CURS 3 - Serii de numere reale. Serii cu termeni pozitiviandreea.arusoaie/Cursuri/S_Curs3.pdf ·...

CURS 3Serii de numere reale. Serii cu termeni pozitivi

A. [email protected]

[email protected]

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

16 Octombrie 2017

Structura cursului

1 Introducere

2 Serii de numere reale

3 Serii cu termeni pozitivi

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 32

Structura cursului

1 Introducere

Zeno’s Paradox

Achilles, a fast runner, was asked to race against a tortoise. Achilles can run 10 yards per second,the tortoise only 5 yards per second. The track is 100 yards long. Achilles, being a fairsportsman, gives the tortoise 10 yard advantage. Who will win?

Both start running, with the tortoise being 10 yards ahead. After one second, Achilles hasreached the spot where the tortoise started. The tortoise, in turn, has run 5 yards. Achilles runsagain and reaches the spot the tortoise has just been. The tortoise, in turn, has run 2.5 yards.Achilles runs again to the spot where the tortoise has just been. The tortoise, in turn, has runanother 1.25 yards ahead. This continuous for a while, but whenever Achilles manages to reachthe spot where the tortoise has just been a second ago, the tortoise has again covered a little bitof distance, and is still ahead of Achilles.

Hence, as hard as he tries, Achilles only manages to cut the remaining distance in half each time,implying, of course, that Achilles can actually never reach the tortoise. So, the tortoise wins therace, which does not make Achilles very happy at all. What is wrong with this line of thinking?

Zeno’s Paradox

Time Difference

t = 0 10 yards

t = 1 5 = 10/2 yards

t = 1 + 12

2.5 = 10/4 yards

t = 1 + 12+ 1

41.25 = 10/8 yards

t = 1 +1

22+ ...+

2n=⇒

2n+1yards

Now we want to take the limit as n goes to infinity to find out when the distance betweenAchilles and the tortoise is zero.We denote by

Sn = 1 +1

22+ ...+

and we evaluate Sn − 12Sn

Sn −1

2Sn = 1−

Hence, we have - mathematically correctly - computed that Achilles reaches the tortoise afterexactly 2 seconds, and then, of course passes it and wins the race.

Time Difference

t = 0 10 yards

t = 1 5 = 10/2 yards

t = 1 + 12

2.5 = 10/4 yards

t = 1 + 12+ 1

41.25 = 10/8 yards

t = 1 +1

22+ ...+

2n=⇒

2n+1yards

Sn = 1 +1

22+ ...+

Sn −1

2Sn = 1−

Time Difference

t = 0 10 yards

t = 1 5 = 10/2 yards

t = 1 + 12

2.5 = 10/4 yards

t = 1 + 12+ 1

41.25 = 10/8 yards

t = 1 +1

22+ ...+

2n=⇒

2n+1yards

Now we want to take the limit as n goes to infinity to find out when the distance betweenAchilles and the tortoise is zero.

We denote by

Sn = 1 +1

22+ ...+

Sn −1

2Sn = 1−

Time Difference

t = 0 10 yards

t = 1 5 = 10/2 yards

t = 1 + 12

2.5 = 10/4 yards

t = 1 + 12+ 1

41.25 = 10/8 yards

t = 1 +1

22+ ...+

2n=⇒

2n+1yards

Sn = 1 +1

22+ ...+

Sn −1

2Sn = 1−

Time Difference

t = 0 10 yards

t = 1 5 = 10/2 yards

t = 1 + 12

2.5 = 10/4 yards

t = 1 + 12+ 1

41.25 = 10/8 yards

t = 1 +1

22+ ...+

2n=⇒

2n+1yards

Sn = 1 +1

22+ ...+

Sn −1

2Sn = 1−

Structura cursului

1 Introducere

Serii de numere reale

Fie (xn)n∈N∗ un sir de numere reale, caruia ıi asociem sirul (Sn)n∈N∗ ⊂ R, cu termenul general

Sn = x1 + x2 + . . .+ xn,∀n ∈ N∗.

Perechea((xn)n∈N∗ , (Sn)n∈N∗

), se numeste serie de numere reale (sau serie ın R) si se

noteaza, conventional, prin

∑n∈N∗

xn sau∑n≥1

xn sau∞∑n=1

xn sau : x1 + x2 + . . .+ xn + . . . .

