de fluid care trece printr-o secțiune

în unitatea de timp. În funcție de modul de exprimare al cantității de fluid, poate fi

debit volumic ( ), sau ( ), reprezintă volumul de fluid care trece printr-o

secțiune în unitatea de timp,

(4.16)

debit masic, ( ) sau ( ), reprezintă masa de fluid corespunzătoare

debitului volumic ( ); pentru un fluid omogen ( )

(4.17)

113

debitul gravific, sau de greutate, ( ), reprezintă greutatea de fluid

corespunzătoare debitului masic

(4.18)

În formă integrală, debitul unui curent de fluid printr-o suprafață ( )

reprezintă fluxul vectorului viteză prin respectiva suprafață

(4.19)

unde este versorul normalei la suprafața elementară . Fluxul de materie printr-o suprafață reprezintă, prin definiție, cantitatea de

materie (fluid) care trece în unitatea de timp prin respectiva suprafață. Vârtejul, sau turbionul unei particule de fluid este vectorul , definit de

relația (4.20) și reprezintă viteza unghiulară medie de rotație a particulei în jurul unei

axe ce trece prin centrul ei de greutate.

Fig. 4.12 – Vârtejul unei particule

(4.20)

unde este vectorul ce definește rotorul vitezei, relația (1.72),

v v v

Astfel, componentele scalare ale vârtejului sunt

114

v

v

v

v

v

v

(4.21)

Datorită modului asemănător de definire a vectorilor și și pentru se

mai utilizează, uneori, tot denumirea de vârtej (turbion). Linia de vârtej, suprafața de vârtej și tubul de vârtej sunt definite similar

precum linia de curent, suprafața de curent, respectiv tubul de curent. Astfel, linia de vârtej reprezintă curba tangentă la vectorii vârtej ai

particulelor care la un moment dat se găsesc în punctele de pe această curbă.

Ecuațiile diferențiale ale liniilor de vârtej se obțin ținând cont de faptul că, pentru

variații mici ale vectorului de poziție, vectorii și sunt coliniari, deci , sau

(4.22) în formă vectorială, sau în forma scalară

v

v

v

v

v

v

(4.23)

Suprafața de vârtej este suprafața formată de liniile de vârtej care la un

moment dat se sprijină pe o curbă oarecare. În cazul în care curba este una închisă

simplă, atunci suprafața de vârtej formează un tub de vârtej. Fluidul din interiorul

unui tub elementar de vârtej se numește fir de vârtej și reprezintă materializarea

liniei de vârtej ce trece printr-un punct, atunci când secțiunea transversală tinde spre

zero în jurul punctului. Intensitatea unui tub de vârtej reprezintă, prin definiție, fluxul de vârtejuri

care traversează secțiunea unui tub de vârtej

(4.24)

unde este versorul normalei la suprafața elementară a secțiunii tubului

de vârtej.

115

4.2 ECUAȚIILE MIȘCĂRII FLUIDELOR IDEALE

Forme integrale și forme diferențiale

Metodele teoretice utilizate în studiile de dinamica fluidelor sunt cele ale

analizei matematice, care implică analiză vectorială și tensorială, ecuații diferențiale

și cu derivate parțiale etc. Modelarea matematică a mișcării fluidelor se face cu

respectarea principiile conservative, respectiv principiile de conservare a masei,

energiei, impulsului (cantității de mișcare de translație) și momentului cinetic

(cantității de mișcare de rotație).

4.2.1 Teorema de transport a lui Reynolds Teorema de transfer a lui Reynolds exprimă variația în timp a unei proprietăți

caracteristice materiei conținută într-un volum. Astfel, pentru un parametru

(proprietate) oarecare , descris de o funcție continuă și derivabilă pe

domeniul care definește un volum de control mărginit de suprafața , cu

versorul pe direcție normală orientat către interior, precum în figura 4.11

(4.25)

unde reprezintă viteza de deplasare/deformare a suprafeței . Din punct de vedere matematic, teorema de transport a lui Reynolds

reprezintă derivata totală a unei integrale de volum.

Din punct de vedere fizic, teorema lui Reynolds exprimă faptul că variația

unei mărimi dintr-un volum de control se datorează atât variației acesteia (în timp) în

interiorul volumului, cât și fluxului mărimii prin suprafața volumul care delimitează.

4.2.2 Ecuația de continuitate Ecuația de continuitate exprimă principiul conservării masei unui fluid în

mișcare. Există mai multe relații care descriu acest principiu, mai simplă și în același

timp aplicabilă în practică fiind cea dedusă pentru un tub elementar de curent.

După cum am precizat anterior, din definiția liniilor de curent rezultă că

particulele de fluid nu pot traversa suprafețele de curent. Dacă densitatea este

invariantă în timp, atunci masa de fluid nu se concentrează în diferite puncte, deci: Variația masei în timp (debitul masic) este constantă în orice secțiune a unui

tub de curent.

116

Aceasta este formularea principiului continuității, sau de conservare a masei

aplicată unui fluid în mișcare permanentă printr-un tub de curent elementar, precum

în figura 4.13.

Fig. 4.13 – Tub elementar de curent

Astfel, volumul de fluid ce traversează secțiunea de arie , în timpul , se

poate exprima cu relația

, (4.26) unde este viteza fluidului, constantă la nivelul unei secțiuni normale a

tubului de curent. Masa elementară de fluid corespunzătoare volumului ( ) este

(4.27) iar variația acesteia în timp ( ), reprezentând debitul masic ,

(4.28)

Debitul masic instantaneu, în fiecare secțiune de curgere, se obține prin

integrare

(4.29)

unde este aria secțiunii de curgere pe direcția normală la curentul de fluid. Ținând cont de principiul conservării masei,

(4.30) Pentru fluide incompresibile ( ) se utilizează frecvent debitul volumic

( ), iar ecuația continuității devine

(4.31)

117

unde sunt vitezele medii ale fluidului în secțiunile . Astfel, viteza medie într-o secțiune de curgere, notată cu v , sau v în calculele

curente, este definită de ecuația

v

(4.32)

Relațiile (4.30) și (4.31) sunt forme particulare ale ecuației de continuitate.

Ele exprimă principiul conservării unei mase de fluid omogen în mișcare permanentă

prin tuburi de curent cu formă fixă (pereți rigizi), precum în multe dintre cazurile de

interes tehnic de curgere a fluidelor, care se realizează în tuburi de curent, simple sau

ramificate (conducte).

Pentru mișcări nepermanente, în care densitatea fluidului și forma

(secțiunile) tubului de curent variază în timp, ecuația continuității este exprimată de

relația (4.33). Pentru demonstrație, se consideră tubul elementar din figura 4.14,

delimitat de două secțiuni transversale ( ) și ( ) aflate la o distanță infinit mică .

Fig. 4.14 – Ecuația continuității pentru curgerea nepermanentă printr-un

tub elementar de curent

În intervalul de timp , prin secțiunea ( ) intră masa de fluid ( v ), iar

prin secțiunea ( ) iese masa v

v . Conform principiului

conservării masei de fluid, diferența dintre masa care intră și cea care iese în

intervalul (relația 4.33') este egală cu variația masei inițiale ( )

de fluid (4.33")

v v

v

v (4.33')

(4.33'')

Egalând relațiile anterioare, rezultă ecuația continuității în formă diferențială

pentru un fluid în mișcare nepermanentă prin tuburi de curent cu secțiune de

curgere variabilă în timp și spațiu

118

(4.33)

Forma integrală a ecuației de continuitate pentru un volum oarecare de fluid

(figura 4.11) se deduce pornind de la un volum de control ( ) fix în raport cu sistemul

de referință, delimitat de o suprafață ( ) perfect permeabilă. Astfel, variația în

unitatea de timp a masei de fluid conținută în volumul de control este egală cu masa

care traversează suprafața acestuia

(4.34)

sau, transformând integrala dublă (de suprafață) într-una triplă (de volum) cu

formula Gauss (1.94) (ținând cont și de orientarea versorului la suprafața ,

precum în figura 4.11)

(4.35)

Ecuația anterioară reprezintă o formă particulară a teoremei de transport

(sau de transfer) a lui Reynolds, exprimată de relația (4.25), aplicată densității unui

fluid dintr-un vomul de control, respectând principiul conservării masei acestuia

(4.36)

Pentru o aranjare mai bună a relațiilor în pagină, integralele duble și triple

vor fi scrise în continuare similar celor simple, diferențele dintre acestea făcându-se

prin domeniile de integrare, suprafețe , respectiv volume .

În cazul unui volum care tinde către zero, , relația (4.35) devine

(4.37)

sau

v

v

v

(4.38)

Pentru mișcări permanente, primul termen este nul, deci

(4.39) iar pentru fluide incompresibile ( )

119

v

v

v

(4.40)

Relația anterioară este utlilă în studiul mișcărilor potențiale, în care viteza v

derivă dintr-o funcție de potențial (al vitezelor) ( , , , ), astfel încât v .

4.2.3 Ecuația lui Euler de mișcare a fluidelor ideale Ecuația de mișcare a fluidelor ideale se determină din legea fundamentală a

mecanicii, aplicată unei mase de fluid ( ) și volum ( ), mărginit de suprafața ( ),

precum în figura 4.15

(4.41)

unde reprezintă suma forțelor exterioare ce acționează asupra

masei de fluid, respectiv forțele masice și de presiune (de

suprafață, pe direcție normală).

Fig. 4.15 – Ansamblul forțelor exterioare care acționează asupra unei fluid

Pentru o masă elementară de fluid ( )

(4.42)

(4.43)

(4.44)

unde este forță masică unitară.

120

Înlocuind (4.42), (4.41) și (4.42) în ecuația (4.41), aceasta devine

(4.45)

În cazul unui volum care tinde către zero ( ), relația (4.45) se poate scrie

sub forma:

(4.46)

Relația (4.46) reprezintă ecuația lui Euler de mișcare a fluidelor ideale, în

formă vectorială și exprimă faptul că un fluid în mișcare se află în echilibru sub

acțiunea forțelor unitare inerțiale ( ), masice ( ) și de presiune ( ).

Ținând cont de expresia (4.11) a accelerației unei mase de fluid, ecuația

anterioară devine (formulare Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz)

(4.47)

Similar deducerii ecuației fundamentale a staticii fluidelor (capitolul 3), în

cazul fluidelor pentru care

forțele masice derivă dintr-un potențial

(4.48)

unde este potențialul forțelor masice; într-un punct, reprezintă energia

potențială masică a fluidului,

(4.49)

densitatea este o funcție cunoscută de presiune

(4.50)

unde reprezintă potențialul forțelor de presiune,

(4.51)

ecuația (4.47) se rescrie în forma

121

(4.52)

Aceasta este ecuația de mișcare a fluidelor ideale, în formularea dată de

Stepan Gromeka și Horace Lamb.

4.2.4 Ecuația lui Bernoulli Rezolvarea ecuației de mișcare (4.52) depinde de condițiile concrete de

integrare. Astfel,

pentru curgeri permanente, termenul tranzitoriu este nul, v ,

dacă mișcarea este irotațională, sau pe o linie de curent , , atunci

(4.53)

Termenii din interiorul parantezelor au dimensiuni de energii specifice

unității de masă. Suma lor se notează cu și exprimă faptul că energia unității de

masă reprezintă suma dintre energia cinetică, energia potențială de presiune și

energia potențială de poziție. Expresia

(4.54)

se numește funcția lui Bernoulli. Prin înmulțirea ecuației (4.53) cu deplasarea elementară , se obține forma

generală a ecuației de mișcare a fluidelor ideale în regim permanent, corespunzător

unei curgeri irotaționale

(4.55)

Relația (4.55) este cunoscută ca teorema lui Bernoulli și exprimă legea de

conservare a energiei (mecanice) corespunzătoare unității de masă a unui fluid.

122

4.2.4.1 Ecuația lui Bernoulli pentru fluide incompresibile Câteva forme particulare ale relației (4.55), aplicabile în calculele curente, se

obțin pentru

fluide incompresibile ( ) lichide și gaze în domeniul subsonic

incompresibil (convențional, gaze a căror viteză medie nu depășește

), așadar

(4.56)

fluide în câmp gravitațional, raportate la un sistem de referință având axa

verticală ( ) orientată în sensul creșterii altitudinii:

,

, deci

ecuația (4.55) devine

(4.57)

Relația (4.57) este cunoscută și ca ecuația lui Bernoulli pentru fluide

incompresibile, în mișcare permanentă pe o linie de curent. În aceasta formă, toți

termenii reprezintă energii specifice unității de masă ( în SI de unități):

energie cinetică ( ),

energie potențială de presiune ( ),

energie potențială de poziție ( ). Pentru două puncte (1) și (2) de pe o linie de curent rezultă

(4.58)

Ecuația lui Bernoulli se poate exprima și sub alte două forme. Astfel, dacă

termenii din ecuația (4.58) se împart cu

(4.59)

unde reprezintă energia specifice unității de greutate (

în SI de unități),

123

reprezintă nivelul energetic al fluidului pe o linie de curent;

această mărime este cunoscută și ca sarcină energetică. Se observă că fiecare dintre termeni are dimensiunea unei energii specifice

unității de greutate, sau a unei lungimi. Acest fapt permite reprezentare grafică a

întregii expresii pe o linie de curent precum în figura 4.16, unde următoarele

reprezintă

( ) cotă (înălțime) de poziție,

( ) = ( ) cotă (înălțime) piezometrică,

( ) cotă (înălțime) cinetică.

Fig. 4.16 – Reprezentarea grafică a ecuației lui Bernoulli

Așadar, pe o linie de curent, parametrii unui fluid variază astfel încât nivelul

energetic ( ) rămâne constant.

A treia formă a ecuație lui Bernoulli se obține dacă înmulțim termenii

ecuației (4.58) cu

(4.60)

unde

reprezintă energia specifică unității de volum (

în SI de unități).

124

În această formă, termenii din ecuația lui Bernoulli au dimensiuni de energii

specifice unității de volum, sau de presiune

presiune dinamică ( ), notată uzual cu , relația (2.8),

presiune statică ( ), sau ( ),

presiune de poziție ( ). Suma dintre presiunea statică și cea dinamică reprezintă presiunea totală ( )

a unui fluid

(4.61)

4.2.4.2 Ecuația lui Bernoulli pentru fluide compresibile Pentru fluide compresibile ( ), în câmp gravitațional, rezolvarea

ecuației (4.55) depinde de caracterul transformării pe care o suferă fluidul: izotermă,

adiabată, sau politropă.

Astfel, pentru o transformare generală ( ), cu exponentul politropic

, potențialul forțelor de presiune pentru două stări succesive este

(4.62)

iar ecuația lui Bernoulli devine

(4.63)

În cazul unui proces izoterm , ecuația lui Bernoulli are forma

(4.64)

4.2.5 Teorema impulsului

În mecanica generală impulsul ( ) unui punct material de masă ( ) care se

deplasează cu viteza ( ) se definește ca fiind produsul . Pentru un element de

masă ( ) dintr-un volum ( ), impulsul are expresia

(4.65) iar impulsul total

125

(4.66)

Teorema impulsului

(4.67)

exprimă faptul că derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem este egală cu

rezultanta forțelor exterioare care acționează asupra respectivului sistem.

4.2.5.1 Teorema impulsului în forma integrală Pentru a transpune această teoremă în domeniul mecanicii fluidelor, se

consideră un volum material ( ) de fluid, precum în figura 4.15, delimitat de o

suprafață ( ), situație în care relația care reprezintă teorema impulsului aplicată unui

volum de fluid devine

(4.68)

Calculul integralei din primul membru se face conform teoremei de transport

a lui Reynolds. Astfel,

(4.69)

Așadar, relația (4.68) devine

(4.70)

iar în cazul mișcărilor permanente

(4.71)

Așadar, pentru a putea aplica teorema impulsului este suficientă cunoașterea

fenomenelor care au loc pe suprafața de control, nu și a celor care se petrec în

interiorul ei. Concret, este vorba de cunoașterea presiunilor și vitezelor pe această

suprafață.

126

În forma anterioară, teorema impulsului permite calculul direct al rezultantei

forțelor exterioare care acționează asupra unui corp plasat într-un curent de fluid,

precum în cazul unui profil aerodinamic (aripă de secțiune constantă pe anvergură),

figura 4.17. În această situație, datorită densității mici a aerului, forțele masice sunt

neglijabile în raport cu cele de presiune, astfel încât (rezultanta forțelor

de presiune pe suprafața exterioară a domeniului). Domeniul de integrare se poate

transforma într-unul simplu conex considerând o suprafață ( ), delimitată de

punctele ( ), care să unească suprafața exterioară ( ), delimitată de punctele

( ) cu suprafața ( ), care definește conturul profilului, punctele ( ).

Fig. 4.17 – Determinarea rezultantei forțelor de presiune pe

conturul unui profil aerodinamic

Astfel, ecuația (4.71) devine

(4.72)

A două integrală din membrul doi este nulă, fiind vorba de integrarea pe

fețele suprafaței , orientate diferit.

127

Notând cu rezultanta forțelor de presiune care acționează asupra

profilului, forța de presiune rezultantă pe suprafața va fi , care constituie și

rezultatul celei de a treia integrale. Așadar

(4.73)

4.2.5.2 Teorema impulsului la curgerea prin tuburi de curent Rezultate mai simple, aplicabile în practica curentă, se obțin pentru cazurile

în care domeniul ocupat de fluid poate fi asimilat cu un tub de curent. Astfel, fie un

fluid incompresibil de densitate ( ) în mișcare permanentă printr-un tub de curent,

care la un moment dat ocupă un volum mărginit de o suprafața ( ), precum în

figura 4.18. Secțiunile laterale ( ) și ( ) sunt considerate normale (perpendiculare

pe direcția de curgere). Masa de fluid conținută în această suprafață va ocupa la două

momente succesive ( ) și ( ) pozițiile ( ), respectiv ( ).

Fig. 4.18 – Teorema impulsului pentru un tub de curent

În această situație variația impulsului ( ) în intervalul de timp ( ) se poate

exprima ca diferența impulsului masei de fluid la cele două momente: .

Deoarece am considerat că mișcarea este permanentă, impulsul masei de

fluid conținută între secțiunile ( ) și ( ) rămâne constant în timp. Așadar,

variația impulsului în intervalul ( ) este dată de diferența dintre impulsul masei de

fluid conținută în suprafața ( ) și impulsul masei de fluid conținută în suprafața

( ). Așadar,

128

(4.74)

unde reprezintă debitul masic de fluid,

, sunt vitezele medii ale fluidului prin cele două secțiuni de calcul, ( ),

respevtiv ( ).

Pentru cazul considerat, forțele exterioare sunt forța de greutate ( ) a

fluidului din tubul de curent și forțele de presiune pe suprafețele de intrare ( ),

ieșire ( ) și forța de presiune exercitată de suprafața laterala a tubului de curent

( ) asupra fluidului

(4.75)

Observații

și

sunt forțele de presiune cu care fluidul rămas în tubul de curent,

în afara volumului de control, acționează asupra fluidului din interiorul

acestuia prin intermediul suprafeței de intrare ( ), respectiv al suprafeței de

ieșire ( ). Sunt normale pe aceste suprafețe și orientate înspre fluidul din

interiorul volumului de control. Astfel, este orientată în același sens cu

, iar și au sensuri contrare.

În multe din situațiile practice, prezintă interes forța , cu care

fluidul din interiorul volumului de control acționează asupra suprafeței

laterale, astfel încât relația (4.75) este echivalentă cu

(4.75')

iar (4.74) devine

(4.76)

Relația care exprimă teorema momentului cinetic este o ecuație vectorială,

pentru rezolvarea ei fiind necesară raportarea la un sistem de referință.

129

4.2.6 Teorema momentului cinetic

În mecanica clasică momentul cinetic ( ), sau momentul impulsului unui

punct material de masă ( ) care se deplasează cu viteza ( ) se definește ca fiind

produsul , unde este vectorul de poziție al punctului în raport cu sistemul

de referință în care este studiată mișcarea punctului. Pentru un element de masă

( ) dintr-un volum ( ), momentul cinetic are expresia

(4.77) iar momentul cinetic rezultant

(4.78)

Teorema momentului cinetic

(4.79)

exprimă faptul că derivata în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem

este egală cu momentul rezultant ( ) al sistemului forțelor exterioare care

acționează asupra respectivului sistem.

Pentru a transpune și această teoremă în domeniul mecanicii fluidelor se fac

raționamente analoage celor din paragraful anterior, înlocuind ( ) cu ( ).

Astfel, relațiile (4.68) , (4.69) și (4.76) devin:

(4.80)

(4.81)

(4.82)

Aplicând teorema momentului cinetic pentru profilul aerodinamic din figura

4.17, se poate calcula momentul aerodinamic ( ), figura 4.19, corespunzător

rezultantei forțelor de presiune pe conturul acestuia

(4.83)

130

Fig. 4.19 – Momentul aerodinamic

4.2.7 Puterea unui curent de fluid. Coeficienții lui Coriolis și Boussinesq Puterea elementară ( ) a unui curent de fluid într-o secțiune de arie ( )

este egală cu produsul dintre energia specifică unității de greutate ( ), relația (4.59)

și debitul de greutate elementar ( ) care traversează secțiunea, relația (4.18)

(4.84)

Astfel,

(4.85)

Dacă viteza este constantă în secțiunea de curgere (egală și cu viteza medie),

puterea totală a curentului este

(4.86)

Pentru situațiile în care există variații ale vitezei curente în secțiunea de

calcul, această se poate exprima în funcție de viteza medie conform relației

(4.87) unde reprezintă variația vitezei curente în raport cu vitaza medie.

131

Integrala din relația (4.85) devine astfel

(4.88)

Deoarece variațiile sunt mici, se poate considera că , deci rezultatul

ultimei integrale din relația (4.88) este zero. De asemenea, și a două integrală este

nulă

(4.89)

Așadar, relația (4.88) devine

(4.90)

sau după împărțirea cu (

)

(4.91)

unde reprezintă un coeficient ce caracterizează influența neoniformității

vitezei în secțiunea normală a unui curent asupra energiei cinetice în

respectiva secțiune, numit și coeficientul lui Coriolis; are valori

supraunitare, depinzând de regimul de curgere și de geometria

secțiunii; pentru cazurile de interes practic, . Așadar,

(4.92)

iar puterea totală a curentului, relația (4.85), devine

132

(4.93)

Relația lui Bernoulli (4.57) în funcție de viteza medie este

(4.94)

iar pentru două puncte

(4.95)

unde, de obicei, se admite . În afara de coeficientul lui Coriolis, se mai definește un alt coeficient ( )

(4.96)

denumit coeficintul lui Boussinesq, ce cuantifică influența neuniformității vitezei în

secțiunea normală a unui curent asupra impulsului masei de fluid în respectiva

secțiune; pentru cazurile practice, .

4.3 APLICAȚII ALE ECUAȚIEI LUI BERNOULLI

4.3.1 Parametrii frânați ai fluidelor Fie un corp solid (considerat fix) plasat într-un curent de fluid (figura 4.20),

mișcarea acestuia fiind una permanentă, irotațională.

Fig. 4.20 – Parametrii frânați

133

Parametrii fluidului la o distanță suficient de mare de solid, unde curgerea nu

este influențată (perturbată) de prezența acestuia (teoretic la infinit) se notează cu

indice " " și se numesc parametri neperturbați: v , , , . Cei care definesc

fluidul în punctele pentru care viteza particulelor este nulă, se numesc parametri

frânați: .

În procesul de curgere a fluidului peste solid, liniile de curent vor ocoli corpul

cu excepția uneia care se va opri într-un punct, denumit punct de impact, sau de

stagnare ( ). Este punctul pentru care valoarea vitezei este nulă (v ).

Ecuația conservării energiei (4.55), aplicată între punctele ( ) și ( ) pentru

situația din figura 4.20, este

(4.97)

iar dacă (pe linia de curent care trece prin punctul de stagnare)

(4.98)

Relația (4.98) se mai numește și ecuația de frânare a fluidului. Rezolvarea ei

depinde de caracterul procesului de frânare (izodens, izoterm, adiabatic etc.) adică

de dependența dintre presiunea și densitatea fluidului .

4.3.1.1 Frânare izodensă În acest caz densitatea fluidului este constantă, (lichide și gaze

a căror viteză, convențional, nu depășește valoarea v ). Relația (4.98)

devine

(4.99)

unde este presiunea statică a fluidului neperturbat ( ),

reprezintă presiunea dinamică a fluidului neperturbat ( ).

Așadar, presiunea este maximă în punctul de stagnare, , fiind

egală cu presiunea totală, relația (4.61)

(4.100)

134

4.3.1.2 Frânare izotermă În această situație, procesul de frânare este unul lent. Energia cinetică,

eliberată de particulele fluidului în urma ciocnirii cu suprafața solidului, modifică doar

presiunea și densitatea fluidului, iar temperatura rămâne constantă .

Dependența densității de presiune este exprimată de relația (2.41)

(4.101)

unde este constanta caracteristică a gazului studiat.

Astfel, ecuația (4.98) devine:

(4.102)

Exprimând

(4.103)

relația (4.102) poate fi scrisă și în forma

(4.104)

Așadar, în acest caz, presiunea frânată variază exponențial cu viteza

neperturbată.

4.3.1.2 Frânare adiabatică Este o frânare rapidă, în care particulele de fluid nu au timp să schimbe

energie (căldură) cu exteriorul, iar energia cinetică a acestora eliberată prin frânare

duce la modificarea adiabatică a presiunii, densității și temperaturii. Soluția ecuației

de frânare se obține procedând precum în cazul anterior, pentru o dependență a

densității de presiune exprimată de relația (2.42),

unde este exponentul transformării adiabatice (exponentul adiabatic).

135

4.3.2 Aparate de măsură a vitezelor și debitelor bazate pe ecuația lui Bernoulli 4.3.2.1 Tubul Pitôt (sonde de presiune totală) Este un instrument cu ajutorul căruia se pot determina (măsura) presiuni

totale ( ), deci presiuni la nivelul punctelor de stagnare. Poartă denumirea celui care

l-a inventat, inginerul francez Henri Pitôt (1695-1771). Este un tub de forma literei

" ", precum în figura 4.21, cu unul dintre capete plasat in lungul curentului de fluid,

celălalt fiind racordat la un piezometru. Presiunea (totală) se determină conform

relației fundamentale a hidrostaticii (3.31)

(4.105)

Fig. 4.21 – Tubul Pitôt

Dacă se cunoaște și presiunea statică ( ), se poate determina presiunea

dinamică, implicit și viteza fluidului.

4.3.2.2 Sonde de presiune dinamică. Tubul Pitôt – Prandtl Sunt dispozitive cu ajutorul cărora se pot determina (măsura) presiuni

dinamice ( ) obținute prin cuplarea unei sonde de presiune statică cu una de

presiune totală la același piezometru (diferențial).

(4.106) Având în vedere relația (2.8), se observă că sondele de presiune dinamică pot

fi utilizate la determinarea vitezei locale a unui fluid de densitate cunoscută.

Aparatele construite special pentru determinarea vitezelor în interiorul unui curent

de fluid sunt cunoscure ca tuburi Pitôt – Prandtl, după numele celor care au avut o

contribuție decisivă la realizarea lor. Schema constructivă a unui astfel de istrument

este prezentat în figura 4.23.

136

Este compus din două tuburi concentrice în formă de " ", având aceeași priză

de presiune totală. La nivelul tubului exterior se găsesc prizele de presiune statică.

Sunt poziționate la o distanță suficient de mare față de priza de presiune totală, astfel

încât curgerea în zona acestora să fie cât mai puțin perturbată de prezența tubului.

Capătul plasat în curentul de fluid este profilat în funcție de domeniul vitezelor

semisferic pentru viteze în domeniul subsonic incompresibil, precum în

figura 4.23,

semieliptic pentru viteze în domeniul subsonic compresibil,

conic pentru viteze în domeniul supersonic.

Fig. 4.22 – Tub Pitôt-Prandtl

Astfel, pentru configurația din figura 4.22, viteza curentului de fluid ( v) poate

fi calculată cu relația

v

v

(4.107)

unde este densitatea lichidului piezometric,

este densitatea fluidului a cărui viteză este măsurată,

reprezintă indicația piezometrului diferențial.

137

Tuburile Pitôt-Prandtl prezintă avantajul simplității din punct de vedere

costructiv, dar nu pot înregistra fluctuații rapide ale vitezei, datorită metodei de

determinare a presiunii dinamice.

4.3.2.3 Tubul Venturi Pentru determinarea vitezei medii a unui fluid incompresibil printr-o

conductă, implicit și a debitului acestuia, se pot utiliza tuburile Venturi

(venturimetre), figura 4.23.

Fig. 4.23 – Tub Venturi

Principiul de determinare a vitezei medii (debitului) cu acest aparat este cel

al restricționării controlate a secțiunii de curgere, datorită căreia apare o diferență de

presiune între secțiunea maximă (din amonte) și cea minimă (din aval), care depinde

de viteza medie a curentului, deci și de debit. Astfel, viteza medie și debitul pot fi

exprimate în funcție de această diferență de presiune.

Venturimetrele sunt alcătuite dintr-un ansamblu de tuburi conice, primul

convergent (confuzor) urmat de unul divergent (difuzor) racordate la conducta pe

care urmează să fie efectuate măsurători. Sunt prevăzute cu prize de presiune în

zona de secțiune maximă (secțiunea de intrare în confuzor, egală cu secțiunea

conductei) și zona de secțiune minimă .

Aplicând relația lui Bernoulli (4.58) între aceste secțiuni obținem

138

(4.108)

unde v și v sunt vitezele medii ale fluidului în secțiunile ( ) și ( ),

și sunt presiunile (staice) ale fluidului în cele două secțiuni,

este densitatea fluidului a cărui viteză medie se măsoară. Din ecuația continuității (4.31) se poate exprima viteza

(4.109)

unde și sunt diametrele în secțiunile ( ) și ( ). Înlocuind relația (4.109) în (4.108) se obține următoarea relație de calcul a

vitezei medii a fluidului în conducta de secțiune

(4.110)

Pentru configurația din figura 4.23, diferența de presiune este

Așadar, în funcție de indicația piezometrului diferențial, viteza v devine

(4.111)

Notând cu (constanta aparatului)

(4.112)

relația (4.111) se poate rescrie sub forma

(4.113)

Cunoscând viteza medie, debitul de fluid se calculează cu relația (4.31)

139

(4.114)

Pentru a asigura o precizie ridicată în măsurători, geometria acestui

instrument este astfel concepută încât să nu apară desprinderi ale curentului de fluid

de pe suprafața tubului. Necesită un spațiu adecvat pentru montare.

Dispozitive similare ca principiu de funcționare tubului Venturi sunt

diafragma și ajutajul. Pot fi utilizate pentru determinarea debitelor pe conducte a

căror diametru interior este . Sunt instrumente mai compacte decât

tubul Venturi, dar cu o precizie mai mică datorită vârtejurilor care apar în zona de

montare, după cum este ilustrat în figura 4.22, unde este prezentată și variația

presiunii curentului de fluid la trecerea prin orificiul diafragmei.

Fig. 4.24 – Principiul de funcționare al diafragmei

Relația de calcul a debitului măsurat cu ajutorul diafragmelor și ajutajelor

este

(4.115)

140

unde reprezintă diferența de presiune de pe fețele diafragmei; pentru

configurația din figura 4.24

este coeficientul de debit al diafragmei; se determină în urma

etalonării difragmei, fiind dependent de regimul de curgere,

; reprezintă numărul Reynolds (vezi capitolul referitor

la dinamica fluidelor reale),

este coeficientul de contracție și reprezintă raportul dintre aria

secțiunii minime a curentului și aria orificiului diafragmei,

(4.116)

În cazul utilizării unui ajutaj eliptic, precum în figura 4.25, secțiunea minimă a

curentului coincide cu secțiunea de ieșire din ajutaj, deci coeficientul de contracție în

acest caz este 1 .

Fig. 4.25 – Ajutajul profilat eliptic

4.3.3 Ejectoarele subsonice Ejectoarele sunt aparate hidraulice statice utilizate pentru antrenarea

fluidelor (fluide antrenate sau secundare) folosind energia unui curent de fluid (fluid

motor sau primar). Din acest punct de vedere ejectoarele pot fi considerate pompe

cu jet.

În tehnică ejectoarele se folosesc la evacuarea apelor aflate la cote joase, la

amorsarea pompelor, depresionarea conductelor de evacuare a turbinelor, la vopsire

etc. Schema de principiu a unui ejector este prezentat în figura 4.26. Din punct de

vedere funcțional se disting trei zone

141

Fig. 4.26 – Schemă de principiu a unui ejector

zona convergentă, între punctele 1 și 2; pe această porțiune, datorită

micșorării secțiunii de curgere, viteza fluidului motor v crește iar presiunea

scade, ceea ce determină o destindere a fluidului antrenat, deci o scădere

a presiunii până la o valoare egală cu cea a fluidului motor în punctul 2 și

implicit o creștere a vitezei v ;

zona de omogenizare a amestecului de fluide, între punctele 2 și 3; această

zonă este necesară pentru anularea diferențelor de viteze ce pot apărea pe

primă porțiune și realizarea unui amestec cu parametri omogeni în toată

masa;

zona divergentă, de conversie a energiei cinetice a amestecului în energie

potențială de presiune, între punctele 3 și 4; valoarea presiunii amestecului

de fluide este superioară fluidului antrenat, dar mai mică ca a fluidului

motor ( ).

Ecuațiile de calcul ale ejectoarelor sunt cele ale amestecului de fluide: ecuația

bilanțului masic, respectiv a bilanțului de putere. Astfel

bilanțul masic al amestecului este descris de ecuația

(4.117) unde este debitul masic, iar indicii " ", " " și " " se referă la fluidul

motor, fluidul antrenat, respectiv amestecul de fluide.

142

ecuația bilanțul de putere (relația 4.86) este

(4.118)

Prin raportare la debitul masic al fluidului motor, , ecuația anterioară

devine

(4.86)

(4.119)

unde reprezintă coeficientul de amestec al ejectorului, definit de raportul dintre

debitul fluidului antrenat și debitul fluidului motor

(4.120)

Randamentul ejectorului se definește ca raport între puterea curentului

antrenat și puterea curentului motor

(4.121)

4.3.4 Aplicații numerice 4.3.4.1 Pentru rezervorul din figura 4.27, să se stabilească viteza maximă pe care o

are apa la ieșirea prin secțiunea ( ) a conductei de golire și înălțimea maximă a

acesteia, astfel încât în secțiunea ( ) valoarea presiunii să nu scadă sub cea

corespunzătoare presiunii de vaporizare. Se cunosc înălțimea rezervorului ,

diametrele , , presiunea atmosferică apa și

presiunea de vaporizare a apei apa m (la ). Soluție

Pentru calculul vitezei maxime pe care o poate avea apa la ieșirea prin

secțiunea ( ) a tubului, se aplică relația lui Bernoulli între secțiunile ( ) și ( ), ținând

cont de faptul că v v , deoarece contucta de golire are diametrul constant

v

v

143

Fig. 4.27

Pentru acest caz

și la limită

considerând

De asemenea, din ecuația continuității (debitului)

v

v

v v

Așadar, pentru această situație, ecuația lui Bernoulli devine

v

v

v

v

Observație: deoarece raportul ( ) este mic, termenul care cuantifică

influență vitezei (v ) în secțiunea suprafeței libere, , poate fi

neglijat

v

144

Așadar, termenul cinetic (v ) poate fi neglijat la nivelul secțiunilor mari

de curgere, precum în cazul suprafețelor libere ale lichidelor în rezervoare.

Pentru calculul înălțimii maxime se poate aplica relația lui Bernoulli între

secțiunile ( ) și ( ), sau ( ) și ( )

v

v

În acest caz

și considerând

Ținând cont și de observația anterioară, v

, obținem

v

v

4.3.4.2 Printr-un ajutaj cu diametrul mediu se absoarbe aerul

atmosferic de către un ventilator, figura 4.28. Dacă presiunea atmosferică este

, iar temperatura , să se determine debitul (volumic și

masic) de aer aspirat, știind că indicația manometrului montat la aspirație (în

secțiunea medie) indică . Densitatea lichidului piezometric (alcool) este

.

Fig. 4.28

145

Soluție

Relațiile de calcul ale debitului volumic ( ) și debitului masic ( ) sunt

v v unde v este viteza (medie) prin secțiunea ajutajului, având aria

este densitatea fluidului ( ). Pentru calculul vitezei medii în secțiunea de diametru a ajutajului se aplică

ecuația lui Bernoulli între punctul ( ), situat în fața secțiunii de admisie a ajutajului, la

o distanță suficient de mare astfel încât să putem neglija viteza aerului (v ) și

punctul (2) din secțiunea medie a ajutajului

v

v

unde v , și . Așadar

v

v

Diferența de presiune ( ) se determină din relația fundamentală a

hidrostaticii aplicată lichidului (piezometric) din tubul piezometric

iar densitatea aerului ( ) pentru condițiile din problemă cu relația (2.12)

unde termenii cu indice sunt parametrii gazului în starea de referință:

, la presiunea atmosferică normală (

) și temperatura ( ). Așadar

146

v

v v

4.3.4.3 Să se calculeze debitul ( ) și presiunea ( ) în secțiunea (1) astfel încât apa

care iese din ajutajul din figura 4.29(a) să atingă înălțimea . Sunt cunoscute

lungimea ajutajului și diametrele , respectiv .

Fig. 4.29

4.3.4.3 Depresiunea realizată în camera de amestec a unui ejector apă-apă, figura

4.29(b) este măsurată cu ajutorul unui tub piezometric cu mercur ( ) cu densitatea

. Să se determine indicația piezometrului ( ) cunoscând

diametrele , și înălțimea .

4.4 APLICAȚII ALE TEOREMEI IMPULSULUI După cum am și exemplificat în cazul unui profil aerodinamic, una din

aplicațiile teoremei a impulsului se referă la calculul forțelor cu care curenții de fluid

acționează asupra suprafețelor solidelor cu care vin în contact, numite și forțe de

impact, sau simplu forțe aerodinamice (sau hidrodinamice). În paragrafele următoare

sunt prezentate alte exemple de calcul al unor astfel de forțe.

147

4.4.1 Forțe hidrodinamice pe suprafețe plane Se consideră un jet de fluid de secțiune circulară care acționează sub unghiul

asupra unei plăci plane având suprafața mult mai mare ca cel al secțiunii jetului.

După cum se poate observa și din figura 4.30, jetul este deflectat radial pe

suprafața plană, față de punctul de impact. Neglijând efectele gravitaționale se poate

considera că secțiunea de ieșire este una cilindrică.

Fig. 4.30 - Acțiunea unui jet asupra unei suprafețe plane de mari dimensiuni

Pentru a aplica prima teoremă a impulsului, se alege un volum de control

delimitat (cu linie întreruptă) de secțiunile (intrare) și (ieșire) astfel încât

în secțiunea de intrare curgerea jetului nu este perturbată de prezența plăcii (v

), iar în secțiunea de ieșire traiectoriile particulelor de fluid devin paralele cu

suprafața plăcii (v ). Pentru fluidul din volumul de control considerat, prima

teoremă a impulsului este (4.76)

(4.122) Deoarece acțiunea are loc într-un mediu având presiunea constantă în toate

punctele (în atmosferă), rezultanta forțelor de presiune ce acționează asupra fluidul

din volumul de control considerat este nulă,

. Neglijând greutatea

fluidului din volumul de control ( ), situație valabilă pentru jeturi de fluide

ușoare, de mici dimensiuni, rezultă

(4.123) unde este debitul masic al fluidului,

v și v sunt vitezele jetului în secțiunile de intrare, respectiv de ieșire,

reprezintă forța cu care jetul acționează asupra plăcii.

