CURS 2 - Siruri de numere reale. Polinoameandreea.arusoaie/Mate20-21/... · 2020. 10. 14. · 2...
Transcript of CURS 2 - Siruri de numere reale. Polinoameandreea.arusoaie/Mate20-21/... · 2020. 10. 14. · 2...
-
CURS 2Şiruri de numere reale. Polinoame
A. Arusoaie
e-mail: [email protected]
Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html
Facultatea de Informatică,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi
8 Octombrie, 2020
http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html
-
Structura cursului
1 Şiruri de numere realeConvergenţăSubşiruriProprietăţi ale şirurilor convergenteTeorema convergenţei monotoneTeorema Bolzano-WeierstrassTeorema Stolz-CesàroŞiruri CauchyPuncte limită ale unui şir
2 Polinoame
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 2 / 65
-
Structura cursului
1 Şiruri de numere realeConvergenţăSubşiruriProprietăţi ale şirurilor convergenteTeorema convergenţei monotoneTeorema Bolzano-WeierstrassTeorema Stolz-CesàroŞiruri CauchyPuncte limită ale unui şir
2 Polinoame
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 3 / 65
-
Problemă: Un copil vrea sa construiască un turn folosind niste cuburi colorate.El utilizează 15 cuburi pentru primul nivel, iar fiecare nivel va avea cu 2 cuburimai putin decât precedentul. Presupunem că turnul va avea 8 etaje.
(a) Câte cuburi s-au utilizat pentru ultimul nivel?
(b) Care este numărul total de cuburi utilizate?
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 4 / 65
-
Problemă: Un copil vrea sa construiască un turn folosind niste cuburi colorate.El utilizează 15 cuburi pentru primul nivel, iar fiecare nivel va avea cu 2 cuburimai putin decât precedentul. Presupunem că turnul va avea 8 etaje.
(a) Câte cuburi s-au utilizat pentru ultimul nivel?
Răspuns corect : 1
Ati format un şir aritmetic, considerând a1 = 15, n = 8 şi r = −2, utilizândformula
an = a1 + (n− 1)r.
(b) Care este numărul total de cuburi utilizate?
Răspuns corect : 64
Ati utilizat suma termenilor unui şir aritmetic, pentru a1 = 15, n = 8 şir = −2, utilizând formula
Sn =(a1 + an)n
2.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 5 / 65
-
Problemă: O populaţie de insecte creşte ı̂n aşa mod ı̂ncât noua generaţie estede 1.5 ori mai numeroasă comparativ cu cea precedentă. Presupunem că ar fi doar100 de insecte ı̂n prima generaţie.
(a) Câte insecte vor aparea ı̂n a 5-a generaţie?
(b) Care va fi numărul total de insecte până la a 5-a generaţie?
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 6 / 65
-
Problemă: O populaţie de insecte creşte ı̂n aşa mod ı̂ncât noua generaţie estede 1.5 ori mai numeroasă comparativ cu cea precedentă. Presupunem că ar fi doar100 de insecte ı̂n prima generaţie.
(a) Câte insecte vor aparea ı̂n a 5-a generaţie?
Răspuns corect : 506.25 (aproximativ 506)
Ati format un şir geometric, considerând b1 = 100, n = 5 şi q = 1.5, utilizândformula
bn = b1qn−1.
(b) Care va fi numărul total de insecte până la a 5-a generaţie?
Răspuns corect : aprox. 1319
Ati utilizat suma termenilor unui şir geometric, pentru b1 = 100, n = 5 şiq = 1.5, utilizând formula
Sn =b1(1− qn)
1− q.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 7 / 65
-
Şiruri de numere reale
Definiţie
Se numeşte şir de numere reale o funcţie f : N→ R.
Vom nota cu xn, valoarea funcţiei f ı̂n punctul n ∈ N, adică
xn = f(n).
I x0, x1, x2, . . . se numesc termeni ai şirului;I xn se numeşte termenul general al şirului f , sau termenul de rang n al
şirului;
I Un şir cu termenul general xn, se va nota (xn)n∈N sau (xn)n≥0.