Sirul (Sn)n∈N∗ se numeste sirul sumelor partiale atasat seriei, iar xn se numeste termen generalal seriei.

Cand multimea indicilor sirului de referinta este {n ∈ N | n ≥ n0} (unde n0 ∈ N), atunci seria ın

cauza va fi notata cu∑n≥n0

xn (sau∞∑

Fie (xn)n∈N∗ un sir de numere reale, caruia ıi asociem sirul (Sn)n∈N∗ ⊂ R, cu termenul general

Sn = x1 + x2 + . . .+ xn,∀n ∈ N∗.

Perechea((xn)n∈N∗ , (Sn)n∈N∗

), se numeste serie de numere reale (sau serie ın R) si se

noteaza, conventional, prin

∑n∈N∗

xn sau∑n≥1

xn sau∞∑n=1

xn sau : x1 + x2 + . . .+ xn + . . . .

Sirul (Sn)n∈N∗ se numeste sirul sumelor partiale atasat seriei, iar xn se numeste termen generalal seriei.

Cand multimea indicilor sirului de referinta este {n ∈ N | n ≥ n0} (unde n0 ∈ N), atunci seria ın

cauza va fi notata cu∑n≥n0

xn (sau∞∑

Definitie

I) Seria∑n∈N∗

xn se numeste convergenta, si se noteaza prin∑n∈N∗

xn(C), daca sirul (Sn)n∈N

este convergent, adica daca exista S ∈ R astfel ıncat S = limn→∞

Numarul real S se numeste suma seriei∑n∈N∗

II) Daca sirul (Sn)n∈N∗ nu are limita ın R (adica @ limn→∞

Sn sau limn→∞

Sn = ±∞), atunci seria∑n∈N∗

xn se numeste divergenta si acest fapt se noteaza prin∑n∈N∗

xn(D).

Definitie

I) Seria∑n∈N∗

xn se numeste convergenta, si se noteaza prin∑n∈N∗

xn(C), daca sirul (Sn)n∈N

este convergent, adica daca exista S ∈ R astfel ıncat S = limn→∞

Numarul real S se numeste suma seriei∑n∈N∗

II) Daca sirul (Sn)n∈N∗ nu are limita ın R (adica @ limn→∞

Sn sau limn→∞

Sn = ±∞), atunci seria∑n∈N∗

xn se numeste divergenta si acest fapt se noteaza prin∑n∈N∗

xn(D).

Exemple

a) Seria∑n∈N

rn, ∀n ∈ N, se numeste seria geometrica cu ratia r, unde r ∈ R, arbitrar fixat,

este convergenta cand |r| < 1 si divergenta cand |r| ≥ 1.

b) Seria∑n∈N

(−1)n, numita si seria lui Grandi este divergenta.

c) Seria∑n∈N∗

)este divergenta.

d) Seria∑n≥2

n−√n2 − 1

√n2 − n

este convergenta si are suma S =√2− 1.

e) Seria∑n∈N∗

n2este convergenta.

Definitie

Fie∑n∈N∗

xn o serie de numere reale.

i) Daca xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗, atunci seria∑n∈N∗

xn se numeste cu termeni pozitivi;

ii) Daca xn < 0, ∀n ∈ N∗, atunci∑n∈N∗

xn se numeste serie cu termeni negativi;

iii) Cand xn nu are acelasi semn pentru orice valoare a indicelui n ∈ N∗, seria∑n∈N∗

numeste serie cu termeni oarecare;

iv) Daca xn · xn+1 < 0, ∀n ∈ N∗, atunci seria∑n∈N∗

xn se numeste alternata.

Observatie: Daca unei serii i se adauga sau i se suprima un numar finit de termeni, atuncinatura ei nu se schimba.

Definitie

Fie∑n∈N∗

Definitie

Fie∑n∈N∗

Definitie

Fie∑n∈N∗

Definitie

Fie∑n∈N∗

Definitie

O serie∑n∈N∗

xn, cu xn ∈ R, ∀n ∈ N∗ si ın care xn se poate pune sub forma yn − yn−1,

∀n ∈ N∗, unde natura sirului (yn)n∈N este cunoscuta, se numeste serie telescopica.

