Com Pens Are

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIOARA

FACULTATEA DE CONSTRUCII Master - CEBI SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILE

CAPITOLUL 1

1. PROBLEME DE BAZ N STUDIUL TEORIEI ERORILOR

DE MSURARE

Instrumentul principal de cunoatere a lumii materiale l constituie observarea i n cadrul acesteia, msurarea. Operaia de msurare reprezint un proces experimental de obinere a informaiei sub forma unui raport numeric, ntre valoarea mrimii fizice msurate i valoarea unei alte mrimi de acelai gen considerat drept unitate de msur.

Informaiile, care constituie baza concret de date necesar rezolvrii problemelor geodezice, fotogrametrice i topografice, provin din observaiile efectuate asupra unor mrimi cu care se lucreaz frecvent i care, n principal, sunt reprezentate de msurtorile de unghiuri i distane. Calitatea informaiilor obinute din aceste msurtori este funcie direct de volumul observaiilor i de precizia instrumentelor de msurat.

Se impune aadar, ca pornind de la scopul pentru care sunt efectuate msurtorile s se stabileasc valorile corespunztoare ca mrime i precizie, lund n considerare aspectul economic referitor la volumul strict necesar i suficient al observaiilor care se impun.

Teoria erorilor de msurare sau teoria prelucrrii msurtorilor geodezice intervine cu succes i rezolv favorabil aceste aspecte.

1.1 SCURT ISTORIC AL TEORIEI ERORILOR DE MSURARE I A METODEI CELOR MAI MICI PTRATE

Problema prelucrrii observaiilor a aprut nti n domeniul astronomiei, n special dup descoperirea lunetei de ctre Galileo-Galilei (15641642) iperfecionarea continu a instrumentelor i aparatelor de msur. Dup ce teoria greit a sistemului geocentric, elaborat i prezentat de Claudiu Ptolemeu (90168) n lucrarea sa Megale Byntaxis, a dominat cunoaterea tiinific circa 12 secole, ea este infirmat de ctre Nicolaus Copernic (1473 1543), care elaboreaz teoria sistemului heliocentric i pe care o fundamenteaz n lucrarea Despre micrile de revoluie ale corpurilor cereti.

Marele astronom Johannes Keppler (15711630), discipolul i continuatorul lui

- 1 -



Tycho Brahe (15461601), pe baza msurtorilor naintaului su, dar i din determinri personale, confirm definitiv teoria heliocentric a lui Copernic, descoper forma eliptic a orbitelor planetelor i formuleaz cele trei legi pe baza crora are loc micarea planetelor n jurul Soarelui.

A devenit clar c pentru justa nelegere a sistemului de alctuire a Universului, este nevoie de executarea unui numr mare de msurtori, cu o precizie ct mai bun i a cror prelucrare s se fac dup criterii ct mai corecte.

nsi confirmarea legii atraciei universale, descoperit de Isaac Newton (16421727), s-a putut face 18 ani mai trziu, dup ce n Frana s-a determinat destul de precis, valoarea razei Pmntului.

De multe ori, precizia insuficient a msurtorilor efectuate a condus la contradicii ntre teorie i practic. A fost nevoie s se construiasc instrumente i aparate de msur cu caracteristici superioare i n acelai timp, s se elaboreze i o teorie adecvat a msurtorilor i a erorilor de msurare.

O dezvoltare remarcabil a teoriei erorilor i a metodei celor mai mici ptrate, a avut loc la sfritul secolului al XVIIIlea i nceputul secolului al XIX-lea, fiind legat de numele lui A. M. Legendre, K.F. Gauss i P. S. Laplace.

Adrien Maria Legendre (1752-1833) fundamenteaz pentru prima dat teoria prelucrrii observaiilor fcnd studii asupra erorilor i aplicndu-le ulterior la prelucrarea msurtorilor astronomice. Aceste studii, mpreun cu dezvoltarea principiilor metodei celor mai mici ptrate sunt cuprinse n lucrarea sa Noi metode pentru determinarea orbitelor cometelor aprut n anul 1806.Independent de A. M. Legendre, matematicianul Karl Friederich Gauss (1777-

1855) descoper metoda celor mai mici ptrate, pe care o aplic tot la prelucrarea msurtorilor astronomice. Teoria sa este cuprins n lucrarea Teoria micrii corpurilor cereti ce se rotesc n jurul Soarelui dup seciuni conice, publicat n 1809.

Pe lng multe alte probleme teoretice, K. F. Gauss propune i formula care pune n eviden repartiia normal a erorilor aleatoare.

n lucrrile sale ulterioare, K. F. Gauss aprofundeaz latura algebric a metodei celor mai mici ptrate, deducnd o serie de formule necesare evalurii preciziei msurtorilor.

Pierre Simon Laplace (17491827), n tratatul su de baz Teoria analitic a probabilitilor, d o nou fundamentare teoretic metodei celor mai mici ptrate, care constituie de fapt premiza dezvoltrii teoretice ulterioare. El are meritul de a fi fcut i legtura strns dintre erori i probabilitate, prin definirea corect a formulei probabilitii unei erori.

Msurarea arcelor de meridian i a latitudinilor, ca i prelucrarea acestora, a permis determinarea formei i dimensiunilor Pmntului pe baza crora s-a elaborat sistemul metric, sistem practic de msuri bun pentru toate timpurile i pentru toate popoarele.

- 2 -



De asemenea, ntocmirea hrilor i planurilor topografice ale rilor, a impus mai nti, crearea reelelor de triangulaie geodezic de sprijin. Calculele de compensare a marilor reele de triangulaie au necesitat dezvoltarea corespunztoare i a teoriei erorilor.

n dezvoltarea teoriei erorilor de msurare, a metodei celor mai mici ptrate i a teoriei probabilitilor i-au adus contribuii importante F. W. Bessel (1784 1846), N. I. Lobacevski (17921856), P. L. Cebev (18211894), A. L. Cauchy (17891857), U. Le Verrier (18111877).

Statistica matematic dezvolt ntr-o optic nou, att teoria erorilor, ct i metoda celor mai mici ptrate. Lucrri de nalt inut tiinific n domeniul teoriei probabilitilor i statisticii matematice au elaborat n ara noastr academicienii Gheorghe Mihoc i Octav Onicescu.

n ultimele decenii, lucrrile unor specialiti formai la coala acestor doi savani, se aplic cu mult succes n practic.

Aplicarea teoriei erorilor de msurare i a metodei celor mai mici ptrate n domeniul msurtorilor terestre, n special al geodeziei i topografiei, a fost fcut de reputaii specialiti romni tefan Paraschivescu, Theodor Pompei, Ioan Virgiliu, Constantin Mota, Ioan Plcineanu, Mihai P.Botez, unii dintre ei fiind i cadre universitare cu lucrri tiinifice teoretice i practice de prestigiu.

1.2 MSURTORI I ERORI DE MSURARE

S-a vzut c prin msurare se nelege determinarea valorii unei mrimi fizice prin raportarea acesteia la o alt mrime de aceeai natur, adoptat ca unitate, folosind un instrument sau un aparat de msur.

Toate lucrrile de topografie i geodezie se bazeaz pe msurtori efectuate n scopul determinrii poziiei diferitelor obiecte i fenomene din spaiul terestru. Aceste msurtori se refer n special la mrimi liniare (lungimi) i la mrimi unghiulare (unghiuri).

Aa cum rezult din definiie, orice proces de msurare presupune, n primul rnd, existena unei uniti de msur n raport de care s fie exprimat valoarea observat. De-a lungul timpului s-au utilizat diferite uniti de msur, n prezent, majoritatea rilor lumii, printre care i Romnia, a adoptat Sistemul Internaional de Uniti (SI).

n urma unei msurtori se obine o valoare msurat, numit i observaie, care nu reprezint altceva dect raportul dintre mrimea fizic msurat i unitatea de msur reprodus de instrumentul folosit.

- 3 -



A. CLASIFICAREA MSURTORILOR

Msurtorile pot fi clasificate dup urmtoarele criterii:

A.1. Dup modul de obinere a mrimii fizice care intereseaz:

a) msurtori directe la care mrimea fizic considerat se compar direct cu unitatea de msur, fiecare msurtoare efectuat genernd cte o valoare a mrimii msurate.

Exemple de msurtori directe: -msurarea unui unghi cu teodolitul -msurarea unei lungimi cu ruleta

Se mai consider ca msurtori directe i anumite funcii simple de msurtori directe i anume:

-diferena dintre dou mrimi msurate direct (exemplu: diferena de nivel rezultat prin scderea citirilor pe mir);

-produsul dintre o mrime msurat i o constant;

Un caz special al msurtorilor directe l constituie msurtorile condiionate, definite ca msurtori directe ce trebuie s satisfac o serie de condiii geometrice sau analitice.

Exemple de msurtori condiionate:

1. ntr-o reea de form triunghiular au fost msurate toate unghiurile. Teoretic, acestea trebuie s ndeplineasc condiia din geometria plan c suma lor s fie egal cu 200g.

2. Suma diferenelor de nivel ntr-o drumuire nchis, trebuie s fie egal cu zero.

b) msurtori indirecte la care valoarea mrimilor care ne intereseaz se obine prin intermediul altor mrimi msurate direct, acestea fiind funcional dependente ntre ele.

