Electrotehnicăusers.utcluj.ro/~adina/Electrotehnica/Curs/Curs 6 ET_ISA.pdf7 /25 Curs 6...

1 /25 Curs 6 Electrotehnică

Electrotehnică

Conf. dr. ing. ec. Adina GIURGIUMAN

Facultatea de Inginerie Electrică / Departamentul de Electrotehnică şi Măsurări

Tel.: 0264 401 468, Email: [email protected]

http://users.utcluj.ro/~adina/

mailto:[email protected]

http://users.utcluj.ro/~adina/


1. Legea inducției electromagnetice

2. Energii și forțe în câmp magnetic


1. Legea inducției electromagnetice

(Legea lui Faraday)


Enunţ

❑ Forma generală (globală) a legii:

tensiunea electromotoare, eΓ, produsă prin inducţie

electromagnetică în lungul curbei închise Γ este egală cu

viteza de scădere a fluxului magnetic prin orice suprafaţă

sprijinită pe curba Γ.

−

Sd=

de

t(1)


▪ unde știm că:

o tensiunea electromotoare, eΓ, respectă expresia:

= Edse

S

S

= B Ad

❑ Forma integrală a legii (FIL):

− Eds= BdAt

S

d

d

o dacă mediul considerat este în mişcare curba Γ este ataşată

corpurilor în mişcarea lor;

o sensul de integrare pe curba Γ, respectiv sensul al

suprafeţei de calcul a fluxului SΓ sunt asociate după regula

burghiului drept.

Ad

Obs.

o fluxului magnetic se poate exprima prin relația:

(2)

(3)

▪ introducând (2) și (3) în (1) obținem:

(4)


( )

= +

B

BdA v divB+rot B v At t

S S

dd

d

divB 0=

( )

=

BBdA +rot B v A

t tS S

dd

d

( )

=− −

B

E s A rot B v At

S S

d d d

● teorema lui Stokes:

( ) ( )

rot B v A = B v s

S

d d

▪din legea fluxului magnetic știm că:

(5)

▪introducând relația (5) în relația (4) rezultă:

(6)


( )

=− +

B

E s A v B st

S

d d d

unde:

o primul termen al membrului drept se numește tensiune

electromotoare indusă (t.e.i.) prin transformare și ia naştere

prin existenţa unei variaţii în timp a vectorului inducției

magnetice ;B

o al doilea termen al membrului drept se numește tensiune

electromotoare indusă (t.e.i.) prin mişcare și ia naştere prin

existenţa unei deplasări relative între curba Γ şi vectorul

inducție magnetice .B

▪relația (6) poate fi pusă sub formă:

(7)


( )

− +

BE= v B

trot rot

● aplicăm teorema lui Stokes termenului din membrul stâng pentru a

avea și aici integrală pe suprafața și avem:

= E s E AS

d rot d

( )

=− −

B

E s A rot B v At

S S

d d d

❑ Forma locală a legii:

din FIL

● se deduce din forma integrală a legii, mai exact, pornim de la relația (6):

(6)

● introducem relația (8) în relația (6):

(8)

❑ Forma locală a legii:

(9)


❑ Caz particular – medii imobile

−

BE=

trot

relația (10) se numește a doua ecuaţie a lui Maxwell

(10)


Aplicație


Să se determine tensiunea electromotoare

indusă în cadrul dreptunghiular ABCD cu

dimensiunile din figură, datorată curentului i1

care parcurge un fir rectiliniu, filiform, infinit

lung, situat în același plan cu cadrul, în

următoarele situații:

Rezolvare:

1) cadrul ABCD este fix și curentul

i1 = Imax sinωt;

2) cadrul ABCD se deplasează cu viteza

v constantă, la momentul t = 0

aflându-se la distanța a față de fir și

curentul i1 constant;

3) cadrul ABCD se deplasează cu viteza v

constantă, la momentul t = 0 aflându-se la

distanța a față de fir și curentul i1 = Imax sinωt.


2. Energii și forțe

în câmp magnetic


2.1. Energia câmpului magnetic


Se consideră un sistem de circuite, parcurse de

curenții electrici i1, i2, … in și legate la sursele

de tensiune electromotoare e1, e2, … en.

Circuitele pot fi mobile, iar tensiunile

electromotoare pot fi variabile în timp.

De la timpul t la timpul t+dt, energia totală cedată de

surse este și ea trebuie să acopere:1

n

k kk

e i dt=

▪energia disipată în conductoarele circuitelor datorită efectului

Joule-Lenz:2

1

n

k kk

r i dt=

▪lucrul mecanic elementar efectuat de forțele magnetice

generalizate X, la variația coordonatei generalizate x (lucrul

mecanic extern):L X dx =

▪variația energiei magnetice dWm localizată în câmpul magnetic al

celor n circuite (lucrul mecanic intern).