148

Raportând curgerea fluidului la un sistem de axe precum în figura 4.27, se

obține

v (4.124) Exprimând debitul de fluid în funcție de viteză inițială a jetului și aria secțiunii

jetului

v

forța de acțiune a jetului devine

v

(4.125)

Dacă aria secțiunii jetului este comparabilă cu cea a plăcii, situație prezentată

în figura 4.31, forța hidrodinamică se calculează cu relația (valabilă și pentru alte

tipuri de suprafețe, inclusiv curbe)

v

(4.126)

unde reprezintă unghiul sub care este deviat jetul.

Fig. 4.31 - Acțiunea unui jet asupra unei suprafețe plane mici

4.4.2 Forțe hidrodinamice în ajutaje Se consideră cazul unui fluid care curge print-un ajutaj convergent, precum în

figura 4.32.

Datorită contracției, fluidul va acționa asupra ajutajului cu o forță

hidrodinamică , pe direcție orizontală, deoarece pe direcție radială ( ) rezultanta

149

este nulă. Orice sistem sau persoană (de exemplu un pompier) care fixează ajutajul

trebuie să fie suficient de robust ca să echilibreze această forță.

Fig. 4.32 - Forța hidrodinamică în ajutaje Pentru aplicarea primei teoreme a impulsului, se alege un volum de control

raportat la un sistem de referință, precum în figura precedentă. Astfel, în secțiunea

de ieșire forța de presiune este nulă, deoarece suprapresiunea este zero. De

asemenea, heglijând greutatea fluidului din volumul de control, mică în raport cu

forța de presiune, prima teoremă a impulsului devine

v v (4.127)

unde este forța de presiune (manometrică) în secțiunea ( - ); Raportat la axa ( )

v v v v

(4.128)

Presiunea (relativă) se poate calcula din relația lui Bernoulli aplicată

între secțiunile - și -

v

v

(4.129)

În final

(4.128)

(4.130)

150

4.4.3 Forța axială care acționează asupra unui rotor. Teoria lui Betz Teoria lui Betz se referă la puterea maximă pe care un rotor o poate extrage

din cea a unui curent de aer, cunoscând forța axială ( ) pe care acesta o exercită

asupra rotorului.

Calculul forței se poate face aplicând teorema impusului unei mase de

aer cuprinsă într-un volum de control precum în figura 4.33, unde următoarele

reprezintă

și ariile secțiunilor transversale ale curentului în amonte,

respectiv în aval de rotor,

și vitezele curentului de fluid în secțiunile și ,

aria discului descris de palele rotorului (discul actuator),

viteza curentului de aer la traversarea discului actuator.

Fig. 4.33 - Forța axială cu care un curent de aer acționează asupra unui rotor

Deoarece presiunea este constantă în toate punctele domeniului (presiunea

atmosferică), rezultanta forțelor de presiune ce acționează asupra fluidul din volumul

de control considerat este nulă,

. De asemenea, greutatea aerului

poare fi niglijată ( ), fiind mică în raport cu celelalte forțe. Astfel, teorema

impulsului devine în acest caz

v v (4.131) care prin raportare la axa ( ) este

v v (4.132)

151

Diferența dintre puterea curentului, amonte și aval de rotor, reprezintă

puterea extrasă de rotor, egală și cu produsul dintre forță axială și viteza curentului la

trecerea prin discul actuator ( ), deci

v

v

v

v v v (4.133)

v v

(4.134)

Așadar, viteza curentului de aer prin secțiunea discul actuator este egală cu

media aritmetică a vitezlor din amonte și aval de rotor, iar puterea definită conform

relației (4.133) devine

v

v

v

v

v v v

v

v

v v v

v v

(4.135)

Pentru parametri ( , v ) cunoscuți ai curentului de aer, variabila din relația

anterioară este v . Astfel, valoarea puterii maxime se determină pentru o valoare

nulă a derivatetei

v

v v

v

v v

(4.136)

deoarece densitatea aerului ( ) și aria discului actuator nu pot fi nule. Soluțiile

ecuației pătratice (4.136) sunt

v v

v v

Doar a prima soluție are și sens fizic, ce de a doua conducând la situația în

care , conform relației (4.134).

Așadar, puterea extrasă de rotor este maximă atunci când

v v

(4.137)

iar relația (4.135) devine

v

(4.138)

152

În consecință, puterea maximă (teoretic) pe care un rotor o poate extrage din

cea a unui curent de aer este egală cu raportul , numit și

coeficientul lui Betz.

De asemenea, din relația (4.132) rezultă că forța axială maximă este

v

(4.139)

4.4.4 Aplicații numerice 4.4.4.1 Utilizând teorema impulsului să se calculeze forța ( ) cu care un jet de apă

acționează asupra paletelor unei turbine Pelton, figura 4.34. Sunt cunoscute debitul

( ), diametrul jetului ( ) și unghiul ( ) sub care jetul este deviat. Care este valoarea

unghiului pentru care forța este maximă?

Fig. 4.34 4.4.4.1 Un turboreactor, figura 4.35, care evoluează într-un curent de aer cu o viteză (v ) ce corespunde unui număr Mach , absoarbe aerul atmosferic cu debitul

.

Fig. 4.35

Raportul dintre combustibilul utilizat și aer este , iar viteza sunetului este . Dacă viteza gazelor de ardere în secțiunea de evacuare este v , să se calculeze forța de tracțiune dezvoltată datorită variației de

impuls.

153

4.5 NOȚIUNI DE TEORIA VÂRTEJURILOR

4.5.1 Vârtejul unei particule de fluid Vârtejul unei particule de fluid este vectorul definit

de relația (4.20)

(4.20)

unde este viteza de translație a centrului de greutate al particulei de fluid, având

componentele scalare v v v ,

unde este vectorul ce definește rotorul vitezei, relația (1.72). După cum am precizat și anterior, reprezintă viteza unghiulară medie de

rotație a particulei în jurul unei axe ce trece prin centrul ei de greutate. Pentru

demostrație, se consideră cazul, mai simplu, corespunzător mișcării bidimenionale în

planul ( ) al unei particule de fluid de dimensiuni infinitezimale ( ), precum în

figura 4.36.

Fig. 4.36 - Deformarea unei particule în mișcare

Dacă la momentul inițial ( ), punctul A are viteza v v v v , atunci

vitezele în punctele și (aflate la distanțele , respectiv față de ) au vitezele

154

v v v v

și v v v

v

(4.140)

În intervalul de timp , punctul parcurge, în raport cu poziția inițială,

distanța v în direcția axei ( ), respectiv v în direcția axei ( ).

În același interval de timp, distanța parcursă de puctul în direcția axei ( )

este v v iar deplasarea punctului , pe ( ), față de punctul

este

v v

v

v

(4.141)

De asemenea, ca urmare a vitezelor diferite între punctele particulei, laturile

AB și AD se vor roti față de direcțiile inițiale cu unghiurile , respectiv ,

considerând pozitive rotațiile în sens trigonometric. Pentru deplasări mici

v

v

(4.142)

Similar,

v

v

(4.143)

Vitezele unghiulare ale laturilor ( ) și ( ) se determină calculând limitele

v

v

(4.144)

Prin definiție, viteza unghiulară ( ) de rotație a elementului de fluid este

media aritmetică a vitezelor unghiulare de rotație ale laturilor elementului

v

v

(4.145)

care coincide cu componenta după direcția a vârtejului, relația (4.21).

Așadar, vârtejul unei particule rezultă ca efect al discontinuității vitezelor de

pe fețele opuse ale particulei.

155

În paragrafele următoare sunt prezentate teoremele fundamentale ale

teoriei vârtejurilor.

4.5.2 Teorema lui Helmholtz

Teorema lui Helmholtz se referă la intensitatea unui tub de vârtej, relația

(4.24) și se enunță astfel

Într-un curent de fluid ideal, incompresibil sau compresibil barotrop, supus

acțiunii unui câmp de forțe exterioare potențiale, intensitatea unui tub de vârtej este

constantă de-a lungul tubului și în timp (nu depinde de timp),

(4.146)

unde este versorul normalei la suprafața elementară a secțiunii tubului de

vârtej.

În cazul unui tub elementar de vârtej de secțiune , relația anterioară

devine

, (4.147) ceea ce conduce la concluzia că un tub de vârtej nu poate avea unul din capete în

interiorul fluidului, deoarece descreșterea secțiunii spre zero ( ) implică

creșterea spre infinit a vârtejului ( ), implicit și a vitezei ( ), caz ce nu are

sens din punct de vedere fizic. Astfel, teorema lui Helmholtz are o consecință foarte

importantă.

Un tub de vârtej nu se poate termina brusc, ci se întinde (teoretic) la infinit,

sau are capetele pe suprafețe oarecare, sau se închide în el însăși, caz în care

formează un inel de vârtej.

Ultimele două cazuri enunțate în corolarul anterior sunt confirmate și de

experiențele practice care au relevat faptul că tuburile de vârtej sunt ori toroidale, ori

au capetele pe pereți solizi, precum în cazul unei tornade care are unul din capete la

nivelul solului.

4.5.3 Circulația vitezei. Teorema lui Stokes Prin definiție, circulația vitezei ( ) pe un segment de curbă ( ), figura 4.37,

reprezintă lucrul mecanic al vectorului viteză pe segmentul respectiv

156

v v v

(4.148)

unde este versorul tangentei la curbă pe elementul de spațiu ,

reprezintă variația vectorului de poziție pe elementul de spațiu.

Fig. 4.37 - Circulația vitezei pe o curbă

Sensul pozitiv de integrare este cel trigonometric (invers rotației acelor de

ceasornic). În cazul în care curba ( ) este închisă, relația anterioară se rescrie în

forma

v v v

(4.149)

Circulația vitezei în lungul unei curbe închise face obiectul unei importante

teoreme dedusă de Stokes, teoremă care-i poartă numele și care este exprimată de

relația (4.150). Astfel, pentru o curbă simplă închisă, precum în figura 4.38, circulația

vitezei pe curba ( ) poate fi exprimată prin intermediul unei integrale de suprafață

( ) ce se sprijină pe curbă.

Fig. 4.38 - Circulația vitezei pe o curbă închisă

157

(4.150)

Așadar,

Circulația vitezei în lungul unei curbe închise ( ) este egală cu fluxul rotorului

vitezei (fluxul de vârtejuri) printr-o suprafață (S) ce se sprijină pe curba ( ), după cum se poate observa și comparând relațiile (4.146) și (4.150).

4.5.4 Teorema lui Thomson (lord Kelvin)

Este valabilă doar pentru fluidele perfecte (ideale), incompresibile sau

compresibile barotrope, asupra cărora acționează forțe exterioare potențiale (ce

derivă dintr-un potențial) și se enunță astfel

Într-un curent de fluid ideal, incompresibil sau compresibil barotrop, supus

acțiunii unui câmp de forțe exterioare potențiale, circulația vitezei în lungul unei curbe

fluide închise oarecare ( ) este constantă în timp.

Variația în timp a circulației pe o curbă închisă este reprezentată grafic în

figura 4.39. Astfel, se consideră la un moment dat o linie fluidă închisă oarecare ( ) și

circulația în jurul acesteia. În intervalul de timp , particulele de fluid care formau

la momentul inițial curba ( ) se deplasează și formează o nouă linie ( ), pe care

circulația vitezei este . Conform teoremei lui Thomson, variația circulației în

unitatea de timp este nulă, deci

(4.151)

Fig. 4.39 – Variația în timp a circulației vitezei pe o curbă închisă

158

Teorema lui Thomson are două consecnțe, valabile pentru curenții de fluid

definiți precum în enunțul teoremei. 4.5.4.1 Dacă fluidul execută la un moment dat o mișcare fără vârtejuri

(irotațională), atunci mișcarea continuă să fie fără vârtejuri. Așadar, o mișcare pornită

din repaus (pentru care circulația la momentul inițial este nulă) va fi irotațională în

orice moment. Mișcările irotaționale sunt și potențiale: mișcări pentru care vitezele

locale derivă dintr-o funcție ( ), numită funcția de potențial al vitezelor,

v

v

v

Așadar, orice mișcare pornită din repaus posedă un potențial de viteze. 4.5.4.2 Dacă fluidul execută la un moment dat o mișcare cu vârtejuri

(rotațională), atunci mișcarea continuă să fie cu vârtejuri, intensitatea acestora

menținându-se constantă (conform teoremei lui Helmholtz). Această consecință

exprimă și condițiile de valabilitate a teoremei lui Thomson. În cazul fluidelor reale,

eforturile tangențiale de frecare vâscoasă frânează vârtejurile, duc la descompunerea

acestora în altele mai mici și în final la dispariția turbioanelor, energia acestora

transformându-se în căldură și/sau energie acustică.

În mișcarea fluidelor reale, teorema lui Thomson poate fi aplicată pentru

intervale scurte de timp, în care influența eforturilor tangențiale de frecare vâscoasă

poate fi neglijată. Această teoremă stă la baza unui concept important în mecanica

fluidelor, respectiv cel al circulației care se formează în jurul unui corp plasat într-un

curent de fluid, precum în cazul unui profil aerodinamic, figura 4.40.

Fig. 4.40 – Circulația în jurul unui profil aerodinamic

Considerând la momentul inițial că viteza profilului este nulă, relativ la cea a

fluidului, atunci circulația în jurul unei curbe ( ) care coține profilul este nulă,

159

conform teoremei lui Thomson. Dacă profilul este pus în mișcare cu viteza ( ),

curgerea fluidului în jurul acestuia conduce la formarea unui vârtej în aval de profil,

evidențiat și experimental, din care ulterior se dezvoltă altele, formând trena de

vârtejuri. Rezultă că odată cu formarea vârtejului inițial de circulație , se mai

formează un vârtej de circulație , în jurul profilului, astfel încât suma suma lor să

fie nulă pe curba ( ), suficient de mare astfel încât să conțină profilul și vârtejul

inițial

(4.152)

4.5.5 Câmpul de viteze datorat unui sistem de vârtejuri pentru fluide

incompresibile. Formula lui Biot și Savart generalizată

Distribuția vârtejurilor în interiorul unui curent de fluid se poate determina

dacă se cunoaște câmpul de viteze al mișcării ( ), din relația de definiția a vârtejului,

.

Problema inversă (reverse engineering) constă în determinarea câmpului de

viteze al unui curent de fluid pornind de la o distribuție impusă de vârtejuri. Această

problemă a fost rezolvată de Henri Poincaré pentru cazul unui curent de fluid

nelimitat și apoi de Vladimir Steklov pentru un curent limitat [E. Carafoli – Dinamica

Fluidelor Incompresibile, Editura Academiei, România, 1981, pg. 157].

Astfel, fie un vector conservativ, deci care îndeplinește condiția

w

w

w

(4.153)

De asemenea,

w

w

w

w

w

(4.154)

Pentru un curent de fluid incompresibil ( ) a cărei mișcare este descrisă

de câmpul de viteze , ecuația de continuitate are forma

v

v

v

(4.40)

Așadar, din relațiile (4.154) și (4.40), câmpul de viteze al fluidului se poate

exprima ca fiind

160

(4.155)

iar vârtejul devine

1.86

(4.156)

unde este operatorul lui Laplace; în sistemul de referință cartezian xOyz este

definit de relația (1.68)

(1.68)

Din ecuația vectorială (4.156) se poate determina vectorul viteză. În

coordonate carteziene aceasta este echivalentă cu sistemul de ecuații scalare

w

w

w

w

w

w

w w

w

w

w

w

w w

w

w

w

(4.157)

unde w , w , w sunt componentele scalare ale vitezei ,

, , sunt componentele scalare ale vârtejului .

Pentru rezolvarea ecuației (4.156), se consideră că spațiul ocupat de fluid

poate fi împărțit în două domenii, dintre care

un domeniu în care mișcarea este irotațională ( ), sau având un

potențial de viteze,

un domeniu în care mișcarea este rotațională ( ), volumul ( ) acestui

spațiu fiind în întregime ocupat de vârtejuri: inele de secțiuni mici dacă

spațiul este limitat, sau tuburi subțiri de vârtej infinit lungi pentru un spațiu

infinit, situație în care tuburile subțiri de vârtej pot fi tratate ca inele care se

închid la infinit. Astfel, spațiul domeniului în care mișcarea este rotațională se poate

descompune în inele subțiri, figura 4.41, de secțiune și intensitate

161

, (4.158) constantă pe întreg circuitul (conturul) inelului, conform teoremei lui Helmholtz.

Fig. 4.41 – Inel de vârtej de secțiune și intensitate

Dacă înmulțim ambii membri ai ecuației anterioare cu deplasarea elementară

se obține

, (4.159) unde (spațiul infinitezimal) când . Soluția ecuației (4.156) se poate determina prin analogie cu cea a ecuației lui

Poisson (4.160) [Caius Iacob, Mecanică Teoretică, Editura Didactică și Pedagogică,

București 1980, pag. 380], referitoare la potențialul newtonian ( ) într-un punct

oarecare, al unei mase atractive de densitate conținută într-un volum

(4.160) având soluția

(4.161)

unde este distanța de la punctul considerat la elementul de masă ( ).

Astfel, pentru și , soluția ecuației (4.156) este

(4.162)

Înlocuind relația (4.159) în (4.162), pentru un inel de vârtej se obține soluția

162

(4.163)

iar pentru toate inelele de vârtej din spațiul de volum

(4.164)

Calculând rotorul vectorului exprimat cu relația anterioară se poate

determina vectorul definit cu relația (4.155)

vezi

(4.165)

Exprimând în funcție de , relația (4.159), se poate determina

expresia câmpul de viteze al fluidului indus de sistemul de vârtejuri din spațiul , care

se mai numește și formula lui Biot și Savart generalizată

(4.166)

4.5.6 Câmpul de viteze indus de tuburi subțiri de vârtej

Pentru un singur inel de vârtej subțire (sau fir de vârtej infinit subțire), de

intensitate , din relația (4.165) se obține formula Biot-Savart-Laplace

(4.167)

163

Partea contributivă a unui element de tub de lungime asupra vitezei într-

un punct ( ) aflat la o distanță de acest element are modulul vitezei dat de relația

(4.168), direcția perpendiculară pe planul format de vectorii și și sensul după

regula șurubului drept (figura 4.42)

(4.168)

Fig. 4.42 – Viteza indusă de un element de tub de vârtej subțire

Pentru un vârtej subțire rectiliniu ( ), precum în figura 4.43,

Fig. 4.43 – Viteza indusă de un tub de vârtej subțire rectiliniu

relația anterioară se rescrie sub forma

(4.169)

unde reprezintă distanța de la punctul la vârtejul rectiliniu

este lungimea elementului de tub de vârtej (definit de segmentul

în figura anterioară)

164

*

Prin integrare, din relația (4.169) se obține

v v

(4.170)

iar pentru un tub de vârtej subțire, care se întinde spre infinit la ambele capete

( , )

v

(4.171)

Acest rezultat este utilizat în studiul mișcării fluidelor în contact cu suprafețe

solide, precum în cazul curgerii aerului în jurul structurilor portante de aviație (profile

aerodinamice, aripi).

În coordonate polare ( ), figura 4.44, relația anterioară se scrie în forma

v

(4.172)

Fig. 4.44 – Viteza indusă de un tub de vârtej subțire rectiliniu,

în coordonate polare

165

4.5.7 Aplicații 4.5.7.1 Să se determine viteza indusă în punctul " " de un tub de vârtej de intensitate , având forma unei potcoave cu laturile egale, precum în figura 4.45(a).

Fig. 4.45

Soluție Aplicând relația (4.170), în acord cu notațiile din figura 4.45(b), pentru segmentul ( ) se obține

v

Pentru cele trei segmente ale vârtejului se obține

v

4.5.7.2 Să se determine viteza indusă în punctul " " aflat pe axa de simetrie a unui tub de vârtej de forma unei potcoave, precum în figura 4.46.

Fig. 4.46

166

4.6 MIȘCĂRI POTENȚIALE PLANE 4.6.1 Funcția de potențial. Funcția de curent

Se numesc potențiale, mișcările fluidelor ideale, incompresibile, în care viteza

derivă dintr-o funcție de potențial (al vitezelor)

v

v

v

(4.173)

Așadar, mișcrea unui fluid ideal incompresibil este potențială, dacă există o

funcție scalară ( ) ale cărei derivate parțiale în raport cu coordonatele spațiului,

calculate într-un punct, reprezintă componentele scalare ale vitezei în punctul

respectiv.

Din ecuația de continuitate rezultă că funcția de potențial a vitezelor este

armonică

( )

(4.174)

De asemenea, mișcările potențiale sunt irotaționale și reciproc, mișcările

irotaționale sunt potențiale

(4.175)

Tratarea unor mișcări ale fluidelor ca fiind potențiale prezintă avantaje din

punct de vedere al efortului de calcul. Astfel, numărul necunoscutelor scalare care

descriu mișcarea unui fluid se reduce de la patru (v , v , v și ) la două ( și ). De

asemenea, deducerea funcției de potențial se poate face direct din ecuația de

continuitate, iar odată cunoscută , se poate calcula presiunea din ecuația de

mișcare. Cele mai importante aplicații ale mișcărilor potențiale se referă la

la curgerea în jurul corpurilor aerodinamice de anvergură mare, teoretic

infinită, precum în cazul profilelor aerodinamice (mișcări potențiale plane)

curgerea în jurul corpurilor de revoluție (mișcări axial simetrice).

O mișcare potențială poate fi considerată plană dacă vitezele sunt paralele cu

cu plan fix, numit plan director și constante în orice punct al unei drepte normală pe

acest plan. Curgerea în jurul zonei mediane a unei aripi drepte, de alungire mare,

figura 4.47, reprezintă un astfel de exemplu.

167

Fig. 4.47 – Curgerea în jurul zonei mediane a unei aripi drepte de anvergură mare

În cazul mișcărilor plane viteza are doar două componente, corespunzătoare

variabilelor spațiale care definesc planul director. Astfel, pentru un plan director

paralel cu planul ( ), viteza va avea componentele v și v . Liniile de curent sunt

descrise de ecuația

v

v v v (4.176)

Deoarece, din ecuația de continuitare, este îndeplinită condiția

v

v

v

v

(4.177)

ultima expresie din ecuația (4.176) reprezintă diferențială totală exactă* a unei

funcții scalare , numită funcție de curent, constantă pe o linie de curent

v v d

(4.178)

* Ecuația de forma este o ecuație cu diferențială totală

exactă dacă există funcția astfel încât

și

Dacă funcțiile ( ) admit derivate parțiale parțiale de ordinul întâi,

168

atunci condiția ca expresia să fie o diferențială totală exactă este

iar soluția ecuației este

unde punctul este convenabil ales. Exemplu: este o ecuație cu derivată totală exactă, deoarece

și are soluția generală pentru

Din (4.178) rezultă relațiile de legătură dintre derivatele funcțiilor și

v

v

(4.179)

De asemenea, din condiția ca rotorul să fie nul ( v ) se obține că

funcția de curent este și armonică, verificând ecuația lui Laplace

(4.180)

Liniile de potențial ( ) și cele de curent ( ) formeaza o rețea de

curbe ortogonale, vezi figura 4.48, denumită și spectrul aerodinamic (sau

hidrodinamic) al mișcării. Astefel, în orice punct al rețelei

(4.181)

169

Fig. 4.48 – Element de rețea al spectrului hidrodinamic al unei mișcări

potențiale plane cu secțiune de curgere variabilă

Din (4.178) și (4.179) rezultă relația de calcul a funcției de curent ( ) când se

cunoaște funcția de potențial ( )

(4.182)

Similar, dacă se cunoște , se poate calcula

(4.183)

4.6.2 Potențialul complex al mișcării. Viteza complexă

Deaoarece relațiile (4.179) reprezintă condițiile de monogeneitate Cauchy-

Riemann* ale unei funcții de variabilă complexă , rezultă că funcțiile

și ( ) reprezintă partea reală, respectiv partea imaginară ale funcției

, care se mai numește și potențialul complex al mișcării

(4.184)

* O funcție de variabilă complexă, ( ) este

momogenă (derivabilă) în punctul , dacă funcțiile și v admit

derivate parțiale de ordinul întâi în punctul ( ) , care satisfac relațiile

v

și

v

numite condițiile de monogeneitate ale lui Cauchy-Riemann. Derivata funcției în punctul se calculează cu una din relațiile

170

v

v

Reciproc, unei funcții monogene de variabilă complexă i se poate asocia o

mișcare potențială plană, nu totdeauna cu semnificație fizică (care să corespundă

unei situații reale). Pentru mișcările potențiale plane neparmanente, potențialul

complez al mișcării se exprimă sub forma

( ) . (4.185)

Derivata potențialului complex

d

d

v v (4.186)

se numește viteză complexă. Conjugata acesteia, v v , se numește viteză

complexă conjugată. Produsul ( ) furnizează relația de calcul a modulului vitezei

totale ( )

v v

v (4.187) Exprimând variabila complexă în coodonate polare,

cos sin (4.188) potențialul complex și viteza complexă se scriu sub urmoarele forme

( ), (4.189)

d

d

v v (4.190)

Componentele vitezei (v și v ) se determină calculând derivatele (4.191) și

(4.192), sau geometric (vezi figura 4.49)

v

v v (4.191)

v

v v (4.192)

171

Fig. 4.49 – Componentele vitezei în coordonate carteziene și polare

Astfel, studiul mișcărilor potențiale (determinarea spectrului hidrodinamic și

calculul forțelor de presiune) se reduce la determinarea potențialului complex

Dacă acesta este cunoscut, pentru studiul mișcării se utilizează direct

formulele anterioare. În caz contrar, se poate determina dacă se cunoaște una

din funcțiile sau .

În general, studiul mișcării se face pornind de la un contur dat, în jurul căruia

are loc curgerea. În astfel de cazuri, pentru determinarea potențialului complex

există mai multe metode, care folosesc dezvoltările în serie, transformările conforme,

sau procedee indirecte (metoda surselor).

4.6.3 Mișcări potențiale plane definite de funcții date. Funcția Câteva mișcări care pot fi asociate unor situații concrete, practice, sunt

definite de forme particulare ale funcției

cos sin (4.193) unde reprezintă un coeficient real. Astfel, potențialul de viteze și funcția de curent au următoarele expresii

(4.194) Viteza complexă rezultă din relația (4.193)

v v

(4.195)

172

v v (4.196) Viteza rezultantă are valoarea

v v v

(4.197)

4.6.3.1 Pentru cazul particular în care și v se obține potențialul

complex corespunzător unei mișcări uniforme, cu viteza v paralelă cu axa ,

constantă în tot câmpul mișcării, a cărui spectru aerodinamic este prezentat în figura

4.50. Liniile de curent ( ) reprezintă drepte paralele cu axa ( )

v v v și v . (4.198)

Fig. 4.50 – Spectrul aerodinamic al mișcării pentru v

4.6.3.2 Pentru cazurile în care , liniile de curent sunt curbe hiperbolice

de ordinul , cuprinse între pereți plani cu unghi diedru , precum în figura

4.51(a). Astfel, pentru , în primul cadran al sistemullui de coordonate

carteziene ( ) potențialul complex corespunde unei mișcări între doi

pereți perpendiculari, figura 4.51(b) și are expresia

A A A( 2 A , (4.199) în coordonate carteziene, iar în coordonate polare

A A

A . (4.200)

Componentele vitezei sunt date de relația (4.201), respectiv (4.202)

v

v

(4.201)

173

vr

v

(4.202)

Fig. 4.51 – Spectrul aerodinamic al mișcării pentru A

Raportat la primele două cadrane ( ), pentru și ,

potențialul complex corespunde acțiunii unui jet asupra unei suprafețe plane, sub un

unghi , figura 4.52. Semnul componentelor vitezei determină sensul de

parcuregere al liniilor de curent. Asfel, din relația (4.201) rezultă că în primul cadran

v și v , iar în al doilea v și v .

Fig. 4.52 – Spectrul aerodinamic al mișcării pentru A

Originea reprezintă punctul de stagnare, în care viteza este nulă,

v v .

174

4.6.3.3 În cazurile în care se obține spectrul hidrodinamic al curgerii în

jurul unei muchii ascuțite, precum în figura 4.53(a) când . Pentru se

obține mișcarea în jurul unui semiplan infinit, figura 4.53(b), potențialul complex

având expresia în coordonate carteziene

(4.203)

iar în coordonate polare

A

A

(4.204)

Componentele vitezei se exprimă convenabil în coordonate polare

v

v

(4.205)

Fig. 4.53 – Spectrul aerodinamic al mișcării pentru A

Din relațiile (4.201), (4.202) și (4.205) rezultă că în originea axelor de

coordonate, , viteza este nulă pentru exponent supraunitar și

tinde spre infinit pentru exponent subunitar: v , respectiv

v . Din punct de vedere tehnic, ultimul caz nu corespunde unei

situații reale, originea reprezentând punctul singular al potențialului complex.

Mișcarea este definită în tot planul complex, cu excepția singularității.

175

Dacă , atunci și în consecință liniile de curent se

intersectează, deci potențialul complex nu mai corespunde unei situații cu sens fizic.

4.6.3.4 Dacă exponentul este negativ, număr întreg, se obțin multipoli plani de

ordinul , precum în figura 4.54(a) unde este reprezentat un dipol (sau dublet),

pentru , respectiv un cuadripol, figura 4.54(b), când .

În cazul unui dipol, potențialul complex are una din formele

și

(4.206)

și

(4.207)

Componentele vitezei sunt

v

v

(4.208)

respectiv,

vr

v

(4.209)

Fig. 4.54 – Spectrul aerodinamic al mișcării pentru

A (dipol), respectiv pentru A (cuadripol)

176

În cazul unui dipol plasat în originea axelor de coordonate, precum în figura

4.54(a), liniile de curent sunt cercuri cu centrele pe axa , tangente la axa în

origine, având ecuația

(4.210) unde este o constantă. De asemenea, liniile de potențial sunt tot cercuri,

ortogonale cu liniile de curent. Și în acest caz, originea reprezintă punctul singular al

potențialului complex definit de ralațiile (4.206) și (4.207). Dacă dipolul nu este plasat

în origine, ci într-un punct oarecare, , potențialul complex definit de

relația (4.206) se poate rescrie în forma (4.211), iar reprezintă punctul singular

al funcției

. (4.211)

Dacă , potențialul complex reprezintă mișcarea unipolară, a cărui

spectru aerodinamic este prezentat în figura 4.55

(4.212)

Fig. 4.55 – Spectrul aerodinamic al mișcării pentru

A (unipol)

177

Componentele vitezei sunt

vr

și v

(4.213)

Alte mișcări se pot obține prin combinarea (suprapunerea) unor curgeri

descrise de funcții cunoscute, precum cele prezentate în acest paragraf. Astfel,

curgerea în jurul unui cilindru înfinit de lung poate fi determinată prin compunerea

unei mișcări de translație și a unei mișcări produse de un dipol, mișcare detaliată

ulterior.

4.6.4 Mișcări potențiale plane produse de surse și vârtejuri 4.6.4.1 Sursa punctiformă. Sursa distribuită Sursa punctiformă (concentrată) este definită ca fiind un spațiu infinit mic de

unde izvorăște uniform în toate direcțiile o cantitate de fluid, care raportată la

unitatea de timp definește debitul sursei ( ). În cazul în care , ilustrat în figura

4.56(a), sursa se numește pozitivă, sau negativă pentru , figura 4.56(b).

Fig. 4.56 – Surse, (a) pozitivă, (b) negativă

Liniile de curent sunt drepte care trec prin centrul sursei, iar liniile de

potențial sunt cercuri concentrice cu sursa. Astfel, pentru o sursă punctiformă, viteza

pe direcția radială (v ) este normală pe suprafața unei sfere și are valoarea egală

debitul raportat la suprafața sferei. Viteza într-un punct aflat la o distanță de sursă

este

v

(4.214)

178

Dacă sursa este uniform distribuită în lungul unei drepte se obține cazul unei

mișcări plane, pentru care planul director este perpendicular pe sursă. Fie acesta

( ), ca și pentru mișcările anterioare. Astfel, liniile de curent sunt drepte care trec

prin sursă și sunt paralele cu planul director, iar liniile de potențial sunt cercuri

concentrice cu centrele pe dreapta pe care este distribuită sursa. Viteza pe direcția

radială (v ) este normală pe suprafața laterală a unui cilindru. Pentru o valoare a

debitului ( ) raportat la unitatea de lungime, valoarea vitezei într-un punct aflat la o

distanță de sursa distribuită, pozitivă, este

v

(4.215)

având componentele

v

v

(4.216)

Viteza complexă definită de relația (4.186) devine

v v

(4.217)

Prin integrarea relației (4.217) se obține potențialul complex pentru cazul

unei surse pozitive

(4.218)

funcțiile de potențial ( ) și de curent ( ) având expresiile

(4.219)

Dacă sursa este plasată într-un punct oarecare ( ) atunci

(4.220)

iar reprezintă punctul singular al funcției . Mișcarea este potențială în

planul ( ) cu excepția vecinătății sursei.

179

Pentru o sursă negativă, potențialul complex este

(4.221)

Potențialul complex al unei surse distribuită pe un segment ( ) de lungime

, precum în figura 4.57, având debitul ( ) corespunzător unui element

infinit mic ( ) se calculează integrând potențialul complex corespunzător unui

element într-un punct

(4.222)

Fig. 4.57 - Sursă distribuită pe un segment

Așadar potențialul total al sursei este

(4.223)

Dacă debitul total este repartizat uniform pe segmentul (OA), atunci

(4.224)

iar potențialul complex defint de relația (4.222) devine

(4.225)

Prin derivare, rezultă viteza complexă

(4.226)

180

Din punct de vedere fizic, curgerea prin orifici de mici, sau prin fante (vezi

figura 4.58) sunt exemple de mișcări ce pot fi studiate cu ajutorul surselor

concentrate, respectiv considerând surse distribuite. Pentru mișcările plane, debitul

real reprezintă din debitul sursei distriuite, definită anterior, unde este

unghiul diedru al sursei reale.

Fig. 4.58 – Curgerea printr-un orificiu mic, sau printr-o fantă

4.6.4.2 Mișcarea plană produsă de vârtejuri (turbioane) Mișcarea produsă de un vârtej este inversă celei produse de o sursă. În acest

caz, liniile de potențial sunt drepte care trec prin centrul turbionului, iar liniile curent

de sunt cercuri concentrice cu turbionul. În funcție de sensul de parcurgere al linilor

de curent, vârtejul este considerat pozitiv dacă sensul este cel trigonometric,

respectiv negativ dacă sensul este invers trigonometric.

Astfel, un vârtej rectiliniu infinit, de intensitate , relația (4.172), conduce la

o mișcare plană, a cărui spectru este prezentat în figura 4.59(a).

Fig. 4.59 (a) - Vârtej pozitiv, (b) –vârtej negativ,

plasate în originea sisitemului de coordonate

181

Viteza indusă de vârtej într-un punct aflat la distanța de origine,

v

(4.227)

este normală pe raza vectoare și constantă pe cercul de rază . Componentele

acesteia sunt

v v

și v v

(4.228)

iar viteza complexă

v v

(4.229)

Prin integrarea relației (4.229) se obține potențialul complex corespunzător

unui vârtej pozitiv

(4.230)

funcțiile de potențial ( ), respectiv de curent ( ) având expresiile

(4.231)

Dacă vârtejul este plasat într-un punct oarecare ( ) atunci

(4.232)

realizându-se astfel translația între sistemele având originile în punctele de

coodonate ( ) și ( ).

Pentru un vârtej negativ, plasat în originea sistemului de coordonate,

potențialul complex este

(4.233)

182

Relațiile anterioare au fost deduse pentru un firul de vârtej infinit subțire,

rectiliniu și infinit de lung, normal pe planul de vârtej și unde v pentru (pe

axa vârtejului). În realitate (pentru fluidele reale) distribuția de viteze definită de

relația (4.227) este valabilă pentru , figura 4.60, unde este raza nucleului de

vârtej.

Fig. 4.60 – Variația vitezei unui vârtej

Mișcarea este potențială în tot planul mișcării, cu excepția nucleului

vârtejului. În interiorul acestuia ( ) se admite că fluidul se mișcă în bloc (precum

un solid) cu viteza locală

v

(4.234)

astfel încât există o valoare constantă a vârtejului . Similar precum în cazul surselor, se pot considera și vârtejuri distribuite,

precum în figura 4.61(a), pe un spațiu ( ), sau pe un segment ( ) de lungime ,

figura 4.61(b), situație în care putem vorbi de o suprafață sau linie de vârtejuri,

concept cunoscut și sub denumirea de strat de vârtejuri.

Intensitatea vârtejului corespunzător unui element infinit mic ( ) este

(4.235)

Astfel, reprezintă intensitatea vârtejului corespunzătoare unității de

lungime , sau vârtejul elementar corespunzător punctului de abscisă ( ).

183

Fig. 4.61 - Vârtejuri distribuite

Pentru cazul din figura 4.62(b), potențialul total se obține prin integrarea

potențialului complex al vârtejului elementar

(4.236)

Semnul relației anterioare este dat de orientarea vârtejului, în acord cu

convenția stabilită la începutul acestui paragraf.

Viteza elementară ( v), orientată după direcția axei ( ), indusă în punctul

de abscisă de vârtejul va fi

v

(4.237)

iar viteza rezultantă

v

(4.238)

După cum a fost menționat în subcapitolul anterior, vârtejul unei particule

rezultă ca efect al discontinuității vitezelor de pe fețele opuse ale particulei. Astfel,

conceptul menționat anterior reprezintă un instrument în analiza curgerii fluidelor,

deoarece permite modelarea suprafețelor de discontinuitate ca straturi de vârtejuri,

precum în cazul suprafețelor solide supuse acțiunii unor fluide în mișcare.

Din punct de vedere fizic, înlocuiriea conturului care definește o suprafață cu

o linie de vârtejuri este dată de existența stratului limită la nivelul suprafeței (concept

detaliat în subcapitolul 5.5), unde efectele vâscozității conduc la o variație a vitezei

pe direcția normală curgerii, implicit și la o vorticitate (distribuită) pe respectiva

supafață.

Un exemplu relevant în acest sens îl reprezintă studiul curgerii în jurul

profilelor aerodinamice subțiri.

184

4.6.4.3 Mișcarea plană compusă dintre o sursă și un vârtej Un caz frecvent în practică îl constituie mișcarea potențială compusă dintre o

sursă și un vârtej. Potențialul complex al mișcării rezultante se obține prin însumarea

funcțiilor ce reprezintă potențialul complex ale sursei, respectiv al vârtejului,

(

(4.239)

Așadar, funcțiile de potențial ( ), respectiv de curent ( ) au expresiile

(4.240)

(4.241)

Astfel, liniile de potențial și liniile de curent sunt spirale logaritmice

conjugate, figura 4.62(a).

Fig. 4.62 – Mișcarea plană compusă dintre o sursă și un vârtej

În practică, acest tip de mișcare potențială corespunde curgerilor prin

mașinile hidropneumatice de tip radial, figura 4.62(b)

pompe, compresoare: sursă pozitivă suprapusă peste un vârtej,

turbine: sursă negativă suprapusă peste un vârtej.

