CURS nr. 6

4.2 STADIILE DE LUCRU ALE ELEMENTELOR DIN BETON ARMAT SUB ACŢIUNEA ÎNCĂRCĂRILOR EXTERIOARE

Betonul şi armătura au proprietăţi fizico-mecanice diferite, puse în evidenţă de curbele caracteristice ale celor două materiale. Spre deosebire de armătură, betonul se caracterizează şi prin variaţia în timp a proprietăţilor sale fizico-mecanice. Sub efectul încărcărilor exterioare betonul armat are un comportament ce nu coincide cu acela al betonului sau al armăturii.

Sub acţiunea încărcărilor exterioare, monoton crescătoare, în elementele din beton armat se produc modificări cantitative, ale eforturilor şi calitative, ale comportării materialelor, ceea ce permite delimitarea stadiilor de lucru. Modificările calitative sunt puse în evidenţă prin trecerea de la un comportament elastic la unul plastic sau de rupere.

Comportarea elementelor din beton armat este influenţată şi de natura eforturilor secţionale - forţă axială de compresiune/întindere, moment încovoietor, forţă tăietoare, moment de torsiune - precum şi de interacţiunea acestor eforturi. În cazul interacţiunii forţei axiale şi momentului încovoietor se pot distinge următoarele situaţii:

axa neutră în secţiune încovoiere, cazul I de compresiune, sau întindere excentrică cu excentricitate mare;

axa neutră în afara secţiunii cazul II de compresiune, sau întindere excentrică cu excentricitate mică.

De asemenea, comportarea elementelor din beton armat este influenţată şi de cantitatea de armătură dispusă în element, exprimată prin procentul de armare p=100Aa/Ab. Din acest punct de vedere există:

betonul simplu cu armătură de siguranţă, folosit cu precădere în construcţii hidrotehnice masive etc; bet.slab armat, realizat cu procente de arm. reduse pt.cţii hidrotehnice masive etc; bet. armat, realizat cu procente mici şi mijlocii de armare (p0,1...2,5; 3,0%); folosit cu precădere în

domeniul construcţiilor civile, industriale şi al podurilor; betonul supraarmat, realizat cu procente mari de armare (p > 2,5; 3,0%); este o soluţie

necorespunzătoare din cauza folosirii neeficiente a armăturii.Sub efectul încărcărilor statice - de scurtă durată, monoton crescătoare - se evidenţiază trei stadii

principale de lucru: stadiul I elastic; stadiul II elastico-plastic şi stadiul III plastic, care este stadiul de rupere.

4.2.1 Descrierea stadiilor de lucru

4.2.1.1 Stadiile de lucru ale elementelor cu axa neutră în secţiune

Pentru exemplificarea stadiilor de lucru s-a ales o grindă din beton armat, simplu rezemată, cu secţiune dreptunghiulară simplu armată, se urmăreşte zona dintre forţele concentrate, zonă supusă la încovoiere pură (fig. 4.7a).

Stadiul I (fig. 4.7b) corespunde situaţiei când încărcările exterioare sunt mici. În aceste condiţii, întreaga secţiune transversală din beton armat este activă şi se comportă ca un material perfect elastic. Ef. unitare în bet. şi arm. sunt proporţionale cu deformaţiile specifice. Axa neutră este situată sub axa mediană, pentru că aria de armătură Aa deplasează în jos centrul de greutate al secţiunii neomogene. Rigiditatea la încovoiere a secţiunii este maximă (fig. 4.8).

Stadiul I este un stadiu stabil şi reprezintă stadiul de exploatare (de lucru) al elem. din beton slab armat, folosit la elemente la care nu se admite apariţia fisurilor în betonul întins.

Pe măsura sporirii încărcării exterioare, deformaţia specifică din fibra de beton cea mai întinsă tinde

spre deformaţia specifică ultimă , iar eforturile unitare de întindere tind spre rezistenţa la întindere R t.

