Capitolul 10

Siruri de numere reale

Vom introduce notiunile de multime deschisa si de vecinatate ale unui numar real. Apoivom studia sirurile de numere reale.

Definitia 10.1 O multime G R se numeste deschisa daca x G, > 0 astfel ncat(x , x+ ) G.

Intervalele (a, b) sunt multimi deschise.

Definitia 10.2 Numim vecinatate a lui x0 R o multime V R cu proprietatea caexista G R, G multime deschisa, astfel ncat x0 G V.

Multimea tuturor vecinatatilor unui punct x0 R se noteaza V(x0).

Propozitia 10.1 V V(x0) daca si numai daca > 0 astfel ncat{x R| |x x0| < } V.

Demonstratie. Necesitatea. Fie V V(x0). Din definitia vecinatatii exista G o multimedeschisa astfel ncat x0 G V. Cum x0 G, din definitia multimii deschise > 0 astfelncat (x , x+ ) G V ((x , x+ ) = {x R| |x x0| < }).Suficienta. G = {x R| |x x0| < } = (x , x+ ) este o multime deschisa si x0

G V.

Definitia 10.3 Un sir de numere reale este o functie f : N R. Notam f(n) = an sise numeste termenul de rang n al sirului. Notam sirul prin (an)nN sau (an) .

Definitia 10.1 Fie f : N R un sir Se numeste subsir restrictia lui f la o submultimecel mult numarabila N1 N.

Definitia 10.2 Se numeste modul functia || : R [0,) definita prin|x| =

x, daca x 0,x, daca x < 0.

121

122 CAPITOLUL 10. SIRURI DE NUMERE REALE

Propozitia 10.2 Functia modul are urmatoarele proprietati:1. |x+ y| |x|+ |y| ,x, y R;2. |x y| < x (y , y + ) ;3. |xy| = |x| |y| ,x, y R;4. |x| = |x| ,x R;5. ||x| |y|| |x y| ,x, y R.Demonstratie. Demonstram inegalitatea 5.|x| = |x y + y| |x y|+ |y| |x| |y| |x y| .Analog obtinem|y| = |y x+ x| |y x|+ |x| = |x y|+ |x| |x y| |x| |y| , deci |x y|

|x| |y| |x y| , iar relatia se deduce utilizand proprietatea 2.

10.1 Siruri monotone

Definitia 10.4 Un sir (an)nN se numeste crescator daca an an+1, pentru n N si estestrict crescator daca an < an+1, pentru n N. Un sir (an)nN se numeste descrescatordaca an an+1, pentru n N si este strict crescator daca an > an+1, pentru n N. Unsir crescator sau descrescator se numeste sir monoton. Un sir strict crescator sau strictdescrescator se numeste strict monoton.

Se verifica usor ca orice subsir al unui sir monoton este un sir monoton.

10.2 Siruri marginite

Definitia 10.3 Un sir (an)nN se numeste marginit daca multimea termenilor siruluieste marginita.

Observatia 10.1 Un sir (an)nN este marginit daca exista M > 0 astfel ncat |an| < M(M se presupune independent de n).

Exemplul 10.1 Sirul an = (1)n este marginit, dar sirul bn = n sin n2 nu este marginit.

10.3 Siruri convergente

Definitia 10.5 Un sir de numere (an)nN are limita a R daca n orice vecinatate alui a se afla toti termenii sirului cu exceptia unui numar finit de termeni ai sirului, adica(an)nN are limita a daca V V(a),nV N : n nV an V . Scriem limn an = asau an a.

Definitia 10.6 Un sir de numere (an)nN se numeste convergent daca are limita n R.Daca sirul nu are limita sau are limita dar aceasta este sau atunci spunem ca siruleste divergent.

10.3. SIRURI CONVERGENTE 123

Teorema 10.1 (Teorema de caracterizare a unui sir convergent de numere reale)Sirul de numere (an)nN se numeste convergent la a R daca si numai daca

> 0, n N astfel ncat n n |an a| < .