185

4.6.4.4 Mișcarea plană compusă din două surse. Dubletul Fie două două surse de debite și , plasate în punctele , respectiv .

Potențialul complex al sistemului format din cele două surse este

(4.242)

Dacă sistemul este compus din două surse plane, de debite ( ) egale și de

sensuri opuse, precum în figura 4.63(a), iar distanța dintre surse este , figura

4.63(b), potențialul complex al mișcării devine

(4.243)

Fig. 4.63 – Dipolul: sistemul compus din două surse plane de debite și

Potențialul complex al dipolului (dubletului) se obține atunci când cele două

surse se apropie una de alta, , astfel încât produsul , deci

(4.244)

186

Aplicând regula lui l'Hospital pentru calculul limitei din relația anterioară, se

obține

Așadar, potențialul complex al dipolului devine

(4.245)

Mărimea se numește momentul dipolului.

4.6.5 Mișcarea în jurul unui contur circular După cum menționam anterior, curgerea în jurul unui cilindru înfinit de lung

(mișcarea plană în jurul unui contur circular) poate fi determinată prin compunerea

unei mișcări de translație și a unei mișcări produse de un dipol. Deoarece, din punct

de vedere geometric, cercul reprezintă cel mai simplu contur închis, iar orice contur

poate fi transformat într-un cerc cu ajutorul transformărilor conforme, mișcarea în

jurul unui contur circular reprezintă punctul de plecare în studiul mai multor mișcări

cu aplicație practică. Această mișcare poate fi cu, sau fără circulație (mișcare de

roatație în jurul centrului/axei).

4.6.5.1 Mișcarea în jurul unui contur circular fără circulație Dacă se plasează un dipol, relația (4.245), într-un curent paralel, relația

(4.198), potențialul complex al mișcării rezultante este

v

v

v

v

v

(4.246)

unde

v (4.247)

Astfel, funcțiile de potențial ( ) respectiv de curent ( ) au expresiile

187

v

v

(4.248)

iar penru rezultă că , deci relația (4.246) reprezintă potențialul

mișcării plane al unui curent de fluid de viteză v în jurul unui cerc, figura 4.64.

Fig. 4.64 – Mișcarea în jurul unui unui contur circular, fără circulație

Componentele vitezei în coordonate polare sunt

vr

v

v

v

(4.249)

Astfel, pe cerc ( ) viteza radială este nulă, v , întrucât conturul

cercului reprezintă linie de curent, iar componenta v este

v v (4.250)

Așadar, viteza rezultantă pe conturul cercului are valoarea

v v v

v . (4.251)

Viteza este nulă în punctele cercului de pe axa , punctele (de stagnare)

și în figura 4.64 și maximă în punctele cercului de pe axa , v v

Pentru a caracteriza acțiunea unui curent de fluid asupra unui corp se

construiesc diagrame ale variației coeficientului de presiune ( ) definit de relația

188

v

v (4.252)

Pentru acest caz

v

v (4.253)

Variația pe conturul cerului este prezentată în figura 4.65.

Fig. 4.65 – Variația pe conturul cercului, fără circulație

După cum se observă, presiunea este simetric distribuită față de axele

sistemului de referință, deci rezultanta forțelor aerodinamice care acționează asupra

unității de lungime a cilindrului este nulă. Acest rezultat se obține și analitic, prin

integrarea eforturilor de presiune pe suprafața cilindrului de rază și lungime egală

cu unitatea , figura 4.66

Fig. 4.66 – Calculul forțelor de presiune pe suprafața cilindrului

( )

(4.254)

189

Similar,

(4.255)

Presiunea se determină din relația lui Bernoulli aplicată între două puncte,

dintre care unul în curentul neperturbat (teoretic la infinit) iar celălalt pe conturul

circular

v

v

v

v

(4.256)

Așadar, relațiile (4.254) și (4.255) devin*

v

(4.257)

v

(4.258)

*

Rezultatul care conduce în ipoteza fluidului ideal, nevâscos la o rezultantă

nulă pe suprafrafața cilindrului este cunoscut ca paradoxul lui d'Alembert, deoarece,

la momentul respectiv (sec. XVIII) era contrar experimentelor, care indicau existența

unei forțe de rezistență pe direcția de curgere a curentului de fluid. Problema a fost

clarificată odată cu dezvoltarea teoriei fluidelor reale.

4.6.5.2 Mișcarea în jurul unui contur circular cu circulație Mișcarea în jurul unui contur circular cu circulație se obține prin compunerea

mișcării în jurul cercului, ecuația (4.246), cu mișcarea produsă de un vârtej de

intensitate plasat în originea sistemului de coordonate. Pentru cazul unui vârtej

negativ, ecuația (4.233), potențialul complex al mișcării devine

190

v

(4.259)

având viteza complexă

v

(4.260)

Funcțiile de potențial și de curent au expresiile

v

(4.261)

v

v

(4.262)

În expresia funcției de curent din relația anterioară a fost introdusă și

constanta pentru ca pe conturul cercului ( ) să fie îndeplinită

condiția (cercul să fie linie de curent). Componentele vitezei sunt

v v

v v

(4.263)

având pe conturul cercului valorile

v v 2 v

v v v

2 v

(4.264)

În acest caz, punctele de stagnare sunt plasate simetric față de axa verticală,

precum în figura 4.67, sub unghiurile și definite de relația

v v

v (4.265)

fiind este îndeplinită și condiția

v (4.266)

Dacă se cunosc coordonatele punctelor de stagnare, atunci

191

v (4.267)

Pentru se obține spectrul aerodinamic al mișcării fără ciculație, caz în

care și .

Fig. 4.67 – Mișcarea în jurul unui unui contur circular, cu circulație ( v )

Pentru cazurile în care v , punctele de stagnare

coincid, iar , după cum este prezentat în figura 4.68.

În cazul în care v punctele de stagnare nu se mai găsesc pe

conturul cercului, iar spectrul aerodinamic al curgerii arată precum în figura 4.69.

Astfel, se găsește în exteriorul cercului, iar în interiorul cercului, ambele puncte

situîndu-se pe axa ordonatelor.

Fig. 4.68 – Mișcarea în jurul unui unui contur circular, cu circulație ( v )

192

Fig. 4.69 – Mișcarea în jurul unui unui contur circular, cu circulație ( v )

Determinând presiunea din relația lui Bernoulli

v

v

(4.268)

se pot calcula componentele rezultantei forțelor de presiune ce acționează pe

suprafața circulară corespunzătoare unității de lungime. Astfel

v

(4.269)

și paradoxul lui d'Alembert este valabil și în acest caz, iar

v

v (4.270)

Relația (4.270) exprimă matematic una dintre teoremele fundamentale ale

aerodinamicii, respectiv teorema Kutta-Jukowski. Forța de sustentație care acționează asupra unui corp plasat într-un curent de

fluid este direct proporțională cu circulația care se dezvoltă în jurul acestuia.

193

A fost numită după matematicianul german Martin Wilhelm Kutta și fizicianul

rus Nikolai Jukowski, care au dedus-o, independent, la începutul secolului XX.

În formă vectorială relația (4.270) devine

v (4.271)

4.6.5.2 Mișcarea în jurul unui contur circular cu circulație într-un sistem oarecare Dacă sistemul de referință nu este plasat în centrul cercului ci într-un punct

oarecare ( ), precum în figura 4.70, atunci , iar potențialul complex al

mișcării în jurul cercului cu circulație (ecuația 4.259) devine

v

ln (4.272)

De asemenea, dacă direcția curentul de fluid neperturbat face cu orizontala

un unghi (de atac) , atunci

. (4.273)

Fig. 4.70 – Mișcarea raportată la un sistem de referință oarecare

Potențialul complex al mișcării în jurul cercului cu circulație, raportată la un

sistem de referință oarecare devine

v

(4.274)

194

4.6.6 Metoda transformărilor conforme Transformările conforme reprezintă o medodă de rezolvare a problemelor de

mecanica fluidelor modelate ca fiind mișcări potențiale plane. O curgere poate fi

studiată prin această metodă prin transformarea domeniului ( ) în care se produce,

într-unul ( ) căruia i se cunoaște potențialul complex, după cum este reprezentat în

figura 4.71.

Fig. 4.71 – Transformarea conformă

O transformare se numește conformă dacă funcția

este olomorfă (continuă, uniformă și derivabilă) în punctele domeniului și derivata

acesteia este nenulă.

Transformările conforme au proprietatea de a păstra unghiurile dintre două

linii care se intersectează, deci mișcarea potențială corespunzătoare domeniului ,

descrisă de potențialul complex , se va transforma în

domeniul tot într-o mișcare potențială, descrisă de potențialul complex

.

Între vitezele din cele două planuri, v v , respectiv

există relația

v v

(4.275)

De asemenea, circulația și fluxul nu se modifică prin transformarea conformă,

deci sunt egale în cele două planuri, , respectiv

(4.276)

unde ( ) și ( ) sunt curbele (linii de curent) care definesc domeniile , respectiv .

195

Un exemplu de transformare conformă este transformarea Jukowski, definită

de relația

(4.277)

care transformă cercul de rază " " cu centrul în originea sistemului ( ) într-un

segment de dreaptă în planul , de lungime " ", plasat pe axa , simetric

față de , după cum este prezentat în figura 4.72.

Fig. 4.72 – Transformarea conformă Jukowski

Într-adevăr, pentru punctele de pe conturul cercului din planul

( ) rezultă

(4.278)

care reprezintă ecuația unui segment pe axa în planul

(4.279)

partea imaginară a numărului complex fiind nulă ( ). Astfel, pentru punctul din planul devine în planul punctul din planul devine în planul punctul din planul devine în planul punctul din planul devine în planul

196

Așadar, când variază între și , rezultă că variază între " " și "- ",

deci semicercul superior este reprezentat de partea superioară a segmentului ( )

în planul transformat. Analog, semicercul inferior este reprezentat de partea

inferioară a segmentului ( ).

În funcție de poziția centrului cercului în planul ( ) (abateri mici față de

originea sistemului), transformarea Jukowski poate face conversia conturului circular

într-un

profil în arc de cerc, precum în situația din figura 4.73(a),

profil simetric, figura 4.73(b),

profil oarecare figura 4.73(c).

Fig. 4.73 – Transformarea conformă Jukowski

Pentru studiul unor curgeri complexe se pot utiliza serii de transformări

conforme cunoscute.

197

4.6.7 Relațiile Blasius-Ceaplîghin Cu ajutorul relațiile Blasius-Ceaplîghin se pot calcula forța și momentul

datorită eforturilor de presiune, cu care un curent de fluid acționează asupra unui

corp, când se cunoaște potențialul complex al mișcării.

Fig. 4.74 – Forța elementară rezultantă asupra unui corp de contur ( )

Fie mișcărea potențială în jurul unui corp definit de conturul ( ), precum în

figura 4.74. 4.6.7.1 Rezultanta forțelor de presiune care acționează asupra unui element de

contur ( ) este , având componentele

(4.280)

Asemănător vitezei complexe, corespunzătoare potențialului complex al

mișcării, se definește forța elementară complexă

(4.281)

unde este conjugatul lui . Rezultanta pe întreg conturul ( ) se determină prin integrare

(4.282)

198

Valoarea presiunii ( ) din punctul corespunzător elementului de contur se

determină din ecuația lui Bernoulli, precum în relația (4.256), deci

v

v

v

v v

(4.283)

iar relația (4.282) devine

v

v

v

v

(4.284)

Din relația (4.187) ce exprimă modulul vitezei complexe

v v

v v v v v rezultă că forța complexă ( ) poate fi exprimată și în forma

v

v

v v v v

(4.285)

Deoarece curba ( ) este și linie de curent, deci v v

v v , relația (4.176), rezultă că pe conturul solidului

v v v v

v v v v v v v v

v v v v

(4.286)

Așadar, relația (4.285) poate fi exprimată și în forma

v v v v

v v

(4.287)

echivalentă cu

(4.288)

relație cunoscută ca prima formulă Blasius-Ceaplîghin.

199

4.6.7.2 Momentul elementar față de originea sistemului de axe este definit de

expresia

(4.289)

unde reprezintă partea reală a numărului complex Ținând cont de (4.281), , relația anterioară este

echivalentă cu

(4.290) Prin integrare se obține momentul rezultant al forțelor de presiune

(4.291)

care reprezintă a doua formulă Blasius-Ceaplîghin.

În cazul mișcării potențiale cu circulație în jurul unui contur circular descrisă

de relația (4.259) se obține

v

v

v

v

v

(4.292)

Având în vedere că (Ion Crăciun, Capitole de matematici speciale, Editura

PIM, Iași 2007, pg. 182)

(4.293)

200

se obțin următoarele rezultate aplicând formulele Blasius-Ceaplîghin

v

v

v

v

(4.294)

care coincid cu rezultatele soluțiile calculate în paragraful 4.5.6.2, relațiile (4.269) și

(4.270).

Din a doua formulă Blasius-Ceaplîghin rezultă pentru mișcarea potențială

descrisă de (4.259) că momentul în raport cu originea este nul.

v

(4.295)

4.7 CURGEREA FLUIDELOR IDEALE COMPRESIBILE După cum am menționat și în paragraful referitor la comportamentul

mecanic al fluidelelor, acestea pot suferi deformații oricât de mari sub acțiunea unor

forțe relativ mici, datorită coeziunii reduse dintre molecule, care în cazul gazelor este

aproape nulă. Astfel, gazele ocupă întregul volum al recipientelor care le conțin, deci

nu au volum constant, în consecință densitatea lor este variabilă, putând fi

comprimate.

Curgerea gazelor este însoțită în general și de procese termodinamice, ca

urmare a faptului că parametrii fundamentali ce le definesc starea fizică (parametrii

de stare), presiunea ( ), densitatea ( ) și temperatura ( ) sunt interdependenți.

Matematic, această dependență se exprimă în forma unei funcții , sau

(4.296) explicitând unul dintre parametri în funcție de ceilalți doi, funcțiile (4.296) fiind

continue, deci și derivabile, în acord cu ipoteza în care un fluid este mediu continuu.

Astfel

(4.297)

deci funcțiile care descriu parametrii de stare sunt diferențiale totale.

201

Relația care definește dependența dintre parametrii de stare pentru gazele

perfecte este ecuația de stare Clapeyron-Mendeleev

(4.298)

unde constanta caracteristică a gazului studiat,

volumul specific (unității de masă),

constanta universală a gazelor,

[ ] masa gazului,

masa molară a gazului. Pe lângă ecuația de stare, în studiul mișcării gazelor se mai utlizează și

principiile termodinamicii.

4.7.1 Principiul I al termodinamicii Principiul I al termodinamicii reprezintă principiul conservării energiei pentru

sisteme termodinamice și într-o primă formă poate fi enunțat după cum urmează. Variația energiei unui sistem în timpul unei transformări este egală cu

energia pe care sistemul o primește din exterior. Acest principiu introduce conceptul de energie internă, notată cu " ", sau cu

" " pentru unitatea de masă, reprezentând suma dintre energia cinetică internă

datorată mișcării moleculelor și energia internă potențială datorată forțelor

intermoleculare. Pentru un gaz ideal, forțele de atracție intermoleculare sunt

neglijabile, astfel încât într-o transformare fără schimb de masă (sistem

termodinamic închis), energia internă este egală cu energia cinetică a moleculelor și

poate fi exprimată cu relația

(4.299) unde reprezintă variația (modificarea) energiei cinetice a moleculelor

gazului,

este căldura schimbată de sistem cu mediul exterior; se consideră

dacă sistemul primește căldură din exterior și în

cazul în care sistemul cedează căldură,

202

reprezintă lucrul efectuat de sistem (asupra mediul exterior), caz în

care asemeni căldurii cedate, sau lucrul mecanic efectuat

asupra sistemului și în acord cu convenția adoptată . Relația anterioară nu reprezintă o diferențială totală exactă, indicând doar

modificarea energiei interne datorită căldurii primite din exterior și a lucrului

mecanic schimbat cu exteriorul. În termodinamică, pentru a evidenția diferențele

dintre mărimile de stare (presiune, temperatură, densitate, energie) de mărimile de

proces (căldură și lucru mecanic), relația care exprimă primul principiu al

termodinamicii se scrie în forma

(4.300) Din punct de vedere al calcului integral, " " și " " operează similar, dar

rezultatele sunt diferite

ă (4.301)

ă (4.302)

Astfel, dacă pe parcursul unui proces (finit) sistemul revine într-o stare dată,

atunci și parametrii de stare revin la valorile corespunzătoare respectivei stări, deci

integrala pe un contur închis a diferențialei unui parametru de stare este nulă

(4.303)

în timp integrala pe un contur închis a unei mărimi de proces este o cantitate finită,

nenulă. Pentru situația în care un sistem care primește căldură din exterior ( )

și efectuază lucru mecanic ( ), ilustrat în figura 4.75 în cazul unui gaz în

interiorul unui cilindru cu piston, ecuația (4.299) care descrie primul principiu al

termodinamicii este

(4.304) formă în care primul principiu poate fi interpretat astfel: cantitatea de căldură

introdusă din exterior într-un gaz se regăsește în variația energiei cinetice a

moleculelor acestuia și în lucrul mecanic efectuat de gaz în exterior.

203

Pentru unitatea de masă, relația anterioră se rescrie în mărimi specifice

(4.305)

Fig. 4.75 – Lucrul mecanic efectuat de sistem Pentru situația ilustrată în figura 4.75, la o deplasare a pistonului pentru

care variația presiunii poate fi neglijată, lucrul mecanic efectuat este

(4.306)

sau

pentru unitatea de masă), (4.307) unde este forța cu care gazul acționază asupra pistonului,

reprezintă presiunea gazului,

este aria pistonului și

variația de volum a gazului. Așadar, lucrul mecanic este reprezentat de comprimarea sau destinderea

volumului inițial de gaz, iar relația (4.305) devine

(4.308) La nivel macroscopic, energia cinetică a moleculelor gazului se manifestă prin

temperatura acestuia, (energie mare temperatura ridicată), legătura dintre

acestea fiind exprimată de relația (teoria cinetico-moleculară a gazelor)

(4.309)

unde este numărul gradelor de libertate ale moleculelor gazelor pentru gazele monoatomice, precum He (heliu), Ar (argon),

Ne (neon) etc.

pentru gazele biatomice, precum (hidrogen), (oxigen),

(azot) etc.

pentru gazele poliatomice.

204

4.7.2 Călduri specifice 4.7.2.1 Căldura specifică la volum constant Dacă în relația (4.308) exprimăm variația energiei interne în funcție de temperatură, de care depinde exclusiv, rezultă

(4.310)

Pentru situațiile în care variația de volum este nulă, , relația anterioară devine

(4.311)

unde reprezintă căldura specifică la volum constant. Astfel

, pentru unitatea de masă, (4.312)

sau

, petru o masă de gaz, (4.313) deci poate fi interpretată ca reprezentând căldura necesară pentru a crește cu

temperatura unei mase de gaz, la volum constant.

4.7.2.2 Căldura specifică la presiune constantă Pentru definirea căldurii specifice la presiune constantă, se exprimă ( )

din relația

(4.314) De asemenea, din ecuația de stare

(4.315)

așadar,

(4.316) Înlocuind (4.316) în (4.310) rezultă

(4.317)

care pentru procese la presiune constantă ( ) devine

(4.318)

205

unde este căldura specifică la presiune constantă, reprezentând căldura necesară

pentru a crește cu temperatura unei mase de gaz, la presiune constantă.

Căldurile specifice se pot determina experimental, valorile obținute fiind în

acord cu cele deduse utilizând teoria cinetico-moleculară. Din relațiile (4.309), (4.312)

și (4.318) rezultă

(4.319)

Raportul dintre căldura specifică la presiune constantă și căldura specifică la

volum constant definește exponentul adiabatic ( )

(4.320)

Astfel,

pentru gazele monoatomice ( ),

00 pentru gazele biatomice ( ),

pentru gazele poliatomice ( ). Din relațiile (4.319) și (4.320) rezultă

(4.321)

4.7.3 Funcții de stare ale gazelor Pe lângă proprietățile fundamentale, presiune, densitate și temperatură, starea gazelor mai poate fi caracterizată și cu ajutorul unor mărimi care derivă din cele fundamentale, numite și funcții de stare. Acestea sunt energia internă, definită anterior, entalpia și entropia. 4.7.3.1 Entalpia Entalpia se notează uzual cu pentru un gaz de masă , sau cu pentru

, situație în care este o mărime specifică (unității de masă).

Reprezintă suma dintre energia internă și energia potențială de presiune

(4.322)

O altă interpretare a entalpiei este aceea că reprezintă conținutul total de

căldură dintr-un sistem pentru o presiune dată ( ).

206

Într-adevăr, calculând diferențiala se obține

(4.323)

În funcție de căldurile specifice, relația (4.322) devine

(4.324)

iar în funcție de exponentul adiabatic

(4.325)

4.7.3.2 Entropia Pentru definirea funcției care definește entropia se pornește de la relația

(4.317)

(4.326)

După cum am menționat și la începutul subcapitolului, nu este o

diferențială totală exactă. Într-adevăr,

(4.327)

deoarece (exprimată cu relația (4.319)) nu depinde de presiune, deci

, în timp ce volumul specific este o funcție de temperatură (din ecuația

de stare, ) și în consecință .

Relația (4.326) devine o diferențială totală exactă ( ) prin înmulțirea cu

factorul integrant ( )

(4.328)

Mărimea notată cu " " pentru unitatea de masă (sau " " pentru o masă de

gaz) se numește entropie. Prin integrare între valorile inițiale ( ) și ( ) rezultă

207

(4.329)

relație echivalentă și cu (E. Carafoli, V. N. Constatinescu, Dinamica Fluidelor

Compresibile, Editura Academiei, București 1984, pg. 32)

(4.330)

Așadar, tranformarea în care

conduce la o variație nulă a

entropiei, motiv pentru care se numește și tranformare izentropică. Pentru gazele

ideale, transformările izentropice sunt și adiabatice, fără schimb de căldură datorită

frecării cu mediul exterior .

Variația entropiei reprezintă un indicator al nivelului energetic corespunzător

cantității de căldură schimbată între două sisteme. Pentru un sistem izolat, entropia

acestuia crește în timpul unei transformări reale (ireversibilă)

(4.331)

Aceasta constituie expreia generală a celui de al doilea principiu al

termodinamicii conform căruia, în cazul a două corpuri, căldura nu poate trece în

mod natural de la corpul cu temperatură mai mică la cel cu temperatura mai mare.

4.7.4 Ecuația energiei totale a fluidelor în mișcare permanentă După cum a fost determinată, ecuația lui Bernoulli (4.57)

(4.332)

reprezintă o formă particulară a principiului conservii energiei aplicat unității de masă

a unui fluid în mișcare, când acesta nu schimbă energie (mecanică) cu mediul

înconjurător, . În situația în care există schimb de energie mecanică cu

exteriorul, , cu relația anterioară devine

(4.333)

De asemenea, dacă există și schimb de căldură, conform primului principiu al

termodinamicii

208

(4.334)

Prin însumarea relațiilor (4.333) și (4.334) rezultă ecuația energiei totale a

unității de masă a unui fluid în mișcare, care poate fi exprimată într-una din formele

(4.335)

Pentru gaze, variația energiei potențiale de poziție este neglijabilă în

raport cu celelalte variații, . De asemenea, în condițiile unei evoluții

adiabatice (fără disipație de căldură datorită frecării) variația căldurii și schimbul de

energie mecanică cu exteriorul sunt nule, . Astfel, ecuația energiei

totale ia forma (simplificată)

(4.336)

care prin integrare devine

(4.337)

sau exprimând entalpia cu relația (4.325)

(4.328)

4.7.5 Mișcarea fluidelor prin conducte cu secțiune variabilă. Viteza critică În ipoteza unei evoluții adiabatice (fără frecare), ecuațiile care descriu

curgerea unui fluid compresibil sunt

ecuația de stare, variație adiabatică (2.42)

(4.339)

209

ecuația continuității (4.30)

(4.340)

ecuația de mișcare (4.63), care pentru devine ecuația presiunii

totale, unde pentru variația adiabatică

(4.341)

În formă diferențială, ecuațiile anterioare se scriu

(4.342)

unde reprezintă viteza de propagare a sunetului într-un mediu fluid, relația (2.26),

(4.343)

(4.344)

Din ecuația (4.342) rezultă

(4.345)

iar din ecuația (4.344)

(4.346)

așadar

(4.347)

Înlocuind (4.347) în (4.343) se obține

(4.348)

unde reprezintă numărul Mach, relația (2.27).

210

Din ecuația (4.348), rezultă că pentru curgeri subsonice ( ),

unei creșteri de secțiune ( ) îi corespunde o scădere a vitezei ( ), sau o

descreștere a secțiunii de curegere conduce la o creștere a vitezei, după cum se

poate observa și din relația lui Bernoulli aplicată fluidelor incompresibile, care la

limită corespunde situațiilor .

Fig. 4.76 – Curgerea prin conducte de secțiune variabilă

În schimb, pentru curgerile supersonice ( ), o creștere de

viteză corespunde unei variații pozitive de secțiune, după cum este ilustrat

comparativ în figura 4.76.

Așadar, se pot obține curgeri cu viteze supersonice prin combinarea unui

difuzor cu un confuzor, aranjament cunoscut ca ajutajul Laval, figura 4.77, după

numele inginerului suedez Gustaf de Laval (1845 1913) care l-a inventat.

Fig. 4.77 – Ajutajul Laval

Valoarea maximă a vitezei în secțiunea de evacuare a ajutajului Laval se

determină aplicând ecuația energiei (4.337) între secțiunile acestuia,

(4.349)

Viteza este maximă în secțiunea (2) dacă , deci

211

(4.350)

Pentru un fluid a cărui curgere pornește din repaus (

rezultă

(4.351)

deci mișcarea unui fluid compresibil în condiții adiabatice are o viteză maximă, pe

care nu o poate depăși și care este mai mare decât cea a sunetului.

Ajutajele Laval sunt utilizate la construcția ajutajelor turbinelor cu gaze și la

construcția motoarelor cu reacție. Sunt astfel concepute încât în secțiuea minimă se

obține o valoare a vitezei corespunzătoare unui număr Mach egal cu unitatea, numită

și viteză critică, . Similar, parametrii pentru care se numesc critici.

Determinarea vitezei critice se face aplicând relația lui Bernoulli (4.349) între

secțiunea minimă și cea de evacuare, deci și .

Similar ecuației (4.350) se obține

(4.352)

Admițând că fluidul pornește din repaus, viteza maximă este dată de relatia

(4.351), așadar

(4.353)

În cazul aerului ( ) se obține

4.7.6 Transmiterea perturbațiilor în fluidele compresibile Pentru studiul modului în care sunt transmise pe o direcție perturbațiile în

interiorul fluidelor, se consideră mai întâi cazul unui fluid compresibil barotrop, în

repaus în interiorul unui cilindru (nedeformabil), figura 4.78, asupra căruia pistonul

212

exercită la un moment dat o variație de presiune , care provoacă la rândul ei

perturbații în densitatea fluidului ( ) și în viteza acestuia ( ).

Fig. 4.78 – Transmiterea perturbațiilor în interiorul fluidelor

Neglijând forțele masice (foarte mici în raport cu cele de presiune în cazul

gazelor) ecuația de mișcare (4.46) a fluidului pe direcția devine, notând ,

(4.354)

Pentru un fluid barotrop, a cărui densitate depinde exclusiv de presiune,

relația anterioară poate fi scrisă și în forma

(4.355)

unde reprezintă densitatea medie a volumului de fluid perturbat, pe distanța

(4.356)

De asemenea, reprezintă viteza de propagare a perturbațiilor.

Astfel, (4.355) poate fi scrisă în forma (N. Jukowski)

(4.357) care arată că într-un fluid, orice variație de viteză produce o variație de presiune

de sens opus, care care se transmite cu o viteză .

Determinarea vitezei ( ) de propagare a perturbațiilor se face din ecuația de

continuitate (4.33) pentru (aria pistonului)

213

(4.358)

Exprimând din ecuația (4.357) rezultă

(4.359)

Așadar, viteza de propagare a unei perturbații de presiune într-un fluid este

egală cu viteza de propagare a sunetului în respectivul fluid, iar relația lui Jukowski

devine

(4.360) Generalizând pentru transmiterea unidimensională a perturbațiile, rezultă că

o perturbație produsă într-un punct oarecare din interiorul unui fluid se propagă în

toate direcțiile cu viteza sunetului. Pentru o sursă (de perturbații) în repaus față de

fluid, undele de presiune generate de aceasta sunt cercuri concentrice în cazul

mișcărilor plane, figura 4.79, sau sfere pentru mișcările tridimensionale.

Fig. 4.79 – Propagarea undelor generate de o sursă staționară

Modul de propagare al undelor se modifică în cazul în care sursa are o viteză

( ) relativă la cea a fluidului, când se disting următoarele situații

, care corespunde curgerilor subsonice; viteza de transmitere

a perturbațiilor este mai mare decât cea a sursei, astfel încât apare un decalaj

între poziția sursei și cea a frontului de propagare a undelor, după cum este

ilustrat în figura 4.80.

214

Fig. 4.80 – Propagarea undelor în regim subsonic

, care corespunde curgerilor sonice; nu există decalaj între

poziția sursei și frontul de propagare a undelor figura, 4.81 (a), care

reprezintă și limita de formare a conului Mach, figura 4.81 (b),

, care corespunde curgerilor supersonice; viteza sursei fiind

mai mare decât cea de propagare a undelor, acestea se vor situa în urma

sursei, în interiorul unei suprafețe care formează conul Mach (sau unda

Mach) tangent la suprafețele undelor (sferice).

Fig. 4.81– Propagarea undelor în regim supersonic

Unghiul la vârf al acestui con se poate calcula din relația

(4.361)

215

Așadar, în cazul unei mișcări supersonice, spațiul mișcării poate fi împărțit în

două zone: cea neperturbată din exteriorul conului Mach și cea perturbată în

interiorul acestuia. Astfel, undele acustice pot fi sesizate de un observator doar dacă

acesta se află în interiorul conului Mach.

4.7.7 Unde de șoc În paragraful anterior a fost studiat modul de transmitere al perturbațiilor cu

variații mici ale parametrilor caracteristici, , , ..., discontinuitățile fiind

de mică întensitate, unda numindu-se simplă normală.

Dacă după traversarea zonei de discontinuitate parametrii caracteristici

gazului suferă modificări semnificative, după cum este ilustrat în figura 4.82, atunci

zona de discontinuitate reprezintă o undă de șoc. Conul Mach reprezentă o astfel de

zonă de discontinuitate, la traversarea căreia au loc variații mari ale parametrilor

fluidului.

Undele de șoc plane, analizate în continuare, pot fi clasificate în

normale, când planul undei este perpendicular pe direcția de mișcare

a unui fluid și unda șoc nu modifică direcția curentului de

fluid și

oblice, când planul undei nu este perpendicular pe direcția

curentului de fluid, care își schimbă direcția după traversarea

planului undei de șoc, figura 4.83. În multe dintre situațiile reale aspectul undelor de șoc este unul mixt.

4.7.7.1 Unda de șoc normală. Relațiile Hugoniot - Rankine Se consideră cazul unui curent de fluid care traversează o undă de șoc

normală, precum în figura 4.82, unde cu indice "1" sunt notați parametrii în amonte

de unda de șoc și cu indice "2" în aval.

Fig. 4.82– Variația parametrilor fluidului la traversarea undei de șoc normale

Considerând aria secțiunii curentului constantă ( ) și evoluția

ediabatică cu exponentul , mișcarea fluidului este descrisă de următoarele ecuații

216

ecuația continuității

(4.362)

presiunii totale

(4.363)

teorema impulsului

(4.364)

Acestea formează un sistem care permite determinarea parametrilor într-una

din secțiunile cuurgerii, amonte sau aval, dacă sunt cunoscuți ceilalți parametri.

Astfel, ținând cont de ecuația continuității, relația (4.364) poate fi scrisă și în forma

(4.365)

care prin înmulțire cu ( ) devine

(4.366)

Exprimând (

) din (4.363), relația anterioară devine

(4.367)

iar prin separarea presiunilor, aceasta poate fi scrisă și în forma

(4.368)

sau

(4.369)

217

Relațiile (4.368) și (4.369) sunt cunoscute ca ecuațiile Hugoniot - Rankine, sau

ecuațiile adiabatei de șoc, deoarece după cum se observă, dependența dintre

presiuni și densități în acest caz este diferită de cea care descrie evoluțiile adiabatice

fără unde de șoc, (2.42).

Dacă în relația (4.369) raportul presiunilor tinde către zero, ,

atunci raportul densităților are valoarea maximă

(4.370)

care în cazul aerului ( ) conduce la . Variația temperaturilor este dată de relația

(4.371)

4.7.7.2 Unda de șoc oblică După cum menționam anterior, în cazul undelor oblice direcția curentului nu

este perpendiculară pe planul undei, situație ilustrată în figura 4.83.

Fig. 4.83– Variația parametrilor fluidului la traversarea undei de șoc normale

Notând cu unghiul de deviație al peretelui care produce unda de șoc oblică

și cu " " unghiul pe care-l face direcția inițială a curentului cu planul undei, atunci

componentele vitezelor v și v (amonte, respectiv aval de undă) au următoarele

componente după normala și o paralelă la planul undei

v v , v v , (4.372)

v v v v ,

v v v v . (4.373)

218

Exprimând viteza v în funție de componentele în raport cu direcția

curentului inițial și normala la aceasta

v , v , (4.374) relațiile (4.373) devin

v v ,

v v . (4.375)

Ecuația de continuitate, ecuația presiunii și teorema impulsului formează un

sistem din care se pot determina necunoscutele v , și

ecuația continuității (pe direcție normală)

v v (4.376)

ecuația presiunii totale

(4.377)

teorema impulsului (pe direcție normală)

(4.378)

teorema impulsului (pe direcție tangențială)

v v v v (4.379)

Din ecuațiile (4.376) și (4.379) rezultă că vitezele tangențiale sunt egale

v v v (4.380) astefel încât relațiile (4.372) și (4.375) conduc la

v (4.381) deci

v

v v

v (4.382)

unghiul fiind o cunoscută constructivă. De asemenea, ținând cont de relația (4.380), ecuațiile anterioare devin

asemeni celor din cazul undei de șoc normale, deci relațiile Hugoniot-Rankine își

păstrează forma și în cazul undei de șoc oblice.

219

Relațiile determinate în ipoteza fluidului ideal în acest subcapitol își păstrează

forma și pentru fluidele reale. Diferențele dintre rezultatele teoretice și cele

corespunzătoare situațiilor reale se datorează modificării valorilor exponenților

evoluțiilor adiabatice sau politropice, aceștia având valori ușor diferite față de cele

determinate teoretic.

De exemplu, în cazul aerului, exponentul adiabatic are următoarele valori

pentru aer, considerat fluid ideal și

pentru fluidul real. Curgerea fluidelor compresibile este tratată pe larg în monografia autorilor

Carafoli E., Constantinescu V.N., "Dinamica Fluidelor Compresibile", Editura

Academiei Române, București, 1984.

220

5. DINAMICA FLUIDELOR REALE

5.1 GENERALITĂȚI

În dinamica fluidelor reale intervine proprietatea de vâscozitate, care se

manifestă prin apariția unor eforturi tangențiale de frecare între straturile alăturate

de fluid, precum și între fluid și suprafețele solide cu care acesta vine în contact.

Astfel, dacă în cazul fluidelor ideale viteza particulelor la nivelul unei

suprafațe solide se consideră tangentă la aceasta, precum în figura 5.1, în cazul

fluidelor reale, existența eforturilor tangențiale de frecare vâscoasă ( ) are ca efect

modificarea mobilității particulelor și implicit a profilului de viteze la nivelul

suprafețelor corpurilor aflate în mișcare relativă față de fluide, după cum este ilustrat

în figura 5.2.

Fig. 5.1 – Profilul de viteze într-un fluid ideal

Fig. 5.2 – Profilul de viteze într-un

fluid real

Zona în interiorul căreia viteza relativă a fluidului crește de la zero (pe

suprafața solidului, datorită proprietății de adeziune a fluidelor la suprafețele solide

cu care vin în contact) la valoarea corespunzătoare curentului de fluid neperturbat de

prezența corpului se numește strat limită.

5.1.1 Experimentele lui Reynolds. Curgeri laminare și curgeri turbulente Curgerea fluidelor reale se poate produce în două regimuri distincte de

mișcare din punctul de vedere al structurii fizice a acestora. Existența acestor două

regimuri a fost pusă în evidență de fizicianul Osborne Reynolds, cu ajutorul unei

instalații experimentale care în prezent îi poartă numele și a cărei schemă de

principiu este prezentată în figura 5.3.

Aparatul lui Reynolds constă dintr-un rezervor de nivel constant, alimentat cu

un apă, căruia i se atașează o conductă de golire, de diametru ( ), transparentă,

prevăzută cu un robinet pentru reglarea debitului, respectiv a vitezei apei (v) prin

221

conductă. Pentru a putea vizualiza traiectoriile particulelor de apă, în conducta de

golire este introdus un tub subțire prin care curge un lichid colorat, dintr-un recipient

aflat în partea superioară.

Fig. 5.3 – Schema de principiu a "aparatului Reynolds"

Experimentele au relevat faptul că - la viteze mici de golire, curgerea firului de lichid colorat nu este perturbată de

curgerea lichidului din rezervor (figura 5.4): curgere laminară;

- la viteze mari cele două lichide se amestecă turbulent (figura 5.5): curgere

turbulentă.

Fig. 5.4 – Curgere laminară

Fig. 5.5 – Curgere turbulentă

Trecerea de la un regim de curgere la altul se face pentru aceeași valoare a

raportului, denumit uzual număr Reynolds,

v

v

(5.1)

unde următoarele reprezintă densitatea lichidului,

vâscozitatea dinamică a lichidului,

222

vâscozitatea cinematică a lichidului,

v viteza de curgere,

diametrul conductei de golire; reprezintă dimensiunea caracteristică

curgerii; pentru conducte cu secțiune necirculară se utilizează

diametrul hidraulic, .

Numărul Reynolds este un parametru adimensional, cunoscut și ca

invariantul Reynolds sau criteriul Reynolds, fiind utilizat pentru caracterizarea mișcării

unui fluid vâscos.

În cazul apei, în practica curentă sunt acceptate următoarele valori pentru

stabilirea celor două regimuri distincte de curgere. Astfel, pentru regimul

este unul laminar, iar pentru regimul este turbulent complet dezvoltat.

Aceaste valori depind de o serie de factori precum gradul inițial de turbulență al

curentului de fluid, rugozitatea peretelui conductei, sau geometria instalației.

Pentru numere Reynolds în intervalul regimul de curgere

este unul de tranziție, denumit și (turbulent) de tranziție. Aspectul traiectoriilor

particulelor de fluid este unul oscilant, după cum este sugerat în figura 5.3. De

asemenea, acest regim este caracterizat și de o instabilitate ridicată, pe traseul

conductei putând fi vizualizate atât zone de curgere laminară cât și de curgere

turbulentă, care pot alterna.