A.2 Dup condiiile n care sunt executate:

a) msurtori de aceeai precizie, cnd se efectueaz cu acelai instrument, de ctre acelai operator, prin aceeai metod de lucru i n aceleai condiii de mediu.

n acest caz se poate considera c tuturor acestor msurtori le putem acorda aceeai ncredere.

- 4 -



b) msurtori de precizii diferite (ponderate), cnd unul din factorii de mai sus difer, deci nu mai putem acorda aceeai ncredere tuturor msurtorilor, unele fiind determinate mai precis dect altele.

A.3. Dup legtura dintre ele

a) msurtori dependente

Dac ansamblul condiiilor n care se efectueaz o msurtoare influeneaz total sau parial rezultatul altei msurtori, se spune c acestea sunt dependente ntre ele.

b) msurtori independente

Sunt acelea care nu se influeneaz reciproc.

Corelaia sau dependena ntre mrimi se exprim cu ajutorul unui coeficient empiric de corelaie, dedus experimental pe cale statistic efectund mai multe msurtori.

Aceste determinri sunt ns foarte greoaie.

A.4. Dup numrul lor:

a) msurtori necesare definite prin numrul minim de msurtori, cu ajutorul crora se poate stabili valoarea mrimii considerate.

b) msurtori suplimentare efectuate n vederea ridicrii preciziei de msurare sau a prentmpinrii eventualelor greeli ce pot aprea.

Aceste msurtori suplimentare determin numrul gradelor de libertate ale reelei respective.

B CLASIFICAREA ERORILOR DE MSURARE

Se numete eroare diferena dintre valoarea msurat i valoarea adevrat a unei mrimi fizice: e M X , unde prin M s-a notat valoarea obinut prin msurare, iar prin X, valoarea adevrat.

Valoarea real a unei mrimi nu poate fi determinat niciodat din cauza inexactitilor care apar n procesul de msurare.

Aceast imposibilitate poate fi generat de o serie ntreag de cauze cum ar fi: variaia n timp a obiectului msurat, imperfeciunea organelor de sim ale operatorului, imperfeciunea aparaturii i a metodelor de msurare, influena condiiilor exterioare etc.

Erorile pot fi clasificate dup cum urmeaz:

- 5 -



B.1. Dup modul de alegere a mrimii nominale:

erori reale (adevrate), i n cazul n care valoarea de referin (nominal) se consider valoarea real X a mrimii respective:

i Mi X1.1

Deoarece valoarea adevrat X a unei mrimi nu este accesibil, nseamn c nici eroarea adevrat nu poate fi cunoscut.

erori aparente (probabile), vi n cazul n care se consider ca valoare de referin, valoarea probabil a mrimii respective:

vi Mi M1.2

Valoarea probabil a unei mrimi se consider a fi media aritmetic n cazul msurtorilor de aceeai precizie, sau media ponderat n cazul msurtorilor de precizie diferit (ponderate).

Dac se schimb sensul unei erori se obine corecia, deci c e .

B.2. Dup mrimea lor:

a) erori evitabile (erori grosolane, greeli)

Ele se pot evita printr-o atenie sporit n timpul procesului de msurare. Exemplu: erori la metri de msurare a distanelor cu ruleta; erori de grade la citirea unghiurilor pe microscopul teodolitului.

Prin urmare, aceste erori grosolane sau greeli sunt cu un ordin de mrime mai mari dect precizia de msurare.

Acest tip de eroare se evideniaz imediat ntr-un ir de msurtori putnd fi eliminat cu uurin pe baza coroborrii datelor cu cele de la alte observaii. n calculele de compensare se consider c msurtorile nu sunt afectate de erori grosolane.

b) erori inevitabile ce nu pot fi eliminate indiferent de metoda folosit sau de gradul de atenie al operatorului, ci doar diminuate.

Aceste erori pot fi clasificate dup modul de acionare astfel:

b.1 erori sistematice, sunt acelea la care se cunosc cauzele care le genereaz i legile dup care acioneaz. Valoarea lor poate fi deci determinat i n consecin se poate corecta rezultatul obinut din msurtori.Diminuarea erorilor sistematice se poate face prin:

- 6 -



metoda de msurare (de exemplu la msurarea unghiurilor se efectueaz determinri n cele dou poziii ale lunetei, eliminndu-se eroarea de colimaie) prin calcul, aplicndu-se corecii rezultatului (corecia de etalonare, corecia de temperatur, etc. la msurarea distanelor cu ruleta)

printr-o reglare mai bun a aparatelor

reducnd la minim ponderea observaiilor pentru care nu s-au putut ndeprta erorile sistematice

Erorile sistematice pot fi la rndul lor constante sau variabile.

Exemplu: dac un etalon cu care se msoar distana este mai scurt cu 1 cm., pentru fiecare introducere a etalonului n distana de msurat, se comite o eroare care i pstreaz valoarea i semnul. Avem de-a face cu o eroare sistematic constant. Aceasta se propag dup legea nmulirii, adic eroarea total este egal cu eroarea unitar nmulit cu numrul care arat de cte ori intervine eroarea unitar n rezultatul final: estn es2.3

est= eroare sistematic total

n = numrul care arat de cte ori etalonul se cuprinde n mrimea msurat

es= eroarea sistematic constant unitar

Eroarea sistematic variabil nu se propag dup legea liniar urmarit de erorile constante, deci ea nu i pstreaz tot timpul semnul i valoarea.

Exemplu: eroarea de excentricitate a limbului, cnd centrul acestuia nu coincide cu centrul alidadei.

b.2 erori ntmpltoare (accidentale), acelea care influeneaz ntr-un mod ntmpltor, cu cantiti mici fiecare, dar apreciabile n total i nu pot fi eliminate.

Erorile ntmpltoare pot fi diminuate prin efectuarea mai multor msurtori. Ele se micoreaz de asemenea, prin perfecionarea instrumentelor i a metodelor de lucru.

n studiul teoriei erorilor, se consider c msurtorile au fost corectate de toate celelalte erori (greeli, erori sistematice) i sunt afectate numai de erorile ntmpltoare.

Schematic, aceast clasificare s-ar putea reda sub urmtoarea form:

- 7 -



MASURTORI ERORI

REALEAPARENTE

DIRECTEINDIRECTE

DE PRECIZIEEVITABILE

DE ACEEAIDE PRECIZIEDE ACEEAI DIFERITINEVITABILE

PRECIZIEDIFERITPRECIZIE

NTMPLTOARE

SISTEMATICE

DEPENDENTENECESARE SUPLIMENTARECONSTANTE

INDEPENDENTEVARIABILE

- 8 -



CAPITOLUL 2

2. NDESIREA REELELOR DE TRIANGULAIE PRIN

METODA INTERSECIILOR

2.1.1 PRINCIPIILE INTERSECIILOR UNGHIULARE

Metoda de determinare a punctelor geodezice de ordin inferior este aceea a interseciilor.

Acestea sunt de trei feluri:

Intersecii nainte (directe);

Intersecii napoi (retrointersecii); Intersecii laterale (combinate).

Toate aceste trei tipuri de intersecii utilizate pentru determinarea punctelor de ordinul IV i V sunt intersecii analitice obinuite, adaptate la trei situaii diferite care se pot ntlni n teren.

Se tie din geometria analitic, c avnd ecuaiile a dou drepte de orientare cunoscut 1 i 2, trecnd fiecare dintre ele printr-un punct dat A i B (deci cu coordonate cunoscute) se gsesc coordonatele punctului nou P la intersecia celor dou drepte date, rezolvnd sistemul de ecuaii dat.

n practica topografic nu ne mulumim cu coordonatele obinute pentru punctul P numai dintr-o singur combinaie de dou drepte i dou puncte date, ci se va aplica pentru control i asigurarea preciziei, aceeai problem la 2 3 combinaii de cte dou drepte i dou puncte date.

- 9 -



XN

N

B

A

P1

P3 P

P2

N

C

OY

Figura 2.1 Triunghiul de eroare al interseciei topografice

Din cauza erorilor inerente fcute n determinarea coordonatelor punctelor A, B,

C i n aceea a orientrilor 1, 2, i 3 nu va rezulta un punct unic de intersecie P al direciilor AP, BP i CP ci trei puncte P1, P2 i P3, care mpreun formeaz aa-zisul triunghi de eroare al interseciei. Aria acestui triunghi este cu att mai mic cu ct determinrile sunt mai ngrijite i mai precise, dar niciodat nule.Dac valorile coordonatelor P1, P2 i P3 sunt sensibil apropiate, se va lua o valoare medie ntre ele i aceasta va constitui coordonata final a punctului cutat P.

Aceasta este prima caracteristic general a interseciilor topografice. Ele se mai caracterizeaz prin aceea c se mpart n:

a) Intersecii nainte, dac au fost staionate numai puncte vechi A, B, C i s-au dat vize din ele nspre punctul nou P, msurndu-se unghiurile , , (figura 2.2).

b) Intersecii napoi, dac nu a fost staionat dect punctul nou P din care s-au dat vize nspre punctele vechi A, B, C, msurndu-se unghiurile 1, 1,

1 (figura 2.3). c) Intersecii laterale, dac a fost staionat punctul nou P i nct cel puin unul dintre punctele vechi, de pild B, msurndu-se unghiurile 2, 2, 2 i unghiul (figura 2.4).

Oricare din cele trei variante se trateaz la fel ca principiu de rezolvare, cci din punct de vedere matematic, problema este aceeai, indiferent de cum s-au obinut orientrile 1, 2, i 3.