Observaţie: Dacă primii k termeni ai şirului, x0, x1, . . . , xk−1, nu sunt definiţi,adică funcţia este definită pe mulţimea {n ∈ N | n ≥ k} = {k, k + 1, k + 2, . . .},atunci vom nota şirul prin (xn)n≥k.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 8 / 65
-
Şiruri de numere reale
Definiţie
Spunem că un şir de numere reale (xn)n∈N este:
i) mărginit inferior dacă există α ∈ R astfel ı̂ncât α ≤ xn,∀n ∈ N;ii) mărginit superior dacă există β ∈ R astfel ı̂ncât xn ≤ β,∀n ∈ N;iii) mărginit dacă există α, β ∈ R astfel ı̂ncât α ≤ xn ≤ β, ∀n ∈ N;iv) nemărginit dacă (xn)n∈N nu este mărginit.
Observaţie: Un şir (xn)n∈N este mărginit dacă şi numai dacă
∃M ∈ R, astfel ı̂ncât |xn| ≤M, ∀n ∈ N.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 9 / 65
-
Şiruri de numere reale
Exemple:
1. Şirul xn = (−1)n, n ∈ N este mărginit deoarece |xn| ≤ 1,∀n ∈ N.
2. Şirul xn = 3n, n ∈ N este nemărginit, deoarece este mărginit inferior
(xn ≥ 0,∀n ∈ N), dar nu este mărginit superior.
3. Şirul xn = −n, n ∈ N este nemărginit, nu este mărginit inferior, dar admitemargine superioară (xn ≤ 0,∀n ∈ N).
4. Şirul xn = (−1)n3n, n ∈ N este nemărginit, nefiind mărginit superior şi niciinferior.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 10 / 65
-
Şiruri de numere reale
Definiţie
Spunem că un şir de numere reale (xn)n∈N este:
I crescător dacă xn+1 ≥ xn, ∀n ∈ N;I descrescător dacă xn+1 ≤ xn, ∀n ∈ N;I monoton dacă este crescător sau descrescător;
I strict crescător dacă xn+1 > xn, ∀n ∈ N;I strict descrescător dacă xn+1 < xn, ∀n ∈ N;I strict monoton dacă este strict crescător sau strict descrescător.
Exemple:
1. Şirul xn = 1−1
n, n ∈ N este strict crescător.
2. Şirul xn = −n, n ∈ N este şir strict descrescător.
3. Şirul xn = 1 +(−1)n
n, n ∈ N∗ nu este monoton.
4. Şirul xn = c, n ∈ N, unde c este o constantă reală, este simultan crescător şidescrescător.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 11 / 65
-
Exemple:
1. Şirul xn = 1−1
n, n ∈ N este strict crescător.
2. Şirul xn = −n, n ∈ N este şir strict descrescător.
3. Şirul xn = 1 +(−1)n
n, n ∈ N∗ nu este monoton.
4. Şirul xn = c, n ∈ N, unde c este o constantă reală, este simultan crescător şidescrescător.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 12 / 65
-
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 13 / 65
-
Convergenţă
Definiţie
Spunem că un şir (xn)n∈N este convergent dacă există un element ` ∈ R, numitlimita şirului (xn)n∈N, astfel ı̂ncât:
∀ε > 0,∃nε ∈ N : |xn − `| < ε,∀n ≥ nε.
Terminologie: Dacă (xn)n∈N este un şir convergent la ` ∈ R, atunci vom nota
xn −→n→∞
` (xn → `)
saulimn→∞
xn = `.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 14 / 65
-
Convergenţă
Definiţie
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale. Spunem că:
I şirul (xn)n∈N are limita +∞ dacă
∀ε > 0,∃nε ∈ N : xn > ε, ∀n ≥ nε;
I şirul (xn)n∈N are limita −∞ dacă
∀ε > 0,∃nε ∈ N : xn < −ε, ∀n ≥ nε.
Definiţie
Spunem că şirul de numere reale (xn)n∈N este divergent dacă nu esteconvergent, adică dacă fie nu are limită, fie are limita +∞ sau −∞.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 15 / 65
-
Exemplu de şir convergent
Fie şirul (an)n∈N∗ cu an =n+ 1
2n2, n ∈ N∗.
Aşadarlimn→∞
an = 0
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 16 / 65
-
Exemplu de şir convergent
Fie şirul (an)n∈N∗ cu an =n+ 1
2n2, n ∈ N∗.
Aşadarlimn→∞
an = 0
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 16 / 65
-
Exemplu de şir divergent
Fie şirul (an)n∈N, an =n2
(20 + n), n ∈ N.