Trecerea de la regimul laminar la cel turbulent are loc dacă perturbațiile din

curentul de fluid acumulează energie mai rapid decât cedează prin frecare vâscoasă,

deoarece, din punct de vedere fizic, acest parametru reprezintă tocmai raportul

dintre forțele masice inerțiale ( ) și forțele de frecare vâscasă ( ) care acționeză

asupra particulelor de fluid. Pe direcția de curgere

v

v

v v

v

v

v

v

(5.2)

Dacă mișcarea este lentă, forțele de inerție sunt neglijabile, iar numărul

Reynolds tinde căte zero, . Odată cu creșterea vitezei, forțele de frecare devin

neglijabile în raport cu cele de inerție, care devin dominante, caz în care numărul

Reynolds tinde (teoretic) căre infinit, . Așadar, influența acestui parametru

asupra mișcării unui fluid scade odată cu creștrea valorii , fapt relevat și de

experimente, precum în cazul curgerii bidimensionale în jurul unui cilindru, ale cărei

rezultate sunt prezentate schematic în figura 5.6. Astfel, la numere Reynolds foarte

mici fluidul parcurge întreg conturul cilindrului, după cum este figurat în cazul (a).

223

Fig. 5.6 – Curgerea în jurul unui cilindru în funcție de Re

Odată cu creșterea numărului Reynolds, în spatele cilindrului apar mai întâi

două vârtejuri simetrice fată de axa mișcării, cu sensuri de rotație opuse, care cresc

cu valoarea , după cum este ilustrat în figurile (b) și (c). Pentru valori apropiate de

, din vârtejurile inițiale se desprind altele, formarea acestora având un

caracter alternant, precum în figura (d), numită și alee de vârtejuri von Kármán,

denumită după Theodore von Kármán. Conform datelor obținute de acesta, curgerea

este stabilă pentru un raport ( ) = 0.281, unde reprezintă distanța dintre nucleele

vârtejurilor, măsurată de direcția normală curgerii, iar este distanța dintre două

vârtejuri succesive. Pentru valori ale de ordinul , vârtejurile se

micșorează și devin neregulate, formând în spatele cilindrului o zonă de recirculare,

cvasistabilă, precum în cazul cazul (e). Zona de recirculare se micșorează senificativ și

devine stabilă pentru valoarea critică (numită și de automodelare) ,

figura (f). Ansamblul vârtejurilor care se formează la curgerea unui fluid peste un

corp se mai numește și trenă de vârtejuri. Dimensiunea caracteristică curgerii,

utilizată în calculul pentru cazurile prezentate anterior, este diametrul cilindrului.

Relația (5.1) se poate scrie și sub forma (generală)

v

(5.3)

unde reprezintă o dimensiune caracteristică curgerii.

224

În general, pentru cazul curgerilor exterioare, dimensiunea caracteristică

curgerii este lungimea corpului. Pentru un profil aerodinamic, figura 5.7(a) se

utilizează coarda acestuia (distanță dintre punctele extreme, bordul de atac,

respectiv bordul de fugă), iar pentru o aripă portantă se utilizează coarda medie

aerodinamică. Pentru un automobil, figura 5.7(b) se consideră ca lungime

caracteristică distanța dintre puntea față și puntea spate (conform normelor SAE -

Society of Automotive Engineers), dar sunt situații în care se utilizează și lungimea

automobilului.

Fig. 5.7 – Lungimi caracteristice utilizate la calculul

5.1.2 Profilul vitezelor în mișcare laminară și în mișcare turbulentă După cum a fost menționat la începutul acestui capitol, existența eforturilor

tangențiale de frecare vâscoasă are ca efect modificarea mobilității particulelor și

implicit modificarea profilului de viteze (legea de repartiție a vitezelor) într-un un

curent de fluid.

Fig. 5.8 – Profilul de viteze în mișcare laminară

Pentru mișcările laminare, profilul vitezelor este unul parabolic, precum în

figura 5.8. Viteza într-un punct din interiorul unei conducte de rază , aflat la distanța

fața de axa conductei, este dată de relația

225

v v

(5.4)

unde v este viteza maximă (în axa conductei). Relația anterioară a fost dedusă analitic pentru mișcarea uniformă în regim

permanent a unui fluid cu vâscozitatea dinamică , într-o conductă circulară de rază

(diametru ). Pentru modelarea curgerii se consideră un volum cilindric

(caracteristic) de fluid, de rază și lungime , care alunecă în interiorul unui volum de

formă inelară, de rază exterioară , precum în figura 5.9.

Fig. 5.9 – Modelul de calcul al profilului de viteze în mișcare laminară

În cazul mișcărilor uniforme în regim permanent forțele inerțiale sunt nule

(accelerația particulelor de fluid fiind nulă). Așadar, pentru volumul de fluid

considerat, forțele exterioare de presiune ( ) de pe suprafețele și vor fi

echilibrate de forța de frecare ( ) care se exercită la nivelul suprafeței laterale .

Astfel

v

(5.5)

unde ( v ) reprezintă gradientul de viteză pe direcție radială, negativ după cum

se observă în figura anterioară: creștea razei corespunde unei scăderi

a vitezei, care devine nulă la nivelul peretelui interior al conductei. După separarea variabilelor, se obține următoarea ecuație diferențială

v

(5.6)

226

care după integrare are soluție generală

v

(5.7)

Valoarea constantei de integrare ( ) se calculează din condițiile la limită ale

domeniului de calcul: v , sau

(5.8)

Așadar, se obține următoarea relație de calcul a vitezei particulelor în

interiorul curentului de fluid

v

(5.9)

După cum am enunțat anterior, profilul de viteze calculat cu această relație

este unul parabolic, având valoarea maximă în axa conductei ( )

v

(5.10)

Astfel, exprimând viteza maximă în relația (5.9) se obține tocmai relația (5.4).

Variația vitezei într-o secțiune de calcul impune și determinarea vitezei medii,

v , a cărei valoare este utilizată în calculele curente. Debitul ( ) se

calculează prin integrarea vitezei pe aria ( ) secțiunii de curgere

v

(5.11)

Această relație, determinată de Hagen și Poiseuille, poate fi utilizată și la

măsurarea vâscozității dinamice

(5.12)

Din expresia debitului, rezultă că viteza medie în secțiunea de arie este

v

v

(5.13)

227

Astfel, rezultă că viteza medie pentru curgerile laminare reprezintă jumătate

din valoarea vitezei maxime.

În mișcarea turbulentă, profilul de viteze se aplatisează odată cu creșterea

numărului Reynolds, devenind aproximativ logaritmic, după cum este prezentat în

figura 5.10.

Fig. 5.10 - Profilul de viteze în mișcare turbulentă

Pe baza unor determinări experimentale, Ludwig Prandtl și Johann Nikuradze

au stabilit că profilul de viteze în mișcarea turbulentă poate fi aproximat cu relația

v v

(5.14)

unde este distanța pe direcție radială, măsurată de la perete. Pentru exponentul au fost determinate diferite valori, care depind de

numărul Reynolds. Pentru domeniul Nikuradze a indicat , motiv

pentru care relația (5.14) mai este cunoscută și ca legea unu pe șapte. Pentru

a fost determinată valoarea iar pentru

are valoarea .

Raportul dintre viteza medie și viteza maximă depinde și el de valoarea

numărului Reynolds. Astfel

(v v pentru ,

(v v pentru și

(v v când , precum în cazul mișcării unui fluid ideal.

228

5.2 ECUAȚIILE MIȘCĂRII FLUIDELOR REALE 5.2.1 Ecuațiile mișcării fluidelor reale în componente de eforturi. Ecuațiile Cauchy Teoria generală referitoare la frecarea dintre straturile de fluid arată că

schimbarea formei elementelor fluide conduce la apariția unor tensiuni de natura

celor care se întâlnesc și în corpurile elastice, cu specificația că aceste tensiuni nu

sunt proporționale cu deformația, ci cu viteza de deformare.

Pentru stabilirea ecuațiilor de mișcare ale fluidelor reale se consideră o

particulă elementară de fluid, în mișcare, de formă paralelipipedică, cu muchiile

aliniate după axele sistemului de referință, precum în figura 5.11.

Asupra acesteia acționează rezultanta forțelor masice exterioare ( ) și

rezultanta forțelor exterioare de suprafață ( ), ecuația de mișcare obținându-se

prin aplicarea legii fundamentale a mecanicii (a II-a lege a lui Newton)

v

v

(5.15)

Fig. 5.11 – Eforturile care acționează pe fețele unei particule elementare de fluid

Similar ca și în cazul fluidelor ideale

(5.16)

229

unde

reprezintă forța masică unitară, iar componentele

rezultantei forțelor masice exterioare sunt

(5.17) Pentru calculul rezultantei forțelor exterioare de suprafață se consideră

forțele care acționează asupra fețelor particulei. Astfel, pe fiecare dintre acestea vor

acționa câte trei eforturi (unitare), dintre care unul normal (perpendicular) pe față,

, respectiv

( ), celelalte două fiind tangente la suprafață (în planul

suprafeței), și

, unde primul indice indică axa pe care fața considerată este

perpendiculară, iar cel de al doilea indică direcția efortului.

Expresiile eforturilor pe fețele particulei de fluid sunt prezentate în tabelele

următoare.

Tabelul 5.1.1 Eforturile pe fețele normale axei

Suprafața

Aria

Efo

rtu

rile

în

dir

ecți

a a

xei

Tabelul 5.1.2 Eforturile pe fețele normale axei

Suprafața

Aria

Efo

rtu

rile

în

dir

ecți

a a

xei

230

Tabelul 5.1.3 Eforturile pe fețele normale axei

Suprafața

Aria

Efo

rtu

rile

în

dir

ecți

a a

xei

Astfel, forța de suprafață rezultantă are umătoarele componente după

direcțiile sistemului de referință:

(5.18)

Dezvoltând relația (5.15) și proiectând-o pe axele sistemului de referință, se

obține următorul sistem de ecuații:

v

v

v

(5.19)

Împărțind termenii cu ( ) și exprimând derivatele ( v

) sub

forma (4.7)

231

v

v

v

v

v

v

v

v

v

ș

v

se obțin ecuațiile de mișcare ale fluidelor reale în componente de eforturi unitare,

sub forma dată de Cauchy

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(5.20)

bsevații După cum am menționat și în paragraful 1.2, starea de tensiune a

unui fluid real în mișcare este dată de tensorul de ordinul doi al

eforturilor unitare, definit de matricea

(5.21)

Tensorul eforturilor unitare este unul simetric, deoarece

și Pentru demostrație se calculează momentele față de una dintre muchiile

paralelipipedului care definește particula, neglijând infiniții de ordin superior. Astfel,

pentru momentele față de muchia (CG) ale și rezultă În cazul fluidelor ideale (nevâscoase), tensiunile tangențiale sunt nule, iar

cele normale definesc efortul de presiune statică ( ), ca medie aritmetică a acestora

(5.22)

Semnul minus din relația anterioară se datorează faptului că efortul de

presiune este orientat (natural) în sensul compresiunii (înspre fluid), deoarece în

condiții obișnuite fluidele nu pot prelua forțe de întindere.

232

5.2.2 Ecuațiile Navier-Stokes Ecuațiile de mișcare ale fluidelor reale în componente de eforturi pot fi

exprimate și în funcție de componentele vitezei v v v v . Tratând fluidele

newtoniene ca medii elastice (V. N. Constantinescu, St. Găletușe, Mecanica Fluidelor

și Elemente de Aerodinamică, Editura Didactică și Pedagogică, 1983, pg. 406) se

demonstrează că eforturile care acționează asupra unei particule în mișcare au

următoarele expresii

v

v

x

v

v

z

v

v

x

v

v

z

v

v

x

v

v

z

v

v

x

v

z

v

v

x

v

z

(5.23)

Prin exprimarea eforturilor din ecuațiile (5.20) conform relațiilor (5.23) și

efectuarea calculelor, se obține următorul sistem de ecuații, cunoscute ca ecuațiile

Navier-Stokes, după numele celor doi oameni de știință care au contribuit la

formularea lor

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(5.24)

v

v

v

(4.38)

Împreună cu ecuația continuității (4.38), ele formează un sistem neliniar de

patru ecuații cu derivate partiale de ordinul doi, care descriu mișcarea fluidelor reale

(vâscoase), compresibile. Variabilele independente sunt și , iar variabilele

233

dependente sunt componentele vitezei v v v și presiunea . Componentele forței

masice unitare sunt cunoscute, iar densitatea și vâscozitatea sunt determinate din

ecuația de stare , respectiv din funcția de vâscozitate , care

exprimă dependența vâscozității cinematice ( ) de temperatura ( ).

În formă vectorială, sistemul (5.24) este descris de ecuația (5.25), care

exprimă echilibrul dintre forțele (unitare) care acționează asupra unei mase

fluid în mișcare

v

v

v (5.25)

unde v

reprezintă forța unitară de inerție,

reprezintă forță unitară masică,

reprezintă forță unitară de presiune,

v reprezintă forță unitară de vâscozitate ,

v reprezintă forță unitară de compresibilitate.

Dacă , se obține ecuația (4.46) de mișcare a fluidelor ideale. Pentru

fluidele incompresibile, și v din ecuația continuității, în regim

permanent, v , sistemul de ecuații (5.24) se poate scrie în forma

simplificată

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(5.26)

Integrarea ecuațiilor Navier-Stokes este dificilă și posibilă doar în unele cazuri

particulare, în care comportamentul fluidului din punct de vedere vâscoelastic este

unul de tip newtonian, precum în cazul mișcărilor laminare.

Ecuațiile de mișcare ale fluidelor reale se rezolvă cel mai adesea numeric, cu

ajutorul tehnicilor CFD (Computational Fluid Dynamics). În figura 5.12 sunt

prezentate rezultatele unei astfel de analize, referitoare la curgerea aerului în jurul

unei caroserii de automobil: trena de vârtejuri în spatele acesteia și variația presiunii

pe caroserie (afișaj muticontur). Suprafețele de impact corespund zonelor de

presiune ridicată.

234

Fig. 5.12 – Trena de vârtejuri și variația presiunii pe

caroseria unui automobil

5.2.3 Ecuațiile Navier-Stokes în coordonate cilindrice Există situații când e mai practică raportarea la un sistem de coordonate

cilindrice (figura 5.13), precum în cazul mișcărilor axial simetrice, în care ecuațiile

mișcării fluidelor incompresibile pot fi scrise sub forma

Fig. 5.13 – Sistemul de coordonate cilindrice

- ecuația continuității

v

v

v

(5.27)

- ecuațiile Navier-Stokes

235

v

v

v v

v

v

v

v

v

v

(5.28)

unde

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v v v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(5.29)

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(5.30)

5.3 SOLUȚII EXACTE ALE ECUAȚIILOR NAVIER-STOKES După cum am menționat anterior, ecuațiile Navier-Stokes exprimă

echilibrul dintre forțele care acționează asupra unuei mase în mișcare de fluid

vâscos. Datorită complexității acestora, se rezolvă cel mai adesea numeric, dar în

cazurile în care o parte din forțe sunt nule, sau sunt mult mai mici comparativ

cu altele (deci influența acestora poate fi neglijată), ecuațiile Navier-Stokes

capătă forme mai simple, cu soluții exacte. Astfel de mișcări sunt cele pentru

care forțele inerțiale sunt nule,

v

condiție îndeplinită de mișcările permanente, cu linii de curent paralele, pe care

vitezele particulelor de fluid sunt constante, precum în situațiile prezentate în

următoarele paragrafe.

236

5.3.1 Mișcarea permanentă a unui fluid între două plăci plane, paralele În acest paragraf este studiată curgerea în regim permanent, ( v ) =

0, a unui fluid incompresibil, ct, cu vâscozitatea dinamică , între două plăci

plane, paralele, aflate la distanța una față de cealaltă. Pentru cazul general,

plăcile sunt considerate mobile, deplasându-se după direcția axei cu vitezele

constante v , respectiv v , după cum este ilustrat în figura 5.14.

Fig. 5.14 – Mișcrarea permanentă a unui fluid între

două plăci plane, paralele

Pentru sistemul de axe adoptat, viteza are o singură componentă, după

axa , aceasta fiind o funcție de distanța pe verticală dintre cele două plăci,

deci v v . Componentele după axele și sunt nule, v v .

Astfel, ecuația de continuitate este automat satisfăcută

v

v

v

v

v

v

v (5.31)

De asemenea, forța masică unitară ( ) acționează după direcția ,

având componentele

. (5.32)

Așadar, în cazul curgerii în regim permanent a unui fluid incompresibil

între două plăci plane, paralele, ecuațiile Navier-Stokes se scriu în forma

v

g.

(5.331)

(5.332)

(5.333)

237

Soluția ecuației (5.333) din sistemul anterior reprezintă legea de variație

a presiunii în interiorul fluidului, după direcția : ct (ecuația

fundamentală a hidrostaticii). Ecuația (5.332) exprimă variația presiunii după

direcția : ct.

Pentru determinarea legii generale de mișcare a fluidului, v v , se

integrează succesiv ecuația (5.331)

v

(5.34)

Constantele de integrare și se determină din condițiile la limită

(cunoscute)

v v

v v

v

v v

(5.35)

Astfel, soluția generală a ecuației (5.34) este

v

v v

v (5.36)

profilul de viteze corespunzător fiind prezentat în figura 5.15 cu linie continuă

pentru un gradient de presiune negativ după direcția , , natural

pentru un curent în sensul axei , respectiv cu linie întreruptă pentru

.

Fig. 5.15 – Profilul de viteze pentru mișcarea permanentă a unui fluid

între două plăci plane, paralele, pentru cazul

Din relația (5.36) se poate determina ulterior debitul de fluid și viteza

medie pe unitatea de lungime după direcția , , respectiv

v v , de asemenea și efortul tangențial ( ) cu relațiile

238

v

(5.37)

v

(5.38)

v

(5.39)

În figura 5.16 este prezentat profilul de viteze corespunzător soluției

particulare pentru cazul unui gradient de presiune nul ,

v v v

v (5.40)

Fig. 5.16 – Profilul de viteze pentru mișcarea permanentă a unui fluid

între două plăci plane, paralele, pentru cazul ,

ipoteză valabilă pentru distanțe mici, după direcția ( )

5.3.2 Mișcarea plană Couette Dacă pentru cazul anterior v v, v și , se obține

curgerea cunoscută sub denumirea de mișcarea plană Couette, figura 5.17, care

reprezintă tocmai modelul lui Newton utilizat pentru definirea expresiei

efortului tangențial unitar de vâscozitate, v .

În această situație, ecuațiile Navier-stokes au forma

v

g.

(5.411)

(5.412)

(5.413)

239

Fig. 5.17 – Profilul de viteze pentru mișcarea Couette

Soluția generală a ecuației (5.411) este:

v v

(5.42)

din care rezultă

v

v

v h

(5.43)

v

v

(5.44)

v

v

(5.45)

5.3.3 Mișcarea plană Poiseuille Reprezintă cazul mișcării datorită unui gradient de presiune negativ,

, când ambele suprafețe sunt fixe, v v . În această situație,

din relația (5.36) rezultă

v

(5.46)

profilul de viteze corespunzător fiind prezentat în figura 5.18. De asemenea,

v

(5.47)

v

(5.48)

240

v

(5.49)

Fig. 5.18 – Profilul de viteze pentru mișcarea Poiseuille

Observație Mișcarea Hagen-Poiseuille într-un tub cilindric, prezentată în

paragraful 5.1.2, reprezintă un exemplu de curgere rezolvată în

coordonate cilindrice.

5.4 MIȘCAREA TURBULENTĂ A FLUIDELOR 5.4.1 Structura mișcărilor turbulente. Gradul de turbulență al unui curent de fluid După cum a fost menționat și la momentul definirii mișcărilor nepermanente

(Dinamica Fluidelor Ideale), pentru cazurile în care ( v ) , viteza instantanee

(v) în același punct variază în timp în jurul unei valori medii (v ), figura 5.19.

Fig. 5.19 – Profilul vitezelor instantanee (a) și aspectul variației vitezei în timp (b)

Această situație este specifică tocmai mișcărilor turbulente, care se

deosebesc de cele laminare prin faptul că parametrii caracteristici (viteză, presiune,

densitate, temperatură) au valori fluctuante, aleatorii. Din acest punct de vedere,

241

mișcările laminare corespund situațiilor în care v (curgeri în regim

permanent), deci viteza într-un punt este constantă în timp și egală cu viteza medie

temporală. Asfel, în curgeri laminare traiectoriile particulelor corespund cu liniile de

curent și ținând cont de proprietățile acestora, rezultă că mișcarile laminare sunt și

reversibile: la schimbarea sensului de curgere, o particulă parcurge același

traseu/traiectorie (linie de curent), în sens opus mișcării inițiale.

Așadar, viteza instantenee (v) într-o curgere turbulentă poate fi exprimată

sub forma

v v v', (5.50) unde v este vitaza medie temporală într-un interval de timp ,

relația (5.51);

v

(5.51)

v reprezintă valoarea fluctuației în raport cu vitaza medie temporală. În raport cu viteza medie, fluctuațiile pot fi pozitive, dacă v v , sau negative

în cazul în care v v . Conform proprietăților referitoare la calculul acestora, valoarea

medie a fluctuațiilor este nulă prin definiție, v' , nu și media pătratică a

acestora, v , definită similar vitezei medii

(5.52)

(5.53)

Astfel, v poate reprezenta o măsură orientativă a intensității fluctuațiilor

vitezei. În practică se utilizează în mod curent gradul de turbulență ( ), exprimat în

procente și definit de relația

v

(5.54)

unde reprezintă o viteză de referință; uzual pentru un curent de

fluid de viteză , dar sunt situații în care .

242

Astfel, gradul de turbulență depinde de v (Root Mean Square),

dar și de modul în care se definește viteza de referință.

Relația anterioară corespunde situațiilor de turbulență izotropă, când mediile

pătratice ale fluctuațiilor pe direcțiile sistemului de referință sunt egale, v

v

v

și se consideră gradul de turbulență după o singură direcție (cea de curgere).

Dacă se exprimă v în funcție de componentele (v ) corespunzătoare

sistemului de referință ales, relația anterioară se rescrie sub forma:

v i

(5.55)

unde reprezintă numărul componentelor vitezei, sau .

Cazul v în diferite puncte ale domeniului (media pătratică este

independentă de poziție) corespunde unui turbulențe omogene.

Gradul de turbulență reprezintă un parametru important în mecanica

fluidelor și în aplicațiile acesteia. În cazul aerodinamicii, este utilizat pentru evaluarea

calitativă a rezultatelor testelor utilizând tunele aerodinamice, determinând gradul în

care măsurătorilor efectuate în diverse astfel de instalații pot fi comparate între ele.

În tunelele aerodinamice obișnuite gradul de turbulență poate avea valori destul de

mari, . Pentru cele speciale, de mică turbulență, utilizate cu precădere în

aviație, valoarea acestuia coboară cu un ordin de mărime, . Normele SAE

(Society of Automotive Engineers) impun pentru omologarea testelor de

aerodinamică.

Alt parametru utilizat pentru a caracteriza turbulența unui curent de fluid

este energia cinetică medie a fluctuațiilor, corespunzătoare unității de masă ( ),

cunoscută și ca energie cinetică turbulentă

v i

v

v

v

(5.56)

5.4.2 Corelații și coeficienți de corelație în mișcarea turbulentă

În afară de mediile pătratice definite anterior (v i

v i v i

) pentru

caracterizarea particularităților unei mișcări din punctul de vedere al turbulenței

acesteia, se mai pot utiliza și medieri ale produselor, de forma v i v j

, nenule

conform proprietăților referitoare la calculul statistic al acestora. Mediile definite

anterior, pot fi generalizate sub forma unor corelații de ordinul doi.

243

Pentru două pulsații ale unor mărimi oarecare în spațiu și timp,

respectiv , valoarea medie a produsului se numește

prin definiție funcție de corelație (de ordinul doi), sau (mai simpu) corelație.

Raportul adimensional definit de relația (5.57), cu proprietatea , se

numește coeficient de corelație, sau factor de corelație:

(5.57)

Coeficientul de corelație este egal cu unitatea ( ) când (

, respectiv ) și mărimile și măsoară aceeași proprietate/parametru.

Când nu există nici o legătură între și , atunci . Dacă se reprezintă grafic

în sistemul de axe perechile ( ) corespunzătoare diferitelor valori ale

timpului se poate constata că punctele se grupează, în general, în interiorul unei

elipse dacă , precum în figura 5.20(b), sau în interiorul unui cerc dacă

, figura 5.20(c). Cazul corespunde unei dispersii liniare, precum în figura

5.20(a).

Fig. 5.20 – Cazuri de dispersie ale perechilor ( )

Dacă ( ) și ( ) sunt semiaxele elipsei de corelație, atunci

(5.58)

Prin particularizarea relației (5.57), se pot defini coeficienți corespunzători

unor

corelații punctuale, când fluctuațiile mărimilor sunt măsurate în același punct

( ) și în același timp ( ),

corelații spațiale, când fluctuațiile mărimilor sunt măsurate în același

moment ( ), dar în puncte diferite punct ( ),

corelații temporale, când fluctuațiile mărimilor sunt măsurate în același punct

( ), dar la momente diferire ( ),

244

corelații spațio-temporale, precum în cazul măsurării fluctuațiilor vitezei

aceleiași particule de fluid (care se deplasează în spatiu) la intervale de timp

diferite; se mai numesc și corelații lagrangiene, după sistemul Lagrange de

studiu al mișcării,

autocorelații, când fluctuațiile aceleeași mărimi ( ) se măsoară în

același punct ( ), dar la momente diferite ); raportat la

sistemul de studiu al mișcării, acestea se mai numesc și corelații euleriene. Relația (5.57) de definiție a coeficientului de corelație permite și introducerea

noțiunii de scara de turbulență la care se face analiza unei mișcări turbulente, mai

exact a unor scări limită, macroscara respectiv microscara, ținând cont de cerințele

pe care trebuie să le îndeplinească

scara să fie suficient de mare pentru ca fenomenele studiate să se prezinte

sub o formă accesibilă metodelor de analiză,

scara să fie suficient de mică astfel încât să poată fi surprinse detalii esențiale

ale fenomenelor investigate. Pentru descrierea mișcarilor turbulente ale fluidelor se utilizează scări

spațiale sau temporale, precum în cazul simplu al unei autocorelații de forma (5.59),

în timpul de mediere

v v

v ( v

(5.59)

cu coeficientul de corelație

v v

v v (5.60)

pentru care Această corelație se poate calcula determinând experimental v , precum

în figura 5.19(b). Din punct de vedere grafic, rezultatele obținute urmează o curbă

(apropiată de clopotul lui Gauss) a cărui aspect este prezentat în figura 5.21.

Pentru distribuția din figura următoare, macroscara este o mărime legată

de aria dintre curba și axa absciselor

(5.61)

245

Fig. 5.21 – Definirea microscării și a macroscării pentru corelația (5.21)

Pentru o mediere în timp conform relației (5.59), trebuie îndeplinită condiția

pentru ca valoarea procesului de mediere să nu mai depindă de timpul de

mediere.

Microscara se definește ca fiind abscisa punctului de intersecție al parabolei

osculatoare (linia punctată în figura 5.21) cu axa ( ), având punctul de maxim

(vârful) în .

Din punct de vedere fizic, scările temporale au semnificația unor timpi

(minim și maxim) până la care o masă de fluid în mișcare într-un punct își păstrează

individualitatea, în același punct, sau într-unul diferit.

Similar, pot fi definite macroscara și microscara pentru corelații

spațiale (longitudinale) de forma v v , între două puncte aflate la distanța

. În acest caz

v v

v v (5.62)

(5.63)

Din punct de vedere fizic, scările spațiale au semnificația unor dimensiuni,

microscara spațială fiind asociată cu dimensiunea celor mai mici vârtejuri ce se

produc într-un curent de fluid, figura 5.22(a), iar macroscara cu dimensiunea maximă

a vârtejurilor în curs de disipare, figura 5.22(b) (sau distanța pâna la care există

influență reciprocă între vârtejuri). Conform unei ipoteze formulată de G.I. Taylor, se

poate trece de la o corelație temporală la una spațială, asociind cu v , unde v este

valoarea medie a vitezei a cărei fluctuație este studiată.

246

Fig. 5.22 – Structuri de vârtejuri într-un fluid în mișcare

Având în vedere caracterul liniar al procesului de mediere, există

următoarele relații referitoare la calculul mediilor mărimilor fluctuante, unde i

reprezintă oricare dintre variabilele sau

(5.641)

(5.642)

(5.643)

(5.644)

(5.645)

i

i

i

i

i (5.646)

i

i

i

i

i (5.647)

(5.648)

247

5.4.3 Ecuațiile mișcărilor turbulente - ecuațiile lui Reynolds (fluide incompresibile) Se consideră pentru început cazul mișcării în regim permanent a unui fluid de

densitate și vâscozitate constante. Sistemul de ecuații (5.26) poate fi scris și în forma

(5.66), exprimând fiecare dintre termenii v v

precum în relația (5.65)

v

v

v v

v

(5.65)

Astfel,

v v

v v

v v

v

v v

v v

v v

v

v v

v v

v v

v

(5.66)

Considerând că fiecare din variabilele v

și ale ecuațiilor de mișcare se

exprimă sub forma (5.50), v v

v , respectiv , prin medierea

relațiilor Navier-Stokes (5.66) se obține următorul sistem de ecuații, cunoscute ca

ecuațiile lui Re nolds pentru mișcarea turbulentă a fluidelor reale incompresibile, în

regim permanent

v

v

v

v

v

v

v

1

v v

v v

v v

v

v

v

v

v

v

v

v v

v v

v v

v

v

v

v

v

v

v

v v

v v

v v

(5.67)

Ecuația de continuitate va avea după mediere o formă similară, dar cu valori

medii

v

v

v

(5.68)

248

După cum se observă, ecuațiile lui Reynolds conțin (în valori medii) toți

termenii ecuațiilor Navier-Stokes, dar și termeni suplimentari (evidențiați separat),

reprezentând forțele unitare datorate pulsațiilor turbulente.

În componente de eforturi, termenii de forma v i v i

reprezintă eforturi

(tensiuni) suplimentare ce trebuie adăugate la eforturile mișcărilor cu parametri v și

constanți, prezentate anterior. Sunt cunoscute și ca eforturile aparente, sau

eforturile lui Reynols. Similar precum în situația analizată în paragraful 5.2.1, ele

formează un tensor simetric de ordinul doi, cunoscut ca tensorul tensiunilor aparente

turbulente, definit de matricea

v v v v v v

v v v v v v

v v v v v v

(5.69)

Împreună cu ecuația continuității (5.62), ecuațiile lui Reynolds formează un

sistem care nu mai poate fi integrat în cazul general, deoarece are patru ecuații și

șapte necunoscute v v v v v

v și . Ecuațiile de mișcare în regim turbulent

devin semnificativ mai complexe pentru situațiile în care și alți parametri variază,

precum densitatea , deoarece pe lângă corelațiile duble de forma v i v j

apar și corelații triple, i v j

v k , sau în situațiile în care sunt luate în calcul și alte

fenomene care însoțesc curgerea unui fluid, precum transferul de căldură, ale căror

ecuații introduc noi necunoscute.

Pentru diverse situații practice, rezolvarea acestor ecuații se face, fie pe baza

unor ipoteze simplificatoare referitoare la dependențele dintre mărimi (teorii

semiempirice), fie apelând la modele de turbulență deduse statistic în urma studierii

mărimilor fluctuante. Dintre acestea, câteva dintre cele clasice sunt prezentate pe

scurt în paragrale următoare.

5.4.4 Teoria coeficientului de vâscozitate turbulentă a lui Boussinesq Una dintre situațiile în care se pot face ipoteze simplificatoare legat de

mișcarea turbulentă a unui fluid corespunde mișcărilor plane din apropierea

suprafețelor solide, precum în figura 5.2, când viteza are o singură componentă,

v v , funcție doar de coodonata . În acest caz, tensiunea tengențială din

planul director ( ) are expresia

v

v v (5.70)

249

Forma acestei relații sugerează exprimarea efortului ca sumă de alte două

tensiuni, precum în figura 5.23, dintre care una laminară ( ) corespunzătoare

regimului laminar și una turbulentă ( )

(5.71)

unde

v

(5.72)

Fig. 5.23 – Distribuția eforturilor tangențiale și

Prin analogie cu relația anerioară, Joseph Valentin Boussinesq (1842-1929)

propune (1877) următoarea expresie pentru tensiunea turbulentă

v v

v

(5.73)

unde reprezintă o vâscozitate turbulentă, aparentă. Astfel, rezultă că tensiunea tangențială poate fi exprimată în forma (5.74), ca

funcție liniară de gradientul vitezei

v

v

(5.74)

sau, în termeni de vâscozitate cinematică

v

v

(5.75)

Măsurătorile experimentale au relevat că mișcările turbulente sunt

caracterizate de rapoarte (de ordinul ). Acestă teorie prezintă

avantajul simplității, fiind aplicabilă în cazurile în care se poate considera . Un

neajuns al acestei teorii este legat de faptul că indică tensiuni nule în axele de

250

simetrie ale curgerilor (datorită v din motive de simetrie), în dezacord

cu măsurătorile experimentale.

5.4.5 Teoria lungimii de amestec a lui Prandtl Pentru o curgere similară celei din paragraful anteior, Prandtl stabilește

expresia tensiunii tangențiale turbulente, definită de relația (5.73), v v ,

pornind de la ipoteza că fluctuațiile vitezei (v ) pe direcția normală la cea a curgerii

sunt proporționale cu cele de pe direcția curgerii (v ), conform unei relații de forma

v v v

(5.76)

unde este o mărime ce caracterizează mișcarea turbulentă a unui fluid real,

numită de Prandtl lungime de amestec și definită ca fiind distanța până la

care există transfer trasversal de impuls datorită fluctuațiilor, după cum este

prezentat schematic în figura 5.24.

Fig. 5.24 – Definirea lungimii de amestec a lui Prandtl

Astfel, particulele de fluid aflate la un moment dat la distanța de perete și

având viteza medie v , pot ajunge datorită fluctuațiilor v la distanțele ( ),

unde vitezele medii sunt v , respectiv v . Admițând o lungime de

amestec mică, diferențele de viteze longitudinale se pot se pot aproxima sub forma

(5.77), prin dezvoltări în serii Taylor* și neglijând infiniții mici, de ordin superior.

_____________________________________________________________________ *Definiție. Fie un interval deschis, o funcție ce admite derivate

de orice ordin în . Se numește serie Ta lor atașată funcției în

punctul următoarea serie:

251

Teoremă. Fie un interval deschis și o funcție ce admite derivate

de orice ordin în . Dacă a.î. , ( )

, atunci pentru ( ) are loc egalitatea:

Exemplu. Pt. ( ) (deci și pentru , când rezultă o serie Maclaurin):

_____________________________________________________________________ Așadar, viteza medie v poate fi exprimată ca

v v v

v

v v v

v

v v v

(5.771)

Similar,

v v v

(5.772)

v v v

(5.773)

Din relațiile (5.77) rezultă că diferențele de viteze longitudinale se pot se pot

aproxima cu

v v v

v

v v v

v

(5.78)

252

și fluctuația medie (v ) a particulelor din stratul de coordonată ( ) este

v v

v

v

(5.79)

În acord și cu rezultatele măsurătorile experimentale care indică o

probabilitate ridicată ca v v

, precum în figura 5.20(b), corelația v v

a fost

exprimată în forma

v v

v

(5.80)

situație în care expresia tensiunii tangențiale turbulente devine

v v

v

(5.81)

Ținând cont de relația lui Boussinesq (5.73), care indică că are semnul

derivatei ( v ), relația anterioară se rescrie astfel

v v

v

v

(5.82)

iar vâscozitatea turbulentă devine

v

(5.83)

Ulterior, pe baza observațiilor experimentale (pornind de la dimensiunile

rotocoalelor de fum dispersate în atmosferă de coșurile de evacuare, după cum e

sugerat în figura 5.25), Prandtl stabilește că lungimea de amestec este o funcție

, conform relației

(5.84) Astfel, din relațiile (5.81) și (5.84) rezultă

v

(5.85)

Deși nu este conformă realității în punctele în care derivata ( v ) devine

nulă (punctele de viteză minimă/maximă, similar teoriei lui Boussinesq), teoria

lungimii de amestec a lui Prandtl s-a dovedit foarte utilă, permițând rezolvarea unui

număr semnificativ de probleme practice și a contribuit la stabilirea unor legi

generale care descriu variația vitezei unui curent în apropierea unui perete.

253

Fig. 5.25 – Definirea lungimii de amestec,

5.4.6 Structura mișcării turbulente în apropierea suprafețelor solide.

Legile variației vitezei la perete Numeroase studii experimentale au relevat faptul că profilele de viteză ale

fuidelor în mișcare turbulentă în apropierea unei suprafețe solide au un aspect foarte

asemănător lângă perete, în interiorul un strat de grosime ( ) relativ redusă, numit

strat limită. Profilul de viteze și structura mișcării turbulente în apropierea unui

perete sunt prezentate schematic în figura 5.26, evidențiindu-se patru zone.

Fig. 5.26 – Structura mișcării turbulente în apropierea unui perete

Prima zonă, numită și substratul vâscos, are ca limită inferioară suprafața

solidă și este caracterizată de absența fluctuațiilor transversale, a căror apariție este

împiedicată de prezența peretelui.

254

Substratul vâscos este definit de relațiile:

v

(5.86)

adică

efortul turbulent ( ) la nivelul peretelui ( ) este nul, de unde rezultă că

efortul la perete ( ) este egal cu ( ) și definit de o relație similară cu cea din

regimul laminar, cu mențiunea că în acest caz gradientul vitezei ( v )

este mai mare ca în regimul laminar, motiv pentru care și tensiunea

tangențială la perete în regim turbulent este mult mai mare, cu cel puțin un

ordin de mărime; până la evidențierea experimentală a fluctuațiilor

longitudinale ale vitezei în substratul vâscos, această zonă era cunoscută ca

substratul laminar. Datorită grosimii ( ) foarte mici, se admite că în interiorul substratului

vâscos ( )

v

(5.87)

unde, pentru simplitate și în acord cu notațiile din sistemul internațional, a fost notat

cu viteza medie după direcția ( ), deci v . Relația anterioară poate fi scrisă și în forma

(5.88)

Mărimea definită de se notează cu și este denumită viteză de

frecare, datorită faptului că din punct de vedere dimensional are dimensiunea unei

viteze

(5.89)

Astfel, relația (5.88) poate fi pusă și sub forma

(5.90)

unde reprezintă viteza adimensională, după direcția ( ),

255

(5.91)

reprezintă coordonata (distanța) adimensională, măsurată pe

direcție normală de la suprafața solidă, având semnificația unui

număr Reynolds definit în raport cu și

(5.92)

După substratului vâscos urmează substratul de tranziție, care reprezintă

principala zona de producție a turbulenței, în care sunt generate vârtejuri mici, dar

de intensitate mare, care se dezvoltă în următoarea zonă, denumită substratul

turbulent, în care de curgere corespunde unui regim turbulent complet dezvoltat.

Dincolo de sustratul turbulent, în ultima zonă, a curentului neperturbat, mișcarea nu

mai este influențată de prezența peretelui.

Figura (5.26) evidențiază, de asemenea, modul de variație al vitezelor medii,

corelat cu variația vâscozității turbulente. Astfel, pornind de la zero, la nivelul

peretelui, viteza medie crește rapid în substratul vâscos. Această creștere este mult

atenuată în substratul de tranziție, după care viteza tinde spre o distibuție uniformă

în substratul turbulent. Vâscozitatea turbulentă este nulă în substratul vâscos, crește

rapid în cel de tranziție, atingând o valoare aproximativ constantă în substratul

turbulent și înafara acestuia.