Demonstratie. Necesitatea. Fie limn

an = a. Fie V V(a), V = (a , a+ ) . Conformdefinitiei n N : n n an (a , a+ ) |an a| < .Suficienta. Presupunem ca > 0, n N astfel ncat n n |an a| < . Vom

arata ca limn

an = a folosind definitia limitei.Fie V o vecinatate arbitrara a lui a. Din definitia vecinatatii rezulta ca > 0 astfel

ncat (a , a+ ) V . Conform ipotezei pentru acest > 0, n N astfel ncat n n an (a , a+ ) V. Aceasta implica faptul ca lim

nan = a.

Teorema 10.2 (Proprietati ale sirurilor convergente) 1. Limita unui sir de numerereale, daca exista, este unica.2. Orice subsir al unui sir convergent este convergent la aceeasi limita.3. Orice sir convergent este marginit.

Demonstratie. 1. Presupunem ca sirul are doua limite diferite, adica limn

an = a silimn

an = b, a 6= b. Atunci avem > 0, n N astfel ncat n n |an a| < 2 , > 0, n N astfel ncat n n0 |an b| < 2 ,

atunci pentru > 0,N = max {n, n0} astfel ncat n N |a b| |a an + an b| |an a|+ |an b| < .Dar inegalitatea |a b| < nu poate avea loc pentru orice > 0 (de exemplu daca se

ia = 12|a b| > 0 1

2> 1) ceea ce arata ca ipoteza a 6= b este falsa.

2. Daca limn

an = a atunci n afara oricarei vecinatati a lui a se afla un numar finit determeni ai sirului, deci cu atat mai mult un numar finit de termeni ai oricarui subsir al sau.Deci orice subsir al unui sir convergent are aceeasi limita cu sirul initial.3. Daca lim

nan = a vom avea luand = 1 pentru n n1 |an a| < 1

|an| = |a+ an a| |a| + |an a| < |a| + 1 n n1 |an| < |a| + 1. Daca notamM = max {|a1| , ..., |an1| , |a|+ 1} rezulta |an| M, n N.

Teorema 10.3 (Operatii cu siruri) 1.Daca (an)nN si (bn)nN sunt doua siruri con-vergente, sirul suma este convergent atunci lim

n(an + bn) = lim

nan + lim

nbn. Analog

limn

(anbn) = limn

an limn

bn.

2. Daca (an)nN este convergent si limn an = a 6= 0 atunci exista un k N astfel ncatan 6= 0 pentru n k si lim

n

1

an=1

a.

Demonstratie. 1. Deoarece (an)nN si (bn)nN sunt doua siruri convergente rezulta calimn

an = a si limn

bn = b. De aici rezulta ca

124 CAPITOLUL 10. SIRURI DE NUMERE REALE

> 0,n N astfel ncat n n |an a| < 2 , > 0,n N astfel ncat n n0 |bn b| < 2 ,Dar |(an + bn) (a+ b)| = |(an a) + (bn b)| |an a| + |bn b| < pentru n

max {n, n0} , deci limn(an + bn) = limn an + limn bn.Apoi |anbn ab| = |an(bn b) + (an a)b| |an| |bn b|+ |an a| |b| . Conform teore-

mei 10.2 punctul 3, (an) este marginit, |an| M,n N , rezulta|anbn ab| M |bn b| + |an a| |b| A (|bn b|+ |bn b|) < A < 0, de unde

limn

(anbn) = limn

an limn

bn, unde A = max {M, |b|} .2. Din lim

nan = a > 0,n N astfel ncat n n |an a| < . Deoarece

|a| = |(a an) + an| |an|+|an a| , luand = 12 |a| |an| |a| 12 |a| = 12 |a| > 0 pentrun n 1

