CURS 2 - Siruri de numere reale. Polinoame 2020. 10. 14.¢  2 Polinoame Matematic a, Anul I...

download CURS 2 - Siruri de numere reale. Polinoame 2020. 10. 14.¢  2 Polinoame Matematic a, Anul I A. Arusoaie

of 66

  • date post

    21-Oct-2020
  • Category

    Documents

  • view

    2
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of CURS 2 - Siruri de numere reale. Polinoame 2020. 10. 14.¢  2 Polinoame Matematic a, Anul I...

  • CURS 2 Şiruri de numere reale. Polinoame

    A. Arusoaie

    e-mail: andreea.arusoaie@info.uaic.ro

    Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

    Facultatea de Informatică, Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi

    8 Octombrie, 2020

    http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

  • Structura cursului

    1 Şiruri de numere reale Convergenţă Subşiruri Proprietăţi ale şirurilor convergente Teorema convergenţei monotone Teorema Bolzano-Weierstrass Teorema Stolz-Cesàro Şiruri Cauchy Puncte limită ale unui şir

    2 Polinoame

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 2 / 65

  • Structura cursului

    1 Şiruri de numere reale Convergenţă Subşiruri Proprietăţi ale şirurilor convergente Teorema convergenţei monotone Teorema Bolzano-Weierstrass Teorema Stolz-Cesàro Şiruri Cauchy Puncte limită ale unui şir

    2 Polinoame

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 3 / 65

  • Problemă: Un copil vrea sa construiască un turn folosind niste cuburi colorate. El utilizează 15 cuburi pentru primul nivel, iar fiecare nivel va avea cu 2 cuburi mai putin decât precedentul. Presupunem că turnul va avea 8 etaje.

    (a) Câte cuburi s-au utilizat pentru ultimul nivel?

    (b) Care este numărul total de cuburi utilizate?

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 4 / 65

  • Problemă: Un copil vrea sa construiască un turn folosind niste cuburi colorate. El utilizează 15 cuburi pentru primul nivel, iar fiecare nivel va avea cu 2 cuburi mai putin decât precedentul. Presupunem că turnul va avea 8 etaje.

    (a) Câte cuburi s-au utilizat pentru ultimul nivel?

    Răspuns corect : 1

    Ati format un şir aritmetic, considerând a1 = 15, n = 8 şi r = −2, utilizând formula

    an = a1 + (n− 1)r.

    (b) Care este numărul total de cuburi utilizate?

    Răspuns corect : 64

    Ati utilizat suma termenilor unui şir aritmetic, pentru a1 = 15, n = 8 şi r = −2, utilizând formula

    Sn = (a1 + an)n

    2 .

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 5 / 65

  • Problemă: O populaţie de insecte creşte ı̂n aşa mod ı̂ncât noua generaţie este de 1.5 ori mai numeroasă comparativ cu cea precedentă. Presupunem că ar fi doar 100 de insecte ı̂n prima generaţie.

    (a) Câte insecte vor aparea ı̂n a 5-a generaţie?

    (b) Care va fi numărul total de insecte până la a 5-a generaţie?

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 6 / 65

  • Problemă: O populaţie de insecte creşte ı̂n aşa mod ı̂ncât noua generaţie este de 1.5 ori mai numeroasă comparativ cu cea precedentă. Presupunem că ar fi doar 100 de insecte ı̂n prima generaţie.

    (a) Câte insecte vor aparea ı̂n a 5-a generaţie?

    Răspuns corect : 506.25 (aproximativ 506)

    Ati format un şir geometric, considerând b1 = 100, n = 5 şi q = 1.5, utilizând formula

    bn = b1q n−1.

    (b) Care va fi numărul total de insecte până la a 5-a generaţie?

    Răspuns corect : aprox. 1319

    Ati utilizat suma termenilor unui şir geometric, pentru b1 = 100, n = 5 şi q = 1.5, utilizând formula

    Sn = b1(1− qn)

    1− q .

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 7 / 65

  • Şiruri de numere reale

    Definiţie

    Se numeşte şir de numere reale o funcţie f : N→ R.

    Vom nota cu xn, valoarea funcţiei f ı̂n punctul n ∈ N, adică

    xn = f(n).

    I x0, x1, x2, . . . se numesc termeni ai şirului; I xn se numeşte termenul general al şirului f , sau termenul de rang n al

    şirului;

    I Un şir cu termenul general xn, se va nota (xn)n∈N sau (xn)n≥0.

    Observaţie: Dacă primii k termeni ai şirului, x0, x1, . . . , xk−1, nu sunt definiţi, adică funcţia este definită pe mulţimea {n ∈ N | n ≥ k} = {k, k + 1, k + 2, . . .}, atunci vom nota şirul prin (xn)n≥k.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 8 / 65

  • Şiruri de numere reale

    Definiţie

    Spunem că un şir de numere reale (xn)n∈N este:

    i) mărginit inferior dacă există α ∈ R astfel ı̂ncât α ≤ xn,∀n ∈ N; ii) mărginit superior dacă există β ∈ R astfel ı̂ncât xn ≤ β,∀n ∈ N; iii) mărginit dacă există α, β ∈ R astfel ı̂ncât α ≤ xn ≤ β, ∀n ∈ N; iv) nemărginit dacă (xn)n∈N nu este mărginit.