Datele experimentale referitoare la aceste variații au fost sintetizate sub

forma unor curbe (figura 5.27) descrise analitic de relații cvasi-universale în

coordonatele (logaritmice) adimensionale și . Astfel, profilele de viteză

urmează curbe unice pâna la valori , în funcție de tipul mișcării și numărul

Reynolds, unde definește limita superioară a substratului turbulent.

După cum am demonstrat anterior, ecuația (5.90) exprimă variația vitezei în

substratul vâscos: .

Ecuației corespunzătoare substratulului turbulent se obține prin integrarea

ecuației (5.85)

v

(5.93)

Constanta de integrare se determină pentru (condiția la limită) ,

pentru care

256

(5.94)

Înlocuind constanta din relația (5.94) în (5.93) rezultă

(5.95)

Pe baza rezultatelor experimentale

(5.96) sau după schimbarea bazei de logarimare,

(5.97)

Fig. 5.27 – Legea distribuției vitezei la perete

Orientativ, cele trei zone corespund următoarelor valori ale : - substratul vâscos,

- substratul intermediar,

- substratul turbulent.

(5.98)

257

Funcțiile sunt cunoscute ca legile distribuției vitezei la perete,

sau mai simplu legea la perete. Pentru , această lege nu mai este valabilă.

Pentru această zonă se poate admite , constanta determinându-se în funcție

de caracteristicile mișcării. Modelele de turbulență recent dezvoltate au atins un

nivel de complexitate ridicat.

Curgerea fluidelor reale este tratată pe larg în monografia autorilor

Constantinescu V.N., Dănăilă S., Găletușe S., "Dinamica Fluidelor în regim turbulent",

Editura Academiei Române, București, 2008, ISBN 978-973-27-1694-6.

5.5 NOȚIUNI GENERALE DE TEORIA STRATULUI LIMITĂ

După cum menționam și la începutul acestui capitol, existența eforturilor

tangențiale de frecare vâscoasă care se manifestă în interiorul fluidelor reale, în

mișcare, are ca efect modificarea profilului de viteze la nivelul suprafețelor corpurilor

aflate în mișcare relativă față de fluide. Zona în interiorul căreia viteza relativă a unui

fluid crește de la zero (pe suprafața solidului) la valoarea (v ) corespunzătoare

curentului de fluid neperturbat de prezența corpului se numește strat limită.

Astfel, mișcărea în jurul unui corp poate fi studiată împărțind câmpul curgerii

în două regiuni distincte, precum în figura 5.28, teorie care a fost introdusă de către

Ludwig Prandtl

zona stratului limită, în care dominante sunt forțele de frecare vâscoasă,

mișcarea fiind descrisă de ecuațiile Navier-Stokes,

zona exterioară stratului limită, unde efectele vâscozității pot fi neglijate, în

care sunt valabile ecuațiile lui Euler de mișcare pentru fluide ideale.

Fig. 5.28 – Câmpul mișcării conform teoriei lui Prandtl

5.5.1 Parametrii și relațiile care definesc stratul limită Din modul de definire al stratului limită, primul dintre parametrii ce-l

caracterizează este grosimea acestuia. Datorită fluctuațiilor vitezei în timp, este greu

de stabilit punctul în care viteza din stratul limită atinge valoarea (v ). Astfel, s-a

258

convenit să se definească grosimea stratului limită ( ), figura 5.29, ca fiind distanța

pe direcție normală de la perete pentru care viteza din stratul limită diferă cu de

viteza curentului neperturbat, sau în termeni de viteză: v v .

Ca ordin de mărime, stratul limită poate avea o grosime de ordinul

milimetrilor, precum în zona bordului de atac, la curgerea în jurul unei aripi

de avion,

zecilor de centimetri, în zona din spate a carenei unei nave maritime (partea

corpului navei imersă în apă),

metrilor, în cazul stratului limită terestru.

Fig. 5.29 – Definirea grosimii stratului limită ( )

În calcule referitoare la stratul limită se mai utilizează încă două mărimi

caracteristice ale acestuia și anume:

grosimea de deplasare ( ), definită de relația

v v v

v v v

(5.99)

grosimea de impuls ( )

v v v v

v v

v

v

(5.100)

259

Din ecuația (5.99) rezultă că semnificația lui este aceea a distanței pe

direcția normală la suprafață pentru care debitul de fluid este anulat prin prezența

stratului limită, sau grosimea unui strat imaginar de viteză v și debit masic egal cu

deficitul de debit datorită prezenței stratului limită, motiv pentru care se mai

numește și grosimea deficitului de debit produs prin frânare.

Similar, semnificația celei de a doua mărimi este aceea a distanței pe direcția

normală la suprafață pentru care impulsul de fluid este anulat datorită frecărilor din

stratul limită. Reprezentarea grafică a acestor mărimi este prezentată în figura 5.30.

Fig. 5.30 – Reprezentarea grafică a grosimii de deplasare ( )

și a grosimii de impuls ( )

Relațiile care definesc codițiile pe frontierele stratului limită sunt

Viteza la perete este nulă v , (5.101)

Viteza este maximă la frontiera v v , (5.102)

stratului limită

Gradientul vitezei este nul la frontiera ( v 0, (5.103)

stratului limită

Gradientul vitezei este constant ( v ct. (5.104)

la perete Din relațiile (5.103) și (5.104) rezultă că pe frontiera stratului limită și la

perete este valabilă și relația

( v (5.105)

260

5.5.2 Ecuațiile de mișcare în stratul limită bidimensional Cele mai simple modele care descriu mișcarea în interiorul stratului limită

sunt cele referitoare la curgerea plană (bidimensională) în jurul unei plăci plane,

foarte subțiri. Modul în care se formează și se dezvoltă stratul limită pe o suprafață

plană, plasată într-un curent având viteza , pe direcția acestuia, este prezentat în

figura următoare.

Considerând ( ) grosimea stratului limită într-un punct de coordonată ( ) în

raport cu de bordul de atac ( ) al plăcii (punctul de formare și dezvoltare al

stratului limită), se constată că odată cu creșterea valorii are loc și o creștere a

numărului Reynolds asociat, în intervalul ], unde reprezintă lungimea

plăcii

v

(5.106)

Astfel, în funcție de valoarea coordonatei , numărul Reynolds poate avea

valori corespunzătoare fiecărui regim caracteristic de curgere, de la laminar la

turbulent complet dezvoltat.

Fig. 5.31 – Evoluția stratului limită pe placa plană

Așadar, la nivelul suprafeței plăcii, curgerea fluidului cu viteză neperturbată,

constantă (v ), debutează începând cu bordul da atac ( ) cu formarea unui strat

limită laminar de grosime , din care ulterior se dezvoltă unul turbulent de grosime

. În această zonă stratul laminar este redus la o grosime ( ) foarte mică, formând

substratul vâscos. Trecerea de la stratul laminat la cel turbulent se face printr-o zonă

de tranziție scurtă.

Ecuațiile de mișcare plană a unui fluid incompresibil în interiorul stratului

limită laminar se obțin din ecuațiile Navier-Stokes (5.26) pentru care se consideră

doar primele două ecuații, v v v v ,

261

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(5.26')

Datorită grosimii foarte mici a stratului limită ( ) în raport cu lungimea

caracteristică a plăcii ( ), raportul dintre cele două dimensiuni având ordinul de

mărime , se pot face o serie de simplificări importante ale acestor

ecuații. Astfel, se poate considera că cele două componente ale vitezei sunt

proporționale cu viteza curentului nepertubat conform relațiilor

v v v v

(5.107)

În consecință, și v v , deci variația vitezei după direcția ( ) este

mică față de variația după axa ( ), iar termenii ( v ) și ( v ) pot fi

neglijați. De asemenea, v v . Nu în ultimul rând, forțele

masice exterioare sunt mici comparativ cu cele inerțiale și de presiune.

Împreună cu ecuația continuității, sistemul ecuațiilor de mișcare devine

v

v

v

v

v

(5.1081)

(5.1082)

v

v

(5.1083)

Relațiile (5.108) sunt cunoscute ca ecuațiile lui Prandtl pentru curgerea plană

(în două dimensiuni) în interiorul stratului limită laminar.

În aceleași ipoteze de lucru, rezultă din relațiile (5.67) și (5.68) că ecuațiile de

mișcare în stratul limită turbulent sunt

v

v

v

v

v

v v

v

v

.

(5.1091)

(5.1092)

(5.1093)

262

Pentru curgeri tridimensionale, nu este posibilă obținerea unor ecuații

generale, pe baza ipotezelor simplificatoare anterior menționate. Abordările în

aceste situații implică utilizarea ecuațiilor de mișcare în formă completă.

5.5.3 Ecuația impusului în formă integrală pentru stratul limită plan Prin integrarea ecuației lui Prandtl (5.1081) după direcția ( ), între la

nivelul peretelui și o valoare , se obține o relație care permite calculul

efortului la perete ( ) pentru o variație cunoscută a vitezei în stratul limită. Așadar

v

v

v

v

v

(5.110)

rezolvarea integralelor anterioare fiind prezentată separat. Astfel, pornind de la legea lui Newton referitoare la efortul tangențial de

frecare vâscoasă

v

v

v

v

(5.111)

rezultă că integrala devine

v

(5.112)

Deoarece eforturile tangențiale sunt nule pentru , soluția

integralei este

(5.113)

De asemenea, pentru , conform relațiilor (5.102), (5.103) și (5.105)

v v , componenta v devine egală cu viteza curentului neperturbat,

( v 0, variația vitezei după direcția normală curgerii devine nulă, în

consecință este îndeplinită și relația

( v , care exprimă faptul că forțele vâscoase sunt nule în

exteriorul stratului limită. În aceste condiții, ecuația de mișcare (5.1081) devine

263

v

v

v

v

iar integrala este

(5.114)

Integrala

v

v

v v

v

v

v v

v

v

v v

v

v

(5.115)

Din ecuația continuității (5.1083) rezultă

v

v

v

v

(5.116)

și, de asemenea

v

v

v

v

v v

(5.117)

astfel încât relația (5.115) devine

v v

v

v

(5.118)

Integrala

v

v

v v

v

v

(5.119)

264

v v

v

v

(5.119)

Înlocuind relațiile (5.113), (5.114), (5.118) și (5.119) în (5.110) se obține

v v

v v

v

v

(5.120)

De asemenea,

v v

v

v

v v

v

v

(5.121)

astfel încât relația (5.120) se poate rescrie și în forma

v v

v v

v

v

v

v

(5.122)

echivalentă cu

v v v

v

v v

(5.123)

Ținând cont de relațiile (5.99) și (5.100) care definesc grosimea de deplasare

( ), respectiv grosimea de impuls, relația anterioară devine pentru

v v v

v

v

v v

v

(5.124)

v

v v

(5.125)

În forma (5.124), sau în cea echivalentă (5.125), această relație reprezintă

ecuația impusului în formă integrală pentru stratul limită plan. Este cunoscută și ca

ecuația integrală a lui Kármán (pentru stratul limită plan), care a dedus-o pentru

prima dată aplicând teorema impulsului pentru o lungime elementară ( ) a stratului

limită. Aceasta permite calculul tensiunii tangențiale de frecare la perete ( ) dacă se

cunoaște distribuția de viteze, implicit și grosimea stratului limită, după cum este

prezentat în aplicațiile de la sfârșitul capitolului.

265

În ipoteza unui gradient de presiune nul, , aplicabilă pentru

distanțe mici, relația (5.125) devine

v

(5.126)

5.5.4 Placa plană într-un curent uniform, cu strat limită laminar Cunoșterea efortului la perete ( ) permite calculul forței de rezistență de

frecare ( ) pentru un corp de suprafață ( ) plasat într-un curent de fluid

(5.127)

Această forță se poate exprima și în funcție de un coeficient de frecare

adimensional ( ) conform relaței

v

(5.128)

deci

v

(5.129)

unde v

reprezintă presiunea dinamică a curentului neperturbat. Pentru o placă plană cu suprafața (pentru ambele fețe), plasată

într-un curent de viteză (v ), precum în figura 5.32, rezultă

(5.130)

v

(5.131)

Fig. 5.32 – Modelul plăcii plane într-un curent de fluid

266

Așadar, efortul la perete poate fi exprimat și în funcție de coeficientul de

frecare

v

(5.132)

iar relația (5.126) devine

v

v

(5.133)

Această abordare este utilă din punct de vedere practic, când se poate

măsura experimental rezistență de frecare ( ), după care se calculează coeficientul

de frecare ( ).

Pentru variația vitezei în stratul limită laminar de grosime , dependentă

de distanța ( ) față de originea sa (bordul de atac al plăcii), se utilizează frecvent

legea sinusoidală de forma

v v

(5.134)

care îndeplinește condițiile la limită

v

v v (5.135)

o dezvoltare polinomială (Karl Pohlhousen) de forma

v

(5.136) pentru care

v v

v

(5.137)

Coeficienții ( ) sunt determinați astfel încât să fie îndeplinite condițiile de pe

frontierele stratului limită (5.101) - (5.105)

(5.138) deci

v (5.139)

267

Prima relație de calcul a grosimii stratului limită laminar ca funcție de

distanța în raport cu de punctul de formare, a fost stabilită de Paul Richard Heinrich

Blasius

v

(5.140)

având grosimea de deplasare

(5.141)

și grosimea de impuls

(5.142)

care conduce la

(5.143)

5.5.5 Placa plană într-un curent uniform, cu strat limită turbulent În studiile de aerodinamică industrială prezintă importanță stratul limită

turbulent. Viteza medie v în stratul limită turbulent de grosime se poate

calcula cu o relație de forma (5.14)

v v

(5.144)

unde valoarea coeficientului depinde de regimul de curgere (numărul Reynolds). Pentru calculul grosimii stratului limită turbulent se poate adopta o

relație similară celei stabilite de Blasius pentru stratul limită laminar

(5.145)

Pe baza rezultatelor experimentale, în domeniul ,

pentru care profilul de viteze este dat de legea unu pe șapte ( ), pentru

constantele din relația anterioară au fost determinate valorile , respectiv

. Astfel

268

(5.146)

pentru care

(5.147)

(5.148)

(5.149)

Și în acest caz, ecuațiile anterioare reprezintă aproximări ale curgerii

bidimensionale la presiune constantă, pe suprafețe netede.

Comparând rezultatele corespunzătoare celor două regimuri distincte de

curgere, se constată că unei creșteri a numărului Reynolds îi corespunde o micșorare

a grosimii stratului limită, după cum este prezentat și în figura următoare.

Fig. 5.33 – Variația grosimii stratului limită cu numărul Re nolds

5.5.6 Desprinderea stratului limită. Metode de control ale stratului limită Modul în care evoluează distribuția de viteze în stratul limită la curgerea pe o

suprafață, până la desprinderea acestuia și formarea turbioanelor, este prezentat în

figura 5.34.

Astfel, la curgerea unui fluid pe o suprafață solidă apar zone în care variația

presiunilor în sensul curgerii poate să fie pozitivă sau negativă, după cum

vitezele scad sau cresc. Domeniile pentru care se numesc și zone cu

gradient de presiune favorabil și sunt cele pentru care distribuția de viteze are un

aspect normal, zona A-B conform figurii 5.34. Cele pentru care se

numesc zone cu gradient de presiune nefavorabil și corespund domeniilor în care

apare fenomenul de inversare a sensului de curgere (de la B la C).

În punctul în care , respectiv v (punctul B conform

figurii) se produce fenomenul de desprindere (detașare) a stratului limită, acesta

269

numindu-se punct de desprindere (stagnare). Linia (B-D) se numește linia de

desprindere, iar linia (B-E) este linia nucleelor de vârtej, sau linia de viteze nule.

Fig. 5.34 – Desprinderea stratului limită Desprinderea stratului limită are ca efect formarea trenei de vârtejuri (dârei

aero- hidrodinamice), care reprezintă o măsură a rezistenței aero- hidrodinamice a

structurilor care evoluează în curenți de fluid, după cum este ilustrat în figura 5.35(b)

în cazul unui profil care evoluează la unghiuri mari de atac ( ).

Astfel, o trenă de vârtejuri mare corespunde unei rezistențe aero-

hidrodinamice ridicate.

Fig. 5.35 – Desprinderea stratului limită și formarea trenei de vârtejuri

în cazul unui profil aerodinamic

Pentru a controla desprinderea stratului limită de pe suprafețele structurilor

aero- hidrodinamice se utilizează diverse metode, care pot fi grupate în

metode pasive, în care geometria structurii (fixă) este modificată local

utilizând turbulatori al căror rol este acela de a accelera local curenții de

fluid, împiedicând în acest mod desprinderi masive ale acestora, figura

5.36(a); un efect similar se obține și prin utilizarea unor fante prin care

270

curenții având energie cinetică ridicată sunt dirijați în zonele cu viteză mică,

figura 5.36 (b);

Fig. 5.36 – Controlul desprinderii stratului limită prin metode pasive

metode active, în care geometria structurii este variabilă (adaptivă) în funcție

de regimul curgerii, precum în cazul utilizării voleților bord de atac sau a

voleților bord de fugă la aripile de aviație, figura 5.37(a); de asemenea, în

cazul structurilor fixe, controlul activ curgerii se poate realiza și prin utilizarea

efectului Coandă cu jeturi de fluid de viteză variabilă, fenomen ilustrat în

figura 5.37(b);

Fig. 5.37 – Controlul desprinderii stratului limită prin metode active

Efectul Coandă reprezintă fenomenul de deviere a jeturilor de fluid în

apropierea suprafețelor curbe. Poartă numele savantului român Henri Coandă, care

la observat pentru prima dată în 1910, în timpul testării unuia dintre avioane sale

(Coandă-1910, primul avion cu reacție care a zburat). Astfel, în timpul zborului,

Coandă a putut observa alipirea jeturilor de gaze arse de fuselajul avionului, deși

evacuarea acestora se făcea transversal față de axa fuselajului. Ulterior, prin

studierea și înțelegerea acestui fenomen, Henri Coandă trece la utilizarea practică a

acestuia. Astfel, obține o serie de brevete de invenție, primul dintre ele în anul 1934

(Franța): Procedeu și dispozitiv pentru devierea unui fluid într-un alt fluid. Acesta este

urmate și de alte invenții precum Aerodina Lenticulară, Dispozitiv pentru

îmbunătățirea randamentului motorului cu combustie internă, Frâna de recul pentru

armele de foc etc. În total, pe parcursul întregii cariere științifice, Henri Coandă a

obținut 215 brevete de invenție referitoare la dispozitive ce utilizează efectul cere-i

poartă și numele.

271

5.6 FORȚE ȘI MOMENTE AERO- HIDRODINAMICE

5.6.1 Introducere în aerodinamică

Interacțiunea dintre un curent de fluid (un gaz, sau un lichid) și un solid

(denumit generic structură aeromecanică) aflat în mișcare relativă față de fluid, are

ca rezultat formarea unei forțe rezultante ( ) și a unui moment corespunzător ( ),

ale căror componente sunt prezentate în figura 5.37 pentru un automobil, raportate

la sistemul de referință al acestuia.

Fig. 5.38 – Forțele și momentele care acționează asupra unui automobil

În funcție de natura fluidului, forțele și momentele se numesc

aerodinamice, dacă fluidul este un gaz, precum în cazul aerului atmosferic,

hidrodinamice, dacă fluidul este un lichid, precum în cazul apei. În cele ce urmează se vor face referiri doar la forțele aerodinamice, cele

hidrodinamice fiind tratate similar. În figura anterioară, următoarele reprezintă

- forța aerodinamică de rezistență la înaintare ( ),

- forța aerodinamică laterală ( ),

- forța aerodinamică de portanță ( ),

- momentul aerodinamic de ruliu,

- momentul aerodinamic de tangaj,

- momentul aerodinamic de girație,

- v viteza relativă a curentului de aer față de automobil,

- unghiul dintre v și axa longitudinală a automobilului ( ).

272

Natura forței aerodinamice globale, precum și a componentelor ei, poate fi

interpretată din două perspective diferite: cea a solidului, respectiv cea a aerului

atmosferic prin care acesta se deplasează.

Astfel, din perspectiva structurii aeromecanice, valoarea forței pe care

curentul de aer o exercită asupra acesteia se poate calcula prin integrarea pe

suprafețele exterioare ( ) a forțelor elementare care acționează asupra acestora

- forțele de presiune, , pe direcție normală, respectiv

- forțele tangențiale de frecare vâscoasă, , care se exercită în

stratul limită ce se formează la nivelul suprafețelor corpului expuse acțiunii

aerului.

(5.150)

Așadar, forța aerodinamică se poate scrie ca sumă a două componente,

dintre care una de presiune ( ) și a doua de frecare vâscoasă ( )

(5.151) Evaluarea directă a celor două componente, separat, necesită cunoștințe

detaliate despre distribuția de presiuni și eforturi tangențiale de frecare pe întreaga

suprafață a structurii studiate. Aceste distribuții se obțin extrem de dificil pe cale

experimentală, pentru corpuri complexe din punct de vedere geometric. Este practică

doar în cazul anumitor suprafețe, unde distribuția de presiuni este rezonabil

uniformă.

Calculul celor două componente se poate realiza cu o precizie suficient de

bună cu ajutorul tehnicilor CFD utilizând un program de calcul adecvat. Uzual,

componentele forței aerodinamice rezultante se pot evalua experimental în mod

direct, cu ajutorul unei balanțe aerodinamice.

Din perspectiva curentului de aer, forțele aerodinamice se determină

aplicând teorema impulsului (Euler) masei de aer cuprinsă într-un volum de control

de mari dimensiuni din jurul solidului. În această direcție unul din rezultatele

semnificative ale cercetărilor din domeniu a fost determinarea rezistenței la înaintare

ca o consecință a trenei de vârtejuri care se formează în spatele corpului, ce își au

originea în zonele de desprindere a stratului limită (de presiune ridicată). Astfel, o

forță aerodinamică se poate determina experimental în mod indirect, prin

determinarea variaței vitezelor (presiunilor) dintre două planuri situate în amonte,

respectiv în aval față de structură, perpendiculare pe direcția de acțiune a forței.

273

Pentru a putea compara din punct de vedere aerodinamic diferite structuri se

utilizează coeficienți adimensionali definiți cu relații de forma

(5.152)

(5.153)

unde reprezintă forța aerodinamică, respectiv momentul aerodinamic care

acționează asupra structurii,

reprezintă presiunea dinamică a curentului de aer neperturbat de

prezența solidului, teoretic la infinit,

aria de referință a structurii evaluate aerodinamic; în cazul unei aripi

de aviație reprezintă suprafața aripii; pentru un automobil se

consideră ca referință aria proiecției automobilului pe planul

transversal,

lungimea de referință (caracteristică) luată în considerare la calculul

forțelor aerodinamice; de obicei este lungimea structurii. Un alt coeficient adimensional utilizat în studiile de aerodinamică este

coeficientul de presiune ( ) definit de relația

(5.154)

unde reprezintă presiunea statică măsurată într-un punct de pe suprafața

structurii,

este presiunea statică a curentului de aer neperturbat,

este presiunea dinamică a curentului de aer neperturbat.

Aplicând ecuația lui Bernoulli pentru calculul diferenței de presiuni statice

coeficientul de presiune poate fi exprimat și în funcție de viteze cu relația

v

v (5.155)

274

Modul în care un solid interacționează cu aerul atmosferic, poate fi evaluat și

cu ajutorul diagramelor de variație ale coeficientului de presiune pe suprafața

acestuia, figura 5.39.

Fig. 5.39 – Variația pe conturul unui automobil

Cu ajutorul acestor diagrame se poate determina componenta datorată

distribuției de presiuni a forței aerodinamice globale ca fiind aria definită de

curbele de variație ale coeficintului de presiune și, de asemenea, punctul de aplicație

al acesteia, centrul aerodinamic ( ), în centru de greutate al respectivei arii.

5.7 APLICAȚII 5.7.1 Pentru stratul limită laminar descris de legea sinusoidală (5.134)

v

v

să se calculeze grosimea stratului limită ( ), grosimea de deplasare ( ), grosimea de

impuls ( ) și coeficientul adimensional de frecare ( ). Soluție Din ecuațiile (5.99) și (5.100) de definiție ale , respectiv , rezultă

grosimea de deplasare,

v

v

275

grosimea de impuls,

v

v

v

v

*

Înlocuind relația anterioară în ecuația integrală a lui Kármán (5.126), rezultă

v

v

v

v

v

Membrul drept se poate calcula din ecuația care definește stratul limită.

v

v

v

v

Înlocuind acest rezultat în relația anterioară se obține ecuația diferențială

v

v

v

care prin integrare conduce la

v

Din condiția la limită rezultă că valoarea constantei de

integrare este nulă, . Așadar, relația de calcul a grosimii stratului stratului

limită devine

276

v

v

care este foarte apropiată de cea stabilită de Blasius (5.140).

Aplicând relația (5.133) și procedând similar, se poate calcula coeficientul

adimensional de frecare , pentru (lungimea plăcii)

care, de asemenea, este foarte apropiat de soluția lui Blasius (5.143).

5.7.2 Pentru stratul limită turbulent descris de legea (5.134)

v

v

să se calculeze grosimea de deplasare ( ) și grosimea de impuls ( ). Cunoscând

expresia coeficientul adimensional de frecare , să se calculeze

grosimea stratului limită ( ). Soluție Din ecuațiile (5.99) și (5.100) de definiție ale , respectiv , rezultă:

grosimea de deplasare,

v

v

grosimea de impuls,

v

v

v

v

277

Aplicând relația (5.133) rezultă

din care, după integrare, se obține relația de calcul a grosimii stratului limită

Similar ca în exemplul anterior, valoarea constantei de integrare rezultă nulă

din condiția la limită .

5.7.3 Un cilindru de diametru și lungime este plasat într-un

current de fluid având viteza v și densitatea de . Axa

cilindrului este normală pe direcția de curgere a fluidului. Dacă forța de rezistență

(hidrodinamică) este , să se calculeze coeficientul de rezistență

hidrodinamică ( ). Dacă presiunea (relativă) într-un punct este , să se

calculeze viteza în acest punct. Soluție Coeficientul de rezistență hidrodinamică se calculează cu relația (5.152),

considerând ca referință aria secțiunii longitudinale, perpendiculară pe direcția

curentului, . Astfel

v

Pentru calculul vitezei în punctul de presiune , se aplică relația lui

Bernoulli între respectivul punct și unul în care parametrii fluidului sunt cei de

referință, v și :

v

v

v v

5.7.4 Să se determine expresia vitezei v v la curgerea unei pelicule de fluid

de înălțime pe un plan înclinat cu unghiul , precum în figura de mai jos. Se cunosc

densitatea ( ) și vâscozitate ( ) fluidului.

278

Fig. 5.40 – Curgerea pe un plan înclinat

5.7.5 Pentru stratul limită descris de legea (5.139)

v , să se calculeze grosimea de deplasare ( ) și grosimea de impuls ( ).

5.7.6 Utilizând graficul din figura următoare pentru a determina coeficientul de

rezistență ( ) corespunzător unității de lungime pentru cilindru, să se calculeze forța

aerodinamică care acționează asupra unei linii de înaltă tensiune având diametrul

și lungimea , supusă acțiunii unui curent de aer cu viteza

medie de v , în condițiile atmosferice și .

Fig. 5.41 – Variația cu numărul Re nolds pentru un contur circular (după Ronald L.

Panton, Incompressible Flow, Wiley-Interscience, New York, 1984, ISBN 0471897655)

279

5.8 ECUAȚIA LUI BERNOULLI LA CURGEREA FLUIDELOR REALE. PIERDERI ENERGETICE

Ca orice fenomen fizic real și transportul fluidelor se realizează cu pierderi de

energie hidraulică în cazul lichidelor, sau energie pneumatică în cazul gazelor.

Calculul acestor pierderi se face pornind de la ecuația conservării energiei în

cazul mișcării permanente a fluidelor incompresibile, în câmp gravitațional (ecuația

lui Bernoulli 4.59) scrisă pentru două secțiuni de calcul

(coloană uid) (5.156)

Termenul

din ecuația anterioară reprezintă tocmai pierderile

energetice care apar la curgerea fluidului între secțiunile ( ) și ( ). Sunt denumite și

pierderi hidraulice sau pierderi de sarcină (hidraulică), uneori și rezistențe hidraulice.

Astfel, reprezentarea grafică (figura 4.16) a ecuației lui Bernoulli devine pentru

fluidele reale precum în figura următoare

Fig. 5.42 – Reprezentarea grafică a ecuației lui Bernoulli

pentru fluidele reale

Așadar, energia specifică a unui fluid real variază între cele două secțiuni de

curgere.

280

Deși din punct de vedere fizic, pierderile hidraulice în orice element al unei

rețele sunt indivizibile, pentru ușurința calculelor, acestea sunt adesea împărțite

(convențional) pentru aceeași secțiune de calcul în

pierderi liniare, numite și distribuite,

pierderi locale, . Ambele tipuri de pierderi se însumează după principiul suprapunerii

pierderilor, pentru care se ia suma aritmetică a pierderilor distribuite și a pierderilor

locale, deci

(5.157) Practic, valoarea pierderilor liniare ( ) este luată în considerare doar

pentru componentele de lungime relativ mare sau atunci când este apropiată ca

valoare de pierderile locale ( ).

În calculele moderne ale rețelelor hidraulice e mai convenabil să se opereaze

cu coeficienți adimensionali ai pierderilor energetice deoarece, în curenții dinamic și

geometric asemenea, valoarea acestor coeficienți este independentă de natura

fluidului, de viteza curentului, precum și de dimensiunile componentelor calculate

(pentru care se respectă asemănarea geometrică, egalitatea numerelor Reynolds

și/sau a altor criterii de similitudine, dacă ele sunt importante).

În general pierderile de energie hidraulică se exprimă în raport cu termenul

cinetic din ecuația lui Bernoulli, în forma generală

(5.158)

unde reprezintă coeficientul pierderilor energetice, denumit și coeficientul

pierderilor hidraulice, coeficientul pierderilor de sarcină sau coeficient

de rezistență hidraulică,

este viteza medie pe secțiunea de calcul. În funcție de coeficienții adimensionali caracteristici, relația (5.157) se poate

scrie

(5.159)

unde - reprezintă coeficientul de rezistență liniară,

- reprezintă coeficientul de rezistență locală.

281

Principiul însumării pierderilor se aplică nu numai la calculul unui element

separat al unei rețele hidraulice, dar și la calculul hidraulic al întregului ansamblu,

adică suma aritmetică a pierderilor în diferitele elemente de pe traseu este egală cu

rezistența totală a rețelei. În acest caz se iau în considerare și influențele reciproce

ale elementelor ce compun rețeaua hidraulică, situate la distanțe mici unele față de

altele.

5.8.1 Pierderile liniare (distribuite) de sarcină Pierderile distribuite sunt provocate de vâscozitatea fluidului de lucru (atât

moleculară, cât și turbulentă) și constituie rezultatul schimbului de impuls între

molecule (în cazul mișcării laminare), precum și între particulele aflate în straturi

învecinate ale fluidului, care se mișcă cu viteze diferite.

Valoarea acestor piederi de energie hidraulică este proporțională cu

lungimea traseului parcurs. Relația de calcul a acestor pierderi este

(5.160)

unde

- este coeficientului Darcy-Weisbach de frecare vâscoasă, după numele

celor doi oameni de știință Henry Darcy (1803-1858) și Julius

Weisbach (1806-1871) care au contribuit la formularea relației

anterioare, cunoscută și ca relația Darcy-Weissbach,

este lungimea traseului de secțiune constantă, pentru care se

calculează pierderile liniare

reprezintă diametrul hidraulic al secțiunii traseului parcurs de fluid,

relația (4.15).

(4.15)

Din relațiile (5.159) și (5.160) rezultă Când raportul ( )

este constant și fluidul este incompresibil, coeficientul de frecare vâscoasă ( )

depinde de regimul de curgere (numărul Reynolds) și de rugozitatea relativă ( ) a

pereților elementelor hidrulice

(5.161)

unde este rugozitatea absolută: reprezintă înălțimea medie a asperităților

exprimată în unități absolute de lungime, figura 5.43.

282

Fig. 5.43 – Definirea rugozității

Pentru regimul laminar ( ), coeficientul de frecare vâscoasă poate fi determinat analitic, urmând raționamentul prezentat în paragraful 5.1.2 pentru determinarea profilului de viteze în mișcarea laminară. Astfel, din relația (5.13) rezultă (pentru , și )

(5.162)

iar prin înlocuire în (5.160)

(5.163)

Detalii despre calculul coeficientului de frecare vâscoasă sunt prezentate în

capitolul referitor la hidraulica instalațiilor și mașini hidraulice.

Raportul dintre pierderile liniare ( ) și lungimea ( ) pe care acestea se

calculează reprezintă panta hidraulică (J), sau pierderea de sarcină specifică (unității

de lungime)

(5.164)

5.8.2 Pierderile locale de sarcină Pierderile locale de presiune apar pe porțiuni scurte ale curgerii (numite și

singularități) unde are loc o perturbare a curgerii normale, respectiv o variație a

vectorului viteză medie ca modul și/sau direcție. Apar în locurile cu schimbări ale

configurației traseului (difuzoare, confuzoare, coturi, filtre, armături etc.), la

întâlnirea și ocolirea obstacolelor, sau la desprinderea curentului de pereții

conductelor.

Relația generală de calcul a acestor pierderi este de forma (5.158)

283

(5.165)

Coeficientul rezistenței locale ( ) depinde în special de caracteristicile

geometrice ale elementului hidraulic considerat, dar și de alți parametri ai mișcării,

precum

profilul vitezei la intrarea fluidului în elementul hidraulic examinat; la rândul

ei, distribuția de viteze depinde de regimul de curgere, de forma intrării în

element, de lungimea porțiunii drepte ce precede intrarea, de distanța până

la diferitele părți prelucrate ale tronsonului sau obstacole etc.,

numărul Reynolds,

numărul Mach (pentru curgeri cu variații ale densității). Coeficienții ( ) se determină în majoritatea cazurilor pe cale

experimentală, dar sunt situații în care se pot determina și expresii analitice, precum

în exemplul referitor la curgerea cu variație bruscă a secțiunii, figura 5.44.

Fig. 5.44 – Curgerea cu variatie bruscă de secțiune

Pentru calculul rezistenței hidraulice ( ) care apare la modificarea secțiunii

de curgere din figura anterioară se aplică relația lui Bernoulli (5.156)

v

v

v v

(5.166)

Diferența de presiune ( ) se determină din teorema impulsului (7.46)

aplicată unui volum de control cuprins între secțiunile ( ) și ( ), pentru care

greutatea ( ) fluidului poate fi neglijată (în general )

284

(5.167) care prin proiecția pe axa curgerii, în sensul acesteia, devine

v v

(5.168) unde reprezintă forța cu care fluidul acționează asupra joncțiunii, pe suprafața

( ). La limită, presiunea în zona joncțiunii este egală cu presiunea din prima

secțiune, deci . De asemenea, exprimând debitul v ,

relația anterioară devine

v v v

v v v (5.169)

Înlocuind (5.169) în (5.166) rezultă

v v

v v

v v v

v v v v

v v v

v v

v

v

v

v

(5.170)

Acest rezultat este cunoscut și ca relația Borda-Carnot, după numele celor

doi oameni de știință Jean de Borda (1733-1899) și Lazare Carnot (1753–1823) care

au dedus-o.

Și în practică, precum în cazul anterior, piederile locale de sarcină se exprimă

în funcție de viteza mai mare pe tronsonul pentru care se calculează.

Din relația (5.165) se obține următoarea expresie pentru coeficientul

rezistenței locale datorită modificării bruște a secțiunii

(5.171)

După cum se observă, relația nu cuantifică și influența regimului de

curgere, astfel încât în calculele curente se introduce un factor de corecție (C)

(5.172)

Pierderea de energie pentru cazul descris anterior se datorează în principal

desprinderii curentului de pe suprafața conductei (de secțiune ) care conduce la

285

formarea unei zone turbionare (de recirculare) în zona joncțiunii. Acolo unde este

posibil din punct de vedere tehnic, trecerea de la o secțiune la alta se face continuu,

utilizând un sector intermediar de formă tronconică, precum în figura 5.45.

Fig. 5.45 – Curgerea cu variatie continuă de secțiune

5.9 ELEMENTE DE ANALIZĂ DIMENSIONALĂ ȘI TEORIA SIMILITUDINII

Analiza dimensională a apărut ca rezultat al extinderii la fenomenele fizice a

noțiunii de asemănare geometrică. Primele rezultate practice ale aplicării metodei

analizei dimensionale au fost obținute de Galileo Galilei, Isaac Newton și Edme

Mariotte. De asemenea, Jean Baptiste Fourier a avut o contribuție importantă în

dezvoltarea analizei dimensionale, introducînd principiul omogenității dimensionale a

relațiilor fizice. Principiul lui Fourier a fost preluat de oameni de știință ca Joseph

Louis Bertrand, George Gabriel Stokes, William Froude, Osborne Reynolds care au

obținut rezultate semnificative. Cel care fundamentează științific metodei analizei

dimensionale este John William Strutt (Rayleigh).

Prima etapă în aplicarea analizei dimensionale constă în stabilirea mărimilor

fizice care intervin în fenomenul studiat. În cazul în care sunt cunoscute ecuațiile

matematice care reprezintă fenomenul, această etapă nu prezintă dificultăți. Dacă nu

sunt stabilite ecuațiile care descriu fenomenul, atunci trebuie făcută o analiză a

fenomenului și determinate, eventual experimental, mărimile fizice care îl

caracterizează.

În fenomenele complexe de dinamica fluidelor intervine un număr relativ

mare de mărimi fizice, dar dintre acestea, patru sunt fundamentale: masa ( ),

lungimea ( ), timpul ( ) și temperatura ( ). Celelalte pot fi exprimate în funcție de

mărimile fundamentale. De exemplu, forța ( ) poate fi explimată astfel

(5.173)

286

5.9.1 Metoda Rayleigh

Metoda Rayleigh poate fi aplicată pentru stabilirea unei legi fizice, dacă se

cunosc mărimile care determină fenomenul considerat. Ecuațiile diferențiale ale

fenomenului și expresiile forțelor care îl determină pot fi necunoscute.

În conformitate cu metoda Rayleigh, mărimea fizică ce caracterizează

fenomenul studiat este proporțională cu un produs de puteri al mărimilor fizice care

îl determină. Valorile exponenților se obțin impunând condiția omogenității

dimensionale a ambilor membri ai egalității obținute. În expresia finală căutată pot

apare unele mărimi adimensionale, al căror număr este mai mic decât numărul

mărimilor fizice care intervin în descrierea fenomenului examinat.

Metoda Rayleigh se aplică cu ușurință în cazurile în care fenomenul studiat

depinde de cel mult șase mărimi fizice. Dacă numărul mărimilor fizice este mai mare,

aplicarea acestei metode devine greoaie deoarece apar dificultăți în alcătuirea

mărimilor complexe adimensionale. În asemenea situații se utilizează teoremele

ale lui Edgar Buckingham.

Modul de aplicare a metodei Rayleigh este exemplificat în următoarea

aplicație. 5.9.1.1 Să se determine relația de calcul a debitului ( ) de lichid dintr-un rezervor,

printr-un orificiu aflat la o cotă de adâncime ( ) față de suprafața liberă din rezervor. Soluție

Experimental s-a constatat că pentru un fluid debitul este funcție de aria

secțiunii orificiului ( ), de înălțimea ( ) și de accelerația gravitațională (g, forța masică

unitară). Astfel, formula debitului se poate scrie sub forma

(5.174) unde este un coeficient adimensional,

și sunt exponenții corespunzători mărimilor care determină

expresia debitului, care se determină din condiția de

omogenitate dimensională a relației.