Această stare de eforturi şi deformaţii specifice în betonul zonei întinse reprezintă limita stadiului I. La limita stadiului I (fig. 4.7c) nu mai există proporţionalitate între deformaţiile specifice şi eforturile unitare, betonul întins fiind puternic plasticizat. Plasticizarea zonei întinse pune în evidenţă prima modificare calitativă în comportamentul betonului întins.

1

La limita stadiului I se produce o modificare a rigidităţii elementului (fig. 4.8), iar axa neutră are tendinţa de urcare, rămânând însă sub axa mediană a secţiunii. Efortul unitar în armătura întinsă, la limita stadiului I, are valoarea:

rezultând că ea nu este folosită în mod eficient.

Fig. 4.7 Stadiile de lucru ale unui element din beton armat, supus la încovoiere

Limita stadiului I este o stare instabilă, pentru că, la o uşoară creştere a încărcărilor, momentul încovoietor exterior M depăşeşte valoarea momentului încovoietor de fisurare Mf, fisurarea betonului întins pune în lumină a doua modificare calitativă în comportamentul elementului, care trece astfel în stadiul II.

Stadiul II (fig. 4.7d) corespunde unui nivel de solicitare produs de încărcările de exploatare, motiv pentru care se consideră că este stadiul de exploatare pentru majoritatea elementelor din beton armat. În acest stadiu betonul întins este fisurat, deoarece s-a depăşit rezistenţa lui la întindere. După fisurare, eforturile unitare în betonul comprimat şi armătura întinsă cresc brusc. Rigiditatea secţiunii este mai mică decât în stadiul I ca o consecinţă a fisurării secţiunii (fig. 4.8). Axa neutră se deplasează în sus, deasupra axei mediane a secţiunii. În secţiunea fisurată, imediat sub axa neutră, există o zonă de beton întins şi nefisurat, dar cu extindere mică şi de aceea, în mod curent, se neglijează. Betonul întins dintre fisuri participă, în ansamblul elementului, la preluarea eforturilor (fig. 4.9).

Betonul zonei comprimate se comportă elastic, diagrama de eforturi unitare având o variaţie liniară. Armătura întinsă are, de asemenea, un comportament elastic. Eforturile unitare în beton şi armătură au în principiu următoarele valori:

Stadiul II, fisurat, cu comportament presupus perfect elastic sub acţiunea eforturilor secţionale corespunzătoare NE, ME (precum şi QE), constituie baza calculului la stările limită ale exploatării normale şi la starea limită de oboseală, secţiunea activă fiind formată din betonul comprimat şi armătura întinsă (eventual şi cea comprimată, dacă aceasta există).

Sporirea încărcărilor conduce la creşterea deformaţiilor specifice şi a eforturilor unitare, în final ajungându-se la limita stadiului II, când unul din cele două materiale, sau eventual amândouă îşi ating deformaţiile specifice ultime şi rezistenţele respective. În acest mod se pune în evidenţă cea de a treia

2

modificare calitativă în comportamentul elementului din beton armat. Limita stadiului II este începutul procesului de rupere.

Începutul procesului de rupere este condiţionat de cantitatea de armătură exprimată prin procentul de armare. La elementele din beton armat, realizate cu procente de armare mici şi mijlocii, atingerea limitei stadiului II se produce prin intrarea armăturii întinse în curgere şi începutul plasticizării betonului comprimat, fenomen pus în evidentă prin curbarea continuă a diagramei de eforturi unitare de compresiune, dar fără a se epuiza capacitatea portantă a acestuia (fig. 4.7e). În timp ce armătura întinsă curge sub încărcare practic constantă, se produce rotaţia secţiunii şi în consecinţă creşterea eforturilor unitare în betonul comprimat. Deoarece se produce o rotaţie a secţiunii transversale, fără creşterea încărcării, în secţiunea respectivă se consideră că s-a format o articulaţie plastică. Acest tip de articulaţie este caracterizat prin prezenţa unui moment încovoietor constant Mp, denumit moment încovoietor de plasticizare. În ansamblul său, stadiul II este caracterizat printr-un comportament elastico-plastic.