Observatie: Seriile de la punctele c) si d) ale exemplului de mai sus sunt telescopice.

Definitie

a) Doua serii de numere reale∑n∈N∗

un si∑n∈N∗

vn se numesc egale daca si numai daca un = vn,

pentru orice n ∈ N∗. In acest caz, scriem:∑n∈N∗

un =∑n∈N∗

b) Seriile∑n∈N∗

un si∑n∈N∗

vn se numesc de aceeasi natura daca si numai daca sunt, simultan,

convergente sau divergente.

Definitie

O serie∑n∈N∗

Definitie

un si∑n∈N∗

un =∑n∈N∗

un si∑n∈N∗

Definitie

O serie∑n∈N∗

Definitie

un si∑n∈N∗

un =∑n∈N∗

un si∑n∈N∗

Teorema lui Cauchy (Criteriul general de convergenta)

Fie∑n∈N∗

xn o serie de numere reale. Atunci∑n∈N∗

xn este convergenta daca si numai daca

∀ ε ∈ R∗+, ∃ nε ∈ N∗, astfel ıncat, ∀ n, p ∈ N∗, cu n ≥ nε, avem:

|xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+p| < ε.

Exemplu: Seria armonica alternata∑n∈N∗

(−1)n+1 1

neste convergenta.

Teorema (Criteriul general de divergenta)

Seria∑n∈N∗

xn este divergenta daca si numai daca exista ε0 > 0 cu proprietatea ca, pentru orice

n ∈ N∗, ∃ kn ≥ n si ∃ pn ∈ N∗ astfel ıncat∣∣xkn+1 + xkn+2 + . . .+ xkn+pn

∣∣ ≥ ε0.Exemplu: Seria

∑n∈N∗

n, numita armonica simpla este divergenta.

Seria se numeste armonica ıntrucat xn este media armonica a numerelor xn−1 si xn+1, adica

xn−1+

xn+1,∀n ∈ N∗, n ≥ 2.

Fie∑n∈N∗

|xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+p| < ε.

(−1)n+1 1

neste convergenta.

Seria∑n∈N∗

∑n∈N∗

xn−1+

xn+1,∀n ∈ N∗, n ≥ 2.

Fie∑n∈N∗

|xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+p| < ε.

(−1)n+1 1

neste convergenta.

Seria∑n∈N∗

∣∣ ≥ ε0.

Exemplu: Seria∑n∈N∗

xn−1+

xn+1,∀n ∈ N∗, n ≥ 2.

Fie∑n∈N∗

|xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+p| < ε.

(−1)n+1 1

neste convergenta.

Seria∑n∈N∗

∑n∈N∗

xn−1+

xn+1,∀n ∈ N∗, n ≥ 2.

Propozitie (Conditia necesara de convergenta)

Fie seria de numere reale∑n∈N∗

xn. Daca seria∑n∈N∗

xn converge, atunci limn→∞

xn = 0.

Propozitie

xn. Daca sirul (xn)n∈N∗ nu este convergent la 0, atunci seria∑n∈N∗

xn este divergenta.

Observatie: Conditia ∃ limn→∞

xn = 0 este numai necesara pentru convergenta seriei cu

termenul general xn (din R), nu si suficienta.

Exemplu: Seria armonica simpla.

xn = 0.

Propozitie

xn este divergenta.

xn = 0.

Propozitie

xn este divergenta.

xn = 0.

Propozitie

xn este divergenta.

Definitie

a) O serie de numere reale∑n∈N∗

xn se numeste absolut convergenta si notam∑n∈N∗

xn(AC),

daca seria valorilor absolute ale termenilor sai, adica seria∑n∈N∗

|xn|, este convergenta.

b) Seria∑n∈N∗

xn se numeste semiconvergenta, si notam∑n∈N∗

xn(SC), daca seria∑n∈N∗

xn este

convergenta, dar seria∑n∈N∗

|xn| este divergenta.

(−1)n+1

neste (SC) dar nu (AC).