- 10 -



X

NN

B

A

P

N

C

OY

Figura 2.2 Intersecia unghiular nainte

X

AB

P

C

OY

Figura 2.3 Intersecia unghiular napoi

- 11 -


FACULTATEA DE CONSTRUCII Master - CEBI SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILEX

AB

P

C

OY

Figura 2.4 Intersecia unghiular lateral

2.1.2 INTERSECIA UNGHIULAR NAINTE

X

NN

B(X,Y)

A(X,Y)

P(X,Y)

N

C(X,Y)

OY

Figura 2. 5 Intersecia unghiular nainte. Elemente. Procedeul analitic

Fiind date punctele vechi de ordin superior sau inferior A(X1,Y1), B(X2,Y2) i C(X3,Y3), ele se vor staiona cu teodolitul de precizie i se vor msura respectiv unghiurile , , .

2.1.2.1 PROCEDEUL ANALITIC

Putem scrie:

- 12 -


FACULTATEA DE CONSTRUCII Master - CEBI SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILE`Y12Y2Y1`Y12

tg 11arctg

X12X 2X1X12

`Y23Y3 Y2`Y23

tg 22arctg

X 23X 3X 2X 23

`Y13Y3 Y1`Y13(2.1)

tg 33arctg

X13X 3X1X13

Se constat c:

AP 1` 1 `

BP 2 2

`3(2.2)

CP3

Ecuaiile analitice ale dreptelor (n cazul nostru a vizelor orientate) AP, BP i CP sunt:(AP) Y Y1 = tg1 (X X1)

(BP) Y Y2= tg2 (X X2)

(CP) Y Y3= tg3 (X X3)(2.3)

Lund primele dou ecuaii din sistemul de mai sus, avem un sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute, X i Y, care reprezint coordonatele punctului P.

Y Y1 = tg1 (X X1)Y Y2 = tg2 (X X2)

Se scad cele dou ecuaii i rezult:

Y2 Y1 = X(tg1 tg2) + (X2tg2 X1tg1)

X Y2 Y1 X 2tg 2 X1tg 1 tg 1 tg 2

Introducnd valoarea obinut n relaia de mai sus, obinem:

(2.4)

(2.5)

Y = Y1+ tg1(X X1)

Y = Y2+ tg2(X X2)(2.6)

Aceste ecuaii ne dau tocmai coordonatele punctului P (de fapt P1).

Procednd n acelai mod cu urmtoarele dou perechi de ecuaii vom obine celelalte dou perechi de coordonate corespunztoare punctului P (de fapt ale luiP1 i P2).Dac cele trei rnduri de coordonate alctuiesc un ecart maxim de 15 cm, atunci media aritmetic a valorilor obinute se consider ca i coordonate definitive ale punctului P.X PX ` X `` X ``ìYPY ` Y `` Y ```(2.7)

33

- 13 -



2.1.2.2 PROCEDEUL TRIGONOMETRIC

Problema se reduce la particularizarea metodei radierii dup urmtorul algoritm.

X

N

P

1(X,Y)

O

d-P1

d1-2

P

d2

- P

N

P

2(X,Y)

Y

Figura 2.6 Intersecia unghiular nainte rezolvarea trigonometric

Etape de rezolvare

a) Calculul orientrii 1-2 din coordonatele punctelor vechi:tg1 2Y2Y1arctgY12(2.8)

X 21 2X12

X1

b) Calculul orientrilor:

1-P 2-P

1-P = 1-2 ;

2-P = 1-2 200g +(2.9)

c) Calculul distanei d1-2 din coordonate:

(2.10)

d1 2( X2X1)2 (Y Y )2

21

d) Calculul distanelor d1- P i d2- P din teorema sinusurilor:

d1 2d1 Pd2 Pd1 2sin

sinsinsinsin

d2 Pd1 2sind1 P M sind2 P M sin

sin

- 14 -

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIOARA FACULTATEA DE CONSTRUCII

SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILE

M d1 2 - i se numete modul sin

e) Calculul coordonatelor punctului P prin radiere:

XP`=d1-Pcos1 + X1 = X1-PXP``=d2-Pcos2 + X2 = X2-PXP`=d1-Psin1 + Y1 = Y2 + Y1-PXP``=d2-Psin2 + Y2 = Y2 + Y2-P

X P` X P`` Toleranta

Master - CEBI

(2.11)

(2.12)

dac, atunci

X `X ``Toleranta

PP

X `X ``

X PPP

2

YPY ` Y ``(2.13)

PP

2

Verificarea rezultatelor se poate realiza prin alegerea i celui de-al treilea punct i parcurgerea aceluiai procedeu de calcul.

2.1.3 INTERSECIA UNGHIULAR NAPOI

2.1.3.1 PROCEDEUL DELAMBRE

Principial, problema este de a gsi coordonatele unui punct nou P(x,y), prin vize date exclusiv din acest punct nou P spre trei puncte vechi A(x1,y1), B(x2,y2) iC(x3,y3) date prin coordonatele lor. Din msurtorile de teren se determin coordonatele i , folosind metode precise de msurare.

- 15 -



N

N

A(X ,Y )

B(X ,Y )

N

N

C(X , Y)

P(X,Y)

PA

Figura 2.7 Procedeul Delambre

Soluia acestei probleme a fost dat de Snellius n 1642 i perfectat de Pothenot n 1692. Se mai numete Problema Pothenot sau Problema hrii.

Soluia analitic de rezolvare

Pentru a rezolva problema sunt de parcurs dou etape:

n prima etap, specific retrointerseciilor, se vor gsi orientrile 1, 2 i 3 ale vizelor AP, BP i CP.

n a doua etap, avnd trei drepte de orientare cunoscut i trecnd fiecare prin cte un punct dat, se vor rezolva nite intersecii obinuite (nainte).

Deci, doar prima parte a problemei este nou, pentru a crei rezolvare se vor scrie trei ecuaii analitice, teoretice ale celor trei drepte, care trec prin punctul Pi respectiv A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3).

y y1 = (x x1)tg1

y y2 = (x x2)tg2

y y3= (x x3)tg3(2.14)

Se observ c dac AP = 1, atunci:

BP = 1 + =2

CP = 1 + =3(2.15)

Se introduc relaiile (2.14) i (2.15) i obinem:

y y1= (x x1)tg1

y y2= (x x2)tg(1+ )

y y3= (x x3)tg(1 + )(2.16)

- 16 -



Sistemul (2.16) este un sistem de trei ecuaii cu trei necunoscute tg, x i y.

tg( 1 )tg 1 tg(2.17)

1 tg 1tg

Se iau primele dou ecuaii din relaia (2.16) i avem:

y y1 = (x x1)tg1

(y y2)(1 tg1tg) = (x x2)(tg1 + tg)(2.18)

Un sistem de 2 ecuaii cu 2 necunoscute; din prima ecuaie rezult:

y = y1 + (x x1)tg1(2.19)

Pe care o nlocuim n prima ecuaie din sistemul (2.18):

(y1 + xtg1 x1tg1 y2)(1 tg1tg) = (x x2)(tg1 tg)x(1 + tg21)tg = y1 y2 (y1 y2)tg1tg + (x2 x1)tg1 + (x2 + x1tg21)tgtg( 1)tg 1tg(2.20)

1tg 1tg

i apoi se iau ecuaia I a i a III a i se face substituia de mai sus, va rezulta o ecuaie de acelai tip cu ecuaia (2.20).

x(1 + tg21)tg = y1 y3 (y1 y3)tg1tg + (x3 x1)tg1 + (x3 + x1tg21)tg Se mparte ecuaia (2.19) la (2.20) i rezult:

x(1 tg 2 )tgy y2( y y2)tg1(x2x tg 2 )tg

11111

x(1 tg 2 )tgyy3( y y)tg tg (x3x tg 2 )tg

1113111

a = (y1 y2)ctg - (y1 + y2)tg1tgctg b = (x2 x1) tg1ctg + (x2 + x1)tgctg c = (y1 y3)ctg - (y1 + y3)tg1+(x3 - x1)tg1ctg + (x3 + x1tg21) 1a b(2.21)

c

Grupnd termenii dup tg1, vom avea:

y1 y3)ctg - (y1 + y3)tg1+(x3 - x1)tg1ctg + (x3 + x1tg21) =

= (y1 y2)ctg - (y1 + y2)tg1ctg + (y1 + y2)tg1 + (x2 x1) tg1ctg + (x2 + x1tg21)

(y1 y2)ctg - (y1 - y3)tg1 + (x3 - x1)tg1ctg - (x2 x1) tg1ctg == (y1 - y2)ctg - (y1 + y3)ctg + x2 x3

- 17 -


FACULTATEA DE CONSTRUCII Master - CEBI SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILEtg( y1y2 )ctg ( y3y1 )ctg x2x3(2.22)

1(x1x2 )ctg (x3x1 )ctg y3y2

Din relaia (2.22) se determin 1 i apoi 2 i 3.

Urmeaz determinarea orientrilor inverse AP, BP i CP cu care se va intra n calculele unor intersecii nainte normale, gsind astfel coordonatele punctului nou P.

2.1.3.2 PROCEDEUL KSTNER (REZOLVAREA

TRIGONOMETRIC)

Avnd date punctele A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), se pot calcula orientrile i distanele: AB i AC; a = DAB i b = DBC, apoi unghiul = BA - BC.