Astfel, utilizând dimensiunile fundamentale, masă ( ), lungime ( ) și timp

( ), relația anterioară se poate scrie

(5.175) iar din condiția omogenității dimensionale a membrilor ecuației rezultă sistemul

287

(5.176)

Considerând pentru secțiunea orificiului o expresie de forma , în care

este o lungime caracteristică, rezultă

(5.177)

Coeficientul se exprimă în forma , unde este coeficientul de

debit. Așadar

(5.178)

unde reprezintă viteza teoretică a fluidului prin orificiu. Coeficientul de debit

se determină experimental.

5.9.2 Teoremele a lui Buckingham O altă abordare utilă pentru obținerea unor relații funcționale între

parametrii unui proces o oferă teoremele (teoremele produselor) formulate de

Buckingham după cum urmează. 5.9.2.1 Prima teroemă a lui Buckingham relație între " " variabile (parametri și/sau proprietăți fizice) poate fi

exprimată ca o relație între " " grupuri adimensionale (denumite grupuri ),

unde " " reprezintă numărul de mărimi fundamentale cu ajutorul cărora se exprimă

variabilele considerate. Astfel, o relație între parametrii/proprietățile (

(5.179) poate fi exprimată în forma

(5.180)

288

5.9.2.1 A doua teroemă a lui Buckingham Fiecare grup adimensional ( depinde de maximum ( )

variabile care intervin în mod curent în fenomenele studiate. În cazul fluidelor (în acord cu numărul mărimilor fundamentale - masă

lungime și timp), iar densitatea ( ), viteza ( ) și o lungime caracteristică (diametrul )

pot fi considerate ca variabile care intervin în mod curent (repetitiv) în problemele de

mecanica fluidelor. Cele mai utilizate grupuri sunt

numărul Reynolds

numărul Mach

numărul Euler

numărul Froude

numărul Weber

unde reprezintă tensiunea superficială. Aceste grupuri reprezintă și criterii de similitudine în studiul fenomenelor

de dinamica fluidelor la o scară diferită de cea la care se desfășoară în realitate.

Pentru a exemplifica modul în care se poate utiliza această metodă, se va

determina relația funcțională a debitului ( ) considerând exemplul din paragraful

anterior, referitor la golirea unui rezervor printr-un orificiu. Ținând cond și de

rezultatul obținut anterior, , funcția definită de relația (5.179) se poate

exprima în forma

(5.181) unde a fost luată în considerare și vâscozitatea fluidului ( ).

289

Așadar, conform primei teoreme a lui Buckingham există 2 grupuri , care în

funcție de și pot fi exprimate astfel

ș

(5.182)

care din punct de vedere dimensional sunt echivalente cu

și

de unde rezultă

Așadar

ș

(5.183)

iar relația (5.180) devine în acest caz

(5.184)

Comparând cu relația (5.178) obținută anterioar rezultă

(5.185)

deci coeficientul de debit (care se determină experimental) este funcție de numărul

Reynolds (regimul de curgere).

5.9.3 Utilizarea modelelor la scară. Criterii de similitudine

În unele cazuri, datorită costurilor ridicate pentru realizarea unor instalații

experimentale de dimensiuni mari și a echipamentelor aferente, se preferă testarea

unor modele la scară. Pentru ca rezultatele stabilite pe modele la scară să fie valabile

și pentru cele în mărime naturală, trebuie îndeplinite anumite criterii de similitudine.

Acestea sunt mărimi adimensionale (numite și numere caracteristice) care

reprezintă condițiile de asemănare a două fenomene, original și reprodus pe un

model. Se definesc următoarele forme de bază ale similitudinii.

290

5.9.3.1 Similitudinea geometrică impune ca lungimile omoloage ale originalului și

modelului să fie asemenea, adică să păstreze un rapor constant, numit și factor de

scară ( ). Astfel

(5.186)

5.9.3.2 Similitudinea cinematică impune ca punctele omoloage ale originalului și

modelului să parcurgă traiectorii asemenea în intervale de timp asemenea. În cazul

vitezelor, se definește constanta (de asemănare a vitezelor) pentru care

(5.187)

unde reprezintă constanta de asemănare a timpilor. Similar se pot defini constante de asemănare și pentru alți parametri

cinematici.

5.9.3.3 Similitudinea dinamică impune ca raportul forțelor de aceeași natură ce

acționează în puncte omoloage asupra originalului și modelului să fie constant. Se

definește astfel constanta de asemănare a forțelor pentru care

(5.188)

unde reprezintă constanta de asemănare a maselor.

Fenomenele de dinamica fluidelor depind în general, în afara forțelor de

inerție, de o singură forță, ponderea celorlalte putând fi neglijată. În practică, acest

fapt a permis stabilirea unor criterii particulare, a căror valabilitate este restrânsă la

condițiile concrete în care una dintre forțele exterioare este predominantă.

De exemplu, în cazul experimentelor realizate în tunele aerodinamice de

mică viteză (care operează în regim subsonic incompresibil), trebuie îndeplinit

criteriul Reynolds de similitudine, deoarece forțele care predomină sunt cele de

frecare vâscoasă. În astfel de situații, pentru ca două mișcări să fie asemenea, atât pe

pe model cât și în natură, trebuie ca numărul Reynolds definit de relația (5.1) să fie

egal în ambele situații

(5.189)

291

Datorită faptului că în tunelele aerodinamice se experimentează cu același

fluid ca și în situațiile reale (aerul atmosferic), situație în care vâcozitățile coincid,

relația (5.184) se poate rescrie în forma

(5.190)

Așadar, pentru încercările de aerodinamică, în cazul în care se utilizează un

model la scara 1:5 viteza ar trebui să fie de cinci ori mai mare. Pentru o viteză

(25 m/s) precum în cazul unui automobil, viteza de testare a

modelului ar trebui să fie (125 m/s). Pentru un tunel uzual,

această viteză este greu de atins. De altfel, la această valoare a vitezei aerului,

efectele termice și de compresibilitate nu mai pot fi neglijate fiind necesară și

îndeplinirea criteriului de similitudine Mach.

Experimental, s-a constatat că pentru numere Reynolds mari ( ),

influența acestui criteriu scade. În figura 5.41 este prezentat modul în care

coeficientul de rezistență aerodinamică al unui cilindru variază în funcție de numărul

Reynolds. Se observă că peste valoarea numită critică , numită și de

automodelare, variația devine nesemnificativă cu creșterea numărului Reynolds.

Acest lucru face posibilă evaluarea caracteristicilor aerodinamice ale

automobilelor și pe modele la scară, cele mai utilizate fiind scările 1:2, 1:5, mai rar

1:10.

Cele mai utilizate criterii de similtudine sunt

Criteriul Reynolds când predomină forțele de frecare vâscoasă,

Criteriul Mach când predomină forțele de inerție și elastice,

Criteriul Euler când predomină forțele de inerție,

numărul Froude când predomină forțele gravitaționale,

numărul Weber când predomină forțele de inerție și capilare

292

6. ELEMENTE DE HIDRAULICA INSTALAȚIILOR ȘI

MAȘINI HIDRAULICE

Hidraulica reprezintă una dintre aplicațiile mecanicii fluidelor în care sunt

studiate curgerea lichidelor prin conducte și canalizări și funcționarea mașinilor

hidraulice cu ajutorul cărora se realizează transportul acestor fluide. În acest capitol

sunt prezentate elementele de bază ale hidraulicii, întrucât există numeroase

monografii în care această disciplină este tratată în detaliu.

6.1 MIȘCĂRI PERMANENTE ÎN CONDUCTE SUB PRESIUNE Problemele generale referitoare la trasportul fluidelor prin conducte sub

presine sunt

determinarea unui diametru minim când se cunosc debitul necesar și

configurația traseului hidraulic, estimând pierderile energetice pe acesta,

determinarea debitului maxim pentru un traseu hidraulic și pierderi

energetice impuse,

determinarea pierderilor de sarcină minime pentru un traseu hidraulic dat și

o valoare impusă a debitului. Așadar, obiectivul principal al calculului conductelor sub presiune constă în

estimarea și determinarea pierderilor energetice care apar la transportul fluidelor

prin acestea. Calculul pierderilor se face pornind de la ecuația lui Bernoulli (4.59)

scrisă pentru două secțiuni de calcul

(coloană uid) (6.1)

unde termenul

din ecuația anterioară reprezintă tocmai pierderile energetice

care apar la curgerea fluidului între secțiunile ( ) și ( ),

(6.2)

După cum am menționat și în capitolul anterior, pierderile hidraulice ( )

sunt împărțite pentru aceeași secțiune de calcul în

293

pierderi liniare, numite și distribuite,

pierderi locale, . Ambele tipuri de pierderi se însumează după principiul suprapunerii

pierderilor, pentru care se ia suma aritmetică a pierderilor distribuite și a pierderilor

locale

(6.3) Ambele tipuri de pierderi se exprimă în raport cu termenul cinetic din ecuația

lui Bernoulli, în forma generală

(6.4)

unde reprezintă un coeficient (adimensional) caracteristic pierderii energetice. În mod curent, în calculele moderne ale rețelelor hidraulice se operează cu

coeficienții caracteristici pierderilor, deoarece în curenții dinamic și geometric

asemenea valoarea acestora este independentă de natura fluidului, de viteza

curentului, precum și de dimensiunile componentelor calculate (pentru care se

respectă asemănarea geometrică, egalitatea numerelor Reynolds și/sau a altor

criterii de similitudine).

6.1.1 Pierderi liniare. Calculul coeficientului lui Darcy Pentru un traseu hidraulic de secțiune constantă, piederea distribuită de

energie hidraulică este proporțională cu lungimea traseului parcurs și invers

proporțională cu diametru traseului

(6.5)

unde

- este coeficientului Darcy-Weisbach de frecare vâscoasă,

este lungimea traseului de secțiune constantă, pentru care se

calculează pierderile liniare,

reprezintă diametrul hidraulic al secțiunii traseului parcurs de fluid,

relația (4.15). Pentru situațiile în care traseul hidraulic este format din mai mai multe

tronsoane cu secțiuni diferite, figura 6.1, pierderile liniare totale se obțin prin

îsumarea pierderilor pe fiecare tronson.

294

Fig. 6.1 – Calculul pierderilor liniare pentru un traseu hidraulic format din

tronsoane cu secțiuni diferite

Pentru situația ilustrată în figura 6.1, pierderea totală de energie distribuită

este

(6.6)

Când raportul ( ) este constant și fluidul este incompresibil, coeficientul

de frecare vâscoasă ( ) depinde de regimul de curgere (numărul Reynolds) și de

rugozitatea relativă ( ) a pereților elementelor hidrulice, relația (5.161).

Există următoarele cazuri de calcul a coeficientului de frecare vâscoasă ,

pentru care sunt utilizate următoarele relații.

6.1.1.1 Pentru curgeri laminare, , se calculează cu relația lui Stokes

(determinată analitic) și este funcție doar de numărul Reynolds

(6.7)

6.1.1.2 Pentru curgeri turbulente netede, , neinfluențate de rugozitatea

conductei, se calculează cu relația lui Blasius

(6.8)

Din punct de vedere practic, acest regim de curgere corespunde unor

numere Reynolds în intervalul și unei rugozități relative

.

6.1.1.3 Pentru curgeri turbulente complet dezvoltate, , în conducte

rugoase, , se poate calcula cu una din relațiile

295

(6.9)

determinată de A. Altșul, sau

(6.10)

stabilită de Johann Nikuradze.

Valoarea numărului Reynolds de la care rugozitatea începe să influențeze

curgerea ( ), deci și valoarea coeficientului de frecare vâscoasă, se poate poate

aproxima cu relația (Pecornik)

(6.11)

6.1.1.4 Pentru regimurile de tranziție se poate utiliza relația lui Moody

(6.12)

Fig. 6.2 – Diagrama variației coeficientului de frecare vâscoasă a lui Mood

296

Rezultatele variației coeficientului de frecare vâscoasă în funcție de numărul

Reynolds și de rugozitatea realativă au fost sintetizate și în formă grafică în diagrame

precum cea a lui Moody, figura 6.2.

6.1.2 Pierderile locale de sarcină Pierderile locale de presiune apar pe porțiuni scurte ale curgerii (singularități)

unde are loc o perturbare a curgerii normale, respectiv o variație a vectorului viteză

medie ca modul și/sau direcție.

Apar în locurile cu schimbări ale configurației traseului: difuzoare,

confuzoare, coturi, ramificații, filtre, armături, la întâlnirea și ocolirea obstacolelor, la

desprinderea curentului de pereții conductelor etc.

Relația generală de calcul a acestor pierderi este de forma

(6.13)

Dacă viteza variază între secțiunile de intrare și ieșire ale elementului

hidraulic căruia i se determină pierderea de energie hidraulică, se calculează

considerând viteza mai mare. Astfel, pentru exemplul din figura 6.1, pierderea de

energie la modificarea secțiunii ( ) este

Coeficienții ( ) se determină în majoritatea cazurilor pe cale

experimentală, determinându-se ulterior relații care să exprime dependența acestora

de parametri caracteristici. O monografie care sintetizează rezultatele referitoare la

majoritatea situațiilor întâlnite în practică a fost elaborată de I.E. Idelcik, Indrumător

pentru Calculul Rezistentelor Hidraulice, publicată în limba română la Editura Tehnică,

București, 1984.

6.1.3 Caracteristica unui traseu hidraulic Caracteristica unui traseu hidraulic reprezintă dependența dintre pierderile

de energie ( ) și debitul ( ) de fluid transportat. Se reprezintă uzual în

formă grafică, precum în figura 6.3.

Datorită exprimării pierderilor energetice în funcție de termenul cinetic din

ecuația lui Bernoulli, aceată dependență poate fi aproximată cu

o funcție de gradul doi în forma

297

(6.14) curba fiind în acest caz o prabolă cu vârful în originea sistemului ( ).

Fig. 6.3 – Caracteristica unui traseu hidraulic

Zona discontinuă din curba de variație corespunde situațiilor în

care valorile coeficienții pierderilor sunt dependente de numărul Reynolds, deci

Similar precum în cazul dependenței descrisă în paragraful

5.9.3.3 și variațiile coeficienților caracteristici pierderilor energetice devin

nesemnificative pentru curgerile caracterizate de caz în care și factorul

devine constat.

Din punct de vedere practic, relația corespunde unui regim de

curgere turbulent complet dezvoltat în conducte rugoase, numit și regim pătratic, în

acord cu relația (6.14).

Pentru un traseu hidraulic de secțiune constantă ( ), pe a

cărui lungime ( ) se găsesc " " siguralarități, relația (6.14) este echivalentă cu

(6.15)

deci constanta traseului în acest caz este

(6.16)

298

6.2 MIȘCĂRI NEPERMANENTE ÎN CONDUCTE SUB PRESIUNE

LOVITURA DE BERBEC

Regimurile nepermanente de mișcare ale fluidelor, caracterizate de existența

variațiilor locale ale vitezei și implicit de variații ale presiunii, sunt cazuri frecvent

întâlnite în funcționarea instalațiilor hidraulice. Apar la pornirea sau oprirea

instalațiilor, sau la modificări rapide ale regimului de funcționare.

Mișcările nepermanente ale fluidelor în conducte se pot realiza în conducte

sub presiune, ca de exemplu lovitura de berbec, sau în conducte cu suprafață liberă

la capătul superior, precum oscilațiile într-un castel de echilibru. Dintre mișcările

nepermanente în conducte sub presiune, importante din punctul de vedere al

aplicațiilor practice sunt lovitura de berbec, oscilațiile în masă și mișcările sonice.

Lovitura de berbec reprezintă un fenomen caracterizat prin apariția și

propagarea sub formă de unde a unor variații mari de presiune în conductele prin

care curg lichide, ca rezultat al variațiilor rapide ale vitezei de curgere.

Astfel, în cazul închiderii complete sau parțiale a unei conducte forțate (sub

presiune) se produce o serie de suprapresiuni și depresiuni care se propagă în lungul

conductei, solicitând-o asemenea unor lovituri puternice, de unde și denumirea,

lovitura de berbec.

Acest fenomen poate fi observat și pe conducta de refulare a unei pompe.

Astfel, în momentul în care se oprește pompa sau se micșorează turația ei, se

produce mai întâi o depresiune urmată apoi de o serie de suprapresiuni și depresiuni

care se propagă în lungul conductei.

Viteza " " de propagare a loviturii de berbec se determină cu ecuația lui

Lorenzo Allievi

(6.17)

unde este viteza de propagare a sunetului în fluid, relația (2.26),

reprezintă modulul de elasticitate al fluidului,

este modulul (Young) de elasticitate al materialului conductei,

este diametrul interior al conductei,

reprezintă grosimea peretelui conductei,

este densitatea fluidului,

reprezită modulul de elasticitate aparent al fluidului, care ia în

considerare și elasticitatea conductei,

299

(6.18)

În cazul apei, pentru care se cunoaște viteze de propagare a sunetului, se

poate utiliza formula lui Jukovski

(6.19)

Variația de presiune (saltul de presiune) ce corespunde unei

variații de viteză , se poate calcula cu relația lui Jukovski

(6.20) Astfel, presiunea maximă se obține când , care pentru o situație

concretă corespunde cu închiderea (rapidă) a vanei de reglare a debitului.

(6.21) Pentru a împiedica suprasolicitatea conductei de aducțiune la o amenajare

hidroenergetică se utilizează castele de echilibru ca măsură de protecție împotriva

fenomenului loviturii de berbec, după cum este ilustrat în figura 6.4.

Fig. 6.4 – Schema unei amenajări hidroenergetice cu castel de echilibru

Castelul de echilibru preia undele de presiune, împiedicând astfel

pătrunderea acestora din conducta forțată în conducta de aducțiune. Astfel, în castel

apare o serie de oscilații ale nivelului suprafeței libere, care în timp se amortizează.

300

6.3 MIȘCĂRI EFLUENTE PERMANENTE

Caracteristic mișcărilor efluente sunt variațiile mari ale secțiunii de curgere în

lungul curentului, însoțite de variații mari ale vitezelor și presiunilor. Curgerea

fluidelor prin orificii/ajutaje și trecerea lichidelor peste deversoare sunt cele mai

întâlnite astfel de mișcări.

Orificiul este o deschizătură practicată în peretele unui rezervor ce conține

un fluid, sub nivelul suprafeței libere în cazul lichidelor. Ajutajul reprezintă o

conductă, relativ scurtă, montată la nivelul unui orificiu de golire, în scopul obținerii

unui jet dirijat și a creșterii debitului. Deversoarele reprezintă cazuri particulare ale

orificiilor mari, practicate în partea superioară a peretelui unui rezervor, prin care

curge un lichid cu suprafață liberă.

Studiul acestor curgeri se face pe o porțiune restrânsă, în jurul secțiunii

orificiului (ajutajului, deversorului), neglijându-se pierderile energetice din zona

schimbării de secțiune.

6.3.1 Curgerea prin orificii Se consideră cazul golirii unui rezervor printr-un orificiu muchie ascuțită

pentru a minimiza pierderile prin frecare, precum în figura de jos.

Fig. 6.5 - Golirea unui rezervor printr-un orificiu

Din aspectul liniilor de curent, se poate observa cum vena de fluid se

contractă la trecerea prin orificiu (vena contracta), după care liniile de curent devin

paralele. În secțiunea minimă viteza și presiunea sunt uniforme.

301

Viteza maximă a jetului se poate determina din ecuația lui Bernoulli, pe o

linie de curent, între punctele 1 și 2, care corespund suprafeței libere, respectiv

secțiunii minime a jetului, la nivelul orificiului

(6.22)

Deoarece aria suprafeței libere este mare în raport cu aria orificiului, rezultă

că viteza la nivelul suprafeței libere este mică, putându-se neglija termenul cinetic în

această secțiune, deci . Considerând ca nivel de referință ,

rezultă că . De asemenea, la nivelul celor două puncte presiunile sunt egale,

având valoarea presiunii atmosferice locale. Așadar, relația anterioară se rescrie sub

forma

g (6.23)

Această viteză este una teoretică. Pentru a lua în calcul și pierderile prin

frecare se utilizează coeficientul de corecție al vitezei . Acesta este caracteristic

pentru fiecare dintre orificii și de regulă se găsește în intervalul (0.97 - 0.99).

Pentru a calcula debitul prin orificiu se ține cont de faptul că aria în secțiunea

minimă ( ) este egală cu cea a orificiului ( ) multiplicată cu un coeficient

(subunitar) de contracție

(6.24) Astfel, debitul prin orificiu ( ) se poate calcula cu relația

g (6.25) unde reprezintă coeficientul de debit, care se determină experimental

pentru fiecare tip de orificiu. Dacă presiunea (relativă) la nivelul suprafeței de libere nu este nulă, ,

relația (6.23) devine

g

(6.26)

unde este greutatea specifică lichidului din rezervor.

302

6.3.2 Calculul timpului de golire al unui rezervor Pentru calculul timpului de golire, se notează cu " " aria secțiunii

transversale a rezervorul din exemplul anterior. Deoarece înălțimea este variabilă

(scade în timp), rezultă că viteza prin orificiu (dependentă de ) variază și ea.

Considerând că în intervalul de timp nivelul în rezervor scade cu , rezultă că

debitul v devine

v

(6.27)

Semnul minus din relația anterioară se datorează faptului că variația de nivel

este negativă, (descrește). Ținând cont de relația debitului printr-un orificiu

(6.25) se obține

g

g

(6.28)

Prin integrare între nivelul inițial și nivelul final , se obține expresia

timpului ( ) necesar ca nivelul în rezervor să scadă cu

g

g

(6.29)

6.3.3 Curgerea peste deversoare Deversoarele reprezintă orificii mari, deschise la partea superioară,

practicate în pereți laterali cu scopul de a controla curgerea lichidelor prin ele. Uneori

sunt folosite și la determinarea debitelor curenților de fluide cu suprafață liberă.

Pentru calculele următoare se consideră că viteza fluidului în amonte este

mică, astfel încât energia cinetică a curentului se poate neglija.

Fie un deversor de formă oarecare și nivel , precum în figura 6.6. Pentru a

determina debitul deversorului se consideră o arie elementară la nivelul , de lățime

și înălțime .

Din ecuația (6.23) viteza fluidului prin aria elementară ( ) este

g , iar debitul elementar ( )

g (6.30)

303

Fig. 6.6 – Curgerea peste un deversor

Prin integrare între suprafața liberă ( ) și creasta deversorului ( )

se obține debitul total

g

(6.31)

Pentru a soluționa această relație trebuie cunoscută geometria deversorului

(dependența dintre și ). În paragrafele următoare sunt prezentate două dintre

situațiile frecvent întâlnite.

6.3.3.1 Deversoare rectangulare Pentru deversoare rectangulare, figura 6.7, lățimea este constantă,

,

Fig. 6.7 – Deversor rectangular

iar relația (6.31) devine

g

g (6.32)

Ținând cont și de pierderile energetice

304

g (6.33)

unde este coeficientul de debit al deversorului, care se determină experimental.

6.3.3.2 Deversoare triunghiulare Pentru un deversor triunghiular precum cel din figura 6.8, de unghi ,

dependența dintre și este

(6.34)

Fig. 6.8 – Deversor triunghiular

Astfel

g

g

(6.35)

Ținând cont și de pierderile energetice

g

(6.36)

6.4 MAȘINI (GENERATOARE) HIDRAULICE

Generatoarele hidraulice sunt mașini care transformă energie mecanică în

energie hidraulică. După natura fluidului antrenat, acestea pot fi clasificate în

Pompe, mașini ce funcționează cu lichide

Ventilatoare și compresoare mașini ce funcționează cu gaze.

În cazul mașinilor funcționând cu gaze, dacă fluidul nu suferă comprimări

semnificative, procesele termodinamice au o importanță redusă și studiul funcționării

se poate face aplicând legile hidrodinamicii, precum în cazul ventilatoarelor. Mașinile

funcționând cu gaze la diferențe mari de presiune, precum compresoarele, sunt

305

tratate în cadrul mașinilor termice deoarece în timpul funcționării acestora au loc

transformări termodinamice ale fluidului de lucru.

După principiul funcțional prin care se efectuează transformarea de energie,

generatoarele hidraulice pot fi clasificate în următoarele categorii

Pompe hidrodinamice (turbopompe) sunt mașini în care transformarea de

energie are loc datorită interacțiunii dintre palete și fluid (prin modificarea

momentului cantității de mișcare); sunt caracterizate prin viteze mari ale

fluidului față de organele active ale mașinii (rotor), iar debitul variază cu

înălțimea de pompare.

Pompe volumice sunt mașini în care au loc deplasări periodice ale unor

volume de lichid dinspre aspirație către refulare, cu creșterea corespunză-

toare a presiunii; sunt caracterizate prin deplasări reduse ale fluidului față de

organele active ale mașinii (rotor, piston, membrană etc.), iar debitul variază

foarte puțin cu înălțimea de pompare.

Pompe cu fluid motor sunt mașini hidraulice statice utilizate pentru

antrenarea fluidelor folosind energia unui curent de fluid (fluid motor).

Elevatoare hidraulice sunt instalații ce ridică apa la o înălțime geometrică

fixă, crescând doar energia de poziție a lichidului. În paragrafele următoare sunt prezentate noțiunile de bază ale construcției,

funcționării și exploatării pompelor centrifuge și ventilatoarelor, frecvent întâlnite în

practică.

6.4.1 Pompe centrifuge 6.4.1.1 Construcția funcționarea unei pompe centrifuge Pompele centrifuge, denumite și radiale, sunt mașini care transformă energia

electromecanică preluată de la un motor (de antrenare) în energie hidraulică datorită

interacțiunii dintre organele active ale mașinii (paletele rotorului) și lichidul vehiculat.

Denumirea este dată de sensul circulației fluidului de lucru în timpul procesului de

creștere a energiei hidraulice, respectiv în direcție radială.

În funcție de domeniul de utilizare, există mai multe soluții constructive ale

acestor generatoare hidraulice. În figura 6.9(a) este prezentată o secțiune (de

principiu) printr-o pompă centrifiugă monoaspirantă, monoetajată, însoțită de o

vedere în perspectivă a acesteia, figura 6.9(b).

După cum se observă, din punct de vedere constructiv, o pompă centrifugă

este compusă din următoarele subansamble principale.

306

Fig. 6.9 - Pompă centrifugă monoaspirantă, monoetajată

Rotorul (1) reprezintă partea mobilă a pompei și este format dintr-o coroană

circulară (9) fixată pe arborele (5), dintr-un inel (10) și mai multe

palete curbate (11), înclinate spre înapoi față de sensul de rotire. Carcasa (2) este constituită din capacul de aspirație (8) racordat la conducta de

aspirație și camera spirală de refulare (6), care se termină prin

difuzorul (7) racordat la conducta de refulare. Pentru a evita curgerea

lichidului în exterior și pătrunderea aerului în zona de aspirație

(aceasta fiind principala cauza în funcționarea necorespunzătoare a

pompelor) zona în care arborele trece prin carcasă este prevăzută cu

o etanșare specială (12). Suport (3) Reprezintă totodată batiul pompei, încorporând lagărul în care este

fixat arborele prin intermediul rulmenților (4).

307

În circulația sa prin pompă, fluidul parcurge două etape din punct de vedere

al tranferului de energie. Prima corespunde trecerii prin rotor, unde îi este mărită

energia prin creșterea vitezei. În a doua etapă, lichidul (care la ieșirea din rotor

dispune de o energie cinetică ridicată) este colectat în camera spirală de secțiune

continuu crescătoare și condus apoi prin difuzor spre conducta de refulare.

Diminuarea vitezei în camera spirală și difuzor are ca rezultat creșterea energiei

potențiale de presiune (statică), evidențiată de creșterea presiunii lichidului.

6.4.1.2 Curbe caracteristice unei pompe centrifuge

Pentru a caracteriza modul de funcționare al unei pompe este necesară

cunoașterea dependențelor dintre parametrii funcționali ai acesteia: debit ( ),

sarcină ( ), putere utilă ( ), puterea consumată ( ) și randament ( ).

Sarcina pompei, numită și înălțime de pompare, reprezintă diferența dintre

energia specifică (unității de greutate) lichidului la ieșirea din pompă (refulare) și

energia specifică de la intrarea în pompă (admisie)

(6.37)

unde , sunt viteza medie a lichidului în secțiunea de refulare, respectiv în

cea de aspirație,

, sunt presiunile lichidului în cele două secțiuni caracteristice,

, sunt cotele de nivel ale celor două secțiuni de calcul față de un plan

de plan de referință,

reprezită densitatea lichidului.

Puterea utilă reprezintă partea de putere primită la arborele pompei,

valorificată sub formă de putere hidraulică. Se calculează cu relația

(6.38) unde reprezită greutatea specifică lichidului.

Puterea consumată, sau puterea preluată de arborele pompei de la motorul

de antrenare, reprezintă produsul dintre momentul ( ) transmis la arborele rotorului

și viteza unghiulară a acestuia ( )

(6.39) unde reprezită turația, exprimată în rotații pe secundă.

308

Randamentul global al pompei se determină ca raport între puterea utilă și

puterea comsumată

(6.40)

Legăturile funcționale , , și

reprezintă caracteristicille unei pompe. Uzual, acestea sunt exprimate grafic în forma

unor curbe (caracteristice), precum în figura 6.10.

Fig. 6.10 - Caracteristicile unei pompe centrifuge

În general, aceste dependențe se determină pe cale experimentală pentru o

turație ( ) constantă. Cu ajutorul curbelor caracteristice se determină punctul de

funcționare optimă al unei pompe, definit de coordonatele ( ce

corespund valorii maxime a randamentului.

Dacă pentru alimentarea unui consumator, debitul furnizat de o singură

pompă este insuficient, sau înălțimea de pompare este prea mică, se pot cupla în

paralel, respectiv în serie, mai multe pompe. Funcționarea unor astfel de cuplaje este

descrisă tot cu ajutorul curbelor caracteristice.

Teoretic, în cazul a două pompe identice legate în paralel, debitul de fluid

vehiculat se va dubla pentru aceeași sarcină, iar în cazul cuplării în serie, sarcina

(înălțimea de pompare) se va dubla pentru același debit.

Formele curbelor caracteristice pompelor centrifugale funcționând în paralel,

respectiv serie, sunt prezentate în figura 6.11.

309

Fig. 6.11 - Caracteristicile unei cuplaj de pompe centrifuge

6.4.1.3 Funcționarea unei pompe în rețea În timpul funcționării unei pompe cuplată într-o rețea hidraulică se stabilește

un echilibru masic și energetic între

debitul livrat de pompă ( ) și debitul preluat de rețeaua hidraulică ( ),

sarcina pompei (energia transferată de pompă unității de greutate a

fluidului) și sarcina rețelei . Așadar, și , iar funcționarea ansamblului pompă-rețea

poate fi urmărită cu ajutorul curbelor caracteristice , figura 6.12.

Fig. 6.12 - Determinarea punctului de funcționare al

ansamblului pompă-rețea

310

La intersecția curbelor cacacteristice se află punctul de funcționare ( ) al

ansamblului pompă-rețea. În cazul unei exploatări eficinte a pompei, acesta trebuie

să se afle cât mai aproape de punctul de optim, ce corespunde punctului de

randament maxim al pompei.

6.4.1.4 Legile de similitudine ale pompelor centrifuge

Cercetările experimentale referitoare la funcționarea pompelor centrifuge se

efectuează fie pe un prototip (executat la dimensiuni normale), fie pe o turbomașină

geometric asemenea, construită la o scară redusă (model).

Legile de similitudine care se aplică în studiul pompelor centrifuge, ce permit

extrapolarea rezultatelor obținute pentru prototip tuturor celorlalte pompe

asemenea din punct de vedere geometric, sunt cele referitoare la raportul debitelor

( ), sarcinilor ( ) și puterilor ( )

(6.41)

(6.42)

(6.43)

unde reprezintă turația,

este dimensiunea caracteristică (diametrul),

densitatea fluidului de lucru. Aceste legi sunt valabile și pentru alte categorii de turbomașini.

6.4.1.5 Cavitația pompelor Pentru turbomașinile care funcționează cu lichide (turbopompe și turbine

hidraulice cu reacțiune) este importantă studierea apariției fenomenului de cavitație,

care produce o funcționare necorespunzătoare a acestor mașini.

Cavitația apare când în rotorul turbomașinii presiunea egalează sau scade

sub valoarea presiunii de vaporizare a fluidului de lucru. Constă în formarea unor

bule de vapori care recondensează când ajungând în zone de presiuni mare,

solicitând suplimentar instalațiile. Fenomenul e marcat prin apariția unor zgomote

311

puternice, temperaturi locale ridicate, coroziune chimică, ce conduc la distrugerea

prematură a instalațiilor.

În cazul turbomașinilor, presiunea de vaporizare este influențată de poziția

rotorului față de nivelul suprafeței libere din bazinul de aspirație, numită înălțime de

aspirație . Aceasta este considerată pozitivă ( ) când rotorul turbomașinii se

găsește deasupra suprafeței libere din bazinul de aspirație, precum în figura 6.13 și

negativă ( ) când rotorul se găsește sub nivelul suprafeței libere din bazinul de

aspirație. Pentru cazurile în care , pompa trebuie amorsată înainte de pornire,

prin umplerea pompei și conductei de aspirație cu fluidul de lucru.

Fig. 6.13 - Înălțimea geometrică de pompare ( )

Alegerea unei înălțimi de aspirație mari duce la scăderea presiunii în

turbomașină și la apariția fenomenului de cavitație, caracterizat de coeficientul de

cavitație ( ) introdus de D. Thoma (1924)

(6.44)

unde este presiunea dinamică a curentului de fluid,

este presiunea statică

presiunea critică, la care apare fenomenul de cavitație,

înălțimea geometrică de pompare, reprezintă suma înălțimilor de

aspirație ( ) și refulare ( )

.

312

Un exemplu referitor la calcul înălțimii maxime de aspirație a unei pompe

este prezentat în paragraful cu aplicații, care încheie acest capitol.

6.4.2 Ventilatoare Ventilatoarele sunt mașini (generatoare) ce funcționează cu gaze.

Transformă energia mecanică, preluată de la motorul de antrenare, în energie

pneumatică, manifestată sub forma creșterii presiunii totale între secțiunile de

aspirație și refulare. 6.4.2.1 Organizazarea ventilatoarelor din punct de vedere constructiv Din punct de vedere constructiv ventilatoarele pot fi

ventilatoare radiale, figura 6.14 și

ventilatoare axiale, figura 6.15. Denumirea este dată de sensul de circulație al fluidului de lucru, în direcție

radială, sau pe direcția axei rotorului.

Fig. 6.14 - Ventilator radial

Ventilatorul radial prezentat în figura anterioară este compus din

următoarele subansamble Carcasă (1) Este constituită din camera (1) și racordul de refulare (3). Camera de

refulare, tip spirală, are secțiunea radială dreptunghiulară cu lățime

constantă.

313

Rotor (2) Reprezintă locul transferului de energie. Este de tip închis, format

dintr-o coroană circulară (5) solidară cu butucul, dintr-un inel (4) și

mai multe palete (6), curbate, înclinate înapoi față de sensul de

rotire. Sunt fixate de coroană și inel prin nituire. Avantajele acestui

tip de rotor constau într-o mai bună conducere a gazului, prin

evitarea vârtejurilor cauzate de desprinderi. În consecință, realizează

randamente mai bune și au caracteristici de presiune stabile.

Principalul inconvenient ce le limitează domeniul de utilizare este

debitul relativ mic de fluid circulat. Ajutaj de Este profilat astfel încât să realizeze o conducere favorabilă a gazului

aspirație (8) spre rotor. Se fixează de carcasă prin intermediul unei flanșe. Este

dotat cu o sită (9). Electromotor Este fixat în exterior prin intermediul unui suport solidar cu carcasa. Utilizarea ventilatoarelor radiale s-a impus în aplicațiile unde este necesară o

funcționare silențioasă.

Fig. 6.15 - Ventilator axial

Și în cazul ventilatoarelor axiale există diverse variante constructive, cea mai

simplă fiind constituită dintr-un rotor și motorul de antrenare. Ventilatorul prezentat

în figura 6.15 este compus din următoarele subansamble

314

Carcasă Este compusă dintr-un tub cilindric (1) echipat în interior cu un

paletaj statoric fix (2), plasat după rotor, în scopul diminuării

turbulenței aerului la ieșirea din ventilator. Statorul Este plasat în fața rotorului, fiind format din paletele profilate (3),

prinse la un capăt de carcasă, iar la celălalt de un butuc ce servește și

ca suport pentru lagăre. Are rolul de a atenua efectul de rotație al

curentului și de conducere favorabilă a acestuia spre paletele

rotorului. Rotorul Este constituit dintr-un arbore și un ansamblu de palete profilate

aerodinamic (4). Electromotor Este fixat în interiorul carcasei prin intermediul suportului (6). Ajutajul de are rolul de a conduce favorabil curentul de aer către paletele

aspirație (7) statorice (3). Ventilatoarele axiale sunt utilizate în aplicațiile pentru care este necesară

vehicularea unor debite mari de fluid.

6.4.2.2 Parametrii funcționali și curbele caracteristice Principalii parametri care descriu funcționarea unui ventilator sunt presiunea

totală, debitul și randamentul.

Uzual, în cazul ventilatoarelor se operează cu debitul masic

(6.45) unde reprezintă densitatea fluidului de lucru,

este viteza medie a fluidului într-o secțiune de arie . Presiunea totală reprezintă creșterea presiunii gazului la trecerea prin

ventilator, adică diferența dintre presiunea ( ) totală medie în secținea de

evacuare (refulare) și presiunea totală medie la aspirație ( )

(6.46)

Din punct de vedere energetic, reprezintă puterea transferată de

ventilator gazului vehiculat raportată la debitul volumic, deci puterea utilă , adică

315

partea de putere primită la arborele rotorului valorificată sub formă de putere

pneumatică

(6.47) Randamentul ventilatorului se determină prin raportarea puterii utile la

puterea consumată

(6.48)

unde puterea consumată, echivalentă cu puterea mecanică la arborele rotorului

reprezintă produsul dintre momentul ( ) transmis la arborele rotorului și viteza

unghiulară a acestuia, ,relația (6.39).

Curbele caracteristice reprezintă dependențele dintre parametrii funcționali

ai unui ventilator, , , , reprezentate în formă

grafică. Se obțin în urma încercărilor de laborator și caracterizează comportamentul

ventilatoarelor în exploatare.

Fig. 6.16 - Curbele caracteristice ventilatoarelor radiale (a) și axiale (b)

Detalii despre proiectarea și exploatarea mașinilor hidraulice pot fi găsite în

mai multe lucrări de specialitate, precum cele elaborate de Anton V., Popoviciu M., Fitero I., Hidraulică și mașini hidraulice, Editura

Didactică și Pedagogică, București, 1978 și Todicescu A., Mecanica fluidelor și mașini hidropneumatice, Editura Didactică

și Pedagogică, București, 1974.

316

6.5 APLICAȚII

6.5.1 Să se calculeze înălțimea maximă de aspirație pentru o pompă centrifugă

care absoarbe apă dintr-un bazin astfel încât presiunea la intrarea în rotorul pompei

să nu scadă sub valoarea critică . Conducta de aspirație este

prevăzută cu un sorb, un cot și un robinet pentru reglarea debitului, precum în figura

figura 6.17.