Definitie

xn(AC),

b) Seria∑n∈N∗

xn este

(−1)n+1

Definitie

xn(AC),

b) Seria∑n∈N∗

xn este

(−1)n+1

Teorema

Orice serie absolut convergenta de numere reale este convergenta.

Exemplu: Seria alternata∑n∈N∗

(−1)n+1

n2(C) pentru ca seria

∑n∈N∗

∣∣∣∣ (−1)n+1

∣∣∣∣ (C).

Observatie: Reciproca NU este adevarata. Spre exemplu seria∞∑n=1

(−1)n+1

Teorema

(−1)n+1

∑n∈N∗

∣∣∣∣ (−1)n+1

∣∣∣∣ (C).

(−1)n+1

Teorema

(−1)n+1

∑n∈N∗

∣∣∣∣ (−1)n+1

∣∣∣∣ (C).

(−1)n+1

Definitie

xn si p ∈ N∗. Se numeste rest de ordinul p al seriei considerate (si

se noteaza cu Rp) seria∞∑

Teorema (Criteriul restului)

O serie∑n∈N∗

xn este convergenta daca si numai daca limp→∞

Rp = 0.

Definitie

xn si p ∈ N∗. Se numeste rest de ordinul p al seriei considerate (si

se noteaza cu Rp) seria∞∑

Teorema (Criteriul restului)

O serie∑n∈N∗

xn este convergenta daca si numai daca limp→∞

Rp = 0.

Propozitie

i) Daca seria∑n∈N∗

xn converge, avand suma S′ ∈ R, iar seria∑n∈N∗

yn converge, avand suma

S′′ ∈ R, atunci seria∑n∈N∗

(xn + yn) converge avand suma S′ + S′′.

ii) Daca λ ∈ R∗, atunci seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

(λxn) au aceeasi natura.

Observatie: Daca seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

yn sunt divergente, atunci este posibil ca seria∑n∈N∗

(xn + yn) sa fie convergenta.

Exemplu: Seriile∑n∈N∗

(−1)n si∑n∈N∗

(−1)n+1 sunt divergente, pe cand seria∑n∈N∗

[(−1)n + (−1)n+1

], avand sirul sumelor partiale constant, este convergenta.

Propozitie

xn si∑n∈N∗

(−1)n si∑n∈N∗

[(−1)n + (−1)n+1

Propozitie

xn si∑n∈N∗

(−1)n si∑n∈N∗

[(−1)n + (−1)n+1

Teorema

Daca, ıntr-o serie convergenta de numere reale, se asociaza termenii seriei ın grupe finite, cupastrarea ordinii termenilor, atunci se obtine tot o serie convergenta, cu aceeasi suma.

Observatii:

O1 Prin asocierea ın grupe finite a termenilor unei serii divergente din R, cu pastrarea ordinii, se

pot obtine serii convergente. Astfel, ın cazul seriei∑n∈N∗

(−1)n, care este divergenta, putem

sa ne gandim la asocierea (−1+ 1) + (−1+ 1) + . . .+ (−1+ 1) + . . ., obtinand astfel o serieconvergenta, cu suma 0.

O2 Daca seria convergenta∑n∈N∗

xn are termenul general xn de forma unei sume finite, atunci,

prin disociere se poate obtine o serie divergenta. Spre exemplu, din seria∑n∈N∗

[(−1)n + (−1)n+1

](C), prin disociere, ajungem la seria

∑n∈N∗

(−1)n(D).

Teorema

Observatii:

[(−1)n + (−1)n+1

∑n∈N∗

(−1)n(D).

Teorema

Observatii:

[(−1)n + (−1)n+1

∑n∈N∗

(−1)n(D).

Structura cursului

1 Introducere

In cele ce urmeaza, vom considera serii de tipul∑n∈N∗

xn, cu xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗.

Propozitie

Seria de numere reale pozitive∑n∈N∗

xn este convergenta daca si numai daca sirul sumelor sale

partiale, (Sn)n∈N∗ , este majorat.

“⇒:” Daca seria∑n∈N∗

xn, cu xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗ este convergenta, atunci (Sn)n∈N∗ este

convergent si deci marginit (ın R), adica si majorat.