N

B(X ,Y )

Na

b

N

A(X ,Y )d1P

d2C(X , Y)

Figura 2.8 Procedeul Kstner (rezolvarea trigonometric)

Punctul nou este punctul unghiurile i astfel:

( + + ) + ( + ) = 400g400

222

a sin

d2ad2

sinsinsin

d2bd2a sin

sinsinsin

P. n triunghiurile ABP i BCP, se vor calcula

(2.23)

Egalnd cele doua relaii ale lui d2, obinem:asinb sin, sau

sin

sin

sinb sinp1

sina sinp2

- 18 -


FACULTATEA DE CONSTRUCII Master - CEBI SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILEp1 = b sin;p2 = a sin

sin sinp1p2

sin sinp1p2

2 sincosp1p2

22

2 sincosp1 p2

22

tgctgp1 p2

22p1 p2

tgp1p2tgB (cunoscut)(2.24)

p p2

222

1

Dac A, A B

2

B, A B(2.25)

2

Cunoscndu-se unghiurile i , se calculeaz unghiurile 1 i 2.

n final se calculeaz distanele:

d1ad1a sin1

sin1sinsin

d2ad1a sin

sinsinsin

d3bd1b sin2(2.26)

sin2sinsin

Avnd orientrile 1, 2 i 3 i valorile distantelor d1, d2 i d3, se vor calcula coordonatele relative ale punctului P fat de punctele A, B, C, deci vom avea trei rnduri de astfel de coordonate:Xi = dicosi

Yi = disini(2.27)

Se vor obine trei rnduri de coordonate absolute pentru punctul P. Valoarea final va fi media aritmetic a valorilor obinute, dac acestea sunt sensibil egale.

2.1.3.3 PROCEDEUL COLLINS (REZOLVAREA PUNCTULUI AJUTTOR)

Printre metodele de rezolvare a retrointerseciilor este i aceea datorat lui Collins (1671), cunoscut sub numele de metoda punctului ajuttor.

Aceast metod se adapteaz procedeului analitic.

- 19 -

apoi,AQ = AC CQ = AC 200g + UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIOARA


B(X , Y)

Q(X , Y)QQ

A(X ,Y )C(X , Y)

O

P(X , Y)

Figura 2.9 Procedeul Collins (metoda punctului ajuttor)

Pe teren se msoar i din punctul P. Q, este punctul ajuttor al lui Collins. Din coordonatele punctelor A i C se calculeaz AC.tg ACYACY3Y1AC arctgYAC(2.28)

X ACX 3 X1X AC

(2.29)

Din coordonatele punctelor noi A i C i cu orientrile AQ i CQ se vor calcula prin intersecie nainte coordonatele punctului ajuttor Q(XQ, YQ).

tg QB Y YB YQ X X B X Q

AP = QB 200g CP = QB 200g

QBarctg YQBX QB

(2.30)

Cu coordonatele date pentru punctele vechi A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3) i cu orientrile calculate mai sus se poate calcula prin intersecie nainte punctul nouP.

- 20 -



2.1.3.4 PROCEDEUL HANSEN

(REZOLVAREA CU PUNTE DUBLE)

n cazul n care din punctul nou P nu se vd trei puncte vechi A, B i C, ci numai dou puncte A i B, dar n schimb se vede un punct auxiliar Q, care nu are coordonate, dar din care se vd aceleai puncte vechi A i B, se vor msura staiile P i Q, respectiv unghiurile , i 1, 1.Din figur se observ c n PAB:

+ + ( ) = 200g

A100g(2.31)

22

A(X ,Y )B(X ,Y )

XY

PQ

Figura 2.10 Procedeul Hansen (rezolvarea cu puncte duble)

PBPAPBsin

sinsinPAsin

n PAQ:

PAPQPQ

sin 1sin[200 ( 1)]sin( 1)

PAPQ sin 1

sin( 1)

n PBQ:

PBPQPQ

sin 1sin[200 ( 1)]sin( 1)

PBPQ sin 1

sin( 1)

PBsin sin(1)

1

PAsin( 1) sin 1

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

(2.36)

- 21 -



Membrul al doilea al ecuaiei de mai sus este format numai din valori cunoscute, i va fi considerat ca tangent a unei cantiti auxiliare cunoscute:

tgsin 1sin( 1)

sin 1sin( 1)

Egalnd relaiile anterioare, vom obine:

tgsin

1sin

sin sintg 1

sin sintg 1

2 sincostg tg50g

22

2 sincostg tg50g

22

tgtg(50g ) tg

22

tgctgtg( 50g )

22

n ultima relaie se introduce valoarea raportului

2

tg, care este numai n funcie de valori cunoscute.

2

tgtg(100g) tg( 50g )

22

B

2

Se va putea scrie c:

A B

22

A B

22

(2.37)

(2.38)

i se va obine valoarea

(2.39)

(2.40)

Cu ajutorul valorilor lui i , se vor putea calcula orientrile AP, BP i QP, cu care se poate calcula o intersecie nainte pentru a-i putea determina coordonatele punctului P.

- 22 -



Condiii de aplicare pe teren a retrointerseciilor

Din punct de vedere practic sunt de adugat cteva reguli de lucru, pentru ca rezultatele s fie ct mai bune.

Se vor folosi n calcul, pentru determinarea punctelor, vize ct mai scurte i n orice caz, pe ct posibil ct mai egale;

Se vor folosi cel puin trei vize venite din puncte vechi, lundu-se dou cte dou n toate combinaiile posibile;

Unghiurile optime sub care trebuie s se intersecteze vizele n punctul nou sunt ntre 30g 100g. Se exclud cu desvrire unghiurile obtuze, sau prea ascuite. A BAB

C

C

D D

Distributia corecta a vizelorDistributia la limita a

la intersectia inaintevizelor la intersectia inainte

Figura 2.11 Distribuia vizelor ntro retrointersecie

Cele 3 4 vize ctre un nou punct trebuie s fie rspndite ct mai uniform pe ntregul tur de orizont. Sunt slabe determinrile fcute din vize care se grupeaz n dou cadrane i sunt excluse cele ce se grupeaz ntr-un singur cadran.

A

B

C

P DFigura 2.12 Distribuie defectuoas a vizelor ntr-o retrointersecie

- 23 -



2.1.4 INTERSECIA LATERAL (COMBINAT)

Intersecia lateral este o metod de ndesire a punctelor combinat din intersecii nainte i napoi. Metoda folosete att vize orientate de la punctele vechi de coordonate cunoscute, ca intersecie nainte, ct i vize duse de la punctul nou de determinat spre puncte vechi de coordonate cunoscute, ca la intersecia napoi.

1

3

P(x,y)

4

2

Figura 2.13 Intersecia lateral (combinat)

Din punctele 1 i 2 se vizeaz punctul P.

Din punctul P se vizeaz punctele 1, 3 i 4 (punctul 2 nu este vizibil). Coordonatele punctului P s-ar putea determina prin:

Intersecie nainte a vizelor orientate 1 - P i 2 P, dar determinarea dintr-o singur intersecie nu este suficient (nu este nici convenabil).

Intersecie napoi folosind vizele P 1, P 3, P 4, ca verificare avem P2 egal cu 200g 2P. Aceasta nu se utilizeaz, deoarece nu ia n considerare i viza 2 P.

Pentru a nltura aceste inconveniente, se procedeaz astfel:

Se determin P1 = 1P 200g;(2.41)

Se calculeaz P3= P1+ ; P4 = P1 - ;(2.42)

Se calculeaz 3P= P3 200g; 4P = P4 200g;(2.43)

Se obin toate cele patru direcii orientate 1P, 2P, 3P i 4P.

Se grupeaz direciile astfel obinute, dou cte dou, nct s formeze unghiuri optime pentru interseciile nainte;

Se efectueaz apoi calculul a dou, trei intersecii nainte.

24 -



2.1.5 INTERSECIA LINIAR

Se consider un cerc circumscris triunghiului ABP cu diametrul AB. De preferin unghiul = 100g. Procedeul devine tot mai inexact cu ct punctul P se afl mai aproape de baza AB. Din figur se remarc, c punctul P poate fi n stnga sau n dreapta bazei AB, rezolvarea matematic fiind aceeai.

B

P`

cazul b

(Punctul P se aflacazul a

in stanga

(Punctul P se afla

diametrului AB)

in dreapta

APdiametrului AB)

Figura 2.14 Intersecia liniar

Puncte de coordonate cunoscute A(XA, YA), B(XB, YB)Msurat n teren: DAP, DBPDistanele pot fi msurate din punctele vechi spre punctele noi sau din punctele noi spre cele vechi.

Se parcurge urmtorul algoritm de calcul:

DAB (X B X A )2 (YB YA )2tg ABYB YAABYAB

X B X AX AB

Determinarea unghiului , aplicnd Teorema lui Pitagora generalizat:D2D2D2

arccosAB(calculat)AP(masurat)BP(masurat)

2 DAB(calculat ) DAP(masurat)

(2.44)

(2.45)

n funcie de sensul de rotaie unghiul trebuie sa primeasc semnul + sau AP = AB +(2.46)

Rezult:

XP = XA + DAPcos AP;

YP = YA + DAPsin AP(2.47)

Pentru control trebuie ndeplinite relaiile:

DBP(XPXB)2 (YPYB)2

- 25 -


FACULTATEA DE CONSTRUCII Master - CEBI SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILEtg BPYP YBBPYBP(2.48)

X P X BX BP

Se poate verifica acum, funcie de semnul unghiului , dac,punctul este n stnga sau n dreapta bazei.