Putem observa călimn→∞
an = +∞
Altfel spus, şirul este divergent, nu are limita număr real.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 17 / 65
-
Exemplu de şir divergent
Fie (an)n∈N, an = n sinn
2, n ∈ N.
Atunci, şirul an diverge.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 18 / 65
-
Convergenţă
TeoremaDacă un şir de numere reale are limită, atunci aceasta este unică.
Propoziţie
Orice şir convergent este mărginit.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 19 / 65
-
Convergenţă
Exemple:
1. Şirul constant xn = c,∀n ∈ N, c ∈ R este convergent la c.
2. Şirul xn =1
n, n ∈ N este convergent la 0.
3. Şirul xn =2n+ 4
n+ 3, n ∈ N este convergent având limita 2.
4. Şirul xn = 3n− 2, n ∈ N∗ are limita +∞.
5. Şirul xn = an, n ∈ N∗ este convergent pentru a ∈ (−1, 1] şi divergent pentru
a ∈ R \ (−1, 1], iar
limn→∞
xn ={
0, a ∈ (−1, 1)1, a = 1
6. Şirul xn =
(1 +
1
n
)n, n ∈ N∗ este convergent la numărul e, numit constanta
lui Euler.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 20 / 65
-
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 21 / 65
-
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 22 / 65
-
Şubşiruri
Definiţie
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale şi (nk)k∈N un şir strict crescător de numerenaturale. Şirul (xnk)k∈N se numeşte subşir al şirului (xn)n∈N.
Teorema
Fie (xn)n∈N un şir convergent la x ∈ R. Dacă (xnk)k∈N este un subşir al lui(xn)n∈N, atunci (xnk)k∈N converge la x.
Altfel spus: Orice subşir al unui şir convergent este convergent la aceeaşi limită.
Corolari. Dacă un şir are un subşir divergent, atunci acel şir este divergent.
ii. Dacă un şir conţine două subşiruri convergente cu limite diferite, atunci şiruleste divergent.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 23 / 65
-
Subşiruri
Exemple:
1. Şirul xn = (−1)n, n ∈ N∗, este divergent.
Acesta conţine subşirul ((−1)2k)k∈N cu limita 1 şi subşirul ((−1)2k+1)k∈N culimita −1.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 24 / 65
-
Subşiruri
Exemple:
2. Şirul xn = (−1)nn, n ∈ N este divergent, deoarece conţine subşirul x2k culimita +∞.
3. Spunem că şirul (xn)n∈N este periodic dacă există p ∈ N∗, astfel ı̂ncât
xn+p = xn,∀n ∈ N.
Numărul p se numeşte perioadă a şirului.Orice şir periodic de perioada p ≥ 2 este divergent.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 25 / 65
-
Proprietăţi ale şirurilor convergente
Propoziţie
Fie (xn)n∈N şi (yn)n∈N două şiruri de numere reale, convergente la x ∈ R,respectiv la y ∈ R. Atunci au loc următoarele afirmaţii:
(P1) limn→∞
|xn| = |x|;
(P2) limn→∞
(xn ± yn) = x± y;
(P3) limn→∞
(xn · yn) = x · y;
(P4) dacă y 6= 0, atunci există un rang n0 ∈ N astfel ı̂ncât yn 6= 0,∀n ≥ n0 iar
limn→∞
xnyn
=x
y;
(P5) dacă xn ≤ yn,∀n ∈ N, atunci x ≤ y;
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 26 / 65
-
Proprietăţi ale şirurilor convergente
Propoziţie (Criteriul cleştelui)
Fie (xn)n∈N şi (yn)n∈N două şiruri de numere reale, convergente la x ∈ R,respectiv la y ∈ R.
Dacă există şirul (zn)n∈N astfel ı̂ncât xn ≤ zn ≤ yn,∀n ∈ N, iar x = y, atuncişirul (zn)n∈N este convergent şi lim
n→∞zn = x.
Exerciţiu:
Să se calculeze limita şirului xn =sinn
n, n ∈ N∗.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 27 / 65
-
Proprietăţi ale şirurilor convergente
Propoziţie (Criteriul majorării)
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale şi fie x ∈ R. Dacă există un şir (αn)n∈Nconvergent la zero astfel ı̂ncât
|xn − x| ≤ αn,∀n ∈ N
atunci (xn) este convergent şi limn→∞
xn = x.