“⇐:” Cum Sn+1 − Sn = xn+1 ≥ 0, ∀n ∈ N∗, sirul (Sn)n∈N∗ este monoton crescator. Fiind simajorat, prin aplicarea Teoremei de convergenta a sirurilor reale monotone (v. cursul 2), obtinem

ca sirul (Sn)n∈N∗ este convergent. Asadar, seria∑n∈N∗

xn este convergenta.

In cele ce urmeaza, vom considera serii de tipul∑n∈N∗

xn, cu xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗.

Propozitie

Seria de numere reale pozitive∑n∈N∗

xn este convergenta daca si numai daca sirul sumelor sale

partiale, (Sn)n∈N∗ , este majorat.

“⇒:” Daca seria∑n∈N∗

xn, cu xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗ este convergenta, atunci (Sn)n∈N∗ este

convergent si deci marginit (ın R), adica si majorat.

“⇐:” Cum Sn+1 − Sn = xn+1 ≥ 0, ∀n ∈ N∗, sirul (Sn)n∈N∗ este monoton crescator. Fiind simajorat, prin aplicarea Teoremei de convergenta a sirurilor reale monotone (v. cursul 2), obtinem

ca sirul (Sn)n∈N∗ este convergent. Asadar, seria∑n∈N∗

xn este convergenta.

Serii cu termeni pozitivi

Teorema (Criteriul de comparatie de specia I (CC I))

Fie seriile cu termeni reali pozitivi∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

yn, asa ıncat xn ≤ yn, ∀n ∈ N∗.

a) Daca∑n∈N∗

yn(C), atunci∑n∈N∗

xn(C);

b) Daca∑n∈N∗

xn(D), atunci∑n∈N∗

yn(D).

Exercitiu: Studiati convergenta seriei:∞∑n=1

arctg1

Teorema (Criteriul de comparatie de specia a II-a (CCII))

Fie seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

yn, cu xn > 0 si yn > 0, pentru orice n ∈ N∗, astfel ıncat

xn≤yn+1

yn, ∀n ∈ N∗.

a) Daca∑n∈N∗

yn(C), atunci∑n∈N∗

xn(C);

b) Daca∑n∈N∗

xn(D), atunci∑n∈N∗

yn(D).

Exercitiu:∞∑n=1

(2n+ 1)!!

(2n)!! ·√n+ 1

Teorema (Criteriul de comparatie la limita (CCL))

Fie seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

yn, cu xn > 0, yn > 0, ∀n ∈ N∗, asa ıncat exista l = limn→∞

yn(∈ R+).

a) Daca l ∈ (0,+∞), atunci seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

yn au aceeasi natura;

b) Daca l = 0, atunci∑n∈N∗

yn(C) ⇒∑n∈N∗

xn(C) si∑n∈N∗

xn(D) ⇒∑n∈N∗

yn(D).

c) Daca l = +∞, atunci∑n∈N∗

xn(C) ⇒∑n∈N∗

yn(C) si∑n∈N∗

yn(D) ⇒∑n∈N∗

xn(D).

Exercitiu: Studiati convergenta seriei:∞∑n=1

2n4 + 1.

Teorema (Criteriul general de condensare al lui Cauchy)

Fie∑n∈N∗

xn o serie cu termeni reali pozitivi, asa ıncat sirul (xn)n∈N∗ este descrescator.

Daca exista un sir (kn)n∈N∗ ⊂ N strict crescator si divergent, astfel ıncat sirul(kn+1 − knkn − kn−1

)n∈N∗\{1}

este marginit, atunci seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

(kn+1 − kn)xkn sunt de

aceeasi natura.

Teorema (Criteriul simplu de condensare al lui Cauchy)

Fie seria∑n∈N∗

xn, cu xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗. Daca sirul (xn)n∈N∗ este descrescator, atunci seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

2nx2n au aceeasi natura.

Exemplu: Seria armonica generalizata, definita prin∑n∈N∗

nα, α ∈ R este convergenta pentru

α > 1 si divergenta pentru α ≤ 1.

Teorema (Criteriul general de condensare al lui Cauchy)

Fie∑n∈N∗

xn o serie cu termeni reali pozitivi, asa ıncat sirul (xn)n∈N∗ este descrescator.