Stadiul III este stadiul de rupere, când sub efectul momentului încovoietor de rupere Mr ambele materiale şi-au epuizat capacitatea portantă: armătura întinsă continuă să curgă, iar betonul comprimat s-a zdrobit (fig. 4.7f). Axa neutră este situată cel mai sus posibil, iar rigiditatea la încovoiere a secţiunii este minimă (fig. 4.8).

În cazul betonului supraarmat, al betonului slab armat şi al betonului simplu cu armătură de siguranţă, procesul de rupere diferă faţă de ruperea betonului armat. Astfel, în cazul betonului supraarmat ruperea începe la limita stadiului II prin plasticizarea betonului comprimat, fenomen care continuă până la zdrobirea betonului,

fără ca armătura întinsă să-şi epuizeze capacitatea de rezistenţă , din acest motiv ruperea are un

caracter casant. Această variantă de armare este o soluţie neeconomică, deoarece armătura nu este folosită la capacitate maximă.

În cazul betonului slab armat, ruperea începe la limita stadiului II prin intrarea armăturii întinse în

curgere, fiind chiar posibilă depăşirea acestei limite . Ruperea se produce prin zdrobirea betonului

comprimat sau prin deformaţii excesive, fără ca betonul să-şi atingă rezistenţa la compresiune.În cazul elementelor de beton simplu cu armătură de siguranţă efortul unitar din armătura întinsă

parcurge rapid palierul de curgere şi porţiunea de consolidare, ajungând la limita de rupere . În acest caz,

armătura are rolul de a reduce în oarecare măsură fragilitatea betonului simplu, ruperea elemenului în stadiul III fiind casantă.

Asupra modului de comportare a elementelor din beton armat cu procente de armare mijlocii (p = 0,3...3,0%), supuse la moment încovoietor şi forţă axială, având axa neutră în secţiune, se fac următoarele aprecieri cu caracter general:

pe măsura creşterii încărcării se disting două momente importante - fisurarea şi formarea articulaţiei plastice;

Fig. 4.8 Evoluţia rigidităţii elementelor din beton armat

rigiditatea elementului se reduce o dată cu creşterea încărcării, fenomen redat de diagrama moment încovoietor-sagsata din figura 4.8, diagramă obţinută prin analiza pe calculator a comportării elementului reprezentat în aceeaşi figură;

3

ruperea elementelor din beton armat cu procente de armare obişnuite începe la limita stadiului II, prin curgerea armăturii întinse şi se termină în stadiul III, prin zdrobirea betonului comprimat; acest mod de cedare are un caracter ductil datorită deformaţiilor plastice mari produse înainte de rupere;

în lungul unui element se pot întâlni toate stadiile de lucru, în funcţie de solicitarea acestuia; se poate constata că elementul lucrează ca un arc de beton cu tirant de oţel (fig. 4.9);

în structurile static nedeterminate apariţia unei articulaţii plastice nu înseamnă ruperea structurii, ci numai reducerea gradului de nedeterminare statică şi redistribuirea eforturilor secţionale către alte zone mai puţin solicitate.

Fig. 4.9 Element încovoiat din beton armat

4.2.1.2 Stadiile de lucru ale elementelor cu axa neutră în afara secţiunii

Elemente supuse la întindereForţa de întindere se află între armături, datorită valorii reduse a momentului încovoietor. Starea de

eforturi unitare este asemănătoare cu cea din zona întinsă a unui element încovoiat, de aceea se remarcă aceleaşi stadii de lucru ca şi în cazul elementelor cu axa neutră în secţiune. Singura deosebire constă în faptul că limita stadiului II coincide cu stadiul III, deoarece începutul curgerii armăturii înseamnă în acelaş timp epuizarea capacităţii portante a elementului; secţiunea activă este dată de aria armăturilor întinse, betonul fiind total fisurat şi scos din lucru.