Exerciţiu:
Să se arate că şirul xn =n2 + 2n
n2 + n+ 1, n ∈ N∗, converge la 1.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 28 / 65
-
Criteriul majorării
Exerciţiu:
Să se arate că şirul xn =n2 + 2n
n2 + n+ 1, n ∈ N∗, converge la 1.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 29 / 65
-
Teorema convergenţei monotone
Teorema convergenţei monotone (Weierstrass)
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale.
i) Dacă şirul (xn)n∈N este crescător şi mărginit superior, atunci acesta convergela sup{xn}n∈N;
ii) Dacă şirul (xn)n∈N este descrescător şi mărginit inferior, atunci acestaconverge la inf{xn}n∈N.
Putem rezuma teorema de mai sus ı̂n felul următor:
Orice şir monoton şi mărginit este convergent.
Corolar
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale.
i) Dacă şirul (xn)n∈N este crescător şi nemărginit, atunci limn→∞
xn = +∞.
ii) Dacă şirul (xn)n∈N este descrescător şi nemărginit, atunci limn→∞
xn = −∞.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 30 / 65
-
Teorema convergenţei monotone
Exerciţiu: Să se demonstreze convergenţa următorului şir
xn =1
n+ 1+
1
n+ 2+ . . .+
1
2n, n ∈ N∗.
Soluţie: Studiem mărginirea şi monotonia şirului. Observăm că
0 < xn <1
n+ 1+
1
n+ 1+ . . .+
1
n+ 1=
n
n+ 1< 1,∀n ∈ N∗.
Aşadar, şirul este mărginit. Studiem acum monotonia:
xn+1 − xn =1
2n+ 1+
1
2n+ 2− 1n+ 1
=1
2(n+ 1)(2n+ 1)> 0,
adică şirul este strict crescător. Conform Teoremei lui Weierstrass, şirul (xn)n∈N∗este convergent.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 31 / 65
-
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 32 / 65
-
Teorema Bolzano-Weierstrass
Teorema Bolzano-Weierstrass
Din orice şir mărginit (xn)n∈N se poate extrage un subşir (xnk)k∈N convergent.
Pentru a demonstra acest rezultat, se utilizează următorul rezultat:
Lema
Dacă (xn)n∈N este un şir de numere reale, atunci există un subşir al său care estemonoton.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 33 / 65
-
Teorema Stolz-Cesàro
Teorema
Fie (xn)n∈N şi (yn)n∈N două şiruri de numere reale astfel ı̂ncât (yn)n∈N este strictmonoton şi nemărginit. Dacă există
limn→∞
xn+1 − xnyn+1 − yn
= x ∈ R,
atunci există limn→∞
xnyn
şi este egală cu x.
Exerciţiu: Să se calculeze limita şirului limn→∞
lnn
n.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 34 / 65
-
Exerciţiu: Să se calculeze limita şirului limn→∞
lnn
n.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 35 / 65
-
Şiruri Cauchy
Definiţie
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale.Spunem că (xn)n∈N este şir Cauchy sau şir fundamental dacă
∀ε > 0,∃nε ∈ N : |xn − xm| < ε,∀n,m ∈ N, n,m ≥ nε.
Definiţie
Spunem că şirul (xn)n∈N este şir Cauchy sau şir fundamental dacă pentru orice
∀ε > 0,∃nε ∈ N : |xn+p − xn| < ε,∀n, p ∈ N, n ≥ nε.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 36 / 65
-
Teorema lui Cauchy
Propoziţie
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale. Dacă (xn)n∈N este Cauchy, atunci el estemărginit.
Teorema
Şirul de numere reale (xn)n∈N este convergent dacă şi numai dacă este şir Cauchy.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 37 / 65
-
Şiruri Cauchy
Exerciţiu: Arătaţi că şirul xn =sinx
2+
sin 2x
22+ ...+
sinnx
2n, n ∈ N, x ∈ R este
un şir Cauchy, deci convergent.
Soluţie: Fie ε > 0 şi n, p ∈ N. Atunci, avem:
|xn+p − xn| ≤1
2n+1+ . . .+
1
2n+p=(1
2
)n[1−
(12
)p]<
1
2n,∀p ∈ N.