Daca exista un sir (kn)n∈N∗ ⊂ N strict crescator si divergent, astfel ıncat sirul(kn+1 − knkn − kn−1

)n∈N∗\{1}

este marginit, atunci seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

(kn+1 − kn)xkn sunt de

aceeasi natura.

Teorema (Criteriul simplu de condensare al lui Cauchy)

xn, cu xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗. Daca sirul (xn)n∈N∗ este descrescator, atunci seriile∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

2nx2n au aceeasi natura.

Exemplu: Seria armonica generalizata, definita prin∑n∈N∗

nα, α ∈ R este convergenta pentru

α > 1 si divergenta pentru α ≤ 1.

Teorema (Criteriul radacinii cu limita - al lui Cauchy)

xn, cu xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗. Daca exista ` = limn→∞

n√xn, atunci:

i) daca ` < 1, seria∑n∈N∗

xn este convergenta;

ii) daca ` > 1, seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

Exemplu:∑n∈N∗

(12 + 22 + ...+ n2

n2−n

Teorema (Criteriul radacinii cu limita - al lui Cauchy)

xn, cu xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗. Daca exista ` = limn→∞

n√xn, atunci:

i) daca ` < 1, seria∑n∈N∗

ii) daca ` > 1, seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

Exemplu:∑n∈N∗

(12 + 22 + ...+ n2

n2−n

Observatii: 1. Daca ` = 1, nu putem decide natura seriei∑n∈N∗

xn. Spre exemplu, considerand

seriile∑n∈N∗

∑n∈N∗

n2, ∀n ∈ N, vom observa ca lim

n→∞n

n= 1 = lim

n→∞n

n2, dar

∑n∈N∗

n(D) si

∑n∈N∗

n2(C).

2. Atunci cand nu exista limn→∞

n√xn, o varianta mai “slaba” a criteriului radacinii are loc cu

limn→∞

n√xn ın rolul lui `, la i) si cu lim

n→∞n√xn, ın loc de `, la ii).

Observatii: 1. Daca ` = 1, nu putem decide natura seriei∑n∈N∗

xn. Spre exemplu, considerand

seriile∑n∈N∗

∑n∈N∗

n2, ∀n ∈ N, vom observa ca lim

n→∞n

n= 1 = lim

n→∞n

n2, dar

∑n∈N∗

n(D) si

∑n∈N∗

n2(C).

2. Atunci cand nu exista limn→∞

n√xn, o varianta mai “slaba” a criteriului radacinii are loc cu

limn→∞

n√xn ın rolul lui `, la i) si cu lim

n→∞n√xn, ın loc de `, la ii).

Teorema ( Criteriul lui Kummer)

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Daca exista sirul (an)n∈N∗ ⊂ R∗+, astfel ıncat sirul(an

xn+1− an+1

)n∈N∗

are limita, fie ea notata cu `, atunci:

i) cand ` > 0, seria∑n∈N∗

ii) cand ` < 0, iar seria∑n∈N∗

aneste divergenta, rezulta ca seria

∑n∈N∗

xn este divergenta;

iii) cand ` = 0, nu putem stabili natura seriei date.

Daca vom considera an = 1, ∀n ∈ N∗ ın criteriul lui Kummer, vom obtine:

Teorema (Criteriul raportului - al lui D’Alembert)

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗, pentru care exista limita L = limn→∞

i) Daca L < 1, atunci seria∑n∈N∗

ii) Daca L > 1, atunci seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

iii) Daca L = 1, nu ne putem pronunta asupra naturii seriei∑n∈N∗

Exemplu:∑n∈N∗

Daca vom considera an = 1, ∀n ∈ N∗ ın criteriul lui Kummer, vom obtine:

Teorema (Criteriul raportului - al lui D’Alembert)

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗, pentru care exista limita L = limn→∞

i) Daca L < 1, atunci seria∑n∈N∗

ii) Daca L > 1, atunci seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

iii) Daca L = 1, nu ne putem pronunta asupra naturii seriei∑n∈N∗

Exemplu:∑n∈N∗

In cazul ın care an = n, ∀n ∈ N∗, din Criteriul lui Kummer obtinem urmatorul criteriu:

Teorema (Criteriul lui Raabe-Duhamel)

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗, asa ıncat exista limita limn→∞

xn+1− 1

)]= ρ.