Elemente supuse la compresiuneStadiul I corespunde sarcinilor de exploatare când efortul unitar în beton nu depăşeşte rezistenţa la

microfisurare Ro, deformaţiile betonului fiind elastice. Eforturile unitare în beton şi în armătură sunt proporţionale cu deformaţiile specifice.

Stadiul II se atinge atunci când efortul unitar depăşeşte valoarea rezistenţei la microfisurare Ro (pct. 2.2.1 - fig. 2.4).

Creşterea eforturilor unitare în beton determină trecerea în stadiul III de rupere, atunci când se produce zdrobirea betonului comprimat. Armătura atinge limita de curgere înainte sau simultan cu zdrobirea betonului comprimat, astfel încât în momentul ruperii elementului ambele materiale şi-au epuizat capacitatea portantă. În momentul zdrobirii betonului comprimat, armătura poate flamba spre exteriorul elementului, datorită decojirii stratului de acoperire cu beton.

4.2.2 Analiza stării de tensiune în diferitele stadii de lucru

4.2.2.1 Determinarea eforturilor unitare în stadiul I

Stadiul I al elementelor din beton armat, caracterizat de valori mici ale deformaţiilor specifice şi eforturilor unitare, este o fază tranzitorie, deoarece sub încărcările de exploatare betonul întins este fisurat. Din acest motiv, eforturile unitare în stadiul I nu prezintă interes pentru nici o stare limită. Dacă totuşi se doreşte calculul eforturilor unitare în beton şi armătură, acest lucru se poate realiza pe baza principiilor prevăzute de

4

metoda rezistenţelor admisibile, prin înlocuirea secţiunii reale neomogene cu o secţiune de calcul omogenă (pct.5.2 - fig. 5.1).

4.2.2.2 Calculul capacităţii portante la fisurare, la limita stadiului I

Calculul capacităţii portante la fisurare în secţiuni normale, se face pe baza diagramei de deformaţii specifice şi de eforturi unitare din figura 4.10. Se admit următoarele ipoteze:

capacitatea portantă la fisurare a secţiunii de beton armat se obţine prin adunarea aportului armăturii la capacitatea portantă a secţiunii de beton simplu, determinată conform capitolului 15.

pentru elementele cu axa neutră în secţiune, se neglijează influenţa armăturii asupra poziţiei axei neutre, această ipoteză bazându-se pe rezultate teoretice şi experimentale;

Elemente întinse centricAvând în vedere cele de mai sus, capacitatea portantă la fisurare a elementelor întinse centric este:

unde:

este efortul unitar în armătura întinsă;

- deformaţia specifică în armătura întinsă, care se obţine plecând de la egalitatea deformaţiilor

specifice ;

- deformaţia specifică ultimă la întindere (cap. 15), sau tu = 0,10/00 (cap. 5.), în consecinţă

efortul unitar în armătură este: sau = 0,0001210000 20 N/mm2

În aceste condiţii relaţia capacităţii portante la fisurare este:

Elemente încovoiateAvând în vedere cele de mai sus, capacitatea portantă la fisurare a elementelor încovoiate este:

(4.1)

unde:Mbf = cpl WfRt este capacitatea portantă a secţiunii din beton simplu (cap. 15)

- aportul armăturii întinse la capacitatea portantă la fisurare a secţiunii din

beton armat;

Fig. 4.10 Ipoteze pentru calculul capacităţii portante la fîsurare

Wf - modulul de rezistenţă la fisurare (cap.15);cpl - coeficient ce ţine cont de plasticizarea parţială a betonului întins (cap.15);

- efortul unitar în armătura întinsă;

- deformaţia specifică în armătura întinsă; se obţine plecând de la ipoteza secţiunilor plane:

rezultă:

n = Ea/Eb - coeficientul de echivalenţă al armăturii;yNbc = Ibc / Sbc - poziţia rezultantei eforturilor unitare de compresiune, în raport cu axa neutră;Ibc, Sbc -momentul de inerţie, respectiv momentul static al zonei comprimate de beton, în raport cu axa

neutră.