2|a|. Deci pentru n n 1

2|a| are sens sirul

1

an

si deoarece

1

an 1a

=|an a||an| |a|

2

|a|2 |an a| 0,n N astfel ncatn n |bn 0| = |bn| < . Deoarece |an a| bn rezulta ca > 0, n N astfelncat n n |an a| < si deci convergenta sirului (an)nN .2. Deoarece lim

nan = a atunci > 0, n N astfel ncat n n |an a| < . Pe

baza inegalitatii ||an| |a|| |an a| < rezulta ca > 0,n N astfel ncat n n ||an| |a|| <

si, conform teoremei de caracterizare a unui sir convergent de numere reale rezulta calimn

|an| = |a| . Pentru a observa ca reciproca nu este adevarata, de exemplu consideraman = (1)n. Acest sir este divergent, dar sirul |an| = |(1)n| = 1 este convergent.Teorema 10.4 (Regula privind trecerea la limita n inegalitati) Daca sirurile (an)nNsi (bn)nN sunt astfel ncat an bn pentru n n1 si daca limn an = a si limn bn = b atuncia b.

Demonstratie. Fie sn = an bn. Avem sn 0 daca n n1 si limn

sn = a b = s. dacas < 0 atunci din > 0,n N astfel ncat n n |sn s| < s < sn < s+ iar pentru = s

2> 0, avem sn < s+ = s

s2=

s2< 0 pentru n ,max {n, n1} , ceea

ce contrazice faptul ca sn 0, deci s = a b 0.In urmatoarea propozitie reformulam proprietatea de densitate a lui Q n R, si a lui

R\Q n R n limbajul sirurilor si demonstram densitatea lui R\Q n R.

10.3. SIRURI CONVERGENTE 125

Propozitia 10.4 Pentru x R exista (x0n)nN sir n Q astfel ncat limnx0n = x si exista

(x00n)nN sir n R\Q astfel ncat limnx00n = x. Sirurile (x0n)nN si (x

00n)nN se pot alege

monoton crescatoare sau monoton descrescatoare.

Demonstratie. Alegem

x0n x 1

n, x 1

n+ 1

Q (conform Teoremei de densitate a lui Q n R)

si x00n x 1

n, x 1

n+ 1

(R\Q) (conform Teoremei de densitate a lui R\Q n R).

Deoarece

x 1n< x0n < x

1

n+ 1si x 1

n< x00n < x

1

n+ 1rezulta ca lim

nx0n = limnx

00n = x si x0n < x

1

n+ 1< x0n+1, x00n < x

1

n+ 1< x00n+1, n 1.

Similar, considerand

x0n x+

1

n+ 1, x+

1

n

Q

si x00n x+

1

n+ 1, x+

1

n

(R\Q)

se obtin siruri monoton descrescatoare cu limita x.

Teorema 10.5 Un sir monoton si marginit este convergent si anume daca (an)nN estemonoton crescator atunci lim

nan = sup {an|n N} iar daca (an)nN este monoton de-

screscator atunci limn

an = inf {an|n N}.

Demonstratie. Daca an an+1, n N, si |an| M, multimea A = {a1, a2, ..., an, ...}admite o margine superioara. Fie L = sup {an|n N} . Din teorema de caracterizare amarginii superioare rezulta ca > 0,n1 N astfel ncat an1 > L ; rezulta L aq, p, q, n N.4. Fiecare din intervalele [bn, cn] contine o infinitate de termeni ai sirului (an)nN .Din Lema 10.1 rezulta ca exista un singur numar a0 astfel ncatbn a0 cn pentru orice n N.Construim acum un subsir al sirului (an) convergent catre a0. Fie an1 un element al

sirului (an) , an1 [b1, c1] . Deoarece intervalul [b2, c2] contine o infinitate de termeni aisirului (an) exista un termen al sirului an2 [b2, c2] cu n2 > n1. Sa presupunem ca alegemtermenii sirului anp [bp, cp] ,p N. Sirul astfel construit

anpeste un subsir al sirului

(an) . Demonstram ca este convergent la a0 .