Bilanțul energetic al sistemului de n circuite, în timpul elementar dt

este dat de egalitatea:

= =

= + + 2

1 1

n n

k k k k mk k

e i dt r i dt L dW

Obs.

În afară de tensiunile electromotoare ale surselor, în circuite se induc

tensiuni electromotoare date de legea inducției electromagnetice:

kki

de

dt

=−

Presupunem că sistemul este imobil: 0L =

Aplicăm legea lui Ohm pe o latură a unui circuit:

k ki k Ke e r i+ =

kk k K

de r i

dt

− =

(1)

(2)

(3)

(4)

▪introducem relația (2) în relația (4):


kk k K k

de r i i dt

dt

= +

2

1 1 1

n n n

k k k k k kk k k

e i dt r i dt d i= = =

= + (6)

(5)

▪din relațiile (1) și (6):

1

n

k k mk

d i L dW=

= +

0L =

1

n

m k kk

dW d i=

=

(7)

▪din relația (7):

(8)

▪extindem relația (5) de la o latură la întreg circuitul, adică facem

sumă din relația (5) și înmulțim cu 𝒊𝒌𝒅𝒕 :


❑știm că fluxul prin bobina k este:

1 1

n n

k kk k kj j kj jj jj k

L i L i L i= =

= + =

1

n

k kj jj

d L di=

= (10)

▪introducem relația (10) în relația (8):

= =

= 1 1

1

2

n n

m kj k jk j

W L i i

( )1 1

n n

m kj j kk j

dW L di i= =

=

=

=

1 2

nk k

mk

iW

▪sau, prin integrare: (11)

▪utilizând relația (9) adică relația fluxului magnetic, energia

magnetică poate fi pusă și sub forma:

(9)

(12)


2.2. Aplicație


Rezolvare:

Să se calculeze energia magnetică a două bobine

cuplate magnetic ca în figură:

= =

= 1 1

1

2

n n

m kj k jk j

W L i i

( )2 21 1 12 1 2 21 2 1 2 2

1

2mW L i L i i L i i L i= + + +

12 21L L=

( )2 21 1 2 2 12 1 2

1

2mW L i L i L i i= + +

▪pentru a determina energia magnetică

aplicăm relația următoare circuitului din

figură:


21 1

12

m

L iW

=

= 12 12 1 2mW L i i

1 2 12m m m mW W W W= + +

▪ reprezintă energia magnetică proprie a bobinei 1;

▪ reprezintă energia magnetică proprie a bobinei 2;

▪ reprezintă energia de interacțiune dintre cele

două bobine cuplate:

▪energia magnetică totală:

unde:

22 2

22

m

L iW

=


2.3. Forțe magnetice


1

n

k k mk

X dx i d dW=

= −

Lucrul mecanic elementar, care se efectuează la o deplasare dx a unui

corp în câmp magnetic, sub acțiunea forței generalizate X, se poate

calcula din relația (3):

Se consideră două situații de calcul:

a) Dacă se mențin fluxurile constante (dψk = 0),

( ).k

m constX dx dW

= =−

=

=−

.k

m

const

WX

x

Forța generalizată X, corespunzătoare coordonatei generalizate x, este egală

cu derivata parțială a enrgiei magnetice în raport cu coordonata generalizată,

luată cu semn schimbat, la fluxuri magnetice constante prin circuite.

(13)


b) Dacă în circuite se presupun curenții constanți

▪relația (13) se poate pune sub forma:

1

n

k k mk

X dx d i dW=

= −

▪Știm că energia magnetică este egală cu:

1 2

nk k

mk

iW

=

=

1

2n

k k mk

i W=

=

2 m mX dx dW dW = −


=

=+

.k

m

i const

WX

x

Forța generalizată X, corespunzătoare coordonatei generalizate x, este

egală cu derivata parțială a enrgiei magnetice (exprimată în funcție de

curenți și de coordonata generalizată), în raport cu coordonata

generalizată corespunzătoare, la curenți contanți în circuite.

mX dx dW = ▪pentru ik = const.

▪forța generalizată:


Sfârșit

(Încă un pas spre Final !!!!!!)

☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺

Electrotehnicăusers.utcluj.ro/~adina/Electrotehnica/Curs/Curs 6 ET_ISA.pdf7 /25 Curs 6...

Documents

Transcript of Electrotehnicăusers.utcluj.ro/~adina/Electrotehnica/Curs/Curs 6 ET_ISA.pdf7 /25 Curs 6...