5

Elemente solicitate excentricAvând în vedere cea de a doua ipoteză simplificatoare, este necesar a se cunoaşte capacitatea portantă a

secţiunii de beton simplu solicitată excentric, pentru ca la aceasta să se adune aportul armăturii. Capacitatea portantă a secţiunii din beton simplu solicitată excentric, cu axa neutră situată în secţiune (cap. 15), se obţine utilizând modulul de rezistenţă la fisurare Wf, cu condiţia ca ecuaţia de momente să fie scrisă în raport cu punctul K, situat în vârful sâmburelui central corespunzător fibrei întinse (fig. 4.10). În aceste condiţii, ecuaţia de momente pentru secţiunea simplu armată este:

(4.2)

Capacitatea portantă poate fi exprimată ca moment încovoietor:

(4.2)

sau ca forţă axială:

În relaţiile de mai sus, semnul superior corespunde unei forţe axiale de compresiune.

Particularizarea 4.1 Momentul încovoietor capabil la fisurare pentru secţiunea dreptunghiularăPentru secţiunea dreptunghiulară Wf = cplWe = 0,29bh2 (conf. cap. 15). În cazul elementelor încovoiate intervin următoarele particularizări:Ibc = bx3/3; Sbc=bx2/2; x = h/2; yNbc=2x/3;Valoarea -x + yNbc devine - x + 2x/3 = -x / 3 = h/6, astfel încât relaţia (4.1) se pune sub forma de mai

jos:

(4.1a)

În cazul elementelor solicitate excentric intervine particularizarea: -ybs + rs = h/2 + h/6 =h/3> astfel încât relaţia (4.2) devine:

(4.2a)

Relaţiile (4.1a) şi (4.2a) se pot înlocui cu relaţii mai simple, plecând de la relaţiile (4.1) şi (4.2) şi având în vedere că:

0/00 (cap.5) deci

rezultând în final:

- pentru încovoiere: (4.1b)

- pentru solicitări excentrice: (4.2b)

Secţiunea (monosimetrică sau dreptunghiulară) nu fisurează dacă:

Momentul încovoietor exterior se va corecta prin luarea în considerare a efectului excentricităţii adiţionale (cap. 6) şi a influenţelor de ordinul II (pct. 6.4).

4.2.2.3 Determinarea eforturilor unitare în stadiul II de exploatare

Calculul eforturilor unitare normale în beton şi armături se face admiţând următoarele ipoteze: secţiunile plane înainte de deformare rămân plane şi după deformare; se neglijează contribuţia betonului întins dintre fisuri la preluarea eforturilor de întindere; pentru betonul comprimat şi armături, relaţiile între eforturile unitare şi deformaţiile specifice sunt

liniare (reprezentând deci un comportament perfect elastic).Pentru a ţine cont de efectul curgerii lente şi al eventualelor deformaţii plastice (neluate în considerare

ca urmare a celei de a treia ipoteze) asupra deformaţiilor specifice şi deci asupra eforturilor unitare, modulul de elasticitate se introduce în calcule cu o valoare corectată, denumită modul de deformaţie. În cazul elementelor care prezintă zonă comprimată de beton, modulul de deformaţie se ia în considerare cu valorile de mai jos:

pentru betoane cu agregate obişnuite

6

pentru betoane cu agregate uşoare

în care:

este raportul dintre momentul încovoietor din încărcările de exploatare de lungă durată şi cel

din încărcările de exploatare totale (ME);

- valoarea maximă de calcul a caracteristicii deformaţiei în timp a betonului (pct.5.4.3.2).