Deoarece bp a0 cp, bp anp cp anp a0

cp bp =

b a2p

10.3. SIRURI CONVERGENTE 127

Dar pentru orice > 0,n N astfel ncat pentru p n anp a0

< , deci

anp

este convergent.In definitia convergentei unui sir intervine limita sirului care numai n rare cazuri este

cunoscuta. Cauchy a dat un criteriu pentru a determina daca un sir este convergent, farasa intervina limita sirului considerat.

Definitia 10.4 Un sir (an)nN se numeste sir Cauchy sau sir fundamental daca

> 0,n N astfel ncat n,m n, |am an| < , (10.1)sau, ntr-o formulare echivalenta,

> 0,n N astfel ncat n n si p N, |an+p an| < . (10.2)

Exemplul 10.2 Sirul an =nX

k=0

cos(k)2k

, n 0, este un sir Cauchy.

Intr-adevar,

|an+p an|

n+pXk=n+1

cos(k)2k

n+pXk=n+1

1

2k=1

2k

1 1

2p

n2n=1

2= ,n 1.

Teorema 10.7 (Criteriul general al lui Cauchy) Un sir (an)nN este convergent dacasi numai daca este sir Cauchy.

Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca sirul (an)nN este convergent si limn an = a,deci

> 0, n N astfel ncat n n |an a| < 2si deci si |an+p a| < 2 ,p N, deoarece n+ p > n. Rezulta ca|an+p an| = |an+p a+ a an| |an+p a|+ |a an| < 2 + 2 < .Suficienta. Fie (an)nN un sir Cauchy. Demonstram ca este convergent n mai multe

etape:1. demonstram ca este marginit,2. exista un subsir convergent, conform Lemei lui Bolzano Cesaro,3. demonstram ca limita acestui subsir este si limita sirului.

128 CAPITOLUL 10. SIRURI DE NUMERE REALE

1. Fixam n (10.2) n = k. Conform (10.2) |ak+p ak| < ,p N, deci cu exceptia ter-menilor a1, a2, ..., ak1 toti ceilalti termeni ai sirului (ak+p) se afla n intervalul (ak , ak + ) .Luand m = min {a1, a2, ..., ak, ak } si M = max {a1, a2, ..., ak, ak + } rezulta ca an [m,M ] ,n N. De aici rezulta ca orice sir Cauchy este marginit.2. Conform Lemei lui Bolzano Cesaro acest sir admite un subsir convergent. Fie acesta

(akn)nN si limn akn = a.3. Demonstram ca lim

nan = a.

Fie > 0,n N astfel ncat pentru orice n n si orice p N atunci |an+p an| < 2 .Fie kn n cu |akn a| < 2 . Aceasta rezulta deoarece limn akn = a.Deci n n, |an a| < |an akn|+ |akn a| < 2 + 2 = , deci limn an = a.

Definitia 10.5 Se numeste vecinatate a lui o multime V R cu proprietatea a Rastfel ncat (a,) V.

Definitia 10.6 Se numeste vecinatate a lui o multime V R cu proprietatea a Rastfel ncat (.a) V.

Definitia 10.7 Spunem ca sirul de numere reale (an)nN are limita , notat limn an =,daca V vecinatate a lui , nV N astfel ncat n nV , n N, an V.

Definitia 10.8 Spunem ca sirul de numere reale (an)nN are limita , notat limn an =, daca V vecinatate a lui -, nV N astfel ncat n nV , n N, an V.

O aplicatie importanta priveste existenta numarului e.

Propozitia 10.5 a) Sirul an =1 +

1

n

n, n 1 este monoton si marginit.

b) Sirul bn = 1 +1

1!+ ... +

1

n!=

nXk=0

1

k!, n 0, (0! = 1) este monoton crescator si

marginit.

c) limn

an = limn

bndef= e.

d) e R\Q.

Demonstratie. a)+b) Observam ca

an =nX

k=0

Ckn1

nk= 2 +

nXk=2

n(n 1)...(n k + 1)nkk!