Fig. 6.17

Sunt cunoscute următoarele: diametrul și lungimea conductei de aspirație

, respectiv , rugozitatea materialului conductei ,

debitul de apă vehiculat de pompă și coeficienții piederilor de sarcină în

sorb, cot și robinet , , . De asemenea, presiunea atmosferică

este , iar vâscozitatea apei are valoare . Soluție

Pentru calculul înălțimii maxime de aspirație, se aplică relația lui Bernoulli

(6.1) între două puncte ce corespund nivelului suprafeței libere a apei din bazin,

respectiv la intrarea în rotorul pompei. Fie acestea "0" și "1", deci

pentru care în acord cu rezultatele aplicației 4.3.4.1: termenul care cuantifică

influență vitezei în secțiunea unei suprafețe libere mari poate fi

neglijat,

317

este viteza apei la intratea în rotorul pompei, constantă pe traseul

conductei, , deoarece secțiunea conductei este

constantă; se determină din ecuația debitului (4.32), reprezintă presiunea atmosferică, reprezintă (la limită) presiunea la intrarea în rotor, deci

, considerând suprafața liberă a apei din bazin ca nivel de referință,

deci . Așadar, în acest caz, ecuația lui Bernoulli devine

pentru care pierderile de sarcină sunt

deci

Viteza se determină din ecuația debitului (4.32)

v

Pentru determinarea coeficientului de frecare vâscoasă, se stabilește mai

întâi regimul de curgere, deci se calculează numărul Reynolds, relația (5.1)

v

318

așadar curgerea este turbulentă, complet dezvoltată, situație în care se verifică dacă

rugozitatea conductei influențează valoarea , deci se verifică dacă ,

utilizând relația lui Pecornik (6.11)

iar coeficientul de frecare vâscoasă se poate determina cu relația lui Altșul (6.9)

În final, înălțimea maximă de aspirație rezultă

6.5.2 Printr-o conductă cu lungimea și diametrul curge un

debit de petrol având densitatea și vâscozitatea

. Să se determine căderea de presiune în conductă. Soluție

Se consideră o astfel de conductă, după cum este ilustrat în figura 6.18,

Fig. 6.18

pentru care se aplică ecuația lui Bernoulli (6.1)

unde , conducta având diametrul constant,

, fără diferență de nivel între cele două secțiuni de calcul, iar pierderile de energie (sarcină) sunt reprezentate doar de cele distribuite

319

Așadar, pentru acest caz, ecuația lui Bernoulli devine

Pentru determinarea coeficientului de frecare vâscoasă, se stabilește mai

întâi regimul de curgere, deci se calculează numărul Reynolds, relația (5.1)

v

pentru care viteza se determină din ecuația debitului (4.32)

v

Așadar

deci regimul de curgere este laminar, situație în care se calculează cu relația lui

Stokes (6.7)

iar căderea de presiune în conductă devine

6.5.3 Printr-o conductă metalică având diametrul , grosimea pereților

și modulul de elasticitate curge apă având

modulul de compresibilitate . Dacă viteza apei este

, să se determine suprapresiunea maximă la închiderea bruscă a vanei de

debit.

320

Soluție

Variația de presiune se poate calcula cu relația lui Jukovski

(6.20)

Astfel, presiunea maximă se obține când , iar pentru

Viteza de propagare a loviturii de berbec ( ) se determină cu relația lui Allievi

(6.17)

unde modulul de elasticitate al lichidului ( ) reprezintă inversul modulului de

compresibilitate, relația (2.20),

iar viteza de propagare a sunetului se determină din relația lui Newton (2.26)

Așadar

321

7. ELEMNTE DE AERODINAMICA

VITEZELOR MICI Aerodinamica reprezintă una dintre aplicațiile mecanicii fluidelor ce are ca

obiect de studiu interacțiunea dinamică dintre aerul atmosferic și diverse categorii de

corpuri solidele, denumite generic structuri aeromecanice.

În funcție de categoriile în care se pot grupa corpurile, în prezent se poate

vorbi despre următoarele ramuri disticte ale aerodinamicii, ce constituie, de

asemenea și principalele aplicații ale acestei științe - aerodinamica structurilor de aviație, care studiază aripi portante, ampenaje,

fuselaje, sau alte componente ale unei aeronave (nacele, piloni, trenuri de

aterizare etc) atât ca structuri izolate, dar și interdependent, caz în care putem

vorbi despre aerodinamica aeronavelor, - aerodinamica automobilelor, care studiază în principal curgerea în jurul

caroseriilor, dar care abordează și probleme legate de curgerea aerului în

compartimentul motorului sau în interiorul habitaclului, - aerodinamica rotorilor paletați, precum în cazul studiului elicelor propulsive sau

a turbinelor eoliene, - aerodinamica industrială, care se ocupă cu studiul celorlalte categorii de corpuri,

precum clădiri, poduri, antene, diverse elemente de infrastructură supuse

acțiunii vântului sau curenților de aer. Uzual, în studiile de aerodinamică se urmărește determinarea forțelor și

momentelor generate de acțiunea aerului asupra structurilor aeromecanice, figura

7.1, considerate ca fiind rigide, nedeformabile.

Fig. 7.1 - Forțele și momentele aerodinamice

322

Forța de rezistență la înaintare ( );

Forța laterală ( );

Forța portantă ( );

Momentul aerodinamic de ruliu;

Momentul aerodinamic de tangaj (răsturnare);

Momentul aerodinamic de girație. Alte aspecte, precum cele de natură acustică, sau legate de deformațiile pe

care le suferă corpurile sub acțiunie aerului, sunt tratate de științe interdisciplinare

precum aeroacustica și aerolasticitatea. Pentru acestea, rezultatele unui studiu

aerodinamic constituie condițiile inițiale necesare determinării soluției problemei

abordate.

De asemenea, în funcție de valoarea vitezei relative dintre aer și solidul supus

acțiunii acestuia, se poate vorbi despre - aerodinamica vitezelor mici, care tratează curgeri in regim subsonic, care pot fi

considerate și incompresibile, ale căror elemente de bază sunt prezentate în

acest capitol,

- aerodinamica vitezelor mari în care sunt soluționate mișcările în care aerul

suferă variații semnificative ale parametrilor, densitate, vâscozitate,

temperatură: cazul curgerilor transonice sau supersonice. Precum și în cazul mecanicii fluidelor, metodele de abordare și soluționare

pot fi - teoretice, caz în care putem face referire la corpuri profilate aerodinamic, a căror

geometrie poate fi descrisă și matematic: aripi, ampenaje, fuselaje etc,

- experimentale, specifice corpurilor tip bluff-body, profilate în urma unor teste

repetate,

- mixte, în care soluțiile matematice sunt validate/optimizate și experimental. Pentru studiile experimentale au fost concepute instalații speciale, numite

suflerii, tunele de vânt sau tunele aerodinamice, prevăzute cu camere de testare în

care sunt reproduse condițiile de evoluție ale structurii aeromecanice, fixă, în

interiorul unui curent de aer. Din punct de vedere al rezultatelor (forțe și momente

aerodinamice), situația este similară celei în care structura se deplasează cu aceeași

viteză în interiorul atmosferei aflată în repaus.

Pentru a putea compara din punct de vedere aerodinamic diferite structuri se

utilizează coeficienți adimensionali definiți de relații de forma

323

(7.1)

(7.2)

unde reprezintă forța aerodinamică, respectiv momentul aerodinamic care

acționează asupra structurii,

reprezintă presiunea dinamică a curentului de aer neperturbat de

prezența solidului, teoretic la infinit,

aria de referință a structurii evaluate aerodinamic; în cazul unei aripi

de aviație reprezintă suprafața portantă; pentru un automobil se

consideră ca referință aria proiecției automobilului pe planul

transversal,

lungimea de referință (caracteristică) luată în considerare la calculul

forțelor aerodinamice; de obicei este lungimea structurii. În funcție de axa la care ne raportăm, figura 7.1, se operează cu următorii

coeficienții aerodinamici coeficientul forței de rezistență la înaintare,

coeficientul forței aerodinamice laterale,

coeficientul forței de portanță,

coeficientul momentului aerodinamic de ruliu,

coeficientul momentului aerodinamic de tangaj,

coeficientul momentului aerodinamic de girație.

7.1 PROFILE AERODINAMICE

Se numește profil aerodinamic conturul bidimensional special conceput

pentru obținerea unui raport optim între portanța și rezistența generate de

interacțiunea acestuia cu un fluid. În general, forma profilului aerodinamic este

alungită pe direcția de curgere a fluidului.

Sunt folosite la construcția structurilor portante/deportante de aviație, în

automobilism etc., precum aripile avioanelor, eleroanele automobilelor, palele

elicelor de aviație sau navale, paletele rotoarelor mașinilor hidraulice etc.

324

7.1.1 Caracteristicile geometrice ale profilelor aerodinamice Principalele caracteristici geometrice ale unui profil aerodinamic sunt

prezentate în figura 7.2.

Fig. 7.2 - Caracteristicile geometrice ale unui profil aerodinamic

Se disting - Extradosul profilului partea superioară a profilului, - Intradosul profilului partea inferioară a profilului, - Bordul de atac partea care vine prima în contact cu curentul de

fluid, caracterizată de - Raza bordului de atac raza cercului de racordare a extradosului și

intradosului în bordul de atac (raza cercului

osculator), - Bordul de fugă capătul opus bordului de atac, caracterizat de - Unghiul diedru unghiul dintre tangentele la extrados și intrados în

bordul de fugă, - Coarda segmentul care unește punctele comune de pe

extrados și intrados (dintre bordul de fugă și bordul

de atac), - Grosimea maximă distanța maximă dintre extrados și intrados

măsurată pe direcție normală la coardă, - Scheletul profilului este linia medie a grosimilor; se poate defini și ca

linia care unește centrele cercurilor tangente la

extrados și intrados,

325

- Curbura, sau săgeata distanța dintre coardă și schelet, pe direcția normală

corzii. Conturul unui profil este descris prin punctele (sau ) care

definesc extradosul și intradosul, uzual în sistemul în care axa ( ) este orientată pe

direcția corzii, dinspre spre , iar cea de a doua axă orientată înspre extrados.

În cazul tridimensional al unei aripi, lungimea acesteia (distanța dintre

capete) se numește anvergură și se notează cu , figura 7.3.

7.1.2 Caracteristicile aerodinamice ale profilelor Caracteristicile aerodinamice ale profilelor sunt reprezentate de coeficienții

adimensionali de portanță ( ), rezistență la înaintare ( ) și moment ) definiți

astfel (pentru anvergura egală cu unitatea de lungime, )

v

(7.3)

v

(7.4)

v

(7.5)

Fig. 7.3 - Caracteristicile aerodinamice ale unui profil

Raportul dintre coeficientul de portanță și cel de rezistență la înaintare

definește finețea profilului

(7.6)

326

Dependențele dintre coeficienții aerodinamici pentru diferite valori ale

numărului Reynolds și ale unghiului de atac (unghiul dintre direcția curentului

neperturbat și coarda profilului) poartă denumirea de polare aerodinamice,

denumire introdusă de Gustave Eiffel.

Cele mai utilizate sunt dependențele de forma , sau ,

prezentate în figura 7.4, trasate pentru diferite valori ale numărului Reynolds.

Fig. 9.4 - Tipuri de polare ale unui profil aerodinamic

Sunt marcate punctele caracteristice, precum cele corespunzătoare

unghiurilor de portanță nulă, portanța maximă și rezistență minimă. Porțiunea liniară

definește panta portanței ( și corespunde unor curgeri atașate de

conturul profilului (fără desprinderi), figura 7.5 (a). Pentru valori ale unghiului de atac

mai mari decât cea corespunzătoare , portanța scade datorită desprinderii

masive a stratului limită de pe conturul profilului, figura 7.5 (b), iar rezistența

aerodinamică crește rapid. Acest unghi este cunoscut în literatura de specialitate ca

stall angle ( ).

Fig. 7.5 - Aspectul curgerii în funcție de ungiul de atac

327

De asemenea, pentru a caracteriza modul în care un profil interacționează cu

aerul atmosferic, se construiesc diagrame ale variației coeficientului de presiune pe

conturul acestuia, precum în figura 7.6

v

v (7.7)

unde reprezintă presiunea statică măsurată într-un punct de pe suprafața

structurii,

este presiunea statică a curentului de aer neperturbat,

este presiunea dinamică a curentului de aer neperturbat.

Cu ajutorul acestor diagrame se poate determina componenta datorată

distribuției de presiuni a forței aerodinamice globale, dependentă de forma

acestuia. De asemenea se poate determina și punctul de aplicație al acesteia ( ),

centrul aerodinamic, în raport cu axa orizontală, la intersecția dintre coarda profilului

și verticala centrului de arie al diagramei distribuției coeficientului de presiune.

Fig. 7.6 - Variația coeficientului de presiune pe conturul unui profil

328

7.1.3 Clasificarea profilelelor aerodinamice Există mai multe criterii de clasificare pentru profilele aerodinamice, care țin

cont, fie de diverse particularități geometrice, fie de carecteristicile aerodinamice

care le recomandă pentru anumite aplicații în practică.

O primă clasificare a profilelor aerodinamice se poate face în funcție de

aspectul general al geometriei acestora. Se pot distinge astfel

- profile simetrice, dacă conturul care definește extradosul este simetric cu cel al

intradosului față de coarda profilului, precum în figura 7.7(a); în caz contrar

profilele sunt asimetrice; pentru situațiile în care există și un al doillea plan de

simetrie, precum în cazurile (g) și (i), profilul este unul bisimetric;

- profile biconvexe, atunci când extradosul și intradosul sunt curbe convexe,

precum în figura 7.7 (a), (b) și (g);

- profile concav-convexe, figura 7.7 (c);

- profile lenticulare, în variantele bisimetric, figura 7.7 (g), respectiv în forma

generală (biasimetric) prezentată în figura 7.7 (h);

- profile poligonale, precum în figura 7.7 (i) pentru cazul unui profil rombic.

Fig. 7.7 - Profile aerodinamice

329

Fig. 7.7 - Profile aerodinamice

În fucție de conturul scheletului se disting profile cu curbură simplă, figura

7.7 (b), (c) și (d), sau profile cu curbură dublă, figura 7.7 (e) și (f).

De asemenea, în funcție de unghiul diedru există

profile cu bord de fugă ascuțit, figura 7.7 (a), când tangentele la extrados și

întrados în bordul de fugă se confundă, deci unghiul diedru este nul, precum în

cazul profilelor Jukowski; datorită dificultăților tehnice de realizare a unor

structuri portante aviație având bordul de fugă foarte subțire, importanța

acestora e în primul rând de ordin academic,

profile cu unghi diedru, ( ) , figura 7.7 (b), precum în cazul profilelor Karman-

Trefftz; sunt utilizate în mod curent la construcția aripilor și ampenajelor de

aviație,

330

profile cu bordul de fugă rotunjit, la care extradosul și intradosul sunt racordate

după un cerc de rază , figura 7.7 (c), precum în cazul profilelor Carafoli; sunt

utilizate la construcția palelor elicelor de aviație sau a turbinelor eoliene.

profile cu bordul de fugă îngroșat, sau retezat, figura 7.7 (d); sunt utilizate pentru

evoluții în regim transonic deoarece prezintă variații mai mici ale coeficienților de

portanță și de moment în funcție de numărul Mach; scurtarea profilului conduce

la reducerea destinderilor supersonice care se stabilesc în zona dinspre bordul de

fugă și la întârzierea formării undelor de șoc. Din punct de federe funcțional, există profile generale de aviație, profile

pentru elice de aviație sau navale, profile pentru paletele rotoarele mașinilor

hidropneumatice etc.

În funcție de regimul de lucru se disting profile pentru regimuri de zbor

subsonice incompresibile, pentru regimuri subsonice la viteze mari (profile laminare),

pentru regimul transonic (profile supercritice), respectiv pentru regimuri supersonice.

Nu în ultimul rând, o grupare a profilelor se poate face și după numele

proiectantului. Mai cunoscute sunt cele din seria Göttingen, NACA, NASA, ONERA,

Eppler, Wortmann (profile de catalog).

7.1.4 Curgerea în jurul unui profil aerodinamic. Teorema Kutta-Jukowski Forța de sustentație (

), sau de portanță, generată pe unitatea de lungime

(anvergură) de o aripă plasată într-un curent de fluid se determină cu ajutorul

teoremei Kutta-Jukowski

v (7.8)

unde este densitatea de referință a fluidului, a cărei curgere nu este

perturbat de prezența aripii,

v este viteza de referința a fluidului,

circulația vitezei pe conturul profilului ce definește aripa. Circulația ( ) poate fi calculată înlocuind mișcarea în jurul profilului cu

mișcarea datorată unui strat de vârtejuri, concept introdus de Ludwig Prandtl.

Fig. 7.8 - Distribuția circulației pe conturul unui profil

331

Astfel, circulația totală în jurul profilului poate fi considerată ca distribuită pe

conturul profilului ( ), după cum este prezentat în figura 7.8

(7.9)

unde trebuie să satisfacă condiția Kutta de unicitate a soluției, în acord cu

fenomenul fizic, după cum este ilustrat în figura 7.9(a): circulația la bordul de fugă

este nulă

(7.10)

Fig. 7.9 - Curgere cu și fără îndeplinirea condiției Kutta

Circulația rezultantă se obține prin integrare

(C)

(7.11)

În general pentru un profil aerodinamic, soluția pentru ecuația integrală

(7.11) se determină numeric prin metoda panourilor (panel method). Există și situații

când se pot determina soluții analitice aproximative, precum în cazul curgerilor în

ipoteza perturbațiilor mici peste profile subțiri, teorie dezvoltată de către inginerul

de aviație Michael Max Munk, care a activat și ca membru al echipei de cercetători

coordonată de Ludwig Prandtl la Universitatea din Göttingen, Germania.

7.1.5 Curgerea în jurul unui profil subțire în ipoteza perturbațiilor mici La curgerea peste un profil subțire cu curbură redusă (săgeată mică) și sub un

unghi de atac ( ) mic, se poate considera că viteza ( ) într-un punct oarecare ( ),

inclusiv pe profil (tangentă la conturul acestuia în cazul fluidelor ideale), se compune

din viteza curentului neperturbat ( ) și o viteză de perturbație ( ,

pentru cazul bidimensional al unui profil), având componenta orizontală neglijabilă în

raport cu cea verticală ( ) după cum este ilustrat în figura 7.10 pentru un profil

raportat la un sistem cu axa ( ) orientată după coardă.

În ipoteza perturbațiilor mici se poate admite , deci nu diferă

mult de . De asemenea, este dirijată aproape după direcția ( ).

332

Orientarea vitezei într-un punct de pe profil după tangenta la conturul

acestuia, exprimă așa-numita condiție cinematică pe conturul profilului.

Fig. 7.10 - Profil raportat la un sistem orientat după coardă

Astfel, în ipoteza perturbațiilor mici, unghiul ( ) dintre axa ( ) și un element

de spațiu ( ) de pe conturul profilului, care conține punctul

(7.12)

reprezintă și unghiul dintre axa ( ) și viteza ( )

(7.13)

Din relațiile anterioare rezultă euația care exprimă condiția cinematică pe

conturul profilului

(7.14)

Așadar, între viteza de perturbație ( ), unghiul de atac ( ) și variația ( )

ce descrie conturul profilului există o legătură liniară. În relația anterioară, unghiul de

atac ( ) este exprimat în radiani.

În cazul profilelor (foarte) subțiri, distribuția circulației pe conturul acestora

poate fi calculată înlocuind mișcarea în jurul profilului cu mișcarea datorită unui strat

de vârtejuri distribuite pe scheletul profilului, iar pentru curburi mici ale scheletului

( ) se poate considera circulația ca fiind distribuită în lungul corzii, după axa

( ), după cum este prezentat succesiv în figura 7.10, unde

și

(7.15)

sunt coordonatele adimensionalizate.

333

Astfel, linia care definește scheletul profilului, figura 7.11(b) și ulterior coarda

profilului, figura 7.11(c), devin linii de curent, caz în care viteza normală la aceste

curbe este nulă, deci suma dintre viteza indusă de stratul de vârtejuri ( ) și viteza

de perturbație pe direcție normală ( ) este nulă, sau

(7.16)

Fig. 7.11 - Distribuția stratului de vârtejuri pe profile subțiri pentru

valori mici ale unghiului de atac, în ipoteza perturbațiilor mici

Relația de calcul a vitezei induse de elementul de vârtej ( )

într-un punct (Teoria vârtejurilor, relația 4.237), aflat la o distanță 'x , se rescrie

pentru acest caz, în coordonate adimensionalizate

(7.17)

iar viteza indusă în punctul datorită tuturor vârtejurilor (relația 4.238) este

(7.18)

Înlocuind (7.18) în relația (7.16), rezultă în coordonate adimensionalizate

334

(7.19)

unde reprezintă coordonata scheletului pe direcția . Relația (9.19) este cunoscută ca ecuatia fundamentală a teoriei profilelor

subțiri. Exprimă faptul că scheletul profilului este linie de curent. Reprezintă o ecuație

integrală în , dacă aceasta este necunoscuta. Dacă se cunoaște/impune

(reverse engineering), ecuația anterioară devine una diferențială ordinară ce permite

calculul scheletului profilului .

De asemenea, dacă se cunoaște se pot determina direct caracteristicile

aerodinamice ale profilului.

7.1.6 Determinarea distribuției de vârtejuri pentru profile subțiri cu schelet dat Soluția la problema directă pentru ecuatia fundamentală a teoriei profilelor

subțiri a fost dată de Walter Birnbaum și Hermann Glauert [V. N. Constantinescu, St.

Găletușe, Mecanica Fluidelor și Elemente de Aerodinamică, Editura Ditactică și

Pedagogică, București, 1983] și constă în determinarea distribuției de vârtejuri pentru

profile subțiri cu schelet dat, deci pentru care se cunoaște .

Pentru rezolvarea ecuației integrale (7.19) în se face schimbarea de

variabilă

(7.20)

pentru care condiția Kutta (7.10) rămâne valabilă

corespunde unghiului ,

corespunde unghiului . În acest caz, condiția Kutta este îndeplinită pentru exprimată sub formă

unei serii trigonometrice în " " de forma

(7.21)

Exprimând precum în relația (7.20)

335

(7.22)

rezultă

(7.23)

și

(7.24)

așadar, termenul din ecuația (7.19) devine

(7.25)

De asemenea, în acord cu schimbarea de variabilă definită de relația (7.20),

termenul 1/( ) din ecuația (7.19) este egal cu

(7.26)

Înlocuind (7.25) și (7.26) în ecuația fundamentală a teoriei profilelor (7.19)

rezultă

(7.27)

Soluția integralelor de acest tip a fost dată de Glauert în forma

(7.28)

336

Aplicând acest rezultat pentru

...

relația (7.27) devine

(7.29)

Prin înlocuirea relației (7.29) în ecuația fundamentală a teoriei profilelor

subțiri (7.19) rezultă

(7.34)

unde , , ..., reprezintă termenii dezvoltării în serie Fourier în cosinus ai

derivatei scheletului, cu semn schimbat

(7.35)

337

problema directă, referitoare la determinarea distribuției de vârtejuri pentru profile

subțiri cu schelet dat, fiind astfel determinată.

7.1.7 Determinarea caracteristicilor aerodinamice pentru profilele aerodinamice Dacă distribuția de vârtejuri este impusă/cunoscută, se pot determina

direct caracteristicile aerodinamice ale unui profil. Astfel, conform teoremei Kutta-

Jukovski, portanța profilului pentru unitatea de anvergură este

v v

(7.36)

iar momentul față de bordul de atac (pentru unitatea de anvergură)

v

(7.37)

Din relațiile (7.3) și (7.5) rezultă pentru unitatea de anvergură ( )

v

v

v

(7.38)

și similar

v

(7.39)

Exprimând precum în relația (7.25), se obțin următoarele rezultate

v v

(7.40)

v

(7.41)

v

(7.42)

(7.43) unde

(7.44)

338

reprezintă coeficientul de moment corespunzător unei portanțe nule în raport cu

focarul profilului, situat față de bordul de atac la o distanță (punctul pentru

care coeficientul de moment al unui profil nu mai depinde de unghiul de atac). Aplicarea relațiilor anterioare este prezentată în exemplul următor, referitor

la determinarea caracteristicilor aerodinamice și distribuției de vârtejuri pentru

o placă plană plasată într-un curent de fluid sub ungiul , figura 7.12.

Fig. 7.12 - Placă plană într-un curent de fluid

Astfel, deoarece pentru o placă plană ecuația care descrie variația este

(7.45)

valorile coeficienților definiți de relațiile (7.35) sunt

(7.46)

situație în care distribuția de vârtejuri definită de relația (7.21) este

(7.47)

Ținând cont că

(7.48)

relația (7.47) este echivalentă cu

339

(7.49)

Efectuând schimbarea de variabilă (7.20)

distribuția de vârtejuri devine

(7.50)

Variația în lungul corzii este prezentată în figura 7.13.

Fig. 7.13 - Variația pentru placa plană

După cum se observă

pentru

pentru . Conform relatiilor (7.41) - (7.44), coeficienții aerodinamici sunt

unde este exprimat în radiani.

Aceste rezultate sunt aplicabile în special pentru profilele subțiri ale căror

corzi sunt descrise de relația (7.45), precum în cazul profilelor simetrice, existând o

corespondență bună între rezultatele teoretice și cele experimentale la valori

moderate ale unghiului de atac, precum în cazul profilului NACA 0012 a cărui polară

este prezentată în figura 7.14.

340

Fig. 7.14 - Polara profilului NACA 0012,

după J. D. Anderson, Fundamentals of Aerodynamics, McGraw-Hill Series in

Aeronautical and Aerospace Engineering, 2001, ISBN 0-07-237335-0

7.2 ARIPI DE ANVERGURA FINITĂ

În subcapitolul anterior au fost prezentate caracteristicile profilelor

aerodinamice, care pot fi considerate aceleași ca la aripa de anvergură infinită.

Profilul aerodinamic fiind o secțiune prin aripă cu un plan paralel cu planul ( ),

curgerea în jurul profilului a fost considerată bidimensională.

Fig. 7.15 - Aripa de anvergură finită

341

În cazul aripii de anvergură finită, curgerea este tridimensională întrucât

viteza are și o componentă în direcția anvergurii aripii (axa ), după cum se poate

intui din fig. 7.15, unde este prezentată o aripă cu anvergură dispusă într-un curent

de aer de viteză .

Datorită diferenței de presiune de pe intradosul și extradosul aripii, liniile de

curent sunt deplasate spre interior în cazul extradosului și spre exterior în cazul

intradosului, fenomen vizibil în special la capetele aripii.

Prin urmare, la vârfurile aripii apar două vârtejuri, figura 7.16, care prin

acțiune combinată determină apariția unei componente verticale a vitezei aerului,

denumită viteză indusă ( ), figura 7.17. Unghiul dintre coarda aripii și viteza este

denumit unghi de atac și se notează și în acest caz cu , precum și în cazul profilelor

aerodinamice.

Fig. 7.16 - Vârtejurile la capetele unei aripi de anvergură finită

Datorită apariției vitezei induse, direcția vitezei curentului neperturbat ( )

se modifică cu unghiul , denumit unghi de atac indus

(7.51)

ceea ce conduce la două efecte importante

1. Micșorarea unghiului de atac la valoarea ,

(7.52)

2. Modificarea direcției vectorului forței portante față de axa verticală cu unghiul , ceea determină apariția unei proiecții pe orizontală a forței portante, denumită forță de rezistență indusă ( ), fig. 7.17.

342

Fig. 7.17 - Vârtejurile la capetele unei aripi de anvergură finită

Din cele menționate anterior, rezultă că aripa de anvergură finită are

caracteristici diferite față de profilele aerodinamice care le definesc.

Dacă în cazul profilelor aerodinamice au fost utilizate notațiile

, și pentru forțele aerodinamice și momentul aerodinamic,

corespunzătoare unității de anvergură și

, și pentru coeficienții aerodinamici, la aripa de anvergură finită se utilizează următoarele notații

, și pentru forțele aerodinamice și momentul aerodinamic,

, și pentru coeficienții aerodinamici. Astfel, forța de rezistență a aripii de anvergură finită crește semnificativ,

reprezentând suma dintre rezistența profilului care definește aripa ' multiplicată cu

numărul de unități de anvergura ( ) și rezistența indusă

v

v

v

(7.53)

Așadar, pentru aripa de anvergură finită, coeficientul forței de rezistență

aerodinamică ( ) poate fi exprimat ca reprezentând suma dintre coeficientul de

rezintență aerodinamică al profilului ( ) și coeficientul rezistenței induse ( )

(7.54) Valoarea rezistenței profilului ( ) se obține în mod uzual din polarele

profilelor aerodinamice.

343

În cazul coeficientului rezistenței induse ( ), sunt necesare unele date

suplimentare în vederea obținerii unei formule de calcul.

Primul model de calcul al unei aripi de anvergură finită a fost cel elaborat de

Prandtl, care a înlocuit mișcarea în jurul aripii cu cea produsă de un număr infinit de

vârtejuri , în formă de potcoave semiinfinite, plasate pe linia focarelor, după cum

este prezentat schematic în figura 7.18 pentru .

Fig. 7.18 - Modelul liniei portante al lui Prandtl

Prandtl a considerat o distribuție eliptică de portanță în lungul anvergurii

(7.55)

definită de

(7.56)

unde este circulația în originea sistemului de coordonate. Distribuția definită de relația (7.56) corespunde unei aripi de formă eliptică,

pentru care se obțin următoarele relații pentru unghiul de atac indus (valoare

absolută) și coeficientul rezistenței induse

344

(7.57)

și

(7.58)

unde reprezintă alungirea aripii: raportul dintre pătratul anvergurii și suprafața

aripii ( )

(7.59)

Relația (7.58) exprimă faptul că

este direct proporțional cu , adică

rezistența indusă depinde de pătratul forței portante. De asemenea, este invers

proporțional cu , de unde rezultă că pentru a reduce rezistența indusă trebuie ca

alungirea aripii să fie cât mai mare posibil.

Din relația (7.57) se observă că unei creșteri a alungirii îi corespunde o

scădere a unghiului de atac indus. Relațiile anterioare sunt valabile pentru .

Astfel, pentru o aripă eliptică

(7.60)

Pentru o aripa de forma oarecare

(7.61)

unde coeficientul depinde de alungirea aripii și raportul de trapezoidalitate al aripii

( ): raportul dintre coarda la vârful aripii ( ) și coarda la încastrare ( ), figura 7.19.

Fig. 7.19 - Aripa trapezoidală

345

În figura anterioară este unghiul de săgeată al aripii: unghiul dintre axa

și linia focarelor. Daca atunci aripa este în săgeată, figura 7.22.

Dependența ( ) este prezentată în figura 7.20 pentru diferite valori ale

alungirii.

Fig. 7.19 - Variația , după J. D. Anderson, Fundamentals of Aerodynamics, McGraw-

Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering, 2001, ISBN 0-07-237335-0

Pentru o distribuție eliptică de portanță, acest coeficient este nul, .

Așadar, în acest caz rezistența indusă este minimă.

Un exemplu de realizare practică a conceptului de aripă de rezistență minimă

o reprezintă aripa avionului britanic de vânătoare Spitfire, prezentat în figura 7.20.

Fig. 7.20 - Avionului de vânătoare Spitfire

În figura 7.22 sunt prezentate aripi în săgeată. Un caz paricular îl reprezintă

aripa "delta", 7.22(b), caracterizată de rapoarte de trapezoidalitate foarte mici.

346

Fig. 7.22 - Aripi în săgeată

Din punct de vedere al forței de sustentație, între aripa de anvergură infinită

și cea de anvergură finită apar diferențe între pantele coeficinților de portanță,

pentru profil și pentru aripă. Comparând valorile pantelor

profilului și aripii, se constată constată că .

Pentru aripa de formă eliptică

(7.62)

aspectul polarelor profilului și aripii fiind prezentate în figura 7.23.

Fig. 7.23 - Modificarea pantei coeficientului de portanță

Pentru o aripă de anvergură finită, de altă formă decât cea eliptică, ecuația

(7.62) are forma

(7.63)

unde valorile coeficientului sunt în intervalul (0,005 - 0.25).

347

7.3 ELEMENTE DE AERODINAMICA AUTOMOBILELOR

Deoarece forțele aerodinamice care acționează asupra unui automobil au un

rol semnificativ asupra comportamentului dinamic al acestuia în ceea ce privește

stabilitatea, manevrabilitatea, sensibilitatea la rafale laterale și nu în ultimul rând

asupra consumului de combustibil, aerodinamica a devenit unul dintre cele mai

importante considerente care stau la baza proiectării autovehiculelor.

Principalele direcții ale studiului aerodinamic ale unui autovehicul se pot

grupa după cum urmează.

Determinarea forțelor și momentelor aerodinamice la care este supus un

autoturism în cadrul interacțiunii cu aerul atmosferic. Dintre cele 6

componente ce caracterizează performanțele aerodinamice ale unui

autovehicul cea mai importantă este rezistența aerodinamică ( ). Studiile

efectuate în acest sens au relevat faptul că reducerea coeficientului de

rezistență la înaintare pentru o mașină obișnuită de la la

conduce la o reducere a consumului de combustibil cu aproximativ 7%, cu

consecințe importante inclusiv asupra prețului petrolului pe piața mondială.

Studiul curgerii aerului în jurul autoturismului, cât mai detaliat posibil.

curgerea exterioară este cea care determină traseul picăturilor de ploaie,

mecanismul de depunere al prafului, zgomotul aeroacustic, răcirea frânelor,

forțele care acționează asupra ștergătoarelor de parbriz etc. Astfel, calitatea

unui autoturism din punct de vedere aerodinamic depinde în mare măsură

de succesul modelării caroseriei acestuia, în sensul obținerii unui câmp de

curgere exterior astfel încât să fie rezolvate favorabil problemele prezentate

anterior.

Curgerea aerului în interiorul compartimentului motorului. Curgerea

corespunzătoare a curentului de aer contribuie la o reducere a suprafeței

utile a radiatorului și la o răcire mai bună a componentelor aflate în acest

compartiment.

Climatizarea compartimentului pasagerilor pentru obținerea unui confort

sporit al acestora. Studiul aerodinamic al autovehiculelor este strâns legat de experimentele

realizate în tunele aerodinamice, în a căror camere de experiențe se reproduc

condițiile de mediu în care structurile aeromecanice testate evoluează în mod curent.

348

Din punct de vedere constructiv există o diversitate mare de astfel de

instalații, principalele criterii după care acestea se pot clasifica fiind următoarele

după arhitectura acestora, se disting tunele aerodinamice cu circuit deschis,

tip Eiffel, figura 7.24, sau cu circuit închis, tip Prandtl, figura 7.25.

Fig. 7.24 - Tunel aerodinamic tip Eiffel

după tipul camerei de experiențe, se disting tunele aerodinamice cu cameră

de experiențe deschisă (prezintă avantajul unor interferențe reduse între

modelul studiat și pereții camerei de testare, dar sunt mari consumatoare de

energie), sau cu cameră de experiențe închisă, (prezintă avantajul unui

consum de energie mai mic);

Fig. 7.25 - Tunel aerodinamic tip Prandtl

după valoarea vitezei maxime de referință (din camera de experiențe), se pot

clasifica în tunele aerodinamice subsonice incompresibile, subsonice

compresibile și supersonice;

349

după valoarea presiunii din camera de experiențe, pot fi tunele aerodinamice

atmosferice sau presurizate, de densitate variabilă. Pe lângă tunelele aerodinamice descrise anterior au fost construit și unele cu

destinație specială, precum cele de vizualizare a curgerii, aeroacustice etc. Legat de

principalele componente constructive ale tunelelor aerodinamice menționate

anterior sunt prezentate pe scurt câteva detalii în cele ce urmează.

Camera de experiențe (testare) este zona unde se plasează modelul de

studiat și în care se reproduc condițiile atmosferice în care acesta evoluează

în mod obișnuit. În secțiunea transversală camera de testare poate avea

diferite forme, cele mai utilizate fiind (în funcție de destinația tunelului) cele

dreptunghiulare, circulare, mai rar octogonale sau eliptice. Lungimea

recomandată pentru camera de experiențe este , unde

reprezintă diametrul hidraulic al secțiunii camerei de testare. În cazul unor

lungimi mai mari, grosimea stratului limită poate influența negativ precizia

măsurătorilor.

Confuzorul este plasat înaintea camerei de experiențe și are rolul de a mări

viteza curentului de aer la valoarea de testare, micșorând în același timp și

turbulența curentului la intrarea în camera de experiențe. Valorile

recomandate ale gradului de convergență sunt : raportul dintre

aria secțiunii de intrare în confuzor și aria secțiunii de ieșirea din confuzor

(respectiv de intrare în camera de experiențe).

Difuzorul este plasat după camera de experiențe și trebuie astfel conceput

încât să nu se producă desprinderi ale curentului de aer de pe pereții

acestuia. Pentru secțiuni circulare valoarea maximă recomandată a unghiul

de evazare al pereților este de aproximativ . Această valoare

poate ajunge la în cazul secțiunilor dreptunghiulare, unde creșterea

secțiunii se realizează, frecvent, prin evazare într-un singur plan, precun în

cazul prezentat în figura 7.26.

Rețeaua de rectificare este utilizată pentru micșorarea turbulenței curentului

de aer și conducerea favorabilă a acestuia spre alte componente de interes

ale tunelului, precum confuzorul. Cele mai simple din punct de vedere

constructiv sunt realizate din plase. Cele mai eficiente sunt cele din rigle de

grosime constantă, ale căror ochiuri pot avea diferite forme, mai des întâlnite

fiind cele dreptunghiulare.

350

Ventilatorul reprezintă sursa de putere a instalației, asigurând circulația

aerului prin tunel. Pentru tunelele clasice, mai des utilizate sunt cele axiale.

Pentru diminuarea vârtejurilor generate de rotorul ventilatorului se folosește

uneori soluția montării succesive a două ventilatoare identice care se rotesc

în sensuri contrare. Se montează cât mai departe posibil de camera de

experiențe. În cazul în care turația ventilatorului este constantă, debitul de

aer se reglează cu ajutorul unei vane.

Elemente de legătură sunt necesare în general tunelelor în circuit închis și fac

legătura între principalele componente. Sunt reprezentate cel mai adesea de

coturi și corpuri de trecere de la un tip de secțiune la altul, ca de exemplu de

la secțiunea circulară a ventilatorului la secțiunea caracteristică de curgere.