Pentru calculul eforturilor unitare în stadiul II de exploatare, secţiunea neomogenă de beton armat se înlocuieşte cu o secţiune omogenă de beton, în care ariile de armătură se înlocuiesc cu arii echivalente de beton. Această echivalare se face prin multiplicarea ariilor de armătură cu coeficientul de echivalenţă n e, care se adoptă după cum urmează:

- pentru cazuri curente;

- pentru un calcul detailat, când prin intermediul coeficientului (cap.12) se ţine cont şi

de aportul betonului întins dintre fisuri.

Determinarea eforturilor unitare normalea. Elemente cu axa neutră situată în secţiune

În această categorie sunt cuprinse elementele supuse la încovoiere, cazul I de compresiune şi întindere excentrică cu excentricitate mare (forţa axială situată în afara secţiunii), în aceste cazuri existând o zonă comprimată de beton.

Relaţiile de calcul se obţin plecând de la starea de eforturi din figura 4.11, implicând un sistem de patru

ecuaţii cu patru necunoscute: şi x. Sistemul se compune din două ecuaţii de echilibru static (N = 0;

M = 0) şi două ecuaţii ce decurg din ipoteza secţiunilor plane, ecuaţii scrise pentru deformaţiile specifice ale

celor două armături Aa şi .

Rezultanta eforturilor unitare de compresiune din beton este:

cu - momentul static al ariei nete comprimate; - momentul ariei comprimate

brute în raport cu axa neutră.

Poziţia rezultantei Nb faţă de axa neutră este:

Fig. 4.11 Secţiune solicitată excentric, cu zonă comprimată de beton, în stadiul II

7

cu - momentul de inerţie al ariei nete comprimate; Ibc - momentul de inerţie al ariei

comprimate brute Abc în raport cu axa neutră. Braţul de pârghie dintre Na şi Nb este:

(4.3)

Ecuaţia de proiecţii este:

care se poate pune sub forma:

(4.4)

Ecuaţia de momente în raport cu centrul de greutate al armăturii întinse este:

care se poate pune şi sub forma:

(4.5)

Ecuaţiile de compatibilitate pentru deformaţiile celor două armături sunt:pentru armătura Aa:

pentru armătura :

rezultând în final:

(4.6)

(4.7)

Sistemul format de ecuaţiile (4.4...4.7) este un sistem neliniar, a cărui rezolvare directă este dificilă;

pentru rezolvare se procedează în felul următor: expresiile şi , date de relaţiile (4.6) şi (4.7) se înlocuiesc

în ecuaţia de proiecţii (4.4), care ia forma:

(4.4a)

Rezolvarea stării de tensiune se face prin încercări: se alege x

se calculează cu relaţia (4.4a)

se calculează eforturile unitare şi cu relaţiile (4.6) şi (4.7)

se verifică satisfacerea relaţiei (4.5)

Particularizarea 4.2 Calculul eforturilor unitare normale pentru o secţiune monosimetrică, dublu armată, supusă la încovoiere

Ecuaţia (4.4a) devine:

(4.4b)

dar având în vedere că , relaţia de mai sus se scrie sub forma:

(4.4c)

reprezentând ecuaţia de momente statice, în raport cu axa neutră, folosită în vederea stabilirii înălţimii zonei comprimate.

8

Având în vedere relaţia (4.3) pentru braţul de pârghie z şi relaţia (4.7) pentru , ecuaţia de momente

(4.5) devine:

(4.5a)

Din ecuţia (4.4b) se obţine , care se înlocuieşte în (4.5a) rezultând:

respectiv:

(4.5b)Se constată că termenul dintre parantezele drepte reprezintă momentul de inerţie al secţiunii omogene în

stadiul II fisurat:

,

dar având în vedere că , relaţia de mai sus se scrie sub forma:

(4.8)

obţinută neglijând momentul de inerţie al armăturilor în raport cu axa proprie.În aceste condiţii, efortul unitar în betonul comprimat rezultă din relaţia (4.5), care se pune sub forma:

(4.9)

în timp ce eforturile unitare în armături se calculează cu relaţiile (4.6) şi (4.7); poziţia axei neutre se obţine din relaţia (4.4c).