Am obţinut o majorare independentă de p ∈ N, şi, ı̂n plus, 12n→ 0. Deci, există
nε ∈ N, astfel ı̂ncât1
2n< ε,∀n ≥ nε. Prin urmare, |xn+p − xn| < ε, deci şirul
(xn)n∈N este convergent.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 38 / 65
-
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 39 / 65
-
Şiruri Cauchy
Exerciţiu: Arătaţi că şirul xn = 1 +1√2
+1√3
+ ...+1√n, n ∈ N∗ nu este Cauchy.
Soluţie: Vom arăta că există ε > 0 astfel ı̂ncât ∀n ∈ N∗,∃p ∈ N astfel ı̂ncât|xn+p − xn| ≥ ε.
|xn+p − xn| =1√n+ 1
+1√n+ 2
+ . . .+1√n+ p
>p√n+ p
.
Luând ε = 1√2
, n ∈ N∗ arbitrar, şi p = n, obţinem |xn+p − xn| ≥√n√2≥ ε. Deci
şirul (xn)n∈N nu este Cauchy.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 40 / 65
-
Puncte limită ale unui şir
Definiţie
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale.
I Spunem că x ∈ R este punct limită al şirului (xn)n∈N, dacă există un subşir(xnk)k∈N astfel ı̂ncât xnk → x.
I Vom nota mulţimea tuturor punctelor limită cu L(xn).
Observaţie: Pentru orice şir (xn)n∈N de numere reale, avem L(xn) 6= ∅.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 41 / 65
-
Puncte limită ale unui şir
Definiţie
Fie (xn)n∈N un şir de numere reale.
I Se numeşte limită inferioară a lui (xn)n∈N marginea inferioară a mulţimiiL(xn).
lim infn→∞
xn = limn→∞
xn = inf L(xn);
I Se numeşte limită superioară a şirului (xn)n∈N marginea superioară amulţimii L(xn);
lim supn→∞
xn = limn→∞
xn = supL(xn).
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 42 / 65
-
Puncte limită ale unui şir
Observaţii:Fie (xn)n∈N un şir de numere reale.
1) Avem:lim infn→∞
xn ≤ lim supn→∞
xn.
2) Dacă (xn)n∈N este un şir convergent la un element x ∈ R, atunciL(xn) = {x} şi are loc:
lim infn→∞
xn = lim supn→∞
xn = x.
3) Pentru orice şir (xn)n∈N, se poate arăta că există un subşir monotondescrescător al acestuia, care să conveargă la lim
n→∞xn şi, respectiv, un subşir
monoton crescător care să conveargă la limn→∞
xn.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 43 / 65
-
Limită superioară. Limită inferioară
Propoziţie
Fie (xn)n∈N∗ un şir de numere reale pozitive. Atunci are loc
lim infn→∞
xn+1xn
≤ lim infn→∞
n√xn ≤ lim inf
n→∞n√xn ≤ lim sup
n→∞
xn+1xn
.
În particular, dacă există limn→∞
xn+1xn∈ [0,+∞] ⊂ R, atunci există şi lim
n→∞n√xn,
având loc egalitatea
limn→∞
n√xn = lim
n→∞
xn+1xn
.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 44 / 65
-
Structura cursului
1 Şiruri de numere realeConvergenţăSubşiruriProprietăţi ale şirurilor convergenteTeorema convergenţei monotoneTeorema Bolzano-WeierstrassTeorema Stolz-CesàroŞiruri CauchyPuncte limită ale unui şir
2 Polinoame
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 45 / 65
-
Polinoame
Fie (K,+, ·) un corp comutativ, unde K − Q,R,C,Zp, cu p ∈ N∗ număr prim.
Considerăm mulţimea F(N,K) = {f : N→ K}. Cum avem f(n) = an,∀n ∈ N,vom putea construi un şir de elemente din K, pe care ı̂l vom nota cu (an)n∈N.
Ne interesează o submulţime P ⊂ F(N,K) formată din şirurile (an)n∈N pentrucare termenii sunt nuli cu excepţia unui număr finit dintre ei.
f ∈ P =⇒ f = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . .), an 6= 0.f - polinom cu coeficienţi ı̂n K.