= BP - BA (2.49) n cazul n care s-a msurat suplimentar i distanta DAB, ntre punctele vechi, sepoate calcula i factorul de scar:qDAB(calculat )(2.50)

DAB(masurat)

Urmnd acelai algoritm prezentat nainte, se calculeaz coordonatele punctului nou cu relaiile:XP = XA + (QdAP)cos AP;

YP = YA + (QdAP)sin AP(2.51)

Un control suplimentar, fa de cel prezentat nainte, este:

DBP(masurat)DBP(calculat)(2.52)

q

2.2NDESIREA REELELOR DE TRIANGULAIE PRIN

METODA DRUMUIRILOR PLANIMETRICE

2.2.1 REELE DE RIDICARE PLANIMETRIC

2.2.1.1 GENERALITI

Clasificri

Metoda drumuirii este un procedeu de ndesire a reelei geodezice n vederea ridicrii detaliilor topografice din teren.

Drumuirea este o linie poligonal frnt, n care poziia reciproc a punctelor este determinat prin msurtori de distane ntre punctele de frngere i msurtori unghiulare n punctele de frngere ale traseului poligonal.

Cnd n teren s-au efectuat doar msurtori pentru stabilirea poziiei reciproce a punctelor din traseul poligonal, vorbim despre drumuire liber.

De cele mai multe ori ns, traseul poligonal se sprijin la capete pe puncte de coordonate cunoscute drumuiri constrnse sau sprijinite care permit ca punctele de drumuire s fie determinate ntr-un anumit sistem de coordonate. n aceast situaie, ultima latur a traseului poligonal reprezint o supradeterminare, care permite un control al elementelor msurate n teren.Controlul elementelor msurate, devine i mai concludent, dac n punctele de coordonate cunoscute pe care se sprijin drumuirea, se msoar suplimentar

- 26 -



direcii spre alte puncte de coordonate cunoscute, care fiecare reprezint un alt element de control.

n funcie de elementele de constrngere de care se dispune n teren, dar i a obiectivelor topografice care trebuie ridicate se pot face urmtoarele clasificri ale drumuirilor:Drumuire liber (neconstrns);

Drumuire sprijinit la capete pe puncte de coordonate cunoscute;

Drumuire sprijinit la capete pe puncte de coordonate cunoscute i orientri cunoscute (pe laturi cunoscute);

Drumuire cu punct nodal.

204

A(X,Y,H)

203201

202

Figura 2.15 Drumuirea liber

B(X,Y,H)

A(X,Y,H)

203201

202

Figura 2.16 Drumuirea sprijinit la capete pe puncte de coordonate cunoscute

- 27 -



A`(X,Y)N

A(X,Y,H)203

202

i

B`(X,Y)

N

f

B(X,Y,H)

Figura 2.17 Drumuirea sprijinit la capete pe puncte de coordonate cunoscute i laturi cunoscute

B(X,Y,H)

A`(X,Y)

222

201220

A(X,Y,H)NB`(X,Y)

221

232

231

C`(X,Y)

230

C(X,Y,H)

Figura 2.18 Drumuirea cu punct nodal

n multe situaii, drumuirile se pot sprijini la capete pe puncte de coordonate cunoscute, din alte drumuiri, constituindu-se aa-numitele reele poligonale.

- 28 -



B`(X,Y)

A`(X,Y)

207208

205

201206B(X,Y,H)

A(X,Y,H)203

202204

301401

C`(X,Y)

302402

303403

304

305

C(X,Y,H)

Figura 2.19 Reea poligonal

n aceast situaie este justificat introducerea noiunii de ordinul drumuirii, i anume:

traseul A201 - .. 208 B drumuire principal; traseul 202 301 - 305 C drumuire secundar; traseul 206 401 403 304 drumuire teriar.

Clasificarea drumuirilor dup forma traseului poligonal:

drumuiri ntinse; drumuiri nchise.

A`(X,Y)B`(X,Y)

B(X,Y,H)

A(X,Y,H)

Figura 2.20 Drumuire ntins

- 29 -



A`(X,Y)

A(X,Y,H)

Figura 2.21 Drumuire nchis

Dup modul de construire al traseelor poligonale se remarc faptul c metoda drumuirii este o metod deosebit de flexibil n determinarea poziiilor punctelor din teren, fr s necesite cheltuieli prea mari n marcarea i semnalizarea punctelor.

X

6 (X ,Y ,H )

6 0 (X ,Y ,H )5 0

2 0 4

2 0 12 0 22 0 3

A (X ,Y ,H )

2 2 0

2 2 3

3 0 22 2 12 2 2

3 0 1

5 0 (X ,Y ,H )

OY

Figura 2.22 Modul de proiectare al reelelor de drumuri

Traseul drumuirilor se proiecteaz de regul de-a lungul arterelor de circulaie, cursurilor de ap, ntru-ct laturile i punctele drumuirii trebuie s fie uor accesibile.

Punctele drumuirii se amplaseaz n locuri ferite de distrugere, n care instalarea instrumentelor topografice se face cu uurin.

ntre punctele de drumuire nvecinate trebuie s existe vizibilitate perfect, pentru ca direciile i lungimile s poat fi msurate fr dificultate.

Punctele de drumuire se aleg n apropierea detaliilor care urmeaz s fie ridicate.

30 -



Distana ntre punctele de drumuire este determinat de condiiile concrete din teren, de gradul de acoperire cu vegetaie sau cu construcii, de scopul ridicrii topografice i de aparatura topografic avut n dotare. n situaia n care se dispune de aparatura clasic (teodolite, mire, panglici) se recomand ca lungimea medie a laturii de drumuire, distana de 100 150 m (aparatur clasic).

Att lungimea laturilor ct i cea a traseului poligonal sunt dependente de situaia din teren. Astfel, n zonele construite, lungimea laturilor, ct i lungimea drumuirii vor fi mai reduse dect n zonele de extravilan.

A) Operaii de teren

Marcarea punctelor de drumuire - se face de regul cu trui, n: localiti, cu rui metalici, iar n afara localitilor cu rui de lemn.

ntocmirea schielor de reperaj i descrierea topografic a punctelor: Msurarea lungimii laturilor:

Tabelul 2.1NUMRULMATERIALIZAREASCHIA DE REPERAJ

PUNCTULUIPUNCTULUI

St. 2

COORDONATETarus de lemn

L = 35 cm

X = 479054.92 m= 20 mm

Y = 199314.40 m

- cu panglica se msoar laturile dus-ntors, fiind admis o toleran ntre cele dou determinri de T = 0.003L .

- cu aparatura electrooptic, distanele se msoar, dus-ntors, eroarea de msurare admis fiind n funcie de precizia instrumentului folosit (de regul nu trebuie s depeasc 2-3 pe, unde pe = precizia de msurare a instrumentuluiLLijLji(2.53)

2

Msurarea unghiurilor verticale

- 31 -



Unghiurile verticale se msoar n fiecare punct de staie n ambele poziii ale lunetei, att spre punctul din spate, ct i spre punctul din fa al traseului poligonal.

Cnd vizarea se face la nlimea instrumentului n ambele sensuri, se va face media determinrilor, lundu-se sensul unghiului vertical n sensul de parcurgere al drumuirii.

ABBA , cu semnul lui AB(2.54)

2

I

B

I

A

Figura 2.23 Msurarea unghiurilor verticale. Axa de vizare paralel cu linia terenului

Cnd vizarea se face la nlimi diferite (situaie destul de frecvent ntlnit n teren), medierea se poate realiza numai la diferenele de nivel determinate n ambele sensuri.

SB

B

h

IA

A

Figura 2.24 Msurarea unghiurilor verticale.Axa de vizare nu este paralel cu linia terenului

hAB d tg ÀB iA SB , ascendent

hBA d tg `BA iB SA , descendent

hABhABhBA, dndu-se semnul lui hAB de la dus.

2

Msurarea unghiurilor orizontale (de frngere)

Unghiurile orizontale se determin din direciile msurate n fiecare staie. Direciile se msoar n punctele de staie prin metoda seriilor.

(2.55)

punct de

- 32 -



II

201

C

CC

202

C

201C

C

Figura 2.25 Modul de msurare al unghiurilor orizontale

2.2.1.2 DRUMUIRI PLANIMETRICE

1 - Drumuire sprijinit la capete pe puncte de coordonate cunoscute i laturi cunoscute

A Prelucrarea prin metoda clasic

X

N

N

A (X ,Y )NN

2

1

B = I(X ,Y ,H ) 3

y 1 -2y 2 - 3

OY B

NN

Nnn

n -

4n -

C = n (X ,Y ,H )

n - 1

D (X ,Y )

y 3 -4y n -1 ,n

Y CY

Figura 2.26 Drumuire sprijinit la capete pe puncte de coordonate cunoscute

i laturi cunoscute

Elemente msurate pe teren:i unghiurile orizontale;

i media unghiurilor de pant;

- 33 -


FACULTATEA DE CONSTRUCII Master - CEBI SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILEli lungimile nclinate medii ale laturilor de drumuire.