Particularizarea 4.3 Calculul eforturilor unitare normale pentru o secţiune dreptunghiulară dublu armată supusă la încovoiere

Momentul de inerţie al zonei comprimate (de formă dreptunghiulară) şi momentul static al aceleiaşi suprafeţe, ambele în raport cu axa neutră, sunt:

, respectiv

Poziţia axei neutre se obţine din (4.4b) care devine:

(4.10)

Eforturile unitare se calculează cu relaţiile (4.9), (4.6) şi (4.7).

b. Elemente cu secţiunea transversală complet fisurată

Calculul eforturilor unitare normale în secţiunile fisurate în întregime (cu ) se

determină pe baza stării de eforturi din figura 4.12.Problema constă în descompunerea forţei NE în două componente paralele cu forţa excentrică. Acesta

descompunere se obţine din condiţia de echilibru a momentelor în raport cu cele două armături.Condiţiile de echilibru pentru cele două armături sunt:

pentru armătura Aa:

pentru armătura :

din care rezultă:

9

(4.11 a,b)

Verificarea calculelor presupune satisfacerea relaţiei

Fig. 4.12 Secţiune fisurată în întregime în stadiul II

Particularizarea 4.4 Calculul eforturilor unitare normale pentru o secţiune dreptunghiulară complet fisurată

Având în vedere că , respectiv relaţiile (4.11a) şi (4.11b) devin:

(4.11c, d)

Determinarea eforturilor unitare tangenţiale

Efortul unitar tangenţial se calculează cu relaţia lui Juravski:

, unde:

QE este forţa tăietoare din încărcările de exploatare; pentru elementele cu înălţime variabilă este necesară o corecţie care să ţină cont de aceasta variabilitate;

Sbi - momentul static al porţiunii situate deasupra fibrei în care se determină , faţă de axa ce trece prin

centrul de greutate al secţiunii omogene Ai;Ibi - momentul de inerţie al secţiunii omogene.

Calculul practic al efortului unitar tangenţial maxim, la nivelul axei neutre, ocoleşte relaţia

de mai sus şi se face pe baza stării de eforturi din figura 4.13, presupunând o grindă cu secţiune variabilă.Condiţia de echilibru pentru betonul comprimat este:

deoarece , rezultă

unde este lunecarea în planul axei neutre, pentru lungimea diferenţială dx.

În acest fel rezultă:

, respectiv (4.12)

Având în vedere relaţia Nb = ME/z, precum şi faptul că atât ME, cât şi z sunt variabile în lungul grinzii (adică sunt funcţii de variabila x), rezultă:

În aceste condiţii, relaţia (4.12) devine:

(4.13)

unde: este valoarea corectată a forţei tăietoare de exploatare;

10

- braţul de pârghie în stadiul II, conform stării de eforturi unitare din figura 4.11; dacă

; pentru secţiuni dreptunghiulare cu şi , rezultă z = ho

- x/3; în mod simplificat se poate accepta z0,85h0

Fig. 4.13 Efortul unitar şi lunecarea în planul axei neutre

Influenţa variaţiei înălţimii secţiunii asupra forţei tăietoare de calcul este favorabilă atunci când momentul încovoietor şi înălţimea secţiunii variază în acelaşi sens în lungul elementului (fig. 4.14a,b); în acest caz, în relaţia (4.13) se utilizează semnul minus.