Dacă notăm
X = (0, 1, 0, . . .), X2 = (0, 0, 1, . . .), . . . , Xn = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .),
atunci putem scrie
f = (a0, 0, . . .) + (0, a1, 0, . . .) + . . .+ (0, 0, . . . , an, 0, . . .)
= a0 + a1X + . . .+ anXn.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 46 / 65
-
Polinoame
Scrierea polinomului f ı̂n forma
f = anXn + an−1X
n−1 + ...+ a1X + a0, unde a0, a1, ..., an ∈ K, an 6= 0,
reprezintă forma algebrică a polinomului f , ordonat după puterile descrescătoareale lui X.
K[X] - mulţimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficienţi ı̂n K;
a0, a1, ..., an ∈ K se numesc coeficienţii polinomului;an se numeşte coeficientul dominant, iar a0 termenul liber;
grad(f), f 6= 0 - cel mai mare număr natural n cu proprietatea că an 6= 0.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 47 / 65
-
Operaţii cu polinoame
Fie f, g ∈ K[X] două polinoame de grad m, respectiv n,
f = amXm + . . .+ a1X + a0, g = bnX
n + . . .+ b1X + b0,
unde ai, bj ∈ K, am, bn 6= 0, iar ai = 0 pentru i > m şi bj = 0 pentru j > n.
Spunem că polinomul f este egal cu polinomul g, şi scriem f = g, dacă şinumai dacă grad(f) = grad(g), şi
ai = bi,∀i ≥ 0.
În particular, f = 0⇔ ai = 0,∀i ≥ 0.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 48 / 65
-
Operaţii cu polinoame
Adunarea → f + g ∈ K[X]:
f + g = (ap + bp)Xp + . . .+ (a1 + b1)X + (a0 + b0), unde p = max{m,n}
Produsul → f · g ∈ K[X]:
f · g = (a0bm+n + a1bm+n−1 + . . .+ am+nb0)Xm+n + . . .. . .+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)X
2 + (a0b1 + a1b0)X + a0b0,
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 49 / 65
-
Funcţia polinomială. Rădăcini ale unui polinom
Fie f ∈ K[X], f = anXn + an−1Xn−1 + . . .+ a1X + a0, şi fie x ∈ K.Se numeşte valoarea polinomului f ı̂n x elementul
f(x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0.
Elementul x ∈ K este o rădăcină a polinomului f dacă f(x) = 0.
Exemple
Polinomul de gradul 1, f ∈ C[X], f = ax+ b, are rădăcina α = − ba
.
Polinomul de gradul 2, f ∈ C[X], f = ax2 + bx+ c, are rădăcinile date deformula:
α1,2 =−b±
√∆
2a, unde ∆ = b2 − 4ac.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 50 / 65
-
Funcţia polinomială. Rădăcini ale unui polinom
Teoremă
Fie f, g ∈ K[X] şi fie x ∈ K. Atunci(f + g)(x) = f(x) + g(x);
(f · g)(x) = f(x) · g(x).
Definiţie
Fie f ∈ K[X] un polinom nenul. Se numeşte funcţie polinomială ataşatăpolinomului f , funcţia f̃ : K → K, definită prin f̃(x) = f(x),∀x ∈ K.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 51 / 65
-
Teorema ı̂mpărţirii cu rest
Teorema ı̂mpărţirii cu rest
Fie f, g ∈ K[X] două polinoame, astfel ı̂ncât g 6= 0. Atunci există şi sunt uniceq, r ∈ K[X] cu proprietăţile
a) f = g · q + r;b) grad(r) < grad(g).
Polinomul f se numeşte dêımpărţit, g se numeşte ı̂mpărţitor, iar q şi r senumesc câtul respectiv restul ı̂mpărţirii.
Din teorema ı̂mpărţirii cu rest deducem următoarea egalitate
grad(q) = grad(f)− grad(g).
Dacă r = 0, adică dacă f = g · q atunci spunem că f se divide prin g(şi
scriem f...g) sau g|f (citim: g divide f)
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 52 / 65
-
Împărţirea a două polinoame
amXm + am−1X
m−1 + . . .+ a1X + a0 bnXn + bn−1X
n−1 + . . .+ b1X + b0
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 53 / 65
-
Exemplu: Împărţirea a două polinoame
Să se ı̂mpartă polinomul f ∈ C[X], f = X4 +X2 + 1 la polinomulg ∈ C[X], g = X − 1.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 54 / 65
-
Teorema restului. Teorema lui Bezout
Teorema restului
Restul ı̂mpărţirii polinomului f ∈ K[X], f 6= 0 la polinomul g = X − a ∈ K[X]este egal cu valoarea f(a) a polinomului f ı̂n a.