Etape de calcul

1 - Calculul distanelor nclinate i a diferenelor de niveldij = lijcos ijhij = dijtg ij

2 - Calculul orientrilor

a) Calculul orientrilor laturilor de sprijin: AB arctg yABxABCD arctg yCDxCD

(2.56)

(2.57)

b) Calculul orientrilor provizorii ale laturilor de drumuire (transmiterea orientrilor):`0200g

11

``2 200g

21

``g(2.58)

n 1n 2n 1 200

``g

nn 1 n 200

_________________

`ì n 200g

n0

c) Calculul nenchiderii pe orientri:

n(2.59)

evevj`n(0n 200g )n

ni

i 1

T cn, c = aproximaia de citire a teodolitului, n = numrul de staii dac e T , se calculeaz corecia: c = vj ve = -e

d) Calculul coreciei unitare:

qc, unde n = numrul de staii(2.60)

n

e) Calculul orientrilor definitive:

- 34 -

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIOARAFACULTATEA DE CONSTRUCIIMaster - CEBISPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILE`q

11

2`2q

2

(2.61)

`(n 1)q

n 1n 1

n`

n nq

CONTROL: ncompensat ncalculat din coordonate

3 - Calculul coordonatelor relative

a) Calculul coordonatelor relative provizorii: x`= d1,2cos 1y`= d1,2sin 1

1,21,2

x`= d2,3cos 2y`= d2,3sin 2

2,32,3

------------------------------------------

x`= dn1,ncos n 1y`= dn1,nsin n 1

n 1,nn 1,n

x` = dijcos iy` = dijsin i

ijij

xi` + cx = XBC

yi` + cy = XBC(2.62)

hi` + ch = XBC

b) Calculul erorii de nechidere a coordonatelor

eAx'BC xBC calculat din coordonate

eyy'BC yBC calculat din coordonatef ex 2 ey 2 T

d(2.63)

T 0.0045 d

1733

c) Calculul coreciei unitare

qx ex d

qyey(2.64)

d

d) Calculul coordonatelor relative definitive

xB1 x'B1 qx dB1

- 35 -



x12 x'12 qx d12 x23 x'23 qx d23xx'3C qxd3C

3C

__________________

xBCxBC calculat din coordonate(2.65)

yB1 y' B1 qy d B1

y12 y'12 qy d12 y23 y' 23 qy d23

y3Cy '3C qyd3C

___________________

yBCyBC calculat din coordonate(2.66)

4 Calculul coordonatelor absolute pentru punctele noi (punctele de drumuire)

X1X B xB1Y1YB yB1

X 2X1 x12Y2Y1 y12

X3 X 2 x23Y3 Y2 y23

__________________________________________

X C X 3x3C X C calculat din coordonateYC Y3y3C YC calculat din coordonate(2.67)

Metoda drumuirilor planimetrice este foarte des utilizat n lucrrile cadastrale pentru diferite scopuri, n funcie de topografia locului i detaliile naturale i artificiale existente, putnd fi particularizat la situaia concret de pe teren.

3. FUNCIONALITATE GENERAL

Sistemul de programe TopoSys este un software de specialitate care calculeaz i prelucreaz informaii rezultate din msurtori topografice i geodezice locale sau rezultate din staii GPS, folosind metode statistice de filtrare a erorilor mari i a compensrii datelor. Pe lng acestea, TopoSys efectueaz i calculele necesare pentru stabilirea referinei geodezice a informaiilor de pozionare date n diferite proiecii i sisteme de referin.

Pentru observaii GPS prelucrate (distane born-born i direcii calculate) TopoSys poate fi utilizat i pentru suprafee care depesc aria de acoperire a Reelelor Geodezice Locale.

- 36 -



Gestionarea informaiilor este efectuat n baze de date denumite Proiecte, iar calculele propriuzise se efectueaz n uniti de lucru denumite Lucrri. Un proiect poate cuprinde mai multe lucrri care au n comun informaii de referin cum ar fi puncte geodezice, utilizatori, instrumente, elipsoizi de referin. Fiecare lucrare cuprinde informaii de tipul: puncte, msurtori, nivelment, transformri i un registru cu operaiile efectuate. Fereastra grafic a programului permite vizualizarea coordonatelor i observaiilor existente n lucrarea curent, precum i afiarea numerelor de punct i elipselor de eroare.

TopoSys 5 permite deschiderea proiectelor TopoSys create n versiune 4 (baze de date MDB), dar proiectele noi se salveaz n format propriu - fiiere cu extensia .SRV.

3.1 INTRODUCERE

Sistemul de programe TOPOSYS permite prelucrarea i compensarea tuturor tipurilor de msurtori folosite de geodezi pentru ndesirea reelelor geodezice locale.

Date primare:

-liste de coordonate - puncte fixe

- liste de msurtori unghiulare orizontale i verticale/zenitale, distane (nclinat, orizontal, stadimetric, GPS)

- liste de cote

- liste dediferene de nivel

Aceste mrimi pot fi introduse manual, importate din fiiere ASCII sau preluate din memoriile staiilor totale, sub forme de fiiere de diferite formate. Distanele msurate pot fi distane reduse la orizont, nclinate sau stadimetrice.

Metode de calcul ale coordonatelor aproximative: - intersecienainte

- intersecienapoi - drumuire / reea de drumuiri- radiere ca modalitate de determinare a coordonatelor aproximative

- radiere-calculul punctelor de detaliu

Metode de compensare a reelelor planimetrice i de nivelment: - reea constrns

- reea liber

- reea cu coordonate msurate

- 37 -



Compensarea reelei orizontale sau altimetrice (nivelment geometric sau trigonometric) se poate efectua prin Metoda celor mai mici ptrate.

Ponderarea msurtorilor - n funciede distana msurat - normalizat

- unitate

Calculele care permit stabilirea referinei geodezice a planului cadastral digital includ urmtoarele teme:

- Proiecia Stereografic 1970 (STEREO 70) - Proiecia Stereografic 1970 elipsoid WGS - Proiecia Stereografic 1970 local elipsoid WGS - Proiec geografic (Fi, La) elipsoid Krasovsky - Proiec geografic (Fi, La) elipsoid WGS84 - Proiec Conic_ Tangent elipsoid WGS84 - Proiecia Conic_ Secant pe teritoriul Romniei - Proiecia GAUSS-KRUEGER

- Proiecia UTM - Proiecia Conic Lambert - Proiecia Stereo Local Bucureti - Proiecia Stereo 31

- transcalculride coordonate (Geografic - Proiec_ie, Geografic - Geocentric, Geografic -Topocentric)

- transformride coordonate plane i spaiale - transformristandard

Aceste operaii se execut folosind diferii elipsoizi. Datele de ieire sunt:

- liste de coordonate aproximative - liste de msurtori

- liste de coordonate compensate

- parametrii de precizie ale compensrii; eroarea medie ptratic a unitii de pondere, erorile medii patratice ale coordonatelor, datele elipselor de erori. - fiiere DXF AutoCad cu dispunerea punctelor, vizele i elipsele erorilor - fiiere ASCII

- 38 -



3.2 PRINCIPII DE PRELUCRARE

Schema general a fluxului de date n TOPOSYS:

Datele primare ale sistemului, sunt: - liste de coordonate

- puncte fixe, meninute ca puncte globale n proiect sau ca puncte fixe n lucrare

- liste de msurtori direcii orizontale i verticale/zenitale, distane. - liste de cote

- liste de diferende nivel

Coordonatele unei lucrri se consider fiind date ntotdeauna n Sistemul de Proiecie selectat n fereastra de Parametrii a lucrrii.

Numerotarea punctelor trebuie s fie unic. Punctele noi sau punctele vechi recalculate vor fi meninute n lucrarea curent. Punctele globale recalculate vor fi rescrise la cerere n categoria cu acela nume.

Dup importarea coordonatelor se face calcularea Factorului de Scar a proieciei curente pentru zona definit de aceste coordonate. Dac se introduc manual coordonate, sau se calculeaz prin program, recalcularea Factorului de Scar se face manual (vezi seciunea Fereastra Proiect).

Pentru ca datele primare s fie recunoscute de program ca surse pentru diferite calcule specifice, este necesar satisfacerea unor condiii minime, descrise mai jos. Pentru informaii detailate despre fiecare operaie, selectai titlul operaiei scris cu verde.

- 39 -



Intersecie nainte

Date necesare: Coordonatele a dou puncte de staie i observaiile efectuate din acestea ctre punctul de calculat i ntre puncte. Se pot introduce i distanele msurate.

Condiii: Compensarea se poate face numai dac exist cel puin trei puncte de staie. Punctul intersectat nu trebuie s fie pe aceai linie cu puncte cunoscute Cota punctului intersectat este corect calculat numai n cazul cnd sunt date cotele punctelor de staie, nlimile instrumentului i a prismei.

Intersecie napoi

Date necesare: Coordonatele a trei puncte i observaiile efectuate din punctul de staie ctre acestea.

Condiii: Compensarea se poate face numai dac exist cel puin patru puncte fixe. Punctele fixe i punctul intersectat nu trebuie s fie pe acela cerc. Cota punctului intersectat este corect calculat numai n cazul cnd sunt date cotele punctelor de staie, nlimile instrumentului i a prismei / semnalului.

Drumuire

Date necesare: Coordonatele punctelor de sprijin ale drumuirii, vize reciproce ntre staii.

Condiii: Pornirea i nchiderea drumuirii pe puncte cu coordonate cunoscute (noi sau vechi).