= 2 +nX

k=2

1 1

n

...1 k 1

n

1

k!pentru n 2. Atunci

an+1 = 2 +n+1Xk=2

1 1

n+ 1

...1 k 1

n+ 1

1

k!> an, (10.3)

10.3. SIRURI CONVERGENTE 129

observand ca 1 jn< 1 j

n+ 1, 1 j k 1, k 2. Din (10.3) rezulta

2 an 2 +nX

k=2

1

k!= bn,n 1.

Observam ca pentru k 2, k! = 2 3 k 2k1, decinX

k=2

1

k!

nXk=2

1

2k1=1

21 1

2n1

1 12

= 1 12n1

< 1,

rezultand 2 an bn < 3,n 1 si am demonstrat ca (an)n este monoton crescator simarginit; bn este marginit si deoarece bn+1 bn =

1

(n+ 1)!> 0, rezulta (bn)n este monoton

crescator. Rezulta ca exista limitelea = lim

nan b = lim

nbn.

c) Fie p N, p 2, p fixat si fie n p. Atunci

an = 2 +nX

k=2

1 1

n

...1 k 1

n

1

k! 2 +

pXk=2

1 1

n

...1 k 1

n

1

k!.

Pentru n obtinem a 2 +nX

k=2

1

k!= bp. Deoarece p a fost ales arbitrar, rezulta ca

b a si n final a = b = e.d) Observam la nceput ca

bn+p bn =n+pX

k=n+1

1

k! 1.

10.3. SIRURI CONVERGENTE 131

Exercitiul 10.2 Sa se calculeze limn

an, daca an =nn!n

.

Rezolvare. Observam ca an =n

rn!nn

. Daca notam bn =n!nn

, atunci

bn+1bn

=(n+ 1)!(n+ 1)n+1

nn

n!=

nn

(n+ 1)n.

Deci

limn

bn+1bn

= limn

nn

(n+ 1)n= lim

n

1

(1 + 1n)n=1

e.

Conform Consecintei 10.3 deducem ca limn

an = limn

nbn = lim

n

bn+1bn

=1

e.

Exercitiul 10.3 Sa se calculeze limn

xn, daca xn = nn.

Rezolvare. Daca notam bn = n, atuncibn+1bn

=n+ 1n

.

Deci

limn

bn+1bn

= limn

n+ 1n

= 1.

Conform Consecintei 10.3 deducem ca limn

xn = limn

nbn = lim

n

bn+1bn

= 1.

10.3.1 Puncte limita

Definitia 10.7 Un numar a este un punct limita a sirului (an)nN daca orice vecinatateV a lui a contine o infinitate de termeni ai sirului (numarul a poate sa apartina sau nusirului).

Daca notam cu L multimea punctelor limita a sirului marginit (an)nN , se numestelimita superioara a sirului (an)nN marginea superioara L a multimii L si se noteaza

L = supL =lim sup an = liman.Marginea inferioara l a multimii L se numeste limita inferioara a sirului (an)nN si se

noteazal = inf L = lim inf an = liman.Evident liman liman.

Exemplul 10.4 Sirulsin n

3

, n N are L = 1, l = 1 si sapte puncte limita l1 =

1, l2 = 12 .l3 = 32, l4 = 0, l5 = 12 , l6 =

32, l7 = 1.

Exemplul 10.5 Sirul

nn+1

, n N are l = L = 1.

Teorema 10.9 Un sir este convergent daca si numai daca l = L = a.

132 CAPITOLUL 10. SIRURI DE NUMERE REALE

Demonstratie. Necesitatea. Daca sirul este convergent rezulta > 0,n N astfelncat n n |an a| < a < an < a + , deci la stanga lui a se gasesteun numar finit de termeni ai sirului, iar la dreapta lui a + se gaseste un numar finit determeni ai sirului, deci a este si limita superioara si limita inferioara, deci l = L = a.Suficienta. Daca l = L = a, atunci conform proprietatilor lui l si L, pentru > 0 la

stanga lui l se va gasi un numar finit de termeni ai sirului, iar la dreapta lui l + seva gasi tot un numar finit de termeni ai sirului, deci de la un rang n toti termenii siruluisatisfac inegalitatea |an a| < .