Determinarea eforturilor unitare principaleStarea de eforturi unitare principale este caracterizată de mărimea şi direcţia lor. În absenţa efortului

unitar , mărimea eforturilor unitare principale, precum şi direcţia acestora se determină cu relaţiile:

(4.14)

(4.15)

Fig. 4.14 Regula de corecţie a forţei tăietoare la elementele cu secţiune variabilă

În figura 4.15 sunt prezentate traiectoriile eforturilor unitare principale pentru un element încovoiat realizat dintr-un material perfect elastic, omogen şi izotrop.

Fig. 4.15 Traiectoriile eforturilor unitare principale - element încovoiat - material perfect elastic, omogen şi izotrop

11

Pentru analiza stării de eforturi unitare principale se iau în considerare trei nivele de calcul, pe înălţimea unei secţiuni simplu armate, fisurată, în conformitate cu figura 4.16: 1-fibra cea mai comprimată; 2-axa neutră şi 3-centrul de greutate al armăturii întinse. În figura 4.16b se prezintă diagramele de eforturi unitare normale şi tangenţiale pentru o secţiune curentă fisurată a elementului din beton armat. Diagrama de eforturi unitare tangenţiale este constantă sub axa neutră; acest lucru se explică prin faptul că în relaţia lui Juravski momentul static are o valoare constantă, indiferent de nivelul de calcul.

Valorile eforturilor unitare principale şi direcţiile acestora (date prin unghiul ) sunt prezentate în tabelul 4.1. Tabelul 4.1

Starea de eforturi unitare principale Nivelul

1 0 0 - 0 - 180 - 90

2 0 - 90 - 45

3 0 0 + 0 0 0

Fig. 4.16 Traiectoriile eforturilor unitare principale - element încovoiat - material perfect elastic, omogen şi izotrop

Având în vedere valorile din tabelul 4.1, precum şi relaţia (4.13), rezultă că:

(4.16)

În figura 4.16c,d se prezintă distribuţia eforturilor unitare principale şi rotaţia lor pe înălţimea secţiunii, precum şi traiectoriile eforturilor unitare principale în cazul grinzii din beton armat.

Pentru preluarea eforturilor unitare principale de întindere cu intensitate constantă sub axa neutră

până în dreptul centrului de greutate al armăturii întinse, este nevoie de armătură înclinată. Etrierii participă, de

asemenea, la preluarea acestor eforturi unitare principale, prin componenta verticală a lui .

Determinarea eforturilor unitare în armăturile transversaleCalculul eforturilor unitare în armăturile transversale se face pe baza descompunerii lunecării din planul

axei neutre în componente de compresiune preluate de beton şi componente de întindere preluate de armăturile transversale - bare înclinate şi etrieri (fig.4.17). În acest scop, elementul de beton armat se modelează ca o grindă cu zăbrele, barele întinse fiind formate din armături, iar barele comprimate din beton.

Armătura transversală împreună cu betonul comprimat trebuie să preia lunecarea din planul axei neutre Ln pe lungimea aferentă armăturii respective. Această lunecare se determină pornind de la diagrama efortului

unitar principal , similară cu diagrama de forţă tăietoare şi de la lungimea elementului care revine

armăturii transversale.

12

Lunecarea în planul axei neutre este pentru armarea cu bare înclinate,

respectiv cu a = ae pentru armarea cu etrieri. Acesta lunecare produce forţe de întindere în armăturile transversale (etrieri şi bare înclinate).

Forţa de întindere în barele înclinate este:

cu Ai - aria diagramei de eforturi unitare principale corespunzătoare lungimii ai.Efortul unitar în armătura Aai este:

(4.17)

Forţa de întindere în etrieri este:

efortul unitar corespunzător fiind

(4.18)

Relaţiile pentru calculul eforturilor unitare în armăturile transversale se folosesc pentru verificarea acestor armături la starea limită de oboseală (cap. 11).

Fig. 4.17 Eforturi în armăturile transversale

13