Orientarea punctelor de pornire i nchidere a drumuirii, prin vizarea unui punct cu coordonate cunoscute (punct vechi).

Observaii de direcii i distane dintre punctele de drumuire. Observaii reciproce dintre punctele de staie ale drumuirii. Drumuirea poate s fie i drumuire nchis pe punctul de plecare.

Cotele punctelor de drumuire sunt corect calculate numai n cazul cnd sunt date cotele punctelor de staie, nlimile instrumentului i a prismei.

Radiere

Observaii efectuate din puncte orientate i cu coordonate cunoscute, sau cu o origine i orientare local (nu necesit introducerea coordonatelor).

Cotele punctelor radiate sunt corect calculate numai n cazul cnd sunt date cotele punctelor de staie, nlimile instrumentului i a prismei.

Calculele cerute sunt efectuate cu indicarea direciilor care depesc tolerana dat, care se pot exclude din calculul orientrii staiilor.

Compensare

Coordonatele provizorii astfel calculate se pot compensa cu Metoda Celor Mai Mici Ptrate, condiionate de erorile apriorice date de utilizator. Compensarea

- 40 -



este posibil numai dac exist mai multe informaii dect necesarul pentru a determina o mrime.

Pentru nceperea compensrii este necesar precizarea unor tolerane, care se introduc pe baza aprecierii utilizatorului asupra preciziei echipamentelor, a centrrii instrumentului i al semnalului.

n funcie de acestea sau a preciziei punctelor de referin, se va dovedi sau nu corectitudinea toleranei pentru setul de date actual, prin efectuarea mai multor iteraii. Indicatorul general al setului de date poate fi considerat Eroarea Medie Ptratic a Unitii de Pondere, (empp) afiat dup fiecare iteraie. n funcie de aceast valoare i evoluia acesteia dup efectuarea mai multor iteraii, se poate decide asupra pstrrii rezultatelor compensrii sau refacerea acesteia, cu alte tolerane, sau excluderea prin dezactivare a datelor care deformeaz precizia setului de date.

Pentru a testa precizia absolut a observaiilor, se face o compensare liber. Totui, ncadrarea unei astfel de observaii ntr-o reea de puncte fixe, poate rezulta n erori datorate preciziei punctelor fixe.

n cazul compensrii nivelmentului, sunt considerate cote fixe, cotele punctelor care au fost definite ca puncte fixe planimetrice. Deseori, acestea au fost determinate prin Intersecie nainte, i cota acestora nu se nacdreaz n precizia nivelmentului geometric sau trigonometric. De aceea, la compensarea cotelor, aceste puncte trebuie dezactivate.

Aplicarea coreciilor dup compensare la coordonatele aproximative i la mrimile msurate se face la comanda utilizatorului. Dup aceast operaie se pot calcula punctele radiate (dac exist).

3.3 FORMULE

Pentru obinerea rezultatelor scontate, utilizatorul trebuie s cunoasc o serie de factori care definesc condiiile n care s-au efectuat observaiile de teren, sistemul de referin i sistemul de proiecie n care sunt date punctele de referin i unde se doresc convertite rezultatele. n funcie de acetia, asupra observaiilor i datelor cunoscute trebuie aplicate corecii, reduceri i alte calcule care pot fi efectuate n parte de TopoSys. Exist unele operaii de reducere i corecii care sunt efectuate de staiile totale sau de softul acestora. n orice caz, nainte de nceperea prelucrrii, trebuie tiut de ce fel de date dispunem. n continuare sunt descrise calculele aplicabile datelor de teren. Calculele aplicabile n TopoSys, sunt notate cu , i descrise la cap. Corecii i reduceri.

- 41 -



Ordinea aplicrii coreciilor i reducerilor:

Corecia de constanta prismei Corecia de colimaie

Corecia de presiune i temperatur

Corecia de curburi refracie

Calculul automat al factorului de scar n proiecia dat (necesit import/introducere coordonate fixe)

Reducerea poz I/poz. II

Reducere la orizont

Reducerea la born - (nlime instrument/prism)

Reducerea la orientare

Reducerea la nivelul mrii

Reducere la planul proieciei

Corectii si reduceriConfiguratie instrument-reflector

h = cota punctului surs s = distana nclinat

d1 = distana orizontal la cota punctului surs d2 = coard elipsoid, distan la nivelul mrii d3 = lungime arc elipsoidal sau sferoidal

d4 = distan n planul proieciei (nu este reprezentat)

- 42 -



Reducerea poz I/poz II i medierea observaiilor

Observaiile orizontale i verticale efectuate din poz. I i II se reduc la poz.I. Dac au fost executate mai multe seturi de observaii ctre acela punct, atunci dup reducerea la poz. I, programul calculeaz media observaiilor i distanelor.

Reducerea la orizont

Reducerea la orizont servete la calculul diferenelor de nivel dintre puncte. Operaia se aplic automat.

d1 = S sin(Z)

v1 = S Cos(Z)

Z = unghi zenital

s = distana nclinat

Reducere la punct (born - born)

Aceast reducere se aplic msurtorilor brute de unghiuri verticale i distane nclinate. Operaia se aplic automat.

Se folosesc urm_toarele mrimi: e2 = nlime teodolit

e4 = nlime prism

dt = distan nclinat instrument - prism

Unghiul vertical born - born este dat de urmtoarea formul: Zc = tan(-1) ((dtcosZ + e2 - e4)/dtsinZ)

Distana nclinat born - born rezult din formula: dc = (dtsinZ)/(sinZc)

Reducerea la orientare

Direciile orizontale msurate ctre puncte dintr-o staie, au ca origine indexul zero al cercului orizontal. Pentru a se putea calcula orientarea (direcia fa de direcia N) a tuturor vizelor, este nevoie de calculul orientrii direciei zero al cercului orizontal, denumit i modulul staiei, calcul care se poate face pe baza direciilor msurate ctre puncte cu coordonate cunoscute. Din acestea se poate calcula o valoare medie a modulului staiei, pe baza formulelor de mai jos.

T = orientarea direciei msurate

dX, dY = diferene de coordonate dintre coordonatele punctului msurat i coordonatele staiei

Or = orientarea direciei zero M = modulul staiei

Ei = diferena fa de modulul mediu

Orientarea unei direcii msurate ctre un punct cunoscut:

- 43 -


FACULTATEA DE CONSTRUCII Master - CEBI SPECIALIZAREA CADASTRU SI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILET = tan(-1) ( dY / dX )

n funcie de semnul valorilor dZ i dX, se adaug la T 100, 200 sau 300 de grade:

dX > 0, dY > 0 T = T

dX < 0, dY > 0 T = T + 100 dX < 0, dY < 0 T = T + 200 dX > 0, dY < 0 T = T + 300

Orientarea direciei zero: Or = 400 + Hz - T Modulul mediu al staiei: M = (T1 + T2 + ...)/n

Ei = Mi M

Corecie de reducere la nivelul mrii

Aceast corecie face reducerea distanei orizontale msurate de la punctul de staie (born), la coarda la nivelul mrii. Operaia se aplic numai dac se valideaz opiunea corespunztoare din fereastra setrilor de lucrare apelabil cu meniul Adaug:

d2 = d1 - ((h1 + ht)d1/2R )

d1 = distana orizontal la cota punctului surs h1 = cota punctului surs

ht = cota punctului int

R = raza sferoidului sau lungimea semiaxei mari al elipsoidului de referin. Pentru reducerea coardei de la nivelul mrii (d2) la arcul sferoidal sau elipsoidal (d3), trebuie aplicat nc o corecie:

d3 = d2 + (d2)/ 24R

Aceast corecie are o valoare mai mare de 1 mm numai pentru distane mai mari de 9,9 km. De aceea, pentru distane mai scurte, aceast corecie se poate ignora.

- 44 -



Reducere la planul proieciei

Corecia arcului sferoidal sau elipsoidal d3 la o distan proiectat d4 n planul de proiecie depinde de proiecia folosit. Pentru proiecte care cuprind distane de lungime medie (aprox. 10 km), reducerea la planul proieciei se poate face cu un factor de scar care se calculeaz local, pe baza coordonatelor unor puncte cunoscute n sistemul geografic (elipsoid) i a coordonatelor corespondente n planul proieciei, dar este de ajuns i cunoaterea unor coordonate ntr-unul din sisteme, i transformarea acestora n cellalt sistem. Factorul de scar care rezult din transformare, este tocmai factorul de scar care se aplic distanelor reduse pentru a le reprezenta n planul proieciei.

Reducerea la planul proieciei cu factor de scar se aplic numai dac se valideaz opiunea corespunztoare din fereastra setrilor de lucrare apelabil cu meniul Adaug

3.4 FEREASTRA PROIECT

Fereastra principal care apare la lansarea TopoSys, este Fereastra proiect. Aceasta afieaz informaii text despre proiectele deschise, i permite selectarea categoriilor de informaii i efectuarea de operaii de administrare n datele existente. n partea superioar a ferestrei, se gsete Bara Meniu.