i) Daca ρ > 1, atunci seria∑n∈N∗

ii) Daca ρ < 1, seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

iii) Daca ρ = 1, nu putem stabili, cu certitudine, natura seriei∑n∈N∗

Exemplu:∑n∈N∗

2 · 7 · 12 · ... · (5n− 3)

3 · 8 · 13 · ... · (5n− 2)

In cazul ın care an = n, ∀n ∈ N∗, din Criteriul lui Kummer obtinem urmatorul criteriu:

Teorema (Criteriul lui Raabe-Duhamel)

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗, asa ıncat exista limita limn→∞

xn+1− 1

)]= ρ.

i) Daca ρ > 1, atunci seria∑n∈N∗

ii) Daca ρ < 1, seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

iii) Daca ρ = 1, nu putem stabili, cu certitudine, natura seriei∑n∈N∗

Exemplu:∑n∈N∗

2 · 7 · 12 · ... · (5n− 3)

3 · 8 · 13 · ... · (5n− 2)

Daca ın Criteriul lui Kummer, luam an = n lnn, ∀n ∈ N∗, atunci obtinem:

Teorema (Criteriul lui Bertrand)

xn, unde xn > 0, ∀n ∈ N∗asa ıncat sa existe limita

µ = limn→∞

xn+1n lnn− (n+ 1) ln (n+ 1)

i) Daca µ > 0, seria∑n∈N∗

ii) Daca µ < 0, seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

iii) Daca µ = 0, nu ne putem pronunta asupra naturii seriei∑n∈N∗

Teorema (Criteriul lui Gauss)

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Daca raportulxn

xn+1se poate exprima sub forma

xn+1= α+

n1+γ, ∀n ∈ N∗,

unde α, β ∈ R, γ ∈ R∗+, iar sirul (yn)n∈N∗ este marginit, atunci:

a) cand α > 1, seria∑n∈N∗

b) cand α < 1, seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

c) cand α = 1 si β > 1, seria∑n∈N∗

d) cand α = 1 si β ≤ 1, seria∑n∈N∗

xn este divergenta.

Exemplu:∑n∈N∗

12 · 52 · 92 · ... · (4n− 3)2

32 · 72 · 112 · ... · (4n− 1)2.

Teorema (Criteriul lui Gauss)

xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Daca raportulxn

xn+1se poate exprima sub forma

xn+1= α+

n1+γ, ∀n ∈ N∗,

unde α, β ∈ R, γ ∈ R∗+, iar sirul (yn)n∈N∗ este marginit, atunci:

a) cand α > 1, seria∑n∈N∗

b) cand α < 1, seria∑n∈N∗

xn este divergenta;

c) cand α = 1 si β > 1, seria∑n∈N∗

d) cand α = 1 si β ≤ 1, seria∑n∈N∗

xn este divergenta.

Exemplu:∑n∈N∗

12 · 52 · 92 · ... · (4n− 3)2

32 · 72 · 112 · ... · (4n− 1)2.

Bibliografie

F. Iacob, Curs Matematica pentru anul I(https://profs.info.uaic.ro/~fliacob/An1/2016-2017)

A. Knopfmacher, J. Knopfmacher - Two Constructions of the Real Numbers via AlternatingSeries, Iternat. J. Math & Math. Sci., Vol. 12, no. 3 (1989), pp 603-613.

J. Galambos - The Representation of Real Numbers by Infinite Series, Lecture Notes inMath., 502, Springer, 1976.

C. Badea - A theorem of irrationality of infinte series and applications, Acta Arithmetica,LXIII, 4 (1993).

K. Knopp - Theory and Application of Infinite Series, Dover Publications, 1990.

G. Bagni - Infinite Series from History to Mathematics Education, 2005.

Anca Precupanu - Bazele analizei matematice (Cap. 3), Editura Polirom, Iasi, 1998.

CURS 3 - Serii de numere reale. Serii cu termeni pozitiviandreea.arusoaie/Cursuri/S_Curs3.pdf ·...

Documents

Transcript of CURS 3 - Serii de numere reale. Serii cu termeni pozitiviandreea.arusoaie/Cursuri/S_Curs3.pdf ·...