Fig. 7.26 - Tunel aerodinamic - laboratorul de Aerodinamică, Universitatea

Transilvania din Brașov În figura 7.26 este prezentat unul dintre tunelele aerodinamice din

laboratorul de aerodinamică al universității Transilvania din Brașov. Din punct de

vedere constructiv este compus din

351

1 - camera de experiențe, 10 - cot difuzor,

2 - ventilator axial, 12 - vană de reglare debit,

3 - suportul ventilatorului, 14 - platformă de lucru,

7 - rețea de rectificare, 15 - balanța aerodinamică,

8 - confuzor, 16 - model testat,

9 - difuzor,

4, 13 - corpuri de legătură (trecere) ventilator axial – coturi de întoarcere,

5, 6, 11 - coturi de întoarcere, prevăzute cu pale directoare. Are următoarele caracteristici funcționale

dimensiunile secțiunii camerei de testare: ,

domeniul vitezelor de testare: ,

gradul de turbulență , și îndeplinește normele SAE (Society of Automobile Engineers, USA) referitoare la

curentul de aer din camera de testare cu blocaj zero

abaterea unghiulară față de planul orizontal ,

(unghiul dintre direcția de curgere a aerului și planul orizontal este

considerat pozitiv pentru devieri în sus),

abaterea unghiulară fată de planul longitudinal , (unghiul dintre direcția de curgere a aerului și planul longitudinal este

considerat pozitiv pentru devieri de la stânga la dreapta),

uniformitatea distribuției de viteze a curentului ,

definită de relația

(7.64)

unde este viteza locală (în punctul în care este măsurată),

este viteza de referință,

gradul de turbulență ,

uniformitatea distribuției de presiuni pe direcția de curgere , definită de relația

(7.65)

lungimea zonei de presiune constantă ,

352

(raportată la lungimea caracteristică modelului studiat ),

grosimea de deplasare, a stratului limită ,

(raportată la valoarea distanței minime dintre modelul testat și pereții

camerei de experiențe; pentru un automobil reprezintă garda la sol). Pentru un blocaj maxim pot fi determinate caracteristicile profilelor

aerodinamice la valori ale numărului Reynolds . De asemenea, pot fi

studiate automobile la scara 1:5.

Blocajul camerei de experiențe ( ) reprezintă raport procentual între aria

proiecției automobilului ( ) pe planul transversal al secțiunii de testare și aria

secțiunii de testare ( )

(7.66)

De asemenea, acest tunel este echipat cu dispozitiv de simulare a efectului de

sol, cu bandă rulantă, a cărui schemă de principiu este prezentată în figura 7.27.

Fig. 7.27 - Principiul de simulare al efectului de sol cu

dispozitiv cu bandă rulantă

Ca fenomen aerodinamic, efectul de sol este definit de interacțiunea dintre

aerul atmosferic și un vehicul, când acesta evoluează în apropierea unei suprafețe

dense, cel mai adesea reprezentată de sol, dar care poate fi și suprafața liberă a unei

ape. Este pus în evidență de modificarea caracteristicilor aerodinamice față de cele

obținute într-un curent de aer liber.

Ca majoritatea termenilor folosiți în aerodinamica autovehiculelor și acesta a

fost adoptat din terminologia curentă studiului aeronavelor, dar semnificația lui a

suferit modificări.

353

Astfel, din punctul de vedere al structurilor portante de aviație două

fenomene contribuie la apariția acestui efect, când o aripă se apropie de sol, acestea

datorându-se influenței anvergurii și influenței corzii aripii. Rezultatul final constă

într-o reducere a rezistenței aerodinamice induse, urmată de o creștere de portanță.

Uzual, când menționează efectul de sol, inginerii de aviație fac referire la

componenta datorată anvergurii aripii, dominantă în acest fenomen. Reducerea

rezistenței la înaintare în efect de sol se datorează faptului că structurile de vârtej,

care se dezvoltă la capetele aripii sunt mult atenuate de prezența solului, după cum

este ilustrat în figura 7.28.

Fig. 7.28 - Efectul de sol în aviație

Referitor la influența corzii, efectul de sol nu se concretizează întotdeauna

printr-o creștere de portanță. Este posibil ca în anumite situații, când intradosul aripii

este convex, la unghiuri mici de atac, între suprafața inferioară a aripii și sol să se

formeze un tunel Venturi. Presiunea scăzută din interiorul acestuia generează o zonă

de sucțiune care duce la scăderea portanței.

Acest tip de efect de sol este utilizat la proiectarea automobilelor de viteză,

care au suprafața inferioară modelată astfel încât să genereze acest fenomen,

mărindu-se astfel forța normală de apăsare, aderența pneurilor și o mai bună

transmitere a cuplului la roțile motoare.

354

Efectul de sol este bine evidențiat de mașinile de Formula 1, la a căror

construcție se îmbină cele două idei anterior expuse: de a avea o aripă care să ruleze

în imediata vecinătate a solului și de a profila corespunzător suprafața inferioară

astfel încât să se creeze efectul de tunel Venturi între aceasta și pistă. Primii care au

exploatat acest fenomen au fost inginerii echipei McLaren în anii ’80.

În cazul mașinilor obișnuite, de serie mare, nu se poate vorbi de efect de sol,

după cum a fost prezentat anterior. Acestea au garda la sol mărită pentru a putea

evolua și în condiții de teren cu denivelări, motiv pentru care efectul de tunel Venturi

este diminuat. Pe de altă parte, autovehiculele sunt concepute să se deplaseze în

apropierea solului, în contact cu acesta prin intermediul pneurilor, deci în efect de

sol. În consecință, utilizarea acestui termen în cazul automobilelor păstrând

semnificația specifică aviației devine inadecvată. În concordanță cu fenomenele

reale, care au loc în cazul automobilelor, un termen adecvat este acela de efect

Venturi.

Unii ingineri proiectanți de automobile folosesc expresia efect de sol când

menționează mișcarea relativă dintre calea de rulare și mașini, când acestea sunt

evaluate experimental în tunele aerodinamice.

Deși studiul aerodinamic al automobilelor are un caracter dominant

experimental, recent au fost dezvoltate și modele de evaluare teoretică a anumitor

caracteristici aerodinamice, precum rezistența generată de structura inferioară.

Astfel, după cum a fost prezentat în capitol referitor la dinamica fluidelor

reale, forța de rezistență aerodinamică reprezintă suma a două componente, dintre

care una datorită distribuției de presiuni ( ), cea de a doua fiind componenta de

frecare vâscoasă ( ), relația (5.151).

Evaluarea directă a celor două componente, separat, necesită cunoștințe

detaliate despre distribuția de presiuni și eforturi tangențiale de frecare vâscoasă pe

întreaga suprafață a structurii studiate. Aceste distribuții se obțin extrem de dificil pe

cale experimentală pentru corpuri complexe din punct de vedere geometric. Este

practică doar în cazul anumitor suprafețe, unde distribuția de presiuni este rezonabil

uniformă.

Deoarece descompunerea forțelor aerodinamice în componente măsurabile

facilitează procesul de optimizare al formei caroseriei în fazele inițiale ale proiectării,

a fost considerată descompunerea forței globale de rezistență la înaintare în alte

două componente

(5.67)

355

unde reprezintă forța de rezistență aerodinamică exterioară, determinată

de interacțiunea curentului de aer cu suprafețele exterioare ale

autovehiculului, caracterizat de debitul ,

este forța de rezistență determinată de curgerea aerului pe sub

vehicul (underbody), în spațiul determinat de suprafața inferioară a

vehiculului și calea de rulare, având debitul , figura 7.29.

Fig. 7.29 - Curgerea în jurul unui automobil

Calculul componentei se poate realiza datorită similitudinii (figura 7.30)

dintre curgerea printr-un tub Venturi și cea prin spațiul delimitat de suprafața

inferioară a vehiculului (podeaua caroseriei) și calea de rulare.

Fig. 7.30 - Caracteristica curgerii printr-un tub Venturi

Ajutajul anterior menționat este parcurs de următorii curenți de aer

aerul staționar , în condiții atmosferice, aflat în repaus în amonte, absorbit de

"ajutajul mobil", caracterizat de debitul ,

356

ramura inferioară a curentului generat prin impact la bordul de atac, care

curge pe sub vehicul, caracterizat de debitul ; o parte din acesta o

reprezintă aerul absorbit în compartimentul motor și utilizat la răcirea

motorului și aerul utilizat pentru răcirea discurilor sistemului de frânare de

pe puntea față,

aerul aspirat din lateral prin ejecție liberă, având debitul , mult mai mic în

raport cu și . Astfel debitul volumic al ajutajului secțiunea transversală ( ), figura 7.31,

poate fi aproximat cu relația

(5.68)

Fig. 7.31 - Secțiunea transversală a curgerii pe sub automobil

Așadar, viteza medie a curentului de aer ( ) prin secțiunea ajutajului se poate

exprima cu relația

(5.69)

unde reprezintă coeficientul ce caracterizează distribuția vitezei în

secțiunea transversală. Considerând volumul de aer dislocat de automobil în unitatea de timp ( ),

(5.70) unde reprezintă aria proiecției automobilului pe planul transversal (aria de

referință), au fost definiți indicatorii adimensionali și

(5.71)

357

reprezentând participația debitului ce curge pe sub vehicul ( ) la debitul total ( )

și

(5.72)

reprezentând influența rezistenței generată de curgerea pe sub vehicul ( ) asupra

rezistenței aerodinamice totale a automobilului ( ), unde este rezistența aerodinamică relativă, ce exprimă ponderea

coeficientului pierderilor de energie datorită curgerii pe sub

automobil ( ) la mărimea coeficientului de rezistență

aerodinamică al vehiculului ( ),

este aria secțiunii de curgere pe sub automobil ( ), relativă

la aria proiecției automobilului pe planul transversal ( ),

reprezintă viteza relativă. Astfel, coeficientul rezistenței aerodinamice generată de curgerea pe sub

vehicul ( ) poate fi exprimat cu relația

(5.73)

problema determinării acestuia reducându-se la cea a calculului coeficientului

pierderilor de energie la curgeriea aerului pe sub automobil. Prin descompunerea geometriei inferioare a automobilului în zone distincte,

precum în figura 7.32, respectiv în secțiune de intrare, mediană și de evacuare (zona

de difuzor),

Fig. 7.32 - Secțiunea longitudinală caracteristică geometriei inferioare

coeficientul poate fi evaluat prin însumarea pierderilor de energie specifice

fiecărei secțiuni

358

(5.74) Evaluînd variația presiunii totale ( ) între secțiuni, acești coeficienți se

calculează cu relația

v

(5.75)

Coeficientul poate fi evaluat cu relația

(5.76)

unde exponentul depinde de profilul de viteze la intrarea in

secțiunea difuzorului, iar este un coeficient de corecție dependent de unghiul

difuzorului ( ).

Pentru un profil de viteze uniform la intrarea in secțiunea difuzorului .

Dacă profilul de viteze este neouniform, atunci .

Examinând curgerea in jurul unui corp generic de automobil (Ahmed body),

precum în figura 7.33, pentru a fost determinată relația (exponențială)

(5.77)

Fig. 7.33 - Ahmed body - corp generic de automobil la scara 1:4

Date importante referitoare ca curgerea fluidelor în jurul caroseriilor se pot

obține și prin vizualizarea mișcării acestora. În general natura acestor informații este

una calitativă, dar au dezvoltat și tehnici care pe baza observațiilor vizuale furnizează

informații din punct de vedere cantitativ, în special în cazul corpurilor complexe

geometric.

359

Cele mai uzuale tehnici de vizualizare a curgerii aerului în jurul caroseriilor de

automobile sunt vizualizarea cu fum sau cu ajutorul firelor lipite de suprafața

caroseriei. Sunt ieftine și ușor de realizat practic.

În cazul utilizării tehnicilor cu fum (sau a altor particule vizibile introduse în

curentul de aer) scopul de bază îl constituie vizualizarea liniilor de curent și a

determinării zonelor de tranziție ale stratului limită (figura 7.27). Se utilizează cu

precădere în tunele în circuit deschis a căror întreținere este mai simplă, în cazurile în

care au loc depuneri pe suprafețele interioare a tubulaturii.

Fig. 7.27 - Vizualizare curgerii în jurul unui automobil

Utilizarea firelor (de mătase sau lână) este cea mai simplă tehnică de

vizualizare. Nu necesită aparatură specială de vizualizare și spectrul curgerii pe care îl

oferă conține informații utile mai ales în ceea ce privește curgerea pe suprafața

caroseriei, evidențiind zonele de desprindere a stratului limită și de formare a

turbioanelor, precum în figura 7.28.

Fig. 7.28 - Vizualizare curgerii pe caroseria unui automobil

Principalul inconvenient al acestei tehnici de vizualizare se datorează faptului

că prezența firelor generează perturbații care influențează curgerea. Pentru a evita

acest inconvenient se utilizează tehnici de vizualizare a curgerii pe suprafețele

caroseriei folosind uleiuri minerale sau alte substanțe aderente cu vâscozitate

apropiată de a uleiului.

360

Recent au fost dezvoltate tehnici speciale de vizualizare a curgerii în jurul

caroseriilor de autovehicule, precum PIV (Particle Image Velocimetry). Această

tehnică furnizează date despre domeniul supus analizei, măsurând două din

componentele vectorilor viteză instantanee ai particulelor într-o secțiune

transversală a curentului de aer, cea de a treia componentă fiind determinată

utilizând două camere de luat vederi așezate în poziție stereoscopică. Procedeul e

similar celui de formare a imaginilor în relief în cazul aparatului vizual al oamenilor.

Utilizând camere de luat vederi și calculatore performante se realizează un spectru al

curgerii în timp real.

361

8. SCURT ISTORIC Deși dezvoltarea societății este strâns legată de aplicații ale mecanicii

fluidelor, precum alimentarea cu apă a zonelor locuite, irigarea terenurilor agricole și

navigația, mecanica fluidelor apare ca disciplină de studiu independentă în secolul al

XVIII-lea, fundamentele ei teoretice fiind formulate de către matemeticienii Daniel

Bernoulli și Leonard Euler. Dintre cei care au contribuit la formarea și dezvoltarea

mecanicii fluidelor și ale aplicațiilor acestora în tehnică sunt evocate (cronologic)

următoarele personalități.

Arhimede (287–212 î.e.n) este

cea mai de seamă personalitate a

mecanicii antice: matematician, fizician,

inginer, astronom și filozof, născut în

Sicilia, port al coloniei Siracuza din

Grecia antică. Lucrările păstrate ale lui

Arhimede au fost publicate prima dată în

1544 la Basel [5] și au influențat creația

unor personalități ale științei precum

Galileo Galilei și Isaac Newton [46]. A

fost cel care formulat principiul

fundamental al plutirii corpurilor în

lucrarea Despre plutirea Corpurilor. Legat

de momentul acestei descoperiri a

rămas celebră în istorie expresia

„Evrika!” (Am găsit/descoperit!), după

Vitruvius (De Arhitectura, vol. IX) [51]. Lui îi este atribuită și construirea un elevator

hidraulic bazat pe un mecanism elicoidal, cunoscut ca șurubul lui Arhimede (șurubul

fără sfârșit) [17], cu ajutorul căruia se poate ridica apa peste nivelul sursei de

alimentare, după cum este prezentat în figura 8.2.

În Geografia vol. 7 [49], Strabon (64/63 î.e.n – 24 e.n) sugerează folosirea

unui sistem similar cu trei secole înaintea lui Arhimede, în Mesopotamia, pentru

irigarea Grădinilor Suspendate din Babilon, una dintre cele șapte minuni ale lumii

antice. Variante constructive ale șurubului lui Arhimede se regăsesc și în lucrările lui

Leonardo da Vinci. Figura 8.1 îl prezintă pe Arhimede pregătind apărarea Siracuzei,

după o gravură medievală [52].

Fig.1.1 - Arhimede

362

Fig. 8.2 – Schema elevatorului hidraulic construit de Arhimede

Ctesibios (secolul III î.e.n.) este considerat de către antici ca fiind fondatorul

școlii de mecanică din Alexandria [5]. Potrivit relatărilor lui Vitruvius (De Arhitectura,

vol. X), el este constructorul unor mașini precum pompa acționată pneumatic, orga

hidraulică, ceasul cu apă bazat pe determinarea timpului de golire a unui rezervor,

prin sifonare la o diferență de nivel constantă. Construcția și funcționarea acestor

aparate, figura 8.3, a fost descrisă ulterior și de Heron [45], care în lucrările sale

sintetizeză la momentul respectiv principalele realizări ale lumii antice în domeniul

mecanicii.

Fig. 8.3 – (a) rgă hidraulică și (b) ceas cu apă, după „Heronis Alexandrini -

Pneumatica et Automata”, de Wilhelm Schmidt, Leipzig, 1899

363

Heron din Alexandria (sec II î.e.n.) este considerat cel mai important

mecanician al epocii sale, cu preocupări atât teoretice cât și practice. Lucrările sale au

fost publicate în cunoscuta colecție Bibliotheca Scriptorum Graecorum et Romanorum

Teubneriana: Heronis Alexandrini, Opera quae supersunt omnia, Leipzig, 1899 – 1914,

în cinci volume. Primul volum, Pneumatica et Automata, conține lucrări în care sunt

descrise o serie de mecanisme și aparate cu acționare pneumatică și/sau hidraulică,

precum ceasurile cu apă, dispozitivele de închidere și deschidere automată a ușilor

templelor, lămpi cu fitil automat etc. Volumul mai conține și fragmente din

Pneumatica lui Filon din Bizanț (sec. II î.e.n.) și Arhitectura lui Vitruvius.

Dintre aparatele acționate de fluide pe care Heron le-a inventat, menționate

în mod curent sunt fântâna pusă în funcțiune de energia hidrostatică a apei

acumulate în bazinul acesteia (realizată în mai multe variante constructive), figura

8.4(a) și Aeolipile (după numele zeului grec al vântului, Aeolus), prima mașină

acționată de aburi, figura 8.4(b).

Fig. 8.4 – (a) Fântâna lui Heron (varianta în care alimentarea se realiza prin interiorul

unei sculpturi reprezentând un satir) și (b) Aleopile, după „Heronis Alexandrini -

Pneumatica et Automata” de Wilhelm Schmidt, Leipzig, 1899

364

Aburul care se forma în cazanul de jos, prin încălzirea apei, urca prin

interiorul țevilor de susținere a sferei și se destindea în niște ajutaje diametral opuse.

Reacțiunea creată de jeturile de abur puneau în mișcare sfera. Marcus Vitruvius Pollio (secolul I î.e.n.) și Sextus Iulius Frontius (sec I e.n.)

sunt doi dintre reprezentanții tehnicii romane, dezvoltată sub influența celei grecești,

dar având un caracter mai practic evidențiat de impresionantele lucrări publice

realizate: drumuri, poduri, apeducte, băi etc. În tratatul în zece volume, De

Arhitectura [51], Vitruvius sintetizează și descrie principalele realizări tehnice ale

epocii sale referitoare de construcția clădirilor și utilităților, precum și a mașinilor

cunoscute pe atunci: mașini de ridicat, de scos apă, mori de vânt. O descriere mai

amănunțită a apeductelor romane o face Frontius în lucrarea De Aquis Urbis Romae

[22], în care face și observația că debitul de apă depinde de nivelul rezervorul și de

diametrul conductei. Introduce în practică ajutajele calibrate, numite calices, cu

ajutorul cărora se regla debitul în funcție de necesități.

Spectaculoase din punct de vedere arhitectonic erau porțiunile care

traversau văi, în aceste zone apeductele fiind susținute de poduri cu arcade, uneori

chiar pe mai multe niveluri, precum în figura 8.5.

Fig. 8.5 – „Pont du Gard”, Franța, construit în secolul I e.n.

primul nivel este folosit și în prezent ca pod

Deși o mare parte dintre ele au fost distruse în timp, unele mai sunt încă

funcționale, precum apeductul Agua Virgo, inaugurat în anul 19 î.e.n. și care în

prezent alimentează fântâna Trevi din Roma. Leonardo da Vinci (1452–1519), figură emblematică a Renașterii italiene

cunoscut mai ales ca pictor, este cel căruia i se datoarează și o serie descoperiri

importante în mecanică, fiind un vizionar în acest domeniu.

365

Fig. 8.6 – Leonardo da Vinci, autoportret

Cele mai importante contribuții la studiul fluidelor sunt cuprinse în Del moto

e misura dell’acqua [50], un tratat în nouă părți publicat în 1828 în forma cunoscută

în prezent și în care Leonardo abordează și tratează subiecte practice referitoare la

curenții de apă: curgerea cu suprafață liberă, curgerea turbulentă cu vârtejuri,

utilizarea pragurilor și deversoarelor pentru disiparea energiei căderilor de apă,

golirea rezervoarelor prin sifonare și curgerea prin conducte, diverse roți și mașini

hidraulice.

Fig. 8.7 – Studiu referitor la curgerea turbulentă

366

Este primul care descrie și ilustrează fenomene caracteristice hidrodinamicii:

distribuția de viteze într-un curent, propagarea, reflexia și interferența valurilor,

formarea vârtejurilor la modificarea secțiunii de curgere, sau la curgerea în jurul

corpurilor și propune profilarea hidrodinamică a acestora.

Observațiile sale referitoare la dependența dintre viteza unui curent și aria

secțiunii de curegere a acestuia au precedat și contribuit la formulara principiului

conservării masei la curgerea unui fluid [23]. De asemenea, este considerat ca fiind

unul dintre fondatorii științelor experimentale, datorită introducerii experimentării ca

metodă de cercetare și rezolvare a problemelor studiate.

Fig. 8.8 – Schiță cu variante constructive ale șurubului lui Arhimede și mașină

hidraulică de ridicat apa cu mecanism de antrenare automată

Unanim recunoscut ca un mare inventator,

proiectele sale preced invenții contemporane precum

costumul de scafandru, deltaplanul, automobilul ș.a. Drumul către o mecanică modernă este

deschis de savantul italian Galileo Galilei (1564-1642),

care elaborează una dintre primele descrieri ale

mecanicii clasice [46]. Cercetările sale l-au condus la

formularea principalelor noțiuni cinematice, viteza și

accelerația, stabilind astfel legile de mișcare ale unui

corp greu prin aer (1604) [5] în absența rezistenței

Fig. 8.9 – Galileo Galilei

367

aerodinamice, mișcarea pe un plan înclinat, mișcarea unui pendul greu. Formulează

principiul inerției și emite primul ipoteza relativității mișcării. Opera sa a fost

publicată în numeroase ediții, cea mai cuprinzătoare fiind în 20 de volume, Le Opere

di Galileo Galilei, Edizione Nazionale, Firenze, între anii 1890-1909. Referitor la fluide,

scrie în 1612 lucrarea Discorso sui gallegianti în care își exprimă cosiderațiile asupra

plutirii corpurilor.

Tot în această perioadă se remarcă și

Evangelista Torricelli (1608-1647), fizician și

matematician italian, unul dintre elevii lui Galileo

Galilei. El este cel care a construit primul barometru

cu mercur cu ajutorul căruia a pus în evidență și a

măsurat pentru prima dată presiunea atmosferică.

Astfel, torrul este unitatea de măsură a presiunii

denumită în onoarea sa. Lucrările sale sunt cuprinse

în culegerea Opera Geometrica, publicate în 1644 la

Florența. Rezultatele obținute în mecanică sunt

expuse în De Motu Gravium [54] în care este tratată

și curgerii apei prin orificii. Prin analogie cu mișcarea unui corp greu în cădere liberă

formulează fără demonstrație o primă formă a expresiei vitezei teoretice a unui jet

de lichid prin orificiul unui rezervor.

Studiile lui Torricelli referitoare la presiunea

atmosferică sunt continuate ulterior de Blaise Pascal

(1623-1662), fizician, matematician și filozof francez,

unul dintre creatorii hidrostaticii. A formulat legile

variației presiunii în interiorul fluidelor (aer și lichide),

de transmitere a presiunii în interiorul lichidelor,

cunoscută în prezent ca legea lui Pascal și a inventat

multiplicatorul hidraulic de forță (presa hidraulică).

Lucrările de mecanică a lui Pascal, publicate postum,

sunt cuprinse în Traitez de l'Equilibre des Liqueurs et

de la Pesanteur de la Masse de l'Air [40]. Unitatea de

măsură a presiunii în Sistemul Internațional (pascalul) este denumită în onoarea sa.

Isaac Newton (1642-1727), matematician, fizician și astronom englez, este cel

care a fundamentat mecanica clasică formulând legile de mișcare a corpurilor, motiv

pentru care este considerat și în prezent cea mai influentă personalitate din istoria

mecanicii.

Fig. 1.10 – E. Torricelli

Fig. 8.11 – B. Pascal

368

Principalele studii în acest domeniu au fost

publicate în Philosophiæ Naturalis Principia

Matematica, 1687. Reeditat în numeroase ediții și

traduceri, tratatul este structurat în trei părți [37]. În

prima parte sunt definite principalele noțiuni de

macanică: masa, cantitatea de mișcare (impulsul),

inerția, forța. De asemenea, sunt formulate cele trei

legi fundamentale ale dinamicii, regula compunerii

mișcărilor/forțelor și principiul relativității clasice. În

partea a doua sunt abordate probleme referitoare la

mișcarea corpurilor în medii rezistente (fluide) iar în

partea a treia este tratată mecanica corpurilor cerești, unde este formulată și

demonstrată legea atracției universale.

Are contribuții impotante și în domeniul opticii, fiind inițiatorul teoriei

corpusculare a luminii și cel care a demonstrat experimental sinteza luminii albe din

cele șapte culori ale spectrului luminii solare.

De asemenea, concomitent cu filozoful și matematicianul german Gottfried

Wilhelm von Leibniz, Newton elaborează bazele calculului diferențial. Pentru

contribuțiile sale în domeniul științei, a fost înnobilat în 1705 de către regina Annne a

Marii Britanii, devenind Sir Isaac Newton. Unitatea de măsură a forței în Sistemul

Internațional (newtonul) este denumită în onoarea sa.

Henri de Pitot (1695-1771), inginer francez, realizează un instrument pentru

determinarea vitezei curenților de apă, cunoscut în prezent ca tubul Pitot, a cărui

descriere o publică în 1732 [44]. Daniel Bernoulli (1700-1782), matematician și

fizician elvețian, este cel care a publicat primul tratat

științific având ca subiect dinamica fluidelor [16],

Hydrodinamyca, sive de Viribus et Motibus Fluidorum

Commentarii, Strassburg, 1738, în care definește

principalele proprietăți ce caracterizează starea unui

curent de fluid și interdependențele dintre acestea,

enunțând o primă formă a ceea ce în prezent este

cunostă ca legea lui Bernoulli: presiunea într-un

curent de fluid scade cu creșterea vitezei acestuia.

De asemenea, pune bazele teorei cinetico-

moleculare a gazelor, demostrând că presiunea execitată de un gaz pe pereții

Fig. 8.12 – Isaac Newton

Fig. 8.13 – D. Bernoulli

369

recipientului ce-l conține este rezultatul acțiunii moleculelor gazului și că presiunea

crește cu temperatura.

Leonhard Euler (1707-1783), matematician și

fizician elvețian, a fost unul dinte cei mai prolifici

oameni de știiță, autor a peste opt sute cinzeci de

articole și lucrări, cele mai multe publicate de

Academia de Științe din Sankt Petersburg, una din

instituțiile cu rol stimulator al activițății științifice din

secolul XVIII. A conferit o formă modernă metodelor

matematice de calcul și implicit fizicii.

În hidrodinamică, a dedus ecuațiile

diferențiale ale curgerii fluidelor ideale [18] și a

introdus noțiunea de presiune a fluidelor în mișcare.

Jean le Rond d’Alembert (1717 – 1783),

matematician, filozof și fizician francez, a avut

contribuții semnificative în domeniul matematicii, în

special de calculul derivatelor și rezolvarea ecuațiilor

diferențiale, cu numeroase aplicații în fizică, implicit și

în mecanica fluidelor. De numele său se leagă

fenomenul cunoscut ca paradoxul lui d’Alembert

(subcapitolul "Mișcări potențiale" în prezentata

lucrare).

Giovanni Battista Venturi (1746 – 1822),

fizician italian, a studiat curgerea fluidelor prin canale

cu secțiune variabilă. Creșterea vitezei unui curent de

fluid, concomitent cu scăderea presiunii acestuia,

datorită micșorării secțiunii de curgere, este

cunoscută în prezent ca efectul Venturi.

De asemenea, instrumentul a cărui

funcționare se bazează pe acest efect pentru

determinarea debitelor prin conducte se numește

tub Venturi. Similar, ejectoarele sunt cunoscute și ca

pompe (cu jet) Venturi.

Fig. 8.14 – Leonhard Euler

Fig. 8.15 – J. d’Alembert

Fig. 8.16 – G. Venturi

370

Augustin Louis de Cauchy (1789 – 1857) este

unul dintre cei mai mari matematicieni și mecanicieni

ai lumii, alături de Euler. A fost profesor la Sorbona,

publicând pe parcursul carierei peste opt sute de

lucrări științifice. A avut contribuții semnificative în

analiză matematică, algebră și mecanică, de numele

lui legându-se ecuațiile de mișcare ale fluidelor reale

modelate ca medii elastice: ecuațiile de mișcare în

componente de eforturi. George Gabriel Stokes (1819 – 1903),

matematician și fizician britanic, este una dintre

personalitățile cu realizări semnificative în studiul

compartamentului dinamic al fluidelor vâscoase.

Contribuie, alături de fizicianul francez Claude Louis

Navier la formularea ecuațiilor de mișcare ale

fluidelor reale. Unitatea de măsură a vâscozității

cinematice în Sistemul Tehnic este denumită în

onoarea sa. Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz

(1821 – 1894) este figura proeminentă a renașterii

științifice din Germania secolului al XIX-lea, având

contribuții fundamentale în mai multe domenii,

printre care și fizica, fiind cunoscut pentru teoriile

privind conservarea energiei. Legat de mecanica

fluidelor, are contribuții la formularea și integrarea

ecuațiilor de mișcare pentru fluidele ideale și la

dezvoltarea teoriei curgerilor cu vârtejuri. Osborne Reynolds (1842 – 1912) matematician,

fizician și inginer britanic, a avut contribuții

semnificative în domeniul hidrodinamicii prin

evidențierea celor două regimuri distincte de curgere,

laminar și turbulent. A definit parametrul adimensional,

cunoscut azi ca numărul Reynolds, cu ajutorul căruia se

determină regimul de curgere al unui fluid. De

asemenea, a formulat ecuațiile de mișcare în regim

turbulent.

Fig. 8.17 – A. L. Cauchy

Fig. 8.18 – G.G. Stokes

Fig. 8.19 – H. Helmholtz

Fig. 8.20 - O. Reynolds

371

Ludwig Prandtl (1875 - 1953) - fizician și

inginer german, este recunoscut ca cea mai

marcantă personalitate din domeniu, fiind cel care

a formulat (1904) și dezvoltat teoria stratului

limită, cel mai inovator concept din mecanica

fluidelor, contribuind decisiv la forma actuală a

acestei științe.

De asemenea, Prandtl este părintele

aerodinamicii. A construit în 1908, la universitatea

din Göttingen, primul tunel aerodinamic din

Germania. Cercetările efectuate cu ajutorul

acestei instalații au condus la elaborarea unei

metode de calcul a profilelor aerodinamice și la

formularea teoriei aripilor portante de anvergură

finită.

A contribuit și la formarea altor personalități din domeniu, cărora le-a fost

mentor și conducator de doctorat, precum Johann Nikuradse, Theodore von Karman,

Paul Richard Heinrich Blasius și Karl Pohlhousen.

Fig. 8.21 – Ludwig Prandtl

372

BIBLIOGRAFIE

[1] Anderson J. D., Fundamentals of Aerodynamics, McGraw-Hill Series in

Aeronautical and Aerospace Engineering, 2001, ISBN 0-07-237335-0.

[2] Anton V., Popoviciu M., Fitero I., Hidraulică și Mașini Hidraulice, Editura

Didactică și Pedagogică, București, 1978.

[3] Barlow J., Rae W., Pope A., Low-speed Wind Tunnel Testing, Third Edition,

Wiley-Interscience, 1999, ISBN 0-471-55774-9.

[4] Barna P. S., Fluid Mechanics for Engineers, Third Edition, Butterworths, 1969.

[5] Bălan Șt., Ivanov I., Din Istoria Mecanicii, Editura Științifică, București, 1966.

[6] Benche V., Mecanica Fluidelor și Mașini Hidraulice, Universitatea din Brașov,

1978.

[7] Benche V. ș.a., Mecanica Fluidelor și Mașini Hidropneumatice - Culegere de

Probleme, Universitatea din Brașov, 1989.

[8] Brădeanu P., Mecanica Fluidelor, Editura Tehnică, București, 1973

[9] Carafoli E., Constantinescu V. N., Dinamica Fluidelor Incompresibile, Editura

Academiei - România, București, 1981.

[10] Carafoli E., Constantinescu V. N., Dinamica Fluidelor Compresibile, Editura

Academiei - România, București, 1984.

[11] Constantinescu V.N., Dănăilă S., Găletușe S., Dinamica Fluidelor în regim

turbulent, Editura Academiei - România, București, 2008, ISBN 978-973-27-

1694-6.

[12] Constantinescu V. N., Găletușe St., Mecanica Fluidelor și Elemente de

Aerodinamică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.

[13] Daily J., Harleman D., Fluid Dynamics, Addison-Wesley, Ontario, 1973, ISBN 0-

201-01421-1.

[14] Crăciun I., Analiză Matematică - Calcul Integral, Editura PIM, Iași, 2007, ISBN

978-973-716-781-1.

[15] Crăciun I., Capitole de Matematici Speciale, Editura PIM, Iași, 2007, ISBN 978-

973-716-807-8.

[16] Darrigol O., Worlds of Flow, A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to

Prandtl, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856843-8, 2005

[17] Dummett J., Syracuse, City of Legends, I.B. Tauris Press, 2010, ISBN 978-1-

84885-322-5.

[18] Euler Leonhard, Principes Généraux du Mouvement des Fluides, Histoire de

l'Académie Royale des Sciences, Berlin, 1755.

373

[19] Evett J., Liu C., 2500 Solved Problems in Fluid Mechanics and Hydraulics,

McGraw-Hill, 1989, ISBN 0-07-019784-9

[20] Florea J., Panaitescu V., Mecanica Fluidelor, Editura Didactică și Pedagogică,

București, 1979.

[21] Florea J. s.a., Mecanica Fluidelor și Mașini Hidropneumatice - Probleme,

Editura Didactică și Pedagogică, București, 1982.

[22] Frontius, The Stratagems and The Aqueducts of Rome, translated by Charles

E. Bennett, William Heinemann Press, London, 1925.

[23] Homsy G. M., ș.a., Muti-media Fluid Mechanics, Cambridge University Press,

2000, ISBN 0-521-78748-3.

[24] Huminic A., Mecanica Fluidelor și Aerodinamică Experimentală, Editura

Universitații Transilvania din Brașov, 2006, ISBN 973-635-856-9.

[25] Huminic A., Huminic G., Șoica A., Study of aerodynamics for a simplified car

model with the underbody shaped as a Venturi nozzle, International Journal of

Vehicle Design, Vol. 58(1), pp.15-32, 2012.

[26] Huminic A. Huminic G., CFD Study Concerning the Influence of the Underbody

Components on Total Drag for a SUV, SAE Technical Paper 2009-01-1157,

2009, doi 10.4271/2009-01-1157.

[27] Huminic A., Noțiuni Fundamentale de Aerodinamica Autovehiculelor, capitol

publicat în Şoica A., Chiru A., Ispas N., Huminic A., Caroserii şi Sisteme de

Siguranţă Pasivă, Editura Universităţii Transilvania Braşov, 2005, ISBN 973-

635-461-X.

[28] Iacob C., Mecanică Teoretică, ediția a II-a, Editura Didactică și Pedagogică,

București, 1980.

[29] Iacob C. ș.a., Dicționar de Mecanică, Editura Științifică și Enciclopedică,

București, 1980.

[30] Idelcik I. E., Îndrumător pentru Calculul Rezistențelor Hidraulice, Editura

Tehnică, București, 1984.

[31] Katz J., Plotkin A., Low-speed Aerodynamics, from Wing Theory to Panel

Methods, McGraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering,

1991, ISBN 0-07-050446-6.

[32] Katz J., Race Car Aerodynamics - Designing for Speed, 2nd Edition, Bentley

Publisher, 2006, ISBN 978-0-8376-0142-7.

[33] Kittel C, Knight W., Ruderman M., Cursul de Fizică Berkeley, vol. I - Mecanică,

Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981.

[34] Marinescu A., Metode, Aparate și Instalații de Măsură în Aero-Mecanică,

Editura Academiei - România, 1970.

374

[35] Mateescu C., Hidraulica, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1961.

[36] Nakayama Y., Introduction to Fluid Mechanics, Butterworth-Heinamann,

Oxford, 2000, ISBN 0-340-67649-3.

[37] Newton Isaac, The Mathematical Principles of Natural Philosophy, published

by Daniel Adee, 45 Liberty street, New-York, 1846.

[38] Panaitescu V., Tcacenco V., Bazele Mecanicii Fluidelor, Editura Tehnică,

București, 2001.

[39] Panton R. L., Incompressible Flow, Wiley-Interscience, New York, 1984, ISBN

0-471-89765-5.

[40] Pascal Blaise, Œvres Complètes, Vol. III, Les Grands Écrivains de La France,

Nouvelles Éditions, Librairie Hachette, Paris, 1908.

[41] Pop I., Postelnicu A., Probleme Clasice și Moderne în Teoria Stratului Limită

Laminar, Editura Studia, Cluj-Napoca, 1999.

[42] Postelnicu A., Profile Aerodinamice, Universitatea Transilvania din Brașov,

1997.

[43] Prandtl L., Gesammelte Abhandlungen zur Angewandten Mechanik, Hydro-

und Aerodynamik, III teil, Berlin 1961.

[44] de Pitot Henri, Description d'une Machine pour Mesurer la Vitesse des Eaux

Courantes et le Sillage des Vaisseaux, Histoire de l'Académie Royale des

Sciences, Année M.DCCXXXII, De l’Imprimerie Royale, Paris, 1735.

[45] Schmidt W., Heronis Alexandrini, Opera quae Supersunt Omnia, vol. I,

Pneumatica et Automata, B.G. Teubner Verlag, Leipzig, 1899.

[46] Simmons J., The Scientific 100: A Ranking of the Most Influential Scientist,

Past and Present, Citadel Press, ISBN 0806517492, 1996.

[47] Sumantran V., Sovran G., Vehicle Aerodynamics, PT-49, SAE International,

1996.

[48] Sutherland, W., The viscosity of gases and molecular force, Philosophical

Magazine, S. 5, 36, pp. 507-531, 1893.

[49] Strabo, The geography of Strabo, translated by H. L. Jones, Cambridge, Loeb

Classical Library, Harward University Press, 1932.

[50] da Vinci Leonardo, Del Moto e Misura dell’Acqua, editat de Francesco

Cardinali, Bolonia, 1828.

[51] Vitruvius Marcus Pollio, The Architecture in Ten Books, translated by Joseph

Gwilt, Pristley and Weale Press, London, 1826.

[52] Thevet André, Les Vrais Pourtraits et Vies des Hommes Illustres, vol II, Paris,

1584.

375

[53] Todicescu A., Mecanica fluidelor și Mașini Hidropneumatice, Editura Tehnică,

București, 1974.

[54] Torricelli Evangelista, Oprera Geometrica Evangelistæ Torricellii: De Solidus,

De Motu, De Dimensione Parabolae, De Solido Hiperbolico cum Appendicibus

de Cycloide et Cochlea, , Florentiæ Typis A. Masse & L. de Landis, 1644.

[55] Wilcox D., C., Turbulence Modeling for CFD, DCW Industries, California, USA,

Second Edition, 2000, ISBN 0-9636051-5-1.

[56] ***, Aerodynamic Testing of Road Vehicle – Testing Methods and Procedures,

SAE J20784 JAN93, SAE Information Report.

[57] ***, Aerodynamic Testing of Road Vehicle – Open throat Wind Tunnel

Adjustement, SAE J2071 JUN94, SAE Information Report.