Sub acesta se afl bara de funcii (detaabil), care conine icon-urile de apelare a funciilor principale de administrare:

Segmentul Coninut - Proiect/Lucrare - Proiect nou

- Deschide proiect existent

- Salveazproiect - nchide proiect

Segmentul Detalii - Baza de date - Adaugnregistrare - Modificnregistrare sau selecie -terge nregistrare sau selecie Segmentul Fereastr grafic - Actualizare fereastrgrafic - Deplasare

- Mrire/Micorare

- 45 -



- Mrire - Micorare - Limite

- Coduri - Opiuni

Pentru crearea unui proiect nou i al unei lucrri TopoSys noi n cadrul proiectului curent, citii detalii la cap. Proiect din meniul cu acela nume. Fereastra proiect se compune din dou segmente: Segmentul Coninut n partea in stnga i Segmentul Detalii n partea din dreapt a ferestrei.

Pentru modificarea parametrilor Lucrare i recalculul Coeficientului de Scar n cazul adugrii altor puncte care cad n afara zonei de lucru, se selecteaz lucrarea curent n Segmentul Coninut, apoi n Segmentul Detalii se selecteaz nregistrarea lucrrii curente, i butonul (Modific), apoi OK.

Detaliile ferestrei proiect sunt descrise la capitolele:

Segmentul Coninut

Segmentul Detalii

Afisaj

Segmentul Continut

n Segmentul Coninut sunt afiate n form de structur ramificat categoriile de informaii din proiectele deschise. Deschiderea sau nchiderea unei Categorii de informatii se face prin dublu-clic pe numele acesteia, sau prin selectarea cu mouse-ul al semnului plus sau minus din dreptul iconului corespunztor. Denumirea categoriilor i subcategoriilor de informa_ii (Persoane, Instrumente, Puncte, Msurtori, etc.) este fix, deci nu se pot modifica, cu excepia numrului sau denumirii staiilor din categoria de informaii Msurtori i Nivelment. Modificarea numelui unei staii se face prin selectarea cu mouse-ul al numelui i tastarea noului nume. O staie se poate terge numai dac s-au ters n prealabil toate observaiile efectuate din staie (n Segmentul Detalii).

Adugarea, editarea sau tergerea unui grup de informaii, se face prin selectarea cu mouse-ul al categoriei de informaii din Segmentul Coninut i selectarea uneia din butoanele Adaug,

terge sau Modific. (Mai multe informaii la Segmentul Detalii).

- 46 -



Segmentul Detalii

Acest suprafa afieaz informaii detailate n forma unui tabel, referitoare la categoria de informaii curent din Segmentul Coniut. De asemenea, n acest segment se pot efectua operaii de Adugare, tergere i Modificare, referindu-se la elementul curent, selectat n Segmentul Detalii.

n capul de tabel se vor afia numele cmpurilor, n funcie de categoria de informaie. Prin selectarea numelui unui cmp, se poate efectua sortarea n sens cresctor sau descresctor al tabelului.

n dreptul fiecrei linii se gsete o csu cu semnul de validare . Selectnd cu mouse-ul aceast csu, se poate face validarea sau omiterea nregistrrii respective din calcule i afiare n fereastra grafic.

Pentru a afia meniul cu operaiile de administrare, se poziioneaz cursorul mouse-ului pe o linie care conine un element din Segmentul Detalii i se apas butonul din dreapta mouse-ului. Va apare un meniu cu opiunile Adaug, terge, Modific.

Aceste operaii pot fi apelate i cu icon-urile din bara de funcii.

Modificarea negistrrii sau a seleciei de nregistrri curente. O selecie de nregistrri se poate face prin apsarea butonului Shift sau Ctrl i selectarea cu mouse-ul al intervalului de nregistrri, sau al nregistrrilor dorite. Dac exist o selecie, modificarea efectuat va avea efect asupra cmpului sau cmpurilor din fiecare nregistrare selectat.

- 47 -



Categorii de informaiiNumele utilizatorilor (operatorilor) care particip la proiect

Denumirea instrumentelor utilizate n proiect

Elipsioizii de referin utilizai n proiect (implicit sunt introdui parametrii elipsoizilor Krasovski, WGS84 i Hayford).

Puncte cu coordonate cunoscute care se vor folosi n proiect, pentru diferite calcule i compensri.

Punctele globale se pot folosi n orice lucrare a proiectului, fiind meninute ntr-un singur exemplar.

- 48 -



Detalii referitoare la lucrarea curent sau la lucrarea nou, creat cu funcia Creare lucrare din meniul Proiect sau cu funcia Adaug din meniul Date.

Orientarea axei X a Sistemului de Coordonate

- cu axa X pe direciaNord - cu axa X pe direciaEstUnitatea de msur a direciilor

- Sexagesimal-format: GGG.MM ' SS "ff (f = fraciune) - Centesimal-format: GGG.MMSSff

- Grade zecimale-format GGG.f f f f f f f f

Direcie vertical

- Originea cercului vertical - Zenital

- Verical

Distana msurat

- nclinat-distane msurate aparat - prism la nlimea aparatului i nlimea prismei

- Orizontal-distane orizontale la nlimea aparatului

- adimetricSt - distane calculate din citiri cu firul central la nlimea aparatului sau la o nlime cunoscut pe prism.

- GPS-distan born-born(nu se aplic corecii de refracie i de curbur)

- 49 -



Sistem de coordonate

- Proiecia Stereografic 1970 (STEREO 70) - Proiecia Stereografic 1970 elipsoid WGS - Proiecia Stereografic 1970 local elipsoid WGS - Proiec geografic (Fi, La) elipsoid Krasovsky - Proiec geografic (Fi, La) elipsoid WGS84 - Proiec Conic Tangent elipsoid WGS84 - Proiecia Conic Secant pe teritoriul Romniei

Coordonatele unei lucrri se consider fiind date ntotdeauna n Sistemul de Proiecie selectat n fereastra de Parametrii a lucrrii.

Coeficient de scar

Constant care se aplic distanelor msurate pentru reducerea n planul proieciei folosite, n zona restrns a msurtorilor efectuate cu Staii Totale sau instrumente clasice, pe o suprafa cu raza maxim de 10 Km specifice Reelelor Geodezice Locale.

Aceast constant se calculeaz automat de TopoSys la importare de puncte sau prin editarea ferestrei de Parametrii a lucrrii curente i apsarea butonului OK a acestei ferestre.

Reducere la nivelul mrii

Reducerea tuturor distane ale lucrrii la nivelul mrii. Pentru aceast opiune punctele cu coorodnate cunoscute trebuie s aib cote absolute (msurate de la nivelul mrii).

- Puncte cu coordonate cunoscute care se vor utiliza n lucrare. Punctele de tipul

Nou vor fi considerate puncte cu coordonate provizorii, care se vor corecta n urma compensrii. Punctele de tipul Vechi vor fi considerate puncte cu coordonate fixe, care nu vor fi corectate, n afara compensrii Libere. Detaliile aparinnd punctelor apar la selectarea acestora unul cte unul n Fereastra Garfic sau n Segmentul Detalii.

- 50 -



Coeficient de scar

Constant care se aplic distanelor m_surate pentru reducerea n planul proieciei folosite, n zona restrns a msurtorilor efectuate cu Staii Totale sau instrumente clasice, pe o suprafa cu raza maxim de 10 Km specifice Reelelor Geodezice Locale.

Aceast constant se calculeaz automat de TopoSys la importare de puncte sau prin editarea ferestrei de Parametrii a lucrrii curente i apsarea butonului OK a acestei ferestre.

Reducere la nivelul mrii

Reducerea tuturor distane ale lucrrii la nivelul mrii. Pentru aceast opiune punctele cu coorodnate cunoscute trebuie s aib cote absolute (msurate de la nivelul mrii).

- Puncte cu coordonate cunoscute care se vor utiliza n lucrare. Punctele de tipul

Nou vor fi considerate puncte cu coordonate provizorii, care se vor corecta n urma compensrii. Punctele de tipul Vechi vor fi considerate puncte cu coordonate fixe, care nu vor fi corectate, n afara compensrii Libere. Detaliile aparinnd punctelor apar la selectarea acestora unul cte unul n Fereastra Garfic sau n Segmentul Detalii.

Aceast categorie de informaii conine msurtorile de direcii i distan. La deschiderea categoriei, se vor afia numerele staiilor.

Modificarea numelui unei staii se face prin selectarea cu mouse-ul al numelui i tastarea noului nume. O staie se poate terge numai dac s-au ters n prealabil toate observaiile efectuate din

staie (n Segmentul Detalii). - Staii

nregistrare Msurtoare:

- 51 -



Aceast categorie de informaii conine date de nivelment. La deschiderea categoriei, se vor afia staiile de nivelment din lucrare.

- Staii de nivelment

Modificarea numelui unei staii se face prin selectarea cu mouse-ul al numelui i tastarea noului nume. O staie se poate terge numai dac s-au ters n prealabil toate observaiile efectuate din staie (n Segmentul Detalii).

nregistrare Viz de nivelment:

Diferenele de nivel se vor introduce n metri, iar distanele dintre puncte n Km. n aceast categorie de informaii sunt salvate dete referitoare la coordonatele transformrilor plane sau spaiale.

punctele corespondente n sistemul de coordonate surs

- 52 -



nregistrare Coordonat transformare:

punctele corespondente din sistemul de coordonate destinaie. nregistrare Coordonat transformare:

Denumirea i data operaiilor de calcul efectuate n lucrarea curent. Sunt meninute toate rezultatele operaiilor de calcul, n ordinea executrii lor. La selectarea unei operaii, se afieaz

raportul care conine parametrii acesteia.

- 53 -

Com Pens Are

Documents

Transcript of Com Pens Are