Vom nota cu q = bn−1Xn−1 + . . .+ b1X + b0, câtul ı̂mpărţirii polinomului f la g.
Din teorema ı̂mpărţirii cu rest vom obţine
f = (X − a)q + r = (X − a)(bn−1Xn−1 + . . .+ b1X + b0) + r.
Aşadar, dacă ordonăm după puterile lui X avem
f = bn−1Xn + (bn−2−abn−1)Xn−1 + . . .+ (b1−ab2)X2 + (b0−ab1)X+ r−ab0.
Identificând coeficienţii lui f obţinem
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 55 / 65
-
Schema lui Horner
Prin urmare, vom determina coeficienţii câtului: bn−1, bn−2, . . . , b1, b0 şi a restuluir, după schema lui Horner
f an an−1 an−2 · · · a1 a0a bn−1 = an bn−1a+ an−1 bn−2a+ an−2 · · · b1a+ a1 b0a+ a0
bn−1 bn−2 bn−3 · · · b0 r
Coeficienţii lui q Restul
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 56 / 65
-
Schema lui Horner
Exerciţiu: Utilizând schema lui Horner, să se ı̂mpartă polinomulf ∈ C[X], f = X4 +X2 + 1 la polinomul g ∈ C[X], g = X − 1.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 57 / 65
-
Polinoame
Definiţie
Fie f, g ∈ K[X] două polinoame. Spunem că g divide polinomul f , şi vom notag|f , dacă există h ∈ K[X] astfel ı̂ncât f = g · h.
Polinomul g se numeşte divizor al polinomului f , iar polinomul g se numeştemultiplu al polinomului g.
Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate
Fie f, g, h ∈ K[X] polinoame cu coeficienţi ı̂n corpul K. Atunci are locReflexivitate: f |f, ∀f ∈ K[X];Tranzitivitate: dacă f |g şi g|h, atunci f |h;Polinomul nul f = 0 este divizibil cu orice alt polinom;
Polinomul constant f = a, a 6= 0 este divizor pentru oricare polinom dinK[X];
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 58 / 65
-
C.m.m.d.c, C.m.m.m.c
Definiţie
Un polinom d ∈ K[X] se numeşte cel mai mare divizor comun al polinoamelorf şi g dacă
1 d este divizor comun al lui f şi g, adică d|f şi d|g;2 dacă d1 este un alt divizor comun al lui f şi g, atunci d1|d.
Notăm cel mai mare divizor comun pentru f şi g, cu c.m.m.d.c.(f, g) sau (f, g).
Definiţie
Fie f, g ∈ K[X] două polinoame cu coeficienţi ı̂n K. Atunci m ∈ K[X] senumeşte cel mai mic multiplu comun al lui f şi g dacă
f |m şi g|m (m este multiplu comun pentru f şi g);oricare ar fi m1 ∈ K[X], multiplu comun pentru f şi g, rezultă m|m1.
Vom nota cel mai mic multiplu comun al lui f şi g cu c.m.m.m.c(f, g) sau [f, g].
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 59 / 65
-
Teorema lui Bezout
Fie f, g ∈ K[X] cu g 6= 0 şi fie α ∈ K. Atunci:a) α este rădăcină a lui f dacă şi numai dacă f se divide cu X − α ∈ K[X];b) Dacă f se divide cu g şi α este rădăcină a lui g, atunci α este rădăcină a lui f.
Definiţie
Fie f ∈ K[X], cu f 6= 0 şi fie m ∈ N∗. Elementul α ∈ K se numeşte rădăcinămultiplă de ordinul m, dacă f se divide cu (X − α)m, dar nu se divide cu(X − α)m+1.
Numărul m ∈ N∗ se numeşte ordinul de multiplicitate al rădăcinii α. Dacăm = 1, rădăcina α se numeşte rădăcină simplă, dacă m = 2, 3, . . ., atunci α senumeşte rădăcină dublă, triplă,. . .