    Observaţie: Un şir (xn)n∈N este mărginit dacă şi numai dacă

    ∃M ∈ R, astfel ı̂ncât |xn| ≤M, ∀n ∈ N.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 9 / 65

  • Şiruri de numere reale

    Exemple:

    1. Şirul xn = (−1)n, n ∈ N este mărginit deoarece |xn| ≤ 1,∀n ∈ N.

    2. Şirul xn = 3 n, n ∈ N este nemărginit, deoarece este mărginit inferior

    (xn ≥ 0,∀n ∈ N), dar nu este mărginit superior.

    3. Şirul xn = −n, n ∈ N este nemărginit, nu este mărginit inferior, dar admite margine superioară (xn ≤ 0,∀n ∈ N).

    4. Şirul xn = (−1)n3n, n ∈ N este nemărginit, nefiind mărginit superior şi nici inferior.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 10 / 65

  • Şiruri de numere reale

    Definiţie

    Spunem că un şir de numere reale (xn)n∈N este:

    I crescător dacă xn+1 ≥ xn, ∀n ∈ N; I descrescător dacă xn+1 ≤ xn, ∀n ∈ N; I monoton dacă este crescător sau descrescător;

    I strict crescător dacă xn+1 > xn, ∀n ∈ N; I strict descrescător dacă xn+1 < xn, ∀n ∈ N; I strict monoton dacă este strict crescător sau strict descrescător.

    Exemple:

    1. Şirul xn = 1− 1

    n , n ∈ N este strict crescător.

    2. Şirul xn = −n, n ∈ N este şir strict descrescător.

    3. Şirul xn = 1 + (−1)n

    n , n ∈ N∗ nu este monoton.

    4. Şirul xn = c, n ∈ N, unde c este o constantă reală, este simultan crescător şi descrescător.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 11 / 65

  • Exemple:

    1. Şirul xn = 1− 1

    n , n ∈ N este strict crescător.

    2. Şirul xn = −n, n ∈ N este şir strict descrescător.

    3. Şirul xn = 1 + (−1)n

    n , n ∈ N∗ nu este monoton.

    4. Şirul xn = c, n ∈ N, unde c este o constantă reală, este simultan crescător şi descrescător.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 12 / 65

  • Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 13 / 65

  • Convergenţă

    Definiţie

    Spunem că un şir (xn)n∈N este convergent dacă există un element ` ∈ R, numit limita şirului (xn)n∈N, astfel ı̂ncât:

    ∀ε > 0,∃nε ∈ N : |xn − `| < ε,∀n ≥ nε.

    Terminologie: Dacă (xn)n∈N este un şir convergent la ` ∈ R, atunci vom nota

    xn −→ n→∞

    ` (xn → `)

    sau lim n→∞

    xn = `.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 14 / 65

  • Convergenţă

    Definiţie

    Fie (xn)n∈N un şir de numere reale. Spunem că:

    I şirul (xn)n∈N are limita +∞ dacă

    ∀ε > 0,∃nε ∈ N : xn > ε, ∀n ≥ nε;

    I şirul (xn)n∈N are limita −∞ dacă

    ∀ε > 0,∃nε ∈ N : xn < −ε, ∀n ≥ nε.

    Definiţie

    Spunem că şirul de numere reale (xn)n∈N este divergent dacă nu este convergent, adică dacă fie nu are limită, fie are limita +∞ sau −∞.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 15 / 65

  • Exemplu de şir convergent

    Fie şirul (an)n∈N∗ cu an = n+ 1

    2n2 , n ∈ N∗.

    Aşadar lim n→∞

    an = 0

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 16 / 65

  • Exemplu de şir convergent

    Fie şirul (an)n∈N∗ cu an = n+ 1

    2n2 , n ∈ N∗.

    Aşadar lim n→∞

    an = 0

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 16 / 65

  • Exemplu de şir divergent

    Fie şirul (an)n∈N, an = n2

    (20 + n) , n ∈ N.

    Putem observa că lim n→∞

    an = +∞

    Altfel spus, şirul este divergent, nu are limita număr real.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 17 / 65

  • Exemplu de şir divergent

    Fie (an)n∈N, an = n sin n

    2 , n ∈ N.

    Atunci, şirul an diverge.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 18 / 65

  • Convergenţă

    Teorema Dacă un şir de numere reale are limită, atunci aceasta este unică.

    Propoziţie

    Orice şir convergent este mărginit.

    Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 19 / 65

  • Convergenţă

    Exemple:

    1. Şirul constant xn = c,∀n ∈ N, c ∈ R este convergent la c.

    2. Şirul xn = 1

    n , n ∈ N este convergent la 0.

    3. Şirul xn = 2n+ 4

    n+ 3 , n ∈ N este convergent având limita 2.

    4. Şirul xn = 3n− 2, n ∈ N∗ are limita +∞.

    5. Şirul xn = a n, n ∈ N∗ este convergent pentru a ∈ (−1,