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 60 / 65
-
Multiplicitatea unei rădăcini
Fie funcţia polinomială f : C→ C. Spunem că funcţia f are rădăcina α, demultiplicitate p dacă şi numai dacă
f(α) = f ′(α) = . . . = f (p−1)(α) = 0 şi f (p)(α) 6= 0.
Dacă elementul α ∈ K este rădăcină de multiplicitate 1 pentru f atunci
f...(X − α) şi f 6
...(X − α)2;
Dacă elementul α ∈ K este rădăcină de multiplicitate 2 pentru f atunci
f...(X − α)2 şi f 6
...(X − α)3;
Dacă elementul α ∈ K este rădăcină de multiplicitate 3 pentru f atunci
f...(X − α)3 şi f 6
...(X − α)4;
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 61 / 65
-
Polinoame
Definiţie
Fie f ∈ K[X] un polinom de gradul n, n ∈ N∗, f = anXn + . . .+ a1X + a0.O ecuaţie de forma anx
n + . . .+ a1x+ a0 = 0 se numeşte ecuaţie algebricăde gradul n cu coeficienţi ı̂n K şi necunoscuta x.
a0, a1, . . . , an ∈ K se numesc coeficienţii ecuaţiei, n se numeşte gradulecuaţiei.
Elementul α ∈ K cu proprietatea că f(α) = 0 se numeşte soluţie a ecuaţiei.
Teorema fundamentală a algebrei
O ecuaţie algebrică de grad cel putin 1 cu coeficienţi complecşi, admite cel putin osoluţie complexă.
Observaţie: Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că o ecuaţie algebricăde gradul n ∈ N∗ cu coeficienţi complecşi are exact n soluţii complexe.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 62 / 65
-
Polinoame
Definiţie
Polinomul nenul f ∈ K[X] se numeşte reductibil peste corpul K dacă existăg, h ∈ K[X] de grad cel putin 1, astfel ı̂ncât f = g · h.Un polinom f ∈ K[X] cu grad(f) ≥ 1, care nu este reductibil peste K, senumeşte ireductibil peste K.
Observaţie:
1 Orice polinom de gradul 1 din K[X] este polinom ireductibil peste K.
2 Dacă f ∈ R[X] este un polinom nenul, atunci el este ireductibil numai ı̂nurmătoarele cazuri: fie este de gradul 1, fie f este de gradul 2, dar nu arerădăcini reale. Aşadar, orice polinom f ∈ R[X] de grad n ≥ 3 este polinomreductibil peste R.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 63 / 65
-
Polinoame
Teorema
Fie f ∈ C[X], f = anXn + . . .+ a1X + a0, un polinom de grad n cu coeficienţiidin C.a) Dacă α1, . . . , αn ∈ C sunt rădăcini ale lui f atunci
f = an(X − α1)(X − α2) · . . . · (X − αn).b) Dacă α1, . . . , αk ∈ C sunt rădăcini distincte ale lui f , de multiplicitate
m1, . . . ,mk ∈ N∗ atunci
f = an(X − α1)m1(X − α2)m2 · . . . · (X − αk)mk .
Observaţie: Dacă polinoamele f, g ∈ K[X] sunt descompuse ı̂n produse defactori ireductibili, atunci
(f, g) este produsul factorilor ireductibili comuni, luaţi la puterea cea maimică;
[f, g] este produsul factorilor ireductibili comuni sau necomuni, luaţi laputerea cea mai mare.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 64 / 65
-
Bibliografie
A. Precupanu, Bazele analizei Matematice, Editura Universităţii “Al. I.Cuza”, Iaşi, 1993.
F.L. Ţiplea, Introducere ı̂n teoria mulţimilor, Editura Universităţii “Al. I.Cuza”, Iaşi, 1998.
M. Postolache, Analiză matematică (teorie şi aplicaţii), Editura Fair Partners,Bucureşti, 2011.
G. Bergman, An Invitation to General Algebra and Universal Constructions,Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708 1998, 398, pp. 45.(http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/)
G. O’Regan, Mathematics in Computing, Springer Verlag, London, 2013.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 65 / 65
http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/
Siruri de numere realeConvergenta SubsiruriProprietati ale sirurilor convergenteTeorema convergentei monotoneTeorema Bolzano-WeierstrassTeorema Stolz-CesàroSiruri CauchyPuncte limita ale unui sir
Polinoame